YÖNETIMDE KULLANILAN MATEMATIK TEKNiKLER VE DOGRUSAL PROGRAMLAMA

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "YÖNETIMDE KULLANILAN MATEMATIK TEKNiKLER VE DOGRUSAL PROGRAMLAMA"

Transkript

1 YÖNETIMDE KULLANILAN MATEMATIK TEKNiKLER VE DOGRUSAL PROGRAMLAMA S. Kemal KARTAL I. YÖNETİMDE KULLANILAN MATEMATİK TEKNİKLER 1. MATEMATıcİN ARTAN ÖNEMİ VE KULLANıMıNıN YAYGıNLAŞMASı : Günümüzün en önemli ve ilginç olgulanndan birisi, kuşkusuz, matemati~in hemen' her alanda artan bir önem kazanması ve yaygın olarak kullanıma sokulmasıdır. Matematik artık, orta ve yüksek ö~etim kurumlannda bir «ders» olarak görlildükten sonra, orada bırakılan bir konu olmaktan çıkmıştır. Sadece matematik uzmanınca' bilinmesi, beceriyle kullanılması gereken bir ilgi dalı de~ildir artık o. Fizik, kimya, jeoloji gibi do~a bilimleri ve bunlann uzantısı durumunda bulunan mühendislik gibi uygulaı:nalı u~aş dahan, matematiği iik olarak yo~ biçimde kuııanmaya başlayan ilgi alanlandır. Sosyal bilimlerle ilgili u~aş dallan uzmaniannın, öme~, hukukçunup, e~itimcinin, psikologun, toplum bilimcinin, kent ~e bölge plancısının, iktisatçının, kamu yön~ticisinin ve işletme yöneticisinin, matematiği ve kendi alanlanna uygulanabilme olana~ bulunan matematik teknikleri bilmeleri ve kullanmalan bugün zorunlu hale gelmiştir, diyebiliriz. Ve şunu da eklemeliyiz ki, ilgilendi~i konuyu en iyi biçimde bütün boyutlanyle anlamak ve anlatabilmek isteyen herkesin, şu veya bu derecede, matematiği ve belli matematik teknikleri bilmesi ve kullanabilmesi gerekmektedir bugün. Tanımlayamadı~mız bir şeyi veya konuyu, tam anlamıylebilemiy0 ruz demektir. Matemati~i ve matematik teknikleri, düşünme, tanımlama ve anlatım gücümüzü artıran bir araç, bir ek-dil olarak İıiteleyebiliriz. Bu nedenle, bize düşünme, tanımlama ve anlatım kolaylılı. sadellll ve Yolunluiu sa~layan matematik tekniklerin' birçok bilim dallannda ve uygulanıa alanlannda kullanımı gittikçe artmakta ve yaygınlaşmaktadır. Bu kullanım yaygııılaşması ve artmasının en önemli üç nedenini şöyle özetleyebiliriz : (1) Yukanda kısaca de~dik. Matematik teknikler düşünjnede-tanımlamada-anlatımda ve sorun çözümlemesinde kolaylık, sadelik ve yo * Dr. S. Kemal KARTAL, Amme ıdaresi Enstitüsünde görevlidir.

2 26 AMME İDARESİ DERGİSİ. ~luk sa~lar. Bu yararlar, sayısı gün geçtikçe artan çeşitli bilim ve meslek dallan mensuplannca daha iyi anlaşılmakta ve benimsenmektedir. İşte bu anlama ve benimseme artışı, birinci nedeni oluşturur. (2) İkincisi, çeşitli amaçlar için çeşitli alanlarda. uygulanma olana~ bulunan yeni matematik tekniklerin geliştirilmiş olmasıdır. (3) Bilgisayarlann ortaya çıkması ve kullanım alanlannın genişlemesi de üçiincü nedeni ol?şturmaktadır. Bu gelişmeler sonucu fizik, kimya gibi do~a bilimlerine ve onlann uzantısı mühendislik dalları gibi uygulamalı alanlara ek olarak sosyal bijim. lerde de matematik teknikler y~ olarak kullanılmaya başlandı. Bu arada, 'özellikle kamu ve işletme yönetimi alanlannda ve ekonomik incelemelerde kullamlma ol~ bulunan, YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI (Operations Research) ana başlı~ altında toplayabilece~iz, matematik teknikler demeti gelişti."" 2. YÖNEYLEM ARAşTIRMASrNIN DoGUŞU, GELİşİMİ ÖZELLİKLERİ VE KAPSAMli. A. Yöneylem Araşlınnasm1n Kökeal : Yöneylem Araştırması (YÖNEY.AR), çok yönlü bir bikikimin sonucu olarak ortaya çıkmıştır. Bubirikimin halkalanndan'ilkini yönetimle ilgili çalışmalar oluştıurmaktadır. Bilimsel Yönetim (Scientific Management) akıınmın babası sayılan Frederick W. Taylor'un 19. yüzyıl sonlanndaki çahşmalan, «endüstri mühendisli~i»nin bir meslek olarak ortaya çıkmasını s~ladı. Taylor'un yaptı~, bilimsel yöntemin, yönetim sorun1annın çözü. miinde kullanılması çabasından ibaretti. Bilindii~ gibi bilimsel yöntem, bir sorunun çözümiinde şu yolu izlemektedir : (1) Sonmu bulmak ve saptamak amacına yönelik gözlemlerin yapılması, (2) Sonm'un tanımlanması. (3) Tanımlanmış, bütiin özellik ve boyutlanyle ortaya konmuş sonma il}. tematif çözümlerin formüle edilmesi. (4) Denemelerin yapılması. Daha önce formüle edilmiş çeşitli çözümler denenir bu aşamada. Çeşitli ölçütlerin * Burada _Matemati:ıı: Teknikler> deyimi, geniş anlamda kullanılmaktadır ve nümerik analiz ile benzetim (Simülasyon) modellerini de kapsamına almaktadır. i Batı ülkelerinde coperations Research_ adı ile başlayıp, daha sonra baliımsız bir bilimsel disiplin ve meslek dalı olarak yerleşen bu uliraş alanı, Türkiye'ye «HarekA.t Araştırması> adı ile ginniştir. Daha sonra bu deyim Türkçeleştirilerek, YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI adı benimsenmiştir. Boj!aziçi üniversitesi 'nde Şubat 1975 tarihlerinde yapılan Birinci Ulusal Yöneylem Araştırması Kongresi'nde YÖNEYLEM ARAşTıRMASı için.ya. kısaltması bazı bildiri sunuculannca önerilmiştir. Ancak, söylenişte kolaylık yaratmak ve duyııp-anlamayı. çabuklaştırmak bakımından biz bu çalışmada YÖNEYLEM ARAŞTIRMA~'I deyimini, cyönby.ar_, olarak kısaitmayı uygun gördük. Bak: Prof. Dr. Halim ~söz, Tlh1dye'de YÖııeYIem "'-'hrması (Bu bildiri L Ulusal Yöneylem Araştırması Kongresı'nde sunul. muştur.)

3 YÖNETIMDE KULU ~ılan MATEMATIK TEKNİKLER 27 yardımıyle, işe yaramayaca~ anlaşılanlar elenk Işe yarar görünenler tekrar karşılaştmiır. Ve bunlar arasından bir çözüm seçilir. (5) Bilimsel yöntemin bu son aşamasını d~ama, sa~laylama oluşturmaktadır. Böylece dördüncü aşamada ulaşılan sonuç do~rulanmış olmaktadır. ı Frederick W. Taylor, sözkonusu bilimsel yöntemin, yönetim sorunlarına uygulanabilirlijpni ve uygulanması gerektiwni ortaya koyan kişi olarak önem taşımaktadır. Bilimsel yöntemin işletme sorunlarına uygulanması çabasının dilter bir geliştirici emekçisi ise Henry L. Gantt'tır. Gantt'ın katkısı, özellikle üretim planlaması konusunda olmuştur. Taylor ile Gantt'ın yaklaşımlan arasında önemli bir fark vardı. Bu fark kısaca şöyle özetlenebilir: «Taylor. bir işi başannak için «en iyi yolu-one best way» bulmaya çalışmıştır. Buna karşılık Gantt, işe daha geniş bir açıdan bakarak,üretim (veya işlem.) sürecinin bütününü gözönünde tutmak suretiyle bu sürecin çeşitli aşama veya safhalarına dikkati çekmiş ve bunlar üzerinde duıi:nuştur."j Ganu'ın bakış açısında, Yöneylem Araştırması'nın ilerde filizlenecek olan en önemli çekirdeklerinden birisi bulunmaktadır. Bu çekirdek, «bütünleşik yaklaşım» (systems approach}'dır. B. Yöneylem. Arqtırması De tıglll tık ÇalıflDalar ve Balımm: Bır Ulraf Da1ı OJ.aıra.k Ortaya çıkışı: Yöneylem Araştırması ile ilgili ilk çalışmalar Birinci Dünya Savaşı sırasında yapılmıştır. Thomas Edison'un askeri bir amaç için yaptı~, düşman denizaltılarına en az kayıp verecek biçimde ticaret gemilerinin gii-' zergah ve manevralanmn saptanması çalışması, bunların ilkini oluşturur. Yine ayııı yıllarda, Dariimarkalı matematikçi A.K. Erlang,bir telefon soru nunun çözümünde Yöneylem Araştırması'na benzer bir teknik kullanmıştır. Bir doj}a bilimcisi olan H.C. Levinson ise, 1930'larda, yetkin ve ayrıntılı matematik modelleri başanyle yönetim sorunlanmn çözümlemesinde kul lanmıştır. Yöneylem Araştırması'na bu adı verdiren asıl çalışmalar, Ikinci Dünya Savaşı'nın başlarında Ingiliz Hava Kuvvetl!,!ri Komutanlı~'nın, çeşitli uzmanlık dallarından gelen bir grup bilim adamım radar ve yerden gözetleme sorunlanmn çözümü ve ilgili faaliyetlerin eşgüdümü için bir araya getirmesiyle başlamıştır. Savaş sırasında Yöneylem Araştırması yo~ olarak kullanılmış ve özellikle ticaret. gemi konvoylannın düşman denizaltılaima en az kayıp vermek suretiyle gidecekleri yere ulaşmalan konusundaki çalışmalardayararlar' sa~lamıştır. Savaştan sonra. Ingiliz iş hayatında yo~ olarak kullamlmaya başlayan Yöneylem Araştırması, daha sonraki yıllarda Amerika Birleşik Devletleri'nde de hem kamu hem özel kesim tarafından kullamlınaya başlanmıştır. 2 Bilimsel yöntemin sözkonusu aşamalarıyle ilgili ayrıntılı bir açıklama için bak: R. 1. Levin ve C. A. Kirkpatriek, Quımtltaflve Approaclleıı to Hımapment, (New York' MeGraw-HiIl, Ine., 1965), s JA.y., s 7.

4 28 AMME İDARE Sİ DERqİSİ Kuramsal ve uygulama alanlanndaki bu gelişmeler, endüstri mühendisli~inin, «nokta ayarlaması. diye adlandırılabilecek olan dar yönetim kahbı içinde düşünme alışkanlık ve uygulamalannı geride bırakmıştır. Yukanda,Gantt'ın görüşü içinde saklı oldu~u söyledi~iz çekirdek filizlenmeye başlamış ve işletme bir bütün olarak ele alınıp, bu bütünü oluşturan parçalann birbirleriyle ve bütün ile ilgisi gözönünde tutularak yönetim sorunlan çözümlenmeye çalışılmıştır. Bu yaklaşımın geniş bir biçimde benimsenmesi, Yöneylem Araştırması'nın, işi, bir çok alanda endüstri mühendisli~" den devralması sonucunu do~uştur. Yöneylem Araştırması'nın (YÖNEY-AR'ın) bakış açısını ve görüs kap. samının genişli~ni belirtebilmek için endüstri mühendisli~n ve YÖNEY. AR'ın bir gerçek yaşam olgusuna yaklaşım biçimlerini karşılaştıra1ım : Endüstri mühendisli~ şöyle düşünür : - Müşterimiz, «A» ürününden «X» miktar ısmarlamıştır. - Bu miktan üretmenin en çabuk, en ucuz ve en iyi yolu nedir? YÖNEYeAR'ın böyle bir soruna yaklaşımı ise şöyledir : - Biz A, B, ve C türü ürünleri üretebilecek yetenekteyiz. İşletmemi. zin her bölümü toplam kapasitemizin belli bir oranını kullanır, belli de~şken girdilere gereksinim duyar ve üretilen ürünler de bilinen fiyatlarla satılır. Bu duruma göre, bize en yüksek kan sa~layacak ürün kanşımı hangisidir?. - Her olasılık düşünülerek aşa~daki sorular sorulur ve biz~ en yük. sek kan sa~layan ürün kanşımı saptanır: (1) Yalnız.A'yımı üretelim, ne kadar? (2) Yalnız B'yimi üretelim, ne kadar? (3) Yalnız C'yimi üretelim, ne kadar? (4).A ve B'yi berabermi üretelim, herbirinden ne kad3r? (5) A ve C'yi berabermi üretelim her birinden ne kadar? (6) B ve C'yiberabermi üretelim,her birinden ne kadar? (7) A, B, ve C'yi berabermi üretelim, her biijnden ne kadar? Bu noktada bir genellerne yapmak gerekirse şunu söyleyebiliriz: YÖNEY. AR'ın ayn ve ba~msız bir u~aş dalı olarak karşımıza çıkabilmesi, aşa~daki iki olgunun gerçekleşmesi sonucu mümkün olmuştur: (1) Endüstri mühendislerinin, bir kuruluş veya işletmenin işleyiş sürecinin ve yapısının bütünü ile ilgilenmeye başlamalan; ve i (2) Do~a ve sosyal bilimcilerin yönedm 80nınlanyle ilgilenmeye başlamalan. 4 4 R. I. Leviu ve C. A. Kirkpatrick, a.g.y., s. 7.

5 YÖNETİMDE KULLANILAN MATEMATİK TEKNİKLER 29 C. Yöneylem Araştırması Nedır, Ne ışe Yarar? Yöneylem Araştınnası nedir, ne işe yarar? sorusuna verilecek yanıt kısaca şudur: Bir kamu veya özel kuruluşun işleyişiyle veya işlevini sur diirmesiyle ilgili sorunların çözülmesinde ve bunlarla ilgili karar oluştunua işlemlerinde bilimsel yöntemin uygulanmasına YÖNEY AR diyoruz.' Başka bir deyişle, YÖNEY-AR, «insan, makine ve parasal ö~elerden oluşan büyiik ve kannaşık kuruluşlarda yüksek düzeydeki karar problemlerine bilimsel yaklaşım ve yöntemlerle çözüm getiren..,~ bir uygulamalı bilim ve meslek dalıdır. YÖNEY AR çeşitli biçimlerde tanımlanmaya çalışılmıştır. Yapılan ta mmlar arasında en dişe dokunur olanı, British Operatıana! Research SOci ety'nin şu tanımıdır: 6 Yöneylem Araştırması, insan, makine, para ve malzemeden oluşan, endüstriel, ticari, resmi ve askeri sistemlerin yönetiminde karşılaşılan problemlere modem' bilimin,saldırısı «(attaek) dır. Belirgin yaklaşımı, sistemin, şans ve risk ölçüsünü de içeren ve alternatif karar,. strateji ve kontrollerin sonuçlarını tahmin ve mukayese etmeye yarayan, bilimsel bir modelini geliştir. mektir. Amacı, yönetimin politika ve eylemlerini, bilimsel olarak saptamasına yardımcı olmaktır. YÖNEY.,AR'cılardan bugünyöneticiler, verilecek kararların dayanağı nı oluştııracak nicel bilgileri toplamalarını, seçmelerini ve bunları bir model çerçevesinde sunmalarını isterler. Yöneticiler bu nicel bilgileri ve modellerin ortaya koyduğu sonuçlan, işletmenin işleyişiyle ilgili e~ iyi kararlan vennek, işleyiş ve yönetim sorunlarına en iyi çö.zümleri bulmak için kul ' tanırlar. Kısaca YÖNEY AR'cıların yaptığı şudur : (1) Bir işletmeyi bütün parçalanyla beraber bir bütün oiarak ele al mak; onun -işleyiş veya işgönne yöntem ve süreçlerini incelemek. Gerekli bütün nice! ve nitel bilgileri toplamak. Bu bilgileri yorum lamak. Mevcut yönetsel sorunlan tanımak, bunların nedenlerini araştırmak. (2) Saptanmış olan sorunlan aynntılı bir biçimde tanımlamak. (3) Sözkonusu sorunlar için birer veya daha çok çözüm modelleri kur mak.geliştirmek. (4) Bu çözüm modellerini denemek, sınamak, karşılaştırmak. (5) Karar verme durumunda bulunan yöneticiye, izlenebilecek yollar ye çözüm biçimleri hakkında önerilerde bulunmak. 7 s Ydneylem Araştırması ı. Ulusal Kongresi Tanıtına Elkitapcıj'ı (13 14 Şubat 1975" Boaazlçi Onlvı:rsitesi), s. I. 6 H. ])oirusöıı g.b., s. 6'daki «serbest» çeviri. 7 özelulde bu son noktanın aynntılı bır tartışması için bak: Prof. Dr. İ. İlhami Karayalçın, Y&ıeyIem Araştırması (HarekAt Araştırması) nın TIIrk Yöııet1cl ve tşletmecllerine VerebUec:eJded, (Bu bildiri Yöneylem Araştırması i. Ulusal IConll""'..sinde sunulmuştur Şuhat \975, Botaziçi Universitesi)

6 30 AMME İDARESİ DERGİSİ Prof. Doğrusöz, sorun'un saptanması işinden sonra yapılacak işlem leri şöyle sıralamaktadır : Problemin formüle edilmesi. 2. Matematiksel model kurulması. 3. Modelden çözüm elde edilmesi. 4. Modelin ve çözümün kanıtlanması. 5. çözümün uygulanması. «ı. Yukarıdaki sıralama bir zaman dizisi olmakla beraber, bu aşamaların birbirinden ayrık olarak yürütillebilece~ anlamına gelmemelidir. Araştırmanın karakteri icabı,her aşamada daha önceki aşamalara dönme gere~ ortaya çıkabilir.ı.! D. Yöneylem. Araştırmasının Belirgln ÖzeIIlIkIerl : Yöneylem Araştırmasının belirgin özelliklerini şöylece özetleyebiliriz: (ı) Sorun çözümünde bilimsel yöntemin kullanılması. (2) Disiplinlerarası yaklaşım. (3) Bütünleşik yaklaşım. (4) Bir matematik modelin kullanılması. (5) «Karar verme" işlemine yardımcı olmanın ana amacı oluşturması. (6) Sistem-çapındaki etkileşim ve ilişkilere öncelik verilmesi. (7) Ekonomik etkililik ölçütüne dayalı bir delerlendirme yönteminin kullanılması. (8) çözüm ve hesap işlemlerinin yapılmasında bilgisayara i batımlılık. (I) Bilimsel Yöntemtn Kullanılmaıı: Yöneyiem Araştırmas~ sorun çözmeyi,. bilimsel yöntemin kullanılmasına dayandırınıştır. Bilimsel yöntemin daha önce sözü edilmiş bütün aşamalarından geçilerek eldeki Sorun çözülmeye çalışılır: Önce, gözlem yapılır ve sorun alanlan tanınmaya çalışı. lır. İkinci olarak, sorun bütün ayrıntılanyla tanımlanır ve formüle edilir. üçüncü aşamada, soruna uygun düşecek bir veya daha çok matematik modeller-çözümler ortaya konur. Dördüncü olarak, bu modeller:çözümler denenir, karşılaştınlır. Ve sonuncu aşamadaise, çözüm olarak seçilip önerilmiş alternatif, uygulamaya konur. Bu son aşama, aslında, yeni bir sürecin ilk halkasını oluşturur. Yöneylem Araştırması dışında kalan klasik yaklaşım da bilimden ya rarlanır; ancak, sorunlan çözerken kullandı~ yöntem, bilimsel de~ıdir. Ör ne~in, mühendisli~in hemen bütün dallan, dola bilimleri olan fizik, kim ya, jeoloji, biyoloji gibi bilimlere dayanır. Ne var ki, sözkonusu mühendislik dallarında, sorun çözümünde «(insanın amaçlanna en uygun yapı, makina ve di~er sistemlerin tasanın ve kurulmasında) sadece "duyu ve sez. gl temel dayanaktır.»' H. Dotrusöz, a.ı.b., s H. Dotrusöz, ıl.ı.b., s. 9. Vurpları biz ekledik.

7 YÖNETİMDE KULLANILAN MATEMATİK TEKNİKLER 31 (2) DialpU:nlerara81 Yakl8f1m : Yöneylem, Araştırmacıların yapması gereken işlerin neler oldu~u daha önce belirtmiştik. Bütün bu işlerin hakkından gelmek, ne kadar bilgili ve yetenekli olursa olsun, tek bir uzma. nın başaraca~ bir iş deipldir. Zaten amaç da bu de~dir. YÖNEY-AR takım çalışmasım gerektirir. Sorunla veya konuyla yakından-uzaktan ilgili her daldan en az birer uzmanın YÖN EY-AR çalışma takımında bulunması gerekir. İşletmenin' u~ türüne ve konusuna göre çeşitli meslek ve bilim. dallarım temsilen YÖNEY-AR takımına girecek uzman sayısı da elbette değişecektir. Tipik bir YÖNEY-AR takımında bir iktisatçı, bir istatistikçi, bir n;ıatematikçi, bir ruhbilimci, bir muhasebeci, bir yönetim bilimci ve bir mühendis bulunur. frof. Do~söz, disiplinlerarası yaklaşımla ilgili olarak şunlan yazıyor :10 «Disiplinler insan icadıdır ve do~a bu disiplinlere göre organize edilmemiştir,» diyor R.L. Ackoff... Bu bakımdan, hiçbir disip. lin insano~lunun do~a içindeki herhangi bir sorununu, bütün. yönleri ile kapsayamaz. «Fiziksel, kimyl\sal, biyolojik, sosyal, ekonomik, vb. gibi sorunlar diye bir şey yoktur, fakat sadece sorunlar vardır. DlsIpbD1er problemlere birer bakış açıa tetjdi eden... Farklı disiplinlere mensup kişiler farklı e~itimlerden geçmişler, farklı yöntemler üzerinde beceri ve farklı biçimde düşünme alışkaplıklan kazanmışlardır. Bir ~iplinin mensubu, bir nesnenin (sistemin) veya olayın belli yönlerini görme, fakat diıter yönlerini. önemsemerne alışkanlı~m kazanmıştır; bazı noktalara bakarken görüşü. çok keskin, fakat başka noktalara bakarken tamamen kördür. Şu' halde gerçek hayat sorunlan üzerinde araştırma yaparken, mümkün olan bütün görüş açılanıu, yani farklı disiplinlere mensup bilim adamlarını bir araya getirmek herhangi bir sorunu disiplinlerarası bir ekiple etüd etmek gerekir. Bu nedenle Yöneylem Araştırması'nda. disiplinlerarası yaklaşım, en temel ö~elerden birisi olarak benimsenmiştir. (3) Bütünleşlk Yaklaşım (Sistem Yaklaşımı) : Çeşitli u~ş dallarından çok sayıda uzmanın YÖN~Y-AR çalışma takımlarına katılması, YÖ NEY AR yaklaşımının di~er bir temel gere~ini de yerine getirmek amacını güdt:ır. Bu gerek şudur: YÖNEY-AR.. işletmenin veya kuruluşun bütününü birden gözönüne almak zorundadır. Değişik alanlardan gelen uzmanlar, de ~işik bakış açılanyle aym yaratı~ (durumu) incelerler ve böylece müm kün olduğunca işletmenin her yönü incelemeden geçirilmiş olur. İşletmenin bölüm veya parçalan ayn ayn, birbirleriyle ilişkilendirilmeksizin incelenmez. İşletme, işleyen.çalışan bir sistem olarak ele 'alınır. Ve bu sistemin 10 A.b.,.~. 8. Vurgulan biz ekledik.

8 32 AMME IDARESI DERGISI bütün olarak işleyişini etkileyen sorunlar bulunup ele alınır ve bunlar ön celikle çözülmeye çalışılır. Daha açıkçası, örne~, satış bölümünün veya yapım bölümünün yararı değil, fakat bütün olarak işletmenin yararı öncelikle düşünülür, çözümler bu amaca uygun düşecek biçimde formüle edilir. Sorunlara işte bu anlayışla yaklaşmak, bütünleşik yaklaşımın (sistem yak laşımırun) bir gereğidir. Aşağıdaki alıntı, bütünleşik yaklaşımın anlam ve önemini daha geniş bir çerçeve içinde gözönüne sermektedir: Bir örgütün baş yöneticisi, aldığı kararlarda, örgütün bütün parçaları ve çevresi arasındaki etkileşmeleri gözönünde bulundurmak görevindedir. Çünkü örgütün herhangi bir par çasmdaki bir faaliyet, bir olay, di~er her bir parçasını ayn ayn etkiler~ Benzer şekilde, örgütün çevresindeki herhangi bir değişme örgütün işleyişini, karşıt olarak da örgüt içinde alınan her karar, örgütü olduğu kadar çevresini de etkiler. Russell L Ackoff'un dediği gibi, ebu temel ilke tıpkı Newton'un çekim kanununa benzer, ve açık birer sistem olan bütün örgütler için geçerlidir.»... Bütünleşik yaklaşım, bütün bu etkileşmeleri gözönünde bulundurma demektir, yani baş yöneticinin temel görevinin paralelindedir. Teorik olarak, evrende herşey herşeyi etkiler, yani sonsuz sayıda etkileşmevardır. Yalnız, bunlardan ancak bazılan, sonucu etkilemek bakımından, önemlidir. Yöneylem Araştırma smda bütünleşik yaklaşım, pragmatiktir ve bu nedenle yalnız bu önemli olanları saptamaya yöneliktir. ll YÖNEY AR'cılann bir işletme veya kuruluşun bütününü gözönüne almala n, a}/n ayn bölümlerin değil fakat işletmenin bir bütün olarak yaranı::ı.ı gözetir olmalan, bunların, daha çok kuramsal konularla uğraştığı ve, öme~i kar miktarıyle, satış hacmiyle ve giderlerle ilgilenmedikleri izlenimini verebilir. Bu yanlış bir izlenimdir. YÖNEY-AR'cılar uygulamayla, işlevlerin sürdürülmesiyle, bölüm karlanrun (yararlarının) de~il fakat işletme toplam kanrun (yararının) enyükseklenmesiyle (maksimizasyonuyle) ve buna benzer pragmatik konuların ta kendileriyle ~maktadırlar. YÖNEY AR, bir uygulamalı bilimdir. Bu uygulamalı bilim, bir işletmenin sa~lıklı. ve verimli bir. bütün olarak işlemesini engelleyen, aksatan her türlü sorunun çözümünde kullanılmaktadır. (4) Bır matematlk Modelln Kullanılması :12 Eldeki bilgilerin 'işlen. mesi, bunlardan sonuçların çıkartılması, değişkenlerin ve sınırlayıcı koşul lann birbirleriyle bağıntıları ve karşılıklı etkileşim yollan ve miktarlarını açık-seçik anlatmamızı ve yazabilmemizi sağlayan bir matematik modelin il A.b., s. 7. Vurguları biz ekledik. 11 Bu başlık altında ve aşa#ıdaki (S), (6), (1) ve- (8) numaralı alt-bölümlerde açıklanan YÖNEY AR'ın belirgin özelliklerinin, görece ayrıntılı ve özgün bir tartışması için bkz: Harvey M. Wagner, Prbıdples of operatloos R-.rch: Wlth AppllcatloDS to LIımagerLa1 Declalewı. (Pılııtlce-HaU, In..., 1969). s. S ve devamı.

9 YÖNETİMDE KULLANIL.AN MATEMATİK TEKNİKLER 33 kullanılması zorunludur. Sorunumuzu böyle bir matematik modelin kalıplan içine soktu~umuzda, anlatım ve tanımlanmız kesin ve açık-seçik ola-, dak demektir. «Matematik model, sistemi (örgütü) eldeki problem açısından teil!sil eden matematik ba~tılar sistemidir. Model, araştırmada, örgütün yerini alır ve herhangi bir alternatifin uygulanması halinde örgütten alınabilecek sonucu hesaplamaya ve dolayısıyle de optimum alternatifi saptamaya yarar.»13 (5) Karar Verme (Decls1on-mald.ng) Işiemine Yardımcı Olma,.ADa Amacı Oluşturmalıdır: Yapılan bütün inceleme ve çalışmalar ve bunlardan çıkanlan sonuçlar açık olarak ve do~rudan doğruya yöneticiye karar vennede. yardımcı olacak türden olmalı ve yöneticinin girişimlerine dayanak oluşturabilmelidir. (6) Slstem-Çapındald Etkileşlm ve Ilişkllere ÖDcellk, Verllmeal: Değişkenler ve sımrlayıcı koşullar (kısıtlar) ve bunlar arasındaki ilişki ve etkileşim, sistemin (işletmenin, kutuluşun) bütinü gözönüne alınarak de~er lendirilmelidir. Sistem-çapındaki etkileşim ve ilişkiler, birinci derecede dik kate alınma önceliğine salıip olmalıdır. Bütünü oluşturan parçaların (bölümlerin) ayn ayn ve birbirleriyle ilişki durumundaki işleyiş veya işlev gönne aksaklıklan-yetersizlikleri, sistemin ana amacım (örneğin, toplam kan enyüksekle~e amacını) etkilemeleri oranma uyan bir öncelik sırasına göre dik!ı:ate alınmalı ve çözülmelidir.. (7) Ekonomik Etklllllk Ölçütüne Dayalı Bır Deterlendirme Yöntemının KuJlanılması: Teknik bakımdan uygulanabilme olanağı bulunan çeşitli çözümlerin karşılaştınlması ve bunlar arasından seçim yapılması, tamamıyle ölçülebilir büyüklüklere dayanmnlm3j.ıdır. Kuruşla, gramla, santi metre ile ölçillemeyen yarar veya zararlar, çözümlerin karşılaşttrılm.asında ve seçiminde ölçüt olarak kullanılmamalıdır. Burada sözkonusu olan kuru bir «ölçülebilir büyük değer» değildir elbette. Aksine, sözkonusu olan, ekonomik etkililik ölçütünü tatmin eden bir «ölçülebilir büyüklüktür.» Bir işletmede ekonomik etkili:lik ölçütüne dayalı Qlarak de~erlendirilecek ölçülebilir büyüklüklere örnek olarak de~işken giderleri,gelir miktarını, para akışını ve ek yatırunların verimlilik oranını, verebiliriz.. (8) Çözüm ve Hesap Işlemlerinin Yapılmasında BUglsayara BatmıJıiık : Yöneylem Araştınnası yöntemiyle küçük çaptaki sorunların çözümünde bilgisayarlann mutlaka kullanılması gerekmez. Gereken işlemler, böyle durumlarda, elle de yapılabilir. Bununla beraber, incelenen konunun gereği olarak kullanılan matematik modelin çok kannaşık oldu~, elden geçirilmesi gerekli bilgilerin çok büyük bir hacme sahip bulund~ ve yapılacak işlem sayısının çok kabank oldu~ durumlarda bilgisayarlann kullanılması zorunludur. Ancak çapı veya büyüklüğü ne olursa olsun, YÖNEY-AR yaklaşımının kullanılması duıi.ımunda her sorun ve onun çözüm modeli, bilgisayara uygulanabilecek biçimde fonnille edilmiş olmalıdır. u H. DoIı'Usöz...b., s. 10.

10 i 34 AMME İDARESİ pergisi E. Türldye'de Yöneylem Araştınnası'nın durumu: 14 Türkiye'deYöneylem Araştınnası, Batı ülkelerinde olduan gibi, yine ilk olarak askeri kesimde ilgi ve dikkati çekerek başlamıştır. «HaI-ek!t Araştınnası»ıs adıyla yurdumuza giren bu u~raş dalı ile ilgili ilk resmi Yöney lem Arıiştırması Grubu, merhum Y. Müh. Alb. F. uıu~'un girişimleri sonucu Genelkurmay Başkanlı~ı İlmi İstişare ve Geliştinne Kurulu Başkanlı~na ba~ lı olarak Haziran-1956'da kurulmuştur. Bu grubun bütün görevlileri, ilk kurul duaunda, yedek subaylardari oluşmaktaydı. Daha sonralarıordu malı d~ vamh görevliler de bu konuyla ilgilendirilmişlerdir. Türkiye'nin Hava Sa vunması ve Seferberlik konuları, o aşamanın araştınna alanlanndan en önemlileriydi. Türk Silahlı Kuvvetlerindeki bu çalışmalar günümüze kadar sürmüştür ve halen Genelkunnay Yöneylem Araşnnnası v:e Sistem Analizi Şubesi bu konuda etkinlik göstennektedir. Sivil kesimde ise Yöneyl~m Araştınnası konusuyla -daha çok mühendisler ilgilenmiştir. Bu kişisel ilgilenişler, sonunda, örgütlerin korruyla ilgi. lenmesine dönüşmüş ve EyIÜı-I965 tarihinde Türkiye'nin ilk sivil YÖNEY AR grubu olarak, Türkiye Bilimsel ve Teknik Araştınna Kurumu YÖNEY LEM ARAŞTıRMASİ ünitest, kurulmuştur yıllan arasında Orta Doğu Telmik üniversitesi'nde konuk olarak kalmış olan ve halen Gebze' deki TBTAK-Marmara Bilimsel ve Endüstriyel Araştınna Enstitüsü'nün bir ünitesi olarak görevlerini sürdüren YöneylemAraştırması ünitesi'nin amacı, «gerek kamu kuruluşlannın ve gerek özel kuruluşlann yönetimine ilişkin uygulamalı araştırmalar yapmak, bu kuruluşlann kendi Yöneylem Araştınnası çalışmalarını yapabilecek biç,imde örgütlenmelerine yardımcı olmak ve mensup olduğu kurumun yönetjm sonınlan ile ilgili danışmanlık yapmak»tır. Bu arada üniversitelerimiz de YÖNEY AR konusuyla ilgilenmeye. başlamışlar ve bu konuda ilk dersler İstanbul Teknik üniversitesi Makina Fakültesi'nde verilmeye başlamıştır. tü. İktisat Fakültesi İşletme İktisadı Enstitüsü kurslannda da bu konuya yer verilmiştir ders yılında Orta Doğu Teknik üniversitesi'nin Fen ve Edebiyat FakültesiMatematik Bölümü'nde, «Do~al Programlama» ve «Dinamik Programlama» adlı iki.. Bu başlık altında 'Verilen bilgiler geniş olarak aş~ıdaki kaynaklara dayanmaktadır: Prof. Dr. H. ~rusöz,.yöneticinln Yardımcısı Bilimsel.Bir Disiplin ve Meslek: Yöneylem Araş. tırması», Sevk ve ıdare Deqılııl, (55), Mart 1973; H. Do#rusöz, Türldye'de Yöneylem Araş tırması, (Bildiri, YÖNEY AR 1. Ulusal Kongresi, Şubat, 1975; BQ#aziçi V.); 1. tlhami Karayaıçın, IIıı1"ekAt Arattınnaaı Denı1erl, (İ.T.V. Yaı-'ını, No. 730, 1968). 15.HarekAt Araştırması» deyiminin.yöneylem Araştımiası. na dönüştürülmesiyle ilgili olarak Prof. DOArUSÖZ şu bilgiyi vermektedir: c... Türkiye'de bu alandaki ilk çalışınalar silahlı kuvvetlerde başladılı ve 'Operations Research' ün, askeri bir deyim olarak, tam çevirisi 'HarekAt Araştırması' olduııu için, faaliyetin adı ilkin 'Harekat Araştırması' olarak kon. muştu, Fakat sonraları 'hare"t' kelimesinin, Türkçe olmadı!!ı ve daha önemlisi. askeri bir deyim olarak kullanılması nedeniyle, konunun yanlış. olarak, yalnız as.keri harekata özgü bir konu olduj!ıı izlenimini verdilli gibi sakıncaları göriilmüştür. Bunun üzerine, TBTAK Yöne,ylem Araştırması ünitesi'nin girişimi ile, meslektaşlar arasında bir toplantı tertiplenmiş ve bu toplantıda meslellin adının _Yöneylem Araştırması»na çevrilmesi kabul edilmiştir.» (l'uriı:lye'c!e Y~ Arattılmaııı, s. 18)..

11 YÖNETİMDE KULLANILAN MATEMATİK TEKNİKLER 3S dersle başlayan öğretim, öğretim yılında Yüksek Lisans (MS) öğretimi düzeyine ulaşmıştır. Halen Orta Do~ Teknik Üniversitesi'nin iç bölümünde(matematik, Endüstri Mühendisliği, ve İşletmeciUk Bölümlerinde) do~rudan Yöneylem Araştırması adını taşıyan veya ona aw,rlık veren' Yüksek Lisans programlan yürütülmektedir. ODTÜ Şehireilik ve Bölge Planlama Bölümü de YÖNEY-AR konusuyla yakından ilgilenmektedir. Yöneylem Araştırması konusuyle Türkiye'de halen ilgilenen diğer yüksek öğretim kuruluşlan şunlardır:' Boğaziçi Üniversitesi'nin Matematik, İş İdaresi, ve Endüstri Mühendisliği Bölümleri; tü. İşletme Fakültesi, Ha 'cettepc Üniversitesi İstatistik Bölümü, Ege Ü. İktisadi ve Ticari İlimler Fa kültesi; A.Ü. Siyasal Bilgiler Fakültesi; ve Türkiye ve Orta Do~ Amme İdaresi Enstitüsü. F. Yönetlmde KuIJanılan Matematik: TeknHder: Yöneylem Arqtırması Kapsamına Giren Matematik Teknikler ve DlIer Nicel Yöntemler: Daha önce de sözünü ettiğimiz gibi Yöneylem Araştırması geniş anlam da bir matematik teknikler demetidir. Bu tekniklerden herbiri, kendi yapısına ve özelliklerine en uygun gelen sorun türlerine uygulanır. Bu teknikler, iki, ana yöntemle geliştirilip kullanıma sokulmuşlardır. Birincisinde, bazı matematik teknikler, hangi amaç için kul1anılacaw, önceden pek dtiştanülmeden geliştirilmişler ve, daha sonra, bu tekniklerin çözümüne yardımcı olabileceği sorunlar saptanınıştır. Örneğin, kuyruk kuramı için, ckendisine sorun arayan çözüm yöntemi», denınesi bundandır. İkincisi ise, ortada bir sorun vardır; bu sorun belli özelliklere ve koşullara sahiptir. Bu durumda, "bu belli özellik ve koşullara sahip olan sorunu çözmek için, ne gibi bir matematik teknik kullanılabilir?» sorusu sorulmuş ve sorun'un özelliklerine uygun düşen bir matematik teknik ya yeniden geliştirilmiş, ya da mevcut tekniklerden birisi değiştirilerek yeni bir matematik teknik oluşturulmuştur. ' Aşağıda, Yöneylem Araştırması kapsamına'giren belli-başlı matematik teknikler ve, birçok yönlerden YÖNEY-AR'ın dışında düşünülebilecek olan diğer bazı nicel yöntemler, sadece adları belirtilerek sıralanmıştır. Bu tek nikieri sıralarken, bunlardan herbirinin ne gibi sorunlara ve durumlara uygulanabileceğini de anahatlanyle' belirtmek oldukça yararlı olurdu. Elimizdeki çalışmanıp boyutlanm aşacaw,ndan, bu yol izlenınemiştir. Bu iş, başka'bir çalışmanın konusu olacaktır. YöneylemAraştırması genel başhw, altında toplanabilecek nicel tekniklerden en önemlileri aşaw.da verilmiştir (YÖNEY-AR kapsamına tam olarak girmemekle beraber yönetimde ku1lılnıiabilecek -17.., IS. ve 19. sıradakiler gibi- diğer bazı nicel yöntemler de bu listeye dahil edilmiştir):, (ı) Doğrusal Programlama. (2) Devingen Programlama (Dynamic Programming). (3) Envanter Modelleri (Inventory Models)

12 36 AMME İDARESİ DERGİSİ (4) Oyun Kuramı ve Yanşma Stratejileri (Game Theory and Competitive Strategies). (5) Olasılık Kuramı ve Modelleri (Probability Theory and Probabilistic Models). (6) Kuyruk Kuramı (Queuing Theory). (7) Markov Analizleri. (8) Benzetim (Simulation). (9) Serim Modelleri (Network Models). (10) Tamsayı Programlaması (Integer Programming). (Il) Dogmsal Olmayan Programlama.. (12) Başabaş Analizleri (Breakeven Analysis). (13) Program De~erlendirme ve Gözden Geçirme Tekni~ (PERT Program Evaluatıon and Review Technique). (14) Kritik Geçit Yöntemi (CPM - Critical Path Method). (15) Girdi-çıktı İncelemeleri.. (16) Ekonometrik Mo<leller. (17) Yapılabilirlik İnceleme Yöntemleri (Techniques of Feasibilitiy Analysis). (18) Maliyet-Fayda İnceleme Yöntemleri (Techniques of Cost-Benefit Analysis). (19) Kentsel Ekonomik Yapının İncelenmesi Yöntemleri (Techniques of Urban Economic Basc Analysis).. Bu teknikler arasında yaygın olarak kullanıma sokulmuş olanı, DOIrUsal ProınmJama tekniiidir. AşIljıdakl II. ve III. Bölümlerde bu teknik aynntılarıylı:: incelenmiştir. II. ~RUSAL PROGRAMLAMA 1. DoGRUSAL PROGRAMLAMA NEDİR? İşletme yönetiminde, yöneticinin karar vermesine yardımcı olan en ye. ni ve önemli bilimsel matematik yöntemlerden birisidir do~al programlama. Hem iktisatçılann hem de matematikçilerin katkısı olmuştur bu yön. tcmın geliştirilmesinde. Do~rusal Programlamanın kö~enin.i, W. Leontief' in 1920'lerde geliştirdi~ girdi-çıktı incelemeleri oluşturur. Bu tekni~ genel olarak bugünkü biçimi ise, matematikçi George B. Dantzig;in 1947'de ortaya.koydu~ SİMPLEX YÖNTEMİ'ne dayanır. ' Bir işletmenin en önemli sorunu, sahip olunan kıt kaynak1an, çeşitli aıııaçve kullanımlara en iyi biçimde özgülemektir (tahsis etmektir). İşletmede çalışan işçi ve uzmanlar, kullanılan makinalar, malzeme ve hammaddeler,. yer, zam~ ve para, işletmenin kaynaklannı oluşturur. İşletme yöneticisi bu kıt kaynaklan çeşltll klıijanlmjara öyle özgülemelidir ki (tahsis etmelidir ki), elde edilecek toplam kar miktan en çok olsun. Eldeki kaynaklarla üretilebilecek ürün çeşitleri ve bunların herbirinden üretilecek miktarlar öyle saptanmalıdır ki, bu ürün bileşiminde (çq1t ve mfktar ola

13 YÖNETiM:DE KULLANILAN MATEMATİl( TEKNİKLER 37 rak). her kaynak en yüksek yaran sa~lıyor olsun ve toplam maliyetimiz enazlanmış (minimize edilmiş) veya toplam kanmız enyükseklenmiş (maksimize edilmiş) bulunsun. İşte Do~sal Programlama. yöneticiye bu işi başarmasında ve gerekli kararlan vermesinde yardımcı olan bir yöntemdir. ~sal programlama ile sorun çözümünde,' csabit üretim katsayılan», «s.abit. fiyatlar» ve «birim başına sabit kar miktan» kullanılır. Bu demektir ki, üt'etim miktan ne olursa olsun, birim başına kar de~şmeyecektir veya sabit kalacaktır...sabit üretim katsayısı» şunu ifade eder: cr» malının yapımında..e.., ch». ve..m.. gibi 3 üretim faktörünün kullanıldıpu varsayalım. Burada : E = Eme~ (saat olarak). H = Hammaddeyi (kg. olarak), M = Makinayı (saat olarak). ifade etsinler. Bir birim cr.. malı üret~ mek için, 4 saatlik emek (E), 6 kg. hammadde (H), ve 3 makina saati (M) kullamlmış olsun. Bunu basitce şöyle de yazabiliriz :. IR 4E + 6H +3M ~ğer cr» ma1ımn üretiminde cüretim katsayısı.. sabitse, üretim miktan ne 'olursa olsun; «R» malı birimi başına kullanılan..e..,..h.. ve..m.. faktör miktarlan de~şmez veya sabittir. Bu şu demekti(:.birinci cr.. malı birimi için de 4 emek saati, 6 kg. hammadde ve 3 makine saati kullanılır; on bininci «R» malı için de, yine aynı faktör miktarları, demek 4E + 6H + 3M. kullanılır.. cdo~sal Progranılama» deyimindeki.. do~saı.. sözcü~ün anlamı şudur: Girdlyi oluşturan değişkenler ile çıktı arasındaki ilişki,,tam olarak do~ orantılıdır. Bunu çok basit bir örnekle açıklayalını: Bir boyıicının saatte 6 m2 lik duvar alanım boyadığım varsayalım. Eğer boyacının. çalıştı. ğı zaman miktan ile (demek, girdiyi oluşturan deipşken ile) boyadığı alan miktan (demek, çıktı) aras.ında tam bır dotrusal ilişki varsa, şöyle bir durumla karşılaşırız: Boyacı bir saat çalışınca 6 m2 duvar alanırn' boyar; çalışma saatini iki katına çıkardığımızda, boyanan alan miktan da iki katına çıkai'. Başka' bir deyişle, çalışma saati, örne~iıi % 10 artınlınca boyanan,alan miktan da tam olarak % 10 artar veya aynı biçimde çalışma saati % 10 azalınca boyanan alan miktan da tam olarak % 10 azalır. cdo~sal Programlama.. deyimindeki «programlama.. sözcliğünün anlamı da, kıt kaynaklarla ilgili bir soruna, belli matematik işlem yöntemle rini kullanarak en iyi çözümü bulmak,.demektir. Doğrusal programlama tekni~ belkemiipni do~sa1 bir fonksiyon olan «Amaç Fonksiyonu» oluşturur. Amaç fonksiyonunun ne oldutu.ilerde göriilecektir. Biz burada şimdi..do~sal fonksiyon» ve.. doğrusal olmayan fonksiyon»un ne demek olduğunu kısaca açıklayalım: csabit terimi.. olmayan ve, örneğin, Xi' X2, Xl'... Xıı gibi deipşkenleri bulunan bir do~sal fonksiyonun ana özelliip şudur: Eğer deipşken1e

14 3'8, AMME İDARESİ DERGİSI rin değerini, örneğin, iki ile çarparsak 'fonksiyonun değeri de iki katına çı kar. Benzer biçimde, eğer değişkenlerin değerini 3 ile çarparsak, fonks~yonun değeri de 3 katına çıkar. Ve bu böyle gider. Doğrusal fon.ksiyonumuz şu olsun: R = PıX ı + PıXı + P~ P l1 X ıı, Burada Xl' Xı, X3;... XL! de(tişken1erdir. Ve P ı, P 2 ' P 3,... P ıı de sabit bt Ilayılardır. Şimdi de(tişkenlerin herbirini 2 sayısı ile çarpalım: [11'..,(.. P 1 (2X ı ) + P 2 (2Xı) + P 3 (2Xı) Pıı (2X u ) = 2PıX ı + 2PıXı + 2P3X3 +..., + 2P ı i'xıı = 2 (PıXı + PıX2 + P3~ +..., + PliXli) == 2R Böylece, parantez içindeki değerler dizisi R'ye eşit olduğu ıçın, 2(P ı X ı + PıXı + P 3 X PliXıı) de 2R'ye eşit olur. Daha genel bir anlatımla, 'Xi yerine, örneğin, 5X i yi koyduğumuzda, fonksiyonun değeri de 5 katına çıkacaktır. İşte bu örneklerde olduğu gibi, değişkenler 2 ne 3 ile veya 5 gibi herhangi bir sayı ile çarpıldığıiıda fonksiyonun değeri de 2 katına, 3 katına, 5. katına,..., çıkarsa o fonksiyon doğrusal bir fonksiyondur. Doğrusal olmayan fonksiyonlarda ise durum şöyledir: Örne(tin, R = Py2 fonksiyonunu' ele. alalım. Burada, P sabit sayı, «y» ise de(tişkendir. Değişkeni (demek, y'yi) bir sayı ile, örneğin 2 ile, çarptığımızda (demek, cy» yerine,,2y» koyduğumuzda), fonksiyonun değeri 2 katı olmaz, daha fazla olur. Görelim: R = Py2 (şimdi değişken "y» yi 2 ile çarpalım); P(2yF = (P) (22) (y2) == 4Py2 = 4(Py2) = 4R Böylece, parantez içindeki değer, demek (Py2) = R olduğu için, 4 (Py2) = 4R olur. Ve fonksiyonun değeri 2 katına değil fakat 4 katına çıkmış olur. İşte bu türden fonksiyonlara da «doğrusalolmayan fonksiyon» diyoruz. 2. DOORUSALPROGRAMLAMA HANGİ ALANLARDA KULLANıLıR? Doğrusal Programlama yöntemi günümüzde özellikle tanm, sanayi ve ulaştırma alanlannda yoğıın olarak kullanılmaktadır. Doğrusal Programlama uygulamalannda temel.amaç, işletme karının enyükseklenmesi (maksimi zasyonu) veya maliyetlerin enazlanması (minimizasyonu) dır. Bu büyüklüklerin saptanmasında ve bunlarla ilgili' kararların oluşturulmasında bu yöntem yöneticiye büyük yararlar sağlar. Bu noktayı biraz açacak olursak, doğrusal programlamanın kullanıldığı alanlardan bazılannı şöylece sı ralayabiliriz : (ı) Ulaşım sorunlannın çözümü ve özellikle ulaşım. giderlerinlıı en azianmasında; (2) İşletme. kuruluş yerlerinin saptanmasında;

15 YÖNET1MDE KULLANILAN MATEMATİK TEKNİKLER 39 (3) Çeşitli yerlerdeki işletme birimlerinin birbirleriyle ilişkili olarak kapasitelerinin belirlenmesinde; (4) Ü retilen ürünlerin satılması için en uygun satış. yerlerinin saptan masında; (5) Belli asgari özelliklere sahip olması gereken ürünlerin üretimin-' de kuılanılacak de~işik fiyatlı hammadde bileşimlerininhesaplanmasında; (6) Beslenme sorunlanmn çözümünde ve özellikle yem üretiminde; (7) İşletmelerde, görevlilerin sayıca ve ustalık derecelerine göre planlanmasında; (8) İşletmedeki makinalann kapasitelerinin saptanmasında ve çeşitli kullanımlara özgülenmesinde ( tahsisinde) ; (9) Üretimde kullanılacak hammadde veya, yanmamullerin en ucuz satınalınabilece~i bölgelerin saptanmasında; (10 Tanm işletmelerinin örgütlenmesinde ve özellikle enuygun (opti mum) ekim-dikim bileşimlerinin saptanması ve zamanlamasında; (11) Ülke ve bölgeler düzeyinde tanın politikasının, üretim (eki.jn..di. kim) alanı miktarlanmn, üretim yöntemlerinin ve keşikleme (mü. navebe) düzenlerinin saptanmasında; (12) Kent, metropolitan ve bölge planlamasıyle ilgili çeşitli sorunlann çözümünde. 3. DOORUSAL PROGRAMLAMA TEKNİCİNİ KULLANARAK ÇÖZÜLEBİ. LECEK SORUNLARıN ANA ÖZELLİKLERİ:.Anc8.k belli özelliklere sahip bulunan sorunlar do~sal programlama yöntemiyle çözülebilir.bu yöntemle çözülebilmesi için, bir sorunda bulunması gerekli belli.başlı özellikler şunlardır: (ı) «Enyükseklemek» veya «Enazlamak» gibi bir amaç bulunmalıdır. Bu amaç ve mevcut olan sınırlayıcı koşullar (kısıtlar), do~saı matematik denkleii)ler veya eşitsizlikler biçiminde yazılabilmelidir. Bu söylediklerimizi somutlaştırmak için örnek olarak, el radyosu ve masa radyosu üreten bir işletmeyi ele alalım. Bu işletme, el radyolanmn herbirinden 150 TL 'Ve masa radyolanmn herbirinden de 200 TL Ur ediyor olsun. Bu işletmenin amaç fonksiyonunu şöyle yazabiliriz : Enyüksekleyiniz: KAR = 200M + 150E Burada: M = üretilecek masa radyosu sayısını, E üretilecek el radyosusayısını göstermektedir. (2) Çeşitli çözüm seçenekleri (alternatifleri) bulunmalıdır. Bu seçenek ' lerden birisi amacı gerçekleştirmelidir. Elimizdeki örnekle ilgili seçeneklerin bolluğunu şu sorular göstermektedir: Acaba karun~ enyükseklemek için üretim kapasitemizin ne kadannı ce» (el radyosu) üretimine ve ne kadarım «M» (masa radyosu) üretimine ayıralım? E'ye üretim kapasite

16 40 AMME İDARESİ DERGİSl mızın %40'ını, M'ye %60'ını mı? E'ye %30' M'ye %70 mi? E'ye %25, M'ye %75 mi? Yoksa başka bir bileşim mi? (3) Kaynaklar sınırlı olmalıdır. Örnek olarak aldı~mız işletmede makina saati miktarı veya usta emek saati miktarı kıt kaynaklardır. Bu nedenle makina veya usta emek saatinin ço~un «E» üretimine aynlması, «M» üretiminin azalmasım; veya bu kaynaklardan buyiik bir kısmının cm,. üretimine aynlması, «E" üretiminin azalması sonucunu d~. ( 4 ) Sorun'un de~şken1erl birbirleriyle karşılıklı etkileşim içinde bulunmalıdjrlar. Örne~in, toplam kar miktarlarımızrn ne düzeyde olaca~, örne~mizdeki el ve masa radyolarının herbirinden ne miktarda üretti~ize b~lı bulunmaktadır. 4. J){)(TRUSAL PROGRAMLAMA YÖNTEMLERİ: Do~sa1 Programlama tekniğine uygun duşen özellikteki sorunları, üç ana yöntemle çözebiliriz. Do~sal Programlamanın bu yöntemleri şunlardır: (1) Geometrik Do~al Programlama Yöntemi (2) Cebirsel ~sal Programlama Yöntemi. (3) Simplex Do~s~.Programlama Yöntemi Geometrik d~al programlama yöntemini, de~ken sayısının Uç veya daha az oldu~ sorunların çözümünde kullanabiliriz. Bu yöntemin üç de~şken1e sınırlı olmasının nedeni, ka~t üzerine Uç boyuttan daha fazla sım çizme ol~ bulunmayışıdır. Cebirsel do~sal programlama yöntemini, ~ken sayısı ne olursa olsun her tür do~rusal programlama sorununun çözümünde kullanabili riz. Ancak bu yöntemin en buyiik sakıncası, deıtfşken sayısı arttıkça yapılacak işlem sayısımn, altından kalkılmayacak boyutlara Uıaşmasıdır. Bu nedenle, çdk emek ve zaman harcayıcı bir yöntemdir. 1947'de matematikçi George B. Dantzig tarafından geliştirilmiş bulunan Simplex do~sa1 programlama yöntemi ise, yine deıtfşken sayısı ne olursa olsun, her tür do~rusal programlama sorununun çözuinünde k:ı,ıllamlabilir. Bu yöntemin cebirsel yöntemden farkı ve UstünlU~, özellikle çok deltişken1i sorunlann çözümünde kolaylık sa~amasıdır. Yapılacak işlemler. kolay bir sıra ve yönteme ba~nmıştır. Cebirsel yöntem gibi, bu yöntem de cebir kullanır. Ancak, Simplex yönteminin kullandı~ cebir Matrix cebiridir. Simlex ~sal Programlama yönteminin belli-başlı özelliklerini şöylece sıralayabiliriz: (a) De~şken sayısımn, geometrik yöntemle çözillemeyecek kadar çok (demek ki, 3'ten fazla) old$ ve cebirsel yöntemle çözümün de, yapılacak işlem sayısı yönünden, ;ok guç oldu~ (örneğin, 10 ve daha fazla deıtfş. kenin bulundu~) durumlı:ı.rda simplex yönteminin kullanılması uygun : il

17 YÖNETİMDE KULLANILAN "1ATEMATİK TEKNİKLER 41 " olur. Az de~şkenli sorunlann çözümünde' de bu yöntem yine kolaylıklar sa!tlar. (b) Simlex yönteminde 'enuygun (optimum) çözüme yordamlama sf1. red (iterative process) ile vanlır. (c) Her yordamlama sonucunda. elde edilen çözüm, ejter eldeki bir enyiiksekleme (maksimizasyon) sorunu, ise, bir önceki çözümden daha fazla sım verir. Eğer eldeki bir enazlama (minimizasyon) sorunu ise, her yordamlarna sonucunda elde edilen çözüm, bir önceki çözüinden daha azım verir. (d) Bu yöntem, enuygun (optimum) çözüme ulaşıldı!tını, yordamlamalar sonucunda, kendiliğinden gösterir. Aşalttdaki bölümde, Geometrik Do~sal Proğramlama Yöntemi sa de bir biçimde anlatılmaya çalışılmıştır. Bunun için somut bir sorun ' ele alınmış ve bu sorun'un nasıl çözüldüğü aynntı1ı olarak açıklanmıştır. Böyle Ct!, soyut,lcuru ve havada kalan uzun açıklamalardan mümkün olduğunca kaçınıımıştır. Amaç, açık-seçik' ve öz olarak, geometrik do~ programlama yönteminin nasıl çalıştığını, bu yöntemle bir sorun'un nasıl ve hangi aşa malardan geçerek çözülebildiğini göstermektir. Anlamayı güçleştirecek her türlükapalılık veya aynntıdan mümkün Olduğunca kaçınılmıştır. Yöntemin ana ilkeleri ve işleyiş biçimi böylece kavrandıktan sonra, daha aynntılı ve ileri düzeydeki araştırmalann ve kitaplann İzlenmesi kolaylaşacak ve daha çetrefil sorunların ele alınıp çözülebilmesi, mümkün olacaktır.ayn, ca, geometrik yöntemin iyice anlaşılmış olması, daha karmaşık ve çok de ~işkenli sorunlann çözümünde kullanılan Simplex Do~al Programlama Yönteminin ve Cebirsel Doğrusal Programlama Yönteminin incelenmesini ve 'anlaşılmasını da kolaylaştıracaktır. Simplex Yöntemi ve Cebirsel YÖntem, başka bir yazının konusu olacaktır. III. GEOMETRIK YÖNTEMLE DOGRUSAL PROGRAMLAMA Uzun soyut açıklamalar yapmaktansa, somut bir örnekle, geometrik yöntemle doğrusal programlama işlemlerinin yapılış biçimlerini açıklamak dalıa yararlı placaktır. Aşağıda bu yapı1ınıştır. ı. GEOMETRİK YÖNTEMLE BİR SORUN'UN ÇÖZÜMÜ: A. Sorun'Un Tanıtımı: Radyo üreten bir işletmeyi ele alalım. Bu işletme iki tür radyo üretiminde uzmaııla$mışolsun. Birinci tür MASA RADYOSU, ikincj tür ise EL RADYOSU'dur. Masa 'radyolarının herbirinden 200 TL ve el ~yolarmın herbirinden ise 150 TL. kar sağlanmaktadır. Üretim sürecinde radyolar, iki işlikten (atelye'den) geçerek son durumlarını almaktadırlar. Bi$ci iş-

18 42 AMME İDARESİ DERGİSİ li~in (1şlik-l'in) günlük kapasitesi 120 saattir. İşlik-inin günlük kapasitesi, ise 96 saattir. Bir masa radyosu, 6 saat İşlik-l'de ve 3 saat de lşlik-l'de işlem görmek suretiyle üretilebilmektedir. Demek ki, bir adet masa radyosunu üretmek için,!şlik-l'in günlük kapasitesinin 6 saatini ve İşlik-2'nin de 3 saatini kullanmak gerekmektedir. Bir el rad)>jsu da, 3 saat İşlik-l'de ve 6 saat de İşlik-2'de işlem görerek üretilebilmektedir. Masa radyolannın herbirinden 200 TL ve el radyolannın herbirinden de 150 TL kar sa~anabildi~e göre, çözülecek sorun,şudur: Toplam kinmlzı enyükseklemek için, mevcut kapasitemizin ne kadannı masa radyosu üretimine ve ne kadannı da el radyosu üreti.mine özgülemeliyiz (tahsis etmeliyiz?) Başka' bir' deyişle. kanmızı enyiiksekleyecek ürün kanşımı (ma. sa ve el radyosu miktarlan) ne olmalıdır? Kaç adet masa radyosu ve kaç adet el radyosu üretelini ki, bunlann satışından sa~anacak kar miktan, kapasite sınırlanmız içinde elde edilebilecek, en yiiksek kar miktan olsun. «Kapasite sınırlanmız» diye adlandırdı~ız iki kısıtlayıcı koşul veya kısaca ckısıt» (constraint) şunlardır:. (a) İşlik-l'in zaman kapasitesi ( 120 saat /gün); ve (b) İşlik-2'nin zaman kapasitesi = 96 saat/gün). Üretilmesi gereken enuygun (optimum) mas'a radyosu miktannı '«Rı'" ile ve enuygun el radyosu miktannı da «Rz» ile gösterelim ve sorunumuz, la ilgili bütün bilgileri aşaipdaki çizelgede ozetleyelim: Radyo Vrettml Sonaıu.yla tısm BIIaII«Bır BIrbn Üriinün UretUebilmesi ıçın Gea:ekU. Zaman (Saat Olarak) ICı.U...,... Toplam ZamIm İ4If.kIer Masa Radyosu EI Radyosu (Saat Olarak) (Atelye) (Rı) (Ra) ~ ~ lşl~k-l 6 saat 3 saat 120 saat - lşllk-2 3 saat 6 saat 96 saat - Birim BaşıDa KAr 200 TL 150 TL Yukanda tanıttı~ımız sorunu şimdi birbirini izleyen' dört aşamada çözebi1iriz. B. BlrindAşama: Sorun'un Formüle EdILmeSi (~ Fonkalyonu'nun ve Kısıtlann Matematiksel Göstertml): Sorunumuzu önce matematik denklem ve eşitsizlikler biçiminde yazmamlz gerekir. Bunıt' yapabilmek için de, öncelikle,' amacımızı bir denklem olarak ortaya koymalıyız. Amacımızı gösteren bu denkleme «amaç fonksiyonu» diyoruz. Amaç fonksiyonu, üretim miktan ile ili rrıiktarı

19 YÖNETİMDE KULLAN1,-""N MATEMATİK TEKNİKLER 43. arasındaki ilişkiyi gösterir. SorunumuzIa ilgili amaç fonksiyonunu şöylece yazabiliriz: K Burada: 200R ı + 150R ı K = Toplam kar miktannı, Rı = Üretilmesi gereken «enuygun. (optimum) masa radyosu sayısını, Rı = Üretilmesi gereken enuygun el radyosu sayısını, 200 = Bir adet masa rasyosu satışından elde edil~cek kar miktannı (TL olarak), 150 = Bir adet el rasyosu satışından elde edilecek kar miktarırıı (TL: olarak), ı = Masa radyoları satışından el4e edilecek toplam kan, ı = El radyolan satışmdan elde edilecek toplam karı, gösterfr. Şimdi de «kısıtlarıo ımızı eşitsizlikler biçiminde yazalım. Masa radyosu (Rı) ve el radyosu (Rı). üretmek için kullanacalpmlz zaman miktan (saat sayısı), İşlik.l ve İşIik.2'nin günlük toplam kullanılabilir saat sayısını geçmemelidir. Daha açıkcası, Rı ve Rı'yi üretmek için İşlik-l'de kullanılacak saat sayısı, bu işli~in toplam günlük kapasitesi olan 120 saate ya eşit olmalıdır ya da daha az olmalıdır (Bu anlatımın matematiksel gösterimi şudur: 6R. + 3R ı :s; 120). Ve yine Rı ve Rı yi üretmek için İşlik-2 de kullanılacak saat sayısı, bu işli~n toplam günlük kapasitesi olan 96 saate ya eşlt olmalıdır ya da daha az olmalıdır (Bu anlatımın matematiksel gösterimi de şudur: 3R. + 6Rı :s; 96). Daha önce de belirtildi~ gibi, bir birim Rı (masa radyosu, üretmek için İşlik-l'in 6 saatini ve İşlik-2'nin de 3 saatini kullanmanıız zorunludur. Aynı biçimde, bir birim Rı (el radyosu) üret mek için İşlik-l'in 3 saatini ve tşlik-2'nin de 6 saatini kullanmamız gerekir. Bu durumlar, bizim kapasite kısıtlanmızı oluşturur. Şimdi matematik olarak kısıtlarımlzl yazalım: 6R. + 3Rı :s; 120 saat ~) İşlik-l ile ilgili kısıt. 3R ı + 6Rı :s; 96 saat ) İşlik-2 ile ilgili kısıt. Burada, Rı ve Rı' Sırasıyle masa ve el radyolanndan üretilecek mik. tarları simgelemektedirler. Yukandaki birinci eşitsizli~n (6R ı + 3Rı :s; 120'nin) anlamı şudur: Bir birim masa radyosunu üretmek için gflrekli zaman (6 saat) çarpı üretilecek masa radyosu miktarı (Rı), artı bir birim el radyosu üretmek için gerekli zaman (3 saat) çarpı üretilecek el radyosu miktarı (Rı), İşlik-l'in toplam günlük kapasitesi olan 120 saate ya eşit ya da daha az olmak zorundadır. Yukardaki ikinci eşitsizl~in anlamı da benzer biçimde açıklanabilir. 6R ı +' 3Rı ::; 120 anlatimındaki ( :s;) simgesinin anianiı şudur: Bu sim genin solundaki d~erler toplamı, «en fazla 120'ye eşlt veya 120'den JdlçDk. olmak zorundadır. Yeri gelınişken, daha sonra görece~, benzer bir simgenin (~) simgesinin) anlamını da bir örnekle açıklayalım. X + 2Y ;;:ı: 6 anlatımmdald( ~) simgesinin anlamı şudur: Bu simgenin solundaki de ~erler tophmı, «en az 6'ya etlt veya 6'dan büyük. olmak zorundadır.

20 44 AMME ldllesl DERGISI lşlik-l ve lşlik-2'deki kapasite kısıtlılıjb.mızı açıklayan bu iki eşitsizlik (demek,6rı + 3~ S 120 ve 3R. + 6Rı S 96), toplam üretiiii mikta: nnı kısıtlamaktadır ve dolayısıyla toplam kar miktanmızı da kısıtlamaktadır. Bu nedeııle, bu iki eşitsizlik, sorunumuzun «özel.kısıtlan- dır. Bir de bu "özel kısıtlar»a ek olarak, bütün do~sal programlama sorunlan için' var ve geçerli olan, «genel kısıtlar» mevcuttur. Buıılara, «üretimin veya kullıinıının sıfırdan küçük olmaması» ya da, «negatif olmama» kısıtlan denir. Örne~mizle ilgili olarak bunlarin anlamı şudur: Rı 'Ve ~ için saptanacak de~erler ya sıfıra eşit olmalı ya da sıfırdan büyük: bir sayı olma lı. Yalnızca iki olasılıkvar~ (1) Ya hiçradyo üretmeyiz, ya da (2) bii miktar radyo üretiriz. Ne masa radyosu (Rı) ve ne de el radyosu (~) 'üretilmez ise, Rı = O ve ~ ::::: O olur. Fakat bir miktar da olsa radyo üretimi yapar' isek, Rı ve Rı artı işaretli bir sayıya eşit olur: 3 masaradyosu,s el radyosu gibi. Ama hiç bir zaman, Rı ve Rı'den eksi miktarda üretmemiz sözkonusu olamaz. Genelolarak söylersek,. bir do~rusal programlama sorununun çözümündeki bütün unsurlann (de~keıılerin) de~erleri «ya en az sıfıra' eşlt olmak veya sıfırdan büyük: ojı:lıak» zorundadır. Sorunumuzla ilgili «negatif olmama»' kısıtiannı şöyle yazabiliriz:, Rı;;:: O' ~;;::O Şimdi sorunumuzun tamamını matematikselolarak yazalım: Enyük:sekleyiniz (Amaç Fonksiyonu): KAR = 200R ı + 1S0~ Özel Kısıtlar: Genel Kısıtlar: 6Rı + 3R;ı S 120 3Rı + 6~ S 96 Rı;;:: O Rı;;:: O C. İldııct AŞama: Kısıt Denklemlerlnln Geometrik Olarak G6SterImL ve «Çözüm Alanı»mn Saptanması: Sorunumuzu, geometrik do~rusal programlama yöntemiyle çözdü~müze göre, önce, «genel kısıtlan» ve üretim miktanmızı ve dolayısıvie klr miktanmızı kısıtlayan "özel kısıtian» bir koordinat sistemi üzerinde göstermemiz gerekmektedir. Genel kısıtlan' oluşturan Rı ;;:: O ve ~ ;;:: O. eşitsizlikleri gere~ olarak, Rı ve Rı'nin de~erleri, en az sıfıra eşit veya. sıfırdan büyük: olmalıdır. Bu duruma göre, koordinat sisteminin, Jruzey-d* bölümü bizim çalışma alanımızı oluşturmaktadır. Buiıun nedeni, bu bölümde, bütün (x) ve (y) de~erleri, veyaörne~imizde (Rı) Vf: (Rı) de~erleri, en az sıfıra' eşit (köken-orijin) veya sıfırdan büyük:, demek (-t) işaretli, olur. Rı ;;:: O ve Rı ;;::' O genel kısıtlannın belirledi~ alan Çizge-l'de ' gösterilmiştir. Çizge-1'de, (x) ekseninde Rı (masa radyosu) de~erleri, ve (y) ekseninde de Ri (el radyosu) de~erleri gösterilmektedir. ' Şimdi de..özel kısıtlan» çizge (grafik) üzerine geçirelim. Önce, 1ş. lik-rin zaman kapasitesini gösteren (6R ı + 3~ S 120) özel kısıtını ele alalım. Bu eşitsizli~ çizge üzerine geçirmek için, iki noktanm saptamıiası gerekinektedir. Bu iki noktayı birleştirdi~mizde, birinci~özei' kısıt çizge üzerinde bir d~ olarak,işaretlenmiş olur. Bu işlemleri şöyle yapabiliriz:,

Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER

Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr Doğrusal programlama, karar verici konumundaki kişilerin

Detaylı

Sistem Mühendisliği. Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez

Sistem Mühendisliği. Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez Sistem Mühendisliği Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez Organizasyon Teorileri 20. yüzyılın başından itibaren insan ilişkilerinin her alandaki giderek artan önemi, iki dünya savaşı ve 1960 ların sosyal devrimleri,

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I 1/19 İçerik Yöneylem Araştırmasının Dalları Kullanım Alanları Yöneylem Araştırmasında Bazı Yöntemler Doğrusal (Lineer) Programlama, Oyun Teorisi, Dinamik Programlama, Tam Sayılı

Detaylı

ÖZLEM AYDIN TRAKYA ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

ÖZLEM AYDIN TRAKYA ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI (OPERATIONAL RESEARCH) ÖZLEM AYDIN TRAKYA ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ SUNUM PLANI Yöneylem araştırmasının Tanımı Tarihçesi Özellikleri Aşamaları Uygulama alanları Yöneylem

Detaylı

doğrusal programlama DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL)

doğrusal programlama DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL) DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL) Belirli bir amacın gerçekleşmesini etkileyen bazı kısıtlayıcı koşulların ve bu kısıtlayıcı koşulların doğrusal eşitlik ya da eşitsizlik biçiminde verilmesi durumunda amaca

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Bu bölümde eşitsizlik kısıtlarına bağlı bir doğrusal olmayan kısıta sahip problemin belirlenen stasyoner noktaları

Detaylı

İŞLETME VE ORGANİZASYON STAJI UYGULAMA ESASLARI

İŞLETME VE ORGANİZASYON STAJI UYGULAMA ESASLARI İŞLETME VE ORGANİZASYON STAJI UYGULAMA ESASLARI ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ İŞLETME VE ORGANİZASYON STAJI UYGULAMA ESASLARI 2014 İŞLETME VE ORGANİZASYON STAJI UYGULAMA ESASLARI Açıklama Staj yapılan işletmelerde

Detaylı

DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI

DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI PROJE ADI: TÜRKİYE DEKİ GELECEKTEKİ DOKTOR İHTİYACINI YÖNEYLEM ARASTIRMASI İLE BELİRLEMEK MEV KOLEJİ BASINKÖY OKULLARI

Detaylı

Doğrusal Programlama. Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez

Doğrusal Programlama. Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez Doğrusal Programlama Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez Doğrusal Programlama Belirli bir amacın gerçekleşmesini etkileyen bazı kısıtlayıcı koşulların ve bu kısıtlayıcı koşulların doğrusal eşitlik ya da eşitsizlik

Detaylı

TOPLAM KALİTE YÖNETİMİ

TOPLAM KALİTE YÖNETİMİ TOPLAM KALİTE YÖNETİMİ 4.Ders Yrd.Doç.Dr. Uğur ÖZER Kalite Planlaması Kalite Felsefesi KALİTE PLANLAMASI Planlama, bireylerin sınırsız isteklerini en üst düzeyde karşılamak amacıyla kaynakların en uygun

Detaylı

Yöneylem Araştırması

Yöneylem Araştırması Yöneylem Araştırması Çok sayıda teknik ve bilimsel yaklaşımı içeren Yöneylem Araştırması, genellikle kıt kaynakların paylaşımının söz konusu olduğu sistemlerin en iyi şekilde tasarlanması ve işletilmesine

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I /0 İçerik Matematiksel Modelin Kurulması Grafik Çözüm DP Terminolojisi DP Modelinin Standart Formu DP Varsayımları 2/0 Grafik Çözüm İki değişkenli (X, X2) modellerde kullanılabilir,

Detaylı

SİSTEM MÜHENDİSLİĞİ GİRİŞ

SİSTEM MÜHENDİSLİĞİ GİRİŞ SİSTEM MÜHENDİSLİĞİ GİRİŞ dersin konusu İşletmelerde yöneticilerin doğru (optimum) karar almaları, Yöneticilerin doğru karar almalarına yardımcı olunması. organizasyon teorileri 20. yüzyılın başından itibaren

Detaylı

Ders 10. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay. Simpleks Yöntemine Giriş Alıştırmalar 10

Ders 10. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay. Simpleks Yöntemine Giriş Alıştırmalar 10 Bölüm 10 Ders 10 Simpleks Yöntemine Giriş 10.1 Alıştırmalar 10 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 197 198 BÖLÜM 10. DERS 10 1. Soru 1 1. Aşağıda verilen simpleks tablolarında temel, temel olmayan,

Detaylı

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2 OPTIMIZASYON.... Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu.... Türev...3.. Bir noktadaki türevin değeri...4.. Maksimum için Birinci Derece Koşulu...4.3. İkinci Derece Koşulu...5.4. Türev Kuralları...5

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMALARI 1

YÖNEYLEM ARAŞTIRMALARI 1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMALARI 1 1.HAFTA Amacı:Karar vericiler işletmelerde sahip oldukları kaynakları; insan gücü makine ve techizat sermaye kullanarak belirli kararlar almak ister. Örneğin; en iyi üretim miktarı

Detaylı

Önsöz... XIII Önsöz (Hava Harp Okulu Basımı)...XV BÖLÜM 1 1. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ... 1

Önsöz... XIII Önsöz (Hava Harp Okulu Basımı)...XV BÖLÜM 1 1. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ... 1 İÇİNDEKİLER Önsöz... XIII Önsöz (Hava Harp Okulu Basımı)...XV BÖLÜM 1 1. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ... 1 1.1. Yöneticilik / Komutanlık İşlevi ve Gerektirdiği Nitelikler... 2 1.1.1. Yöneticilik / Komutanlık

Detaylı

Temelleri. Doç.Dr.Ali Argun Karacabey

Temelleri. Doç.Dr.Ali Argun Karacabey Doğrusal Programlamanın Temelleri Doç.Dr.Ali Argun Karacabey Doğrusal Programlama Nedir? Bir Doğrusal Programlama Modeli doğrusal kısıtlar altında bir doğrusal ğ fonksiyonun değerini ğ maksimize yada minimize

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

İKTİSADA GİRİŞ - 1. Ünite 4: Tüketici ve Üretici Tercihlerinin Temelleri.

İKTİSADA GİRİŞ - 1. Ünite 4: Tüketici ve Üretici Tercihlerinin Temelleri. Giriş Temel ekonomik birimler olan tüketici ve üretici için benzer kavram ve kurallar kullanılır. Tüketici için fayda ve fiyat kavramları önemli iken üretici için hasıla kâr ve maliyet kavramları önemlidir.

Detaylı

2. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN

2. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN 2. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM Yazan SAYIN SAN SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 2 C.1.2. Piyasa Talep Fonksiyonu Bireysel talep fonksiyonlarının toplanması ile bir mala ait

Detaylı

1 ÜRETİM VE ÜRETİM YÖNETİMİ

1 ÜRETİM VE ÜRETİM YÖNETİMİ İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 ÜRETİM VE ÜRETİM YÖNETİMİ 13 1.1. Üretim, Üretim Yönetimi Kavramları ve Önemi 14 1.2. Üretim Yönetiminin Tarihisel Gelişimi 18 1.3. Üretim Yönetiminin Amaçları ve Fonksiyonları

Detaylı

GENEL EKONOMİ DERS NOTLARI

GENEL EKONOMİ DERS NOTLARI GENEL EKONOMİ DERS NOTLARI 3. BÖLÜM Öğr. Gör. Hakan ERYÜZLÜ Kıtlık, Tercih ve Fırsat Maliyeti Fırsat maliyeti, bir tercihi uygularken vazgeçilen başka bir tercihtir. Örneğin, bir lokantada mevcut iki menüden

Detaylı

BAŞABAŞ NOKTASI ANALİZİ

BAŞABAŞ NOKTASI ANALİZİ BAŞABAŞ NOKTASI ANALİZİ Herhangi bir işe girişirken, genellikle o iş için harcanacak çaba ve kaynaklarla, o işten sağlanacak fayda karşılaştırılır. Bu karşılaştırmada amaç, kaynaklara (üretim faktörlerine)

Detaylı

Matematiksel modellerin elemanları

Matematiksel modellerin elemanları Matematiksel modellerin elemanları Op#mizasyon ve Doğrusal Programlama Maksimizasyon ve Minimizasyon örnekleri, Doğrusal programlama modeli kurma uygulamaları 6. DERS 1. Karar değişkenleri: Bir karar verme

Detaylı

Bilimsel Araştırma Yöntemleri I

Bilimsel Araştırma Yöntemleri I İnsan Kaynakları Yönetimi Bilim Dalı Tezli Yüksek Lisans Programları Bilimsel Araştırma Yöntemleri I Dr. M. Volkan TÜRKER 7 Bilimsel Araştırma Süreci* 1. Gözlem Araştırma alanının belirlenmesi 2. Ön Bilgi

Detaylı

İşgücü Talebinin Tahmininde Sayısal ve. ve Ayrıntılı Yöntemler. İnsan Kaynakları Planlamasında Sayısal

İşgücü Talebinin Tahmininde Sayısal ve. ve Ayrıntılı Yöntemler. İnsan Kaynakları Planlamasında Sayısal İşgücü Talebinin Tahmininde Sayısal ve Sayısal Yrd. Doç. Dr. Rıza DEMİR İstanbul Üniversitesi İşletme Fakültesi İnsan Kaynakları Planlaması ve Seçimi Dersi 2017 Talep Tahmin i İnsan kaynakları talebi veya

Detaylı

WEB PROJESİ YÖNETİMİ. Belli bir süre içerisinde, belli bir bütçe ile belirlenen hedeflere ulaşmak için uygulanan metodolojik süreçtir.

WEB PROJESİ YÖNETİMİ. Belli bir süre içerisinde, belli bir bütçe ile belirlenen hedeflere ulaşmak için uygulanan metodolojik süreçtir. BÖLÜM 1 1.1 PROJE NEDİR? WEB PROJESİ YÖNETİMİ Belli bir süre içerisinde, belli bir bütçe ile belirlenen hedeflere ulaşmak için uygulanan metodolojik süreçtir. 1.2 PROJELERİN ORTAK UNSURLARI NELERDİR? Başlama

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

DERS TANITIM BİLGİLERİ

DERS TANITIM BİLGİLERİ DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf / Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS Kalite Planlama ve Kontrol ES4136 4/ Bahar (3+0+0) 3 4 Dersin Dili : Türkçe Dersin Seviyesi : Lisans, Zorunlu Dersin Önkoşulu

Detaylı

5.DERS PROJEDE YÜRÜTMENİN PLANLANMASI

5.DERS PROJEDE YÜRÜTMENİN PLANLANMASI 5.DERS PROJEDE YÜRÜTMENİN PLANLANMASI 1 1. PROJENİN PLANLANMASI? Proje planlaması yapılmadan iyi bir proje önerisi hazırlanması mümkün değildir. Bu nedenle planlama ile ilgili sorunları ortaya koymanın

Detaylı

ENDÜSTRİ İŞLETME MÜHENDİSLİĞİ MESLEK DALI ANA KOMİSYONU (EİM MEDAK)

ENDÜSTRİ İŞLETME MÜHENDİSLİĞİ MESLEK DALI ANA KOMİSYONU (EİM MEDAK) İŞLETME MESLEK DALI ANA KOMİSYONU (EİM MEDAK) Endüstri İşletme Mühendisliği Meslek Dalı Ana Komisyonu (EİM MEDAK), TMMOB Makina Mühendisleri Odası nda Endüstri ve İşletme Mühendislerinin (EİM) örgütlenerek

Detaylı

YÖNETİM Sistem Yaklaşımı

YÖNETİM Sistem Yaklaşımı YÖNETİM Sistem Yaklaşımı Prof.Dr.A.Barış BARAZ 1 Modern Yönetim Yaklaşımı Yönetim biliminin geçirdiği aşamalar: v İlk dönem (bilimsel yönetim öncesi dönem). v Klasik Yönetim dönemi (bilimsel yönetim, yönetim

Detaylı

MESLEK TANITIM GÜNLERİ HAZIRLAYAN : İBRAHİM KOYUNCU

MESLEK TANITIM GÜNLERİ HAZIRLAYAN : İBRAHİM KOYUNCU MESLEK TANITIM GÜNLERİ HAZIRLAYAN : İBRAHİM KOYUNCU ASTRONOMİ VE UZAY BİLİMLERİ PUAN TÜRÜ : MF-1 EĞİTİM SÜRESİ : 4 YIL PROGRAMIN İÇERİĞİ : Ağırlıklı olarak Matematik ve Fizik dersleri verilmektedir. Program

Detaylı

Genel Matematik (MATH 103) Ders Detayları

Genel Matematik (MATH 103) Ders Detayları Genel Matematik (MATH 103) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Genel Matematik MATH 103 Güz 3 2 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i - Dersin Dili Dersin

Detaylı

Pazarlama araştırması

Pazarlama araştırması Pazarlama araştırması Etkin bir pazarlama kararı alabilmek için gerekli olan enformasyonun ve bilginin toplanması ve kullanılmasıdır. Bu sayede, pazarla ilgili risk ve belirsizlik azalacak ve başarı artacaktır.

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - II

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - II YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - II Araş. Gör. Murat SARI 1/35 I Giriş Biri diğerini izleyen ve karşılıklı etkileri olan bir dizi kararın bütünüyle ele alındığı problemler için geliştirilen karar modelleri ve bunların

Detaylı

Kompleks Analiz (MATH 346) Ders Detayları

Kompleks Analiz (MATH 346) Ders Detayları Kompleks Analiz (MATH 346) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Kompleks Analiz MATH 346 Güz 4 0 0 4 7 Ön Koşul Ders(ler)i Math 251 Dersin Dili

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI

SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI Sayı ekseni üzerindeki tüm noktalarda değer alabilen değişkenler, sürekli değişkenler olarak tanımlanmaktadır. Bu bölümde, sürekli değişkenlere uygun olasılık dağılımları üzerinde

Detaylı

İŞL 203U YENİLİK YÖNETİMİ

İŞL 203U YENİLİK YÖNETİMİ İŞL 203U YENİLİK YÖNETİMİ KISA ÖZET WWW.KOLAYAOF.COM 1 İÇİNDEKİLER ÜNİTE 1 : Temel Kavramlar..3 ÜNİTE 2:Yenilik Çeşitleri ve Yeniliğin Yayılması..4 ÜNİTE 3:Yeniliğin Teorik Altyapısı, Modern Anlayış ve

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş Dr. Özgür Kabak Doğrusal Olmayan Programlama Eğer bir Matematiksel Programlama modelinin amaç fonksiyonu ve/veya kısıtları doğrusal değil

Detaylı

Gürcan Banger 21 Mayıs 17 Haziran 2012

Gürcan Banger 21 Mayıs 17 Haziran 2012 Gürcan Banger 21 Mayıs 17 Haziran 2012 Üretim Yatırımı Girişim kapsamında hedeflenen ürün veya hizmetlerin üretilmesi için gerekli işletme faaliyetleri planlanmalıdır. Girişimcinin uzmanlığına da bağlı

Detaylı

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.

Detaylı

OYUN TEORİSİ. Özlem AYDIN. Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü

OYUN TEORİSİ. Özlem AYDIN. Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü OYUN TEORİSİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü TANIM ''Oyun Teorisi'', iki yada daha fazla rakibi belirli kurallar altında birleştirerek karşılıklı olarak çelişen olasılıklar

Detaylı

4.1. Gölge Fiyat Kavramı

4.1. Gölge Fiyat Kavramı 4. Gölge Fiyat Kavramı 4.1. Gölge Fiyat Kavramı Gölge fiyatlar doğrusal programlama modellerinde kısıtlarla açıklanan kaynakların bizim için ne kadar değerli olduklarını gösterirler. Şimdi bir örnek üzerinde

Detaylı

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati Kredi AKTS (T+U+L) ŞEBEKE MODELLERİ EN-413 4/I 3+0+0 3 5 Dersin Dili : İngilizce Dersin Seviyesi : Lisans

Detaylı

KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI PROJEYİ HAZIRLAYANLAR BABÜR NEDİM ÇAĞATAY OKUL ADI VE ADRESİ DANIŞMAN ÖĞRETMEN

KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI PROJEYİ HAZIRLAYANLAR BABÜR NEDİM ÇAĞATAY OKUL ADI VE ADRESİ DANIŞMAN ÖĞRETMEN KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI HANGİ ADAYI SEÇELİM? PROJEYİ HAZIRLAYANLAR BABÜR NEDİM ÇAĞATAY OKUL ADI VE ADRESİ ÖZEL KÜLTÜR FEN LİSESİ ATAKÖY 9.-10. KISIM, 34156 BAKIRKÖY - İSTANBUL DANIŞMAN ÖĞRETMEN

Detaylı

Staj II (EE 499) Ders Detayları

Staj II (EE 499) Ders Detayları Staj II (EE 499) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Staj II EE 499 Bahar 0 0 0 0 4 Ön Koşul Ders(ler)i Dersin Dili Dersin Türü Dersin Seviyesi

Detaylı

Yönetim için Sayısal Yöntemler (AVM306) Ders Detayları

Yönetim için Sayısal Yöntemler (AVM306) Ders Detayları Yönetim için Sayısal Yöntemler (AVM306) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Uygulama Laboratuar Kredi AKTS Saati Saati Saati Yönetim için Sayısal Yöntemler AVM306 Bahar 3 0 0 3 6 Ön Koşul Ders(ler)i

Detaylı

Ders Kodu: FIZ 131 Ders Adı: FİZİK I Dersin Dönemi: Güz Dönemi

Ders Kodu: FIZ 131 Ders Adı: FİZİK I Dersin Dönemi: Güz Dönemi Ders Kodu: FIZ 131 Ders Adı: FİZİK I Dersin Dönemi: 2015-2016 Güz Dönemi 1 Orta 2 3 4 5 Bu ders ile ilgili temel kavramları, yasaları ve bunlar 0% 0% 0% 20% 80% arasındaki ilişkileri anladım Kuramsal ve

Detaylı

KAPASİTE KAVRAMI ve KAPASİTE ÇEŞİTLERİ

KAPASİTE KAVRAMI ve KAPASİTE ÇEŞİTLERİ KAPASİTE KAVRAMI ve KAPASİTE ÇEŞİTLERİ Bir işletme için kapasite değerlemesinin önemi büyüktür. Daha başlangıçta kurulacak işletmenin üretim kapasitesinin çok iyi hesaplanması gerekir ve elde edilen verilere

Detaylı

Rassal Modeller (IE 324) Ders Detayları

Rassal Modeller (IE 324) Ders Detayları Rassal Modeller (IE 324) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Rassal Modeller IE 324 Güz 3 0 0 3 3 Ön Koşul Ders(ler)i IE 201 Olasılık ve İstatistik

Detaylı

YÖNETİMDE SİSTEM YAKLAŞIMI

YÖNETİMDE SİSTEM YAKLAŞIMI YÖNETİMDE SİSTEM YAKLAŞIMI Sistem yaklaşımı veya sistem analizi diye adlandırılan bu yaklaşım biyolog olan Ludwig Van Bertalanffy tarafından ortaya atılan ve modern yönetim teorisinin felsefe temelini

Detaylı

T.C. MALTEPE ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK LİSANS PROGRAMI. 2013-14 Güz Yarıyılı. 1 yıl 1. yarıyıl Lisans Zorunlu

T.C. MALTEPE ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK LİSANS PROGRAMI. 2013-14 Güz Yarıyılı. 1 yıl 1. yarıyıl Lisans Zorunlu AKTS Kredisi 5 T.C. MALTEPE ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK LİSANS PROGRAMI Dersin adı: 2013-14 Güz Yarıyılı Genel Matematik I Dersin Kodu emat 151 1 yıl 1. yarıyıl Lisans Zorunlu 3 s/hafta

Detaylı

YÖNT 101 İŞLETMEYE GİRİŞ I

YÖNT 101 İŞLETMEYE GİRİŞ I YÖNT 101 İŞLETMEYE GİRİŞ I 1 İşletme kurma fikriyle birlikte başlayıp, işletmenin kesin olarak kuruluşunun tamamlanmasına kadar sürdürülen çalışma ve araştırmalara işletmelerin kuruluş çalışmaları denmektedir.

Detaylı

İleri Yöneylem Araştırması Uygulamaları Tam Sayılı Programlama

İleri Yöneylem Araştırması Uygulamaları Tam Sayılı Programlama İleri Yöneylem Araştırması Uygulamaları Tam Sayılı Programlama Dr. Özgür Kabak 2016-2017 Güz } Gerçek hayattaki bir çok problem } tam sayılı değişkenlerin ve } doğrusal kısıt ve amaç fonksiyonları ile

Detaylı

TÜRKĠYE YÜKSEKÖĞRETĠM YETERLĠLĠKLER ÇERÇEVESĠ-PROGRAM YETERLĠLĠKLERĠ-TEMEL ALAN YETERLĠLĠKLERĠ ĠLĠġKĠSĠ

TÜRKĠYE YÜKSEKÖĞRETĠM YETERLĠLĠKLER ÇERÇEVESĠ-PROGRAM YETERLĠLĠKLERĠ-TEMEL ALAN YETERLĠLĠKLERĠ ĠLĠġKĠSĠ BECERĠLER BĠLGĠ BĠLGĠ BECERĠLER TÜRKĠYE YÜKSEKÖĞRETĠM YETERLĠLĠKLER ÇERÇEVESĠ--TEMEL ALAN YETERLĠLĠKLERĠ ĠLĠġKĠSĠ (Mimarlık ve Yapı) 1. İlgili alanda insan ve toplum odaklı, çevreye (doğal ve yapılı) duyarlı

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

GÖRSEL PROGRALAMA HAFTA 3 ALGORİTMA VE AKIŞ DİYAGRAMLARI

GÖRSEL PROGRALAMA HAFTA 3 ALGORİTMA VE AKIŞ DİYAGRAMLARI GÖRSEL PROGRALAMA HAFTA 3 ALGORİTMA VE AKIŞ DİYAGRAMLARI DERS İÇERİĞİ Algoritma nedir? Akış Diyagramı nedir? Örnek Uygulama ALGORİTMA Algoritma sözcüğü Ebu Abdullah Muhammed İbn Musa el Harezmi adındaki

Detaylı

DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY)

DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY) DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY) 1 DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA İKİLİK (DUALİTE-DUALITY) Doğrusal programlama modelleri olarak adlandırılır. Aynı modelin değişik bir düzende oluşturulmasıyla Dual (İkilik)

Detaylı

İŞLETME BÖLÜMÜ Bilgi Kılavuzu Ankara

İŞLETME BÖLÜMÜ Bilgi Kılavuzu Ankara UFUK ÜNİVERSİTESİ İKTİSADİ VE İDARİ BİLİMLER FAKÜLTESİ İŞLETME BÖLÜMÜ Bilgi Kılavuzu Ankara PROGRAM AMAÇLARI 1. İşletmecilik alanı ile ilgili temel bir bakış açısı kazanılması. 2. İşletme biliminin temel

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Contents I. KISIM İŞLETMECİLİK İLE İLGİLİ TEMEL BİLGİLER

İÇİNDEKİLER. Contents I. KISIM İŞLETMECİLİK İLE İLGİLİ TEMEL BİLGİLER İÇİNDEKİLER Contents I. KISIM İŞLETMECİLİK İLE İLGİLİ TEMEL BİLGİLER 1.Bölüm: TEMEL İŞLETMECİLİK KAVRAM VE TANIMLARI... 2 Giriş... 3 1.1. Temel Kavramlar ve Tanımlar... 3 1.2. İnsan İhtiyaçları... 8 1.3.

Detaylı

İSTATİSTİK HAFTA. ÖRNEKLEME METOTLARI ve ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN TESPİTİ

İSTATİSTİK HAFTA. ÖRNEKLEME METOTLARI ve ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN TESPİTİ ÖRNEKLEME METOTLARI ve ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN TESPİTİ HEDEFLER Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Örneklemenin niçin ve nasıl yapılacağını öğreneceksiniz. Temel Örnekleme metotlarını öğreneceksiniz. Örneklem

Detaylı

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım 2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI 2.1. Tanım Regresyon analizi, bir değişkenin başka bir veya daha fazla değişkene olan bağımlılığını inceler. Amaç, bağımlı değişkenin kitle ortalamasını, açıklayıcı

Detaylı

Biyomühendislik nedir?

Biyomühendislik nedir? Biyomühendislik nedir? Doç.Dr. Semra HASANÇEBİ Trakya Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi Genetik ve Biyomühendislik Bölümü Biyomühendisliğin tanımı Biyomühendislik = Biological engineering, Biotechnological

Detaylı

ORTAÖĞRETİME ÖĞRETMEN YETİŞTİRMEDE "MESLEK BİLGİSİ" BAKIMINDAN FEN-EDEBİYAT VE EĞİTİM FAKÜLTELERİNİN ETKİLİLİĞİ

ORTAÖĞRETİME ÖĞRETMEN YETİŞTİRMEDE MESLEK BİLGİSİ BAKIMINDAN FEN-EDEBİYAT VE EĞİTİM FAKÜLTELERİNİN ETKİLİLİĞİ ORTAÖĞRETİME ÖĞRETMEN YETİŞTİRMEDE "MESLEK BİLGİSİ" BAKIMINDAN FEN-EDEBİYAT VE EĞİTİM FAKÜLTELERİNİN ETKİLİLİĞİ Prof. Dr. Nuray SENEMOĞLU ve Prof. Dr. Durmuş Ali ÖZÇELİK Eğitim, geçerli öğrenmeleri oluşturma

Detaylı

Duyarlılık Analizi, modelde veri olarak kabul edilmiş parametrelerde meydana gelen değişimlerin optimum çözüme etkisinin incelenmesidir.

Duyarlılık Analizi, modelde veri olarak kabul edilmiş parametrelerde meydana gelen değişimlerin optimum çözüme etkisinin incelenmesidir. ISLE 403 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS IV NOTLAR Bağlayıcı Kısıtlar ve Bağlayıcı Olmayan Kısıtlar: Bağlayıcı Kısıtlar, denklemleri optimum çözüm noktasında kesişen kısıtlardır. Bağlayıcı-Olmayan Kısıtlar,

Detaylı

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Yrd.Doç.Dr.Esra Tunç Görmüş. 1.Hafta

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Yrd.Doç.Dr.Esra Tunç Görmüş. 1.Hafta SAYISAL ÇÖZÜMLEME Yrd.Doç.Dr.Esra Tunç Görmüş 1.Hafta Sayısal çözümleme nümerik analiz nümerik çözümleme, approximate computation mühendislikte sayısal yöntemler Computational mathematics Numerical analysis

Detaylı

EKONOMİST TANIM A- GÖREVLER

EKONOMİST TANIM A- GÖREVLER TANIM Kıt kaynakların insan ihtiyaçlarını en iyi karşılayacak şekilde kullanılması, sınırsız insan ihtiyaçlarından kıt kaynaklarla karşılanacak olanların belirlenmesi, ihtiyaçları karşılayacak mal ve hizmetlerin

Detaylı

DERS BİLGİLERİ. Ders Kodu Yarıyıl T+U Saat Kredi AKTS YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI MAN Ön Koşul Dersleri - Dersin Seviyesi

DERS BİLGİLERİ. Ders Kodu Yarıyıl T+U Saat Kredi AKTS YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI MAN Ön Koşul Dersleri - Dersin Seviyesi DERS BİLGİLERİ Ders Kodu Yarıyıl T+U Saat Kredi AKTS YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI MAN 336 6 3 + 0 3 6 Ön Koşul Dersleri - Dersin Dili Dersin Seviyesi Dersin Türü Almanca Lisans Zorunlu Dersin Koordinatörü Dersi

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

Endüstri Mühendisliği - 1. yarıyıl. Academic and Social Orientation. 441000000001101 Fizik I Physics I 3 0 1 4 4 6 TR

Endüstri Mühendisliği - 1. yarıyıl. Academic and Social Orientation. 441000000001101 Fizik I Physics I 3 0 1 4 4 6 TR - - - - - Bölüm Seçin - - - - - Gönder Endüstri Mühendisliği - 1. yarıyıl 141000000001101 Akademik ve Sosyal Oryantasyon Academic and Social Orientation 1 0 0 1 0 1 TR 441000000001101 Fizik I Physics I

Detaylı

Toplam maliyete/gelire göre yer seçimi Faktör ağırlıklandırma Başabaş noktası analizi Oyun kuramı

Toplam maliyete/gelire göre yer seçimi Faktör ağırlıklandırma Başabaş noktası analizi Oyun kuramı Anadolu Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması 2013-2014 Güz Dönemi Toplam maliyete/gelire göre yer seçimi Faktör ağırlıklandırma Başabaş

Detaylı

6. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN

6. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN 6. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM Yazan SAYIN SAN SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 2 A.5. Doğrusal olmayan fonksiyonların eğimi Doğrusal fonksiyonlarda eğim her noktada sabittir

Detaylı

TARIM EKONOMİSİ ve İŞLETMECİLİĞİ. Dr. Osman Orkan Özer

TARIM EKONOMİSİ ve İŞLETMECİLİĞİ. Dr. Osman Orkan Özer TARIM EKONOMİSİ ve İŞLETMECİLİĞİ Dr. Osman Orkan Özer osman.ozer@adu.edu.tr Ders İçeriği 1. Tarım Ekonomisinin Kapsamı 2. Tarımın Türkiye Ekonomisine Katkısı 3. Tarımsal Üretim Ekonomisi (3. ve 4. hafta)

Detaylı

PROJE YÖNETİM TEKNİKLERİ

PROJE YÖNETİM TEKNİKLERİ PROJE YÖNETİM TEKNİKLERİ PROJE PLANLARININ HAZIRLANMASI Bir projenin başarısı; onu planlarken harcanan çaba, gösterilen özen ve yetenekler oranında gerçekleşecektir. Projeye başlarken öncelikle aşağıdaki

Detaylı

Mikroiktisat Final Sorularý

Mikroiktisat Final Sorularý Mikroiktisat Final Sorularý MERSĐN ÜNĐVERSĐTESĐ ĐKTĐSADĐ VE ĐDARĐ BĐLĐMLER FAKÜLTESĐ MALĐYE VE ĐŞLETME BÖLÜMLERĐ MĐKROĐKTĐSAT FĐNAL SINAVI 10.01.2011 Saat: 13:00 Çoktan Seçmeli Sorular: Sorunun Yanıtı

Detaylı

Lojistikte Karar Yönetimi ve Optimizasyon (LOJ 430) Ders Detayları

Lojistikte Karar Yönetimi ve Optimizasyon (LOJ 430) Ders Detayları Lojistikte Karar Yönetimi ve Optimizasyon (LOJ 430) Ders Detayları Ders Adı Ders Dönemi Ders Uygulama Kodu Saati Saati Laboratuar Kredi AKTS Saati Lojistikte Karar Yönetimi ve Optimizasyon LOJ 430 Her

Detaylı

MRP Nasıl Çalışır, İşin Matematiği Nedir?

MRP Nasıl Çalışır, İşin Matematiği Nedir? www.temelteknoloji.com.tr / MRP Nasıl Çalışır, İşin Matematiği Nedir? MRP Nasıl Çalışır, İşin Matematiği Nedir? Hazırlayan : Cengiz Pak www.temelteknoloji.com.tr / MRP Nasıl Çalışır, İşin Matematiği Nedir?

Detaylı

Bilgisayar Mühendisliği. Bilgisayar Mühendisliğine Giriş 1

Bilgisayar Mühendisliği. Bilgisayar Mühendisliğine Giriş 1 Bilgisayar Mühendisliği Bilgisayar Mühendisliğine Giriş 1 Mühendislik Nedir? Mühendislik, bilim ve matematiğin yararlı cihaz ve sistemlerin üretimine uygulanmasıdır. Örn: Elektrik mühendisleri, elektronik

Detaylı

DENİZ HARP OKULU ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ

DENİZ HARP OKULU ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ DENİZ HARP OKULU ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS YÖNEYLEM ARAŞTIRMA - EN-3 3/ 3+0 3 Dersin Dili : Türkçe Dersin Seviyesi

Detaylı

İŞLETMELERDE İŞ SÜREÇ YÖNETİMİ (BPM) UYGULAMASI. Hazırlayanlar Fatma Didem GÜRKAN Endüstri Mühendisi Ahmet Alper ÇALIŞKAN Endüstri Mühendisi

İŞLETMELERDE İŞ SÜREÇ YÖNETİMİ (BPM) UYGULAMASI. Hazırlayanlar Fatma Didem GÜRKAN Endüstri Mühendisi Ahmet Alper ÇALIŞKAN Endüstri Mühendisi İŞLETMELERDE İŞ SÜREÇ YÖNETİMİ (BPM) UYGULAMASI Hazırlayanlar Fatma Didem GÜRKAN Endüstri Mühendisi Ahmet Alper ÇALIŞKAN Endüstri Mühendisi 4 Haftalık Ajanda 1. Hafta: Örneklerle BPM-ERP İlişkisi 2. Hafta:

Detaylı

Elektronik Harp Sistemlerine Giriş (EE 411) Ders Detayları

Elektronik Harp Sistemlerine Giriş (EE 411) Ders Detayları Elektronik Harp Sistemlerine Giriş (EE 411) Ders Detayları Ders Adı Ders Dönemi Ders Uygulama Laboratuar Kredi AKTS Kodu Saati Saati Saati Elektronik Harp Sistemlerine Giriş EE 411 Her İkisi 3 0 0 3 5

Detaylı

Araştırmada Evren ve Örnekleme

Araştırmada Evren ve Örnekleme 6. Bölüm Araştırmada Evren ve Örnekleme 1 İçerik Örnekleme Teorisinin Temel Kavramları Örnekleme Yapmayı Gerekli Kılan Nedenler Örnekleme Süreci Örnekleme Yöntemleri 2 1 Giriş Araştırma sonuçlarının geçerli,

Detaylı

Hardy Weinberg Kanunu

Hardy Weinberg Kanunu Hardy Weinberg Kanunu Neden populasyonlarla çalışıyoruz? Popülasyonları analiz edebilmenin ilk yolu, genleri sayabilmekten geçer. Bu sayım, çok basit bir matematiksel işleme dayanır: genleri sayıp, tüm

Detaylı

2009 S 4200-1. Değeri zamanın belirli bir anında ölçülen değişkene ne ad verilir? ) Stok değişken B) içsel değişken C) kım değişken D) Dışsal değişken E) Fonksiyonel değişken iktist TEORisi 5. Yatay eksende

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-I

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-I YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-I İST205U KISA ÖZET DİKKAT Burada ilk 4 sahife gösterilmektedir. Özetin tamamı için sipariş veriniz www.kolayaof.com 1 1.ÜNİTE Yöneylem Araştırmasına Giriş GİRİŞ Yöneylem Araştırması

Detaylı

Şehir ve Bölge Planlamada Tasarım Değişkeni Boğuculuk Fonksiyonu için Değişkeleme Önerisi. R. Haluk KUL TC Beykent Üniversitesi, hkul@beykent.edu.

Şehir ve Bölge Planlamada Tasarım Değişkeni Boğuculuk Fonksiyonu için Değişkeleme Önerisi. R. Haluk KUL TC Beykent Üniversitesi, hkul@beykent.edu. Şehir ve Bölge Planlamada Tasarım Değişkeni Boğuculuk Fonksiyonu için Değişkeleme Önerisi R. Haluk KUL TC Beykent Üniversitesi hkul@beykent.edu.tr ÖZET Uydu Kentlerin tasarımında kullanılmak üzere önerilen

Detaylı

Matris Analizi (MATH333) Ders Detayları

Matris Analizi (MATH333) Ders Detayları Matris Analizi (MATH333) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Matris Analizi MATH333 Her İkisi 3 0 0 3 6 Ön Koşul Ders(ler)i Math 231 Linear Algebra

Detaylı

SİSTEM MÜHENDİSLİĞİ DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODEL KURMA ÖRNEKLERİ

SİSTEM MÜHENDİSLİĞİ DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODEL KURMA ÖRNEKLERİ SİSTEM MÜHENDİSLİĞİ DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODEL KURMA ÖRNEKLERİ Örnek (2-5) Güzel-Giyim konfeksiyon piyasaya ceket, etek ve elbise yapmaktadır. Konfeksiyoncu, ceketi, eteği ve elbiseyi kendisinin A1, A2

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Quadratic Programming Bir karesel programlama modeli aşağıdaki gibi tanımlanır. Amaç fonksiyonu: Maks.(veya Min.) z

Detaylı

3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü Primal Simpleks Yöntem

3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü Primal Simpleks Yöntem 3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü 3.2.1. Primal Simpleks Yöntem Grafik çözüm yönteminde gördüğümüz gibi optimal çözüm noktası, her zaman uygun çözüm alanının bir köşe noktası ya da uç noktası

Detaylı

3. TAHMİN En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1

3. TAHMİN En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1 3. TAHMİN 3.1. En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1 En Küçük Kareler (EKK) yöntemi, regresyon çözümlemesinde en yaygın olarak kullanılan, daha sonra ele alınacak bazı varsayımlar altında çok aranan istatistiki

Detaylı

Girişimcilikte Simülasyon: Eğitimcinin Eğitimi

Girişimcilikte Simülasyon: Eğitimcinin Eğitimi Girişimcilikte Simülasyon: Eğitimcinin Eğitimi Giriş Modeller Uygulamalar Risk analizi Olası Analiz Simülasyon Yöntemi Envanter Simülasyonu Bekleme Hatları Avantajlar ve dezavantajlar Referanslar SUNUM

Detaylı

Yöneylem Araştırması I Dersi 2. Çalışma Soruları ve Cevapları/

Yöneylem Araştırması I Dersi 2. Çalışma Soruları ve Cevapları/ Yöneylem Araştırması I Dersi 2. Çalışma Soruları ve Cevapları/25.12.2016 1. Bir deri firması standart tasarımda el yapımı çanta ve bavul üretmektedir. Firma üretmekte olduğu her çanta başına 400TL, her

Detaylı

meydana gelen değişmedir. d. Ek bir işçi çalıştırıldığında sabit maliyetlerde e. Üretim ek bir birim arttığında toplam

meydana gelen değişmedir. d. Ek bir işçi çalıştırıldığında sabit maliyetlerde e. Üretim ek bir birim arttığında toplam A 1. Aşağıda verilen ifadelerden hangisi eş-ürün eğrisi ile ilgili değildir? a. Girdilerin pozitif marjinal fiziki ürüne sahip olması b. Girdilerin azalan marjinal fiziki ürüne sahip olması c. Girdilerin

Detaylı

Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı

Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı Amaç Fonksiyonu Kısıtlar M i 1 N Z j 1 N j 1 a C j x j ij x j B i Karar Değişkenleri x j Pozitiflik Koşulu x j >= 0 Bu formülde kullanılan matematik notasyonların

Detaylı

Güz Dönemi Fizik Bölümü Maddenin Manyetik ve Dielektrik Özellikleri Dersi Çıktılarının Gerçekleşme Derecesi

Güz Dönemi Fizik Bölümü Maddenin Manyetik ve Dielektrik Özellikleri Dersi Çıktılarının Gerçekleşme Derecesi 2015-2016 Güz Dönemi Fizik Bölümü Maddenin Manyetik ve Dielektrik Özellikleri Dersi Çıktılarının Gerçekleşme Derecesi 1 2 Orta 3 4 5 Bu ders ile ilgili temel kavramları, yasaları ve bunlar arasındaki ilişkileri

Detaylı