Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi"

Transkript

1 Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Ders Notları Dr. Serkan Aksoy Gelecek önerileri için, lütfen Dr. Serkan Aksoy ile temasa geçiniz.

2 KDFT Ders Notları Dr. Serkan Aksoy İçindekiler 1. KOMPLEKS DÜZLEM Kompleks Sayılar Metrik ve Limit Kavramı KOMPLEKS FONKSİYONLAR Kompleks Düzlemde Bölgeler Kompleks Fonksiyon & Riemann Yüzeyi Kare Fonksiyonu ve Tersi Üstel Fonksiyon ve Logaritma Cos ve ArcCos Fonksiyonları Sin ve Arcsin Fonksiyonları Dallanma Noktası ve Mertebeleri KOMPLEKS TÜREV Süreklilik Kavramı Fonksiyonun Türevi Regüler Fonksiyon & Cauchy Denklemi Reel ve Sanal Kısımların Harmonikliği Reel Sanal & Sanal Reel Kısım Konform Dönüşüm - Geometrik Anlam KOMPLEKS İNTEGRAL Eğrisel İntegral Cauchy Teoremi & Yola Bağımlılık İntegralin Temel Formülü İntegral Limit Değeri (Jordan Teoremi) CAUCHY FORMÜLÜ Sonlu & Sonsuz Bölge Cauchy Formülü Regüler Fonksiyonun Türevi Rezidü Kavramı Sonsuz Serilerin Toplamı Kaldırılabilen Türden Tekillikler Liouville Teoremi Maksimum Mutlak Değer İlkesi Ortalama Değer Teoremi Weierstrass Teoremi Taylor Serisi Laurent Serisi Tekil Noktası & Fonksiyon Sınıfları Mittag Leffler Formülü Parametreye Bağlı İntegraller Fonksiyon Sıfırlarının Sayısı TAM FONKSİYONLAR Weierstrass Formülü Tam Fonksiyonun Mertebesi Tam Fonksiyonun Yakınsaklık Üssü ANALİTİK DEVAM Weierstrass Teoremi Riemann Teoremi Schwartz Simetri İlkesi Analitik Devamın Sınırı CAUCHY ÇEKİRDEĞİ Hilbert Problem Wiener-Hopf Problemi Faktörizasyon & Dekompozisyon KAYNAKÇA

3 1. KOMPLEKS DÜZLEM 1.1. Kompleks Sayılar { } in esas argümanı olarak yazılabilir ( olmak üzere, genel argümanı ). Kompleks sayılarda 1.2. Metrik ve Limit Kavramı kompleks uzayda Metrik olarak tanımlanmak üzere, olacak biçimde varsa dizisi yakınsak olup, limiti 'dır. olmak üzere, buradan iken ifadesi Trigonometrik Gösterilim olarak bilinir. Her ( tek bir karşılık gelirken, tersi yanlıştır. demoivre formülü: [ ] Çarpım Üs )'ya [ ] [ ], [ ] Cauchy Teoremi: Her için bulunabilsin. Öyleki iken ise dizi Yakınsaktır. Eğer den bağımsız ise Düzgün Yakınsaktır. Serinin mutlak değerlerinin toplamı ile elde edilen seri yakınsaksa, seri Mutlak Yakınsak'tır denilir ( ise ıraksak, Mutlak Yakınsak'tır). Abel Teoremi: Bir kuvvet serisi noktasında yakınsak ise, yarıçaplı daire içindeki tüm noktalarda Mutlak Yakınsaktır. olmak üzere, daire içinde yakınsaklık düzgündür (Yani,, iken Düzgün Yakınsak'tır). yakınsaklık katsayısı hesabının yapılması için d Alembert ve Cauchy kriterleri uygulanır. 2. KOMPLEKS FONKSİYONLAR 2.1. Kompleks Düzlemde Bölgeler Kompleks uzayda her parça Bölge adını alır ve bölge içinde ise Sonlu (Sınırlı) Bölge denilir. iken olmak üzere tüm noktalar içte ise Açık Bölge, bölge sınırında noktaların hepsini içeriyorsa Kapalı Bölge denilir. Sonlu bir bölgede her noktası basit bir çizgi ile birleştirilebiliyorsa Bağımlı Bölge, aksi halde Bağımsız Bölge denilir. Bu çizgiler ötelemeyle üst üste çakıştırılabiliyorsa Basit Bağımlı Bölge, aksi takdirde Basit Olmayan Bağımlı Bölge denilir. [ ] Eşlenik kavramı ( ),, ( ) { } Basit bağımlı olmayan bölgede tane delik varsa, bu bölgeye Bağımlı Bölge denilir ve kesim ile basit bağımlı hale dönüştürülür. Sonlu olmayan bölgelerde durum farklıdır. 3

4 2.2. Kompleks Fonksiyon & Riemann Yüzeyi Üstel Fonksiyon ve Logaritma 'e yalnız 1 eleman karşı gelirse Yalınkat Fonksiyon, aksi halde Yalınkat Olmayan Fonksiyon denilir Kare Fonksiyonu ve Tersi bir olmak üzere her 'e bir karşılık gelirken, her 'ya karşılık gelmez. peryodik fonksiyon olup, peryodu dir. O halde { } bandı üzerinde aldığı değerleri noktalarında da alır. } ; } ve e hiperboller karşılık gelir. in tersini düşünürsek asal kolu gösterir. Asal Kol: Negatif reel eksen boyunca kesilmiş kol düzlemini ( { } bandında) birebir-bir dönüştürür. Burada pozitif reel sayıların logaritmaları belirli ve reeldir. iki farklı nokta: Kesim yapılarak tek nokta bulunup, ters fonksiyon hesaplanabilir. : Seçilen kol yazımda belirsizdir. İkinci seçim (negatif reel sayılara karekök karşı gelmemesi) ele alınsın. Daha farklı kesimlerde mümkün olmaktadır., sayısının durumu Bu karekök kesimine Asal Kol denilir. Tüm kesim çizgileri ve orijin bu kola dâhil değildir. Çünkü, a dönüşür. Buna göre noktalarına kesim çizgisinin bir uç noktası olarak Dallanma Noktası (kesim çizgisine dâhil değil) denilir. orjini kuşatıyorsa: (İkinci dönüşte e gelir). orjini kuşatmıyorsa: Her yaprağa Riemann Yüzeyi denilir. Fonksiyonun bir yaprakta aldığı değerden hareketle, kesim çizgisi üzerinden geçerek diğer yapraktaki değerini bulmaya Analitik Devam İlkesi denilir. 4 Asal kol durumunda Bu durumda ve noktaları nin dallanma noktalarıdır.

