12. Hafta Ders Notları GENEL TEKRAR

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "12. Hafta Ders Notları GENEL TEKRAR"

Transkript

1 12. Hafta Ders Notları GENEL TEKRAR A Veri Türleri Anakütle bir bütünü temsil ederken; örneklem, bir bütünün sadece bir kısmını temsil etmektedir. Anakütledeki gözlem sayısı N ile temsil edilirken; örneklemdeki gözlem sayısı n ile temsil edilir. n N Anakütlenin bir özelliğini tanımlayan sayısal bir değere parametre denirken; örneklemin bir özelliğini tanımlayan sayısal değere istatistik adı verilir. Örnek: Sakarya Üniversitesi nde okuyan öğrenci mevcuttur. Bu öğrencilerin not ortalaması 2,01 olarak tespit edilmiştir. Sakarya Üniversitesi nde bulunan bir fakültenin içerisinde yer alan bir bölüm ele alındığında, bu bölümde 420 öğrenci okumaktadır ve bu öğrencilerin not ortalaması 2,23 olarak bulunmuştur. Anakütle: Sakarya Üniversitesi nde okuyan öğrenciler Anakütle gözlem sayısı: N = Anakütle parametresi: Ortalama not μ = 2.01 Örneklem: Sakarya Üniversitesi nde bulunan bir fakültenin içerisinde yer alan bir bölümün öğrencileri Örneklem gözlem sayısı: n = 420 Örneklem için istatistik: Ortalama x =

2 A 1 Verilerin Ölçümü Bazı veriler sayısal değerler alırken; bazı veriler sayısal olmayan ölçümlerden oluşur: A 2 Verilerin Ölçü Düzeyleri Kullandığınız verilerin ölçü düzeyleri, istatistiksel olarak hangi ölçümleri yapabileceğinizi ve hangi işlemleri uygulayabileceğinizi belirleyecektir: Ölçüm Düzeyi Tanımı ve özellikleri Örnek Nominal (Kategorik) Düzey Ordinal (Sıralı) Düzey Sadece kategorilerden oluşur. Bu veri türündeki değişkenlerin sıralanması mümkün değildir. Kategoriler aralarında sıralanabilir. Ancak kategoriler arası farklar bulunamaz veya anlamsızdır. Bir anketteki göz renginiz nedir sorusu Türkiye deki üniversitelerin sıralaması, veya bir dersten alınan geçme notlarının harfler ile temsil edilmesi. (Niteliksel) değişkenler Kategorik Interval (Aralık) Düzeyi Ratio (Oran) Düzeyi Bu düzeydeki değişkenin değerleri arasındaki fark, anlamlıdır. Ancak doğal bir sıfır noktası yoktur ve değerlerin birbirine oranı anlamsızdır. Bu düzeydeki değişkenin doğal bir 0 noktası vardır ve değerleri arasındaki oranlar anlamlıdır. Isı ölçümleri: Isı, 0 derece olabilir. Ancak bu, ısının olmadığı anlamına gelmez. Gelir düzeyiniz nedir? sorusunun cevabı, 0 olabilir. (Niceliksel) değişkenler Sayısal 2

3 Korelasyon (Correlation) ve Nedensellik (Causality) İki değişken arasında doğrusal ilişkinin yönü ve şiddeti, korelasyon katsayısı ile ölçülmektedir. Ancak iki değişken arasında doğrusal bir ilişkinin varlığı, birbirleri arasında bir nedensellik ilişkisi olduğu anlamına gelmeyecektir. Örneğin elde edilen mısır miktarı ile yağan yağmur miktarı arasında pozitif yönlü bir korelasyon söz konusudur. Bu, Elde edilen mısır miktarı arttıkça yağan yağmur miktarı da artar şeklinde bir nedensellik içermemektedir. B VERİLERİN SAYISAL ÖLÇÜMLERİ B 1 Merkezi Eğilim Ölçüleri : Bir veri setinde yer alan tüm değerlerin toplanmasını ifade eder. X: Aynı özellikleri tanımlanmış gözlem değerlerinin oluşturduğu bir değişkendir. Ortalama: Bir veri setinde yer alan bütün gözlem değerlerini dikkate alır ve gözlem değerlerinin hepsine eşit ağırlık vererek, bu değerleri temsil edecek tek bir sayısal değer türetir. B 2 Değişimin Ölçülmesi Varyans ve standart sapma ile yapılmaktadır. Varyans: Bir veri setinde yer alan gözlem değerlerinin her birinin ortalamaya olan uzaklığının ortalamasını temsil eden bir sayısal değerdir. Standart Sapma: Varyansıın pozitif kareköküdür. ANAKÜTLE ÖRNEKLEM Ortalama (Mean, Average) μ = N X X = n X Varyans σ = (X μ) N s = (X X) n 1 Standart Sapma σ = (X μ) N s = (X X) n 1 3

4 Örnek: Bir futbol ligindeki teknik direktörlerin maaşları, aylık olarak, aşağıdaki gibidir: Aylık Maaşlar (TL) a) Bu veri seti, kesikli mi yoksa sürekli mi değerler almaktadır? b) Bu veri setinin ölçüm düzeyini (nominal, ordinal, interval, ratio) tanımlayınız. c) Bu veri setinin ortalamasını bulunuz. d) Bu veri setinin varyansını ve standart sapmasını bulunuz. 4

5 C OLASILIK Rassal süreç: Hangisinin gerçekleşeceği konusunda bir kesinlik olmayan ve en az iki sonuç içeren durumdur. Örneğin, Hilesiz bir zarın atılması. Olay: Rassal süreç sonucunda ortaya çıkması ile ilgilenilen bir durumdur. A olayı: Atılan zarın 1 gelmesi 𝐴 = {1} B olayı: Atılan zarın çift sayı gelmesi 𝐵 = {2,4,6} Örneklem uzayı: Rassal süreç sonucunda ortaya çıkabilecek olayların tamamıdır. 𝑆 = 1,2,3,4,5,6 Olasılığın Hesaplanması A olayı için: 𝑃 𝐴 = "#$ı ç"# "#$ç "#ıı B olayı için: 𝑃 𝐵 = "#$ı ç"# "#$ç "#ıı "#$%& "#$ç "#ıı "#$%& "#$ç "#ıı = = Ayrık Bağdaşmaz (Disjoint) Olaylar İki olayın aynı anda meydana gelmemesini ifade eder: 𝐴 𝐵 = Tümleyen olaylar A olayının tümleyeni (𝐴), A olayının sonuçları dışında örneklem uzayında yer alan bütün sonuçlardır. A olayı ile tümleyeni 𝐴 olayı, bağdaşmaz iki olaydır. 𝐴 = {2,3,4,5,6} 𝑃 𝐴 +𝑃 𝐴 =1 Bütünü Kapsayıcılık (Exhaustive Events) Olaylar bağdaşmazsa ve sonuçlarının bir araya gelmesi örneklem uzayını veriyorsa, bu olaylar bütünü kapsayıcıdır. A ve B olayı, bağdaşmaz olmasına rağmen, bütünü kapsayıcı değildirler. C olayı: Atılan zarın sonucu tek sayı gelir. 𝐶 = {1,3,5} 𝐵 𝐶 =𝑆 Olasılığın kuralları 0 𝑃(𝐴) 1 𝑃 𝐵 +𝑃 𝐶 =1 5

