DAYALI AĞLARIN DENGELENMESİNDE FONKSİYONEL VE STOKASTİK MOD-ELLER

Transkript

1 ÖZET: DAYALI AĞLARIN DENGELENMESİNDE FONKSİYONEL VE STOKASTİK MOD-ELLER Prof. Dr. Ahmet AKSOY İstanbul Teknik Üniversitesi Çok yönlü gereksinmeleri karşılamak üzere kurular, ülke ağlarında nokta belirleme işlemi «büyükten küçüğe» ilkesine göre sürdürül, mektedir. Bir asırlık geçmişi olan bu yöntem günümüzde de geçerliliğini korumaktadır. Ancak üst dereceli noktaların koordinatları hatasız kabul edilerek, bunlara dayalı alt dereceli noktaların hesaplanması, yenileştirilip iyileştirümemiş ülke ağlarında, günün gelişmiş alet ve yöntemleri ile, eski ağların hesaplanmasına esas olan ölçülere göre nokta sıklaştırması ya da ülke ağlarına bağlanması kaçınılmaz hale gelen yerel ağlar için daha presizyonlu yapılan ölçülerin doğruluğu yeni noktaların hesaplanan koordinatlarına gerçekçi bir biçimde yansımadığı gibi, hem dengeleme sonucu ölçüler için bulunan karesel ortalama hata, hem de yeni noktaların varyans - kovaryans matrisleri yanıltıcı çıkmaktadır. Bu sakıncayı ortadan kaldırmak için, yeni noktaların, yeni ölçülerin dengelenmesi sonucu bulunmasında değişik dengeleme yön. temleri tanıtılmaktadır. Eski (ya da bağlantı) noktalarının varyans-kovaryans matrisinin verilmiş olması bu yöntemlerin uygulanmasında ön koşul olmaktadır. 1 GENELDE JEODEZİK AĞLARIN ÖNEMLERİ VE İŞLEVLERİ Yeni yayınlarda özellikle vurgulandığı gibi, jeodezik değerler gelecekte de gerek bilimsel araştırmalarda, gerekse ekonomik ve teknik alanlarda atılan her adımda önemini artırarak koruyacaktır. (K. Rinner 1977, H. Moritz 1981) Bilim yeryüzünün geometrik şekline, gravite alanının yapısına, jeoidin şekline ve bu sayılanların zaman içinde değişimine ilgi duymaktadır. Bunlar, yerin jeolojik yapısına, yer kabuğundaki biçimlenmeye ve global, kıtasal ve yerel sistemlerde geçmişteki ve gelecekteki değişimlere ilişkin önemli bilgi üretmektedir. Bu değişimlerin yan etkileri düşünüldüğünde, bunların mümkün olduğunca kısa sürelerde belirlenmesi büyük önem taşımaktadır. 30

2 Jecdezik verilerin doğruluğu bu değişimlerin saptanması için gerekli zaman aralığını etkilemekte ve bu nedenle bilim çevreleri, adı edilen değişimlerin daha kısa zaman aralıklarında saptanabilmesi ve sağlıklı izlenebilmesi için, jeodezik verilerde doğruluğun artırılması, ölçü ve bunların değerlendirilmesinde geçecek zamanın azaltılmasına ilişkin çalışma ve gelişmeleri büyük bir beklentiyle izlemektedir. Jeodezik veriler diğer taraftan, hem jeodezik alt yapıyı henüz tamamlayamamış gelişmekte olan ülkelerde, hem de mevcut alt yapıyı düzeltme ve geliştirme ihtiyacı duyan gelişmiş ülkelerde ekonomik ve teknik girişimlerde önemli bir rol oynamakta ve bunların yeterli doğrulukta olması istenmektedir. Ekonomik ve teknik girişimlerin insanların beslenmesi, yerleşim ve iş bulma sorunları açısından taşıdığı önem karşısında, birkaç on yılda dünya nüfusunun bugünkünün iki katına çıkacağı dikkate alınırsa, ister gelişmiş, ister gelişmekte olsun tüm ülkelerde bu girişimlerin alt yapısını oluşturacak sağlıklı jeodezik verilerin üretilmesi için acele edilmesi gereği açıktır. Birleşmiş milletler istatistiklerine göre (VVorld Cartography, Voi. XIV. 1976) yer yüzünün kara kesiminin ancak % 40'ında yeterli ya da yüksek doğrulukta jeodejik ağ mevcuttur yılında tüm kara yüzeyinde jeodezik ağların tamamlanabilmesi için bugün % 0.4 olan yıllık üretim hızının 7 katına çıkarılması gerekir. 2/3'ünü oluşturan denizlerde durum daha da elverişsizdir. Buna karşılık denizler ekonomik açıdan gitgide önem kazanmaktadır. Bu önem denizlerin, insanlar için yaşama alanı, gıda ve hammadde rezervleri saklayan alanlar olarak gitgide ön plâna gelmelerinden kaynaklanmaktadır. Bugün ham petrolün 1/5'i denizlerden kazanılmaktadır ve bu oran 2000 yılında 1/2'ye. ulaşacaktır. Deniz tabanlarının yüzeyinde ve altında önemli miktarda magnezyum, bakır, nikel ve kobald madenleri bulunmaktadır. Balıklar ve deniz bitkileri, bugün olduğu gibi gelecekte de insanların beslenmesinde önemlerini artırarak koruyacaktır. Denizlerde jeodezinin işlevi, jeodezik ağlar ile oluşturulacak kontrol noktalarına dahalı olarak topoğrafik haritalar ve mülkiyet durumlarını belirleyen deniz kadastrosunu yapmaktır. Denizleri ve deniz tabanlarını ekonomik açıdan değerlendirmek ancak jeodezik kontrol noktaları ve haritalar yardımı ile sağlanabilir. Ayrıca jeodezik veriler navigosyon ve özel oşinografik incelemeler için de alt yapı oluşturur. Deniz dibi depremleri için ikaz sistemlerinin tesis edilmeleri yine jeodezik çalışmaları gerektirmektedir. (K. Rinner 1977) 31

3 Bu ekonomik ve bilimsel açıdan önemi gitgide artan alanda henüz sistematik bir biçimde oluşturulmuş kontrol noktalan ve birbirine bağlanmış jeodejik ağlar yoktur. Denizlerin ancak % 5'inde 1/ ölçekli harita mevcuttur ve bu naritaların % 50'sinin 2000 yılına kadar tamamlanabilmesi için bugün % 0.1 olan yıllık harita yapımı hızının 38 kat artırılması gerekmektedir. Bilimsel ve teknik gereksinmelerden doğan jeodezik verilerin karşılanabilmesi için kara jeodezisi ve deniz jeodezisinde yeni yöntemler geliştirilip uygulamaya sokulmalı ve bu amaçla jeodezik araştırmalar yoğunlaştırılmalı, uygulama ve araştırmalar için daha çok malî olanak ve linsan gücü sağlanmalıdır. Jeodezik sorunlara, genelde ülke sınırlarını aşan boyutlarda ele alınarak çözüm bulunabileceği için her ülke kendi gereksinmelerini karşılamak üzere jeodezik faaliyetleri yoğunlaştırmanın yanında, global jeodezik parametrelerin belirlenmesinde uluslararası projeler çerçevesinde işbirliği yapmak, bu amaç için jeodezik, astronomik ve gravimetrik ölçülerini hızlandırmak, bu ölçüleri yerden uydulara ve uydulardan yer noktalarına da sürdürmek için özel jeodezik istasyonlar kurmak ve bu jeo-istasyonlarımn maksimum doğruluklu yersel ağlarla bağlantılarını sağlamak durumundadır. Jeodezik alt yapı durumu, gelişmiş ülkelerle gelişmekte olan ülkelerde farklılıklar gösterir. Henüz ülke ağlarını kuramamış ülkelerde, ekonomik, teknik ve idarî gereksinmeleri karşılayacak jeodezik çalışmalar için dayanak olmak üzere, kendi içinde kontrollü noktalar ağının kurulması ivedilik taşır. Jeodezik çalışmalarda ileri ülkeler, genelde ekonomik, teknolojik ve idarî hizmetler için yatay konum, yükseklik ve gravite değerleri yönünden çoğu durumda istekleri karşılayacak ölçüde yeterli olan kontrol noktalarını üretegelmektedirler. Bu ülkelerdeki jeodezik alt yapı faaliyetleri, mevcut ülke ağlarında yeterli görülmeyen doğruluğu artırmak ve ülke ağlarını yeterli doğrulukta sıklaştırmak, pratik gereksinmeler yanında, yeryüzünün dinamik ve tektonik davranışını saptamak üzere çok presizyonltı kontrol noktaları oluşturmayı sürdürmektedirler. Gerek mevcut ağların iyileştirilmesinde ve gerekse ülke sınırlarını aşan boyutlarda jeodinamik sorunların çözümünde uzay tekniği gün geçtikçe gelişerek uygulamaya sokulmakta, bir taraftan mevcut ulusal ağlar, 0. derece olarak adlandırılan kıtasal ya da global 32

4 uydu ağıyla iyileştirilmeye çalışılmakta, diğer taraftan ülke ağlan uydu ağlarını iyileştirmek üzere kullanılmaktadır. Genelde iyileştirmeyi sağlaması düşünülen verilerin, iyileştirilecek değerlerden daha presizyonlu olması halinde iyileştirme işlemi bir anlam taşır Bu nedenle her iki ağın hata yapısını iyi bilmek ve dengeleme işlemlerinde bu yapıyı dikkate almak gerekir. Benzer durum, ülke ağlarının yersel ölçülere dayalı olarak sıklaştırılmaları ya da yerel ağların ülke ağına bağlanmasında söz konusudur. Bir asır önceleri jeodezik ağların kurulmasında «büyük dereceden küçük dereceye» prensibi tartışmasız kabul ediliyor, 1. dereceden ana ağı sıra ile 2., 3., 4., dereceden ağlar izliyor, bunların doğruluğu da bu sırada geliyordu. Bu kabulde alt derecedeki noktaların bir üst dereceye bağlanmasında üst derece noktalan hatasız alınıyordu. Henüz uygulamadan kalkmamış olan bu yöntemin o zamanlar için başta gelen nedenü, büyük alanları kaplayan ağların, bilgisayar' devrinden önce, hesaplanması esnasında fonksiyonel ve stokastik modellerin gerçekçi bir yaklaşımla alınması halinde gelecek hesap yükünün altından kalkılamayacak boyutlarda olması idi. Halbuki daha o zamanlar bile birbirine yakın noktalar arasında refraksiyondan az etkilenmeleri nedeni lile daha presizyonlu yapılabilecek ölçülere dayalı olarak, uzak noktaların birbirlerine göre durumlarının bu noktalar arasında yapılacak ölçülerle elde edilmelerine kıyasla daha presizyonlu belirlenip belirlenemeyeceği sorunu tartışılmakta idi. Bugün artık alt dereceli noktalar arasında yapılan presizyonlu ölçülerin üst dereceli noktaların presizyonunu olumlu yönde etkileyeceği teorik ve uygulamalı olarak kanıtlanmıştır. Bunun için koşul, bu ölçülerin sistematik hatalardan iyice arındırılmış olması, yani bunların stokastik modelinin gerçekçi bir yaklaşımla tahmin edilebilmiş olmasıdır. Bu durum ulusal ağların derecelendirilmesinin bugünkü hesaplama olanaklarının gelişmişliği karşısında gereksiz hale geldiğini akla getirebilir. Teorik olarak gerçekten de ölçülerde meteorolojik koşulların özellikle elektronik uzaklık ölçülerinde gerçekçi bir biçimde saptanarak sistematik hataların elimine edilebildiği mesafelerdeki noktalardan oluşan ve bir ülke yüzeyini kaplayan tek dereceli bir temel noktalar ağı en uygun çözüm olarak gözükmektedir. Bu ağın altındaki kademe, detay alımı için düğüm noktalı poligon ağı olabilir. Ancak on binlerce noktadan oluşacak böyle bir ağın kısa zamanda oluşturulup ölçülmesi ve bilgisayar olanaklarına rağmen, hesaplana- 33

5 bilmesindeki güçlük bir yana, ölçülerde tüm çabalara rağmen kalıntı sistematik hataların, hata yayılma yasasına göre yanıltıcı sonuçlara götürmesi ve herşeyden önce böyle bir ağ kısa sürede gerçekleştirilemeyeceği için, hizmetlerin aksamasına neden olunacağı gerekçeleri büyük dereceden küçük dereceye prensiibini canlı tutmaktadır. Ayrıca uzay tekniğinin ulusal ağların iyileştirilmesinde kullanılabileceği düşüncesi de başlıbaşına jeodezik ağlarda büyükten küçüğe derecelendirme ilkesini zorunlu kılmaktadır. Kaldı ki henüz ülke ağlarını kurmamış ülkelerde de 0. dereceden uzak ağı temel ağ olarak önerilmekte, bu ağın yersel ölçülerle alt kademede noktalarla sıklaştıru labileceği düşünülmektedir. 2 ÜLKE TEMEL ÂĞININ ALT DERECELİ NOKTALARLA SIKLAŞ- TIRILMASI VEYA YEREL AĞLARIN ÜLKE AĞINA BAĞLANMA- SINDA YENİ YÖNTEMLER Ülke ağının derecelendirilmesinde eskiden uygulanan yöntem, 1. derece ve bunlara dayalı olarak kısmî bir yüzey ağı oluşturan ölçülerin birlikte dengelendiği ikinci derece ağ noktalarına bağlı olarak, ikinci ve daha alt kademelerdeki noktaların tek nokta dengelemesi yolu ile, üst kademedeki noktaların hatasız oldukları varsayımı ile, teker teker belirlenmesi yöntemi idi. Türkiye'de hâlâ uygulanan bu yöntem, bilgisayar olanaklarının devreye sokulmasından sonra artık tamamen terkedilmiştir. Bugün alt kademedeki noktalarla da bir yerel yüzey ağı oluşturularak ölçülerin birlikte dengelenmesi ile, üst dereceli noktalara bağlanmaktadır. Eskimiş diğer bir sistem ülke ağı dışındaki yerel ağlar sistemidir. Çok özel amaçlı ağlar dışında çok yönlü hizmetlere yönelik yerel ağlar geçerliliğini artık Türkiye'de de yitirmiştir. Yerel ağların doğurduğu sorunlar ve hizmet aksatıcı dar boğazlar özellikle uygulamada görev almış meslektaşları-rnızca çok iyi bilinmektedir. Bu yüzden jeodejik çalışmaların tek bir sistemde, ülke ağı sisteminde yürütülmesi ve bunun için alt kademedeki sıklaştırma noktalarının yeterli doğrulukta üretilmesi ve mevcut yerel ağların ülke ağı sistemine bağlanması Türkiyede jeodezinin güncel sorunlarının başında gelmektedir. Ülke ağı sisteminde sıklaştırma işlemlerinde izlenen klâsik yöntem, yukarıda da değinildiği gibi daha önce hesaplanan üst dereceli nokta değerlerinin alt dereceler için hatasız oldukları kabulüdür. Üst derecelere ilişkin değerlerin, alt dereceli noktaların belirlenmesini sağlayacak ölçülerin doğruluğuna kıyasla, gerçekten çok presizyon- 34

6 lu elde edilmiş olması halinde bu uygulamada önemîi bir sorun yok. tur ve bir hassasiyet kaybı söz konusu olmayacaktır. Bu durum ancak yeni teorik esaslara, yöntemlere göre ve ölçülerde ulaşılabilen, örneğin uzaklıklarda 1 mm/km gibi, doğrulukların sağlandığı ölçülerle iyileştirilmiş ülke ağlarında söz konusu olabilir. Halbuki ülke ağlarının çoğu, Türkiye'de olduğu gibi jeodezik ağlarda bugün ulaşılabilen doğruluğa kıyasla henüz jyileşîirilmemiş eski ağlardır ve iyileştirilmeleri belli bir zaman içinde sağlanabilecektir. Diğer taraftan alt dereceli noktaların belirlenmesi (nokta sıklaştırması ya da yerel ağların ülke ağlarına bağlanması) için, üst dereceli noktaların doğruluğuna kıyasla çok daha presizyonlu sonuç verecek ölçü ve hesap yöntemleri ve olanakları uygulamaya başarı ile sokulmuştur. Bu durumda üst dereceli noktaların hatasız alınması, diğer bir deyişle, alt dereceli noktaların belirlenmesi için yapılan dengelemede, fonksiyonel ve stokastik modellerin gerçekçi olmaması, hem ölçülerin dengeleme sonu doğruluğunu yanıltmakta, hem de belirlenen noktaların doğruluğunu yapay olarak olumsuz etkilemekte ve yanıltıcı olarak vermektedir. Bu nedenlerle alt derece noktalarını belirlemek için yapılan ölçülerin, bu noktaların koordinatlarına ve bunların varyans-kovaryans matrisine, doğruluklarına uygun olarak yansıyabilmesi için değişik dengeleme yöntemleri önerilmektedir. Nokta sıklaştırması veya yerel ağların ülke ağına bağlanmasında en gerçekçi ve teorik olarak en doğru yol, üst dereceli noktaların belirlenmesini sağlayan eski ölçülerle, alt derecede yeni noktaların belirlenmesi için yapılan ölçülerin tümden ve yeniden dengelenmesidir. Böyle bir uygulamanın, getireceği hesap yükü yanında, arşivleme ve organizasyon güçlükleni ve her sıklaştırma işleminde tüm nokta koordinatları değişeceği için, bu durumun uygulamaya getireceği güçlükler, bu yöntemi şimdilik uygulanabilir olmaktan uzaklaştırmaktadır. Halbuki bütün ölçüler her sıklaştırmada tekrar tümden dengelense bile, eski noktalardaki koordinat ve varyans-kovaryans değerlerindeki değişim, yeni noktalan belirlemek için yapılan ölçülerle doğrudan ilişkili eski noktalarda en büyük olup, bu noktalardan ve sıklaştırma bölgesinden uzaklaşıldıkça azalacaktır. Bu durum tümden dengelemeyle elde edilecek sonuçlara yeterli derecede yaklaşan değerlere ulaşmayı sağlayan yaklaşık yöntemleri gündeme getirmiştir. 35

7 Sorunun çözümü için şu yöntemler sayılabilir. a) Üst dereceli bağlantı noktalarının hatasız alınması : Bu yöntemde fonksiyonel model, bağlantı noktalarının koordinatlarının değişmez olduğu varsayımı ile yeni ölçüler arasında kurulan şart denklemleri ya da dolaylı ölçüler dengelemesine göre kurulacak düzeltme denklemleridir. Stokastik model ise, ölçülerin dengeleme öncesi tahmin edilen ağırlık matrisidir. Bilindiği gibi bu matris korelasyonlu ölçülerde dolu matris, bağımsız ölçülerde köşegen matris, bağımsız eş ağırlıklı ölçülerde ise birim matris olmaktadır. Bu yöntem uzun süreden beri uygulanan yöntemdir ve artık geçerliliğini yitirmiş gözüyle bakılmaktadır. b) Üst dereceli bağlantı noktalarının koordinatları sabit tutul makla birlikte bunların varyans-kovaryans matrisleri, yeni noktaların yeni ölçülerle belirlenmesi için yapılan dengelemede, stokastik mo delde dikkate alınmaktadır. Bu yöntemle, eski noktaların koordinat ları değişmemekle birlikte, yeni noktalar için dengeleme sonrası bu lunan ağırlık katsayıları matrisi, eski ve yeni ölçülerin tümden denge lenmesi sonucu bu noktalar için bulunacak ağırlık katsayıları matri sine eşit çıkmaktadır. (W. VVelsch, R. Kelm 1980) Örneğin Şekil 1'deki ağda, A 3, A 4ı A 5, A^, noktaları verilen üst dereceli bağlantı noktaları, N2, N 7 N 8 noktaları yeni noktalar olmak üzere : 36

8 37

9 38

10 Olur, Burada O verilen nokta koordinatlarının ağırlık katsayılar.>., "XX n matrisi, Q LL ise (8) eşitliğinde kenar ölçüleri tüm doğrultu açılarından sonra gelecek şekilde bir düzenleme yapılır ve bu düzen (9)*da _B_ matrisinde de dikkate alınırsa!: olmak üzere doğrultu açıları ve kenar ölçülerinin ağırlık katsayıları matrisidir. Burada İTİ! üst dereceli noktaların elde edilmesinde dengeleme sonucu bulunan, birim ölçünün karesel ortalama hatası, m o ise yeni ölçülerin ağırlık katsayıları matrisini hesaplamak için keyfî alınan, örneğin doğrultu açıları için dengeleme öncesi tahmin edilen, birim ölçünün karesel ortalama hatasıdır. Bu durumda (5) ve (9) ile normal denklemler. c) Bu öneride yeni noktaların belirlenmesi ile doğrudan bağlantılı eski noktalarla yeni noktalar, yeni ölçülerin serbest dengelenmesi ile bağımsız bir sistemde belirlenmekte, sonra; da yeni noktalarla bağlantılı ve bağlantısız olup yakınında bulunan, eski noktaların koordinatları korelasyonlu ölçüler olarak alınıp serbest dengeleme ile bulunan bağlantılı eski nokta koordinatları her iki sistemde getirilecek düzeltmelerle aynı değeri verecek şekilde ikinci bir dengeleme ile iki sistem birleştirilmektedir. (H. Pelzer 1980) Örneğin şekil l'de, A 3, A 4, A 5, A 6 ve N*, N 7, N' 8 noktalarından oluşan ağ, tüm nokta koordinatları bilinmeyen alınarak, dolaylı ölçüler dengelemesine göre dengelemede, normal denklem katsayılar matrisi N tekil olacağından, E birim matris olmak üzere : 39

11 40

12 ve varyans - kovaryans matrisleri : olur. (15) ve (16) koordinatları korelasyonlu ölçüler olarak dengelemeye sokulursa, bulunacak düzeltmelerin ayrıca. koşulunu da sağlaması istenmektedir. Burada b_ vektörü, düzeltmelerin yanında koşullu dengelemede bir bilinmeyen olarak dengeleme içinde hesaplanacaktır. (Bilinmeyenli koşullu ölçüler dengelemesi, (E. Ulsoy 1980)) H. Pelzer ayrıca bağlantılı eski noktalardan bir S uzaklığı seçerek, Pj ve P k noktaları arasındaki uzaklık & ik olmak üzere, verilen noktaların ağırlık katsayılarındaki karışık terimler için : ileri sür- yaklaşık değerlerle yeterli yaklaşımın sağlanabileceğini mektedir. d) Nokta sıklaştırması ve yerel ağların ülke ağına bağlanmasında önerilen diğer bir yöntem, yeni noktaların belirlenmesinde doğrudan kullanılan eski bağlantı noktalarının civardaki yeni ölçülerle birlikte, korelasyonlu ölçüler olarak dengelemeye sokulmalıdır. (H. IWolf 1979, W Höpke 1980). Bu durumda dengelemede koordinat bilinmeyenleri, örneğin Şekil Ye göre. 41

13 42

14 43