1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR, KÜMELERDE İŞLEMLER BÖLÜM: KARTEZYEN ÇARPIM, KÜME PROBLEMLERİ BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR...

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR, KÜMELERDE İŞLEMLER BÖLÜM: KARTEZYEN ÇARPIM, KÜME PROBLEMLERİ BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR..."

Transkript

1 İçindekiler 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KVRMLR, KÜMELERDE İŞLEMLER KÜMELERDE TEMEL KVRMLR B. SONLU, SONSUZ VE BOŞ KÜME C. KÜMELERİN EŞİTLİĞİ D. LT KÜME, ÖZ LT KÜME E. KÜMELERDE İŞLEMLER...17 F. EVRENSEL KÜME...21 G. KÜMELERDE FRK...24 Ölçme ve Değerlendirme...27 Kazanım Değerlendirme Testleri BÖLÜM: KRTEZYEN ÇRPIM, KÜME PROBLEMLERİ SIRLI İKİLİ B. İKİ KÜMENİN KRTEZYEN ÇRPIMI C. KÜME PROBLEMLERİ Ölçme ve Değerlendirme...51 Kazanım Değerlendirme Testleri BÖLÜM: GERÇEK SYILR Ölçme ve Değerlendirme...67 Kazanım Değerlendirme Testleri BÖLÜM: BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER GERÇEK SYILRD SIRLM B. EŞİTSİZLİĞİN ÖZELLİKLERİ C. GERÇEK SYILRD RLIK D. BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER E. BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER Ölçme ve Değerlendirme...81 Kazanım Değerlendirme Testleri BÖLÜM: MUTLK DEĞER MUTLK DEĞER Ölçme ve Değerlendirme...99 Kazanım Değerlendirme Testleri BÖLÜM: BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER ve EŞİZSİZLİKLER BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER B. BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMLERİ C. BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜM KÜMESİNİN BULUNMSI D. BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER Ölçme ve Değerlendirme Kazanım Değerlendirme Testleri

2 İçindekiler 7. BÖLÜM: ÜSTLÜ İFDELER ÜSTLÜ İFDELER B. ÜSTLÜ İFDELERİN EŞİTLİĞİ Ölçme ve Değerlendirme Kazanım Değerlendirme Testleri BÖLÜM: KÖKLÜ İFDELER KREKÖKLÜ SYILR B. GERÇEK SYILRIN RSYONEL KUVVETİ Ölçme ve Değerlendirme Kazanım Değerlendirme Testleri BÖLÜM: ORN - ORNTI ORN - ORNTI B. ST PROBLEMLERİ C. ORTLMLR Ölçme ve Değerlendirme Kazanım Değerlendirme Testleri BÖLÜM: SYI PROBLEMLERİ SYI PROBLEMLERİ Ölçme ve Değerlendirme Kazanım Değerlendirme Testleri BÖLÜM: KESİR PROBLEMLERİ KESİR PROBLEMLERİ Ölçme ve Değerlendirme Kazanım Değerlendirme Testleri BÖLÜM: YŞ PROBLEMLERİ YŞ PROBLEMLERİ Ölçme ve Değerlendirme Kazanım Değerlendirme Testleri BÖLÜM: YÜZDE, KRIŞIM ve FİZ PROBLEMLERİ YÜZDE PROBLEMLERİ B. KRIŞIM PROBLEMLERİ C. FİZ PROBLEMLERİ Ölçme ve Değerlendirme Kazanım Değerlendirme Testleri BÖLÜM: İŞÇİ - HVUZ PROBLEMLERİ İŞÇİ - HVUZ PROBLEMLERİ Ölçme ve Değerlendirme Kazanım Değerlendirme Testleri

3 İçindekiler 15. BÖLÜM: HREKET PROBLEMLERİ HREKET PROBLEMLERİ Ölçme ve Değerlendirme Kazanım Değerlendirme Testleri BÖLÜM: FONKSİYONLR TNIM B. FONKSİYONUN TNIM, DEĞER ve GÖRÜNTÜ KÜMESİ Ölçme ve Değerlendirme Kazanım Değerlendirme Testleri BÖLÜM: FONKSİYON ÇEŞİTLERİ Ölçme ve Değerlendirme Kazanım Değerlendirme Testleri BÖLÜM: FONKSİYON GRFİKLERİ ve GRFİKLERDE İŞLEMLER FONKSİYONUN GRFİĞİ B. PRÇLI FONKSİYONLR Ölçme ve Değerlendirme Kazanım Değerlendirme Testleri BÖLÜM: ÜÇGENDE ÇILR ÇILR ÜÇGENLER ÜÇGEN ÇEŞİTLERİ B. ÜÇGENİN YRDIMCI ELEMNLRI C. ÜÇGENDE ÇILR Ölçme ve Değerlendirme Kazanım Değerlendirme Testleri BÖLÜM: ÜÇGENLERİN EŞLİĞİ ÜÇGENLERDE EŞLİK B. ÜÇGENDE EŞLİK TEOREMLERİ C. ÜÇGENLERDE EŞLİK UYGULMLRI Ölçme ve Değerlendirme Kazanım Değerlendirme Testleri

4 İçindekiler 21. BÖLÜM: ÖZEL ÜÇGENLER DİK ÜÇGEN B. İKİZKENR ÜÇGEN C. EŞKENR ÜÇGEN Ölçme ve Değerlendirme Kazanım Değerlendirme Testleri BÖLÜM: ÜÇGENDE ÇI KENR BĞINTILRI ÜÇGENİN KENRLRI VE ÇILRI RSINDKİ İLİŞKİLER Ölçme ve Değerlendirme Kazanım Değerlendirme Testleri BÖLÜM: ÜÇGENLERİN BENZERLİĞİ ÜÇGENDE BENZERLİK B. DİK ÜÇGENDE METRİK BĞINTILR Ölçme ve Değerlendirme Kazanım Değerlendirme Testleri BÖLÜM: ÜÇGENDE ÇIORTY ÇIORTY B. ÜÇGENDE ÇIORTY BĞINTILRI C. ÇIORTYLRIN KESİM NOKTLRI Ölçme ve Değerlendirme Kazanım Değerlendirme Testleri BÖLÜM: ÜÇGENDE KENRORTY KENRORTY B. KENRORTYLRIN KESİŞİM NOKTSI Ölçme ve Değerlendirme Kazanım Değerlendirme Testleri BÖLÜM: ÜÇGENDE KENR ORT DİKME VE YÜKSEKLİK ÜÇGENDE KENR ORT DİKME B. ÜÇGENDE YÜKSEKLİK Ölçme ve Değerlendirme Kazanım Değerlendirme Testleri BÖLÜM: TRİGONOMETRİK ORNLR VE KOSİNÜS TEOREMİ ÇI ÖLÇÜ BİRİMLERİ B. TRİGONOMETRİK ORNLR C. KOSİNÜS TEOREMİ Ölçme ve Değerlendirme Kazanım Değerlendirme Testleri

5 İçindekiler 28. BÖLÜM: ÜÇGENİN LNI BİR KENRI VE YÜKSEKLİĞİ BİLİNEN ÜÇGENİN LNI B. ÜÇ KENRI BİLİNEN ÜÇGENİN LNI C. İKİ KENRI VE BU KENRLR RSINDKİ ÇININ SİNÜSÜ BİLİNEN ÜÇGENİN LNI D. İÇ TEĞET ÇEMBERİNİN YRIÇPI VE ÇEVRESİ BİLİNEN ÜÇGENİN LNI E. KENRORTY VE ÜÇGENİN LNI F. BENZER ÜÇGENLERDE LNLR ORNI G. ÜÇGENDE SİNÜS TEOREMİ Ölçme ve Değerlendirme Kazanım Değerlendirme Testleri BÖLÜM: VEKTÖR KVRMI VE VEKTÖRLERLE İŞLEMLER YÖNLÜ DOĞRU PRÇLRI B. VEKTÖR KVRMI C. VEKTÖRLERDE TOPLM İŞLEMİ D. BİR VEKTÖRÜ BİR REEL SYI İLE ÇRPM (SKLER ÇRPM) Ölçme ve Değerlendirme Kazanım Değerlendirme Testleri BÖLÜM: GRFİKLER, MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ İSTTİSTİK B. GRFİK C. MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ (Ortalamalar) Ölçme ve Değerlendirme Kazanım Değerlendirme Testleri BÖLÜM: MERKEZİ YYILIM ÖLÇÜLERİ, SERPİLME VE KUTU GRFİĞİ MERKEZİ YYILIM ÖLÇÜLERİ B. SERPİLME GRFİĞİ C. KUTU GRFİĞİ Ölçme ve Değerlendirme Kazanım Değerlendirme Testleri BÖLÜM: VERİ SYM ve OLSILIK TEMEL KVRMLR B. OLSILIK FONKSİYONU C. EŞ OLUMLU ÖRNEKLEM UZY Ölçme ve Değerlendirme Kazanım Değerlendirme Testleri CEVP NHTRI

