HAREKETLİ YÜKE MARUZ KÖPRÜ KİRİŞİNİN DİNAMİK HAREKETİNİN SÖNÜMLENMESİNDE FARKLI TÜR SÖNÜMLEYİCİLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

Transkript

1 HAREKETLİ YÜKE MARUZ KÖPRÜ KİRİŞİNİN DİNAMİK HAREKETİNİN SÖNÜMLENMESİNDE FARKLI TÜR SÖNÜMLEYİCİLERİN KARŞILAŞTIRILMASI B.Gültekin SINIR*, M. Erkan TURAN * ve Nagihan BAFRALI * *Celal Bayar Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölüü, Manisa,TÜRKİYE ÖZET Köprülerde dinaik etkiler çok büyük bir öne teşkil etektedir. Dinaik etkilerin sönülenesi çok yaygın bir araştıra konusudur. Bu çalışada köprülerde kullanılan TMD (Turned Mass Daper) ve Friction Daper (sürtüne tipi sönüleyiciler) tipi dinaik iolatörlerin karşılaştırılası yapılıştır. Dinaik yük olarak sabit hılı tekil bir yük etki ettiriliştir. TMD tipi sönüleyici Euler-Bernoulli kirişi olarak odellenen köprünün orta noktasına, sürtüne tipi sönüleyici esnetlere onte edilerek ateatik odeller oluşturuluş ve sonlu farklar yöntei ile anali ediliştir. Sonuçlar dinaik etkilere aru kalan köprülerde yer değişi- aan eğrisi şeklinde hesaplanış ve grafiklerle karşılaştıralı olarak veriliştir. Anahtar Kelieler: Hareketli kütle, Visko sönüleyici, TMD, Sonlu farklar, Titreşi. COMPARISON OF DIFFERENT TYPES DAMPERS ON DYNAMIC BEHAVIOUR OF A BEAM OF BRIDGE SUBJECTED TO LOADS MOVING ABSTRACT Dynaic effects on bridge are very iportant subject. To reduce effect of dynaic force is widely studied. In this study, the effects of tuned ass daper TMD on the bridge are copared with two rotational viscous dapers attached at its ends. The effects of oving ass with constant velocity are considered dynaic load. In order to drive equation of otion of TMD-installed bridge, the TMD is installed at the iddle of Euler- Bernoulli bea/bridge. The other syste is coposed of a unifor siply supported nondissipative Bernoulli Euler bea with two rotational viscous dapers, with daping constant c, attached at its ends. The governing equations of otions are coputed using finite difference ethod. The results are given in a tie-history graphics for. Keywords: Moving ass, Viscous daper, Tuned ass daper (TMD), Finite differences, Vibration.

2 1. GİRİŞ Hareketli kütle altındaki sistelerin titreşi analii kullanı alanının yaygın olası sebebiyle üerinde çok çalışılan bir konudur. Bu sistelere deiryolu yapılarında, köprü yapılarında ve fabrikalarda vinç sistelerinde rastlayabiliri. Michaltos un yaptığı çalışada tek açıklıklı bir kirişin üerindeki hareketli ve değişken hılı rasgele yüklerin etkisi inceleniştir. Burada üç örnek olay dikkate alınıştır. İlk olarak nokta yük, ikinci olarak bir araç, son olarak da hafif sönülee etkisi. Uygulaa Euler-Bernoulli nin kiriş teorisine dayalıdır.[1] Hareketli kütle altındaki kiriş/köprü dinaiği konusunda yapılan bir çok çalışa vardır. Bu çalışalarda genellikle araçlardan gelen yüklerin farklı odellenesi, yapı ein etkileşii ve çeşitli çöü teknikleri üerine yoğunlaşılıştır. [,3,4,5,6] Hareketli yük altındaki köprü/kiriş odelleelerinde çeşitli sönü odelleri kullanılıştır. Sabit esnette oluşan döneyi önleek için esnete konuluş klasik olayan sönü odeli ile ilgili çeşitli çalışalar yapılıştır. [7] TMD tipi sönüleyici odelin köprülerde kullanıı da çok yaygın bir çalışa konusudur. Birçok farklı TMD odelleri kullanılıştır. Baı çalışalarda farklı konulardaki TMD odelleri karşılaştıralı olarak anali ediliştir.[8,9] Bu çalışada sabit-sabit esnetleniş bir kiriş üerinden sabit hıla geçen bir kütlenin atalet kuvvetleri dikkate alınadan sistee etki etesi duruunda farklı iki tip sönüleyici kullanıının sistein davranışı üerinde etkileri ortaya konuluştur. TMD tipi pasif sönüleyici ile sabit esnette döneyi önleyici klasik olayan sönü odelleri inceleniştir. Farklı iki odel için elde edilen hareket denkleleri sonlu farklar etodu ile anali ediliştir. Bu problelerde sonlu farklar kullanıı ilk defa yapılaktadır. Elde edilen nüerik sonuçlar grafiklerle gösteriliştir..problemin MATEMATİKSEL MODELLERİ Bu çalışada iki farklı sönüleyici odel inceleniştir. Birinci odelde yer değiştirelerden kaynaklanan döneyi önleyici ve esnetlere konan bir sönü odeli vardır. İkinci odel ise TMD (tuned ass daper) olarak isilendirilen bir pasif sönüleyicidir. Köprü kirişinde farklı konularda, farklı sayıda ve farklı odellerde TMD kullanılabilir. Bu çalışada köprünün orta noktasına konan ve Kelvin-Voight odel ile köprüye bağlanan bir kütle ele alınıştır. Bu problelerde Euler-Bernoulli kirişi gö önüne alınıştır..1. Döne sönüleyici Sönü Modeli Siste Şekil 1 de görüldüğü gibi sabit-sabit esnetten oluşuştur. Şekil 1. Döneyi sönüleyici odel[7]

3 Ancak esnetlerde düşey yer değiştireden kaynaklanan oluşan döneye karşı bir sönü konuluştur. Bu klasik sönüleyicilerden farklı bir durudur. Bu duru için hareket denklei aşağıdaki gibidir. * ıv * * * * * * * EIy ( x, t ) + y && ( x, t ) = Mgδ ( x α ) (1) Burada E kirişin elastisite odülünü, I atalet oentini, y düşey deplasanı, x yatay ekseni, t aanı, kirişin biri boyunun kütlesini, M hareketli kütleyi, g yerçekii ivesini, δ Direk delta fonksiyonunu gösterektedir. Hareketli yükten kaynaklanan eşitliğin sağ tarafındaki görülen teride problei basitleştirek için atalet kuvvetleri (centripetal ve Coriolis kuvvetleri gibi) dikkate alınaıştır.[1] Kütlenin herhangi bir t anındaki kirişin sol ucundan esafesi olan α=s(t * ) dir. t *, kütlenin kirişe girdiği andan itibaren ölçüleye başlanır. Bu duruda konu ve hı * * &, s = v s = v t () * * * şeklindedir. Burada v kütlenin hıını gösterektedir. Değişik duru için sınır şartı Oliveto, Greco ve Santini tarafından aşağıdaki şekilde veriliştir.[7][1] Ayrıca bu konuda İnan, çeşitli esnet şartları durularını veriştir.[11] EI y * ( * * y, t ) = ( ) (, t ) ( ) y *, t * * * * =c * * * x x t EI y L, t = (3) (, ) (, ) y L t y L t = c * * * x x t * * * * (4).. TMD Tipi Pasif Sönüleyici Bu odelde Kelvin-Voight cisi ile kirişe orta noktasından bağlı bir kütle vardır. Şekil. TMD tipi pasif sönüleyici odel[9] Bu tür sönüleyicilerde kirişin doğal frekansına ve kütlesine bağlı olarak sönüleyici odelin K yay katsayısı, C sönü katsayısı ve kütlesi belirlenir. Hortog de aşağıdaki çöüü öneriştir.[1] ε = l ω ωn 1 ε = + 3 cc 81 ( + ε ) c = 3ε c = ω (5) c n

4 Burada ε TMD kütlesinin kiriş topla kütlesine oranını, ω ve ise sırası ile TMD nin frekansını ve kütlesini gösterektedir. c c ve c ise TMD sönü katsayısını ve kritik sönü katsayısını, ω n ise kirişin doğal frekansını verir. Şekilde gösterilen hareket denklei ise aşağıdaki gibi verilebilir. * ıv * * * * * * L EIy + y && = Mgδ ( x v t ) + ( g && ) δ x (6.a) ( & ) ( ) && + c & y + k y = (6.b) * * * * * * * Buradaki büyükler daha önce verildiği gibidir. Bilineyen sadece vardır ve TMD nin yaptığı deplasanı gösterektedir. Denkle 6.b yi aşağıdaki şekilde tekrar düenleyebiliri ( ) * ıv L EIy + y && * = Mgδ ( x * v * t * ) + * ( * * ) * ( * * ) * g + c y + k y δ x (7) 3. HAREKET DENKLEMLERİNİN BOYUTSUZLAŞTIRILMASI Yukarıdaki verilen ateatik odellerin çöüüne başlaadan önce geoetri ve aleeden kurtulak için boyutsulaştıra yapıldı. Boyutsulaştıra yapaya önce bağılı ve bağısı büyüklükleri boyutsulaştırarak başlandı. * * * x y t E. I,, x = y = t = (8) L L L Burada L, kirişin boyunu gösterektedir. Boyutsulaştırılan terileri denklede yerlerine koyduğuuda ve gerekli sadeleştireler uygulandığında Denkle 1 için aşağıdaki boyutsu denkle elde edilir ıv M y + && y = g ( x vt) δ (9) Denkle 3 te verilen sınır şartlarının da boyutsulaştırılası gerekektedir. Sınır şartlarını boyutsulaştırdığııda boyutsu sönü katsayısı C elde edilir. 1 C = c (1.a) EI y y =C x xt (1.b) Bener şekilde boyutsulaştıraya TMD odel için elde edilen hareket denklelerine de uygularsak aşağıdaki boyutsu denkleleri elde ederi.

5 ıv M 1 y + && y = gδ ( x vt) + g+ C( & y& ) + K( y) δ x (11.a) t + C ( y& ) + K( y) = Burada boyutsu büyükler aşağıdaki gibidir. & (11.b) * = L L C = c EI K 4 L = (1.a, b. ve c.) k EI 4. HAREKET DENKLEMLERİNİN SONULU FARKLAR İLE ANALİZİ Hareket denklelerinin analiinde sonulu farklar yöntei kullanılıştır. Sonlu farklar yöntei taaen nüerik bir yöntedir. Bu yöntein avantajı her türlü lineer ve nonlineer problee uygulanabiliyor olasıdır. Kararlılık sorununu açak için dt=.1*dx [14] değeri alınıştır Döne Sönülü Problein Sonlu Farklar İle Analii Denkle 8 i sonlu farklar ile çöek için aşağıdaki açılıları kullanırı [13]. y y 4y + 6y 4y + y dx n n n n n ıv i+ i+ 1 i i1 i = 4 n+ 1 n n1 yi yi + yi y = (13.a ve b.) dt Bu açılılarla birlikte x=dx*i ve t=dt*n terilerini de kullanırı. Denkle 8 in sonlu farklar açılıı aşağıdaki gibi olur. n+ 1 n n+ 1 dt n n n n n M yi = yi yi 4 ( yi 4yi 1 6yi 4 yi 1 yi ) dt g ( i. dx v. n. dt) dx δ (14) Bener açılıları başlangıç ve sınır şartları içinde kullanabiliri. Başlangıç şartı için n 1 C x n n1 n1 n y 1 = ( y1 y1 + y 1 ) y1 C x t 1 + t (15) Elde ederi. Bener şekilde sınır şartına uygularsak n 1 C x n 1 n n 1 n y N+ 1 = ( yn+ 1 yn 1+ yn 1) yn 1 C x t 1 + t (16) elde ederi.

6 Probledeki denkle aana göre ikinci ertebe türevler içerdiği için denklein çöülebilesi için iki tane başlangıç şartı gerekektedir. Başlangıç şartları sadece birinci odu uyaracak diğer odları uyandıraktan sakınılacak şekilde veriliştir. t= anı için hı sıfır alınıştır. 4.. Döne Sönülü Problein Sonlu Farklar İle Analii Bu problede de Denkle 13 deki açılılar aynen kullanılıştır. Ayrıca Denkle 11.b. de kullanılak üere aşağıdaki sonlu farklar açılıları yaılıştır " = + dt n+ 1 n n1 = n + 1 dt n n n1 yi yi y = (17. a, b, c) dt Problede iki bilineyen y i n+1 ve n+1 olduğu ve denkleler ikinci ertebe türevler içerdiği için denklein çöülebilesi için her bilineyen için iki tane başlangıç şartı gerekektedir. Kiriş için bu başlangıç şartları sadece birinci odu uyaracak diğer odları uyandıraktan sakınılacak şekilde veriliştir. t= anı için hı sıfır alınıştır. TMD sönü kütlesinin hareketini veren için ise başlangıç şartları olarak deplasan, kirişin orta noktasındaki başlangıç deplasanına hı da sıfıra eşit olarak alınıştır. n+ 1 n n+ 1 dt n n n n n M yi = yi yi y i yi + yi yi + yi + dt g idxvndt dx n n1 n n1 y y n n 1 + dt g + C + K ( y ) δ i. dx dt dt ( ) δ ( ) + y y = dt C dt K y dt dt n n1 n n1 n 1 n n 1 n n ( ) (18) (19) 5. SAYISAL SONUÇLAR Bu bölüde yukarda sonlu farklarla açılılarını yaptığıı hareket denklelerinin sayısal sonuçları grafik olarak veriliştir. Her ne kadar boyutsu büyüklükler kullanılış olsa da gerçek bir problee örnek olası için aşağıda verilen değerler kullanılarak boyutsu değerlere geçiliştir. Bu değerler Wang tarafından kullanılan değerlerdir.[8] Köprü için L=4, E=, t/, I=17,9 4, =38,4t/ TMD için =7648kg, c =16978Ns/, k =3, değerleri kullanılıştır. Döne sönülü proble için kullanılan sönü teriinde farklı sönü değerleri kullanıldığı için onun boyutlu değerleri verileiştir. Ancak TMD deki ve döne sönülü terideki sönü terileri için farklı boyutsulaştıra katsayıları geldiğine dikkat edilelidir. Elde edilen tü sonuçlar kirişin orta noktasına içindir.

7 5.1. Döne Sönülü Kiriş Modeli.6.6 Boyutsu Deplasan.4. v=.8 c=. c=.1 c=.5 c=.1 Boyutsu Deplasan.4. v=.8 c=. c=.5 c=.15 c= Boyutsu Zaan Boyutsu Zaan Şekil 3. Hı v=.8 için a.) her iki esnette sönü b.) tek esnette sönü olası duruu Döne sönülü esnete konulan sönüleyicilerin odellenesinde tek bir hı için sonuçları verdik. Farklı sönü katsayılarını seçe şansıı olduğu için sönü katsayılarının çöüe etkisini görek istedik. Şekil 1.a. da her iki esnette de sönüleyici olası duruu inceleniştir. Burada boyutsu sönü katsayısı.1 eşit olunca nerdeyse hiç salını yapadan siste sönülenektedir. Dolayısıyla bu değere kritik sönü katsayısı denilebilir. Sönü katsayıların hepsinde sönüün en baştan itibaren genliği düşürdüğü gölenektedir ve hepsi konu sıfır olacak şekilde sönülee yaptığı görülektedir. Şekil 1 in a ve b grafiklerini karşılaştırırsak, öellikle c=.1 değeri için, her iki esnette sönüün olasının çok hılı sönü yaptığı görülektedir. Tek esnette sönü olası duruunda, sönü katsayısı ile genliğin küçülesi arasında doğrusal bir oran vardır. Her iki esnette sönü olası duruunda bu doğrusal oran kaybolur..6 Boyutsu Deplasan.4. v=.8 c=. c=.1 Tek esnette c=.1 Her iki esnette Boyutsu Zaan Şekil 4. Hı v=.8 için tek esnette ve her iki esnette sönü olası duruu

8 Şekil de her iki esnette ve tek esnette aynı sönü katsayısı için sistein nasıl sönülendiği görülektedir. Tek esnette olası duruunda siste bir iktar salını yaparken her iki esnette olunca çok ani sönülee olaktadır. 5.. TMD Sönülü Kiriş Modeli Yukarda verilen değerler kullanılarak farklı hı değerleri için grafikler elde ediliştir..6.4 v=1. için v=.8 için v=.5 için v=.3 için Boyutsu Deplasan Boyutsu Zaan Şekil 5. Farklı hı değerleri için TMD si çöüler Yukarıdaki şekilde görüldüğü üere hı arttıkça genliğin büyüdüğü görülektedir. Örneğin hıın 1 eşit olduğu duruda genlik uunluğun %.53 kadar olakta aa diğer hılarda ise %.5 ulaşaaaktadır. Ancak daha düşük hılarda aracın köprüyü geçe süresi arttığı için büyük genliğin oluştuğu aan daha uundur. Örneğin v=.3 te görülen küçük salınılar sistein doğal frekansından kaynaklanaktadır. v=.8 hıında araç köprüyü geçtikten sonra daha büyük genliklerin oluşası araştırılası gereken bir konudur.

9 .8.6 Boyutsu Deplasan.6.4. v=1. için TMD olayan TMD olan Boyutsu Deplasan.4. v=.8 için TMD olayan TMD olan Boyutsu Zaan Boyutsu Zaan Şekil 6. TMD li aan deplasan grafikleri a.) v=1. b.) v=.8 TMD kullanıldıktan sonra elde eilen şekillerde de görüldüğü üere siste belli bir aan sonra sönülenektedir. TMD sönüün etkisinin net görülebilesi için sistee başka sönü paraetresi konulaıştır. TMD li sönülerde ilk başta genlik bira daha artakta ancak sonra sönü oluşaktadır. Fakat salını sönülendikten sonra bile kirişte bir iktar deplasan kalacaktır. Bu beklenen bir sonuçtur. Çünkü TMD den kaynaklanan bir deplasan olası beklenilir v=.5 için TMD olayan TMD olan.4 Boyutsu Deplasan. Boyutsu Deplasan. v=.3 için TMD olayan TMD olan Boyutsu Zaan Boyutsu Zaan Şekil 7. TMD li aan deplasan grafikleri a.) v=.5 b.) v=.3 TMD sönülü çiilere baktığııda sönü olduktan sonra hep aynı noktada sönülendiği görülecektir. TMD den kaynaklanan bu sönü aynı çıkası yaptığıı hesapların doğruluğunu da gösterir.

10 6. SONUÇLAR Bu çalışada sabit-sabit esnetleniş bir kiriş üerinden sabit hıla geçen bir kütlenin atalet kuvvetleri dikkate alınadan sistee etki etesi duruunda farklı iki tip sönüleyici kullanıının sistein davranışı üerinde etkileri ortaya konuluştur. Farklı iki odel için elde edilen hareket denkleleri sonlu farklar etodu ile anali ediliştir. Analiler sonucunda her iki esnette sönü olası duruunda C=.1 boyutsu sönü katsayısının salınıa çok fala iin vereden sönülendiği göleniştir. TMD kullanılan odelde ise TMD kullanıın ilk başta genliği arttırdığı fakat aanla sönülediği göleniştir. Mesnetlere uygulanan sönü sonunda aanda sonsua gittiğiide sistein deplasanın sıfıra gittiği fakat TMD li odelde böyle oladığı göleniştir. Buda aten beklenen bir sonuçtur. Çünkü TMD den kaynaklanan statik bir deplasan olası beklenektedir. Sonlu farklar yöntei kullanılarak bu çalışalar yapılıştır. Aaç bu çalışaları nonlineer sistelerde de tekrarlayabilektir. İleri çalışa konusu olarak hafif eğrili veya nonlineer sistelerin bu sönülee odelleri altında sonlu farklar ile analii önerilir. KAYNAKÇA [1] G. T. Michaltos Journal of Sound and Vibration 58(), Dynaic Behaviour of a single span bea subjected to loads oving with variable speeds. [] Seong-Min Ki 4 Engineering Structures 6, Vibration and Stability of axial loaded beas on elastic foundation under oving haronic loads. [3] H. Xia, N. Zhang; W.W. Guo 6 Journal of Sound and Vibration Analysis of resonance echanis and conditions of train-bridge syste. [4] Torbjörn Ekevid, Martin X. D. Li and Nils-Erik Wilberg 1 Coputers and Structures Adaptive FEA of wave propagation induced by high-speed trains. [5] B. Biondi, G. Muscolino and A. Sofi 5 Coputers and Structures A substructure approach for the dynaic analysis of train-track-bridge syste. [6] Yean-Seng Wu and Yeong-Bin Yang 4 Soil Dynaics and Earthquake Engineering A sei-analytical approach for analying ground vibrations caused by trains oving over elevated bridges. [7] G. Oliveto. Coplex Modal Analysis Of A Flexural Vibrating Bea With Viscous End Conditions Journal Of Sound And Vibration "1997, (3), [8] J.F. Wang, C.C. Lin, B.L. Chen Vibration suppression for high-speed railway bridges using tuned ass dapers International Journal of Solids and Structures 4 (3)

11 [9] JO Byung-Wan, TAE Ghi-Ho, LEE Du-Wha, Structural vibration of tuned ass daper-installed three-span steel box bridge, International Journal of Pressure Vessels and Piping 78 (1) [1] A. Greco, A. Santini, Dynaic response of a flexural non-classically daped continuous bea under oving loadings Coputers and Structures 8 () [11] Prof. Dr. Mustafa İNAN 1967 İTÜ Vakfı. Cisilerin Mukaveeti [1] Den Hartog, J.P., Mechanical Vibrations, fourth ed. McGraw-Hill, New York. [13] B. G. SINIR, 1996, Dalgakıran altında oluşan göenekli ortadan akışın sonlu farklarla analii, Yüksek Lisans Tei, CBÜ, Manisa [14] B. G. SINIR, 4, The Matheatical Modeling of Vibrations in Marine Pipeline, Doktora Tei, DEÜ, İir