MATLAB VE UYGULAMALARI. Command Window. Yrd.Doç.Dr. Hikmet ÇAĞLAR İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü. Kısa MATLAB Tarihi

Transkript

1 MATLAB VE UYGULAMALARI Yrd.Doç.Dr. Hikmet ÇAĞLAR İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü. Kısa MATLAB Tarihi 1984 yılında Cleve Moler ve Jack Little tarafında kurulan MathWorks, Inc. tarfından geliştirilen bir programdır.matlab(matrix LABoratory) matrix tabanlı saysal hesaplamalar yapabilmek için tasarlanmıştır.c++ benzeri programlama, data girişi, grafik olanaklar ve birçok toolboxa sahiptir. MATLAB Endüstri Uygulamaları Signal generation RADAR/SONAR simulasyonu Modelleme ve digital signal processing modellerin analizi Complex matematik hesaplamaları Control Sistemlerinin Modellenmesi Yardım alınabilecek MathWorks website adresi: Command Window MATLAB icon tıklanarak program çalıştırılır. Command Window ekranı görülür. Bu ekran kullanılarak basit komutlar ve program yazılabilir. 1

2 Örneğin, S=1+2 S= 3 f=sin(pi/4) f= Burada kullanılan sin,pi tanımlı fonksiyon ve sabittir. Değişken isimleri harfle başlar, sayılar ve underscores içerebilir.bir değişken içinde en fazla 31 karekter kullanılabilir. Format long komutuyla hesaplamada kullanılan anlamlı digit sayısı değiştirilebilir. hesaplanan f değeri, Örneğin daha once f = Tekrar default formata donmek için format short f = Exit komutu ile MATLAB tan çıkılır. Bu arada Workspace kaybolur. MATLAB 3 tip sayı sistemine sahiptir. integers real complex İşlemsel Semboller Toplama + Çıkarma Çarpma * bölme / veya \ üs alma ^ MATLAB ta iki bölme işlemi farklıdır, r = 47/3 r = /47 işlemi aşağıdaki gibi yapılabilir. 2

3 d = 47\3 (3/47) d = workspace alanındaki değişkenler save komutu ile saklanır.load komutu ile bu alan yüklenebilir.clear komutu workspace alanını siler, save d clear load d d = Whos komutu ile workspace alanındaki tüm değişkenler görülebilir. whos Name Size Bytes Class s 1x1 8 double array Grand total is 1 elements using 8 bytes Name Size Bytes Class ans 1x1 16 double array (complex) fun 1x1 8 double array ld 1x1 8 double array rd 1x1 8 double array s 1x1 8 double array xi 1x1 8 double array xr 1x1 8 double array Grand total is 7 elements using 64 bytes who komutu ile sadece değişken isimleri listelenir. Your variables are: ans ld s xr fun rd xi Herhangibir komut hakkında yardım almak için help kullanılır, Help plot Eğer yapılan bir işlemin sonucunu command window ekranında gormek istemiyorsanız deyimin sonuna ; işareti koyuınuz. S=12+3; clc : command window ekranını siler. quit : MATLAB tan çıkışı sağlar. MATLAB Workspace Bu ekran kullanılarak değişkenler erişilerek düzeltmeler yapılabilir.herhangibir değişken silinmek istenirse clear komutu kullanılır.clear tüm değişkenleri workspace den siler. Clear a, sadece a değişkenini siler. 3

4 MATLAB da kullanılan Trigonometric fonksiyonlar, sin sinh asin asinh cos cosh acos acosh tan tanh atan atan2 atanh sec sech asec asech csc csch acsc acsch cot coth acot acoth - Sine. - Hyperbolic sine. - Inverse sine. - Inverse hyperbolic sine. - Cosine. - Hyperbolic cosine. - Inverse cosine. - Inverse hyperbolic cosine. - Tangent. - Hyperbolic tangent. - Inverse tangent. - Four quadrant inverse tangent. - Inverse hyperbolic tangent. - Secant. - Hyperbolic secant. - Inverse secant. - Inverse hyperbolic secant. - Cosecant. - Hyperbolic cosecant. - Inverse cosecant. - Inverse hyperbolic cosecant. - Cotangent. - Hyperbolic cotangent. - Inverse cotangent. - Inverse hyperbolic cotangent. Sayısal fonksiyonlar fix reel sayının tam kısmını verir floor negatif sayıya yuvarlama. ceil pozitif sayıya yuvarlama. round En yakın integer sayıya yuvarlama. rem Bölmeden sonar kalan. sign Signum function. (1/0) Inf, sonsuz (0/0 ) nan sqrt kare kök conv convolution fft fast Fourier transform ifft inverse fast Fourier transform length length of a vector size bir matrisin booyutlarını verir gcd en büyük ortak bölen lcm en küçük ortak bölen exp üstel fonksiyon log doğal logoritma log10 10 tabanlı logoritma mod moduler aritmetik Değişkenler Çalışma sırasında tüm değişkenler belirli bir formatta kullanılabilir.istenirse tek olarakta format tanımı yapılabilir. 4

5 v = değerini tanımlarsak, format short long short e long e e e+001 rat 1000/81 Sanal sayılar a+bi şeklinde tanımlanır, 3+2i ans = i sqrt(-1) ans = i Sanal saylarla ilgili fonksiyonlar. abs angle cos sin exp real imag conj : Komplex sayının magnitude (real sayılar için mutlak değer) : Komplex sayının pirimitiv argumanı : Komplex sayının cos fonksiyonu : Komplex sayının sin fonksiyonu : Komplex sayının üstel fonksiyonu : Komplex sayının real kısmı : Komplex sayının sanal kısmı : Komplex sayının eşleniği String String bilgiler aşağıdaki gibi tanımlanır. str = ' MATLAB ' str = MATLAB 5

6 Herhangibir stringin ASCII değerleri double fonksiyonu ile bulunur, str1 = double(str) str1 = ASCII kodlardan karekter formuna dönmek için char fonksiyonu kullanılabilir. str2 = char(str1) str2 = MATLAB İki stringi strcmp fonksiyonu ile karşılaştırılabiliriz. iseq = strcmp(str, str2) iseq = 1 İki string stscat fonksiyonu ile birleştirilebilir, strcat(str,str2) ans = MATLABMATLAB Elemanları string olan vektör tanımlayalım,. a = {'ad = '; 'soyad = '; 'telefon = '} a = 'ad = ' 'soyad = ' 'telefon = ' MATLAB ta karekter kontrolu için 2 fonksiyon mevcuttur, isletter ve isspace. isletter(str) ans = Eğer karekter harf ise 1 aksi taktirde 0 döner. isspace(str) ans = 6

7 Eğer karekter boşluk ise 1 aksi taktirde 0 döner. Random sayı üreten randn fonksiyonu ile 3x3 matris üretelim, A = randn(3) A = int2str fonksiyonu sayıları tamsayı olarak stringe çevirir B = int2str(a) B = num2str fonksiyonu ise reel sayı olarak çevirir, C = num2str(a) C = D = num2str(a, 18) D = Input Output Sisteme bilgi girişi için input fonksiyonu kullanılr, A=input( bir sayı giriniz ) Girilen değer değişkene atanır. Herhangibir değeri görüntülemek için disp kullanılır, disp( 'MATLAB' ); disp(a) disp( [ 'Kültür ' 'Universitesi' ] ); ad = 'ali'; disp( [ 'merhaba ' ad ] ); d = [ num2str(16) '-subat-' num2str(2004) ]; 7

8 disp(d); 16-subat-2004 x = 44.2; disp( [ 'sonuc = ' num2str(x) ] ); cevap=44.2 formatlı çıkış için, fprintf fonksiyonu kullanılır, fprintf( format, data ) format için aşağıdaki karekterler kullanılır, %d integer %f floating point format %e exponential format \n new line character \t tab character fprintf( 'yarıçapı %d olan dairenin alanı %f', 3, pi*3^2 ); yarıçapı 3 olan dairenin alan x = pi; fprintf( 'x = %10.2f', x ); x = 3.14 Save, Load Bir dosya veya değişken save komutu ile saklanır, load ile çalışma alanına getirilir. save dosya-adı değişken1 değişken2 load dosya-adı değişken1 değişken2 Vektör ve matris Satır vektör a = [1 2 3] a = Sütün vector b = [1;2;3] b = ' operatörü transpose için kullanılır. complex formda, a + i*b' 8

9 (a+i*b')' ans = i i i (a+i*b').' ans = i i i length fonksiyonu vektördeki elaman sayısını verir length(a) ans = 3. operatörü MATLAB da çok önemlidir. Örnek: a*a işlemi boyut hatası verir, A vektörünün elemanlarının karşılıklı çarpımını elde etmek için, a.*a ans = ayni işlem aşağıdaki gibi yapılabilir a.^2 ans = Benzer biçimde bölme işlemi a.\b' ans = a vectörü sütün olarak değiştirilebilir, a = a' a = çarpma işlemi c = a'*b c = 5 c = a*b' c =

10 3 6 9 İki vectörün vektörel çarpımı, b = [-2 1 2]; cp = cross(a,b) cp = Matris MATLAB da matrisler aşağıdaki gibi tanımlanır, Boş matris M=[ ] A=[1 1 3;4 0 6;2,5,-1] A = B=[1 0-1 ; ;-1 1 0] B = İki matrisin çarpımı, C=A*B C =

11 transpose si A' ans = matrisin karesi D=B^2 D = DD=B.^2 DD = matrisin determinantı det(a) ans= 46 matrisin inversi inv(a) 11

12 ans = matrisin rank rank(d) ans = 2 Bir matrisin özdeğer ve özvektörü, [P,LAMDA]=eig(D) P = LAMDA = Matrislerle ilgili bazı özellikler: A = [1 2 3;4 5 6;7 8 10] A = A matrisinden alt matrix elde edilebilir,örneğin 1 ve 3 satırlar ile 1 ile 2 sütünlar B = A([1 3], [1 2]) B = A matrixinden 1 ve 3 üncü satırları yer değiştirebiliriz. C = A([3 2 1],:) 12

13 C = : operatörü sutünün veya satırın tüm elemanları anlamında kullanılır. A(:) ans = Herhangibir satır(sütün) silmek için, A(:, 2) = [] A = inci sütün silindi. Vektörleri kullanarak matrix yaratılabilir, A = [A(:,1) [2 5 8]' A(:,2)] A = yeni bir matrix yaratalım, A = [-1 2 3;0 5 1] A = A > 1 ans = A(A > 1) ans = A = [1 2 3; 3 2 1] ; 13

14 A.*A ans = A*A??? Error using ==> * Inner matrix dimensions must agree. Diag fonksiyonu bir matrixin diyagonalı yaratır, d = [1 2 3]; D = diag(d) D = Tersine bir matrixte kullanılırsa matrixin diagonalını verir, d = diag(d) d = Ayni boyuttaki matrisler bir değişkende saklanabilir, a={[1 2; 3 4],[6 7; 8 9]} a = [2x2 double] [2x2 double] a{1} ans = m tane matrisin lineer kombinasyonunu bulan fonksiyonu yazalım, function M = linkomb(v,a) % m tane ayni boyutta matrisin Linear kombinasyonu % katsayılar v = {v1,v2,,vm} % A = {A1,A2,...,Am} m = length(v); [k, l] = size(a{1}); M = zeros(k, l); for i = 1:m M = M + v{i}*a{i}; 14

15 end v={2,3} v = [2] [3] linkomb(v,a) ans = Bazı özel Matrisler ones(4,3) ans = zeros(2,4) ans = eye(4) ans = eye(5,3) ans =

16 eye(4,5) ans = Hilbert matrisi H=hilb(4) ans = H = rational formda istenirse, rats(h) ans = 1 1/2 1/3 1/4 1/2 1/3 1/4 1/5 1/3 1/4 1/5 1/6 1/4 1/5 1/6 1/7 Diagonal matris elde etmek için d=1:5; m=diag(d) 16

17 m = s1=diag(d,1) s1 = s2=diag(d,-1) s2 = rand(n,m) uniform dağılımdan nxm matris randn(n,m) normal dağılımdan nxm matris triu(a) üst üçgen matris tril(a) alt üçgen matris M-Files Program codlarını içeren file m-file adı verilir. Pull-down menu ile File-new seçeneği ile yaratılır. Script files veya function files olmak üzere 2 biçimde yazılabilir.script file input arguman ve output arguman içermez. 17

18 Örnek script file, % Script file x = pi/100:pi/100:10*pi; y = sin(x)./x; plot(x,y) grid ornek1 olarak save ediniz. Yukarıdaki ornek programda % ile başlayan satır açıklama satırı. Ikinci satırda x değişkeni [pi/100,10*pi] kapalı aralığında pi/100 artımla yaratılıyor. Üçüncü satırda x değerleri için hesaplanan sin(x)/x değerleri y değişkeninde saklanıyor. Plot(x,y) ile grafik çiziliyor. Grid grafik ekranın grid oluşturlması için kullanılmıştır. Command Window da ornek1 yazılarak enter yapılırsa script file run edilmiş olur. Function file için bir vectoru büyükten küçüğe sıralayan programı yazalım yazalım. function [b, j] = sirala(a) % Function a vectorunu büyükten küçüğe sıralar % b argumanı sıralanmış vector % j sıralama sonrası elemanların index değerlerini verir. [b,j] = sort(-a); b = -b; Command window da, a = [pi ]; [b, j] =sirala(a) b = j = Bazı zamanlarda çalışma anında kullanılmak üzere function tanımlamak gerekebilir.bu durumda inline fonction kullanılır. f = inline('sqrt(x.^2+y.^2)','x','y') f = Inline function: f(x,y) = sqrt(x.^2+y.^2) herhangibir değeri hesaplamak için f(3,4) ans = 5 yukarıda yazılan inline function matrix içinde kullanılabilir. Örneğin: A = [1 2;3 4] A = and 18

19 B = ones(2) B = C = f(a, B) C = Karekterlerden oluşan string bilgiler aşağıdaki gibi tanımlanabilir s = ' MATLAB' s = MATLAB Döngüler,Kontrol MATLAB programlamada aşağıdaki düngü ve kontrollar kullanılabilir. for loops while loops if-else-end switch-case for loops for k = dizi deyimler end for ve end arasındaki deyimler dizide belirtilen her eleman için icra edilir.örneğin n = 0, 1,, 10 için n/10 noktalarında sin değerlerini hesap edelim. for n=0:10 x(n+1) = sin(pi*n/10); end x x = Columns 1 through Columns 8 through for döngüsü iç içe kullanılabilir, H = zeros(5); for k=1:5 for l=1:5 H(k,l) = 1/(k+l-1); end end 19

20 H H = Bulunan matrix Hilbert matrix olarak adlandırılır. 10x10 boyutunda A = [akl], matrixini, akl = sin(k)cos(l) olacak şekilde elde etmek isteyelim, A = zeros(10); for k=1:10 for l=1:10 A(k,l) = sin(k)*cos(l); end end yukarıdaki program daha kısa yazılabilir k = 1:10; A = sin(k)'*cos(k); Bu işlem MATLAB vectorization olarak adlandırılır. While loops Bu döngünün yapısı, While koşul Deyimler End Döngünün tekrar sayısını bilmiyorsa kullanılır.bunun için aşağıdaki örneğe bakalım, q = pi; while q > 0.01 q = q/2; end q q = if deyimi Bir koşula bağlı programın akışını değiştirmek için kullanılır, If koşul 20

21 deyimler end Bir başka kullanım biçimi, If koşul Deyimler (Eğer koşul doğruysa) Else Deyimler (Eğer koşul yanlışsa) End İç içe if lerde kullanılabilir, if koşu l 1 Deyimler (Eğer koşul 1 doğruysa) elseif koşu l 2 Deyimler (Eğer koşul 2 doğruysa) elseif... else Deyimler (Eğer tüm koşullar yanlışsa) End İf deyiminde aşağıdaki operatörler kullanılabilir, Operator < <= > >= == Eşit ~= Eşit değil Mantıksal operatörler, And & Or ~ Not Örnek : Sayısal analizde önemli yeri olan Chebyshev polinomlarını hesap edelim, Tn(x), n = 0, 1, 21

22 Tn(x) = 2xTn 1(x) Tn 2(x), n = 2, 3,, T0(x) = 1, T1(x) = x. function T = ChebT(n) % Coefficients T of the nth Chebyshev polynomial of the first kind. % They are stored in the descending order of powers. t0 = 1; t1 = [1 0]; if n == 0 T = t0; elseif n == 1; T = t1; else for k=2:n T = [2*t1 0] - [0 0 t0]; t0 = t1; t1 = T; end end Kübik Chebyshev polinomlarının katsayıları, coeff = ChebT(3) coeff = T 3 (x) = 4x 3 3x. Switch-case Genel yapısı, switch deyim (sayısal veya string) case değer1 (Eğer deyimin değeri değer1 ise) komutlar case değer2 (Eğer deyimin değeri değer2 ise) komutlar... otherwise komutlar end Örnek: Rastgele üretilen integer sayılar {1, 2,, 10} kümesi içinde, eğer x=1 veya x=2 ise %20 olasılık,x=3 veya x=4,x=5 ise %30 olasılık, diğer durumlarda %50 olasılık mesajı veren programı yazınız. 22

23 % Script M file (olasılık) x = ceil(10*rand); switch x case {1,2} disp('olasılık = 20%'); case {3,4,5} disp('olasılık = 30%'); otherwise disp('olasılık = 50%'); end Programda kullanılam MATLAB fonksiyonlar rand uniform dağılımdan rastgele sayı üretir (0, 1) ceil round towards plus infinity infinity (see Section 2.5 for more details) disp string/sayısal bilgileri ekranda görüntüler Yukarıdaki programı Command windowda çalıstıralım for k = 1:10 olasılık end olasılık = 50% Probability = 30% Probability = 50% Probability = 50% Probability = 50% Probability = 30% Probability = 20% Probability = 50% Probability = 30% Probability = 50% Örnek: a = [ ] a = i = (a == 1) i = Değeri 1 olan elemanlar başka bir diziye atanabilir b = a(i) b =

24 Başka bir biçimdede kullanılabilir ind = find(a == 1) ind = b = a(ind) b = Örnek: x = randn(1,7) x = ind = (x >= 1) (x < -0.2) ind = y = x(ind) y = Dizide elemanların varlığını sorgulayan isempty fonksiyonu için örnek verelim, isempty(y) ans = 0 y dizisi boş olmadığı içi 0 döner. isempty([ ]) ans = 1 Boş dizi içinse 1 döner. Örnek:Bir polinomun türev katsayılarını veren fonksiyonu yazalım, function dp = derp(p) % dp türev polinomu % p verilen polinom n = length(p) - 1; p = p(:)'; % p yi satır haline getirir dp = p(1:n).*(n:-1:1); % katsayıları hesapla k = find(dp ~= 0); if ~isempty(k) 24

25 dp = dp(k(1):end); % sıfırları sil else dp = 0; end p(x) = x 3 + 2x polinomu için yukarıdaki fonksiyon kullanılırsa dp = derp([ ]) dp = MATLAB Grafik Matlab birçok grafik fonksiyona sahiptir.iki ve üç boyutlu grafikler kolaylıkla çizilebilir. F(x)= x/(1+x^2) fonksiyonunu çizelim. % Script file % Fonksiyon y = x/(1+x^2). for n=1:2:5 n10 = 10*n; x = linspace(-2,2,n10); y = x./(1+x.^2); plot(x,y,'r') title(sprintf('graph %g. Plot based upon n = %g points.', (n+1)/2, n10)) axis([-2,2,-.8,.8]) xlabel('x') ylabel('y') grid pause(3) end Yukarıdaki programı incelersek, linspace(a, b, n) : [a,b] aralığını n noktaya bölerek yaratır 'r' : renk kodu (red) title sprintf : grafik üzerine açıklayıcı bilgilerin yazılmasını sağlar. : string ve sayısal bilgilerin birlikte oluşturulmasını sağlar. 25

26 %g : integer sayılar için format xlabel,ylabel : Exsenlerin etiketlerini yazmak için axis pause : Eksenleri düzenler : grafik ekranı bekletmek için kullanılır Ayni grafiği tek bir grafik ekranda çizebiliriz.bu amaçla subplot kullanalım. % Script file % y = x/(1+x^2) k = 0; for n=1:3:10 n10 = 10*n; x = linspace(-2,2,n10); y = x./(1+x.^2); k = k+1; subplot(2,2,k) % 2x2 4 grafik çizilecek, k=grafiğin indexi plot(x,y,'r') title(sprintf('grafik %g. n = %g ', k, n10)) xlabel('x') ylabel('y') axis([-2,2,-.8,.8]) grid pause(3); end 26

27 Aşağıdaki iki elipsi çizelim, % Script file % x(t) = 3 + 6cos(t), y(t) = sin(t) % x(t) = 7 + 2cos(t), y(t) = 8 + 6sin(t). t = 0:pi/100:2*pi; x1 = 3 + 6*cos(t); y1 = *sin(t); x2 = 7 + 2*cos(t); y2 = 8 + 6*sin(t); h1 = plot(x1,y1,'r',x2,y2,'b'); set(h1,'linewidth',1.25) axis('square') xlabel('x') h = get(gca,'xlabel'); set(h,'fontsize',12) set(gca,'xtick',-4:10) ylabel('y') h = get(gca,'ylabel'); set(h,'fontsize',12) set(gca,'ytick',-12:2:14) title(' (x-3)^2/36+(y+2)^2/81 = 1 ve (x-7)^2/4+(y-8)^2/36 =1.') 27

28 h = get(gca,'title'); set(h,'fontsize',12) grid Grafik çiziminde kullanılacak renk kodları aşağıdadır, y yellow m magenta c cyan r red g green b blue w white k black Çizilen grafiklerin içleri doldurulabilir Bir örnekle görelim, n = -6:6; x = sin(n*pi/6); y = cos(n*pi/6); fill(x, y, 'r') axis('square') title(' x = sin(n*pi/6), y = cos(n*pi/6) ') text(-0.45,0,' MATLAB') 28

29 Polar koordinatlarda çizim için bir örnek verelim, theta=0:pi/60:2*pi;r=2*(1-cos(theta));polar(theta,r);axis square 29

30 Contour ların çizimi Contour ların çizimi sık karşılaşılan bir problemdir. Örnek olarak, f(x,y) = 2 - [(x-1) 2 + 4(y-1) 2 + 2xy] fonksiyonunu alalım, function m=pr(x,y) m=zeros(0,length(x)) for k=length(y):-1:1 m=[m;2-((x-1).^2+4*(y(k)-1)^2+2*x*y(k))] end x=-2:.1:2; y=x; m=pr(x,y); cs=contour(x,y,flipud(m),[ ]); clabel(cs) xlabel('x') ylabel('y') title('contour Plot ') 30

31 3 Boyutlu grafikler plot3 fonksiyonu kullanarak % Script file % Curve r(t) = < t*cos(t), t*sin(t), t >. t = -10*pi:pi/100:10*pi; x = t.*cos(t); y = t.*sin(t); h = plot3(x,y,t); set(h,'linewidth',1.25) title(' u(t) = < t*cos(t), t*sin(t), t >') h = get(gca,'title'); set(h,'fontsize',12) xlabel('x') h = get(gca,'xlabel'); set(h,'fontsize',12) ylabel('y') h = get(gca,'ylabel'); set(h,'fontsize',12) zlabel('z') h = get(gca,'zlabel'); set(h,'fontsize',12) grid 31

32 mesgrid fonksiyonu kullanılarak 3 boyutlu koordinatlar yaratılabilir. x = [0 1 2]; y = [ ]; [xi, yi] = meshgrid(x,y) xi = yi = örnek: x = -1:0.05:1; y = x; [xi, yi] = meshgrid(x,y); zi = yi.^2 - xi.^2; mesh(xi, yi, zi) axis off örnek: % Script file % = y^2 - x^2 x = -1:.05:1; y = x; 32

33 [xi,yi] = meshgrid(x,y); zi = yi.^2 - xi.^2; surfc(xi,yi,zi) colormap copper shading interp view([25,15,20]) grid off title('hyperbolic paraboloid z = y^2 x^2') h = get(gca,'title'); set(h,'fontsize',12) xlabel('x') h = get(gca,'xlabel'); set(h,'fontsize',12) ylabel('y') h = get(gca,'ylabel'); set(h,'fontsize',12) zlabel('z') h = get(gca,'zlabel'); set(h,'fontsize',12) pause(5) figure contourf(zi), hold on, shading flat [c,h] = contour(zi,'k-'); clabel(c,h) title('the level curves of z = y^2 - x^2.') h = get(gca,'title'); set(h,'fontsize',12) xlabel('x') h = get(gca,'xlabel'); set(h,'fontsize',12) ylabel('y') h = get(gca,'ylabel'); set(h,'fontsize',12) 33

34 Bazı özel şekiller için hazır fonksiyonlar vardır, Küre: 34

35 [x,y,z]=sphere(100) % 100 noktayla çiz surf(x,y,z) silindir: [x,y,z] =cylinder(2) % r=2 surf(x,y,z) 35

36 koni: [x,y,z] = cylinder([0 1]) surf(x,y,z) 36

37 Elipsoid: [x,y,z]=ellipsoid(xc,yc,zc,xr,yr,zr) ( x xc) 2 xr 2 ( y yc) + 2 yr 2 + ( z zc) 2 zr 2 = 1 [x,y,z]=ellipsoid(2,3,4,5,6,8) surf(x,y,z) lorenz: sistemde tanımlıdır ve Lorenz chaotic attractor ünü verir. 37

38 spharm2 Sistemde tanımlı 3-boyutlu demo çizimdir. Matlab da kullanılan renk özellikleri aşağıda listelenmiştir, hsv - hue-saturation-value color map hot - black-red-yellow-white color map gray - linear gray-scale color map bone - gray-scale with tinge of blue color map copper - linear copper-tone color map pink - pastel shades of pink color map white - all white color map flag - alternating red, white, blue, and black color map lines - color map with the line colors colorcube - enhanced color-cube color map vga - windows colormap for 16 colors jet - variant of HSV prism - prism color map cool - shades of cyan and magenta color map autumn - shades of red and yellow color map spring - shades of magenta and yellow color map winter - shades of blue and green color map summer - shades of green and yellow color map örnek: 38

39 colormap(spring) Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümleri Ax = b şeklindeki lineer denklem sistemlerinde,a mxn boyutunda bir matrix olmak üzere 1. m = n A = [1 2 3;4 5 6;7 8 10] A = b = ones(3,1); x = A\b x = bu çözümde sayısal yuvarlatma hatalar bulunabilirı, r = b - A*x r = 1.0e-015 * m > n A = [2 1; 1 10; 1 2]; x = A\b x = r = b - A*x r = m < n A = [1 2 3; 4 5 6]; b = ones(2,1); x = A\b x =

40 Bir matrixin inversi inv fonksiyonu kullanılarak bulunabilir Örnek: A = [1 2 3;4 5 6;7 8 10] A = Then B = inv(a) B = A = pascal(3) A = Cholesky üçgenleştirmesi, S = chol(a) S = A = S'*S. det(a) ans = norm (Euclidean norm) norm. a = -2:2 a = twon = norm(a) 17 twon = birim vektör unitv = a /twon unitv = a ve b vektörleri arasındaki açı hesaplanabilir, c = arccos(a.b/ a b ), 40

41 Polinomlar 3 üncü derece polinomun kökleri, p(x) = 3x 3 + 2x 2-1 p = [ ]; format long r = roots(p) r = i i bulunan köklerin değerlerini bulmak için, err = polyval(p, r) err = 1.0e-014 * i i Bir fonksiyonu 0 yapan degğeri bulmak, f(x) = cos(x) x. fonksiyonunu alalım, function y = f1(x) % A univariate function with a simple zero. y = cos(x) - x; r = fzero('f1', 0.5) r = fzero fonksiyonunda ikinci argüman başlangıç değeri. Feval fonksiyonu kullanarak fonksiyon değerini bulabiliriz. err = feval('f1', r) err = 0 istenilen bir aralıkta kök bulmak için, r = fzero('f1', [0 1]) r = fzero('f1', [1 2])??? Error using ==> fzero The function values at the interval endpoints must differ in sign. 41

42 Kök bulmada yaklaşım hassaslığı verilebilir rt = fzero('f1',.5, 1e-3) rt = = istenirse 4 üncü arguman 1 yazılarak iterasyon adımları görülebilir. format short rt = fzero('f1',.5, eps, 1) Func evals x f(x) Procedure initial search search search search search search search search search search search search search search search search search search search search Looking for a zero in the interval [0.18, 0.82] interpolation interpolation e-008 interpolation e-012 interpolation interpolation rt = Interpolasyon Intepolasyon için genel form yi = interp1(x, y, x i, method) şeklindedir x ve y verilen değerler,y i ise interpolasyon fonksiyonundan hesaplanan değerler (y i = f(x i )). Metotlar ise, 'nearest' : Local parçasal 'linear' : Linear. 'spline' : spline interpolasyon 42

43 örnek : (xk, yk) = (k_/5, sin(2xk)), k = 0, 1,, 5, değerlerini üretelim, x = 0:pi/5:pi; y = sin(2.*x); bulunan değerleri kullanarak interpolasyon yaparsak, xi = 0:pi/100:pi; yi = interp1(x, y, xi, 'nearest'); plot(x, y, 'o', xi, yi), title('piecewise interpolasyon y =sin(2x)') yi = interp1(x, y, xi, 'cubic'); plot(x, y, 'o', xi, yi), title('cubic interpolant of y = sin(2x)') 43

44 spline fonksiyonu kullanılarakta interpolasyon yapılabilir, x = -3:3; y = [ ]; t = -3:.01:3; p = pchip(x,y,t); s = spline(x,y,t); plot(x,y,'o',t,p,'-',t,s,'-.') legend('data','pchip','spline',4) 44

45 İki boyutlu interpolasyon {x k, y l } noktaları için, 1 k m, 1 l n aralığında z kl, verildiğinde z = f(x, y) interpolasyon denklemi zi = interp2(x, y, z, xi, yi, 'method') MATLAB fonksiyonu ile bulunabilir metotlar : 'nearest' - nearest neighbor interpolation 'linear' - bilinear interpolation 'cubic' - bicubic interpolation 'spline' - spline interpolation Örnek: z = sin(x 2 + y 2 ) fonksiyonundan 1 x 1, -1 y 1 aralığında data üreterek metotlaral interpolasyon yapalım, 'linear' ve the 'cubic' [x, y] = meshgrid(-1:.25:1); z = sin(x.^2 + y.^2); [xi, yi] = meshgrid(-1:.05:1); zi = interp2(x, y, z, xi, yi, 'linear'); surf(xi, yi, zi), title('bilinear interpolasyon sin(x^2 + y^2)') 45

46 cubic interpolasyon için, zi = interp2(x, y, z, xi, yi, 'cubic'); İstatistik uygulamalar İstatistikte kullanılan dağılım fonksiyonları ve özellikleri üzerinde duralım, Binomial dağılım: Binom dağılımının olasılık fonksiyonu, q=1-p µ= np σ 2 = npq örnek: n=25,p=0.2, 46

47 p(x<=3) =? p1=binocdf(3,25,0.2) baska bir biçimde ayni sonuç bulunabilir, p2=sum(binopdf(0:3,25,0.2)) Örnek: N=6,p=0.3 ve p=0.7 için olasılık yoğunluk fonksiyonunu çizelim, x=0:6 pdf1=binopdf(x,6,0.3) pdf2=binopdf(x,6,0.7) subplot(1,2,1) bar(x,pdf1,1, w ) title( n=6, p=0.3 ) xlabel( x ) ylabel( f(x) ) axis square subplot(1,2,2) bar(x,pdf2,1, w ) title( n=6, p=0.7 ) xlabel( x ) ylabel( f(x) ) axis square Poisson dağılımı 47

48 µ= λ σ 2 = λ Dağılımın grafiğini λ=5 için çizelim, x = 0:50; y = poisspdf(x,5); plot(x,y,'+') Örnek: λ=0.25 için P(x>=2) olasılığını hesaplayalım, P(x>=2)=1-{p(x=0)+p(x=1)} P=1-poisscdf(1,0.25) P =

49 Geometrik dağılım y = f ) = q=1-x x ( x; p pq x=0,1,... µ = 1 p σ = 2 1 p 2 p Örnek: x=0:25 y=geopdf(x,0.04) c=geocdf(x,0.04) plot(x,y) hold stairs(x,c) Hipergeometric dağılım 49

50 µ = nm N 2 σ = nm ( N M )( N 2 N ( N 1) n) Örnek: x=0:10 y=hygepdf(x,1000,50,20) c=hygecdf(x,1000,50,20) plot(x,y) hold stairs(x,c) 50

51 Uniform dağılım Bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu, σ µ = = a + b 2 b 12 ( ) 2 a Örnek: x=-1:0.1:11 pdf=unifpdf(x,0,10) cdf=unifcdf(x,0,10) subplot(1,2,1), plot(x,pdf) title( PDF ) xlabel( x ), ylabel( f(x) ) axis([ ]) 2 subplot(1,2,2), plot(x,cdf) title( CDF ) xlabel( x ), ylabel( f(x) ) axis([ ]) 51

52 Normal Dağılım Normal dağılım olasılık yoğunluk fonksiyonu, µ =ortalama σ = standart sapma. Örnek: µ =5 σ = 2 s=[8 12] mu=10 sigma=2 p=normspec(s,mu,sigma) 52

53 Student s dağılımı Normal dağılıma benzer, küçük boyuttaki öreneklemlerde kullanılan bir dağılımdır, Dağılım fonksiyonu, f ν ν + 1 Γ 2 ( x; ) = ν + 1 ν νπ 2 2 Γ x ν MATLAP pdf fonksiyonu tpdf(x,serbestlik derecesi) Örnek: Normal dağılım ve t dağılımını ayni grafikte görelim, x=-5:0.1:5 y=tpdf(x,5) z=normpdf(x,0,1) plot(x,y,x,z) 53

54 Üstel dağılım Üstel dağılım olasılık yoğunluk fonksiyonu, λ > 0, parameter olmak üzere üstel dağılım olasılık yoğunluk fonksiyonu, f(x) = λe -λx λ>0, x 0 1 µ = λ σ 2 = 1 λ pdf fonksiyonunu çizelim, y1=exppdf(x,1/1) y2=exppdf(x,1/2) plot(x,y1,x,y2) title('ustel dagilim') 54

55 xlabel('x') ylabel('f(x)') Ornek: λ=1/12 p(x<=10)=? P=expcdf(x,1/λ) P = expcdf(10,12) P = p değeri veridiğinde x değerini bulmak için, x=expinv( ,12) x = Gamma dağılımı 55

56 λx λe ( λx) f ( x; λ, t) = Γ( t) t 1 ; x 0 Γ ( t) = 0 e y y t 1 dy t µ = λ σ = λ Gamma dağılımı MATLAB fonksiyonu gampdf(x,t,1/λ) Örnek: λ=t=1, λ=t=2, λ=t=3 için fonksiyonu çizelim, x=0:0.1:3 %farklı λ değerleri için gama fonksiyonu y1=gampdf(x,1,1/1) y2=gampdf(x,2,1/2) y3=gampdf(x,3,1/3) plot(x,y1,x,y2,x,y3) title('gamma dagilimi') xlabel('x') ylabel('f(x)') 56

57 Chi-Kare dağılımı ν / x ν / f ( x; ) = x e ν ; x 2 Γ( ν / 2) 2 Γ( a) = t µ = ν 0 σ 2 = 2ν e a 1 t dt örnek: x= 0:0.2:15 57

58 y1=chi2pdf(x,4) y2=chi2pdf(x,6) plot(x,y1,x,y2) F dağılımı F ( ν, ν ) = 1 2 χ / ν 1 1 χ / ν 2 2 χ 1, χ 2 : Chi-Kare dağılımı ν1, ν1 : serbestlik derecesi ν 2 µ = ν ( 2) 2 σ = 2( ν 1 + ν 2 2) ν ( ν 4)

59 Örnek: x= 0:0.01:10 y1=fpdf(x,5,3) y2=fcdf(x,5,3) plot(x,y1,x,y2) Weibull dağılımı Mühendislik uygulamalarında çok kullanılan bir dağılımdır.α>0, β>0, λ=1/α olmak üzere, olasılık yoğunluk fonksiyonu, f β 1 x ν β α β x ν ( x; ν, α, β ) = e ; x>ν α α µ=ν+αγ(1/β+1) σ 2 { Γ( 2 / β + 1) [ Γ(1/ + 1) ] } 2 = α β 59

60 Weibull dağılımı MATLAB fonksiyonu weibpdf(x.α,β), kümülatif dağılım fonksiyonu weibcdf(x.α,β) Örnek: x=0:0.1:3 %farklı α,β değerleri için Weibull fonksiyonu y1=weibpdf(x,1,2) y2=weibpdf(x,2,3) y3=weibpdf(x,3,4) plot(x,y1,x,y2,x,y3) title('weibull dagilimi') xlabel('x') ylabel('f(x)') Beta dağılımı Çok esnek bir dağılımdır farklı parametrelerde çok farklı davranışlar gösterir. ( ; α, β ) = 1 B( α, β ) (1 α 1 β 1 f x x x ; 0<x<1, ) 60

61 B ( α, β ) = 1 x 0 α 1 (1 x) β 1 dx = Γ( α) Γ( β ) Γ( α + β ) α µ = α + β σ = αβ 2 ( α + β ) ( α + β + 1) Beta dağılımı MATLAB fonksiyonu betapdf(x.α,β), Kümülatif dağılım fonksiyonu betacdf(x.α,β) Örnek: (0,1) aralğında α=β=0.5 ve α=β=3 için pdf fonksiyonunu çizelim. x=0.01:0.01:0.99 %farklı değerler için beta fonksiyonu y1=betapdf(x,0.5,0.5) y2=betapdf(x,3,3) plot(x,y1,x,y2) title('beta dagilimi') xlabel('x') ylabel('f(x)') 61

62 Multivariate Normal dağılım Çok değişkenli normal dağılım fonksiyonu, 1 1 T 1 f ( x; µ, Σ) = exp ( x µ ) ( x µ ) 1/ 2 d / 2 (2π ) 2 d = boyut Σ = dxd covariance matrisi µ = dx1 sütün matris Örnek: Dağılım fonksiyonunu çizelim, mu=zeros(1,2) cov = [1 0.7; 0.7 1] [x,y]=meshgrid(-4:0.2:4,-4:0.2:4) X=[x(:),y(:)] [n,d]=size(x) % datalar merkizi yapiliyor X=X-ones(n,1)*mu a=(2*pi)^(d/2)*sqrt(det(cov)) arg=diag(x*inv(cov)*x') p=exp((-0.5)*arg) 62

63 Z=p/a z=reshape(z,size(x)) subplot(1,2,1) surf(x,y,z) subplot(1,2,2) pcolor(x,y,z) Descriptive İstatistik Descriptive istatistik, verilerin ortalama,standart sapma gibi özelliklerini ve dağılım biçimini değişik grafiklerle özetleyen bir istatistiktir.bu istatistikte kullanılan MATLAB fonksiyonları örneklerle inceleyelim. 63

64 N x i i= µ = 1 Aritmetik ortalama N µ = N x 1x2... x Geometrik ortalama N = 1 n 1 µ Harmonic ortalama i 1 x i median = Bir dağılımı %50 lik olasılıkla iki parçaya bölen nokta locate = [geomean(a) harmmean(a) mean(a) median(a) ] locate = stats = [ mad(a) range(a) std(a)] stats = Standard sapma : a=[ ] a = std(a) ans = Variance : var(a) ans = Covariance matris X = [ ; ; ; ; ; ] X = 64

65 cov(x) ans = Skewness Verilen dataların simetrikliğini ölçer. Skewness fonksiyonunun değeri 0 ise datalar simetriktir. x=normrnd(4,3,1000,1) skewness(x) ans = Normal dağılımdan üretilen dataların simetrik olduğu söylenebilir. Kurtosis Dağılımın basıklığının bir ölçüsüdür. Normal dağılımda kurtosis değeri 3 dür. x=normrnd(4,3,1000,1) kurtosis(x) ans = x=weibrnd(3,0.6,1000,1) kurtosis(x) ans = quartiles,deciles, percentile Bir dağılımı eşit aralıklara bölen noktalardır. Örnek: 100 tane rassal sayı üreterek quartilleri bulunuz,(quartil : Dağılımı %25,%50,%75 bölen noktalardır) x=sort(rand(1,100)) q1=median(x(1:50)) q2=median(x) q3=median(x(51:100)) q1 = 65

66 q2 = q3 = quartiles,deciles ve percentiller prctile fonksiyonu ile bulunabilir, p = 100*(0:0.25:1); y = prctile(a,p); z = [p;y] z = prctile(a,50) ans = prctile(a,25) ans = 5 prctile(a,75) ans = 9 prctile(a,1) ans = 3 prctile(a,100) ans = 11 Range : range(a) ans = 8 Histogram a=[ ] 66

67 subplot(1,2,1) [n,x] = hist(a,10) bar(x,n,1) axis square title( frekans histogramı ) subplot(1,2,2) bar(x,n/140,1) axis square title( relative frekans histogramı ) Örnek: a =[ 1 2 3; 4 5 6; 7 4 2] a=a' subplot(2,1,1) plot(a,'b*') axis([0.5,3.5,-1,9]) title('sütün data') subplot(2,1,2) bar(mean(a),'r') hold on errorbar(mean(a),std(a),'k') title('mean data') 67

68 örnek: plot(a,'bo') axis([0.5,3.5,-1,9]) hold on plot(mean(a),'r-^') errorbar(mean(a),std(a),'g-') 68

69 yukarıdaki dataları kullanarak normal dağılım parametrelerini tahmin edelim mu=mean(a) v = std(a) xp=linspace(min(a),max(a)) yp=normpdf(xp,mu,v) [nu,x]=hist(a) h=x(2)-x(1) bar(x,nu/(80*h),1) hold on plot(xp,yp) title( yoğunluk histogramı ) hold off dağılımın simetrikliği box plot yardımıyle görülebilir. boxplot(a) 69

70 gruplanmış dataların istatistigi grpstats fonksiyonu ile bulunur. x=[ ] ' y=['a' 'a' 'b' 'a' 'a' 'b' 'b' 'b' 'b' 'a' 'a' 'a' ]' grpstats(x,y,0.05) son arguman güven aralığı için alfa anlam seviyesi 70

71 Pie Grafik Bir örnekle açıklayalım, x=[ ]; pie(x) e = zeros(size(x)); h = pie(x, e); textobjs = findobj(h, 'Type', 'text'); oldstr = get(textobjs, {'String'}); val = get(textobjs, {'Extent'}); oldext = cat(1, val{:}); Names = {'P1: '; 'P2: '; 'P3: '; 'P4: '}; newstr = strcat(names, oldstr); set (textobjs, {'String'}, newstr) farklı biçimlerde pie grafik çizilebilir, % alanlar X/sum(X) şeklinde hesaplanır.e vektöründe 1 e karşılık gelen değer pie grafikten dışarı çıkartılır. x = [ ]; e = [ ]; pie(x,e) 71

72 x = [ ] explode = [ ] pie3(x,explode) colormap hsv Rassal Sayı üretme Similasyon problemlerinde istenilen bir dağılıma göre data elde etmek önemlidir.matlab fonksiyonlar yardımıyla bu işlemler yapılabilir, Örnek: [0,1] aralığında Uniform dağılımdan sayı üretelim, 72

73 x=rand(1,1000) %ilk arguman satır, diğeri sütün sayısı [n,x]=hist(x,15) bar(x,n,1,'w') title('uniform dagilim histogram') xlabel('x') ylabel('frekans') Binom dağılımından n=100,p=0.5, 1500 data üretelim, r=binornd(100,0.5,1500,1) [n,x]=hist(r,50) bar(x,n,1,'w') 73

74 µ=0, σ=1 parametreli normal dağılımdan 1500 data üretelim, y=normrnd(0,1,1500,1) [n,x]=hist(y,50); bar(x,n,1,'w') 74

75 Testler İstatistik hipotez testleri matlab fonksiyonlar kullanılarak yapılabilir. Örnek olarak t(student) testini verelim, Eğer T > t( α / 2, n 1) ise H 0 hipotezi red. Kullanılacak matlab fonksiyon, [h,sig,ci] = ttest(x,m,alpha,tail) x = veriler m = ortalama alpha = anlam seviyesi eğer tail=0 ise µ m, çift taraflı test eğer tail=1 ise µ>m, tek taraflı test eğer tail=-1 ise µ<m, tek taraflı test h=0 ise,h 0 hipotezi Kabul h=1 ise,h 0 hipotezi Red sig = güven aralığı ci = t değerini ve serbestlik derecesini verir. Sayısal örnek olarak, sistemde bulunan gas dataları içinde price1 için t testi uygulayalım, H 0 : µ = 107 H 1 : µ 107 α=0.05 load gas price1 75

76 price1 = [a,b,c,d]=ttest(price1,107,0.05,0) a = 1 b = e-008 c = d = tstat: df: 19 Ayni veriler için Z test uygulanırsa, H 0 : µ = m H1: µ m µ=115 σ=0.04 [h,p,ci,z]=ztest(price1/100,1.15,0.04) h = 0 76

77 p = ci = z = İki örnek t test serbestlik derecesi [h,sig,ci] = ttest2(x,m,alpha,tail) price1 ve price2 ye fark testti uygulayalım, [h,sig,ci,stat]=ttest2(price1,price2) h = 1 sig = ci = stat = tstat: df: 38 77

78 Normallik testi Verilerin normal dağılımlı olup olmadıkları test edilebilir, bu test için aşağıdaki matlab fonksiyonu kullanılır, [H,P,LSTAT,CV]=lillietest(x,alpha) H 0 : Veriler normal dağılımlı H1 : Veriler normal dağılımlı değil Eğer H=0 ise H 0 kabul Eğer H=1 ise H 0 red örnek: MATLAB da buluna gas verilerini kullanalım, load gas prices = [price1 price2] plot(prices) boxplot(prices,1) set(gca,'xticklabel',str2mat('ocak','subat')) 78

79 Normallik testti uygulayalım, lillietest(price1) lillietest(price2) ans = 0 ans = 0 H 0 hipotezi Kabul edilir.veriler normal dağılımlıdır. Quantile-Quantile plot İki datanın kümülatif dağılım fonksiyonlarının karşılaştırılması ile dataların ayni dağılıma sahip olup olmadıkları karşılaştırılır. x=normrnd(1,2,1000,1) y=weibrnd(2,0.7,1000,1) qqplot(x,y) 79

80 görüldüğü gibi iki farklı dağılımdan geldikleri 45 derecelik doğru üzerinde olmamalarından anlaşılmaktadır.parametreleri farklı ayni dağılımdan iki data serisi üretelim, x=normrnd(1,2,1000,1) y=normrnd(3,5,1000,1) qqplot(x,y) Parametreleri farklı iki serinin ayni dağılımdan geldiği görüldü. 80

81 Lineer Regresyon modelleri x bağımsız değişken, y bağımlı değişken olmak üzere y=a+bx lineer modelini bulabiliriz, x=[ ; ]' Birden fazla x değişken sayısı olması durumunda sütün olarak eklenir. y=[ ]' [B,BINT,R,RINT,STATS] = REGRESS(y,x,0.05) a,b değerleri, B = a,b değerlerinin güven aralığı BINT = R=y-y(tahmin) R = R nin güven aralığı, RINT = STATS = Sırasıyla R 2 belirlilik katsayısı,f değeri,anlam seviyesi. 81

82 İki değişken arasındaki korelasyon katsayısı corrcoef fonksiyonu ile bulunur, a = b= [ ] b = corrcoef(a,b) ans = Kaynaklar 1. Computational Statistics Handbook with MATLAB, Wendy L.Martinez, Angel R.Martinez, CHAPMAN & HALL/CRC, Statistics,Murray R.Spiegel,McGraww-Hill Book Company, Regression Analysis,Frank A.Graybill,Hariharan K.Iyer,Duxbury Prss,