6 BÖLÜM 1 KÜMELERDE TEMEL KVRMLR, KÜMELERDE İŞLEMLER. KÜMELERDE TEMEL KVRMLR Kazanım Bu bölümü bitirdiğimde; Ü küme kavramını ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimleri Ü evrensel küme, boş küme, sonlu küme ve sonsuz küme kavramlarını, Ü alt küme kavramını ve özelliklerini, Ü iki kümenin eşitliğini, Ü kümelerde birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemlerini yapmayı ve bu işlemler arasındaki ilişkileri ifade etmeyi öğreneceğim. 3. Kümelerin Gösterimi Herhangi bir küme; liste yöntemi, şema yöntemi ve ortak özellik yöntemi olmak üzere üç değişik şekilde gösterilir. a. Liste Yöntemi Kümenin elemanlarının, { } biçimindeki bir parantez içine sıra gözetilmeksizin, birbirinden virgülle ayrılarak yazılmasına liste yöntemiyle gösterme denir. Örneğin, haftanın c ile başlayan günleri kümesi ile isimlendirilirse bu küme liste yöntemiyle = {cuma, cumartesi} olur. nahtar Bilgi Ü Bir kümede her eleman yalnız bir defa yazılır. 1. Küme Kavramı Küme, elemanları iyi tanımlanmış nesneler topluluğudur. Kümenin belirlenebilmesi için elemanlarının iyi tanımlanmış olması ve herkes tarafından aynı şekilde anlaşılması gerekir. Örneğin, sınıfımızdaki bazı öğrenciler ifadesi iyi tanımlanmamış olduğundan bir küme belirtmez. Sınıfımızdaki ismi ile başlayan öğrenciler ifadesi iyi tanımlanmış olduğundan bir küme belirtir. Örneğin, İZMİR sözcüğünün harfleri kümesi liste yöntemiyle = {İ, Z, M, R} şeklinde yazılır. Ü Liste yönteminde elemanların kendi aralarında sıralanması önemli değildir. Örneğin, 123 sayısının rakamları kümesi liste yöntemiyle, = {1, 2, 3} veya = {2, 3, 1} şeklinde gösterilir. 2. Eleman Kavramı, Eleman Sayısı Bir kümeyi oluşturan nesnelerin her birine o kümenin elemanı denir. Kümeler genellikle, B, C gibi büyük harflerle isimlendirilir. Bir x elemanı kümesinin elemanı ise bunu x biçiminde yazar ve x elemanıdır diye okuruz. Bir x elemanı kümesinin elemanı değilse bunu x biçiminde yazar ve x elemanı değildir diye okuruz. kümesinin elemanlarının sayısı s() ile gösterilir. Örnek 1 Onluk sistemdeki rakamların kümesini ile isimlendirip liste yöntemiyle yazalım ve eleman sayısını bulalım. Onluk sistemde rakamlar; 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 olduğundan, = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} olur. Buna göre, kümesinin eleman sayısı s() = 10 dur Ünite : Kümeler / Kümelerde Temel Kavramlar, lt Küme

7 Sıra Sizde - 1 Yılın m ile başlayan ayları kümesini ile isimlendirip liste yöntemiyle yazınız. Eleman sayısını bulunuz. kümesi, şemalarından herhangi biri ile gösterilebilir. Örnek 2 kümesinin eleman sayısı s() = 4 olur. MRMR sözcüğünün harflerinden oluşan kümeyi T ile isimlendirip liste yöntemiyle yazalım. Bu kümenin eleman sayısını bulalım. Bir kümede her eleman bir defa yazıldığından dolayı T kümesinin liste yöntemiyle yazılışı T = {M,, R} olur. Buna göre, T kümesinin eleman sayısı s(t) = 3 tür. Sıra Sizde - 3 = {1, 2, 3, 4} kümesini şema yöntemi ile gösteriniz. kümesinin eleman sayısını bulunuz. Sıra Sizde - 2 ÇERÇEVE sözcüğünün harflerinden oluşan kümeyi D ile gösterip liste yöntemiyle yazınız. Bu kümenin eleman sayısını bulunuz. c. Ortak Özellik Yöntemi Kümenin elemanlarının ortak özellikleri belirtilerek gösterimine ortak özellik yöntemi denir. kümesi bu yöntemle, = {x :...} veya = {x...} şeklinde gösterilir. x : ifadesi x öyleki biçiminde okunur. b. Şema Yöntemi Kümeyi oluşturan nesnelerin kapalı bir eğri içine, önüne konularak yazılmasına Venn diagramı yöntemi denir. Eğri; elips, çember, dikdörtgen gibi herhangi bir şekilde olabilir. Örnek 4 = {0, 1, 2, 3} kümesini ortak özellik yöntemi ile gösterelim. nın eleman sayısını bulalım. Örnek 3 = {0, 1, 2, 3} kümesini şema yöntemi ile gösterelim. kümesinin eleman sayısını bulalım. kümesi 4 ten küçük doğal sayıların kümesi olduğundan = {x : x < 4, x N} şeklinde yazılır. kümesi = {x : 0 x 3, x N} şeklinde de gösterilebilir. kümesinin eleman sayısı s() = 4 tür. 1. Ünite : Kümeler / Kümelerde Temel Kavramlar, lt Küme 11

8 nahtar Bilgi Bir küme ortak özellik yöntemiyle birden fazla yolla yazılabilir. Örneğin, = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {x : 1< x < 3, x Z} kümeleri için s() = 5 ve s(b) = 3 tür. Bu kümelerin eleman sayıları doğal sayı ile ifade edilebildiği için bu kümeleri sonlu kümedir. Sıra Sizde - 4 = {1, 2, 3, 4} kümesini ortak özellik yöntemi ile yazınız. nın eleman sayısını bulunuz. Örnek 6 Örnek 5 = {x : x 2 < 30, x N} kümesini liste yöntemi ile yazıp eleman sayısını bulalım. şağıdaki kümelerin sonlu küme olup olmadığını belirtelim. a. = {x x < 2, x N} b. B = {2334 sayısının rakamları} c. C = {x 0 < x < 30, x N} x N olmak üzere, x 2 < 30 ifadesi karesi 30 dan küçük olan doğal sayılar demektir. Karesi 30 dan küçük olan doğal sayılar; 0, 1, 2, 3, 4 ve 5 tir. kümesinin liste yöntemi ile yazılışı, = {0, 1, 2, 3, 4, 5} olur. kümesinin eleman sayısı s() = 6 dır. Sıra Sizde - 5 a. kümesi 2 den küçük doğal sayılar olan 0 ve 1 elemanlarından oluşmaktadır. kümesinin eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilebilir. Öyleyse, kümesi sonlu kümedir. b. B kümesi 2, 3 ve 4 rakamlarından oluşmaktadır. B kümesinin eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilebilir. Öyleyse, B kümesi sonlu kümedir. c. C kümesi 1 den 29 a kadar olan doğal sayılardan oluşmaktadır. C kümesinin eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilebilir. Öyleyse, C kümesi sonlu kümedir. = {x : x 2 < 23, x N} kümesini liste yöntemi ile yazıp eleman sayısını bulunuz. B. SONLU, SONSUZ VE BOŞ KÜME 1. Sonlu Küme Eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilebilen kümeye sonlu küme denir. Sıra Sizde - 6 şağıdaki kümelerin sonlu küme olup olmadığını belirtiniz. a. = {x x < 3, x N} b. B = {12344 sayısının rakamları} c. C = {x 0 < x < 22, x N} Ünite : Kümeler / Kümelerde Temel Kavramlar, lt Küme

9 2. Sonsuz Küme Eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilemeyen kümeye sonsuz küme denir. Örneğin, = {1, 2, 3,..., n,...}, kümesinin eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilemez. Bu yüzden kümesi sonsuz kümedir. B = {3 ten büyük tam sayılar} kümesi 4, 5, 6,..., n,... elemanlarını içerdiğinden eleman sayısı doğal sayılar ile ifade edilemez. Bu yüzden B kümesi sonsuz kümedir. nahtar Bilgi = { } ve B = {0} kümeleri boş küme değildir. s() = s(b) = 1 dir. Örnek 7 şağıdaki kümelerin sonsuz küme olup olmadığını belirtelim. a. = {x x < 2, x Z} b. B = {x : 0 < x < 2, x R} Örnek 8 şağıdaki kümelerin boş küme olup olmadığını belirtelim. a. = {x x < 0, x N} b. B = {Günleri sayısı 27 olan aylar} c. C = {, 0} a. kümesi 2 den küçük tam sayıları içermektedir. 2 den küçük tam sayılar 1, 0, 1, 2,... biçiminde devam eder. Bu kümenin eleman sayısı doğal sayılar ile ifade edilemez. Öyleyse, kümesi sonsuz kümedir. b. B kümesi 0 ile 2 arasındaki gerçek sayıları (tam sayılar, rasyonel sayılar vb...) içerdiğinden bu kümenin eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilemez. 0 ile 2 arasındaki gerçek sayılar sayı doğrusunda gösterildiğinde doğal sayı ile ifade edilemeyecek çoklukta eleman içerir. Öyleyse, B kümesi sonsuz kümedir. a. 0 dan küçük doğal sayı yoktur. Bu nedenle, kümesi boş kümedir. = { } olur. b. Günleri sayısı 27 olan ay olmadığından B kümesi boş kümedir. B = { } olur. c. C kümesi 2 elemalıdır. ile 0 elemanlarının { } içinde verilmesi C nin boş küme olduğunu göstermez. Sıra Sizde - 7 şağıdaki kümelerin sonsuz küme olup olmadığını belirtiniz. a. = {x x < 3, x Z} b. B = {x : 1 < x < 4, x R} 3. Boş Küme Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme { } ya da sembolü ile gösterilir. Sıra Sizde - 8 şağıdaki kümelerin boş küme olup olmadığını belirtiniz. a. = {x x + 1 = 0, x N} b. B = {Haftanın b ile başlayan günleri} 1. Ünite : Kümeler / Kümelerde Temel Kavramlar, lt Küme 13

10 C. KÜMELERİN EŞİTLİĞİ ynı elemanlardan oluşan en az iki kümeye eşit kümeler denir. ve B gibi iki kümenin birbirine eşit olması = B biçiminde yazılır ve kümesi B kümesine eşittir diye okunur. M ve N kümelerinin birbirine eşit değilse, M N biçiminde gösterilir. YENİ Ü Örneğin, = {matara kelimesinin harfleri} B = {m, a, t, r} kümeleri aynı elemanlardan oluşur. Bu durumda, = B dir. D. LT KÜME, ÖZ LT KÜME 1. lt Küme ve B herhangi iki küme olsun. kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise ya B nin alt kümesi denir. kümesinin, B kümesinin alt kümesi olduğu B biçiminde gösterilir. kümesi B kümesinin alt kümesi ise, B kümesi kümesini kapsar denir ve B biçiminde gösterilir. Örneğin, = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4} kümelerinde, kümesinin her elemanı B kümesinin de elemanı olduğundan B olur. B kümesinde olup kümesinde olmayan en az bir eleman varsa B kümesi kümesinin alt kümesi değildir. denir. B kümesi kümesinin alt kümesi değilse, B biçiminde gösterilir. Örnek 9 = {0, 1, 2, 3} Örnek 10 B = {1, 2, 3} C = {x : 0 < x < 4, x N} kümelerinin eşitliğini inceleyelim. YENİ = {2, 3, 4, 5}, B = {2, 4} kümeleri için, B olduğunu gösterelim. Bu kümeleri Venn şemasıyla gösterelim. = {0, 1, 2, 3}, B = {1, 2, 3} ve C = {1, 2, 3} tür. B ve C kümeleri aynı elemanlardan oluşur. Buna göre, B = C dir. ve B kümesinin tüm elemanları aynı olmadığından, B dir. ve C kümesinin tüm elemanları aynı olmadığından, C dir. B kümesinin her elemanı kümesinin de elemanı olduğundan B olur. B Bu iki kümenin Venn şemasıyla gösterimi yukarıdaki gibidir. = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 4} Sıra Sizde - 9 C = {x : 1 < x < 5, x N} kümelerinin eşit olup olmama durumunu inceleyiniz. = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 3} kümeleri için, B Sıra Sizde - 10 olduğunu gösteriniz. Bu kümeleri Venn şemasıyla gösteriniz Ünite : Kümeler / Kümelerde Temel Kavramlar, lt Küme

11 2. lt Kümenin Özellikleri Ü Boş küme her kümenin alt kümesidir. Her kümesi için, dır. Ü Her küme kendisinin alt kümesidir. Her kümesi için, dır. Ü, B ve C kümeleri için, ( B) ve (B C) ise C dir. Ü ve B kümeleri için, ( B) ve (B ) ise = B dir. Örnek 12 = {0, 1, {2}, 3, {12}, 4} kü me si nin alt kü me sa yý sý ný bu la lým. YENİ kü me si nin ele man sa yý sý 6 ol du ðu için, kü me si nin alt kü me le ri nin sa yý sý, 2 6 = 64 tür. Örnek 11 = {1, 2, 3} kümesinin eleman sayısını bulup, bu kümenin tüm alt kümelerini yazalım ve alt küme sayısını bulalım. Sıra Sizde - 12 = {0, 13, {2}, 3, {12}} kü me si nin alt kü me sa yý sý ný bu lunuz. = {1, 2, 3} olduğuna göre s() = 3 tür. kümesinin alt kümeleri, 0 elemanlı : { } 1 elemanlı : {1}, {2}, {3} 2 elemanlı : {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} 3 elemanlı : {1, 2, 3} şeklinde olup, nın 8 tane alt kümesi vardır. Örnek 13 n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 32 olduğuna göre, n kaçtır? Sıra Sizde - 11 = {a, b, c} kümesinin eleman sayısını bulup, bu kümenin tüm alt kümelerini yazınız ve alt küme sayısını bulunuz. n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2 n olduğuna göre, 2 n = 32 2 n = 2 5 n = 5 olur. nahtar Bilgi n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2 n dir. Sıra Sizde - 13 n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 16 olduğuna göre, n kaçtır? 1. Ünite : Kümeler / Kümelerde Temel Kavramlar, lt Küme 15

12 3. Öz lt Küme Bir kümenin, kendisi hariç diğer alt kümelerine o kümenin öz alt kümeleri denir. Sıra Sizde - 15 n elemanlı bir kümenin öz alt kümelerinin sayısı 15 olduğuna göre, n kaçtır? Örnek 14 = {1, 2, 3} kümesinin tüm öz alt kümelerini yazalım ve sayısını belirleyelim. s() = 3 tür. nahtar Bilgi n elemanlı bir kümenin öz alt kümelerinin sayısı 2 n 1 dir. kümesinin öz alt kümeleri kendisi dışındaki alt kümeleridir. Buna göre, kümesinin öz alt kümeleri {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3} ve {2, 3} tür. kümesinin öz alt kümelerinin sayısı 2 3 1= 7 dir. Örnek 16 = {1, 2, 3} ve B = {1, 2, 3, 4, 5} olmak üzere, D B koşuluna uyan kaç farklı D kümesi yazılabilir? D B olduğundan D kümesinin içinde kümesinin elemanları mutlaka olmalıdır. Buna göre, D = {1, 2, 3} D = {1, 2, 3, 4} D = {1, 2, 3, 5} D = {1, 2, 3, 4, 5} olmak üzere, D B koşuluna uygun 4 farklı D kümesi yazılabilir. Sıra Sizde - 14 = {a, b, c} kümesinin tüm öz alt kümelerini yazınız ve sayısını belirleyiniz. Sıra Sizde - 16 = {1, 2} ve B = {1, 2, 3, 4} olmak üzere, K B koşuluna uyan kaç farklı K kümesi yazılabilir? Örnek 15 n elemanlı bir kümenin öz alt kümelerinin sayısı 63 olduğuna göre, n kaçtır? n elemanlı bir kümenin öz alt kümelerinin sayısı 2 n 1 olduğuna göre, 2 n 1= 63 2 n = 64 2 n = 2 6 n = 6 olur. Örnek 17 = {a, b, c, d} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde c eleman olarak bulunur? kümesinin c dışındaki {a, b, d} elemanları ile 2 3 = 8 tane alt küme yazılabilir. Bu 8 alt kümenin her birine c elemanı ilave edelim. Bu durumda kümesinin 8 tane alt kümesinde c eleman olarak bulunur Ünite : Kümeler / Kümelerde Temel Kavramlar, lt Küme

13 Sıra Sizde - 17 = {1, 2, 3, 4} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 2 eleman olarak bulunur? B = {1, 2, 3, 4, 5} tir. B kümesinin Venn şemasıyla gösterimi aşağıdaki gibidir. Örnek 18 = {a, b, c, d, e} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde d eleman olarak bulunmaz? È B 5 B kümesinden d elemanı çıkartılırsa geriye 4 eleman kalır. Bu 4 eleman ile 2 4 = 16 tane alt küme yazılabilir. Buna göre, kümesinin 16 tane alt kümesinde d eleman olarak bulunmaz. Sıra Sizde - 19 = {1, 2, 4, 5} ve B = {1, 3, 4} kümeleri veriliyor. B kümesini yazıp Venn şemasıyla gösteriniz. Sıra Sizde - 18 = {1, 2, 3, 4} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 3 eleman olarak bulunmaz? Örnek 20 = {1, 2, 4} ve B = {3, 5, 6} kümeleri veriliyor. B kümesini yazıp Venn şemasıyla gösterelim. E. KÜMELERDE İŞLEMLER 1. Kümelerde Birleşim İşlemi ve B herhangi iki küme olmak üzere, ile B kümesinin tüm elemanlarının oluşturduğu kümeye ile B kümelerinin birleşim kümesi denir. birleşim B kümesi B biçiminde gösterilir. B = {x x veya x B} dir. B kümesi ve B kümelerinden en az birine ait olan elemanları içerir. B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dır. B kümesinin Venn şemasıyla gösterimi aşağıdaki gibidir. B È B Örnek 19 = {1, 2, 3, 4} ve B = {1, 2, 5} kümeleri veriliyor. B kümesini yazıp Venn şemasıyla gösterelim. Sıra Sizde - 20 = {a, b, c, e} ve B = {d, f} kümeleri veriliyor. B kümesini yazıp Venn şemasıyla gösteriniz. 1. Ünite : Kümeler / Kümelerde Temel Kavramlar, lt Küme 17

14 2. Birleşim İşleminin Özellikleri Ü Tek kuvvet özelliği, = dır. Ü Değişme özelliği, B = B dır. Ü Birleşme özelliği, (B C) = ( B) C dir. Ü Etkisiz (birim) eleman özelliği = = olduğundan kümelerde birleşim işleminin etkisiz elemanı dir. Ü B = ise ( = ve B = ) dir. Ü B ise B = B dir. Sıra Sizde - 21 = {1, 2, 4, 5} ve B = {1, 3, 4} kümeleri veriliyor. B kümesini yazıp Venn şemasıyla gösteriniz. nahtar Bilgi Kesişimi boş küme olan kümelere ayrık kümeler denir. 3. Kümelerde Kesişim İşlemi kümesi ile B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye, bu iki kümenin kesişim kümesi denir. kesişim B kümesi B biçiminde gösterilir. B = {x x ve x B} dir. Örnek 22 = {1, 2, 3} ve B = {4, 5} kümeleri veriliyor. B kümesini yazıp Venn şemasıyla gösterelim.. Örnek 21 = {1, 2, 3, 4} ve B = {1, 2, 5} kümeleri veriliyor. B kümesini yazıp Venn şemasıyla gösterelim. ve B kümesinde ortak olan elemanlar 1 ve 2 dir. Buna göre, B = {1, 2} dir. B kümesinin Venn şemasıyla gösterimi aşağıdaki gibidir.(taralı bölge) Ç B 5 B ve B kümesinin ortak elemanı olmadığından B = dir. B kümesinin Venn şemasıyla gösterimi aşağıdaki gibidir Ç B = Æ B B = olduğuna göre, ile B ayrık kümelerdir. Sıra Sizde - 22 = {1, 2, 4} ve B = {3, 5} kümeleri veriliyor. B kümesini yazıp Venn şemasıyla gösteriniz Ünite : Kümeler / Kümelerde Temel Kavramlar, lt Küme

15 4. Kesişim İşleminin Özellikleri Ü Tek kuvvet özelliği, = dır. Ü Değişme özelliği, B = B dır. Ü Birleşme özelliği, ( B) C = (B C) dir. Ü Yutan eleman özelliği, = Ü B ise B = dır. ( B) ( ) = ( B) = ( ) B = B olur. Sıra Sizde - 24 ( ) ( B) ifadesini en sade biçimde yazınız. Örnek 23 = {1, 2, 3, 4} ve B = {2, 3} kümeleri veriliyor. B kümesini yazıp Venn şemasıyla gösterelim. 5. Birleşim İşleminin Kesişim Üzerine Dağılma Özelliği Ü (B C) = ( B) ( C) dir. B = {2, 3} = B dir B 4 Ç B = B Ü (B C) = (B ) (C ) dır. Örnek 25 B = {1, 2, 3, 4, 5} C = {3, 5, 6} kümelerine göre, (B C) kümesini bulalım. Sıra Sizde - 23 = {1, 2, 4, 5} ve B = {2, 5} kümeleri veriliyor. B kümesini yazıp Venn şemasıyla gösteriniz. (B C) = ( B) ( C) = {1, 2, 3, 4, 5} {3, 5, 6} = {3, 5} olur. Örnek 24 ( B) ( ) ifadesini en sade biçimde yazalım. Sıra Sizde - 25 B = {1, 2, 3, 4} C = {3, 4, 5} kümelerine göre, (B C) kümesini bulunuz. 1. Ünite : Kümeler / Kümelerde Temel Kavramlar, lt Küme 19

16 6. Kesişim İşleminin Birleşim Üzerine Dağılma Özelliği Ü (B C) = ( B) ( C) dir. Ü (B C) = (B ) (C ) dır. s( B) = s() + s(b) s( B) s( B) = s( B) = 7 olur. Örnek 26 B = {1, 2, 3} C = {3, 4, 7} kümelerine göre, (B C) kümesini bulalım. Sıra Sizde - 27 s() = 6, s(b) = 4, s( B) = 3 olduğuna göre, s( B) kaçtır? (B C) = ( B) ( C) = {1, 2, 3} {3, 4, 7} = {1, 2, 3, 4, 7} olur. Sıra Sizde - 26 B = {1, 2, 3, 4} C = {2, 3, 5} kümeleri veriliyor. kümelerine göre, (B C) kümesini bulalım. Örnek 28 ve B ayrık iki küme olmak üzere, s() = 5, s(b) = 3 olduğuna göre, s( B) kaçtır? ve B ayrık kümeler olduğundan, s( B) = 0 dır. s( B) = s() + s(b) s( B) s( B) = s( B) = 8 olur. 7. Birleşim Kümesinin Eleman Sayısı nahtar Bilgi ve B herhangi iki küme olmak üzere, Ü s( B) = s() + s(b) s( B) dir. Ü ve B ayrık iki küme olduğunda s( B) = s() + s(b) dir. Sıra Sizde - 28 ve B ayrık iki küme olmak üzere, s() = 6, s(b) = 7 olduğuna göre, s( B) kaçtır? Örnek 27 s() = 4, s(b) = 5, s( B) = 2 olduğuna göre, s( B) kaçtır? Örnek 29 ve B kümeleri için, s() = 2 s(b), s( B) = 13, s( B) = 2 olduğuna göre, s(b) kaçtır? Ünite : Kümeler / Kümelerde Temel Kavramlar, lt Küme

ÜÇGEN VE PİSAGOR BAĞINTISI

ÜÇGEN VE PİSAGOR BAĞINTISI ÜÇGEN VE PİSGOR ĞINTISI KZNIMLR Üçgen kvrmı Üçgen çizimi Üçgenin kenrlrı rsındki ğıntılr Üçgen eşitsizliği Üçgenlerde yükseklik Üçgenlerde kenrorty Üçgenlerde çıorty Kenr ort dikme kvrmı Pisgor ğıntısı

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

ÜÇGENDE AÇI-KENAR BAĞINTILARI

ÜÇGENDE AÇI-KENAR BAĞINTILARI ÜÇGN ÇI-NR ĞINTILRI ir üçgende üük çı krşısınd üük kenr, küçük çı krşısınd küçük kenr ulunur. 3 Şekildeki verilere göre, en uzun kenr şğıdkilerden hngisidir? 3 3 üçgeninde, kenrlr rsınd > > ğıntısı vrs,

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY A. AÇI Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir. B. YÖNLÜ AÇI

Detaylı

b göz önünde tutularak, a,

b göz önünde tutularak, a, 3.ALT GRUPLAR Tnım 3.. bir grup ve G, nin boş olmyn bir lt kümesi olsun. Eğer ( ise ye G nin bir lt grubu denir ve G ile gösterilir. ) bir grup Not 3.. ) grubunun lt grubu olsun. nin birimi ve nin birimi

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

DOĞRUDA AÇILAR. Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar. Açı Ölçü Birimleri. Açı Türleri. çözüm. kavrama sorusu

DOĞRUDA AÇILAR. Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar. Açı Ölçü Birimleri. Açı Türleri. çözüm. kavrama sorusu OĞRU ÇILR Temel Kvrmlr ve oğrud çılr Nokt: Nokt geometrinin en temel terimidir. ni, boyu vey yüksekliği yoktur. İnce uçlu bir klemin kğıt üzerinde bırktığı iz olrk düşünebilirsiniz. oğru: üz, klınlığı

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek: SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=

Detaylı

Onur NURTAN. Danışman Öğretmen: Mustafa YAZAGAN. Özel Atacan Anadolu Lisesi

Onur NURTAN. Danışman Öğretmen: Mustafa YAZAGAN. Özel Atacan Anadolu Lisesi KAĞIT KATLAMA YOLUYLA KESİRLERİN BELİRLENMESİ Onur NURTAN Danışman Öğretmen: Mustafa YAZAGAN Özel Atacan Anadolu Lisesi Özet: Kare biçimindeki kağıdı tam iki eş parçaya ayıran kırışığına kağıdımızı katlayarak

Detaylı

Doğrusal Denklem Sistemlerini Cebirsel Yöntemlerle Çözme. 2 tişört + 1 çift çorap = 16 lira 1 tişört + 2 çift çorap = 14 lira

Doğrusal Denklem Sistemlerini Cebirsel Yöntemlerle Çözme. 2 tişört + 1 çift çorap = 16 lira 1 tişört + 2 çift çorap = 14 lira 2 tişört + 1 çift çorap = 16 lira 1 tişört + 2 çift çorap = 14 lira 1 16 soruluk bir testte 5 ve 10 puanlık sorular bulunmaktadır. Soruların tamamı doğru cevaplandığında 100 puan alındığına göre testte

Detaylı

15. Bağıntılara Devam:

15. Bağıntılara Devam: 15. Bağıntılara Devam: Yerel Bağıntılardan Örnekler: Doğal sayılar kümesi üzerinde bir küçüğüdür (< 1 ) bağıntısı: < 1 {(x, x+1) x N} {(0,1), (1, 2), } a< 1 b yazıldığında, a doğal sayılarda bir küçüktür

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Saymanın Temelleri 1. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Ayşe nin Doğum Günü Partisi Saymanın Temelleri Ayşe

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse

Detaylı

4.3. Türev ile İlgili Teoremler

4.3. Türev ile İlgili Teoremler 4.. Türev ile İlgili Teoremler Bu kesimde ortalama değer teoremini vereceğiz. Ortalama değer teoremini ispatlarken kullanılacak olan Fermat teoremini ve diğer bazı teoremleri ispat edeceğiz. 4...Teorem

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

1.DENEME HAZIRLIK MATEMATİK MATEMATİK TESTİ. 1-En yakın yüzlüğe yuvarlandığında 2200 olan en küçük sayı hangisidir? A-2150 B-2151 C-2190 D-2199

1.DENEME HAZIRLIK MATEMATİK MATEMATİK TESTİ. 1-En yakın yüzlüğe yuvarlandığında 2200 olan en küçük sayı hangisidir? A-2150 B-2151 C-2190 D-2199 1.DENEME HAZIRLIK MATEMATİK MATEMATİK TESTİ 1-En yakın yüzlüğe yuvarlandığında 2200 olan en küçük sayı hangisidir? A-2150 B-2151 C-2190 D-2199 2-Onlar basamağı 5, yüzler basamağı 2 ve binler basamağı 6

Detaylı

ÖN SÖZ. Değerli Adaylar,

ÖN SÖZ. Değerli Adaylar, ÖN SÖZ eğerli daylar, Okul ve meslek yaşamının en önemli sınavlarından birine, Kamu Personeli Seçme Sınavı(KPSS) na hazırlanmaktasınız ve buradaki başarınız gelecekteki iş yaşamınızı ciddi şekilde etkileyecek.

Detaylı

KENAR UZUNLUKLARI GEOMETRİK DİZİ OLUŞTURAN TAM SAYI KENARLI ÜÇGENLER

KENAR UZUNLUKLARI GEOMETRİK DİZİ OLUŞTURAN TAM SAYI KENARLI ÜÇGENLER ORTAÖĞRETİM ÖĞRENCİLERİ ARASI ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI (01 013) KENAR UZUNLUKLARI GEOMETRİK DİZİ OLUŞTURAN TAM SAYI KENARLI ÜÇGENLER Fatih KORKUSUZ Şehit Fazıl Yıldırım Anadolu Lisesi Eskişehir Kadir

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d

Detaylı

Kafes Yapıları. Hatırlatma

Kafes Yapıları. Hatırlatma Kafes Yapıları Ders 7 8-1 Hatırlatma Daha önce anlatılan sıra bağıntısını hatırlayalım. A kümesinde bir R bağıntsı verilmiş olsun. R bağıntısı; a. Yansıma (Tüm a A için, sadece ve sadece ara ise yansıyandır(reflexive)).

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Amacı: Metalik Oranların elde edildiği ikinci dereceden denklemin diskriminantını ele alarak karmaşık sayılarla uygulama yapmak ve elde

Detaylı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı 1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna

Detaylı

kpss matematik geometri tamamı çözümlü kenan osmanoğlu / kerem köker

kpss matematik geometri tamamı çözümlü kenan osmanoğlu / kerem köker kpss soru bankası tamamı çözümlü sözel adaylar için matematik geometri kenan osmanoğlu / kerem köker ÖN SÖZ Değerli daylar, Okul ve meslek yaşamının en önemli sınavlarından birine, Kamu Personeli Seçme

Detaylı

. K. AÇI I ve UZUNLUK 5. C. e k s TR e m. m(cab)= 5x, m(acd)= 3x, m(abe)= 2x. O merkezli çemberde m(bac)= 75º . O ? F 75º

. K. AÇI I ve UZUNLUK 5. C. e k s TR e m. m(cab)= 5x, m(acd)= 3x, m(abe)= 2x. O merkezli çemberde m(bac)= 75º . O ? F 75º Geometri Çözmek ir yrıcal calıkt ktır ÇI I ve UZUNLUK 1? m()=, m()=, m()= 7º merkezli çemberde m()= 7º Verilenlere göre açısının ölçüsü kaç derecedir? ) 10 ) 1 ) 10 ) 1 ) 17 Verilenlere göre açısının ölçüsü

Detaylı

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun.

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun. 11. Cauchy Teoremi ve p-gruplar Bu bölümde Lagrange teoreminin tersinin doğru olduğu bir özel durumu inceleyeceğiz. Bu teorem Cauchy tarafından ispatlanmıştır. İlk olarak bu teoremi sonlu değişmeli gruplar

Detaylı

Örnek...1 : mx+3y+12=0 ve 2x 5y+3=0 doğruları para - lelse m kaçtır?

Örnek...1 : mx+3y+12=0 ve 2x 5y+3=0 doğruları para - lelse m kaçtır? İKİ DOĞRUNUN BİRBİRİNE GÖRE DURUMU DURUM 1 PARALEL DOĞRULAR ve doğruları paralel doğrular ise eğimleri eşittir. Yani / / m 1 =m 2 Ayr ıca : a 1 x+b 1 y+c 1 =0 =0} / / a 1 a 2 = b 1 c 1 c 2 Örnek...1 :

Detaylı

ELEMANLARI DENK KÜMELER OLAN VE HER FARKLI İKİ ELEMANININ SİMETRİK FARKINI İÇEREN KÜMELERİN ELEMAN SAYILARININ EN BÜYÜK DEĞERİ

ELEMANLARI DENK KÜMELER OLAN VE HER FARKLI İKİ ELEMANININ SİMETRİK FARKINI İÇEREN KÜMELERİN ELEMAN SAYILARININ EN BÜYÜK DEĞERİ ÖZEL EGE LİSESİ ELEMANLARI DENK KÜMELER OLAN VE HER FARKLI İKİ ELEMANININ SİMETRİK FARKINI İÇEREN KÜMELERİN ELEMAN SAYILARININ EN BÜYÜK DEĞERİ HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: ATAHAN ÖZDEMİR DANIŞMAN ÖĞRETMEN: DEFNE

Detaylı

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır?

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır? MATE 106 SOSYAL BİLİMLER İÇİN TEMEL ANALİZ Ad-Soyad No Uygun cevabı bulunuz. 1)A = πr2 formülü r yarıçaplı çemberin A alanını vermektedir. Bir masa örtüsü A alanına sahipse, yarıçapını A'nın bir fonksiyonu

Detaylı

PROJE ADI BİR POLİNOMUN KÖKLERİNİN KUVVETLER TOPLAMININ VEKTÖRASYON YÖNTEMİ İLE HESAPLANMASI AHSEN EKİNCİ IRMAK DAİ

PROJE ADI BİR POLİNOMUN KÖKLERİNİN KUVVETLER TOPLAMININ VEKTÖRASYON YÖNTEMİ İLE HESAPLANMASI AHSEN EKİNCİ IRMAK DAİ PROJE ADI BİR POLİNOMUN KÖKLERİNİN KUVVETLER TOPLAMININ VEKTÖRASYON YÖNTEMİ İLE HESAPLANMASI AHSEN EKİNCİ IRMAK DAİ Özel Bahçeşehir Fen Teknoloji Lisesi Başakşehir/İSTANBUL Projenin Adı: Bir Polinomun

Detaylı

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr ASAL SAYILAR ve kendisinden aşka pozitif öleni olmayan den üyük doğal sayılara asal sayı denir.,, 5, 7,,, 7, 9, sayıları irer asal sayıdır. En küçük asal sayı dir. den aşka çift asal sayı yoktur. den aşka

Detaylı

Kareköklü Sayılar. sayısını en yakın onda birliğe kadar tahmin edelim.

Kareköklü Sayılar. sayısını en yakın onda birliğe kadar tahmin edelim. 1 2 sayısını en yakın onda birliğe kadar tahmin edelim. 3 sayısını en yakın onda birliğe kadar tahmin edelim. 28 sayısına en yakın tam kare sayılar 25 ve 36 dır. 4 sayısını en yakın onda birliğe kadar

Detaylı

Şimdi Okullu Olduk İlkokul 1. Sınıf

Şimdi Okullu Olduk İlkokul 1. Sınıf Yrd. Doç. Dr. Özgül Polat Şimdi Okullu Olduk İlkokul 1. Sınıf 10 Adım ve Soyadım İnceleyelim. Tabloyu yorumlayalım. Çizelim. Bu detay Matrakçı Nasuh un bir minyatüründen alınma. Minyatür sanatı nedir biliyor

Detaylı

ÖDÜLLÜ & ÜCRETSİZ 3-4 - 5 OCAK 2014. Yazım Kuralları, Noktalama Işaretleri, Deyim, Atasözü, Sözcükte Anlam, Cümlede Anlam,

ÖDÜLLÜ & ÜCRETSİZ 3-4 - 5 OCAK 2014. Yazım Kuralları, Noktalama Işaretleri, Deyim, Atasözü, Sözcükte Anlam, Cümlede Anlam, STS ye k m 5. - 6. - 7 n tü ıt la a Hediye! 5. Toplam 60 soru / 75 dakika Yazım Kuralları, Noktalama Işaretleri, Deyim, Atasözü, Sözcükte Anlam, Cümlede Anlam, Doğal Sayılar, Örüntüler, Doğal Sayılarda

Detaylı

Mikrobilgisayarda Aritmetik

Mikrobilgisayarda Aritmetik 14 Mikrobilgisayarda Aritmetik SAYITLAMA DİZGELERİ Sayıları göstermek (temsil etmek) için tarih boyunca türlü simgeler kullanılmıştır. Konumuz bu tarihi gelişimi incelemek değildir. Kullanılan sayıtlama

Detaylı

ıç ındek ıler 1. Küresel geometr ı ve den ızc ıl ık 2. Küresel geometr ın ın ınşası 2.1. Küresel geometr ın ın analitik modeli 1

ıç ındek ıler 1. Küresel geometr ı ve den ızc ıl ık 2. Küresel geometr ın ın ınşası 2.1. Küresel geometr ın ın analitik modeli 1 1 orijin 1 KÜRESEL GEOMETRİ VE DENİZCİLİK Ferit Öztürk ıç ındek ıler 1. Küresel geometr ı ve den ızc ıl ık 1. Küresel geometr ın ın ınşası 1.1. Küresel geometr ın ın analitik modeli 1.. Küresel üçgen 3.

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

www.mustafayagci.com.tr, 2011 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Nesnelerin Dağılımları

www.mustafayagci.com.tr, 2011 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Nesnelerin Dağılımları www.mustafayagci.com.tr, 2011 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Nesnelerin Dağılımları B u yazımızda, r tane nesneyi n farklı kutuya belli şartlar altında kaç değişik şekilde dağıtabileceğimizi

Detaylı

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir

Detaylı

MATEMAT K. Doç. Dr. Ergün ERO LU stanbul Üniversitesi letme Fakültesi

MATEMAT K. Doç. Dr. Ergün ERO LU stanbul Üniversitesi letme Fakültesi LETME, KT SAT ve SOSYAL B L MLER Ç N MATEMAT K Doç. Dr. Ergün ERO LU stanbul Üniversitesi letme Fakültesi DORA STANBUL 2013 DORA Bas m Yay n Da t m Ltd. ti. letme, ktisat ve Sosyal Bilimler çin Matematik

Detaylı

MB5002 NÜMERİK ANALİZ

MB5002 NÜMERİK ANALİZ MB500 NÜMERİK ANALİZ Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü c 01, Emel Yavuz Duman Tüm hakkı saklıdır. Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim

Detaylı

İlişkisel Veri Modeli. İlişkisel Cebir İşlemleri

İlişkisel Veri Modeli. İlişkisel Cebir İşlemleri İlişkisel Veri Modeli İlişkisel Cebir İşlemleri Veri işleme (Mnipultion) işlemleri (İlişkisel Cebir İşlemleri) Seçme (select) işlemi Projeksiyon (project) işlemi Krtezyen çrpım (crtesin product) işlemi

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

F AKIM DEVRELER A. DEVRE ELEMANLARI VE TEMEL DEVRELER

F AKIM DEVRELER A. DEVRE ELEMANLARI VE TEMEL DEVRELER ALTERNATİF AKIM DEVRELERİ A. DEVRE ELEMANLARI VE TEMEL DEVRELER Alternatif akım devrelerinde akımın geçişine karşı üç çeşit direnç (zorluk) gösterilir. Devre elamanları dediğimiz bu dirençler: () R omik

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

BAŞLARKEN Okul öncesi yıllar çocukların örgün eğitime başlamadan önce çok sayıda bilgi, beceri ve tutum kazandığı, hayata hazırlandığı kritik bir dönemdir. Bu yıllarda kazanılan bilgi, beceri ve tutumlar

Detaylı

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta)

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta) AĞIRLIK MERKEZİ STATİK (2. Hafta) Ağırlık merkezi: Bir cismi oluşturan herbir parçaya etki eden yerçeki kuvvetlerinin bileşkesinin cismin üzerinden geçtiği noktaya Ağırlık Merkezi denir. Şekil. Ağırlık

Detaylı

Sıfırdan farklı a, b, c tam sayıları için aşağıdaki özellikler sağlanır.

Sıfırdan farklı a, b, c tam sayıları için aşağıdaki özellikler sağlanır. SAYILAR TEORİSİ 1 Bölünebilme Bölme Algoritması: Her a ve b 0 tam sayıları için a = qb + r ve 0 r < b olacak şekilde q ve r tam sayıları tek türlü belirlenebilir. r sayısı a nın b ile bölümünden elde edilen

Detaylı

EBG101 PROGRAMLAMA TEMELLERİ VE ALGORİTMA

EBG101 PROGRAMLAMA TEMELLERİ VE ALGORİTMA 6. HAFTA EBG101 PROGRAMLAMA TEMELLERİ VE ALGORİTMA Öğr. Gör. S. M. Fatih APAYDIN apaydin@beun.edu.tr EMYO Bülent Ecevit Üniversitesi Kdz. Ereğli Meslek Yüksekokulu ALGORİTMA ÖRNEK1: İki sayının toplamı

Detaylı

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı ORTAÖĞRETİM MATEMATİK DERSİ (9, 10, 11 ve 12. SINIFLAR) ÖĞRETİM PROGRAMI ANKARA 2013 İÇİNDEKİLER PROGRAMIN GENEL AMAÇLARI... I PROGRAMIN ÖĞRENCİLERE

Detaylı

7. 60 sayısı, ayrı ayrı kaç deste ve kaç düzine yapar? 9. Ahmet in babasının yaşı, 4 düzineye. Ahmet in babası aşağıdakilerden hangisidir?

7. 60 sayısı, ayrı ayrı kaç deste ve kaç düzine yapar? 9. Ahmet in babasının yaşı, 4 düzineye. Ahmet in babası aşağıdakilerden hangisidir? 2. SINIF TEST- Deste - Düzine. Aşağıdakilerden hangisi bir deste oluşturur? A) 4. B) Yukarıdaki kalemlerin sayısı kaçtır? A) İki düzine 2. B) İki deste Bir düzine Yukarıdaki elmaların sayısı, hangi seneçekte

Detaylı

1) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal gelir fonksiyonu MG aşağıdakilerden hangisidir? A) ** B) C) D) E)

1) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal gelir fonksiyonu MG aşağıdakilerden hangisidir? A) ** B) C) D) E) İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi MAT 152 Genel Matematik II Final Sorularının Çözümleri: 1) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal gelir fonksiyonu MG aşağıdakilerden hangisidir?

Detaylı

Pegem Pegem. Pegem Pegem. Pegem. Pegem. Pegem

Pegem Pegem. Pegem Pegem. Pegem. Pegem. Pegem İ itörler: Kerem KÖKR - Kenan SMNĞLU Pegem Pegem Pegem Pegem Pegem Pegem Pegem Pegem Pegem Pegem Pegem Pegem Pegem Pegem Pegem KPSS Geometri itörler: Kerem Köker / Kenan smanoğlu KPSS Geometri ISN 978-605-364-197-1

Detaylı

Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7. Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü

Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7. Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7 Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required

Detaylı

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları 4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor

Detaylı

Giriş MİKROİŞLEMCİ SİSTEMLERİ. Elektronik Öncesi Kuşak. Bilgisayar Tarihi. Elektronik Kuşak. Elektronik Kuşak. Bilgisayar teknolojisindeki gelişme

Giriş MİKROİŞLEMCİ SİSTEMLERİ. Elektronik Öncesi Kuşak. Bilgisayar Tarihi. Elektronik Kuşak. Elektronik Kuşak. Bilgisayar teknolojisindeki gelişme Giriş MİKROİŞLEMCİ SİSTEMLERİ Bilgisayar teknolojisindeki gelişme Elektronik öncesi kuşak Elektronik kuşak Mikroişlemci kuşağı Yrd. Doç. Dr. Şule Gündüz Öğüdücü 1 Bilgisayar Tarihi Elektronik Öncesi Kuşak

Detaylı

BÖLÜM IV. olsa r s(mod p) bulunur ki, bu mümkün değildir. Ayrıca bu sayı takımındaki hiçbir sayı p tarafından bölünmez.

BÖLÜM IV. olsa r s(mod p) bulunur ki, bu mümkün değildir. Ayrıca bu sayı takımındaki hiçbir sayı p tarafından bölünmez. BÖLÜM IV (KÜÇÜK FERMAT VE WİLSON TEOREMLERİ Teorem 4. (Fermat Teoremi F a olan bir asal sayı olsun. Bu durumda a (mod İsat: a sayısının a a a K ( a gibi ilk ( katından oluşan sayı takımını gözönüne alalım.

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28)

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28) TEMEL KAVRAMLAR 6. a ve b birer do al say r. a b = 19 oldu una göre, a + b toplam (YANIT: 8) 1. ( 4) ( 1) 6 1 i leminin sonucu (YANIT: ). ( 6) ( 3) ( 4) ( 17) ( 5) :( 11) leminin sonucu (YANIT: 38) 7.

Detaylı

Şimdi Okullu Olduk İlkokul 1. Sınıf

Şimdi Okullu Olduk İlkokul 1. Sınıf Yrd. Doç. Dr. Özgül Polat Şimdi Okullu Olduk İlkokul 1. Sınıf 11 Adım ve Soyadım Eşleştirme yapalım. A Cümlelerin ilk harflerinin her zaman büyük olması gerektiğini biliyor muydunuz? e T t E l e E L L

Detaylı

Sonlu Durum ve Turing Makineleri

Sonlu Durum ve Turing Makineleri Sonlu Durum ve Turing Makineleri Ders 12 Yrd.Doç.Dr. İbrahim TÜRKYILMAZ Sonlu Durum Makinesi Sonlu durum makinesi aşağıdakilerden oluşur: a) Bir σ başlangıç durumu, b) Sonlu sayıda duruma sahip olan sonlu

Detaylı

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 )

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 ) 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II DERSİ ÖDEV 4 Soru I: Aşağıda verilen dönüşümlerin lineer olup olmadığını gösteriniz. ) L : R 3 R, L(x, x, x 3 ) = ( 3x + x 3 4x 4, x + x 3x

Detaylı

11. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ

11. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ 2012 11. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni 1.ÜNİTE: KARMAŞIK SAYILAR x 2 +3=0 gibi denklemlerin gerçek sayılarda çözümü olmadığından bu denklemlerin boş kümeden farklı çözüm kümeleri

Detaylı

ÖZEL BAHÇELİEVLER İHLAS İLKOKULU 2012-2013 EĞİTİM- ÖĞRETİM YILI 4.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANLARI

ÖZEL BAHÇELİEVLER İHLAS İLKOKULU 2012-2013 EĞİTİM- ÖĞRETİM YILI 4.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANLARI 8 EYLÜL 01 AÇI VE AÇI ÖLÇÜSÜ GEOMETRİ AÇI VE AÇI ÖLÇÜSÜ 17 1 EYLÜL 01 ÜÇGEN, KARE VE DİKDÖRTGEN ÜNİTE 1 : 01-013 EĞİTİM- ÖĞRETİM YILI.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANLARI GEOMETRİYE YOLCULUK

Detaylı

DİNAMİK (2.hafta) Yatay Hareket Formülleri: a x =0 olduğundan ilk hız ile yatay bileşende hareketine devam eder.

DİNAMİK (2.hafta) Yatay Hareket Formülleri: a x =0 olduğundan ilk hız ile yatay bileşende hareketine devam eder. EĞİK ATIŞ Bir merminin serbest uçuş hareketi iki dik bileşen şeklinde, yatay ve dikey hareket olarak incelenir. Bu harekette hava direnci ihmal edilerek çözüm yapılır. Hava direnci ihmal edilince yatay

Detaylı

SOSYAL BİLİMLER İÇİN İSTATİSTİK

SOSYAL BİLİMLER İÇİN İSTATİSTİK Yaşar BAYKUL - Cem Oktay GÜZELLER SOSYAL BİLİMLER İÇİN İSTATİSTİK SPSS UYGULAMALI Prof. Dr. Yaşar BAYKUL Doç. Dr. Cem Oktay GÜZELLER Sosyal Bilimler İçin İstatistik ISBN 978-605-364-464-4 Kitapta yer alan

Detaylı

TAM DEĞER ARDIŞIK TOPLAMLAR

TAM DEĞER ARDIŞIK TOPLAMLAR ÖZEL EGE LİSESİ TAM DEĞER VE ARDIŞIK TOPLAMLAR HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Tilbe GÖKÇEL DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL İZMİR 01 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI.... GİRİŞ..YÖNTEM. ÖN BİLGİLER.. 5.ARDIŞIK TOPLAMLARIN

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

ÖDEV 5 ÇÖZÜMLERİ. 1. A, B, C Ω olmak üzere A B ve A B C olaylarını ayrık olayların birleşimi olarak yazınız.

ÖDEV 5 ÇÖZÜMLERİ. 1. A, B, C Ω olmak üzere A B ve A B C olaylarını ayrık olayların birleşimi olarak yazınız. OLASILIĞA GİRİŞ IDERSİ ÖDEV 5 ÇÖZÜMLERİ 1. A, B, C Ω olmak üzere A B ve A B C olaylarını ayrık olayların birleşimi olarak yazınız. A B = A (B A) =A (B A c ) A B C = A (B A) (C (A B)) = A (B A c ) (C B

Detaylı

3.3. İki Tabanlı Sayı Sisteminde Dört İşlem

3.3. İki Tabanlı Sayı Sisteminde Dört İşlem 3.3. İki Tabanlı Sayı Sisteminde Dört İşlem A + B = 2 0 2 1 (Elde) A * B = Sonuç A B = 2 0 2 1 (Borç) A / B = Sonuç 0 + 0 = 0 0 0 * 0 = 0 0 0 = 0 0 0 / 0 = 0 0 + 1 = 1 0 0 * 1 = 0 0 1 = 1 1 0 / 1 = 0 1

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

4. BÖLÜM GEOMETRİK ÇİZİMLER

4. BÖLÜM GEOMETRİK ÇİZİMLER 4. ÖLÜM GEOMETRİK ÇİZİMLER MHN 113 Teknik Resim ve Tasarı Geometri 2 4. GEOMETRİK ÇİZİMLER 4.1. ir doğruyu istenilen sayıda eşit parçalara bölmek 1. - doğrusunun bir ucundan herhangi bir açıda yardımcı

Detaylı

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol: EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,

Detaylı

3. TABAKA KAVRAMI ve V-KURALI

3. TABAKA KAVRAMI ve V-KURALI 1 3. T VRMI ve V-URLI Tabaka nedir? lt ve üst sınırlarıyla bir diğerinden ayrılan, kendine has özellikleri olan, sabit hidrodinamik koşullar altında çökelmiş, 1 cm den daha kalın, en küçük litostratigrafi

Detaylı

RESMÎ YAZIŞMALARDA UYGULANACAK ESAS VE USULLER HAKKINDA YÖNETMELİK

RESMÎ YAZIŞMALARDA UYGULANACAK ESAS VE USULLER HAKKINDA YÖNETMELİK RESMÎ YAZIŞMALARDA UYGULANACAK ESAS VE USULLER HAKKINDA YÖNETMELİK Bakanlar Kurulu Kararının Tarihi : 18/10/2004 No : 2004/8125 Dayandığı Kanunun Tarihi : 10/10/1984 No : 3056 Yayımlandığı R.Gazetenin

Detaylı

-ÖRÜNTÜ NEDİR? Bir örnek verebilir misin?

-ÖRÜNTÜ NEDİR? Bir örnek verebilir misin? ÖRÜNTÜLERİ TAMIYALIM Fred bu örüntünün ne olduğunu anlayamadım bir türlü. Bana birde sen anlatır mısın? -ÖRÜNTÜ NEDİR? Örüntü, bir nesne veya olay kümesindeki elemanların ardışık olarak düzenli bir biçimde

Detaylı

ýçindekiler Ön Söz xiii Antenler 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Temel Anten Parametreleri 27 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.

ýçindekiler Ön Söz xiii Antenler 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Temel Anten Parametreleri 27 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2. çindekiler Ön Söz xiii 1 Antenler 1 1.1 Giri 1 1.2 Anten Tipleri 4 1.3 I ma Mekanizmas 7 1.4 nce Tel Antende Ak m Da l m 17 1.5 Tarihsel Geli meler 20 1.6 Multimedya 24 Kaynakça 24 2 Temel Anten Parametreleri

Detaylı

Elektronik sistemlerde dört farklı sayı sistemi kullanılır. Bunlar;

Elektronik sistemlerde dört farklı sayı sistemi kullanılır. Bunlar; I. SAYI SİSTEMLERİ Elektronik sistemlerde dört farklı sayı sistemi kullanılır. Bunlar; i) İkili(Binary) Sayı Sistemi ii) Onlu(Decimal) Sayı Sistemi iii) Onaltılı(Heksadecimal) Sayı Sistemi iv) Sekizli(Oktal)

Detaylı

1. Toplam Harcama ve Denge Çıktı

1. Toplam Harcama ve Denge Çıktı DERS NOTU 03 TOPLAM HARCAMALAR VE DENGE ÇIKTI - I Bugünki dersin içeriği: 1. TOPLAM HARCAMA VE DENGE ÇIKTI... 1 HANEHALKI TÜKETİM VE TASARRUFU... 2 PLANLANAN YATIRIM (I)... 6 2. DENGE TOPLAM ÇIKTI (GELİR)...

Detaylı

b b b b b b b b b b b b b b

b b b b b b b b b b b b b b 1 Doğal Sayılar Sayı Örüntüleri Doğal Sayılarla Toplama İşlemi ve Prolemleri Doğal Sayılarla Çıkarma İşlemi ve Prolemleri Zihinden Toplama ve Çıkarma İşlemleri, Tahmin Etme Doğal Sayılarla Çarpma İşlemi

Detaylı

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ YTÜ-İktisat İstatistik II Merkezi Limit Teoremi 1 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ CENTRAL LIMIT THEOREM X 1,X 2,...,X n herbirinin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan ve aynı dağılıma uyan n tane bağımsız r.d. olsun.

Detaylı

LOJİK İFADENİN VE-DEĞİL VEYA VEYA-DEĞİL LOJİK DİYAGRAMLARINA DÖNÜŞTÜRÜLMESİ

LOJİK İFADENİN VE-DEĞİL VEYA VEYA-DEĞİL LOJİK DİYAGRAMLARINA DÖNÜŞTÜRÜLMESİ LOJİK İFADENİN VE-DEĞİL VEYA VEYA-DEĞİL LOJİK DİYAGRAMLARINA DÖNÜŞTÜRÜLMESİ Sayısal tasarımcılar tasarladıkları devrelerde çoğu zaman VE-Değil yada VEYA-Değil kapılarını, VE yada VEYA kapılarından daha

Detaylı

4. 8. A. D 2. ABC üçgeninin alanı kaç birim karedir? ABC üçgeninin alanı kaç birim karedir? A) 16 B) 18 C) 20 D) 24 E) 32 120º 135º

4. 8. A. D 2. ABC üçgeninin alanı kaç birim karedir? ABC üçgeninin alanı kaç birim karedir? A) 16 B) 18 C) 20 D) 24 E) 32 120º 135º ğlence başlıyor yor 1 º 0º üçgeninin alanı kaç birim karedir? ) ) 9 LN SI 1 LN SI 1 )1 ) üçgeninin alanı kaç birim karedir? üçgeninin alanı kaç birim karedir? ) ) ) ) ) ) üçgen, = birim, = birim, m() =

Detaylı

7 onluk + 4 birlikten oluşan sayı aşağıdakilerden hangisidir? A) 74 B) 47 C) 34 2)

7 onluk + 4 birlikten oluşan sayı aşağıdakilerden hangisidir? A) 74 B) 47 C) 34 2) MATEMATİK 2. SINIF 1. 7 onluk + 4 birlikten oluşan sayı aşağıdakilerden hangisidir? 74 47 34 2) 3. 48 sayısının onluk ve birliklerine ayrılışı hangi seçenekte doğru verilmiştir? 4 onluk + 8 birlik 8 onluk

Detaylı

Şimdi Okullu Olduk İlkokul 1. Sınıf

Şimdi Okullu Olduk İlkokul 1. Sınıf Yrd. Doç. Dr. Özgül Polat Şimdi Okullu Olduk İlkokul 1. Sınıf 8 Adım ve Soyadım Ritim tutalım. Parmak şıklatmayı biliyor musun? Aşağıdaki yönergeyi takip edelim. Sırayla parmak şıklatıp ayağımızı yere

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. SAYISAL DEVRE TASARIMI EEM122 Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI SAYISAL TASARIM 4. Baskı Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. SAYISAL DEVRE NEDİR? Mühendisler, elektronik

Detaylı

A SINAV TARİHİ VE SAATİ : 28 Nisan 2007 Cumartesi, 09.30-11.00

A SINAV TARİHİ VE SAATİ : 28 Nisan 2007 Cumartesi, 09.30-11.00 TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 12. ULUSAL İLKÖĞRETİM MATEMATİK OLİMPİYATI SINAVI - 2007 Birinci Bölüm Soru kitapçığı türü A SINAV TARİHİ

Detaylı

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer 11.Gram-Schmidt metodu 11.1. Ortonormal baz 11.1.Teorem: { }, V Öklid uzayı için bir ortonormal baz olsun. Bu durumda olmak üzere. 1.Ö.: { }, de bir ortonormal baz olsun. Burada. vektörünü S deki vektörlerin

Detaylı

SAYMA. Ayrık iki kümenin bileşimindeki eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayıları toplamına

SAYMA. Ayrık iki kümenin bileşimindeki eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayıları toplamına SONLU MATEMATİK SAYMA SAYMANIN İKİ TEMEL PRENSİBİ TOPLAMA PRENSİBİ Ayrık iki kümenin bileşimindeki eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayıları toplamına eşittir. Örnek. Bir sınıftaki her öğrencinin, iki

Detaylı

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com III - SAYI ÖRÜNTÜLERİ Htırltm: Syılrı virgülle yrılrk, birbirii rdı dizilmesie syı dizisi, dizideki her bir syıy d terim deir. hrfi verile örütüde syılrı sırsıı belirte semboldür ve ici syıy örütüü geel

Detaylı

AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTLERİ

AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTLERİ AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTLERİ AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTLERİ Bu konular denge problemelerinden tamamen bağımsızdır. Alanların ağırlık merkezi ve atalet momenti ismi verilen geometrik

Detaylı

steme Adresi Ekstrem Yayıncılık Tlf: (0322) 235 64 65 Belgeç : (0322) 232 86 27 www.ekstrem.com.tr Grafik Tasar m Dizgi Ekstrem Yay nc l k

steme Adresi Ekstrem Yayıncılık Tlf: (0322) 235 64 65 Belgeç : (0322) 232 86 27 www.ekstrem.com.tr Grafik Tasar m Dizgi Ekstrem Yay nc l k u kit n her hkk skl d r ve kstrem Y nc l k ittir. Kit it metin ve sorulr, knk gösterilerek de ols kulln lmz. Kit n hz rln fl öntemi tklit edilemez. ISN: 978 0 9 8 9 steme dresi kstrem Yıncılık Tlf: (0)

Detaylı

MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI

MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI .. MAK MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI Polinom MATLAB p=[8 ] d=[ - ] h=[ -] c=[ - ] POLİNOMUN DEĞERİ >> polyval(p, >> fx=[ -..9 -. -.9.88]; >> polyval(fx,9) ans =. >> x=-.:.:.; >> y=polyval(fx,;

Detaylı

ULUSAL LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI 6.SALİH ZEKİ MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI RAPORU HADARİZM SHORTCUT (MATEMATİK) PROJEYİ HAZIRLAYANLAR

ULUSAL LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI 6.SALİH ZEKİ MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI RAPORU HADARİZM SHORTCUT (MATEMATİK) PROJEYİ HAZIRLAYANLAR ULUSAL LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI 6.SALİH ZEKİ MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI RAPORU HADARİZM SHORTCUT (MATEMATİK) PROJEYİ HAZIRLAYANLAR SELİM HADAR DANIŞMAN ÖĞRETMEN SANDRA GÜNER ULUS ÖZEL MUSEVİ

Detaylı