MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev"

Transkript

1 MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

2 1.KONU Sembolik Mantık; Önermeler, Niceyiciler, Olumsuzluk, İspat yöntemleri

3 KAYNAKLAR 1. Akkaş, S., Hacısalihoğlu, H.H., Özel, Z., Sabuncuoğlu, A., 1998; Soyut Matematik, Gazi Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Yayınları 2. Akkaş, S., Hacısalihoğlu, H.H., Özel, Z., Sabuncuoğlu, A., 1998; Çözümlü Soyut Matematik Problemleri 3. Çelik, B.,B ; Soyut Matematik I, Dora Yayınevi, Bursa 4. Özer, O.,Çoker, D.,Taş, K., 1996; Soyut Matematik, İzgi Yayınevi. 5. Fraleigh, J.B., 1982; First Course in Abstract Algebra, Addison-vesley 6. Karaçay, K., 2009; Soyut Matematiğe Giriş, ttm Yayınları, Ankara.

4 1. Giriş 2. Önerme ve doğruluk değeri 3. Denk önermeler 4. Bir önermenin olumsuzu 5. Bileşik önermeler 6. Önerme Formülü 7. Uyuşma ve Çelişme 8. Mantıksal Denklik 9. Temel özelikler 10. Teoremler için İspat yöntemleri 11. Bir önermenın yanlış oldugunu göstermek 12. Mantıksal gerektirme 13. Açık önerme 14. Evrensel niceleyici 15. Varlıksal niceleyici 16. Nıceleycıler ve bağlaçlar 17. Niceleyicilerle olumsuzlama 18.Niceleyicilerin dağıtıcılığı

5 1. Giriş MANTIK «Gerçeği ararken yapılan zihin işlemlerınden hangilerinin doğru ve hangilerinin yanlış yola çıktığını gösteren bilim» Mantık, doğru düşünme kuralları bilgisidir. Sembolik mantık. Bu dil yardımıyla karışık kavramları öğrenmek ve matematik konularını daha kesin bir anlatımla vermek kolaylaşacaktır.

6 2. Önerme ve doğruluk değeri 1. Tanım: Doğru ile yanlıştan biri ve yalnız biri ile nitelenebilen bir bildiri cümlesine önerme denir. Emir, soru ve ünlem cümleleri önerme değildir. 1. Örnek: her biri önermedir a) 2+3=9 b) Asal ve çift olan bir tam sayı vardır c) π sayısı 22/7 sayısına eşitdir 2.Örnek: hiç biri önerme değildir a) Dersden sonra şehri gezelim. b) Kaç yaşındasınız? c) x + 3 = 7

7 2. Önerme ve doğruluk değeri 2.Tanım: Bir önerme doğru ise bu önermeye 1 sayısı (veya D harfi), yanlış ise 0 sayısı (veya Y harfi) karşılık getirilir. Bu sayıya, önermenin doğruluk değeri denir. 3. Örnek: 1. π =3,1416 (doğruluk değeri 0) =4 (doğruluk değeri 1)

8 2. Önerme ve doğruluk değeri Önermeler p,q,r,... gibi küçük harflerle gösterilir. Doğruluk değeri bakımından bir önerme için iki durum, iki önerme için dört durum vardır. Birbirınden farklı n tane önerme verildiğinde, doğruluk değerleri bakımından bunlar arasında birebirine göre 2 n farklı durum vardır. P 0 1 p q

9 3. Denk önermeler 1. Tanım: Doğruluk değerleri eşit olan iki önermeye mantıkça denk veya kısaca denk (eşdeğerli) önermeler denir. p ve q önermelerinin denkliği p q biçiminde gösterilir. 1. Örnek: p: 1+1=2 q: Ankara Türkiyenin başkentidir. Bu önermelerin her ikisinin doğruluk değeri 1 olduğundan bu önermeler mantıkça denk iki önermedir. p q

10 4. Bir önermenin olumsuzu. 1. Tanım: Bir p cümlesine önermesi verilmiş olsun. p önermesi doğru ise bundan bir yanlış bir önerme, yanlış ise doğru bir önerme elde etmeye önermeyi olumsuzlama veya önermeyi değilleme denir. p önermesinden olumsuzlama ile elde edilen önermeye p önermesinin olumsuzu veya değili denir. p önermenin olumsuzu p, p, ~p veya p simgelerinden biri ıle gösterilir. 1. Örnek: p: 2<3 p : 2 3 q: Ben ögrenciyim q : Ben ögenci değilim

11 5. Bileşik önermeler İki ya da daha çok önerme «ve», «veya», «ise» ve «ise ve yalnız böyle ise» bağlaçlarından en az biri ile birbirine bağlanarak yeni önermeler tanımlanabilir. Bu önermelere bileşik önermeler denir. 1. Tanım: «p ve q» ifadesi p ve q önermelerinden her ikisi doğru olduğu zaman doğru öteki durumlarda yanlış olan bir bileşik önermedir. Bu önermeye p ve q önermelerinin kesişimi denir. p q 1.Örnek: 2+3 = 5 1+2=4 Doğruluk değerı 0 p q p q

12 5. Bileşik önermeler 2.Tanım: «p veya q» ifadesi p ve q önermelerinden her ikisi yanlış olduğu zaman yanlış, öteki durumlarda doğru olan bir bileşik önermedir. Bu önermeye p ve q önermelerinin birleşimi denir. p q 2.Örnek: Ankara Türkiyededir 1+2=4 Doğruluk değerı 1 p q p q

13 5. Bileşik önermeler 3.Tanım: «p ise q» ifadesi p doğru, q yanlış oldugu zaman yanlış, öteki durumlarda doğru olan bir bileşik önermedir. Bu önermeye koşullu (şartlı) önerme denir. p önermesine koşullu önermenin hipotezi (varsayımı), q önermesıne de hükmü (yargısı) denir. p q 2.Örnek: Bursa Türkiyede ise 1+1=3 dür. Doğruluk değeri 0 p q p q

14 5. Bileşik önermeler 4.Tanım: p q bir koşullu önerme olsun, p önermesıne q için yeter koşul, q önermesine p için gerek koşul denir. a) p ise q dur b) p, q yu gerektirir c) p, q için yeter koşuldur d) q, p için gerek koşuldur 5.Tanım: p q bir koşullu önerme olsun, p q, q p ve q p, önermelerine sıra ile, p q önermesin tersi, karşıtı, karşıt tersi denir. 6.Tanım: Doğru oldukları önceden ispatlanmış olan önermelere teorem denir. 7.Tanım: p ve q herhangi iki önerme olduğuna göre, (p q ) q p bileşik önermesine iki yönlü koşullu önerme denir. p q

15 5. Bileşik önermeler p q p q q p (p q ) q p p q Örnek: «Bursa Türkiyede ise ve yalnız böyle ise, 2+2=6 dır.» önermesinin doğruluk değeri nedır? p q a) p ise q dur ve q ise p dir. b) p, q yu gerektirir ve q, p yi gerektirir c) p için gerek ve yeter koşul q dur d) p için q olması gerek ve yeterdir

16 6. Önerme Formülü 1.Tanim: p,q,r,... Harflerden her biri degişken önermeleri göstermek üzere, bunlar yerine degişmez önermenler konduğunda önermeye dönüşen ifadelere önerme formülü denir. 1.Örnek: p,q değişken önerme göstermek üzere p, p q, p q, ve (p q ) q ifadelerinden her biri önerme formülüdür.

17 6. Önerme Formülü 2.Örnek: (p q ) önerme formülünün doğruluk çizelgesini düzenleyiniz. p q q p q (p q )

18 7. Uyuşma ve Çelişme 1.Tanım: Değişkenleri yerıne yazılacak her bir önerme için doğru bir önerme veren önerme formülüne uyuşma (topoloji), yanlış bir önerme veren önerme formülüne çelişme denir. Uyuşmaya bazan çelişmez de denir. 1. Örnek: p p önerme formülünün uyuşma, p p önerme formülünün çelişme olduğunu gösteriniz. p p p p p p p p Teorem: Uyuşmanın olumsuzlugu çelişme, çelişmenin olumsuzu uyuşmadır.

19 8. Mantıksal Denklik 1.Tanım: Değişkenleri yerine yazılacak her önerme için aynı doğruluk değerinde önermeler veren iki önerme formülüne birbirine mantıkça denk veya kısaca denk önerme formülleri denir. işareti: 1.Örnek: (p q) p p q olduğunu gösteriniz. p q p q p (p q) p p q p p q

20 9. Temel özelikler 1.Teorem: p,q ve r değişken önermeleri, f degişken doğru önermeleri, t de değişken yanlış önermeleri gösterdiğine göre, aşağıdaki özelikler vardır. 1) Tek kuvvet özelikleri: p p p p p p 2) Değişme özelikleri: p q q p p q q p 3) Birleşme özelikleri: p q r p q r p q r p q r 4) Dağılma özelikleri: p q r p q (p r) p q r p q (p r) p q r p r q r p q r p r q r

21 9. Temel özelikler 5) Özdeşlik özelikleri: p t p ve p f f p t t ve p f p 6) Tamlama özelikleri: p p f p p t 7) İnvolusyon (çifte degilleme) özelliği: p p 8) De Morgan özelikleri: p q p q (p q) p q 2.Teorem: p ve q değişken önermeler olduğuna göre, p q p q dır. İspat: p q p q p p q

22 9. Temel özelikler 3.Teorem: p ve q değişken önermeler olduğuna göre, p q q p dür. İspat: p q p q q p (q ) p q p 4.Teorem (Tümdengelim ilkesi): p,q ve r herhangi üç önerme olduğuna göre, (p r) (r q) bileşik önermesinin doğru olduğu durumlarda p q bileşik önermesi de doğrudur. İspat: p q r p q p r r q (p r) (r q)

23 10. Teoremler için İspat yollary Teoremlerin p q biçiminde olduğunu ifade etmek mümkindir. Teoremi ispat edebilmek için bilmemiz gereken iki şey vardır: 1) Bir önermenin doğru olduğunun nasıl ğösterileceği, 2) Bir önermenin yanlış olduğunun nasıl ğösterileceği. Doğrudan ispat p q nun doğru olduğunu göstermek için p r 1 (r 1 q) nun doğru olduğunu göstermek yeterlidir. r 1 q nun doğru olduğunu göstermek için r 1 r 2 (r 2 q) nun doğru olduğunu göstermek yeterlidir. Benzer şey r 2 q için tekrarlanarak bu işleme n gezek adım devam edildiği düşünülürse, sonunda p q nun doğru olduğunu göstermek için p r 1 (r 1 r 2 ) r 2 r 3 r n q nun doğru olduğunu göstermenin yeterli olacağı anlaşılır. 1.Örnek: n doğal sayısı tek ise n 2 nin tek olduğunu gösteriniz. Çözüm: n tek n=2k+1 (tek sayı tanımı) n=2k+1 n 2 = 4k 2 +4k+1 (çarpma kuralları) n 2 = 4k 2 +4k+1 n 2 = 2(2k 2 +2k)+1 (toplama) n 2 = 2(2k 2 +2k)+1 n 2 = 2k +1 (2k 2 +2k yerine k yazılacak) n 2 = 2k +1 n 2 tek sayı

24 10. Teoremler için İspat yollary Dolaylı ispat p q q p p q nun doğru olduğunu göstermek için q p nun doğru olduğunu göstermek yeterlidir. Olmayana ergi yöntemiyle ispat 2.Örnek: 3x + 2 5ise 2x olduğunu gösteriniz. Çözüm: (3x x + 3 5) (2x + 3 = 5 3x + 2 = 5) 2x + 3 = 5 2x + 3 = (toplama tanımı) 2x + 3 = x = 2 (sadeleşdirme özeliği) 2x = 2 x = 1 (sadeleşdirme özeliği)) x = 1 3x = 3 (iki yana 3 ile çarpmak) 3x = 3 3x + 2 = 3+2 (iki yana 2 ekleyerek) 3x + 2 = 3+2 3x + 2 = 5 (toplama tanımı)

25 10. Teoremler için İspat yollary p q (p q) (p q ) Çelişki bulma yöntemi 3.Örnek: 2x + 3 = 5 ise 3x + 2 = 5 olduğunu gösteriniz. Çözüm: (2x + 3 = 5 3x + 2 = 5) (2x + 3 = 5 3x + 2 5) (2x + 3 = 5 3x + 2 5) (2x + 3 = x ) (2x = 2 3x 3) (x = 1 x 1) olduğundan, 2x + 3 = 5 3x ifadesi yanlıştır. Dolayısıyla 2x + 3 = 5 3x + 2 = 5 ifadesi doğrudur.

26 11. Bir önermenın yanlış oldugunu göstermek Akşine örnek bulma p q ifadesi verilmiş olsun. p q = p q p q nun doğru olduğunu gösteren bir tek örnek bulunursa p q nun yalnış ifade olduğu gösterilmiş olur. 1.Örnek: Bir doğal sayı 6 ve 4 sayılarına ayrı ayrı bölünürse bu doğal sayı 24 ile bölünür. Çözüm: n 6 n 4 n 24 p: n 6 n 4 q: n 24 n=60 için q önermesi yanlıştır, p q önermesi doğrudur. Buna göre, p q yanlış olur.

27 11. Bir önermenın yanlış oldugunu göstermek Çelişme bulma p q ifadesi verilmiş olsun. Onun doğru mu yoksa yanlış mı olduğu bilinmiyorsa, bu önermey doğru varsayılarak önermeden bazı sonuçla elde edilir. Elde edilen sonuçlar bilinerle ya da birbiri ile çelişilse, p q biçiminde ifade edilen önermenin yanlış olduğu sonuçuna varılır. 2.Örnek: «Bir doğal sayı tek ise bu doğal sayın karesi çift sayıdır.» önermesinin doğruluk değerini bulunuz. Çözüm: «n tek sayı» «n 2 çift sayı» ( I. sonuç) Öte yandan n tek sayı n=2k+1 n=2k+1 n 2 = 4k 2 +4k+1 n 2 = 4k 2 +4k+1 n 2 = 2(2k 2 +2k)+1 n 2 = 2(2k 2 +2k)+1 n 2 tek sayıdır. Yani, «n tek sayı» «n 2 teksayı» ( II. sonuç) önermesi doğrudur. Birinci ve ikinci sonuçlarda elde edilenler birbiriyle çeliştiğinden verilen önerme yanlıştır.

28 12. Mantıksal gerektirme 1.Tanım: A ve B ile gösterilen iki önerme kalıbı için, A B önerme kalıbı geçerli bir önerme kalıbı (totoloji) ise, A önerme kalibi, B önerme kalıbını mantıksal olarak gerektirir, denir. işareti:a B 1. Örnek: p ve q basit önerme kalıpları olmak üzere, (p q) önerme kalıbı q önerme kalıbını gerektirir. (p q) q 2. Örnek: (p q) önerme kalıbı (p q) önerme kalıbını gerektirir, diyemeyiz. 3.Örnek: p p q önerme kalıbı, q önerme kalıbını mantıksal gerektirir. [p p q ] q p q p q (p q) q p q p q (p q)

29 12. Mantıksal gerektirme [p p q ] q p p q q p önermesi ve p q önermesi doğru ise bunların doğruluğundan zorunla olarak, q nün doğruluğu çıkar. 4. Örnek: p q q r p r çıkarımı geçerli bir çıkarım mıdır?

30 13. Açık önerme 1.Tanım: İçinde değişken (ya da değişkenler) bulunduran ve değişkenin (ya da değişkenlerin) aldığı her bir değer için bir önerme olan ifadelere açık önerme denir. 1.Örnek: Aşağıdakilerden yer biri açık önermedir. a) x tam sayısı sıfırdan büyüktür. b) x=3 ve y=3 dir. c) x 2 +y 2 = 1 dir. 2.Örnek: x herhangi bir doğal sayı olmak üzere x+2>7 ifadesi doğal sayılar cümlesi üzerinde tanımlanan açık bir önermedir. Bu önermeni p(x) ile gösterelim. 2. Tanım: Bir A cümlesi üzerinde tanımlanan p(x) açık önermesininden x yerine yazıldığında doğru önermeler veren elemanların cümlesine p(x) açık önermesinin doğruluk cümlesi denir. 3.Örnek: x+3>11açık bir önermenin doğruluk cümlesini D ile gösterelim. D={9,10,11,.} dir.

31 13. Açık önerme 3.Tanım: A cümlesinde tanımlanan iki açık önerme p(x) ve q(x) ollsun. A nın her bir n elemani için bu açık önermelerden elde edilen p(n) ve q(n) önermeleri birbirine denk ise, p(x) ve q(x) açık önermelerine birbirine denk açık önermeler denir. 4.Örnek: Doğal sayılar cümlesinde tanımlanan x+2>7 açık önermesi ile x>5 açık önermesi birbirine denktir.

32 14. Evrensel niceleyici p(x), A cümlesinde tanımlanan bir açık önerme olsun. «Her x A için p(x) dir» ifadesi bir önermedir. Bu önerme, A nın her x elemanı için p(x) den elde edilen önermelerın her biri doğru ise doğrudur, aksi halde yanlıştır. «Her x A için p(x) dir» ifadesi kısaca, «x A, p(x)» biçiminde gösterilir. simgesine evrensel niceleyici denir ve «her» diye okunur. 1.Örnek: «Her insan yüz yaşında değildir» önermesinın doğruluk değeri nedir? 0 2.Örnek: «x N için x+4>3» önermesinın doğruluk değeri nedir? 1 3.Örnek: «x N için x+2>8» önermesinın doğruluk değeri nedir? 0

33 15. Varlıksal niceleyici p(x), A cümlesinde tanımlanan bir açık önerme olsun. «En az bir x A için p(x) dir» ifadesi bir önermedir. Bu önerme, A nın en az bir x elemanı için p(x) den elde edilen önerme doğru ise doğrudur, aksi halde yanlıştır. «En az bir x A için p(x) dir» ifadesi kısaca, «x A, p(x)» biçiminde gösterilir. simgesine varlıksal niceleyici denir ve «en az bir» veya «bazı» diye okunur. 1.Örnek: «Bazı insanlar yüz yaşındadır» önermesinın doğruluk değeri nedir? 1 2.Örnek: «x(x N ve (x-1)(x+2)» önermesinın doğruluk değeri nedir? 1

34 16. Niceleyiciler ve bağlaçlar A ={a 1, a 2, a 3,..., a n } olmak üzere, A cümlesinde tanımlanan bir açık önerme p(x) olsun. «x A, p(x)» önermesinin doğruluk değeri ıle, p(a 1 ) p(a 2 ) p(a 3 )... p(a n ) önermesinin doğruluk değeri eşittir. Bu nedenle, [ x A, p(x)] [p(a 1 ) p(a 2 ) p(a 3 )... p(a n )] yazılabilir. Benzer biçimde [ x A, p(x)] [p(a 1 ) p(a 2 ) p(a 3 )... p(a n )]

35 17. Niceleyicilerle olumsuzlama 1.Teorem (De Morgan): A cümlesinde tanımlanan bir açık önerme p(x) olduğun göre, a) [ x A, p(x)] [ x A, p x ] b) [ x A, p(x)] [ x A, p x ] İspat: a) [ x A, p(x)] önermesi doğru ise, p(x) açık önermesinin doğruluk cümlesi A cümlesine eşittir. Bu durumda p x açık önermesının doğruluk cümlesi ø dir. Yani, [ x A, p(x)] önermesi doğru ise, [ x A, p x ] önermesi yanlıştır. Benzer bicimde, [ x A, p(x)] önermesi yanlış ise, [ x A, p x ] önermesi doğrudur. Buradan, [ x A, p(x)] [ x A, p x ] elde edilir.

36 18. Niceleyicilerin dağıtıcılığı 1.Teorem : A cümlesinde tanımlanan iki açık önerme p(x) ve q(x) olsun. a) x A, (p x q x ) [( x A, p x ) ( x A, q x )] b) x A, (p x q x ) [( x A, p x ) ( x A, q x )]

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48 İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri

Detaylı

LİSE 1 MANTIK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ

LİSE 1 MANTIK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ LİSE 1 MANTIK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ 1 ÖNERMELER Kesin olarak doğru ya da yanlış hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler p ve q gibi harflerle ifade edilirler.bir önerme doğru ise, doğruluk değeri

Detaylı

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : MANTIK 1. p: Bir yıl 265 gün 6 saattir. w w w. m a t b a z. c o m ÖNERMELER- BİLEŞİK ÖNERMELER

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : MANTIK 1. p: Bir yıl 265 gün 6 saattir. w w w. m a t b a z. c o m ÖNERMELER- BİLEŞİK ÖNERMELER Terim: Bir bilim dalı içerisinde konuşma dilinden farklı anlamı olan sözcüklerden her birine o bilim dalının bir terimi denir. Önermeler belirtilirler. p,q,r,s gibi harflerle Örneğin açı bir geometri terimi,

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER MANTIK MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER İçerisinde değişken olan ve değişkenin değerlerine göre doğru ya da yanlış olabilen önermelere açık önerme denir. Açık önermeler değişkenine göre P( x), Q( a)

Detaylı

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler . ÜNİTE: MANTIK . ÜNİTE: MANTIK... Önerme Tanım (Önerme) BÖLÜM.. - Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme adı veriler. Örneğin Bir hafta 7 gündür. (Doğru) Eskişehir Türkiye'nin başkentidir.

Detaylı

KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR

KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR Kümeler Koşullu ve Mantıksal Denklik Kümeler Kümeler Ayrık Kümeler De-Morgan Kuralı Z (Zahlen; alm.) tamsayılar kümesi Z negatif tamsayılar kümesi, Z nonneg

Detaylı

Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER

Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER Sunum ve Sistematik. ÜNİTE: MANTIK KONU ÖZETİ Bu başlık altında, ünitenin en can alıcı bilgileri, kazanım sırasına göre en alt başlıklara ayrılarak hap bilgi niteliğinde konu özeti olarak sunulmuştur..

Detaylı

MANTIK. 3. p 0, q 1 ve r 1 iken aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. p q q. q b. ( ) ' c. ( p q) r

MANTIK. 3. p 0, q 1 ve r 1 iken aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. p q q. q b. ( ) ' c. ( p q) r MANTIK 1. p : Ali esmerdir., q : Ali bir avukattır. Önermeleri verildiğine göre, sembolik olarak gösterilen aşağıdaki ifadeleri yazıya çeviriniz. a. p b. p q c. p q d. p q e. p q. p 1 ve q iken aşağıdaki

Detaylı

1 MATEMATİKSEL MANTIK

1 MATEMATİKSEL MANTIK 1 MATEMATİKSEL MANTIK Bu bölümde ilk olarak önerne tanımıverilip ispatlarda kullanılan düşünce biçimi incelenecektir. Tanım 1 Bir hüküm bildiren ve hakkında doğru veya yanlış denilmesi anlamlı olan ifadelere

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS sınavlarında matematik

Detaylı

Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar

Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar David Pierce 26 Aralık 2011, saat 11:48 Bu yazının ana kaynakları, Burris in [1] ve Nesin in [4] kitapları ve Foundations of Mathematical Practice (Eylül 2010)

Detaylı

Saygın KIRILMAZ, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN

Saygın KIRILMAZ, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYIN KURULU Hazırlayanlar Saygın KIRILMAZ, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK &

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Mantık Kurallarının Elektrik Devrelerine Uygulanması... 14

İÇİNDEKİLER. Mantık Kurallarının Elektrik Devrelerine Uygulanması... 14 İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM MANTIK Giriş... 1 Genel Olarak Mantık... 1 Mantığın Tarihçesi ve Modern Mantığın Doğuşu... 1 Mantık Öğretimin Önemi ve Amacı... 2 Önerme... 3 VE İşlemi (Birlikte Evetleme, Mantıksal

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

BM202 AYRIK İŞLEMSEL YAPILAR. Yrd. Doç. Dr. Mehmet ŞİMŞEK

BM202 AYRIK İŞLEMSEL YAPILAR. Yrd. Doç. Dr. Mehmet ŞİMŞEK BM202 AYRIK İŞLEMSEL YAPILAR Yrd. Doç. Dr. Mehmet ŞİMŞEK Önermelerin Eşdeğerlikleri Section 1.3 Totoloji, Çelişkiler, ve Tesadüf Bir totoloji her zaman doğru olan bir önermedir. Örnek: p p Bir çelişki

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

YZM 3217 YAPAY ZEKA DERS#6: MANTIK

YZM 3217 YAPAY ZEKA DERS#6: MANTIK YZM 3217 YAPAY ZEKA DERS#6: MANTIK Önermeler Doğru veya yanlış değer alabilen ifadelerdir Bir önerme hem doğru hem de yanlış olamaz Bir önerme kısmen doğru yada kısmen yanlış olamaz Örnekler: Dünya yuvarlaktır.

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 2.KONU Sembolik Mantığın uygulamaları Önermeler ve Elektrik devreleri Odanızdakı elektrik anahtalarını birkaç kere açıp kapatınız. Anahta her bastığınızda

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

Önermeler. Önermeler

Önermeler. Önermeler Önermeler ers 1 1-1 Önermeler 1-2 1 Önerme Mantığı ve İspatlar Mantık önermelerin doğruluğunu kanıtlamak için kullanılır. Önermenin ne olduğu ile ilgilenmek yerine bazı kurallar koyar ve böylece önermenin

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...2 : A = { a, {a}, b, c, {b, d}, d }, B = { {a}, {c, d}, c, d, x, Δ } k ümeleri için s( AUB) kaçtır?

Örnek...1 : Örnek...2 : A = { a, {a}, b, c, {b, d}, d }, B = { {a}, {c, d}, c, d, x, Δ } k ümeleri için s( AUB) kaçtır? KÜMELER 2 İKİ KÜMENİN BİRLEŞİMİ A ve B gibi iki kümeden, A' ya veya B' ye ait olan elemanlardan oluşan yeni kümeye A ile B' nin birleşimi denir ve AUB ile gösterilir. Bu gösterim A birleşim B di ye okunur.

Detaylı

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Kümeler Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Kümeler Kümeler Ayrık Matematiğin en temel konularından biridir Sayma problemleri için önemli Programlama dillerinin

Detaylı

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Önermeler Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 3 Önermeler Önermeler Mantığı, basit ifadelerden mantıksal bağlaçları

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

B. ÇOK DEĞERLİ MANTIK

B. ÇOK DEĞERLİ MANTIK B. ÇOK DEĞERLİ MANTIK İki değerli mantıkta önermeler, doğru ve yanlış olmak üzere iki değer alabilir. Çünkü özdeşlik, çelişmezlik ve üçüncü hâlin olanaksızlığı ilkelerine göre, önermeler başka bir değer

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

Bölüm 3. Klasik Mantık ve Bulanık Mantık. Serhat YILMAZ 1

Bölüm 3. Klasik Mantık ve Bulanık Mantık. Serhat YILMAZ 1 Bölüm 3. Klasik Mantık ve Bulanık Mantık Serhat YILMAZ serhaty@kocaeli.edu.tr 1 Klasik Mantık ve Bulanık Mantık Bulanık kümeler, bulanık mantığa bulanıklık kazandırır. Bulanık kümelerde yürütme işini işleçler

Detaylı

YZM 3217 YAPAY ZEKA DERS#6: MANTIK

YZM 3217 YAPAY ZEKA DERS#6: MANTIK YZM 3217 YAPAY ZEKA DERS#6: MANTIK Önermeler Doğru veya yanlış değer alabilen ifadelerdir Bir önerme hem doğru hem de yanlış olamaz Bir önerme kısmen doğru yada kısmen yanlış olamaz Örnekler: Dünya yuvarlaktır.

Detaylı

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 015-01 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI SÜRE: MANTIK(30) ÖNERMELER VE BİLEŞİK ÖNERMELER(18) 1. Önermeyi, önermenin

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

DERS NOTLARI. Yard. Doç. Dr. Namık AKÇAY İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi

DERS NOTLARI. Yard. Doç. Dr. Namık AKÇAY İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi DERS NOTLARI Yard. Doç. Dr. Namık AKÇAY İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi DERS-3 29.02.2016 Boolean Algebra George Boole (1815-1864) 1854 yılında George Boole tarafından özellikle lojik devrelerde kullanılmak

Detaylı

Lisans. Ayrık Matematik Yüklemler ve Kümeler. Konular. Tanım. Tanım çalışma evreni: U izin verilen seçenekler kümesi örnekler:

Lisans. Ayrık Matematik Yüklemler ve Kümeler. Konular. Tanım. Tanım çalışma evreni: U izin verilen seçenekler kümesi örnekler: Lisans Ayrık Matematik Yüklemler ve Kümeler H. Turgut Uyar Ayşegül Gençata Yayımlı Emre Harmancı 2001-2013 You are free: to Share to copy, distribute and transmit the work to Remix to adapt the work c

Detaylı

BOOLEAN İŞLEMLERİ Boolean matematiği sayısal sistemlerin analizinde ve anlaşılmasında kullanılan temel sistemdir.

BOOLEAN İŞLEMLERİ Boolean matematiği sayısal sistemlerin analizinde ve anlaşılmasında kullanılan temel sistemdir. BOOLEAN MATEMATİĞİ İngiliz matematikçi George Bole tarafından 1854 yılında geliştirilen BOOLEAN matematiği sayısal devrelerin tasarımında ve analizinde kullanılması 1938 yılında Claude Shanon tarafından

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 4.KONU Latisler, Boole Cebri 1. Kısmi sıralı kümeler 2. Hasse Diyagramı 3. Infimum, Supremum 4. Latis (Kafes Lattice) 5. Latis (Kafes) Yapıları ve Özellikleri

Detaylı

MATEMATİK BİLİM GRUBU III KURS PROGRAMI

MATEMATİK BİLİM GRUBU III KURS PROGRAMI MATEMATİK BİLİM GRUBU III KURS PROGRAMI 1.Kurumun Adı 2.Kurumun adresi 3.Kurucunun Adı 4.Programın Adı : OĞUZHAN ÖZKAYA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU : Onur Mahallesi Leylak Sok.No:9 Balçova-İzmir : Oğuzhan Özkaya

Detaylı

1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR

1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR 1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR Bu bölümde ilk olarak Matematikte çok önemli bir yere sahip olan Bağıntı kavramnı verip daha sonra ise Fonksiyon tanımı verip genel özelliklerini inceleyeceğiz. Tanım 1 A B

Detaylı

Bu kitabın tüm basım ve yayın hakları Ömer ALSAN a. aittir. Kısmen de olsa alıntı yapılamaz. Metin ve sorular,

Bu kitabın tüm basım ve yayın hakları Ömer ALSAN a. aittir. Kısmen de olsa alıntı yapılamaz. Metin ve sorular, Bu kitabın tüm basım ve aın hakları Ömer ALSAN a aittir. Kısmen de olsa alıntı apılamaz. Metin ve sorular, Ömer ALSAN ın önceden izni olmaksızı n elektronik, mekanik, fotokopi a da herhangi bir kaıt sistemile

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-III ÇERÇEVE PROGRAMI. : Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-III ÇERÇEVE PROGRAMI. : Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-III ÇERÇEVE PROGRAMI 1.KURUMUN ADI 2.KURUMUN ADRESİ 3.KURUCUNUN ADI :Tercih Özel Öğretim Kursu : Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA : ARTI ÖZEL EĞİTİM ÖĞRETİM

Detaylı

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c 0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade

Detaylı

SINIFLARA GÖRE ALGILARININ KARŞILAŞTIRILMASI

SINIFLARA GÖRE ALGILARININ KARŞILAŞTIRILMASI ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI 2014-DP-002- ORTA ÖĞRETİMDE CEBİRSEL SOYUT KAVRAMLARIN GELİŞİMİ VE ÖĞRENCİLER TARAFINDAN SINIFLARA GÖRE ALGILARININ KARŞILAŞTIRILMASI

Detaylı

Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi)

Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi) Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi) Şimdi bu beş mantıksal operatörün nasıl yorumlanması gerektiğine (semantiğine) ilişkin kesin ve net kuralları belirleyeceğiz. Bir deyimin semantiği (anlambilimi),

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR A: SAYI Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Ör: 0,1,2,3,4,5,6 Rakamların çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşturulan ifadeler ifadesine sayı denir.

Detaylı

A.Adnan Saygun Caddesi 10/1 Sıhhiye/ANKARA Tel: 312 433 37 57 433 25 49 Faks: 433 52 72 e-mail: nitelikyayincilik@gmail.com

A.Adnan Saygun Caddesi 10/1 Sıhhiye/ANKARA Tel: 312 433 37 57 433 25 49 Faks: 433 52 72 e-mail: nitelikyayincilik@gmail.com I Bu set 5846 sayılı yasanın hükümlerine göre kısmen ya da tamamen basılamaz, dolaylı dahi olsa kullanılamaz; teksir, fotokoi ya da başka bir teknikle çoğaltılamaz. Her hakkı saklıdır, NİTELİK YAYINCILIK

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 İyi Sıralama 5 Bibliography 13 1 İyi Sıralama Well Ordering İyi sıralama kavramı, doğal sayıların

Detaylı

B A. A = B [(A B) (B A)] (2)

B A. A = B [(A B) (B A)] (2) Bölüm 5 KÜMELER CEB R Do a olaylarnn ya da sosyal olaylarn açklanmas için, bazan, matematiksel modelleme yaplr. Bunu yapmak demek, incelenecek olaya etki eden etmenleri içine alan matematiksel formülleri

Detaylı

ÖZEL ÇORUM ADA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK 3 BİLİM GRUBU ÇERÇEVE PROGRAMI

ÖZEL ÇORUM ADA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK 3 BİLİM GRUBU ÇERÇEVE PROGRAMI ÖZEL ÇORUM ADA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK 3 BİLİM GRUBU ÇERÇEVE PROGRAMI 1.KURUM ADI: Özel Çorum Ada Özel Öğretim Kursu 2. KURUMUN ADRESİ: Yavruturna Mah. Kavukçu Sok. No:46/A ÇORUM/MERKEZ 3. KURUCUNUN

Detaylı

Küme Temel Kavramları

Küme Temel Kavramları Kümeler Kümeler Küme, matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanabilir. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir; fakat her ne olursa

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNERMELER BİLEŞİK ÖNERMELER AÇIK ÖNERMELER İSPAT YÖNTEMLERİ

İÇİNDEKİLER ÖNERMELER BİLEŞİK ÖNERMELER AÇIK ÖNERMELER İSPAT YÖNTEMLERİ - MANTIK İÇİNDEKİLER Safa No Test No ÖNERMELER...-... - BİLEŞİK ÖNERMELER...-... -6 AÇIK ÖNERMELER...-6... 7-8 İSPAT YÖNTEMLERİ...7-8... 9-9 - KÜMELER KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR...9-4... - KÜMELERDE İŞLEMLER...5-6...

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI

11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI 11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI Programın öğrencilerde geliştirmeyi hedeflediği becerilerle 11. sınıf matematik öğretim programı ilişkisi Modelleme/Problem çözme Matematiksel Süreç

Detaylı

9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ

9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ 2012 9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni 1. ÜNİTE: MANTIK İnsan diğer canlılardan ayıran en önemli özelliklerden biri düşünebilme yeteneğidir. Bireyler karşılaştıkları günlük

Detaylı

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011 ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Doktora 2010913070 Nisan, 2011 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup teorisi cebirin en temel dallarından biridir. Yarıgrup terimi ilk olarak 1904

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Operatörler 5 Bibliography 19 Index 23 1 Operatörler İşlemler 1.1 Operatör Nedir? İlkokulden

Detaylı

Matematik A A ile B nin Kartezyen Çarpımı: A Kümesinden B nin Farkı: A Kümesinden B ye Fonksiyon: Açı: Açık Önerme: Açıortay: Açısal Bölge: Aksiyom:

Matematik A A ile B nin Kartezyen Çarpımı: A Kümesinden B nin Farkı: A Kümesinden B ye Fonksiyon: Açı: Açık Önerme: Açıortay: Açısal Bölge: Aksiyom: Matematik A A ile B nin Kartezyen Çarpımı: Birinci bileşeni A dan, ikinci bileşeni B den alınarak elde edilen ikililerin kümesidir. A Kümesinden B nin Farkı: A kümesinin B kümesi ile ortak olmayan elemanlarından

Detaylı

GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE

GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE ÖZEL EGE LİSESİ GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Berk KORKUT DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL İZMİR 2013 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI 3.33 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM 3 4.

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek:

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek: MODÜLER ARİTMETİK Bir doğal sayının ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,, } dir. ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,,, } tür. Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan {( x, y)

Detaylı

BÖLÜM IV. olsa r s(mod p) bulunur ki, bu mümkün değildir. Ayrıca bu sayı takımındaki hiçbir sayı p tarafından bölünmez.

BÖLÜM IV. olsa r s(mod p) bulunur ki, bu mümkün değildir. Ayrıca bu sayı takımındaki hiçbir sayı p tarafından bölünmez. BÖLÜM IV (KÜÇÜK FERMAT VE WİLSON TEOREMLERİ Teorem 4. (Fermat Teoremi F a olan bir asal sayı olsun. Bu durumda a (mod İsat: a sayısının a a a K ( a gibi ilk ( katından oluşan sayı takımını gözönüne alalım.

Detaylı

7. BAZI MATEMATİKSEL TEMELLER:

7. BAZI MATEMATİKSEL TEMELLER: 7. BAZI MATEMATİKSEL TEMELLER: Bilindiği üzere, matematikte ortaya konan her yeni kavram, kendinden önceki tanımlanmış kavramlar cinsinden, herhangi bir tereddüt veya muğlâklığa mahal bırakmayacak resmî

Detaylı

MODERN (SEMBOLİK) MANTIK

MODERN (SEMBOLİK) MANTIK MODERN (SEMBOLİK) MANTIK A. ÖNERMELER MANTIĞI 1. Önermelerin Sembolleştirilmesi Önermeler mantığında her bir yargı, q, r... gibi sembollerle ifade edilir. Örnek: Dünya gezegendir. Dünya nın şekli elistir.

Detaylı

TEMEL SAYMA. Bill Gates

TEMEL SAYMA. Bill Gates Bölüm 1 TEMEL SAYMA YÖNTEMLERİ Firmamızın sahip olduğu tek şey insan düş gücüdür. Bill Gates Bu bölümde fazla kuramsal bilgi gerektirmeyen sayma problemleri üzerinde duracağız. Bu tür problemlerde sayma;

Detaylı

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Gruplar...3 Alt Gruplar...9 Simetrik Gruplar...13 Devirli Alt Gruplar...23 Sol ve Sağ Yan Kümeler (Kosetler)...32 Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 Grup Homomorfizmaları...41

Detaylı

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun.

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun. 11. Cauchy Teoremi ve p-gruplar Bu bölümde Lagrange teoreminin tersinin doğru olduğu bir özel durumu inceleyeceğiz. Bu teorem Cauchy tarafından ispatlanmıştır. İlk olarak bu teoremi sonlu değişmeli gruplar

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

Ayrık matematikte İleri Konular Ders içeriği

Ayrık matematikte İleri Konular Ders içeriği Ayrık matematikte İleri Konular Ders içeriği 1. Küme teorisi, mantık, fonksiyonlar ve temel kavramlar a. Mantıksal önermeler b. İspat yöntemleri c. Küme teorisi d. Bağıntılar ve Fonksiyonlar e. Boole cebri

Detaylı

KÜMELER. Küme nesneler topluluğudur. Bu bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız.

KÜMELER. Küme nesneler topluluğudur. Bu bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız. KÜMELER Küme nesneler topluluğudur. u bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız. Küme kavramı matematiğe girmeden önce matematik denilince akla sayılar ve şekiller gelirdi. Kümeler kuramının

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Denklik Bağıntıları 5 Bibliography 13 1 Denklik Bağıntıları 1 1denklik 1.1 Eşitlik Günlük

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK ÇANAKKALE 2012 ÖNSÖZ Bu kitap Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi Matematik Bölümünde lisans dersi olarak Cebirden

Detaylı

DOĞRULUK TABLOSU / ÇİZELGESİ İLE DENETLEME

DOĞRULUK TABLOSU / ÇİZELGESİ İLE DENETLEME DOĞRULUK TABLOSU / ÇİZELGESİ İLE DENETLEME (, q...) gibi basit bir önerme doğru veya yanlış yorumlanabileceğinden, (D) veya (Y) değerine sahi olabilir. Buna karşılık herhangi bir önerme eklemiyle kurulan

Detaylı

Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz.

Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1 BİR İŞLEMLİ SİSTEMLER Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1.1 İŞLEMLER Bir kümeden kendisine tanımlı olan her fonksiyona birli işlem denir. Örneğin Z

Detaylı

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK 3.5 ÇÖZÜM

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK 3.5 ÇÖZÜM Biçimselleştirme Burada sunulan haliyle bu sembolik gösterim diline önermeler mantığı dili denir. Şimdi günlük dilden çeşitli cümlelerin sembolik biçimler şeklinde nasıl ifadelendirilebileceğini (yani

Detaylı

A = i IA i = i I A = A = i IA i = {x α((α I) (x A α ))} (7.7) A = (α,β I) (α β) A α A β = (7.8) A A

A = i IA i = i I A = A = i IA i = {x α((α I) (x A α ))} (7.7) A = (α,β I) (α β) A α A β = (7.8) A A Bölüm 7 KÜME A LELER 7.1 DAMGALANMI KÜMELER E er inceledi imiz kümelerin says, alfabenin harerinden daha çok de ilse, onlara,b,...,w gibi harerle temsil edebiliriz. E er elimizde albenin harerinden daha

Detaylı

10. DİREKT ÇARPIMLAR

10. DİREKT ÇARPIMLAR 10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü

Detaylı

Editörler Prof.Dr.Işıl Bayar Bravo & Doç.Dr.Mustafa Yıldız MODERN MANTIK

Editörler Prof.Dr.Işıl Bayar Bravo & Doç.Dr.Mustafa Yıldız MODERN MANTIK Editörler Prof.Dr.Işıl Bayar Bravo & Doç.Dr.Mustafa Yıldız MODERN MANTIK Yazarlar Prof.Dr.Hüseyin Subhi Erdem Prof.Dr.Işıl Bayar Bravo Doç. Dr.Aytekin Özel Doç. Dr.Mustafa Yıldız Yrd.Doç.Dr.Abdullah Durakoğlu

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

ORTAÖĞRETİM MATEMATİK DERS KİTABI

ORTAÖĞRETİM MATEMATİK DERS KİTABI ORTAÖĞRETİM MATEMATİK 9. SINIF DERS KİTABI Bu kitap, Millî Eğitim Bakanlığı, Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı nın 08..0 tarih ve sayılı kurul kararıyla 0-0 öğretim yılından itibaren (beş) yıl süreyle

Detaylı

MATEMATİK I Ders Notları

MATEMATİK I Ders Notları MATEMATİK I Ders Notları Gazi Üniversitesi Gazi Eğitim Fakültesi Bilgisayar ve Öğretim Teknolojileri Eğitimi Bölümü, ANKARA 2009 2010 1. ÖNBİLGİLER 1 İÇİNDEKİLER 1.1. ÖNERMELER MANTIĞI... 2 1.2. KÜMELER...

Detaylı

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler 9. SINIF SONUÇ YYINLRI 9. Sınıf Kümeler Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması,

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

3. işleminin birim elemanı vardır, yani her x A için x e = e x = x olacak şekilde e A vardır.

3. işleminin birim elemanı vardır, yani her x A için x e = e x = x olacak şekilde e A vardır. 0.1 GRUPLAR Tanım 1 A kümesi boştan farklıolmak üzere işlemine göre aşağıdaki koşulları gerçekliyorsa (A, ) ikilisine bir Grup denir. 1. kapalılık özelliğine sahiptir, yani her x, y A için x y A olur.

Detaylı

MATE 409 SAYILAR TEORİSİ BÖLÜM: 8. Muazzez Sofuoğlu Nebil Tamcoşar

MATE 409 SAYILAR TEORİSİ BÖLÜM: 8. Muazzez Sofuoğlu Nebil Tamcoşar MATE 409 SAYILAR TEORİSİ BÖLÜM: 8 LİNEER KONGRÜANSLAR Muazzez Sofuoğlu 067787 Nebil Tamcoşar 8.1. Bir Değişkenli Lineer Kongrüanslar a,b ve m/a olmak üzere; Z ax b(modm) şeklindeki bir kongrüansa, birinci

Detaylı

BM202 AYRIK İŞLEMSEL YAPILAR. Yrd. Doç. Dr. Mehmet ŞİMŞEK

BM202 AYRIK İŞLEMSEL YAPILAR. Yrd. Doç. Dr. Mehmet ŞİMŞEK BM202 AYRIK İŞLEMSEL YAPILAR Yrd. Doç. Dr. Mehmet ŞİMŞEK Derse Genel Bakış Dersin Web Sayfası http://www.mehmetsimsek.net/bm202.htm Ders kaynakları Ödevler, duyurular, notlandırma İletişim bilgileri Akademik

Detaylı

Boolean Kuralları ve Lojik İfadelerin Sadeleştirilmesi (Boolean Algebra and Logic Simplification)

Boolean Kuralları ve Lojik İfadelerin Sadeleştirilmesi (Boolean Algebra and Logic Simplification) BSE 207 Mantık Devreleri Boolean Kuralları ve Lojik İfadelerin Sadeleştirilmesi (Boolean Algebra and Logic Simplification) Sakarya Üniversitesi Amaçlar Lojik sistemlerin temeli olarak Booleron Matematiğini

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. 2. BÖLÜM Boole Cebri ve Mantık

Detaylı