Binom Açılımı Öğretimine Farklı Bir Yaklaşım

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Binom Açılımı Öğretimine Farklı Bir Yaklaşım"

Transkript

1 Gülte, D. Ç. & Gülte, İ. (00). Biom Açılımı Öğretimie Farklı Bir Yaklaşım,, İlköğretim-Olie, (), 60-66, [Olie]: Biom Açılımı Öğretimie Farklı Bir Yaklaşım Dilek Çağırga GÜLTEN İst. Üiv. Hasa Ali Yücel Eğitim Fakültesi İlköğretim Böl. Matematik Eğitimi Aailim Dalı İsmail GÜLTEN Matematik Öğretmei Şişli Lisesi, İstaul ÖZ: Ceir öğretimide öemli ir yeri ve pek çok uygulama alaı ola Pascal Üçgei ve Biom Açılımı ilköğretim 8.sııf matematik programıı kousudur. Geellikle ders kitaplarıda Pascal Üçgei, ir tek özelliğiyle verilmekte ve u üçgei yardımıyla iom açılımı taımı yapılmaktadır. Acak, u geleeksel yolda suuluşta ifade ve kavramlar çoğu zama öğreci içi sade ir ezermiş gii olmakta öteye gidememektedir. Bu çalışmada Pascal Üçgei ve Biom Açılımı kousuu öğretimi, ir hikaye alatılarak verilmiş ve öğrecileri u kouyu ezerci ir yaklaşımla değil, somut düşümeyle öğremeleri hedeflemiştir. Bu amaçla deeysel çalışma yapılmış ve u kouyu hikaye ile öğree öğrecileri klasik alatımla öğreelere göre daha aşarılı oldukları, kouyu daha iyi hatırladıkları tespit edilmiştir. Aahtar sözcükler: Pascal Üçgei, Biom Açılımı A Differet Approach To Teachig Biomial Expasio ABSTRACT: Pascal Triagle ad Biomial Expasio which have so may applicatios ad a importat place i teachig Algera are the sujects of the mathematics program i the eighth grade of primary educatio. Geerally, Pascal Triagle are give oly oe special feature i the textooks ad y the help of this triagle, the Biomial Expasio is defied. But, i this traditioal presetatio, expressios ad cocepts geerally caot e leared eough y the studets ad treated like a simple memorizatio. I this study, teachig of Pascal Triagle ad Biomial Expasio give through tellig a story with a sceario method. The purpose, studets should lear this suject ot with memorizig approach ut with the cocrete thikig. Keywords: Pascal Triagle, Biomial Expasio Giriş Pascal (Paskal) Üçgei ve Biom Açılımı, ilköğretim 8.sııf matematik programıı Harfli İfadeler ve Deklemler üitesii kousudur. Bu üitei ilk kousu olarak Harfli İfadeler ve Harfli İfadelerle Yapıla İşlemler verilmektedir. Öğrecileri, harfli ifadelerle işlem yapma sürecide ir soyutlama içide uluduğu aşikardır. Harfler öğreciye e ifade etmektedir; acaa u durum öğreci içi sadece soyut ir durum mudur? Harfleri kullaarak işlemi doğru yapailmek içi uğraş vermekte ola öğreciye harfleri somutlaştırarak vermek mümkü değil midir? Öğreci harfleri, sadece ir harf olarak değil de ir searyou öğeleri olarak (cis ya da özel ismi aş harfleri ya da ir olayı v.) düşüse durum daha somut olmayacak mıdır? Geel olarak, soyut kavramları kazaılması zordur. Matematiği, öğrecilere zor gelmesii seei elki urada yatmaktadır. Acak matematik kavramlar, öğretim sırasıda somutlaştırılarak ve somut araçlar kullaılarak u zorluk giderileilir; e azıda azaltılailir (Baykul, 00, s.). Yapısı gereği, matematiği gülük yaşam prolemlerii ir gereksiimi olarak var olduğu düşüülürse soyut değil, somut olarak gözöüe alıa icelemeleri daha etkili ve verimli olduğu ir gerçektir. O halde harfli ifadeler ve deklemler üitesi işleirke, öğrecilere harfleri farklı algılamalarıa olaak verecek örekler vereilmek gerekir. 8. sııf matematik dersi üite plalarıda. üite içi Kaşıkçı (Kaşıkçı, I), öğrecileri harfli ifadelerle ilgili içi, asıl, kolay ir yol var mı? sorularıa karşılık olarak geometrik şekiller; hayva, çiçek ve değişik figürler kullamakla harfli ifadeleri kavratılailmesie ilişki e iyi asıl öğreiriz? sorusua ir yaklaşım getirmiştir.

2 İlköğretim-Olie 6 Üitei ikici kousu, hedefi Biom Açılımıı Kavrayailme (İOMP, 00) ola Pascal Üçgei ve Biom Açılımı olup, öğrecii urada da harfli ifadelerde olduğu gii soyutlamayla karşı karşıya kaldığı açıktır. Geellikle ders kitaplarıda öreği, Polatoğlu, Çamlı ve Çalıkoğlu (00) yazdıkları 8.sııf matematik kitaıda Pascal üçgeii ir tek özelliğiyle vermektedir. Bu üçgei her satırıdaki sayıları ( a ± ) i tam kuvvetlerii açılımıdaki terimleri katsayılarıı vereceği ifade edilerek Biom Açılımı taımı yapılmaktadır. Böylelikle öğreci çoğu zama ezercilikle karşı karşıya kalmaktadır. Oysa ki öğreci matematik dersii ezerci değil, eğleceli öğremek istemektedir yılıda yapıla ir akette (Saka, II) öğrecilere matematik dersii asıl öğremek istedikleri sorulduğuda verdikleri cevaplar şaşırtıcı değildir: Eğleceli hale getirilmesi, ulmaca çözer gii sıkılmada öğretilmesi, asite idirgemesi, öğretmei dersi zevkli hale getirmesi, e kolay ve e alaşılır yollarda öğremek istemesi. Bu cevaplar, matematik öğretimide soyutta somuta ilkesiyle hareket etmek gerektiğii ir göstergesidir. Bu çalışmada Pascal Üçgei ve Biom Açılımı kousu öğretilirke öğreciye ifadesii açılımı ir hikaye alatılarak verilecektir. Pascal Üçgeie karşılık gele iom katsayılarıı ise hem sözkousu hikaye ile hem de Pascal Üçgeii azı özellikleri verilerek kavratılması ile ilgili etkilikler verilecektir. Biom Açılımı ve Pascal Üçgei i Öğreciye Geleeksel Taıtımı içimide ifade edile iom açılımı ile a, R, N olmak üzere iki terimli ifadeleri pozitif tamsayı ola kuvvetlerii açılımı uluur. Biom açılımıı çarpalara ayırma, alt küme sayılarıı ulma ve olasılık hesaplarıda geiş kullaım alaları vardır ve uda dolayı ceir öğretimide de öemlidir(altu, 00, s.6). ifadesii eşitii ulumasıda, i kedisi ile defa çarpılacağı aşikardır. Bu durumu =, =, = içi örek olarak vermek ve geelleme yapmak yeride olacaktır. Suuş: a + ( ) = a + dir. yi ulmak içi ile çarpılır. ü ulmak içi ile ile çarpılır ya da i soucuyla çarpılır. a + ü ulmak içi ( ) ( ) çarpılır. a + kedisiyle dört kere çarpılır ya da ü soucuyla Yukarıda yazılalar ir taloda gösterilirse (III): = = a + a + a + a + a + a + a a + a + a a + a + a + a + a + a + a + a + = a + a + a + a + - a + a + a + a a + a + a + - a + a + 6 a + a + Burada elde edile souçlar: 0 = a + a + a + ( a + ) a + a + a + (*) a + a + 6a + a a + 5a + 0a + 0a + 5a +