5 Cos ve ArcCos Fonksiyonları 3. KOMPLEKS TÜREV 3.1. Süreklilik Kavramı de kosinüs periyodik olduğundan, farklı ler tek bir ya karşılık gelir. Bu durumda geri dönüş hiperbollar ile aşağıdaki gibi olur. } } keyfi sayısına karşın bulunabilmekte ise, iken şartı sağlanıyorsa, fonksiyonu noktasında Süreklidir denilir. Veya a yakınsıyor iken, a yakınsıyorsa fonksiyonu da Süreklidir denilir. Asal kol:, Diğer kol: Logaritmik olarak ( ), ve dallanma noktalarıdır Sin ve Arcsin Fonksiyonları Bu durum ın ve ye bağlı olduğunu gösterir. Özel olarak bulunursa Süreklilikten, sadece bulunursa Düzgün Süreklilikten bahsedilir Fonksiyonun Türevi fonksiyonu için Asal kol: limiti sınırlı ve belirli ise, bu değere 'in Türevi denilir. Türevin varlığı noktasında 'in sürekliliğini gösterir. Eğer belli bölgesinin Logaritmik olarak ( ), ve dallanma noktalarıdır Dallanma Noktası ve Mertebeleri nın bir dallanma noktası ise, bunun etrafında inci dönüşle hep aynı değerinden elde ediliyorsa, bu noktaya inci Mertebeden Dallanma Noktası denilir. : nın 1. mertebe dallanma noktası : nın 2. mertebe dallanma noktası : nın. mertebe dallanma noktası Örneğin fonksiyonu için : in 1. mertebe dallanma noktası : in 2. mertebe dallanma noktası : in 5. mertebe dallanma noktasıdır. 5 - Tüm noktalarında tanımlı - Belirli ve sürekli bir türeve sahip ise tek değerli (diferansiyelli) denilir. Tek türeve sahip fonksiyonlara Regüler Fonksiyon denilir (Açık, Kapalı bölgelerde yada Noktada regülerlik tanımı yapılabilir). Eğer, noktası hariç her yerde regüler, fakat 'da regüler değilse noktasına 'in Ayrık Tekil Noktası denilir Regüler Fonksiyon & Cauchy Denklemi ), iken, 'e göre türev (, 'e göre türev (, )

6 Bu türevlerin eşit olması için 4. KOMPLEKS İNTEGRAL 4.1. Eğrisel İntegral olmalıdır. Bu denklemler Cauchy-Riemann Diferansiyel Denklemleri olarak (yeter koşullar) bilinir. Türevin Riemann yaprağı sayısı, fonksiyonun Riemann yaprağı sayısından az olabilir. Buna örnek olarak, aşağıdaki fonksiyon verilebilir. : Sonsuz sayıda yapraklı : İki yapraklı 'in noktası ve civarında türevi varsa (Cauch-Riemann denklemlerini sağlıyorsa, kuvvet serisi açılımı mümkünse) o noktada Analitik'tir denilir Reel ve Sanal Kısımların Harmonikliği 'de regüler (her mertebeden türevli) olmak üzere Kendisini kesmeyen çizgiye basit eğri denilmek üzere ve fonksiyonlarının birinci mertebeden türevleri eğrisinin tümünde var ve sürekli ise düzgün yay, yayların birleşimine eğri adı verilir. Buradan serisinin toplamı 'nın seçiminden bağımsız sonlu bir limite giderse olduğu ispat edilebilir. Bu durumda Fonksiyon adını alır Reel Sanal & Sanal Reel Kısım Harmonik Cauchy denklemlerinde biliniyorsa, nin bir sabit farkı ile bileneceği açık olup ( ( ) ( ) ) burada olarak integral yazılır. 'de denklemini sağladığından, eğrisel integralin yoldan bağımsızlığını garantileyen eşitliği sağlandığından, eğer basit bölge ise eğrisel integralin yolundan bağımsız olarak ye nin Harmonik Eşleniği adı verilir. nin tek değerli bulunabilmesi için basit bölge olmalı, değilse basit bölgeye dönüştürülmelidir Konform Dönüşüm - Geometrik Anlam Türevi sıfırdan farklı regüler bir fonksiyon ile yapılan dönüşümlerde açı korunur. Bu dönüşüme Konform Dönüşüm denilir ve dönüşümün Jakobiyeni 'e eşittir. Laplace denkleminin dönüşümü Kendi Kendine olduğundan ilginçtir. Eğer ve bağımlı ve sonlu bölgeler ise aralarında Laplace denklemine benzer bir dönüşüm bulunabilir. Bu durum daha genel olarak Riemann Dönüşüm Teoremi olarak bilinir. integrali oluşur. Eğer serisindeki fonksiyonlar sonlu ve basit bağımlı bölgesinde regüler ve seri düzgün yakınsak ise, bu durumda herhangi bir eğri üzerinden seri terimlerinin her bir elemanının toplamı biçiminde alınacak integral de düzgün yakınsaktır. iken ve 'ler üzerinde sürekli iseler olmak üzere integrali eğrisi kapalı (yönü sola veya sağa) iken de doğrudur. Kompleks integraller reel integrallerin tüm özelliklerine sahiptir Cauchy Teoremi & Yola Bağımlılık Basit bağımlı bir bölgede regülerse, olup, integralin yoldan bağımsızlığını gösterir. Benzer biçimde basit bağımlı olmayan bölgelerde kesimle basit bağımlı bölge haline getirilerek, integral aşağıdaki gibi değerlendirilir. Cauchy teoremini tersi Morera Teoremi olup, doğrudur. 6

7 veya olmak üzere Burada ve in yönleri aynı ise in yoldan bağımsız olması Cauchy teoremini sağlaması, yani regüler olmasını gerektirir İntegralin Temel Formülü basit bağımlı bölgesinde integral yola bağlı olmadığından integrali olmak üzere sabit iken, diğer uç noktasının bir fonksiyonu olarak yazılabilir. Bu kapsamda ispat etmek mümkündür ki sağlanır. Bu durumda B içinde türevi sıfır olan fonksiyon bir sabit olacağından halini alır. için integral 0 olacağından olmalıdır. Buradan where can be zero valued. iken ve olmak üzere 5. CAUCHY FORMÜLÜ 5.1. Sonlu & Sonsuz Bölge Cauchy Formülü Basit veya basit bağımlı olmayan bir bölgede (sonlu bölge) noktası hariç regüler olan bir fonksiyonu için olmak üzere sağlanır. Sağdaki integralin sıfır olduğu ispat edilebilir ve formülü, bir integralin, integre edilecek fonksiyonu türev kabul eden herhangi bir fonksiyonun integrasyon çizgisi boyunca artımına eşit olduğunu söyler İntegral Limit Değeri (Jordan Teoremi) veya olmak üzere where can be zero valued. formülü Cauchy Formülü olarak bilinir. Regüler ve kapalı eğrileri dışında kalan bölgesinde için (sonsuz bölge) düzgün olarak regüler oluyorsa, Cauch formülü yine geçerlidir Regüler Fonksiyonun Türevi Basit ve çok bağımlı sonlu bir bölgesi içinde regüler olan fonksiyonunun inci mertebeden türevinin aşağıdaki gibi olduğu ispat edilebilir. Söz konusu bölgede sürekli türevlerine sahip ise, tüm mertebeden türevlerde mevcuttur. 7

8 5.3. Rezidü Kavramı fonksiyonu da süreksizse fonksiyonu da regüler olmakla beraber ( ) fonksiyonuna da regüler olmayıp, bu değere in da inci mertebeden bir Kutbu denilir. Kutup civarında fonksiyonu olarak yazılabilir. Burada katsayısına in da Rezidüsü, adı verilir. Bu durumda integral olur ve { } olarak yazılabilir. Bölge solda kalırsa +, sağda kalırsa ile çarpılır Sonsuz Serilerin Toplamı Sonlu sayıda kutuplarına sahip ( dan hiçbiri olmayan) ve bunun dışındaki bölgelerde regüler olan fonksiyonu göz önüne alınsın. Bu durumda ile ilgili sonsuz seri toplamı aşağıda gibi yazılabilir. { } 5.5. Kaldırılabilen Türden Tekillikler fonksiyonu bir bölgesinde hariç her noktada regüler ve tüm bölgede sınırlı ise, fonksiyonun daki tekilliği kaldırılabilen türden olup, tekillik noktasında limit değer olarak tanımlandığı durumda fonksiyonu bölgesinin tümünde regüler olacaktır. Bu durum kutupları mevcut olan bir fonksiyonu ters çevrilmesi durumunda, bu kutupların artık için regüler olduğu söylenebilir Liouville Teoremi Cauchy formülünün bir diğer sonucu da eğer bir fonksiyon tüm düzlemde sınırlı ve sonlu her bölgede regülerse, bu fonksiyon bir sabitten ibarettir biçiminde olup Liouville Teoremi olarak bilinir. Liouville teoremi ve fonksiyonlarına uygulanırsa, sonlu her için regüler olan bir fonksiyonun reel veya sanal kısmı bütün düzlemde sınırlı ise, bu fonksiyon bir sabitten ibarettir biçimini alır. Benzer biçimde bütün sonlu düzlemde harmonik ve bütün düzlemde üstten (veya alttan) sınırlı olan bir fonksiyonun bir sabitten ibaret olduğu da açıktır Maksimum Mutlak Değer İlkesi bir bölgesinde regüler ve özdeşleyin sabit değilse, maksimum değerini ancak çevrede alır. Bu teorem fonksiyonuna uygulanırsa, bir bölgesinde harrmonik bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerini ancak çevrede alacağı sonucu çıkartılır. Eğer içinde hiç bir noktada sıfır olmuyorsa ve ise fonksiyonuna yukarıdaki ilke uygulanarak 'in minimum değerini ancak çevrede alacağı söylenebilir Ortalama Değer Teoremi Bir bölgesinde regüler fonksiyonun bölge içindeki herhangi bir noktasındaki değeri, fonksiyonun merkezli herhangi bir daire üzerindeki değerlerin Aritmetik Ortalamasına eşittir. Bu durum bölgesinde harmonik bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerini ancak 'nin çevresinde alacağını da gösterir Weierstrass Teoremi Kompleks terimli serisinin terimleri sonlu bir bölgesinde regüler olsunlar. Eğer bu seri bölge sınırı üzerinde yakınsak ise - 'de de düzgün yakınsak - Toplamı 'nin içinde regüler bir fonksiyondur. - Seri 'nin içinde terim terim istenildiği kadar türetilebilir. - Türevlerden elde edilen serinin içinde var olan bölgesinde düzgün yakınsaklığı iddia edilebilir. - Fonksiyon dizileri içinde benzer durum geçerlidir Taylor Serisi dairesi içinde regüler her fonksiyon bu daire içinde 'nin bir kuvvet serisi ile ifade edilebilir. Bir bölgesinde ayrık tekil noktaları bulunan fonksiyonu göz önüne alınsın. regüler olduğu bir noktası civarında Taylor Serisine olarak açılabilir. Burada.. Bu serinin yakınsaklık yarıçapı 'ye en yakın tekil nokta ise ile verilir. Bu daire içinde her bölgede Taylor serisi düzgün ve mutlak yakınsaktır. Taylor serisinin bazı sonuçları civarında regüler bir fonksiyonunun kendisi ve 'inci mertebeye kadar türevleri noktasında sıfır olsun. Bu durumda 'nin sözü geçen civarında olmak üzere [ yazılabilir ve noktası 'nin Katlı Bir Sıfırı dır denilir. fonksiyonu sözü edilen civarda regülerdir ve için sıfırdan farklı ve sonlu bir değere sahiptir. Bu civarda olmadıkça sonlu olmak zorundadır. ] 8

9 'da regüler ve farklı noktalarında ise, 'nın bir civarında dır. Çünkü süreklilikten 'dır. O halde noktası bir sıfırdır, fakat ayrık değildir. Teklik Teoremi: ve fonksiyonları bölgesinde regüler olsunlar. dizisi içinde bir noktasına yakınsamak koşulu ile, her için ise tüm bölgesi içinde 'dir. Bir diğer anlamda regüler bir fonksiyonun limiti içinde bulunan bir dizi üzerindeki değerleri verilirse, bu fonksiyon tek bir şekilde belli olur Laurent Serisi halkası içinde regüler fonksiyonu şeklinde Laurent Serisi'ne açılabilir. Laurent serisi içerisinde kalan halkasında düzgün yakınsaktır. Negatif kuvvetlerden oluşan kısım Esas (Principal), diğer kısım Regüler kısımdır Tekil Noktası & Fonksiyon Sınıfları fonksiyonunun ayrık bir tekil noktası olsun. a) 'a yakın tüm değerleri için sınırlı ise, bu tekillik Kaldırılabilir Türden Tekillik adını alır. b) iken ise tekillik bir Kutup'tur. c) iken sınırlı değil, fakat sonsuzda değil ise (yani 'in 'a gidişine göre farklı değerler alır ve bu değerler arasında sonsuzda vardır) Esaslı Tekil Nokta adını alır. Kesilmemiş tüm düzlemde ve düzlemin her sonlu parçasında bir fonksiyonunun tekil noktaları sadece kutuplardan oluşuyorsa Meromorfik'tir denilir. Tekil noktası sonsuzda olan fonksiyona Tam Fonksiyon denilir. Böyle bir fonksiyon için sonsuz noktası bir kutupsa bu fonksiyon mecburen bir polinomdur (rasyonel tam fonksiyon), sonsuz noktası bir esaslı tekil nokta ise Transandant Fonksiyon adını alır Mittag Leffler Formülü meromorfik bir fonksiyon iken, bu fonksiyonun kutupları olmak üzere [ ] Mittag-Leffler formülü olarak bilinen bu ilişki kutupları aracılığı ile Meromorfik fonksiyonların analitik ifadesine imkan sağlar Parametreye Bağlı İntegraller türü integrale Parametreye Bağlı İntegral denilir ve - [ ] ve ve sonlu olmak üzere sürekli ve her için ye göre regüler ise, içerisinde regülerdir. - [ ] aralığının sonlu olmaması durumunda, inregralin de düzgün yakınsak olması koşulu ile içinde regülerdir. - fonksiyon [ ) veya [ ) aralığında sonlu sayıdaki bazı noktalarda sınırsız olsa, öyle ki; genişletilmiş integrali düzgün yakınsak olsun, bu durumda içinde regülerdir. - Eğer sonlu sayıda bazı değerler için sınırlı süreksizliklere sahipse, teorem yine doğrudur. Yine reel [ ] aralığında değişeceği yerde, kompleks düzleminde düzgün bir eğri boyunca değişiyorsa, teorem yine doğrudur. Laplace Dönüşümü: [ ) da integre edilebilen bir fonksiyonu için olacak biçimde sayısı (Yakınsaklık Apsisi) bulunabiliyorsa Üstel Mertebeden Fonksiyon dur. Üstel mertebeden fonksiyonu için integrali Laplace Dönüşümü adını alır ve { } sağ yarı düzleminde regülerdir. olacak biçimde üstel mertebeden bir fonksiyonu için, tüm bölgede yazılır. Ters dönüşüm ile fonksiyonu olarak bulunur ve { } şeridi Regülerlik Bölgesi adını alır. Dönüşüm için integralin yakınsaklığına ihtiyaç olmayıp, yeteri kadar büyük değerleri için olmak üzere sabiti ve sayısı bulunabiliyorsa, dönüşüm vardır. Fourier Dönüşümü: 9

10 olacak biçimde üstel mertebeden bir fonksiyonu için konularak integrali Fourier Dönüşümü adını alır ( düzleminin sağa doğru 90 0 döndürülmesi ile elde edilmiştir) ve { } şeridi Regülerlik Bölgesi adını alır. Ters dönüşüm ile fonksiyonu ( ) iken aşağıdaki gibi bulunur. Periyodik olmayan bir fonksiyonunun Fourier dönüşümünün alınabilmesi için aşağıdaki şartlar sağlanmalıdır. - Riemann İntegrali Anlamında: a) bölgesinde ayrık bazı noktalar dışında tanımlı, b) integrali [ ] sonlu bölgesinde alınabilmeli veya sonlu sayıdaki noktaları integralin alınmasına engel ise, limit durumda integral alınabilmelidir. - Lebesgue İntegrali Anlamında: a) bölgesinde ayrık bazı noktalar dışında tanımlı b) integrali (yakınsaklığı yeterlidir) alınabilmelidir. Periyodik bir fonksiyonunun Fourier serisine açılabilmesi için (Dirichlet şartları) bilinen aşağıdaki şartlar sağlanmalıdır. a) Sınırlı, aksi halde ile tanımlı ve sonlu olmalı b) Maksimum & Minimum sayısı sınırlı olmalıdır (Sonlu değişimli). c) Süreksizlikleri sınırlı olmalıdır Fonksiyon Sıfırlarının Sayısı Cauchy Teoremi: bölgesinde regüler ve bunun çevresinde sıfırdan farklı olan bir fonksiyonun içindeki sıfırlarının sayısı in boyunca sürekli değişiminin ile bölümüne eşittir. Eğer fonksiyonunun içimde kutupları olsa da sonuç benzer olacaktır. Bu teoremin sonucu olarak Konform dönüşümün bire-birliği ( içerisinde basit bir kutba sahip olsada bunun dışında) gösterilebilir. Rouche Teoremi: ve bölgesinde regüler iki fonksiyon ve nin çevresinde ise ve in içindeki sıfırları sayısı eşittir. Ters Fonksiyonların Dallanma Noktaları: noktasını içeren bir bölgede regüler bir fonksiyonunun civarında tek değerli bir ters fonksiyona sahip olması için gerek ve yeter koşul olmasıdır. Eğer da in inci mertebeye kadar türevi sıfırdan farklı ise, noktası ters fonksiyon için inci mertebeden bir dallanma noktasıdır. Özel olarak: - Eğer noktası in inci mertebeden bir kutup noktası ise, böyle bir durumda noktası ters fonksiyon için inci mertebeden Regüler Tipte Dallanma Noktası denilir ve bu şekildeki noktalar in türevlerinin sonsuz olduğu noktalardır. - gibi denklem çözümünden çıkan fonksiyonlar bazen ( ) gibi seri açılımları ile ifade edilebilir. Bu seride negatif kuvvetlerin sayısı sonlu ve sıfırdan farklıysa noktası bu çok değerli fonksiyon için inci mertebeden Kutupsal Dallanma Noktası dır denilir. Negatif kuvvetlerin sayısı sonsuz ise dallanma noktası Esaslı Tekil Nokta tipindedir. Regüler ve kutupsal dallanma noktalarına Cebirsel, böyle olmayanlara Transandant Dallanma Noktaları denilir. 6. TAM FONKSİYONLAR Tekil noktası sadece olan fonksiyona Tam Fonksiyon denilir. Eğer bu fonksiyon için bir kutupsa (yani fonksiyon bir polinomdan ibaretse, rasyonel tam fonksiyon), fonksiyonun sonlu sayıda sıfırı vardır ve (, tam) olarak yazılır. Eğer bir esaslı tekil noktaysa (transandantal tam fonksiyon), durum biraz değişik olmakla beraber, genelleştirilebilir. Öyle ki ( ) olmak üzere oluşturulan sonsuz çarpımın yakınsak olması için gerek, yeter ve koşul serisinin, logaritmaların uygun seçilmesi ile yakınsak olmasıdır Weierstrass Formülü Çarpanları in tam fonksiyonları olan, yakınsak sonsuz çarpımı, ların sıfırından geçmeyen her dairesi için pozitif bir tamsayı olmak üzere, logaritma için uygun seçilmiş değerlerle dairesinin içinde regüler bir fonksiyonu gösterir. Bu fonksiyonun söz konusu daire içerisindeki sıfırları nin aynı daire içindeki sıfırlarından ibarettir. Bu durumda sıfırları fonksiyonlarının sıfırlarından ibaret olan bir tam fonksiyonu 10

11 [ ] iken Kanonik Çarpım (Weierstrass Formülü) olarak bilinir Tam Fonksiyonun Mertebesi fonksiyonuna karşılık olduğunda olacak şekilde ve pozitif sayıları bulunabiliyorsa, sonlu mertebeden bir tam fonksiyondur denilir. Söz konusu sayılarının alt sınırına in Mertebesi adı verilir Tam Fonksiyonun Yakınsaklık Üssü in sonsuz çarpımlar ifadesinde serisinin hangi sayıları için yakınsak olduğu bilinmek istenir. Bu sayılarının alt sınırına Sıfırların Yakınsaklık Üssü denilir. Bir tam fonksiyonun kanonik çarpımın mertebesi her zaman sıfırların yakınsaklık üssüne eşittir. Hadamard Teoremi: sonlu mertebeden bir tam fonksiyon olmak üzere, bunun kanonik çarpımı yazılacak olursa, burada mertebesi dan büyük olmayan bir polinom olur. 7. ANALİTİK DEVAM, 'de,, 'de regüler fonksiyonlar iken arakesitinde her için oluyorsa; fonksiyonu 'in arakesiti üzerinden Analitik Devamı (Ekstrapolasyon) denilir ve varsa analitik devamı tektir. 'de ve fonksiyonlarının analitik devamları kullanılarak, 'de ve hesaplanabiliyorsa - 'in 'de devamı 'dir. - 'in 'de devamı 'dir. - 'de ise, 'de 'dir. - 'de ise, 'de 'dir. Bir denklem ve denklemin çözümü de analitik devam bakımından değerlendirilebilir. Analitik devam ilkesi bölgeler zinciri üzerinden de geçerli olup, tek olarak elde edilir. Bir eğri parçası üzerinden bölgeye analitik devamda mümkün olup, tek olarak elde edilir. Fonksiyonel denklemlerin çözümleri bakımından da analitik devam mümkündür Weierstrass Teoremi Bir fonksiyonunun analitik devamının yapılması için regüler olduğu noktalar civarında Taylor serisine açılarak, bu serilerin yakınsaklık dairelerinin en yakın tekil noktaya kadar genişletilmesi esasına dayanır. Bu tür bir analitik devam dairelerden oluşan zincirler boyunca yapılmış bir devam olup, regüler olan her nokta civarındaki Taylor serisine, bu noktaya ait Fonksiyon Elemanı (Regüler Eleman) denilir Riemann Teoremi Düzgün bir eğrisinin parçası boyunca birbirine yapışık ve bölgeleri ve bunların içinde regüler olan ve fonksiyonları için, eğer - 'de, 'de sürekli ise - için ise, 'in içinde analitik devamıdır Schwartz Simetri İlkesi fonksiyonu aralığının bir tarafındaki bölgesinde regüler, 'de sürekli ve üzerinde reel değerli olmak üzere, 'in simetriği olan bölgesinde her zaman devam ettirilebilir ve devam fonksiyonu aşağıdaki gibi verilir. ( ) 7.4. Analitik Devamın Sınırı 'in analitik devamı için 'in tekil fonksiyonlarının tümüne Doğal Sınır denilir. Basit fonksiyonlarda bunlar sadece ayrık tekil noktalarken, bazı hallerde kapalı eğrinin tümü üzerinde yoğun olabilirler. Bu durumda kapalı eğrinin ötesine devam ettirilemeyip Boşluklu Fonksiyon adını alır. 8. CAUCHY ÇEKİRDEĞİ kapalı düzgün bir yay, üzerinde tanımlı ve integre edilebilen bir fonksiyonken, üzerindeki her noktası için fonksiyonu hem içinde, hem de dışındaki bölgesinde ayrı ayrı 'in regüler fonksiyonudur. üzerinde bulunan noktalarda sürekli olmadığından, 'in 'deki ifadesi 'daki ifadesinin bu bölgeye analitik devamından farklıdır. Bundan dolayı düzleminde Bölge-Bölge süreklidir denilip, her bölgedeki değerleri ve ile gösterilir. İntegrasyon yönü bölgesini solda bırakacak olarak seçilmek üzere, üzerinde tanımlı fonksiyonuna İntegral Yoğunluğu, ise İntegral Çekirdeği denilir. Hölder Koşulu: Düzgün bir yayı üzerinde tanımlı 'nun yay üzerinde herhangi bir noktada aldığı değerlerin farkı ve verilmiş pozitif tamsayılar olmak üzere, her zaman bağıntısını sağlıyorsa Hölder Koşulunu sağlıyor demektir. ve sırası ile Hölder Sabiti ve Hölder İndisi adını alır. 11

12 Hölder koşulunu sağlayan her fonksiyon üzerinde süreklidir. ise, üzerinde türetilebilir ve olurken, hali Lipschitz Koşulu olarak bilinir Hilbert Problem düzgün bir eğri, 'de dışında her yerde regüler iken, olurken 'in ve ile gösterilen belirli limitlere sahip olduğunu ve bunların ve üzerinde tanımlı fonksiyonlar olmak üzere Hilbert Denklemini sağladığını varsayalım. ve verilmiş iken 'in bulunması şeklinde ortaya konan probleme Hilbert Problemi, 'ye Denklemin Çekirdeği denilir. 'nin açık, kapalı ve sonlu oluşu çözümün etkiler Wiener-Hopf Problemi olmak üzere sağlanabilirse, Wiener-Hopf denklemi halini alır. Eşitliğin sol yanı bölgesinde, sağ yanı bölgesinde regüler olduğundan, iki taraf birbirinin üzerinden analitik devamı niteliğinde olup { ile tanımlı fonksiyon düzleminin sonlu her noktasında regülerdir. Bu 'nin tam fonksiyon olduğunu gösterir. Böylece } ( ) ( ) koşuluna uyan verilmiş ve iki reel sayı olmak üzere { { } } yatay şeridi içinde yazılmış, olmak üzere denklemi göz önüne alınsın. Burada ve içinde regüler verilmiş fonksiyonlar olmak üzere, ve belirlenmesi istenen fonksiyonlardır. 'in { { } } ve 'in { { } } yarı düzleminde sonlu her noktada regüler oldukları varsayılmaktadır ( bir kutup veya esaslı tekil nokta olabilir). Bu tür probleme Wiener-Hopf Problemi denilir. bu denklemin Çekirdeği olarak bilinir. Wiener-Hopf problemi içindeki bir doğrusu üzerinden düşünülürse Hilbert problemine dönüşür. olarak bulunmuş olur. tam fonksiyonu genelde ve fonksiyonlarının 'daki asimptotik davranışı ile belirlenir. 9. KAYNAKÇA İdemen Mithat, Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi, İstanbul Teknik Üniversitesi Yayınları, Sayı: 1467, Faktörizasyon & Dekompozisyon Wiener-Hopf çözümün sağlanması için olarak çekirdeğin çarpanlarına ayrılması (Faktörizasyon) gerekir. Bu faktörizasyon ile Wiener-Hopf denklemi halini alır. ve 'in belirlenmesi denklemin sağ yanındaki fonksiyonun ve bölgelerinde regüler olan iki fonksiyonun toplamı olarak ifade edilmesine bağlı olup 12

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS Bir Dönemde Okutulan Ders Saati MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1 Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2 Fonksiyonlar,

Detaylı

İşaret ve Sistemler. Ders 3: Periyodik İşaretlerin Frekans Spektrumu

İşaret ve Sistemler. Ders 3: Periyodik İşaretlerin Frekans Spektrumu İşaret ve Sistemler Ders 3: Periyodik İşaretlerin Frekans Spektrumu Fourier Serileri Periyodik işaretlerin spektral analizini yapabilmek için periyodik işaretler sinüzoidal işaretlerin toplamına dönüştürülür

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

Karmaşık Fonksiyonlar ve Uygulamaları (MATH274) Ders Detayları

Karmaşık Fonksiyonlar ve Uygulamaları (MATH274) Ders Detayları Karmaşık Fonksiyonlar ve Uygulamaları (MATH274) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Kredi AKTS Saati Karmaşık Fonksiyonlar ve Uygulamaları MATH274 Bahar 3 0 0

Detaylı

Chapter 1 İçindekiler

Chapter 1 İçindekiler Chapter 1 İçindekiler Kendinizi Test Edin iii 10 Birinci Mertebeden Diferansiel Denklemler 565 10.1 Arılabilir Denklemler 566 10. Lineer Denklemler 571 10.3 Matematiksel Modeller 576 10.4 Çözümü Olmaan

Detaylı

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İşaret ve Sistemler. Ders 11: Laplace Dönüşümleri

İşaret ve Sistemler. Ders 11: Laplace Dönüşümleri İşaret ve Sistemler Ders 11: Laplace Dönüşümleri Laplace Dönüşüm Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) yada L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s: İşaret ve Sistemler

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK

ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KPSS 2017 önce biz sorduk 50 Soruda 30 soru ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK ANALİZ - DİFERANSİYEL DENKLEMLER Eğitimde 30. yıl Fikret Hemek ÖABT İlköğretim Matematik Öğretmenliği Analiz-Diferansiyel Denklemler

Detaylı

Kompleks Analiz (MATH 346) Ders Detayları

Kompleks Analiz (MATH 346) Ders Detayları Kompleks Analiz (MATH 346) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Kompleks Analiz MATH 346 Güz 4 0 0 4 7 Ön Koşul Ders(ler)i Math 251 Dersin Dili

Detaylı

Adi Diferensiyel Denklemler 1. BÖLÜM 1 Birinci-Mertebe Diferensiyel Denklemler 3. BÖLÜM 2 Lineer İkinci MertebeDenklemler 43

Adi Diferensiyel Denklemler 1. BÖLÜM 1 Birinci-Mertebe Diferensiyel Denklemler 3. BÖLÜM 2 Lineer İkinci MertebeDenklemler 43 İçindekiler Ön Söz xiii 1 Adi Diferensiyel Denklemler 1 BÖLÜM 1 Birinci-Mertebe Diferensiyel Denklemler 3 1.1 Terminololoji ve Değişkenlerine Ayrıştırılabilir Denklemler 3 1.2. Lineer Denklemler 16 1.3

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012 1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER

İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 1.1. Fiziksel Kanunlar ve Diferensiyel Denklemler Arasındaki İlişki... 1 1.2. Diferensiyel Denklemlerin Sınıflandırılması ve Terminoloji...

Detaylı

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II) 7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile

Detaylı

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2) ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme

Detaylı

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.

Detaylı

Yazım hatalari olabilir. Yeni sorular eklenecek. 1 Sunday 12 th January, :17

Yazım hatalari olabilir. Yeni sorular eklenecek. 1 Sunday 12 th January, :17 Prof. Dr. İsmail Kömbe Matematik Analiz III/Final çalışma soruları Sonbahar 3 SORU Lütfen çözümlerinizi basamak basamak ve net bir şekilde yaziniz. n ( n + )n3/ serisinin yakinsak olup olmadigini inceleyiniz.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 2015-2016 YAZ OKULU DERS İÇERİĞİ. (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri)

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 2015-2016 YAZ OKULU DERS İÇERİĞİ. (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) Bölümü Dersin Kodu ve Adı K MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1- Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2- Fonksiyonlar,

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Genel Olarak Bir Yüzeyin Diğer Bir Yüzeye Projeksiyonu

Genel Olarak Bir Yüzeyin Diğer Bir Yüzeye Projeksiyonu JEODEZİ9 1 Genel Olarak Bir Yüzeyin Diğer Bir Yüzeye Projeksiyonu u ve v Gauss parametrelerine bağlı olarak r r ( u, v) yer vektörü ile verilmiş bir Ω yüzeyinin, u*, v* Gauss parametreleri ile verilmiş

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Türev Uygulamaları. 9.1 Ortalama Değer teoremi

Türev Uygulamaları. 9.1 Ortalama Değer teoremi 1 2 Bölüm 9 Türev Uygulamaları 9.1 Ortalama Değer teoremi Türevin çok farklı uygulamaları vardır. Bunlar arasında çok önemli olan bazılarını ele alacağız. Ortalama Değer Teoremi ni daha önce görmüştük.

Detaylı

Yüksek Lisans Cebir (in Turkish) Başlık: Grup Teorisi I Seviye: - İçerik: Gruplar, bölüm grupları, temel izomorfizma teoremleri, alterne, simetrik ve dihedral gruplar, direkt çarpımlar, otomorfizma grupları

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

(z z 0 ) n. n=1. Z f (z) dz = 2ib 1

(z z 0 ) n. n=1. Z f (z) dz = 2ib 1 0 RE IDÜ TEOR IS I Tan m. f fonksiyonu z 0 noktas nda ayr k singülerli¼ge sahip olsun. Bu durumda f fonksiyonu 0 < jz z 0 j < " bölgesinde X X f(z) = a n (z z 0 ) n b n + (z z 0 ) n Laurent seri aç l m

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

FİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

FİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ FİNAL SORULARI 25-26 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... SINAV TARİHİ VE SAATİ : A A A A A A A Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav süresi 9 dakikadır.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:89 MATEMATİK I (12. BASKI) Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr.

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:89 MATEMATİK I (12. BASKI) Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. MATEMATİK I (12. BASKI) Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. Ali Tekin TİN MATEMATİK I DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:89 Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. Ali Tekin

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 Bölüm 2 STATİK DENGE ANALİZİ 19 2.1 İktisatta Denge Kavramı 20 2.1.1.

Detaylı

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ 6.2. Laplace Dönüşümü Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) ya da L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s; ÇÖZÜM: a) b) c) ÇÖZÜM: 6.3.

Detaylı

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi 2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 4 (336 sayfa) ANALİZ CEBİR 1 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman

Detaylı

HATA VE HATA KAYNAKLARI...

HATA VE HATA KAYNAKLARI... İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ... 1 1.1 Giriş... 1 1.2 Sayısal Analizin İlgi Alanı... 2 1.3 Mühendislik Problemlerinin Çözümü ve Sayısal Analiz... 2 1.4 Sayısal Analizde Bilgisayarın Önemi... 7 1.5 Sayısal Çözümün

Detaylı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı FOURIER SERİLERİ Bu bölümde Fourier serilerinden bahsedeceğim. Önce harmoniklerle (katsıklıklarla) ilişkili sinüsoidin tanımından başlıyacağım ve serilerin trigonometrik açılımlarını kullanarak katsayıları

Detaylı

8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I

8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I 8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I Tan m. C n ; n 0; ; ; : : : kompleks sabitler olmak üere serisine Laurent serisi denir. Burada n X C n ( X X X C n ( 0 ) n a n ( 0 ) n b n + ( 0 ) n 0 ) n dir. Teore8.. (Laurent

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

HİTİT ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS TANIMLARI

HİTİT ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS TANIMLARI HİTİT ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS TANIMLARI ZORUNLU DERSLER Matematiğin Temelleri (3-0) 3: Sembolik Mantık; Kümeler Kuramı; Kartezyen Çarpım; Bağıntılar; Fonksiyonlar; Birebir ve Örten Fonksiyonlar;

Detaylı

SAYISAL KARARLILIK. Zaman Uzayı Sonlu Farklar Yöntemi

SAYISAL KARARLILIK. Zaman Uzayı Sonlu Farklar Yöntemi Dr. Serkan Aksoy SAYISAL KARARLILIK Sayısal çözümlerin kararlı olması zorunludur. Buna göre ZUSF çözümleri de uzay ve zamanda ayrıklaştırma kapsamında kararlı olması için kararlılık koşullarını sağlaması

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4 NİSAN 21 DENEMESİ 1) ABCD dikdörtgeninin AB kenarı üzerindeki M noktasından geçen ve CM doğrusuna dik olan doğru AD kenarını E noktasında kesiyor. M noktasından CE doğrusuna indirilen dikmenin ayağı P

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 9 Ağırlık Merkezi ve Geometrik Merkez Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C. Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 9. Ağırlık

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada

Detaylı

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav

Detaylı

Jeodezi

Jeodezi 1 Jeodezi 5 2 Jeodezik Eğri Elipsoid Üstünde Düşey Kesitler Elipsoid yüzünde P 1 noktasındaki normalle P 2 noktasından geçen düşey düzlem, P 2 deki yüzey normalini içermez ve aynı şekilde P 2 de yüzey

Detaylı

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4.

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4. POLİNOMLAR I MATEMATİK. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? I. ( ) P = + II. ( ) P = + III. ( ) + + P = + 6. ( ) ( ) ( ) P = a b a + b sabit polinom olduğuna göre ( ) ( ) ( ) P a +P b +P 0 toplamı kaçtır?

Detaylı

TİTREŞİM VE DALGALAR BÖLÜM PERİYODİK HAREKET

TİTREŞİM VE DALGALAR BÖLÜM PERİYODİK HAREKET TİTREŞİM VE DALGALAR Periyodik Hareketler: Belirli aralıklarla tekrarlanan harekete periyodik hareket denir. Sabit bir nokta etrafında periyodik hareket yapan cismin hareketine titreşim hareketi denir.

Detaylı

DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ

DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ 3 DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ Gerilme Kavramı Dış kuvvetlerin etkisi altında dengedeki elastik bir cismi matematiksel bir yüzeyle rasgele bir noktadan hayali bir yüzeyle ikiye ayıracak olursak, F 3 F

Detaylı

FİZİK 4. Ders 10: Bir Boyutlu Schrödinger Denklemi

FİZİK 4. Ders 10: Bir Boyutlu Schrödinger Denklemi FİZİK 4 Ders 10: Bir Boyutlu Schrödinger Denklemi Bir Boyutlu Schrödinger Denklemi Beklenen Değer Kuyu İçindeki Parçacık Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi Kare Kuyu Tünel Olayı Basit Harmonik Salınıcı

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Öğrenim Kazanımları Bu programı başarı ile tamamlayan öğrenci;

Öğrenim Kazanımları Bu programı başarı ile tamamlayan öğrenci; Image not found http://bologna.konya.edu.tr/panel/images/pdflogo.png Ders Adı : ANALİZ I Ders No : 0310250035 : 4 Pratik : 2 Kredi : 5 ECTS : 8 Ders Bilgileri Ders Türü Öğretim Dili Öğretim Tipi Zorunlu

Detaylı

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

Prof. Dr. Mahmut Koçak.

Prof. Dr. Mahmut Koçak. i Prof. Dr. Mahmut Koçak http://fef.ogu.edu.tr/mkocak/ ii Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Kitabın yazarına aittir. Bütün hakları saklıdır. Kitabın tümü ya da bölümü/bölümleri yazarın yazılı izni

Detaylı

ZAMAN SERİLERİNDE REGRESYON ANALİZİ

ZAMAN SERİLERİNDE REGRESYON ANALİZİ ZAMAN SERİLERİNDE REGRESYON ANALİZİ 1 1. GİRİŞ Trent, serinin genelinde yukarıya ya da aşağıya doğru olan hareketlere denmektedir. Bu hareket bazen düz bir doğru şeklinde olmaktadır. Bu tür harekete sahip

Detaylı

KISIM I BÖLÜM 1 BÖLÜM 2 GENEL MATEMATİK ANALİZ - I. 1. kümeler...3 KONU TESTİ B. Bağıntı c. Sınırlı Kümeler Alan Bilgisi Yayınları

KISIM I BÖLÜM 1 BÖLÜM 2 GENEL MATEMATİK ANALİZ - I. 1. kümeler...3 KONU TESTİ B. Bağıntı c. Sınırlı Kümeler Alan Bilgisi Yayınları içindekiler KISIM I BÖLÜM 1 GENEL MATEMATİK 1. kümeler...3 a. Kümelerin Birleşimi...4 B. Kümelerin Kesişimi...5 C. Bir Kümenin Tümleyeni...6 D. Simetrik Fark...6 2. sayılar...7 a. Rasyonel sayıların cebiri...9

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

Otomatik Kontrol. Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri

Otomatik Kontrol. Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri Otomatik Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri H a z ı r l aya n : D r. N u r d a n B i l g i n Kapalı Çevrim Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri Bir önceki

Detaylı

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500 984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

İÇİNDEKİLER. iii ÖNSÖZ BÖLÜM 1 TEMEL KAVRAMLAR 1 BÖLÜM 2 LİNEER KISMİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 9

İÇİNDEKİLER. iii ÖNSÖZ BÖLÜM 1 TEMEL KAVRAMLAR 1 BÖLÜM 2 LİNEER KISMİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 9 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ ix BÖLÜM 1 TEMEL KAVRAMLAR 1 1.1. Tanımlar 2 1.2. Diferensiyel Denklemlerin Çözümü (İntegrali) 5 1.3. Başlangıç Değer ve Sınır Değer Problemleri 7 BÖLÜM 2 LİNEER KISMİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER

Detaylı

Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması.

Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Projenin Amacı: Aritmetik bir dizinin ilk n-teriminin belirli tam sayı kuvvetleri toplamının

Detaylı

PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir Noktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma

PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir Noktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir oktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma PROJEİ AMACI: Bu projede herhangi bir koniğin üzerindeki veya dışındaki bir noktadan

Detaylı

B ol um 5 ANALOG IS ARETLER IN SPEKTRUM ANAL IZ I

B ol um 5 ANALOG IS ARETLER IN SPEKTRUM ANAL IZ I Bölüm 5 ANALOG İŞARETLERİN SPEKTRUM ANALİZİ 10 Bölüm 5. Analog İşaretlerin Spektrum Analizi 5.1 Fourier Serisi Sınırlı (t 1, t 2 ) aralığında tanımlanan f(t) fonksiyonunun sonlu Fourier serisi açılımı

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS. Kompleks Matematik EEE203 3 3+0 3 4

Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS. Kompleks Matematik EEE203 3 3+0 3 4 DERS BİLGİLERİ Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS Kompleks Matematik EEE203 3 3+0 3 4 Ön Koşul Dersleri Dersin Dili Dersin Seviyesi Dersin Türü İngilizce Lisans Zorunlu / Yüz Yüze Dersin

Detaylı

25. KARARLILIK KAPALI ÇEVRİM SİSTEMLERİNİN KARARLILIK İNCELENMESİ

25. KARARLILIK KAPALI ÇEVRİM SİSTEMLERİNİN KARARLILIK İNCELENMESİ 25. KARARLILIK KAPALI ÇEVRİM SİSTEMLERİNİN KARARLILIK İNCELENMESİ a-) Routh Hurwitz Kararlılık Ölçütü b-) Kök Yer Eğrileri Yöntemi c-) Nyquist Yöntemi d-) Bode Yöntemi 1 2 3 4 a) Routh Hurwitz Kararlılık

Detaylı

YGS MATEMATİK - CEBİR 01 TEMEL SAYI KAVRAMLARI VE UYGULAMALARI 02 TAMSAYILARDA BÖLME 03 BÖLÜNEBİLME KURALLARI 04 ASAL SAYILAR 05 OBEB VE OKEK 06

YGS MATEMATİK - CEBİR 01 TEMEL SAYI KAVRAMLARI VE UYGULAMALARI 02 TAMSAYILARDA BÖLME 03 BÖLÜNEBİLME KURALLARI 04 ASAL SAYILAR 05 OBEB VE OKEK 06 1 YGS MATEMATİK - CEBİR 01 TEMEL SAYI KAVRAMLARI VE UYGULAMALARI 02 TAMSAYILARDA BÖLME 03 BÖLÜNEBİLME KURALLARI 04 ASAL SAYILAR 05 OBEB VE OKEK 06 RASYONEL SAYILAR KÜMESİ VE ÖZELLİKLERİ 07 BASİT EŞİTSİZLİKLER

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı