Fonksiyonların Grafikleri

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Fonksiyonların Grafikleri... 378"

Transkript

1 f() a a TÜREV KAVRAMI Türev ile Hız Arasındaki İlişki...5 Türev ve Teğetin Eğimi Arasındaki İlişki Diferansiel Kavramı... 6 Türevin Tanımı...6 Türev Alma Kuralları... 7 Sabitin Türevi... 7 Toplam vea Farkın Türevi... 7 Çarpımın Türevi... 7 Bir Fonksionun Kuvvetinin Türevi... 7 Bölümün Türevi... 8 Parametrik Fonksionların Türevi... 8 Kapalı İfadelerin Türevleri... 8 Trigonometrik Fonksionların Türevleri... 8 Logaritma Fonksionunun Türevi Üstel Fonksionun Türevi Bileşke Fonksionun Türevi... 9 Ters Fonksionun Türevi... 9 Ardışık Türev (Yüksek Sıradan Türev) Ters Trigonometrik Fonksionların Türevi Mutlak Değerli Fonksionların Türevi Parametrik Denklemlerde İkinci Mertebe Türevi... Türevin Limit Hesabında Kullanılması... L'Hospital Kuralı... Türevin Geometrik Anlamı... 7 Teğet Denklemi... 8 Normal Denklemi... 8 Artan ve Azalan Fonksionlar... 7 Ekstremum Noktaları... 9 Türevin Anlamı... 9 Dönüm Noktası... İkinci Türev ve Yerel Ekstremum Noktası... 5 Mutlak Maksimum Mutlak Minimum... 5 Polinom Fonksionlarının Grafikleri Asimptotlar... 7 Kesirli Fonksionların Grafikleri... 7 Üstel Fonksionların Grafikleri Logaritmalı Fonksionların Grafikleri c 5 c c f(ah) c c f(a) a a a 5 p a ah q A(a, f(a))

2 KAVRAMSAL ADIM. BÖLÜM ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK Bir doğru bounca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu S(metre), zamanın t(sanie) bir fonksionu olarak S S(t) t t ile verilsin. a) Bu cisim ilk sn'de kaç m ol alır? Matematiğin en önemli konularından biri türev kavramıdır. Bu kavramı birçok şekilde açıklamak mümkündür. Bu kitapta türev konusu öğrencinin hislerine en çok hitap edecek bir öntemle açıklanmıştır. Türev tanımına geçmeden önce bazı kavramları hatırlaıp bu kavramlara daanan tanımlar vereceğiz.. Türev ile Hız Arasındaki ilişki Bir doğru üzerinde f() denklemine göre hareket eden bir hareketlinin anındaki hızını tanımlaalım. f( ) f() b) Bu cisim ilk 6 sn'de kaç m ol alır? anının akınlarında bir alınırsa hareketlinin ortalama hızı, alınan ol f() f( ) ve geçen süre olduğundan V ort f ^ h - f ^ h - dır. c) Bu cisim. sn ile 6. sn arasında kaç m ol alır? ın akınlarında seçilen her için bu olla değişik ortalama hızlar elde edilebilir. Biz anındaki hızı aradığımız için olmak üzere elde edilen tüm ortalama hızların limiti olarak d) Bu cismin. sn ile 6. sn arasındaki ortalama hızı kaç m/sn dir? f ^ h - f ^ h lim " - limiti varsa, bu limite anındaki anlık hız denir. ÖRNEK e) Bu hareketlinin.sn deki anlık hızı kaç m/sn dir? Bir hareketlinin t saatte aldığı ol S(t) t t fonksionu ile verilsin. Yukarıdaki tanıma göre bu hareketlinin [t, t ] aralığındaki ortalama hızı V ort S^t S t h- ^ h t - t dir. Bu hareketlinin [,6] aralığındaki ortalama hızını bulalım. 5

3 KAVRAMSAL ADIM ÜNİTE ETKİNLİK Kan Şekeri Konsantrasonu: Nisan 988'de insan gücüle çalışan Daedalus uçağı Yunanistan'ın günedoğusunda Ege Denizi'ndeki Girit'ten adasından Santorini'e 9 km'lik rekor bir uçuş aptı. Uçuştan önceki 6 saatlik daanıklılık testlerinde araştırmacılar pilot adalarının kan şekeri konsantrasonlarını ölçtü. Atlet pilotlardan birinin konstantrason grafiği şekil a da görülüor. Konsantrason miligram/desilitre ve zaman saat olarak verilmiştir. E im A E im B E im C 5 D E im f() E im 8 birim/ birim E 8 -birim -birim 5 5 (a) E im V ort S^6h- S^h ^6. 6h- ^. h V ort 8 km/sa olur. Hareketlinin [,6] aralığındaki ortalama hızını bulalım. V ort S^6h- S^h ^6. 6h- ^. h V ort km/sa olur. Hareketlinin [5,6] aralığındaki ortalama hızı V ort S^6h- S^5h ^6. 6h- ^5. 5h 6-5 V ort km/sa olur. Hareketlinin [5.9, 6] aralığındaki ortalama hızı V ort S^6h- S^5, 9h 6-5, 9 ^6. 6h - 6 ^5, 9h. ^5, 66 (, 8 59),,9 km/sa olur. A' (a)'daki f() grafiğinin eğimlerini işaretleerek (b)'deki f'()'in grafiğini çizdik. Mesela, B'nin dike koordinatı B'deki eğimdir. f' nün grafiği f'nin eğiminin ile nasıl değiştiğinin görsel bir kadıdır. D' f'() E' 5 5 B' C' Dike koordinat (b) Hareketlinin [6, 6.] aralığındaki ortalama hızı V ort S^6, h- S^6h 6 ^6, h. - ^6. 6h 6, - 6, ^7, 6h -^66h, 67, 66,, km/sa olur. Hareketlinin [6, 7] aralığındaki ortalama hızı V ort S^7h- S^6h ^7. 7h- ^6. 6h km/sa olur. Bu sonuçları bir tabloda gösterelim. [t,t ] [, 6] [, 6] [5, 6] [5.9, 6] [6, 6.] [6, 7] V ort 9,9, 5

4 KAVRAMSAL ADIM Grafik veri noktalarını birleştiren doğru parçalarından apılmıştır. Her parçanın sabit eğimi ölçümler arasındaki konsantrasonu verir. Her parçanın eğimi hesaplanarak şekil b deki grafik çizilmiştir. Örneğin, ilk saat için çizim apılırken konsantrasonun 79 mg/dl den 9 mg/dl e arttığı gözlemlenior. (Şekil c) Net artma Δ 9 79 mg/dl dir. Bunu Δt saat ile bölerek, ortalama değişim oranını buluruz. Δ mg/dl/saat Δt Konsantrasonun bir köşesinin bulunduğu ve eğiminin olmadığı t,,...,5 zamanlarında konsantrasonun değişim oranı hakkında bir tahminde bulunamaız. Türev fonksionu (şekil d) bu zamanlarda tanımlı değildir. 9 8 konsantrason mg/dl Bu hareketlinin 6. saatte hız sınırını geçtiğini varsaalım. Bu hareketlinin 6. saatteki hızı (anlık hızı) h R olmak üzere, h için [6, 6 h] vea [6 h, 6] aralığında ortalama ardımıla bulunur. Anl k h z lim h " ^6 hh. ^6 hh- ^6. 6h lim h h " lim h " lim h " lim h " km/sa vea Anl k h z lim h " S^6 hh -S^6h 6 h -6 6 h h 6 h-66 h h h h ^h h lim^ - hh km/sa bulunur. S^6h -S^6-hh 6-^6-hh ^6. 6h -6^6 - hh ^6 lim h h " h h 6 lim h h " h- h lim h h " h " ÜNİTE 5 6 (c) sa [6, 6h] aralığında hesaplanan anlık hız t 6 noktasındaki sağdan türevi, [6 h, 6] aralığında hesaplanan anlık hız t 6 noktasındaki soldan türevi ifade eder. Anlık hız için sağdan türevin, soldan türeve eşit olduğuna dikkat ediniz. konsantrason de iflim oranı mg/dl/saat 5 Düzlemde Doğrunun Denklemi ve Doğrunun Eğimi sa Koordinat düzleminde P (a, b ), P (a, b ) noktalarını alalım. P ve P den geçen doğrunun denklemini B B Y P P P bulmak için bu doğrua ait ve koordinatları (d) (, ) olan bir P noktasını gözönüne alalım. X A A 55

5 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM P, P ve P noktalarının eksenler üzerindeki dik izdüşümleri sırasıla X, A, A ve Y, B, B olsun. Tales teoremi ardımıla BY A X BB A A azılabilir. Bu aşamada koordinatlara geçerek - b b - b - a a - a şeklinde azılabilir. b a d: a b d n n m d: m n d Bu eşitlikten çekilerek, b a - b a b a b ^h - a a - a elde edilir. () deki bağıntıa P ve P noktalarından geçen doğrunun denklemi denir. Doğrua bir fonksion gözüle bakılırsa () denklemi b f ^ h a - b - a a b $ a - a b - a şeklindedir. Bu son azılıştan f(a ) b, f(a ) b olur. O halde doğrunun denklemi Bağımsız (Serbest) Değişkenin Artış Miktarı, Fonksionun Artış Miktarı f() fonksionunda ʼe bağımsız değişken, ʼe bağımlı değişken denir. Eğer ve, değişkeninin iki değeri ve f() ve f( ) bu değerlere karşılık fonksionun aldığı değerler ise bu durumda Δ değerine (, ) aralığı üzerinde değişkeninin artış miktarı ve Δ vea Δ f( ) f() f( Δ) f() fa ^ fa a f a a f a h- ^ h $ ^ h- $ ^ h ( ) a - a a - a şeklini alır. değerine de anı aralıkta fonksionunun artış miktarı denir. b a - b - a fa ^ fa h ^ h a - a saısına doğrunun eğimi denir. Bu saı doğrunun O ekseni ile pozitif önde oluşturduğu α açısının tanjantına eşittir. Yani Değişim Oranı oranına, değişkeni ten Δ e kadar değiştiğinde nin ʼe göre ortalama değişim oranı denir. b tan a a O halde, - b - a m ( ) a $ f a a f a ^ h- $ ^ h n a - a denilirse () denklemi azılabilir. Bir Fonksionun Grafiğinin Teğeti f bir fonksion olsun. f nin tanımlı olduğu (p, q) aralığını gözönüne alalım. Aralığa ait herhangi bir a değeri seçildikten sonra f fonksionunun grafiği üzerinde bulunan (a, f(a)) noktasına A dielim. p q m n () şeklini alır. 56

6 KAVRAMSAL ADIM f(a) A p a q Merkezi A(a, f(a)) olan doğru demetine ait doğrulardan bazıları f fonksionunun grafiğini oluşturan eğri parçasını A noktası dışında ikinci bir noktada keser. Bu tür doğrulara eğrinin A noktasından geçen kesen vea kirişleri denir. Şimdi a değerini h kadar arttıralım. a h noktasına grafik üzerinde (a h, f(a h)) noktası karşılık gelir. (a, f(a)) ve (a h, f(a h)) noktalarından geçen doğrunun denklemi () denkleminde olduğu gibi azılabilir ve bu doğrunun eğimi () bağıntısına göre; ifadesinin limiti alınabilir. Bu limitin sonucu olarak elde edilen saıı eğim olarak kabul eder ve A noktasından geçen doğrunun eğimini azma olanağı, fonksionlar için limit kavramının varlığından dolaı vardır. Ölese f fonksionunun grafiğinin A noktasındaki teğet, fonksionlardaki limit kavramını ugulamak suretile bulunabilir. Teğet Çiziminde Ortaa Çıkabilecek Zorluklar fa ( h) fa ( ) Teğet problemlerinde ortaa çıkan oranının limitini h bulmak her zaman mümkün olmaabilir. Değişkenin a değeri için fonksion sürekli değilse böle bir teğet çizmek mümkün olmaacaktır. ÜNİTE p f(ah) f(a) A(a, f(a)) a ah q ÖRNEK, < ise f ( ) *, ise fonksionunun grafiğine noktasında teğet çizmek mümkün değildir. (,) mh ( ) f^a hh -f^ah f^a hh -f^ah a h-a h Fonksionun sürekli olması halinde bile sürekli olduğu her noktada teğetinin olması mümkün olmaabilir. şeklindedir. a ve a h noktaları arasındaki artma miktarı (h) küçültülürse, ani h ile gösterilen büüklük sıfıra aklaştırılacak olursa (a, f(a)) ve (ah, f(ah)) noktaları birbirine aklaşır. Geometrik olarak (ah, f(ah)) noktasının (a, f(a)) noktasına aklaşarak çakışması halinde kesen doğrunun limit durumuna, f fonksionunun grafiğinin A noktasındaki teğet doğrusu denir. Teğet doğruu elde etme işlemini fonksionlara indirgeerek, A noktasından geçen doğrunun denklemi () bağıntısına göre, f^a hh f^ah ^a h $ f a a$ f a h $ h ^ h - ^ h h h ÖRNEK f() fonksionunu gözönüne alalım. f() fonksionu noktasında sürekli olduğu halde bu noktada bir teğet çizmek mümkün değildir. A k A f^a hh - f^ah f a h -f a. ^ h ^ h - $ a f^ah h h şeklinde azılır. O halde (a h, f(a h)) noktasının (a, f(a)) noktasına aklaşması halinde kesen doğrular için aranan limit erine h saısının sıfıra aklaşması halinde kesen doğrunun eğimi olan, fa ( h) fa ( ) h A A' ve A'' noktaları k doğrusu kendine paralel kalacak şekilde A noktasına aklaştırılabilir. Buna göre, başlangıçtan geçen ve k gibi her doğrua paralel kalan doğru noktası için teğet kabul edilebilir. Şu halde verilen fonksionun noktasındaki teğetleri merkezi O noktası olan ve fonksionu belirtilen iki doğru ile sınırlanmış 9 lik açıı dolduran doğru demetini oluştururlar. 57

7 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM. Türev ve Teğetin Eğimi Arasındaki İlişki f() fonksionunun grafiğine A(, ) noktasında çizilen teğetin eğimini araştıralım. A(, ) eğrisi üzerinde A noktasına akın E(, ) noktası için m AE Δ deki de iflim Δ deki de iflim bulunur. - Elde edilen bu sonuçları tabloda gösterelim. Nokta (, ) (.9,(.9) ) (.,(.) ) (, ) E im 5 5,9 6, 7 Düzlemde A(, ) ve B(, ) noktalarından geçen doğrunun eğiminin - m AB - olduğunu biliorsunuz. eğrisi üzerindeki A(, ) noktasına akın B(, ) noktası için, m m Şimdi eğrisi üzerinde A(, ) noktasına akın (.9, (.9) ) noktası için m AB AB AC Δ deki de iflim Δ deki de iflim bulunur. - Δ deki de iflim Δ deki de iflim f() fonksionunun grafiğine A(, ) noktasında çizilen teğetin eğimini bulalım. h R olmak üzere, h için A ve B ( h, f( h)) B ( h, ( h) ) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım. lim m AB h " " ^ hh - lim h ^ hh - 6h h lim h " h lim ^6 hh 6 d r. h " (h) A B (h,(h) ) h ^9, h - 8, , bulunur. 9, - -, Bu değer f() türevidir. fonksionunun noktasındaki sağdan eğrisi üzerinde A noktasına akın D(., (.) ) noktası için, m AD Δ deki de iflim Δ deki de iflim ^, h - 96, - 9 6, bulunur., -, C (( h), f( h)) C ( h, ( h) ) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım. lim m AC h " " ^-hh - lim h ^-hh - - 6h h lim h " -h lim ^6 - hh 6 h " ( h) A h C ( h,( h) ) 58

8 KAVRAMSAL ADIM Bu değer f() fonksionunun noktasındaki soldan türevidir. Bir fonksionun bir noktadaki türevi, fonksionun o noktadaki teğetinin eğimidir. f() fonksionun grafiğine A(, ) noktasında çizilen teğetin eğimi 6 dır. NOT Bir fonksionun grafiğine ait bir noktadaki teğetin eğimi için o noktadaki sağdan ve soldan türevin eşit olduğuna dikkat ediniz. ETKİNLİK a) f() fonksionunun noktasındaki soldan ve sağdan türevini bulunuz. ÜNİTE UYARI Bir fonksionun grafiğine a noktasında çizilen teğetin eğimi (sıfır) ise teğet doğru eksenine paraleldir. Eğim m tanα eşitliğinde α açısı teğet doğrunun ekseninin pozitif önüle aptığı açıdır. < α < 9 ise m tanα > 9 < α < 8 ise m tanα < Yani f fonksionunun noktasındaki türevinin değeri noktasındaki teğetinin eğimi m f'( ) tan α > ise α dar açı, m f'( ) tan α < ise α geniş açıdır. b) f() fonksionunun noktasındaki soldan ve sağdan türevini bulunuz. c) f() fonksionunun noktasındaki soldan ve sağdan türevini bulunuz. f' ( ) E im s f r < a < 9, f' ( ) > (E im pozitif) 9 < a < 8, f' ( ) < (E im negatif) 59

9 ÜNİTE. Bir hareketlinin t saatte aldığı ol S(t) t 5t fonksionu ile verilsin. Bu hareketlinin [,] aralığındaki ortalama hızını bulunuz. S^h- S^h V ort - ^ 5. h- ^ 5. h km / sa olur fonksionu verilior. değişkeninin aşağıdaki değerlerine karşılık gelen Δ ve Δ değerlerini bulunuz. a) den,ʼ e b) ten e a) Δ,, Δ f( ) f( ) f(,) f() [(,) 5(,)6] [ 5.6],9 b) Δ Δ f( ) f( ) f() f() ( 5. 6) ( 5. 6) UYGULAMA ADIMI. f() fonksionu verilior. değişkeninin aşağıdaki değerlerine karşılık gelen Δ ve Δ değerlerini bulunuz. a) den ʼ e b) den, e a) Δ Δ f( ) f( ) f() f() (. ) (. ) ( 7) 6 b) Δ,, Δ f( ) f( ) f(,) f() (.(,) ) (. ) [.(,)] ( ),, bulunur. 5. f() fonksionunun grafiği ve apsisli noktasındaki teğeti verilior. Buna göre f'() kaçtır? f'(), d doğrusunun eğimidir. m olup, f tü r. d l^ h f() d bulunur.. f ^ h hiperbolünün Af, p ve Bf, p noktalarından geçen keseninin (kirişinin) eğimini bulunuz., Δ 7 Δ f( ) f( ) m AB Δ deki de iflim Δ teki de iflim 7 - m - dur. AB olup eğim, 6. Şekilde f() eğrisinin grafiği ve apsisli noktadaki teğeti verilior. fl^h- ve B(9,) olduğuna göre, A noktasının ordinatı kaçtır? d doğrusunun eğimi OA fl^h m - d OB (eğim açısı geniş açı) OA 6 dır. O halde, A noktasının ordinatı 6 dır. OA 9 A T f() B 9 d 6

10 KAVRAMSAL ADIM. Diferansiel Kavramı f, noktasında türevli bir fonksion olsun. d f^h& fl^h& d fl^hd d Burada d e f nin noktasındaki diferansieli denir. Yaklaşık Değer Hesabında Diferansielin Kullanılması ETKİNLİK f: R R, f() fonksionu verilior. a) için aşağıdaki tablou tamamlaınız. Δ b) Herhangi bir için lim limitini hesaplaınız. Δ $ Δ f( ) f() ÜNİTE f( ) d,, f() P,, Δ, d doğrusu f nin grafiğine P noktasında teğettir. Şekilden Δ f(δ) f() ve Δ için, Δ d (Δ d) Δ, d olduğundan,, Δ d,,, d, f( Δ) f() olur. O halde, f( Δ), f() d diferansiel elde edilir. Bu ifade aklaşık değer hesaplamasında kulanılır. ÖRNEK ÖRNEK 6 saısının aklaşık değerini hesaplaalım. 5, 8 saısının aklaşık değerini bulalım. f() alalım. f ^ Δh, f ^ h d d Δ, 5 ve Δ d, 8 alınırsa, 8, 5, 8 5, 8, , 8, 5 5, 8dr. i f^h alalım. f ^ Δh, f ^ h d Δ, d^ h d Δ,. 6, Δ d alınır. ^-h 6 -, 6. ^6h 6, ,, 979 olur. 8 6

11 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK tan 8 nin aklaşık değerini bulalım. f() tan f( Δ), f() d f( Δ), f() f'() d tan( Δ), tan (tan X). d 5 ve Δ d π 6 alınır. tan^5 h, tan 5 ^ tan 5 h π tan 8, ^ h $ 6 π tan 8, olur. ETKİNLİK 5 $ saısını aklaşık olarak hesaplaınız. π 6. Türevin Tanımı (Bir Noktada Türev) A R ve f: A R fonksionu verilmiş olsun. A olmak üzere; f ^ h - f ^ h lim " ifadesi bir reel saı ise, bu limite, f fonksionunun noktasındaki türevi denir ve ile gösterilir. Bu durumda f fonksionu noktasında türevlenebilir denir. f fonksionu A kümesinin her noktasında türevlenebiliorsa, f fonksionuna A kümesinde türevlenebilir denir. f' : A R fonksionuna f fonksionunun A tanım kümesindeki türev fonksionu denir. f fonksionunun noktasındaki türevi f l^ df,, simgelerinden biri ile gösterilir. h d ^ h ^ h a h olsun, a h olup f fonksionunun a noktasındaki türevi biçiminde de azılabilir. - fl^ h f ^ h - f ^ h lim " - fa ^ hh-fa ^ h fl^ah lim h h" ETKİNLİK ln(e e ) nin aklaşık değerini bulalım. f() ln, e, Δ d e alalım. f( Δ), f() d f( Δ), f() f'()d ln^ Δh, ln d ln^e e h, ln e $ e e ln^e e h,. e dir ETKİNLİK f() a b fonksionunun R noktasındaki türevini bulunuz. fl^ h f l^ h f ^ h - f ^ h lim " - ^a bh - ^a b h lim " - a ^ - h lim a " - fl^h a bulunur. 6

12 . f: R R, f() biçiminde tanımlı f fonksionunun a noktasındaki türevi nedir? f ^ h- fa ^ h - a fl^ah lim lim " a a " a - a. f ^ h fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. ^- ah^ ah lim " a ^- ah lim^ ah " a a bulunur. UYGULAMA ADIMI. f: R R, f() fonksionunun noktasındaki türevi nedir? f ^ h- f^h ^ -h-^ -h fl^h lim lim - - " " - lim - " ^- h^ h lim " ^ - h lim^ h ". π f: R R, f() sin fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. bulunur. ÜNİTE bulunur. flf p lim " lim " lim lim f ^ h - ff p lim " - f - p f p lim. " - f " " ile genifllettikp - f- pf p Trigonometrik fonksionların türevini bulmak için, π π fc hm-fc m π flc m lim olunu kullanmak kolalık sağlar. h" h Türev alırken p q p-q sin p- sin q cos $ sin eşitliğini kullanacağız. π π sinc hm sin π flc m lim h h ". cos lim h " π π π h h π p f $ sin h π h h. cosf p$ sin lim h " h h sin π h lim cos f p$ lim h" h" h π cos $ f bulunur. p 6

13 ÜNİTE. Hareket fonksionu S S(t) t t 5 olan bir hareketlinin [,5] aralığındaki ortalama hızı kaçtır? (t sanie, S cm) PEKİŞTİRME ADIMI. f() fonksionunda neden sadece Δ 5 verildiğinde Δ bulunabilior da bu durum f() fonksionunda geçerli olmuor? 5 cm / sn. f() fonksionunun den e kadar Δ ve Δ değerlerini bulunuz. a için f() a b lineer fonksion olduğundan bu durum geçerli,. ve daha üksek dereceli polinom fonksionlarda gerçeli değildir. Δ 5. Aşağıdaki fonksionlar için Δ artış miktarını ve değişim oranını bulunuz. Δ a), ve Δ, için ^ - h b), ve Δ, c) log, 6, Δ 9. 5 Δ Δ a) 6 ; 56 b), ; c) ;,. f() fonksionu için aşağıdaki değerlere göre Δ i hesaplaınız. a), Δ, b) 8, Δ 9 c) a, Δ h 6. parabolünün kesim noktalarının ve apsisleri aşağıda verilmiş olan kesenlerinin (kirişlerinin) eğimlerini bulunuz. a), b),,9 c), h a), b) - c) a h - a a) b), c) h 6