3 İlköğretim-Olie 6 Öğreciye söyleecekler: Görüldüğü gii u işlemler pek de zor değildir. Acak, devam edildiğide her gerektiğide (=,,...,) içi öyle ir işlemi yapmak zahmetlidir. Eğer tüm u işlemler yerie, ir kural olsa eşitliğii hesaplama işi daha kolay olacaktır. İşte u, Biom Açılımı adı verile kural ile olacaktır. Amaçlaaı e olduğu u içimde ifade edildikte sora, i açılımıdaki her ir terimi (a,, a) aşıdaki katsayılar ile pascal üçgei arasıdaki ilişkiyi ve pascal üçgei hakkıda azı öemli ilgileri vermek yeride olacaktır. açılımlarıda karşılaşıla katsayılar yazılırsa: =0 içi = içi = içi = içi = içi 6 =5 içi Gerçi u katsayıları oluşturduğu üçge Ömer Hayyam ı (00) orijial çalışmalarıda yer almakta ise de, adıı Frasız matematikçi Blaise Pascal da (6-66) ala pascal üçgeii (*) daki katsayılarda oluştuğu görülecektir. Kearlarda olmak üzere her sayıı üstüdeki iki sayıı toplamı olarak yazılmakla oluştuğu pascal üçgei, u eşkear formda farklı olarak (*) da da görüleileceği gii dik üçge formuda da gösterilmektedir. Bu üçgei azı özellikleri verilecek olursa: İkici sıra (koyu rekli), doğal sayılar serisi; üçücü sıra (italik rakamlı), üçge sayılar (,,6,0,5,...) da oluşmakta; her satırdaki sayıları toplamı, sıfır da aşlamak üzere i üslerii vermektedir, 0,,,,,.... Her sıraı, yie sıfır da aşlamak üzere kedi dereceside ir poliomu katsayılarıı vereceği ifadesiyle pascal üçgeii iom açılımıyla ilişkisi etleşecektir (Örek: a + a + a + ) (Büyükkeçeci, IV). Acak geleeksel yolda suula u ifade ve kavramlar, çoğu zama öğreci içi sade ir ezermiş gii olmakta öteye gidememektedir. Ceir öğretimide öemli ir yeri ve pek çok uygulama alaı ola iom açılımı öğretilirke, iki terimli arasıda ilişki kurulduğuda öğreci ir olaya akış açısı kazaacak ve zihide caladırarak ya da verilecek örek olayı ir oyu (ya da searyo) gii algılayarak soyutta somuta düşümeye geçeilecektir. İlk olarak hikaye taıtılır ve hikayei hedefii e olduğu verilmekle işe aşlaailir. Hikayei Kurgusu: Bir at ve ir oğa irlikte yürümektedir. Yürüyüşü aşlagıcıda atı sırtıda tae çuval var, ir süre (sürei hiçir öemi yok) taşıdıkta sora yorulmakta ve uu oğayla paylaşmakta; u paylaşım her defasıda atı oğaya ir tae çuval vermesiyle gerçeklemektedir. Bu ruti olayda, atı sırtıda ir çuval azalırke, oğaı sırtıda ir çuval artmaktadır. E souda atı sırtıdaki ütü çuvallar, oğaı sırtıda olmaktadır. Yolu soua ulaştıklarıda (hedefe) toplam kaç adım atmış oldukları uluacaktır. Hikayei Verilişii Birici Aşaması: Bu hikaye =, =,..., = içi at ve oğaı sırtıdaki çuvalları durumu gözöüe alıarak kavratılmalı. Bu aşamada öğreciye = de aşlayarak örekler vermek yeride olacaktır; kavradığı alaşılaa kadar yük sayılarıı artırmak olaaklıdır. Suuş: Her yürümeye aşladıklarıda at (a), çuvalları tamamıı yüklemiş olarak işe aşlamakta, oğa () da yaıda yürümeye aşlamakta, ama hiç yükü olmadığı içi görümemektedir ( 0 = olarak görüüyor). Yürüyüşü so aşamasıda da atı sırtıda hiç yük yok (a 0 =). Şimdi, örek verilirse: Atı sırtıda tae çuval olsu ( = ): a, ir süre yürüyor ve çok yorulup çuvalı oğaya veriyor:.

4 İlköğretim-Olie 6 Atı sırtıda tae çuval olsu ( = ): a, ir süre yürüdükte sora yoruldu ve çuvalı ağaya verdi: a, yürümeye devam ettiler ve at yorulup kala çuvalı oğaya verdi:. Atı sırtıda tae çuval olsu ( = ): a, yoruldu irisii oğaya verdi: a, ir süre yürüdükte sora at yie yorulup çuvalı taesii daha oğaya verdi: a, yürüyüşü soua geldikleride at çok yoruldu ve so kala çuvalı da oğaya verdi:.... Böylece devam edilirse, Atı sırtıda tae çuval olsu ( = ): a, yoruldu irisii oğaya verdi: a, ir süre yürüdükte sora at yie yorulup oğaya çuval daha verdi: a,..., yürüdükleri yol oyuca atı sırtıda tae çuval, oğaı sırtıda ise atı verdiği çuvallarda = tae oldu: a ve souda tüm yükü oğa aldı:. Bu örek olayı verirke, atı verdiği ve oğaı aldığı yükleri toplamıı ayı sayıyı koruduğu vurgulamalıdır: At sırtıdaki tae çuvalı oğaya vermekte, ama u yük sayısıı toplamı hiçir zama değişmemektedir (üsler toplamı) ve at tüm çuvalları oğaya verdiğide oğadaki çuval sayısı yie so aşamada yi korumaktadır. Heüz ir toplam verilmede ( toplam attıkları adım sayısı edir? sorusua cevap vermede) sadece at ve oğaı gözöüe alıa u durumları, sırası takip edilerek yazılırsa: = tae yük var: a = tae yük var: a a = tae yük var: a a a = tae yük var: a a a a... = tae yük var: a a - a -... a - Bu aşamada sora, artık şu soruyu sormak yeride olur: At ve oğa, atı sırtıdaki ütü çuvallar ( tae, =,,...,) oğaı sırtıda olup yolu soua geldikleride toplam kaç adım atmış olacaklardır? Yalız urada, dikkati çekmek gerekir ki toplama işlemii oluştura terimleri sayısı kadar adım atmamakta; attıkları toplam adım sayısı, sırttaki yükle değişim sayısıı vermektedir. Hikayei Verilişii İkici Aşaması: At ve oğa çuvalları değişerek yürürke adım atmaktalar. Her yük değişimide sora adım sayıları, atı sırtıda azala yüke ve değişimi olduğu zamaa kadar atıla adıma ağlı olarak u değişimi aşıa yazılmaktadır. Atı sırtıdaki ütü çuvallar oğaı sırtıda oluca yolu soua varmış olmaktadırlar. Hedefe vardıklarıda toplam adım sayısı, her değişimde öe yazıla adım sayıları toplaarak uluur. Suuş: ÖRNEK. At ve oğa adım atarak irlikte yürümeye aşlıyorlar. At, sırtıa çuval yük alıyor (Her aşlagıç içi oğaı da yaıda olduğu, acak hiç yükü olmadığı içi 0 = olarak alıdığı kauldür). Bir süre yürüdükte sora at yoruluyor ve sırtıdaki çuvalı oğaya veriyor. Şu aa kadar acaa kaç adım attılar? Her defasıda ilk olarak atı çuvalları hepsii sırtıa alması adım atması olacaktır ve u ilk durumu ifadesi:.a. Şimdi atı çuvalı oğaya verdiği haldeki duruma akılırsa (u durum, sorular ve verile cevaplarda oluşmaktadır); atı sırtıda kaç yük vardı?:, kaç adım atmıştı?:,.. At şimdiye kadar kaç defa yük değiştirdi?: ve : olup, ir soraki değişimi aşıa yazılırsa a uluur. Yürümeye devam ediyorlar ve at çok yorulup kala çuvalı da oğaya veriyor ve artık tüm çuvallar oğada. Acaa u aşamada kaç adım atıldı? Öce, aşta u so duruma gelee kadar ki durumlar dikkate alıırsa, a, a uluduğu görülür. Bu durumda toplam değişim olmuştur. O halde so aşamadaki atıla adım sayısıı ulmak içi izleecek sorular: Atı sırtıda kaç çuval kalmıştı?:, uda öceki yük değişimide (a) kaç adım atmışlardı?:,.. At çuvalları hepsii ıraktığıda kaç değişim oldu?:, :=. O halde, sodaki adım sayısı: olup, olacak (Atı sırtıda hiç çuval kalmadığıda yazılmaz, a 0 ).

5 İlköğretim-Olie 6 () A. Degisim () A B. Degisim () B = Toplam adım sayısı yazılırsa: ++, =. ÖRNEK. At ve oğa adım atarak yürümeye aşlıyor. İlk olarak at sırtıa çuval yük alıyor: a. Bir süre yürüdükte sora yoruluyor ve ir çuvalı oğaya veriyor: a ; u halde kaç adım atacaklarıı ulup öüe yazmak içi sorulursa: Atı sırtıda kaç çuval vardı?:, kaç adım atmıştı?:,.. At kaç defa yük değiştirdi?:, : olup, a uluur. Yürümeye devam ediyorlar ve at yie yorulup çuvalı irii oğaya veriyor: a, u halde kaç adım atacakları uluup yazılacak. Atı sırtıda kaç çuval vardı?:, kaç adım atılmıştı?:,.=6. Şimdiye kadar kaç değişim oldu?:, 6:= olup a uluur. Yie yürümeye devam ediyorlar ve yolu soua geldikleride at kala çuvalı da oğaya yüklüyor:. Acaa u durumda kaç adım atılacak? Buu içi sorulursa: Atı sırtıda kaç çuval vardı?:, kaç adım atılmıştı?:,.. Şu aa kadar kaç değişim oldu?:, :=. O halde olacaktır. () A. Degisim () A B. Degisim = () A B. Degisim = 6 6 = () B = Toplam atıla sayısı uluursa: +++8, 8=. ÖRNEK. (Örek ve de görüldüğü gii her aşlagıçta ve yolu souda at ve oğa yükü tamamıı sırtıa aldığıda atıla adım sayısı değişmemekte, olarak kalmaktadır. Buda dolayı, u örekte u değişimleri her zama ayı kaldığıa dikkat çekileilir ve ilk değişim icelemede verileilir. ) At ve oğa yürümeye aşlıyorlar, at sırtıa çuval alıyor: a. Adım atarak yürürlerke at yoruluyor ve çuvalı taesii oğaya veriyor: a. Bu durumda kaç adım atacaklar, ulmak içi gerekli sorular cevaplaırsa; atı sırtıda kaç çuval vardı?:, kaç adım atılmıştı?:,.. Çuval değişimi kaç defa oldu?:, : olup a. Yola devam ediyorlar ve at yie yorulup çuvalı daha oğaya veriyor: a. Atacakları adım sayısı uluursa: Atı sırtıda kaç çuval vardı?:, kaç adım atılmıştı?:,.=. Kaç değişim oldu?:. O halde :=6 olup 6a. Ve yürümeye 6 adım devam edice at yie yorulup çuvalı oğaya veriyor: a. Bu durumda attıkları adım sayısı uluursa; atı sırtıda kaç çuval vardı?:, kaç adım atılmıştı?: 6,.6=. Buraya kadar kaç defa yük değişimi oldu?:. O halde := adım atacaklar: a. Buda sorakide:, kaç çuval vardı?:, kaç adım atılmıştı?:. Değişim sayısı:. O halde: := olup,. () A () A B. Degisim = (6) A B. Degisim = = 6 () A B. Degisim 6= =. Degisim B () { = = Toplam atıla adım sayısı: , 6=. Böylece devam edildiğide tae çuvalı taşımaları sırasıda da ayı yötemi tekrarlaacağı aşikardır. Kısaca ( ).cide soraki adımlar (u hal ayrıtılı icelemede) gözlemleirse: At ve oğa irlikte yürümeye aşlıyorlar, atı sırtıda çuval yük var: a, u çuvallarda irisii oğaya veriyor: a -, kaç adım atılmıştı?:, kaç çuval vardı?:, kaç değişim oldu?:, :. O halde a -. Buda soraki yürüyüşte, atı sırtıda kaç çuval vardı?: -, kaç adım atıldı?:. Değişim kaç defa?: ( ) ( )( ), ; ir sorakii olacağı aşikardır ve devam edilirse, soda ir öce. adım atacaklar: a - ve so olarak da adım atmış olacaklar:. ( ) ( )( ) Toplam atıla adım sayısı : L + + =..

6 İlköğretim-Olie 65 Hikayei İşlem Basamakları:. İlk aşladıklarıda ütü çuvallar atta ve yolu soua vardıklarıda ütü çuvallar oğada olup çuvalları tümü sadece irisideyke adım atmaktadır. Şuu söylemek mümküdür: Çuvalları hepsi sadece irisii sırtıdayke adımda fazla atamıyorlar.. İkici defa yürüyüşe aşladığıda, yai atı sırtıdaki çuvallar azaldığıda ve oğa ilk defa çuval aldığıda atıla adım sayısı, atı sırtıa ilk defada aldığı yük sayısı kadar olmaktadır.. Yürüyüşü soa ermeside öce, yie atıla adım sayısı taşıacak çuval sayısı kadar olmaktadır.. Toplam yük değişim sayısı + defa, atıla toplam adım sayısı defadır. Yötem: Bu hikaye ile alatım, İstaul ili Firuzağa İlköğretim okuluda ir yıl ara ile 5 ve 7 kişilik iki sııf, 7 ve kişilik iki sııf olmak üzere toplam adet 8.sııfa; ayrıca İstaul ili Şişli Liseside ve 6 kişilik iki 9.sııf ve 8 kişilik ir 0.sııfa uygulamıştır. İşlem ve Bulgular: Araştırmacılar ders deeyimleride yola çıkarak, iom açılımıı öğreciye kolay kavratılması içi u metoda ulaşmışlardır. Sııf ortamıda uygulaması, araştırmacılarda öğretme Gülte tarafıda yapılmıştır(makalei devamıda öğretme olarak geçecektir). Öğretme iom açılımıı öce klasik yötemle alatmış, örekler çözmüş ve tahtaya ir soru yazarak iom açılımıı yapmalarıı istemiştir. Sora sııfı dolaşarak teker teker kotrol etmiş ve irkaç öğrecii doğru yaptığıı tespit etmiştir (5 ve 7 kişilik iki sııfta da durum ayı olup, doğru cevaı vere öğreci sayısı 0 u geçmemiştir). Öğreciler, öğretmee katsayıları, derece sayılarıı hatırlayamadıklarıı ve karıştırdıklarıı söylemiştir. Buu üzerie öğretme, açılımıda dereceleri değişimii kavratailmek amacıyla at ve oğa hikayesii alatmış (searyou verilişii irici aşaması), katsayıları ise Pascal üçgei ile vermiştir. Tahtaya yeide soru yazmış ve u defa 5 kişilik (ve 7) sııfı %50 sie yakıı açılımdaki dereceleri doğru yazmış, fakat katsayıları aşa yazarke karıştırmıştır (5 kişilik sııfta %50 i 6 taesi, 7 kişilik sııfta 8 taesi hem katsayı hem dereceyi doğru yazmıştır). Bu aşamada sora öğretme, katsayıları kavratmak amacıyla ikici aşamadaki hikayeyi alatmıştır. Atı, oğaı ve sırtıdaki çuvalları resimlerii de tahtaya çizerek olayı dramatize etmiştir. Öğretme, at ve oğaı arasıdaki kouşmaları dramatize ederke öğrecileri keyifle dilediklerii, öğrecilerde merak duygusuu oluştuğuu gözlemlemiştir. Öğreciler, u hikayei suumuu sessiz ve dikkatlice dilemişler; hikayei alatımı itice öğretmee, u alatımı çok eğleceli ulduklarıı söylemişlerdir. Alatım ittikte sora öğretme tahtaya yeide ir soru yazmış ve u defa sııfı çoğuluğuda doğru cevaı almıştır(7 kişilik sııfta 0, kişilik sııfta 6 taesi). Bir yıl sora u kou 7 kişilik sııfa geleeksel yolda, kişilik sııfa ise hikaye ile alatılmıştır. Her iki sııfa da ayı sorular sorulmuş [,, ( + f ), ( f + a) ] ve cevapları küçük kağıtlara yazılarak toplamıştır(sıav amaçlı değil). Bu kouyu geleeksel alatımla göre öğrecilerde %6 sıı, yei yötemle göre öğrecilerde %78 ii sorulara doğru cevap verdikleri görülmüştür öğretim yılıda Şişli Liseside kişilik 9.sııf öğrecilerie çarpalara ayırma kousu alatılırke iom açılımı ile ilgili örekler sorulduğuda öğrecileri üyük ir çoğuluğuu kouyu uuttuğu, iki terimli toplamı ve farkıı yaparke derece ve katsayıları karıştırdıkları görülmüştür. Bu öğreciler farklı ilköğretim okullarıda gelmiş olup, iom açılımı kousuu geleeksel yötemle öğremiş öğrecilerdir. Bu durum dersi öğretmei ile irlikte araştırmacılar tarafıda değerledirilmiştir. Dersi öğretmei * u araştırmada söz edile hikayei suumu ile ilgili olarak ilgiledirilmiştir. Buda soraki ilk derste u hikayeyi suarak iom açılımı kousuu öğreciye hatırlatmış ve sorula soruları sııfı tamamıa yakıı doğru cevaplamıştır. Ayı yötem araştırmacı öğretme tarafıda 6 kişilik 9.sııfta tekrarladığıda aşarıı %85 civarıda olduğu * Uygulamada yardımcı ola matematik öğretmei Alta Aygü e teşekkür ederiz.

7 İlköğretim-Olie 66 görülmüştür. Öğretmeler verileri toplarke, tahtaya yazdıkları soruları cevaplarıı öğrecileri küçük ir kağıda yazarak vermelerii istemiştir(sorula sorulara ör: (a + ),,,, ) öğretim yılıda 0.sııflarda iom açılımı ile ilgili örekler sorulduğuda, sııfta ulua u yötem ile öğremiş öğrecileri iom açılımıı heme hatırladıkları görülmüş ve sorulara yaklaşımlarıı daha doğru olduğu tespit edilmiştir. Souç ve Öeriler: Bu çalışmada iom açılımıı hikaye ile öğree öğrecileri, klasik alatımla öğreelere göre daha aşarılı oldukları, kouyu daha iyi hatırladıkları gözlemiştir. Hikaye ile alatım sırasıda öğretmei, oyulaştırarak ve tahtaya çizdiği at ve oğa arasıdaki kouşmaları tiyatro saheside gii temsil etmesi ile öğreciler dersi eğleceli ulmuşlardır. Suum sırasıda öğrecilerde merak duygusu gelişmiş ve öğremeye ilişki motivasyou güçlü ir şekilde sağladığı görülmüştür. Öğreciler, karşılaştıkları iki terimli ifadeleri sadece a ve olmadığı durumları da gözöüe alarak diğer harflerle ilişkili olarak yei hikayeler geliştireileceklerii söylemişlerdir; öylelikle yaratıcı souçlar elde ettikleri görülmüştür. Bu yapıla icelemeler ışığıda souç ve öeriler:. Klasik ir iom açılımıı suuşu değil de ir hikaye ile olayı kavraya öğreci uu uutmayacaktır.. At, oğa ve sırtlarıdaki çuvallar, resimle çizildiğide ya da figürleri kullaıldığıda ders eğleceli hale gelecektir.. Biom açılımı deildiğide herhagi iki terimlii harf toplamı değil, ir olayı varılacak souçları olarak gözöüe alıacaktır.. Bu çalışmada ilköğretime yaacı olmaması edeiyle a ve, at ve oğa olarak gözöüe alımış olup farklı örek olaylar verileilir ve öğrecide oluşturması isteeilir. 5. Bu hikaye gerçek olmamakla irlikte, uygulayıcı gerçek koşullara uyarlayailir. Aşağıda gerçek durumlara iki örek verilmiştir: a) Ticaret yapa ve u çuvalı taşıya ir tüccarı at ve oğası olsu. Bu çuvalları atla oğa kedileri değiştiremeyeceği içi tüccar değiştirecektir. ) Öğretme öğreciyi daha iyi motive etmek içi öğrecii atla oğa sahii olduğuu söyler, u çuval değişimii öğreci kedisi uygular ve daha çok motive olmuş olur. 6. Biom açılımı sadece a ve gii harflerde iaret olmayıp, her öğretilmek istee iki terimli toplamıı.ci merteede toplamı ifadeside kurguları çeşitlemek yeride olacaktır. 7. Pascal üçgeii azı özelliklerii verilmesi ile öğrecii motivasyou üst düzeyde tutulmuş olacaktır. 8. Bu çalışma, sadece ilköğretim aşamasıda ele alımış olup olasılık ile ilgili (komiasyo) durumlara değiilmemiştir. Orta öğretimde, heüz iom açılımıı kavrayamamış öğreciler içi farklı ir kurguyla verileilir. Kayakça: Altu, M. (00). Eğitim Fakülteleri ve İlköğretim Öğretmeleri İçi Matematik Öğretimi. Bursa: Alfa Kitaevi. Altu, M. (00). İlköğretim İkici Kademede (6,7 ve 8. sııflarda) Matematik Öğretimi. Bursa: Alfa Kitaevi. Baykul, Y. (00). İlköğretimde Matematik Öğretimi -5. Sııflar İçi. Akara: Pegem A Yayıları. İlköğretim Okulu Matematik Programı (00) Sııf. İstaul: Milli Eğitim Basımevi. Polatoğlu, M.; Çamlı A.& Çalıkoğlu İ. (00). İlköğretim Matematik Ders Kitaı 8. İstaul: Milli Eğitim Basımevi. I. Kaşıkçı M., Öğretme Düyası, 8. Sııf Matematik Dersi Üite Plaları, we adreside alıdığı tarih: II. Saka M., Öğrecilerim Matematiği Nasıl Öğremek İsterler, com/tartisma/tartisma_ogrecilerim_matematik_dersii_0.htm, we adreside alıdığı tarih: III. Math Forum: Pascal s Triagle, pascal_iomial.html, we adreside alıdığı tarih: IV. Büyükkeçeci, S., PaRaDoksLaR, Matematiği Sırları: Pascal Üçgei, com/ matematiks/ matematigi_sirlari.htm, we adreside alıdığı tarih:

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere, KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

BAŞKENT ÜNİVERSİTESİ Makine Mühendisliği Bölümü

BAŞKENT ÜNİVERSİTESİ Makine Mühendisliği Bölümü BAŞKENT ÜNİVERSİTESİ Makie Mühedisliği Bölümü 1 STAJLAR: Makie Mühedisliği Bölümü öğrecileri, öğreim süreleri boyuca 3 ayrı staj yapmakla yükümlüdürler. Bularda ilki üiversite içide e fazla 10 iş güü süreli

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi 3 Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteı Yötemi Bu yötem bir izdüşüm tekiğie dayaır ve yalış pozisyo olarak isimledirile matematiksel tekiğe yakıdır. Buradaki düşüce f() çizgisi üzerideki bilie iki oktada

Detaylı

Eczacılık Fakültesi Öğrencilerinin Mesleğe Yaklaşımları Pharmacy Students' Approach to Their Profession

Eczacılık Fakültesi Öğrencilerinin Mesleğe Yaklaşımları Pharmacy Students' Approach to Their Profession Eczacılık Fakültesi Öğrecilerii Mesleğe Yaklaşımları Pharmacy Studets' Approach to Their Professio Işıl ŞİMŞEK* Yıldır ATAKURT** Bihter YAZICIOĞLU*** ÖZET Bu çalışmada, Eczacılık Fakültesi öğrecilerii

Detaylı

KOMBİNASYON: ve r birer pozitif doğal sayı olmak üzere r olsu. farklı elemaı r elemalı alt kümelerii sayısıa i r 2. Örek:! C(,r) = r!. r! li kombiasyou deir ve gösterilir. C(,r) = r P(,r)! = = r r! r!.

Detaylı

BİLGİNİN EĞİTİM TEKNOLOJİLERİNDEN YARARLANARAK EĞİTİMDE PAYLAŞIMI

BİLGİNİN EĞİTİM TEKNOLOJİLERİNDEN YARARLANARAK EĞİTİMDE PAYLAŞIMI The Turkish Olie Joural of Educatioal Techology TOJET July 2005 ISSN: 106521 volume Issue Article 16 BİLGİNİN EĞİTİM TEKNOLOJİLERİNDEN YARARLANARAK EĞİTİMDE PAYLAŞIMI Yard. Doç. Dr. Bahadti RÜZGAR Marmara

Detaylı

Öğrenci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı

Öğrenci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı Öğreci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı SORU 1. a) Ekoomii taımıı yapıız, amaçlarıı yazıız. Tam istihdam ile ekoomik büyüme arasıdaki ilişkiyi açıklayıız. b) Arz-talep kauu edir? Arz ve talep asıl artar

Detaylı

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz TĐCARĐ MATEMATĐK - 5 Bileşik 57ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: Örek 57: 0000 YTL yıllık %40 faiz oraıyla yıl bileşik faiz ile bakaya yatırılmıştır Bu paraı yılı souda ulaşacağı değer edir? IYol: PV = 0000 YTL = PV (

Detaylı

TUTGA ve C Dereceli Nokta Koordinatlarının Gri Sistem ile Tahmin Edilmesi

TUTGA ve C Dereceli Nokta Koordinatlarının Gri Sistem ile Tahmin Edilmesi TMMOB Harita ve Kadastro Mühedisleri Odası, 5. Türkiye Harita Bilimsel ve Tekik Kurultayı, 5 8 Mart 5, Akara. TUTGA ve C Dereceli Nokta Koordiatlarıı Gri istem ile Tahmi Edilmesi Kürşat Kaya *, Levet Taşcı,

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10 . ( ) ( ) 9 x.si x + 4 / x.si x, 0 x π İfadesii alabileceği e küçük tamsayı değeri A) 4 B) 3 C) D) E) 0. Yuvarlak bir masa etrafıda otura 5 şövalye arasıda rasgele seçile 3 taeside e az ikisii ya yaa oturma

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE İSTATİSTİKSEL YORUMLAMA TAHMİNLEME SÜRECİ VE YORUMLAMA SÜRECİ ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI VE ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI Yorumlama

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI.

TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI. TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI Birici Bölüm DENEME-4 Bu sıav iki bölümde oluşmaktadır. * Çokta seçmeli

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS)

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS) T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ (IDEAL PRODUCTS) 070216013 TUĞBA ÖZMEN 080216038 AYŞE MUTLU 080216064 SEVİLAY HOROZ Nil ehri, Düyaı e uzu ehridir (6.650

Detaylı

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir.

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir. BÖLÜM II Asal Sayılar Taım. p > tam sayısıı de ve ediside başa bölei yosa bu sayıya asal sayı deir. de büyü asal olmaya sayılara da bileşi sayı deir. Teorem. Eğer p bir asal sayı ve p ab ise p a veya p

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde SAYILAR DÜNYASINDA GEZİNTİLER H. Turgay Kaptaoğlu Bu yazıda deri teorilere imede sayıları çoğulula da tamsayıları ilgiç özellileride bahsedeceğiz. Bu özellileri hiçbiri yei değil; yüzyıllar, hatta biyıllar

Detaylı

ÖzelKredi. İsteklerinize daha kolay ulaşmanız için

ÖzelKredi. İsteklerinize daha kolay ulaşmanız için ÖzelKredi İstekleriize daha kolay ulaşmaız içi Yei özgürlükler keşfedi. Sizi içi öemli olaları gerçekleştiri. Hayalleriizi süsleye yei bir arabaya yei mobilyalara kavuşmak mı istiyorsuuz? Veya özel güler

Detaylı

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ 8. HAFTA ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ PORTFÖY YÖNETİMİ II Doç.Dr. Murat YILDIRIM muratyildirim@karabuk.edu.tr Geleeksel Portföy Yaklaşımı, Bu yaklaşıma göre portföy bir bilim değil,

Detaylı

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır?

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır? PROBLEMLER: 9 Sıavı 5 a, a, a,..., a Z, 0 a k olmak üzere, 95 sayısı faktöriyel tabaıda 5. k 95 = a+ a.! + a.! +... + a.! biçimide yazılıyor. a kaçtır? (! =...( ) ) 0 ( B ) ( C ) ( D ) ( E ). Bir ABC üçgeide

Detaylı

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS YILLAR 4 5 6 7 8 9 ÖSS - - - - - - ÖYS POLĐNOMLAR a,a,a,..., a P () = a + a +... + a R ve N olmak üzere; ifadesie Reel katsayılı.ci derecede bir değişkeli poliom deir. P()= a sabit poliom, (a ) P()= sıfır

Detaylı

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1)

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1) TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu

Detaylı

AMAÇ ve ARAŞTIRMA SORULARI

AMAÇ ve ARAŞTIRMA SORULARI AMAÇ ve ARAŞTIRMA SORULARI Bu projei temel amacı, Türkiye deki ilköğretim okullarıda atisosyal davraıģları ölemeye yöelik kültürümüze uygu ve özgü bir erke eğitim programı (BaĢarıya Ġlk Adım-BĠA) kazadırmaktır.

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

Bileşik faiz hesaplamalarında kullanılan semboller basit faizdeki ile aynıdır. Temel formüller ise şöyledir:

Bileşik faiz hesaplamalarında kullanılan semboller basit faizdeki ile aynıdır. Temel formüller ise şöyledir: 1 BİLEŞİK FAİZ: Basit faiz hesabı kısa vadeli(1 yılda az) kredi işlemleride uygulaa bir metot idi. Ayrıca basit faiz metoduda her döem içi aapara sabit kalmakta olup o döem elde edile faiz tutarı bir soraki

Detaylı

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b)

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b) Bağıtı YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - - - BAĞINTI ÖZELLĐKLER: SIRALI ĐKĐLĐ: (a,) şeklideki ifadeye ir sıralı ikili yada kısaca ikili deir (a,) sıralı ikiliside a ya irici

Detaylı

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( )

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( ) Sıava Katıla Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR 2 997. ( )( )( ) ( ) ( ) k x x x... k. x... 997. x poliomu ( ) a x a x... a x, a 0 ve k < k

Detaylı

OKUL ÖNCESİ DÖNEM İŞİTME ENGELLİ ÇOCUKLARDA MÜZİK EĞİTİMİNİN SÖZEL AÇIKLAMA BECERİLERİNE ETKİSİ

OKUL ÖNCESİ DÖNEM İŞİTME ENGELLİ ÇOCUKLARDA MÜZİK EĞİTİMİNİN SÖZEL AÇIKLAMA BECERİLERİNE ETKİSİ OKUL ÖNCESİ DÖNEM İŞİTME ENGELLİ ÇOCUKLARDA MÜZİK EĞİTİMİNİN SÖZEL AÇIKLAMA BECERİLERİNE ETKİSİ Yrd. Doç. Dr. Tüli Malkoç Marmara Üiversitesi Atatürk Eğitim Fakültesi, Göztepe, tmalkoc@marmara.edu.tr Fuda

Detaylı

OKUL ÖNCESİ DÖNEM İŞİTME ENGELLİLERDE MÜZİK EĞİTİMİ İLE ÇOCUKLARIN GELİŞİM ÖZELLİKLERİ ÜZERİNE TERAPÖTİK BİR ÇALIŞMA

OKUL ÖNCESİ DÖNEM İŞİTME ENGELLİLERDE MÜZİK EĞİTİMİ İLE ÇOCUKLARIN GELİŞİM ÖZELLİKLERİ ÜZERİNE TERAPÖTİK BİR ÇALIŞMA Joural of Research i Educatio ad Teachig OKUL ÖNCESİ DÖNEM İŞİTME ENGELLİLERDE MÜZİK EĞİTİMİ İLE ÇOCUKLARIN GELİŞİM ÖZELLİKLERİ ÜZERİNE TERAPÖTİK BİR ÇALIŞMA Yard.Doç.Dr. Tüli Malkoç Marmara Üiversitesi

Detaylı

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları PROJE RAPORU PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıları. Derecede Kökler Toplamı ve Trigoometrik Yasımaları PROJENİN AMACI: Karmaşık sayıı karekökleri toplamı sıfırdır. Peki. derecede kök toplamı içi de geçerli miydi?

Detaylı

Kırsal Kalkınma için IPARD Programı ndan Sektöre BÜYÜK DESTEK

Kırsal Kalkınma için IPARD Programı ndan Sektöre BÜYÜK DESTEK KAPAK KONUSU Kırsal Kalkıma içi IPARD Programı da Sektöre BÜYÜK DESTEK Kırsal Kalkıma (IPARD) Programı Kırmızı Et Üretimi ve Et Ürülerii İşlemesi ve Pazarlaması alalarıda gerçekleştirilecek yatırımları

Detaylı

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 60 sayısıı asal çarpalarıa ayrılmış şekli aşağıdakilerde hagisidir? A)..5 D)..5 B)..5 E)..5 C)..5 1.Yötem: 60 180 90 45 60..5 tir. 15 5 5 1.Yötem: Öğrecilerimizi1.Yötemde

Detaylı

Klinik Araştırma. Şenol Emre, Haluk Emir, Sinan Celayir. İstanbul Üniversitesi Cerrahpaşa Tıp Fakültesi, Çocuk Cerrahisi Anabilim Dalı, İstanbul

Klinik Araştırma. Şenol Emre, Haluk Emir, Sinan Celayir. İstanbul Üniversitesi Cerrahpaşa Tıp Fakültesi, Çocuk Cerrahisi Anabilim Dalı, İstanbul Çocuk Cerrahisi Dergisi (-):-, 0 doi:0./jtaps.0.0 Kliik Araştırma Tıp fakültesi beşici sııf öğrecilerii çocuk cerrahisi stajı içi düşüceleri: Geribildirim aketlerii ve sıav başarı oralarıı değerledirilmesi

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

Standart Formun Yapısı. Kanonik Form. DP nin Formları SİMPLEX YÖNTEMİ DP nin Düzenleniş Şekilleri. 1) Optimizasyonun anlamını değiştirme

Standart Formun Yapısı. Kanonik Form. DP nin Formları SİMPLEX YÖNTEMİ DP nin Düzenleniş Şekilleri. 1) Optimizasyonun anlamını değiştirme 5.0.06 DP i Düzeleiş Şekilleri DP i Formları SİMPLEX YÖNTEMİ ) Primal (özgü) form ) Kaoik form 3) Stadart form 4) Dual (ikiz) form Ayrı bir kou olarak işleecek Stadart formlar Simplex Yötemi içi daha elverişli

Detaylı

HİPOTEZ TESTLERİ. İstatistikte hipotez testleri, karar teorisi olarak adlandırılır. Ortaya atılan doğru veya yanlış iddialara hipotez denir.

HİPOTEZ TESTLERİ. İstatistikte hipotez testleri, karar teorisi olarak adlandırılır. Ortaya atılan doğru veya yanlış iddialara hipotez denir. HİPOTEZ TETLERİ İstatistikte hipotez testleri, karar teorisi olarak adladırılır. Ortaya atıla doğru veya yalış iddialara hipotez deir. Öreği para hilesizdir deildiğide bu bir hipotezdir. Ortaya atıla iddiaya

Detaylı

Giresun İlindeki Ailelerin Sünnet Konusundaki Bilgi, Tutum ve Davranışları

Giresun İlindeki Ailelerin Sünnet Konusundaki Bilgi, Tutum ve Davranışları Çocuk Dergisi 8(3):166-171, 2008 Giresu İlideki Aileleri Süet Kousudaki Bilgi, Tutum ve Davraışları Fadime ÜSTÜNER TOP *, Yeliz ESÜNTİMUR **, Leyla UYKAN **, Emie AYDIN PEKDEMİR * Giresu İlideki Aileleri

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI µ µ içi Güve Aralığı ALTERNATİF İTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMAI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim

Detaylı

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s - 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SÜLEYMNİYE EĞİTİM KURUMLRI MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SORULR. li ile etül ü de içide buluduğu 4 erkek ve 6 bayada oluşa bir grupta

Detaylı

SBE 601 ARAŞTIRMA YÖNTEMLERİ, ARAŞTIRMA VE YAYIN ETİĞİ

SBE 601 ARAŞTIRMA YÖNTEMLERİ, ARAŞTIRMA VE YAYIN ETİĞİ SBE 601 ARAŞTIRMA YÖNTEMLERİ, ARAŞTIRMA VE YAYIN ETİĞİ ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN SAPTANMASI ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ Prof. Dr. Ergu Karaağaoğlu H.Ü. Tıp Fakültesi Biyoistatistik ABD ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN SAPTANMASI

Detaylı

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı)

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı) 3 TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ 3.1. Sapmasızlık 3.. Tutarlılık 3.3. Etkilik miimum varyas 3.4. Aralık tahmii (güve aralığı) İyi bir tahmi edici dağılımı tahmi edilecek populasyo parametresie yakı civarda

Detaylı

Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışları. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışları. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Doç.D. Suat ŞAHİNLE Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Olasılık: Eşit saşla meydaa gele tae olayda A taesi A olayı olsu. Bu duumda A olayıı meydaa gelme olasılığı;

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

MEKANİK TESİSATTA EKONOMİK ANALİZ

MEKANİK TESİSATTA EKONOMİK ANALİZ MEKANİK TESİSATTA EKONOMİK ANALİZ Mustafa ÖZDEMİR İ. Cem PARMAKSIZOĞLU ÖZET Düya çapıda rekabeti ö plaa çıktığı bu gükü şartlarda, e gelişmiş ürüü, e kısa sürede, e ucuza üretmek veya ilk yatırım ve işletme

Detaylı

İKİ ÖLÇÜTLÜ PARALEL MAKİNELİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ: MAKSİMUM TAMAMLANMA ZAMANI VE MAKSİMUM ERKEN BİTİRME

İKİ ÖLÇÜTLÜ PARALEL MAKİNELİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ: MAKSİMUM TAMAMLANMA ZAMANI VE MAKSİMUM ERKEN BİTİRME V. Ulusal Üretim Araştırmaları Sempozyumu, İstabul Ticaret Üversitesi, 25-27 Kasım 2005 İKİ ÖLÇÜTLÜ PARALEL MAKİNELİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ: MAKSİMUM TAMAMLANMA ZAMANI VE MAKSİMUM ERKEN BİTİRME Tamer EREN

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

Đki Oyun Yaz Dnemi 22 Haziran 2011, Çarşamba Đst201 Đstatistik Teorisi Dersin konusu: Olasılık Hesabı

Đki Oyun Yaz Dnemi 22 Haziran 2011, Çarşamba Đst201 Đstatistik Teorisi Dersin konusu: Olasılık Hesabı Đki Oyu Yaz Demi 22 Hazira 20, Çarşamba Đst20 Đstatistik Teorisi Dersi kousu: Olasılık Hesabı - Çocuklar, Đstatistik Teorisi bir tarafa, istatistikçileri işi rasgelelik ortamıda hesap yapmaktır. Şöyle

Detaylı

Ki- kare Bağımsızlık Testi

Ki- kare Bağımsızlık Testi PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN Ki- kare Bağımsızlık Testi Daha öceki bölümlerde ölçümler arasıdaki ilişkileri asıl iceleeceğii gördük. Acak sıklıkla ilgileile veriler ölçüm

Detaylı

VİDEO MODEL DESTEKLİ ÖĞRETİMİN GİTAR PERFORMANSINA ETKİSİ* THE EFFECT OF MODEL AIDED TEACHING ON GUITAR PERFORMANCE

VİDEO MODEL DESTEKLİ ÖĞRETİMİN GİTAR PERFORMANSINA ETKİSİ* THE EFFECT OF MODEL AIDED TEACHING ON GUITAR PERFORMANCE VİDEO MODEL DESTEKLİ ÖĞRETİMİN GİTAR PERFORMANSINA ETKİSİ* THE EFFECT OF MODEL AIDED TEACHING ON GUITAR PERFORMANCE Ali ERİM **, Sadık YÖNDEM*** ** Abat İzzet Baysal Üiversitesi, Eğitim Fakültesi Güzel

Detaylı

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005 8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK...111. Konu Özeti...111. Testler (1 11)...115. Yazılıya Hazırlık Soruları (1 2)...

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK...111. Konu Özeti...111. Testler (1 11)...115. Yazılıya Hazırlık Soruları (1 2)... ÜNİTE PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK Bölüm PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM VE OLASILIK! = (...... ) PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK PERMÜTASYON, KOMBİNASYON,

Detaylı

PSİKİYATRİ POLİKLİNİĞİNDE KONTROL SÜREKLİLİĞİNİ ETKİLEYEN FAKTÖRLERİN ARAŞTIRILMASI

PSİKİYATRİ POLİKLİNİĞİNDE KONTROL SÜREKLİLİĞİNİ ETKİLEYEN FAKTÖRLERİN ARAŞTIRILMASI Kriz Dergisi 3 (1-2): 133-137 PSİKİYATRİ POLİKLİNİĞİNDE KONTROL SÜREKLİLİĞİNİ ETKİLEYEN FAKTÖRLERİN ARAŞTIRILMASI Ayça GÜRDAL*, Hasa MIRSAL" GİRİŞ VE AMAÇ Ayakta tedavi sürekliliği, diğer tıp dallarıda

Detaylı

İstanbul Göztepe Bölgesinin Makine Öğrenmesi Yöntemi ile Rüzgâr Hızının Tahmin Edilmesi

İstanbul Göztepe Bölgesinin Makine Öğrenmesi Yöntemi ile Rüzgâr Hızının Tahmin Edilmesi Makie Tekolojileri Elektroik Dergisi Cilt: 8, No: 4, 011 (75-80) Electroic Joural of Machie Techologies Vol: 8, No: 4, 011 (75-80) TEKNOLOJİK ARAŞTIRMALAR www.tekolojikarastirmalar.com e-issn:1304-4141

Detaylı

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

AYRIK DALGACIK DÖNÜŞÜMÜ İLE GÜRÜLTÜ SÜZME

AYRIK DALGACIK DÖNÜŞÜMÜ İLE GÜRÜLTÜ SÜZME AYRIK DALGACIK DÖNÜŞÜMÜ İLE GÜRÜLTÜ SÜZME Fahri VATANSEVER 1 Ferudu UYSAL Adullah UZUN 3 1 Sakarya Üiversitesi, Tekik Eğitim Fakültesi, Elektroik-Bilgisayar Eğitimi Bölümü, 54187 Esetepe Kampüsü/SAKARYA

Detaylı

ISF404 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ

ISF404 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ 4. HAFTA ISF44 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ PARANIN ZAMAN DEĞERİ VE GETİRİ ÇEŞİTLERİ Doç. Dr. Murat YILDIRIM muratyildirim@karabuk.edu.tr 2 Paraı Zama Değeri Paraı Zama Değeri Yatırım

Detaylı

14. Kümelerin Niceliklerinin Kıyaslanışı ve Sonsuzluğun Mertebeleri

14. Kümelerin Niceliklerinin Kıyaslanışı ve Sonsuzluğun Mertebeleri =2. Kısmı Başı= 14. Kümeleri Niceliklerii Kıyaslaışı ve Sosuzluğu Mertebeleri Sosuz kümeleri iceliklerii kıyaslamak içi, öğe sayısı yaklaşımı yetersizdir. Farklı bir yaklaşım gereklidir. İki küme A, B

Detaylı

ÖĞRENME ETKİLİ HAZIRLIK VE TAŞIMA ZAMANLI PARALEL MAKİNELİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ

ÖĞRENME ETKİLİ HAZIRLIK VE TAŞIMA ZAMANLI PARALEL MAKİNELİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ Öğreme Etkili Hazırlık ve Taşıma Zamalı Paralel Makieli Çizelgeleme Problemi HAVACILIK VE UZAY TEKNOLOJİLERİ DERGİSİ TEMMUZ 2006 CİLT 2 SAYI 4 (67-72) ÖĞRENME ETKİLİ HAZIRLIK VE TAŞIMA ZAMANLI PARALEL

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi oluştura

Detaylı

Matematik Olimpiyatları İçin

Matematik Olimpiyatları İçin KONU ANLATIMLI Matematik Olimpiyatları İçi İdirgemeli Diziler, Kombiatorik ve Cebirsel Uygulamaları LİSE MATEMATİK OLİMPİYATLARI İÇİN Lokma Gökçe, Osma Ekiz İdirgemeli Diziler ve Uygulamaları Lokma Gökçe,

Detaylı

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri uyruk Teorisi Ders Notları: Bazı uyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@akara.edu.tr 10 ASIM 2017 11. HAFTA 6 Çok kaallı, solu N kapasiteli, kuyruk sistemi M/M//N/ Birimleri sisteme gelişleri arasıdaki

Detaylı

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI:

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: www.testhae.com SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: -RAKAM -SAYI -DOGAL SAYILAR -SAYMA SAYILARI -ÇFT DOGAL SAYILAR -TEK DOGAL SAYILAR -ARDISIK DOGAL SAYILAR -ARDISIK ILK

Detaylı

MAKEDONYA CUMHURİYETİ NDEKİ İLKOKUL VE LİSELERE YÖNELİK ELEKTRONİK ARAŞTIRMA

MAKEDONYA CUMHURİYETİ NDEKİ İLKOKUL VE LİSELERE YÖNELİK ELEKTRONİK ARAŞTIRMA БИРО ЗА РАЗВОЈ НА ОБРАЗОВАНИЕТО МИНИСТЕРСТВО ЗА ОБРАЗОВАНИЕ И НАУКА НА РЕПУБЛИКА МАКЕДОНИЈА macedoia civic educatio ceter MAKEDONSKI CENTAR ZA GRA\ANSKO OBRAZOVANIE Eğitimde Etiklerarası Etegrasyo Projesi

Detaylı

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden MC TEST I Seriler ve Diziler www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir2@yahoo.com.tr 8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerde hagisidir? A) 0,8 B) 0,9

Detaylı

Hanoi Kuleleri. Gerekli hareket sayısı =7 (en az 7 aktarma yapılması gerekir)

Hanoi Kuleleri. Gerekli hareket sayısı =7 (en az 7 aktarma yapılması gerekir) Haoi Kuleleri Aşağıdaki gibi, e büyük çaplı disk e altta ve e küçük çaplı disk e üstte olmak üzere, üst üste çapları küçüle 3 tae disk bir çubuğa geçirilmiş olsu. Diskleri birer birer alarak, bir diski

Detaylı

NİÇİN ÖRNEKLEME YAPILIR?

NİÇİN ÖRNEKLEME YAPILIR? İÇİ ÖREKEME YAPIIR? Zama Kısıdı Maliyeti Azaltma Hata Oraıı Azaltma Souca Ulaşma Hızı Doç.Dr. Ali Kemal ŞEHİRİOĞU Araş.Gör. Efe SARIBAY Örekleme Teorisi kousuu içide, Örekleme Tipleri populasyoda örek

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açı Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerde alıtı yapma veya Kullaım Koşulları haıda bilgi alma içi http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.aciders.org.tr adresii ziyaret ediiz. 18.102

Detaylı

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz. 19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:

Detaylı

Nümerik Analiz. Bilgisayar Destekli. Ders notları 2014. PROGRAMLAR: Doğrusal denklem sistemi Çözücüler

Nümerik Analiz. Bilgisayar Destekli. Ders notları 2014. PROGRAMLAR: Doğrusal denklem sistemi Çözücüler ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ Mühedilik Mimarlık Fakültei İşaat Mühediliği Bölümü E-Pota: ogu.ahmet.topcu@gmail.com We: http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu Bilgiayar Detekli Nümerik Aaliz Der otları 014 Ahmet

Detaylı

3. Bölüm Paranın Zaman Değeri. Prof. Dr. Ramazan AktaĢ

3. Bölüm Paranın Zaman Değeri. Prof. Dr. Ramazan AktaĢ 3. Bölüm Paraı Zama Değeri Prof. Dr. Ramaza AktaĢ Amaçlarımız Bu bölümü tamamladıkta sora aşağıdaki bilgi ve becerilere sahip olabileceksiiz: Paraı zama değeri kavramıı alaşılması Faiz türlerii öğremek

Detaylı

ü ü üü İ Ç İİ ü ü üü İ Ç Ü ö üü ü Ç Ü ü ü İ ü İ ö ü üü ü ö ü ö üü ü ü ö ö Ç Ş ü İŞ ö ü ü İ İ İ İ Ç İ Ç ü ü ü ü ö ü ü ü ö Ü ü ü İ Ö Ö ü ü üü ö ü ü üü Ö

ü ü üü İ Ç İİ ü ü üü İ Ç Ü ö üü ü Ç Ü ü ü İ ü İ ö ü üü ü ö ü ö üü ü ü ö ö Ç Ş ü İŞ ö ü ü İ İ İ İ Ç İ Ç ü ü ü ü ö ü ü ü ö Ü ü ü İ Ö Ö ü ü üü ö ü ü üü Ö ü ü ü üü İ Ç İ ü ü üü İ ü ü üü ü ü ü üü ü Ç ö ü ö İ İ ü ü ü İ İ İ ü ü ü üü İ Ç İİ ü ü üü İ Ç Ü ö üü ü Ç Ü ü ü İ ü İ ö ü üü ü ö ü ö üü ü ü ö ö Ç Ş ü İŞ ö ü ü İ İ İ İ Ç İ Ç ü ü ü ü ö ü ü ü ö Ü ü ü İ Ö Ö

Detaylı

Regresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi

Regresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi Regresyo ve Korelasyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo aalz, aralarıda sebep-souç lşks bulua k veya daha fazla değşke arasıdak lşky belrlemek ve bu lşky kullaarak o kou le lgl tahmler (estmato)

Detaylı

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( )

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( ) . TEMEL KAVRAMLAR Derleye: Osma EKİZ Bu çalışmaı temelii Jiri Herma, Rada Kucera, Jaromir Simsa., Elemetary Problems ad Theorems i Algebra ad Number Theory isimli kitap oluşturmaktadır. İlgili bölümü çevirisi

Detaylı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı İstatistik Nedir? İstatistik rasgelelik içere olaylar, süreçler, sistemler hakkıda modeller kurmada, gözlemlere dayaarak bu modelleri geçerliğii sıamada ve bu modellerde souç çıkarmada gerekli bazı bilgi

Detaylı

ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI

ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI TMMOB Harita ve Kadastro Mühedisleri Odası 13. Türkiye Harita Bilimsel ve Tekik Kurultayı 18 22 Nisa 2011, Akara ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI

Detaylı

DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkanı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ

DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkanı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkaı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ ARAŞTIRMADA PLANLAMA VE ÇÖZÜMLEME (03-09 Ocak 014 Y.ÇELİK) Araştırma Süreci (The research

Detaylı

YENİDEN DÜZENLENMİŞTİR.

YENİDEN DÜZENLENMİŞTİR. 0. Sııf MATEMATİK Soru Kitabı Mehmet ŞAHİN T.C MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI Talim Terbiye Kurulu Başkalığı MATEMATİK Öğretim programıda yaptığı so gücelleme doğrultusuda YENİDEN DÜZENLENMİŞTİR. Emre ORHAN Mehmet

Detaylı

FEN BİLİMLERİ TESTİ. 1. Burak DNA modeli yapmak için nükleotitteki yapılara ait tabloda belirtilen sayıdaki gibi kartondan şekiller yapıyor.

FEN BİLİMLERİ TESTİ. 1. Burak DNA modeli yapmak için nükleotitteki yapılara ait tabloda belirtilen sayıdaki gibi kartondan şekiller yapıyor. FEN BİLİMLERİ ESİ 1. Burak N modeli yapmak içi ükleotitteki yapılara ait tabloda belirtile sayıdaki gibi kartoda şekiller yapıyor. 3. şağıda bir N molekülüü eşlemesi gösterilmiştir. Şekil emsil ettiği

Detaylı

OKUL ÖNCESİ DÖNEMİ İŞİTME ENGELLİ ÇOCUKLARDA MÜZİK EĞİTİMİ 3

OKUL ÖNCESİ DÖNEMİ İŞİTME ENGELLİ ÇOCUKLARDA MÜZİK EĞİTİMİ 3 The Joural of Academic Social Sciece OKUL ÖNCESİ DÖNEMİ İŞİTME ENGELLİ ÇOCUKLARDA MÜİK EĞİTİMİ 3 ÖET Ece KARŞAL 1 Tüli MALKOÇ 2 Bu çalışmada, Okul öcesi döem işitme egelli çocuklara müzik eğitimi verilmiş

Detaylı