Soru 3. 17! hesaplanırsa sondan kaç basamağı sıfır olur? Çözüm: Nasıl ki bir tamsayıyı 10 ile çarptığımızda sonuna bir sıfır geliyor, 3 kere 10 ile ça

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Soru 3. 17! hesaplanırsa sondan kaç basamağı sıfır olur? Çözüm: Nasıl ki bir tamsayıyı 10 ile çarptığımızda sonuna bir sıfır geliyor, 3 kere 10 ile ça"

Transkript

1 Sayılar Mustafa Yağcı, Tanım: n, 1 den büyük bir doğal sayı olmak üzere; 1 den n ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n nin faktöryeli veya kısaca n faktöryel denir. (n!) biçiminde gösterilir. Çok kullanılmamakla beraber faktöryele çarpansal dendiği de olur (n ).(n 1).n = n! 1 den (n 1) e kadar olan doğal sayıların çarpımına da bu tanıma göre (n 1)! deneceğinden n! = n.(n 1)! olur. Bu durum benzer şekilde uzatılabilir: n! = n.(n 1)! = n.(n 1).(n )! = n.(n 1).(n ).(n 3)! Aşağıda buna ait örnekleri bulacaksınız: 100! ! i) = = = ! 98! 6! ! ii) = = 6.5.4= 10 3! 3! ( n+ 1)! ( n+ 1). n.( n 1)! iii) = = ( n+ 1). n ( n 1)! ( n 1)! n! n! 1 iv) = = ( n+ 1)! ( n+ 1). n! n+ 1 v) 3! +! = 3.! +! =!.(3 + 1) =!.4 vi) 8! + 7! 6! = 8.7.6! + 7.6! 6! = 6!.( ) = 6!.6 Doğal sayıların faktöryelleri kendilerinden kat be kat hızlı arttığından ilk birkaç sayının faktöryelini hesaplama olanağımız vardır. Biz de bu yüzden 10 a kadar olan doğal sayıların faktöryellerini vereceğiz, daha büyük sayıların faktöryellerini gerek olmadığı gibi, gerek duyulursa da bulunması kolay olduğundan vermeyeceğiz. 0! in 1 diye tanımlanır. Bunu böyle biliniz. Yandaki tabloda 10 a kadar olan doğal sayıların faktöryelleri yazılmıştır. En azından ilk 6 tanesini ezbere bilmenizde fayda vardır. Konunun bundan sonraki kısmını soru-cevap şeklinde anlatacağız. Herkese kolay gelsin!!! Soru 1. 17! tek midir, çift midir? Çözüm: 17! sayısı çarpımına eşit olduğundan ve çarpılan bu terimlerin arasında çift sayılar olduğundan 17! çifttir. O halde 1 den büyük tüm n doğal sayıları için n! sayıları çifttir. Çünkü hepsi eni sonu gelip ile çarpılmak zorundadırlar. Soru. 17! hesaplanırsa son rakamı kaç olur? Çözüm: 17! sayısının çarpımına eşit olduğunu unutmayalım. 10 dışındaki sayıların çarpımı kaç olursa olsun 10 ile çarpılacağından bu sayının sonuna sıfır geleceğini anlarız. Aslında bir sayının sonuna sıfır gelmesi için illa da 10 ile çarpılmasına gerek yoktur. Çift olan bir sayı 5 ile çarpılırsa da sonunun sıfır olacağını unutmayın. Ayrıca son rakamı 5 olan bir sayı düşünüp onu ile çarpın bakalım. Yine sonu sıfır oldu değil mi? Bu tabii ki bir rastlantı değil. İçinde 5 ve çarpanı olan her sayı aslında 10 ile çarpılmış gibi davranmaz mı? O halde şöyle bir genelleme yapalım: n > 4 olmak üzere n! sayısının son rakamı daima sıfırdır. Çünkü içinde mutlaka ve 5 çarpanı vardır. 4! in sonunda sıfır olmaması da bir tesadüf değil yani.

2 Soru 3. 17! hesaplanırsa sondan kaç basamağı sıfır olur? Çözüm: Nasıl ki bir tamsayıyı 10 ile çarptığımızda sonuna bir sıfır geliyor, 3 kere 10 ile çarparsak da 3 tane sıfır gelir. O halde şu an bulmamız gereken; 1 den 17 ye varana kadar kaç tane 10 çarpanı elde ederiz? Dikkat edin, 10 a bölünen sayı demiyoruz, 10 çarpanı diyoruz. Zira 10 dan başka 10 a bölünen sayı yok ama 5 ve çarpımından bir 10 çarpanı geldiği gibi 15 ve 4 çarpımından da bir 10 çarpanı geliyor. Sonuç olarak bu sayının sonunda 3 tane sıfır olduğunu söyleyebiliriz. Doğrudur da! Demek ki bizim aslında bu çarpanlar arasında kaç tane 10 a bölünen sayı olduğunu değil kaç tane 10 çarpanı olduğunu bulmamız gerekiyor. Bunun da direkt 5 çarpanı ile ilgili olduğunu anlattık. Peki, hiç mi çarpanı ile ilgisi yok? Elinde olmadan 5 olsa neye yarar? Öyle ya! Doğru, doğru ama zaten çarpanı her iki sayıda bir geldiğinden elimizde yeterince var. Ama 5 çarpanı her 5 sayıda bir gelir. Yani daha azdır. Yani; elimizdeki her 5 e bir bulabiliriz ama her ye yetecek kadar 5 yok. Her yerde olduğu gibi burada da az olan kıymetli. Bunun için faktöryeli verilen sayıyı hemencecik 5 e böleriz. Bulduğumuz bölüm bizim o sayıya gelene kadar kaç tane 5 ile bölünen sayı olduğunu verir. Ama bazı 5 ile bölünen sayıların içinde 1 den çok 5 olamaz mı? Gözden bazı 5 ler kaçmaz mı? Haklısınız. Bunu da şöyle gidereceğiz: Eğer bölüm 5 veya 5 ten büyük çıkarsa (ki bu sadece sayının 5 veya 5 ten daha büyük olması halinde olur) o bölümü de tekrar 5 e böleceğiz. Böylelikle iki kere 5 e böldüğümüzden 5 ile bölmüş oluruz, dolayısıyla 5 in katlarında gözden kaçan 5 leri de kayıt altına almış oluruz. Eğer ikinci bölüm de 5 veya 5 ten büyük çıkarsa onu da 5 e böleriz ki 15 veya katlarında saymadığımız üçüncü 5 leri de saymış oluruz. Ve bu böyle devam eder, etmelidir de! Sözün özü: n! sayısının sonunda kaç sıfır olduğu; n sayısı 5 e bölünerek değil, devamlı 5 e bölünüp her bir bölüm toplanarak bulunur. Ta ki, bölünemeyene kadar! Soru 4. Kaç doğal sayının faktöryelinin sonunda 3 tane sıfır vardır? Çözüm: 5 ile bölündüğünde bölüm olarak 3 ü vermesi lazım. O halde 15, 16, 17, 18, 19 olmak üzere 5 sayının sonunda 3 sıfır vardır. Mustafa Yağcı 0!, 1!,!, 3!, 4! sonunda sıfır yoktur, 5!, 6!, 7!, 8!, 9! sonunda 1 sıfır vardır, 10!,11!,1!,13!,14! sonunda sıfır vardır, 15!,16!,17!,18!,19! sonunda 3 sıfır vardır, 0!,1!,!,3!,4! sonunda 4 sıfır vardır, 5!,6!,7!,8!,9! sonunda 6 sıfır vardır. Buradan da anladığınız üzere sonunda 5 sıfır bulunan faktöryel yoktur. Benzer şekilde sonunda 11 sıfır olan faktöryel de yoktur. Bunun da sebebini siz düşünüp, açıklayınız. Peki iki farklı sayının faktöryeli arasındaki dört işlemler nasıl yapılır? Yani iki farklı sayının faktöryelleri çarpılınca, bölününce, toplanınca, çıkarılınca, hatta bir faktöryelin üssü alınırsa neler olacağına, bizim bunlara karşılık neler yapmamamız gerektiğine bir göz atacağız. Soru 5. 3!.4! çarpımının sonunda kaç tane sıfır vardır? Çözüm: 3 ve 4 sayılarını ayrı ayrı 5 e böldüğümüzde 4 elde ederiz ki bu da bu sayıların sonlarında 4 er tane sıfır olduğunu söyler. O halde x ve y tamsayı olmak üzere; 3! = x.10 4 ve 4! = y.10 4 şeklinde birer sayıdır. 3!.4! = x y.10 4 = x.y.10 8 olduğundan çarpımın sonunda 8 sıfır vardır. Bundan sonra iki sayının faktöryellerinin çarpımının sonunda kaç sıfır olduğu sorulursa, her iki faktöryelin sonundaki sıfır adetlerini toplayacağız. 33! Soru 6. sonunda kaç tane sıfır vardır? 4! Çözüm: 33 ve 4 sayılarını ayrı ayrı devamlı 5 e böldüğümüzde sırasıyla 7 ve 4 elde ederiz ki bu da 33! in sonunda 7, 4! in sonunda 4 tane sıfır olduğunu söyler. O halde x, y ve z birer tamsayı olmak üzere; 33! = x.10 7 ve 4! = y.10 4 şeklinde birer sayıdır. 7 33! x.10 x 3 = =.10 = z ! y.10 y olduğundan çarpımın sonunda 3 sıfır vardır. Bundan sonra iki sayının faktöryellerinin bölümünün sonunda kaç sıfır olduğu sorulursa, paydaki faktöryelin sonundaki sıfır adedinden paydadaki faktöryelin sonundaki sıfır adedini çıkaracağız. Şimdi de faktöryellerin toplamına farkına ilişkin örnekler vereceğiz. Bu toplamların ya da fark-

3 Mustafa Yağcı ların sonlarındaki ardışık sıfır adetlerini ya da herhangi bir çarpandan kaç tane olduğunu ve bunun gibi sorulara cevap arayacağız. Bu tip problemlerde sık olarak kullanacağımız bir özelik var ki; onu burada öğrenip sorular üzerinde uygulamalar yapalım. Unutmamamız gereken gerçek şu: m<n olduğu sürece m!, daima n! içinde yer alır. Bunu bildiğimizden verilen faktöryellerden büyük olanını daima küçük olan cinsinden yazabileceğiz. Uyarı. (n)! n! (n)!!.n! (n)! = n.(n 1).(n )! Soru 7. 3! + 4! toplamının sonunda kaç sıfır bulunur? Çözüm: Yine bu sayının içinde kaç tane 5 çarpanı olduğunu bulmamız lazım. 3! + 4! = 3! + 4.3! = 3!.(1 + 4) = 3!.5 olduğundan hem 3! in hem de 5 in içinde kaçar tane 5 olduğunu bulup toplamamız gerekiyor. 3! de 4, 5 te tane 5 çarpanı olduğundan cevap 6 dır. Soru 8. 3! + 7! toplamının sonunda kaç sıfır vardır? Çözüm: Bir önceki benzer soruda ifadeyi çarpanlarına ayırmıştık. Burada da öyle yapacağız. Sayıların büyüklüğü gözünüzü korkutmasın. 3! + 7! = 3!.( ) Parantez içinde 1 ile toplanan sayının 5 in katı olduğuna dikkat ediniz. Çünkü içinde 5 var, yeter. O halde bu sayıya 1 eklendiği için bu sayı 5 in katı olamaz, yani son rakamı sıfır değildir, o halde sadece 3! sayısının sonundaki sıfır sayısı cevaptır, yani cevabımız 4 olmalıdır. Acaba bu durumu genelleyebilir miyiz? Neden olmasın? Eğer toplanan faktöryellerin sonlarındaki sıfır adedi sayısı aynı değilse sadece küçük olan sayının faktöryelini almak yeter. Eğer sıfır adedi aynıysa böyle yapamayacağımıza aslında bir önceki sorumuz örnekti. Bunun sebebini şöyle düşünebilirsiniz: Örneğin, 40 ile 60 ın sonunda birer sıfır var diye toplamlarının sonunda 1 tane sıfır olacak diye bir kaide yok. İnanmıyorsan topla, bak! Fakat sonundaki sıfır adetleri farklı olan sayılar daima toplanınca küçük olanınki kadar sıfır verirler. Örneğin; =3940. Tabii ki tek bir örnek yetmez, hatta 1000 tane bile yetmez, ama bunu kanıtlamak da size kalsın. Soru 9. n ve p birer sayma sayısı olmak üzere; 3! = p ise n en fazla kaç n 5 Çözüm: p nin bir sayma sayısı olması bize paydadaki 5 lerin paydakilerden çok olmadığını anlatmalı. Çünkü paydada 1 tane bile fazla 5 olsaydı, sadeleşenler sadeleşir ve paydada 5 artardı. Pay artık içinde 5 ihtiva etmediğinden 5 in katı olmayan bir sayı olurdu, dolayısıyla 5 e bölündüğünde sonuç yani p sayma sayısı olmazdı. O halde n en çok, 3! in içinde kaç tane 5 çarpanı varsa o kadar olmalı, yani 4. Kısacası, a, b, c, n N + n! iken c b a = ise max(b) =? sorusu; n! in içinde kaç tane a çarpanı vardır? sorusu ile aynıdır. Soru 10. n ve p sayma sayıları için 3! = 6 n.p ise n en fazla kaç olur? Çözüm: Nasıl ki bize 10 çarpanı sorulduğunda bile biz sayıyı devamlı 10 a değil, 5 e bölüyorduk, şimdi de 6 çarpanı soruluyor diye hemen 6 ya bölmeyeceğiz. Çünkü her ve 3 ten bir 6 elde edildiğinden ve her 3 ile eşleştirebileceğimiz bir bulunup, her ile eşleştirebileceğimiz bir 3 bulunmadığından 3 ü devamlı 3 e bölüp, çıkan bölümleri toplamalıyız. 3 ü 3 e bölersek bölüm 7, 7 yi de 3 e bölersek bölüm çıkar ki cevap 7 + = 9 olur. Yani; a! in içinde kaç tane b çarpanı var? diye bir soru ile karşılaştığımızda, önce bir durup b ye bakacağız. Eğer b asalsa a yı devamlı b ye böleceğiz, fakat b bileşikse (yani asal değilse) a yı devamlı b nin en büyük asal çarpanına böleceğiz. Soru 11. n ve p sayma sayıları için 3! = 4 n.p ise n en fazla kaç olur? Çözüm: Ne kadar da üstteki soruya benziyor değil mi? Evet ama çözümleri hiç de öyle değil. 4 a- sal olmadığından 3 ü devamlı 4 ün en büyük asal çarpanı olan ye bölmeliyiz. Bölelim. Bölümleri toplayalım. 19 çıkıyor. Fakat cevap 19 değil. Çünkü leri 4 yapmak için eşleştireceğimiz diğer ler başka yerde yok. Alınacaksa bu 19 tanenin içinden alınacak. O halde yeni bir soru çıktı karşımıza: 19 tane den kaç tane 4 çıkar?. Her tane den 1 tane 4 çıkacağından 19 u ye 3

4 bölersek 9 tane 4 yapabileceğimizi anlarız. Peki artan 1 tane var, o nolacak? Başka kalmadı ne yapa-lım? O da öylece kalır. Yani; a! in içinde kaç tane b çarpanı var? diye bir soru ile karşılaştığımızda, önce yine bir durup b ye bakacağız. Tüm işlemlerimizi daha önce yaptığımız gibi yapacağız. Fakat b bir tamkare ise bulduğumuz cevabı ye böleceğiz, bir tamküp ise 3 e böleceğiz, bir tam dördüncü kuvvet ise 4 e böleceğiz ve bu böyle devam edecek Soru 1. 17! n sayısı tek ise n kaçtır? Çözüm: 17! sayısının çift olduğunu kanıtladık. Neden çiftti? İçinde bir sürü çarpanı olduğu için. Peki, bir sayı niye tek olur? İçinde hiç çarpanı olmadığı için. Demek ki n ifadesi 17! in içinde ne kadar varsa almış götürmüş gibi düşünebiliriz. 17! in içinde kaç tane çarpanı var peki? Onu da 17 yi devamlı ye bölerek buluruz. Ben böldüm, 15 çıktı. O halde n = 15. Soru ! sayısı çift ise n en fazla kaç n Çözüm: n = 15 olunca bu sayının tek olduğunu kanıtladık. Çünkü kesrin payında da 15 tane çarpanı vardı. Bunlar sadeleşince sayı tek oluyordu. Burada da durum şöyle: Aşağıda yukarıdaki lerin tamamını götürecek kadar yokmuş ki bu sayı çift kalmış. Yani n en fazla 14 olabilir. n nin alabileceği değerler toplamını sorar bazen. O zaman 1 den 14 e kadar olan sayma sayılarını toplayacağız = 14.15/ = 105. Soru 14. 1! +! + 3! + 4! ! toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır? Çözüm: 4 ten büyük olan doğal sayıların faktöryellerinin sıfır ile sonlandığını kanıtlamıştık. O halde sadece 1! +! + 3! + 4! toplamının son rakamına bakmak yeterli olacaktır = 33 olduğundan sorunun cevabı 3 tür. Buradan şu anlaşılmaktadır: Yeterince büyük olduktan ve 1 den başlayıp ardışık olarak arttıktan sonra nerede bittiğinin önemi yoktur. Aynı soru 005! değil de 006! ya da 74658! de bitseydi de cevap 3 olacaktı. Bazen bu toplamın 5 ile bölümünden kalan sorulur, bu yüzden ona da 3 diyeceğiz. Mustafa Yağcı Soru 15. 1! +! + 3! + 4! ! toplamının onlar basamağındaki rakam kaçtır? Çözüm: Şimdi de 9 dan büyük doğal sayıların faktöryellerinin önemi yoktur, çünkü onların daima son iki basamakları 00 dır. Bu yüzden son iki rakama etki etmezler. Bu sebeple biz sadece ilk 9 sayının faktöryellerinin son iki rakamlarını toplayalım: = 13. O halde bu toplamın son iki rakamı 13 tür, dolayısıyla onlar basamağındaki rakam 1 dir. Böyle toplamların 100 ile bölümünden kalan sorulduğunda da aynı çözümü yaparız. Çünkü bir sayının 100 ile bölümünden kalan şey o sayının son iki basamağıdır. 4, 0, 5, 50, 75 gibi sayılara bölümlerinden kalanlar da son iki rakamla alakalıdır ama daha kolay çözümleri olduğundan onları burada değil, ilerde başka örneklerde başka metotlarla anlatacağız. Soru 16. 1! +! + 3! + 4! ! toplamının 3, 6, 7, 15, 0, 40 ile bölümlerinden kalanları hesaplayınız. Çözüm: 3 ve daha büyük doğal sayıların faktöryelleri hem 3 ile hem de 6 ile tam olarak bölündüğünden kalan vermezler. 1! +! = 1 + = 3 olduğundan bu toplam 3 ile tam bölünür ama 6 ile bölümünden kalan 3 tür. Diğer yandan 5 ve daha büyük doğal sayıların faktöryelleri hem 15 hem 0, hem 40 ile tam bölünürler. Bunlar kalan vermediğinden, incelenmelerine gerek yoktur. 1! +! + 3! + 4! = = 33 olduğundan toplamın 15, 0, 40 ile bölümünden kalanlar sırasıyla 3, 13, 33 olur. 7 ile ilk bölünen faktöryel ise 7! olduğundan bundan önceki faktöryelleri toplamak gerekir = 873 olduğundan, 873 de 7 ile bölümünde 5 kalanını verdiğinden cevap 5 tir. Soru 17. 0! + 1! sayısı 1!, 11, 6 9, 9 4, 8 6, 5 5 sayılarından kaç tanesine tam olarak bölünür? Çözüm: 0! + 1! = 0! + 1.0! = 0!.(1 + 1) = 0!. olduğunu önce bir not edelim. 0! in içinde 1! olduğundan ilkine tam bölünür. 11 ile tam bölünebilmesi için içinde tane 11 çarpanı olması lazım. nin içinde 1 tane var ayrıca 0! in içinde de 1 tane var, o zaman bu da tamam. 0! in içinde 8 tane 3 çarpanı olduğundan ancak 8 tane 6 çarpanı olabilir. Bundan dolayı bu sayı 6 9 ile kalansız bölünemez. 9 4 için de durum aynı, zira 9 4 = 3 8 tür. Şimdi 0! in içinde kaç tane çarpanı var ona bakalım. Ben baktım, 18 tane çıktı. 6 tane 4

5 Mustafa Yağcı 8 zaten 18 tane yaptığından 0! in içindekiler buna yeter. Son olarak 5 5 i inceleyeceğiz. 0! sayısında sadece 4 tane 5 çarpanı var, de ise hiç yok dolayısıyla 5 5 ile bölünmesine imkan yok. Yani, sadece 3 üne bölünür. Şu an itibariyle faktöryelin ne olup ne olmadığına ilişkin bir altyapınızın çoktan oluşmuş olması gerekiyor. Yanılıyor muyuz yoksa? Eğer tereddütleriniz varsa yukarıdaki örnekleri tekrar tekrar incelemenizi ve anlamadığınız her yeri tamamıyla idrak edene kadar sormanızı öneririz. Zira bundan sonra, özellikle permutasyon kombinasyon derslerinde faktöryellerle epey bir işimiz olacak. Soru 18. Aşağıdaki eşitliklerde n sayısını bulunuz. i) n! = (n+4).(n )! ii) (n + 7)! = 70.(n + 4)! Çözüm: Büyüğü küçük cinsinden yazıyoruz. i) n(n 1)(n )! = (n + 4)(n )! n 3n 4 = 0 n = 4 ii) (n + 7)(n + 6)(n + 5)(n + 4)! = (n + 4)! n = 3 Soru 19. f: N + N, f(n) = n.f(n 1) ve f(0) = 1 ise n N için f fonksiyonunun faktöryel fonksiyonu olduğunu gösteriniz. Çözüm: n = 1 f(1) = 1.f(0) n = f() =.f(1) n = 3 f(3) = 3.f() n = k f(k) = k.f(k 1) Bulunan tüm bu eşitlikler taraf tarafa çarpılırsa; f(1).f().f(3) f(k) = k.f(0).f(1).f()...f(k 1) f(k) = k f(k) = k! Soru 0. x = ve y = olduğuna göre xy çarpımının faktöryel olarak eşiti nedir? Çözüm: 18! 50! x.y = = 18! 18! Soru 1. x =.19! olduğuna göre 0! + 1! toplamının x türünden ifadesi nedir? Çözüm: 0! + 1! = 0.19! ! = 19!.[ ] = 19!.[0.(1 + 1)] = 19!.0. = 0.x Soru. n tane 10 nin toplamı, n! olduğuna göre n değeri kaçtır? Çözüm: n.10 = n! n.5! = n.(n 1)! 5 = n 1 n = 6 Soru 3. 60! 50! işleminde elde edilen sayının sonunda kaç tane ardışık sıfır vardır? Çözüm: 60! 50! sonundaki sıfır adedi, her ikisinin sonundaki sıfır adetleri farklı olduğundan küçük olanın yani 50! in sonundaki sıfır adedi kadardır. O halde sıfır adedi 1 tanedir. Çıkarma işlemini de aynı toplama gibi yapıyoruz yani. Soru ! 1 sayısının sonunda kaç tane ardışık 9 vardır? Çözüm: 100! 1 sonundaki 9 a- dedi, 100! sonundaki sıfır adedi kadardır. O halde 100! 1 sonundaki 9 rakamının adedi 4 tanedir. Bazen de 100! + 1 toplamının sonundaki 1 adedini sorar. Buna da hemen 4 demeyin sakın! Neden diye bir düşünün bakalım. Soru 5. m, n ve t pozitif tamsayı olmak üzere 40! = 6 m.10 n.t eşitliğinde (m + n) toplamı en fazla kaç Çözüm: 6 ve 10 asal olmadığından hemen bu ifadeleri asal çarpanlarına ayıralım. 40! = 6 m.10 n.t = m.3 m. n.5 n.t = m+n.3 m.5 n.t olur. 40! içinde 38 tane, 18 tane 3, 9 tane 5 asal çarpanı olduğu bulunur. Bu yüzden max(n) = 9 ve max(m) = 18 olduğundan max (m + n) = 7 dir. Soru 6. (1!+!+3! !) 13 işlemi sonucunda birler basamağındaki rakam kaçtır? Çözüm: 5! + 6! + 7! ! 0 (mod 10) olduğunu biliyoruz. 1!+!+3!+4! (mod 10) olduğundan (mod 10) olur. 5

6 Soru 7. (1+13!, 17+13!) açık aralığında asal sayı olmadığını gösteriniz. Çözüm: (1+13!, 17+13!) açık aralığında bir x asal sayısı olsun; ! < x < ! x = + 13! = x = ! = 3 x = ! = 4 13! + 1 = k 13! = 3k 13! = 4k... x = ! = 16 13! = 16k olduğundan verilen aralıkta bir asal sayı yoktur. Daha genel olarak; p bir asal sayı ve n bir doğal sayı ise; n! + 1 ile n! + n arasında hiçbir asal sayı yoktur. Bunun kanıtını ise sizlere bırakıyoruz. Soru 8. 15! sayısının pozitif tam bölenleri sayısı kaç tanedir? Çözüm: 15! = olduğundan, 15! in pozitif bölen sayısı = 403 tanedir. Soru 9. 11! sayısının pozitif bölen sayısı, 10! sayısının pozitif bölen sayısının kaç katıdır? Çözüm: 11! = 11.10! = 11.10! olduğundan 11! içinde 10! den farklı olarak 11 çarpanı tane fazladır. 10! içindeki 11 çarpan sayısı 10 ve 11! içindeki 11 çarpan sayısı da 1 tanedir. 10! in 11 dışındaki çarpanlarının üslerinin 1 er fazlalarının çarpımı k olsun. 10! in pozitif bölen sayısı k.(10+1) ise 11! sayısının pozitif bölen sayısı k.(1+1) olur. O halde buradan 13/11 katı olduğunu anlarız. Soru (n!)! sayısı 3 basamaklı ise n kaç Çözüm: 3 basamaklı sayılardan sadece tanesi bir sayının faktöryeline eşit olabilir. Bunlar 10 ve = 5! ve 70 = 6! olduğundan n = 3 tür. n nin hiçbir değeri için n! = 5 olamayacağına dayandık. Soru 31. 1! +! + 3! + + x! toplamı kaç kere ve hangi x değerleri için tamkare olur? Mustafa Yağcı Çözüm: x = 1 için tamkare olduğu, x = için de olmadığı aşikar. x = 3 olursa bu toplam 1! +! + 3! = = 9 olduğundan yine tamkare olur. x > 3 için bu toplamın son rakamının daima 3 olduğunu biliyoruz. O halde bir tamkare olması imkansızdır. Çünkü hiçbir tamkarenin son rakamı 3 olamaz. Neler olabilir, onu da siz bulunuz Soru 3. a! = b! + c! + d! eşitliğinde a, b, c, d birer pozitif tamsayı ise a kaçtır? Çözüm: b c d olsun. a > d olduğundan a d+1 yazabiliriz. (d + 1).d! = (d + 1)! a! = b! + c! + d! 3.d! olduğundan d olur. O halde d dir. d = 1 için dener ve sağlayan değerler bulamayız. d = için ise b = c = d = ve buradan da a = 3 bulunur. Aynı soruyu bir de doğal sayılar kümesinde çözünüz. Soru 33. OBEB(n!+1, (n+1)!+1) =? Çözüm: n!+1 ile (n+1)!+1 sayıları daima birbirine asal olduğundan OBEB leri 1 dir. Soru ! +.! + 3.3! + + n.n! = (n + 1)! 1 eşitliğini doğrulayınız. Çözüm: Verilen bu toplama A diyelim. A = 1.1! +.! + 3.3! + + n.n! Eşitliğin her iki yanına 1! +! + 3! + + n! ekleyelim. A + 1! +! + + n! =.1! + 3.!+ + (n+1).n! A + 1! +! + + n! =! + 3! + + n! + (n+1)! A +1! = (n+1)! A = (n+1)! 1 Soru ! +.! + 3.3! ! toplamı hesaplandığında sondan kaç basamağında 9 olur? Çözüm: Bir önceki soruda bulduğumuz formüle göre bu toplam 37! 1 dir. O halde 37! in sonunda kaç tane sıfır varsa 37! 1 sayısının sonunda da o kadar 9 vardır. O halde yandaki bölme işleminden de gördüğünüz üzere cevabımız 8. a! Soru 36. = 5! eşitliğini sağlayan kaç farklı (a,b) b! ikilisi vardır? Çözüm: İlk önce a = 5 olduğunu düşünelim. Paydayı 1 yapmalıyız. Bu da şekilde mümkün: b = 0 veya b = 1 ile. Ayrıca 5! = 10 olduğundan a = 10 ve b = 119 olursa da eşitlik sağlanır. Diğer yandan 5! = 10 = (1..3).4.5 = olduğundan a = 6 ve b = 3 de çözümdür. Sonuç olarak (a,b) = 6

7 Mustafa Yağcı {(5,0), (5,1), (10,119), (6,3)} olmak üzere 4 farklı şekildedir. Soru 37. 7! sayısı 7 tabanında yazılırsa sonunda kaç tane sıfır olur? Çözüm: 7! sayısı sadece 3 kere 7 ye kalansız bölünür, diğer bölümlerde kalanlar sıfırdan farklı olur. Zaten 7 tabanında yazmak istediğimizde de ilk başta sıfırdan farklıları yazarız, en sona 3 sıfır kalır. KONU TARAMA TESTİ 8. 9! + 30! toplamının sonunda kaç sıfır vardır? 9. 9! sayısını 1! sayısına böldüğümüzde bölümün sonunda kaç sıfır olur? ! 9! farkının sonunda kaç sıfır vardır? 1. n bir doğal sayı ise n!, (n+1)!, (n+)!, n!+1 ve n!+ sayılarından kaç tanesi daima çifttir? ! 1! farkının sonunda kaç sıfır vardır?. n! iki basamaklı ise (n+)! kaç basamaklıdır? 1. n>100 iken n!,.n!, (n)!, n n, (n!) ve n! sayılarını küçükten büyüğe sıraya diziniz. 3. 0! + 4! + 8! toplamının birler basamağı kaçtır? 13. 3! sayısının içinde 10 çarpanı mı 15 çarpanı mı daha fazladır? Neden? 4. 6! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır? 5. 6! 1 sayısının sondan kaç basamağı 9 dur? 14. 3! = 6 n.p eşitliğinde n ve p sayma sayısı ise n en çok kaç 6. n! hesaplandığında sondan 7 basamağı sıfır ise n kaç farklı değer alır? 15. 3! = 6 n.p eşitliğinde n ve p sayma sayıları için n nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 16. n! sayısı tek bir doğal sayı ise n! =? 7. 9!.30! çarpımının sonunda kaç sıfır vardır? 7

8 17. m, n, p ardışık çift sayılar olmak üzere; m! + n! + p! toplamı bir tek sayı ise m n + p =? Mustafa Yağcı 6. 19! sayısı hesaplanırsa birler basamağındaki rakam kaç olur? 18. 3!/ n sayısı tek ise n sayma sayısı kaçtır? 7. 19! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır? 8. 19! 1 sayısının sondan kaç basamağı 9 dur? 19. 3!/ n sayısı çift ise n sayma sayısı en çok kaç 9. 19! + 1 sayısının sondan kaç basamağı 1 dir? 0. 3!/ n sayısı çift ise n sayma sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? ! sayısının içinde kaç tane 10 çarpanı vardır? ! sayısının içinde kaç tane 5 çarpanı vardır? 1. n! sayısı tek bir doğal sayı ise n 3n + 3 sayısı en çok kaç 3. 19! sayısının içinde kaç tane 3 çarpanı vardır?. n! sayısı 6 ile tam bölündüğüne göre n en az kaçtır? ! sayısının içine kaç tane 7 çarpanı vardır? ! sayısının içindeki 14 çarpanı mı 1 çarpanı mı daha çoktur? Yoksa eşit midir? 3. n! sayısı 1 ile tam bölünüyorsa n en az kaçtır? ! sayısının içindeki 4 çarpanının adedini bulunuz. 4. n! sayısının son rakamı sıfır ise n + 3 en az kaç ! sayısının içinde kaç tane 7 çarpanı vardır? 5. 19! sayısı tek midir çift midir? 37. 5! + 6! sayısının içinde kaç tane 3 çarpanı vardır? 8

9 Mustafa Yağcı 38. 4! + 5! + 6! toplamının içinde kaç tane 4 çarpanı vardır? 47. 3! + 4! + 5! ! toplamının 17 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır? 39. 4!.5! çarpımının sonunda kaç tane sıfır bulunur? 48. a! = b!.4! ise a + b en az ve en çok kaç 40. 7!.10 x sayısının sonunda 7 tane sıfır olduğu bilindiğine göre x kaçtır? 49. (a!)! sayısının sonunda 1 tane sıfır varsa a kaçtır? !/17! bölümünün sonunda kaç tane sıfır bulunur? 50. a ve b pozitif tamsayılar olmak üzere; 30! = 5 a.b ise a nın en büyük değeri kaçtır? 4. Kaç tane doğal sayının faktöryelinin sonunda tane sıfır bulunur? 51. a ve b pozitif tamsayılar olmak üzere; 8! = 8 a.b ise a nın en büyük değeri kaçtır? 43. Kaç tane doğal sayının faktöryelinin sonunda 5 tane sıfır bulunur?neden? 5. a, b ve c pozitif tamsayılar olmak üzere; 40! = a.3 b.c ise a + b toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır? 44. 1! +! + 3! + 4! ! toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır? 53. x 13 x 1 = ( x 1)! x! x! eşitliğinde x kaçtır? 45. 0! +! + 4! ! toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır? 54. ( n + 5)! (n)!. çarpımını sadeleştiriniz. (n+ 1)! ( n+ 4)! 46. 1! +! + 3! ! toplamının 3 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır? 55. a bir tamsayıdır. sonucu kaçtır? ( a 5)! + ( a 4)! ( a 3)! + (5 a)! işleminin 9

10 56. OBEB(4! + 5! + 6!, 5! + 6! + 7!) =? Mustafa Yağcı ! sayısının kaç tane negatif böleni vardır? 57. OKEK(4! + 5! + 6!, 5! + 6! + 7!) =? 67. 1! sayısının asal olmayan pozitif böleni kaç tanedir? ! içinde kaç tane 1 çarpanı vardır? 59. x ve y pozitif tamsayılar olmak üzere; 1!.!.3!.4!...39! = x.13 y olduğuna göre y en fazla kaç 68. C(n,r): n nin r li kombinasyonu, P(n,r) : n nin r li permutasyonu ise C(n,r) mi daha büyüktür P(n,r) mi? Neden? 60. x! + ( y+ 1)! ifadesi bir tamsayı olduğuna göre, x x! + y toplamı en az kaç ! 8! + 6! sayısının en büyük asal çarpanı kaçtır? ! +.! + 3.3! ! toplamının son rakamı kaçtır? 70. 6! sayısı 9 tabanında yazılırsa kaç basamaklı bir sayı elde edilir? ! +.! + 3.3! + 4.4! ! toplamının sonunda kaç tane 9 vardır? ! sayısı 9 tabanında yazılırsa sonunda kaç tane sıfır bulunur? 63. n>1 iken 1.1! +.! + 3.3! + + n.n! toplamının hiçbir zaman bir tamkare olamayacağını kanıtlayınız ! den 19!+ sayısına kadar kaç tane asal sayı vardır? 64. x ve y sayma sayıları için 9!/(3 x.5 y ) işleminin sonucunun bir sayma sayısı olduğu bilindiğine göre x 5y ifadesinin en büyük değeri kaç 73. 8! sayısı en küçük hangi sayma sayısı ile çarpılırsa bir tamkare olur? 65. 6! + 7! = m. x.3 y eşitliğinde m, x, y sayıları birer sayma sayısı x + y toplamı en fazla kaç 74. 6! = a-.(b 3) eşitliğinde a ve b birer sayma sayısı ise a + b toplamı en az kaç 10

11 Mustafa Yağcı MERAKLISINA KONU TARAMA TESTİ 9. n n! sayısı n cinsinden en fazla kaç ( a+ b)! ( b )! 1. + = 7 eşitliğini sağlayan a ve a! ( b 3)! b sayma sayıları için (a + b 3)! =? 10. x ve y tamsayılar olmak üzere 0 < x < y < 40 veriliyor. [x! + (x+1)! + (x+)!].[y! + (y+1)! + (y+)!] çarpımının bir tamka-re olması için y nin alabileceği değerleri bulunuz.. a! = x x eşitliğini sağlayan a, b, x sayma b! sayıları için b nin alabileceği değerleri toplamı 97 ise x kaçtır? ! sayısının 71 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır? 3. n bir çift sayma sayısı olmak üzere; 1!.!.3!...(n)! kesrinin daima bir tamkare n! olduğunu kanıtlayınız. 4.!.3!.4!.5!...80! çarpımından hangisi atılırsa geriye kalan ifade bir tamkare olur? 5. x, y, z pozitif tamsayılar olmak üzere;!.4!.6!.8!...3! = x 3.y.z ise x in en büyük değeri için z en az kaç 1. 61! sayısının 71 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır? 13. a, b, c pozitif tamsayılar olmak üzere a + b = c! eşitliğini sağlayan kaç farklı (a, b, c) üçlüsü vardır? 14. x, y, z doğal sayılar olmak üzere x 30! 17.0! = z eşitliğinde z nin en küçük y değeri için y en çok kaç 6. 11!.1!.13!...0! çarpımının bir tamkare olması 1!.!.3!...10! için çarpılması gereken en küçük sayma sayısı kaç olmalıdır? n = x ise =?! 3! 4! 5! ( n+ 1)! x 8. 1!.!.3!...3! çarpımının bir tamküp olabilmesi için bu çarpanlardan en az kaç tane iki basamaklı faktöryel atılmalıdır? 15. 3! sayısı ardışık doğal sayıların çarpımı şeklinde kaç farklı şekilde yazılabilir? 0! 1!! ( n+ 1)! ( n+ )! ( n+ 3)! cinsinden eşitini bulunuz ( ).( ).( )...( ) çarpımının sonucu kaçtır? C (,) =? toplamının n 11

Cebir. Notları. Faktöryel Mustafa YAĞCI,

Cebir. Notları. Faktöryel Mustafa YAĞCI, www.mustafayagci.com, 003 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Tanım: n, 1 den büyük bir doğal sayı olmak üzere; 1 den n ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n nin faktöryeli veya kısaca

Detaylı

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 1. ve y aralarında asal iki doğal sayıdır. 7 y 11 olduğuna göre, y farkı 5. 364 sayısının en büyük asal böleni A) 3 B) 7 C) 11 D) 13 E) 17 A) B) 3 C) 4

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol: EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI ASAL SAYILAR Asal sayılar, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan 1' den büyük tamsayılardır. En küçük asal sayı, 2' dir. 2 asal sayısı dışında çift asal sayı yoktur. Yani, 2 sayısı dışındaki

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNE: AM AYIAR N: am ayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE RAR VE ÇÖZÜMER 1. [(+17) (+25)] + [( 12) (+21)] işleminin sonucu A) 41 B) 25 C) 25 D) 41 Çıkarma işlemi yapılırken çıkanın işareti değişir ve eksilen

Detaylı

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr ASAL SAYILAR ve kendisinden aşka pozitif öleni olmayan den üyük doğal sayılara asal sayı denir.,, 5, 7,,, 7, 9, sayıları irer asal sayıdır. En küçük asal sayı dir. den aşka çift asal sayı yoktur. den aşka

Detaylı

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3): ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4 Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I Kolay Temel Matematik. 8 ( + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6.! ( )": ( ) A) B) 0 C) D) E). 7. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D)

Detaylı

TEMEL MATEMATİĞE GİRİŞ - Matematik Kültürü - 5

TEMEL MATEMATİĞE GİRİŞ - Matematik Kültürü - 5 1 14 ve 1 sayılarına tam bölünebilen üç basamaklı kaç farklı doğal sayı vardır? x = 14.a = 1b x= ekok(14, 1 ).k, (k pozitif tamsayı) x = 4.k x in üç basamaklı değerleri istendiğinden k =, 4, 5, 6, 7,,

Detaylı

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama KURAL: Bir sayının belli bir sayıda yan yana çarpımının kolay yoldan gösterimine üslü sayılar denir. Örneğin 5 sayısının

Detaylı

( ) FAKTÖRĐYEL YILLAR /LYS. Örnek( 4.)

( ) FAKTÖRĐYEL YILLAR /LYS. Örnek( 4.) YILLAR 00 003 004 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - 0/ - / /LYS FAKTÖRĐYEL Örnek( 4) 3)!! ) )! 4 )!? den n e kadar olan sayıların çarpımına n! denir n! 34(n-)n 0!!! 3! 3 6 4! 34 4 5!3450 Örnek(

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR Test -1

TEMEL KAVRAMLAR Test -1 TEMEL KAVRAMLAR Test -1 1. 6 ( ) 4 A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 5. 4 [1 ( 3). ( 8)] A) 4 B) C) 0 D) E) 4. 48: 8 5 A) 1 B) 6 C) 8 D) 1 E) 16 6. 4 7 36:9 18 : 3 A) 1 B) 8 C) D) 4 E) 8 3. (4: 3 + 1):4 A) 3 B) 5

Detaylı

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :.

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. SAYILAR BASAMAK KAVRAMI İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. Üç basamaklı rakamları farklı en küçük sayı :. SORU 5 MATEMATİK KAF03 TEMEL KAVRAM 01 Üç basamaklı birbirinden

Detaylı

6. Rakamları farklı, iki basamaklı farklı beş doğal sayının. 7. A = 7 + 11 + 15 + 19 + + 99 veriliyor.

6. Rakamları farklı, iki basamaklı farklı beş doğal sayının. 7. A = 7 + 11 + 15 + 19 + + 99 veriliyor. Bölüm: Doğal Sayılar ve Tamsayılar Test: Temel Kavramlar. abc ve cba üç basamaklı doğal sayılardır. abc cba = 97 olduğuna göre, abc biçiminde yazılabilecek en küçük doğal sayının rakamları toplamı A) B)

Detaylı

5. a ve b birer pozitif tam sayıdır. A) 1 B) 2 C) 3 D) 14 E) a ve b birer doğal sayıdır. 7. a ve b birer pozitif tam sayıdır.

5. a ve b birer pozitif tam sayıdır. A) 1 B) 2 C) 3 D) 14 E) a ve b birer doğal sayıdır. 7. a ve b birer pozitif tam sayıdır. Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I YGS Temel Matematik. 8 + 4. + 8 : 4 işleminin sonucu A) 8 B) 9 C) D) 5 E) 8 5. a ve b birer pozitif tam sayıdır.

Detaylı

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR 2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR KONULAR 1. RASYONEL SAYILAR 2. Kesir Çeşitleri 3. Kesirlerin Sadeleştirilmesi 4. Rasyonel Sayılarda Sıralama 5. Rasyonel Sayılarda İşlemler 6. ÜSLÜ İFADE 7. Üssün

Detaylı

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 6. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 6. SINIF TEST SORULARI 1. a ve b birer pozitif tamsayıdır. 12. a = b³ olduğuna göre, a + b toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 21 B) 23 C) 24 D) 25 3. Beş kişinin yaşlarının aritmetik ortalaması 24 tür. Aşağıda

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 10 Mayıs Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 10 Mayıs Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 0 Mayıs 009 Matematik Soruları ve Çözümleri. ( ) 4 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 4 D) E) 6 Çözüm ( ) 4 ( ) 4 4 6.

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir.

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir. Biz, Sizin İçin Farklı Düşünüyor Farklı Üretiyor Farklı Uyguluyoruz Biz, Sizin İçin Farklıyız Sizi de Farklı Görmek İstiyoruz Soru Bankası matematik konularını yeni öğrenen öğrenciler için TMOZ öğretmenlerince

Detaylı

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır.

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır. KÜMELER Kümelerin birleşimi (A B ): Kümelerin bütün elemanlarından oluşur. Kümelerin kesişimi (A B): Kümelerin ortak elemanlarından oluşur. Kümelerin Farkı (A \ B ) veya (A - B ): Birinci kümede olup ikinci

Detaylı

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Matematiğe Giriş... Temel Kavramlar... Bölme - Bölünebilme Kuralları... 85 EBOB - EKOK... Rasyonel Sayılar... Basit Eşitsizlikler... 65 Mutlak

Detaylı

SAYILAR ( ) MATEMATİK KAF01 RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. Sayıları ifade etmeye yarayan

SAYILAR ( ) MATEMATİK KAF01 RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. Sayıları ifade etmeye yarayan SAYILAR RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI MATEMATİK KAF01 TEMEL KAVRAM 01 Sayıları ifade etmeye yarayan { 0,1,, 3, i i i,9} kümesindeki semollere onluk sayma düzeninde rakam denir. N =... kümesinin elemanlarına

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR A: SAYI Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Ör: 0,1,2,3,4,5,6 Rakamların çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşturulan ifadeler ifadesine sayı denir.

Detaylı

MATEMATİK DERS PLÂNI. : Doğal Sayılar (Asal Sayılar Bölünebilme O.B.E.B ve O.K.E.K)

MATEMATİK DERS PLÂNI. : Doğal Sayılar (Asal Sayılar Bölünebilme O.B.E.B ve O.K.E.K) MATEMATİK DERS PLÂNI Başlangıç Tarihi :.. Dersin adı Sınıf Öğrenme Alanı Alt Öğrenme Alanı Planlanan Süre : Matematik : 9. Sınıf : Sayılar : Doğal Sayılar (Asal Sayılar Bölünebilme O.B.E.B ve O.K.E.K)

Detaylı

KE00-SS.08YT05 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR I

KE00-SS.08YT05 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR I Üniversite Hazırlık / YGS Kolay Temel Matematik 0 KE00-SS.08YT05 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR I. 8 ( 3 + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) A) B) 0 C) D) E) 3. 7 3. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D) 0

Detaylı

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi 2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 4 (336 sayfa) ANALİZ CEBİR 1 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman

Detaylı

Sıfırdan farklı a, b, c tam sayıları için aşağıdaki özellikler sağlanır.

Sıfırdan farklı a, b, c tam sayıları için aşağıdaki özellikler sağlanır. SAYILAR TEORİSİ 1 Bölünebilme Bölme Algoritması: Her a ve b 0 tam sayıları için a = qb + r ve 0 r < b olacak şekilde q ve r tam sayıları tek türlü belirlenebilir. r sayısı a nın b ile bölümünden elde edilen

Detaylı

ISBN Sertifika No: 11748

ISBN Sertifika No: 11748 ISN - 978-0--- Sertifika No: 78 GENEL KOORDİNTÖR: REMZİ ŞHİN KSNKUR REDKTE: REMZİ ŞHİN KSNKUR SERDR DEMİRCİ - SRİ ŞENTÜRK SERVET SVŞ ÇETİN as m Yeri: UMUT MTCILIK - MERTER / STNUL u kitab n tüm bas m ve

Detaylı

DÖRDÜNCÜ BÖLÜM. 4.1. Aritmetik işlemler

DÖRDÜNCÜ BÖLÜM. 4.1. Aritmetik işlemler DÖRDÜNCÜ BÖLÜM 4.1. Aritmetik işlemler Bu bölümde öğrencilerin lisede bildikleri aritmetik işlemleri hatırlatacağız. Bütün öğrencilerin en azından tamsayıların toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde KPSS Genel Yetenek Genel Kültür MATEMATİK Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme KPSS 2016 Pegem Akademi Sınav Komisyonu; 2015 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 100'ün üzerinde soruyu kolaylıkla

Detaylı

TEMEL SAYMA. Bill Gates

TEMEL SAYMA. Bill Gates Bölüm 1 TEMEL SAYMA YÖNTEMLERİ Firmamızın sahip olduğu tek şey insan düş gücüdür. Bill Gates Bu bölümde fazla kuramsal bilgi gerektirmeyen sayma problemleri üzerinde duracağız. Bu tür problemlerde sayma;

Detaylı

Asal Çarpan, OBEB - OKEK

Asal Çarpan, OBEB - OKEK Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. 15 in doğal sayı çarpanları II. 1 nin tam sayı bölenleri a) 1,, 3, 4, 6, 1 1,, 3, 4, 6, 1 b) 1, 3, 5, 15 III. 140 ın asal çarpanlara ayrılışı c) 140

Detaylı

YGS MATEMATİK SORU BANKASI

YGS MATEMATİK SORU BANKASI YGS MATEMATİK SORU BANKASI Sebahattin ÖLMEZ www.limityayinlari.com Sınavlara Hazırlık Serisi YGS Matematik Soru Bankası ISBN: 978-60-48--9 Copyright Lmt Limit Yayınları Bu kitabın tüm hakları Lmt Limit

Detaylı

OLİMPİK MATEMATİK MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK İÇİN İLK ADIM ÖMER GÜRLÜ ALTIN NOKTA YAYINEVİ

OLİMPİK MATEMATİK MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK İÇİN İLK ADIM ÖMER GÜRLÜ ALTIN NOKTA YAYINEVİ OLİMPİK MATEMATİK MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK İÇİN İLK ADIM ÖMER GÜRLÜ ALTIN NOKTA YAYINEVİ İZMİR 2016 İÇİNDEKİLER Bölüm 1: SAYILAR.... 7 Bölüm 2: ÇARPANLARA AYIRMA 73 Bölüm 3:ORAN ORANTI VE PROBLEM

Detaylı

KARTEZYEN ÇARPIM VE BAĞINTI

KARTEZYEN ÇARPIM VE BAĞINTI KRTEZYEN ÇRPIM VE BĞINTI 3. Bölüm TEST -2 1. β={(x,y):2x+y=8,x,y N} şeklinde tanımlı β bağıntısı kaç elemanlıdır? ) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 6. R'de bağıntısı yansıyan ise a.b kaçtır? ) 18 B) 9 C) 2 D) 18

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal I / 18 Kasım 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal I / 18 Kasım 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Sonbahar / Sayısal I / 18 Kasım 2007 Matematik Soruları ve Çözümleri 1. Bir sayının 0,02 ile çarpılmasıyla elde edilen sonuç, aynı sayının aşağıdakilerden

Detaylı

d) x TABAN ARĐTMETĐĞĐ

d) x TABAN ARĐTMETĐĞĐ YILLAR 00 00 00 00 00 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 1 - - - - - - - TABAN ARĐTMETĐĞĐ Genel olarak 10 luk sayı sistemini kullanırız fakat başka sayı sistemlerine de ihtiyaç duyarız Örneğin bilgisayarın

Detaylı

2004 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

2004 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI 4 II MATEMATİK YARIŞMASI I AŞAMA SORULARI 4? 4 4 A B denkleminde A ve B birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? 5 A) B) C) - D) E) - 8 4 x x

Detaylı

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)

Detaylı

BÖLME - BÖLÜNEBİLME Test -1

BÖLME - BÖLÜNEBİLME Test -1 BÖLME - BÖLÜNEBİLME Test -1 1. A saısının 6 ile bölümünden elde edilen bölüm 9 kalan olduğuna göre, A saısı A) 3 B) C) 7 D) 8 E) 9. x, N olmak üzere, x 6 ukarıdaki bölme işlemine göre x in alabileceği

Detaylı

EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ

EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ 0 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. SAYILAR Z{,-,-,-,0,,,, } Z - {,-,-,-} negatif tam sayılar kümesi {0} (elemanı 0 olan bir küme) Z + {,,,,n,n+, } pozitif

Detaylı

barisayhanyayinlari.com

barisayhanyayinlari.com YGS MATEMATİK KONU ANLATIM FASİKÜLLERİ SERİSİ 1 ISBN 978-605-84147-0-9 Baskı Tarihi Ağustos 015 Baskı Yeri: İstanbul YAYINLARI İletişim tel: (538) 90 50 19 barisayhanyayinlari.com Benim için her şey bir

Detaylı

AKSARAY Mesleki E ğitim Merkezi Matematik ve Meslek Matematiği Soru Bankası

AKSARAY Mesleki E ğitim Merkezi Matematik ve Meslek Matematiği Soru Bankası AKSARAY Mesleki E ğitim Merkezi Matematik ve Meslek Matematiği Soru Bankası SORU 1 525 + 2834 + 379 toplama işlemini alt alta yazarak yapınız. 525 2834 +379 3738 SORU 2 Manavdan kilogramı 4 TL olan armut

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

ÇARPANLAR VE KATLAR I sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli aşağıdakilerden A) B) C) D)

ÇARPANLAR VE KATLAR I sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli aşağıdakilerden A) B) C) D) 8. Sınıf MATEMATİK ÇARPANLAR VE KATLAR I. Aşağıdakilerden hangisi 6 nın çarpanlarından biridir? A) 3 B) 6 C) 8 D) TEST. 360 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli aşağıdakilerden hangisidir? A) 3. 3.

Detaylı

Başlayanlara AKTİF MATEMATİK

Başlayanlara AKTİF MATEMATİK KPSS - YGS - DGS - ALES Adayları için ve 9. sınıfa destek 0 dan Başlayanlara AKTİF MATEMATİK MEHMET KOÇ ÖNSÖZ Matematikten korkuyorum, şimdiye kadar hiç matematik çözemedim, matematik korkulu rüyam! bu

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 6. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 6. SINIF TEST SORULARI 1. x ile y pozitif tam sayılardır. EBOB(x,y) = 9 ve x+y = 7 olduğuna göre, x kaç farklı değer alır? 3. 4 A) B) 3 C) 4 D) 5 9 7 49 1 5 36 10 4? n n-5. Uygun yerlere parantezler yerleştirilerek, 1::3:4:5:6:7:8

Detaylı

SIRA SENDE DÖRT İŞLEM, İŞLEM ÖNCELİĞİ BİLGİ. = 1 2 ile 3 zıt işaretli olduğundan 3 ten 2 yi çıkarıp 1 bulduk ve büyük olan 3 ün işaretini ( ) 1 in

SIRA SENDE DÖRT İŞLEM, İŞLEM ÖNCELİĞİ BİLGİ. = 1 2 ile 3 zıt işaretli olduğundan 3 ten 2 yi çıkarıp 1 bulduk ve büyük olan 3 ün işaretini ( ) 1 in ÖRT ŞLM, ŞLM ÖCLĞ SORU 0 3 04 + 0 ) B) 0 C) ) ) = ile 3 zıt işaretli olduğundan 3 ten yi çıkarıp bulduk ve büyük olan 3 ün işaretini ( ) in önüne koyduk. SR S C BLG Tam sayılarda aynı işaretli sayılar

Detaylı

ÖSYM nin Sorduğu Tüm Sorular DGS. Tamamı Çözümlü ÇIKMIŞ SORULAR. Temmuz Dahil

ÖSYM nin Sorduğu Tüm Sorular DGS. Tamamı Çözümlü ÇIKMIŞ SORULAR. Temmuz Dahil ÖSYM nin Sorduğu Tüm Sorular DGS Tamamı Çözümlü ÇIKMIŞ SORULAR 00 00 005 006 007 008 009 00 0 Temmuz Dahil Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ ÇIKMIŞ SORULAR ISBN 978-975-879-06- Kitapta yer alan bölümlerin tüm

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak kıl YGS MTEMTİK ENEME SINVI 1 01511-1 Ortak kıl dem ÇİL li an GÜLLÜ yhan YNĞLIŞ arbaros GÜR arış EMİR eniz KRĞ Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN Hatice MNKN Kemal YIN Köksal YİĞİT Muhammet YVUZ Oral YHN

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

a.c = 48 3a + 2b c = 37 ise, a nın alacağı en küçük değer kaçtır?

a.c = 48 3a + 2b c = 37 ise, a nın alacağı en küçük değer kaçtır? . a,b,c birbirinden farklı tamsayılar ve a sıfırdan. a, b, c R olmak üzere farklı olmak üzere, a.b = 0 c

Detaylı

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Amacı: Metalik Oranların elde edildiği ikinci dereceden denklemin diskriminantını ele alarak karmaşık sayılarla uygulama yapmak ve elde

Detaylı

Bu ders materyali 06.09.2015 23:17:19 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır. Unutmayın bilgi paylaştıkça değerlidir.

Bu ders materyali 06.09.2015 23:17:19 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır. Unutmayın bilgi paylaştıkça değerlidir. -- Bu ders materyali 06.09.05 :7:9 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından UYGULAMA-00 Cevap: x- -x- x- =0 denklemini sağlayan x değeri kaçtır? UYGULAMA-00 Cevap: x x x 5 + = + denklemini

Detaylı

2BÖLÜM DOĞAL SAYILAR ve DÖRT İŞLEM

2BÖLÜM DOĞAL SAYILAR ve DÖRT İŞLEM 2BÖLÜM DOĞAL SAYILAR ve DÖRT İŞLEM DOĞAL SAYILAR ve DÖRT İŞLEM TEST 1 1) Güzelyurt ta oturan bir aile piknik için arabayla Karpaz a gidip, geri dönüyor. Bu yolculuk sonunda arabanın km göstergesini kontrol

Detaylı

Sayıtlama Dizgeleri. (a n a n-1 a n1 a n0. b 1 b 2 b m )r. simgesi şu sayıyı temsil eder.

Sayıtlama Dizgeleri. (a n a n-1 a n1 a n0. b 1 b 2 b m )r. simgesi şu sayıyı temsil eder. 1 Sayıtlama Dizgeleri Hint-Arap Sayıtlama Dizgesi Sayıları göstermek (temsil etmek) için tarih boyunca türlü simgeler kullanılmıştır. Sümerlerin, Mısırlıların, Romalıların ve diğer uygarlıkların kullandıkları

Detaylı

MUTLAK DEĞER MAKİNESİ. v01

MUTLAK DEĞER MAKİNESİ. v01 MUTLAK DEĞER MAKİNESİ Önce makinemiz nasıl çalışıyor öğrenelim. Makinemiz üç kısımdan oluşuyor. Giriş, Karar ve Sonuç. Giriş kısmına attığımız top bir sayıyı ya da bir ifadeyi temsil ediyor. (2) sayısını

Detaylı

a = b ifadesine kareköklü ifade denir.

a = b ifadesine kareköklü ifade denir. KAREKÖKLÜ SAYILAR Rasyonel sayılar kümesi sayı ekseninde sık olmasına rağmen sayı eksenini tam dolduramamaktadır;çünkü sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar da vardır. Karesi

Detaylı

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS YILLAR 6 7 8 ÖSS-YGS - - / /LYS ONDALIK SAYILAR Paydası ve un pozitif kuvveti şeklinde olan veya u şekle dönüştürüleilen kesirlere ondalık kesir(ondalık sayı) denir 7,,,,,7 6 (,6)gii 8 8 NOT: ondalık sayıların

Detaylı

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER YILLAR 00 00 00 00 00 00 007 008 009 00 ÖSS-YGS - - - - - - - - BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a,b R ve a 0 olmak üzere ab=0 şeklindeki denklemlere Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal I / 22 Nisan 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal I / 22 Nisan 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal I / 22 Nisan 2007 Matematik Soruları ve Çözümleri 3 1 1. x pozitif sayısı için, 2 1 x 12 = 0 olduğuna göre, x kaçtır? A) 2

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.08.0 ta rih ve sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 0-0 Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren uy gu lana cak olan prog ra ma gö re

Detaylı

DOĞAL SAYILARDA TOPLAMA VE ÇARPMA

DOĞAL SAYILARDA TOPLAMA VE ÇARPMA YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS DOĞAL SAYILARDA TOPLAMA VE ÇARPMA Örnek( 1 ) - - - - (I) yandaki işleme x 1 (II) göre (I) çarpan - - - - kaçtır? 40 + - - - - - - - - - - (ÖSS-8) 40

Detaylı

Soru Konu Doğru Yanlış Boş

Soru Konu Doğru Yanlış Boş YGS - MATEMATİK DENEME- A Soru Konu Doğru Yanlış Boş Okek Bölünebilme % % Obeb Problemleri % % % Obeb - Okek % % Basit ve Bileşik Kesirler % % Okek Denklemi % % Paydaları Eşitlenemeyen Kesirler % % Okek

Detaylı

DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI

DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI 1-60) Dört çocuk, Ahmet, Ferit, Berk ve Mehmet koşu yarışı yapıyorlar. Yarışma sonucunda, Ahmet, "Ben birinci ve sonuncu

Detaylı

1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA) BÖLÜM: KOMBİNASYON (SEÇME) A. SEÇME (KOMBİNASYON) B. KOMBİNASYON GEOMETRİ İLİŞKİSİ

1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA) BÖLÜM: KOMBİNASYON (SEÇME) A. SEÇME (KOMBİNASYON) B. KOMBİNASYON GEOMETRİ İLİŞKİSİ İçindekiler 1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA)... 10 A. SAYMA KURALLARI... 10 B. FAKTÖRİYEL... 14 C. n ELEMANLI BİR KÜMENİN r Lİ PERMÜTASYONLARI (Dizilişleri)... 17 Ölçme ve Değerlendirme...20 Kazanım Değerlendirme

Detaylı

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Gruplar...3 Alt Gruplar...9 Simetrik Gruplar...13 Devirli Alt Gruplar...23 Sol ve Sağ Yan Kümeler (Kosetler)...32 Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 Grup Homomorfizmaları...41

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI

MODÜLER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI MODÜLER ARĐTMETĐK Z={..,-,-,0,, } kümesinde tanımlanan β ={(x,y): mi(x-y), m Z + {}} bağıntısı denklik bağıntısıdır. β denklik bağıntısı olduğuna göre, ( x, y) β için x y (mod m) ÖRNEK: Z de β ={(x,y)

Detaylı

ÖN SÖZ. Değerli Adaylar,

ÖN SÖZ. Değerli Adaylar, ÖN SÖZ eğerli daylar, Okul ve meslek yaşamının en önemli sınavlarından birine, Kamu Personeli Seçme Sınavı(KPSS) na hazırlanmaktasınız ve buradaki başarınız gelecekteki iş yaşamınızı ciddi şekilde etkileyecek.

Detaylı

Mikrobilgisayarda Aritmetik

Mikrobilgisayarda Aritmetik 14 Mikrobilgisayarda Aritmetik SAYITLAMA DİZGELERİ Sayıları göstermek (temsil etmek) için tarih boyunca türlü simgeler kullanılmıştır. Konumuz bu tarihi gelişimi incelemek değildir. Kullanılan sayıtlama

Detaylı

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005 TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 005 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 1. AB = olmak üzere, A

Detaylı

18. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A

18. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A KDENİZ ÜNİVERSİTESİ 18. ULUSL NTLY MTEMTİK OLİMPİYTLRI BİRİNCİ ŞM SORULRI SINV TRİHİ VESTİ:30 MRT 2013 - Cumartesi 10.00-12.30 Bu sınav 25 sorudan oluşmaktadır vesınav süresi 150 dakikadır. SINVL İLGİLİ

Detaylı

SERĠMYA 2011 - IX. ULUSAL ĠLKÖĞRETĠM MATEMATĠK OLĠMPĠYATI. 9. Ulusal. serimya. İLKÖĞRETİM 7. Ve 8. SINIFLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI.

SERĠMYA 2011 - IX. ULUSAL ĠLKÖĞRETĠM MATEMATĠK OLĠMPĠYATI. 9. Ulusal. serimya. İLKÖĞRETİM 7. Ve 8. SINIFLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI. Sayfa1 9. Ulusal serimya İLKÖĞRETİM 7. Ve 8. SINIFLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 2011 Sayfa2 1. Bir ABCD konveks dörtgeninde AD 10 cm ise AB CB? m( Dˆ ) 90, ( ˆ) 150 0 0 m C ve m Aˆ m Bˆ ( ) ( ) olarak

Detaylı

TEMEL SAYMA KURALLARI

TEMEL SAYMA KURALLARI TEMEL SAYMA KURALLARI SAYMA Toplama Yoluyla Sayma A ve B sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı; s(a,b) = s(a) + s(b) dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28)

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28) TEMEL KAVRAMLAR 6. a ve b birer do al say r. a b = 19 oldu una göre, a + b toplam (YANIT: 8) 1. ( 4) ( 1) 6 1 i leminin sonucu (YANIT: ). ( 6) ( 3) ( 4) ( 17) ( 5) :( 11) leminin sonucu (YANIT: 38) 7.

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

AKILLI. sınıf. Musa BOR

AKILLI. sınıf. Musa BOR AKILLI sınıf. Musa BOR AFG Matbaa Yayıncılık Kağ. İnş. Ltd. Şti. Buca OSB, BEGOS 2. Bölge 3/20 Sk. No: 17 Buca-İZMİR Tel: 0.232.442 01 01-442 03 03 Faks: 442 06 60 Bu kitabın tüm hakları AFG Matbaa Yay.

Detaylı

ÖABT Sayılar Teorisi KONU TESTİ Tam Sayılarda Bölünebilme

ÖABT Sayılar Teorisi KONU TESTİ Tam Sayılarda Bölünebilme ÖABT Sayılar Teorisi KONU TESTİ Tam Sayılarda Bölünebilme ÇÖZÜMLER. a b ve b a a b, a, b a b a b ve b c a c olduğundan a b ve c d ise a c b d olmayabilir. ve 5., ve olduğundan sonsuz çözüm vardır...9.9

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 200 20 ÖSS-YGS - - - 2 2 / - 2/ 2/ / LYS OBEB OKEK OBEB: iki veya daha fazla sayıyı birlikte bölebilen en büyük tamsayıya bu sayıların OBEB i denir Sayılar

Detaylı

90 sayısının asal çarpanlarının toplamı kaçtır?

90 sayısının asal çarpanlarının toplamı kaçtır? 90 sayısının asal çarpanlarının toplamı kaçtır? 2 a.3 b.5 c =750 olduğuna göre a+b-c kaçtır? 25 ve 41 i böldüğünde 1 kalanını veren en büyük doğal sayı kaçtır? 6 ve 8 e bölünebilen iki basamaklı en büyük

Detaylı

MATEMATİK. Zihinden Toplama ve Çıkarma İşlemi 5. SINIF 3. 55 + 37 = (55+10)+10+10+7 = (65+10) + 10 + 7 = (75+10) + 7 = 85+7 =92

MATEMATİK. Zihinden Toplama ve Çıkarma İşlemi 5. SINIF 3. 55 + 37 = (55+10)+10+10+7 = (65+10) + 10 + 7 = (75+10) + 7 = 85+7 =92 5. SINIF KULA ARDICI VE SINAVLARA HAZIRLIK Zihinden Toplama ve Çıkarma İşlemi TEST-10 1. Aşağıdaki toplama işlemlerinden hangisi "onlukları ve birlikleri ayırarak ekleme" yöntemi ile yapılmıştır? A) 46

Detaylı

TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi

TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi YGS MATEMATĠK DENEMESĠ-1 Muharrem ġahġn TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi Eyüp Kamil YEġĠLYURT Gökhan KEÇECĠ Saygın DĠNÇER Mustafa YAĞCI Ġ:K Ve TMÖZ üyesi 14 100 matematik ve geometri sevdalısı

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır?

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 3.03.0 Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem

Detaylı

FORMÜL ADI (FONKSİYON) FORMÜLÜN YAZILIŞI YAPTIĞI İŞLEMİN AÇIKLAMASI

FORMÜL ADI (FONKSİYON) FORMÜLÜN YAZILIŞI YAPTIĞI İŞLEMİN AÇIKLAMASI 1 SIKÇA KULLANILAN EXCEL FORMÜLLERİ 1 AŞAĞI YUVARLAMA =aşağıyuvarla(c7;2) 2 YUKARI YUVARLAMA =yukarıyuvarla(c7;2) 3 YUVARLAMA =yuvarla(c7;2) 4 TAVANA YUVARLAMA =tavanayuvarla(c7;5) 5 TABANA YUVARLAMA =TABANAYUVARLA(E2;5)

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =?

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =? TANIM MUTLAK DEĞER Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z ise x y x z z y =? Bir x reel sayısına karşılık gelen noktanın sayı doğrusunda 0 (sıf ır) a olan uzaklığına x sayısının mutlak değeri denir ve x şeklinde

Detaylı

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 İçindekiler 1. ÜNİTE Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8 Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18 Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 Bölüm 4 :- Çarpanlar ve Katlar, Bölünebilme... 40 Bölüm 5 : Asal Sayılar, Ortak Bölenler,

Detaylı

EXCEL DE ARİTMETİKSEL İŞLEMLER

EXCEL DE ARİTMETİKSEL İŞLEMLER EXCEL DE ARİTMETİKSEL İŞLEMLER Toplama İşlemi. Bu İşlemleri yapmadan önce ( toplama- Çıkarma Çarpma-Bölme ve formüllerde) İlk önce hücre İçerisine = (Eşittir) işareti koyman gerekir. KDV HESAPLARI ÖRNEK;

Detaylı

Soru Konu Doğru Yanlış Boş

Soru Konu Doğru Yanlış Boş YGS - MATEMATİK DENEME- A Soru Konu Doğru Yanlış Boş Okek Bölünebilme % % Okek Denklemi % % % % % % % % Aralarında Asal Sayıların Obebi % % Bölen Sayısı % % % % % % % % % % % % % % % Reel Sayılar % % %

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

I F L. IĞDIR FEN LİSESİ MÜDÜRLÜĞÜ 2010 YILI 8. SINIFLAR I. MATEMATİK OLİMPİYAT YARIŞMASI Soru kitapçığı türü A 15 Mayıs 2010 Cumartesi,

I F L. IĞDIR FEN LİSESİ MÜDÜRLÜĞÜ 2010 YILI 8. SINIFLAR I. MATEMATİK OLİMPİYAT YARIŞMASI Soru kitapçığı türü A 15 Mayıs 2010 Cumartesi, I F L IĞDIR FEN LİSESİ MÜDÜRLÜĞÜ 2010 YILI 8. SINIFLAR I. MATEMATİK OLİMPİYAT YARIŞMASI Soru kitapçığı türü A 15 Mayıs 2010 Cumartesi, 10.00-12.30 ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI T.C. KİMLİK NO OKULU / SINIFI SALON

Detaylı

2. Aşağıdaki pseudocode ile verilen satırlar işletilirse, cnt isimli değişkenin son değeri ne olur?

2. Aşağıdaki pseudocode ile verilen satırlar işletilirse, cnt isimli değişkenin son değeri ne olur? Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.

Detaylı

Temel Matematik Testi - 5

Temel Matematik Testi - 5 Test kodunu sitemizde kullanarak sonucunuzu öğrenebilir, soruların video çözümlerini izleyebilirsiniz. Test Kodu: 005. u testte 40 soru vardır.. Tavsiye edilen süre 40 dakikadır. Temel Matematik Testi

Detaylı

Soru Konu Doğru Yanlış Boş

Soru Konu Doğru Yanlış Boş YGS - MATEMATİK DENEME- A Soru Konu Doğru Yanlış Boş Mutlak Değerin Sayıya Eşitliği % % Sayılar Akıl Yürütme % % Okek Dikdörtgen Birleştirme % % Kesirlerin Okeki % % Obeb Problemleri % % Obeb Denklemi

Detaylı