6 Olasılığın toplama kuralı Şayet iki olay, aynı anda meydana gelebiliyorsa (ayrık değillerse): P A B = P A + P B P(A B) Şayet iki olay, aynı anda meydana gelemiyorsa: Koşullu Olasılık P A B = P A + P B Şayet A olayının meydana gelmesi B olayının meydana gelme olasılığını etkiliyorsa, B olayının olasılığı hesaplanırken A olayının meydana geldiği gerçeği de dikkate alınmalıdır: İstatistiksel Bağımlılık P B A = ( ) () veya P A B = ( ) () İki olay arasında bir etkileşim söz konusu ise, koşullu olasılık denkleminden hareketle, olasılıkları arasında şöyle bir ilişki tanımlanabilir: Veya İstatistiksel Bağımsızlık P A B = P B A P(A) P A B = P A B P B Şayet bir olayın olasılığı diğer bir olayın meydana gelmesinden etkilenmiyorsa, koşullu olasılığı kendi olasılığına eşit olacaktır: Veya P B A = P(B) P A B = P(A) Bu durumda bu iki olayın aynı anda meydana gelme olasılığı, koşullu olasılık denkleminden hareketle, şu şekilde tanımlanabilir: P A B = P A P(B) İki olay, ancak ve ancak, bu koşul altında istatistiksel olarak birbirlerinden bağımsızdırlar. 6

7 İki Değişkenli Olasılık Bir fabrikada iki makine bulunsun. Bu makinelerin kurşun kalem üretimleri toplamda 1000 adet olup, makinelere dağılımı (kusurlu ve kusursuz olarak) aşağıdaki gibidir: Kusurlu parça Kusursuz parça A makinesi B makinesi Bileşik Olay: Aynı anda iki farklı olayın meydana gelmesidir: A olayı: A makinesi üretimi parçalar B olayı: B makinesi üretimi parçalar C olayı: Kusurlu parçalar C olayı: Kusursuz parçalar Hem kusurlu hem de A makinesinde üretilmiş kaç ürün vardır? A C = 4 Hem kusurlu hem de B makinesinde üretilmiş kaç ürün vardır? Marjinal olasılık (Kenar olasılığı) Sadece tek bir olayın olasılığıdır. C olayı: Kusurlu parçalar B C = 12 Kusurlu parça sayısı = (A makinesinden) + (B makinesinden) = = 16 Bu fabrikada üretilen kalemler arasından rassal olarak çekilen bir kalemin kusurlu olma olasılığı nedir? Koşullu Olasılık P C = toplam kusurlu parça sayısı toplam kalem sayısı = Rassal olarak seçilen bir ürün kusurlu ise, bu kalemin A makinesinde üretilmiş olma olasılığı nedir? Koşul: Ürün kusurlu (C olayı) Aranan olasılık: A makinesinde üretilmiş olma olasılığı (A olayı) P A C = P(A C) P(C) = Hem kusurlu hem A makinesinde kalem sayısı Kusurlu kalem sayısı = 4 16 = 0,25 7

8 D RASSAL DEĞİŞKENLER D 1 Kesikli Rassal Değişkenler Örneğin, gün içerisinde bir doktora gelen hasta sayısı, bir kutudaki arızalı parça sayısı gibi. Rassal değişken, tanım kümesi bir sürecin örneklem uzayı, değer kümesi reel sayılar kümesi olan bir sayılar kümesidir. Hilesiz iki zar aynı anda atılsın. Bu rassal süreç sonucunda oluşacak sonuçlar (örneklem uzayı), aşağıdaki gibidir: 1,1, 1,2, 1,3, 1,4, 1,5, 1,6, 2,1, 2,2, 2,3, 2,4, 2,5, 2,6, 3,1, 3,2, 3,3, 3,4, 3,5, 3,6, 4,1, 4,2, 4,3, 4,4, 4,5, 4,6, 5,1, 5,2, 5,3, 5,4, 5,5, 5,6, 6,1, 6,2, 6,3, 6,4, 6,5, 6,6 Şimdi bu tanım kümesinden hareketle elde edilecek olan rassal değişkeni ve değer kümesini tanımlayalım. X: Aynı anda atılan iki zarın toplamı 𝑋 = 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 Kesikli rassal değişkenin olasılık dağılımı Kesikli rassal değişkenin bir değeri alma olasılığını ifade eder. 𝑃(𝑋 = 𝑥) Örneğimizdeki X rassal değişkeninin alabileceği 11 farklı değer vardır. Her bir değerin gerçekleşme olasılığı ise, tanım kümesinde bu toplamlara denk elen ikililerin sayısı ile ilgilidir: X P(X = x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/

9 Kesikli Rassal Değişkenin Ortalaması (Beklenen Değeri) E X = E X = XP(X = x) = 2 XP(X = x) = 7 Kesikli Rassal Değişkenin Varyansı σ = E[X ] E(X) E[X ] = X P X = x = (2) = σ = E[X ] E X = = 5.83 Alternatif Varyans hesaplama yöntemi σ = [X E X ] P(X = x) Kesikli Rassal Değişkenin Standart Sapması σ = σ = 5.83 =

10 Kesikli Rassal Değişkenler ve Kovaryans Kovaryans katsayısı, iki rassal değişken arasındaki doğrusal ilişkinin varlığını ve yönünü tespit edebilir. Ancak iki rassal değişken arasında doğrusal olmayan ilişki formalarını tespit edemez. Ayrıca doğrusal ilişkinin varlığını ve yönünü tespit etse bile, doğrusal ilişkinin şiddetini de ölçemez. 𝐶𝑂𝑉 𝑋, 𝑌 = 𝐸 𝑋𝑌 𝐸 𝑋 𝐸(𝑌) 𝐸 𝑋𝑌 = 𝑥𝑦𝑃(𝑋 = 𝑥 𝑌 = 𝑦) Kovaryansın sayısal değer sınırları [𝑉𝑎𝑟 𝑋 𝑉𝑎𝑟 𝑌 ] 𝐶𝑂𝑉 𝑋, 𝑌 𝑉𝑎𝑟 𝑋 𝑉𝑎𝑟(𝑌) Y Değişkeni X değişkeni 𝐸 𝑋 = 𝐸 𝑌 = 𝐸 𝑋𝑌 = 𝑥𝑃 𝑋 = 𝑥 = = 1.50 𝑦𝑃 𝑌 = 𝑦 = (3)(0.25) = 2.00 𝑥𝑦𝑃 𝑋 = 𝑥 𝑌 = 𝑦 = = 3.25 𝐶𝑂𝑉 𝑋, 𝑌 = 𝐸 𝑋𝑌 𝐸 𝑋 𝐸 𝑌 = = 0.25 Kovaryans katsayısı 0 olmadığı için iki değişken arasında doğrusal bir ilişki olduğu anlaşılır. Kovaryans katsayısı pozitif olduğu için iki rassal değişken arasında pozitif yönlü doğrusal bir ilişki olduğu anlaşılır. Ancak ilişkinin güçlü mü yoksa zayıf mı olduğuna, kovaryans katsayısına bakılarak karar verilemez. Ayrıca kovaryans katsayısı, nedensellik (hangi değişken diğerini etkiler) ile ilgilide bir bilgi vermemektedir. 10

11 Bernoulli (İki terimli) olasılık dağılımı Temel varsayımları (a) Bir olayın sonucunda başarı ve başarısızlık olmak üzere iki temel sonuç vardır. (b) Başarı olasılıkları p ve başarısızlık olasılıkları (1 𝑝) her bir deneme için sabittir. (c) Toplam n tane deneme içerisinde ilgilenilen x tane başarı vardır. (d) Her bir denemede oluşan sonuçlar, birbirinden bağımsızdır. 𝑃 𝑋=𝑥 = 𝑛 𝑝 (1 𝑝) 𝑥 𝑛 𝑥 Örnek: Bir yumurta firması yumurtalarını 30 lu kolilerde satışa sunmaktadır. Firmanın verilerine göre yumurtaların % 95 i kırılmadan müşterilere ulaştırılmaktadır. Bu firmadan 4 koli yumurta alan bir müşteri, her bir koliden rassal olarak bir yumurta aldığında, 3 kırık yumurta ile karşılaşma olasılığı nedir? Sorunun iki terimli dağılıma uyduğunu şuradan anlıyoruz: Rassal olarak seçilen yumurtalar kırık mı değil mi? Diğer bir ifadeyle iki sonuçlu bir durum söz konusudur. X değişkeni: Seçilen 4yumurtanın kırık olması 𝑋 = {0,1,2,3,4} 4 𝑦𝑢𝑚𝑢𝑟𝑡𝑎 𝑜𝑙𝑑𝑢ğ𝑢𝑛𝑑𝑎𝑛 𝑛=4 𝑝: 𝑦𝑢𝑚𝑢𝑟𝑡𝑎𝑙𝑎𝑟ı𝑛 𝑘ı𝑟ı𝑙𝑚𝑎 𝑜𝑙𝑎𝑠ı𝑙ığı 1 𝑝 : 𝑦𝑢𝑚𝑢𝑟𝑡𝑎𝑙𝑎𝑟ı𝑛 𝑘ı𝑟ı𝑙𝑚𝑎𝑚𝑎 𝑜𝑙𝑎𝑠ı𝑙ığı 𝑝 = 𝑝 = 0.95 𝑃 𝑋=𝑥 = 𝑛 𝑝 (1 𝑝) 𝑥 𝑛 𝑥 𝑃 𝑋=0 = 4 (0.05) (1 0.05) = 𝑃 𝑋=1 = 4 (0.05) (1 0.05) = 𝑃 𝑋=2 = 4 (0.05) (1 0.05) =

12 𝑃 𝑋=3 = 𝑃 𝑋=4 = = (0.05) (1 0.05) = (4 4) Seçilen 4 yumurtanın hiç kırık olmama ihtimali % 81,4 olurken; seçilen 4 yumurtanın sadece 1 inin kırık olma olasılığı da %17,1 dir. Poisson Olasılık Dağılımı Mesafe ve zaman ölçümü içeren sorunlarda kullanılmaktadır. Örneğin, otobanın belirli mesafeleri arasında araçların arıza yapma olasılığı veya bir saat içerisinde bir dükkâna belirli sayıda müşteri gelme olasılıklarının hesaplanmasında kullanılır. Temel Varsayımlar (a) Belirli zaman veya mesafe aralığında meydana gelen olayların birbirinden bağımsız olduğu kabul edilir. (b) Belirli aralıkta meydana gelen olayların ortalama dağılımı, aralıklar için hep eşittir. 𝑒 𝜆 𝑃 𝑋=𝑥 = 𝑥 𝑒 = λ: Belirli aralıkta meydana gelen ortalama olay sayısı Örnek: Serdivan kavşağında yılın ilk altı ayında ortalama 5 kaza meydana geldiyse, önümüzdeki altı ayda 2 kaza olma olasılığı nedir? X: Serdivan kavşağında meydana gelen kaza sayısı 𝜆=5 𝑃 𝑋 = 2 =? 𝑃 𝑋=2 = 𝑒 (5) = Sonraki üç ay içerisinde 3 kaza meydana gelme olasılığı nedir? Bu durumda ortalama kaza sayısı 2,5 olacaktır: 𝜆 = 2,5 𝑃 𝑋 = 3 =? 𝑃 𝑋=3 = 𝑒. (2.5) = Sonraki üç ayda 3 kaza meydana gelme olasılığı % 21.3 tür. 12

13 D 2 - SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Belirli bir sayı aralığında olası bütün değerleri alabilen değişkenlerdir. Örneğin, ücretler, maliyetler, ağırlıklar gibi. Sürekli rassal değişkenlerin dağılım formunun normal olduğunu kabul ediyoruz. Çan eğrisi şeklindeki olasılık yoğunluk fonksiyonunun altında kalan alanın sayısal değeri 1 dir. Bunun bir diğer anlamı, X rassal değişkinine ait bütün gözlem değerleri, bu çan eğrisinin altında yer almaktadır. Her hangi bir rassal değişkenin belirli aralıktaki olasılığının bulunabilmesi için standart normal dağılıma dönüştürmesi yapılır. Dönüştürme işlemi, aşağıdaki formül aracılığı ile yapılır: Z = X μ σ Elde edilen standart normal dağılım değeri (Z değeri) ile standart normal dağılım tablosundaki olasılık değeri bulunur. Örnek: Bir tarantula türü olan Mollicoma örümceklerinin yetişkin erkeklerinin boyu mm ortalama ve 1.76 mm standart sapma ile normal dağılım göstermektedir. a) Rassal olarak seçilen yetişkin erkek Mollicoma örümceğinin uzunluğunun mm den kısa olma olasılığı nedir? b) Bu örümceklerin yüzde kaçının uzunluğu mm ile mm aralığındadır. c) Örümceklerin en uzun olan % 10 u, kaç mm den daha uzundur? Çözüm a: Örümceklerin uzunluklarının normal dağılım gösterdiği bilgisi verilmiştir. Belirli uzunluk değerleri için olasılık (veya sıklık) değerlerini bulabilmek için, 13

14 standart normal dağılıma dönüştürme yapılmalıdır. Bu dönüştürme işleminde kullanılacak veriler, aşağıdaki gibidir: X rassal değişkeni: Örümceklerin uzunlukları mm Z = μ = mm σ = 1.76 mm P X mm =? X μ σ = Z = 1.02 Negatif standart normal dağılım tablosunda bu Z değerine denk gelen alan sayısı dur. Bunun anlamı, standart normal dağılıma sahip rassal değişkenin değeri eksi sonsuzdan 1.02 değerine kadar geldiğinde taradığı alanın sayısal değeri dur. P Z 1.02 = Normal dağılıma sahip rassal değişkenin sayısal değerleri ile bu dönüştürmeyi yaptığımız için, X rassal değişkeninin mm den daha düşük olma olasılığı da aynı değere eşit olacaktır: P X mm = P Z

15 𝑃 𝑋 𝑚𝑚 = Mollicoma türü örümceklerin yetişkin erkeklerinin % unun uzunluğu, mm ve daha kısadır. Diğer bir ifadeyle, Mollicoma türü örümceklerden rassal olarak seçilen yetişkin bir erkeğin boy uzunluğunun mm den daha kısa olma olasılığı % dur. b) 𝑃 𝑚𝑚 𝑋 𝑚𝑚 =? 𝑋 = 𝑋 = İlk önce 𝑋 değeri için dönüştürme yapalım: 𝑍 = 𝑋 𝜇 = 𝜎 1.76 𝑍 = 0,48 Pozitif standart normal dağılım tablosunda 0,48 için alanın sayısal değeri tür. Bunun anlamı Z değişkeni eksi sonsuzdan gelip 0.48 sayısal değerine kadar taradığı alanın sayısal değeri tür. 𝑃(𝑍 0,48) = Şimdi 𝑋 için dönüştürme yapalım: 𝑍 = 𝑋 𝜇 = 𝜎 1.76 𝑍 = 0.64 Negatif tabloda 0.64 e denk gelen alanın sayısal değerine baktığımızda değerini görürüz. Bunun anlamı, Z değişkeni eksi sonsuzdan gelip 0.64 değerine kadar taradığı alanın sayısal değeri dir. 𝑃(𝑍 0.64) = Aradığımız olasılık, 𝑍 ve 𝑍 arasında kalan alanın sayısal değeridir: 𝑃 𝑍 𝑍 𝑍 =? 𝑃 0.64 𝑍 0.48 = 𝑃(𝑍 0,48) 𝑃(𝑍 0.64) 𝑃 0.64 𝑍 0.48 = 𝑃 0.64 𝑍 0.48 =

16 P mm X mm = P 0.64 Z 0.48 P mm X mm = Rassal olarak seçilen bir örümceğin uzunluğunun 17 ile 19 mm arasında olma olasılığı % tür. c) P X? = 0.10 İstenilen X değerini bulabilmek için önce standart normal dağılım tablosunda kendisinden sonra kalan alanın sayısal değeri olan Z değerini bulmalıyız. Pozitif Z tablosunda 1.28 sayısal değerinin karşılığı dir. Bunun anlamı, eksi sonsuzdan gelip 1.28 sayısına kadar standart normal dağılıma sahip rassal değişkenin gözlem değerlerinin % si geçilmiştir. Bu noktadan sonra kalan kısımda (yaklaşık olarak) gözlem değerlerinin % 10 u bulunmaktadır: P Z 1.28 = 0.10 Şimdi Z değerini X değerine dönüştürelim: Z = X μ σ 16

17 1.28 = X = X X = mm Bu tür örümceklerin % 10 u, mm den daha uzundur. E - ÖRNEKLEM ORTALAMALARININ DAĞILIMI Anakütlenin gözlemlenebildiği bir durumda hesaplanacak olan parametrelerin, örneğin ortalama ve standart sapma, sadece tek bir değeri olacaktır. Örneğin bir ampul üreticisi bir firma, bir üretim süreci sonucunda 1 milyon ampul üretiyor ve bunların tamamının saat olarak ömrünü ölçebiliyorsa, ampulleri için ortalama bir ömür (saat) belirleyecektir ve bu değer, tek bir sayısal değer (parametre) olacaktır. Ancak gerçek hayatta anakütlenin tamamının gözlemlenmesi çoğu zaman mümkün değildir. Bunun için anakütleden örneklem çekilecektir. 1 milyon ampul üreten bir firmanın ampullerin ömrünü kontrol etmek için 100 veya 1000 ampulü alıp ölçüm yaptığını düşünelim. Alınan örneklemin kendine özgü bir ortalama değeri (istatistik) olacaktır. Ancak dikkat edilmesi gereken nokta, çekilen tek bir örneklemden elde edilen ortalama değeri, 1 milyon gözlem sayısına sahip anakütleden 100 veya 1000 elemanlı çekilebilecek örneklemlerden 17

18 sadece biridir. Dolayısıyla 1 milyonun 100 lü kombinasyonu sonucunda kaç tane farklı örneklem elde edilebilecekse, o kadar farklı örneklem ortalamaları elde edilecektir. Merkezi Limit Teoremi (1) Ortalaması μ ve standart sapması σ olan (dağılımı normal olsun veya olmasın) bir anakütleden çekilen örneklemin gözlem sayısı 30 dan büyükse (n 30), elde edilebilecek örneklemlerin ortalamalarının dağılımı, beklenen değeri (ortalaması) μ ve standart sapması σ n ile normal dağılım gösterecektir. (2) Ortalaması μ ve standart sapması σ olan ve normal dağılım gösteren bir anakütleden çekilen örneklemin gözlem sayısı 30 dan küçükse (n < 30), elde edilebilecek örneklemlerin ortalamalarının dağılımı, beklenen değeri (ortalaması) μ ve standart sapması σ n ile normal dağılım gösterecektir. Dikkat edilirse bu iki koşul altında örneklem ortalamalarının ortalaması (μ X ) ile anakütle ortalaması (μ) birbirine eşit olmaktadır. Mümkün olan bütün örneklemlerin ortalamaları hesaplandığı için örneklem ortalamalarının dağılımı da ayrı bir anakütle olacaktır. Bu anakütlenin ortalaması ve standart sapması, şu şekilde sembolize edilecektir: μ : Örneklem ortalamalarının ortalaması σ : Örneklem ortalamalarının standart sapması Bu bilgiler ışığında, örneklem ortalamalarının dağılımına dair olasılıkları bulabilmek için standart normal dağılım dönüştürmesi, şu şekilde yapılacaktır: Z = X μ = X μ σ σ n Örnek: Bir emlak dergisinin yapmış olduğu araştırmada Bodrum daki evlerin ortalama metrekare fiyatı TL bulunmuştur. Anakütle, standart sapması 4000 TL ile normal dağılım göstermektedir. a) Anakütleden çekilen bir evin metrekare fiyatının TL den büyük olma olasılığı nedir? Soruda verilenler: μ = TL σ = TL P X TL =? 18

19 dönüştürelim: Normal dağılama sahip bu rassal değişkenin değerlerini, standart normal dağılıma Z = X μ σ = Z = 1.43 Pozitif Z tablosunda bu değerin karşısında yazmaktadır. Bunun anlamı, Z rassal değişkeni eksi sonsuzdan gelip 1.43 sayısına kadar taradığı alanın sayısal değeri dır. P Z 1.43 = Ancak biz, bu değerden daha büyük olma olasılığını arıyoruz: P Z 1.43 = 1 P Z 1.43 P Z 1.43 = P Z 1.43 = Standart normal dağılıma sahip rassal değişkenin 1.43 değerini aşma olasılığı ile normal dağılıma sahip rassal değişkenin TL değerini aşma olasılığı eşittir: P X TL = P Z 1.43 P X TL = Bodrum da rassal olarak seçilen bir evin metrekare fiyatının TL den daha fazla olma olasılığı % 7,64 tür. 19

20 b)anakütleden çekilen 32 gözlemli bir örneklemin ortalamasının TL den yüksek olma olasılığı kaçtır? Örneklem olduğu için dönüştürme işlemi ve dağılımın parametreleri değişecektir: n = 32 μ = μ = TL σ = σ n = = 707,96 P X TL =? Bu sorunun cevabını bulabilmek için verilenleri Z değişkenine dönüştürelim: Z = X μ = X μ = σ σ n 707,96 Z = 8,12 Pozitif Z tablosunda en büyük Z değeri 3,50 dir. Standart normal dağılıma sahip rassal değişkenin bu değeri aşma olasılığı oldukça düşüktür. P X TL = P Z 8,12 = 0,0001 Dikkat edilirse bir anakütleden tek bir gözlem çekmek ile belirli bir büyüklükte örneklem çekip ortalamasının olasılığını bulmak, oldukça farklı olasılık değerleri vermektedir. 20

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER III Bölüm 1 İSTATİSTİK ve SAYISAL BİLGİ 11 1.1 İstatistik ve Önemi 12 1.2 İstatistikte Temel Kavramlar 14 1.3 İstatistiğin Amacı 15 1.4 Veri Türleri 15 1.5 Veri Ölçüm Düzeyleri 16 1.6

Detaylı

Yapılan alan araştırması sonucunda aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. ( ) ( ) ( ) ( )

Yapılan alan araştırması sonucunda aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. ( ) ( ) ( ) ( ) İKİ DEĞİŞKENLİ OLASILIK Rassal bir deneme yapılmakta ve farklı iki olay ile ilgilenilmektedir. A 1, A 2,,A i olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır. B 1, B 2,,B j olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır.

Detaylı

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi

Detaylı

İçindekiler. Ön Söz... xiii

İçindekiler. Ön Söz... xiii İçindekiler Ön Söz.................................................... xiii Bölüm 1 İstatistiğe Giriş....................................... 1 1.1 Giriş......................................................1

Detaylı

Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım

Detaylı

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01 Ortak Varyans ve İstatistiksel Bağımsızlık Bir rassal değişken çifti istatistiksel olarak bağımsız ise aralarındaki ortak varyansın değeri 0 dır. Ancak ortak varyans değerinin 0 olması, iki rassal değişkenin

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Detaylı

Dr. Mehmet AKSARAYLI

Dr. Mehmet AKSARAYLI Dr. Mehmet AKSARAYLI Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir. Şans Değişkenleri KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Örnekleme Planlar ve Dağılımları Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım İncelenen olayın ait olduğu anakütlenin bütünüyle dikkate alınması zaman, para, ekipman ve bunun gibi nedenlerden dolayı

Detaylı

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ Üstel Dağılım Normal Dağılım 1 Üstel Dağılım Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin

Detaylı

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir,

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir, 14. Binom ve Poisson olasılık dağılımları Faktöriyeller ve kombinasyonlar Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, n! denir ve n! = 1.2.3...(n-2).(n-l).n biçiminde gösterilir.

Detaylı

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI Sürekli verilerin göstermiş olduğu dağılışa sürekli olasılık dağılışı denir. Sürekli olasılık dağılışlarının fonksiyonlarına yoğunluk fonksiyonu denilmekte ve bu dağılışlarla

Detaylı

Tesadüfi Değişken. w ( )

Tesadüfi Değişken. w ( ) 1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere

Detaylı

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.

Detaylı

GAZİ ÜNİVERSİTESİ, İ.İ.B.F, İSTATİSTİK VE OLASILIĞA GİRİŞ I, UYGULAMA SORULARI. Prof. Dr. Nezir KÖSE

GAZİ ÜNİVERSİTESİ, İ.İ.B.F, İSTATİSTİK VE OLASILIĞA GİRİŞ I, UYGULAMA SORULARI. Prof. Dr. Nezir KÖSE GAZİ ÜNİVERSİTESİ, İ.İ.B.F, İSTATİSTİK VE OLASILIĞA GİRİŞ I, UYGULAMA SORULARI Prof. Dr. Nezir KÖSE 30.12.2013 S-1) Ankara ilinde satın alınan televizyonların %40 ı A-firması tarafından üretilmektedir.

Detaylı

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım 2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI 2.1. Tanım Regresyon analizi, bir değişkenin başka bir veya daha fazla değişkene olan bağımlılığını inceler. Amaç, bağımlı değişkenin kitle ortalamasını, açıklayıcı

Detaylı

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ YTÜ-İktisat İstatistik II Merkezi Limit Teoremi 1 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ CENTRAL LIMIT THEOREM X 1,X 2,...,X n herbirinin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan ve aynı dağılıma uyan n tane bağımsız r.d. olsun.

Detaylı

ARALIK TAHMİNİ (INTERVAL ESTIMATION):

ARALIK TAHMİNİ (INTERVAL ESTIMATION): YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmini I 1 ARALIK TAHMİNİ INTERVAL ESTIMATION): Nokta tahmininde ilgilenilen anakütle parametresine ilişkin örneklem bilgisinden hareketle tek bir sayı üretilir. Bir nokta

Detaylı

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 1 Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.

Detaylı

SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI

SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI Sayı ekseni üzerindeki tüm noktalarda değer alabilen değişkenler, sürekli değişkenler olarak tanımlanmaktadır. Bu bölümde, sürekli değişkenlere uygun olasılık dağılımları üzerinde

Detaylı

3. TAHMİN En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1

3. TAHMİN En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1 3. TAHMİN 3.1. En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1 En Küçük Kareler (EKK) yöntemi, regresyon çözümlemesinde en yaygın olarak kullanılan, daha sonra ele alınacak bazı varsayımlar altında çok aranan istatistiki

Detaylı

Sürekli Rastsal Değişkenler

Sürekli Rastsal Değişkenler Sürekli Rastsal Değişkenler Normal Dağılım: Giriş Normal Dağılım: Tamamen ortalaması ve standart sapması ile tanımlanan bir rastsal değişken, X, için oluşturulan sürekli olasılık dağılımına normal dağılım

Detaylı

KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM

KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM Eğer X kesikli rassal değişkeninin alabileceği değerler (,,..., ) eşit olasılığa sahip ise, kesikli düzgün dağılım söz konusudur. p(x) =, X=,,..., şeklinde gösterilir. Bir kutuda

Detaylı

2016 YILI AKTÜERLİK SINAVLARI: İSTATİSTİK OLASILIK

2016 YILI AKTÜERLİK SINAVLARI: İSTATİSTİK OLASILIK Soru 1 X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu x x, x> f ( x) = 0, dy. 1 werilmiş ve Y = rassal değişkeni tanımlamış ise, Y değişkenin 0< 1 X 1 y için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki

Detaylı

NORMAL DAĞILIM. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına uyan rassal bir değişkense ve 'a gidiyorsa,

NORMAL DAĞILIM. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına uyan rassal bir değişkense ve 'a gidiyorsa, NORMAL DAĞILIM TEORİK 1., ortalaması, standart sapması olan bir normal dağılıma uyan rassal bir değişkense, bir sabitken nin beklem üreten fonksiyonunu bulun. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına

Detaylı

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı 1 Bernoulli Dağılımı Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için ilgilenilen süreçte bernoulli

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN Tanımlayıcı İstatistikler Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 Tanımlayıcı İstatistikler Yer Gösteren Ölçüler Yaygınlık Ölçüleri Merkezi Eğilim Ölçüleri Konum Ölçüleri 2 3 Aritmetik Ortalama Aritmetik ortalama,

Detaylı

3/6/2013. Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları

3/6/2013. Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık -II Prof. Dr. İrfan KAYMAZ İki Ortalama Farkının Güven Aralığı Anakütle Varyansı Biliniyorsa İki ortalama arasındaki farkın dağılımına ilişkin Z değişkeni: Güven aralığı ifadesinde

Detaylı

Merkezi Limit Teoremi

Merkezi Limit Teoremi Örnekleme Dağılımı Merkezi Limit Teoremi Şimdiye kadar normal dağılıma uygun olan veriler ile ilgili örnekler incelendi. Çarpıklık gösteren veriler söz konusu olduğunda ne yapılması gerekir? Hala normal

Detaylı

PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER

PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN 1 Tek Örneklem İşaret Testi İşaret Testi parametrik olmayan prosedürler içinde en eski olanıdır. Analiz yapılırken serideki verileri artı ve

Detaylı

İSTATİSTİK I. Giriş. Bölüm 1 Temel Terimler ve Tanımlar İSTATİSTİKLER

İSTATİSTİK I. Giriş. Bölüm 1 Temel Terimler ve Tanımlar İSTATİSTİKLER İSTATİSTİK I Bölüm 1 Temel Terimler ve Tanımlar 1 2 Giriş İSTATİSTİKLER Genel olarak araştırmalarda, büyük veri gruplarının içinden daha küçük veri grupları seçilerek büyük veri gruplarının hakkında bilgi

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ÖRNEK: GEOMETRİK DAĞILIM

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ÖRNEK: GEOMETRİK DAĞILIM ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ KESİKLİ DAĞILIMLAR-2 DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 GEOMETRİK DAĞILIM Bir Bernoulli deneyi ilk olumlu sonuç elde edilmesine kadar tekrarlansın. X: ilk olumlu sonucun

Detaylı

İSTATİSTİK VE OLASILIK SORULARI

İSTATİSTİK VE OLASILIK SORULARI İSTATİSTİK VE OLASILIK SORULARI SORU 1 Meryem, 7 arkadaşı ile bir voleybol maçına katılmayı planlamaktadır. Davet ettiği arkadaşlarından herhangi bir tanesinin EVET deme olasılığı 0,8 ise, en az 3 arkadaşının

Detaylı

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2 Bir Olayın Olasılığı P(A) = n(a) n(s) = A nın eleman sayısı S nin eleman sayısı Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: S

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ...

İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ... İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ... v GİRİŞ... 1 1. İSTATİSTİK İN TARİHÇESİ... 1 2. İSTATİSTİK NEDİR?... 3 3. SAYISAL BİLGİDEN ANLAM ÇIKARILMASI... 4 4. BELİRSİZLİĞİN ELE ALINMASI... 4 5. ÖRNEKLEME... 5 6. İLİŞKİLERİN

Detaylı

Rastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Rastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler Rastgele Değişkenlerin Dağılımları Mühendislikte İstatistik Yöntemler Ayrık Rastgele Değişkenler ve Olasılık Dağılımları Yapılan çalışmalarda elde edilen verilerin dağılışı ve dağılış fonksiyonu her seferinde

Detaylı

WEIBULL DAĞILIMI WEIBULL DAĞILIMI ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

WEIBULL DAĞILIMI WEIBULL DAĞILIMI ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ SÜREKLİ DAĞILIMLAR-2 DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 WEIBULL DAĞILIMI Weibull dağılımı, pek çok farklı sistemlerin bozulana kadar geçen süreleri ile ilgilenir. Dağılımın

Detaylı

Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal. değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma

Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal. değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma 2 13.1 Normal Dağılımın Standartlaştırılması Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma değerleriyle normal

Detaylı

Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları

Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları KAVRAMLAR Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları Deney: belirli koşullar altında tekrarlanabilen ve her tekrarda farklı sonuçlar elde edilebilen işlemdir. Örneklem uzayı: bir denemenin tüm olası

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

KARŞILAŞTIRMA İSTATİSTİĞİ, ANALİTİK YÖNTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI, BİYOLOJİK DEĞİŞKENLİK. Doç.Dr. Mustafa ALTINIŞIK ADÜTF Biyokimya AD 2005

KARŞILAŞTIRMA İSTATİSTİĞİ, ANALİTİK YÖNTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI, BİYOLOJİK DEĞİŞKENLİK. Doç.Dr. Mustafa ALTINIŞIK ADÜTF Biyokimya AD 2005 KARŞILAŞTIRMA İSTATİSTİĞİ, ANALİTİK YÖNTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI, BİYOLOJİK DEĞİŞKENLİK Doç.Dr. Mustafa ALTINIŞIK ADÜTF Biyokimya AD 2005 1 Karşılaştırma istatistiği Temel kavramlar: Örneklem ve evren:

Detaylı

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37 İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1 İstatistik 1 Yığın ve Örnek; Tümevarımcı ve Betimleyici İstatistik 1 Değişkenler: Kesikli ve Sürekli 1 Verilerin Yuvarlanması Bilimsel Gösterim Anlamlı Rakamlar

Detaylı

8.Hafta. Değişkenlik Ölçüleri. Öğr.Gör.Muhsin ÇELİK. Uygun değişkenlik ölçüsünü hesaplayıp yorumlayabilecek,

8.Hafta. Değişkenlik Ölçüleri. Öğr.Gör.Muhsin ÇELİK. Uygun değişkenlik ölçüsünü hesaplayıp yorumlayabilecek, İSTATİSTİK 8.Hafta Değişkenlik Ölçüleri Hedefler Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Uygun değişkenlik ölçüsünü hesaplayıp yorumlayabilecek, Serilerin birbirlerine değişkenliklerini yorumlayabileceksiniz. 2

Detaylı

Prof. Dr. Aydın Yüksel MAN 504T Yön. için Finansal Analiz & Araçları Ders: Risk-Getiri İlişkisi ve Portföy Yönetimi I

Prof. Dr. Aydın Yüksel MAN 504T Yön. için Finansal Analiz & Araçları Ders: Risk-Getiri İlişkisi ve Portföy Yönetimi I Risk-Getiri İlişkisi ve Portföy Yönetimi I 1 Giriş İşlenecek ana başlıkları sıralarsak: Finansal varlıkların risk ve getirisi Varlık portföylerinin getirisi ve riski 2 Risk ve Getiri Yatırım kararlarının

Detaylı

Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları

Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Rastgele değişken kavramı Kesikli ve sürekli rastgele değişkenler İki boyutlu rastgele değişkenler Beklenen değer Varyans Örnek uzaydaki her elemanı bir sayıyla

Detaylı

0,5749. Menkul Kıymet Getirisi ve Riskinin Hesaplanması Tek dönemlik basit getiri (Kesikli getiri)

0,5749. Menkul Kıymet Getirisi ve Riskinin Hesaplanması Tek dönemlik basit getiri (Kesikli getiri) Menkul Kıymet Getirisi ve Riskinin Hesaplanması Tek dönemlik basit getiri (Kesikli getiri) R t : t dönemlik basit getiri P t : t dönemdeki fiyat P t-1 : t dönemden önceki fiyat Örneğin, THYAO hisse senedinin

Detaylı

Nicel / Nitel Verilerde Konum ve Değişim Ölçüleri. BBY606 Araştırma Yöntemleri 2013-2014 Bahar Dönemi 13 Mart 2014

Nicel / Nitel Verilerde Konum ve Değişim Ölçüleri. BBY606 Araştırma Yöntemleri 2013-2014 Bahar Dönemi 13 Mart 2014 Nicel / Nitel Verilerde Konum ve Değişim Ölçüleri BBY606 Araştırma Yöntemleri 2013-2014 Bahar Dönemi 13 Mart 2014 1 Konum ölçüleri Merkezi eğilim ölçüleri Verilerin ortalamaya göre olan gruplanması nasıl?

Detaylı

0.04.03 Standart Hata İstatistikte hesaplanan her istatistik değerin mutlaka hatası da hesaplanmalıdır. Çünkü hesaplanan istatistikler, tahmini bir değer olduğu için mutlaka hataları da vardır. Standart

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Rastgele Değişkenlerin Dağılımları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Ders konusu Bu derste; Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması Olasılık kütle fonksiyonu Olasılık yoğunluk

Detaylı

H 0 : θ = θ 0 Bu sıfır hipotezi şunu ifade eder: Anakütle parametresi θ belirli bir θ 0

H 0 : θ = θ 0 Bu sıfır hipotezi şunu ifade eder: Anakütle parametresi θ belirli bir θ 0 YTÜ-İktisat İstatistik II Hipotez Testi 1 HİPOTEZ TESTİ: AMAÇ: Örneklem bilgisinden hareketle anakütleye ilişkin olarak kurulan bir hipotezin (önsavın) geçerliliğinin test edilmesi Genel notasyon: anakütleye

Detaylı

Başarı olasılığı olan bir Bernoulli denemesinin aynı şartlar altında (bağımsız olarak) n kez tekrarlanması ile oluşan deneye binom deneyi denir.

Başarı olasılığı olan bir Bernoulli denemesinin aynı şartlar altında (bağımsız olarak) n kez tekrarlanması ile oluşan deneye binom deneyi denir. 3.5. Bazı Kesikli Dağılımlar 3.5.1. Bernoulli Dağılımı Bir deneyde başarı ve başarısızlık diye nitelendirilen iki sonuçla ilgilenildiğinde bu deneye (iki sonuçlu) Bernoulli deneyi ya da Bernoulli denemesi

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BEKLENEN DEĞER. X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BEKLENEN DEĞER. X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = BEKLENEN DEĞER Belli bir malzeme taşınan kolilerin ağırlıkları

Detaylı

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz...

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... 1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... CABİR VURAL BAHAR 2006 Açıklamalar

Detaylı

Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler

Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler BÖLÜM 7 TAHMİNLER Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU 1 Tahmin (kestirim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmaktır.

Detaylı

10. Bir ana kütle oranının tahmininde α = 0,05 ise kullanılan Z değeri nedir? A) 1,64 B) 1,84 C) 1,96 D) 2,28 E) 3,08

10. Bir ana kütle oranının tahmininde α = 0,05 ise kullanılan Z değeri nedir? A) 1,64 B) 1,84 C) 1,96 D) 2,28 E) 3,08 1. Tanımlanan ana kütleden rassal seçilen örneklemlerden hesaplanan istatistikler yardımı ile ilgili ana kütle parametrelerinin değerini araştırma sürecine ne ad verilir? A) İstatistiksel hata B) İstatistiksel

Detaylı

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 3.6. Bazı Sürekli Dağılımlar 3.6.1 Normal Dağılım Normal dağılım hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılımdır. Normal dağılımın istatistikte önemli bir yerinin olmasının

Detaylı

VERİ KÜMELERİNİ BETİMLEME

VERİ KÜMELERİNİ BETİMLEME BETİMLEYİCİ İSTATİSTİK VERİ KÜMELERİNİ BETİMLEME Bir amaç için derlenen verilerin tamamının olduğu, veri kümesindeki birimlerin sayısal değerlerinden faydalanarak açık ve net bir şekilde ilgilenilen özellik

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix C: İstatistiksel Çıkarsama Doç.

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık KORELASYON ve REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Bir değişkenin değerinin diğer değişkendeki veya değişkenlerdeki değişimlere bağlı olarak nasıl etkilendiğinin istatistiksel

Detaylı

BİYOİSTATİSTİK Korelasyon Analizi Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH

BİYOİSTATİSTİK Korelasyon Analizi Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH BİYOİSTATİSTİK Korelasyon Analizi Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr 1 Bir değişkenin değerinin,

Detaylı

BÖLÜM 12 STUDENT T DAĞILIMI

BÖLÜM 12 STUDENT T DAĞILIMI 1 BÖLÜM 12 STUDENT T DAĞILIMI 'Student t dağılımı' ya da kısaca 't dağılımı'; normal dağılım ve Z dağılımının da içerisinde bulunduğu 'sürekli olasılık dağılımları' ailesinde yer alan dağılımlardan bir

Detaylı

Merkezi eğilim ölçüleri ile bir frekans dağılımının merkezi belirlenirken; yayılma ölçüleri ile değişkenliği veya yayılma düzeyini tespit eder.

Merkezi eğilim ölçüleri ile bir frekans dağılımının merkezi belirlenirken; yayılma ölçüleri ile değişkenliği veya yayılma düzeyini tespit eder. Yayılma Ölçütleri Merkezi eğilim ölçüleri ile bir frekans dağılımının merkezi belirlenirken; yayılma ölçüleri ile değişkenliği veya yayılma düzeyini tespit eder. Bir başka ifade ile, bir veri setinin,

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 Araştırma sonuçlarının açıklanmasında frekans tablosu

Detaylı

IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R

IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R Geçen Ders Envanter yonetımı: Gazetecı problemı Rastsal Rakamlar Üret Talebi hesapla Geliri hesapla Toplam maliyeti hesapla Günlük ve aylık

Detaylı

Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür.

Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür. 1 Olasılık Örnekler 1. Bir çantada 4 beyaz 8 siyah top vardır. Bir siyah top çekilmesi olasılığı nedir? Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür. 2.

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 4: OLASILIK TEORİSİ Giriş Bu bölüm sonunda öğreneceğiniz konular: Rastgele Olay Örnek Uzayı Olasılık Aksiyomları Bağımsız ve Ayrık Olaylar Olasılık Kuralları Koşullu Olasılık

Detaylı

BÖLÜM 6 MERKEZDEN DAĞILMA ÖLÇÜLERİ

BÖLÜM 6 MERKEZDEN DAĞILMA ÖLÇÜLERİ 1 BÖLÜM 6 MERKEZDEN DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Gözlenen belli bir özelliği, bu özelliğe ilişkin ölçme sonuçlarını yani verileri kullanarak betimleme, istatistiksel işlemlerin bir boyutunu oluşturmaktadır. Temel

Detaylı

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

OLASILIK ve İSTATİSTİĞE GİRİŞ. Yrd. Doç. Dr. Hüsey n Dem r

OLASILIK ve İSTATİSTİĞE GİRİŞ. Yrd. Doç. Dr. Hüsey n Dem r OLASILIK ve İSTATİSTİĞE GİRİŞ Yrd. Doç. Dr. Hüsey n Dem r Yrd. Doç. Dr. Hüseyin Demir OLASILIK VE İSTATİSTİĞE GİRİŞ ISBN 978-605-318-470-6 DOI 10.14527/9786053184706 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarlarına

Detaylı

İSTATİSTİK DERS NOTLARI

İSTATİSTİK DERS NOTLARI Balıkesir Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü umutokkan@balikesir.edu.tr İSTATİSTİK DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Umut OKKAN Hidrolik Anabilim Dalı Balıkesir Üniversitesi Balıkesir Üniversitesi İnşaat

Detaylı

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5 Ders Kodu: 0010070021 Kredi: 3 / ECTS: 5 Yrd. Doç. Dr. Serkan DOĞANALP Necmettin Erbakan Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü Konya 07.01.2015 1 Giriş 2 Giriş Matematiksel istatistiğin konusu yığın

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM317 Mühendislik İstatistiği İSTATİSTİKSEL TAHMİN Prof. Dr. Nihal ERGİNEL

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM317 Mühendislik İstatistiği İSTATİSTİKSEL TAHMİN Prof. Dr. Nihal ERGİNEL ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ENM317 Mühendislik İstatistiği İSTATİSTİKSEL TAHMİN Prof. Dr. Nihal ERGİNEL İSTATİSTİKSEL TAHMİN Örnekten anakütle parametrelerinin tahmin edilmesidir. İki tür tahminleme yöntemi vardır:

Detaylı

Örneklem Dağılımları ve Merkezi Limit Teoremi

Örneklem Dağılımları ve Merkezi Limit Teoremi Örneklem Dağılımları ve Merkezi Limit Teoremi Çıkarımsal İstatistik (Inferential Statistics) : Örneklemden yola çıkarak ana kütleyle (popülasyonla) ilgili çıkarımlarda bulunmak (Smidt, 2001) İstatistiksel

Detaylı

Olasılık Kavramı. Recep YURTAL. Mühendislikte İstatistik Metotlar. Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Olasılık Kavramı. Recep YURTAL. Mühendislikte İstatistik Metotlar. Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Olasılık Kavramı Mühendislikte İstatistik Metotlar Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği ölümü OLSILIK KVRMI KÜME KVRMI irlikte ele alınan belirli nesneler topluluğuna küme, Kümede içerilen nesnelere

Detaylı

Temel İstatistik. Y.Doç.Dr. İbrahim Turan Mart Tanımlayıcı İstatistik. Dağılımları Tanımlayıcı Ölçüler Dağılış Ölçüleri

Temel İstatistik. Y.Doç.Dr. İbrahim Turan Mart Tanımlayıcı İstatistik. Dağılımları Tanımlayıcı Ölçüler Dağılış Ölçüleri Temel İstatistik Tanımlayıcı İstatistik Dağılımları Tanımlayıcı Ölçüler Dağılış Ölçüleri Y.Doç.Dr. İbrahim Turan Mart 2011 DAĞILIM / YAYGINLIK ÖLÇÜLERİ Verilerin değişkenlik durumu ve dağılışın şeklini

Detaylı

ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ ÇIKMIŞ SORULAR

ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ ÇIKMIŞ SORULAR TATÜRK ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ ÇIKMIŞ SORULAR Ders Adı : İstatistiğe Giriş Sınav Türü : Bütünleme WWW.NETSORULAR.COM Sınavlarınızda Başarılar Dileriz... İstatistiğe Giriş A Bu testte 20 soru

Detaylı

Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler

Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler BÖLÜM 9 VARYANS ANALİZİ Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU 1 Varyans analizi niçin yapılır? İkiden fazla veri grubunun ortalamalarının karşılaştırılması t veya Z testi

Detaylı

Verilerin Özetlenmesinde Kullanılan Sayısal Yöntemler

Verilerin Özetlenmesinde Kullanılan Sayısal Yöntemler Verilerin Özetlenmesinde Kullanılan Sayısal Yöntemler Merkezi Eğilim Ölçüleri Merkezi eğilim ölçüsü, bir veri setindeki merkezi, yada tipik, tek bir değeri ifade eder. Nicel veriler için, reel sayı çizgisindeki

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 8: Prof. Dr. Tanım Hipotez, bir veya daha fazla anakütle hakkında ileri sürülen, ancak doğruluğu önceden bilinmeyen iddialardır. Ortaya atılan iddiaların, örnekten elde edilen

Detaylı

İSTATİSTİK HAFTA. ÖRNEKLEME METOTLARI ve ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN TESPİTİ

İSTATİSTİK HAFTA. ÖRNEKLEME METOTLARI ve ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN TESPİTİ ÖRNEKLEME METOTLARI ve ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN TESPİTİ HEDEFLER Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Örneklemenin niçin ve nasıl yapılacağını öğreneceksiniz. Temel Örnekleme metotlarını öğreneceksiniz. Örneklem

Detaylı

BÖLÜM 5 MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ

BÖLÜM 5 MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ 1 BÖLÜM 5 MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Gözlenen belli bir özelliği, bu özelliğe ilişkin ölçme sonuçlarını yani verileri kullanarak betimleme, istatistiksel işlemlerin bir boyutunu oluşturmaktadır. Temel sayma

Detaylı

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız.

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. Örnek Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. i. ii. X 1 2 3 4 1 2 3 4 Y 2 3 4 5 4 3 2 1 Örnek Aşağıdaki veri

Detaylı

Veriye Dayalı Karar Verme (Bölüm 2) Can Akkan

Veriye Dayalı Karar Verme (Bölüm 2) Can Akkan Veriye Dayalı Karar Verme (Bölüm 2) Can Akkan 1 Ders Planı 1. Karar Problemleri i. Karar problemlerinin bileşenleri ii. Değerler, amaçlar, bağlam iii. Etki diagramları 2. Model Girdilerinde Belirsizlik

Detaylı

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME SORU 1: Bir hasar sıklığı dağılımının rassal değişken olan ortalaması (0,8) aralığında tekdüze dağılmaktadır. Hasar sıklığı dağılımının Poisson karma dağılıma uyduğu bilindiğine göre 1 ya da daha fazla

Detaylı

istatistik El 10 1_ ve 2_ sorular a Ş3 gldakl bilgilere göre Al 4 Bl 6 cı 7 Dl 8 Al 5 B) 12 CL 27 D) 28 E) 35 2Q 10 BS 4200-A

istatistik El 10 1_ ve 2_ sorular a Ş3 gldakl bilgilere göre Al 4 Bl 6 cı 7 Dl 8 Al 5 B) 12 CL 27 D) 28 E) 35 2Q 10 BS 4200-A 2Q 10 BS 4200- İstatistik sorulannın cevap l anmasında gerekli olabilecek tablolar ve f ormüller bu kita p ç ığın sonunda ver-ilmiştir. 1_ ve 2_ sorular a Ş3 gldakl bilgilere göre cevaplandırılacaktır

Detaylı

MAT 208 İSTATİSTİK ve OLASILIK II ALIŞTIRMALAR-1

MAT 208 İSTATİSTİK ve OLASILIK II ALIŞTIRMALAR-1 MAT 208 İSTATİSTİK ve OLASILIK II ALIŞTIRMALAR-1 şeklinde tanımlanan dağılımın a) Ortalama ve varyans değerlerini bulunuz b) Moment yaratma fonksiyonunu bularak a-şıkkını tekrar çözünüz. Bir tezgahta üretilen

Detaylı

A İSTATİSTİK. 1. nc r, n tane nesneden her defasında r tanesinin alındığı (sıralama önemsiz) kombinasyonların sayısını göstermektedir.

A İSTATİSTİK. 1. nc r, n tane nesneden her defasında r tanesinin alındığı (sıralama önemsiz) kombinasyonların sayısını göstermektedir. . nc r, n tane nesneden her defasında r tanesinin alındığı (sıralama önemsiz) kombinasyonların sayısını göstermektedir. Buna göre, n C r + n C r toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) n + C r B)

Detaylı

Herhangi bir rastgele değişken için kümülatif dağılım fonksiyonu/cumulative distribution function (KDF/CDF) şu şekilde tanımlanır.

Herhangi bir rastgele değişken için kümülatif dağılım fonksiyonu/cumulative distribution function (KDF/CDF) şu şekilde tanımlanır. Kümülatif Dağılım Fonksiyonları Herhangi bir rastgele değişken için kümülatif dağılım fonksiyonu/cumulative distribution function (KDF/CDF) şu şekilde tanımlanır. F X (x) = P (X x) = x f X(x ) dx Sürekli

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.

Detaylı

MATE211 BİYOİSTATİSTİK

MATE211 BİYOİSTATİSTİK MATE211 BİYOİSTATİSTİK ÇALIŞMA SORULARININ ÇÖZÜM VE CEVAPLARI Yapılan bir araştırmada, 136 erişkin kişinin kanlarındaki kolesterol düzeyleri gr/dl cinsinden aşağıda verilmiştir: 180 230 190 186 220 191

Detaylı

Genel olarak test istatistikleri. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri. olmak üzere 2 grupta incelenebilir.

Genel olarak test istatistikleri. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri. olmak üzere 2 grupta incelenebilir. 4.SUNUM Genel olarak test istatistikleri Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri olmak üzere 2 grupta incelenebilir. 2 Ranj Çeyrek Kayma Çeyrekler Arası Açıklık Standart Sapma Varyans

Detaylı

HİPOTEZ TESTLERİ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. Hipotez Testleri ENM317 Mühendislik İstatistiği Doç. Dr. Nihal ERGİNEL 2014

HİPOTEZ TESTLERİ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. Hipotez Testleri ENM317 Mühendislik İstatistiği Doç. Dr. Nihal ERGİNEL 2014 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ Hipotez Testleri ENM317 Mühendislik İstatistiği Doç. Dr. Nihal ERGİNEL 2014 HİPOTEZ TESTLERİ Pek çok problemde bazı parametrelere bağlı bir ifadeyi kabul yada red etmek için karar

Detaylı

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

İstatistiksel Yorumlama

İstatistiksel Yorumlama İstatistiksel Yorumlama Amaç, popülasyon hakkında yorumlamalar yapmaktadır. Populasyon Parametre Karar Vermek Örnek İstatistik Tahmin 1 Tahmin Olaylar hakkında tahminlerde bulunmak ve karar vermek zorundayız

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 GİRİŞ Olasılık Teorisi: Matematiğin belirsizlik taşıyan

Detaylı

ÜNİTE:1. İstatistiğin Tanımı, Temel Kavramlar ve İstatistik Eğitimi ÜNİTE:2. Veri Derleme, Düzenleme ve Grafiksel Çözümleme ÜNİTE:3

ÜNİTE:1. İstatistiğin Tanımı, Temel Kavramlar ve İstatistik Eğitimi ÜNİTE:2. Veri Derleme, Düzenleme ve Grafiksel Çözümleme ÜNİTE:3 ÜNİTE:1 İstatistiğin Tanımı, Temel Kavramlar ve İstatistik Eğitimi ÜNİTE:2 Veri Derleme, Düzenleme ve Grafiksel Çözümleme ÜNİTE:3 Ortalamalar, Değişkenlik ve Dağılma Ölçüleri ÜNİTE:4 Endeksler ÜNİTE:5

Detaylı

IE 303T Sistem Benzetimi

IE 303T Sistem Benzetimi IE 303T Sistem Benzetimi 1 L E C T U R E 5 : O L A S I L I K T E K R A R 2 Review of the Last Lecture Random Variables Beklenen Değer ve Varyans Moment Kesikli Dağılımlar Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı

Detaylı