KLASİK LEBESGUE UZAYLARINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI. Fatma İÇER

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "KLASİK LEBESGUE UZAYLARINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI. Fatma İÇER"

Transkript

1 T.C. DİCLE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KLASİK LEBESGUE UZAYLARINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI Ftm İÇER YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI DİYARBAKIR Hzir 203

2

3 TEŞEKKÜR Çlışmmı her lıd değerli vktii yırı ei yöledire, sır ve lyışıı esirgemeye, güç vere tez dışmım Doç. Dr. Aziz HARMAN,rmızd olduğu süre oyuc tecrüelerii izim ile ylş ve ize ykı ilgi göstere Prof. Dr. Frm MAMADOV, çlışmm oyuc verdiği destek ve ytığı reherlikte dolyı M. Özgür KELEŞ e ve ileme teşekkür ederim. i

4 İÇİNDEKİLER TEŞEKKÜR... i İÇİNDEKİLER... ii ÖZET... v ABSTRACT... vi ŞEKİL LİSTESİ. vi. GİRİŞ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Küme ve yuvr kvrmlrı İç okt Açık küme Klı küme Kümei kışı Yoğu küme Kümeleri sıırlılığı Yuvrlr Metrik ve Metrik Uzy Kvrmlrı Metrik Metrik Uzy Komkt Küme Metrik Uzyd Ykısm ve Cuchy Dizisi Tm Metrik Uzy Metrik uzyı tmlmsı Dek Metrikler Vektör uzyı Vektör lt Uzyı Lieer Bğımlılık Sıfır Uzyı Normlu Uzylr Norm ve ormlu uzy Dek ormlr Zyıf ykısklık ve Kuvvetli Ykısklık Mutlk Ykısklık Bch Uzyı Sıırlılık Süreklilik ve Düzgü Süreklilik Mutlk Süreklilik İç çrım ve İç Çrım Uzylrı İç Çrım İç Çrım Uzyı Hilert Uzyı... 2 ii

5 2.5.4 Adjoit Oertörü Komct Uzy Oertör kvrmı Oertör Ters oertör Lieer Foksiyoel Ölçüm ve Leesgue Ölçümü Ölçü Dış Ölçü σ -ceir Borel Foksiyou Kümei çık örtüsü Leesgue Ölçümü Leesgue Ölçüleilir Küme Riem İtegrli Leesgue İtegrli Fuii Teoremi Ftou Lemm Beo- Levi Teoremi Levi Teoremi Mooto Ykısklık Teoremi Leesgue Ykısklık Teoremi L de Ykısklık Leesgue Sıırlı Ykısklık Teoremi Ölçüsel Ykısklık Riesz-Fisher Teoremi Leesgue İtegrli ve Riem İtegrli Arsıdki İlişki Stieltjes İtegrli Bzı Öemli Eşitsizlikler Youg Eşitsizliği Cuchy Eşitsizliği Cuchy-Schwrtz Eşitsizliği KLASİK LEBESGUE UZAYLARI L (0, ) Leesgue Uzyı L (, ) Leesgue uzyıı temel özellikleri Hölder Eşitsizliği Mikowski Eşitsizliği İtegrller içi Mikowski Eşitsizliği Ağırlıklı Leesgue Uzyı L i Duli iii

6 4. L UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI Kesikli Hrdy Oertörü Sürekli Hrdy Oertörü Hrdy Eşitsizliğii Difersiyel Formu Hrdy Ortlm (vergig) Oertörü N Boyutlu Hrdy Oertörü Teoremler SONUÇ VE ÖNERİLER KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ iv

7 ÖZET KLASİK LEBESGUE UZAYLARINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI YÜKSEK LİSANS TEZİ Ftm ÇAPA DİCLE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI 203 Bu tezi giriş ölümüde sor ikici ölümüde lizde öemli ir yeri ol foksiyoel ve reel lizi temel kvrmlrıd; küme ve yuvr kvrmlrı, metrik ve metrik uzy, vektör uzyı, ormlu uzy, iç çrım ve iç çrım uzyı, oertör, ölçüm, Riem ve Leesgue itegrlleri gii tez kousu ile lklı temel kvrmlr çıklmıştır. Üçücü ölümde > olmk üzere, L( 0, ) = f ölçüleilir; f d < 0 ile tıml Klsik Leesgue uzyıd; ( ) ( ) H f = f t dt ile gösterile Hrdy oertörü, duli ve L uzyıı özellikleri tıtılmıştır. Dördücü ölümde + = olmk üzere, < ve < < durumlrıd ( ) ( ) ( ) ( ) v Hf C w f ğırlıklı Hrdy oertörüü sıırlılığı rştırılmıştır. Ayrıc L ( 0, ) L ( 0, ) üst foksiyou ( 0,l ) rlığıd zl ike β( ) β( ) ( ) Hf C f L ( 0, l) L ( 0, l) eşitsizliğii sğlmsı içi β ( ) foksiyouu sıfırı ir komşuluğud Lischitz Dii koşuluu sğlmsı gerektiği gösterilmiştir. 0 v

8 ABSTRACT THEBOUNDEDNESS OF HARDY OPERATOR IN CLASSICAL LEBESGUE SPACES MASTER THESIS Ftm ÇAPA DEPARTMENT OF MATHEMATICS INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES UNIVERSITY OF DICLE 203 I the secod sectio of this thesis fter the itroductio we give sic cocets i fuctiol lysis d rel lysis d some imortt cocets which re ecessry for the urose of this thesis such s sets d eighorhoods, metric d metric sces, vector sces, ormed sces, ier roducts d ier roduct sces, oertors, mesure, Riem d Leesgue itegrls. I the third sectio, we itroduce the Hrdy oertor ( ) ( ) H f = f t dt i the clssicl Leesgue Sce L( 0, ) = f mesurle; f d < its dul d the roerties 0 of L sce. I the fourth sectio the oudedess of weighted Hrdy oertor ( ) ( ) ( ) ( ) v Hf C w f where + = d < ve < < is L ( 0, ) L ( 0, ) ivestigted. Furthermore, whe the uer fuctio is decresig i the itervl (0,l) we show tht the ieulity β( ) ( ) β( ) holds oly whe the fuctio β ( ) Hf C f L ( 0, l) L ( 0, l) stisfies the Lischits-Dii roerty i eighorhood of zero. 0 vi

9 ŞEKİL LİSTESİ Şekil No Syf Şekil.2.8. Riem itegrlii geometrik yorumu 20 Şekil.2.9. Leesgue itegrlii geometrik yorumu 2 vii

10 FATMA İÇER.GİRİŞ 920 de m 0 ve 0 olmk üzere 2 2 m m ve ise m mm ifdesi ile özdeş ol ve serisi ykısktır /2 /2 m 2 2 m m m m ile gösterile Hilert eşitsizliğii dh sit ir şekilde istlmk içi 9.y.y. şlrıd rştırmlr şly G.H. Hrdy, süreklilik durumud 0 içi 2 2 f t dt d 4 f d eşitsizliğii istlmış ve güümüze kdr yıl çok syıd ilimsel çlışmy temel oluşturmuştur. ve foksiyou; ( )rlığıd tımlı egtif olmy -itegrlleeilir ir foksiyo olmk üzere ; foksiyou içi herhgi ( ) rlığıd itegrlleeilirdir ve f tdt d f d eşitsizliği sğlır. Bu eşitsizliği ilk ğırlıklı hlii tüm egtif olmy ölçüleilir f foksiyolrı ve içi e iyi sitiyle, f tdt d f d şeklide ifde ede Hrdy; ve içi e iyi siti ile f tdt d f d 0 0 dul eşitsizliğii elde etmiştir.

11 2 TEMEL TANIM VE TEOREMLER, f ( ) 0ve f, 0, d itegrlleeilir olmsı durumud ; f tdt d f d eşitsizliği Hrdy eşitsizliğii orjil formu olrk iliir. Hrdy eşitsizliğii ir çok ld uygulmsı ulumktdır.adi difersiyel deklemler teorisi,sturm-liouville rolemleri,foksiyoel liz,komleks foksiyolr teorisi uygulm llrıı şlıclrıddır. Hrdy eşitsizliği ile ilgili olrk ir çok kit yzılmıştır.. Güümüzde Hrdy oertörü ve eşitsizlikleri ilgili çlışmlr devm etmektedir. 2

12 FATMA İÇER. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Bu ölümde, sit üstlü Hrdy eşitsizliğii sıırlılığı iceleirke gerekli olck temel ölçüm teorisi ve foksiyoel liz kvrmlrı ve ilgili zı eşitsizlikler tıtılcktır. 2.. Küme ve yuvr kvrmlrı: 2.. İç okt: 0 A oktsı içi : 0 A olck içimde ir 0 syısı vrs 0 A ı ir iç oktsı deir ve A ı ütü iç oktlrıı kümesi A o ile gösterilir Açık Küme: Her ir 0 A oktsı içi : 0 A olck içimde ir 0 syısı vrs (yi A ı her oktsı ir iç okt ise) A y ir çık kümedir deir Klı Küme: A M ve M \ A kümesi çık küme ise, A kümesie klı küme deir Kümei Kışı: A M ve 0 M olmk üzere 0 ı 0 komşuluğud A kümesii e z ir elemı vrs 0 A ı kış oktsıdır deir.(yığılm oktsı) 2..5 Yoğu Küme: A M ise A y( M içide) yoğudur deir. Eğer A hiç iç okty shi değil ise(yi Y i kışıı içi oş ise, şk ir yzılışl M içide hiçir yerde yoğu değildir deir. o A ise ) A, 2..6 Kümeleri sıırlılığı: A olmk üzere, A içi olck şekilde ir reel syısı vrs, A kümesie ltt sıırlıdır deir, reel syısı d A ı lt sıırı deir. Altt sıırlı ir A kümesii lt sıırlrıı e üyüğüe A kümesii e üyük lt sıırı vey ifimumu deir ve if A ile gösterilir. Bezer şekilde A içi olck şekilde vrs A kümesie üstte sıırlıdır, reel syısı d A ı üst sıırı deir.üstte sıırlı ir A kümesii üst sıırıı e küçüğüe A kümesii e küçük üst sıırı vey suremumu deir ve su A ile gösterilir.altt ve üstte sıırlı ol kümeye kısc sıırlı 3

13 2 TEMEL TANIM VE TEOREMLER küme deir.yi,, y A içi, d, y c olck şekilde ir c 0 syısı vrs A kümesi sıırlıdır ifdesii kullırız. içi, 2..7 Yuvrlr: M olsu. Herhgi 0 B ( ) y M : y r r 0 0 M oktsı ve herhgi r 0 syısı kümesie 0 merkezli r yrıçlı çık yuvr (çık to) r 0 : 0 B y M y r kümesie 0 merkezli r yrıçlı klı yuvr (klı to) ve S ( ) y M : y r r 0 0 kümesie 0 merkezli r yrıçlı küre yüzeyi (shere) deir. Eğer r ve 0 0 ise B(0) kümesie çık irim yuvr ve B kümesie klı irim yuvr dı verilir 0 B, B ve S gösterimleri içi sırsıyl B ; r, B ; r ve S ; r r 0 r 0 r 0 gösterimleri de kullılır. 2.2 Metrik ve Metrik Uzy kvrmlrı Metrik:Bir M kümesi üzeride tımlı, her, y, z M içi ) d(, y) 0; ) d(, y) 0 y c) d(, y) d( y, ); d) d(, z) d(, y) d( y, z) (üçge eşitsizliği) özelliklerii sğly d : M M foksiyou metrik deir Metrik uzy:eğer d, M üzeride ir metrik ise o zm ( Md, ) çiftie ir metrik uzy deir. Verile herhgi ir M kümesi ( M kümesi ir elemlı ir küme 4

14 FATMA İÇER olmdıkç) irde çok metriğe shi olilir. Geellikle hgi metriği kullıldığı çık olrk iliiyors ( Md, ) metrik uzyı yerie M metrik uzyı yzılır. ( Md, ) ir metrik uzy ve A, B; M i oş olmy lt kümeleri olsu. A ı B ye d A B = if d(, y) : A, y B uzklığı (, ) dir. Her ir M içi i A y,uzklığı d(, A ) = if d(, y) : y A dir.her ir M içi d(, A) d( y, A) d(, y) olduğu ve urd d(, A) foksiyouu M üzeride sürekli olduğu kolyc görüleilir. Örek 2.2. Herhgi ir k tmsyısı içi, İle tımlı : k k d2 F F foksiyou stdrt metrik olrk dldırılır. k d2, y j y j j 2 /2 k F üzeride ir metriktir. Bu metrik k F üzeride Komkt Küme: ( Md, ) ir metrik uzyı olsu. Bir A M kümesideki her dizisi A ı ir elemı ykısy ir lt diziye shise A y ir komkt küme deir. Bir A M kümesi verildiğide A kışı komkt ise A y reltif (göreceli) komkt deir Metrik uzyd ykısm: Eğer, M kümeside ir dizi ise metrik uzyıd ir dizidir deir. ( Md, ) metrik uzyıd ir dizi olsu. ) M olmk üzere her 0 syısı krşılık her N içi, d(, ) `e ( Md, ) içimde ir N vrs, dizisi M ye ykısr (yd dizisi ykısktır) deir. Bu durumd olck lim vey yzılır. ) her 0 syısı krşılık her m, N içi d(, ) m 5

15 2 TEMEL TANIM VE TEOREMLER olck içimde ir N vrs dizisie ir Cuchy dizisi deir. Reel syılrı ir dizisii ykısklığıı fikrii kullrk yukrıdki tımlrı sırsıyl içi d(, ) 0 ve ifdelerii dek olduklrı görülür. m, N içi d(, ) 0 Teorem 2.2., ( Md, ) metrik uzyıd ykısk ir dizi olsu. O zm ) lim limiti tektir. ) i herhgi ir lt dizisi de e ykısr ve m ir Cuchy dizisidir Tm Metrik Uzy: ( Md, ) metrik uzyıd ki her Cuchy dizisi u uzydki ir elem ykısıyors, u uzy tmdır deir Metrik Uzyı Tmlmsı: ( Xd, ) ir metrik uzy olmk üzere ir ( X, d ) uzyı şğıdki özellikleri sğlıyors ( Xd, ) metrik uzyıı tmlmsıdır deir. metrik ) X : X ) tmdır. X ı ir lt uzyıdır. c) X, X içide yoğudur..( X ı her oktsı, X içideki ir dizii limitidir.) Örek L,, d uzyı C,, d uzyıı tmlmsıdır, Dek Metrikler: d ve d 2 yı X kümesi üzerideki metrikler olmk üzere, y X içi,,, c d y d y c d y 2 2 olck şekilde c ve c 2 sitleri vrs d ve d 2 metriklerie dektirler deir. 6

16 FATMA İÇER Örek 2.2.3: de metrikleri dektir. 2.3 Vektör Uzyı d, y y, i d2 y i yi i d, y m y i i i i 2 Tım 2.3.V oş olmy ir küme olsu. Her, y V ve F içi V V V şeklide tımlı : (, y) y foksiyou (işlemi) ve F V V şeklide tımlı : (, ) / 2 foksiyou (işlemi) şğıdki ksiyomlrı sğlrs V kümesie F üzeride ir vektör uzyı deir.( yerie kısc yzrız.) Her, F ve her, y, z ) y y, V içi, ) ( y z) ( y) z; c) 0 olck şekilde ( de ğımsız)ir tek 0 V vrdır; d) ( ) 0 olck şekilde ir tek V vrdır; e) olck şekilde ir tek V vrdır. f) ( ) ( ) g) ( y) y,. 7

17 2 TEMEL TANIM VE TEOREMLER h) ( ) Eğer F (yd F )ise,v ye reel (yd komleks) vektör uzyı, F i elemlrı skler vev i elemlrı vektör deir. y işlemie vektör tolmı, işlemie skler çrım deir. Vektör uzylrı ile ilgili ir çok souç reel ve komleks uzylrı her ikisi içide geçerlidir. Bu edele eğer uzyı tii reel vey komleks şeklide kesi olrk elirtilmemişse vektör uzyı terimii kullırız. Vektör uzyı yerie ze lieer uzy vey doğrusl uzy terimleri de kullılır. EğerV ir vektör uzyı, V, A, B V ve F ise otsyolrı kullılır. A : A, A B : A, B A : A 2.3. Vektör Alt Uzyı:V ir vektör uzyı ve U V olsu. Eğer U u kedisi ir vektör uzyı (vektör tolmı ve skler çrım V deki ile yı olmk üzere) ise U y V i lieer lt uzyı(vey lieer mifold, vektör lt uzyı)deir. Bu tım her, F ve, y U içi, y U olmk koşulu ile dektir.(bu lt uzy testi olrk iliir.) Lieer Bğımlılık:V ir vektör uzy, k içi küme ve A V oş kümede frklı rstgele seçile ir küme olsu. komisyou v v,..., vk V solu ir ) Sklerleri herhgi ir,..., k kümesi içi, v i elemlrıı ir lieer v... v v V k k k i i i şeklide ir vektördür. 8

18 FATMA İÇER v... v ) k k 2 k gerektirmesi doğru ise, v ye lieer ğımsız deir. i,2,..., k içi i lerde e z iri sıfırd frklı ike eşitlik sğlıyors, v ye lieer ğımlıdır deir. c) Eğer A ı solu her lt kümesi lieer ğımsız ise A y lieer ğımsızdır deir. A lieer ğımsız değil ise A y lieer ğımlıdır deir Sıfır Uzyı: VW, vektör uzylrı ve T L( V, W) {V de W ye lieer döüşümleri kümesi} olsu. ) T i görütü kümesi Im T T( V) lt uzyıdır, T i rkı r( T) dim(im T) syısıdır. ) T i kereli (çekirdeği) (T i sıfır uzyı olrk t söyleir.) ker T V : T( ) 0 T 0 lt uzyıdır ve T i sıfırlılığı A syısıdır. r(t ) rkı ve (T ) sıfırlılığı değerie shi olilir. c) r(t ) solu ise T solu rk shitir deir; yi ir solu rk shi lieer ir döüşüm görütü kümesi solu oyutlu ol ir lieer döüşümdür. r(t ) = ise,t sosuz rk shitir deir. 2.4 Normlu Uzylr: 2.4. Norm ve Normlu Uzy: X, F üzeride ir vektör uzyı olsu. X üzeride ir orm şğıdki özellikleri sğly ir : X döüşümüdür. Her, y X ve her F içi, ) 0; ) 0ck ve ck 0; c) ; d) y y 9

19 2 TEMEL TANIM VE TEOREMLER üzeride ir ormu tımlmış ol ir X vektör uzyı ormlu vektöruzy y d sdece ormlu uzy dı verilir ve ( X, ) ile gösterilir. X ir ormlu uzy ise eşitliğii sğly ir X vektörüe irim vektör dı verilir Dek Normlr: Bir X vektör uzyı üzeride ve ' ormlrı tımlı olsu. Eğer her X içi ' m M olck içimde mm, 0 syılrı vrs ' ormu ormu dektir deir Zyıf Ykısklık ve Kuvvetli Ykısklık: X ir vektör uzy olsu. X içideki ir dizisi, eğer her f X içi yi lim f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) özelliğii sğlrs dizisi X e zyıf ykısr (yd zyıf olrk ykısktır) deir ve X elemı dizisii zyıf limiti deir. Bir ( X, ) ormlu uzyı içi orm içide 0 ile verile ykısklığı kuvvetli ykısklık olrk dldırırız Mutlk Ykısk Seri: X ir ormlu vektör uzy ve k, X içide ir dizi olsu. Her ozitif tmsyısı içi s k k e dizii ici kısmi tolmı dı verilir. Eğer X içide lim s vrs k k serisii ykısk olduğu söyleir ve kısc k k olrk gösterilir ve u durumd 0

20 FATMA İÇER k k lim s olrk yzılır. k Eğer X içideki ir dizisi içi serisi mutlk ykısktır deir. serisi içide ykısk ise k k k k Bch Uzyı: X, ormlu uzyı olsu.bu uzydlı her Cuchy dizisi orm göre ykısk ise, yi X, uzyı tms, u ormlu uzy ir Bch uzyı deir.(bir ormlu vektör uzyı,ormd idirgee metriğe göre tm ise,ir Bch uzyı olrk dldırılır.) Tım 2.4. X ir Bch uzyı ve olrk tımlyiliriz. Eğer ** X * X d duli olsu.bu durumd X ise u durumd X e refleksivdir deir. * * X i duli * ** X X Sıırlılık: ( X, ) ir Bch uzyı olsu ve ir f : X foksiyou verilsi. Eğer f foksiyou düzlemii tmmı üzeride litik ise f ye tm itegrl vey etire foksiyo deir. Eğer M 0 siti ve her z içi f () z sıırlıdır deir Süreklilik ve Düzgü Süreklilik:,. X f : X Y ir foksiyo olsu. X ve ) X olsu. Eğer her y X içi, her 0 syısı krşılık M ise f ye üzeride Y,. Y ormlu vektör uzylrı ve y f ( ) f ( y) olck içimde ir 0 vrs, f ye oktsıd süreklidir deir(yi δ syısı hem X e hem de ε ğlı olilir). deir. X ) Eğer f foksiyou X i her oktsıd sürekli ise, f ( X üzeride) süreklidir Y

21 2 TEMEL TANIM VE TEOREMLER c) Eğer her 0 syısı krşılık her, y X içi, y f ( ) f ( y) X olck içimde sdece ğlı ir 0 vrs, f e ( X üzeride) düzgü süreklidir deir Mutlk süreklilik: f( ),, rlığıd tımlı ir foksiyo olsu. verildiğide,, yrık lt rlıklrı içi; Y rlığıı solu syıdki her,,,,...,, olck içimde e z ir ( ) 0 mutlk sürekli foksiyo deir. 2.5 İç çrım ve iç çrım uzylrı f ( ) f ( ) i i i i i i syısı uluiliyors, f foksiyou, rlığıd 2.5. İç çrım: X ir reel vektör uzylrı olsu. X üzeride ir iç çrım şğıdki özellikleri sğly ir.,. : X X foksiyoudur. Her, y, z X ve her, içi ), 0; ), 0 0; c) y, z, z y, z ; d), y y, İç çrım uzyı: X ir komleks vey reel vektör uzy olmk üzere,.,., X üzeride ir iç çrım ise X,.,. ikilisie ir iç çrım uzyı dı verilir Hilert Uzyı: Bir iç çrım uzyı, iç çrımı idirgediği ormd idirgee metriğe göre tm ise, u uzy ir Hilert uzyı dı verilir. R de kre itegrlleeile foksiyolrı sııfı ir Hilert uzyıdır. 2

22 FATMA İÇER : 2 2 L f f d f, g L 2 2 L içi,,. f g g f f gd, yrılilir tm ir vektör uzyıdır. 2, f f f, 2 L Aşğıdki özellikleri sğly H kümesie Hilert uzyı deir.. H, vey üzeride ir vektör uzyıdır. 2.sitlemiş g H içi f f, g, H üzeride lieerdir. f, g g, f 2 f H içi f, f f 0 3. f 0 f 0 4. f, g f. g Schwrtz eşitsizliği f, g H içi f g f g 5. d f, g f g metriğie göre H tm syıdır. 6. H yrılilirdir. Örek 2.5.l 2, ir Hilert uzyıdır Adjoit Oertörü: T : H H sıırlı ir lieer döüşüm olsu. H üzeride sıırlı T lieer döüşümü. Tf, g f, T g 2. T T 3. T T özelliklerii sğlıyors T : H H lieer T oertörüü Adjoit oertörüdür. T T ise T T i self Adjoit oertörü deir Komkt Uzy: H ir Hilert uzyı ve X H f dizisii X teki ir elem ykısy f gii ir lt dizisi vrs X komkttır deir. k olsu. Eğer X deki her Solu oyutlu Euclid uzyıdki klı ve sıırlı her küme komcttır. 3

23 2 TEMEL TANIM VE TEOREMLER Sosuz oyutlu ir uzyı u özelliği yoktur. 2.6 Oertör ve Foksiyoel: 2.6. Oertör:V ve W,yı F skler cismi üzeride vektör uzylrı olsu.bir T : V W döüşümü, her F, ve, y V içi, T( y) T( ) T( y) özelliğii sğlrs vey u dek olrk her F ve, y V içi T( y) T( ) T( y) ve T( ) T( ) özelliğii sğlrs T ye ir lieer döüşüm dı verilir. H, H 2 iki Hilert uzyı olmk üzere, eğer, sklerleri ve f, g H içi, T f g T f T g koşulu sğlıyors T : H Lieer oertör deir. H 2 H H döüşümüe T f C f olck şekilde C 0 vrs T ye sıırlı oertör deir. Burd T if C : Tf C f H H vey 2 su T H2 f H H f f C dir. Lieer döüşüm yı zmd sürekli (u edele sıırlı) ise u durumd lieer döüşüm yerie lieer oertör vey kısc oertör ifdesi kullılır Ters Oertör: X ir ormlu vektör uzy ve X üzeride sıırlı oertörleri kümesi B X olmk üzere, T B( X ) içi, ST I TS olck şekilde S B( X ) vrs T ye tersleeilirdir deir.bu durumd S oertörüe T oertörüü tersi deir ve T - ile gösterilir. Eğer koşullr sğlmıyors o zm u döüşüme tersleemez deir Lieer Foksiyoel: H Hilert uzyıd sklerler kümesie tımlı l döüşümüe ir foksiyoel deir. f H, lf C f olck şekilde C 0 vrs l ye H üzeride sıırlı lieer foksiyoel deir. Ayrıc T: V F lieer döüşümüe de lieer foksiyoel deir.(soyk 2008) 4

24 FATMA İÇER 2.7 Ölçüm, Leesgue ölçümü ve Ölçüleilir Foksiyolr: 2.7. Ölçü:U, X i lt kümelerii ir sııfı omk üzere, XU, ölçüleilir uzyıd :U foksiyou şğıdki özellikleri sğlıyors foksiyou U üzeride ir ölçüdür deir. ) ( ) 0 ) AU içi ( A) 0 c) i içi, Ai U ve i j içi A A, olmk üzere i j dir. i Ai i ( A) XU,, üçlüsüede ir ölçüm uzyı deir Dış ölçü: X ir küme, P( X ), X i tüm lt kümelerii kümesi (kuvvet kümesi) olmk üzere; : PX ( ) foksiyou ) ( ) 0 ) E ( X ) içi ( E) 0 c) A B X içi ( A) ( B) d) Niçi A P( X ) olduğud i A ( A ) özelliklerii sğlıyors foksiyou X üzeride ir dış ölçü deir ceir Bir X kümesii lt kümelerii ir U sııfı şğıdki özellikleri sğlrs, U y ir ceir deir. 5

25 2 TEMEL TANIM VE TEOREMLER ) X U ) S U içi, X \ S S ' U; c),2,... içi S U ike, S U i i k Borel foksiyou: BR ( ) Borel ceirie göre ölçüleile ir foksiyo Borel ölçüleilir foksiyo vey Borel foksiyou dı verilir Kümei Açık Örtüsü:Solu vey syılilir sosuz syıd j j j,, j J çık rlıklr ilesi verilsi. Eğer u rlıklrı tümüü irleşimi E kümesii ksıyors,yi E j ise j : j J J solu örtü deir. ilesie E kümesii çık örtüsü vey örtüsü deir. J solu ise, j : j J çık rlıklrıı uzuluklrıı tolmı, j j 0 jj dır. E kümesii ütü çık örtülerii kümesi ltt sıırlı olu ifimumu,yi e üyük lt sıırı if j j vrdır. Bir tek E kümesie ğlı ol e üyük lt sıır, E i dış öşçüsü jj deir. me ile gösterilir. Bu tımd 0 m E m E dır. S 0, jj j j klı rlığıı uzuluğu ile S içideki c i iç ölçüsü deir. m E m E ile gösterilir. içi E i öyle ir j : j J Herhgi ir kümei iç ve dış ölçüleri egtif olmz. İç ölçüsü dış ölçüde üyük olmz. E Eise me me ve m E m E dir. örtüsü vrdır ki, c E tümleyeii dış ölçüsüü frkı E Tım 2.7.Eğer E kümesii iç ve dış ölçüleri eşit ise, E ye Leesgue lmıd ölçüleilir küme deir. m E m E me ile gösterilir. c E ölçüleilir ise, E ölçüleilirdir. Yi m E m E m E ve c c olduğud c c c m E m E m E m E m E m E m E dir. Solu vey syılilir sosuz elemlı kümeler ölçüleilirdir ve ölçümü sıfırdır. 6

26 FATMA İÇER 0, rlığıdki irrsyoel syılrı kümesi ölçüleilir olu ölçümü dir. Açık ir küme ölçüleilirdir. Tım Bir E kümesii dış ölçümü E yi ksy ütü çık kümeler içi if m E L O ile tımlıdır. Bir E kümesii iç ölçümü E i ksdığı ütü klı su m E L C ile tımlıdır. Bütü T kümeleri içi c kümeleri içi m T m T E m T E ise E ye ölçüleilirdir deir. me m E ye E i ölçümü deir. E i m E m E ölçümü deir. Eğer I ir rlık ise mi LI Eğer O ir çık küme ise mo LO Eğer ir klı küme ise mc LC dir. dış ölçümüe Leesgue Açık vey klı kümeleri syılilir irleşimie vey kesimie Borel kümelerii sııfı deir. Örek 2.7. Reel syılrı, 2, 3,... elemlrıd oluş ir E kümesi içi, u oktlrı sırsıyl uludur çık kümeleri (rlıklrı) uzuluklrı,,,... ise m E..., yeterice küçük olduğud z 0 ve m 2 3 E olur.(hrm 202) Leesgue ölçümü: içide iru L -ceiri ve ki, herhgi solu I, U L üzeride ir rlığı içi, IUL ve ( I ) l L ( I ) ol kümeler kesilikle şğıdki özellikleri sğly A kümeleridir. L ölçümü vrdır öyle dır. Bu uzy içide ölçümü 0 Herhgi 0 içi I, j,2,..., rlıklrıı ir dizisi vrdır öyle ki, j A j I j ve j li ( ) j 7

27 2 TEMEL TANIM VE TEOREMLER dır. Bu ölçüm Leesgue ölçümü dıı lır ve deir.(soyk 2008) U L içideki kümelere Leesgue ölçüleilirdir Leesgue ölçüleilir küme: A kümesi içi; c A A E A E c eşitliği gerçekleşiyors E ve E \ E olmk üzere E kümesie (Leesgue)ölçüleilir küme y d ye göre ölçüleilir küme deir. Aşğıdki özelliklere dikkt etmekte fyd vrdır; )Kümei ölçüleilirliğii göstermek içi A A E A E ' koşuluu sğldığıı göstermek yeterlidir. ) ( E) 0 ise, E kümesi ölçüleilirdir. c) E ve E 2 ölçüleilir ise, E E 2 kümesi de ölçüleilirdir. d) E ve E 2 ölçüleilir ise, E E 2 kümesi de ölçüleilirdir. e) A herhgi ir küme olmk üzere E, E2,..., E ölçüleilir kümeleri solu ir dizisi içi dir. * A Ei A Ei i i f) E kümesi ölçüleilirse içi, g) c E kümesi de ölçüleilirdir. ölçüleilirdir. 8

28 FATMA İÇER Tım f,ölçüleilir ir E kümesi üzeride tımlı reel değerli ir foksiyo olmk üzere, k içi E : f k kümesi ölçüleilir ise, f ' e ölçüleilir foksiyo deir. E Bir A kümesi içi şeklide tıml, olmk üzere :, A A 0, A f E foksiyou ölçüleilirdir. A foksiyou A kümesii krkteristik foksiyou deir. foksiyouu ölçüleilir olmsı içi gerek ve yeter koşul A ı ölçüleilir olmsıdır.(blcı 2009) Ayrıc f,klı E kümeside sürekli ise ölçüleilirdir. Tım 3..2 E ölçüleilir ir küme ve f A u küme üzeride tımlı ir foksiyo olsu. Eğer her c syısı içi f c ol E oktlrıı kümesi ölçüleilir ise f E f c e Leesgue ölçüleilir y d sdece ölçüleilir foksiyo deir. Bu tımd ve E kümesii ölçüleilir olmsıd fydlrk,, E f c ölçüleilir olmsıı E f c E f c 2.8. Riem İtegrli:, reel syılr ve reel foksiyo olsu E f c, kümeleride herhgi irii her c syısı içi ile eşdeğer olduğuu söyleyeiliriz.(murry 990) olmk üzere f :, sıırlı ir olmk üzere solu ir P 0 2,,,..., kümesie, i ir rçlışı deir. Bu P rçlışı, her i içi i i i M i su f ( ) i i ve m i if f ( ) i i 9

29 2 TEMEL TANIM VE TEOREMLER olmk üzere sırsıyl üst ve lt Riem tolmlrı dı verile U( P, f ) M i i i ve L( P, f ) m i i i tolmlrıı verir. Üst Riem tolmlrı dizisi zl, lt Riem tolmlrı dizisi ise rt olu ulrı 0 vey içi limitleri sırsıyl f ve f ile gösterilir. f = olduğud, f foksiyou, d Riem itegrlleeilirdir deir ve u geel olrk f ( ) d ile gösterilir. f Şekil 2.8.:Riem itegrlii Geometrik yorumu 20

30 FATMA İÇER Tım 2.8. f,, oluş d tımlı ir foksiyo olsu oktlrıd 0,,... rçlışı içi, i f i f i M olck şekilde ir M syısı vrs, f e, d değişimi vey vrysyou sıırlı foksiyo deir.,, içi, i j f f L i j i j olck şekilde L siti vrs f Lischitz koşuluu sğlr deir. Lischitz koşuluu sğly her foksiyo vrysyou sıırlıdır Leesgue İtegrli: f,, rlığıd sıırlı ve ölçüleilir olsu. Frz edelim ki f ol, syılrı vr. (, ) rlığıd y, y2,..., y değerlerii y0 y y2... y y olck şekilde seçi rlığı lt rlığ ölelim.bu oktlr şekildede görüldüğü gii geometrik olrk y ekseideki oktlr krşılık gelmektedir. Şekil 2.9.:Leesgue İtegrlii Geometrik Yorumu 2

31 2 TEMEL TANIM VE TEOREMLER,2,...,, E k y f y ol tüm leri kümesi yi; k k k E : y f y, k,2,..., olsu. f k k k ölçüleilir olduğud u kümelerde ölçüleilirdir ve kolyc görüleileceği gii yrıktır.. ve s y. E S y E k k k şeklide tıml üst ve lt tolmlrı göz öüde k k k uludurlım. Prçlmyı çeşitledirerek S ve s i frklı değerlerii kümesii elde ederiz.mümkü ol tüm rçlmlr içi I if S ve J su solsu.her zm vr ol u değerler f( ) foksiyouu, rlığıdki lt ve üst Leesgue itegrlleri olrk dldırılır ve I f ( ) d, J f ( ) d ile gösterilir. Eğer I J ise f( ) foksiyou, rlığıd Leesgue itegrlleeilirdir deir ve u değer f ( ) d ile gösterilir. S zl s rt olu ulrı y ike limit değerleri sırsıyl I ve J dir. m 0 vey Tım 2.9.Eğer E üzeride f e düzgü ykısy itegrlleeilir sit foksiyolrı ir f dizisi vrs ölçüleilir f foksiyou E kümesi üzeride itegrlleeilir vey tolilir deir. lim f d f d limitie f i E üzeride Leesgue itegrli deir. E E i i Leesgue tolmıı 0 i Tım2.9.3 S y : me y f y kümesideki Leesgue lmıdki itegrli deir. olu, L f d vey f E d ile gösterilir. E içi limitie f i E Burd f ölçüleilir E kümesi üzeride tımlı sıırlı ve ölçüleilir ir foksiyo mm, klı rlığı y, İ 0,,2,..., m f M, oy eksei üzerideki yırım oktlrı yrdımıyl rçlr ölüür, m y0 y... y M, m y y ike, S y me y f y i i i i i i tolmı Leesgue lmıd itegrl tolmıdır. i0 22

32 FATMA İÇER me yi f yi değeri, E kümesii yi f yi eşitsizliğii sğly kısmıı ölçümüdür. E, yi f yi ol X oktlrıı kümesidir.. lim y me y f y lim y me y f me y f i i i i i i 0 0 i0 i 0 i 0 yi g yi g yi ydg y dir. lim 2. Eğer me ise 0 E f d M m dır. 3. Eğer E kümeside tımlmış ve g f d gd dir. E E 4. f foksiyo, itegrlleeilir. L f d R f d f foksiyolrı içi m f g 0 ise d Riem itegrlleeilir ise Leesgue lmıd 5. lim f f ise lim fd lim f d f d dir. 6. E E E2 ve 2 E f d f d f d dir. E E ise 7. f sıırlı ve ölçüleilir ir foksiyo ise ) f d C f E E ) Cd C. m E E c) me 0 ise f d 0 d ) Eğer E E E E2 dır. A f B ise A. me f d B. me e) Eğer E E E2 ve E E2 ise E dır. 23

33 2 TEMEL TANIM VE TEOREMLER f d f d f d, E ler E E E2 dır. E E f d f d ikişer ikişer yrık ve i i E i Ei dir. f ) f g d ise, f d g d E E E g ) Eğer f ve g sıırlı ve ölçüleilir ise, f. g d dir. E dir. h) f g f d g d E k) f, Ede sıırlı v ölçüleilir ise, f d f d E dir. E lede ) h.h.h(heme heme her) yerde f g ise f g d E dir. E E Örek 2.9.C ir sit olmk üzere C C ;0 3 f f d d 4d ; Tım2.9.4 f 0 sıırsız ve ölçüleilir ir foksiyo olmk üzere, ir doğl syı ise ; koşuluu sğly ütü ler içi f f E f ; f koşuluu sğly ütü E ler içi şeklideki f itegrlleeilir ve foksiyou her içi sıırlı ve ölçüleilir olcğıd Leesgue f i E üzeride Leesgue itegrli lim E f d f d E şeklide tımlilir. Bu limit egtif olmy ir syı vey sosuz olilir, solu ol u limite ise f tımlilir. i E üzeride Leesgue itegrli deir. f d f d olrk Eğer f 0 ise f i Leesgue itegrli, E E 24

34 FATMA İÇER Geel olrk, f ; f 0, E içi f 0 ; f 0, E içi ise f ve f f ; f 0, E içi f 0 ; f 0, E içi irlikte egtif değildir. f f f f d f d f d olur. E E E Eğer f 0 ise,, f d lim f d ile tımlıdır. f f d f f d dir. olcğıd, sıırsız rlığıd Leesgue itegrli, keyfi işretli ise f, E üzeride itegrlleeilirdir. f sıırlılığı vey sıırsızlığı kmksızı 8 d Örek itegrlii heslrke, 3 0 ; f, 3 3 f ;< 3 3 E mutlk itegrlleeilirdir. E i f d f d dir. E d d lim d 6 d Örek f L 0,8 fkt f L 0,8 3 25

35 2 TEMEL TANIM VE TEOREMLER 2.9. Fuii Teoremi: E ve F, içide rlık olsulr ve k: E F foksiyou L E F ye it olsu. O zm ) Heme heme her(h.h.h) s E içi ) F t k s t L F (, ), ( ) s k( s, t) dt, L ( E) i ir elemıı tımlr. c) Heme heme her t F içi d) t k s t ds L F E (, ), ( ) s k s t L E (, ), ( ) i ir elemıı tımlr. e) k( s, t) dtds k( s, t) dsdt k( s, t) dsdt. E F F E EF Fuii teoremii temel rtik kullılışı (e) rçsıdır. i ir elemıı tımlr. i ir elemıı tımlr Ftou Lemmsı: ( X, A, ) ir ölçü uzyı ve ( f ) de de egtif olmy ölçüleilir foksiyolrı ir dizisi ise lim if f İtegrlleeilirdir ve lim if fd lim if X X f d dır Beo-Levi Teoremi: ( XU,, ) ir ölçü uzyı ve fk ölçüleilir foksiyolrı ir serisi olsu.bu tktirde fk serisi her X içi ykısk ve fk solu ise k k k X X f d fkd k k k X dır Levi Teoremi: f,ölçüleilir ir kümesi üzeride Leesgue ölçüleilir foksiyolrı ir dizisi, öyleki h.h.h içi f( ) f2( )... f( ) f ( )... ve f ( ) d olsu. Bu durumd h.h.h içi f ( ) lim f( ) limiti vrdır, f foksiyou itegrlleeilirdir ve 26

36 FATMA İÇER lim f ( ) d lim f ( ) d f d olur Mooto Ykısklık Teoremi: XU,, ir ölçüm uzyı ve f olmy ölçüleilir ir foksiyolr dizisi olsu. Eğer geel terimi f foksiyou ykısr yi her X içi f dır. f ise lim f ( X ) d fd X Leesgue Ykısklık Teoremi: (,, ) itegrlleeile ir foksiyo ve,, 2... değerli foksiyolr olsu. Eğer heme heme her içi ) lim f ( ) f ( ) ) N içi f ( ) g( ) X egtif f ol mooto rt dizi X A ir ölçü uzyı, g: X 0, f f f de X üzeride A ölçüleilir, ise f ve f foksiyolrı itegrlleeilirdir ve lim f d f d dir L de Ykısklık: ve f f foksiyolrı uzyıı elemlrı olsu. ( f ) dizisi f foksiyou -ici merteede ortlm ykısktır 0 içi 0 öyle ki 0 içi f f dir.bu ykısklık çeşidie olu L de ykısklık deir. Burd f f f f d / dir. Bu göre ( f ) dizisi f foksiyou L de ykısktır lim f f 0 27

37 2 TEMEL TANIM VE TEOREMLER Leesgue Sıırlı Ykısklık Teoremi: ( X, A, ) ir ölçüm uzyı olsu. f, X üzeride (komleks )ölçüleilir foksiyolrı ir dizisi olsu ve her X içi f ( ) lim f ( ) tımlı olsu. Eğer f ( ) g( ) (,2,3,...; X) olck şekilde ir g L ( X ) foksiyou vrs o zm f L ( X ) dir ve lim f f d 0 X dır ve lim f d X X fd dır Ölçüsel Ykısklık: ( X, A, ) ir ölçü uzyı, f ve f ler X üzeride tımlı, reel değerli ve A ölçüleilir foksiyolr olsu. ( f ) dizisi f foksiyou ölçüsel ykısktır 0 içi, dır. lim X : f ( ) f ( ) 0 Bu tım göre verile ir dizii ykısklığı tıml ölçüye ğlıdır. Ölçü değişice ykısklık ozulilir.eğer ( f ) dizisi f foksiyou ölçüsüe göre ykısk ise u, f f içimide gösterilir Riesz-Fisher Teoremi:,, uzyı X A ir ölçü uzyı ve olsu. L ( X, A, ) f f d X / 28

38 FATMA İÇER ormu ltıd tmdır.(blcı 2009) 2.9. Leesgue İtegrli ile Riem İtegrli Arsıdki İlişki f, ir, d Riem itegrlleeilir ise u rlıkt Leesgue lmıd d itegrlleeilir, uu tersi geelde doğru değildir. Riem itegrlleeilir foksiyolr, oldukç ktı ol süreklilik koşulu ltıd tımlı ike Leesgue itegrlleeilir foksiyolr, süreklilik yerie ölçüleilirlik koşulu ltıd tımlıdır. Leesgue itegrli dh geiş ir foksiyo sııfı uygulilir. Riem itegrli sdece sıırlı foksiyolr içi tımlı ike Leesgue itegrli,hem sıırlı hem de sıırsız foksiyolr içi tımlıdır. Leesgue ykısklık teoremide itegrl işreti ltıd limit lm, ölçüleilir foksiyolr yrdımıyl mümkü ike, Riem itegrlide u durum sürekliliği ozilir. Eğer f,, d Riem itegrlleeilir ve u iki itegrli değeri yıdır. R f d L f d fd E ölçüsüdür. dir. Burd E, si d,, si d d Leesgue itegrli ırksktır., f i imroer(hs olmy) Riem itegrli vrdır. ve Leesgue Riem itegrli ölçüleilir foksiyolr içi kullılmz. Öreği İrrsyoel oktlrd sıfır, rsyoel oktlrd ir ol Dirichlet foksiyou ölçüleilirdir. Bu foksiyou Riem lmıd itegrli yoktur.yi Riem itegrli ölçüleilir foksiyolr içi ek de kullışlı değildir.buu edei Riem itegrlii tımıd kyklmktdır.bir f foksiyouu Riem itegrlii olmsı içi f i tım rlığıd sürekli olmsı y d süreksiz olduğu oktlr kümesii syılilir sosuzlukt elem shi olmsı gerekir.yi f,itegrlleme ölgeside sıırlı slıımlı olmlıdır.sıırlı foksiyolrıd Riem lmıd itegrlleeilmesi içi gerek ve yeter şrt süreksiz olduğu oktlrı kümesii ölçümüü sıfır olmsıdır. Leesgue itegrlide ise Riem itegrlii tersie X oktlrıı X eksei üzerideki ykılıklrı ile değil foksiyolrı değerii u oktlrdki ykılıklrı ile ilgilidir. Ayrıc Leesgue itegrli herhgi ir ölçüm uzyıd tımlilir m Riem itegrli içi u geçerli değildir. 29

39 2 TEMEL TANIM VE TEOREMLER Aşğıdki özelliklere dikkt etmekte de fyd vrdır; ) f Riem lmıd itegrlleeilir ck ve ck f,, klı rlığıı heme heme her oktsıd süreklidir. ) f Riem lmıd itegrlleeiliyors Leesgue lmıd d itegrlleeilirdir ve her iki itegrl iririe eşittir. 2.0 Stieltjes itegrli Stieltjes itegrli, Riem itegrlii geişletilmesidir. tımlı sıırlı foksiyolr ve de, 0 i i,,..., içi i, i f i i i : i i, i i f ve,, d rlığıı ir rçlışı olsu. tolmı Stieltjes tolmı deir. Eğer keyfi seçile 0, her rçlışı ve i oktlrı içi, i i ike I ike olck şekilde 0 uluiliyors 0 ile verile tolmı limiti I dir deir. Tım2.0. Eğer 0 ike i, i tolmıı solu ir I limiti vrs, f foksiyou, foksiyou göre, ile gösterilir. mooto rtdır. I f d d Stieltjes lmıd itegrlleeilirdir deir. c (c sit) lırk Riem tolmı ve itegrli elde edilir. i i i 0: i,2,3,..., i, i i; i, i i S M s m M Su f i, i Her ir rçlışı içi s, S i i i, i m if f Stieltjes lmıd s lt tolr dizisi rt, S üst tolmlr dizisi zldır. * * * olu I* su s, I if S, s I* s I I S dır. i lim, 0 0 lim S I 30

40 FATMA İÇER Teorem 2.0. f,, d Riem lmıd itegrlleeilir ve sğlıyors f foksiyou Lischitz koşuluu foksiyou göre Stieltjes lmıd itegrlleeilirdir. 2. Bzı öemli eşitsizlikler: 2.. Youg Eşitsizliği: : 0,,sürekli, mooto rt, (0) 0 ve lim ( u), özelliklerie shi ir foksiyo ve olsu. u içi deirse, her, 0, ( ) u du, ( u) du içi 0 0. ( ) ( ) dir. Eşitlik sdece ( ) olmsı hlide geçerlidir. u u lıdığıd, içi. olur. Bu d Youg Eşitsizliği olrk iliir Cuchy Eşitsizliği: X (, 2,..., ) ve Y ( y, y2,..., y ) reel vey komleks syılr olmk üzere, / 2 / X Y y i i i i i i i vey i X Y X. Y i i 2 2 3

41 2 TEMEL TANIM VE TEOREMLER dır Cuchy-Schwrtz Eşitsizliği: X ir iç çrım uzyı ve, y X olsu. O zm 2, y, y, y dir. Eşitlik sğlır ck ve ck zı F içi y0 dır. (Blcı 2009) 32

42 FATMA İÇER 3.KLASİK LEBESGUE UZAYLARI X, A, ir ölçü uzyı olsu. 0 olmk üzere,, :,, L f M X A f L X A kümesie.kuvvette itegrlleeile foksiyolr sııfı deir. Yukrıdki tım göre L Ldir,zir f i itegrlleeilir olmsı ile f i itegrlleeilir olmsı yı şeydir. f L olsu. ise f L dir,çükü f itegrlleeilir olduğud. f de itegrlleeilirdir. Dolyısıyl f itegrlleeilir.ayrıc f, g L ise, 2.mks, 2 f g f g f g f g olcğıd f g ir vektör uzyıdır. itregrlleeilir ve dolyısıyl f g L olur.şu hlde L kümesi L de olmk üzere, orm ile tımlıdır. f f d X / 3. L (0, ) Leesgue Uzyı: ile tımlıdır. ölçüleilir, L (0, ) { f : 0, ; f 0 f d } 33

43 3. KLASİK LEBESGUE UZAYLARI 3.2 L (0, ) Leesgue uzyıı temel özellikleri: ile tımlıdır. dır. ) L (0, ) Tm ir ormlu uzydır(bch Uzyı).Burd orm f f d L 0, 0 / ) L(0, ) uzyıı duli olmk üzere L ' ' (0, ) uzyıdır. c) L (0, ) uzyı refleivdir(dulii duli kedisidir). d) L (0, ) uzyı ir vektör uzyıdır. e) Bu uzydki düzgü foksiyolr 0, içi j C 0, f L(0, ) C her yerde yoğudur. vrdır öyleki j içi, f 0 j L (0, ) 3.3 Hölder Eşitsizliği:, olsu., f L g L ise f. g L.Ve f. g f. g dir. 3.4 Mikowski Eşitsizliği: Eğer, f, g L ise f g L dir ve f g f g dir. (Blcı 2009) 3.5 İtegrller içi Mikowski eşitsizliği: d K, y dy K., y dy dir. c L, c Lr, r d 34

44 FATMA İÇER Yi, r / r d d r= içi eşitlik Fuii teoremie döüşür. / r r K, ydy d K, yd dy c c 3.6 Ağırlıklı Leesgue Uzyı: 0 ve,, üzere L, ; w L w ütü f f foksiyolrıd oluşur. Öyle ki, w üzeride ğırlıklı foksiyo olmk ile gösterile ğırlıklı Leesgue uzyı,, üzeride ölçüleilir / f : f ( ) w( ) d ; 0 w, dır.(kufer 2007) f : ess su f ( ), w 3.7 L ( w)' i Duli: olmk üzere L ( w ) ğırlıklı Leesgue uzyıı duli iç çrım ile tımlıdır. Öyle ki; g, f g( ) f ( ) d : f L ( w) dir., wˆ w olmk üzere * ' ( L ( w)) L ( w ) dir. / /, ( ) ( ) ( ) ( ) g f g w f w w d / / / g( ) w ( ) d f ( ) w( ) d f. g, w, w dir. (Hölder Eşitsizliğide) H Hrdy oertörü, H ise eşleik Hrdy oertörü olmk üzere, v w w v ' ' ', ',, lırk 35

45 3. KLASİK LEBESGUE UZAYLARI H : L ( v) L ( w);, * ' ' ' ' ( H) H : L ( w ) L ( v ) uluur.fuii teoremide ise; g, Hf g( ) f ( t) dtd f ( t) g( ) ddt = f, Hg elde edilir. (Kufer 2007) t 36

46 FATMA İÇER 4. L UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI 4. Kesikli Hrdy Oertörü egtif olmy terimli ir dizi ve olmk üzere, N N k k k k kesikli Hrdy Klsik Hrdy eşitsizliğii kesikli formu olrk iliir. Burd H oertörüdür ve ğırlıklı hli ise, dir. v k C w k / 4.2 Sürekli Hrdy Oertörü, üzeride f foksiyolrı içi tımlı H oertörü Hf ( ) f ( t) dt ile tımlı olu u itegrl vey Hrdy oertörü olrk iliir. Buu dul oertörü H f ( ) f ( t) dt dir. H : L, L, süreklidir ve Hf C, f w v, v, w ve g C g ' dir., v, w,,,, K t Kf ( ) K, t f ( t) dt u oertörü özel hlidir. (Kufer 2007) üzeride tımlmış ir kerel olmk üzere şeklideki oertöre Volter oertörü deir.hrdy oertörü 37

47 4. L UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI 4.3 Hrdy Eşitsizliğii Difersiyel Formu olsu. K içi K ici merteede mutlk sürekli ütü foksiyolrı kümesi AC K Her g 0 AC içi ( ) 0 foksiyolrı trfıd sğl g vey g ( ) 0 şlgıç koşullrıı sğly g / / ' g( ) v( ) d C g ( ) w( ) d eşitsizlik, Differsiyel Hrdy eşitsizliği olrk iliir. Bu durumd g'( ) w olu, vey dir. g C g içi, v, w g( ) f ( t) dt H f ( ) g( ) f ( t) dt H ( f ( )) dir. / / ' ' su v ( t) dt w ( t) dt Bzı yzrlrı çlışmlrıd (modiffied) değiştirilmiş ğırlık Hrdy oertörü olrk dldırıl H( f ( )) : v( ) f ( t) w( t) de kullılrk H( f ( )) C f ( ) eşitsizliği içi sğlır / / ' ' su v ( t) dt w ( t) dt içi sğlır / r r/ r/ ' ' v ( t) dt w ( t) dt d dur. Bezer durum H( f ( ) v( ) f ( t) w( t) dt oertörü içi geçerlidir. 38

48 FATMA İÇER g( ) H( f ( )) içi g( ) 0 ve g '( ) f ( ) g( ) H( f ( )) içi g( ) 0 ve g '( ) f ( ) lıdığıd, H ve H oertörleri ğırlıklı Leesgue uzylrı rsıd sıırlılığı görülür., 0, ise f 0 ve v, w ğırlıklı foksiyolrı içi ğırlıklı Hrdy eşitsizliği, ve g(0) 0 ile içi / f ( t) dt v( ) d C f ( ) w( ) d / / / g( ) v( ) d C g '( ) w( ) d eşitsizliğii sğlmsı içi gerekli ve yeterli koşul dur.,, ise, 0 / / ' ' su v( t) dt w( t) dt 0 / f ( t) dt v( ) d C f ( ) w( ) d eşitsizliğii egtif olmy f foksiyolrı trfıd sğlmsı içi gerekli ve yeterli koşul / dur. de olmk üzere eşitsizliği; / / ' ' su v( t) dt w( t) dt f ( t) dt d f ( ) d 2 f ( t) dt d f ( ) d

49 4. L UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI eşitsizliğie krşılık gelir. f t dt f t dt / lim ( ) e l ( ) 0 0 olrk verile f i geometrik ortlmsı ve Klsik Hrdy eşitsizliğide f yerie lıdığıd / f / f ( t) dt d f ( ) d e l f ( t) d e f ( ) d Şeklide Ko eşitsizliği olrk ilie eşitsizlik uluur. Bezer limit yötemiyle Klsik Hrdy eşitsizliğii kesikli hli ol ve Crlem eşitsizliği olrk ilie e eşitsizliği uluur. (Kufer 2007, Oic ve Kufer 990) Ayrıc ğırlıklı Hrdy eşitsizliğii sğlmsı, foksiyoeli içi 0 J( y) y '( ) w( ) y( ) v( ) d d dy w w y d d ( ) ( ) ( ) 0 Euler-Lgrge geel lieer olmy di difersiyel deklemii ir ozitif y çözümüü vrlığı eşdeğerdir. (Muckehout 972),(Oic ve Kufer 990) 4.4 Hrdy Ortlm (vergig) oertörü: H f ( ) : f ( t) dt ritmetik ortlm oertörü olrk iliir. f i geometrik ortlm oertörü ise G f ( ) : e l f ( t) dt ; f 0 0 olrk iliir. G( f )( ) ( H f )( ) dir.(kufer 2007) 0 40

50 FATMA İÇER 4.5. N Boyutlu Hrdy Oertörü X içi B( ) y : y oyutlu Hrdy oertörü, yuvrıı hcmi B ( ) olmk üzere, H ile gösterile N N H N f ( ) f ( y) dy, B ( ) B( ) ile tımlı olu H N f ( ) d f ( ) d; eşitsizliği N oyutlu Hrdy eşitsizliğidir. v, w N oyutlu ğırlıklr ve içi / / H N f ( ) v( ) d C f ( ) w( ) d eşitsizliğii sğlmsı içi gerekli ve yeterli koşul dur. / / ' v y y dy C w y dy ' su ( ). ( ) / B( ) B( ) << içi H N f ( ) d f ( ) d, eşitsizliği c e iyi siti ile sğlır. içi / / H N f ( ) v( ) d c f ( ) w( ) d dir ck ve ck r / / r r/ ' ' ' v( t) dt w( t) dt w( ) d dır.(kufer 2007) / B( ) B( ) 4

51 4. L UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI 4.6. Teoremler Teorem : vw, ğırlık foksiyolrı olmk üzere, / / Gf ( ) v( ) d C f ( ) w( ) d () 0 0 eşitsizliğii ütü egtif olmy f foksiyolrı trfıd sğlmsı içi gerekli ve yeterli koşul i)0 ike ii)0 ike / t / su G v( ) t t0 w ( ) 0 (2) / r / / G dt G d w( t) w( ) (3) 0 0 Dur.(Perso ve rk. 2002) y H2 f (, y) f s, t dtds (4) iki oyutlu Hrdy oertörü olrk iliir. vw, ; 0, 0, üzeride ğırlık foksiyolrı olmk üzere / / H2 f, yv, yddy C f, yw, ydyd (5) eşitsizliğii ve egtif olmy ütü, sğlmsı içi gerekli ve yeterli koşul 0, y0 / y / ' f y foksiyolrı trfıd ' su vs, tdtds w s, tdtds (6) y 00 dur.(muckehout 972) 42

52 FATMA İÇER r Teorem 2:, içi,. / r r f tdt d f t t dt r (7) dir. İst: t s ilet s içi dt ds ve 0s olduğud / / r r f tdt d f tdt d / / / r r f sds d f sds d f ( s) ds r L ( ; 0, ) (İtegrller içi mikowski eşitsizliği) 0 r L ( ; 0, ) 0 0 / r f ( s) ds f ( s) d ds t içi / r s t ise t f ( t) d ds s s 0 0 d s dt 0 t r / / r r s f ( t) t dt ds f ( t) t dt r (Kufer 2007) Teorem 3 : ve / t ' ' B su w ( t) dt v( t) w ds dt (8) olmk üzere, egtif olmy f foksiyolrıı / 43

53 4. L UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI / f ( t) dt v( ) d C f ( ) w( ) d (9) / şeklideki Hrdy eşitsizliğii sğlmsı içi gerekli ve yeterli koşul, B ve B C ' B dir. (0) Burd, W ( ) w ( t) dt dir. İst: Gereklilik: (9) eşitsizliğii C ir sit ile ütü f 0 foksiyolrı içi sğldığıı kul edelim. t (, ) keyfi ir sit f w olmk üzere,(9) eşitsizliğii sol yı, ' t ( ) (, t) ( ) ( ) f ( t) dt v( ) d / f ( t) dt v( ) d f ( t) dt v( ) d t t / () şeklide yzılileceğide ve (0) u doğruluğuu kulüde, / t t ' ' / w ( s) ds v( ) d C w ( ) d t / / W ( ) v( ) d C. W ( t) B C (2) uluur. Yeterlilik: (9) eşitsizliğii duli, yı C siti ile g 0 içi, ' / ' ' ' ' g( t) dt w ( ) d C g ( ) v ( ) d (3) yzılilir. Kısmi itegrsyo ve Hölder eşitsizliğide, / ' 44

54 FATMA İÇER ' ' ' ' J : g( t) dt w ( ) d ' g( t) dt g( ) w ( t) dt d ' ( ') / ' ' ( ' ) / ' = ' g( ) v ( ) g( t) dt w ( t) dt v ( ) d / ' ( ' ) ' ' ' ' g ( ) v ( ) g( t) dt w ( t) dt v( ) d / h( ) : g( t) dt ( ' ) ( ' ) ' ( ) ( ) ( ) olmk üzere Fuii teoremii uygulrsk, J g t dt w t dt v d ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h w t dt v d h W v d h'( t) dtw ( ) v( ) d t t h'( t) W ( ) v( ) ddt h'( t) v( ) W ( ) ddt / B W v( t) W ( t) dt / ise ' B v( t) W ( t) dt w ( t) dt / (4) olcğıd, t J B h t w d / ' '( ) ( ) (5) uluur. Mikowski itegrl eşitsizliğide sğ yı itegrli kestirilerek, / ' J B h'( t) dt w ( ) d / 45

55 4. L UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI / ' B h ( ) w ( ) d / ( ' ) ' B g( t) dt w( ) d / ' / ' / B g( t) dt w( ) d B J / ' / ' ' ' J ' B g ( ) v ( ) d (6) Dul eşitsizlikte, C ' B uluur.(kufer ve Perso 2003) Teorem 4: 0,,, W( ) : = r w ' () t dt içi / / r t r r/ ( ) ( ) ( ) ( ) (7) B v s W s ds W t dw t olmk üzere,egtif olmy ütü f foksiyolrıı ile verile Hrdy eşitsizliğii sğlmsı içi gerekli ve yeterli koşul B dur ve Hrdy eşitsizliğideki C siti, / r / ' / r ' / / ( ') r 2 B C ' B eşitsizliğii sğlr. İst: Yeterlilik: J : f ( t) dt v( ) d f ( t) dt v( ) W ( ) W ( ) d (8) 46

56 FATMA İÇER ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f t dt v W W s dw s d s W ( s) f ( t) dt v( ) W ( ) d dw ( s) f t dt W s v W d W s dw s s s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Burd s içi s ve Fuii teoremi kullılmıştır. ve r ' rmetreleri ile Hölder eşitsizliği uygulrsk, / s dw () s J f () t dt B (9) W () s dur. Bir öceki teoremde, / s dw () s f ( t) dt ' f ( s) w( s) ds W () s (20) / yzılilir. Böylece, / C ' B ile (0) eşitsizliği sğlmış olur. Gereklilik: C ile (0) eşitsizliğii sğldığıı kul edelim.(8)deki lt sıır, / r r/ r/ ' B0 v( t) dt W ( ) dw ( ) (2) olmk üzere C ( ') B0 olduğuu göstereceğiz. r / / ' Buu içi, ' ' w ( ) ( ) olsu ve 0 v v, 0 w w, v ve ( ) w ( ) itegrlleeilir foksiyolr olsu. Ayrıc, 47

57 4. L UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI r / r / ' B v ( t) dt W ( ) dv ( ) / r t ' ile W ( ) w ( t) dt ( t) dt olmk üzere eğer, r/ r/ ' B : v ( t) dt W ( ) dw ( ) / r r / r / ' f ( ) v ( t) dt ( t) dt ( ) şeklide ir foksiyou seçersek, r / t r / ' f ( t) dt v ( t) dt ( s) ds ( t) dt r / r / ' ' v( t) dt ( s) ds r Kısmi itegrsyo, so kestirim ve (9) eşitsizliğide, ' r ' = / B r/ ' v ( t) dt ( t) dt v ( ) d r / r / ' r / / / f ( t) dt v ( ) d f tdt v( ) d C f ( ) w( ) d / r/ r/ ' C v ( t) dt ( t) dt ( ) d / r / r / ' C v ( t) dt ( t) dt ( ) d / 48

58 FATMA İÇER r / r / ' C v ( t) dt ( t) dt ( ) d / / / r ' r / r / ( ) ( ) (22) C v t dt W dw CB uluur. / / ' Böylece, ( ') B c r olduğuu göstermek içi, elde edilir. (8) i lt sıırıı 2 / r / B B r 0 r/ r r / ( ) ( ) ( ) ( ) B W t d v s ds W dw t ve J W ( t) d v( s) ds v( s) ds W ( t) dw ( t) t t v s ds W t W t dw t t 2 /2 ( ) ( ) ( ) ( ) r ve r ' rmetreleri ile Hölder eşitsizliğide, r/ r 2 J v( s) ds W ( t) dw ( t) t / r / / 2 W ( t) dw ( t) (23) yzılilir. Fuii teoremide, r/ r / 2 / r r r ( ) 2 B v s ds W dw ( t ) t. W r / 2 r / ( ) dw ( ) r/ r r r / r / ' 2. 2 v( s) ds W ( t) t t W r r 2 ( ) dw ( ) dw ( t) 49

59 4. L UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI r.2 = r r r/ r ' v( s) ds W ( t) dw ( t) t r 2. B r 0 r uluur.(kufer ve Perso 2003) (24) Teorem 5: ve s (, ) olmk üzere, eğer 0 0 f ( t) dt v( ) d / eşitsizliği sğlmsı içi: / C f ( ) w( ) d (25) 0 s ( s ) A( s,, ) su W ( t) v( ) W ( ) d t0 t / (26) t ' dır.burd W ( t) w( ) d, eğer C e iyi sit ise, 0 su s A ( s,, ) C s s s s dır. İst: f ( ) w( ) g( ) lıdığıd (26) eşitsizliği: ' if A( s,, ) s (27) 0 0 g( t) w( t) dt v( ) d şeklide yzılilir. ' ' DW ( t) w( t) w( t) w( t) w( t) dır. (Hölder ve Mikowski eşitsizliğide) 0 0 g( t) w( t) dt v( ) d / C g( ) d (28) 0 / 50

60 FATMA İÇER = 0 0 s s g( t) W ( t). W ( t) w( t) dt v( ) d / / ' / ' s. ' s g( t) W ( t) dt W ( t) w( t) dt v( ) d / ' / s. s ' g( t) W ( t) dt W ( ) v( ) d s 0 0 / ' s. s g( t) W ( t) W ( ) v( ) d dt s 0 t / ' 0 / A( s,, ) g( t) dt s (29) uluur. Böylece (27) i sğ yıdki sit ile (28) ve (26) deklemleri sğlır. s ' s ' g( ) W ( t) w( ) (0, t) ( ) W ( ) w( ) ( t, ) ( ) s test foksiyou seçildiğide,(26) ve dolyısıyl (28) i sğldığıı kul edelim. Burd t ozitif ir sit syıdır. / / t s ' s ' g( t) dt W ( t) w( ) d W ( ) w( ) d s 0 0 t / / W ( t) W ( t) s s ve s s / (30) t t 0 s s ' ' W ( t) w( y) dy W ( y) w( y) dy v( ) d s t / s W ( ) v( ) d (3) s t İfdesi (30) u sol yıd küçüktür. Böylece (28) de / 5

61 4. L UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI s W ( ) v( ) d s t s s s vey özdeş olrk, / / / s C W () t s s Wt () s / s W ( ) v( ) d C (32) t / / s s s W ( t) W ( ) v( ) d C t s s Böylece (27) i sol yı kestirilmiş oldu.(kufer ve Perso 2003) Lemm : ve v, w W(, ) olmk üzere, (33) / / ' ' BL (,, v, w,, ) su v( t) dt w ( t) dt (34) ve ' / / ' v( t) dt V ( ) ve w ( t) dt W ( ) olmk üzere su V. W (35) ise, / / Hf ( ) v( ) d C f ( ) w( ) d (36) L içi sğlr ve L Hf f t dt AC eşitsizliği her (, ) C L C L / / ' ' ' K(, ). B L B L kestirimii sğlr. C e iyi siti İst: B olduğuu kul edelim. Bu durumd s sit olmk üzere, L t t ' ' t (, ) içi w( y) dy olcğıd, h( t) w ( y) dy / s ' foksiyou 52

62 FATMA İÇER t (, ) içi 0 ht ( ) olur. f M (, ) olsu. Hölder eşitsizliğide, / / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Hf f t dt f t w t h t w t h t dt / ' ' f ( t) w( t) h tdt h ( t) w( t) dt / ' (37) yzılilir. Ayrıc, t / s ' ' ' ' h ( t) w( t) dt w ( y) dy w( t) dt s s ' s ( s) ' s w ( y) dy h( ) s (38) s olduğud, f ( t) dt v( ) d / / ' / s s [(itegrller içi Mikowski eşitsizliğide) r / r / r ( ) ( y) dy d ( y) ( ) d dy y ] / s f ( t) w( t) h ( t) dt h ( ) v( ) d (39), M, ve r içi / / ' s ( s) / f ( t) dt v( ) d f ( t) w( t) h ( t) h ( ) v( ) d dt s t (40) uluur. B syısıı tımıd, L ( s) s ( s) s ( s) / s ( s) / s h ( ) h ( ) BL v( y) dy (4) olu, ( s) s ( s) s L t t h ( ) v( ) d B v( y) dy v( ) d sb ( s ) s L v( y) dy t / s 53

63 4. L UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI / / s ( s) / ( s) / s h ( ) v( ) d s BL v( y) dy t t / ' / s t ( s) / s ' / L L L s B B w ( y) dy s B h ( t) f ( t) dt v( ) d / / ' s / s BL f ( t) w( t) h ( t) h ( t) dt s / / g( s) BL f ( t) w( t) dt (42) Burd, / ' / s ( ) ve g s s s s keyfi sittir. if g( s) g( ) k(, ) lıdığıd s ' / f ( t) dt v( ) d k(, ) BL f ( t) w( t) dt (43) uluur.(kufer ve Perso 2003, Kufer ve Oic 990) Teorem 6 : foksiyolrı ve >0 içi / reel syılr ve, : 0, vw ozitif ölçüleilir ğırlık w L B0,, v( ) L / B 0, sğlmk üzere, herhgi ir f 0 içi, v(0), w( ) koşullrıı / f ydy v( ) d C f w( ) d y : y (44) eşitsizliği sğlır ck ve ck / ' / C su vd w( ) d t0, / B(0, t) B(0, t) / C C dır. (45) 54

64 FATMA İÇER İst:(yeterlilik) : F( ) f ( y) dy olmk üzere, F ( ) ir rdyl foksiyodur. y : y F( ) F( ) ve Ft () tek reel değişkeli ir foksiyo olsu. Herhgi ir 0,limsu F ( ) t içi ve t içi Ft () olck şekilde 0 gii ir miiml vrdır. f ( ) d ise Hölder eşitsizliğide 2 v( ) d v( ) d. f ( ) d (46) yeterlilikte / V. W C C / / ' ' v( ) d. f ( ) w( ) d. w( ) d / f w d (47) 2 2 : F 2 0 F 2 v d d v d d, F 2 = F v( ) d d 2 F v( ) d 2 0 = 0 : F ( ) 2 v( ) d d 55

65 4. L UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI d C f w d 0 2 = C f w d 0F2 = / / d (Mikowski eşitsizliğide ) / F( ) d C f ( ) w( ) d F( ) 2 / / C l 2 f ( ) w( ) d (48) uluur. Böylece eşitsizlik, / C 2. C l 2 siti ile sğlmış olur. Gereklilik: f ydy v( ) d C f w( ) d y : y / (49) / eşitsizliği f 0 içi doğru olsu. eşitsizlik sğlır. Yi, t B(0, t) f ( ) w( ) ( ) : t 0 test foksiyou içi de / w y B(0, t) ydy vd y : y ( ) ( ) C w B(0, t) w d / / v( ) d. w( ) d. w( ) d C / B(0, t) B(0, t) B(0, t) / v( ) d. w( ) d C / B(0, t) B(0, t) 56

66 FATMA İÇER / ' su v( ) d. w( ) d t0 (50) / B(0, t) B(0, t) uluur. Souç: Eğer yukrıdki eşitsizlik, 0 foksiyou içi sğlıyors, olmk üzere f ( ) test / v( ) f ( t) dt d C w( ) f ( ) d (5) B(0, ) / B(0, ) B(0, ) B(0, ) / B(0, ) / dir. Burd, C su v( ) d w( ) d B(0, )/ B(0, ) B(0, )/ B(0, ) / ' (52) dir.(hrm ve Mmedov 2009) Teorem 7: i) Eğer ise / f tdt vd C f wd (53) / eşitsizliğii, d ölçüleilir egtif olmy ve yeterli koşul f foksiyolrıı sğlmsı içi gerekli ' / / ' A: Su vtdt wt dt (54), dir. Ayrıc C e iyi siti içi ' ' / ' / / ' / A C mi.,. A (55) dır. içi, C Adır. ii) Eğer ise(53)i sğlmsı içi gerekli ve yeterli koşul 57

67 4. L UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI ' r/ r/ : ' ' A vtdt wt dt w d (56) dır. / r ' / ' ' / / Ayrıc, A C A dir. iii) Eğer 0 ise (53)ü sğlmsı içi gerekli ve yeterli koşul ' r/ r/ : ' A2 vtdt wt dt vd (57) / ' r / 2 2 A C A dir. dır.ayrıc / iv) Eğer 0 ise (53)ü sğlmsı içi gerekli ve yeterli koşul / r / : A3 vt dt w v d (58) Burd w ess if wt t / 3 3 dir.ayrıc, A C A (59) (Kufer 2007) Teorem 8 :, v ve w ozitif terimli diziler olmk üzere, / k v C w k / (60) Ağırlıklı kesikli Hrdy eşitsizliği i) içi sğlır ck ve ck 58

68 FATMA İÇER ' / / ' k k k k A : su v w (6) vey / / k ' ' A2 su wk vk wm (62) k k m vey ' / ' ' / ' A3 suvk wk vm (63) k k mk dur. ii) 0, içi sğlır ck ve ck / / k (64) k : su A4 v w iii),0, içi sğlır ck ve ck r A5 : v v w ' r/ r/ ' k k k k dır. (65) iv) içi sğlır ck ve ck A6 : v v m w k k k k dir. (66) v) 0, içi sğlır ck ve ck r / r ' r/ r/ ' ' A7 : vk wk w k dir (67) k k 59

69 4. L UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI.(Kufer ve rk. 2007) Teorem 9: ve : 0, l foksiyou 0, lim 0 0 ve rlığıd zl, 0 olsu. sğlmsı içi 0 Hf f t dt olmk üzere, foksiyouu Hf C f eşitsizliğii L : 0, l L ; 0, l g : g 2 g l C,0 koşuluu sğlmsı gerekir. 2 İst: k, k 4 ve k,2, 0, l k f k k içi 2 2k t. l 2 k k olur. I f t t dt t dt k k l 2k 4 t k 2 k I H fk t dt d t dt d 0 k 3k k 4k 2 4 k k 2k 2k t dt d C. k d 3k k 3k 4k 2k C. d 3k 4k 3 k k 2 C d gerekir. C 3 2. k k 2 k 2 k 2 k l k Ce içi 2 olmsı (6) de ki A (54) deki A y,(65) deki A 5 (56) d ki A e, (67) deki A 7 (57) deki A 2 ye ve (66) d ki A 6 (58) de ki A 3 e krşılık gelir. 60

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER 7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER Bir V ektör uzyıı bir bşk W ektör uzyı döüştüre foksiyolr şu şekilde gösterilir: : V W Burd kullıl termioloji foksiyolrl yıdır. Öreği, V ektör uzyı foksiyouu

Detaylı

GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE. Abdullah AKKURT 1, Hüseyin YILDIRIM 1

GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE. Abdullah AKKURT 1, Hüseyin YILDIRIM 1 IAAOJ, Scietific Sciece, 23,(2), 22-25 GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE Adullh AKKURT, Hüseyi YILDIRIM Khrmmrş Sütçü İmm Üirsitesi, Fe-Edeiyt Fkültesi

Detaylı

ANALİZ III DERS NOTLARI. Prof. Dr. Nurettin ERGUN

ANALİZ III DERS NOTLARI. Prof. Dr. Nurettin ERGUN ANALİZ III DERS NOTLARI Prof. Dr. Nuretti ERGUN İ Ç İ N D E K İ L E R Syf No BÖLÜM Foksiyo Dizi ve Serileri... BÖLÜM Fourier Serileri... BÖLÜM 3 Özge Olmy Tümlevler...48 BÖLÜM 4 Dik Poliom Serileri...7

Detaylı

7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ

7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ Prof. Dr. Özc Klederli SAYISAL YÖNTEMLER 7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ Syısl itegrsyo vey itegrl lm işlemi, litik olrk ir itegrli lımsıı çok zor vey olksız olduğu durumlrd vey ir işlevi değerlerii sdece

Detaylı

2. BELİRLİ İNTEGRALİN TANIMI ve TEMEL ÖZELLİKLERİ

2. BELİRLİ İNTEGRALİN TANIMI ve TEMEL ÖZELLİKLERİ DERS: MATEMATİK II MAT II () ÜNİTE: BELİRLİ İNTEGRALLER KONU:. ARALIKLARIN PARÇALANMASI. BELİRLİ İNTEGRALİN TANIMI ve TEMEL ÖZELLİKLERİ GEREKLİ ÖN BİLGİLER. semolü ve temel toplm ormülleri. Limiti temel

Detaylı

DETERMINANTLAR. 1. Permütasyon. 1. Permütasyon ) permütasyonundaki ters dönüşüm. 1. Permütasyon 2. BÖLÜM ( )

DETERMINANTLAR. 1. Permütasyon. 1. Permütasyon ) permütasyonundaki ters dönüşüm. 1. Permütasyon 2. BÖLÜM ( ) . BÖÜM. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {,,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı DETERMINNTR sırlmlrıı düzelemesie permütsyo deir. Örek: {,, 3} tm syılr kümesii ltı frklı permütsyou vrdır: (,, 3), (,,

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 1 BÖLÜM 1 KÜMELER VE SAYILAR 1.1 KÜMELER 1.1.1. TEMEL TANIMLAR Kesi ir tımı ypılmmkl erer,sezgisel olrk,kümeye iyi tımlmış iri iride frklı eseler topluluğudur diyeiliriz. Kümeyi meyd getire eselere kümei

Detaylı

BÖLÜM DETERMINANTLAR SD 1

BÖLÜM DETERMINANTLAR SD 1 SD 1 2. BÖLÜM DETERMINANTLAR 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 1. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {1, 2,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı sırlmlrıı düzelemesie

Detaylı

Trace ve Kellogg Yöntemleri Kullanılarak İntegral Operatörlerinin Özdeğerlerinin Nümerik Hesabı

Trace ve Kellogg Yöntemleri Kullanılarak İntegral Operatörlerinin Özdeğerlerinin Nümerik Hesabı Trce ve Kellogg Yöemleri Kullılrk İegrl Operörlerii Özdeğerlerii Nümerik Hesı Erk Tşdemir () ; Yüksel Soyk () ; Melih Göce (3) (¹)Kırklreli Üiversiesi, Kırklreli, Türkiye, erksdemir@homil.com (²)Büle Ecevi

Detaylı

Cebir Notları. Diziler Mustafa YAĞCI,

Cebir Notları. Diziler Mustafa YAĞCI, www.mustfygci.com, 006 Cebir Notlrı Mustf YAĞCI, ygcimustf@yhoo.com Diziler Mtemtiği e zevkli ve sürükleyici koulrıd birie geldik. Pek zorlcğımı thmi etmiyorum, çükü yei esil diziler e oldukç merklı. Kurtlr

Detaylı

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com III - SAYI ÖRÜNTÜLERİ Htırltm: Syılrı virgülle yrılrk, birbirii rdı dizilmesie syı dizisi, dizideki her bir syıy d terim deir. hrfi verile örütüde syılrı sırsıı belirte semboldür ve ici syıy örütüü geel

Detaylı

DERS 4. Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi

DERS 4. Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi DERS Determitlr eotief Girdi - Çıktı lizi.. ir Kre Mtrisi Determitı. Determit kvrmıı tümevrıml tımlycğız. mtrisleri determitıı tımlyrk şlylım. Tım. tımlır. mtrisiidetermitı olrk Örek. mtrisii determitı

Detaylı

1981 ÖYS. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın. ü satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığı- 3. na göre, kumaşın tümü kaç metredir?

1981 ÖYS. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın. ü satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığı- 3. na göre, kumaşın tümü kaç metredir? 98 ÖYS. Bir top kumşı öce i, sor d klı ü stılıyor. Geriye 6 m kumş kldığı- göre, kumşı tümü kç metredir? 70 6 60 0., y pozitif iki tmsyı olmk üzere, (+y)(-y)=88 dir. Bu eşitliği soludki çrplrd üyüğü, küçüğüü

Detaylı

MATEMATİK CANAVARI MATEMATİK FORMÜLLERİ. Devirli Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirme:

MATEMATİK CANAVARI MATEMATİK FORMÜLLERİ. Devirli Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirme: Ardışık Syılr Toplm Formülleri Ardışık syılrı toplmı: 1 + + 3 +...+ =.(+1) Ardışık çift syılrı toplmı : + 4 + 6 +... + =.(+1) Ardışık tek syılrı toplmı: 1 + 3 + 5 +... + ( 1) =.= Ardışık tm kre syılrı

Detaylı

İNTEGRAL 6 RİEMANN TOPLAMI : ALT TOPLAM,ÜST TOPLAM VE RİEMANN ALT TOPLAM ÜST TOPLAM. [a, b] R ARALIĞININ PARÇALANIŞI VE RİEMANN TOPLAMI

İNTEGRAL 6 RİEMANN TOPLAMI : ALT TOPLAM,ÜST TOPLAM VE RİEMANN ALT TOPLAM ÜST TOPLAM. [a, b] R ARALIĞININ PARÇALANIŞI VE RİEMANN TOPLAMI [, ] R ARALIĞININ PARÇALANIŞI VE RİEMANN TOPLAMI f : [, ] R sürekli ir foksio olsu. Bu [,] kplı rlığı = <

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0

Detaylı

DİZİLER... 213. Dizilerde İşlemler... 213. Dizilerin Eşitliği... 214. Monoton Diziler... 215. Alt Dizi... 216. Konu Testleri (1 6)...

DİZİLER... 213. Dizilerde İşlemler... 213. Dizilerin Eşitliği... 214. Monoton Diziler... 215. Alt Dizi... 216. Konu Testleri (1 6)... ÜNİTE GERÇEK TOPLAM SAYI ÇARPIM DİZİLERİ ARİTMETİK SEMBOLÜ DİZİ Böüm Dizier GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ GEOMETRİK DİZİ SERİLER DİZİLER..................................................................

Detaylı

ÜSLÜ SAYILAR. (-2) 3 = (-2). (-2). (-2) = (-8) Kuvvet Tek; NEGATİF. (-2) 4 = (-2). (-2). (-2). (-2) = 16 Kuvvet Çift; POZİTİF.

ÜSLÜ SAYILAR. (-2) 3 = (-2). (-2). (-2) = (-8) Kuvvet Tek; NEGATİF. (-2) 4 = (-2). (-2). (-2). (-2) = 16 Kuvvet Çift; POZİTİF. SINIF ÜSLÜ SAYILAR www.tyfuolcu.co Üslü Syı : ifdesi ı te çrpıı lı gelektedir. =.... te =.. = 8 =. = 4 =. = 9 4 =... = 81 10 6 = 10.10.10.10.10.10 Teel Kvrlr ile. ifdeleri çok sık krıştırıl ifdelerdeir.

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. a ise b 2006 b 2005 =? A) 1330 B) 1995 C) 1024 D) 1201 E) 1200

OLİMPİYAT SINAVI. a ise b 2006 b 2005 =? A) 1330 B) 1995 C) 1024 D) 1201 E) 1200 ., b, c, d Z olmk üzere / + /b + /c + /d = ½ ve ( + b + c + d) =.b + c.d + ( + b ).(c +d) + dekliklerii sğly kç (, b, c, d) dörtlüsü vrdır? A) 48 B) 4 C) D) 6 E) 5. Alı 40 birim kre ol bir ABC üçgeii AB,

Detaylı

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:

Detaylı

DERS 3. Matrislerde İşlemler, Ters Matris

DERS 3. Matrislerde İşlemler, Ters Matris DES Mrislerde İşleler, Ters Mris Mrisler Mrislerle ilgili eel ılrııı ıslı e sır ve e süu oluşurk içide diiliş e sıı oluşurduğu lo ir ris deir ir ris geellikle şğıdki gii göserilir ve [ ij ], i ; j risii

Detaylı

a bir reel (gerçel) sayı ve n bir pozitif tam sayı olsun. 1 dir. n a ye üslü ifade

a bir reel (gerçel) sayı ve n bir pozitif tam sayı olsun. 1 dir. n a ye üslü ifade ÜSLÜ İFADELER A. Tı bir reel (gerçel syı ve bir pozitif t syı olsu.... te olck şekilde, te ı çrpıı ol deir. ye üslü ifde Kurl. sıfırd frklı bir reel syı olk üzere,. 0 0 0 ifdesi tısızdır.. ( R... 0 7..

Detaylı

Her hakkı Millî Eğitim Bakanlığı na aittir. Kitabın metin, soru ve şekilleri kısmen de olsa hiçbir surette alınıp yayımlanamaz.

Her hakkı Millî Eğitim Bakanlığı na aittir. Kitabın metin, soru ve şekilleri kısmen de olsa hiçbir surette alınıp yayımlanamaz. MİÎ EĞİTİM BAKANĞ YAYNAR... 4 DERS KİTAPAR DİZİSİ... 68.4.Y..8 Her hkkı Millî Eğitim Bklığı ittir. Kitbı meti, soru ve şekilleri kısme de ols hiçbir surette lııp yyımlm. GENE KRDİNATÖR Yurdgül GÜNEŞ İNCEEME

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları... İÇİNDEKİLER Ön Söz... Mtris Cebiri... Elementer İşlemler... Determinntlr...7 Lineer Denklem Sistemleri...8 Vektör Uzylrı...6 Lineer Dönüşümler...48 Özdeğerler - Özvektörler ve Köşegenleştirme...55 Genel

Detaylı

KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ KOMPLEKS FONKSİYONLARDA REZİDÜ VE BAZI UYGULAMALARI

KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ KOMPLEKS FONKSİYONLARDA REZİDÜ VE BAZI UYGULAMALARI KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ KOMPLEKS FONKSİYONLARDA REZİDÜ VE BAZI UYGULAMALARI SEVGİ İŞLER EYLÜL 5 ÖZET KOMPLEKS FONKSİYONLARDA REZİDÜ VE

Detaylı

MERAKLISINA MATEMATİK

MERAKLISINA MATEMATİK TRİGONOMETRİ : Siüs i b c R si si y si z İsptı : m(ëo).m(ëa) m(ëo).m(ëb) m(ëo).m(ëc) m(ëo) m(ëo) y m(ëo) z b c b c & si & si y & si y R R R R R R si si y b si z c & & & R R R & R.si & b R.siy & c R.siz

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile. gösterilir. x x. = a olarak tanımlanır.

MUTLAK DEĞER. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile. gösterilir. x x. = a olarak tanımlanır. gösterilir. MUTLAK DEĞER Syı doğrusu üzerinde syısının sıfır oln uzklığın in mutlk değeri denir ve ile B O A 0 OA = OB =, 0 =, < 0 olrk tnımlnır. < 0 < y için y = y işleminin eşitini bulunuz. < 0 için

Detaylı

a R, n tek ve Örneğin, a, b R + ve m, n Z + olmak üzere; 1. n a b a b dir. 2. n m n m a a n n n 5. m n m 6. 0 a b n a n b dir. Örnek 4.

a R, n tek ve Örneğin, a, b R + ve m, n Z + olmak üzere; 1. n a b a b dir. 2. n m n m a a n n n 5. m n m 6. 0 a b n a n b dir. Örnek 4. Bölü. Köklü Syılr Muhrre Şhi. Köklü Syılr.. Köklü Syılrı Tıı Bu bölüde, kök dediğiiz sebollerle gösterile gerçek syılrı köklü syılr olrk tıtck ve bulrı gerçek syılrı rsyoel kuvvetleri olduğuu göstereceğiz.

Detaylı

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7.

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7. MC. + + +.. Rsyonel Syılr TEST I sonsuz kesrinin eşiti kçtır? A) B) C) D) E) 4 www.mtemtikclu.com, 006 Ceir Notlrı. 8. Gökhn DEMĐR, gdemir@yhoo.com.tr 0;0 0;0008 = 0; x ise x kçtır? A) 0,0 B) 0,000 C)

Detaylı

Tanım Türevi F(x) yada diferansiyeli f(x)dx olan f(x) fonksiyonuna f(x) fonksiyonun bir ilkeli ya da belirsiz integrali denir ve f ( x)

Tanım Türevi F(x) yada diferansiyeli f(x)dx olan f(x) fonksiyonuna f(x) fonksiyonun bir ilkeli ya da belirsiz integrali denir ve f ( x) ÖLÜM - İNTEGRL KVRMI - İlel Fosiyo vey elirsiz İtegrl ir osiyou türevii sıl lıdığıı iliyoruz.u ölümde türevi lımış ir osiyou ileliiöei hlii sıl uluğıı ieleyeeğiz.ypğımız u işleme İtegrl lm vey osiyou ilelii

Detaylı

TG 6 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK

TG 6 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 6 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testleri her hkkı sklıdır. Hgi mçl olurs olsu, testleri tmmıı ve ir kısmıı

Detaylı

YILLAR ÖSS-YGS ) a 0 ve b 0 olmak üzere; 8) Üslü Denklemler: a -1, a 0, a 1

YILLAR ÖSS-YGS ) a 0 ve b 0 olmak üzere; 8) Üslü Denklemler: a -1, a 0, a 1 YILLAR 00 00 00 00 00 00 008 009 00 0 ÖSS-YGS Böle: i,( 0 ÜSLÜ İFADELER R ve Z olk üzere te ı çrpıı deir. ii, (b 0 b b... te Not:.... dır. te... 0 ve... 0. 0 te 0 te ÜSLÜ ÇOKLUKLARLA İLGİLİ ÖZELLİKLER

Detaylı

... SERİLER Tanım: 2 3 toplamı kaçtır? Çözüm: serisinde 10. kısmi terimler. Ör: bir reel sayı dizisi olmak üzere

... SERİLER Tanım: 2 3 toplamı kaçtır? Çözüm: serisinde 10. kısmi terimler. Ör: bir reel sayı dizisi olmak üzere SERİLER Tım: bir reel syı dizisi olm üzere...... 3 toplmı SERİ deir. gerçel syısı serii geel terimi deir. S 3... toplmı SERİNİN N. KISMİ (PARÇA) TOPLAMI deir. S dizisie SERİNİN N. KISMİ TOPLAMLAR DİZİSİ

Detaylı

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri

Detaylı

http://www.metinyayinlari.com Metin Yayınları

http://www.metinyayinlari.com Metin Yayınları LİMİT İÇ KAPAK Bu kitbı bütü ı hklrı sklıdır. Tüm hklrı, zrlr ve METİN YAYINLARI ittir. Kısme de ols lıtı pılmz. Meti, biçim ve sorulr, ıml şirketi izi olmksızı, elektroik, mekik, fotokopi d herhgi bir

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d

Detaylı

1 ifadesi aşağıdakilerden hangisi ile çarpıldığında, ifadesine eşit olur? çarpım C) 3 D) 6. Çözüm x =? 1 = Sayı = x olsun. x.

1 ifadesi aşağıdakilerden hangisi ile çarpıldığında, ifadesine eşit olur? çarpım C) 3 D) 6. Çözüm x =? 1 = Sayı = x olsun. x. T.C. MĐLLÎ EĞĐTĐM BAKANLIĞI Fe Liseleri, Sosyl Bilimler Liseleri, Güzel Stlr Ve Spor Liseleri Đle Her Türdeki Adolu Liseleri Öğretmelerii Seçme Sıvı 7 Arlık 9 Mtemtik Sorulrı ve Çözümleri 56. çrpım ifdesi

Detaylı

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.

Detaylı

TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK

TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 5 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testleri her hkkı sklıdır. Hgi mçl olurs olsu, testleri tmmıı vey ir kısmıı

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 9. MATEMATİK YARIŞMASI 6. SINIFLAR TEST SORULAR ve YANITLAR

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 9. MATEMATİK YARIŞMASI 6. SINIFLAR TEST SORULAR ve YANITLAR 1) 2, 8, 26, 80... şeklideki ir syı örütüsüde 30. teri kçtır? A) 3 30 + 1 B) 3 30 1 C) 2 30 1 D) 2 30 + 1 5) Adylrı oy kulldığı ir seçide 889 öğrei oy kullktır. Seçie ktıl 8 dyd irii kzilesi içi e z kç

Detaylı

BÖLÜM 3 3. REGRESYON İÇİN MATRİS VE VEKTÖR CEBRİ 3.1 VEKTÖRLER VE MATRİSLER

BÖLÜM 3 3. REGRESYON İÇİN MATRİS VE VEKTÖR CEBRİ 3.1 VEKTÖRLER VE MATRİSLER BÖLÜM. REGRESYON İÇİN MRİS VE VEKÖR CEBRİ Bölüm de, doğrusl regreso tek değişkeli sit model olrk ele lırk çıklmıştı. Bölüm 4 de ise çok değişkeli (k değişkeli) model içi giriş pılcktır. Çok değişkeli modelde

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

İKİNCİ TÜREVİ PREQUASİİNVEKS OLAN FONKSİYONLAR İÇİN HERMITE-HADAMARD TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ

İKİNCİ TÜREVİ PREQUASİİNVEKS OLAN FONKSİYONLAR İÇİN HERMITE-HADAMARD TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ Ordu Üniv. Bil. Tek. Derg.,Cilt:,Syı:,,3-4/Ordu Univ. J. Sci. Tech.,Vol:,No:,,3-4 İKİNCİ TÜREVİ PREQUASİİNVEKS OLAN FONKSİYONLAR İÇİN HERMITE-HADAMARD TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ İmdt İŞCAN *, Selim

Detaylı

LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖETLİ ÇÖÜMLÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Limit Kvrmı ve Grfik Sorulrı... Limitle İlgili Bzı Özellikler...7 Genişletilmiş Reel Sılrd Limit... Bileşke Fonksionun Limiti...

Detaylı

= + + = ETKİNLİK: ( n ) ( ) ETKİNLİK:

= + + = ETKİNLİK: ( n ) ( ) ETKİNLİK: ERİLER Cebir kurllrı ile ck olu te yıyı toplybiliriz. Bu krşılık mtemtik de ouz yıd yıı toplmı ile de ık ık krşılşmktyız. Öreği; 3 yııı odlık çılımı; 3 3 3 = 0,333... = + + +... gibi bir ouz toplmdır.

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER. Kznım : Gerçek syılr kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir.. Kznım : Gerçek

Detaylı

Çözüm Kitapçığı Deneme-1

Çözüm Kitapçığı Deneme-1 KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ 5-7 KASIM 6 Çözüm Kitpçğ Deeme- Bu testleri her hkk skldr. Hgi mçl olurs olsu, testleri tmm vey bir ksm Merkezimizi

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

LİMİT VE SÜREKLİLİK ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT

LİMİT VE SÜREKLİLİK ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT LİMİT VE SÜREKLİLİK ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Limit. Kzım : Bir bğımsız değişkei verile bir sı klşmsıı öreklerle çıklr.. Kzım : Bir foksiou bir oktdki iti, sold iti ve sğd iti kvrmlrıı öreklerle

Detaylı

b göz önünde tutularak, a,

b göz önünde tutularak, a, 3.ALT GRUPLAR Tnım 3.. bir grup ve G, nin boş olmyn bir lt kümesi olsun. Eğer ( ise ye G nin bir lt grubu denir ve G ile gösterilir. ) bir grup Not 3.. ) grubunun lt grubu olsun. nin birimi ve nin birimi

Detaylı

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz.

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz. MAT -MATEMATİK (5-5 YAZ DÖNEMİ) ÇALIŞMA SORULARI. Tabaı a büyük ekseli, b küçük ekseli elips ile sıırlaa ve büyük eksee dik her kesiti kare ola cismi 6ab hacmii buluuz. Cevap :. y = ve y = eğrileri ile

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN İLİMLERİ ENSTİTÜSÜ POZİTİF TNML MTRİSLERİN RİTMETİK GEOMETRİK VE EİNZ ORTLMLR ÜZERİNE SNRLR Öğrecii dı SOYD İrhim lil GÜMÜŞ DOKTOR TEZİ Mtemtik ilim Dlı Temmuz- KONY er kkı

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER Sf No..................................................... - 7 Denklem ve Eşitsizlikler Konu Özeti............................................. Konu Testleri ( 0)..........................................................

Detaylı

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM YILLAR 00 003 004 00 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - ASAL SAYILAR ve kendisinden bşk pozitif böleni olmyn den büyük tmsyılr sl syı denir Negtif ve ondlıklı syılr sl olmz Asl syılrı veren bir

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

RASYONEL SAYILAR. ÖRNEK: a<0<b<c koşulunu sağlayan a, b, c reel sayıları. tan ımsız. belirsiz. basit kesir

RASYONEL SAYILAR. ÖRNEK: a<0<b<c koşulunu sağlayan a, b, c reel sayıları. tan ımsız. belirsiz. basit kesir RASYONEL SAYILAR 0 ve, Z olmk üzere şeklindeki syılr rsyonel syı denir. 0 0 tn ımsız 0 0 elirsiz 0 sit kesir ileşik kesir Genişletilerek vey sdeleştirilerek elde edilen kesirlere denk kesirler denir. Sıfır

Detaylı

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN EXCEL İLE ÇÖZÜMÜ

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN EXCEL İLE ÇÖZÜMÜ C.Ü. İktisdi ve İdri Bilimler Dergisi, Cilt 5, Syı 5 DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN EXCEL İLE ÇÖZÜMÜ Öğr. Gör. Dr. Mehmet Ali ALAN Cumhuriyet Üiversitesi İktisdi ve İdri Bilimler Fkültesi Öğr. Gör.

Detaylı

MAT 202 SAYISAL YÖNTEMLER. Bahar Hafta 1. Bu Hafta. Ders Hakkında Bilgiler. Özet. Ders Hakkında Genel Bilgiler. Matris işlemlerine giriş

MAT 202 SAYISAL YÖNTEMLER. Bahar Hafta 1. Bu Hafta. Ders Hakkında Bilgiler. Özet. Ders Hakkında Genel Bilgiler. Matris işlemlerine giriş MAT 202 SAYISAL YÖNTEMLER Bhr 2005-2006 Hft Bu Hft Özet Ders Hkkıd Geel Bilgiler Mtris işlemlerie giriş 2 Öğretim Üyesi: Öğr. Gör. Od No: 442, Tel: 293 3 00 / -- E-mil: ltuger@itu.edu.tr Ders Stleri: Slı

Detaylı

TEST. Rasyonel Sayılar. 1. Aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? 2. Aşağıda verilen, 3. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem tam sayı,

TEST. Rasyonel Sayılar. 1. Aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? 2. Aşağıda verilen, 3. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem tam sayı, Rsyonel Syılr. Sınıf Mtemtik Soru Bnksı TEST. Aşğıdki bilgilerden hngisi ynlıştır? A) Rsyonel syılr Q sembolü ile gösterilir. B) Her tm syı bir rsyonel syıdır. şeklinde yzıln bütün syılr rsyoneldir. b

Detaylı

1. ÜNİTE. Sayılar ve Cebir 9.2 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER

1. ÜNİTE. Sayılar ve Cebir 9.2 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER . ÜNİTE Sılr ve Cebir 9. DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Trihte ilk ölçme tekikleri prmk klılığı, el geişliği, krış, k gibi ort bodki bir isı vücududki prç ve mesfelerde ol çıkılrk oluşturulmuştur. Fkt ticret

Detaylı

ORAN ORANTI 2 1 3 - - 4 4 2 1 1 2 ÖYS. = = yazılabilir. veya ALIŞTIRMALAR

ORAN ORANTI 2 1 3 - - 4 4 2 1 1 2 ÖYS. = = yazılabilir. veya ALIŞTIRMALAR YILLAR 00 003 00 00 006 00 008 009 00 0 3 - - ÖYS ORAN ORANTI ve t. t. t.e zılilir. f Or: E z iri sıfır frklı ı iste iki çokluğu ölümüe or eir. Or irimsizir. Ortı : iki ve h fzl orı eşitliğie ortı eir.

Detaylı

MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ]

MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ] 3. BÖLÜM 2 v r = M m v r 2 2 = 22 M m2 v r n n 2n = M mn MTRİSLER gibi n tne vektörün oluşturduğu, r r r = v v v [ L ] 2 n şeklindeki sırlnışın mtris denir. 2 nlitik Geometriden Biliyoruz ki : Mtris 2

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI ., ÖZEL EGE LİSESİ OKULLR RSI 8. MTEMTİK YRIŞMSI 8. SINI TEST SORULRI 5. 0,0008.0 b 0,0000.0 ise; b.0 kç bsmklı bir sıdır? olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisine eşittir? ) 80 ) 8 ) 8 ) 8

Detaylı

ENERJİ İLETİMİ DERSİ (DERS NOTLARI) Fırat Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik - Elektronik Mühendisliği Bölümü

ENERJİ İLETİMİ DERSİ (DERS NOTLARI) Fırat Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik - Elektronik Mühendisliği Bölümü Fırt Üiversitesi Mühedislik Fkültesi Elektrik - Elektroik Mühedisliği Bölümü ENERJİ İLETİMİ DERSİ (DERS NOTLARI) Hzırly: Arş. Gör. Göky BAYRAK ELAZIĞ-008 İletim Htlrıı Elektriksel Ypısı ) Sürekli Durum:Nomil

Detaylı

ORAN VE ORANTI. Aynı birimle ölçülen iki çokluğun bölme yoluyla karşılaştırılmasına oran denir. a nın b ye oranı; b

ORAN VE ORANTI. Aynı birimle ölçülen iki çokluğun bölme yoluyla karşılaştırılmasına oran denir. a nın b ye oranı; b 1 ORAN VE ORANTI ORAN: Ayı irimle ölçüle iki çokluğu ölme yoluyl krşılştırılmsı or eir. ı ye orı; şeklie gösterilir. 3 00gr 15m Örek 1:,,... 3 300gr 0m irer orır. 00gr 30m 5000TL Örek :,,,... ifeleri irer

Detaylı

ÜÇGN ÜÇGN ÇI ÖZLLİLİ x ı x 6. ir iç çıorty ile ir dış çıortyı kesişmesiyle oluş çıı ölçüsü m() z z y ı y z z ı 1. Üçgei iç çılrı ölçüleri toplmı 180 d

ÜÇGN ÜÇGN ÇI ÖZLLİLİ x ı x 6. ir iç çıorty ile ir dış çıortyı kesişmesiyle oluş çıı ölçüsü m() z z y ı y z z ı 1. Üçgei iç çılrı ölçüleri toplmı 180 d ÜÇGN ÜÇGN ÇI ÖZLLİLİ x ı x 6. ir iç çıorty ile ir dış çıortyı kesişmesiyle oluş çıı ölçüsü m() z z y ı y z z ı 1. Üçgei iç çılrı ölçüleri toplmı 180 dir. x + y + z 180. Üçgei dış çılrı ölçüleri toplmı

Detaylı

15. ANTALYA MATEMATĐK OLĐMPĐYATI (2010) SORULARININ ÇÖZÜMLERĐ

15. ANTALYA MATEMATĐK OLĐMPĐYATI (2010) SORULARININ ÇÖZÜMLERĐ . ANTALYA MATEMATĐK OLĐMPĐYATI (00) SORULARININ ÇÖZÜMLERĐ PROBLEM : vrdır? + y y deklemii pozitif tmsyılrd kç (, y ) çözüm ikilisi A) B) 6 C) 4 D) 8 E) Sosuz çoklukt ÇÖZÜM (L. Gökçe): + deklemide pyd eşitleyip

Detaylı

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya

Detaylı

4. DEVİRLİ ALT GRUPLAR

4. DEVİRLİ ALT GRUPLAR 4. DEVİRLİ ALT GRUPLAR Tım 4.1. M, bi G gubuu bi lt kümei olu. M yi kpy, G i bütü lt guplıı keitie M i üettiği (doğuduğu) lt gup dei ve M ile göteili. M i elemlı d M gubuu üeteçlei (doğuylı) dei. Öeme

Detaylı

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ Müdslk Mmrlık Fkülts İşt Müdslğ Bölümü E-Post: ogu.mt.topcu@gml.com W: ttp://mmf.ogu.du.tr/topcu Blgsr Dstkl Nümrk Alz Drs otlrı 0 Amt TOPÇU I f ( x I x x ( x [ ( x f (

Detaylı

1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57

1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57 99 ÖYS. si oln si kçtır? A) 9 B) 8 C) D) 6 E) 5 6. Bir nın yşı, iki çocuğunun yşlrı toplmındn üyüktür. yıl sonr nın yşı, çocuklrının yşlrı toplmının ktı olcğın göre ugün kç yşınddır? A) 5 B) 5 C) 55 D)

Detaylı

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit

Detaylı

Örnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır?

Örnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır? RAKAM Syılrı ifde etmek için kullndığımız 0,,2,3,4,5,6,7,8,9 sembollerine rkm denir. Örnek... :, b ve c birbirlerinden frklı birer rkmdır..b+9.b c en çok kçtır? DOĞAL SAYILAR N={0,,2,3...,n,...} kümesine

Detaylı

KONİK METRİK UZAYLAR VE BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ. Muhib ABULOHA DOKTORA TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

KONİK METRİK UZAYLAR VE BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ. Muhib ABULOHA DOKTORA TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONİK METRİK UZAYLAR VE BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ Muhib ABULOHA DOKTORA TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HAZİRAN 009 ANKARA Muhib ABULOHA tarafıda hazırlaa KONİK METRİK UZAYLAR

Detaylı

SAYI ÖRÜNTÜLERİ VE CEBİRSEL İFADELER

SAYI ÖRÜNTÜLERİ VE CEBİRSEL İFADELER ÖRÜNTÜLER VE İLİŞKİLER Belirli bir kurl göre düzenli bir şekilde tekrr eden şekil vey syı dizisine örüntü denir. ÖRNEK: Aşğıdki syı dizilerinin kurlını bulunuz. 9, 16, 23, 30, 37 5, 10, 15, 20 bir syı

Detaylı

6 BEL IRL I VE BEL IRS IZ INTEGRAL

6 BEL IRL I VE BEL IRS IZ INTEGRAL Üite 6 BELİRLİ VE BELİRSİZ İNTEGRAL Kışkırtıcı Soru:Sosuz te sıı toplmı solu bir sı eşit olur mu hocm? Soruu Sor: Selçuk Durum: Kvrmlr : Bölütü, Alt toplm, Üst toplm, Belirli itegrl, Belirsiz itegrl, Ortlm

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 7. MATEMATİK YARIŞMASI. SINIF TEST SORULARI. + işleminin sonucu kçtır? 5 5 A) 0 B) 0 C) 0 7 D) 0 9 E). y = x x + prbolünün y = x doğrusun en ykın noktsının koordintlrı toplmı

Detaylı

3. BÖLÜM: ÜSLÜ İFADE VE DENKLEMLER KONU ÖZETİ

3. BÖLÜM: ÜSLÜ İFADE VE DENKLEMLER KONU ÖZETİ . BÖLÜM: ÜSLÜ İFADE VE DENKLEMLER KONU ÖZETİ A. ÜSLÜ İFADELER 6.,, c R olmk üzere. Üslü İfdeler. +. c. = ( + c) dir. Bir syıı kedisi ile tekrrlı çrpımı o syıı kuvvetii lm y d üssüü lm deir. R ve Z + olmk

Detaylı

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden MC TEST I Seriler ve Diziler www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir2@yahoo.com.tr 8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerde hagisidir? A) 0,8 B) 0,9

Detaylı

Bu denklem, kapalı-döngü kutbunun var olma koşulunu, açı koşulu ve modül koşulu olmak üzere iki koşulu belirler. Burada G ( s)

Bu denklem, kapalı-döngü kutbunun var olma koşulunu, açı koşulu ve modül koşulu olmak üzere iki koşulu belirler. Burada G ( s) Kök-Yer Eğrileri: Kplı-dögü deeti iteii geçici-duru dvrışıı teel özellikleri kplı-dögü kutuplrıd belirleir. Dolyııyl probleleri çözüleeide kplı-dögü kutuplrıı - krşık yı düzleideki dğılıı rştırılı gerekir.

Detaylı

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24.

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24. DENKLEM ÇÖZME + + = 0 + = 0 + = 0 + y = 0 İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden İki ilinmeyenli

Detaylı

BÖLÜM 3 3. ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON İÇİN VEKTÖR VE MATRİS CEBRİ

BÖLÜM 3 3. ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON İÇİN VEKTÖR VE MATRİS CEBRİ BÖLÜM. ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON İÇİN VEKÖR VE MRİS CEBRİ Bölüm de, doğrusl regresyo tek değşkel bst model olrk ele lırk çıklmıştı. Bölüm de se çok değşkel (k değşkel) model ç grş ypılcktır. Çok değşkel

Detaylı

B - GERĐLĐM TRAFOLARI:

B - GERĐLĐM TRAFOLARI: ve Seg.Korum_Hldun üyükdor onrım süresinin dh uzun olmsı yrıc rnın izole edilmesini gerektirmesi; rızlnmsı hlinde r tdiltını d gerektireilmesi, v. nedenlerle, özel durumlr dışınd tercih edilmezler. - GERĐLĐM

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı., b olduğun göre, b. b ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir?,,,9 8... b b ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir?.. Bun göre, verilior. ifdesinin değeri kçtır? 8. b b c 8 c d

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ 5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii

Detaylı

TÜMEVARIM DİZİ - SERİ

TÜMEVARIM DİZİ - SERİ 99 A = {, N } ve P() öemes vels. Eğe :. P() doğu,. A ç P() doğu e P(+) öemes de doğu se; P() öemes A ç doğudu. TOPLAM SEMBOLÜ R ve N olm üzee;... dı. c c. c c b b < m < ç m m p p p 0 F F F F F F F F A

Detaylı

Tek ve Çift Fonksiyonlar. Özel Tanýmlý Fonksiyonlar. Bir Fonksiyonun En Geniþ Taným Kümesi. 1. Parçalý Fonksiyonlar. 2. Mutlak Deðer Fonksiyonu

Tek ve Çift Fonksiyonlar. Özel Tanýmlý Fonksiyonlar. Bir Fonksiyonun En Geniþ Taným Kümesi. 1. Parçalý Fonksiyonlar. 2. Mutlak Deðer Fonksiyonu Fonksionlr Konu Özeti. Köklü fonksionlrın en geniş tnım kümesi: f( f( n f( g( fonksionun en geniş tnım kümesi, g( koşulunu sğln noktlr kümesidir. f( f( n f( g( tüm reel sılrd tnımlıdır. fonksionu g( in

Detaylı

T.C. NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLER ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C. NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLER ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI NİĞDE ÜNİVERSİTESİ YÜKSEK LİSANS TEZİ A M GEÇGEL, 03 FEN BİLİMLER ENSTİTÜSÜ TC NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLER ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI SÜREKLİ GECİKMELİ YÜKSEK MERTEBEDEN NÖTRAL DİFERANSİYEL

Detaylı

c) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir.

c) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir. FONKSİYONLAR Boş kümeden frklı oln A ve B kümeleri verildiğinde, A kümesindeki her elemnı B kümesindeki ir elemn krşı getiren ğıntıy A dn B ye fonksiyon denir. y=f(x) ile gösterilir. Bir diğer ifdeyle

Detaylı

1992 ÖYS. 1. Bir öğrenci, harçlığının 7. liralık otobüs biletinden 20 adet almıştır. Buna göre öğrencinin harçlığı kaç liradır?

1992 ÖYS. 1. Bir öğrenci, harçlığının 7. liralık otobüs biletinden 20 adet almıştır. Buna göre öğrencinin harçlığı kaç liradır? 99 ÖYS. Bir öğrenci, hrçlığının 7 si ile, 000 lirlık otobüs biletinden 0 det lmıştır. Bun göre öğrencinin hrçlığı kç lirdır? 0 000 B) 0 000 C) 60 000 D) 80 000 E) 00 000 6. Bir lstik çekilip uztıldığınd

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIMLAR :, b, R ve 0 olmk üzere denklem denir. b = 0 denklemine, ikini dereeden bir bilinmeyenli Bu denklemde, b, gerçel syılrın

Detaylı