Konular. Formüller. Ünlü Geometriciler

Transkript

1 Giriş

2

3 Konular Formüller Ünlü ciler

4 Pappus Descartes Pisagor Penrose Öklid Euler

5 Pisagor Teoremi Arı Peteklerinin Altıgen Olması Topoloji Fraktal Düzgün Çokyüzlüler Pick Teoremi Altın Oran Pi Sayısı

6 Popüler Ünlü çiler

7 Goldbach Sanısı Çokgen Sayılar Bölme Çıkarma Basamak Değeri Doğal Sayılar İrrasyonel Sayılar Rasyonel Sayılar Karmaşık Sayılar Asal Sayılar Dolu Tanesi Sayıları Pi Sayısı Napier in Kemikleri Çarpma Toplama Tam Sayılar Sayı Değeri Eratoshenes in Kalburu Fermat ın Son Teoremi Reel Sayılar Smith Sayıları Pascal Üçgeni Altın Oran Mükemmel Sayılar

8 Gauss Napier El Horezmi Eratoshones Ömer Hayyam Platon Fermat Fibonacci

9 340 yılı sıralarında İskenderiye'de doğmuş olan Pappus, bu okulun son büyük matematikçisidir. Almagest ve Elementler'e şerhler yazmış, ancak bunlar günümüze kadar ulaşamamıştır. Bugün büyük kısmı elimizde olan tek eseri ise Matematik Kolleksiyonu adını taşımaktadır. Bu yapıt, dönemin geometri bilginlerine en güç matematik çalışmalarının kısa bir analizini vermek ve açıklayıcı teoremlerle bunların incelenmesini kolaylaştırmak amacıyla yazılmış olmalıdır. Pappus bu kitapta, Pythagoras teoreminin genelleştirilmesi, bir açının üçe bölünmesi, spiral, konkoid, quadratrix, topolojik cisimler, involüt, mekanik, otomatlar, su saatleri, hareketli küreler gibi birçok konuyu ele alıp değerlendirmiştir. Matematik Kolleksiyonu, Aristaios, Eukleides, Apollonios, Eratosthenes gibi kalburüstü Yunan matematikçilerinin kayıp eserleri hakkında da zengin bilgiler vermektedir.

10 René Descartes (Röne Dekart okunur) (Fransız matematikçi, bilimada31 Mart Şubat 1650mı ve filozof. Batı düşüncesinin son yüzyıllardaki en önemli düşünürlerinden biri

11 Roger Penrose, İngiliz fizikçi, astrofizikçi, kozmolog ve matematikçidir. Doğumu 8 Ağustos 1931, Colchester, Essex, İngiltere. 1970'lerde Roger Penrose, o güne kadar imkansız olduğu düşünülen, "yüzeylerin beşli simetri ile kaplanması nı mümkün kılan ve Penrose Karoları olarak adlandırılan karo kümelerini bulmuştur. Anasayfa

12 Emanuel Handmann' nin çizimiyle Leonhard Euler Doğumu 15 Nisan 1707 İsviçre / Basel Ölümü 18 Eylül 1783 Rusya / St. Petersburg Leonhard Euler (d. 15 Nisan 1707, Basel, İsviçre - ö. 18 Eylül 1783, St. Petersburg, Rusya), İsviçreli matematikçi ve fizikçi. 18. yüzyıl'ın ın en önemli ve tüm zamanların önde gelen matematikçilerinden biri kabul edilmektedir. En üretken matematikçilerden biri olarak çalışmalarının bütünü 70 cildi aşmaktadır. Euler pek çok yeni kavram geliştirmiş, basit aritmetikten sayılar teorisi ve topolojiye kadar farklı alanlarda uzun süre kabul gören birçok teorem ispatlamıştır. Bu çalışmaları esnasında, günümüzde kullanılan modern matematik terminolojisinin yaratıcısı olmuş fonksiyon kavramı ve onun yazımını tanımlamıştır (yaptığı bu çalışma için verilebilecek örneklerden bazıları trigonometrik fonksiyonlar için yaptığı sin, cos ve tan tanımlamalarıdır).

13 Eflatun (d. M.Ö ö. M.Ö. 347) çok önemli bir Antik Yunan filozofu. Hayatını geçirdiği Atina daki ünlü akademiyi kurdu. Asıl adıaristokles'di. Geniş omuzları ve atletik yapısı nedeniyle, Yunanca Platon (geniş göğüslü) lakabı ile anıldı ve tanındı. Adı Eflatun temsili Eflatun veya Platon Doğumu M.Ö. 427 Ölümü M.Ö. 347 Okul/gelenek Eflatunculuk İlgilendikleri retorik, sanat, edebiyat, epist emoloji,adalet, erdem, politi ka, eğitim, ail e Önemli katkı ları,militarizm Platonik realizm Yirmi yaşından itibaren ölümüne kadar yanından ayrılmadığı Sokrates in öğrencisi ve Aristoteles in hocası olmuştur. Atina da Akademi nin kurucusudur. Eflatun un felsefi görüşlerinin üzerinde hala tartışılmaktadır. Eflatun, batı felsefesinin başlangıç noktası ve ilk önemli filozofudur. Antik çağ yunan felsefesinde, Sokrates öncesi filozoflar (ilk filozoflar veya doğa filozofları) daha ziyade materyalist (özdekçi) görüşler üretmişlerdir. Antik felsefenin maddeci öğretisi, atomcu Demokritos ile en yüksek seviyeye erişmiş, buna mukabil düşünceci (idealist) felsefe, Eflatun ile doruk noktasına ulaşmıştır. Eflatun bir sanatçı ve özellikle edebiyatçı olarak yetiştirilmiş olmasından büyük ölçüde istifade etmiş, kurguladığı düşünsel ürünleri, çok ustaca, ve şiirsel bir anlatımla süsleyerek, asırlar boyu insanları etkilemeyi başarmıştır. Modern filozoflardan Alfred North Whitehead e göre Eflatun dan sonraki bütün batı felsefesi onun eserine düşülmüş dipnotlardan başka bir şey değildir. Görüşleri İslam ve Hristiyan felsefesine derin etkide bulunmuştur. Eflatun, eserlerini diyaloglar biçiminde yazmıştır. Diyaloglardaki baş aktör çoğunlukla Sokrates tir. Sokrates insanlarla görüşlerini tartışır ve onların görüşlerindeki tutarsızlıkları ortaya koyar. Eflatun çoğunlukla görüşlerini Sokrates in ağzından açıklamıştır. Eflatun, algıladığımız dış dünyanın esas gerçek olan idealar ya da formlar dünyasının kusurlu kopyaları olduğunu, gerçeğe ancak düşünce ve tahayyül yoluyla ulaşılabileceğini savunmuş, insan ruhunun ölümden sonra beden dışında kalıcı olan idealar dünyasına ulaşacağını söylemiştir. Görüşleri ortaçağda İslam filozofları tarafından korunmuş ve İslam düşünce dünyasındaki Yeni Eflatunculuk akımına neden olmuştur. Rönesans sonrasında Batı Avrupa'da Antik Yunancadan çevirileri yapılmıştır.

14 Adı Doğumu Ölümü Okul/gelenek İlgilendikleri Pisagor büstü (Musei Capitolini, Roma) Sisamlı Pisagor M.Ö. 580 M.Ö. 572 Sisam M.Ö. 500 M.Ö. 490 Metapontum Pisagorculuk metafizik, müzik, matematik, etik,p olitika Önemli katkıları musica universalis, altın oran,pisagor teoremi, Pisagor akordu Pisagor ya da Pythagoras (Yunancada: Πσθαγόρας), M.Ö M.Ö. 500 tarihleri arasında yaşamış olan İyonlu filozof, matematikçi ve Pisagorculuk olarak bilinen akımın kurucusu. En iyi bilinen önermesi; adıyla anılan Pisagor önermesidir. "Sayıların babası" olarak bilinir. Pisagor ve öğrencileri her şeyin matematikle ilgili olduğuna; sayıların nihai gerçek olduğuna; matematik aracılığıyla her şeyin tahmin edilebileceğine ve ölçülebileceğine inanmışlardır. Kendisini filozof (υιλο-σουος), yani bilgeliğin dostu olarak adlandıran ilk kişiydi. Pisagor düşüncelerini yazıyla yaymadığı için onun hakkında bildiklerimiz öğrencilerinin yazılarında anlattıklarıyla sınırlıdır. Pisagor'a atfedilen birçok eser gerçekte onun öğrencilerinin olabilir.

15 Doğum M.Ö 330 İskenderiye, Mı sır Ölüm M.Ö 275 Milliyeti Dalı Önemli başarıl arı Yunan Matematik Öklid bağıntıları (ögeleri) Öklid geçmiş matematikçilerin içinde adı geometri ile en çok özleştirilen kişidir. dünyasında kapladığı bu seçkin yeri kendisinin büyük bir matematikçi olmasından çok, geometrinin başlangıcından kendi zamanına kadar bilinen ismi ile Öğeler adını taşıyan kitabında toplamıştır. Öklid derlemesinin tutarlı bir bütün olmasını sağlamak için, kanıt gerektirmeyen apaçık gerçekler olarak 5 aksiyom ortaya koyar. Diğer bütün önermeleri bu aksiyomlardan çıkarır. Öklid geometrisi 19. yüzyılın başına kadar rakipsiz kaldı. Hatta 20. yüzyılın ortalarına kadar bile orta öğretimde geometri, Öklid'in öğelerine bağlı olarak okutuldu. Öklid'in yaşamı konusunda hemen,hemen hiçbir şey bilinmiyor. Önceleri bir Yunan kenti olan Megara'da doğduğu sanıldıysa da, sonradan Megaralı Öklid'in, Öğeler'in yazarı İskenderiyeli Öklid'den yüzyıl kadar yaşamış olan bir felsefeci olduğu ortaya çıkmıştır. Öklid üzerinde çalıştığı proje hakkında diyor ki: "bir doğru istenildiği kadar uzatabilir." ve "İki noktadan bir ve yanlız bir doğru gecer."

16 Alman kökenli matematikçi ve bilim adamı. Katkıda bulunduğu alanlardan bazıları; sayılar kuramı, analiz, diferansiyel geometri, jeodezi, manyetizma, astronomi ve optiktir. "Matematikçilerin prensi" ve "antik çağlardan beri yaşamış en büyük matematikçi" olarak da bilinen Gauss, [ matematiğin ve bilimin pek çok alanına etkisini bırakmıştır ve tarihin en nüfuzlu matematikçilerinden biri olarak kabul edilir. Gauss'un çocukluk yıllarından beri dahi olduğunu gösteren pek çok hikâye vardır, nitekim pek çok matematiksel keşfini henüz 20 yaşına gelmeden yapmıştır. Sayılar kuramının önemli sonuçlarını derleyip kendi katkılarını da ekleyerek yazdığı büyük eseri Disquisitiones Arithmeticae'yi 21 yaşında (1798) bitirmişse de, eser ilk olarak 1801'de basılmıştır.

17 John Napier veya latinceleştirildi Neper, Merchiston-Edinburgh'da 1550 yılında doğdu, 3 Nisan 1617 in Merchiston Castle'de öldü. Merchiston Baronu ve İskoçya'lı bir matematikçi olan Napier, logaritmanın bulucusu olarak bilinir. Napier, Saint Andrews Üniversitesinde eğitim görmüş ve matematiği de içinden gelen bir merak olarak izlemiştir. Kendisi, amatör bir matematikçidir. Sayısal hesaplamaları kolaylaştıracak bir yol ararken, önce Napier cetvelleri diye bilinen, üzerinde rakamlar yazılmış küçük değnekler yardımıyla yapılan bir çarpma veya bölme yöntemi buldu. 1, 2, 3,... şeklindeki aritmetik dizi ile, buna karşılık gelen 10, 100, 1000,... biçimindeki geometrik dizi arasındaki, ilişkiyi gördü yılında yazdığı "Logaritma Kurallarının Tanımı" adlı eserinde, aritmetik dizi ile geometrik dizinin karşılaştırılmasından, matematiğe logaritma kavramını getirdi. Günümüzdekilerden farklı olarak kurulan bu diziler, logaritmayı, sayısının azalan bir fonksiyonu olarak tanımlıyordu. Buradaki aritmetik dizi, geometrik dizinin logaritmasıdır. Oxford Üniversitesi matematik profesörü Henri Briggs, Napier'in bu buluşunu benimsedi ve adi log cetvelinin hazırlanmasıyla ilgili düşüncelerini Napier'e açıklamak için Edinburgh'a gitti. Napier, 1618 ve 1624 yılları arasında kusursuz iki logaritma cetveli yayınladı. Bu eser onun tam yirmi yıllık bir çalışmasının ürünüdür. Napier'in bu konuda çok sayıda eseri vardır. Bazı hesap makinelerinin temellerini veren iki kitabı, 1617 yılında yayınlandı

18 Eratosthenes (Eratosten) (Yunanca Ἐρατοσθένης) (M.Ö M.Ö. 194 ) Yunanlı matematikçi, coğrafyacı ve astronom. Eratosthenes, Cyrene'de (günümüz Libya'sı) doğmuştur, ama ölene kadar tüm yaşamı Ptolemaios soyunun hüküm sürdüğü Mısır'ın başkenti Alexandria'da (İskenderiye) geçmiştir. Hiç evlenmemiştir. Eratosthenes Alexandria'da ve bir müddet Atina'da öğrenim görmüştür. İ.Ö.236'da Ptolemaios III Euergetes I tarafından Alexandria Kütüphanesi'ine, o koltuktaki ilk kütüphaneci Zenodotos'un ardından, kütüphaneci olarak atanmıştır. Matematik ve doğal bilimlere katkılarda bulunmuştur. İ.Ö.195 de kör olmuştur ve bir yıl sonra kasıtlı olarak kendini aç bırakarak ölmüştür. Meridyen yayının uzunluğunu ve ondan yararlanarak Dünya nın çevre uzunluğunu Ekvator'u hesaplamış, çalışmalarını Geopraphika adlı eserinde toplamıştır. Dünya üzerindeki yerleşik alanların sınırlarını, hazırladığı bir haritada da gösteren matematik coğrafyacıdır.

19 Pierre de Fermat (piyer dö ferma okunur) (d. 1601, Beaumont-de-Lomagne ö. 12 Ocak 1665, Castres), Bask kökenli Fransız hukukçu ve matematikçi. İlk öğrenimini doğduğu şehirde yapmıştır. Yargıç olmak için çalışmalarına Toulouse de devam etmiştir. Fermat, memurluğunun yoğun işlerinden geriye kalan zamanlarında matematikle uğraşmıştır. Arşimet'in eğildiği diferansiyel hesaba geometrik görünümle yaklaşmıştır. Sayılar teorisinde önemli sonuçlar bulmuş, olasılık ve analitik geometriye de katkılarda bulunmuştur.

20 Leonardo Fibonacci, (Pisalı Leonardo, Leonardo Pisano d. 1170, ö. 1250), yaygın olarak ismiyle Fibonacci diye anılan, orta çağın en yetenekli matematikçisi olarak kabul edilen İtalyan matematikçi. Fibonacci modern çağda en fazla Hint-Arap Sayılarını Avrupa'ya getirmesiyle ve 13. yüzyıl başlarında yayınlanan Liber Abaci isimli hesaplama yöntemleri kitabıyla tanınır. Liber Abaci'de bir örnek olarak yer alan modern sayılarla hesaplanmış kendi adıyla anılan sayı dizisi Fibonacci Dizisi olarak anılmaktadır. Sadece Fibonacci dizisi ve özellikleri ile ilgili kitaplar hatta haftalık düzenli yayınlanan matematik dergileri bile bulunmaktadır

21 Ebu Abdullah Muhammed bin Musa el- Harezmi (Arapça: Abū Abdullāh Muhammad ibn Mūsā al-khwārizmī), matematik, gökbilim ve coğrafya alanlarında çalışmış ünlü bir Fars bilgindir. 780 yılında Harzem bölgesinin Hive şehrinde dünyaya gelmiştir. 850 yılında Bağdat'ta vefat etmiştir.

22 Ömer Hayyam -2 Hayyam Nişabur'ludur. Yaşadığı dönemin ünlü veziri Nizamül-Mülk ve Hasan Sabbah ile aynı medresede zamanın ünlü alimi Muvaffakeddin Abdüllatif ibn el Lübad'tan eğitim görmüş ve hayatı boyunca her ikisi ile de ilişkisini koparmamıştır. Bazı kaynaklar; Hasan Sabbah'ın Rey kentinden olduğu Nizamül-Mülk'ünde yaşca Ömer Hayyam ve Hasan Sabbah'tan büyük olduğunu ve buna dayanarak aynı medresede eğitim görmediklerini belirtmektedir. Ama yine de Ömer Hayyam, Hasan Sabbah ve Nizamül-Mülk'ün ilişki içinde olduklarını inkar etmemektedir. (Kaynak: Semerkant-Amin Maalouf) Birçok bilim adamınca Batıni, Mutezile anlayışlarına dâhil görülür. Evreni anlamak için, içinde yetiştiği İslam kültüründeki hakim anlayıştan ayrılmış, kendi içinde yaptığı akıl yürütmeleri eşine az rastlanır bir edebi başarı ile dörtlükler halinde dışa aktarmıştır. Çadırcı anlamına gelen "Hayyam" takma adını babasının çadırcılık yapmasından almıştır. Ayrıca İstanbul'un Beyoğlu ilçesinde bir semte adını da vermiştir. Tarlabaşı bulvarında Sakızağacı ışıklardan başlayıp, Tepebaşına kadar inen caddenin adıdır. Hayyam aynı zamanda çok iyi bir matematikçiydi Binom Açılımını ilk kullanan bilim adamıdır. Hayyam, genelde şiirlerindeki eğlence düşkünlüğünün belirgin olmasından dolayı Rubâileri ile ünlenmiştir. Geçmişte yaşamış birçok ünlünün aksine Ömer Hayyam'ın doğum tarihi günü gününe bilinmektedir. Bunun sebebi Ömer Hayyam'ın birçok konuda olduğu gibi takvim konusunda uzman olması ve kendi doğum tarihini araştırıp gün be gün doğru bulmasına dayanmaktadır.

23 Rubailerinde, dünya, varoluş, Allah, devlet ve toplumsal örgütlenme biçimleri gibi hayata ve insana ilişkin konularda özgürce ve sınır tanımaz bir şekilde akıl yürüttüğü görülmektedir. Akıl yürütürken ne içinde yaşadığı toplumun ne de daha öncesi zamanlarda yaşayan toplumların kabul ettiği hiçbir kurala/tabuya bağlı kalmamış, kendinden önce yaşayanların insan aklına koymuş olduğu sınırları kabullenmemiş, bir anlamda dünyayı, insanı, varoluşu kendi aklıyla baştan tanımlamış; bu nedenle de çağını aşarak "evrenselliğe" ulaşmıştır. Ancak unutmamak gerekir ki Hayyam'ın yaşadığı dönem, kendisi gibi çağları aşan ve tarihin gördüğü en büyük düşünürlerden birini yaratacak sosyo-kültürel altyapıya sahipti. Kendi tarihinin belkide en aydınlık dönemlerini yaşayan İslam dünyasında felsefenin hakettiği ilgiyi gördüğü, Selçuklu saraylarında ise sentez bir Ortadoğu kültürü (Türk-Hint-Arap-Çin-Bizans) oluşmaya başladığı bir dönemde yaşayan düşünür, böylece nispeten yansız ve bilimsel bir öğrenim görmüş, müslüman fakat felsefeyi günah saymayan bir toplum içinde özgürce felsefe ile ilgilenebilmiştir. Hayyam, aynı zamanda dünya bilim tarihi için de önemli bir yerdedir. Dünyanın ilk rasathanesini kurmuştur. Günümüzde kullanılan Miladi ve Hicri Takvimlerden çok daha hassas olan Celali Takvimi'ni hazırlamıştır. Okullarda Pascal Üçgeni olarak öğretilen matematik kavramı aslında Ömer Hayyam tarafından oluşturulmuştur. Matematik, astroloji konularında dünyanın önde gelen en büyük bilim adamlarındandır. Birçok bilimsel çalışması olduğu bilinmektedir.

24 Matematiğin ana dallarından biri olan Topoloji, Yunanca'da yer, yüzey veya uzay anlamına gelen topos ve bilim anlamına gelen logos sözcüklerinden türetilmiştir. Topoloji biliminin kuruluş aşamalarında yani 19. yüzyılın ortalarında, bu sözcük yerine aynı dalı ifade eden Latince analysis situs (konumun analizi) deyimi kullanılıyordu. Topoloji sözcüğü bir topolojik uzayı tanımlamak için inşa edilen ve belli koşulları sağlayan kümeler ailesi için de kullanılır. Aşağıdaki matematiksel tanımda bu koşullar sıralanmıştır. Topolojik yapı, geometri bağlamında bir kümenin üzerine konabilecek en basit yapı olarak görülebilir. Başka bir deyişle, topoloji, geometri yapmak için atılan ilk adımdır. Topoloji için: 1)MOBİUS ŞERİDİ, KLEİN ŞİŞESİ

25 Felix Klein'ın isim babalığı yaptığı bir ilginç yüzeyle tanışmak üzeresiniz. Klein şişesinin ilginç özelliklerinden biri bir yüzey (dolayısıyla iki boyutlu) olmasına rağmen bulunduğumuz üç boyutlu uzayda bir makedi yapılamaz, bu nedenle resmini de çizemeyiz! Fakat sizin insafınıza sığınarak aşağıdaki şekli sunalım: Resimde ucu tekrar içine bükülen ve zeminiyle birleşen bir şişe görülüyor. Klein şişesi ise bir manifold olduğundan (yani üzerinde yürüyen görüşü kısıtlı bir böceğin düzlem sanacağı uzaylar) kendi kendini kesmemelidir, bu nedenle dört boyutlu uzayda gerçek bir Klein şişesi oluşturulabilir: nasıl düzlemde kesişen iki doğru varsa biri üçüncü boyutta ötelenerek kesişimden kurtulabilirsek, bu durumda da kesişim bölgesindeki noktaların bir komşuluğu dördüncü boyutta uzaklaştırılır. En kolayı yüzeyi şekildeki gibi düşünüp yüzey üzerinde yürüyen bir böcek kesişim bölgesine vardığında kesişimi görmeden (bir hayalet gibi) yürüyüşünde bir değişim olmadan geçsin. Bu düşünce tarzı ile Klein şişesinin tek yüzlü olduğu rahatça söylenir: bir yüzünden boyamaya başladığımızda öteki yüze geçmeden (!) boyamaya çalışırsak boyanmamış yerin kalmadığı görülür, bu ise Klein şişesinin bir Möbius şeridi içermesinden kaynaklanır. Bir kare alıp karşılıklı kenarlarını oklar yönünde yapıştıralım. Bu takdirde elde edeceğimiz Klein şişesidir! Bu işleme topolojide bir uzayın bölüm uzayını oluşturma denir, uzayın bazı noktalarını aynı kabul etmek demektir. Yüksek boyutlu uzaylarda düşünmek yerine düzlemsel bir şekil olan bu kare üzerinde düşünelim, o halde Klein şişesi üzerindeki bir noktanın komşuluğu şekildeki kırmızı daire olarak ifade edilebilir, Klein şişesi üzerindeki bir yol ise bu kare içinde, sınırların yapıştırıldığı göz önünde bulundurularak, şekilde örneklenmiştir. Bu gösterilimin geliştirilmesi ile, Klein şişesini kesmek de daha da kolaylaştı! Örneğin bir köşegen boyunca kesersek ne elde ederiz?

26 k olarak, uzunca bir şeridin bir ucunu 180 derece büküp diğer ucu ile birleştirirsek elde edilen şeride Möbius şeridi denir. İlk olarak 1861'de Johann Benedict Listing tarafından tanımlanmıştır, dört yıl sonra ise Möbius yayınladığı bir çalışmasında tanımını vermiş, şeridin tek yüzlü olduğunu, yönlendirilememesi ile açıklamıştır.

27 Pisagor teoremine göre bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamları hipotenüsün karesine eşittir. Bunun ispatı şuna dayanmaktadır: c 2 = a 2 + b 2 c uzunluğu hipotenüstür. a ve b uzunlukları ise dik kenarlardır. Her kenardan birer kare oluşturulur. Bu karelerin alanları, kare alan formülüne dayalı olarak a 2,b 2,c 2 şeklinde sıralanır. Böylece üç karenin köşelerinin birleşiminden oluşan bir dik üçgen oluşturulur. Oluşan üçgenin dik köşesinden hipotenüsün oluşturduğu karenin, hipotenüse paralel olan kenara indirilen dikme ile üçgen içerisinde öklid bağıntısı kurulur. (öklid bağıntısı benzerlikten ispatlanabilmektedir.) Öklide göre a 2 = p(p + q) yani, dik kenarlardan birinin karesi, dik açıdan hipotenüse indirilen dikmenin ayırdığı parçalardan kendisine komşu olan tarafın uzunluğu ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir. Bu durumda a 2 = p.c olacaktır. Yani a kenarına ait karenin alanı, hipotenüse ait alanın dik açıdan indirilen dikmeyle ikiye ayırdığı alanlardan kendisine komşu olan alana eşit olacaktır. Bu durumu diğer kenar için de düşünürüz. a 2 = p.(p + q)b 2 = q.(p + q) p + q = c a 2 = p.c,b 2 = q.c olacaktır. Bunu takiben, a 2 + b 2 = p.c + q.c a 2 + b 2 = c.(p + q) p + q = c a 2 + b 2 = c.c a 2 + b 2 = c 2 olacaktır.matematikte, Pisagor Teoremi, Öklid sinde bir dik üçgenin 3 kenarı için bir bağıntıdır. Bilinen en eski matematiksel teoremlerden biridir. Teorem sonradan İÖ 6. YY'da Yunan filozof ve matematikçi Pisagor'a atfen isimlendirilmiş ise de, Hindu, Yunan, Çinli ve Babilli matematikçiler teoremin unsurlarını, o yaşamadan önce bilmekteydiler. Pisagor teoreminin bilinen ilk ispatı Öklid'in Elementler eserinde bulunabilir.

28 Pi sayısı (π), bir dairenin çevresinin çapına bölümü ile elde edilen matematik sabiti. Pi sayısı ismini, Yunanca περίμετρον yani "çevre" sözcüğünün ilk harfi olan π harfinden alır. Bu harf Latin Alfabesi'nde Pİ ile sembolize edilir. Ayrıca pi sayısı Arşimet sabiti ve Ludolph sayısı olarak da bilinir. Günlük kullanımda basitçe olarak ifade edilmesine rağmen gerçek değerini ifade etmek için periyodik olarak tekrar etmeyen sonsuz sayıda basamağa ihtiyaç vardır. İlk 65 basamağa kadar ondalık açılımı şöyledir: 3,

29 Bilim standlarınızın vazgeçilmez üyesi olmaya aday, orijinal adı "Pick Teoremi" (George Pick tarafından 1899'da keşfedilmiş) olan "çivilerle alan hesabı" aslında yeni keşfedilmiş bir şey değil.1899 yılından beri kendisi önemli bir teorem olarak matematik dokümanlarının arasında yerini almakta. Peki, bu teorem ne işe yarar? Nasıl uygulanır?... Gibi soruların cevabı aşağıdaki satırlarda gizli. Uygulama:Elimize düz bir tahta parçası alıyoruz, 30cm x 30cm 'lik mesela.üzerine 2cm aralıklarla çivi çakıyoruz, 10 x 10 'luk 100 çivilik bir tahtamız var.elimize aldığımız bir iple yada lastikle istediğimiz çokgeni oluşturup alanını aşağıdaki formülle buluyoruz; Alan = I + B/2-1 öyle ki I = çokgenin içindeki çivi sayısı B = çokgenin sınırlarındaki çivi sayısı Mesela şekildeki çokgenin alanı; /2-1 = 37,5

30 Fraktal parçalanmış ya da kırılmış anlamına gelen Lâtince fractuuss kelimesinden gelmiştir. İlk olarak 1975'de Polonya asıllı matematikçi Benoit Mandelbrot tarafından ortaya atıldığı varsayılır. Kendi kendini tekrar eden ama sonsuza kadar küçülen şekilleri, kendine benzer bir cisimde cismi oluşturan parçalar ya da bileşenler cismin bütününü inceler. Düzensiz ayrıntılar ya da desenler giderek küçülen ölçeklerde yinelenir ve tümüyle soyut nesnelerde sonsuza kadar sürebilir; tam tersi de her parçanın her bir parçası büyütüldüğünde, gene cismin bütününe benzemesi olayıdır. Doğada görülebilsen bir örnek olarak bazı bitkilerin yapısı verilebilir

31 ÇOK YÜZLÜLER Anasayfa ÇOK YÜZLÜ, bütün yüzleri düzlem çokgenlerle sınırlanmış geometrik cisim. Herhangi bir yüzünden geçen düzlem çok yüzlüyü keserse içbükey, kesmezse dışbükey çok yüzlü adını alır. Her doğru, dışbükey birçok yüzlüyü en çok iki noktada keser. Uygulamada düzgün çok yüzlüler önem taşır. Dört, altı, sekiz, on iki ve yirmi yüzlü olmak üzere ancak beş tane düzgün çok yüzlü olabileceği kanıtlanmıştır.

32 a) kapasitesi en büyük b) en az yer kaplayacak c) yapimi(dolayısıyla dna'ya kodlanmasi en kolay) d) en sağlam petek şekli hangisidir? şeklinde sorabiliriz. şimdi bir bir incelersek.. ilk olarak bir düzlemi kendi kendini tekrar ederek kaplayan kaç şekil olduğunu bulmamız gerekir. n kenarlı bir çokgende bir iç açının ölçüsü [(n- 2)*180]/n formülü ile bulunur. bizim istediğimiz şekil hiç boşluk bırakmayacak şekilde birleşmelidir. şekil x kenarlıdır diyelim.. bunlardan kaç tanesinin bir köşesinin iç açısı toplamı 360 yapardı diye düşünürsek [(n-2)*180*x]/n=360 yazabiliriz. sadelestirme, vırt, zırt.. (n-2)*x=2n --> nx-2x-2n=0 --> nx-2x-2n+4-4=0 --> (n-2)(x-2)=4 olur.. sadece pozitif tamsayılari kenar sayısı olarak alabileceğimizden.. n=6 ve x=3 olabilir yani 3 tane düzgün altıgen (bkz: petek) n=6 ve x=6 olabilir yani 6 tane eşkenar üçgen. n=4 ve x=4 olabilir yani 4 tane kare. bu bölüm bilare isoperimetric problem başlığı yazılırsa daha anlamlı olacaktır.. bizim kodlayacağımız arıların petekleri en az malzeme kullanarak yapmaları lazımdır, yoksa bir tanri olarak bize hiç mi hiç yakışmaz. sonra "optimize olmayan arı yapan tanri" diye adımız çıkar.. işte bu zorunluluk yüzünden arıların yaptıkları petekler maksimum bal alacak alana sahip olmalıdır. arı petekleri cevresi p olan bir kare olsaydı : (p/4)^2= yani 0,0625*p^2 arı petekleri cevresi p olan bir eşkenar üçgen olsaydı : [(p^2)*kok3]/36 yani 0,0481*p^2 arı petekleri cevresi p olan bir düzgün altıgen olsaydı : [(p^2)*kok3]/24 yani 0,0721*p^2 sonuç olarak aynı çevreye sahip olmak koşulu ile bir yüzeyi kendini tekrar ederek kaplayan en fazla bal alabilecek şekil düzgün altıgen peteklerdir. biz de tanri olarak bu petekleri kullanalım, kullandiralim..

33 Altın Oran 2 Altın oran, doğada sayısız canlının ve cansızın şeklinde ve yapısında bulunan özel bir orandır. Doğada bir bütünün parçaları arasında gözlemlenen, yüzyıllarca sanat ve mimaride uygulanmış, uyum açısından en yetkin boyutları verdiği sanılan geometrik ve sayısal bir oran bağıntısıdır. Doğada en belirgin örneklerine insan vücudunda, deniz kabuklulularında ve ağaç dallarında rastlanır. Platon'a göre kozmik fiziğin anahtarı bu orandır. Altın oranı bir dikdörtgenin boyunun enine olan "en estetik" oranı olarak tanımlayanlar da vardır. Eski Mısırlılar ve Yunanlılar tarafından keşfedilmiş, mimaride ve sanatta kullanılmıştır. Göze çok hoş gelen bir orandır. Altın Oran; CB / AC = AB / CB = 1.618; bu oranın değeri her ölçü için dir. Bir doğru parçasının (AB) Altın Oran'a uygun biçimde iki parçaya bölünmesi gerektiğinde, bu doğru öyle bir noktadan (C) bölünmelidir ki; küçük parçanın (AC) büyük parçaya (CB) oranı, büyük parçanın (CB) bütün doğruya (AB)oranına eşit olsun. Altın Oran, pi (π) gibi irrasyonel bir sayıdır ve ondalık sistemde yazılışı; dür. (noktadan sonraki ilk 15 basamak). Bu oranın kısaca gösterimi: olur. Altın Oranın ifade edilmesi için kullanılan sembol, PHI yani Φ'dir. Günümüzde birçok yerde karşımıza çıkan altın orana göz nizamının oranı diyebiliriz. Çoğu zaman doğayı gözlemlediğimizde bu oranın varlığını görebiliriz. Mesela ideal insanın ölçülerine göre boy uzunluğunun göbekten ayak uçlarına olan uzunluğa oranı, göbekten ayak uçlarına olan uzunluğun göbekten başucuna olan uzunluğa olan oranına eşit. Bunu simgelerle belirtecek olursak: İdeal insanın boyu x birim olsun. Göbeğinden ayak ucuna olan uzaklık da y birim olsun. Bu durumda göbeğinden başucuna olan uzaklık da x - y birim olacak. İddiaya göre ideal insandaki ölçüler şu denklemi sağlamalı: x / y = y / (x - y). İdeal insanda sağlanması istenen bu orana yani x / y oranına, altın oran denir.

34 Altın oranın görüldüğü ve kullanıldığı yerleri şöyle sıralayabiliriz: Ayçiçeği: Ayçiçeği'nin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru tane sayılarının birbirine oranı altın oranı v Çam Kozalağı: Çam kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit bir noktadan kozalağın tepesindeki başka bir sabit noktaya doğru spiraller (eğriler) oluşturarak çıkarlar. İşte bu eğrinin eğrilik açısı altın orandır. Deniz Kabuğu: Deniz kabuklarına dikkat edenimiz, belki de koleksiyon yapanımız vardır. İ şte deniz kabuğunun yapısı incelendiğinde bir eğrilik tespit edilmiş ve bu eğriliğin tan-jantının altın oran olduğu görülmüştür. Elektrik Devresi: Verilen n tane dirençten maksimum verim elde etmek için bir paralel bağlama yapılması gerekir. Bu durumda Eşdeğer Direnç altın orana eşittir. Kollar: Kolumuzun üst bölümünün alt bölüme oranı altın oranı vereceği gibi, kolumuzun tamamının üst bölüme oranı yine altın oranı verir. Mısır Piramitleri: Her bir piramidin tabanının yüksekliğine oranı altın oranı verir. Mona Lisa Tablosu: Bu tablonun boyunun enine oranı altın oranı verir.

35 Dikdörtgen prizmanın hacmi ve yüzey alanı Paralelkenar Prizmanın Hacmi Kürenin Hacmi ve Kürenin Yüzey Alanı Formülleri-2

36 Silindirin Hacmi ve Silindirin Yüzey Alanı Formülleri-3 Yamuk Silindirin Hacmi ve Yamuk Silindirin Alanı Düzgün olmayan kesitli silindir

37 Koninin hacmi ve koninin yüzey alanı Anasayfa Piramitin hacmi Küre parçasının hacmi ve yüzey alanı Formülleri-4

38 Kesik koninin hacmi ve yüzey alanı Anasayfa

39 1'in asallığı 19. yüzyıl'a kadar, çoğu matematikçi 1'i asal sayı olarak kabul ediyorlardı ve 1'in asal olarak kabul edilmesine dayanarak yapılan birçok çalışma geçerliliğini hâlâ sürdürmektedir,örneğin [[Moritz Abraham Stern lırsa bazı teoremlerde değişikliğe gidilmesi gerekir. Örneğin tüm pozitif tam sayıların "yalnız bir şekilde" asal sayıların çarpımları şeklinde yazılabileceğini söyleyen Aritmetiğin temel teoremi, nitekim geçmişteki asal sayı tanımına göre geçerli değildir. Asal sayılar, yalnız ve yalnız iki böleni olan doğal sayılardır. Kendisinden ve 1 sayısından başka böleni olmayan, 1'den büyük pozitif tam sayılar biçiminde de tanımlanmaktadır.(kendisinden küçük asal sayıların hiçbirine tam bölünmeyen sayılardır) Yüzden küçük asal sayılar 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ve 97 dir. Öklid (Euklides)'ten beri asal sayılar sonsuz olduğu bilinmektedir, fakat asal sayılar hakkında pek çok başka soru hala daha cevapsızdır. Bunlardan en ünlü ikisi aralarındaki fark iki olan asal sayılar (örneğin 11 ve 13, veya 29 ve 31) hakkındaki ikiz asallar konjektürü ve asal sayıların doğal sayılar içersindeki dağılımı hakkındaki Riemann Hipotezidir. Sayılar teorisi'nin en önemli uğraşı asal sayılar hakkındaki bu tür sorulardır. Asal sayılar ayrıca kriptografi alanının da yapı taşlarıdır.

40 Goldbach Hipotezi Anasayfa Sayılar teorisindeki en eski Matematik'te çözümsüz problemlerden biridir. Goldbach'ın orijinal sanısı (üçül varsayım) Euler'e 7 Haziran 1742'de yazdığı mektupta şöyle ifade ediliyor:...en azından 2'den büyük her sayı üç asal sayının toplamıdır... Goldbach burada 1 sayısını da asal kabul etmektedir. (Bu konvansiyon artık terkedilmiştir.) (1 sayısı niçin asal değildir?: Çünkü bir asal sayı başka bir asal sayıyı asla tam bölmez. Oysa 1 sayısı diğer asalları da tam böler.) Asal sayılarla ilgili Goldbach hipotezi halen kanıtlanamamıştır: Her çift sayı iki asal sayının toplamı mıdır? Örneğin: 4 = = = = = = = = = =

41 Fermat'nın son teoremi Anasayfa Fransız matematikçi Pierre de Fermat'nın 17. yüzyılda öne sürdüğü fakat kanıtı ancak 1994 yılında İngiliz matematikçi Andrew Wiles tarafından verilen teoremdir. İfadesinin ortaokul matematik bilgileriyle anlaşılacak kadar yalın olmasına karşılık öne sürülmesiyle kanıtlanması arasında geçen çok uzun sürede pek çok ünlü matematikçi tarafından üzerinde uğraşılıp da kanıtlanamamış olmasıyla matematik tarihinde öne çıkmıştır. Kısaca, eğer n ikiden büyük bir tamsayıysa, ve x, y, z sayıları pozitif tamsayılar ise ifadesinin sağlanamayacağını ifade eder. İfadenin n=1 ve n=2 durumlarında kolayca sağlanabileceğini görmek zor değildir. Biraz açmak gerekirse, n=2 durumu ünlü Pisagor Teoremi ile yakından ilişkili olup x=3, y=4, z=5 veya x=5, y=12, z=13 tamsayı üçlüleriyle kolayca sağlanır. Bu sanının (artık teorem demek gerekiyor elbette) kanıtı için pek çok matematikçi uğraşmış ancak başarısız olmuşlardır. Ancak yakın tarihlere kadar çok büyük n değerleri için bu sanının doğrulanmasına devam edilmiştir. Bu tür kısmi ilerlemelere yönelik çabalar, hiç beklenmedik bir zamanda İngiliz matematikçi Andrew Wiles'ın bir kanıt bulduğunu duyurmasıyla son bulmuştur. Ne var ki kısa sürede Andrew Wiles'ın kanıtında bir hata bulunmuş ve Andrew Wiles uzun ve yorucu bir çabanın sonunda 1994 yılında uzmanlarca doğruluğu kabul gören bir kanıt vermeyi başarmıştır. Aslında Wiles'ın kanıtı Fermat'nın son teoreminden daha güçlü bir ifadenin, Şimura-Taniyama Konjektürü'nün de doğruluğunu göstermiştir. Söz konusu kanıt Sayılar Teorisi'nin çok gelişkin tekniklerini kullanır.

42 Matematikte, Eratosthenes(eratosten) Kalburu belirli bir tamsayıya kadar yer alan asal sayıların bulunması için kullanılan bir yöntemdir. Daha hızlı ve karmaşık olan Atkin kalburunun atası sayılır. Eski Yunan'da Eratosten tarafından geliştirilmiştir. İşleyişi Önce bir dizelgeye (listeye) 2'den başlayarak, istediğiniz en büyük tam sayıya kadar olan tüm tamsayıları yazın. Bu dizelgenin adı A olsun (resimdeki kutuların her biri). Bir diğer dizelgeye A'daki ilk asal sayı olan 2'den başlayarak bulduğunuz asal sayıları yazın. Bu dizelgenin adı B olsun (resimin sağında bulunan dizelge). A'dan 2'yi ve 2'nin tüm katlarını silin. A'da kalan ilk tek sayı asaldır. Bu sayıyı B'ye ekleyin Bu sayıyı ve tüm katlarını A'dan silin. Daha küçük katları zaten silindiğinden, silme safhası bu sayının karesinden başlayabilir. A dizelgesinde herhangi bir sayı kalmayıncaya kadar 4. ve 5. adımları tekrarlayın

43 Doğal sayılar, şeklinde sıralanan tam sayılardır. Negatif değer almazlar. Bazı kaynaklarda "0" doğal sayı olarak alınmaz. Matematikte hala sıfırın bir doğal sayı alınıp alınmayacağı tartışma konusudur, ancak eğer cebirsel inşâlar yapılmak isteniyorsa "0" sayısının doğal sayı olarak alınması avantaj sağlayabilir. Matematiğin diğer dallarında da problem hangi durumda daha kolay ifade edilebilecekse doğal sayılar kümesi de o şekilde alınır.

44 Bir doğal sayının rakamlarının belirttiği değere rakamların sayı değeri denir. Doğal sayının rakamlarının toplamına rakamların sayı değerleri toplamı denir.

45 9 basamaklı bir doğal sayının basamaklarının değerleri Birler basamağının basamak değeri : 1 Onlar basamağının basamak değeri : 10 Yüzler basamağının basamak değeri : 100 Binler basamağının basamak değeri : On binler basamağının basamak değeri : Yüz binler basamağının basamak değeri : Milyonlar basamağının basamak değeri : On milyonlar basamağının basamak değeri : Yüz milyonlar basamağının basamak değeri : Onlu sayma düzeninde bir basamağın değeri sağındaki basamağın 10 katıdır. Bir rakamın basamak değeri o rakam ile rakamın yazıldığı basamağın çarpımıyla bulunur sayısındaki 2 nin basamak değeri 2 (sayı değeri) ve 1000 (basamak değeri) çarpılarak 2 X şeklinde bulunur

46 Toplama işlemi ileri doğru sayma işlemidir. Toplama işlemine katılan sayılara terim, işlemin sonucuna toplam denir. Toplama işlemi sayıların aynı basamakları arasında yapılır. Bu nedenle toplama işleminde sayılar aynı basamaklar alt alta gelecek şekilde yazılır. Doğal sayılarda toplama aşağıdaki cebirsel kurallara uyar: Toplamsal birim öğe: a + 0 = a Toplamanın değişme özelliği: a + b = b + a Toplamanın birleşme özelliği: (a + b) + c = a + (b + c) Toplamanın çarpma üzerine dağılma özelliği (sağdan dağılma): (a + b)c = ac + bc Bir a sayısını bir b sayısıyla toplamak, a sayısının b kere ardılını almak olarak tanımlanır. Daha matematiksel bir tanım verilmek istenirse Ard(n) gösterimi n sayısının ardılını ifâde etmek üzere, toplama aşağıdaki belitlerle tanımlanır: a + 0 = a a + Ard(b) = Ard(a + b) Bu belitlerden yola çıkarak ardıllık işlemini toplama cinsinden göstermek mümkündür: 2. belitte b=0 seçilirse a + Ard(0) = ard(a + 0) sıfırın adrılı birdir, o halde, Ard(a) = a + 1 olduğu kolaylıkla görülür.

47 Çarpma işlemi ard arda toplama işlemidir. Çarpma işlemine katılan sayılara çarpan, işlemin sonucuna çarpım denir. Doğal sayılarda çarpma aşağıdaki cebirsel kurallara uyar: Çarpımsal birim öğe: a1 = a Çarpmanın değişme özelliği: ab = ba Çarpmanın birleşme özelliği: (ab)c = a(bc) Çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği (soldan dağılma): c(a + b) = ca + cb Bir a sayısını bir b sayısıyla çarpmak, a sayısının b kere toplamını almak olarak tanımlanır.

48 Tam sayılarla iki sayının farkı;eksilen sayı ile çıkan sayının toplama işlemine göre tersinin toplamı ile aynıdır. (+9)-(+3)=(+9)+(-3)= (+6), (-7)-(-8)= (-7)+(+8)=(+1)

49 Bölme özünde çarpmanın tersidir. Tamsayılarda bölme, her sayı için tanımlanmamıştır. Bu yüzden bölüm her zaman tamsayılar kümesinin bir öğesi olmayabilir. Örnek: (+15):(-3)=(-5)

50 Tam sayılar, doğal sayılar (0,1,2,...) ve bunların negatif değerlerinden oluşur (-1,-2,-3,...). (-0 sayısı 0 sayısına eşit olduğundan ayrı bir tam sayı olarak sayılmaz). Matematikte tam sayıların tümünü kapsayan küme genellikle (ya da Z şeklinde gösterilir). Burada "Z" harfi Almanca Zahlen (sayılar) sözcüğünün baş harfinden gelmektedir. Pozitif tam sayılar "0"dan uzaklaştıkça büyür. Negatif tam sayılar ise "0"dan uzaklaştıkça küçülür. En büyük negatif tam sayı -1'dir. En küçük pozitif tam sayı ise +1'dir. Mutlak değer, sayının başlangıç noktasına uzaklığını ifade eder. Başlangıç noktasına eşit uzaklıktaki sayılar mutlak değerce eşittir. Mutlak değer içindeki her sayı, mutlak değer dışına pozitif olarak çıkar.

51 Mükemmel Sayı : 6, 28,496 gibi kendisi hariç bütün pozitif çarpanları toplamı kendisine eşit olan sayılara denir. Mükemmel sayılar sonsuz tanedirler. Genel formülleri henüz bulunamamıştır. Ancak 2 n (2 n+1-1), sayısının her n çift sayısı ve 1 için mükemmel sayı olduğu görülebilir. Tabi buradan mükemmel sayıların çift sayı oldukları anlamı çıkmamaktadır. Yani bu formülün tüm mükemmel sayıların ortak formülü olup olmadığı bilinmemektedir. İlk 11 mükemmel sayı : 6, 28, 496, 8128, , , , , , ,

52 1 den büyük asal olmayan bir tamsayının rakamlarının toplamı, sayı asal çarpanlarına ayrılarak yazıldığında bu yazılışta bulunan tüm asal çarpanların rakamlarının toplamına eşit oluyorsa bu tür sayılara Smith sayısı denir. 121 = 11 * = = 4 ( 121 bir Smith sayısıdır. ) 166 = 2 * = = 13 ( 166 bir Smith sayısıdır. ) Bu sayının nasıl ortaya çıktığını merak ediyor musunuz? 1982 yılında matematikçi Albert Wilansky, kardeşi Smith i ararken onun telefon numarasının ( ) bu ilginç özelliğini fark etmiş. Bundan dolayı da bu sayılara Smith sayıları adını vermiş. Bu sayıyı da inceleyelim; = 3 * 5 * 5* = = 42 ( bir Smith sayısıdır. )

53 Sayılar teorisi ile ilgili güzel, kolay anlaşılır ve doğruluğu henüz ispatlanmamış bir diğer teorem de "Collatz teoremi". Lothar Collatz tarafından 1937 yılında ortaya atılmış. "3n+1 Teoremi" olarak da biliniyor yılında Paul Erdos, matematiğin henüz bu problemi çözmek için yeterli olgunluğa erişmediğini söylemiş. Teorem söyle: Elinize herhangi bir pozitif tamsayı alın. Bu sayı çift ise ikiye bölün, tek ise 3 ile çarpıp 1 ekleyin. Bu işlem sonucunda ulaştığınız sayıyı tekrar aynı değerlendirme ve işleme tabi tutun.a Collatz teoremine göre, seçtiğiniz pozitif tamsayı kaç olursa olsun bu işlem eninde sonunda 1 ile sonlanıyor. İşte örnekler Seçilen sayı: 6 Adım 1: Sayı çift olduğu için 2'ye bölünecek, sonuç 3; Adım 2: 3 tek bir sayı olduğu için 3'le çarpılıp 1 eklenecek, sonuç: 10 Adım 3: 10 çift olduğundan, 10/2 = 5 Adım 4: 5 tek sayı olduğundan 5*3+1 = 16 Adım 5: 16 çift, 16/2 = 8 Adım 6: 8 çift, 8/2 = 4 Adım 7: 4 çift, 4/2 = 2 Adım 8: 2 çift, 2/2 = 1

54 Çokgensel sayılar: Bir çokgenin köşelerini baz alarak elde ettiğimiz sayı dizelerinden oluşur. Yukarıdaki şekilde görülen çokgensel sayıları inceleyelim. Üçgen sayılar 1, 3, 6, 10, 15, 21,... şeklinde devam eden sayılar dır. Kare sayılar 1, 4, 9, 16, 25,... (Kare alma işlemiyle de aynı sonuca ulaşabilinir.) Beşgen sayılar 1, 5, 12, 22, 35, Bu sayı örüntülerinin genel ifadelerini verelim. Üçgen, kare, beşgen, altıgen, yedigen ve sekizgen sayılar hep çokgensel sayılardır ve alttaki formüllerle bulunabilirler: Üçgen P3,n= n(n+1)/2...1, 3, 6, 10, 15, Kare P4,n= (n üzeri 2)...1, 4, 9, 16, 25, Beşgen P5,n= n(3n-1)/2...1, 5, 12, 22, 35, Altıgen P6,n= n(2n-1)...1, 6, 15, 28, 45, Yedigen P7,n= n(5n-3)/2...1, 7, 18, 34, 55, Sekizgen P8,n= n(3n-2)...1, 8, 21, 40, 65,

55 Matematikte Gerçek sayılar (veya reel sayılar) kümesi, oranlı sayılar (rasyonel sayılar) kümesinin standart metriğe göre bütünlenmesiyle elde edilen kümedir. Reel sayılar kümesi sembolüyle gösterilir. Daha basit söyleyişle, bir reel sayı, ondalık gösteriminde virgülden sonra sonsuz basamağı olan bir sayıdır. Her oranlı sayı (rasyonel sayı) bir reel sayıdır; virgülden sonra tekrar eden ondalık açılımı vardır (0 dahil). Örneğin: veya veya eşitliklerinde olduğu gibi. Burada dikkat edilmesi gereken, ondalık basamaklardaki rakamların bir süre sonra bloklar halinde periyodik tekrar etme özelliğidir. Bu şöyle ispatlanabilir: m, n iki tamsayı (n pozitif) olsun. m/n oranlı sayısı ondalık ifade edilmek istendiğinde, m 'yi n 'ye bölerken (bölme algoritmasını uygularken) ilk adımda kalan 0 ile n arasında olacaktır. Kalanın yanına sıfırlar ekleyip bölmeye devam edilecek ve bir sonraki adımda kalan yine 0 ile n arasında olacaktır. Sonsuz adımda sonlu sayıda değer alabilen kalanlar, bir süre sonra aynı değeri alacak ve kendini tekrar edecektir. Oranlı sayılardan reel sayıları elde etme işlemiyse oranlı sayılara ondalık açılımındaki rakamların devirsel tekrar etmediği sayıların eklenmesi olarak düşünülebilir. Bu tür sonradan elde ettiğimiz reel sayılara irrasyonel sayılar denir.

56 Oranlı sayılar kümesine dahil olmayan Gerçek sayılardır. Kesir olarak ifade edilemeyen bu sayılara π, e ve örnek verilebilir. Q' veya I ile gösterilir. Bu sayılar belli bir düzeni olmaksızın sonsuza kadar devam eden ondalık sayılar (örneğin pi sayısı) veya oranlı karşılığı olmayan kökler olabilir. Örnekler: 3 7, 2, 5 (9/8) veya (4/9) irrasyonel sayılar değildir çünkü rasyonel karşılıkları vardır: 3 64=4 (4/9)=2/3

57 Matematikte, rasyonel veya oranlı sayılar (veya kesirler) iki tamsayının birbirine oranı ile ifade edilebilen sayılardır. Oranlı sayılar b sıfır olmamak üzere a/b şeklinde (a ve b tamsayı) yazılabilir. 2/3 ve 4/6 veya 6/9 eşdeğer oranlı sayılardır. Dolayısıyla her oranlı sayı sonsuz şekilde ifade edilebilir. Oranlı sayıların en basit formu a ve b tamsayılarının ortak böleninin olmadığı a/b ifadesidir veya veya Her tam sayı oranlı sayıdır. Çünkü şeklinde yani oranlı sayı tanımına uygun biçimde yazılabilirler. Oranlı sayılar kümesi, tam sayılar kümesi 'yi kapsar. Yaani. Tanım Oranlı sayılar kümesi, tam sayıların bir genişlemesidir ve Q ile veya ile gösterilir.

58 Matematikte karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. Karmaşık sayılar şu biçimde gösterilirler Genel olarak karmaşık sayılar için "z" harfi kullanılır. a ve b sayıları gerçel olup Anasayfa özelliğini sağlayan sanal birime i denir. Kimi zaman özellikle elektrik mühendisliğinde i yerine, j kullanılır. Ayrıca matematikte bu sayıların uzayı c olarak gösterilir. Bu harfin seçilmesinin nedeni İngilizce'de karmaşık sözcüğünün karşılığı olarak complex sözcüğünün kullanılmasıdır, nitekim bazı Türkçe kaynaklarda complex sözcüğünden devşirilen kompleks sözcüğüne de rastlanabilir. Karmaşık sayılara böyle bir adın verilmesinin nedeni ise aşağıda da göreceğimiz gibi gerçel ve sanal kısımların bir arada durmasıdır. Bütün gerçel sayılar sanal kısımları sıfıra eşit olan birer karmaşık sayı olarak düşünülebilir. Diğer bir deyişle gerçel sayılar, karmaşık sayı düzleminde gerçel sayılar ekseni üzerinde bulunurlar. Bir z karmaşık sayısının gerçel ve sanal parçaları sırasıyla Re(z) ve Im(z) şeklinde gösterilir. Bütün bu tanımları ve özellikleri bir örnekte gösterelim. sayısı gerçel kısmı Re(z) = 4, sanal kısmı Im(z) = 7 olan C uzayında bir karmaşık sayıdır. Gerçel sayılar, karmaşık sayıların alt kümesi olduğu için, R uzayındaki cebrin hepsi dolayısıyla c uzayında da tanımlıdır. Bunun dışında karmaşık sayıların başka özellikleri de vardır. Örneğin bir karmaşık sayı düzlemde bir vektör olarak temsil edilebilir.

59 n Pascal üçgeni, binom açılımındaki katsayıları bulmaya yarar. Pascal'ın bu üçgeni, olasılıklar kuramında da ustalıkla kullanılır. Bu üçgen, biyolojideki uygulamalar, matematik, istatistik ve pek çok modern fizik konularında uygulama alanı bulur. (Bazı kaynaklara göre eski Çinliler de üçgeni tanımışlar; bazıları da Pascal üçgeni diye aslında bir Hayyam üçgeninden bahsetmişlerdir.) Olasılıklar kuramının çıkış nedeni, Pascal'a kumarbaz Chevalier de Mere tarafından önerilmesiydi. En önemli görevi de elli iki kâğıt oyunu oynuyordu. Bu ara tavla zarlarının, şekilleri aynı olan ayrı renkli bilyelerin önemi büyüktür. Buna bağlı olarak, ünlü Pascal üçgeni doğdu. Pascal'ın bu üçgeni, daha sonraki yıllarda çok kullanıldı. Özellikle seri açılımları ve binom açılımı bu yöntemle kolaylıkla bulunur.

60 İskoç matematikçi Joun Napier in ( ) Napier in kemikleri (Napier s rods veya Napier s bones) adıyla anılan hesaplama aletleri de çerçeve metoduyla çarpma temeline dayanmaktadır ve günümüzdeki modern bilgisayarların en ilkel numunelerinden sayılmak tadır. Bunlarda 0 dan 9 a kadarki herbir rakam için ayrı bir çubuk mevcuttur ve her bir çubukta o rakamın 1 den 9 a kadarki katları çerçevelerde yazılı bulunmaktadır. Bunlara ek bir de index denen çubuk vardır ki bu da rakamların, katlarını belirtmektedir. Napier in kemikleri mekanik olarak çarpma, bölme ve karakök alma işlerinde kullanılmaktaydı ve bunlar o devirde özellikle tüccarlar tarafından yaygın olarak kullanılmaktaydı. Bunun dışında Napier 1614 yılında logaritmayı (karmaşık görünümlü sayılarla çarpma ve bölme yaparken, üsleri kullanarak, bu işlemleri toplamaya dönüştürme yöntemi) bularak hesaplamak devrim yapmıştır.resimi büyütmek için tıklayın.

61

62 Miletli Thales (d. M.Ö. 624 ö. M.Ö. 546), Sokrates öncesi dönemde yaşamış olan Anadolu'lu bir filozoftur. İlk filozof olduğu için Felsefenin ve bilimin öncüsü olarak adlandırılır. Eski Yunan'ın Yedi Bilgelerinin ilkidir. Birçok kişi tarafından felsefe ve bilimin kurucusu olarak düşünülür. Elimize ulaşmış hiçbir metni yoktur. Yaşadığı döneme ait kaynaklarda da adına rastlanamaz ancak hakkındaki bilgiler Herodot ve Diogenes Laertios gibi antik yazarlardan edinilir. Bertrand Russell'e göre Felsefe Thales'le başlamıştır. Thales Teoremi : Matematik alanında çığırlar açmış birisidir. Eski Yunan bilginlerinden Kallimakhos'un aktardığı bir düşünceye göre denizcilere kuzey takım yıldızlarından Büyükayı yerine Küçükayı'ya bakarak yön bulmalarını öğütlemiştir. Aynı zamanda Mısırlılardan geometriyi öğrenip Yunanlılara tanıtmıştır. Bulduğu bazı geometri teoremleri şunlardır: Çap çemberi iki eşit parçaya böler. Bir ikizkenar üçgenin taban açıları birbirine eşittir.

63 İtalyan papazı ve matematikçisi olan Cavalieri, 1598 tarihinde Milano'da doğdu. Galile'nin en iyi öğrencilerinden biri olan Cavalieri, 1629 yılından ölünceye kadar Bologna'da matematik okuttu. Astronomi ve küresel trigonometriyle ilgilendi. Logaritma ve hesaplarının İtalya'da uygulanmasında öncülük etti. "Süreklilerin Bölünmezleri Yolundan, Yeni Bir Yöntemle İlerletilmiş " adlı eseri 1635 yılında yayınlandı. Bu eserinde, "bölünmezler" kuramıyla büyük bir ün kazandı. Bu kuram, geometrik büyüklükleri, sonsuz öğeli bir sayıdan oluşmuş kabul eder. Bu öğeler, geometrik büyüklüğün ayrılabileceği en son terimdir. Bu nedenle de bölünemez olarak nitelenir. Uzunlukların, yüzeylerin ve hacimlerin ölçülmesi sonsuz sayıda bölünmezlerin toplamından başka bir şey değildir. Belirli bir integralin hesaplanması da bu ilkeye dayanır. Cavalieri, bu teoremiyle bugünkü sonsuz küçükler hesabı denen analizin öncüsü olarak sayılabilir yılında Bologna'da ölen Cavalieri'nin kendi adıyla anılan postülatları, teoremleri ve bunlardan başka kitapları da vardır.