Nümerik Analiz A A -1 =I. Bilgisayar Destekli. Ders notları TERS MATRİS HESABI GAUSS-JORDAN tekniği. m=n

Transkript

1 ESKİŞEHİR OSMNGZİ ÜNİVERSİESİ Mühedislik Mimrlık Fkültesi İşt Mühedisliği Bölümü EPost: ogu We: Bilgisyr Destekli Nümerik liz Ders otlrı hmet OPÇU m Kre mtrisi tersi Birim mtris I Kre mtris 8 ERS MRİS HESBI GUSSJORDN tekiği Wilhelm Jord (8899)

2 8 ERS MRİS HESBI 9 8 ERS MRİS HESBI Bölüm syf 7 de ters mtrisi tımı, özellikleri ve doit mtris yötemiyle syısl ir hesp öreği verilmişti mtrisi ve tersi tım gereği I (8) ğıtısıı sğlr ers mtrisi ile gösterirsek I (8) I (8) ifdeside hesplck mtrisi ı tersi olur Bu ifde krşı trflı ve ilimeye vektörlü ir deklem sistemidir mtrisi GUSS, DOOLİLE, CROU vey CHOLESKY metodlrıd iri ile üçge çrplrı yrılrk i her ir vektörü hesplilir ck u trz hesp yolu iyi değildir Çükü hem ı hem de tersi ol i yı d ilgisyr elleğide tutulmsı gerekir Gerekli ellek dir ers mtrisi hesı içi GUSS, DOOLİLE, CROU vey CHOLESKY metotlrı yerie GUSSJORDN metodu kullılır GUSSJORDN metodud tüm işlemler ı üzeride ypılır, ters mtris ı üstüe depolır Dolyısıyl, diğer metotlrı yrısı kdr, sdece ellek gerekir Bu edele, diğer metotlr zr dh çok işlem gerektirmesie rğme, GUSSJORDN metodu tercih edilir ers mtris hesı içi itersyo metotlrı uygu değildir, çükü seyrek vey t mtris ols ile tersi dim tm dolu ir mtristir GUSSJORDN tekiği ile ters mtris hesı GUSSJORDN tekiğie göre düzeli(tekil olmy) mtrisii tersi iririi izleye trsformsyolr ile hesplır mtrisi, her dımd ir te olmk üzere, dımd elirleeile,,, trsformsyo mtrisleri ile sold rdışık çrpılrk irim mtrise döüştürülür oyutlu trsformsyo mtrisleri öyle seçilirler ki I olur Burd, ers mtrisi tımı gereği olduğu lşılır rsformsyo mtrislerii elirlemesi: verilmiş olsu,,, trsformsyo mtrislerii sıl hesplcğı dım dım çıklcktır Wilhelm Jord (8 899), lm: 887 de yyıldı hmet OPÇU, Bilgisyr Destekli Nümerik liz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi,, 9

3 8 ERS MRİS HESBI 95 dım: mtrisii kolouu elemlrı yrdımıyl oluşturul oyutlu mtrisi mtrisi ile sold çrpılrk B mtrisie döüştürülür:, B, ( Görüldüğü gii, öyle seçilmiştir ki çrpım sorsı B mtrisii irici kolou irim mtrisi irici kolou döüşmüştür i özelliği edeiyle B i elemlrı i ve i i, (i ) ile hesplmktdır ) çıklm: Bu formüllerde lşılcğı gii, B i kolouu hesplmsı gerekmez i elemıı hesplmk içi mtrisii i stırıdki tüm elemlrı ı koloudki elemlr ile çrpılıp toplmsı d gerekmez i i stırıdki ilk elem i /, ı koloudki ilk eleml çrpılır ve ulu değer i ile toplırs i uluur Gerçekte oyutlu ol i, ypısı icelediğide, tmmıı oluşturulmsı gerek olmdığı, sdece kolouu ir vektör olrk hesplmsıı yeterli olduğu lşılır yrıc, B i kolou sorki hesplrd kullılmycğı içi, B hespldıkt sor i kolou B i kolou yzılrk sklilir Bu çıklmı mcı, gereksiz dört işlemi ölemesie yöeliktir dım: B mtrisii elemlrı yrdımıyl hesplır, B ile sold çrpılır C mtrisi oluşur: c c c c, B c c, ( c c i c ve ci i, (i ) dım: Bu dımd ir öceki dımd hespldığı vrsyıl N mtrisii elemlrıd elirleir ve N ile sold çrpılırs irim mtris oluşur, I, ( ) Böylece yı irim mtrise döüştüre trsformsyo mtrisleri ulumuş olur ım gereği, ı tersi ) çrpımıd hesplır hmet OPÇU, Bilgisyr Destekli Nümerik liz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi,, 95

4 8 ERS MRİS HESBI 96,,, syılrı pivot elem, u elemlrı uluduğu stır ve kolo pivot stırı ve pivot kolou deir Pivot kelimesi kilit, rol oyy, yöledire olrk tercüme edileilir Pivot elem hesı kderii elirler Çükü, trsformsyo mtrislerii hesıd geçe pivot elemlrı,,, olmsı gerekir, ksi durumd hes devm edilemez Pivot elemı sıfır olmsı hlide, öreği ise, B mtrisii stırıd pivot elem rır ve kolo sorki kololrd iri ile değiştirilir, pivot elemı sıfırd frklı olmsı sğlır ve hes devm edilir Hgi kolou hgi kolo ile değiştirildiği ir yere kydedilir Çükü iki kolou yerii değiştirilmesi souçt hespl ters mtrisi yı olu stırlrıı değiştirilmesii gerektirir Sıfırd frklı pivot elemı ulummsı durumud; öreği i hesplmsı sırsıd ise; kolo değiştirmek ir işe yrmz Buu lmı; mtrisii tekil, yi det olduğu, ı tersii hesplmycğı, i tımsız olduğudur Pivot elemı sıfırd frklı, fkt mutlk değerce çok küçük olmsı d ümerik soru yrtır rsformsyo mtrislerii elemlrı pivot elem ölüerek hespldığıd, pivot elemı çok küçük olmsı ölümü çok üyük ir syı olmsı, uul çrpıl/topl syılrı dh d üyümesie ve yuvrlm htlrı ede olur Büyük mtrislerde u işlemler milyolrc def ypıldığıd, yuvrlm htlrı irike irike soucu ylış hesplmsı ede olur Yuvrlm htlrıı zltmk içi her dımd pivot rır Mutlk değerce e üyük syı stırd rır, u syı pivot olck şekilde kololrı yeri değiştirilir Örek:,? dım: i oluşturmd öce stırdki mutlk değerce e üyük syı rır Üçücü kolodki syısı pivot dyıdır kolo ile kolo yer değiştirilir, pivot elem olur Sor oluşturulrk ile sold çrpılır B mtrisi hesplır B i kolou irim mtrisi irici kolou döüşür ve kolou yerleri değiştirildi! 5 5 5, 5, B 5 dım: B i stırıdki mutlk değerce e üyük syı rır 5 pivot elemdır Kolo değiştirilmesi gerekmez oluşturulur B ile sold çrpılır, C mtrisi hesplır C i kolou irim mtrisi ikici kolou döüşür , C B hmet OPÇU, Bilgisyr Destekli Nümerik liz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi,, 96

5 8 ERS MRİS HESBI hmet OPÇU, Bilgisyr Destekli Nümerik liz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi,, dım: pivot elemdır oluşturulur, C ile sold çrpılırs I irim mtrisi oluşur: C I, ers mtrisi hesı: de hesplır: ve kolou yerleri değiştirildiğide ve stırı yerleri değiştirilmelidir: Kotrol: I olmlı: 5 ers mtris ile deklem sistemi çözümü deklem sistemii çözümü ters mtris hespldıkt sor, teorik olrk, çrpımıd d uluilir ck, çok fzl işlem gerektirdiğide ve tm dolu olduğud, u çözüm yolu hiç ir zm tercih edilmez Nümerik hesplrd, zorulu olmdıkç, ters mtris hesıd kçıılır! ve stırlrı yerleri değişmeli! çıklm: eoriyi çıklmk mcıyl,,,,, B, C,, N gii çok syıd mtris gerekli olmkl irlikte, progrmlm içi u mtrisleri heme hiçirie gerek yoktur üm trsformsyo mtrisleri içi sdece elemlı ir vektör, kolo değişimlerii sklmk içi elemlı ir vektör ve oyutlu mtrisi yeterlidir i trsformsyo sorsı ı i vektörüü irim mtrisi i vektörüe döüşeceği ilidiğide ve i kolo sorki hesplrd gerekli olmdığıd, i i i kolou ı i kolou depolilir üm işlemler mtrisi üzeride ypılilir, ellek hrcmmış olur ers mtris hesı fzl dört işlem( yklşık 6 ) gerektirir, zorulu olmdıkç hesıd kçıılır Zorulu durumd GUSSJORDN tekiği tercih edilir Çükü tüm diğer yötemler iki kt dh fzl ellek gerektirir yrıc, vrs, ı t ve simetriside yrrlılmz; çükü ters mtris dim tm doludur Yukrıd verile yötemi i dımıd pivot elem i stırd rmkt, gerekirse, kololr yer değiştirilmektedir Bu stırd pivot rm deir Stırd pivot rm yerie, i kolod d pivot rilir ve gerekirse stırlr yer değiştirileilir Bu kolod pivot rm deir Htt, i stır ve kolo ile stır ve kolou sıırldığı mtris içide pivot elem rrk, gerekirse hem stırlr ve hem de kololr yer değiştirilir Bu d tm pivot rm deir m pivot rm kullılırs yuvrlm htlrı e z idirgeir, ck hesp süresi çok uzr, geelde tercih edilmez