Name: Diferensiyel Geometri Spring 2014

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Name: Diferensiyel Geometri Spring 2014"

Transkript

1 Çalışma soruları Tanim [Basit egri] α : (a, b) R 3 egrisi verilsin. Farkli t 1, t 2 (a, b) noktalari icin α(t 1 ) α(t 2 ) oluyorsa α egrisine basit egri adi verilir (kendisini kesmeyen egriye basit egri denir). S α : R R 3, α(t) = (t 2 + t, sin t, e t ) seklinde verilen egrinin p = (,, 1) noktasindaki Frenet vektorlerini hesaplayiniz. S1 α : ( 2, 2) R 3 egrisi su sekilde tanimlansin: ( ) α(t) = x(t), y(t), z(t) = (t 2 1, t 3 t, ). S2 1. α egrisinin reguler bir egri olup olmadigini arastiriniz. 2. α egrisinin basit bir egri olup olmadigini arastiriniz. 3. α egrisini ciziniz. α : (, π 2 ) R2, α(t) = (cos 3 t, sin 3 t) egrisinin yay uzunlugunu x 2 + y 2 = 4 cemberini saat yonunun tersi yonunde ve baslangic noktasi (, 2) olmak uzere parametrize ediniz. S5 S6 α(t) = (15 cos t t, 15 sin 17, 8t ) helis egrisinin egriligini y 2 = x 3 seklinde verilen egriyi patametrize ediniz ve (, ) ve (4, 8) noktalarn birlestiren yayn uzunlugunu S7 Parametrik denklemi α(t) = (t, t 2 ) seklinde verilen parabolun burulmasini S8 α : [, L] R 3 egrisi yay uzunlugu cinsinden parametrize edilmis ve α(t) α (t) = olsun. Eger α(l/3) = (1, 3, 4) ise α( 2L ) degerini 3 S9 x 2 + y 2 = 1 cemberini saat yonu yonunde parametrize ediniz. S3 S4 y = f(x) = e x egrsinin egriligini hesaplayiniz. egriligin maksimum oldugu noktayi S1 Parametrik denklemi: x = cos t, y = sin t ve z = t seklinde verilen helis e grisinin: Frenet çatısını bulunuz E grili gini bulunuz Burulmasni bulunuz yazim hatalari var... /yeni sorular eklenecek... 1 Sunday 15 th June, :49

2 S11 xy duzlemin de birim hizli bir egri α(s) olsun. e 1 = (1, ) ve e 2 = (, 1) xy duzleminin stantard bazlari olmak uzere α egrisinin hiz vektoru T (s) = α (s) = cos(θ(s))e 1 + sin(θ(s))e 2 seklinde veriliyor. (i) θ(s) nin T (s) ile e 1 arasindaki aci oldugunu ispat ediniz. S12 (ii) α egrisinin egriliginin: κ = θ (s) oldugunu ispat ediniz. α : R R 3 egrisi α(t) = (3 cos ht, 4 sin ht, 3t) seklinde verilen α egrisini yay uzunlugu cinsiden yeniden parametrize ediniz. S13 birim hizli oldugunu gosteriniz. α : R R 3 birim hizli ve kabul edelimki her t icin α(t) = 1 olsun. Bu taktirde α(t), α (t) = 1 S14 α : R R 3 birim hizli ve kabul edelimki her t icin egrilik κ(t) = 1 ve burulmasi τ = olsun. Eger α() = (2,, ), α () = (,, 1) ve α () = (1,, ). Bu taktirde α( π 2 ) =? S15 Birim hizli α egrisi icin asagidaki tanimlari yaziniz. a) egrilik κ(s) b) asli normal vektor N(s) c) binormal vektor B(s). S16 β : [c, d] R 3 egrisi α : [a, b] R 3 regular egrisinin yeniden paremetrelenmisi olsun. Bu taktirde α ve β egrilerinin ayni uzunluga sahip olduklarini ispat ediniz. S17 Bir otomobil α : [, 3] R 2 regular egrisi boyunca hareket etmektedir. Burada α(t) = (2t, t 2 ) seklinde veriliyor. 3 saat sonra otomobilin aldigi yolun uzunlugunu S18 α(t) = (sin(t), cos(t), t) egrisine t = π/2 noktasinda dik olan duzlemin denklemini yaziniz. S19 Merkezi (a, b) ve yaricapi R olan cemberin cevresini 2πR oldugunu gosteriniz. S2 R 3 de p = (x, y, z ) noktasindan gecen ve v = (x 1, y 1, z 1 ) vektoru yonundeki bir L dogrusunun parametrik denklemi: seklinde verilir. x = x + x 1 t, y = y + y 1 t, z = z + z 1 t. yazim hatalari var... /yeni sorular eklenecek... 2 Sunday 15 th June, :49

3 1. Hangi t degerleri icin L dogrusu a. xy-duzlemi ile kesisir b. xz-duzlemi ile kesisir S27 α(t) = (2t, ln t, t 2 ) seklinde verilen egrinin α(1) ve α(e) noktalarn birlestiren yayin uzunlugunu c. yz-duzlemi ile kesisir S21 2. L dogrusuna paralel olan bir duzlemin denklemini R 2 de goruntusu A = {(x, y) : xy = 1, x > } kumesi ile ayn olan parametrik bir egri S28 x = e 2t + e 2t, y = 3 4t, t 1, t 1 parametrik form da verilen egrinin yay uzunlugunu S29 S22 Yay uzunlugu cinsiden paremetrize edilmis bir egriye ait teget(t), normal(n) ve binormal(b) vektorlerin turevi icin Frenet formullerini yaziniz (matris formunda yazabilirsiniz). r(t) = ((1/2) sin(t 2 ), (1/2) cos(t 2 ), (1/4)t 4 ), verilen egrinin uzunlugunu S3 π t π S23 Eger α(t) yay uzunlugu cinsiden paremetrize edilmis bir egri ise α (t) α (t) oldugunu gosteriniz. S24 Eger α(t) birim hizli bir egri ise κ(t) = S25 Eger α(t) birim hizli bir egri ise τ(t) = Compute the length of the arc of the semicubical parabola y 2 = x 3 between the points (, ) and (4, 8). S31 k(u) duzgun bir fonksiyon olmak uzere θ(s) = s k(u)du olarak tanimlansin. ( s α(s) = cos θ(u)dt, s ) sin θ(u)dt egrisinin birim hizli ve yonlendirilmi egriliginin(signed curvature) S26 Parametrik denklemi α(t) = (1 + t 2, t, t 3 ) seklinde verilen egrinin Frenet catisini oldugunu gosteriniz. κ(s) = κ(s) yazim hatalari var... /yeni sorular eklenecek... 3 Sunday 15 th June, :49

4 S32 α egrisi basit kapali ve cevresinin uzunlugu L α, ve kapsadigi alan A α olsun. α egrisinin cevre uzunlugu λ defa buyutululmesi ile elde edilen yeni egri β olsun. β egrisinin kapsadigi alan ise A β olsun. Bu taktirde Aα L 2 α S33 ile A β L 2 β arasinda nasil bir iliski oldugunu R 2 de duzgun bir egri α olsun. Kabul edelimki α (s) olsun. α egrisi hakkinda ne soyleyebilirsiniz? S34 α : I R 2, α(t) = (x(t), y(t)) birim hizli olmayan regular bir egri olsun. α egrisinin egriligini S35 α : (, ) R, α = at + b fonksiyonunu yay uzunlugu cinsiden yeniden parametrize ediniz. S36 α : I R 3 birim hızlı ve e grili gi κ > olsun. T, N, B Frenet çatısı için T = κn, B = τn, N = κt + τb Frenet förmulleri denir. 1. B S37 vektör alanını T, N, B cinsiden yazınız. 2. N N < oldu gunu gösteriniz. λ > icin α(t) = (e t cos(λt), e t sin(λt)), λ > egrisinin 1. (, t ] araligi uzerinde yay uzunlugunun 2. α ile α arasindaki aciyi S38 α egrisi R 3 de birim hizli ve egriligi κ olsun. Bu taktirde det[α, α, α ] = κ 2 τ oldugunu gosteriniz. Burada τ (torsion) burulma fonksiyonunu temsil eder. S39 + y2 = 1 (a > b > ) elips egrisinin b 2 1. parametrik formunu yaziniz x 2 a 2 2. egriligini hesaplayiniz 3. egriligin maximum oldugu noktalari S4 ) α : I R 3 birim hızlı e grisi α(s) = (3 cos( s5 ), 3 sin( s5 ), 45 s şeklinde veriliyor. α e grisi için 1. Frenet çatısı:{t, N, B} yi S41 2. E griliḡi 3. Torsion(burulma)i α : R R 3 birim hizli ve kabul edelimki her t icin α egrisinin e grili gi: κ α (t) olsun. β(t) = α (t) seklinde tanimlanan yeni β egrisi icin: 1. β nin reguler oldugunu 2. β nin egriliginin :κ β = 1 + τ 2 κ 2 oldugunu gosteriniz. Burada τ, α egrisinin burulmasini (torsion) temsil eder. yazim hatalari var... /yeni sorular eklenecek... 4 Sunday 15 th June, :49

5 S43 Uzunlu gu 6m ve kapsadı gı alan 3m 2 olan basit kapal bir e gri vardır. Do gru Yalnış S44 γ diferansiyellenebilir bir egri, v(t) = γ (t) egrinin hizini ve κ egriligini gostersin. 1. γ (t) = v (t)t (t) + κ(t) γ (t) 2 N(t) 2. seklinde yazilabilecegini gosteriniz. Burada T ve N birim teget ve normal vectorleri temsil eder. oldugunu gosteriniz. S45 x 2 γ = ( (v ) 2 + κ 2 v 4) 1/2 a + y2 = 1 (a > b > ) 2 b2 elips egrisinin uzunlugu L ve kapsadigi alan A ise oldugunu gosteriniz. S46 L 2π ab z = x 2 + y 2 paraboloid yuzeyinin Gauss egriligini S47 Parametrik formu r(u, v) = (u cos v, u sin v, v) seklinde verilen yuzeyin ikinci temel formunu S48 Parametrik formu r(u, v) = (3u cos v, 2u sin v, u 2 ) seklinde verilen yuzeyin birinci temel formunu S49 paraboloid yuzeyi uzerinde z = x 2 + y 2 α : ( π, π) R 3, t (r cos t, r sin t, t 2 ) seklinde verilen egrinin uzunlugunu S5 a ve b sabit olmak uzere, r(u, v) = ( ) a(u + v), b(u v), 4uv seklinde verilen yuzeyin Gauss egriligini S51 x 2 + y 2 + z 2 = r 2 küre yüzeyinin bir paremetrizasyonu: x = r sin(θ) cos(φ) ϕ(θ, φ) : y = r sin(θ) sin(φ) z = r cos(θ) seklinde veriliyor. Burada < θ < π, < φ < 2π. (i) Bu kure yuzeyi uzerindeki Riemann metrik tensorunu (ii) Metrik tensorunu kullanark kurenin yuzey alanini yazim hatalari var... /yeni sorular eklenecek... 5 Sunday 15 th June, :49

6 Cozum: E = g 11 =< ϕ θ, ϕ θ >= r2 F = g 12 = g 21 < ϕ θ, ϕ φ >= G = g 22 =< ϕ φ, ϕ φ >= r2 sin 2 (θ) Sonuc olarak metrik tensor: [ ] r 2 g = r 2 sin 2 (θ) b) Yuzey alani: S(A) = S52 2π π EG F 2 dθdφ = 2π π x 2 + y 2 = a 2 silindir yuzeyinin bir paremetrizasyonu: x = a cos(α) ϕ(h, α) : y = a sin(α) z = h r 4 sin 2 (θ)dθdφ = 4πr 2 seklinde veriliyor. (i) Bu silindir yuzeyi uzerindeki Riemann metrik tensorunu S53 (ii) Metrik tensorunu kullanark silindirin yanal yuzey alanini r(u, v) = f(u) cos v, f(u) sin v, u) parametrik denklemi ile verilen donel yuzeyin 1. I. esas formunu 2. II. esas formunu 3. Gauss egriligini r u = (f (u) cos v, f (u) sin v, 1), r v = ( f(u) sin v, f(u) cos v, 1), r uu = (f (u) cos v, f (u) sin v, ), r uv = ( f (u) sin v, f (u) cos v, ), r v = ( f(u) cos v, f(u) sin v, ) elde edilir. E = r u r u = 1+f 2, F = r u r v =, G = r v r v = f 2 metrik tensorun katsaylari elde edlir. Birinci esas form: I = ds 2 = Edu 2 + 2fdudv + Gdv 2 II. esas form icin once yuzeyin normalini bulalim: II. esas formun katsayilari: L = r uu n = f ve II. esas form: S54 n = r u r v r u r v = ( cos v, sin v, f ) 1 + f f 2, M = r uv n =, N = r vv n = f 1 + f 2 II = f 1 + f 2 du2 + f dv2 1 + f 2 f κ G = f(1 + f 2 ) 2 x 2 + y 2 + z 2 = r 2 küre yüzeyinin bir paremetrizasyonu: x = r sin(θ) cos(φ) ϕ(θ, φ) : y = r sin(θ) sin(φ) z = r cos(θ) seklinde veriliyor. Burada < θ < π, < φ < 2π. (i) Bu kure yuzeyi uzerindeki I. esas formu yazim hatalari var... /yeni sorular eklenecek... 6 Sunday 15 th June, :49

7 (ii) Bu kure yuzeyi uzerindeki II. esas formu (iii) Kurenin Gauss egriligini (iv) Kurenin yuzey alanini S55 < t < olmak uzere α(t) = (t 2, t 3 at) seklinde verilen duzlem egrisi icin asagidakilerini cevaplayiniz. 1. Hangi a degerleri icin α(t) reguler bir egridir. S56 2. Hangi a degerleri icin α(t) basit bir egridir. 3. α(t) nin egriligini hesaplayiniz. ( ) 1 + x R 2 2 y uzerinde, g = y y 2, (x, y ) Riemann metrigini goz onune alalim. Bu metrige gore (, 1) noktasini (1, ) noktasina baglayan dogrunun uzunlugunu S57 denklemi ile verilen yuzeyin 1. I. esas formunu 2. II. esas formunu 3. Gauss egriligini z = f(x, y) S58 α : I R 3 birim hızlı e grisi ve s (a, b) icin α() = (,, ), N(s) = ( sin s, cos s, ) B(s) = (,, 1) şeklinde veriliyor. α(s) e grisini S59 A olmak uzere, parametrik formu seklinde verilen yuzeyin 1. I. temel formunu 2. II. temel formunu 3. Gauss egriligini r(u, v) = (v cos u, v sin u, Au) 4. Gauss egriliginin hangi nokta da minimum oldugunu S6 α : I R 3 birim hızlı egrisi veriliyor. α vektör alanını T, N, B cinsiden yazınız. α (s) = T (s) = κn dir. Tekrar turev alinirsa elde edilir. S61 α = κ N + κn = κ N + κ( κt τb) yazim hatalari var... /yeni sorular eklenecek... 7 Sunday 15 th June, :49

8 R 2 nin ust yari duzlemini, yani uzayini H = {(x, y) : y > } ds 2 = dx2 + dy 2 y 2 metrigi ile goz onune alalim. Bu ust yari duzlemde 1. [1, ɛ] araliginin uzunlugunu bulunuz S62 2. ɛ iken [1, ɛ] araliginin uzunlugunu bu uzayda verilen metrige gore yorumlayiniz. α : R R 3 α() = (,, 3) α () = (1,, ) α () = (, 2, ) κ ( t) = 2 τ(t) = seklinde verilen birim hizli α egrisini Not: 62. ve 14. sorular ayni tip olmasina ragmen 62. soruyu 14. soru gibi cozmek zor. 62. soruyu cozen 14. soruyu da cozer.:) Biraz ipucu verelim. Frenet formullerini kullaniniz. T yi T cinsinden yaziniz. Yani T icin 2. mertebeden diferensiyel denklem elde etmelisin ve bu Diferensiyel denklemi verilen sınır deger kosullari altinda cozmelisin. S63 γ : [a, b] R 3 birim hizli ve egriligi κ olsun. T ve N birim teget ve normal vektorler olmak uzere, λ R sayisi icin γ λ (s) = γ(s) + λn(s). seklinde tanimlanan γ λ (s) egrisinin egriligini S64 z = x2 a + y2 2 b 2 denklemi ile verilen yuzeyin 1. I. esas formunu 2. II. esas formunu 3. Gauss egriligini S65 S R 2 nin ust yari duzlemini, yani uzayini H = {(x, y) : y > } ds 2 = dx2 + dy 2 y 2 metrigi ile goz onune alalim. Bu ust yari duzlemde α(t) = (r cos t, r sin t) parametrik sekilde verilen egrinin α(π/6) den α(5π/6) ye kadar olan kismin uzunlugunu ***Ders notlari*** Haftanın sözleri: If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I do mathematics to keep happy ( Alfred Renyi) The only way to learn mathematics is to do mathematics. (Paul Halmos) yazim hatalari var... /yeni sorular eklenecek... 8 Sunday 15 th June, :49

9 We must know, we will know! David Hilbert yazim hatalari var... /yeni sorular eklenecek... 9 Sunday 15 th June, :49

3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10

3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10 Diferenisyel Geometri 2 Yazokulu 2010 AdıSoyadı: No : 1. ϕ (u, v) = ( u + 2v, v + 2u, u 2 v ) parametrizasyonu ile verilen M kümesinin bir regüler yüzey olduğunu gösteriniz. (15 puan) 3. V, R 3 ün açık

Detaylı

1. Hafta Uygulama Soruları

1. Hafta Uygulama Soruları . Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında

Detaylı

T.C. DÜZLEMSEL EĞRİLER YARDIMIYLA BAZI KARAKTERİZASYONLARI MESUT ALTINOK

T.C. DÜZLEMSEL EĞRİLER YARDIMIYLA BAZI KARAKTERİZASYONLARI MESUT ALTINOK T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DÜZLEMSEL EĞRİLER YARDIMIYLA BAZI ÖZEL UZAY EĞRİLERİNİN KARAKTERİZASYONLARI MESUT ALTINOK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIRŞEHİR AĞUSTOS

Detaylı

III. DERS DİFERENSİYELLENEBİLİR YÜZEYLER

III. DERS DİFERENSİYELLENEBİLİR YÜZEYLER Bölüm 1 III. DERS DİFERENSİYELLENEBİLİR YÜZEYLER 1.1 YÜZEYLER:TANIM VE ÖRNEKLER Bu kesimin amacı R 3 de yüzeyler teorisini incelemek ve bunun içinde manifoldlar teorisinin gerekli kısmını aktarmaktır.

Detaylı

Yazım hatalari olabilir. Yeni sorular eklenecek. 1 Sunday 12 th January, :17

Yazım hatalari olabilir. Yeni sorular eklenecek. 1 Sunday 12 th January, :17 Prof. Dr. İsmail Kömbe Matematik Analiz III/Final çalışma soruları Sonbahar 3 SORU Lütfen çözümlerinizi basamak basamak ve net bir şekilde yaziniz. n ( n + )n3/ serisinin yakinsak olup olmadigini inceleyiniz.

Detaylı

İNVOLÜT B-SCROLL ÜZERİNE YENİ BİR BAKIŞ. Süleyman ŞENYURT * Ordu Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi,Matematik Bölümü, Ordu

İNVOLÜT B-SCROLL ÜZERİNE YENİ BİR BAKIŞ. Süleyman ŞENYURT * Ordu Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi,Matematik Bölümü, Ordu Ordu Üniv. Bil. Tek. Derg.,Cilt:4,Sayı:1,014,59-74/Ordu Univ. J. Sci. Tech.,Vol:4,No:1,014,59-74 İNVOLÜT B-SCROLL ÜZERİNE YENİ BİR BAKIŞ ÖZET Süleyman ŞENYURT * Ordu Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi,Matematik

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri

Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Küresel Koordinatlar Silindirik Koordinatları Dönel Yüzeylerin Elde Edilmesi

Detaylı

S4 u(x, y) = ln ( sin y. S5 u(x, y) = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t)) fonksiyonunun

S4 u(x, y) = ln ( sin y. S5 u(x, y) = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t)) fonksiyonunun Kısmi Türevli Denklemler Problem Seti-I S1 u = u(x, y ve a, b, c R olmak uzere, ξ = ax + by ve η = bx ay degisken degistirmesi yaparak n cozunuz. au x + bu y + cy = 0 S2 Aşa gidaki denklemleri Adi Diferensiyel

Detaylı

( t) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( t) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) İİ DDDDD IIII NN NN A MM MM KKK KK DD DD II NNN NN AAA MMM MMM İİİİ KK KK DD DD II NNNN NN AA AA MMMMMMM İİ KK KK DD DD II NNNNNNN AA AA MMMMMMM İİ KK KK DD DD II NN NNNN AA AA MM M MM İİ KKKK DD DD II

Detaylı

SMARANDACHE EĞRİLERİNE AİT BİR UYGULAMA. Süleyman ŞENYURT 1* Selin SİVAS 1

SMARANDACHE EĞRİLERİNE AİT BİR UYGULAMA. Süleyman ŞENYURT 1* Selin SİVAS 1 Ordu Üniv. il. Tek. Derg. Cilt: Sayı: 046-60/Ordu Univ. J. Sci. Tech. Vol: No:046-60 SMARANDACHE EĞRİLERİNE AİT İR UYGULAMA Süleyman ŞENYURT * Selin SİVAS Ordu Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik

Detaylı

( ) ( ) ÖABT Analitik Geometri KONU TESTİ Noktanın Analitik İncelemesi. Cevap D. Cevap C. noktası y ekseni üzerinde ise, a + 4 = 0 A 0, 5 = 1+

( ) ( ) ÖABT Analitik Geometri KONU TESTİ Noktanın Analitik İncelemesi. Cevap D. Cevap C. noktası y ekseni üzerinde ise, a + 4 = 0 A 0, 5 = 1+ ÖABT Analitik Geometri KONU TESTİ Noktanın Analitik İncelemesi. a+ = b 4. a = b 0+ a b a b = b a+ b = 0. A ( a + 4, a) noktası y ekseni üzerinde ise, ( + ) a + 4 = 0 A 0, 5 a = 4 B b, b 0 noktası x ekseni

Detaylı

f fonksiyonuna bir üç değişkenli fonksiyon adı verilir. Daha çok değişkenli fonksiyonlar benzer şekilde tanımlanır.

f fonksiyonuna bir üç değişkenli fonksiyon adı verilir. Daha çok değişkenli fonksiyonlar benzer şekilde tanımlanır. Çok Değişkenli Fonksiyonlar Tanım 1. D düzlemin bir bölgesi, f de D nin her bir (x, y) noktasına bir f(x, y) reel sayısı karşılık getiren bir fonksiyon ise f fonksiyonuna bir iki değişkenli fonksiyon adı

Detaylı

Konik Kesitler ve Formülleri

Konik Kesitler ve Formülleri Konik Kesitler ve Formülleri Konik Kesitler ve Formülleri B 1 (0, b) P (x, y) A 2 ( a, 0) F 2 ( c, 0) F 1 (c, 0) A 1 (a, 0) B 2 (0, b) Şekil 1: Elips x2 a 2 + y2 b 2 = 1. Konik Kesitler ve Formülleri B

Detaylı

FİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

FİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ FİNAL SORULARI 25-26 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... SINAV TARİHİ VE SAATİ : A A A A A A A Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav süresi 9 dakikadır.

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz.

2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz. ANALİZ 1.) a) sgn. sgn( 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini b) f ( ) 3 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var

Detaylı

Mat Matematik II / Calculus II

Mat Matematik II / Calculus II Mat - Matematik II / Calculus II Çalışma Soruları Çok Değişkenli Fonksiyonlar: Seviye eğri ve yüzeyler, Limit ve süreklilik wolframalpha.com uygulamasında bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak için: x

Detaylı

SORULAR. 1. Aşa¼g daki limitleri bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. lim. 1 n sin. lim. q 1 x 1+x

SORULAR. 1. Aşa¼g daki limitleri bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. lim. 1 n sin. lim. q 1 x 1+x SOULA. Aşa¼g daki limitleri bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. lim! lim sin(t )dt sin 4 np n! i= n sin i n. q + arcsin belirli integralini hesalay n z. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. 3. 4

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

Jeodezi

Jeodezi 1 Jeodezi 5 2 Jeodezik Eğri Elipsoid Üstünde Düşey Kesitler Elipsoid yüzünde P 1 noktasındaki normalle P 2 noktasından geçen düşey düzlem, P 2 deki yüzey normalini içermez ve aynı şekilde P 2 de yüzey

Detaylı

ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın,

Detaylı

Küre Küre Üzerinde Hesap. Ders Sorumlusu Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA 2018

Küre Küre Üzerinde Hesap. Ders Sorumlusu Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA 2018 Küre Küre Üzerinde Hesap Ders Sorumlusu Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA 2018 Küre ve Küre ile İlgili Tanımlar Küre: «Merkez» adı verilen bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların bir araya getirilmesiyle, ya

Detaylı

ÖKLİD UZAYINDA MANNHEIM EĞRİLERİ ÜZERİNE

ÖKLİD UZAYINDA MANNHEIM EĞRİLERİ ÜZERİNE T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÖKLİD UZAYINDA MANNHEIM EĞRİLERİ ÜZERİNE Funda KAYMAZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIRŞEHİR HAZİRAN 206 T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN

Detaylı

EMAT ÇALIŞMA SORULARI

EMAT ÇALIŞMA SORULARI EMAT ÇALIŞMA SORULARI 1) A = 4. ı x 2. ı y ı z ve B = ı x + 4. ı y 4. ı z vektörlerinin dik olduğunu gösteriniz. İki vektörün skaler çarpımlarının sıfır olması gerekir. A. B = 4.1 + ( 2). 4 + ( 1). ( 4)

Detaylı

TASLAK. Jeodezi ve Fotogrametri Mühendisliğinde Diferansiyel Geometri. Lisans Ders Notları. Selçuk Üniversitesi. Konya

TASLAK. Jeodezi ve Fotogrametri Mühendisliğinde Diferansiyel Geometri. Lisans Ders Notları. Selçuk Üniversitesi. Konya Jeodezi ve Fotogrametri Mühendisliğinde Diferansiyel Geometri Lisans Ders Notları Aydın ÜSTÜN Selçuk Üniversitesi Harita Müh. Bölümü Konya 2013 İçindekiler 1 GİRİŞ 1 2 VEKTÖRLER ve VEKTÖR FONKSİYONLAR

Detaylı

ANAL IZ III Aras nav Sorular

ANAL IZ III Aras nav Sorular Ad ve Soyad : Numaras : ANAL IZ III Aras nav Sorular 26.11.27 1. x 1 = p 3 ve x n+1 = p 3 + x n ; n = 1; 2; ::: biçiminde tan mlanan (x n ) dizisinin yak nsak oldu¼gunu gösteriniz ve limitini bulunuz.(2)

Detaylı

DERSİN ADI: MATEMATİK II MAT II (12) KUTUPSAL KOORDİNATLAR VE UYGULAMALARI 1. KUTUPSAL KOORDİNATLAR 2. EĞRİ ÇİZİMLERİ

DERSİN ADI: MATEMATİK II MAT II (12) KUTUPSAL KOORDİNATLAR VE UYGULAMALARI 1. KUTUPSAL KOORDİNATLAR 2. EĞRİ ÇİZİMLERİ DERSİN ADI: MATEMATİK II MAT II (1) ÜNİTE: KUTUPSAL KOORDİNATLAR VE UYGULAMALARI 1. KUTUPSAL KOORDİNATLAR. EĞRİ ÇİZİMLERİ GEREKLİ ÖN BİLGİLER 1. Trigonometrik fonksiyonlar. İntegral formülleri KONU ANLATIMI

Detaylı

TASLAK. Harita Mühendisliğinde Diferansiyel Geometri. Lisans Ders Notları. Kocaeli Üniversitesi. Selçuk Üniversitesi. Konya

TASLAK. Harita Mühendisliğinde Diferansiyel Geometri. Lisans Ders Notları. Kocaeli Üniversitesi. Selçuk Üniversitesi. Konya Harita Mühendisliğinde Aydın ÜSTÜN Kocaeli Üniversitesi Harita Müh. Bölümü İzmit Lisans Ders Notları İ. 2015 Öztuğ BİLDİRİCİ Selçuk Üniversitesi Harita Müh. Bölümü Konya İçindekiler 1 GİRİŞ 1 2 VEKTÖRLER

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 13

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 13 4. İNTEGRALLER 4.1. Kompleks İntegrasyon Tanım 1. f : [a, b] R fonksiyonu f(t) u(t) + iv(t) biçiminde olsun. Eğer u ve v, [a, b] aralığı üzerinde integrallenebilirse, olarak tanımlanır. b f(t)dt b u(t)dt

Detaylı

LİNEER VEKTÖR ALANLARI VE GEOMETRİK UYGULAMALARI. Türkan YAYLACI ANKARA Her hakkı saklıdır

LİNEER VEKTÖR ALANLARI VE GEOMETRİK UYGULAMALARI. Türkan YAYLACI ANKARA Her hakkı saklıdır ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ LİNEER VEKTÖR ALANLARI VE GEOMETRİK UYGULAMALARI Türkan YAYLACI MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2006 Her hakkı saklıdır ÖZET Yüksek Lisans

Detaylı

Hacimler ve Çift Katlı İntegraller

Hacimler ve Çift Katlı İntegraller Hacimler ve Çift Katlı İntegraller Kapalı bir Hacimler ve Çift Katlı İntegraller R [a, b] [c, d] {(x, y) R 2 a x b, c y d} dikdörtgeninde tanımlı iki değişkenli bir f fonksiyonunu göz önüne alalım ve önce

Detaylı

BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI.

BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E -BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI Hasibe ŞENOL 16104210046 Danışman: Yrd. Doç. Dr. Murat BABAARSLAN YOZGAT 201 ÖZET

Detaylı

Genel Olarak Bir Yüzeyin Diğer Bir Yüzeye Projeksiyonu

Genel Olarak Bir Yüzeyin Diğer Bir Yüzeye Projeksiyonu JEODEZİ9 1 Genel Olarak Bir Yüzeyin Diğer Bir Yüzeye Projeksiyonu u ve v Gauss parametrelerine bağlı olarak r r ( u, v) yer vektörü ile verilmiş bir Ω yüzeyinin, u*, v* Gauss parametreleri ile verilmiş

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu

Detaylı

MATEMATÝK GEOMETRÝ DENEMELERÝ

MATEMATÝK GEOMETRÝ DENEMELERÝ NM 1 MTMTÝK OMTRÝ NMLRÝ 1. o o = 75 ve y = 5 olduğuna göre,. 3 + 8 = 0 sin( y)cos( + y) + sin( + y)cos( y) sin( y)sin( + y) cos( + y)cos( y) denkleminin kaç tane farklı reel kökü vardır? ifadesinin eşiti

Detaylı

MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM

MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM TOBB-ETÜ, MATEMATİK BÖLÜMÜ, GÜZ DÖNEMİ 2014-2015 MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK 2014 Adı Soyadı: No: İMZA: 1. 10+10 p.) 2. 15 p.) 3. 7+8 p.) 4. 15+10 p.) 5. 15+10 p.) TOPLAM 1. a) NOT: Tam

Detaylı

Final sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 19, 20, 21, 25, 27, 28, 29, 30, 33-b.

Final sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 19, 20, 21, 25, 27, 28, 29, 30, 33-b. Final sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir:,,,, 5, 6, 7, 9,,, 5, 7, 8, 9,, -b. MAT -MATEMATİK (- GÜZ DÖNEMİ) FİNAL ÇALIŞMA SORULARI. Tabanı a büyük eksenli, b küçük eksenli elips ile sınırlanan

Detaylı

Hacimler ve Çift Katlı İntegraller. Kapalı bir. alalım ve önce f(x, y) 0 varsayalım. f nin grafiği, denklemi z = f(x, y) olan bir yüzeydir.

Hacimler ve Çift Katlı İntegraller. Kapalı bir. alalım ve önce f(x, y) 0 varsayalım. f nin grafiği, denklemi z = f(x, y) olan bir yüzeydir. Hacimler ve C ift Katlı Integraller Hacimler ve Çift Katlı İntegraller Kapalı bir R = [a, b] [c, d] = {(x, y) R 2 a x b, c y d} dikdörtgeninde tanımlı iki değişkenli bir f fonksiyonunu göz önüne alalım

Detaylı

MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI

MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI SORU 1. Köşeleri (1,4) (3,0) (7,2) noktaları olan ABC üçgeninin bir ikizkenar dik üçgen (İpucu:, ve vektörlerinden yararlanın) SORU 2. Bir ABC üçgeninin

Detaylı

İÇİNDEKİLER. 1. DÖNEL YÜZEYLER a Üreteç Eğrisi Parametrik Değilse b Üreteç Eğrisi Parametrik Olarak Verilmişse... 4

İÇİNDEKİLER. 1. DÖNEL YÜZEYLER a Üreteç Eğrisi Parametrik Değilse b Üreteç Eğrisi Parametrik Olarak Verilmişse... 4 İÇİNDEKİLER 1. DÖNEL YÜZEYLER... 1 1.a Üreeç Eğrisi Paramerik Değilse... 1 1.b Üreeç Eğrisi Paramerik Olarak Verilmişse.... DÖNEL YÜZEYLERLE İLGİLİ ÖRNEKLER... 5.a α f,,0 Eğrisinin Dönel Yüzeyleri... 5.b

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

MAT MATEMATİK I DERSİ

MAT MATEMATİK I DERSİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Noktanın Analitik İncelenmesi...3 Doğrunun Analitiği...11 Analitik Düzlemde Simetri...25 Analitik Sistemde Eşitsizlikler...34 Çemberin Analitik İncelenmesi...40 Elips...58 Hiperbol...70

Detaylı

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları 2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4

Detaylı

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500 984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)

Detaylı

Alıştırmalara yanıtlar

Alıştırmalara yanıtlar Alıştırmalara yanıtlar Alıştırma 7. Derste tanımlanan yama kürenin yalnızca {z S 2 : z > 0} kısmını parametrize etmekte. Yapmamız gereken şey bütün küreyi böyle yamalarla örtmek. Önce ϕ : D 2 S 2, (x 1,

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 7- SAYISAL TÜREV Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ İntegral işlemi gibi türev işlemi de mühendislikte çok fazla kullanılan bir işlemdir. Basit olarak bir fonksiyonun bir noktadaki

Detaylı

Harita Projeksiyonları

Harita Projeksiyonları Özellikler Harita Projeksiyonları Bölüm 3: Silindirik Projeksiyonlar İzdüşüm yüzeyi, küreyi saran ya da kesen bir silindir seçilir. Silindirik projeksiyonlar genellikle normal konumda ekvator bölgesinde

Detaylı

MAT MATEMATİK I DERSİ

MAT MATEMATİK I DERSİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital

Detaylı

T.C. NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI ÜÇ BOYUTLU ÖKLİDYEN VE MİNKOWSKİ UZAYINDA YÜZEYLER

T.C. NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI ÜÇ BOYUTLU ÖKLİDYEN VE MİNKOWSKİ UZAYINDA YÜZEYLER YÜKSEK LİSANS TEZİ V.ÇİÇEK,05 T.C. NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI ÜÇ BOYUTLU ÖKLİDYEN VE MİNKOWSKİ UZAYINDA YÜZEYLER NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ VEYSİ

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

Diferansiyel denklemler uygulama soruları

Diferansiyel denklemler uygulama soruları . Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,

Detaylı

ITAP Fizik Olimpiyat Okulu 2011 Seçme Sınavı

ITAP Fizik Olimpiyat Okulu 2011 Seçme Sınavı ITAP Fizik Olimpiyat Okulu 11 Seçme Sınavı 1. Dikey yönde atılan bir taş hareketin son saniyesinde tüm yolun yarısını geçmektedir. Buna göre taşın uçuş süresinin en fazla olması için taşın zeminden ne

Detaylı

Harita Projeksiyonları

Harita Projeksiyonları Harita Projeksiyonları Bölüm Prof.Dr. İ. Öztuğ BİLDİRİCİ Amaç ve Kapsam Harita projeksiyonlarının amacı, yeryüzü için tanımlanmış bir referans yüzeyi üzerinde belli bir koordinat sistemine göre tanımlı

Detaylı

Ders 05. Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler. 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay

Ders 05. Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler. 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 48 Bölüm 5 Ders 05 Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1. Soru 1 Aşağıda verilen soru işaretlerinin yerine gelmesi gereken değerleri

Detaylı

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3 Matematik 1 - Alıştırma 1 A) Denklemler 1. Dereceden Denklemler 1) Verilen denklemlerdeki bilinmeyeni bulunuz (x =?). a) 4x 6 = x + 4 b) 8x + 5 = 15 x c) 7 4x = 1 6x d) 7x + = e) 5x 1 = 10x + 6 f) 0x =

Detaylı

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav

Detaylı

LYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal

Detaylı

ANALİTİK GEOMETRİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİTİK GEOMETRİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik,

Detaylı

Chapter 1 İçindekiler

Chapter 1 İçindekiler Chapter 1 İçindekiler Kendinizi Test Edin iii 10 Birinci Mertebeden Diferansiel Denklemler 565 10.1 Arılabilir Denklemler 566 10. Lineer Denklemler 571 10.3 Matematiksel Modeller 576 10.4 Çözümü Olmaan

Detaylı

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse

Detaylı

sonlu altörtüsü varsa bu topolojik uzaya tıkız diyoruz.

sonlu altörtüsü varsa bu topolojik uzaya tıkız diyoruz. Ders 1: Önbilgiler Bu derste türev fonksiyonunun geometrik anlamını tartışıp, yalnız R n nin bir açık altkümesinde değil, daha genel uzaylarda tanımlı bir fonksiyonun türevi ve özel noktalarının nasıl

Detaylı

Projeksiyon Kavramı. Meridyenler ve paraleller eşitliklere göre düzleme aktarılır. 1) m : harita üzerinde paralelleri çizen yarıçap

Projeksiyon Kavramı. Meridyenler ve paraleller eşitliklere göre düzleme aktarılır. 1) m : harita üzerinde paralelleri çizen yarıçap Projeksiyon Kavramı Meridyenler ve paraleller eşitliklere göre düzleme aktarılır. 1) m : harita üzerinde paralelleri çizen yarıçap ) α: harita üzerinde meridyenler arasındaki açıyı ifade eder. m = α =

Detaylı

28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31

28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31 SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 11 32159 Rasyonel sayı kavramını açıklar. 2 12 32151 İki ya da daha çok doğal sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulur.

Detaylı

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: a) 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: a) 4x > 9 b) x 4

Detaylı

Rastgele Süreçler. Rastgele süreç konsepti (Ensemble) Örnek Fonksiyonlar. deney. Zaman (sürekli veya kesikli) Ensemble.

Rastgele Süreçler. Rastgele süreç konsepti (Ensemble) Örnek Fonksiyonlar. deney. Zaman (sürekli veya kesikli) Ensemble. 1 Rastgele Süreçler Olasılık taması Rastgele Deney Çıktı Örnek Uzay, S (s) Zamanın Fonksiy onu (t, s) Olayları Tanımla Rastgele süreç konsepti (Ensemble) deney (t,s 1 ) 1 t Örnek Fonksiyonlar (t,s ) t

Detaylı

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2 1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.

Detaylı

Kesirli Türevde Son Gelişmeler

Kesirli Türevde Son Gelişmeler Kesirli Türevde Son Gelişmeler Kübra DEĞERLİ Yrd.Doç.Dr. Işım Genç DEMİRİZ Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü 6-9 Eylül, 217 Kesirli Türevin Ortaya Çıkışı Gama ve Beta Fonksiyonları Bazı

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ MEUSNIER TEOREMİNİN 3 BOYUTLU ÇİZGİLER UZAYINDAKİ KARŞILIĞI.

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ MEUSNIER TEOREMİNİN 3 BOYUTLU ÇİZGİLER UZAYINDAKİ KARŞILIĞI. ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ MEUSNIER TEOREMİNİN 3 BOYUTLU ÇİZGİLER UZAYINDAKİ KARŞILIĞI Fatma KARAKUŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2008 Her Hakkı Saklıdır ÖZET Yüksek

Detaylı

H. Turgay Kaptanoğlu. Ç. Dışmerkezlilik ve Doğrultmanlar Dışmerkezlilik kavramı, inceledimiz dört

H. Turgay Kaptanoğlu. Ç. Dışmerkezlilik ve Doğrultmanlar Dışmerkezlilik kavramı, inceledimiz dört KONİNİN KESİTLERİ (II) H. Turgay Kaptanoğlu Ç. Dışmerkezlilik ve Doğrultmanlar Dışmerkezlilik kavramı, inceledimiz dört eğriyi aynı bakış açısı etrafında toplamamızı sağlayacak. Dışmerkezlilik hakkında

Detaylı

Cebir Notları. Trigonometri TEST I. 37π 'ün esas ölçüsü kaçtır? Gökhan DEMĐR,

Cebir Notları. Trigonometri TEST I. 37π 'ün esas ölçüsü kaçtır? Gökhan DEMĐR, , 00 M ebir Notları Gökhan EMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Trigonometri. TEST I π 'ün esas ölçüsü kaçtır? ) p ) p ) p ) π p. tanθ = ) ) olduğuna göre, sinθ değeri kaçtır? ) ). 0 'nin esas ölçüsü kaçtır?. θ

Detaylı

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır?

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır? . f: R { 4} R, > ise ( ) 4 f =, ise 6 8. ( ) f = 6 + m + 4 eğrisinin dönüm noktasının ordinatı olduğuna göre, m kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 ) E) fonksiyonu aşağıdaki değerlerinin hangisinde süreksizdir? ) ) )

Detaylı

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır? . SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)

Detaylı

1998 ÖYS. orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı kaçtır? 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7

1998 ÖYS. orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı kaçtır? 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7 998 ÖYS. Üç basamaklı bir doğal sayısının 7 katı, iki basamaklı bir y doğal sayısına eşittir. Buna göre, y doğal sayısı en az kaç olabilir? orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı

Detaylı

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 996 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır? A) B) 8 C) 6 D) E) Çözüm Toplam öğrenci

Detaylı

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)

Detaylı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada

Detaylı

Hacimler ve Çift Katlı İntegraller

Hacimler ve Çift Katlı İntegraller Hacimler ve Çift Katlı İntegraller Kapalı bir Hacimler ve Çift Katlı İntegraller R [a,b] [c,d] {(x,y) R 2 a x b, c y d} dikdörtgeninde tanımlı iki değişkenli bir f fonksiyonunu göz önüne alalım ve önce

Detaylı

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

Detaylı

1995 ÖYS. a+ =3a a= Cevap:D. Çözüm: Çözüm: Çözüm:

1995 ÖYS. a+ =3a a= Cevap:D. Çözüm: Çözüm: Çözüm: 99 ÖYS. a b c d ve a, b, c, d tek sayılar olmak üzere, abcd dört basamaklı en büyük sayıdır? Bu sayı aşağıdakilerden hangisine kalansız bölünebilir? A) B) 6 C) 9 D) E) a, b, c, d rakamları birbirinden

Detaylı

Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation)

Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation) Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation) Bubölümdebirnoktayaetkiyen vebelli bir koordinat ekseni/düzlemi ile ilişkili gerilme bileşenlerini, başka bir koordinat sistemi/başka bir düzlem ile ilişkili

Detaylı

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan; . Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk 8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken, havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa,boş

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

KUTUPSAL KOORDİNATLAR

KUTUPSAL KOORDİNATLAR KUTUPSAL KOORDİNATLAR Geometride, bir noktanın konumunu belirtmek için değişik yöntemler uygulanır. Örnek olarak çok kullanılan Kartezyen (Dik ) Koordinat sistemini anımsatarak çalışmamıza başlayalım.

Detaylı

2. (1 + y ) ln(x + y) = yy dif. denk. çözünüz. 3. xy dy y 2 dx = (x + y) 2 e ( y/x) dx dif. denk. çözünüz.

2. (1 + y ) ln(x + y) = yy dif. denk. çözünüz. 3. xy dy y 2 dx = (x + y) 2 e ( y/x) dx dif. denk. çözünüz. D DİFERANSİYEL DENKLEMLER ÇALIŞMA SORULARI Fakülte No:................................................... Adı ve Soyadı:................................................. Bölüm:...................................................................

Detaylı

Ad ve Soyad : Numaras : Analiz III Aras nav Sorular

Ad ve Soyad : Numaras : Analiz III Aras nav Sorular Analiz III Aras nav Sorular 30. 11. 2006 1. (a) A = fx 2 R : x 2 4x 5 < 0g ise sup A =? (b) A R boş olmayan ve üstten s n rl bir küme olsun. > 0 ise sup(a) = sup A oldu¼gunu gösteriniz. 2. A = f(x; y)

Detaylı

olduğundan A ve B sabitleri sınır koşullarından

olduğundan A ve B sabitleri sınır koşullarından TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Eş Merkezli Küresel Elektrot Sistemi Merkezleri aynı, aralarında dielektrik madde bulunan iki küreden oluşur. Elektrik Alanı ve Potansiyel Yarıçapları ve ve elektrotlarına uygulanan

Detaylı

EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 12. SINIF İLERİ DÜZEL MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ

EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 12. SINIF İLERİ DÜZEL MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ KASIM EKİM 2017-2018 EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 12. SINIF İLERİ DÜZEL MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ 1 4 TÜREV 12.1.1.1. Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti, soldan limiti

Detaylı

Aralıklar, Eşitsizlikler, Mutlak Değer

Aralıklar, Eşitsizlikler, Mutlak Değer ARALIKLAR Gerçel sayıların, aralık olarak adlandırılan bazı kümeleri kalkülüste sık sık kullanılır ve geometrik olarak doğru parçalarına karşılık gelir. Örneğin, a < b ise, a dan b ye açık aralık, a ile

Detaylı

TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Eş Merkezli Küresel Elektrot Sistemi

TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Eş Merkezli Küresel Elektrot Sistemi TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Eş Merkezli Küresel Elektrot Sistemi Merkezleri aynı, aralarında dielektrik madde bulunan iki küreden oluşur. Elektrik Alanı ve Potansiyel Yarıçapları ve ve elektrotlarına uygulanan

Detaylı

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 2. yapılırsa bu durumda θ ya z nin esas argümenti denir ve Argz ile gösterilir. argz = Argz + 2nπ, n Z

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 2. yapılırsa bu durumda θ ya z nin esas argümenti denir ve Argz ile gösterilir. argz = Argz + 2nπ, n Z MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 1.. Kutupsal Formda Gösterim z x + iy vektörünün pozitif reel eksenle yaptığı açıya θ diyelim. cos θ x, sin θ y ve buradan tan θ y θ arctan y olup θ ya z z

Detaylı

Bu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz.

Bu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz. Kısmi Türevler Genel olarak, f, x ve y değişkenlerinin iki değişkenli bir fonksiyonu olsun ve b bir sabit olmak üzere, y = b olacak şekilde y yi sabit tutalım ve yalnızca x in değişmesine izin verelim.

Detaylı

Fiz Ders 10 Katı Cismin Sabit Bir Eksen Etrafında Dönmesi

Fiz Ders 10 Katı Cismin Sabit Bir Eksen Etrafında Dönmesi Fiz 1011 - Ders 10 Katı Cismin Sabit Bir Eksen Etrafında Dönmesi Açısal Yerdeğiştirme, Hız ve İvme Dönme Kinematiği: Sabit Açısal İvmeli Dönme Hareketi Açısal ve Doğrusal Nicelikler Dönme Enerjisi Eylemsizlik

Detaylı

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x.

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x. - TÜREV KAVRAMI - TÜREV KAVRAMI 7 iadesinin türevini alınız. Çözüm lim lim 7 7 lim 7 7 lim lim onksionunun türevini alınız. Tanım onksionunda değişkeni artımını alırken de kadar artsın. oranının giderken

Detaylı

Darboux Ani Dönme Vektörleri ile. SPACELIKE ve TIMELIKE YÜZEYLER GEOMETRİSİ. Celal Bayar Üniversitesi Yayınları Yayın No: 0006

Darboux Ani Dönme Vektörleri ile. SPACELIKE ve TIMELIKE YÜZEYLER GEOMETRİSİ. Celal Bayar Üniversitesi Yayınları Yayın No: 0006 Darboux Ani Dönme Vektörleri ile SPACELIKE ve TIMELIKE YÜZEYLER GEOMETRİSİ Prof. Dr. H. Hüseyin UĞURLU Prof. Dr. Ali ÇALIŞKAN Celal Bayar Üniversitesi Yayınları Yayın No: 0006 0 Celal Bayar Üniversitesi

Detaylı