Bölüm 2 Matematik Dili

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Bölüm 2 Matematik Dili"

Transkript

1 Bölüm 2 Matematik Dili Kümeler p Küme(Set) = ayrık nesnelerden oluşmuş topluluğa küme denir p Kümenin elemanları element olarak adlandırılır p Kümeler nasıl gösterilir Liste şeklinde p Örnek: A = {,3,5,7} Tanım şeklinde p Örnek: B = {x x = 2k +, < k < 3}

2 Sonlu ve Sonsuz Kümeler (Finite and İnfinite Sets) p Sonlu kümeler (Finite sets) Örnekler: q A = {, 2, 3, 4} q B = {x x is an integer, < x < 4} q Sonsuz kümeler (Infinite sets) q Örnekler: q Z = {integers} = {, -3, -2, -,,, 2, 3, } q S={x x is a real number and < x < 4} = [, 4] Bazı önemli kümeler p Boş küme (empty set veya { }), elemanı olmayan küme null set veya void set adını da alırlar q Evrensel küme (Universal set): Bahsettiğimiz guruptaki bütün elemanları içine alır q Örnekler: U = {all natural numbers} U = {all real numbers} U = {x x is a natural number and < x<} 2

3 Cardinality p Bir A kümesinin cardinatilty si o A kümesinin eleman sayısıdır. A olarak gösterilir p Örnekler: If A = {, 2, 3} then A = 3 If B = {x x is a natural number and < x< 9} then B = 9 p Sonsuz (Infinite) cardinality Sayılabilir (Countable) (örnek, natural numbers, integers) Sayılamayan (Uncountable) (örnek, real numbers) Altkümeler (Subsets) p Eğer X kümesinin bütün elemanları Y kümesi içerisinde yer alıyorsa X e Y kümesinin bir alt (subset) kümesidir denir (in symbols X Y) q Eşitlik(Equality): X = Y if X Y and Y X p Eğer X kümesi, Y kümesinin bir alt kümesi iken Y kümesi, X kümesinin bir alt kümesi değilse; X kümesi, Y kümesinin bir öz-alt kümesidir (proper subset) denir p if X Y but Y X Gözlem: her kümenin bir alt kümesidir 3

4 Power set p X kümesinin power set i, X kümesinin bütün alt kümelerinin kümesi olup, P(X) ile gösterilir P(X)= {A A X} Örnek: if X = {, 2, 3}, then P(X) = {, {}, {2}, {3}, {,2}, {,3}, {2,3}, {,2,3}} q Theorem : If X = n, then P(X) = 2 n Küme İşlemleri (Set operations): Birleşim ve Kesişim (Union and Intersection) X ve Y verilen iki küme olsun p X ve Y kümesinin birleşimi (union) X Y = { x x X or x Y} q X ve Y kümesinin kesişimi (intersection) X Y = { x x X and x Y} X ve Y gibi iki kümenin kesişimi boş küme ise X ve Y kümeleri ayrık (disjoint-pairwise) kümeler olarak adlandırlır if X Y = 4

5 Tümleyen ve Fark (Complement and Difference) p İki kümenin farkı X Y = { x x X and x Y} Fark(difference), X kümesine göre Y nin göreceli ttümleyeni (relative complement ) olarak da adlandırılır q Simetrik Fark (Symmetric difference ) X Δ Y = (X Y) (Y X) q Evrensel küme (universal set ) içerisinde yer alan A kümesinin tümleyeni (complement) A c = U A şeklinde gösterilir Sembolü A c = U - A Venn şemaları (diagrams) p Bir venn şeması verilen iki kümenin grafik olarak gösterilimini sağlar p Bir kümenin birleşimi(union), kesişimi (intersection), farkı (difference), simetrik farkı (symmetric difference) ve tümleyeni (complement) tanımlanabilir 5

6 Küme işlemlerinin özellikleri () Theorem : U, evrensel bir küme; A, B ve C evrensel kümenin bir alt kümesi olduğunda aşağıdaki özellikler mevcuttur a) Birleşim(Associativity): (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) b) Değişim(Commutativity): A B = B A A B = B A Küme işlemlerinin özellikleri(2) c) Dağılma (Distributive): A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) d) Özdeşlik (Identity): A U=A A = A e) Tümleyeni(Complement): A A c = U A A c = 6

7 Küme işlemlerinin özellikleri(3) f) Idempotent: A A = A A A = A g) Bound laws: A U = U A = h) İçine alma (Absorption): A (A B) = A A (A B) = A Küme işlemlerinin özellikleri(4) i) Gerektirme (Involution): (A c ) c = A j) / kanunu: c = U U c = k) Kümeler için De Morgan: (A B) c = A c B c (A B) c = A c B c 7

8 Kartezyen Çarpım (Cartesian Product) p Verilen iki kümenin kartezyen çarpımı (cartesian product) A x B = {(a,b) a A Λ b B } şeklinde gösterilir p p A x B B x A A x B = A. B Genelleştirilmiş birleşim ve kesişim p p p A, A 2, A 3,...,A n kümelerinin birleşimi A A 2 A 3,...,A n = n A, A 2, A 3,...,A n kümelerinin I i = A i kesişimi A A 2 A 3,...,A n = n U i = n I i = Birleşim ve Kesişim kümelerinin eleman sayısı s(a B) = s(a) + s(b) s(a B) A i A i 8