14 PEKİŞTİRME ADIMI 7. Δ. Bir nokta vea eksen etrafında dönmenin t anındaki, eğrisinin [,5] kapalı aralığındaki oranını bulunuz. b) ani hızı Δ a) ortalama hızı nee eşittir? (t anındaki dönme açısı: α) ÜNİTE 7, 5 a) b) Δa Δt lim Δt " Δa Δt 8. fonksionunun kapalı aralığındaki değişiminin ortalama hızı nedir?. Isıtılmış bir cisim ısısı daha az olan bir ortamda eniden soğuacaktır. (ısı kabedecektir) Aşağıdaki ifadelerden ne anlaşılır? a) Ortalama soğuma hızı b) Verilen bir andaki soğuma hızı (t anındaki ısı I) ΔI a) Δt ΔI b) lim Δt Δt " Δ 9. f() eğrisi için [, Δ] kapalı aralığında oranının değeri Δ nedir?. Kimasal reaksion halindeki bir maddenin reaksion hızından ne anlaşılır? (Q, t anındaki madde miktarı) f ^ Δh -f ^ h Δ lim Δt " ΔQ Δ t 65

15 ÜNİTE. f: R R, f() fonksionunun a) noktasındaki türevini bulunuz. b) noktasındaki türevini bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI π 6. f() cos fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. a) 6 b). f: R R, f() fonksionunun a), b), c) noktalarındaki türevini bulunuz. 7. f ^ h fonksionunun a), b), c) noktalarındaki türevini bulunuz. a) b) 7 c) a) 5 b) 7 c) 7 5. f: R R, f() fonksionunun a), b), c) noktalarındaki türevini bulunuz. 8. f ^ h fonksionunun 8 noktasındaki türevini bulunuz. a) - b) - c) - 66

16 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK Grafikten ararlanarak 5. Türevin Tanımı () (Soldan ve Sağdan Türev) A R ve f : A R fonksionu verilsin. a A ve p R olmak üzere, ÜNİTE f() a a a c 5 c c c c a a 5 f ^ h- fa ^ h lim p a " a - limitine, f fonksionunun a noktasındaki soldan türevi denir ve f'(a ) ile gösterilir. q R olmak üzere, a) f fonksionunun limitinin olmadığı noktaları bulunuz. f ^ h- fa ^ h lim q " a a - limitine de fonksionun a noktasındaki sağdan türevi denir ve f'(a ) ile gösterilir. b) f fonksionunun süreksiz olduğu noktaları bulunuz. UYARI. Bir f fonksionunun a noktasında türevinin olması için gerek ve eter koşul f nin a noktasında sürekli ve f nin a noktasında soldan ve sağdan türevlerinin eşit olmasıdır. c) f fonksionu hangi noktalarda türevli değildir?. Bir f fonksionu a noktasında türevli ise f, bu noktada süreklidir. Ya da buna denk olarak, f fonksionu a noktasında sürekli değil ise f bu noktada türevli değildir. f() f() d) f fonksionunun sürekli olup türevli olmadığı nokta var mıdır? de f() süreksiz de türevi ok. de f() süreksiz de türevi ok. e) lim f( )?, f( a )? a $ f'(a )? 67

17 ÜNİTE. f: R R, f() fonksionu verilior. a) f'( ) b) f'( ) c) f'() değerlerini (varsa) bulunuz. a) fl^ - h lim " lim " - lim lim - " " " f ^ h- f^h lim - ^ h - " - -^- h. ^ h lim UYGULAMA ADIMI b) fl^ lim - - fl^ h lim - fl^ - h h lim lim f ^ h- f^h - lim - " " " f ^ h- f^h - lim - " " " f'( ) f'( ) olduğundan f nin noktasında türevi oktur. b) fl^ h lim " f ^ h- f^h - Şekli inceleiniz. da fonksionun belirli bir teğetinin olmadığına dikkat ediniz. c) f'( ) f'( ) olduğundan f'() oktur.. f: R R, f() fonksionu verilior. a) f, da sürekli midir? b) f, da türevli midir? lim " lim " - ^- h. ^ h lim - " lim ^ h " a) f nin sürekli olması için noktasındaki soldan ve sağdan limitlerinin f()ʼa eşit olması gerekir. fonksionu da süreklidir lim f ^ h lim lim ^- h " " " lim f^h lim f( ) f^holupf^h " ". f: R R Z -, < ise ] f ^ h [, ise ] -, > ise \ ile tanımlı fonksionun noktasındaki a) sürekliliğini inceleiniz. b) türevini (varsa) bulunuz. a) lim f ^ h lim ^- h - " " lim f^h lim ^- h. - " " ve f() olduğundan lim f^h f^h olup " f, de süreklidir. 68

18 b) fl^ - f ^ h- f^h - - h lim lim " " -^ -h lim - - " f ^ h- f^h ^ -h- f l^ h lim lim - - " " ^ - h lim - " dir. f'( ) f'( ) olduğundan f fonksionunun noktasında türevi oktur. UYGULAMA ADIMI a) > olduğundan f'() için f() 6 dır. f ^ h- f^h ^ -h-^. -6h fl^h lim lim - - " " ^ - 9h lim - " ^- h^ h lim " ( - ). ^ h 8 b) kritik nokta olduğundan sağdan ve soldan türevleri bulunmalıdır. ÜNİTE., # fr : " R, f ^ h * - -, fonksionunun noktasındaki türevini (varsa) bulunuz. f ^ h- f^h - - fl^ h lim lim - - " " ^- h^ h lim " ^ - h lim - ^ h - " f ^ h- f^h - - f l^ h lim lim - - " " -^ -h lim - - " olup f'( ) f'( ) olduğundan noktasında fonksion türevlidir ve türevi f'() dir. fl^ fl^ - ^ h lim " " - ^- h^ h lim - " ( ) f'( ) f'( ) olduğundan f'() oktur. 6. f() 6 fonksionu için eğer varsa, a) f'() türevini bulalım. b) f'() türevini bulalım. - - lim - " " h- ^ h ^ -6h-^. -6h h lim - ^ - h^ h lim - $ ^ h 5. Z, ise ] fr : " R, f ^ h [ 6, ise ] \ - 6, ise fonksionu için eğer varsa a) f'() değerini bulalım. b) f'() değerini bulalım. a), f() 6 fonksionu için bir kritik nokta olmadığından ^6 - h -^6-9h fl^h lim - " ^ h^ h lim lim - ( - ) " " -6 d r. 69

19 ÜNİTE b) noktası f() 6 fonksionunun bir kritik noktasıdır. Bu nedenle sağdan ve soldan türevlere bakılır. UYGULAMA ADIMI 8. f() ise, f'() kaçtır? fl^ fl^ - h f ^ h- f^h ^ -6h-^ -6h lim lim - - " " ^- h^ h lim ( - ) " 8 f ^ h- f^h ^6 - h-^6 - h h lim lim - - " " kritik nokta olduğundan sağdan ve soldan türevlere bakılır. fl^ h ^$ ^h h - ^ h lim - " - lim lim " " -( - )( ) lim -8 - ( - ) " f'( ) f'( ) olduğundan f'() oktur. dir. - f l^ h ^^- h h- ^$ h lim - " - - lim lim (- ) " " f'( ) f'( ) olup, f'() dır. 7. R de tanımlı f() fonksionunun deki türevi kaçtır? 9. f: R R, f(), < *, fonksionunun deki türevini bulunuz. Polinom fonksionlar her erde sürekli olduğundan de f fonksionu süreklidir. noktası fonksion için bir kritik nokta olmadığından sol sağ türevi bulmaa gerek oktur. Doğrudan türevi bulabiliriz. f ( ) f( ) f'( ) lim $ noktası bu fonksion için kritik nokta değildir. in komşuluğunda fonksion f() ile ifade edilmektedir. f() sürekli olduğundan hemen türevini hesaplaabiliriz. f ( ) f( ) f'( ) lim $ ( ) ( ) lim $ ( ) ( 6) lim $ lim $ lim $ ( )( ) lim $ ( ).( ) lim $ lim $ ( ) bulunur. lim ( ) dir. $ 7

20 . f() fonksionunun noktasında türevini (varsa) bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI. a b, # f ^ h * a, fonksionunun noktasında türevli olması için a ve b değerleri ne olmalıdır? ÜNİTE 5 a, b., # f ^ h *, şeklinde tanımlanan f fonksionu için f'() değerini (varsa) bulunuz. 5. f() fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz f ( ) fonksionunun noktasında türevini (varsa) bulunuz. 6. Z a b, ] f ^ h [ c, # ] d, $ \ fonksionu ve de türevli olduğuna göre, a, b, c, d değerlerini bulunuz. Türev oktur. a, b 7 c 6, d 9 7

21 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM 6. Türev Alma Kuralları D R ve f, g, h fonksionları D kümesinde türevli olsunlar.. Sabitin Türevi c R ve f() c & f'() dır. (Sabit fonksionun türevi sıfırdır.) ETKİNLİK Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulunuz. a) 6 ÖRNEK f() 5, f(), f() fonksionlarının türevi nedir? b) 6 7/ 5/ f() 5 & f'() f() & f'() f() & f'() dır. c) ( ).( ). n Q, c R olmak üzere, f() c. n f'() c.n. n dir. ÖRNEK f() 5, f() d) ( ) f ^ h, f ^ h fonksionlarının türevini bulunuz. f() 5 & f'() e) f() & f'() f f ^ h & l^ h $ f() & f'(). ( ) 8 olur. 7

22 KAVRAMSAL ADIM. Toplam vea Farkın Türevi F() f() ± g() & F'() f'() ± g'() tir. ÖRNEK f() 5 fonksionunun türevini bulalım. II. Yol: Çarpımın türevinde verilen kural ugulanırsa, f'()..()..() 6 bulunur. ÖRNEK ÜNİTE a, b olmak üzere; f() 5 & & f'() ( 5 )' f'() ( )' ( )' (5 )' f() ( a) ( b) fonksionu verilior. f'() denkleminin çözüm kümesini bulunuz. & f'() 9 olur. f() ( a) ( b) & f'() ( a)'( b) ( a)( b)'. Çarpımın Türevi. F() f(). g() ise F'() f'(). g() f(). g'(). F() f().g(). h() ise F'() f'().g(). h() f(). g'(). h() f(). g(). h'() tir..( b) ( a). (ab) f'() & (ab) & a b a b & dir. ÖRNEK f(). () fonksionu verildiğine göre, f'() ifadesini bulunuz. I. Yol: f() () ise f() olup f'().. 6 olur. ÖRNEK m, n Z olmak üzere; f() m n ise, f'() f'( ) toplamı nedir? f() m n & f'() m m n n olur. f'() m n f'( ) m( ) m n( ) n m( ) n( ) (mn) ve f'() f'( ) m n (m n) bulunur. 7

23 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM 5. Bir Fonksionun Kuvvetinin Türevi n Q ve F() [f()] n & F'() n.[f()] n. f'() tir. ÖRNEK f() ( ) fonksionunun türevi nedir? 6. Bölümün Türevi g() olmak üzere, f ^ h fl( ). g( ) - f^h. gl^h F ^ h & Fl ( ) g ^ h 6 g ^ ÖRNEK f() ( ) & f'().( ) 9.( )'.( ) 9...( ) 9 olur. f ^ h olduğuna göre, f'() ifadesini bulunuz. ^ hl. ^ h- ^ h. ^ hl fl^h ^ h ^ h ^ h ^ h ^ h bulunur. ÖRNEK f ( ) ^ h fonksionu için f'( ) nedir? f ^ h ^ h & f ^ h ^ f'().( ). ( )' h ÖRNEK f ^ h ise, f'( ) cosi pozitif i açısı kaç derecedir? eşitliğini sağlaan en küçük. ( ). X. olup ^ h. ^ h f'( ) ^^- h h 6 bulunur. f ^ h ise. ^ h. ^h f l^h ^ h ^ h. ^ h fl^ h cos i ^ ^ h h i 6 dir. ise 7

24 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK f() ( ) ise, f'() nedir? f'() ( ).( ) Vea ( ) te u olsun. u d & u du du d KOLAYLIK a, b, c, d R olmak üzere, olur. d d du. ( ).( ) d du d bulunur. a b ad - bc f ^ h ise f l^ h dir. c d ^c dh ETKİNLİK f ( ) düzenlenirse UYARI fonksionunun türevini bulalım. ( )( ) ( )( ) f'( ) ( ) 6 f'( ) ( ) f ( ) türevi f'( ) a b c m n p a m a m b n c p bulunur. ise katsaıları azılarak b n a c m p ( m n p) a b ; an bm dir. E m n bulunur. Buna göre bir önceki örneği çözelim. Katsaıları b n c p ÜNİTE ÖRNEK f'( ) ( ) 5 f ^ h - fonksionunun türevini bulalım 6 f'( ) ( ) olur. ETKİNLİK 5. ^-h -5. f ^ h & fl^h - ^ - h --5 ^ - h f ( ) 5 fonksionunun deki türevini bulunuz. -9 ^ - h dir. 75

25 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK a f ^ h ve fl^h ^ h ^ h f ^ h ^ h ise ise, a kaçtır? ÖRNEK f ^ h ise, fl^h nedir? ^ hl f ^ h & fl^h. ^ h -. ^ h fl^h ^ h ^ h6 ^ ^ h^ h - a ^ h ^ h ise a - dir. ÖRNEK f ^ h isef ^ h. fl^h nedir? dir. ÖRNEK Her iki tarafın karesini alalım. m m R olmak üzere f ^ h m kaçtır? fonksionunun türevi sıfır ise, f ^ h & f^h olur. Şimdi de her iki tarafın türevini alalım.. f^h. fl^h & f^h. fl^h dir. m m ^ h ^m h f ^ h & fl^h ^ h ve m - fl^h & & m - ^ h & m & m " dir. ÖRNEK f ^ h - ise, f'() kaçtır? 7. Köklü İfadelerin Türevi gl ^h a) f ^ h g ^ h & fl^h g ^ h n b) f ^ h g ^ h & fl^h n. n gl ^h 6 n - dir. f ^ h - - & fl^h - fl^h - - & fl^h - -. tü. r 76

26 KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK a, b, c R f ^ h a b c, f^h ve f().f'() ise, f'() kaçtır? f^h a b c ise f ^h a b c ETKİNLİK f ( ) fonksionunun türevi Bu tip fonksionlarda türev alınırken önceden sadeleştirme apılırsa f() /6 X / X / 76 / / / f'( ) 6 biçiminde bulunur. ÜNİTE b f ^ h. fl^h a b& f ^ h. fl^h a ve b f ^ h. fl^h & a b & a, & b 6 d r. f^h & f^h c & c ve f ^ h 6 dir. f^h. 6. f ^ h. fl^h & f^h. fl^h. ETKİNLİK. a) f ( ) fonksionunun türevini bulunuz. &. fl^h 7 7 & fl^h dir. ÖRNEK f(). ise, f'() değerini bulunuz. b) f() ise, f'() değerini bulunuz. f ( ) f'( ) f'( ). olur. 77

27 ÜNİTE UYGULAMA ADIMI. f(). f() m ve f'() 6 olduğuna göre, 6 fonksionu için, flf p değeri kaçtır? m kaçtır? f ^ h 6 isefl^h 6 & flf p. 6 7 dir. f() m ise f'() m & f'(). m & m 5 & m - bulunur.. f(). g() fonksionu için g( ), g'( ) olduğuna göre, f'( ) kaçtır? f().g() & f (). g(). g'() için, f'( ) ( ). g( ) ( ). g'( ) f'( ). bulunur. 5. f ^ h ise, f'() değeri kaçtır? ^ h. ^ h- ^ h. ^ h fl^h ^ h ^. h^. h- ^. h. ^. h f l^h ^. h bulunur.. Ugun koşullarda f ^ h. f ^ h koşulunu sağlaan f fonksionu için f() ise f'() değeri kaçtır? f ^ h. f ^ h ise fl^h fl ^h 6. f^h. f ^ h iç in, fl^h fl ^h 6.. f^h.. f^h. fl^h f l^h 6 fl^h $ fl^h & fl^h- fl^h fl^h & fl^h 5 bulunur. 6. f ^ h fonksionuna apsisi olan noktadan - çizilen teğetin eğimi kaçtır? f'() istenmektedir. ^ hl. ^ -h- ^ h. ^ -hl fl ( ) ^ -h ^ h. ^ -h- ^ h. ^ h f l^h ^ -h ^ h. ^ -h- ^ h. ^ h f l^h ^ -h 5-8 fl^h - bulunur. 78

28 a 7. f ^ h fonksionu için, fl^h olduğuna göre, a kaçtır? a a. ^ h- $ ^a h f ^ h & fl^h ^ h a$ - $ ^a h & fl^h ^$ h UYGULAMA ADIMI. f() a fonksionunun grafiğine apsisli noktada çizilen teğetin eğimi 6 olduğuna göre, a kaçtır? f'() 6 olmalıdır. f'() a olup f'(). a 6 & 6 a & a dir. ÜNİTE a - 6 & a & a 9 bulunur.. f() ( ) ise, f'() nedir? 8. f().g() f'(), g'() olduğuna göre, g() kaçtır? f() ( ) & f'() ( ). ( )' f'(). ( ). f(). g() f'() 6. ( ) bulunur. f'(). g(). g'() 6 & f'().. g().. g'(). 6. f'() ve g'() olduğundan. g(). 9.g() g() bulunur.. f( 5) olduğuna göre, f'() f() kaçtır? f( 5) & f'( 5). 9. f() (6 ) fonksionu için f'( ) değeri kaçtır? f() (6 ) & f'() (6 ).(6 )' (6 ). ( ) için; f'( ) (6. ( ).( ) ). (( )). 5. ( ) 75 bulunur. & f'(. 5).. & f'(). 9 & f'() f( 5) & f(. 5). & f() 9 O halde, f'() f() 9 bulunur. 79

29 ÜNİTE. f() 5 ise, f'() i bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI 5. f(). () fonksionu için f'( ) değeri kaçtır?. f() ise, f'( ) değeri kaçtır? 6. - f ^ h fonksionunun - noktasında (varsa) türevini bulunuz.. f().g() ve g( ), g'( ) olduğuna göre, f'( ) değeri kaçtır? 7. f ^ h fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. oktur 7. f ^ h fonksionu için flf p değeri kaçtır? 8. ^ - h f ^ h fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. 5 8

30 KAVRAMSAL ADIM 8. Parametrik Fonksionların Türevi D f R ve f: D R fonksionu (bağıntısı) f() kuralıla verildi ği gibi, t ortak değişkenine bağlı olarak f(t) ve g(t) kuralıla da verilebilir. Burada t e parametre, f(t) ve g(t) ifadesine parametrik fonksion denir. f(t) ve g(t) fonksionları t e göre türevli olmak üzere, nin değişkenine göre türevi: d d dt $ d dt d d dt d dt dir. l t Bu türev kısaca l biçiminde gösterilir. l t d d dt t - d d t - t dt d d t Kapalı İfadelerin Türevleri F(,) denkleminden, f() gibi nin e bağlı fonksionu elde edilebiliorsa türev d fl^h tir. d bulunur. ÜNİTE ÖRNEK t, t t ise, d t & t dt ÖRNEK d d d t t & t olup dt d d d dt dt t $ d dt d d t dt ifadesi nedir? dir. Ancak çoğu kez, f(,) denkleminde f() gibi bir fonksion bulmak olanaksızdır. Bu durumda verilen denklemin her teriminin e göre türevi alınarak türevi bulunur. d d ÖRNEK ise, d d ifadesi nedir? t t ve t d t ise, türevinin t noktasındaki d değeri nedir? d t - t & t -t dt d t - t & t- ve dt eşitliğinde her terimin 'e göre türevi alınırsa, &.. ' &.' &.' & ' - & d d - bulunur. 8

31 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK d 5 ise, d d Önce i bulalım: d Her terimin ʼe göre türevi alınırsa: değeri kaçtır? F(,) F' (,) 6 F' (,) olup d Fl ^, h 6 - d Fl ^, h - dir.. X..'..' '( ) ETKİNLİK d l - d sin (π) cos ( ) & '? d d ve d d. bulunur.. KOLAYLIK F(,) denkleminin l d türevi şöle de bulunabilir. d sabit düşünülerek değişkenine göre F' (,), sabit düşünülerek değişkenine göre F' (,) bulunarak d Fl ^, h l - azılır. d Fl ^, h. Trigonometrik Fonksionların Türevleri:. a) f() sin & f'() cos b) f() sing() & f'() g'(). cosg() c) f() sin n & f'() n.sin n. (sin)' n.sin n.cos ÖRNEK f() sin ise, f'() nedir? ÖRNEK ise, d d ifadesini bulunuz. f() sin ise, f'() ()'. cos & f'().cos tir. 8

32 KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK f() sin ise, π flc m kaçtır? f() sin ise, f'() sin. (sin)' sin. cos sin ve π flc m sin. π sin π dir. f() sin sin ise f'()..sin.(cos)..sin.(cos)...sin.cos..sin.cos. (sin6 sin8) olup π π π f' c m. csin 6 $ sin 8 $ m π π. csin sin m $ f p ÜNİTE ÖRNEK. a) f() cos & f'() sin 6^ h tü. r f() a.sin b.sin ve fl ( ). cos. cos ise π fc m kaçtır? b) f() cosg() & f'() g'().sing() c) f() cos n & f'() n.cos n.(cos)' n.cos n.sin f() a.sin b.sin ise ÖRNEK f'() a.cos b.cos cos cos olup bu eşitlikten cos f ^ h ise, f l^ h nedir? a, b & b bulunur. O halde, f() sin sin olup, π π π fc m sin sin. - bulunur. cos f ^ h ise. sin. sin fl^h ^hl sin olur. ÖRNEK ÖRNEK f().sin.sin ise, π flc m nedir? f() cos π cos türevinin 6 noktasındaki değeri nedir? 8

33 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM f() cos cos ise f'().cos.sin sin sin sin sin π π π flc m. sin $ - $ sin $ dir. ÖRNEK f() tan ise, f' () ifadesinin eşiti nedir? f() tan ise f'().(tan X) 6(tan ) 6sec vea 6 cos tir. ÖRNEK ÖRNEK f() tan cos ise, π flc m değeri nedir? f() sin π cos π. olduğuna göre, f'( ) kaçtır? f() tan cos ise fl ^h $ tan $ f p$ -cos $ sin cos π. f ^ h sin π cos ise r r r f'() π.sinπ.cosπ. cos. sin π π fl^- h.π. sin^-π h. cos^-πh-π. cosc- m. sinc- m olur. π π π π flc m $ ftan p $ cos $ sin π fcos p $ ^ h $ - $ $ f- p 6 $ - dir.. a) f ^ h tan & fl^h tan cos sec b) f ^ h tan g ^ h& fl^h ^ tan g ^ hh. gl^h $ gl ^h cos g ^ h sec g^h. gl ^h n n- c) f ^ h tan & fl^h n$ tan $ ^ tan h n - n$ tan $ cos 8 n - n$ tan $ sec. a) b) c) f ^ h cot & fl^h- ^ cot h - -cosec sin f ^ h cot g ^ h& fl^h gl^h^ cot g ^ hh gl^h - sin g ^ h -gl^h$ cosec n n- f ^ h cot & fl^h- n. cot $ ^ cot h n - -n$ cot $ sin g^h n - -n$ cot $ cosec

34 KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK f() cot cot ise, f'() ifadesini bulunuz. f() cot cot ise f'() cot.( cot ). ( cot X) 8cotX 8cot X cot X olur. f ^ h- f^h f ^ h- f^h lim lim " - " ^- h^ h f ^ h- f^h lim $ lim - " " fl^h$ fl^h ve π π π fl^h tan $ c tan m $ oldu undan π π π tan tan f l^ h ; c $ m$ c me π π bulunur. ÜNİTE ÖRNEK ÖRNEK π f ^ h tan cot ise, flc m kaçtır? tan t ve cot t ise, d d türevi nedir? ^ tan h- ^ cot h f' ^h tan cot π c tan m- c cot π f lc m π π tan cot. π m ^ h- ^ h d tan t & tan t dt cos t d cot t & - ^ cot th- olup dt sin t d d dt cos t sin t -tan t bulunur. d d cos t dt sin t. Logaritma Fonksionunun Türevi 7 7 dir. fl^h a. F() ln(f()) & F'() tir. f ^ h ÖRNEK π f ^ h- f^h f ^ h tan ise, lim " - ifadesinin değeri nedir? b. F() log a (f()) & F'() (a R {}) dir. fl^h $ f ^ h ln a fl^h log f ^ h a e 85

35 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulalım. a) f() ln d) g() log b) g() ln e) h() log 5 (sin) c) h() ln f) k() log (ln) ETKİNLİK f(), n u, n(, n) u' f'() u dersek f'( )., n & u' ise türevini bulalım. olur. tir. O halde ^hl a) fl^h b) g'() ()'. ln. (ln)' ln. c) h(), n,n, n ^ hl d) g'() alog l $ log e k ^sin hl e) hl ^h alog ^sin l $ log e 5 hk sin 5 ^, nhl f) kl^h alog, n l $ log e ^ hk, n ^hl hl ( ) $. tir ETKİNLİK log e $ $ ln cos $ log e cot $ sin 5 ln 5 $ log e $ dir., n n,, n f(), n( sin ) için f' a r k? 6, n. Üstel Fonksionun Türevi a ifadesinin her iki anının doğal logaritmasını alalım: a & ln lna & ln lna olur. Her iki anının türevi alınırsa l. lna & l. lna & l a. lna bulunur. O halde a) a & ' a.lna b) a f() & ' a f().f'().lna dır. ÖRNEK f() log ( ) ise türevini bulalım. f'() loge. tür., n f(),n( sin ) Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulalım. a) f() d) f ^ h ise türevini bulalım.. cos f'().cot olur. sin b) g ^ h a e) g() sin c) h ^ h - f) h ^ h 5 86

36 KAVRAMSAL ADIM a) f() & f'(). ()'. ln. ln b) g ^ h a & gl^h a $ ^ hl $, na $ a., na - - c) h ^ h & hl^h $ ^-hl $, n $ $, n -$ $ $, n - -$ $, n d) f ^ h ise fl - - ^h ^- hl $, n $ ^ h, n -$ $, n e) g() sin & g'() sin. (sin)'ln cos. sin. ln f) h ^ h 5 & hl^h 5 ^ hl $, n5 ETKİNLİK f ( ) e ise, f'() i bulalım. f'( ). e olur. UYARI a fonksionunda a e(e,788...) alınırsa e olur. e ' e.lne e. e tir. O halde e f() ' e f().f'() olur. ÜNİTE 5 $ $,n5 tir. ÖRNEK ETKİNLİK a) f ( ) sin( e ) ise, f'( )? Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulalım. a) f() e d) f() e sin b) g() e e) g() e c) h() e f) h() e e a) f'() e.()' e b) g'() ()'.e. (e )'.e.e.( )' e e e (-) b) f ( ) e cos ise, f'( )? c) h'() ( )'e (e )' e e e ( ) d) f'() (e sin )' e sin.(sin)' cos.e sin e) gl e e. e ^ h ^ hl $ ^ hl $ tir f) h'() (e e )' (e )' (e )' e e.( )' e e tir. 87

37 ÜNİTE. Parametrik denklemi t t t t olan f() fonksionu için değeri kaçtır? d d dt t t d d 9t dt t d d UYGULAMA ADIMI türevinin t noktasındaki bulunur.. f() sin π fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. f ^ h sin & fl^h. sin $ cos π π π & flc m. sin $ cos.. bulunur. 5. f() cos π cot fonksionunun - apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?. eşitliğile verilen f() fonksionunun ' türevini bulunuz. F l - F l - dir. f() cos. cot f'().. cos. ( sin) cot. [ (cot )] π π π flc- m-6. cosc- m$ sinc- m π π π cotc- m $ c- m$ ;- c cot c- mme π -6$ $ f- p- $ - π. bağıntısıla verilen f() fonksionunun apsisli noktasındaki türevini bulunuz. bağıntısında için.( ) ( ). ( ). olup, A(, ) noktasındaki türev soruluor. 6 ', azılırsa ifadesinde 6$ ^ h $ ^-h$ ^- h ^-h$ l - ^- h ^-h bulunur sin - cos π f ^ h fonksionunun sin cos apsisli noktasındaki teğetinin eğimini bulunuz. sin - cos f^h sin cos π bulunur. ^cos sin h$ ^sin cos h-^sin - cos h$ ^cos - sin h & fl^h ^sin cos h π π ccos sin m - & fl^r/ h bulunur. π π csin cos m O halde, m T dir. 88

38 7. sin f ^ h - cos fonksionunun noktasındaki türevinin değeri kaçtır? sin f ^ h - cos ^ cos h$ ^-cos h- ^ sin h$ ^ sin h f l^h ^- cos h ^ cos h$ ^-cos h- ^ sin h$ ^ sin h f l^h ^- cos h ^ h^-h-$ - - bulunur. ^-h UYGULAMA ADIMI. f ^ h log ise, f 9 kaçtır? 5 f p l^ h f p ' f ^ h log & f $ log e 5f p l^ h 5 f p $ ^ h- ^ h$ ^ h & fl^h $ log e 5 f p & fl^h $ f p$ ^ h ln 5 ÜNİTE l f l^h $ ^ h^ h ln 5 8. f().tan π fonksionunun noktasındaki teğetinin eğimini bulunuz. f ^ h. tan & fl^h. tan $ $ tan $ ^ tan h π π π π π fl tan tan tan c m $ $ $ c m π ^ h π bulunur.. f() log( ) ise, f'() kaçtır? f() log( ) ise ^ fl^h hl $ log f l^h $ ln l fl^9h $ tir.. ln 5 ln 5 e fl^h $ dur. ln ln ln 9. f() ln( ) ise, f'() kaçtır? ^ hl f ^ h ln^ h & fl^h $ ln e f l^h. fl^h dir.. f() ln(tan) ise, f'() nedir? ^tan hl f ^ h ln^tan h isefl^h tan tan fl^h tan tan tan fl^h cot tan olur. 89

39 ÜNİTE. f() ln(ln) ise, flf p kaçtır? e ^, nhl f ^ h, n^, nh & fl^h, n & fl^h, n n, e e & flf p - e dir. e e n, ne - $, e. ise,, ' nedir? &, n, n &, n, n l & ^, nhl l &,n $ & l $ ^n, h & l ^n, h. & ' (, n ) 5. cos ise, ' nedir? cos & ln ln & ln cos $ ln l & ^cos $ ln hl l & - sin $ ln cos f p & l $ f- sin ln cos p cos UYGULAMA ADIMI 6. f() ln( sin ) ise, f'() nedir? ^sin hl cos^ h. ^ hl f ^ h ln^sin h & fl^h sin sin 7. (ln) ln ise, ' nedir?, n, ^, nh &, n, n6^, nh &, n, n., n(, n) ' ' ( ) n n n ^, nh,,,, n & ' ;, n(, n) E, n ' (, n). 6, ( ) n, 8. ln ise, f'(e) nedir? f^h $ cos f l^h sin cot fl^h tir. n l,, n f^h & fl^h f p $ $, n, n 6 ^, l$ - fl^h -^, nh $ $ fl ( e) -^, neh - $ e $, n, n., n ln, ne $ $ $, n e $, n cos & l $ f- sin $ ln cos p olur. -, n e dir. 9

40 PEKİŞTİRME ADIMI π. f() sin tan fonksionunun r apsisli noktasındaki. f() cos fonksionunun apsisli noktasındaki türevini bulunuz. türevini bulunuz. ÜNİTE π - π sin. f() fonksionunun apsisli noktasındaki cos türevini bulunuz. 5. eşitliğile verilen f() fonksionu için d d türevini bulunuz. d - l - d - -. Parametrik denklemi t 5t t t olan f() fonksionu için, d d türevini bulunuz. π 6. f() sin sin fonksionu için flc m değeri kaçtır? 6t t - 5 9

41 ÜNİTE PEKİŞTİRME ADIMI 7. f() sin(cos) ise, f' () fonksionunu bulunuz.. f ^ h olduğuna göre, flf p değerini bulunuz., n e sin. cos(cos) 8. f() sin (sin) fonksionunun türevini bulunuz.. f() e sin π olduğuna göre, flc m değeri kaçtır? sin (sin).cos(sin).cos 9. f().ln ise, f'(e) değeri kaçtır?. f().e fonksionu için f'() değeri kaçtır? e 8e 9

42 e. f ^ h fonksionu için f'() değeri kaçtır? - e PEKİŞTİRME ADIMI, n 6. f ^ h fonksionunun apsisli noktasındaki türevini bulunuz. ÜNİTE 7ln. f() e tan π fonksionu için flc m değeri kaçtır? 7. f().5 fonksionu için f'() değeri kaçtır?, n^5eh 5 π e ( ) cos sin π 5. f ^ h - fonksionunun apsisli noktadaki türevini bulunuz. 8. f(). olduğuna göre, f'( ) değeri kaçtır? -.,n ^, n h- 9

43 ÜNİTE. Bileşke Fonksionun Türevi (Zincir Kuralı): D R, E R olmak üzere; f: D E fonksionu a D noktasında, g: E R fonksionu f(a) E noktasında türevlenebiliorsa; gof: D R fonksionu da a noktasında türevlenebilirdir ve (gof)' (a) g'(f(a)). f'(a) dır. f(), z g() alınırsa z g(f()) (gof)() olur. dz dz d ^gofhl^ h $ ani zl zl $ l d d d (gof)'() g'(f()). f'() olur. ÖRNEK f: R R, f() g: R R, g() ise, (gof)'() nedir? I. Yol: KAVRAMSAL ADIM (gof)'() g'(f()). f'() olduğundan g() & g'() f() & f'(), f() ve f'(). ise g'(f()) g'() 8 olduğundan (gof)'() 8. 6 dır. II. Yol: (gof) () g(f()) ( ) ( ) (gof)'() ( ) olup (gof)'() (..).8 6 dır. ÖRNEK f, g ve fog fonksionları türevlenebilir fonksionlardır. g( ), g'( ) ve f'() olduğuna göre, (fog)'( ) kaçtır? (fog)'( ) f'(g( )).g'( ) f'().. dir. ETKİNLİK. Ters Fonksionun Türevi: A R, B R olmak üzere; f: A B bire bir ve örten fonksionunun ters fonksionu f : B A olsun. A için f() B ise ters fonksion tanımından B için f () A dır. f () eşitliğinin her iki anının ʼe göre türevi alınırsa; ^ f hl ^h$ l vea ( f ) l^h tir. l l fl^h fl^f ^hh oldu undan ^f ^f hl^ h a da fl ^f ( ) h f ( ), n, g ( ) ise ÖRNEK f:(,) R, f() fonksionu verilior. (f )' () nedir? I. Yol: (fog)() fonksionunun türevini bulalım. ( fog)( ), n( ) olur. ( fog)'( ) n ' a, k hl^ h olur. fl^f ( ) h f fonksionu (,) aralığında bire bir ve örten olduğundan ters fonksionu vardır. & & ( ) ( ) & bulunur. ve (,) olduğundan > dir. 9

44 KAVRAMSAL ADIM - - ise ve f ( ) dir. Ohalde, f ^h dir. ^ f hl ^h & ^f hl^ h olur. II. Yol: ETKİNLİK f() 5 eşitliği ile tanımlanan f : R R fonksionu verilior. (f )'()? ÜNİTE f() ise f ^h ( bulundu.) ^ f hl^ h fl^h ^ - hl - ^f III. Yol: ^ -h hl^ h. f() (f & )' () olduğunu görmüştünüz. (f )'() için fl^h e karşılık gelen değerini bulmalıız. f() & & & ( ) ( ) olur. ve tür. z (,) ve (,) olup için tür. O halde, 5. Ardışık Türev (Yüksek Sıradan Türev): D R ve f: D R fonksionu D kümesinde türevli ise; ifadesine f fonksionunun. sıradan türevi denir. Eğer f' türev fonksionu da, E D olmak üzere E kümesinde türevli ise dl d m fm^h ^fl^hhl d d. sıradan türevi denir. Benzer düşünüşle d l fl^h d dm d n fn^h ^fm^hhl d d ifadesine f fonksionunun ifadesine f fonksionunun. sıradan türevi denir. Genel olarak n N ve n > için ^n - h ^nh ^nh d d f ^h d n d ifadesine f fonksionunun n. sıradan türevi denir. n ^f h^h & ^f hl^ h fl^h fl^h ve f() & f'() olduğundan fl ^h. - ve^f hl^h fl^h bulunur. ÖRNEK f() fonksionunun. sıradan türevini bulalım. 95

45 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ise ' 6 " (')' 6 6 dır. ÖRNEK f() sin sin fonksionunun. sıradan türevini bulalım. sin sin ise ' sin. cos sin. cos sin sin. cos " (')' cos.(sin. cos). cos sin. ( sin) cos sin. cos sin bulunur. n sıradan türev sorulduğunda önce, verilen fonksionun birkaç sıradan türevi bulunur. Bu türevlerden ararlanarak n. sıradan türev bulunur. ' n. n " n.(n ) n "' n.(n ). (n ). n... (n) n.(n ). (n )..[n (n )] n n (n) n.(n ). (n ). (n )... (n) n! bulunur. ÖRNEK fonksionunun n. sıradan türevi nedir? ÖRNEK f() 5 fonksionunun. sıradan türevini bulalım. 5 ise ' 5 " (')' '" tür. UYARI f(), n. dereceden polinom fonksion ise, f fonksionunun n. sıradan türevi sabit, daha üksek türevleri sıfırdır. & l dir. ' ( ). '' ( ) ( )... '''..( ).... (n) ( ) n... n. (n) (n) ( ) n n!. n bulunur. ETKİNLİK f() Arccosa k fonksionunun türevini bulalım. f ( ) Arccos & f'( ) 9 ÖRNEK n N olmak üzere f() n fonksionunun n. sıradan türevi nedir? f'( ) 9 9 bulunur. 96

46 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK ) f : R R, e) f ^ h arctan & fl^h ÜNİTE f() ise, f () ()? ve f () ()? f) g) gl ^h f ^ h arctan g ^ h& fl^h 6 g ^ - f ^ h arccot & fl^h h) gl ^h f ^ h arccot g ^ h& fl^h- 6 g ^ ETKİNLİK ) sin, cos fonksionlarının n. sıradan türevlerini, n doğal saısına bağlı olarak veren formüller bulunuz. r 5 f() sin c Arc tan m 'nin saısal değerini bulalım. cos tan 5 c m 5 cos & cos r sina ak cos a tür. olduğundan f ( ) bulunur. 6. Ters Trigonometrik Fonksionların Türevi a) f ^ h arcsin & fl^h - NOT: cos tan ve olduğunu hatırlaınız. r sina ak cos a b) f ^ h arcsin g ^ h& fl^h gl ^h - 6 g ^ ETKİNLİK f() Arccos fonksionu için f'() ın değerini c) d) f ^ h arccos & fl^h- f ^ h arccos g ^ h& f' ^h- - gl^h - 6 g ^ bulalım. f'( ). f'() bulunur. 97

47 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK ÖRNEK f ^ h arcsin ise, f'() nedir? ( > ) fl^h l f p - f p f ^ h arctan f ^ h arctan ise ^ hl fl^h ^ h ise, f'() kaçtır? fl^h bulunur. - - olur. ETKİNLİK f() Arcsin(π/) fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. ÖRNEK f() arccos bulunuz. fonksionunun türevsiz olduğu en geniş kümei r f() Arcsin a k & f'( ) f'( ). dir. f ^ h arccos ise, fl^h- - olup f'( ) bulunur. için tanımsızdır. & ± dir. - f' nün tanımlı olmadığı erlerde f' süreksiz olduğundan türevsizdir. O halde (, ], [, ) kümesinde f() arccos fonksionu türevsizdir. ETKİNLİK f() Arccot fonksionu verilior. Buna göre, f'() in değerini bulalım. f ( ) Arccot f'( ). f'( ) bulunur. 98

48 KAVRAMSAL ADIM 7. Mutlak Değerli Fonksionların Türevi D R ve f, D kümesinde türevli bir fonksion olsun. F() f() ise fl^h. f^h fl^h, f^h ise Fl^h * f ^ h -fl^h, f^h ise dir. ÖRNEK f() 8 fonksionunun türevi nedir? UYARI Mutlak değerin içini pozitif apan değerler için, doğrudan içinin tü-revi alınır. Negatif apan değerler için, içinin türevi ile çarpılır. ETKİNLİK f : R R f() olduğuna göre, f() f'() ün değerini bulalım. f() & f() f'().( ) & f'() f() f'() bulunur. ÜNİTE 8 & dir. ^- 8hl. 8! için fl^h ^ - h - dir. ETKİNLİK f() fonksionu için f'(), f'( ) ve f'(5) değerlerini bulalım. ÖRNEK ( ) f() fonksionunun noktasındaki türevi nedir? Buna göre f(), f( ) olduğundan f'( ) ve f'() oktur. f(5) > & f() & f'() f'(5) olur. & ( ) ( ) & ve ʼtür. f() ( ) < olup f() & f'() ve f'(). olur. ÖRNEK f: R $ [,] f() cos fonksionu verilor. π π π π a) flc m b) flc m c) flf p d) f' c m 6 ifadelerini hesaplaınız. 99

49 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM π π a) cos oldu undan flc m oktur. π b) cos > oldu undan π π flc m - sin - dir. 8. Parametrik Denklemlerde İkinci Mertebe Türevlerin Hesaplanması g() t parametrik denklemlerinden h() t türevini hesaplaalım. d d d' d d d d' dt d c m ve l d d d d d d dt ikinci mertebe d dt d dt olduğundan π c) cos - oldu undan π π flf p. f sin p dir. dl dt d d d d $ - $ dt dt dt dt d f p dt dir. d) π cos oldu undan 6 π π flc m - sin dir. Yerine azılırsa d d d d l d $ - $ d dt dt dt dt dt d d d d dt f p $ f p dt dt ÖRNEK d d d d $ - $ d dt dt dt dt d d f p dt bulunur. f() 5 k ve f'() ise, k nedir? a da d ". ' ' " d ^' h bulunur. 5 &, 5 tir. ETKİNLİK t [, π] parametresine bağlı olarak 5 5 cost sin t için 5X < olduğundan f() 5 k & f() 5 k ile verilen fonksion için d d r t? f'() 5 k & f'(). 5 k & 5 k & k dir.

50 UYGULAMA ADIMI. f() ve g() ise, II. Yol: a) (fog)'() nedir? b) (gof)'() nedir? Fonksionun tersini bulmadan f () a & f(a) & a 5 a a) I. Yol: (fog)() f(g()) () a dir. f() 5 & f'() (fog)() f'( ). ( ) olur. (fog)'() ( f )'( ) fl^ h olur. II. Yol: (fog)'() f'(g()). g'() ÜNİTE. b) I. Yol: (gof)() g(f()) ( ). f: [, ] [ 9, ) f() 5 ise, (f )'( 5) kaçtır? II. Yol: (gof)'() (gof)'() g'(f()). f'(). ^f hl^ 5h fl^f ^ 5hh f ( 5) a & f(a) 5 tir. olur. a a 5 5 & a V a f [, ) olduğundan a tür. ( [, )). f: R R, f() 5 ise, (f )'() değeri kaçtır? f'() & f'(). tür. ^f hl^ - 5h fl^f ^ 5hh fl^h olur. I. Yol: f () ʻ i bulup türev alalım. 5 & 5 & -5 & f ^h -5 & ^f hl^h. ^ - 5h & ^f hl^ h. ^- 5h dür.. f() 5 ise, f''() nedir? f() 5 ise f'() f''() 6 dur.

51 ÜNİTE 5. f() 5 ise, f (5) () nedir? f'() 5 f''() 5.. f'''() 5... f () () 5... f (5) () ! olur. UYGULAMA ADIMI 8. $ sin t d cos t d I. Yol: nin efliti nedir? d d dt sin t. sin t. cos t - - d d cos t. cos t dt d - sin t d 6. f ( ) e ise, ^h f ^h nedir? df- sin tp -. cos t d - d d. cos t 9 dt dur. fl^h e e e fm^h $ $ e fn^h $ $ $ e e... f^ h^h f $ $ p$ e $ e dir. II. Yol: d ''' ''' d ^' h _ ' cos t b b '' - sin t b d cos t$ ^-cos th-^-$ sin th$ ^-sin th ` ' -sin t b d ^ cos th b '' -. cos tb a - $ cos t$ cos t-6 sin t$ sin t 7. cos t 7. d ^e h e $ f p d ifadesinin eşiti nedir? d ^$ e h d d ^ $ e f d d d d e ^ e d h p h - e e e -. cos t$ cos t-6 sin t$ sin t$ cos t 7. cos t$ cos t - $ ^cos t -cos th 9 $ cos t ^cos t- sin t -cos th - $ 9 cos t bulunur. 9 e - e e d ^ e h $ e $ ^- e e d - tir. h

52 9. sin t cost cos t sint d π olmak üzere, nin t için değeri kaçtır? d d d dt cos t$ ^- sin th cos t - sin t cos t d d sin t$ cos t- sin t sin t- sin t dt d d d d - sin t cos t c m c m d d d d sin t- sin t UYGULAMA ADIMI. (a b) n fonksionunda n bir tam saı olmak üzere, n nin eşiti nedir? ' n.(a b) n.a '' n(n ).(a b) n.a ''' n(n )(n ).(a b) n.a... (n) n. (n )(n ) [n (n )]. (a b) n n. a n n n!. a n dir. ÜNİTE d - sin t cos t f p dt sin t- sin t d dt d - sin t cos t f p dt sin t- sin t sin t$ cos t- sin t ^-cos t - sin th$ ^sin t - sin th-^- sin t cos th$ ^cos t - cos th ^sin t - sin th $ ^sin t - sin th d d π t..e ise (n) nin eşitini bulalım. ' e e e () '' e. () e. e () ''' e. () e. e ()... (n) e. (n) dir. π r π π π π π π - $ cos $ sin $ sin - sin - - sin cos $ cos $ - cos π π π π csin $ - sin m $ csin $ - sin m c m c m c m c m ^^-h$ ^-h-h$ ^-h- ^ h$ ^.( ) h ^-h $ ^-h $ ^-h - ^-h - - dir.. e ise, e d d f - p ifadesinin eşiti nedir? d d d e & l e. e e ^ h d d. ' e e e ' ^ lhl ^ h ^ h ^. e hl d e l e e. e e ^ h dir.

53 ÜNİTE. Ölese, e - d d - f - p e 6e ^ h- e ^ d d - e 6e ^ bulunur.. sin i d ile verilen f() fonksionu için 5. cos i d bulalım. d d di 5 sin i $ tan i d d cos i di dl - 5 $ ^ tan ih di dir. ve UYGULAMA ADIMI türevini 5. t e ile verilen f() fonksionu için t t bulalım. d d dt t d d t e dt t dl t $ e - ^t h $ e dt t ^e h t dl t e - ^t he d t dt e d d t e dt t d e ^t t h t d e t t d d türevini d' 5 - $ ^ tan ih d di d d.cosi di - 5 $ 9 cos i bulunur. 6. e t (t t ) bulunur. t t ile verilen f() fonksionu için t t bulalım. d d türevini. t t ile verilen f() fonksionu için t - t bulalım. d d türevini d d dt 9t d d t dt dl 8t$ ^t h - ^9t h $ 8t 8t-8 dt ^t h ^t h d d dt t - ^t - h d d t dt dl dt ve dl d dt d d t ^t h dt bulunur. dl 8t 8t-8 d dt ^t h 8t 8t-8 tür. d d ^t h ^t h dt Diğer taraftan, dm d d d d dt f p m d d d d d dt olup,

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI YILLAR 966 967 968 969 97 97 97 975 976 977 978 980 98 98 98 98 985 986 987 988 989 990 99 99 99 99 995 996 997 998 006 007 ÖSS / ÖSS-I ÖYS / ÖSS-II 5 6 6 5

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Tekrar Zamanı TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ÇÖZÜMLÜ TEST 1... 52 ÇÖZÜMLÜ TEST 2... 54 MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ. Uygulama Zamanı 1...

İÇİNDEKİLER. Tekrar Zamanı TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ÇÖZÜMLÜ TEST 1... 52 ÇÖZÜMLÜ TEST 2... 54 MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ. Uygulama Zamanı 1... İÇİNDEKİLER TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Teğet ve Normal Doğruların Eğimi... Teğet Doğrusunun Eğim Açısı... Teğet ve Normal Denklemleri... Eğrinin Teğetine Paralel ve Dik Doğrular... Grafikte Teğet I... 5

Detaylı

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012 Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi e Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.8. ta rih ve sa ı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve - Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren u gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır

Detaylı

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

LYS MATEMATİK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ

LYS MATEMATİK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ Ders Adı.ınıf Mezun LY MATEMATİK KONU ANLATIM FAİKÜLÜ TÜREV KAF 0 Konu Bir doğrunun eğimi dik koordinat sisteminde X ekseni ile aptığı pozitif önlü açının tanjantıdır. Örneğin, şekilde verilen d doğrusunun

Detaylı

Çözüm: Örnek: 3. BÖLÜM TEST - 1. 4x 3 +3y 2 2x 4y=9 eğrisinin (1, 1) noktasındaki teğetinin denklemi nedir?

Çözüm: Örnek: 3. BÖLÜM TEST - 1. 4x 3 +3y 2 2x 4y=9 eğrisinin (1, 1) noktasındaki teğetinin denklemi nedir? . BÖLÜM TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU TEST TEST - 4 + 4=9 eğrisinin (, ) noktasındaki teğetinin denklemi nedir?. f()=( ). ( 5) fonksionun =4 noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? A) 4 B) C) D) E) 6. fonksionun.

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

www.mehmetsahinkitaplari.org

www.mehmetsahinkitaplari.org MATEMA www.mehmetsahinkitaplari.org T T r. P ALME YA YINCILIK Ankara I PALME YAYINLARI: 76 Sinif Matematik Konu Anlatım / Mehmet Şahin Yaına Hazırlama : PALME Dizgi-Grafik Tasarım Birimi Yaın Editörü :

Detaylı

Örnek...3 : f : R R, f (x)=2 x fonksiyonuna ait tabloyu. Örnek...4 : Örnek...1 :

Örnek...3 : f : R R, f (x)=2 x fonksiyonuna ait tabloyu. Örnek...4 : Örnek...1 : LOGARİTMA a b =c eşitliğini düşünelim. Mümkün olan durum larda; Durum 1: a ve b biliniorsa c üs alma işlemile bulunabilir. Örneğin 2 5 =c ise c=32 dir. Örnek...3 : f : R R, f ()=2 fonksionuna ait tablou

Detaylı

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları...

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları... ÜNİTE Safa No............................................................ 79 98 Fonksionlar Konu Özeti...................................................... 79 Konu Testleri ( 8)...........................................................

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 :

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 : FONKSİYONLR FONKSİYONUN EKSENLERİ KESİM NOKTLRI fonksionunun ekseninin kestiği k noktaların m apsisleri b, c, e dir. u noktalar a b c f()= denkleminin n kök leridir p in eksenini kestiği nokta ise (,p)

Detaylı

Örnek...1 : f (x)=2x 2 5x+6 parabolü K(2,p) noktasından geçiyorsa p kaçtır? Örnek...2 : Aşağıda çeşitli parabol grafikleri verilmiştir incele yi niz.

Örnek...1 : f (x)=2x 2 5x+6 parabolü K(2,p) noktasından geçiyorsa p kaçtır? Örnek...2 : Aşağıda çeşitli parabol grafikleri verilmiştir incele yi niz. a, b,c R,a 0 olmak koşulula f ()=a 2 +b+c fonksionuna ikinci dereceden bir değişkenli fonksion ve bu fonksionun belirttiği eğrie de parabol denir. Uarı ir parabolün grafiği başkatsaı olan a saısına bağlı

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 :

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 : FONKSİYONLR FONKSİYONUN EKSENLERİ KESİM NOKTLRI =f() fonksio - nunun ekseninin kestiği noktaların m apsisleri b, c, e dir. u noktalar a b f()= denkleminin kökleridir n =f() in p eksenini kestiği nokta

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

İçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1...

İçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1... İçindekiler. Türev......... Türev kavramı.. 00. Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 00. Alıştırmalar.... 005. Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan türevi..... 006.4 Bir fonksiyonun bir noktadaki

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği HEDEFLER İÇİNDEKİLER GRAFİK ÇİZİMİ Simetri ve Asimtot Bir Fonksionun Grafiği MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR Bu ünitei çalıştıktan sonra; Fonksionun simetrik olup olmadığını belirleebilecek, Fonksionun

Detaylı

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması www.mustafaagci.com.tr, 11 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, agcimustafa@ahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması B ir doğru kaç noktasıla bellidi? İki, değil mi Çünkü tek bir noktadan geçen istediğimiz kadar

Detaylı

Sürekliliği tanımlamak için önce yakınlık kavramını tanımlamak gerekmektedir.

Sürekliliği tanımlamak için önce yakınlık kavramını tanımlamak gerekmektedir. Genel olarak matematikte, özel olarak da matematiksel iktisatta, fonksionlar üzerine konulan en önemli kısıtlama sürekliliktir. Kabaca, bir fonksion tanımlı olduğu bir o noktasında sürekli ise, o a akın

Detaylı

f : R + R, f(x) = log a 0 < a < 1 için f(x) = log a a. f : ;, 4m R, f(x) = log2 x b. f : R + R, f(x) = log 1, f(2) = 2 2

f : R + R, f(x) = log a 0 < a < 1 için f(x) = log a a. f : ;, 4m R, f(x) = log2 x b. f : R + R, f(x) = log 1, f(2) = 2 2 Fonksionlar f : R R, f() = a Fonksionunun Grafi i f : R R, f() = log a Fonksionunun Grafi i a > için f() = a üstel fonksionunun grafi i andaki gibidir. = a a > için f() = log a fonksionunun grafi i andaki

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. ab iki basamaklı saısı b ile bölündüğünde, bölüm 5 ve kalan b 5 tir. u şartlara uan kaç farklı ab iki basamaklı saısı vardır? ) 5 6 7 5. a, b, c, d, e sıfırdan farklı tamsaılar

Detaylı

PARABOL. Merkezil parabol. 2px. 2py F 0, 2 F,0. Şekil I. Şekil II. p Odağı F 2. Odağı F 0, Doğrultmanı x. Doğrultmanı y

PARABOL. Merkezil parabol. 2px. 2py F 0, 2 F,0. Şekil I. Şekil II. p Odağı F 2. Odağı F 0, Doğrultmanı x. Doğrultmanı y ARABL Tanım: Düzlemde verilen sabit bir noktası ile bir d doğrusuna uzaklıkları eşit olan noktaların geometrik erine arabol denir. Sabit noktaa arabolün odağı; doğrua ise doğrultmanı denir. Merkezil arabol

Detaylı

DERS 2. Fonksiyonlar

DERS 2. Fonksiyonlar DERS Fonksionlar.1. Fonksion Kavramı. Her bilim dalının önemli bir işlevi, çeşitli nesneler vea büüklükler arasında eşlemeler kurmaktır. Böle bir eşleme kurulması tahmin ürütme olanağı verir. Örneğin,

Detaylı

FONKSİYONLAR ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

FONKSİYONLAR ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT FONKSİYONLAR ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Fonksionlar. Kazanım : Fonksion kavramı, fonksion çeşitleri ve ters fonksion kavramlarını açıklar.. Kazanım : Verilen bir fonksionun artan, azalan ve sabit

Detaylı

Türev Kavramı ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Kavramı ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Kavramı Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramını anlayacak, türev alma kurallarını öğrenecek, türevin geometrik ve fiziksel anlamını kavrayacak,

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4.

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4. POLİNOMLAR I MATEMATİK. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? I. ( ) P = + II. ( ) P = + III. ( ) + + P = + 6. ( ) ( ) ( ) P = a b a + b sabit polinom olduğuna göre ( ) ( ) ( ) P a +P b +P 0 toplamı kaçtır?

Detaylı

MATEMATİK 12. SINIF DERS KİTABI

MATEMATİK 12. SINIF DERS KİTABI ORTAÖĞRETİM MATEMATİK. SINIF DERS KİTABI YAZARLAR Mustafa BAĞRIAÇIK Muslu LÖKÇÜ Zenel SAĞLAM Önder ÇOLAK Timur YURTSEVEN Turgut OĞUZ Asun Nükhet ELÇİ Yalçın YILDIRIM DEVLET KİTAPLARI BEŞİNCİ BASKI...,

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. a 9! 8!, 9! 8! OKEK (a, ) OBEB (a, ) ifadesinin değeri kaçtır?. a ve a ile arasındaki ağıntı nedir? a a a a a a a a. ( ). ( ). ( ) 8 nın insinden eşiti nedir?. z z z toplamı

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY A. AÇI Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir. B. YÖNLÜ AÇI

Detaylı

4. a ve b, 7 den küçük pozitif tam sayý olduðuna göre, 2 a a b. 5. 16 x+1 = 3

4. a ve b, 7 den küçük pozitif tam sayý olduðuna göre, 2 a a b. 5. 16 x+1 = 3 LYS ÜNÝVSÝT HAZILIK ÖZ-D-BÝ YAYINLAI MATMATÝK DNM SINAVI A Soru saýsý: 5 Yanýtlama süresi: 75 dakika Bu testle ilgili anýtlarýnýzý optik formdaki Matematik bölümüne iþaretleiniz. Doðru anýtlarýnýzýn saýsýndan

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar 61. y = 2 in grafiğinin büzülmesiyle de elde

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar 61. y = 2 in grafiğinin büzülmesiyle de elde DERS 4 Üstel ve Logaritmik Fonksionlar, Bileşik Faiz 4.. Üstel Fonksionlar. > 0, olmak üzere fonksiona taanında üstel fonksion denir. f = ( ) denklemi ile tanımlanan gösterimi ile ilgili olarak, okuucunun

Detaylı

Ders 7: Konikler - Tanım

Ders 7: Konikler - Tanım Ders 7: Konikler - Tanım Şimdie kadar nokta ve doğrular ve bunların ilişkilerini konuştuk. Bu derste eni bir kümeden söz edeceğiz: kuadrikler ve düzlemdeki özel adı konikler. İzdüşümsel doğrular, doğrusal

Detaylı

ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES 1. G R fi. ÇEMBER N DENKLEM 3. MERKEZLER R J NDE, EKSENLER ÜZER NDE V E YA EKSENLERE T E E T LAN ÇEMBERLER N DENKLEM 4. ÇEMBER N GENEL DENKLEM 5. VER LEN ÜÇ NKTADAN

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

TMOZ/tmoz@yahoogroups.com Kasım - 2005 Ters trigonometrik fonksiyonlar Eyüp Kamil Yeşilyurt Alaattin Altuntaş Mustafa Yağcı Dikkat edilmeyen veya önemsenmeyen ayrıntılar bir gün sizi de rahatsız edebilir.

Detaylı

ege yayıncılık Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 49 1. Afla daki fonksiyonlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir?

ege yayıncılık Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 49 1. Afla daki fonksiyonlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir? Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 9. Afla daki fonksionlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir? 5. Afla daki fonksionlardan hangisi A(,) noktas ndan geçer? A) f() = B) f() = f() = + f() =. f()

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. P(x) x 2 x 3 polinomunda. 2b a ifade- x lü terimin. olduğuna göre, katsayısı kaçtır? değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 4.

2014 LYS MATEMATİK. P(x) x 2 x 3 polinomunda. 2b a ifade- x lü terimin. olduğuna göre, katsayısı kaçtır? değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 4. 04 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsayısı kaçtır? 4 lü terimin. ifadesinin değeri kaçtır? 4. yy y 4y y olduğuna göre, + y toplamının değeri kaçtır?

Detaylı

π a) = cosa Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran 2007 Matematik II Soruları ve Çözümleri

π a) = cosa Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran 2007 Matematik II Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 7 Haziran 7 Matematik II Soruları ve Çözümleri. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * ( + i) işleminin sonucu

Detaylı

PARABOL Test -1. y x 2x m 1 parabolü x eksenini kesmiyorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

PARABOL Test -1. y x 2x m 1 parabolü x eksenini kesmiyorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir? PROL est -. m parabolü eksenini kesmiorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?. f a b c (, ) ) (, ) (, ) (, ) ( 6, ). m parabolü eksenini iki farklı noktada kesmektedir. una göre,

Detaylı

2013 2013 LYS LYS MATEMATİK Soruları

2013 2013 LYS LYS MATEMATİK Soruları LYS LYS MATEMATİK Soulaı. LYS 5. LYS ( + a ) = 8 < < olmak üzee, olduğuna öe, a kaçtı? I. A) D) II. + III. (.) ifadeleinden hanileinin değei neatifti? A) Yalnız I Yalnız II Yalnız III D) I ve III II ve

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

AÇIK UÇLU SORULAR. h( 3) = 3 ise, f(1) değeri kaçtır? II. g(x) = 2x + 3. 5. f: R R, f nin grafiği y eksenine göre simetriktir.

AÇIK UÇLU SORULAR. h( 3) = 3 ise, f(1) değeri kaçtır? II. g(x) = 2x + 3. 5. f: R R, f nin grafiği y eksenine göre simetriktir. ÜNİTE FONKSİYONLARLA İŞLEMLER VE UYGULAMALAR Bölüm TEK FONKSİYON, ÇİFT FONKSİYON AÇIK UÇLU SORULAR. R den R e I. () = +. : R R, nin graiği orijine göre simetriktir. h() = ( + ) ( + ) + onksionu tanımlanıor.

Detaylı

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07 UZY GEMETRİ İÇİNDEKİLER Safa No Test No UZY KSİYMLRI... 001-00... 01-0 UZYD DGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 0-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-01... 0-07 PRİZMLR... 015-0... 08-1 KÜP... 05-00... 1-15 SİLİNDİR...

Detaylı

Çalışma Soruları(MAT-117)-Harita Mühendisliği Bölümü(2015)-Ara Sınav

Çalışma Soruları(MAT-117)-Harita Mühendisliği Bölümü(2015)-Ara Sınav Çalışma Soruları(MAT-117)-Harita Mühendisliği Bölümü(015)-Ara Sınav S-1) Merkezi M(, 1) de olan ve 4y + 1 = 0 doğrusundan 4 birimlik bir kiriş ayıran çemberin S-) Merkezi M(,4) de olan ve + 5y 10 = 0 doğrusundan

Detaylı

MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR.

MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR. Ö S Y M T.C. YÜKSEKÖĞRETİM KURULU ÖĞRENCİ SEÇME VE YERLEŞTİRME MERKEZİ LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 BU SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 LYS MATEMATİK

Detaylı

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun . UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ d belirli integralinin aşağıdaki çözümünün doğru olup olmadığını belirtiniz. Eğer çözüm yanlış ise sebebini açıklayınız.

Detaylı

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir.

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir. Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri Düzlemin noktalarını, düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten bir fonksiyona düzlemin bir dönüşümü denir. Öteleme: a =(a 1,a ) ve u =(u 1,u ) olmak

Detaylı

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız Bölüm 4 Türev Uygulamaları 4.1 Bağımlı Hız Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem yarıçapı hem de hacmi artar ve artış hızları birbirine bağımlıdır. Fakat, hacmin artış hızını doğrudan ölçmek

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

18 Sağ son örnek x 3 yerine 3 x yazılacak 20 5 Soru denkleminin reel köklerinin olacak

18 Sağ son örnek x 3 yerine 3 x yazılacak 20 5 Soru denkleminin reel köklerinin olacak MAT 1 Hata 73 1 C 135 8 A 137 7 D şıkkına parantez konacak 143 Sol üst örnek Sıkça yapılan yanlış ün son cümlesi O halde. 144 Son örnek tam yerine doğal 208 9 18 yerine 18 8 5 225 2 A 246 6 Doğru cevap:

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

Hiperbolik Fonksiyonlar

Hiperbolik Fonksiyonlar Matematik Dünas, 0-III Kapak Konusu: İntegral IV Hiperbolik Fonksionlar sinh olarak a z - lan kosinüs sinüs hiperbolik fonksionlar ndan geçmiflte k saca sö zet mifltik Bu az da bu fonksionlardan biraz

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?

Detaylı

HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ

HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ Sabit kabul edilen bir noktaya göre bir cismin konumundaki değişikliğe hareket denir. Bu sabit noktaya referans noktası denir. Fizikte hareket üçe ayrılır Ötelenme Hareketi:

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ HAZİRAN 04 PAZAR TG 9 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun,

Detaylı

Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri

Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Resim düzlemi O : İzdüşüm (projeksiyon ) merkezi P : Arazi noktası H : Asal nokta N : Nadir noktası c : Asal uzaklık H OH : Asal eksen (Alım ekseni) P OP :

Detaylı

Şekildeki gibi yarıçapları 1 cm olan üç çember birbirine teğettir. Bu çemberler arasındaki a- lan kaç cm 2 dir? A) π. E) π+ 2 3. Çözüm: üçgendir. 2.

Şekildeki gibi yarıçapları 1 cm olan üç çember birbirine teğettir. Bu çemberler arasındaki a- lan kaç cm 2 dir? A) π. E) π+ 2 3. Çözüm: üçgendir. 2. . + - + + - x y x y x y x y ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) - B) - C) - x y x y x y D) - E ) 5 - x y x y + - + + - 5 - x y x y x y x y x y. Verilen şekilde açıların ölçüleri verilmiştir. En

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 12. SINIFLAR SEÇMELİ MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK DERS PLANI

ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 12. SINIFLAR SEÇMELİ MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK DERS PLANI ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ 015-016 EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 1. SINIFLAR SEÇMELİ MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK DERS PLANI AY HAFTA SAAT KAZANIMLAR BÖLÜMLER (ALT ÖĞRENME ALANLARI) ÖĞRENME

Detaylı

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2) MTEMTİK TESTİ (Mat ). u testte srasla, Matematik ( ) Geometri ( 0) ile ilgili 0 soru vardr.. evaplarnz, cevap kâğdnn Matematik Testi için arlan ksmna işaretleiniz.. f, 0 ise =, = 0 ise fonksionu için,

Detaylı

Çözüm: Yanıt:E. Çözüm:

Çözüm: Yanıt:E. Çözüm: ., -< 0 önermesinin olumsuzu, aşağıdakilerden, - 0 B), -> 0, -> 0, - 0 E ), - 0, -< 0 önermesinin olumsuzu, +- 0 dir.. a A önermesi p, b B önermesi q ve c C önermesi de r ile gösterildiğine göre A = B

Detaylı

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2) ÖSS MT- / 008 MTEMTİK TESTİ (Mat ). u testte sırasıla, Matematik ( ) Geometri ( 0) ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. + = olduğuna

Detaylı

8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR 8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR KONULAR 1. TRİGONOMETRİ 2. Açı 3. Yönlü Açı 4. Yönlü Yaylar 5. Birim Çember 6. Açı Ölçü Birimleri 7. Derece 8. Radyan 9. Grad 10. Esas Ölçü 11. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

Detaylı

1) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal gelir fonksiyonu MG aşağıdakilerden hangisidir? A) ** B) C) D) E)

1) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal gelir fonksiyonu MG aşağıdakilerden hangisidir? A) ** B) C) D) E) İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi MAT 152 Genel Matematik II Final Sorularının Çözümleri: 1) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal gelir fonksiyonu MG aşağıdakilerden hangisidir?

Detaylı

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir.

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir. Biz, Sizin İçin Farklı Düşünüyor Farklı Üretiyor Farklı Uyguluyoruz Biz, Sizin İçin Farklıyız Sizi de Farklı Görmek İstiyoruz Soru Bankası matematik konularını yeni öğrenen öğrenciler için TMOZ öğretmenlerince

Detaylı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı FOURIER SERİLERİ Bu bölümde Fourier serilerinden bahsedeceğim. Önce harmoniklerle (katsıklıklarla) ilişkili sinüsoidin tanımından başlıyacağım ve serilerin trigonometrik açılımlarını kullanarak katsayıları

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması MATEMATİKSEL DÖNÜŞLER

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması MATEMATİKSEL DÖNÜŞLER 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI MATEMATİKSEL DÖNÜŞLER PROJEYİ HAZIRLAYANLAR Esmanur Taşyüz, Ahmet Tunahan Cinsoy ÖZEL ÇEKMEKÖY ÇINAR KOLEJİ Sultan Çiftliği Mahallesi,

Detaylı

Prof.Dr.Ünal Ufuktepe

Prof.Dr.Ünal Ufuktepe İzmir Ekonomi Üniversitesi, Matematik Bölümü 21 Ocak 2012 KLASİK ANLAMDA TÜREV Fiziğin en temel işlevlerinden biri hareketi tanımlamaktır. Newton ve Leibniz hareketi tanımlama ve tahmin etme konusunda

Detaylı

3. EĞĐK DÜZLEMDE HAREKET Hazırlayanlar Arş. Grv. M. ERYÜREK Arş. Grv. H. TAŞKIN

3. EĞĐK DÜZLEMDE HAREKET Hazırlayanlar Arş. Grv. M. ERYÜREK Arş. Grv. H. TAŞKIN 3. EĞĐK DÜZLEMDE HAREKET Hazırlayanlar Arş. Gr. M. ERYÜREK Arş. Gr. H. TAŞKIN AMAÇ Eğik düzlemdeki imeli hareketi gözlemek e bu hareket için yol-zaman, hız-zaman ilişkilerini incelemek, yerçekimi imesini

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe)

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) Merak uyandıran konulardan birisi olan fonksiyonel denklemlerle ilgili Türkçe kaynakların az oluşundan dolayı, matematik

Detaylı

Örnek...1 : mx+3y+12=0 ve 2x 5y+3=0 doğruları para - lelse m kaçtır?

Örnek...1 : mx+3y+12=0 ve 2x 5y+3=0 doğruları para - lelse m kaçtır? İKİ DOĞRUNUN BİRBİRİNE GÖRE DURUMU DURUM 1 PARALEL DOĞRULAR ve doğruları paralel doğrular ise eğimleri eşittir. Yani / / m 1 =m 2 Ayr ıca : a 1 x+b 1 y+c 1 =0 =0} / / a 1 a 2 = b 1 c 1 c 2 Örnek...1 :

Detaylı

LYS MATEMATÝK II - 10

LYS MATEMATÝK II - 10 ÝREY DERSHNELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS UYGULM FÖYÜ (MF-TM) DERSHNELERÝ LYS MTEMTÝK II - 0 PRL - I Ders anlatým föleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar çalýþýlmalýdýr. dý Soadý :... u kitapçýðýn her hakký

Detaylı

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler 2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE ÖĞRENME Ay Hafta D.Saati ALANI EYLÜL 2 Geometri 2 3 Geometri 2 Geometri 2 Olasılıkve ALT

Detaylı

DERS 6. Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Maksimum Minimum

DERS 6. Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Maksimum Minimum DERS Çok Değişkenli onksionlarda Maksimum Minimum.. Yerel Maksimum Yerel Minimum. z denklemi ile tanımlanan iki değişkenli bir onksionu ve bu onksionun tanım kümesi içinde ab R verilmiş olsun. Tanım. Eğer

Detaylı

H(s) B(s) V (s) Yer Kök Eğrileri. Şekil13. V s R s = K H s. B s =1için. 1 K H s

H(s) B(s) V (s) Yer Kök Eğrileri. Şekil13. V s R s = K H s. B s =1için. 1 K H s Yer Kök Eğrileri R(s) K H(s) V (s) V s R s = K H s 1 K H s B s =1için B(s) Şekil13 Kapalı çevrim sistemin kutupları 1+KH(s)=0 özyapısal denkleminden elde edilir. b s H s = a s a s K b s =0 a s K b s =0

Detaylı

BÖLÜM 3: İLETİM HAT TEORİSİ

BÖLÜM 3: İLETİM HAT TEORİSİ BÖLÜM 3: İLETİM HAT TEORİSİ 1 İLETİM HATLARI İletim hatlarının tarihsel gelişimi iki iletkenli basit hatlarla(ilk telefon hatlarında olduğu gibi) başlamıştır. Mikrodalga enerjisinin iletimini gerçekleştirmek

Detaylı

LOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm

LOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm LOGARİTMA Üstel Fonksion >0 ve olmk üzere f:r R +, f() = şeklindeki fonksionlr üstel fonksion denir. Üstel fonksionlr birebir ve örtendir. f:r R +, f()=( ) bğıntısının üstel fonksion olup olmdığını inceleiniz.

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLAIM FÖYÜ DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No. MAEMAÝK - II PARABL - II MF M LYS1 10 Ders anlatým föleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar çalýþýlmalýdýr.

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

ANALİTİK GEOMETRİ KARMA / TEST-1

ANALİTİK GEOMETRİ KARMA / TEST-1 NLİTİK GEMETRİ KRM / TEST-. (, ) noktasından geçen ve + = 0 doğrusuna paralel olan doğrunun eksenini kestiği noktanın ordinatı ) ) 7 ) 9 ). = (k 6) + b k = k doğrularının ekseni üzerinde dik kesişmeleri

Detaylı

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES ANAL T K GEOMETR ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES 1. ANAL T K UZAY. ANAL T K UZAY D A D K KOORD NAT EKSENLER VE ANAL T K UZAY I. Analitik uzayda koordinat sistemi II. Analitik

Detaylı

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 03

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 03 LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GOMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SORU KİTPÇIĞI 0 U SORU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SORULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik

Detaylı

İLKÖĞRETİM MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER

İLKÖĞRETİM MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER ÖABT 05 Soruları aalaan omison tarafından hazırlanmıştır. ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER Editör: Doç. Dr. Haan Efe Konu Anlatımı Özgün Sorular Arıntılı

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı