MATEMATİK TARİHİ. 3. Dönem. Hint, İslam ve Rönesans Matematik Dönemi. Derleyen: Ersin Kuset Bodur 1

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "MATEMATİK TARİHİ. 3. Dönem. Hint, İslam ve Rönesans Matematik Dönemi. Derleyen: Ersin Kuset Bodur 1"

Transkript

1 MATEMATİK TARİHİ 3. Dönem Hint, İslam ve Rönesans Matematik Dönemi Derleyen: Ersin Kuset Bodur 1

2 Hint Matematiği HİNT YARIMADASINDAKİ MEDENİYETLER Derleyen: Ersin Kuset Bodur 2

3 HARAPPAN DÖNEMİ (MÖ 2600 MÖ 1700) MÖ 3000 yıllarında, İndus nehri civarında Harappan medeniyeti hüküm sürdü Harappan medeniyeti ortaya çıkan ilk medeniyet olup, 500 yıllık bir süre Hint yarımadasında hüküm sürdü ve sonradan kuzeyden gelen Aryan lar tarafından yok edildi. Harappan medeniyeti döneminde iki önemli yerleşim yeri: Harappa ve Mohenjo-Daro olarak biliniyor. Harappanda da Mezopotamya ve Mısırdaki medeniyetler gibi gelişmiş bir medeniyet hüküm sürdü. Harappan yazısının çözülememiş olmasından, o döneme ait elimizde çok az bilgi var, yine de arkeolojik kalıntılar Harappan döneminde dini kökene dayalı gelişmiş bir kültürün varlığına işaret etmektedir. Bu kalıntılarda bulunan, ağırlığı ve uzunluğu ölçmek için kullanılan standart aletler, bu dönemde matematikten anlayan bir kültürün-olgunun varlığını işaret etmektedir. Lothal da bulunan ve Mohenjodaro çetveli olarak isimlendirilen cetvelde, 1.32 inç aralıklarla İndus inçi diye isimlendirilen ölçü birimleri bulunmaktadır. Yaklaşık olarak, MÖ 1800 yıllarında, Hint-Avrupa kökenli bir dil konuşan Aryanların Orta Asya platolarından kuzey hint yarımadasındaki Pencap ve Ganj nehri bölgelerine göç etmeye başlamaları Harappan medeniyetinin sonu olmuştur. Derleyen: Ersin Kuset Bodur 3

4 VEDA DÖNEMİ (MÖ 1500 MÖ 400) Aryan larla ilgili bilgiyi Veda olarak bilinen yazılı eserlerde görüyoruz Veda, sözcük anlamı bilgi demektir, bu eserler dini bilgileri ve kahinlerin gelecekle ilgili tahminlerini anlatmakta idi. Veda lar dört şekilde ortaya çıkmıştır: 1. MÖ 1700 MÖ 1000 yıllarında ortaya çıkmış olan ve Samhita diye bilinen dini ilahi ve dualar 2. MÖ 1000 ile MÖ 600 yıllarında ortaya çıkan, ve yorumcuların, adak (kurban) ile ilgili rehber olarak yorumladıkları Brahmana lar. 3. MÖ 700 yılllarında ortaya çıkan Aranyaka lar 4. MÖ 800 ile MÖ 500 yıllarında ortaya çıkan Upanishad lar. Derleyen: Ersin Kuset Bodur 4

5 JAINA DÖNEMİ (MÖ 400 MS 200) MÖ 600 yıllarında Veda dini yerine Budizimden etkilenerek yeni bir din gelişir; Jaina dini Toprak sahipleri ve tüccarların da desteği ile Jainciler, mali olarak güçlendiler. Büyük İskender sonrası otorite boşluğundan yararlanarak Mauryan İmparatorluğu nun doğmasına sebep olurlar. Jaina döneminin matematik ile ilgili en önemli kaynağı Bakshali yazmaları dır. Bu yazmalarda, Jaina dönemindeki aritmetik ile ilgili birçok bilgi mevcuttur. Bu bilgiler: karekök hesapları, basamak değeri olan ondalık sayı sistemi, ikinci derece denklemlerin çözümü gibi önemli bilgilerdir. Derleyen: Ersin Kuset Bodur 5

6 KLASİK DÖNEM ( ) Hint matematiğinin altın dönemi olan bu dönemde Aryabhata, Varahamihira, Brahmagupta, Bhaskara I, Mahavira ve Bhaskara II gibi matematikçilerin eserlerini görüyoruz. Bu eserler ve eserlerdeki katkılar Asya ya, Orta Doğu ve Avrupa ya yayılır. Bu dönemde astronomi önem kazanmış ve astronominin üç dalı : Matematik, Astroloji ve Kehanet oluşmuştur Bu dönem 18 tane siddhanta (tartışma ürünü) adlı eserin yazıldığı dönemdir. Bu eserlerden yalnızca 5 tanesi günümüze ulaşabilmiştir. KERALA DÖNEMİ ( ) Altın dönem 1200 yıllarında gerilemeye başlar ama Kerala civarlarında matematik gelişmeye devam eder yılları arasında ise, matematiğin bu bölgede en parlak dönemini yaşadığını görüyoruz. Derleyen: Ersin Kuset Bodur 6

7 HİNT MATEMATİKÇİLERİN BAZI ESERLERİ Problem: İki karenin alanına eşit alanı bulunan karenin elde edilmesi. ABCD ve PQRS herhangi iki kare olsun. PQ üzerinde X noktası AB = PX olacak şekilde seçilir. Böylece, kenarı SX olan karenin alanı, ABCD ve PQRS karelerinin alanlarının toplamına eşit olur. Pisagor bağıntısına göre SX PX PS olduğu, ve böylece istenen karenin elde edildiği açıktır. Derleyen: Ersin Kuset Bodur 7

8 Problem: Bir dörtgenin köşegeni boyunca uzanan bir ip, dik ve yatay kenarların birlikte oluşturduğu toplam alan kadar, alan oluşturur. Pisagor bağıntısına göre, olduğu açıktır DB AB AD Derleyen: Ersin Kuset Bodur 8

9 Problem: Tam kare olmayan bir sayının kare kökünü bulmak için, Q A b A formülü kullanılıyordu. b 2A b A 2 A b 2A Derleyen: Ersin Kuset Bodur 9

10 487 Bakhshali formülü tarafından olarak hesaplanır. Gerçek değer dir. 9 ondalık basamak doğru hesaplanmıştır. 889 Bakhshali formülü tarafından olarak hesaplanır. Gerçek değer dir. 5 ondalık basamak doğru hesaplandı Bakhshali formülü tarafından olarak hesaplanır. Doğru değer dir. 11 ondalık basamak doğru hesaplanmıştır. Derleyen: Ersin Kuset Bodur 10

11 İslam Matematiği Derleyen: Ersin Kuset Bodur 11

12 İslam Medeniyetlerine Kısa bir Bakış Yedinci yüzyıl başlarında, İslam İmparatorluğu, doğuda Çin sınırından Hindistana, kuzey Afrika ya ve batıda ise Cebelitarık tan Pirene dağlarına kadar geniş bir coğrafyaya uzanıyordu. İslam dünyasına bilimin Abbasiler zamanında geldiği görülür. Abbasiler Şam ı başkent yapmayarak, 762 yılında Bağdat ı kurup, burayı başkent yaptıklarından, Bağdat ticaret ve kültür merkezi olmuş. 9. yy da nüfuslu bir kent olan Bağdat, o dönemdeki Bizans İmparatorluğunun başkenti Constantinople (İstanbul) dan bile büyük bir kent olmuş. Dil olarak ise Arapça, İslam egemenliği topraklarında kullanılan bir dil haline gelmiş. Derleyen: Ersin Kuset Bodur 12

13 Abbasi halifeleri Mansur, Harun Reşit ve El-Mamun, Bağdat ta Dar ül Hikmet (Aklın Evi veya Bilgelik Evi) diye bilinen medreseyi kurmuşlar ve bu medresede önemli çeviriler yapmışlardır. İlk çevirileri, Yunan dil ve kültürüne yakın bölgelerde yapmışlar. Çeviriler aynı zamanda Yunanca, Hintçe, Pehlevice ve İbranice dillerinden de olduğu görülmektedir. Bu çevirilerden büyük kütüphane oluşturmuşlardır. Çeviriler dolayısıyle İslam matematiği: Yunan, Mezopotamya ve Hint matematiklerinin toplamıdır diyebiliyoruz. Sayı sistemleri, aritmetik, trigonometri ve cebir Mezopotamya ve Hint geleneklerine; Geometri ise Yunan geleneğine dayanmaktadır yılları arasında yaşamış olan 50 tane matematikçi-bilim adamının ismi ve çalışmaları günümüze ulaşabilmiştir. Derleyen: Ersin Kuset Bodur 13

14 İslam Matematikçileri: MUHAMMED ibni MUSA al-harazmi ( ) Horasan da doğup Bağdat da yaşamış matematik, astronomi ve coğrafya bilginidir. Harezmî nin çalışmaları cebirin temelini oluşturmuştur. Hindistan da sayıları ifade etmek için harfler ya da heceler yerine basamaklı sayı sisteminin kullanıldığını saptamıştır. Harezmî nin yazdığı Algoritmi de numero Indorum adlı kitabının Latince ye tercüme edilmesi ile, sembollerden oluşan sayı sistemi ve sıfır 12. yüzyılda batı dünyasına sunulmuştur. Hesab-ül Cebir vel-mukabele adlı kitabı, matematik tarihinde birinci ve ikinci dereceden denklemlerin sistematik çözümlerinin yer aldığı ilk eserdir. Bu yüzden Harezmî (Diophantus ile birlikte) cebirin babası olarak bilinir. İngilizcede kullanılan algebra, Türkçede karşılığı olan cebir kelimesi, Harezmî nin kitabında ikinci dereceden denklemleri çözmek için kullandığı yöntemlerinden biri olan el-cebr kelimesinden gelmektedir. Derleyen: Ersin Kuset Bodur 14

15 Algoritma (İngilizcede algorithm ) sözcüğü de Harezmî nin kitabının Latince karşılığı olan Algoritmi kelimesinden türemiştir. İspanyolca daki basamak anlamına gelen guarismo kelimesi Harezmî den gelmektedir. Horasan bölgesinde ilk eğitimini alan Harezmi, gençliğinde Bağdat ta ileri bilimin olduğunu fark eder. Ve çalışmak için Bağdat a gider. Al-Harazmi nin en ünlü kitabı Al-Cebir ve Al-Mukabele dır. Bu indirgeme ve denkleme manasına gelen başlık, daha sonraları Cebir (veya Algebra) olarak kısaltılmıştır. Kitapta Al-Harazmi ikinci dereceden bir polinomu katsayılarının işaretine göre 6 sınıfa ayırarak, sistematik olarak, her sınıf için, köklerin nasıl bulunacağını algoritmik bir şekilde göstermiştir. Derleyen: Ersin Kuset Bodur 15

16 2 Polinomu x 10x 4 şeklinde yazmış ve bu polinomun köklerini bulmak için adım adım ne yapılması gerektiğini belirtmiştir O tarihlerde negatif sayılar kullanılmıyor ve sayılar uzunluk olarak düşünülüyordu. Müslümanlar, yılları arasında Abu Waffa ( ) hariç, negatif sayıları hiç kullanmamışlardır. Al-Harazmi nin, verilen bir polinomun kökünü bulmak için, izlemiş olduğu adım-adım yaklaşımına günümüzde algoritmik yaklaşım denmektedir; Derleyen: Ersin Kuset Bodur 16

17 Diğer eseri Hesap kitabıdır. Bu kitabın Arapçası değil de Latince çevirisi günümüze ulaşabilmiştir. Hesap kitabında bugün kullanılan Hind-Arap rakamları olarak bilinen (1,2,,9, 0) rakamlarını tanıtmış; bu rakamlarla sayıların nasıl yazıldığını, toplama, çarpma gibi işlemlerinin nasıl yapıldığını anlatmıştır. Sıfır sayı olarak değil boşluk dolduran sembol olarak kullanılmıştır. Sayı olarak, sıfır ilk kez, 876 de Hindistan da kullanılmıştır. Negatif sayıların da yine Hindistan da 620 lerde kullanıldığı bilinmektedir ama yaygın olarak kullanılmaya başlanmaları 1600 ler den sonradır. Derleyen: Ersin Kuset Bodur 17

18 Bazı eserleri Derleyen: Ersin Kuset Bodur 18

19 ÖMER HAYYAM Ömer Hayyam ( ) yılları arasında yaşamıştır. Nişabur da doğmuş, 1073 den sonra, İsfahan da kurulan rasathanede, Selçuk hükümdarı Melik Şahın müneccim başı olarak çalışmaya başlamıştır. Günümüze Ömer Hayyam Rubaileri, bir cebir kitabı ve astronomiyle ilgili çalışmalarından da bazı bölümler kalmıştır. Cebir kitabında, üçüncü dereceden polinomların bir sınıflandırmasını yaparak, konik kesitlerini kesiştirerek, bu polinomların köklerini geometrik olarak bulmaya çalışmıştır. Eski Mısır, Mezopotamya, Grek ve Hint medeniyetlerine ait eserlerin bulunduğu Bağdat Saray Kütüphanesinin idaresinde görevlendirilir. Bağdat Saray Kütüphanesindeki yabancı eserleri tercüme yapmak amacıyla kurulan bir tercüme akademisi Beyt ül Hikmet de görevlendirilir. Celali takvimini hazırlamıştır. Celali takviminde, her 5000 yılda bir günlük hata oluşmaktadır. Günümüz takvimi olan Gregorian takviminde ise her 3300 yılda 1 günlük bir hata oluşmaktadır. Bu da takvimin ne kadar hassas olduğunu ortaya koyar Derleyen: Ersin Kuset Bodur 19

20 Problem: Ömer Hayyam ın 3 x qx r denkleminin çözümünü geometrik olarak bulması Şekilde AB doğru parçasının uzunluğu b olarak alınmıştır. AB ye dik BC doğru parçasının uzunluğu c olsun, Tepe noktası B ve ekseni BF ve parametresi b, olan parabol oluşturulur. Günümüz notasyonu ile Parabol ün denklemi x 2 = by olur. Böylece BC çaplı yarı çemberin denklemi Olur ve yarıçember, parabolü D noktasında keser. Bu noktanın x-koordinatı kübik denklemin çözümlerinden birini oluşturur. Derleyen: Ersin Kuset Bodur 20

21 Şarafeddin al-tusi ( ) Doğum yeri İran ın Tus şehri. Farklı yerlerde (Şam, Halep, Musul ve Bağdat) matematik okumuştur. Önemli bir cebir kitabının yazarıdır. Şarafeddin Al- Tusi de, üçüncü dereceden polinomların köklerini bulmak için uğraşmıştır. Harazmi gibi, üçüncü dereceden denklemleri 25 sınıfa ayırarak, cebirsel yaklaşımla, onların köklerini bulmaya çalışmıştır. Bugünkü notasyonla, 3 x ax b gibi bir denklemin belli bir aralıkta çözümünün olabilmesi için, b nin 3 x ax b in en yüksek ile en düşük değerleri olması gerektiği anlayan Ş. Al-Tusi, bu ifadenin en yüksek değerinin bu ifadenin türev inin sıfır olduğu yerde aranması gerektiğini anlamıştır. Kimi yazarlara göre bu türevin keşfidir. Matematiğin en önemli keşiflerinden olan türev, 1636 de Fermat tarafından tekrar keşfedilecek ve bu da, analitik geometri ile beraber, kalkülüsün (Calculus) doğmasına sebep olmuştur. Derleyen: Ersin Kuset Bodur 21

22 Nasireddin Al-Tusi dir ( ) O devirin İslam dünyasında en büyük bilim adamlarındandır, Tus ve Nişapur da okumuştur. Mantık, Ahlak, Felsefe, Astronomi ve Matematik kitapları yazmıştır. Bir ziç olan Ziç-i-İlhani yi hazırlamıştır. Ziçler, astronomik hesaplar için gerekli olan, sinüs cetvelleridir. N. Al-Tusi nin astronomi ile ilgili çalışmaları, Batlamyüs den sonra Copernicus un çalışmalarına kadar, astronomi hakkında en önemli çalışmalardan biri olarak kabul edilir. Matematikle ilgili en önemli çalışması, düzlem ve küresel trigonometri ile ilgili çalışmalarıdır. Bu eserden sonra trigonometri, astronomi için bir araç olmaktan çıkıp, matematiğin bir ana dalı olmuştur. Bunun dışında, Yunanca dan çeviri çok sayıda matematik kitaplarına izah ve yorumlar yazmış; bir sayının n inci kökünü bulmak için çalışmalar yapmıştır. Batılı matematikçi ve astronomiçilerin, eserlerinden en çok yararlandıkları islam dünyası bilim adamlarının başında N. Al-Tusi gelir. Derleyen: Ersin Kuset Bodur 22

23 Cemşit Al-Kaşi dır ( ) Kaşan (Iran) da doğmuştur. Semarkand ta Uluğ Bey medresesinde ve rasathanesinde çalışmıştır. Timurleng in torunu olan Uluğ Bey ( ) iyi bir matematikçi, bilim aşığı bir hükümdardı. O tarihlerde Uluğ Bey in medresesinde 60 civarında zamanın en iyi bilim adamları ders vermekte ve araştırma yapmaktadır; bu medrese, pozitif bilimlerin okutulduğu ve bilimsel bir saygınlığı olan İslam ülkelerindeki son medresedir. Al- Kaşi, Uluğ Bey le beraber, N. Al- Tusi nin ziçlerinden de yararlanarak, Ziç-i-Hakani olarak bilinen Uluğ Bey in ziçlerini hazırlamıştır. Bu ziç te 1 den 90 dereceye kadar olan açıların sinüsleri verilmiştir. Her açının sinüsü, virgülden sonra 8. haneye kadar hesaplanmıştır. Yazdığı ziçde, güneş, ay ve gezegenlerin konumu ve hareketleri hakkında bilgi vermektedir. Al-Kaşi muhteşem bir hesap yeteneği olan matematikçidir. Yarı çapı 1 olan bir daireyi 3x2^28= kenarlı bir poligonun içine oturtarak, pi sayısının virgülden sonra 16 hanesini ( 10 ve 60 tabanlı sayı sistemlerinde) doğru olarak vermiştir. Bu rekor ancak 200 yıl sonra kırılabilecektir. Al- Kaşi, içeriğinin zenginliği, ispatlarının açıklığı ile orta çağın en iyi kitaplarından biri olarak kabul edilen Aritmetiğin Anahtarı başlıklı bir kitabın da yazarıdır. Ondalık kesirlerle 4 işlemin nasıl yapılacağını açıklayan matematikçidir. Derleyen: Ersin Kuset Bodur 23

24 Al-Kaşi nin ölümünden sonra Uluğ Bey e ziçlerini tamamlamasına, Al-Kaşi nin de öğrencisi olan, Ali Kuşçu yardım etmiştir da Uluğ Bey in, bilimle uğraşıyor diye öz oğlu ve akrabaları tarafından öldürülmesinden sonra, Uluğ Bey in medrese ve rasathanesi de çökmüştür. Bu olay İslam dünyasındaki son önemli pozitif bilim merkezinin yıkılması olarak yansımıştır den 1940 yıllarına kadar İslam dünyasında orijinal bir çalışma yapmış bir matematikçinin - bilim adamının ismini göremiyoruz. Derleyen: Ersin Kuset Bodur 24

25 Müslümanların matematiğe katkıları Bazılarına göre Müslümanların matematiğe hiç bir katkısı olmamıştır; bazılarına göre ise, Müslümanların matematiğe ve astronominin gelişmesine özgün katkıları olmuştur; Aslında batılı bilim adamlarının adını taşıyan bir çok teorem veya sonuç daha önce Müslümanlar tarafından bulunmuştur. Özellikle Müslüman matematikçiler yaptıkları araştırmaları geliştirememiş ve kullanamamışlar. Müslüman matematikçilerin Küresel geometriye, cebire, sayılar teorisine, trigonometri ve astronomiye özgün katkıları olmuştur. Ayrıca, Müslüman matematikçiler yaptıkları çevirilerle Mısır-Mezopotamyada yapılan matematiğin sonraki yıllara iletilmesine-gelişmesine katkıda bulunmuşlardır. Derleyen: Ersin Kuset Bodur 25

26 Rönesans Matematiği Batıya matematik nasıl girdi : a) Ortadoğu da 4 krallık kurup, 200 yıla yakın bir süre Ortadoğu da kalan haçlılar vasıtasıyla b) Arap medreselerinde okuyan batılı öğrenciler vasıtasıyla; c) Endülüs ten. Derleyen: Ersin Kuset Bodur 26

27 12. yy a kadar Avrupa okullar, din ağırlıklı okullardı. 12. yüzyıl ortalarında İtalya da (Bolonya, Padova), öğrencilerin universita eğitim amaçlı oluşturdukları birimler daha sonra üniversite kurumlarının temelini oluşturmuşlar. Buralardaki hocalar Arap medreslerinde okumuş batılı gençlerdi. Daha sonra bu kurumlarda okuyan Avrupalı öğrenciler Almanya da (Köln), Fransa da (Sorbone) ve İngiltere de ( Oxford, Cambrigde) gibi ileride üniversite olacak eğitim kurumlarını kurmuşlardır. Bu dönemde Kutsal Roma-Germen imparatoru olan 2. Frederik in bilime değer veren bir insan olması, ayrıca 1200 lerin başında kurulmuş olan Fransican tarikatı bilimin Avrupa ya girmesine ve gelişmesine katkısı olmuştur ile 1500 yılları arasında Avrupalıların bilimsel kaynakları Arapça eserlerdi. Uğraştıkları sorular-konular bu kitaplarda Müslüman matematikçilerin uğraştığı sorular-konulardı. Örneğin: geometri soruları, 3. dereceden polinomun köklerini bulma, sayılar teorisiyle ilgili sorular lerden sonra, İstanbul dan İtalya ya giden kitaplardan, matematiğin Yunanca kaynaklarına ulaşılır, ve bunun sonucunda Yunanca kaynaklardan çeviriler yapılmaya başlanır yıllarından sonra ise Arapça kaynakların terk edildiği gözlemleniyor, bunun sonucunda ise Avrupa da matematik alanında özgün gelişmeler başlar.ya da özgün çalışmalar başladığından arapça kaynaklar terk edilir. Derleyen: Ersin Kuset Bodur 27

28 Batıya Hint-Arap rakamları (1,2,...,9, 0) 1200 lerin başında Fibonacci nin ( ) yazdığı Liber Abacci kitabıyla girmiştir. Bu kitapta Fibonacci, kendinden 400 yıl önce Harazmi nin yaptığı gibi, bu rakamlarla sayıların nasıl yazılacağını, dört işlemin nasıl yapılacağını anlatmıştır. Bu rakamlar batıda günlük hayatta 16. yy a kadar yaygın olarak kullanılmamış. Bu rakamların halk arasında yaygın olarak kullanılması Fransız devriminden sonra olmuştur lerden 1500 lere kadar önemli özgün bir çalışma yoktur arası iki önemli çalışma Tartaglia nın ( ) bulduğu ama Cardano nun ( ) yayımladığı üçüncü dereceden polinomların cebirsel olarak köklerinin bulunmasıdır. Kompleks sayılar ilk olarak 3. derecede polinomların kökünü veren formülde, o tarihlerde anlaşılmamış, yine de ortaya çıkmıştır. Bombelli ( ) cebir kitabında bazı kompleks sayılara yer verir, onlarla nasıl işlem yapılacağını anlatır. F. De Viete ( ) in cebir kitabı yine önemli bir çalışmadır. Bu kitapta, ilk defa cebir, sözel olmaktan çıkıp, sembolleşmeye başlamıştır. Viete in kitabında sessiz harfler bilinen sayılar için, sesliler de bilinmeyenler için kullanılmıştır. Sabitler için a,b gibi alfabenin ilk harflerinin; bilinmeyenler için de x,y gibi alfabenin son harflerinin kullanılması Descartes le başlayacaktır. Derleyen: Ersin Kuset Bodur 28

29 yılları arası matematikte önemli gelişmeler olur. Bu yüzyılın üç önemli gelişmesi: a) Türevin bulunması. P. Fermat ( ), bir eğrinin maksimum, minimum ve tanjantını bulmak için verdiği uğraşlar sonucunda ( Ş. Al- Tusi den 5 asır sonra) türevin keşfini yapabilmiştir. b) Analitik geometrinin ve kartezyen koordinat sistemini ortaya çıkması. R. Descartes ın ( ) geometriyi cebirleştirme çabası ve bir eğriyi bir sistemde çizme isteği analitik geometrinin doğmasına ve, bugün Descartes a ithafen adlandırılan, cartesien koordinat sisteminin ortaya çıkmasına yol açmıştır. c) Türev ile integral arasındaki, Analizin Temel Teoremi olarak bilinen, ilişkinin Newton ( ) ve Leibniz ( ) tarafından, farklı zamanlarda bulunması. Böylelikle Integral Calculus doğar. Bu olay, Matematiği evrensel bir bilim konumuna getirecektir. Ayrıca, Analizle beraber bilimsel fizik ve mühendislik bilimleri de doğacaktır. Türevden önce, differensiel denklem, dolaysıyla bilimsel fizik yoktu. Bir differensiyel denklem, fiziki bir olayın metematiki ifadesindir. Bu çalışmalar ve astronomideki gelişmeler matematiği başka bir düzeye, yeni bir döneme taşıyacaktır. Derleyen: Ersin Kuset Bodur 29

30 R. Descardes P. Fermat Derleyen: Ersin Kuset Bodur 30

31 I. Newton Leibniz Derleyen: Ersin Kuset Bodur 31

32 MATEMATİK TARİHİ 4. Dönem Klasik Matematik Dönemi Derleyen: Ersin Kuset Bodur 32

33 4. Dönem Klasik Matematik Dönemi Klasik matematik dönemi altın çağ olarak biliniyor. Bu dönemin önemli matematikçilerini: Euler, Laplace, Lagrange ve D Alembert olarak sayabiliriz. Leonhard Euler ( ) İsviçre de, Basel de doğmuş. Petersbourg ve Berlin de yaşamıştır. Çok üretken bir bilim adamıdır. Analizi (Calculus) sayılar teorisine, diferensiyel denklemlere, mühendislik problemlerine...uygulamıştır sayfadan fazla bilimsel eseri vardır. Hatta öldükten sonra 50 sene makalelerinin yayını sürmüştür. Euler ile matematik evrensel boyuta ulaşmıştır. Bugün bile matematikçilerin yaptıları çalışmaların ana fikri Euler in çalışmalarına dayanır. Euler ile birlikte analiz bilim dalı olmuştur. Analiz in babası Euler, fakat bilindiği gibi analiz Eudoxus ve Arşimed le birlikte başlamıştır (yani analizin büyükbabaları diyebiliriz) Derleyen: Ersin Kuset Bodur 33

34 Laplace ( ) Fransa da, Normandia da doğmuştur. Gök ve yer mekaniği hakkında yazdığı 11 ciltlik eseri, bütün zamanlarda mekanik hakkında yazılmış en kapsamlı eserlerinden biridir. Theorie Analytique des Probabilites başlıklı kitabı olasılık teorisinin ilk önemli eseridir.. Joseph-Louis Lagrange ( ) İtalya da Turin da doğmuş, meslek hayatının büyük bölümünü Berlin ve Paris te geçirmiştir. İtalya da doğmasına rağmen Fransız matematikçisi olarak bilinir. Lagrange cebirsel denklemlerin çözülebilirliği, mekanik, differensiyel denklemler ve varyasyon hesabına önemli katkılar yapmış, fikirleri ve yöntemleri bugün de kullanılan bir bilim adamıdır Jean Le Rond D Alembert ( ) Paris te doğmuş, Fransa da yaşamıştır. D Alembert kısmi differensiyel denklemleri ilk inceleyen bilim adamlarından biridir. Kısmi differensiyel denklemler ve akışkanlar mekaniği ilgili çalışmaları ve felsefi yazıları dışında, Diderot ile beraber editörlüğünü yaptığı ünlü 28 ciltlik Encyclopedie nin matematik maddelerinin büyük kısmını D Alembert yazmıştır. Bu eser aydınlamanın temel eserlerinden biridir. Derleyen: Ersin Kuset Bodur 34

35 1800 lerin başında matematik : a) Henüz bir limit kavramı olmadığından ve türevin limit vasıtası ile değil de, sonsuz küçük kavramı kullanılarak tanımlanması. Matematikçilerin ise bu tanımı tutarsız şekilde kullanmaları, b) fonksiyon kavramının doğru tanımlanmamış olması ve matematikçilerin fonksiyonu aynı şekilde anlamamaları, c) süreklilik ve fonksiyon serilerinin yakınsaklığı doğru anlaşılmamış; henüz düzgün süreklilik ve düzgün yakınsaklık kavramlarının olmayışı, integral kavramı türev kavramının tersi olarak görülüyordu; türevden bağımsız bir integral ve integrallenebilirlik kavramının, d) kompleks fonksiyonlar teorisinin, Derleyen: Ersin Kuset Bodur 35

36 e) cebir in grup, halka, cisim, vektör uzayı gibi kavramlarının, f) Matris ve vektör kavramlarının ( 2 li ve 3 lü determinantlar 1680 lerden beri biliniyordu). g) Matematiksel fiziğin ana teoremlerinin h) Differensiyel geometri, topoloji gibi konuların, olmaması gibi sebeplerden bir kriz devresi yaşıyordu. Derleyen: Ersin Kuset Bodur 36

37 A. Cauchy ( ) limit kavramını, bugünkü kullandığımız şekliyle tanımlamış, türevi, sürekliliği ve, sürekli fonksiyonlar için, integrali, limit kavramı yardımıyla tanımlaması sonucu analizin sağlam temeller üzerine oturtulmasına sebep olmuştur. Cauchy nin çalışmaları sonucu, kompleks fonksiyonlar teorisi doğmuştur. Kompleks fonksiyonlar theorisi Cauchy, B. Riemann ( ) ve K. Weierstrass ( ) gibi matematikçilerinin çalışmalarıyla, matematiğin en temel teorilerinden birine dönüşmüştür G. Dirichlet ( ) 1830 larda fonksiyon kavramını bugün anladığımız anlamda tanımlamış. Bu tanım Fourier serileri hakkındaki tartışmaların son bulmasına sebep olacak ve bu alandaki çalışmalara tekrardan hız verilmesine sebep olacaktır. Fourier serileri Analizin gelişmesinde en önemli rolü oynayan, bir bakıma modern matematiğin doğuşuna neden olan, gerek uygulamaları ve gerekse de matematikteki merkezi konumu açısından, matematiğin en önemli konularından biridir. Derleyen: Ersin Kuset Bodur 37

38 Weierstrass ve öğrencilerinin çalışmaları sayesinde, 1850 lerden sonra, düzgün süreklilik, düzgün yakınsaklık gibi analizin vazgeçilmez kavramları ortaya çıkacak, fonksiyon serilerinin yakınsaklığı daha iyi anlaşılacaktır. F. Gauss un ( ) Cebir in Temel Teoremi, ya da D Alembert Teoremi olarak bilinen teoremi ispatlaması bu asrın başka bir önemli olayıdır. Bu teorem bugün cisimler teorisinden analize kadar bir çok teorinin temelinde olan bir teoremdir Bütün zamanların en büyük bilim adamlarından biri olarak kabul edilen Gauss un, sayılar teorisi, differensiel geometri, matematiksel fizik ve astronomiye katkıları bu asrın en önemli çalışmaları arasındadır. En önemli matematikçilerinden biri olan Riemann matematiğe kavramsal bir bakış ve yaklaşım getirmiştir. Bunlardan bir kaçı:riemann integrali ve integrallenebilirlik kavramı, Riemann yüzeyleri, Riemann geometrisi, differensiyel geometri, sayılar teorisi (Riemann hipotezi), kompleks analiz (Riemann yüzeyleri, Cauchy-Riemann denklemleri), cebirsel geometri, matematiksel fizik ve topoloji. Derleyen: Ersin Kuset Bodur 38

39 Analizden sonra Cebir konusunda neler yapıldığına bakalım: H. Abel ( ) ve E. Galois ( ) nın 5. dereceden polinomların cebirsel yöntemlerle köklerinin bulunupbulunamayacağı konusunda çalışmaları sonucu grup teorisi doğdu. Kummer ( ) ve öğrencilerinin Fermat nın teoremini ispatlamak için çalışmaları sonucu halka teorisi ve idealler teorisi ortaya çıkmış. R. Dedekind ( ) gerçel sayıların soyut bir tanımını vermek için yaptığı çalışmalar sonucu, cisim teorisi ortaya çıkmış. Cayley ( ) ve Sylvesterin ( ) çok sayıda doğrusal denklemi tek bir denklem olarak göstermek ve çözmek için yaptıkları çalışmalar sonucu matris cebiri doğdu. Grassman ( ) nın üç boyuttan çok boyuta geçme çabaları sonucunda da vektör uzayları doğdu. Derleyen: Ersin Kuset Bodur 39

40 arası, matematikde birçok konuda ilerlemelerin olduğu; çok sayıda yeni teorinin yine bu dönemde ortaya çıktığı; ispatlarda kesinliğin önem kazandığı; kavram bakış açısının hesap yaklaşımından daha fazla önemsendiği, matematiğin altın çağı denilen bir dönem olarak biliniyor. Derleyen: Ersin Kuset Bodur 40

41 MATEMATİK TARİHİ 5. Dönem Modern Matematik Dönemi Derleyen: Ersin Kuset Bodur 41

42 5. Dönem Modern Matematik Dönemi Modern matematiğin babasının Georg Cantor ( ) olduğu ifade edilir. Yine Kümeler teorisinin babası olarak bilinmektdir. Cantor, rasyonel sayılarla irrasyonel sayıların aynı çoklukta olmadığını söylemiştir. Başka bir ifadeyle, rasyonel sayıların kümesiyle, irrasyonel sayıların kümesi arasında, her iki kümenin de sonsuz olmasına karşın, bire-bir bir dönüşüm yoktur demiştir. O halde bu iki kümenin sonsuzlukları aynı değildir. Böylelikle ortaya küme kavramı ve kümelerin, içerdikleri eleman çokluğu açısından, sınıflandırılması sorunu çıktı. Bu son kavram sonsuzun tek değil, çok olduğunu söylemektedir; o yıllarda bu ifade büyük tepki çekmişti. Cantor un bu sonsuz anlayışı, Kronecker ve Poincaré gibi bir çok ünlü matematikçi tarafından tepki ile karşılandı. Bunun sonucu olarak, sonsuzu Cantor gibi anlayanlar ve Aristo gibi anlayanlar olmak üzere matematikçiler iki guruba ayrıldılar. Küme kavramının, aksiyomatik olarak tanımlanmaksızın, Cantor un yaptığı gibi, sözlük manasında kullanılması, kümeler teorisini çıkmaza soktu. Daha sonraları ise, bir matematiksel ispatın ne olduğu, geçerliliği, meşruluğu sorunu baş gösterdi. Bu olayların sonucu matematik yeni bir krize girer. Matematikçiler girdikleri krizden çıkabilmek için; küme kavramını aksiyomatik olarak tanımlayıp, matematiği aksiyomatik kümeler temeli üzerine inşaa etmeye çalıştılar; Derleyen: Ersin Kuset Bodur 42

43 Tüm bu olayların sonucunda modern matematik doğdu. Matematiğin, aritmetik, geometri,... gibi çeşitli kısımlarının aksiyomatik bir temele oturtulma girişimleri başladı. 20. yüzyılda birçok yeni teoriler ortaya çıktı. Örneğin: Metrik uzaylar, topoljik uzaylar, fonksiyonel analiz, Banach cebirleri, distribüsyon teorisi, operatörler teorisi... Derleyen: Ersin Kuset Bodur 43

44 Bu dönemin matematiği: Diğer dönemlere kıyasla daha soyut ; kavramsal ve yapısaldır. Matematikte uğraşan bilim adamı sayısı çok fazla ve üretim diğer dönemlere oranla oldukça yüksek. Üretimin çokluğu, çeşitliliği, kullanılan dilin konuya has oluşu, matematiğin bütünü hakkında bir bilgiye sahip olmayı imkansız kılmaktadır Matematiğin ne olduğuna tekradan değinecek olursak: Matematiğin bir dil olduğunu söyleyebiliriz. Gerçekleri ve hayalleri anlatan bir dil. Aksiyomlardan oluşan ve amacı daha çok teoremleri ispat etmek olan bir dildir diyebiliriz. Derleyen: Ersin Kuset Bodur 44

45 Kaynaklar 1. Burton, `The History of Mathematics`, 6 th Ed., McGraw Hill 2. Ali Ülger, Matematik Dünyası DAÜ Matematik Bölümü Derleyen: Ersin Kuset Bodur 45

MATE 417 MATEMATİK TARİHİ DÖNEM SONU SINAVI

MATE 417 MATEMATİK TARİHİ DÖNEM SONU SINAVI Öğrenci Bilgileri Ad Soyad: İmza: MATE 417 MATEMATİK TARİHİ DÖNEM SONU SINAVI 23 Ocak 2014 Numara: Grup: Soru Bölüm 1 Bölüm 2 Bölüm 3 21 22 23 24 25 TOPLAM Numarası (1-10) (11-15) (16-20) Ağırlık 20 10

Detaylı

4. Yazılı belgeler dikkate alınırsa, matematiğin M.Ö. 3000 2000 yılları arasında Yunanistan da başladığı söylenebilir.

4. Yazılı belgeler dikkate alınırsa, matematiğin M.Ö. 3000 2000 yılları arasında Yunanistan da başladığı söylenebilir. Sayfa 1/10 MATE417 DÖNEM SONU SINAVI İÇİN ÇALIŞMA SORULARI A) Doğru/Yanlış : Aşağıdaki ifadelerin Doğru/Yanlış olduğunu sorunun altındaki boş yere yazınız. Yanlış ise nedenini açıklayınız. 1. Matematik

Detaylı

Danışman Öğretmen:Şerife Çekiç

Danışman Öğretmen:Şerife Çekiç Bartu İNCE Yiğit TUNÇEL Berkay Necmi TAMCI Yusuf Kaan UZAR Danışman Öğretmen:Şerife Çekiç TRİGONOMETRİ TANIMI Trigonometri, üçgenlerin açıları ile kenarları arasındaki bağıntıları konu edinen matematik

Detaylı

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler 2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE ÖĞRENME Ay Hafta D.Saati ALANI EYLÜL 2 Geometri 2 3 Geometri 2 Geometri 2 Olasılıkve ALT

Detaylı

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9 OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 015 01 1 Eylül 18 Eylül Kümelerde Temel Kavramlar 1. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler.

Detaylı

2014 - LYS TESTLERİNE YÖNELİK ALAN STRATEJİLERİ

2014 - LYS TESTLERİNE YÖNELİK ALAN STRATEJİLERİ 2014 - LYS TESTLERİNE YÖNELİK ALAN STRATEJİLERİ YGS sonrası adayları puan getirisinin daha çok olan LYS ler bekliyor. Kalan süre içinde adayların girecekleri testlere kaynaklık eden derslere sabırla çalışmaları

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

YGS MATEMATİK - CEBİR 01 TEMEL SAYI KAVRAMLARI VE UYGULAMALARI 02 TAMSAYILARDA BÖLME 03 BÖLÜNEBİLME KURALLARI 04 ASAL SAYILAR 05 OBEB VE OKEK 06

YGS MATEMATİK - CEBİR 01 TEMEL SAYI KAVRAMLARI VE UYGULAMALARI 02 TAMSAYILARDA BÖLME 03 BÖLÜNEBİLME KURALLARI 04 ASAL SAYILAR 05 OBEB VE OKEK 06 1 YGS MATEMATİK - CEBİR 01 TEMEL SAYI KAVRAMLARI VE UYGULAMALARI 02 TAMSAYILARDA BÖLME 03 BÖLÜNEBİLME KURALLARI 04 ASAL SAYILAR 05 OBEB VE OKEK 06 RASYONEL SAYILAR KÜMESİ VE ÖZELLİKLERİ 07 BASİT EŞİTSİZLİKLER

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi

Detaylı

İLK ÇAĞ UYGARLIKLARI MEZOPOTAMYA UYGARLIKLARI MISIR UYGARLIĞI İRAN UYGARLIĞI HİNT UYGARLIĞI ÇİN UYGARLIĞI DOĞU AKDENİZ UYGARLIĞI

İLK ÇAĞ UYGARLIKLARI MEZOPOTAMYA UYGARLIKLARI MISIR UYGARLIĞI İRAN UYGARLIĞI HİNT UYGARLIĞI ÇİN UYGARLIĞI DOĞU AKDENİZ UYGARLIĞI İLK ÇAĞ UYGARLIKLARI MEZOPOTAMYA UYGARLIKLARI MISIR UYGARLIĞI İRAN UYGARLIĞI HİNT UYGARLIĞI ÇİN UYGARLIĞI DOĞU AKDENİZ UYGARLIĞI MEZOPOTAMYA UYGARLIKLARI Kelime anlamı İki nehrin arası olan Mezopotamya,

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI 6. SINIF 5. SINIF TÜM KONULARI 1.ÜNİTE: Geometrik Şekiller 1) Verileri Düzenleme, Çokgenler ve Süsleme 2) Dörtgenler 3)

Detaylı

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ KAZANIMLAR

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ KAZANIMLAR KASIM EKİM EYLÜL Ay Hafta D.Saat i 0 04 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE SÜRE ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI Örüntü Süslemeler si KAZANIMLAR.Doğru, çokgen

Detaylı

Matematiğin Kısa bir Tarihi

Matematiğin Kısa bir Tarihi Matematiğin Kısa bir Tarihi Bu konuşmada sizlere, Matematiğin nasıl başladığı ve hangi aşamalardan geçerek günümüze geldiğini anlatmaya çalışacağım. Bir Matematik tarihcisi olmadığımı, anlatacaklarımın

Detaylı

www.usmatik.com MATEMATİK PROGRAMI YGS-LYS Matematik Çalışma Programı

www.usmatik.com MATEMATİK PROGRAMI YGS-LYS Matematik Çalışma Programı www.usmatik.com MATEMATİK PROGRAMI YGS-LYS Matematik Çalışma Programı Ertuğrul US 01.09.2014 MATEMATİK PROGRAMIM Program 6 aylık (24 haftalık) bir programdır. Konuların veriliş sırasına uyularak çalışılması

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 015-01 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI SÜRE: MANTIK(30) ÖNERMELER VE BİLEŞİK ÖNERMELER(18) 1. Önermeyi, önermenin

Detaylı

Ali Sinan Sertöz. Tarih: 5 Şubat 1998, Antalya

Ali Sinan Sertöz. Tarih: 5 Şubat 1998, Antalya SEMİNER Ali Sinan Sertöz 1 KONİ KESİTLERİ Tarih: 5 Şubat 1998, Antalya 1.1 Başlangıç Koni kesitleri ilk kez eski Yunan da ortaya çıkmıştır. MÖ 350 yıllarında yaşamış olan Menaechmus un koni kesitlerini

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

Skolastik Dönem (8-14.yy)

Skolastik Dönem (8-14.yy) Skolastik Felsefe Skolastik Dönem (8-14.yy) Köklü eğitim kurumlarına sahip olma avantajı 787: Fransa da Şarlman tüm kilise ve manastırların okul açması için kanun çıkardı. Üniversitelerin çekirdekleri

Detaylı

8.SINIF MATEMATİK DERSİ PROJE ÖDEVİ

8.SINIF MATEMATİK DERSİ PROJE ÖDEVİ PROJE ÖDEVİ KONUSU:cisimler/Sizden düzgün geometrik cisimlerin(prizmalar,piramitler, küre ) kapalı maketlerinin hazırlanması istenmektedir. 2)Düzgün prizma ve pramitlerin özelliklerini öğreniniz. 3)Açık

Detaylı

4. Yazılı belgeler dikkate alınırsa, matematiğin M.Ö. 3000 2000 yılları arasında Yunanistan da başladığı söylenebilir.

4. Yazılı belgeler dikkate alınırsa, matematiğin M.Ö. 3000 2000 yılları arasında Yunanistan da başladığı söylenebilir. MATE417 ÇALIŞMA SORULARI A) Doğru/Yanlış : Aşağıdaki ifadelerin Doğru/Yanlış olduğunu sorunun altındaki boş yere yazınız. Yanlış ise nedenini açıklayınız. 1. Matematik ile ilgili olabilecek en eski buluntu,

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

SİDRE 2000 ORTAOKULU 2014 2015 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 8. SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI

SİDRE 2000 ORTAOKULU 2014 2015 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 8. SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI -6.09.0 DÖNÜŞÜM Sİ 5-9.09.0 ÖRÜNTÜ VE SÜSLEMELER SİDRE 000 ORTAOKULU 0 05 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 8. SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI,. Doğru, çokgen ve çember modellerinden örüntüler

Detaylı

ÜNİTELENDİRME ŞEMASI

ÜNİTELENDİRME ŞEMASI LENDİRME ŞEMASI ÜNİTE DOĞRULAR VE AÇILAR. Aynı düzlemde olan üç doğrunun birbirine göre durumlarını belirler ve inşa eder.. Paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı açıların eş olanlarını ve bütünler olanlarını

Detaylı

Prof.Dr. ÜNAL ERKAN MUMCUOĞLU. merkan@metu.edu.tr

Prof.Dr. ÜNAL ERKAN MUMCUOĞLU. merkan@metu.edu.tr Ders Bilgisi Ders Kodu 9060528 Ders Bölüm 1 Ders Başlığı BİLİŞİM SİSTEMLERİ İÇİN MATEMATİĞİN TEMELLERİ Ders Kredisi 3 ECTS 8.0 Katalog Tanımı Ön koşullar Ders saati Bu dersin amacı altyapısı teknik olmayan

Detaylı

17. yy. Dehalar Yüzyılı

17. yy. Dehalar Yüzyılı 17. yy. Dehalar Yüzyılı 20. yy a kadar her bilimsel gelişmeyi etkilediler. 17. yy daki bilimsel devrimin temelleri 14.yy. da atılmıştı fakat; Coğrafi keşifler ile ticaret ve sanayideki gelişmeler sayesinde

Detaylı

SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde. Lise ve Ön Lisans Adayları İçin MATEMATİK

SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde. Lise ve Ön Lisans Adayları İçin MATEMATİK KPSS Genel Yetenek Genel Kültür Lise ve Ön Lisans Adayları İçin MATEMATİK Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme KPSS 2016 Pegem Akademi Sınav Komisyonu; 2014 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların,

Detaylı

I 5. SINIF ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI KAZANIM I- 01 I- 02 II- 01 II- 02 II- 03

I 5. SINIF ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI KAZANIM I- 01 I- 02 II- 01 II- 02 II- 03 I 5. SINIF MATEMATİK VE İŞLEMLER 1.1. En çok dokuz basamaklı doğal sayıları okur ve yazar. 1.2. En çok dokuz basamaklı doğal sayıların bölüklerini, basamaklarını ve rakamların basamak değerlerini belirtir.

Detaylı

Ural Federe Bölgesi Öğretmen Evi. IX. Uluslararası Bilim Temelleri Bilgi Yarışması. 2012-2013 öğretim yılı. 1.etap. Maxim Kontsevich e ithafen

Ural Federe Bölgesi Öğretmen Evi. IX. Uluslararası Bilim Temelleri Bilgi Yarışması. 2012-2013 öğretim yılı. 1.etap. Maxim Kontsevich e ithafen Ural Federe Bölgesi Öğretmen Evi IX. Uluslararası Bilim Temelleri Bilgi Yarışması 2012-2013 öğretim yılı 1.etap Matematik 8.sınıf Maxim Kontsevich e ithafen Test soruları hazırlayan: Koutsenkova Olga,

Detaylı

HİTİT ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS TANIMLARI

HİTİT ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS TANIMLARI HİTİT ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS TANIMLARI ZORUNLU DERSLER Matematiğin Temelleri (3-0) 3: Sembolik Mantık; Kümeler Kuramı; Kartezyen Çarpım; Bağıntılar; Fonksiyonlar; Birebir ve Örten Fonksiyonlar;

Detaylı

11.1 11.2. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti. 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti. 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı

11.1 11.2. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti. 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti. 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı 11.1 11. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı 11.5 Eksen Takımının Değiştirilmesi 11.6 Asal Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

PROF. DR. NECDET BİLDİK CELAL BAYAR ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MANİSA

PROF. DR. NECDET BİLDİK CELAL BAYAR ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MANİSA PROF. DR. NECDET BİLDİK CELAL BAYAR ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MANİSA MATEMATİK VE TARİHİNE GENEL BİR BAKIŞ Matematik insanlık tarihinin en eski bilimlerinden biridir.aslında

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN

Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ Prof. Dr. İbrahim UZUN Yayın No : 2415 İşletme-Ekonomi Dizisi : 147 5. Baskı Eylül 2012 - İSTANBUL ISBN 978-605 - 377-438 - 9 Copyright Bu kitabın

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

6.12 Örnekler PROBLEMLER

6.12 Örnekler PROBLEMLER 6.1 6. 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 Çok Parçalı Taşıyıcı Sistemler Kafes Sistemler Kafes Köprüler Kafes Çatılar Tam, Eksik ve Fazla Bağlı Kafes Sistemler Kafes Sistemler İçin Çözüm Yöntemleri Kafes Sistemlerde

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

EMEVİLER VE ABBASİLER DÖNEMİ

EMEVİLER VE ABBASİLER DÖNEMİ EMEVİLER VE ABBASİLER DÖNEMİ DERS NOTLARI VE ŞİFRE TANER ÖZDEMİR DETAY TARİHÇİ TÜRK TELEKOM NURETTİN TOPÇU SOSYAL BİLİMLER LİSESİ TARİH ÖĞRETMENİ EMEVİLER Muaviye tarafından Şam da kurulan ve yaklaşık

Detaylı

8.04 Kuantum Fiziği Ders IV. Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi. ise, parçacığın dalga fonksiyonu,

8.04 Kuantum Fiziği Ders IV. Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi. ise, parçacığın dalga fonksiyonu, Geçen Derste Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi ΔxΔp x 2 Fourier ayrışımı Bugün φ(k) yı nasıl hesaplarız ψ(x) ve φ(k) ın yorumu: olasılık genliği ve olasılık yoğunluğu ölçüm φ ( k)veyahut

Detaylı

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir.

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir. Biz, Sizin İçin Farklı Düşünüyor Farklı Üretiyor Farklı Uyguluyoruz Biz, Sizin İçin Farklıyız Sizi de Farklı Görmek İstiyoruz Soru Bankası matematik konularını yeni öğrenen öğrenciler için TMOZ öğretmenlerince

Detaylı

4- ALGORİTMA (ALGORITHM)

4- ALGORİTMA (ALGORITHM) (ALGORITHM) Algoritma: Bir Problemin çözümünün, günlük konuşma diliyle adım adım yazılmasıdır. Algoritma sözcüğü Ebu Abdullah Muhammed İbn Musa el Harezmi adındaki Türkistan'lı alimden kaynaklanır. Bu

Detaylı

Murat Kaya / Rehber Öğretmen www.psikorehberim.com 1

Murat Kaya / Rehber Öğretmen www.psikorehberim.com 1 MATEMATİK Sayılar 9 6 7 6 9 8 9 7 8 6 8 9 6 4 5 Üslü-Köklü İfadeler 4 5 4 2 2 1 1 3 2 4 2 4 2 4 2 Oran ve Orantı 1-3 1 1 1 2-1 2 1 1-1 1 Çarpanlara Ayırma 3 3 2 3 1 3-3 1 1 4 4 4 4 1 Denklemler-Problem

Detaylı

T.C. SİNOP ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ LİSANS PROGRAMI

T.C. SİNOP ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ LİSANS PROGRAMI T.C. SİNOP ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ LİSANS PROGRAMI I.YARIYIL ( Güz) II.YARIYIL (Bahar) DERSİN DERSİN ADI T P K AKTS DERSİN DERSİN ADI T P K AKTS MAT101 ANALİZ I 4 2 5 7 MAT102

Detaylı

Muhammed ERKUŞ. Sefer Ekrem ÇELİKBİLEK

Muhammed ERKUŞ. Sefer Ekrem ÇELİKBİLEK Hazırlayan: Sunan: Muhammed ERKUŞ Sefer Ekrem ÇELİKBİLEK 20047095 20043193 FİBONACCİ SAYILARI ve ALTIN ORAN Fibonacci Kimdir? Leonardo Fibonacci (1175-1250) Pisalı Leonardo Fibonacci Rönesans öncesi Avrupa'nın

Detaylı

Ossmat.com Matematik-Fizik-Kimya-Biyoloji Hakkında Herşey (ana sayfaya git)

Ossmat.com Matematik-Fizik-Kimya-Biyoloji Hakkında Herşey (ana sayfaya git) Facebook Fun Sayfamız Twitter Sayfamız Ossmat.com Matematik-Fizik-Kimya-Biyoloji Hakkında Herşey (ana sayfaya git) (adsbygoogle = window.adsbygoogle []).push({}); Çıkmış Soru Çözümlerİ Çözümleri Matematik

Detaylı

Tefsir, Kıraat (İlahiyat ve İslâmî ilimler fakülteleri)

Tefsir, Kıraat (İlahiyat ve İslâmî ilimler fakülteleri) ARAŞTIRMA ALANLARI 1 Kur an İlimleri ve Tefsir Kur an ilimleri, Kur an tarihi, tefsir gibi Kur an araştırmalarının farklı alanlarına dair araştırmaları kapsar. 1. Kur an tarihi 2. Kıraat 3. Memlükler ve

Detaylı

EGE ÜNİVERSİTESİ FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 2014-2015 ÖĞRETİM YILI BAHAR YARIYILI BÜTÜNLEME PROGRAMI

EGE ÜNİVERSİTESİ FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 2014-2015 ÖĞRETİM YILI BAHAR YARIYILI BÜTÜNLEME PROGRAMI II. YARIYIL Soyut Matematik II Mat. 1. Grup Prof.Dr.A.FIRAT 22.06.2015 15:00-16:30 C 012, C 013 Mathematics II Mat. 1. Grup Prof.Dr.İ.ÇANAK 23.06.2015 15:00-16:30 C 012, C 013 Bilgisayar (A Grubu) Mat.

Detaylı

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 2015-2016 YAZ OKULU DERS İÇERİĞİ. (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri)

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 2015-2016 YAZ OKULU DERS İÇERİĞİ. (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) Bölümü Dersin Kodu ve Adı K MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1- Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2- Fonksiyonlar,

Detaylı

EGE ÜNİVERSİTESİ FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 2014-2015 ÖĞRETİM YILI BAHAR YARIYILI FİNAL PROGRAMI

EGE ÜNİVERSİTESİ FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 2014-2015 ÖĞRETİM YILI BAHAR YARIYILI FİNAL PROGRAMI II. YARIYIL Soyut Matematik II Mat. 1. Grup Prof.Dr.A.FIRAT 01.06.2015 08:30-10:00 C 012, C 013, C 118, C 119 Mathematics II Mat. 1. Grup Prof.Dr.İ.ÇANAK 10.06.2015 15:00-16:30 C 117, C 118, C 119, C 013

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

G D S 4 2013 MART. Sınıf Ders Ünite Kazanım. 9. sınıf Dil ve Anlatım Türkçenin Ses Özellikleri 1. Türkçedeki seslerin özelliklerini açıklar.

G D S 4 2013 MART. Sınıf Ders Ünite Kazanım. 9. sınıf Dil ve Anlatım Türkçenin Ses Özellikleri 1. Türkçedeki seslerin özelliklerini açıklar. G D S 4 2013 MART Sınıf Ders Ünite Kazanım 9. sınıf Dil ve Anlatım Türkçenin Ses Özellikleri 1. Türkçedeki seslerin ni açıklar. 9. sınıf Dil ve Anlatım Türkçenin Ses Özellikleri 2. Türkçedeki ses uyumlarının

Detaylı

HESAP. (kesiklik var; süreklilik örnekleniyor) Hesap sürecinin zaman ekseninde geçtiği durumlar

HESAP. (kesiklik var; süreklilik örnekleniyor) Hesap sürecinin zaman ekseninde geçtiği durumlar HESAP Hesap soyut bir süreçtir. Bu çarpıcı ifade üzerine bazıları, hesaplayıcı dediğimiz somut makinelerde cereyan eden somut süreçlerin nasıl olup da hesap sayılmayacağını sorgulayabilirler. Bunun basit

Detaylı

DEVRİNİ AŞAN ALİM ULUĞ BEY

DEVRİNİ AŞAN ALİM ULUĞ BEY DEVRİNİ AŞAN ALİM ULUĞ BEY Hasan POLAT * Bilim dünyasında, ilk olarak aritmetikte ondalık sayı usulünü kullanma şerefini taşıyan ve Uluğ Bey Rasathanesinin ilk müdürü olan GIYASÜDDİN CEMŞİT, 1425 yılında

Detaylı

TEMEL SORU KİTAPÇIĞI ÖSYM

TEMEL SORU KİTAPÇIĞI ÖSYM 1-16062012-1-1161-1-00000000 TEMEL SORU KİTAPÇIĞI AÇIKLAMA 1. Bu kitapçıkta Lisans Yerleştirme Sınavı-1 Matematik Testi bulunmaktadır. 2. Bu test için verilen cevaplama süresi 75 dakikadır. 3. Bu testte

Detaylı

A SINAV TARİHİ VE SAATİ : 28 Nisan 2007 Cumartesi, 09.30-11.00

A SINAV TARİHİ VE SAATİ : 28 Nisan 2007 Cumartesi, 09.30-11.00 TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 12. ULUSAL İLKÖĞRETİM MATEMATİK OLİMPİYATI SINAVI - 2007 Birinci Bölüm Soru kitapçığı türü A SINAV TARİHİ

Detaylı

LİSELER İÇİN PROJE VE PERFORMANS ÖDEVLERİ

LİSELER İÇİN PROJE VE PERFORMANS ÖDEVLERİ LİSELER İÇİN PROJE VE PERFORMANS ÖDEVLERİ 1. JENGA OYUNU 2. MOBİÜS ŞERİDİ VE KLEİN ŞİŞESİ 3. FRAKTALLAR. 4. ÇİVİLERLE ALAN HESAPLAMA. 5. KART OYUNLARI 6. NAPİER İN KEMİKLERİ 7. TANGRAM 8. Pi SAYISI. 9.

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 19 HAZİRAN 2016 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS İÇERİKLERİ

SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS İÇERİKLERİ SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS İÇERİKLERİ 1. YARIYIL DERSLERİ MAT101 Analiz I Kredi(Teorik-Pratik-Lab.): 5 (4-0-2) AKTS: 6 Matematik Analizin temel kavramları,

Detaylı

Salim. Yüce LİNEER CEBİR

Salim. Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR ISBN 978-605-318-030-2 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 2015, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış

Detaylı

MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE DEVLET OLGUNLUK SINAVI. Testin Çözme Süresi: 180 dakika ADAY ÝÇÝN AÇIKLAMALAR - YÖNERGE DEVLET SINAV MERKEZÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ

MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE DEVLET OLGUNLUK SINAVI. Testin Çözme Süresi: 180 dakika ADAY ÝÇÝN AÇIKLAMALAR - YÖNERGE DEVLET SINAV MERKEZÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ BURAYA YAPIÞTIR DEVLET OLGUNLUK SINAVI DEVLET SINAV MERKEZÝ MATEMATÝK - TEMEL SEVÝYE MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE Testin Çözme Süresi: 180 dakika Haziran, 2009 yýlý BÝRÝNCÝ deðerlendiricinin þifresi

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

9. SINIF. NET ÖLÇME ve DEĞERLENDİRME MERKEZİ TARİHLİ GENEL DEĞERLENDİRME SINAVI - 03 (GDS - 06) KONU DAĞILIMLARI

9. SINIF. NET ÖLÇME ve DEĞERLENDİRME MERKEZİ TARİHLİ GENEL DEĞERLENDİRME SINAVI - 03 (GDS - 06) KONU DAĞILIMLARI 14.04.2009 TARİHLİ GENEL DEĞERLENDİRME SINAVI - 03 (GDS - 06) Cümle Öğesi 2 Cümle Yapısı 2 İsim Tamlaması 1 Sözcükte Anlam 4 Sözcükte Yapı 2 Ses Bilgisi 1 Yazım Kuralları 1 Noktalama 1 Cümlede Anlam 5

Detaylı

Denildiği gibi, Aydınlığın Son Işığı olan, İskenderiyeli astronom ve matematikçi Theon un kızı Hypatia.

Denildiği gibi, Aydınlığın Son Işığı olan, İskenderiyeli astronom ve matematikçi Theon un kızı Hypatia. Hypatia (M.S. 370-415) Denildiği gibi, Aydınlığın Son Işığı olan, İskenderiyeli astronom ve matematikçi Theon un kızı Hypatia. Atina da eğitimini tamamladıktan sonra İskenderiye ye yerleşmiş ve orada bir

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005 TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 005 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 1. AB = olmak üzere, A

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

9. SINIF. NET ÖLÇME ve DEĞERLENDİRME MERKEZİ 10.12.2009 TARİHLİ GENEL DEĞERLENDİRME SINAVI - 03 (GDS - 03) KONU DAĞILIMLARI

9. SINIF. NET ÖLÇME ve DEĞERLENDİRME MERKEZİ 10.12.2009 TARİHLİ GENEL DEĞERLENDİRME SINAVI - 03 (GDS - 03) KONU DAĞILIMLARI Paragraf 4 Sözcükte Anlam 3 Edebi Türler 1 Noktalama 2 Dillerin Sınıflandırılması 1 Şiir Bilgisi 9 İletişim 1 Dilin İşlevleri 2 Ses Olayları 1 Dil Dışı Göstergeler 1 TÜRKÇE Yazım Kuralları 2 Dil ve Kültür

Detaylı

Sayılar ve Altın Oranı. Mahmut Kuzucuoğlu. 16 Ağustos 2015

Sayılar ve Altın Oranı. Mahmut Kuzucuoğlu. 16 Ağustos 2015 Sayılar ve Altın Oranı Mahmut Kuzucuoğlu Orta Doğu Teknik Üniversitesi Matematik Bölümü matmah@metu.edu.tr İlkyar-2015 16 Ağustos 2015 Ben kimim? Denizli nin Çal ilçesinin Ortaköy kasabasında 1958 yılında

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

Ceyhun Atuf Kansu Caddesi No:86/1 Çankaya / Ankara KURUCUNUN ADI: : RAMAZAN ACAR

Ceyhun Atuf Kansu Caddesi No:86/1 Çankaya / Ankara KURUCUNUN ADI: : RAMAZAN ACAR M KURUMUN ADI : Ceyhun Atuf Kansu Caddesi No:86/1 Çankaya / Ankara KURUCUNUN ADI: : RAMAZAN ACAR PROGRAMIN ADI : -V 1. 2. 3. 4. PROGRAMIN AMAÇLARI: Bu program ile kursiyerlerin, 1. 2. 3. 4. 5. k, 6. Merak,

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

Teori (saat/hafta) BES117 1.Güz 3 0 0 3

Teori (saat/hafta) BES117 1.Güz 3 0 0 3 TEMEL MATEMATİK Dersin Adı Kodu Yarıyıl TEMEL MATEMATİK Önkoşullar Dersin dili Dersin Türü Teori Laboratuar BES117 1.Güz 3 0 0 3 Yok Türkçe Zorunlu Dersin öğrenme ve Anlatım, Soru-Yanıt, Gösterme öğretme

Detaylı

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK PROGRAMI YETERLİLİKLERE DAYALI ÖĞRENİM ÇIKTILARI

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK PROGRAMI YETERLİLİKLERE DAYALI ÖĞRENİM ÇIKTILARI ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK PROGRAMI YETERLİLİKLERE DAYALI ÖĞRENİM ÇIKTILARI PROGRAMIN GENEL TANIMI MATEMATİK TEMEL ALANI MATEMATİK ALANI GENEL TANIMI MİSYON VE VİZYON Matematik, bireyin

Detaylı

MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR.

MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR. Ö S Y M T.C. YÜKSEKÖĞRETİM KURULU ÖĞRENCİ SEÇME VE YERLEŞTİRME MERKEZİ LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 BU SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 LYS MATEMATİK

Detaylı

2013-2014 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI TED KDZ EREĞLİ KOLEJİ ORTAOKULU MATEMATİK 8.SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANDIR.

2013-2014 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI TED KDZ EREĞLİ KOLEJİ ORTAOKULU MATEMATİK 8.SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANDIR. EYLÜL 2013-201 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI TED KDZ EREĞLİ KOLEJİ ORTAOKULU MATEMATİK 8.SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANDIR. 9-13 Örüntü ve Süslemeler Dönüşüm Geometrisi 1. Doğru, çokgen ve çember modellerinden

Detaylı

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu İlköğretim Matematik Eğitimi ndedeoglu@sakarya.edu.tr. MATEMATİK TARİHİ Aritmetik işlemler

Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu İlköğretim Matematik Eğitimi ndedeoglu@sakarya.edu.tr. MATEMATİK TARİHİ Aritmetik işlemler İlköğretim Matematik Eğitimi ndedeoglu@sakarya.edu.tr MATEMATİK TARİHİ Aritmetik işlemler Mısır sayı sisteminde toplama/çıkarma işlemi Toplama çıkarma işlemleri elde ve onluk bozma işlemlerimize benzer

Detaylı

T. C. E. Ü. FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ. 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi Haftalık Ders Programı

T. C. E. Ü. FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ. 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi Haftalık Ders Programı T. C. E. Ü. FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi Haftalık Ders Programı A. Fakülte İçinde "BÖLÜMÜMÜZ" Öğrencilerine Verdiğimiz Dersler I. YARIYIL 405001072003 Soyut Matematik

Detaylı

KONTES ADA LOVELACE: İLK KADIN BİLGİSAYARCI

KONTES ADA LOVELACE: İLK KADIN BİLGİSAYARCI KONTES ADA LOVELACE: İLK KADIN BİLGİSAYARCI Kontes Ada Lovelace, İngiliz şair Lord Byron un kızıdır. Mekanik bilgisayar fikrinin öncüsü C. Babbage ile birlikte programlama fikrinin temelini attı. Kontes

Detaylı

2013 YGS SORU DAĞILIMLARI VE UZMAN YORUMLARI

2013 YGS SORU DAĞILIMLARI VE UZMAN YORUMLARI MEHMET ÖZÖNCEL ANADOLU LİSESİ REHBERLİK SERVİSİ 2013 YGS SORU DAĞILIMLARI VE UZMAN YORUMLARI TÜRKÇE 2013 YGS soruları geçmiş yıllardaki sınav müfredatına uygun olarak geldiği söylenebilir. 2013 YGS soruları,

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

İÇİNDEKİLER İÇİNDEKİLER KODLAB

İÇİNDEKİLER İÇİNDEKİLER KODLAB İÇİNDEKİLER IX İÇİNDEKİLER 1 GİRİŞ 1 Kitabın Amacı 1 Algoritmanın Önemi 2 Bilgisayarın Doğuşu ve Kullanım Amaçları 3 Programlama Dili Nedir? 3 Entegre Geliştirme Ortamı (IDE) Nedir? 4 2 ALGORİTMA VE AKIŞ

Detaylı

MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI ÖZEL ÖĞRETİM KURUMLARI GENEL MÜDÜRLÜĞÜ ÖZEL KONYA SİSTEM TEMEL LİSESİ MATEMATİK BİLİM GRUBU V KURS PROGRAMI

MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI ÖZEL ÖĞRETİM KURUMLARI GENEL MÜDÜRLÜĞÜ ÖZEL KONYA SİSTEM TEMEL LİSESİ MATEMATİK BİLİM GRUBU V KURS PROGRAMI MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI ÖZEL ÖĞRETİM KURUMLARI GENEL MÜDÜRLÜĞÜ ÖZEL KONYA SİSTEM TEMEL LİSESİ MATEMATİK BİLİM GRUBU V KURS PROGRAMI MATEMATİK BİLİM GRUBU V KURS PROGRAMI 1. Kurumun Adı : Özel Konya Sistem

Detaylı

Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS. Kompleks Matematik EEE203 3 3+0 3 4

Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS. Kompleks Matematik EEE203 3 3+0 3 4 DERS BİLGİLERİ Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS Kompleks Matematik EEE203 3 3+0 3 4 Ön Koşul Dersleri Dersin Dili Dersin Seviyesi Dersin Türü İngilizce Lisans Zorunlu / Yüz Yüze Dersin

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

Türklerin Anayurdu ve Göçler Video Ders Anlatımı

Türklerin Anayurdu ve Göçler Video Ders Anlatımı Türklerin Anayurdu ve Göçler Video Ders Anlatımı III. ÜNİTE TÜRKLERİN TARİH SAHNESİNE ÇIKIŞI VE İLK TÜRK DEVLETLERİ ( BAŞLANGIÇTAN X. YÜZYILA KADAR ) A- TÜRKLERİN TARİH SAHNESİNE ÇIKIŞI I-Türk Adının Anlamı

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

TOPOĞRAFYA Temel Ödevler / Poligonasyon

TOPOĞRAFYA Temel Ödevler / Poligonasyon TOPOĞRAFYA Temel Ödevler / Poligonasyon Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ ÇEVRE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF 264/270 TOPOĞRAFYA DERSİ NOTLARI http://geomatik.beun.edu.tr/marangoz http://jeodezi.karaelmas.edu.tr/linkler/akademik/marangoz/marangoz.htm

Detaylı

12. SINIF / ÜNİVERSİTE HAZIRLIK YGS DENEME SINAVLARI DAĞILIMI / TÜRKÇE TESTİ

12. SINIF / ÜNİVERSİTE HAZIRLIK YGS DENEME SINAVLARI DAĞILIMI / TÜRKÇE TESTİ YGS DENEME SINAVLARI DAĞILIMI / TÜRKÇE TESTİ 01 Sözcükte ve Söz Öbeklerinde Anlam 02 Cümlede Anlam İlişkileri / Kavramlar 03 Cümle Yorumu 04 Anlatım ve Özellikleri 05 Anlatım Türleri 06 Sözlü Anlatım 07

Detaylı

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4.

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4. POLİNOMLAR I MATEMATİK. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? I. ( ) P = + II. ( ) P = + III. ( ) + + P = + 6. ( ) ( ) ( ) P = a b a + b sabit polinom olduğuna göre ( ) ( ) ( ) P a +P b +P 0 toplamı kaçtır?

Detaylı

GÖRSEL PROGRALAMA HAFTA 3 ALGORİTMA VE AKIŞ DİYAGRAMLARI

GÖRSEL PROGRALAMA HAFTA 3 ALGORİTMA VE AKIŞ DİYAGRAMLARI GÖRSEL PROGRALAMA HAFTA 3 ALGORİTMA VE AKIŞ DİYAGRAMLARI DERS İÇERİĞİ Algoritma nedir? Akış Diyagramı nedir? Örnek Uygulama ALGORİTMA Algoritma sözcüğü Ebu Abdullah Muhammed İbn Musa el Harezmi adındaki

Detaylı