9 Düzenli Seriler ve Dizgiler (Sequences and Strings) p Düzenli Dizi (sequence) Sıralı bir listeyi göstermek için kullanılan ayrık yapıya denir. N elemanlı bir dizinin gösterilimi s n = n nin bir fonksiyonu olup n =, 2, 3,... p Eğer s sıralı bir diziyse {s n n =, 2, 3, }, s birinci elemanı gösterir, s 2 ikinci elemanı gösterir, s n n. elemanı gösterir p {n} düzenli bir serinin indeksidir. N doğal sayılardan oluşur veya bu kümenin sonlu bir alt kümesidir Düzenli serilere (sequences) örnek Örnekler:. s = {s n } aşağıdaki gibi tanımlanmış olsun s n = /n, for n =, 2, 3, Sequence ın ilk birkaç elementi:, ½, /3, ¼, /5,/6, 2. s = {s n } aşağıdaki gibi tanımlanmış olsun s n = n 2 +, for n =, 2, 3, Sequence ın ilk birkaç elementi : 2, 5,, 7, 26, 37, 5, 9

10 Artan ve Azalan (Increasing and Decreasing) s = {s n } için aşağıdakiler söylenebilir increasing if s n < s n+ decreasing is s n > s n+, for every n =, 2, 3, Örnekler: S n = 4 2n, n =, 2, 3, azalan: 2,, -2, -4, -6, S n = 2n -, n =, 2, 3, artan:, 3, 5, 7, 9, Düzenli altseriler (Subsequences) p Bir s sequence ının s = {s n }, alt sequence ı t = {t n }ile gösterilir ve sıralama düzeni aynı kalmak şartıyla s sequence ının elemanlarından elde edilir Örnek: s = {s n = n n =, 2, 3, } p, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, t = {t n = 2n n =, 2, 3, } p 2, 4, 6, 8,, 2, 4, 6, p t, s nin bir düzenli altserisidir (Subsequences)

11 Toplam (Sigma) gösterilimi p Eğer {a n } bir sequence ise, bu sequence ın toplamı m Σ a k = a + a a m k= Bu toplam gösterilimi (sigma notation), olup Yunan alfabesindeki Σ ile gösterilir Çarpım (Pi) gösterilimi p Eğer {a n } bir sequence ise, bu sequence ın çarpımı m Π a k = a a 2 a m k= Bu çarpım gösterilimi (pi notation), olup Yunan alfabesindeki Π ile gösterilir

12 Dizgi-Katar (String) p X sonlu elemanlardan oluşan bir küme olsun Örnek: if X = {a, b, c} α = bbaccc X kümesi üzerinden tanımlanmış olsun Gösterilim: bbaccc = b 2 ac 3 α string inin uzunluğu (length) α string inin eleman sayısını verir ve α ile gösterilir. Eğer α = b 2 ac 3 ise α = 6. p Eğer bir string eleman içermiyorsa boş string (null string) adını alır ve Yunan alfabesindeki λ (lambda)ile gösterilir p X* = {all strings over X dahil λ} p X + = X* - {λ}, the set of all non-null strings p α ve β gibi iki string in birleşimi(concatenation), α ve arkasına β nın eklenmesiyle elde edilen αβ string i şeklindedir. p Örnek: α = bbaccc ve β = caaba, αβ = bbaccccaaba = b 2 ac 4 a 2 ba Kısaca, αβ = α + β 2

13 Sayı Sistemleri (Number systems) p İkili (Binary) sayılar: ve, bits adını alır. p Binary(base 2), hexadecimal(base 6) ve octal(base 8) sayı sistemleri Decimal(base ) sistem: Örnek: 45,238 8 bir 8 x = 8 3 on 3 x = 3 2 yüz 2 x = 2 5 bin 5 x = 5 4 on bin 4 x = 4 İkili (Binary) sayı sistemi p Binary den decimal a: p İki tabanındaki sayı olsun bir x2 = iki x2 = 2 dört x2 2 = sekiz x2 3 = 8 on-altı x2 4 = otuz-iki x2 5 = 32 almış-dört x2 6 = 64 7 (taban ) 3

14 Decimal den binary e p Decimal sayı 73 olsun 73 = 2 x 36 + kalan 36 = 2 x 8 + kalan 8 = 2 x 9 + kalan 9 = 2 x 4 + kalan 4 = 2 x 2 + kalan 2 = 2 x + kalan (kalanlar ters sırada yazılır) 73 = 2 İkili (Binary) toplama (addition) tablosu 4

15 İkili (binary) sayılarda toplama p Örnek: add elde birler Hexadecimal sayı sistemi Decimal sistem Hexadecimal sistem A B C D E F 5

16 Hexadecimal den decimal e p Hexadecimal sayımız 3AB 6 olsun x 6 = x 6 = x 6 2 = x 6 3 = Decimal den hexadecimal e Verilen sayı 2345 olsun 2345 = 46x6 + remainder 9 46 = 9x6 + remainder =

17 Hexadecimal sayılarda toplam Toplam 23A 6 + 8F 6 23A 6 + 8F 6 2C9 6 Bağıntılar (Relations) p X ve Y verilen iki küme olsun, bunların Kartezyen Çarpımı (Cartesian Product) XxY olup, (x,y) çiftlerinden oluşur, x X ve y Y XxY = {(x, y) x X and y Y} p R, XxY kartezyen çarpımının bir alt kümesi olup, X den Y ye, bir ikili bağıntı (binary relation) olarak verilmiş olsun Örnek: X = {, 2, 3} ve Y = {a, b} R = {(,a), (,b), (2,b), (3,a)} X ve Y arasında bir bağıntıdır 7

18 Tanım ve Değer Kümesi (Domain and Range) X den Y ye verilen bir R bağıntısında, p R nin tanım kümesi (domain) Dom(R) = { x X (x, y) R for some y Y} p R nin değer kümesi (range) Rng(R) = { y Y (x, y) R for some x X} p Örnek: X = {, 2, 3} ve Y = {a, b} R = {(,a), (,b), (2,b)} Dom(R)= {, 2}, Rng(R) = (a, b} Bağıntılara örnek p X = {, 2, 3} ve Y = {a, b, c, d} p R = {(,a), (,d), (2,a), (2,b), (2,c)} p Verilen bağıntıyı graf kullanarak çizersek: 8

19 Bağıntıların özellikleri R, X kümesi üzerinde bir bağıntı olsun Örnek:R, XxX kartezyen çarpımının bir alt kümesi p For every x X için, (x,x) R şartı sağlanıyorsa, R bağıntısında yansıma (reflexive) özelliği mevcuttur p For some x Xiçin, (x,x) R şartı sağlanıyorsa, R bağıntısında (nonreflexive) özelliği mevcuttur p For every x Xiçin, (x,x) R şartı sağlanıyorsa, R bağıntısında (irreflexive) özelliği mevcuttur p x, y Xiçin, [(x,y) R ve (y,x) R] veya [(x,y) R ve (y,x) R] veya (x=y) şartı sağlanıyorsa R bağıntısında simetrik (symmetric) özelliği mevcuttur p x,y X için, eğer (x y) ise [((x,y) R ve (y,x) R) veya ((x,y) R ve (y,x) R) ] ise R bağıntısında (antisymmetric) özelliği mevcuttur 9

20 p (x,y,z) X için, [(x,y) R ve (y,z) R ]iken (x,z) R mevcut ise R bağıntısında geçişkenlik (transitive) özelliği mevcuttur p (x,y,z) X için, [(x,y) R ve (y,z) R ve (x,z) R] ise R bağıntısında (non transitive) özelliği mevcuttur X bir küme, R de X üzerinde bir bağıntı olsun. x,y X p If (x,y) or (y,x) are in R, then x and y are comparable p If (x,y) R and (y,x) R then x and y are incomparable X kümesindeki herbir eleman çifti comparable özelliğini sağlıyorsa, X üzerindeki R bağıntsı total order adını alır 2

21 Bağıntının tersi X den Y ye bir R bağıntısı verilmiş olsun, bu bağıntının tersi (inversi) Y den X e olup R - ile gösterilir R - = { (y,x) (x,y) R } q Örnek: eğer R = {(,a), (,d), (2,a), (2,b), (2,c)} ise R - = {(a,), (d,), (a,2), (b,2), (c,2)} Bağıntının Bileşkesi(Composition) q Tanım R = R R 2 = R R R 3 = R 2 R... R n = R n- R Örnek: R={(,) (2,)(3,2)(4,3)} için R 2 ve R 3 bulunuz. R 2 = R R = {(,)(2,)(3,)(4,2)} R 3 = R 2 R = {(,)(2,)(3,)(4,)} 2

22 Denklik Bağıntısı (Equivalence Relation) X bir küme, R de X üzerindeki bir bağıntı olsun p R bağıntısı üzerinde reflexive, symmetric ve transitive özellikleri mevcut ise bu bir denklik bağıntısı (equivalence relation) olup X R şeklinde gösterilir Örnek: X = {integers} ve X kümesi üzerinde tanımlı olan R bağıntısı da xry x - y = 5 olarak verilsin. R nin equivalence relation olup olmadığını gösteriniz. Sıralama Bağıntısı (Partial Order Relation) X bir küme, R de X üzerindeki bir bağıntı olsun p R bağıntısı üzerinde reflexive, antisymmetric ve transitive özellikleri mevcut ise bu bir sıralama bağıntısı (partial order relation) dır p Hasse Diyagramları (partial order öz.) 22

23 Poset q Partial Ordering bir R bağıntısı ile verilen bir S kümesi poset olarak adlandırılır ve (S,R) olarak gösterilir. Hasse diyagramı Maximal ve Minimal elemanlar Kapalılık (Closure) q Verilmiş olan bağıntı üzerinde reflexive, symmetric ve transitive özellikleri mevcut değilse bağıntının bu özelliklere sahip olabilmesini sağlama işlemidir Transitive closure Warshall algoritması (by Stephen Warshall) 23

24 Warshall algoritması procedure warshall W=M R for k=,n for i=,n for j=,n W ij = W ij V (W ik Λ W kj ) end end end Matris Bağıntıları p X ve Y bir küme, R de X den Y ye bir bağıntı olsun. Aşağıdaki bağıntılardan matris A = (a ij ) yazılır X kümesinin elemanları, A matrisinin satırlarını oluşturur Y kümesinin elemanları, A matrisinin kolonlarını oluşturur i. satırdaki X in elemanları ile j. kolondaki Y nin elemanları birbirleriyle ilişkili değilse, a i,j = dır i. satırdaki X in elemanları ile j. kolondaki Y nin elemanları birbirleriyle ilişkili ise, a i,j = dir 24

25 Matris bağıntıları () Örnek: X = {, 2, 3}, Y = {a, b, c, d} R = {(,a), (,d), (2,a), (2,b), (2,c)} R bağıntısının matrisi: A = a b c d 2 3 Matris Bağıntıları (2) p Eğer R bağıntısı, X kümesinden X kümesine ise bu bağıntının matrisi bir kare matristir Örnek: X = {a, b, c, d} ve R = {(a,a), (b,b), (c,c), (d,d)} A = a b c d a b c d 25

26 Fonksiyonlar (Functions) p Fonksiyon (function) bağıntının özel bir şeklidir. p Bir f fonksiyonunun, X den Y ye bir bağıntısı olsun (f : X Y) For every a X için (a,b) f e olacak şekilde bir tek, b Y bulunabiliyorsa, f ye X den Y ye bir fonksiyondur denir. p X e f nin tanım kümesi (domain) Dom(f) = X p Y e f nin değer kümesi (range) Rng(f) = Y Örnek: Dom(f) = X = {a, b, c, d}, Rng(f) = {, 3, 5} f(a) = f(b) = 3, f(c) = 5, f(d) = Mod alma operatörü p x değeri y ye bölündüğünde elde edilen kalan r = x mod y Örnekler: = 3 mod 3 6 = 234 mod 9 4 = 22 mod p mod, modulus operator olarak adlandırılır 26

27 Bire-Bir Fonksiyonlar (One-to-one functions-injective) p Bir fonksiyon f : X Y bire-bir (one-to-one) her y Y sadece bir x X değerine karşılık gelir. p Alternatif tanım: f : X Y, one-to-one X kümesindeki her x değeri x, x 2 X, Y kümesindeki y, y 2 Y gibi farklı iki değere karşılık gelir. f(x ) = y vef(x 2 ) = y 2 gibi Örnekler:. f(x) = 2 x (from the set of real numbers to itself) one-to-one 2. f : R R defined by f(x) = x 2 not one-to-one çünkü for every real number x, f(x) = f(-x). Örten Fonksiyonlar (Onto functions-surjective) Bir fonksiyon f : X Y örten (onto) Her y Y için en az bir tane x X mevcuttur 27

28 Bijective Fonksiyonlar Bir fonksiyon f : X Y bijective f fonksiyonu one-to-one ve onto dur Örnekler: p. Lineer bir fonksiyon f(x) = ax + b bijective fonksiyondur (from the set of real numbers to itself) p 2. Bir f(x) = x 3 bijective fonksiyondur (from the set of real numbers to itself) Ters Fonksiyon (Inverse function) p y = f(x) fonksiyonunun tersi(inverse) f - olup {(y, x) y = f(x)} olarak sembolize edilir. p f - in bir fonksiyon olması gerekmez Örnek: if f(x) = x 2, then f - (4) = 4 = ± 2, tek bir değer olmadığından tersi bir fonksiyon değildir p Eğer bir fonksiyon bijective ise tersi de bir fonksiyondur 28

29 Fonksiyonların Bileşkesi p Verilen iki fonksiyon g : X Y ve f : Y Z, olup, bileşkesi f g aşağıdaki gibi tanımlanır f g (x) = f(g(x)) for every x X. q Örnek: g(x) = x 2 -, f(x) = 3x + 5. Then f g(x) = f(g(x)) = 3(x 2 -)+5 = (3x 2 + 2) q Fonksiyon bileşkesinde birleşim öz.: f (g h) = (f g) h, q Fakat değişme özelliği yoktur: f g g f. Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar (Exponential and Logarithmic Functions) p f(x) = 2 x veg(x) = log 2 x = lg x f g(x) = f(g(x)) = f(lg x) = 2 lgx = x g f(x) = g(f(x)) = g(2 x ) = lg 2 x = x p Üstel ve Logaritmik fonksiyonlar birbirinin tersidir 29

30 String in tersi (inverse) X herhangi bir küme olsun X üzerindeki tüm string lerin kümesi de X* olsun Eğer α = x x 2 x n X* f(α) = α - = x n x n- x 2 x String in inversi alınırken ters sırada yazılır αα - = α - α = λ 3

Bölüm 2 Matematik Dili. Kümeler

Bölüm 2 Matematik Dili. Kümeler Bölüm 2 Matematik Dili Kümeler Küme(Set) = ayrık nesnelerden oluşmuş topluluğa küme denir Kümenin elemanları element olarak adlandırılır Kümeler nasıl gösterilir Liste şeklinde Örnek: A = {1,3,5,7} Tanım

Detaylı

BM312 Ders Notları 2014

BM312 Ders Notları 2014 Kümeler ve Bağıntılar Bir küme nesnelerden oluşur L = {a, b, c, d} a, b, c, d kümenin elemanları veya üyeleridir c L, k L şeklinde ifade edilir. Elemanların sırası ve tekrarı önemli değildir {üzüm, kiraz,

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

Kafes Yapıları. Hatırlatma

Kafes Yapıları. Hatırlatma Kafes Yapıları Ders 7 8-1 Hatırlatma Daha önce anlatılan sıra bağıntısını hatırlayalım. A kümesinde bir R bağıntsı verilmiş olsun. R bağıntısı; a. Yansıma (Tüm a A için, sadece ve sadece ara ise yansıyandır(reflexive)).

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

1. KÜMELER TEORİSİ 1. Giriş. Modern matematiğin en önemli kullanım araçlarından birisi kümeler teorisidir. Kümeler teorisi çalışmaları matematiğin temelinde kullanılışı 20. yüzyılın başlangıcında Frege,

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

15. Bağıntılara Devam:

15. Bağıntılara Devam: 15. Bağıntılara Devam: Yerel Bağıntılardan Örnekler: Doğal sayılar kümesi üzerinde bir küçüğüdür (< 1 ) bağıntısı: < 1 {(x, x+1) x N} {(0,1), (1, 2), } a< 1 b yazıldığında, a doğal sayılarda bir küçüktür

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...2 : A = { a, {a}, b, c, {b, d}, d }, B = { {a}, {c, d}, c, d, x, Δ } k ümeleri için s( AUB) kaçtır?

Örnek...1 : Örnek...2 : A = { a, {a}, b, c, {b, d}, d }, B = { {a}, {c, d}, c, d, x, Δ } k ümeleri için s( AUB) kaçtır? KÜMELER 2 İKİ KÜMENİN BİRLEŞİMİ A ve B gibi iki kümeden, A' ya veya B' ye ait olan elemanlardan oluşan yeni kümeye A ile B' nin birleşimi denir ve AUB ile gösterilir. Bu gösterim A birleşim B di ye okunur.

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. 2. BÖLÜM Boole Cebri ve Mantık

Detaylı

Lisans. Ayrık Matematik Yüklemler ve Kümeler. Konular. Tanım. Tanım çalışma evreni: U izin verilen seçenekler kümesi örnekler:

Lisans. Ayrık Matematik Yüklemler ve Kümeler. Konular. Tanım. Tanım çalışma evreni: U izin verilen seçenekler kümesi örnekler: Lisans Ayrık Matematik Yüklemler ve Kümeler H. Turgut Uyar Ayşegül Gençata Yayımlı Emre Harmancı 2001-2013 You are free: to Share to copy, distribute and transmit the work to Remix to adapt the work c

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

AYRIK YAPILAR. ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FıRAT ÜNIVERSITESI TEKNOLOJI FAKÜLTESI YAZıLıM MÜHENDISLIĞI BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR. ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FıRAT ÜNIVERSITESI TEKNOLOJI FAKÜLTESI YAZıLıM MÜHENDISLIĞI BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

BİL 201 Boole Cebiri ve Temel Geçitler (Boolean Algebra & Logic Gates) Bilgisayar Mühendisligi Bölümü Hacettepe Üniversitesi

BİL 201 Boole Cebiri ve Temel Geçitler (Boolean Algebra & Logic Gates) Bilgisayar Mühendisligi Bölümü Hacettepe Üniversitesi BİL 201 Boole Cebiri ve Temel Geçitler (Boolean Algebra & Logic Gates) Bilgisayar Mühendisligi Bölümü Hacettepe Üniversitesi Temel Tanımlar Kapalılık (closure) Birleşme özelliği (associative law) Yer değiştirme

Detaylı

Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin

Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin 1 Yrd. Doç. Dr. Erhan PİŞKİN ÇÖZÜMLÜ YÜKSEK MATEMATİK PROBLEMLERİ 1 ISBN 978-605-318-249-8 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

BÖLÜM 2 Biçimsel Dillerin Matematiksel Temelleri

BÖLÜM 2 Biçimsel Dillerin Matematiksel Temelleri BÖLÜM 2 Biçimsel Dillerin Matematiksel Temelleri 2.1 Kümeleri tümevarım yolu ile tanımlama E tanımlanacak küme olsun: Taban: Yapı taşı elemanları kümesi veya taban B ile gösterilsin. Bu kümenin içindeki

Detaylı

KABA KÜME TEORİSİ (Rough Set Theory) Dr. Sedat TELÇEKEN

KABA KÜME TEORİSİ (Rough Set Theory) Dr. Sedat TELÇEKEN KABA KÜME TEORİSİ (Rough Set Theory) Dr. Sedat TELÇEKEN Giriş Bilgi teknolojisindeki gelişmeler ve verilerin dijital ortamda saklanmaya başlanması ile yeryüzündeki bilgi miktarı her 20 ayda iki katına

Detaylı

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler 9. SINIF SONUÇ YYINLRI 9. Sınıf Kümeler Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması,

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3 Matematik 1 - Alıştırma 1 A) Denklemler 1. Dereceden Denklemler 1) Verilen denklemlerdeki bilinmeyeni bulunuz (x =?). a) 4x 6 = x + 4 b) 8x + 5 = 15 x c) 7 4x = 1 6x d) 7x + = e) 5x 1 = 10x + 6 f) 0x =

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK YGS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI CEVAP ANAHTARI RASYONEL SAYILAR ONDALIK SAYILAR ÖRNEKLER (Sayfa -) 6 ) ) ) 6) ; ; ) 0) ) ; 8 ) ) ) 0 ) 6 0 0 8) 0 ) 0) 6 ) 8 ) 8 8) ) ; 6

Detaylı

( a, b ) BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ :

( a, b ) BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ : BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ : a ve b elemanlarının belirttiği ( a, b ) şeklindeki ikiliye sıralı ikili denir. Sıralı ikili denilmesindeki sebep bileşenlerin yeri değiştiğinde ikilinin değişmesindendir.

Detaylı

11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI

11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI 11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI Programın öğrencilerde geliştirmeyi hedeflediği becerilerle 11. sınıf matematik öğretim programı ilişkisi Modelleme/Problem çözme Matematiksel Süreç

Detaylı

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç Not: Starboard programında dosya aç kısmından dosyayı seçerek açabilirsiniz. Yazı karakterlerinde bozulma oluyorsa program kapatılıp tekrar açıldığında yazı düzelecektir. Ben yaptığımda düzelmişti. Andropi

Detaylı

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları 4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor

Detaylı

ÖABT Soyut Matematik KONU TESTİ Önermeler ve İspat Yöntemleri

ÖABT Soyut Matematik KONU TESTİ Önermeler ve İspat Yöntemleri ÖABT Soyut Matematik KONU TESTİ Önermeler ve İspat Yöntemleri ÇÖZÜMLER p q r q q p r q q. p r q q p r 5. p q q r r r, p q q r, r p, q q r q, q p q. p q p q p q p q p q q p p 6. p p q p p q p q p p p q

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

Algoritma Analizi ve Büyük O Notasyonu. Şadi Evren ŞEKER YouTube: Bilgisayar Kavramları

Algoritma Analizi ve Büyük O Notasyonu. Şadi Evren ŞEKER YouTube: Bilgisayar Kavramları Algoritma Analizi ve Büyük O Notasyonu Şadi Evren ŞEKER YouTube: Bilgisayar Kavramları Algoritmaların Özellikleri Algoritmalar Input Girdi, bir kümedir, Output ÇıkF, bir kümedir (çözümdür) Definiteness

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

İlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN,

İlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN, YAYIN KURULU Hazırlayanlar İlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN, YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK & Ezgi

Detaylı

HESAP. (kesiklik var; süreklilik örnekleniyor) Hesap sürecinin zaman ekseninde geçtiği durumlar

HESAP. (kesiklik var; süreklilik örnekleniyor) Hesap sürecinin zaman ekseninde geçtiği durumlar HESAP Hesap soyut bir süreçtir. Bu çarpıcı ifade üzerine bazıları, hesaplayıcı dediğimiz somut makinelerde cereyan eden somut süreçlerin nasıl olup da hesap sayılmayacağını sorgulayabilirler. Bunun basit

Detaylı

Algoritma ve Akış Diyagramları

Algoritma ve Akış Diyagramları Algoritma ve Akış Diyagramları Bir problemin çözümüne ulaşabilmek için izlenecek ardışık mantık ve işlem dizisine ALGORİTMA, algoritmanın çizimsel gösterimine ise AKIŞ DİYAGRAMI adı verilir 1 Akış diyagramları

Detaylı

TEMEL SAYMA. Bill Gates

TEMEL SAYMA. Bill Gates Bölüm 1 TEMEL SAYMA YÖNTEMLERİ Firmamızın sahip olduğu tek şey insan düş gücüdür. Bill Gates Bu bölümde fazla kuramsal bilgi gerektirmeyen sayma problemleri üzerinde duracağız. Bu tür problemlerde sayma;

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

TESİ. indeks. söylenebilir?? bir ilişkidir d) Hiçbiri. veya somutlaştırılmış. düzeyidir? sağlayabilir? sına. d) Hepsi. olabilir? c) Verilerin d) Hepsi

TESİ. indeks. söylenebilir?? bir ilişkidir d) Hiçbiri. veya somutlaştırılmış. düzeyidir? sağlayabilir? sına. d) Hepsi. olabilir? c) Verilerin d) Hepsi 1. 2. 3. 4. 5. 6. Görünüm (view) için özellikle aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?? a) Veritabanındaki kayıtlı verileri düzenlemek, yönetmek ve elde etmek için kullanılan bir dildir b) Bir ilişkinin

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan

Detaylı

TEOG. Kümeler KÜME VE ELEMAN KAVRAMI ÖRNEK KÜMELERİN GÖSTERİMİ ÖRNEK ÖRNEK KÜMENİN ELEMAN SAYISI ÖRNEK 3. ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ 1.

TEOG. Kümeler KÜME VE ELEMAN KAVRAMI ÖRNEK KÜMELERİN GÖSTERİMİ ÖRNEK ÖRNEK KÜMENİN ELEMAN SAYISI ÖRNEK 3. ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ 1. TEOG ümeler ÜE VE EEN VRI Elemanları belirlenebilen, belirli bir anlam taşıyan canlı ya da cansız varlıkların veya kavramların oluşturduğu topluluğa küme denir. ümeyi oluşturan varlıkların, kavramların

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

BM312 Ders Notları - 3 2014

BM312 Ders Notları - 3 2014 DETERMİNİSTİK SONLU OTOMATLAR (DETERMINISTIC FINITE AUTOMATA) Bir Sonlu Otomat (FA) sabit ve sonlu kapasitede bir merkezi işlem ünitesine sahiptir. Giriş bilgisini input tape üzerinden string olarak alır.

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

Veritabanı Yönetim Sistemleri

Veritabanı Yönetim Sistemleri Veritabanı Yönetim Sistemleri (Veritabanı Tasarımı) İlişkisel Cebir Konular Biçimsel Sorgulama Dilleri İlişkisel Cebir İlişkisel Cebir İşlemleri Seçme (select) işlemi Projeksiyon (project) işlemi Birleşim

Detaylı

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9 OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 015 01 1 Eylül 18 Eylül Kümelerde Temel Kavramlar 1. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler.

Detaylı

KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR

KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR Kümeler Koşullu ve Mantıksal Denklik Kümeler Kümeler Ayrık Kümeler De-Morgan Kuralı Z (Zahlen; alm.) tamsayılar kümesi Z negatif tamsayılar kümesi, Z nonneg

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez.

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez. MTEMTĐK ĐM YILLR 00 00 004 005 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - - - - 1 1 1/1 /LYS KÜMELER TNIM: in tam bir tanımı yoksa da matematikçiler kümeyi; iyi tanımlanmış nesneler topluluğu olarak kabul

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI İLE İLGİLİ ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI İLE İLGİLİ ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI İLE İLGİLİ ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER I. ATAMA PROBLEMLERİ PROBLEM 1. Bir isletmenin en kısa sürede tamamlamak istediği 5 işi ve bu işlerin yapımında kullandığı 5 makinesi vardır. Aşağıdaki

Detaylı

Matrisler ve matris işlemleri

Matrisler ve matris işlemleri 2.Konu Matrisler ve matris işlemleri Kaynaklar: 1.Uygulamalı lineer cebir. 7.baskıdan çeviri.bernhard Kollman, David R.Hill/çev.Ed. Ömer Akın, Palma Yayıncılık, 2002 2.Lineer Cebir. Feyzi Başar.Surat Universite

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Artık matematikten korkmuyorum. Artık matematiği çok seviyorum. Artık az yazarak çok soru çözüyorum. Artık matematikten sıkılmıyorum.

Detaylı

(Boolean Algebra and Logic Simplification) Amaçlar Lojik sistemlerin temeli olarak Booleron Matematiğini tanıtmak

(Boolean Algebra and Logic Simplification) Amaçlar Lojik sistemlerin temeli olarak Booleron Matematiğini tanıtmak Boolean Kuralları ve Lojik İfadelerin Sadeleştirilmesi BÖLÜM 4 (Boolean lgebra and Logic Simplification) maçlar Lojik sistemlerin temeli olarak Booleron Matematiğini tanıtmak Başlıklar Booleron Kurallarını

Detaylı

ÖRNEK LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - 1 GEOMETRİ TESTİ. Ad Soyad : T.C. Kimlik No:

ÖRNEK LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - 1 GEOMETRİ TESTİ. Ad Soyad : T.C. Kimlik No: LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - GEOMETRİ TESTİ ÖRNEK Ad Soyad : T.C. Kimlik No: Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının Metin Yayınları nın yazılı

Detaylı

9. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları

9. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları 9. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter KÜMELER - 1 Altın Kalem Yayınları Küme: B rb r nden farklı nesneler n oluşturduğu topluluklar küme şekl nde adlandırılır. Kümey oluşturan nesneler n y bel rlenm ş

Detaylı

KÜMELER 05/12/2011 0

KÜMELER 05/12/2011 0 KÜMELER 05/12/2011 0 KÜME NEDİR?... 2 KÜMELERİN ÖZELLİKLERİ... 2 KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ... 2 EŞİT KÜME, DENK KÜME... 3 EŞİT OLMAYAN (FARKLI) KÜMELER... 3 BOŞ KÜME... 3 ALT KÜME - ÖZALT KÜME... 4 KÜMELERDE

Detaylı

E.Ö.Y TEKİRDAĞ S.B LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Alt Öğrenme Alanı

E.Ö.Y TEKİRDAĞ S.B LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Alt Öğrenme Alanı A ELÜL 9 Eylül Eylül Eylül 0 Eylül 0-07 E.Ö. TEKİRDAĞ S.B LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK İ ILLIK PLANI Temel Kavramlar Temel Kavramlar Temel Kavramlar Temel Kavramlar. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri

Detaylı

! " # $ % & '( ) *' ' +, -. / $ 2 (.- 3( 3 4. (

!  # $ % & '( ) *' ' +, -. / $ 2 (.- 3( 3 4. ( !"#$ %& '()*' ' +,-. / 0 100$ 2 (.-3( 34.( ,-. '45 45 6#5 6+ 6"#0" '7086 $ $ 89 44" :#! ;{0, 1, 2, 3,..., 9}, L * olarak tanımlı olsun ve sadece 2 ye veya 3 e bölünebilen ve önünde 0 olmayan pozitif sayılara

Detaylı

9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ

9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ 2012 9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni 1. ÜNİTE: MANTIK İnsan diğer canlılardan ayıran en önemli özelliklerden biri düşünebilme yeteneğidir. Bireyler karşılaştıkları günlük

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 )

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 ) 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II DERSİ ÖDEV 4 Soru I: Aşağıda verilen dönüşümlerin lineer olup olmadığını gösteriniz. ) L : R 3 R, L(x, x, x 3 ) = ( 3x + x 3 4x 4, x + x 3x

Detaylı

Bulanık Mantık Denetleyicileri

Bulanık Mantık Denetleyicileri Bulanık Mantık Denetleyicileri Bulanık Çıkarım BULANIK ÇIKARIM İki-değerli mantık Çok-değerli mantık Bulanık mantık Bulanık kurallar Bulanık çıkarım Bulanık anlamlandırma Bulanık Çıkarım İki-değerli mantık

Detaylı

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır.

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır. KÜMELER Kümelerin birleşimi (A B ): Kümelerin bütün elemanlarından oluşur. Kümelerin kesişimi (A B): Kümelerin ortak elemanlarından oluşur. Kümelerin Farkı (A \ B ) veya (A - B ): Birinci kümede olup ikinci

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

TEST - 1 ÖDEV TESTİ elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin. 1. A = {1, {2}, {1, 2}, 3, Ø} kümesi için aşağıdakilerden

TEST - 1 ÖDEV TESTİ elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin. 1. A = {1, {2}, {1, 2}, 3, Ø} kümesi için aşağıdakilerden 10 Kümeler ÖDEV TESTİ TEST - 1 6. 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan bir kümenin en az 6 elemanlı kaç alt kümesi vardır? ) 24 ) 28 C) 37 D) 38 E) 42 1. = {1,

Detaylı

TOPOLOJİK ROUGH KÜMELERİ ÜZERİNE. Hatice Kübra SARI

TOPOLOJİK ROUGH KÜMELERİ ÜZERİNE. Hatice Kübra SARI TOPOLOJİK ROUGH KÜMELERİ ÜZERİNE Hatice Kübra SARI Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Topoloji Bilim Dalı Prof. Dr. Abdullah KOPUZLU 2014 Her hakkı saklıdır ATATÜRK ÜNİVERİSTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

Her türlü görüş, öneri ve eleştirilerinize açık olduğumu bilmenizi ister çalışmalarınızda ve sınavlarınızda başarılar dilerim.

Her türlü görüş, öneri ve eleştirilerinize açık olduğumu bilmenizi ister çalışmalarınızda ve sınavlarınızda başarılar dilerim. Önsöz Değerli Öğrenciler, u fasikül ortaöğretimde başarınızı yükseltmeye, üniversite giriş sınavlarında yüksek puan almanıza yardımcı olmak için özenle hazırlanmıştır. Konular anlamlı bir bütün oluşturacak

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek: SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak kıl YGS MTEMTİK ENEME SINVI 1 01511-1 Ortak kıl dem ÇİL li an GÜLLÜ yhan YNĞLIŞ arbaros GÜR arış EMİR eniz KRĞ Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN Hatice MNKN Kemal YIN Köksal YİĞİT Muhammet YVUZ Oral YHN

Detaylı

Algoritmalar ve Karmaşıklık

Algoritmalar ve Karmaşıklık Algoritmalar ve Karmaşıklık Ders 11 Algoritma Ayrık matematikte karşılaşılan bir çok problem sınıfı mevcuttur. Örneğin, verilen tamsayı grubu içindeki en büyük olanının bulunması, verilen bir kümenin bütün

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

tipleri. alacak. b)eğer Ferit (x 1)(x 2)= 0 r(x): x<0 8) Tanim ve x+y=z dir. 7)Q(x,y,z) : olmak üzeree Graf dir

tipleri. alacak. b)eğer Ferit (x 1)(x 2)= 0 r(x): x<0 8) Tanim ve x+y=z dir. 7)Q(x,y,z) : olmak üzeree Graf dir Soyut Yapiar: Ornek Soru tipleri. 1) a)aşağidaki cümlelerin değillerini yazin. Tolga ödevlerini yaparsaa ve Tayfun piyano çalişirsa ikisi beraber tatile gitmeye hak kazanacaklar. b)eğer Ferit liner cebirden

Detaylı

7 Mayıs 2006 Pazar,

7 Mayıs 2006 Pazar, TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 14. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2006 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 7 Mayıs 2006 Pazar, 13.00-15.30

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =?

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =? TANIM MUTLAK DEĞER Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z ise x y x z z y =? Bir x reel sayısına karşılık gelen noktanın sayı doğrusunda 0 (sıf ır) a olan uzaklığına x sayısının mutlak değeri denir ve x şeklinde

Detaylı

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 MATRİSLER Matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu

Detaylı

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005 TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 005 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 1. AB = olmak üzere, A

Detaylı

Prof. Dr. Mahmut Koçak.

Prof. Dr. Mahmut Koçak. i Prof. Dr. Mahmut Koçak http://fef.ogu.edu.tr/mkocak/ ii Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Kitabın yazarına aittir. Bütün hakları saklıdır. Kitabın tümü ya da bölümü/bölümleri yazarın yazılı izni

Detaylı

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları...

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları... ÜNİTE Safa No............................................................ 79 98 Fonksionlar Konu Özeti...................................................... 79 Konu Testleri ( 8)...........................................................

Detaylı

TEMEL SAYMA KURALLARI

TEMEL SAYMA KURALLARI TEMEL SAYMA KURALLARI SAYMA Toplama Yoluyla Sayma A ve B sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı; s(a,b) = s(a) + s(b) dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin

Detaylı

Olimpiyat Soruları. sonuçları tekrar fonksiyonda yerine koyup çıkan tüm sonuçları toplayan program (iterasyon sayısı girilecek)

Olimpiyat Soruları. sonuçları tekrar fonksiyonda yerine koyup çıkan tüm sonuçları toplayan program (iterasyon sayısı girilecek) HAZIRLAYAN MUSA DEMIRELLI BISHKEK KYRGYZ TURKISH BOYS HIGH SCHOOL education.online.tr.tc compsources0.tripod.com Olimpiyat Soruları 1- Bir diziyi ters çeviren algoritma ve program 2- Bir diziyi sıralayan

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

Fen ve Anadolu Liselerine Öğretmen Seçme Sınav Denemesi

Fen ve Anadolu Liselerine Öğretmen Seçme Sınav Denemesi EN LİSELERİ, SOSYL İLİMLER LİSELERİ,SPOR LİSELERİ,NDOLU LİSELERİ ÖĞRETMENLERİNİN SEÇME SINVIN HZIRLIK DENEME SINVI. 2 HZIRLYN : İ:K(2008) idensu@gmail.com kuscuogluibrahim@gmail.com http://idensu.googlepages.com

Detaylı

KÜMELER. Küme nesneler topluluğudur. Bu bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız.

KÜMELER. Küme nesneler topluluğudur. Bu bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız. KÜMELER Küme nesneler topluluğudur. u bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız. Küme kavramı matematiğe girmeden önce matematik denilince akla sayılar ve şekiller gelirdi. Kümeler kuramının

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı