Fonksiyonların Grafikleri

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Fonksiyonların Grafikleri... 378"

Transkript

1 f() a a TÜREV KAVRAMI Türev ile Hız Arasındaki İlişki...5 Türev ve Teğetin Eğimi Arasındaki İlişki Diferansiel Kavramı... 6 Türevin Tanımı...6 Türev Alma Kuralları... 7 Sabitin Türevi... 7 Toplam vea Farkın Türevi... 7 Çarpımın Türevi... 7 Bir Fonksionun Kuvvetinin Türevi... 7 Bölümün Türevi... 8 Parametrik Fonksionların Türevi... 8 Kapalı İfadelerin Türevleri... 8 Trigonometrik Fonksionların Türevleri... 8 Logaritma Fonksionunun Türevi Üstel Fonksionun Türevi Bileşke Fonksionun Türevi... 9 Ters Fonksionun Türevi... 9 Ardışık Türev (Yüksek Sıradan Türev) Ters Trigonometrik Fonksionların Türevi Mutlak Değerli Fonksionların Türevi Parametrik Denklemlerde İkinci Mertebe Türevi... Türevin Limit Hesabında Kullanılması... L'Hospital Kuralı... Türevin Geometrik Anlamı... 7 Teğet Denklemi... 8 Normal Denklemi... 8 Artan ve Azalan Fonksionlar... 7 Ekstremum Noktaları... 9 Türevin Anlamı... 9 Dönüm Noktası... İkinci Türev ve Yerel Ekstremum Noktası... 5 Mutlak Maksimum Mutlak Minimum... 5 Polinom Fonksionlarının Grafikleri Asimptotlar... 7 Kesirli Fonksionların Grafikleri... 7 Üstel Fonksionların Grafikleri Logaritmalı Fonksionların Grafikleri c 5 c c f(ah) c c f(a) a a a 5 p a ah q A(a, f(a))

2 KAVRAMSAL ADIM. BÖLÜM ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK Bir doğru bounca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu S(metre), zamanın t(sanie) bir fonksionu olarak S S(t) t t ile verilsin. a) Bu cisim ilk sn'de kaç m ol alır? Matematiğin en önemli konularından biri türev kavramıdır. Bu kavramı birçok şekilde açıklamak mümkündür. Bu kitapta türev konusu öğrencinin hislerine en çok hitap edecek bir öntemle açıklanmıştır. Türev tanımına geçmeden önce bazı kavramları hatırlaıp bu kavramlara daanan tanımlar vereceğiz.. Türev ile Hız Arasındaki ilişki Bir doğru üzerinde f() denklemine göre hareket eden bir hareketlinin anındaki hızını tanımlaalım. f( ) f() b) Bu cisim ilk 6 sn'de kaç m ol alır? anının akınlarında bir alınırsa hareketlinin ortalama hızı, alınan ol f() f( ) ve geçen süre olduğundan V ort f ^ h - f ^ h - dır. c) Bu cisim. sn ile 6. sn arasında kaç m ol alır? ın akınlarında seçilen her için bu olla değişik ortalama hızlar elde edilebilir. Biz anındaki hızı aradığımız için olmak üzere elde edilen tüm ortalama hızların limiti olarak d) Bu cismin. sn ile 6. sn arasındaki ortalama hızı kaç m/sn dir? f ^ h - f ^ h lim " - limiti varsa, bu limite anındaki anlık hız denir. ÖRNEK e) Bu hareketlinin.sn deki anlık hızı kaç m/sn dir? Bir hareketlinin t saatte aldığı ol S(t) t t fonksionu ile verilsin. Yukarıdaki tanıma göre bu hareketlinin [t, t ] aralığındaki ortalama hızı V ort S^t S t h- ^ h t - t dir. Bu hareketlinin [,6] aralığındaki ortalama hızını bulalım. 5

3 KAVRAMSAL ADIM ÜNİTE ETKİNLİK Kan Şekeri Konsantrasonu: Nisan 988'de insan gücüle çalışan Daedalus uçağı Yunanistan'ın günedoğusunda Ege Denizi'ndeki Girit'ten adasından Santorini'e 9 km'lik rekor bir uçuş aptı. Uçuştan önceki 6 saatlik daanıklılık testlerinde araştırmacılar pilot adalarının kan şekeri konsantrasonlarını ölçtü. Atlet pilotlardan birinin konstantrason grafiği şekil a da görülüor. Konsantrason miligram/desilitre ve zaman saat olarak verilmiştir. E im A E im B E im C 5 D E im f() E im 8 birim/ birim E 8 -birim -birim 5 5 (a) E im V ort S^6h- S^h ^6. 6h- ^. h V ort 8 km/sa olur. Hareketlinin [,6] aralığındaki ortalama hızını bulalım. V ort S^6h- S^h ^6. 6h- ^. h V ort km/sa olur. Hareketlinin [5,6] aralığındaki ortalama hızı V ort S^6h- S^5h ^6. 6h- ^5. 5h 6-5 V ort km/sa olur. Hareketlinin [5.9, 6] aralığındaki ortalama hızı V ort S^6h- S^5, 9h 6-5, 9 ^6. 6h - 6 ^5, 9h. ^5, 66 (, 8 59),,9 km/sa olur. A' (a)'daki f() grafiğinin eğimlerini işaretleerek (b)'deki f'()'in grafiğini çizdik. Mesela, B'nin dike koordinatı B'deki eğimdir. f' nün grafiği f'nin eğiminin ile nasıl değiştiğinin görsel bir kadıdır. D' f'() E' 5 5 B' C' Dike koordinat (b) Hareketlinin [6, 6.] aralığındaki ortalama hızı V ort S^6, h- S^6h 6 ^6, h. - ^6. 6h 6, - 6, ^7, 6h -^66h, 67, 66,, km/sa olur. Hareketlinin [6, 7] aralığındaki ortalama hızı V ort S^7h- S^6h ^7. 7h- ^6. 6h km/sa olur. Bu sonuçları bir tabloda gösterelim. [t,t ] [, 6] [, 6] [5, 6] [5.9, 6] [6, 6.] [6, 7] V ort 9,9, 5

4 KAVRAMSAL ADIM Grafik veri noktalarını birleştiren doğru parçalarından apılmıştır. Her parçanın sabit eğimi ölçümler arasındaki konsantrasonu verir. Her parçanın eğimi hesaplanarak şekil b deki grafik çizilmiştir. Örneğin, ilk saat için çizim apılırken konsantrasonun 79 mg/dl den 9 mg/dl e arttığı gözlemlenior. (Şekil c) Net artma Δ 9 79 mg/dl dir. Bunu Δt saat ile bölerek, ortalama değişim oranını buluruz. Δ mg/dl/saat Δt Konsantrasonun bir köşesinin bulunduğu ve eğiminin olmadığı t,,...,5 zamanlarında konsantrasonun değişim oranı hakkında bir tahminde bulunamaız. Türev fonksionu (şekil d) bu zamanlarda tanımlı değildir. 9 8 konsantrason mg/dl Bu hareketlinin 6. saatte hız sınırını geçtiğini varsaalım. Bu hareketlinin 6. saatteki hızı (anlık hızı) h R olmak üzere, h için [6, 6 h] vea [6 h, 6] aralığında ortalama ardımıla bulunur. Anl k h z lim h " ^6 hh. ^6 hh- ^6. 6h lim h h " lim h " lim h " lim h " km/sa vea Anl k h z lim h " S^6 hh -S^6h 6 h -6 6 h h 6 h-66 h h h h ^h h lim^ - hh km/sa bulunur. S^6h -S^6-hh 6-^6-hh ^6. 6h -6^6 - hh ^6 lim h h " h h 6 lim h h " h- h lim h h " h " ÜNİTE 5 6 (c) sa [6, 6h] aralığında hesaplanan anlık hız t 6 noktasındaki sağdan türevi, [6 h, 6] aralığında hesaplanan anlık hız t 6 noktasındaki soldan türevi ifade eder. Anlık hız için sağdan türevin, soldan türeve eşit olduğuna dikkat ediniz. konsantrason de iflim oranı mg/dl/saat 5 Düzlemde Doğrunun Denklemi ve Doğrunun Eğimi sa Koordinat düzleminde P (a, b ), P (a, b ) noktalarını alalım. P ve P den geçen doğrunun denklemini B B Y P P P bulmak için bu doğrua ait ve koordinatları (d) (, ) olan bir P noktasını gözönüne alalım. X A A 55

5 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM P, P ve P noktalarının eksenler üzerindeki dik izdüşümleri sırasıla X, A, A ve Y, B, B olsun. Tales teoremi ardımıla BY A X BB A A azılabilir. Bu aşamada koordinatlara geçerek - b b - b - a a - a şeklinde azılabilir. b a d: a b d n n m d: m n d Bu eşitlikten çekilerek, b a - b a b a b ^h - a a - a elde edilir. () deki bağıntıa P ve P noktalarından geçen doğrunun denklemi denir. Doğrua bir fonksion gözüle bakılırsa () denklemi b f ^ h a - b - a a b $ a - a b - a şeklindedir. Bu son azılıştan f(a ) b, f(a ) b olur. O halde doğrunun denklemi Bağımsız (Serbest) Değişkenin Artış Miktarı, Fonksionun Artış Miktarı f() fonksionunda ʼe bağımsız değişken, ʼe bağımlı değişken denir. Eğer ve, değişkeninin iki değeri ve f() ve f( ) bu değerlere karşılık fonksionun aldığı değerler ise bu durumda Δ değerine (, ) aralığı üzerinde değişkeninin artış miktarı ve Δ vea Δ f( ) f() f( Δ) f() fa ^ fa a f a a f a h- ^ h $ ^ h- $ ^ h ( ) a - a a - a şeklini alır. değerine de anı aralıkta fonksionunun artış miktarı denir. b a - b - a fa ^ fa h ^ h a - a saısına doğrunun eğimi denir. Bu saı doğrunun O ekseni ile pozitif önde oluşturduğu α açısının tanjantına eşittir. Yani Değişim Oranı oranına, değişkeni ten Δ e kadar değiştiğinde nin ʼe göre ortalama değişim oranı denir. b tan a a O halde, - b - a m ( ) a $ f a a f a ^ h- $ ^ h n a - a denilirse () denklemi azılabilir. Bir Fonksionun Grafiğinin Teğeti f bir fonksion olsun. f nin tanımlı olduğu (p, q) aralığını gözönüne alalım. Aralığa ait herhangi bir a değeri seçildikten sonra f fonksionunun grafiği üzerinde bulunan (a, f(a)) noktasına A dielim. p q m n () şeklini alır. 56

6 KAVRAMSAL ADIM f(a) A p a q Merkezi A(a, f(a)) olan doğru demetine ait doğrulardan bazıları f fonksionunun grafiğini oluşturan eğri parçasını A noktası dışında ikinci bir noktada keser. Bu tür doğrulara eğrinin A noktasından geçen kesen vea kirişleri denir. Şimdi a değerini h kadar arttıralım. a h noktasına grafik üzerinde (a h, f(a h)) noktası karşılık gelir. (a, f(a)) ve (a h, f(a h)) noktalarından geçen doğrunun denklemi () denkleminde olduğu gibi azılabilir ve bu doğrunun eğimi () bağıntısına göre; ifadesinin limiti alınabilir. Bu limitin sonucu olarak elde edilen saıı eğim olarak kabul eder ve A noktasından geçen doğrunun eğimini azma olanağı, fonksionlar için limit kavramının varlığından dolaı vardır. Ölese f fonksionunun grafiğinin A noktasındaki teğet, fonksionlardaki limit kavramını ugulamak suretile bulunabilir. Teğet Çiziminde Ortaa Çıkabilecek Zorluklar fa ( h) fa ( ) Teğet problemlerinde ortaa çıkan oranının limitini h bulmak her zaman mümkün olmaabilir. Değişkenin a değeri için fonksion sürekli değilse böle bir teğet çizmek mümkün olmaacaktır. ÜNİTE p f(ah) f(a) A(a, f(a)) a ah q ÖRNEK, < ise f ( ) *, ise fonksionunun grafiğine noktasında teğet çizmek mümkün değildir. (,) mh ( ) f^a hh -f^ah f^a hh -f^ah a h-a h Fonksionun sürekli olması halinde bile sürekli olduğu her noktada teğetinin olması mümkün olmaabilir. şeklindedir. a ve a h noktaları arasındaki artma miktarı (h) küçültülürse, ani h ile gösterilen büüklük sıfıra aklaştırılacak olursa (a, f(a)) ve (ah, f(ah)) noktaları birbirine aklaşır. Geometrik olarak (ah, f(ah)) noktasının (a, f(a)) noktasına aklaşarak çakışması halinde kesen doğrunun limit durumuna, f fonksionunun grafiğinin A noktasındaki teğet doğrusu denir. Teğet doğruu elde etme işlemini fonksionlara indirgeerek, A noktasından geçen doğrunun denklemi () bağıntısına göre, f^a hh f^ah ^a h $ f a a$ f a h $ h ^ h - ^ h h h ÖRNEK f() fonksionunu gözönüne alalım. f() fonksionu noktasında sürekli olduğu halde bu noktada bir teğet çizmek mümkün değildir. A k A f^a hh - f^ah f a h -f a. ^ h ^ h - $ a f^ah h h şeklinde azılır. O halde (a h, f(a h)) noktasının (a, f(a)) noktasına aklaşması halinde kesen doğrular için aranan limit erine h saısının sıfıra aklaşması halinde kesen doğrunun eğimi olan, fa ( h) fa ( ) h A A' ve A'' noktaları k doğrusu kendine paralel kalacak şekilde A noktasına aklaştırılabilir. Buna göre, başlangıçtan geçen ve k gibi her doğrua paralel kalan doğru noktası için teğet kabul edilebilir. Şu halde verilen fonksionun noktasındaki teğetleri merkezi O noktası olan ve fonksionu belirtilen iki doğru ile sınırlanmış 9 lik açıı dolduran doğru demetini oluştururlar. 57

7 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM. Türev ve Teğetin Eğimi Arasındaki İlişki f() fonksionunun grafiğine A(, ) noktasında çizilen teğetin eğimini araştıralım. A(, ) eğrisi üzerinde A noktasına akın E(, ) noktası için m AE Δ deki de iflim Δ deki de iflim bulunur. - Elde edilen bu sonuçları tabloda gösterelim. Nokta (, ) (.9,(.9) ) (.,(.) ) (, ) E im 5 5,9 6, 7 Düzlemde A(, ) ve B(, ) noktalarından geçen doğrunun eğiminin - m AB - olduğunu biliorsunuz. eğrisi üzerindeki A(, ) noktasına akın B(, ) noktası için, m m Şimdi eğrisi üzerinde A(, ) noktasına akın (.9, (.9) ) noktası için m AB AB AC Δ deki de iflim Δ deki de iflim bulunur. - Δ deki de iflim Δ deki de iflim f() fonksionunun grafiğine A(, ) noktasında çizilen teğetin eğimini bulalım. h R olmak üzere, h için A ve B ( h, f( h)) B ( h, ( h) ) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım. lim m AB h " " ^ hh - lim h ^ hh - 6h h lim h " h lim ^6 hh 6 d r. h " (h) A B (h,(h) ) h ^9, h - 8, , bulunur. 9, - -, Bu değer f() türevidir. fonksionunun noktasındaki sağdan eğrisi üzerinde A noktasına akın D(., (.) ) noktası için, m AD Δ deki de iflim Δ deki de iflim ^, h - 96, - 9 6, bulunur., -, C (( h), f( h)) C ( h, ( h) ) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım. lim m AC h " " ^-hh - lim h ^-hh - - 6h h lim h " -h lim ^6 - hh 6 h " ( h) A h C ( h,( h) ) 58

8 KAVRAMSAL ADIM Bu değer f() fonksionunun noktasındaki soldan türevidir. Bir fonksionun bir noktadaki türevi, fonksionun o noktadaki teğetinin eğimidir. f() fonksionun grafiğine A(, ) noktasında çizilen teğetin eğimi 6 dır. NOT Bir fonksionun grafiğine ait bir noktadaki teğetin eğimi için o noktadaki sağdan ve soldan türevin eşit olduğuna dikkat ediniz. ETKİNLİK a) f() fonksionunun noktasındaki soldan ve sağdan türevini bulunuz. ÜNİTE UYARI Bir fonksionun grafiğine a noktasında çizilen teğetin eğimi (sıfır) ise teğet doğru eksenine paraleldir. Eğim m tanα eşitliğinde α açısı teğet doğrunun ekseninin pozitif önüle aptığı açıdır. < α < 9 ise m tanα > 9 < α < 8 ise m tanα < Yani f fonksionunun noktasındaki türevinin değeri noktasındaki teğetinin eğimi m f'( ) tan α > ise α dar açı, m f'( ) tan α < ise α geniş açıdır. b) f() fonksionunun noktasındaki soldan ve sağdan türevini bulunuz. c) f() fonksionunun noktasındaki soldan ve sağdan türevini bulunuz. f' ( ) E im s f r < a < 9, f' ( ) > (E im pozitif) 9 < a < 8, f' ( ) < (E im negatif) 59

9 ÜNİTE. Bir hareketlinin t saatte aldığı ol S(t) t 5t fonksionu ile verilsin. Bu hareketlinin [,] aralığındaki ortalama hızını bulunuz. S^h- S^h V ort - ^ 5. h- ^ 5. h km / sa olur fonksionu verilior. değişkeninin aşağıdaki değerlerine karşılık gelen Δ ve Δ değerlerini bulunuz. a) den,ʼ e b) ten e a) Δ,, Δ f( ) f( ) f(,) f() [(,) 5(,)6] [ 5.6],9 b) Δ Δ f( ) f( ) f() f() ( 5. 6) ( 5. 6) UYGULAMA ADIMI. f() fonksionu verilior. değişkeninin aşağıdaki değerlerine karşılık gelen Δ ve Δ değerlerini bulunuz. a) den ʼ e b) den, e a) Δ Δ f( ) f( ) f() f() (. ) (. ) ( 7) 6 b) Δ,, Δ f( ) f( ) f(,) f() (.(,) ) (. ) [.(,)] ( ),, bulunur. 5. f() fonksionunun grafiği ve apsisli noktasındaki teğeti verilior. Buna göre f'() kaçtır? f'(), d doğrusunun eğimidir. m olup, f tü r. d l^ h f() d bulunur.. f ^ h hiperbolünün Af, p ve Bf, p noktalarından geçen keseninin (kirişinin) eğimini bulunuz., Δ 7 Δ f( ) f( ) m AB Δ deki de iflim Δ teki de iflim 7 - m - dur. AB olup eğim, 6. Şekilde f() eğrisinin grafiği ve apsisli noktadaki teğeti verilior. fl^h- ve B(9,) olduğuna göre, A noktasının ordinatı kaçtır? d doğrusunun eğimi OA fl^h m - d OB (eğim açısı geniş açı) OA 6 dır. O halde, A noktasının ordinatı 6 dır. OA 9 A T f() B 9 d 6

10 KAVRAMSAL ADIM. Diferansiel Kavramı f, noktasında türevli bir fonksion olsun. d f^h& fl^h& d fl^hd d Burada d e f nin noktasındaki diferansieli denir. Yaklaşık Değer Hesabında Diferansielin Kullanılması ETKİNLİK f: R R, f() fonksionu verilior. a) için aşağıdaki tablou tamamlaınız. Δ b) Herhangi bir için lim limitini hesaplaınız. Δ $ Δ f( ) f() ÜNİTE f( ) d,, f() P,, Δ, d doğrusu f nin grafiğine P noktasında teğettir. Şekilden Δ f(δ) f() ve Δ için, Δ d (Δ d) Δ, d olduğundan,, Δ d,,, d, f( Δ) f() olur. O halde, f( Δ), f() d diferansiel elde edilir. Bu ifade aklaşık değer hesaplamasında kulanılır. ÖRNEK ÖRNEK 6 saısının aklaşık değerini hesaplaalım. 5, 8 saısının aklaşık değerini bulalım. f() alalım. f ^ Δh, f ^ h d d Δ, 5 ve Δ d, 8 alınırsa, 8, 5, 8 5, 8, , 8, 5 5, 8dr. i f^h alalım. f ^ Δh, f ^ h d Δ, d^ h d Δ,. 6, Δ d alınır. ^-h 6 -, 6. ^6h 6, ,, 979 olur. 8 6

11 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK tan 8 nin aklaşık değerini bulalım. f() tan f( Δ), f() d f( Δ), f() f'() d tan( Δ), tan (tan X). d 5 ve Δ d π 6 alınır. tan^5 h, tan 5 ^ tan 5 h π tan 8, ^ h $ 6 π tan 8, olur. ETKİNLİK 5 $ saısını aklaşık olarak hesaplaınız. π 6. Türevin Tanımı (Bir Noktada Türev) A R ve f: A R fonksionu verilmiş olsun. A olmak üzere; f ^ h - f ^ h lim " ifadesi bir reel saı ise, bu limite, f fonksionunun noktasındaki türevi denir ve ile gösterilir. Bu durumda f fonksionu noktasında türevlenebilir denir. f fonksionu A kümesinin her noktasında türevlenebiliorsa, f fonksionuna A kümesinde türevlenebilir denir. f' : A R fonksionuna f fonksionunun A tanım kümesindeki türev fonksionu denir. f fonksionunun noktasındaki türevi f l^ df,, simgelerinden biri ile gösterilir. h d ^ h ^ h a h olsun, a h olup f fonksionunun a noktasındaki türevi biçiminde de azılabilir. - fl^ h f ^ h - f ^ h lim " - fa ^ hh-fa ^ h fl^ah lim h h" ETKİNLİK ln(e e ) nin aklaşık değerini bulalım. f() ln, e, Δ d e alalım. f( Δ), f() d f( Δ), f() f'()d ln^ Δh, ln d ln^e e h, ln e $ e e ln^e e h,. e dir ETKİNLİK f() a b fonksionunun R noktasındaki türevini bulunuz. fl^ h f l^ h f ^ h - f ^ h lim " - ^a bh - ^a b h lim " - a ^ - h lim a " - fl^h a bulunur. 6

12 . f: R R, f() biçiminde tanımlı f fonksionunun a noktasındaki türevi nedir? f ^ h- fa ^ h - a fl^ah lim lim " a a " a - a. f ^ h fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. ^- ah^ ah lim " a ^- ah lim^ ah " a a bulunur. UYGULAMA ADIMI. f: R R, f() fonksionunun noktasındaki türevi nedir? f ^ h- f^h ^ -h-^ -h fl^h lim lim - - " " - lim - " ^- h^ h lim " ^ - h lim^ h ". π f: R R, f() sin fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. bulunur. ÜNİTE bulunur. flf p lim " lim " lim lim f ^ h - ff p lim " - f - p f p lim. " - f " " ile genifllettikp - f- pf p Trigonometrik fonksionların türevini bulmak için, π π fc hm-fc m π flc m lim olunu kullanmak kolalık sağlar. h" h Türev alırken p q p-q sin p- sin q cos $ sin eşitliğini kullanacağız. π π sinc hm sin π flc m lim h h ". cos lim h " π π π h h π p f $ sin h π h h. cosf p$ sin lim h " h h sin π h lim cos f p$ lim h" h" h π cos $ f bulunur. p 6

13 ÜNİTE. Hareket fonksionu S S(t) t t 5 olan bir hareketlinin [,5] aralığındaki ortalama hızı kaçtır? (t sanie, S cm) PEKİŞTİRME ADIMI. f() fonksionunda neden sadece Δ 5 verildiğinde Δ bulunabilior da bu durum f() fonksionunda geçerli olmuor? 5 cm / sn. f() fonksionunun den e kadar Δ ve Δ değerlerini bulunuz. a için f() a b lineer fonksion olduğundan bu durum geçerli,. ve daha üksek dereceli polinom fonksionlarda gerçeli değildir. Δ 5. Aşağıdaki fonksionlar için Δ artış miktarını ve değişim oranını bulunuz. Δ a), ve Δ, için ^ - h b), ve Δ, c) log, 6, Δ 9. 5 Δ Δ a) 6 ; 56 b), ; c) ;,. f() fonksionu için aşağıdaki değerlere göre Δ i hesaplaınız. a), Δ, b) 8, Δ 9 c) a, Δ h 6. parabolünün kesim noktalarının ve apsisleri aşağıda verilmiş olan kesenlerinin (kirişlerinin) eğimlerini bulunuz. a), b),,9 c), h a), b) - c) a h - a a) b), c) h 6

14 PEKİŞTİRME ADIMI 7. Δ. Bir nokta vea eksen etrafında dönmenin t anındaki, eğrisinin [,5] kapalı aralığındaki oranını bulunuz. b) ani hızı Δ a) ortalama hızı nee eşittir? (t anındaki dönme açısı: α) ÜNİTE 7, 5 a) b) Δa Δt lim Δt " Δa Δt 8. fonksionunun kapalı aralığındaki değişiminin ortalama hızı nedir?. Isıtılmış bir cisim ısısı daha az olan bir ortamda eniden soğuacaktır. (ısı kabedecektir) Aşağıdaki ifadelerden ne anlaşılır? a) Ortalama soğuma hızı b) Verilen bir andaki soğuma hızı (t anındaki ısı I) ΔI a) Δt ΔI b) lim Δt Δt " Δ 9. f() eğrisi için [, Δ] kapalı aralığında oranının değeri Δ nedir?. Kimasal reaksion halindeki bir maddenin reaksion hızından ne anlaşılır? (Q, t anındaki madde miktarı) f ^ Δh -f ^ h Δ lim Δt " ΔQ Δ t 65

15 ÜNİTE. f: R R, f() fonksionunun a) noktasındaki türevini bulunuz. b) noktasındaki türevini bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI π 6. f() cos fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. a) 6 b). f: R R, f() fonksionunun a), b), c) noktalarındaki türevini bulunuz. 7. f ^ h fonksionunun a), b), c) noktalarındaki türevini bulunuz. a) b) 7 c) a) 5 b) 7 c) 7 5. f: R R, f() fonksionunun a), b), c) noktalarındaki türevini bulunuz. 8. f ^ h fonksionunun 8 noktasındaki türevini bulunuz. a) - b) - c) - 66

16 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK Grafikten ararlanarak 5. Türevin Tanımı () (Soldan ve Sağdan Türev) A R ve f : A R fonksionu verilsin. a A ve p R olmak üzere, ÜNİTE f() a a a c 5 c c c c a a 5 f ^ h- fa ^ h lim p a " a - limitine, f fonksionunun a noktasındaki soldan türevi denir ve f'(a ) ile gösterilir. q R olmak üzere, a) f fonksionunun limitinin olmadığı noktaları bulunuz. f ^ h- fa ^ h lim q " a a - limitine de fonksionun a noktasındaki sağdan türevi denir ve f'(a ) ile gösterilir. b) f fonksionunun süreksiz olduğu noktaları bulunuz. UYARI. Bir f fonksionunun a noktasında türevinin olması için gerek ve eter koşul f nin a noktasında sürekli ve f nin a noktasında soldan ve sağdan türevlerinin eşit olmasıdır. c) f fonksionu hangi noktalarda türevli değildir?. Bir f fonksionu a noktasında türevli ise f, bu noktada süreklidir. Ya da buna denk olarak, f fonksionu a noktasında sürekli değil ise f bu noktada türevli değildir. f() f() d) f fonksionunun sürekli olup türevli olmadığı nokta var mıdır? de f() süreksiz de türevi ok. de f() süreksiz de türevi ok. e) lim f( )?, f( a )? a $ f'(a )? 67

17 ÜNİTE. f: R R, f() fonksionu verilior. a) f'( ) b) f'( ) c) f'() değerlerini (varsa) bulunuz. a) fl^ - h lim " lim " - lim lim - " " " f ^ h- f^h lim - ^ h - " - -^- h. ^ h lim UYGULAMA ADIMI b) fl^ lim - - fl^ h lim - fl^ - h h lim lim f ^ h- f^h - lim - " " " f ^ h- f^h - lim - " " " f'( ) f'( ) olduğundan f nin noktasında türevi oktur. b) fl^ h lim " f ^ h- f^h - Şekli inceleiniz. da fonksionun belirli bir teğetinin olmadığına dikkat ediniz. c) f'( ) f'( ) olduğundan f'() oktur.. f: R R, f() fonksionu verilior. a) f, da sürekli midir? b) f, da türevli midir? lim " lim " - ^- h. ^ h lim - " lim ^ h " a) f nin sürekli olması için noktasındaki soldan ve sağdan limitlerinin f()ʼa eşit olması gerekir. fonksionu da süreklidir lim f ^ h lim lim ^- h " " " lim f^h lim f( ) f^holupf^h " ". f: R R Z -, < ise ] f ^ h [, ise ] -, > ise \ ile tanımlı fonksionun noktasındaki a) sürekliliğini inceleiniz. b) türevini (varsa) bulunuz. a) lim f ^ h lim ^- h - " " lim f^h lim ^- h. - " " ve f() olduğundan lim f^h f^h olup " f, de süreklidir. 68

18 b) fl^ - f ^ h- f^h - - h lim lim " " -^ -h lim - - " f ^ h- f^h ^ -h- f l^ h lim lim - - " " ^ - h lim - " dir. f'( ) f'( ) olduğundan f fonksionunun noktasında türevi oktur. UYGULAMA ADIMI a) > olduğundan f'() için f() 6 dır. f ^ h- f^h ^ -h-^. -6h fl^h lim lim - - " " ^ - 9h lim - " ^- h^ h lim " ( - ). ^ h 8 b) kritik nokta olduğundan sağdan ve soldan türevleri bulunmalıdır. ÜNİTE., # fr : " R, f ^ h * - -, fonksionunun noktasındaki türevini (varsa) bulunuz. f ^ h- f^h - - fl^ h lim lim - - " " ^- h^ h lim " ^ - h lim - ^ h - " f ^ h- f^h - - f l^ h lim lim - - " " -^ -h lim - - " olup f'( ) f'( ) olduğundan noktasında fonksion türevlidir ve türevi f'() dir. fl^ fl^ - ^ h lim " " - ^- h^ h lim - " ( ) f'( ) f'( ) olduğundan f'() oktur. 6. f() 6 fonksionu için eğer varsa, a) f'() türevini bulalım. b) f'() türevini bulalım. - - lim - " " h- ^ h ^ -6h-^. -6h h lim - ^ - h^ h lim - $ ^ h 5. Z, ise ] fr : " R, f ^ h [ 6, ise ] \ - 6, ise fonksionu için eğer varsa a) f'() değerini bulalım. b) f'() değerini bulalım. a), f() 6 fonksionu için bir kritik nokta olmadığından ^6 - h -^6-9h fl^h lim - " ^ h^ h lim lim - ( - ) " " -6 d r. 69

19 ÜNİTE b) noktası f() 6 fonksionunun bir kritik noktasıdır. Bu nedenle sağdan ve soldan türevlere bakılır. UYGULAMA ADIMI 8. f() ise, f'() kaçtır? fl^ fl^ - h f ^ h- f^h ^ -6h-^ -6h lim lim - - " " ^- h^ h lim ( - ) " 8 f ^ h- f^h ^6 - h-^6 - h h lim lim - - " " kritik nokta olduğundan sağdan ve soldan türevlere bakılır. fl^ h ^$ ^h h - ^ h lim - " - lim lim " " -( - )( ) lim -8 - ( - ) " f'( ) f'( ) olduğundan f'() oktur. dir. - f l^ h ^^- h h- ^$ h lim - " - - lim lim (- ) " " f'( ) f'( ) olup, f'() dır. 7. R de tanımlı f() fonksionunun deki türevi kaçtır? 9. f: R R, f(), < *, fonksionunun deki türevini bulunuz. Polinom fonksionlar her erde sürekli olduğundan de f fonksionu süreklidir. noktası fonksion için bir kritik nokta olmadığından sol sağ türevi bulmaa gerek oktur. Doğrudan türevi bulabiliriz. f ( ) f( ) f'( ) lim $ noktası bu fonksion için kritik nokta değildir. in komşuluğunda fonksion f() ile ifade edilmektedir. f() sürekli olduğundan hemen türevini hesaplaabiliriz. f ( ) f( ) f'( ) lim $ ( ) ( ) lim $ ( ) ( 6) lim $ lim $ lim $ ( )( ) lim $ ( ).( ) lim $ lim $ ( ) bulunur. lim ( ) dir. $ 7

20 . f() fonksionunun noktasında türevini (varsa) bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI. a b, # f ^ h * a, fonksionunun noktasında türevli olması için a ve b değerleri ne olmalıdır? ÜNİTE 5 a, b., # f ^ h *, şeklinde tanımlanan f fonksionu için f'() değerini (varsa) bulunuz. 5. f() fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz f ( ) fonksionunun noktasında türevini (varsa) bulunuz. 6. Z a b, ] f ^ h [ c, # ] d, $ \ fonksionu ve de türevli olduğuna göre, a, b, c, d değerlerini bulunuz. Türev oktur. a, b 7 c 6, d 9 7

21 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM 6. Türev Alma Kuralları D R ve f, g, h fonksionları D kümesinde türevli olsunlar.. Sabitin Türevi c R ve f() c & f'() dır. (Sabit fonksionun türevi sıfırdır.) ETKİNLİK Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulunuz. a) 6 ÖRNEK f() 5, f(), f() fonksionlarının türevi nedir? b) 6 7/ 5/ f() 5 & f'() f() & f'() f() & f'() dır. c) ( ).( ). n Q, c R olmak üzere, f() c. n f'() c.n. n dir. ÖRNEK f() 5, f() d) ( ) f ^ h, f ^ h fonksionlarının türevini bulunuz. f() 5 & f'() e) f() & f'() f f ^ h & l^ h $ f() & f'(). ( ) 8 olur. 7

22 KAVRAMSAL ADIM. Toplam vea Farkın Türevi F() f() ± g() & F'() f'() ± g'() tir. ÖRNEK f() 5 fonksionunun türevini bulalım. II. Yol: Çarpımın türevinde verilen kural ugulanırsa, f'()..()..() 6 bulunur. ÖRNEK ÜNİTE a, b olmak üzere; f() 5 & & f'() ( 5 )' f'() ( )' ( )' (5 )' f() ( a) ( b) fonksionu verilior. f'() denkleminin çözüm kümesini bulunuz. & f'() 9 olur. f() ( a) ( b) & f'() ( a)'( b) ( a)( b)'. Çarpımın Türevi. F() f(). g() ise F'() f'(). g() f(). g'(). F() f().g(). h() ise F'() f'().g(). h() f(). g'(). h() f(). g(). h'() tir..( b) ( a). (ab) f'() & (ab) & a b a b & dir. ÖRNEK f(). () fonksionu verildiğine göre, f'() ifadesini bulunuz. I. Yol: f() () ise f() olup f'().. 6 olur. ÖRNEK m, n Z olmak üzere; f() m n ise, f'() f'( ) toplamı nedir? f() m n & f'() m m n n olur. f'() m n f'( ) m( ) m n( ) n m( ) n( ) (mn) ve f'() f'( ) m n (m n) bulunur. 7

23 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM 5. Bir Fonksionun Kuvvetinin Türevi n Q ve F() [f()] n & F'() n.[f()] n. f'() tir. ÖRNEK f() ( ) fonksionunun türevi nedir? 6. Bölümün Türevi g() olmak üzere, f ^ h fl( ). g( ) - f^h. gl^h F ^ h & Fl ( ) g ^ h 6 g ^ ÖRNEK f() ( ) & f'().( ) 9.( )'.( ) 9...( ) 9 olur. f ^ h olduğuna göre, f'() ifadesini bulunuz. ^ hl. ^ h- ^ h. ^ hl fl^h ^ h ^ h ^ h ^ h ^ h bulunur. ÖRNEK f ( ) ^ h fonksionu için f'( ) nedir? f ^ h ^ h & f ^ h ^ f'().( ). ( )' h ÖRNEK f ^ h ise, f'( ) cosi pozitif i açısı kaç derecedir? eşitliğini sağlaan en küçük. ( ). X. olup ^ h. ^ h f'( ) ^^- h h 6 bulunur. f ^ h ise. ^ h. ^h f l^h ^ h ^ h. ^ h fl^ h cos i ^ ^ h h i 6 dir. ise 7

24 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK f() ( ) ise, f'() nedir? f'() ( ).( ) Vea ( ) te u olsun. u d & u du du d KOLAYLIK a, b, c, d R olmak üzere, olur. d d du. ( ).( ) d du d bulunur. a b ad - bc f ^ h ise f l^ h dir. c d ^c dh ETKİNLİK f ( ) düzenlenirse UYARI fonksionunun türevini bulalım. ( )( ) ( )( ) f'( ) ( ) 6 f'( ) ( ) f ( ) türevi f'( ) a b c m n p a m a m b n c p bulunur. ise katsaıları azılarak b n a c m p ( m n p) a b ; an bm dir. E m n bulunur. Buna göre bir önceki örneği çözelim. Katsaıları b n c p ÜNİTE ÖRNEK f'( ) ( ) 5 f ^ h - fonksionunun türevini bulalım 6 f'( ) ( ) olur. ETKİNLİK 5. ^-h -5. f ^ h & fl^h - ^ - h --5 ^ - h f ( ) 5 fonksionunun deki türevini bulunuz. -9 ^ - h dir. 75

25 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK a f ^ h ve fl^h ^ h ^ h f ^ h ^ h ise ise, a kaçtır? ÖRNEK f ^ h ise, fl^h nedir? ^ hl f ^ h & fl^h. ^ h -. ^ h fl^h ^ h ^ h6 ^ ^ h^ h - a ^ h ^ h ise a - dir. ÖRNEK f ^ h isef ^ h. fl^h nedir? dir. ÖRNEK Her iki tarafın karesini alalım. m m R olmak üzere f ^ h m kaçtır? fonksionunun türevi sıfır ise, f ^ h & f^h olur. Şimdi de her iki tarafın türevini alalım.. f^h. fl^h & f^h. fl^h dir. m m ^ h ^m h f ^ h & fl^h ^ h ve m - fl^h & & m - ^ h & m & m " dir. ÖRNEK f ^ h - ise, f'() kaçtır? 7. Köklü İfadelerin Türevi gl ^h a) f ^ h g ^ h & fl^h g ^ h n b) f ^ h g ^ h & fl^h n. n gl ^h 6 n - dir. f ^ h - - & fl^h - fl^h - - & fl^h - -. tü. r 76

26 KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK a, b, c R f ^ h a b c, f^h ve f().f'() ise, f'() kaçtır? f^h a b c ise f ^h a b c ETKİNLİK f ( ) fonksionunun türevi Bu tip fonksionlarda türev alınırken önceden sadeleştirme apılırsa f() /6 X / X / 76 / / / f'( ) 6 biçiminde bulunur. ÜNİTE b f ^ h. fl^h a b& f ^ h. fl^h a ve b f ^ h. fl^h & a b & a, & b 6 d r. f^h & f^h c & c ve f ^ h 6 dir. f^h. 6. f ^ h. fl^h & f^h. fl^h. ETKİNLİK. a) f ( ) fonksionunun türevini bulunuz. &. fl^h 7 7 & fl^h dir. ÖRNEK f(). ise, f'() değerini bulunuz. b) f() ise, f'() değerini bulunuz. f ( ) f'( ) f'( ). olur. 77

27 ÜNİTE UYGULAMA ADIMI. f(). f() m ve f'() 6 olduğuna göre, 6 fonksionu için, flf p değeri kaçtır? m kaçtır? f ^ h 6 isefl^h 6 & flf p. 6 7 dir. f() m ise f'() m & f'(). m & m 5 & m - bulunur.. f(). g() fonksionu için g( ), g'( ) olduğuna göre, f'( ) kaçtır? f().g() & f (). g(). g'() için, f'( ) ( ). g( ) ( ). g'( ) f'( ). bulunur. 5. f ^ h ise, f'() değeri kaçtır? ^ h. ^ h- ^ h. ^ h fl^h ^ h ^. h^. h- ^. h. ^. h f l^h ^. h bulunur.. Ugun koşullarda f ^ h. f ^ h koşulunu sağlaan f fonksionu için f() ise f'() değeri kaçtır? f ^ h. f ^ h ise fl^h fl ^h 6. f^h. f ^ h iç in, fl^h fl ^h 6.. f^h.. f^h. fl^h f l^h 6 fl^h $ fl^h & fl^h- fl^h fl^h & fl^h 5 bulunur. 6. f ^ h fonksionuna apsisi olan noktadan - çizilen teğetin eğimi kaçtır? f'() istenmektedir. ^ hl. ^ -h- ^ h. ^ -hl fl ( ) ^ -h ^ h. ^ -h- ^ h. ^ h f l^h ^ -h ^ h. ^ -h- ^ h. ^ h f l^h ^ -h 5-8 fl^h - bulunur. 78

28 a 7. f ^ h fonksionu için, fl^h olduğuna göre, a kaçtır? a a. ^ h- $ ^a h f ^ h & fl^h ^ h a$ - $ ^a h & fl^h ^$ h UYGULAMA ADIMI. f() a fonksionunun grafiğine apsisli noktada çizilen teğetin eğimi 6 olduğuna göre, a kaçtır? f'() 6 olmalıdır. f'() a olup f'(). a 6 & 6 a & a dir. ÜNİTE a - 6 & a & a 9 bulunur.. f() ( ) ise, f'() nedir? 8. f().g() f'(), g'() olduğuna göre, g() kaçtır? f() ( ) & f'() ( ). ( )' f'(). ( ). f(). g() f'() 6. ( ) bulunur. f'(). g(). g'() 6 & f'().. g().. g'(). 6. f'() ve g'() olduğundan. g(). 9.g() g() bulunur.. f( 5) olduğuna göre, f'() f() kaçtır? f( 5) & f'( 5). 9. f() (6 ) fonksionu için f'( ) değeri kaçtır? f() (6 ) & f'() (6 ).(6 )' (6 ). ( ) için; f'( ) (6. ( ).( ) ). (( )). 5. ( ) 75 bulunur. & f'(. 5).. & f'(). 9 & f'() f( 5) & f(. 5). & f() 9 O halde, f'() f() 9 bulunur. 79

29 ÜNİTE. f() 5 ise, f'() i bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI 5. f(). () fonksionu için f'( ) değeri kaçtır?. f() ise, f'( ) değeri kaçtır? 6. - f ^ h fonksionunun - noktasında (varsa) türevini bulunuz.. f().g() ve g( ), g'( ) olduğuna göre, f'( ) değeri kaçtır? 7. f ^ h fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. oktur 7. f ^ h fonksionu için flf p değeri kaçtır? 8. ^ - h f ^ h fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. 5 8

30 KAVRAMSAL ADIM 8. Parametrik Fonksionların Türevi D f R ve f: D R fonksionu (bağıntısı) f() kuralıla verildi ği gibi, t ortak değişkenine bağlı olarak f(t) ve g(t) kuralıla da verilebilir. Burada t e parametre, f(t) ve g(t) ifadesine parametrik fonksion denir. f(t) ve g(t) fonksionları t e göre türevli olmak üzere, nin değişkenine göre türevi: d d dt $ d dt d d dt d dt dir. l t Bu türev kısaca l biçiminde gösterilir. l t d d dt t - d d t - t dt d d t Kapalı İfadelerin Türevleri F(,) denkleminden, f() gibi nin e bağlı fonksionu elde edilebiliorsa türev d fl^h tir. d bulunur. ÜNİTE ÖRNEK t, t t ise, d t & t dt ÖRNEK d d d t t & t olup dt d d d dt dt t $ d dt d d t dt ifadesi nedir? dir. Ancak çoğu kez, f(,) denkleminde f() gibi bir fonksion bulmak olanaksızdır. Bu durumda verilen denklemin her teriminin e göre türevi alınarak türevi bulunur. d d ÖRNEK ise, d d ifadesi nedir? t t ve t d t ise, türevinin t noktasındaki d değeri nedir? d t - t & t -t dt d t - t & t- ve dt eşitliğinde her terimin 'e göre türevi alınırsa, &.. ' &.' &.' & ' - & d d - bulunur. 8

31 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK d 5 ise, d d Önce i bulalım: d Her terimin ʼe göre türevi alınırsa: değeri kaçtır? F(,) F' (,) 6 F' (,) olup d Fl ^, h 6 - d Fl ^, h - dir.. X..'..' '( ) ETKİNLİK d l - d sin (π) cos ( ) & '? d d ve d d. bulunur.. KOLAYLIK F(,) denkleminin l d türevi şöle de bulunabilir. d sabit düşünülerek değişkenine göre F' (,), sabit düşünülerek değişkenine göre F' (,) bulunarak d Fl ^, h l - azılır. d Fl ^, h. Trigonometrik Fonksionların Türevleri:. a) f() sin & f'() cos b) f() sing() & f'() g'(). cosg() c) f() sin n & f'() n.sin n. (sin)' n.sin n.cos ÖRNEK f() sin ise, f'() nedir? ÖRNEK ise, d d ifadesini bulunuz. f() sin ise, f'() ()'. cos & f'().cos tir. 8

32 KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK f() sin ise, π flc m kaçtır? f() sin ise, f'() sin. (sin)' sin. cos sin ve π flc m sin. π sin π dir. f() sin sin ise f'()..sin.(cos)..sin.(cos)...sin.cos..sin.cos. (sin6 sin8) olup π π π f' c m. csin 6 $ sin 8 $ m π π. csin sin m $ f p ÜNİTE ÖRNEK. a) f() cos & f'() sin 6^ h tü. r f() a.sin b.sin ve fl ( ). cos. cos ise π fc m kaçtır? b) f() cosg() & f'() g'().sing() c) f() cos n & f'() n.cos n.(cos)' n.cos n.sin f() a.sin b.sin ise ÖRNEK f'() a.cos b.cos cos cos olup bu eşitlikten cos f ^ h ise, f l^ h nedir? a, b & b bulunur. O halde, f() sin sin olup, π π π fc m sin sin. - bulunur. cos f ^ h ise. sin. sin fl^h ^hl sin olur. ÖRNEK ÖRNEK f().sin.sin ise, π flc m nedir? f() cos π cos türevinin 6 noktasındaki değeri nedir? 8

33 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM f() cos cos ise f'().cos.sin sin sin sin sin π π π flc m. sin $ - $ sin $ dir. ÖRNEK f() tan ise, f' () ifadesinin eşiti nedir? f() tan ise f'().(tan X) 6(tan ) 6sec vea 6 cos tir. ÖRNEK ÖRNEK f() tan cos ise, π flc m değeri nedir? f() sin π cos π. olduğuna göre, f'( ) kaçtır? f() tan cos ise fl ^h $ tan $ f p$ -cos $ sin cos π. f ^ h sin π cos ise r r r f'() π.sinπ.cosπ. cos. sin π π fl^- h.π. sin^-π h. cos^-πh-π. cosc- m. sinc- m olur. π π π π flc m $ ftan p $ cos $ sin π fcos p $ ^ h $ - $ $ f- p 6 $ - dir.. a) f ^ h tan & fl^h tan cos sec b) f ^ h tan g ^ h& fl^h ^ tan g ^ hh. gl^h $ gl ^h cos g ^ h sec g^h. gl ^h n n- c) f ^ h tan & fl^h n$ tan $ ^ tan h n - n$ tan $ cos 8 n - n$ tan $ sec. a) b) c) f ^ h cot & fl^h- ^ cot h - -cosec sin f ^ h cot g ^ h& fl^h gl^h^ cot g ^ hh gl^h - sin g ^ h -gl^h$ cosec n n- f ^ h cot & fl^h- n. cot $ ^ cot h n - -n$ cot $ sin g^h n - -n$ cot $ cosec

34 KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK f() cot cot ise, f'() ifadesini bulunuz. f() cot cot ise f'() cot.( cot ). ( cot X) 8cotX 8cot X cot X olur. f ^ h- f^h f ^ h- f^h lim lim " - " ^- h^ h f ^ h- f^h lim $ lim - " " fl^h$ fl^h ve π π π fl^h tan $ c tan m $ oldu undan π π π tan tan f l^ h ; c $ m$ c me π π bulunur. ÜNİTE ÖRNEK ÖRNEK π f ^ h tan cot ise, flc m kaçtır? tan t ve cot t ise, d d türevi nedir? ^ tan h- ^ cot h f' ^h tan cot π c tan m- c cot π f lc m π π tan cot. π m ^ h- ^ h d tan t & tan t dt cos t d cot t & - ^ cot th- olup dt sin t d d dt cos t sin t -tan t bulunur. d d cos t dt sin t. Logaritma Fonksionunun Türevi 7 7 dir. fl^h a. F() ln(f()) & F'() tir. f ^ h ÖRNEK π f ^ h- f^h f ^ h tan ise, lim " - ifadesinin değeri nedir? b. F() log a (f()) & F'() (a R {}) dir. fl^h $ f ^ h ln a fl^h log f ^ h a e 85

35 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulalım. a) f() ln d) g() log b) g() ln e) h() log 5 (sin) c) h() ln f) k() log (ln) ETKİNLİK f(), n u, n(, n) u' f'() u dersek f'( )., n & u' ise türevini bulalım. olur. tir. O halde ^hl a) fl^h b) g'() ()'. ln. (ln)' ln. c) h(), n,n, n ^ hl d) g'() alog l $ log e k ^sin hl e) hl ^h alog ^sin l $ log e 5 hk sin 5 ^, nhl f) kl^h alog, n l $ log e ^ hk, n ^hl hl ( ) $. tir ETKİNLİK log e $ $ ln cos $ log e cot $ sin 5 ln 5 $ log e $ dir., n n,, n f(), n( sin ) için f' a r k? 6, n. Üstel Fonksionun Türevi a ifadesinin her iki anının doğal logaritmasını alalım: a & ln lna & ln lna olur. Her iki anının türevi alınırsa l. lna & l. lna & l a. lna bulunur. O halde a) a & ' a.lna b) a f() & ' a f().f'().lna dır. ÖRNEK f() log ( ) ise türevini bulalım. f'() loge. tür., n f(),n( sin ) Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulalım. a) f() d) f ^ h ise türevini bulalım.. cos f'().cot olur. sin b) g ^ h a e) g() sin c) h ^ h - f) h ^ h 5 86

36 KAVRAMSAL ADIM a) f() & f'(). ()'. ln. ln b) g ^ h a & gl^h a $ ^ hl $, na $ a., na - - c) h ^ h & hl^h $ ^-hl $, n $ $, n -$ $ $, n - -$ $, n d) f ^ h ise fl - - ^h ^- hl $, n $ ^ h, n -$ $, n e) g() sin & g'() sin. (sin)'ln cos. sin. ln f) h ^ h 5 & hl^h 5 ^ hl $, n5 ETKİNLİK f ( ) e ise, f'() i bulalım. f'( ). e olur. UYARI a fonksionunda a e(e,788...) alınırsa e olur. e ' e.lne e. e tir. O halde e f() ' e f().f'() olur. ÜNİTE 5 $ $,n5 tir. ÖRNEK ETKİNLİK a) f ( ) sin( e ) ise, f'( )? Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulalım. a) f() e d) f() e sin b) g() e e) g() e c) h() e f) h() e e a) f'() e.()' e b) g'() ()'.e. (e )'.e.e.( )' e e e (-) b) f ( ) e cos ise, f'( )? c) h'() ( )'e (e )' e e e ( ) d) f'() (e sin )' e sin.(sin)' cos.e sin e) gl e e. e ^ h ^ hl $ ^ hl $ tir f) h'() (e e )' (e )' (e )' e e.( )' e e tir. 87

37 ÜNİTE. Parametrik denklemi t t t t olan f() fonksionu için değeri kaçtır? d d dt t t d d 9t dt t d d UYGULAMA ADIMI türevinin t noktasındaki bulunur.. f() sin π fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. f ^ h sin & fl^h. sin $ cos π π π & flc m. sin $ cos.. bulunur. 5. f() cos π cot fonksionunun - apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?. eşitliğile verilen f() fonksionunun ' türevini bulunuz. F l - F l - dir. f() cos. cot f'().. cos. ( sin) cot. [ (cot )] π π π flc- m-6. cosc- m$ sinc- m π π π cotc- m $ c- m$ ;- c cot c- mme π -6$ $ f- p- $ - π. bağıntısıla verilen f() fonksionunun apsisli noktasındaki türevini bulunuz. bağıntısında için.( ) ( ). ( ). olup, A(, ) noktasındaki türev soruluor. 6 ', azılırsa ifadesinde 6$ ^ h $ ^-h$ ^- h ^-h$ l - ^- h ^-h bulunur sin - cos π f ^ h fonksionunun sin cos apsisli noktasındaki teğetinin eğimini bulunuz. sin - cos f^h sin cos π bulunur. ^cos sin h$ ^sin cos h-^sin - cos h$ ^cos - sin h & fl^h ^sin cos h π π ccos sin m - & fl^r/ h bulunur. π π csin cos m O halde, m T dir. 88

38 7. sin f ^ h - cos fonksionunun noktasındaki türevinin değeri kaçtır? sin f ^ h - cos ^ cos h$ ^-cos h- ^ sin h$ ^ sin h f l^h ^- cos h ^ cos h$ ^-cos h- ^ sin h$ ^ sin h f l^h ^- cos h ^ h^-h-$ - - bulunur. ^-h UYGULAMA ADIMI. f ^ h log ise, f 9 kaçtır? 5 f p l^ h f p ' f ^ h log & f $ log e 5f p l^ h 5 f p $ ^ h- ^ h$ ^ h & fl^h $ log e 5 f p & fl^h $ f p$ ^ h ln 5 ÜNİTE l f l^h $ ^ h^ h ln 5 8. f().tan π fonksionunun noktasındaki teğetinin eğimini bulunuz. f ^ h. tan & fl^h. tan $ $ tan $ ^ tan h π π π π π fl tan tan tan c m $ $ $ c m π ^ h π bulunur.. f() log( ) ise, f'() kaçtır? f() log( ) ise ^ fl^h hl $ log f l^h $ ln l fl^9h $ tir.. ln 5 ln 5 e fl^h $ dur. ln ln ln 9. f() ln( ) ise, f'() kaçtır? ^ hl f ^ h ln^ h & fl^h $ ln e f l^h. fl^h dir.. f() ln(tan) ise, f'() nedir? ^tan hl f ^ h ln^tan h isefl^h tan tan fl^h tan tan tan fl^h cot tan olur. 89

39 ÜNİTE. f() ln(ln) ise, flf p kaçtır? e ^, nhl f ^ h, n^, nh & fl^h, n & fl^h, n n, e e & flf p - e dir. e e n, ne - $, e. ise,, ' nedir? &, n, n &, n, n l & ^, nhl l &,n $ & l $ ^n, h & l ^n, h. & ' (, n ) 5. cos ise, ' nedir? cos & ln ln & ln cos $ ln l & ^cos $ ln hl l & - sin $ ln cos f p & l $ f- sin ln cos p cos UYGULAMA ADIMI 6. f() ln( sin ) ise, f'() nedir? ^sin hl cos^ h. ^ hl f ^ h ln^sin h & fl^h sin sin 7. (ln) ln ise, ' nedir?, n, ^, nh &, n, n6^, nh &, n, n., n(, n) ' ' ( ) n n n ^, nh,,,, n & ' ;, n(, n) E, n ' (, n). 6, ( ) n, 8. ln ise, f'(e) nedir? f^h $ cos f l^h sin cot fl^h tir. n l,, n f^h & fl^h f p $ $, n, n 6 ^, l$ - fl^h -^, nh $ $ fl ( e) -^, neh - $ e $, n, n., n ln, ne $ $ $, n e $, n cos & l $ f- sin $ ln cos p olur. -, n e dir. 9

40 PEKİŞTİRME ADIMI π. f() sin tan fonksionunun r apsisli noktasındaki. f() cos fonksionunun apsisli noktasındaki türevini bulunuz. türevini bulunuz. ÜNİTE π - π sin. f() fonksionunun apsisli noktasındaki cos türevini bulunuz. 5. eşitliğile verilen f() fonksionu için d d türevini bulunuz. d - l - d - -. Parametrik denklemi t 5t t t olan f() fonksionu için, d d türevini bulunuz. π 6. f() sin sin fonksionu için flc m değeri kaçtır? 6t t - 5 9

41 ÜNİTE PEKİŞTİRME ADIMI 7. f() sin(cos) ise, f' () fonksionunu bulunuz.. f ^ h olduğuna göre, flf p değerini bulunuz., n e sin. cos(cos) 8. f() sin (sin) fonksionunun türevini bulunuz.. f() e sin π olduğuna göre, flc m değeri kaçtır? sin (sin).cos(sin).cos 9. f().ln ise, f'(e) değeri kaçtır?. f().e fonksionu için f'() değeri kaçtır? e 8e 9

42 e. f ^ h fonksionu için f'() değeri kaçtır? - e PEKİŞTİRME ADIMI, n 6. f ^ h fonksionunun apsisli noktasındaki türevini bulunuz. ÜNİTE 7ln. f() e tan π fonksionu için flc m değeri kaçtır? 7. f().5 fonksionu için f'() değeri kaçtır?, n^5eh 5 π e ( ) cos sin π 5. f ^ h - fonksionunun apsisli noktadaki türevini bulunuz. 8. f(). olduğuna göre, f'( ) değeri kaçtır? -.,n ^, n h- 9

43 ÜNİTE. Bileşke Fonksionun Türevi (Zincir Kuralı): D R, E R olmak üzere; f: D E fonksionu a D noktasında, g: E R fonksionu f(a) E noktasında türevlenebiliorsa; gof: D R fonksionu da a noktasında türevlenebilirdir ve (gof)' (a) g'(f(a)). f'(a) dır. f(), z g() alınırsa z g(f()) (gof)() olur. dz dz d ^gofhl^ h $ ani zl zl $ l d d d (gof)'() g'(f()). f'() olur. ÖRNEK f: R R, f() g: R R, g() ise, (gof)'() nedir? I. Yol: KAVRAMSAL ADIM (gof)'() g'(f()). f'() olduğundan g() & g'() f() & f'(), f() ve f'(). ise g'(f()) g'() 8 olduğundan (gof)'() 8. 6 dır. II. Yol: (gof) () g(f()) ( ) ( ) (gof)'() ( ) olup (gof)'() (..).8 6 dır. ÖRNEK f, g ve fog fonksionları türevlenebilir fonksionlardır. g( ), g'( ) ve f'() olduğuna göre, (fog)'( ) kaçtır? (fog)'( ) f'(g( )).g'( ) f'().. dir. ETKİNLİK. Ters Fonksionun Türevi: A R, B R olmak üzere; f: A B bire bir ve örten fonksionunun ters fonksionu f : B A olsun. A için f() B ise ters fonksion tanımından B için f () A dır. f () eşitliğinin her iki anının ʼe göre türevi alınırsa; ^ f hl ^h$ l vea ( f ) l^h tir. l l fl^h fl^f ^hh oldu undan ^f ^f hl^ h a da fl ^f ( ) h f ( ), n, g ( ) ise ÖRNEK f:(,) R, f() fonksionu verilior. (f )' () nedir? I. Yol: (fog)() fonksionunun türevini bulalım. ( fog)( ), n( ) olur. ( fog)'( ) n ' a, k hl^ h olur. fl^f ( ) h f fonksionu (,) aralığında bire bir ve örten olduğundan ters fonksionu vardır. & & ( ) ( ) & bulunur. ve (,) olduğundan > dir. 9

44 KAVRAMSAL ADIM - - ise ve f ( ) dir. Ohalde, f ^h dir. ^ f hl ^h & ^f hl^ h olur. II. Yol: ETKİNLİK f() 5 eşitliği ile tanımlanan f : R R fonksionu verilior. (f )'()? ÜNİTE f() ise f ^h ( bulundu.) ^ f hl^ h fl^h ^ - hl - ^f III. Yol: ^ -h hl^ h. f() (f & )' () olduğunu görmüştünüz. (f )'() için fl^h e karşılık gelen değerini bulmalıız. f() & & & ( ) ( ) olur. ve tür. z (,) ve (,) olup için tür. O halde, 5. Ardışık Türev (Yüksek Sıradan Türev): D R ve f: D R fonksionu D kümesinde türevli ise; ifadesine f fonksionunun. sıradan türevi denir. Eğer f' türev fonksionu da, E D olmak üzere E kümesinde türevli ise dl d m fm^h ^fl^hhl d d. sıradan türevi denir. Benzer düşünüşle d l fl^h d dm d n fn^h ^fm^hhl d d ifadesine f fonksionunun ifadesine f fonksionunun. sıradan türevi denir. Genel olarak n N ve n > için ^n - h ^nh ^nh d d f ^h d n d ifadesine f fonksionunun n. sıradan türevi denir. n ^f h^h & ^f hl^ h fl^h fl^h ve f() & f'() olduğundan fl ^h. - ve^f hl^h fl^h bulunur. ÖRNEK f() fonksionunun. sıradan türevini bulalım. 95

45 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ise ' 6 " (')' 6 6 dır. ÖRNEK f() sin sin fonksionunun. sıradan türevini bulalım. sin sin ise ' sin. cos sin. cos sin sin. cos " (')' cos.(sin. cos). cos sin. ( sin) cos sin. cos sin bulunur. n sıradan türev sorulduğunda önce, verilen fonksionun birkaç sıradan türevi bulunur. Bu türevlerden ararlanarak n. sıradan türev bulunur. ' n. n " n.(n ) n "' n.(n ). (n ). n... (n) n.(n ). (n )..[n (n )] n n (n) n.(n ). (n ). (n )... (n) n! bulunur. ÖRNEK fonksionunun n. sıradan türevi nedir? ÖRNEK f() 5 fonksionunun. sıradan türevini bulalım. 5 ise ' 5 " (')' '" tür. UYARI f(), n. dereceden polinom fonksion ise, f fonksionunun n. sıradan türevi sabit, daha üksek türevleri sıfırdır. & l dir. ' ( ). '' ( ) ( )... '''..( ).... (n) ( ) n... n. (n) (n) ( ) n n!. n bulunur. ETKİNLİK f() Arccosa k fonksionunun türevini bulalım. f ( ) Arccos & f'( ) 9 ÖRNEK n N olmak üzere f() n fonksionunun n. sıradan türevi nedir? f'( ) 9 9 bulunur. 96

46 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK ) f : R R, e) f ^ h arctan & fl^h ÜNİTE f() ise, f () ()? ve f () ()? f) g) gl ^h f ^ h arctan g ^ h& fl^h 6 g ^ - f ^ h arccot & fl^h h) gl ^h f ^ h arccot g ^ h& fl^h- 6 g ^ ETKİNLİK ) sin, cos fonksionlarının n. sıradan türevlerini, n doğal saısına bağlı olarak veren formüller bulunuz. r 5 f() sin c Arc tan m 'nin saısal değerini bulalım. cos tan 5 c m 5 cos & cos r sina ak cos a tür. olduğundan f ( ) bulunur. 6. Ters Trigonometrik Fonksionların Türevi a) f ^ h arcsin & fl^h - NOT: cos tan ve olduğunu hatırlaınız. r sina ak cos a b) f ^ h arcsin g ^ h& fl^h gl ^h - 6 g ^ ETKİNLİK f() Arccos fonksionu için f'() ın değerini c) d) f ^ h arccos & fl^h- f ^ h arccos g ^ h& f' ^h- - gl^h - 6 g ^ bulalım. f'( ). f'() bulunur. 97

47 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK ÖRNEK f ^ h arcsin ise, f'() nedir? ( > ) fl^h l f p - f p f ^ h arctan f ^ h arctan ise ^ hl fl^h ^ h ise, f'() kaçtır? fl^h bulunur. - - olur. ETKİNLİK f() Arcsin(π/) fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. ÖRNEK f() arccos bulunuz. fonksionunun türevsiz olduğu en geniş kümei r f() Arcsin a k & f'( ) f'( ). dir. f ^ h arccos ise, fl^h- - olup f'( ) bulunur. için tanımsızdır. & ± dir. - f' nün tanımlı olmadığı erlerde f' süreksiz olduğundan türevsizdir. O halde (, ], [, ) kümesinde f() arccos fonksionu türevsizdir. ETKİNLİK f() Arccot fonksionu verilior. Buna göre, f'() in değerini bulalım. f ( ) Arccot f'( ). f'( ) bulunur. 98

48 KAVRAMSAL ADIM 7. Mutlak Değerli Fonksionların Türevi D R ve f, D kümesinde türevli bir fonksion olsun. F() f() ise fl^h. f^h fl^h, f^h ise Fl^h * f ^ h -fl^h, f^h ise dir. ÖRNEK f() 8 fonksionunun türevi nedir? UYARI Mutlak değerin içini pozitif apan değerler için, doğrudan içinin tü-revi alınır. Negatif apan değerler için, içinin türevi ile çarpılır. ETKİNLİK f : R R f() olduğuna göre, f() f'() ün değerini bulalım. f() & f() f'().( ) & f'() f() f'() bulunur. ÜNİTE 8 & dir. ^- 8hl. 8! için fl^h ^ - h - dir. ETKİNLİK f() fonksionu için f'(), f'( ) ve f'(5) değerlerini bulalım. ÖRNEK ( ) f() fonksionunun noktasındaki türevi nedir? Buna göre f(), f( ) olduğundan f'( ) ve f'() oktur. f(5) > & f() & f'() f'(5) olur. & ( ) ( ) & ve ʼtür. f() ( ) < olup f() & f'() ve f'(). olur. ÖRNEK f: R $ [,] f() cos fonksionu verilor. π π π π a) flc m b) flc m c) flf p d) f' c m 6 ifadelerini hesaplaınız. 99

49 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM π π a) cos oldu undan flc m oktur. π b) cos > oldu undan π π flc m - sin - dir. 8. Parametrik Denklemlerde İkinci Mertebe Türevlerin Hesaplanması g() t parametrik denklemlerinden h() t türevini hesaplaalım. d d d' d d d d' dt d c m ve l d d d d d d dt ikinci mertebe d dt d dt olduğundan π c) cos - oldu undan π π flf p. f sin p dir. dl dt d d d d $ - $ dt dt dt dt d f p dt dir. d) π cos oldu undan 6 π π flc m - sin dir. Yerine azılırsa d d d d l d $ - $ d dt dt dt dt dt d d d d dt f p $ f p dt dt ÖRNEK d d d d $ - $ d dt dt dt dt d d f p dt bulunur. f() 5 k ve f'() ise, k nedir? a da d ". ' ' " d ^' h bulunur. 5 &, 5 tir. ETKİNLİK t [, π] parametresine bağlı olarak 5 5 cost sin t için 5X < olduğundan f() 5 k & f() 5 k ile verilen fonksion için d d r t? f'() 5 k & f'(). 5 k & 5 k & k dir.

50 UYGULAMA ADIMI. f() ve g() ise, II. Yol: a) (fog)'() nedir? b) (gof)'() nedir? Fonksionun tersini bulmadan f () a & f(a) & a 5 a a) I. Yol: (fog)() f(g()) () a dir. f() 5 & f'() (fog)() f'( ). ( ) olur. (fog)'() ( f )'( ) fl^ h olur. II. Yol: (fog)'() f'(g()). g'() ÜNİTE. b) I. Yol: (gof)() g(f()) ( ). f: [, ] [ 9, ) f() 5 ise, (f )'( 5) kaçtır? II. Yol: (gof)'() (gof)'() g'(f()). f'(). ^f hl^ 5h fl^f ^ 5hh f ( 5) a & f(a) 5 tir. olur. a a 5 5 & a V a f [, ) olduğundan a tür. ( [, )). f: R R, f() 5 ise, (f )'() değeri kaçtır? f'() & f'(). tür. ^f hl^ - 5h fl^f ^ 5hh fl^h olur. I. Yol: f () ʻ i bulup türev alalım. 5 & 5 & -5 & f ^h -5 & ^f hl^h. ^ - 5h & ^f hl^ h. ^- 5h dür.. f() 5 ise, f''() nedir? f() 5 ise f'() f''() 6 dur.

51 ÜNİTE 5. f() 5 ise, f (5) () nedir? f'() 5 f''() 5.. f'''() 5... f () () 5... f (5) () ! olur. UYGULAMA ADIMI 8. $ sin t d cos t d I. Yol: nin efliti nedir? d d dt sin t. sin t. cos t - - d d cos t. cos t dt d - sin t d 6. f ( ) e ise, ^h f ^h nedir? df- sin tp -. cos t d - d d. cos t 9 dt dur. fl^h e e e fm^h $ $ e fn^h $ $ $ e e... f^ h^h f $ $ p$ e $ e dir. II. Yol: d ''' ''' d ^' h _ ' cos t b b '' - sin t b d cos t$ ^-cos th-^-$ sin th$ ^-sin th ` ' -sin t b d ^ cos th b '' -. cos tb a - $ cos t$ cos t-6 sin t$ sin t 7. cos t 7. d ^e h e $ f p d ifadesinin eşiti nedir? d ^$ e h d d ^ $ e f d d d d e ^ e d h p h - e e e -. cos t$ cos t-6 sin t$ sin t$ cos t 7. cos t$ cos t - $ ^cos t -cos th 9 $ cos t ^cos t- sin t -cos th - $ 9 cos t bulunur. 9 e - e e d ^ e h $ e $ ^- e e d - tir. h

52 9. sin t cost cos t sint d π olmak üzere, nin t için değeri kaçtır? d d d dt cos t$ ^- sin th cos t - sin t cos t d d sin t$ cos t- sin t sin t- sin t dt d d d d - sin t cos t c m c m d d d d sin t- sin t UYGULAMA ADIMI. (a b) n fonksionunda n bir tam saı olmak üzere, n nin eşiti nedir? ' n.(a b) n.a '' n(n ).(a b) n.a ''' n(n )(n ).(a b) n.a... (n) n. (n )(n ) [n (n )]. (a b) n n. a n n n!. a n dir. ÜNİTE d - sin t cos t f p dt sin t- sin t d dt d - sin t cos t f p dt sin t- sin t sin t$ cos t- sin t ^-cos t - sin th$ ^sin t - sin th-^- sin t cos th$ ^cos t - cos th ^sin t - sin th $ ^sin t - sin th d d π t..e ise (n) nin eşitini bulalım. ' e e e () '' e. () e. e () ''' e. () e. e ()... (n) e. (n) dir. π r π π π π π π - $ cos $ sin $ sin - sin - - sin cos $ cos $ - cos π π π π csin $ - sin m $ csin $ - sin m c m c m c m c m ^^-h$ ^-h-h$ ^-h- ^ h$ ^.( ) h ^-h $ ^-h $ ^-h - ^-h - - dir.. e ise, e d d f - p ifadesinin eşiti nedir? d d d e & l e. e e ^ h d d. ' e e e ' ^ lhl ^ h ^ h ^. e hl d e l e e. e e ^ h dir.

53 ÜNİTE. Ölese, e - d d - f - p e 6e ^ h- e ^ d d - e 6e ^ bulunur.. sin i d ile verilen f() fonksionu için 5. cos i d bulalım. d d di 5 sin i $ tan i d d cos i di dl - 5 $ ^ tan ih di dir. ve UYGULAMA ADIMI türevini 5. t e ile verilen f() fonksionu için t t bulalım. d d dt t d d t e dt t dl t $ e - ^t h $ e dt t ^e h t dl t e - ^t he d t dt e d d t e dt t d e ^t t h t d e t t d d türevini d' 5 - $ ^ tan ih d di d d.cosi di - 5 $ 9 cos i bulunur. 6. e t (t t ) bulunur. t t ile verilen f() fonksionu için t t bulalım. d d türevini. t t ile verilen f() fonksionu için t - t bulalım. d d türevini d d dt 9t d d t dt dl 8t$ ^t h - ^9t h $ 8t 8t-8 dt ^t h ^t h d d dt t - ^t - h d d t dt dl dt ve dl d dt d d t ^t h dt bulunur. dl 8t 8t-8 d dt ^t h 8t 8t-8 tür. d d ^t h ^t h dt Diğer taraftan, dm d d d d dt f p m d d d d d dt olup,

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır? . SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)

Detaylı

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI YILLAR 966 967 968 969 97 97 97 975 976 977 978 980 98 98 98 98 985 986 987 988 989 990 99 99 99 99 995 996 997 998 006 007 ÖSS / ÖSS-I ÖYS / ÖSS-II 5 6 6 5

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x.

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x. - TÜREV KAVRAMI - TÜREV KAVRAMI 7 iadesinin türevini alınız. Çözüm lim lim 7 7 lim 7 7 lim lim onksionunun türevini alınız. Tanım onksionunda değişkeni artımını alırken de kadar artsın. oranının giderken

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56

7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56 , 006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@ahoo.com.tr Türev TEST I 7. f() = sin cos fonksionunun. f()= sin( + )cos( ) için f'() nin eşiti nedir? A) B) C) 0 D) E) için erel minimum değeri nedir? A) B)

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR Fonksionlar ve Özel Tanımlı Fonksionlar Özel tanımlı fonksionlar konusu fonksionların alt bir dalıdır. Bu konuu daha ii anlaabilmemiz için fonksionlar ile ilgili bilgilerimizi

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Tekrar Zamanı TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ÇÖZÜMLÜ TEST 1... 52 ÇÖZÜMLÜ TEST 2... 54 MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ. Uygulama Zamanı 1...

İÇİNDEKİLER. Tekrar Zamanı TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ÇÖZÜMLÜ TEST 1... 52 ÇÖZÜMLÜ TEST 2... 54 MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ. Uygulama Zamanı 1... İÇİNDEKİLER TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Teğet ve Normal Doğruların Eğimi... Teğet Doğrusunun Eğim Açısı... Teğet ve Normal Denklemleri... Eğrinin Teğetine Paralel ve Dik Doğrular... Grafikte Teğet I... 5

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

TÜREV TÜREV. Kurallar. Konu Kavrama Çalışması. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

TÜREV TÜREV. Kurallar. Konu Kavrama Çalışması. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu f()= 6 ise f ı ()=6. 6 =6 5 Cevap: 6 5 TÜREV TÜREV Bu bölümde fonksionların türevlerinin nasıl alınacağını öğrenmee başlıoruz. = f() fonksionunun türevi f ı (), d(f()) vea d ile gösterilebilir. d d Kurallar

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte 5 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. - - ^- h + c- m - (-5 )-(- ) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) 5 E).

Detaylı

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır.

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır. -A Adı Soadı kulu Sınıfı LYS- MATEMATİK TESTİ Bu Testte; Toplam Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 7 dakikadır. Süre bitiminde Matematik Testi sınav kitapçığınızı gözetmeninize verip Geometri Testi

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS MTEMTİK TESTİ. Bu testte soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. d + n - d + n d - + n- d + + n işleminin sonucu kaçtır?., R olmak üzere, + +

Detaylı

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir?

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir? MC www.matematikclub.com, 006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir3@ahoo.com.tr. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler- TEST I A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 1. 1/ = 0 denkleminin köklerinin toplamı aşağıdakilerden

Detaylı

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012 Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi e Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.8. ta rih ve sa ı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve - Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren u gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan

Detaylı

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

LYS MATEMATİK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ

LYS MATEMATİK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ Ders Adı.ınıf Mezun LY MATEMATİK KONU ANLATIM FAİKÜLÜ TÜREV KAF 0 Konu Bir doğrunun eğimi dik koordinat sisteminde X ekseni ile aptığı pozitif önlü açının tanjantıdır. Örneğin, şekilde verilen d doğrusunun

Detaylı

Çözüm: Örnek: 3. BÖLÜM TEST - 1. 4x 3 +3y 2 2x 4y=9 eğrisinin (1, 1) noktasındaki teğetinin denklemi nedir?

Çözüm: Örnek: 3. BÖLÜM TEST - 1. 4x 3 +3y 2 2x 4y=9 eğrisinin (1, 1) noktasındaki teğetinin denklemi nedir? . BÖLÜM TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU TEST TEST - 4 + 4=9 eğrisinin (, ) noktasındaki teğetinin denklemi nedir?. f()=( ). ( 5) fonksionun =4 noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? A) 4 B) C) D) E) 6. fonksionun.

Detaylı

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08 LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SRU KİTPÇIĞI 08 U SRU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SRULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik Testi

Detaylı

ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı a da bir kısmı, azarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik,

Detaylı

Chapter 1 İçindekiler

Chapter 1 İçindekiler Chapter 1 İçindekiler Kendinizi Test Edin iii 10 Birinci Mertebeden Diferansiel Denklemler 565 10.1 Arılabilir Denklemler 566 10. Lineer Denklemler 571 10.3 Matematiksel Modeller 576 10.4 Çözümü Olmaan

Detaylı

www.mehmetsahinkitaplari.org

www.mehmetsahinkitaplari.org MATEMA www.mehmetsahinkitaplari.org T T r. P ALME YA YINCILIK Ankara I PALME YAYINLARI: 76 Sinif Matematik Konu Anlatım / Mehmet Şahin Yaına Hazırlama : PALME Dizgi-Grafik Tasarım Birimi Yaın Editörü :

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. n olmak üzere; n n toplamı ten büük n nin alabileceği tamsaı değerleri kaç tanedir? 9 B) 8 7.,, z reel saılar olmak üzere; ( 8) l 8 l z z aşağıdakilerden hangisidir? B) 8. tabanındaki

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları...

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları... ÜNİTE Safa No............................................................ 79 98 Fonksionlar Konu Özeti...................................................... 79 Konu Testleri ( 8)...........................................................

Detaylı

Örnek...3 : f : R R, f (x)=2 x fonksiyonuna ait tabloyu. Örnek...4 : Örnek...1 :

Örnek...3 : f : R R, f (x)=2 x fonksiyonuna ait tabloyu. Örnek...4 : Örnek...1 : LOGARİTMA a b =c eşitliğini düşünelim. Mümkün olan durum larda; Durum 1: a ve b biliniorsa c üs alma işlemile bulunabilir. Örneğin 2 5 =c ise c=32 dir. Örnek...3 : f : R R, f ()=2 fonksionuna ait tablou

Detaylı

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 996 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır? A) B) 8 C) 6 D) E) Çözüm Toplam öğrenci

Detaylı

LYS MATEMATİK-2 SORU BANKASI LYS. M. Ali BARS. çözümlü sorular. yıldızlı testler. Sınavlara en yakın özgün sorular

LYS MATEMATİK-2 SORU BANKASI LYS. M. Ali BARS. çözümlü sorular. yıldızlı testler. Sınavlara en yakın özgün sorular LYS LYS 6 Sınavlara en akın özgün sorular MATEMATİK- SORU BANKASI çözümlü sorular ıldızlı testler M. Ali BARS M. Ali Bars LYS Matematik Soru Bankası ISBN 978-65-8-7-9 Kitapta er alan bölümlerin tüm sorumluluğu

Detaylı

Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol Artan ve Azalan Fonksiyonlar Tanım: a,b aralığında tanımlı bir onksiyonu verilsin., a,b ve için, ise onksiyonu a,b aralığında artan, ise

Detaylı

LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI

LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI LYS- MATEMATİK (MF-TM). Bu testte Matematik ile ilgili soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz..

Detaylı

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II) 7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile

Detaylı

TÜRKİYE GENELİ DENEME SINAVI LYS - 1 MATEMATİK

TÜRKİYE GENELİ DENEME SINAVI LYS - 1 MATEMATİK TÜRKİY GNLİ SINVI LYS - 1 7 MYIS 017 LYS 1 - TSTİ 1. u testte 80 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz. + k+ n 15 + 10 1. : = + 6 16 + 8 0 + 8 olduğuna

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 :

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 : FONKSİYONLR FONKSİYONUN EKSENLERİ KESİM NOKTLRI fonksionunun ekseninin kestiği k noktaların m apsisleri b, c, e dir. u noktalar a b c f()= denkleminin n kök leridir p in eksenini kestiği nokta ise (,p)

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. A.. n saısının tamsaı bölenlerinin saısı olduğuna göre, n 0. R de tanımlı " " işlemi; ο ο işleminin sonucu 0. (6) 6 (6) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 6 6 (6)

Detaylı

Örnek...1 : f (x)=2x 2 5x+6 parabolü K(2,p) noktasından geçiyorsa p kaçtır? Örnek...2 : Aşağıda çeşitli parabol grafikleri verilmiştir incele yi niz.

Örnek...1 : f (x)=2x 2 5x+6 parabolü K(2,p) noktasından geçiyorsa p kaçtır? Örnek...2 : Aşağıda çeşitli parabol grafikleri verilmiştir incele yi niz. a, b,c R,a 0 olmak koşulula f ()=a 2 +b+c fonksionuna ikinci dereceden bir değişkenli fonksion ve bu fonksionun belirttiği eğrie de parabol denir. Uarı ir parabolün grafiği başkatsaı olan a saısına bağlı

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. abba dört basamaklı, ab iki basamaklı doğal saıları için, abba ab. a b eşitliğini sağlaan kaç farklı (a, b) doğal saı ikilisi vardır? 7 olduğuna göre, a b toplamı kaçtır? 9.,,

Detaylı

Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören

Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında ılmaarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören çocuklarımızın ana ve babalarına da avrularının öğreniminin tamamlanması

Detaylı

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm:

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm: EKSTREMUM PROBLEMLERİ Ekstremum Problemleri Bu tür problemlerde bir büyüklüğün (çokluğun alabileceği en büyük (maksimum değer ya da en küçük (minimum değer bulunmak istenir. İstenen çokluk bir değişkenin

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 :

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 : FONKSİYONLR FONKSİYONUN EKSENLERİ KESİM NOKTLRI =f() fonksio - nunun ekseninin kestiği noktaların m apsisleri b, c, e dir. u noktalar a b f()= denkleminin kökleridir n =f() in p eksenini kestiği nokta

Detaylı

TÜREV ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT

TÜREV ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT TÜREV ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Türev. Kazanım : Türev kavramını örneklerle açıklar.. Kazanım : Bir fonksionun bir noktadaki soldan türevini ve sağdan türevini bulur, soldan türev ve sağdan türev

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. Üç basamaklı doğal saılardan kaç tanesi, 8 ve ile tam bölünür? 8 9. ile in geometrik ortası z dir. ( z). ( z ). z aşağıdakilerden hangisidir?. 9 ifadesinin cinsinden değeri

Detaylı

1977 ÜSS. 2 y ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? 1 x. 2 y. 1 y. 1 y. 1 x. 2 x. 2 x. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y 2 C) 4 E)

1977 ÜSS. 2 y ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? 1 x. 2 y. 1 y. 1 y. 1 x. 2 x. 2 x. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y 2 C) 4 E) 77 ÜSS. ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?. C) 4 E). Şekilde a+b+c+d açılarının toplamı kaç dik açıdır? (açılar pozitif önlüdür.) 4 C) 6 7 E) 8 Verilen şekilde açıların ölçüleri verilmiştir. En

Detaylı

Fonksiyonlar ve Grafikleri

Fonksiyonlar ve Grafikleri Fonksionlar ve Grafikleri Isınma Hareketleri Aşağıda verilenleri inceleiniz. A f f(a) 7 çocuk baan f: Çocukları annelerine götürüor. Fonksion olma şartı: Her çocuğun annesi olmalı ve bir tane olmalı. (

Detaylı

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.S.S. 7 MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * (+i) işleminin sonucu nedir? A) + 8i B) - 8i C) 8 + i

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 1 E) x x. x x = x

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 1 E) x x. x x = x Ö.S.S. MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. olduğuna göre, kaçtır? A B C D E Çözüm. -. : ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A B C D E Çözüm :... :....... . olduğuna göre, - ifadesinin

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

1995 ÖYS. a+ =3a a= Cevap:D. Çözüm: Çözüm: Çözüm:

1995 ÖYS. a+ =3a a= Cevap:D. Çözüm: Çözüm: Çözüm: 99 ÖYS. a b c d ve a, b, c, d tek sayılar olmak üzere, abcd dört basamaklı en büyük sayıdır? Bu sayı aşağıdakilerden hangisine kalansız bölünebilir? A) B) 6 C) 9 D) E) a, b, c, d rakamları birbirinden

Detaylı

MAT MATEMATİK I DERSİ

MAT MATEMATİK I DERSİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak Akıl LYS MATEMATİK DENEME SINAVI 0505- Ortak Akıl Adem ÇİL Ali Can GÜLLÜ Ayhan YANAĞLIBAŞ Barbaros GÜR Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN

Detaylı

İçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1...

İçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1... İçindekiler. Türev......... Türev kavramı.. 00. Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 00. Alıştırmalar.... 005. Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan türevi..... 006.4 Bir fonksiyonun bir noktadaki

Detaylı

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 10

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 10 LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GOMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SORU KİTPÇIĞI 0 U SORU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SORULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği HEDEFLER İÇİNDEKİLER GRAFİK ÇİZİMİ Simetri ve Asimtot Bir Fonksionun Grafiği MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR Bu ünitei çalıştıktan sonra; Fonksionun simetrik olup olmadığını belirleebilecek, Fonksionun

Detaylı

FONKSİYONLAR BÖLÜM 8. Örnek...3 : Örnek...1 : f(x)=2x+5 fonksiyonu artan mıdır? Örnek...4 :

FONKSİYONLAR BÖLÜM 8. Örnek...3 : Örnek...1 : f(x)=2x+5 fonksiyonu artan mıdır? Örnek...4 : FONKSİYONLAR BÖLÜM 8 Örnek...3 : ARTAN AZALAN FONKSİYONLAR ARTAN FONKSİYON f : A R R fonksionu verilsin. Her i B A için 1 < 2 f ( 1 )

Detaylı

ÖRNEK LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - 1 GEOMETRİ TESTİ. Ad Soyad : T.C. Kimlik No:

ÖRNEK LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - 1 GEOMETRİ TESTİ. Ad Soyad : T.C. Kimlik No: LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - GEOMETRİ TESTİ ÖRNEK Ad Soyad : T.C. Kimlik No: Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının Metin Yayınları nın yazılı

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması www.mustafaagci.com.tr, 11 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, agcimustafa@ahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması B ir doğru kaç noktasıla bellidi? İki, değil mi Çünkü tek bir noktadan geçen istediğimiz kadar

Detaylı

Kuadratik Yüzeyler Uzayda İkinci Dereceden Yüzeyler

Kuadratik Yüzeyler Uzayda İkinci Dereceden Yüzeyler İÇİNDEKİLER Kuadratik Yüeler Uada İkinci Dereceden Yüeler 1 0.1. Elipsoid 2 0.2. Hiperboloid 4 0.2.1. Tek Kanatlı Hiperboloid 4 0.2.2. Çift Kanatlı Hiperboloid 4 0.3. Paraboloid 5 0.3.1. Eliptik Paraboloid

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

PARABOL. Merkezil parabol. 2px. 2py F 0, 2 F,0. Şekil I. Şekil II. p Odağı F 2. Odağı F 0, Doğrultmanı x. Doğrultmanı y

PARABOL. Merkezil parabol. 2px. 2py F 0, 2 F,0. Şekil I. Şekil II. p Odağı F 2. Odağı F 0, Doğrultmanı x. Doğrultmanı y ARABL Tanım: Düzlemde verilen sabit bir noktası ile bir d doğrusuna uzaklıkları eşit olan noktaların geometrik erine arabol denir. Sabit noktaa arabolün odağı; doğrua ise doğrultmanı denir. Merkezil arabol

Detaylı

Sürekliliği tanımlamak için önce yakınlık kavramını tanımlamak gerekmektedir.

Sürekliliği tanımlamak için önce yakınlık kavramını tanımlamak gerekmektedir. Genel olarak matematikte, özel olarak da matematiksel iktisatta, fonksionlar üzerine konulan en önemli kısıtlama sürekliliktir. Kabaca, bir fonksion tanımlı olduğu bir o noktasında sürekli ise, o a akın

Detaylı

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4.

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4. POLİNOMLAR I MATEMATİK. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? I. ( ) P = + II. ( ) P = + III. ( ) + + P = + 6. ( ) ( ) ( ) P = a b a + b sabit polinom olduğuna göre ( ) ( ) ( ) P a +P b +P 0 toplamı kaçtır?

Detaylı

f : R + R, f(x) = log a 0 < a < 1 için f(x) = log a a. f : ;, 4m R, f(x) = log2 x b. f : R + R, f(x) = log 1, f(2) = 2 2

f : R + R, f(x) = log a 0 < a < 1 için f(x) = log a a. f : ;, 4m R, f(x) = log2 x b. f : R + R, f(x) = log 1, f(2) = 2 2 Fonksionlar f : R R, f() = a Fonksionunun Grafi i f : R R, f() = log a Fonksionunun Grafi i a > için f() = a üstel fonksionunun grafi i andaki gibidir. = a a > için f() = log a fonksionunun grafi i andaki

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. ab iki basamaklı saısı b ile bölündüğünde, bölüm 5 ve kalan b 5 tir. u şartlara uan kaç farklı ab iki basamaklı saısı vardır? ) 5 6 7 5. a, b, c, d, e sıfırdan farklı tamsaılar

Detaylı

ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı a da bir kısmı, azarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik, fotokopi a da herhangi bir

Detaylı

DERS: MATEMATİK I MAT101(04)

DERS: MATEMATİK I MAT101(04) DERS: MATEMATİK I MAT0(0) ÜNİTE: FONKSİYONLAR KONU:. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR Öncelikle açı ölçü birimlerine göz atalım: Bilindiği gibi bir tam açının ölçüsü 0 derecedir. Diğer bir açı ölçü birimi de

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

1998 ÖYS. orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı kaçtır? 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7

1998 ÖYS. orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı kaçtır? 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7 998 ÖYS. Üç basamaklı bir doğal sayısının 7 katı, iki basamaklı bir y doğal sayısına eşittir. Buna göre, y doğal sayısı en az kaç olabilir? orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki

Detaylı

FONKSİYONLAR ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

FONKSİYONLAR ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT FONKSİYONLAR ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Fonksionlar. Kazanım : Fonksion kavramı, fonksion çeşitleri ve ters fonksion kavramlarını açıklar.. Kazanım : Verilen bir fonksionun artan, azalan ve sabit

Detaylı

Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN

Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYIN KURULU Hazırlayanlar Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK

Detaylı

LYS TÜREV KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

LYS TÜREV KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI LYS TÜREV KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Tüev... Sağdan Ve Soldan Tüev... Tüev Alma Kuallaı...7 f n () in Tüevi... Tigonometik Fonksionlaın Tüevi... 6 Bileşke Fonksionun Tüevi... Logaitma

Detaylı

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Koordinatlar DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Bilindiği gibi, düzlemdeki her bir noktaya bir (a,b) sıralı ikilisi, her bir (a,b) sıralı ikilisine bir nokta karşılık gelir. Eğer bir A noktasına karşılık gelen

Detaylı

Trigonometrik Fonksiyonlar

Trigonometrik Fonksiyonlar Trigonometrik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 6 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; açı kavramını hatırlayacak, açıların derece ölçümünü radyan ölçümüne ve tersine çevirebilecek, trigonometrik

Detaylı

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir. ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. a 9! 8!, 9! 8! OKEK (a, ) OBEB (a, ) ifadesinin değeri kaçtır?. a ve a ile arasındaki ağıntı nedir? a a a a a a a a. ( ). ( ). ( ) 8 nın insinden eşiti nedir?. z z z toplamı

Detaylı

MATEMATÝK GEOMETRÝ DENEMELERÝ

MATEMATÝK GEOMETRÝ DENEMELERÝ NM 1 MTMTÝK OMTRÝ NMLRÝ 1. o o = 75 ve y = 5 olduğuna göre,. 3 + 8 = 0 sin( y)cos( + y) + sin( + y)cos( y) sin( y)sin( + y) cos( + y)cos( y) denkleminin kaç tane farklı reel kökü vardır? ifadesinin eşiti

Detaylı

;] u Y hb* p(a/ > V aaa!a!a!a!!!!!a! BASIN KİTAPÇIĞI

;] u Y hb* p(a/ > V aaa!a!a!a!!!!!a! BASIN KİTAPÇIĞI BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Matematik Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 75 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

LOGARİTMA ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT

LOGARİTMA ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT LOGARİTMA ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Üstel Fonksiyon ve Logaritma Fonksiyonu. Kazanım : Üstel fonksiyonu oluşturur, tanım ve görüntü kümesini açıklar.. Kazanım : Üstel fonksiyonların birebir ve örten

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

DERS 2. Fonksiyonlar

DERS 2. Fonksiyonlar DERS Fonksionlar.1. Fonksion Kavramı. Her bilim dalının önemli bir işlevi, çeşitli nesneler vea büüklükler arasında eşlemeler kurmaktır. Böle bir eşleme kurulması tahmin ürütme olanağı verir. Örneğin,

Detaylı

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Matematik Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 75 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

Türev Kavramı ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Kavramı ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Kavramı Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramını anlayacak, türev alma kurallarını öğrenecek, türevin geometrik ve fiziksel anlamını kavrayacak,

Detaylı

MATEMATİK 12. SINIF DERS KİTABI

MATEMATİK 12. SINIF DERS KİTABI ORTAÖĞRETİM MATEMATİK. SINIF DERS KİTABI YAZARLAR Mustafa BAĞRIAÇIK Muslu LÖKÇÜ Zenel SAĞLAM Önder ÇOLAK Timur YURTSEVEN Turgut OĞUZ Asun Nükhet ELÇİ Yalçın YILDIRIM DEVLET KİTAPLARI BEŞİNCİ BASKI...,

Detaylı

YARDIRMALI MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ

YARDIRMALI MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ YRIRMLI MTEMTİK TÜREV FSİKÜLÜ Maksimum-Minimum Problemleri MESUT ERİYES MKSİMUM - MİNİMUM PROLEMLERİ Maksimum ve minimum problemlerini çözmek için şu kurallar ugulanır; 1) Maksimum a da minimum olması

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

1997 ÖSS Soruları. 5. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büyük doğal sayı aşağıdakilerden hangisi ile kalansız bölünebilir?

1997 ÖSS Soruları. 5. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büyük doğal sayı aşağıdakilerden hangisi ile kalansız bölünebilir? 997 ÖSS Soruları. ( ) + ( ).( ) işleminin sonucu kaçtır? ) ) ) ) 8 6 ) 6. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büük doğal saı aşağıdakilerden hangisi ile kalansız bölünebilir? ) ) 9 ) 6 )

Detaylı

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2) MTEMTİK TESTİ (Mat )... u testte srasla, Matematik ( ) Geometri ( 0) ile ilgili 0 soru vardr.. evaplarnz, cevap kâğdnn Matematik Testi için arlan ksmna işaretleiniz. f, 0 ise =, = 0 ise fonksionu için,

Detaylı

MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI

MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI SORU 1. Köşeleri (1,4) (3,0) (7,2) noktaları olan ABC üçgeninin bir ikizkenar dik üçgen (İpucu:, ve vektörlerinden yararlanın) SORU 2. Bir ABC üçgeninin

Detaylı