Olasılık (Probability) Teorisi

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Olasılık (Probability) Teorisi"

Umut Ağa
8 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Olasılık (Probability) Teorisi Genetik

2 Olasılık, genetik Genlerin gelecek generasyona geçmesinde olasılık hesapları kullanılır Akrabalık derecesinin hesaplanmasında, ilişki katsayısının hesaplanmasında kullanılır Yapılan istatistiksel hesaplarda çıkan P değeri aslında bir olasılıktır.

hesaplanmasında, ilişki katsayısının hesaplanmasında

3 Olasılık, giriş Olaylar, şansa bağlı işlemlerin sonucu oluşur: 1 den 10 a kadar bir rakamdan 7 gelmesi Herhangi bir bireyin genotipi Ff Şansa bağlı olarak seçilen bir bireyin boyu 1.75 m.

4 Olasılık, giriş Bir olayın olma olasılığı, buna X diyelim, sonuçlar içinde o olayın olduğu durumların, toplam sonuçlara oranıdır denebilir. P(A)=A nin olabileceği durumların sayısı/bütün olabilecek olayların toplamı Bir kavanozda 6 kırmızı, 3 sarı ve 1 yeşil misket var ise, kırmızı misket çekme olasılığı 6/10 olur. X olma olasılığı: Pr(X) veya Prob (X) Bir Yeni Türk Lirasını bir defa atıp da yazı veya tura gelme olasılığı

P(A)=A nin olabileceği durumların sayısı/bütün olabilecek olayların toplamı Bir kavanozda 6 kırmızı, 3

5 Yazı tura Eğer tura gelme olasılığı 0.90 ise, Pr (tura)=0.90 yani 10 seferden 9 seferinde, veya %90 tura gelme ihtimali var demektir Pr(yazı)=1-0.90=0.10 olur

6 Olasılık kuralları Olasılıklar 0 (hiç olmaz) ile 1 arasıdır (hep olur) Bütün özel-ayrıcalıklı (birbiri üstüne binmeyen, birbiri ile aynı anda olamayan) olasılıklar toplandığında 1 eder. Örneğin, n adet mümkün olan sonuç varsa, Pr(1) + Pr(2) Pr(n) = 1 Böylece, Pr(1) = 1 - ( Pr(2) Pr(n) )

olamayan) olasılıklar toplandığında 1 eder.

7 VE/VEYA Kuralları VE kuralı: Eğer X ve Y bağımsız olaylar ise (birinin olduğunu bilmek, bize diğer olay hakkında hiçbir ipucu vermez), hem X hem Y olma olasılığı: Pr(X ve Y) = Pr(X)*Pr(Y) Yani genelde VE= olasılıkları çarp VEYA kuralı: Eğer X ve Y ayrıcalıklı (birbiri ile aynı anda olamayan) olaylar ise, X VEYA Y nin olma olasılığı Pr(X veya Y) = Pr(X) + Pr(Y) Yani genelde VEYA = olasılıkları ekle

genelde VE= olasılıkları çarp VEYA kuralı: Eğer X ve Y ayrıcalıklı (birbiri ile aynı anda olamayan)

8 Örnek 1 Zar attığımızı ve 1 madeni YTL yi havaya attığımızı varsayarsak, Zar da çift sayı gelmesinin olasılığı nedir? Bir hilesiz zarın mümkün olan sonuçları 1, 2, 3, 4, 5, 6 gelmesidir ve hepsinde de ayni olasılık vardır, 1/6. Çift sayı atmak demek 2 VEYA 4 VEYA 6 atmak demektir. Bu 3 olay (2, 4, 6) ayrıcalıklıdır, yani ayni anda olamazlar (sadece bir tane zar var) böylece VEYA = ekleme kuralını kullanarak: Pr(çift atma) = Pr(2) + Pr(4) + Pr(6) = 3/6 = 1/2 Zarda 5 atmanın VE madeni parada tura getirmenin ihtimali kaçtır? Zar atma ve yazı tura bağımsız olaylardır, yani birinin sonucu diğerinin sonucunu etkilemez. Pr( Tura VE zardan 5) = Pr(Tura) * Pr(5) = 1/2*1/6 = 1/12

Bu 3 olay (2, 4, 6) ayrıcalıklıdır, yani ayni anda olamazlar (sadece bir tane zar var) böylece VEYA = ekleme kuralını kullanarak: Pr(çift atma) = Pr(2) + Pr(4) + Pr(6) =

9 Çorap çekmecesi Kırmızı, sarı, yeşil ve mavi çoraplar olsun. Bakmadan bir tane seçince kırmızı geldi. Tekrar kırmızı seçme olasılığı nedir? Çorap dolaba geri konduğu için bunlar bağımsız olaylardır. Yani ilkinde kırmızı seçmenin ikinciye hiçbir etkisi yoktur. P(Kırmızı)= ¼ ¼ * ¼ = 1/16

10 Şartlı Olasılık X ve Y bağımsız olmadığında birleşik olasılıklar nasıl hesaplanır? (yani X in olmuş olması bize Y nin olup olmadığı hakkında bir bilgi veriyor). X ve Y nin birleşik olasılıkları Pr(X, Y), Y nin olma olasılığı ile, Y olduğu zaman X in olma olasılığının çarpımıdır Pr(X Y) Pr(X,Y) = Pr(X Y) Pr(Y) Pr (X Y): Y belli olduğunda X in şartlı olasılığı Pr (X Y)= Pr(X,Y) / Pr(Y) Eğer Pr(X Y) = Pr(X) ise, X ve Y bağımsızdır. Yani Y nin olduğunu bilmemiz, bize X in sonucu hakkında hiçbir bilgi vermez.

X ve Y nin birleşik olasılıkları Pr(X, Y), Y nin olma olasılığı ile, Y olduğu zaman X in olma olasılığının çarpımıdır Pr(X Y)

11 Şartlı Olasılık Şartlı olasılık, kompleks bir olayın şartlı olasılığının, başka olaylar üzerine dayandırılarak hesaplanmasında kullanılır. Mesela A olayı, başka 3 ayrı olayın (ayrıcalıklı, A dan farklı) olması ile gerçekleşebilir, bunlarda B, C, D olsun. Pr(A) = Pr(A B)*Pr(B) + Pr(A C)*Pr(C) + Pr(A D)*Pr(D) Örneğin farklı hastalık dirençleri olan 3 ırk olsun. Olay X, hastalığın olması olursa ve Angus (A), Holstein (H) ve Jersey (J) üç farklı genotip ise: Pr(X J), bu hastalık için J genotipinin riski olur.

Pr(A) = Pr(A B)*Pr(B) + Pr(A C)*Pr(C) + Pr(A D)*Pr(D) Örneğin farklı hastalık dirençleri olan 3 ırk olsun.

12 Şartlı Olasılık, sınıf örneği Hayvan yetiştirme ve ıslahı dersinin vizesinde sınıfın %42 si geçti, hem vizeyi hem finali sınıfın %25 i geçti diyelim. İlk testi geçenlerin yüzde kaçı ikinci testi geçti? Burada şart, ilk testi geçmiş olmalarıdır Pr(X,Y) = Pr(X Y) Pr(Y) veya, P(X, Y)=P(X) P(Y X)

diyelim. İlk testi geçenlerin yüzde kaçı ikinci testi geçti?

13 Şartlı Olasılık, sınıf örneği P(X ve Y)=P(X) P(Y X) Her iki taraf P(X) ile bölünürse, P(Y X)= P(X ve Y)/P(X) P(Y X)= 0.25/0.42=0.60=%60

14 Şartlı Olasılık, Aa örneği Aa x Aa AA ve Aa siyah alaca, aa kırmızı alaca çıkıyor Pr(AA) = Pr(aa) = 1/4 Pr(Aa) = 1/2 Pr(siyah alaca) = Pr(AA) + Pr(Aa) = 3/4. Siyah alaca yavruların Aa genotipi taşıma olasılığı nedir?

15 Örnek 2 P(Aa ve siyah alaca) 1/ P(Aa siyah alaca) = = = * = = P(siyah alaca) 3/ /4 1 P(AA siyah alaca) = = 3/4 3

16 Genel özet olarak Sayısal Loto Sayısal loto da 49 rakam var ve 6 tane top çekiliyor. Bu topların 6 sıda sizin rakamları tutarsa büyük ikramiye. Toplardan bir tanesinin tutma ihtimali 6/49

17 Genel özet olarak Sayısal Loto Toplardan bir tanesinin tutma ihtimali 6/49 1. top tutup da 2. topunda tutma ihtimali P(2 1)=5/48= P(3 1ve2)=4/47 P(4 1,2,3)=3/46 P(5 1,2,3,4)=2/45 P(5 1,2,3,4)=1/44

18 Genel özet olarak Sayısal Loto

19 Genel özet olarak Sayısal Loto Pr(büyük ikramiye) =(6/49)*(5/48)*(4/47)*(3/46)*(2/45)*(1/44) = 720/10,068,347,520 =1/13,983,816

20 %50 kazanma şansı olması için ne kadar bir zaman oynamalı? Her seferinde 100 adet bilet alınıp oynasam, kazanma şansının %50 olması için kaç sefer böyle 100 bilet almam lazım? 13,983,816 rakam setinin içinden 100 tanesini seçtiğimize göre kazanma ihtimali= 100/13,983,816= Kaybetme ihtimali= =

21 %50 kazanma şansı olması için ne kadar bir zaman oynamalı? Kaybetme ihtimali= k sayıda çekilişte kaybetme ihtimali =( ) k Burada öyle bir k bulmamız lazım ki kaybetme ihtimali 0.5 ya da daha küçük olsun ( ) k 0.5

22 %50 kazanma şansı olması için ne kadar bir zaman oynamalı? ( ) k 0.5 Her iki tarafında logunu alırsak, k*ln( ) = ln(0.5) ln(0.5) k = ln( )

23 %50 kazanma şansı olması için ne kadar bir zaman oynamalı? Haftada bir loto olsa, yılda 52 sefer oynanabilir ve 96943/52=1864 yıl alır 96 bin sefer oynayabilmek için. Her oynayış 1 YTL olsa ve seferde kazansan, her seferde 100 tane oynadığın için 100 milyon * 96943=9,694,300,000,000, yani eski para ile 9 trilyon 694 milyar lira, YTL ile 9 milyon 694 bin lira olur.

Benzer belgeler

kişi biri 4 kişilik, üçü ikişer kişilik 4 takıma kaç farklı şekilde ayrılabilir? (3150)

kişi biri 4 kişilik, üçü ikişer kişilik 4 takıma kaç farklı şekilde ayrılabilir? (3150) PERMÜTASYON KOMBİNASYON. A = {,,,,5} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 5 elemanı bulunur? (). 7 elemanlı bir kümenin en az 5 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? (9). A { a, b, c, d, e, f, g, h}