BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve"

Transkript

1 BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre ogrü değildir deir ve a b (mod ) şelide gösterilir. Geel olara > abul edilir. Teorem 3. Herhagi ii a ve b tamsayısı içi a b(mod ) olması aca ve yalız a ve b i ile bölüdüğüde ayı (egatif olmaya) alaı bıramasıdır. İspat:. a b(mod ) olsu. Bu durumda ( a b) ve böylece a = b +, Z şelide b yi ye bölerse b = q + r, 0 r < ve burada da a = b + = ( q + ) + r, 0 r < buluur. O halde a ve b, ile bölüdüğüde ayı alaı bıraır. a = q + r, b = q + r, 0 r < olsu. Bua göre ( a b), yai a b(mod ) Taım 3. 3 Bir a tam sayısı verilmiş olsu. a yı sayısıa alalı olara bölerse a = q + r, 0 r < Yai a r(mod ) buluur. Bu durumda a ı değerie göre r i alacağı değerler 0,,,..., sayılarıda biri tae sayıda oluşa 0,,,..., taıma mod egatif olmaya e üçü ala sistemi deir. Teorem 3. " " bağıtısı tam sayılar ümesi üzeride bir deli bağıtısıdır. Yai N sabit bir sayı olma üzere, her a, b, c Z içi. a a(mod ). a b(mod ) ise b a(mod ) 3. a b(mod ) ve b c(mod ) ise a c(mod ) İspat: ( Ödev) Teorem 3.5 > bir tamsayı ve a, b, c, d eyfi tam sayılar olsu Bu durumda aşağıdai özelliler geçerli. a b(mod ) ve c d(mod ) ise a + c b + d(mod ) ve ac bd(mod ). a b(mod ) ise a + c b + c(mod ) ve ac bc(mod ) 3. a b(mod ) ise herhagibir pozitif tamsayısı içi a b (mod )

2 İspat: ( Ödev) Souç 3.6 Eğer f x, x, K, x ) atsayıları tamsayı ola bir poliom ve i m içi ai bi (mod ) ise ( m f a, a, am ) f ( b, b, bm )(mod ) ( Öre. f ( x, x ) = x + xx + 3x + olsu. 5 (mod7), 5(mod 7) böylece f ( 5,) f (,5)(mod7) Gerçete (5) + (5)() + 3() + () + ()(5) + 3(5) + (mod 7) Teorem 3.5 te a b(mod ) ise herhagi bir c Z içi ac bc(mod ) olduğuu belirtmişti. Faat buu arşıtı her zama doğru değil Öreği 3. 3.(mod 6) faat (mod 6). Yai ogrüas aritmetiğide gelişi güzel ısaltma yapılamaz. d Teorem 3.7 Eğer ac bc(mod ) ve ( c, ) = d ise a b mod d c c İspat: ac bc(mod ) ise ( ac bc) ohalde ( a b) ve, = d d d d ( a b) yai, a b mod d Souç 3.8 Eğer ac bc(mod ) ve (, ) = Souç 3.9 Eğer ac bc(mod p) ve, c ise a b( mod ) böylece p pf c ola bir asal sayı ise a b( mod p) Öre. Kogrüas teorisi ullaara 6 F 5 olduğuu gösterelim. Burada F = 5. 7 (mod 6) ogrüasıı her ii tarafıı dördücü uvvetii 8 alırsa 5. (mod 6) buluur. Diğer tarafta 5 6 (mod 6) olduğuda (mod 6) ve böylece 3 (mod6), yai 3 + 0(mod 6) elde edilir. Teorem 3.0 a b(mod ) ve a b(mod ) ise a b(mod ) dir, burada = [, ] İspat: (, ) = d ile gösterelim. Bu durumda = ds, = ds olaca şeilde s, s Z sayıları vardır. ( a b) olduğuda ( a b) = x = dsx olaca şeilde x Z ve ( a ) olduğuda ( b) = y = ds y olaca şeilde y Z sayısı vardır. Böylece b a ds x = ds y Öte yada ( s, s ) = olduğuda s x = s y de s s y ve böylece y = s z, z Z buluur. O halde ( a b) = sz = z = [, ]z ve buu soucu olara d ( a yai a b(mod ) [ ] ), b 3

3 Taım 3. N sabit bir sayı olma üzere, modülüe göre ogrüaslarla uğraştığımız zama " " bağıtısıı tam sayılar ümesi üzeride bir deli bağıtısı olduğuu görmüştü. Bua göre " " bağıtısı Z üzeride bir sııflara ayrılış belirler. " " bağıtısıı belirlediği bu deli sııflarıa mod ala sııfları deir ve herhagi bir a tamsayısı içi x a(mod ) şelidei bütü tam sayılar a ı buluduğu deli sııfıa aittirler. Bu durumda sabit bir sayısı içi Z tam sayılar ümesi tae ayrı ala sııfıa parçalaır. Her ala sııfıda bir ve yalız bir temsilci seçmele elde edile sayı taımıa mod bir tam ala sistemi deir. Eğer a, a, a mod bir tam ala sistemi ise bu sayılar belirli bir sırada alıdıları zama modülüe göre 0,,..., sayılarıda birie ogrüdür. Öre. -0, -7, -8,, 7, 9, 30,, 76, 77, 03 ( mod ) bir tam ala sistemi Gerçete 0 (mod), 7 5(mod), 8 3(mod), (mod), 7 6(mod), 9 7(mod),30 8(mod), 9(mod), 76 0(mod), 77 0(mod),03 (mod) Yuarıdai bilgilere göre eğer a, a, K, a gibi bir sayı taımı mod bir tam ala sistemi ise aşağıdai özellilere sahiptir:. i j içi ai a j (mod ),. Herhagi bir a tamsayısı içi a ai (mod ) olaca şeilde i ola bir i idisi vardır. ise de Teorem 3. Eğer mod bir tam ala sistemi a, a, K, a mod bir tam ala sistemi,, b Z ve (, ) = a + b a + b,, a + b, K İspat:. Eğer ai + b a j + b(mod ) ise ai a j (mod ) ve (, ) = olduğuda Souç 3.8 e göre ai a j (mod ) a, a, K, a mod bir tam ala sistemi olduğuda i = j olma zorudadır.. Teorem. e göre (, ) = ise herhagi bir a Z içi x a b(mod ) ogrüasıı x 0 gibi bir çözümü vardır. a, a, K, a mod bir tam ala sistemi olduğuda x a (mod ) olaca şeilde i ola bir i idisi vardır. Bua göre 0 i 0 a a b(mod ) x i ve böylece a i + b a(mod ) buluur. Özel Bölüebilirli Testleri b > bir tamsayı olsu. Herhagi bir pozitif a tamsayısı b i uvvetleri şelide a = c0 + cb + L+ c b şelide te türlü olara gösterilebilir, burada 0 m içi 0 c m < b a sayısıı bu gösterilişie a ı b tabaıa göre veya b-adi gösterilişi deir ve

4 şelide gösterilir. a = ( L 0 c c ccc ) b Teorem 3.3 a = c0 + c0 + L + c 0, 0 m içi 0 c m < 0, a sayısıı odalı açılımı ve t = c0 + c + L+ c olsu. Bu durumda (i) 3 a olması aca ve yalız 3 t olması ile mümüdür. (ii) İspat: 9 a olması aca ve yalız 9 t olması ile mümüdür. f x ) = = 0 ( c x olsu (i) 0 (mod 3) Souç 3.6 ya göre f ( 0) f ()(mod3 ) f ( 0) = a, f () = t a t(mod3). Böylece a t(mod 3), 3 a t a 0(mod 3) 3 t. (ii) 0 (mod 9) Souç 3.6 ya göre f ( 0) f ()(mod9 ) f ( 0) = a, f () = t a t(mod9). Böylece a t(mod 9), 9 a t a 0(mod 9) 9 t. Teorem 3. a = c0 + c0 + L + c 0, 0 m içi 0 c m < 0, a sayısıı odalı açılımı ve t = c c + c L + ( ) c olsu. Bu durumda a olması aca ve yalız 0 t olması ile mümüdür. İspat: f x ) = = 0 ( c x derse 0 (mod) f ( 0) f ( )(mod). f ( 0) = a, f ( ) = t, a t (mod). Böylece a t. Teorem 3.5 a = c0 + c0 + L + c 0, 0 m içi 0 c m < 0, a sayısıı odalı açılımı olsu. a sayısıı 7, ve 3 sayılarıı hepsi ile bölüebilmesi aca ve yalız u = ( 00c + 0c + c0 ) (00c 5 + 0c + c3) + (00c8 + 0c7 + c6 ) L sayısıı 7, ve 3 sayılarıı hepsi ile bölümesi (00c İspat: 7..3=00 3m 3m+ Eğer m çift ise 0, 0 3m+ 0, 0 00(mod00) + 0c + c 0 0 3m ) (00c c 3m+ 3m+ Eğer m te ise 0, 0 0, 0 00(mod00) O halde a = (00c + 0c + c 3+ ) + (0 c c c ) + (0 c c c + c 3 3 ) + (00c 8 + 0c c 6 7 ) L(mod00) Bua göre 00 a olması aca ve yalız 00 u olması ile mümüdür. 6 ) + L 5

5 Lieer Kogrüaslar Taım 3.6 > bir doğal sayı a, b Z olma üzere, ax b(mod ) şelidei bir ogrüasa bir bilimeyeli lieer ogrüas deir. Taıma göre ax0 b(mod ) olması aca ve yalız ax 0 b = y0 olaca şeilde bir y 0 Z olması ile mümüdür. Yai ax b(mod ) ogrüasıı sağlaya bütü tamsayıları bulma problemi ile ax y = b lieer Diofat delemii çözme problemi ayıdır. Not. x 0, ax b(mod ) ogrüasıı bir çözümü ise x 0 ile mod ayı ala sııfıa ait bütü tamsayılarda bu ogrüası bir çözümüdür. ax b(mod ) ogrüasıı birbiride farlı çözümlerii sayısı dediği zama ogrüası sağlaya faat mod ye göre ogrü olmaya tam sayıları sayısı alaşılacatır. Teorem 3.7 d = ( a, ) olma üzere, ax b(mod ) ogrüasıı bir çözümüü olması aca ve yalız d b olması ile mümüdür. Eğer d b ise bu ogrüası mod ye göre ogrü olmaya tam d tae çözümü vardır. İspat: Daha öcede verile ogrüası ax y = b Diofat delemie eşdeğer olduğuu görmüştü. Teorem. e göre bu Diofat delemii çözümlü olması içi gere ve yeter oşul ( a, ) b olmasıdır. Eğer bu Diofat delemi çözümlü ise x 0, y 0 Z bir özel çözüm olma üzere, diğer çözümler a x = x0 + t, y = y0 + t, t Z şelide t = 0,, K, d içi x 0, x0 +, x0 +, K, x0 + ( d ) () d d d çözümlerii gözöüe alalım. Bu tamsayılar mod ye göre ogrü değildirler. Asi halde x 0 + t x0 + t (mod ), 0 t < t d d d olsa t (mod t ),, = olduğuda t t (mod d) elde edilir i bu mümü d d d d değil Şimdi x = x0 + t, t Z şelidei bir çözümü mod ye göre () dei sayılarda herhagi birie ogrü olduğuu gösterelim: t ve d çiftie bölme algoritması uygularsa t = qd + r, 0 r d x = x0 + t = x0 + ( qd + r) = x0 + q + r x0 + r (mod ) ve x 0 + r, () de d d d sıralaa tamsayılarda biri 6

6 Souç: (i) Eğer x 0, ax b(mod ) ogrüasıı bir çözümü ve d = ( a, ) ise, bu ogrüası mod ye göre ogrü olmaya x 0, x0 +, x0 +, K, x0 + ( d ) d d d gibi tam d tae çözümü vardır. (ii) d = ( a, ) = ise ax b(mod ) ogrüasıı mod ye göre te çözümü vardır. ax b(mod ) ogrüasıı çözme içi, ogrüası ax y = b şelide bir lieer Diofat delemie döüştürme veya verile ogrüası her ii tarafıı ile aralarıda asal bir sayı ile çarpara x i atsayısıı yapma, gibi çeşitli çözüm yötemleri vardır. Öre 3. 0x 33(mod 30) ogrüasıı çözelim.. Çözüm. 0x 33(mod 30) ogrüasıı çözme, 0 x 30y = 33 Diofat delemii çözmeye detir. ( 0,30) = 7 ve 7 33 olduğuda çözüm var. Şimdi 33 sayısıı 0 ve 30 sayılarıı lieer ombiezou olara yazalım: 7= olara yazılabilir ve burada 33=0(-85)-30(-33) elde edilir. Yai x 0 = 85, y0 = 33 verile delemi bir çözümümdür. Diğer çözümler a x = x0 + t, y = y0 + t, t Z formülüde x = t, y = t, t Z şelide buluur. x = t, t Z burada t = 0,,,3,,5, 6 içi (mod 30) e göre ogrü olmaya bütü çözümler x 85,, 99, 56, 3, 70, 7 6, 59, 0, 5, 88, 3, 7(mod 30) olara buluur.. Çözüm. 0x 33(mod 30) 0x 9(mod 3) 0x 38(mod 3) 3x 5(mod 3) x 70(mod 3) x 6(mod 3) (mod 30) e göre ogrü olmaya pozitif çözümler x 6, 59, 0, 5, 88, 3, 7(mod 30) olara buluur. Teorem 3.8 (Çilileri Kala Teoremi) de büyü pozitif tamsayılar olma üzere, x a (mod ogrüas sistemii modulo r,,, r i j K içi (, ) = ) x a (mod ) M ola i j x a r (mod r ) K ye göre te türlü belirli bir çözümü vardır. 7

7 İspat: = Kr ve =,, r içi N = = K + Kr ile gösterelim. Hipoteze göre ler iişer iişer aralarıda asal oldularıda ( N, ) = i Bu edele N x (mod ) ogrüasıı (mod ) ya göre te türlü çözümü vardır, bu çözümü x ile gösterirse, x 0 = anx + a N x + L+ ar N r xr, verile sistemi bir çözümüdür. Gerçete i içi, Ni olduğuda Ni 0(mod ) dır. Buu soucu olara x0 a N x (mod ) buluur. Öte yada x, N x (mod ) ı bir çözümü olduğuda N x (mod ) ve böylece =,, r içi x a N x a (mod ) 0 buluur. Bu ise x 0 ı verile sistemi bir çözümü olduğuu gösterir. Şimdi bu çözümü modulo Kr ye göre te türlü belirli olduğuu gösterelim: Verile sistemi x 0 gibi bir başa çözümüü olduğuu abul edelim. Bu durumda =,, r içi, x 0 x0 (mod ) yai ( x 0 x0 ) dır. Öte yada i j içi ( i, j ) = olduğuda K r ( x0 x0 ) ve buradada x x0 (mod K ) buluur. 0 r Öre. x (mod ) x (mod 3) x (mod 5) sistemii çözelim: =.3.5 = 30 ve N = = 5, N = = 0, N 3 = = x (mod ) x (mod ) x =. 0x (mod3) x (mod3) x =. 6x (mod5) x (mod5) x. x = = 9 9(mod30) dır. 0 =,, r içi m lar iişer iişer aralarıda asal olma üzere, a x b (mod m ) a x b (mod m ) M ar x br (mod mr ) gibi bir lieer ogrüas sistemi verilmiş olsu. Bu sistemi çözümlü olabilmesi içi ö oşul, sistemdei her bir lieer ogrüası çözümlü olmasıdır. Bu durmda =,, r içi d = ( a, m ) olma üzere d a olmalıdır. Bu oşul sağladıta sora herbir. ogrüas d ile sadeleştirilere, il sistemle ayı çözümlere sahip yei bir a x b (mod ), a x b (mod ), K, ar x br (mod r ) m sistemi elde edilir, burada = ve i j içi ( i, j ) =, ( a i, i ) = Bu sistemdei d ogrüasları ayrı ayrı çözümleri x c (mod ), x c (mod ), x c r (mod r ) (*) şelide ise problem, (*) sistemii çözümlerii bulmaya idirgeir. 3 = 8

8 Öre 5. sistemii çözelim: x (mod 5) 3x 3(mod 6) x (mod 7) 5x 9(mod). Çözüm Yötemi. 5, 6, 7, iişer iişer aralarıda asal. (,5) = olduğuda x (mod5) ogrüası çözümlü, ( 3,6) = 3 ve 3 3 olduğuda. ogrüas çözümlü ve 3x 3(mod 6) x (mod ) (,7) = o halde x (mod7) çözümlü ve so olara ( 5,) = olduğuda 5x 9(mod) ogrüası çözümlüdür. Böylece il sistemle ayı çözümlere sahip ola x (mod5), x (mod ), x (mod7), 5x 9(mod) gibi yei bir sistem elde edilir. Öte yada bu sistem x 3(mod5), x (mod ), x (mod7), x (mod) sistemie detir. Problem yuarıdai sistemi çözmeye idirgeir. Teorem 3.8 dei otasyolara göre, = 770; a = 3, N = 5; a =, N = 385; a3 =, N3 = 0; a =, N = 70 5x (mod 5) x (mod 5) x = 385x (mod ) x (mod ) x 0x (mod 7) x 3(mod 7) x 70x (mod) x 3(mod) x 3 = = 3 = 3 x = = (mod 770) buluur. 0 Şimdi bu şeildei sistemleri çözme içi ullaıla bir başa metodu bu öre üzeride gösterelim.. Çözüm Yötemi. x (mod 5) x 3(mod5) x = 3 + 5, Z. x içi bulua bu değer sistemi. ogrüasıda yerleştirilir. 3x 3(mod 6) x (mod ) (mod ) 0(mod ) =, Z x = 3 + 5( ), Z, x içi bulua so değer sistemi 3. ogrüasıda yerleştirilirse, x (mod 7) (3 + 0 ) (mod 7) 5 3(mod 7) (mod 7) = + 73, 3 Z x = = 3 + 0( + 73 ) = , 3 Z buluur ve x i bu değerii sistemi so ogrüasıda yerleştirirse burada 5( ) 9(mod) 03 (mod) 3 (mod) 3 9(mod) 3 = 9 +, Z x = = (9 + ) = , Z buluur. Yai x 653(mod 770) tir. ogrüası Teorem 3.9 Eğer = i i= ve i < j içi (, ) = ise ax b(mod ) i j ax b(mod ), ax b(mod ), K, ax b(mod ) (**) 9

9 sistemie detir, yai ogrüasıı her bir çözümü ayı zamada (**) sistemii de bir çözümüdür ve buu tersi de doğrudur. İspat: x 0, ax b(mod ) ogrüasıı bir çözümü olsu. Bu durumda ax b(mod ) ve i =,, içi i olduğuda i =,, içi ax b(mod ) 0 Karşıt olara 0 i i =,, içi ax b(mod ) olsu. i =,, içi ax0 b ve 0 i i j içi (, ) = olduğuda ax0 b yai ax0 b(mod ) buluur. i j Teorem 3.9 a göre büyü bir bileşi modüle sahip ogrüasları çözme içi Çilileri Kala teoremide yararlaılabiliir. Öre 6. 3x (mod77) ogrüasıı çözme içi = 77 = 7. olduğuda buu yerie 3x (mod 7) 3x (mod) sistemii çözebiliriz. Bu sistemde x 0(mod 7), x (mod) sistemie detir. Şimdi Çilileri Kala teoremii ullaara bu sistemi çözelim: x 0(mod 7), x = 7, Z bu değeri. ogrüasta yerleştirirse 7 (mod) 8(mod) = 8 +, Z ve burada da x = 7 = , Z elde edilir. Birde Fazla Bilimeye İçere Lieer Kogrüaslar ax + a x + L + am xm c(mod ) gibi birde fazla bilimeye içere lieer ogrüasları çözümü, belirli sayıda te bilimeyeli ogrüasları ara araya çözülmesi ile gerçeleştirilir. Bu tip ogrüaslar haıda fiir sahibi olma içi aşağıdai teoremi ispatsız olara vereceğiz. Teorem 3.0 d ( a, a,, am, ) = olma üzere, K ax + a x + L + am xm c(mod ) ogrüasıı mod ye göre m () d c ise tam d tae çözümü vardır. ve () d F c ise çözüm yotur. İspat: (Bz. W.J. LeVeque sf.33) a x m m + a x + L + a x c(mod ) şelide bir ogrüası çözme içi, eğer d > d c ise ogrüası her ii tarafıı d ye bölere ogrüas a x + a x + L + am xm c (mod ) a, a, K, am, = Eğer ( a a K, am, ) = d ise a m, d = olduğuda a x c (mod d ) ogrüasıı (mod d ) tam bir tae çözümü şelie idirgeir, burada ( ) ( ) m m i 30

10 vardır. Böylece ogrüası sağlaya ve 0 x m < ola tae d değerler a x + a x + L + am xm c (mod ) ogrüasıda yerleştirilere d bilimeyeli ogrüaslar elde edilir. Bu şeilde devam edilere bütü çözümler buluur. x m sayısı vardır. Bu tae ( m ) Öre. x + 3y 5(mod8) ii bilimeyeli lieer ogrüasıı çözelim: Bu ogrüası d = (,3,8) =, 5 Teorem 3.8 e göre d. m = 8 tae (mod 8) ogrü olmaya çözüm vardır. Şimdi buları bulalım. d = (,8) =, 3y 5(mod ) y (mod ) y 3(mod ) y 3,7(mod8). y 3(mod8) içi: x + 9 5(mod8) x (mod8) x (mod ) böylece x,3,5,7(mod8) buluur. y 7(mod8) içi: x + 5(mod8) x + 5 5(mod8) x 0(mod8) x 0(mod ) x 0,,,6(mod8) Böylece (mod8) bütü çözüm taımları x, y = 0,7;,7;,7; 6,7;,3; 3,3; 5,3; 7,3 Ödev Problemler -) Aşağıdaileri doğruluğuu ispatlayıız. (i) a b(mod ) ve m ise a b(mod m) (ii) a b(mod ) ve c > 0 ise ca cb(mod c ) (iii) a b(mod ) ve a, b, hepsi d > 0 tamsayısı ile bölüebile tamsayılar ise a / d b / d(mod / d) (iv) a b(mod ) ve c d(mod ) ise herhagi bir x, y tamsayıları içi ax + cy bx + dy (mod ( ) ( ) ) -) a b(mod ) ise ( a, ) = ( b, ) olduğuu gösteriiz. 3-) Kogrüas teorisii ullaara aşağıdaileri doğruluğuu gösteriiz. + (i) (ii) (iii) içi ( 3) ( 3) + ( 3) (mod8) -) 3 ( + ) ola bütü doğal sayıları buluuz. 5-) (i) Herhagi m tae ardışı tamsayıı (mod m ) bir tam ala sistemi oluşturduğuu, (ii) m tae ardışı tamsayıı çarpımıı m ile bölüebildiğii, (iii) Eğer m sayısı te ise,,6, K,m i (mod m ) bir tam ala sistemi oluşturduğuu, (iv) Eğer m > ise,,3, K, m i (mod m ) bir tam ala sistemi olamayacağıı gösteriiz. 3

11 6-)! +! + 3! + L + 00! sayısı 5 e bölüdüğüde ala açtır? Cevap. 3 7-) ab cd(mod ) ve b d(mod ), ( b, ) = ise a c(mod ) olduğuu göteriiz. 8-) a b(mod ) ve a c(mod ) ise b c(mod ) olduğuu göteriiz, burada = (, ) 9-) i bir a tamsayısıı bölmesi aca ve yalız i, a sayısıı so basamağıda oluşa sayıyı bölmesi ile mümü olduğuu göteriiz. 0-) a = c0 + c0 + L + c 0, burada 0 m içi 0 c m < 0 olma üzere, 6 a olması aca ve yalız 6 sayısıı t = c + c + c L c yi bölmesi ile mümüdür ) sayısıı 7, ve 3 sayıları tarafıda bölüdüğüü bölme işlemi yapmada gösteriiz. -) a = c0 + c0 + L + c 0, 0 m içi 0 c m < 0, a sayısıı odalı açılımı olsu. (i) 7 a 7 c L c c, (ii) olduğuu gösteriiz. 3 a 3 c L c 9c o 3-) x + 50y = 66 Diofat delemii ogrüas yardımı ile çözüüz. -) x 5(mod 6), x (mod), x 3(mod7) sistemii çözüüz. (Cevap. x 785(mod) 5-) 7 x = 3(mod 0) ogrüasıı çözüüz. (Cevap. x 99(mod 0) o 6-) Bir tamsayı 9,, 3 ile bölüdüğüde sırasıyla,, 6 alaları bıraıyor. ile 00 arasıda yer ala bu tamsayıyı buluuz. (Cevap. 838) 7-) x + 7 y 5(mod ) ogrüasıı (mod ) bütü çözümlerii buluuz. (Cevap. x, y = 5,;,;,3 ;0,3; 3,5; 9,5;,7; 8,7;,9; 7,9; 0,; 6,. 3

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir.

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir. BÖLÜM II Asal Sayılar Taım. p > tam sayısıı de ve ediside başa bölei yosa bu sayıya asal sayı deir. de büyü asal olmaya sayılara da bileşi sayı deir. Teorem. Eğer p bir asal sayı ve p ab ise p a veya p

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

3. Bir kabı, biri 17 diğeri 55 litre su alan ölçeklendirilmemiş iki kap yardımıyla tam olarak 1 litre suyla nasıl doldurursunuz açıklayınız. (10 P.

3. Bir kabı, biri 17 diğeri 55 litre su alan ölçeklendirilmemiş iki kap yardımıyla tam olarak 1 litre suyla nasıl doldurursunuz açıklayınız. (10 P. 0..006 MAT3 AYRIK MATEMATİK ARASINAV SORULARI Numarası :..................................... Adı Soyadı :...................................... F,. Fiboacci sayısıı gösterme üzere, ( 0 P.) (a) F + = F

Detaylı

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1)

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1) TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza

Detaylı

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( )

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( ) . TEMEL KAVRAMLAR Derleye: Osma EKİZ Bu çalışmaı temelii Jiri Herma, Rada Kucera, Jaromir Simsa., Elemetary Problems ad Theorems i Algebra ad Number Theory isimli kitap oluşturmaktadır. İlgili bölümü çevirisi

Detaylı

SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLERLE SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ PROF. DR. MEHMET ERDOĞAN Beyket Üverstes Fe-Edebyat Fakültes Matematk-Blgsayar Bölümü YRD. DOÇ. DR. GÜLŞEN YILMAZ Beyket Üverstes Fe-Edebyat Fakültes

Detaylı

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi,

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi, . Ders Büyü Sayılar Kauları Kouya geçmede öce DeMoivre-Stirlig formülüü ve DeMoivre-Laplace teoremii hatırlayalım. DeMoivre, geel terimi, a!,,, 3,... e ola dizii yaısa olduğuu göstermiş, aca limitii bulamamış.

Detaylı

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde SAYILAR DÜNYASINDA GEZİNTİLER H. Turgay Kaptaoğlu Bu yazıda deri teorilere imede sayıları çoğulula da tamsayıları ilgiç özellileride bahsedeceğiz. Bu özellileri hiçbiri yei değil; yüzyıllar, hatta biyıllar

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açı Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerde alıtı yapma veya Kullaım Koşulları haıda bilgi alma içi http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.aciders.org.tr adresii ziyaret ediiz. 18.102

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri

Detaylı

Matematik Olimpiyatları İçin

Matematik Olimpiyatları İçin KONU ANLATIMLI Matematik Olimpiyatları İçi İdirgemeli Diziler, Kombiatorik ve Cebirsel Uygulamaları LİSE MATEMATİK OLİMPİYATLARI İÇİN Lokma Gökçe, Osma Ekiz İdirgemeli Diziler ve Uygulamaları Lokma Gökçe,

Detaylı

Bir Sınıf Jacobi Matrisi İçin Özdeğer Problemi 1

Bir Sınıf Jacobi Matrisi İçin Özdeğer Problemi 1 S Ü Fe Ed Fa Fe Derg Sayı 7 (6-8, KONYA Bir Sııf Jacobi Matrisi İçi Özdeğer Problemi Oza ÖZKAN Selçu Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi, Matemati Bölümü 479 Kampüs, Koya simetri Jacobi matrislerii özdeğerleri

Detaylı

BÖLÜM IV. olsa r s(mod p) bulunur ki, bu mümkün değildir. Ayrıca bu sayı takımındaki hiçbir sayı p tarafından bölünmez.

BÖLÜM IV. olsa r s(mod p) bulunur ki, bu mümkün değildir. Ayrıca bu sayı takımındaki hiçbir sayı p tarafından bölünmez. BÖLÜM IV (KÜÇÜK FERMAT VE WİLSON TEOREMLERİ Teorem 4. (Fermat Teoremi F a olan bir asal sayı olsun. Bu durumda a (mod İsat: a sayısının a a a K ( a gibi ilk ( katından oluşan sayı takımını gözönüne alalım.

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI:

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: www.testhae.com SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: -RAKAM -SAYI -DOGAL SAYILAR -SAYMA SAYILARI -ÇFT DOGAL SAYILAR -TEK DOGAL SAYILAR -ARDISIK DOGAL SAYILAR -ARDISIK ILK

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS)

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS) T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ (IDEAL PRODUCTS) 070216013 TUĞBA ÖZMEN 080216038 AYŞE MUTLU 080216064 SEVİLAY HOROZ Nil ehri, Düyaı e uzu ehridir (6.650

Detaylı

T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CATALAN SAYILARI VE CATALAN MATRİSLERİ. Hikmet Turan EKİCİ YÜKSEK LİSANS TEZİ

T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CATALAN SAYILARI VE CATALAN MATRİSLERİ. Hikmet Turan EKİCİ YÜKSEK LİSANS TEZİ T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CATALAN SAYILARI VE CATALAN MATRİSLERİ Himet Tura EKİCİ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI DANIŞMAN Dr. Şerife BÜYÜKKÖSE KIRŞEHİR 013 i FEN BİLİMLERİ

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar

Detaylı

D( 4 6 % ) "5 2 ( 0* % 09 ) "5 2

D( 4 6 % ) 5 2 ( 0* % 09 ) 5 2 3 BÖLÜM KAALI SİSEMLEDE EMODİNAMİĞİN I KANUNU I Yasaya giriş Birii bölümde eerjii edilide var veya yo edilemeyeeği vurgulamış, sadee biçim değiştirebileeği belirtilmişti Bu ile deeysel souçlara dayaır

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SÜLEYMNİYE EĞİTİM KURUMLRI MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SORULR. li ile etül ü de içide buluduğu 4 erkek ve 6 bayada oluşa bir grupta

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi oluştura

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R İ H S A N T İ M U Ç İ N D O L A P C İ, Y İ Ğ İ T A K S O Y M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R P U B L I S H E R O F T H I S B O O K Copyright 13 İHSAN TİMUÇİN DOLAPCİ, YİĞİT AKSOY

Detaylı

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ 5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

v = ise v ye spacelike vektör,

v = ise v ye spacelike vektör, D.P.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü 1. ayı Mayıs 6 emi-pozitif Ortogoal Matrisler içi Alteratif İi Yötem WO ALERNAIVE MEHOD FOR EMI-POIIVE OROGONAL MARICE B. BÜKCÜ* *Gaziosmapaşa Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi,

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

Ele Alınacak Ana Konular. Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant, LTI)

Ele Alınacak Ana Konular. Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant, LTI) 5..5 Ele Alıaca Aa Koular Ayrı-zama işaretleri impuls dizisi ciside ifade edilmesi Ayrı-zama LTI sistemleri ovolüsyo toplamı gösterilimi Hafta 3: Doğrusal ve Zamala Değişmeye Sistemler (Liear Time Ivariat

Detaylı

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol komşuluğu: Taım: ; isteildiği kadar küçük seçilebile poziti bir sayı olmak üzere a a açık aralığıa a R sayısıı komşuluğu deir Örek : Taım: a a a a ve 0 00 olsu ' i 0 00 0 00 999 00 : Z R bir dizi deir

Detaylı

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar 0 0 0 Gerçek Say lar Kümesii Geiflletme Gere i Kümesi Aalitik Düzlemde Gösterilmesi Efllei i Modülü da fllemler ki Karmafl k Say Aras daki Uzakl k Karmafl k Say Geometrik Yeri Kutupsal Gösterimi Karmafl

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS YILLAR 4 5 6 7 8 9 ÖSS - - - - - - ÖYS POLĐNOMLAR a,a,a,..., a P () = a + a +... + a R ve N olmak üzere; ifadesie Reel katsayılı.ci derecede bir değişkeli poliom deir. P()= a sabit poliom, (a ) P()= sıfır

Detaylı

KOMBİNASYON: ve r birer pozitif doğal sayı olmak üzere r olsu. farklı elemaı r elemalı alt kümelerii sayısıa i r 2. Örek:! C(,r) = r!. r! li kombiasyou deir ve gösterilir. C(,r) = r P(,r)! = = r r! r!.

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1 Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault

Detaylı

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAUSS BALANS VE GAUSS KOBALANS SAYILARI ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ MUSTAFA YILMAZ DENİZLİ, TEMMUZ - 07 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 60 sayısıı asal çarpalarıa ayrılmış şekli aşağıdakilerde hagisidir? A)..5 D)..5 B)..5 E)..5 C)..5 1.Yötem: 60 180 90 45 60..5 tir. 15 5 5 1.Yötem: Öğrecilerimizi1.Yötemde

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım Normal Dağılımlı Bir Yığı a İlişi İstatistisel Çıarım Bir üretici edi ürüleride, piyasadai 3,5 cm li vidalarda yalıca boyları 3,4 cm ile 3,7 cm aralığıda olaları ullaabilmetedir. Üretici, piyasadai bu

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

WEIBULL DAĞILIM PARAMETRELERİNİ BELİRLEME METODLARININ KARŞILAŞTIRILMASI

WEIBULL DAĞILIM PARAMETRELERİNİ BELİRLEME METODLARININ KARŞILAŞTIRILMASI VII. Ulusal Temiz Eerji Sempozyumu, UTES 008 7-9 Aralı 008, İstabul WEIBULL DAĞILIM PARAMETRELERİNİ BELİRLEME METODLARININ KARŞILAŞTIRILMASI Seyit Ahmet AKDAĞ, Öder GÜLER İstabul Tei Üiversitesi, Eerji

Detaylı

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya

Detaylı

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere, KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-2

Analiz II Çalışma Soruları-2 Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II

Detaylı

Hanoi Kuleleri. Gerekli hareket sayısı =7 (en az 7 aktarma yapılması gerekir)

Hanoi Kuleleri. Gerekli hareket sayısı =7 (en az 7 aktarma yapılması gerekir) Haoi Kuleleri Aşağıdaki gibi, e büyük çaplı disk e altta ve e küçük çaplı disk e üstte olmak üzere, üst üste çapları küçüle 3 tae disk bir çubuğa geçirilmiş olsu. Diskleri birer birer alarak, bir diski

Detaylı

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( )

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( ) Sıava Katıla Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR 2 997. ( )( )( ) ( ) ( ) k x x x... k. x... 997. x poliomu ( ) a x a x... a x, a 0 ve k < k

Detaylı

6 (saatte 6 müşteri aramaktadır), servis hızı ise. 0.6e

6 (saatte 6 müşteri aramaktadır), servis hızı ise. 0.6e İST KUYRUK TEORİSİ ARASIAV SORULARI ( MAYIS ). Bir baaı müşteri hizmetleride te işi hizmet vermetedir. Müşteriler ortalama daiada bir arama yapmatadır bua arşı ortalama servis süresi ise daia sürmetedir.

Detaylı

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005 8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi

Detaylı

ÇİN KALAN TEOREMİ. Chinese Remainder Theorem A.KILIÇ & V.SERT Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ

ÇİN KALAN TEOREMİ. Chinese Remainder Theorem A.KILIÇ & V.SERT Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ Chiese Remaider Theorem A.KILIÇ & V.SERT 2012 Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ İçidekiler Sayfa o Semboller 2 Ösöz 3 Öbilgiler 4 Geel Halkalar içi Çi Kala Teoremi 7 Çi Kala Teoremii Tamsayılar Halkasıa

Detaylı

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748 ISBN - 978-605-563-60-4 Sertifia No: 748 GENEL KOORDİNATÖR: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR REDAKTE: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR SERDAR DEMİRCİ SABRİ ŞENTÜRK Basm Yeri: EVOS BASIM - ANKARA Bu itab tüm basm ve yay halar

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

Explanation: Number of bracelets made with 2 blue, 2 identical red and n identical black beads.

Explanation: Number of bracelets made with 2 blue, 2 identical red and n identical black beads. http://oeis.org/a - (,,) Origial wor by Ata Aydi Uslu Hamdi Gota Ozmeese.. Explaatio: Number of bracelets made with blue, idetical red ad idetical blac beads. Usage: Chemistry: CROSSRES: A85 A989 A989

Detaylı

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz. 19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI OLASILIK HESABI Bu derste, uygulamalarda sıkça karşılaşıla, Olasılık Uzaylarıda bazılarıa değieceğiz ve verilmiş bir Olasılık Uzayıda olasılık hesabı yapacağız. Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω {

Detaylı

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE İSTATİSTİKSEL YORUMLAMA TAHMİNLEME SÜRECİ VE YORUMLAMA SÜRECİ ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI VE ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI Yorumlama

Detaylı

14. Kümelerin Niceliklerinin Kıyaslanışı ve Sonsuzluğun Mertebeleri

14. Kümelerin Niceliklerinin Kıyaslanışı ve Sonsuzluğun Mertebeleri =2. Kısmı Başı= 14. Kümeleri Niceliklerii Kıyaslaışı ve Sosuzluğu Mertebeleri Sosuz kümeleri iceliklerii kıyaslamak içi, öğe sayısı yaklaşımı yetersizdir. Farklı bir yaklaşım gereklidir. İki küme A, B

Detaylı

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s - 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ AÇILARI VE KENARLARI ARĠTMETĠK, GEOMETRĠK VE HARMONĠK DĠZĠ OLUġTURAN ÜÇGENLER ĠLE x 3y z DĠOPHANTĠNE DENKLEMĠ ARASINDAKĠ ĠLĠġKĠ ÜZERĠNE BĠR ARAġTIRMA Tayfu

Detaylı

KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM. Neslihan KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM. Neslihan KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM Nesliha KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ŞUBAT 00 ANKARA Nesliha Koza BAŞAK taraıda hazırlaa KANTOROVICH-STANCU

Detaylı

BÖLÜM I. Tam sayılarda Bölünebilme

BÖLÜM I. Tam sayılarda Bölünebilme BÖLÜM I Tam sayılara Bölünebilme Teorem 1.1 (Bölme algoritması) b > 0 olmak üzere, verilen a ve b tam sayıları için a = qb + r, 0 r < b (1) olacak şekile bir ve bir tek q, r Z çifti varır. İspat: 1. İlk

Detaylı

Sisteme gire aışaı eerjisi; ieti, potasiyel, aış eerjileri ile i eerjii toplamıda oluşmata olup, Q m& g m& Z g Z z0 ref. E g E + E p + u+ E A + gz +u+

Sisteme gire aışaı eerjisi; ieti, potasiyel, aış eerjileri ile i eerjii toplamıda oluşmata olup, Q m& g m& Z g Z z0 ref. E g E + E p + u+ E A + gz +u+ 4. BÖLÜM AÇIK SİSEMLERDE ERMODİNAMİĞİN I. KANUNU Aı aışlı sistemleri sııfladırılması Aı Sistem Aışlı Kararlı aışlı Kararsız aışlı dm dm 0 m& g m& 0 m& g m& dt dt Not: Aı sistemlerde eerji depolaması sözousu

Detaylı

Cahit Arf Liseler Arası Matematik Yarışması 2008

Cahit Arf Liseler Arası Matematik Yarışması 2008 Cahit Arf Liseler Arası Matemati Yarışması 2008 İinci Aşama 11 Mayıs 2008 Notlar: Birnci tasla. 1. Tamsayılardan gerçel sayılara tanımlı fonsiyonlar ümesi üzerinde şöyle bir operatörü tanımlayalım: f(x)

Detaylı

ÖABT Sayılar Teorisi KONU TESTİ Tam Sayılarda Bölünebilme

ÖABT Sayılar Teorisi KONU TESTİ Tam Sayılarda Bölünebilme ÖABT Sayılar Teorisi KONU TESTİ Tam Sayılarda Bölünebilme ÇÖZÜMLER. a b ve b a a b, a, b a b a b ve b c a c olduğundan a b ve c d ise a c b d olmayabilir. ve 5., ve olduğundan sonsuz çözüm vardır...9.9

Detaylı

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri uyruk Teorisi Ders Notları: Bazı uyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@akara.edu.tr 10 ASIM 2017 11. HAFTA 6 Çok kaallı, solu N kapasiteli, kuyruk sistemi M/M//N/ Birimleri sisteme gelişleri arasıdaki

Detaylı

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir.

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir. YER ÖLÇÜLERİ Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr,

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI µ µ içi Güve Aralığı ALTERNATİF İTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMAI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim

Detaylı

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı)

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı) 3 TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ 3.1. Sapmasızlık 3.. Tutarlılık 3.3. Etkilik miimum varyas 3.4. Aralık tahmii (güve aralığı) İyi bir tahmi edici dağılımı tahmi edilecek populasyo parametresie yakı civarda

Detaylı

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz TĐCARĐ MATEMATĐK - 5 Bileşik 57ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: Örek 57: 0000 YTL yıllık %40 faiz oraıyla yıl bileşik faiz ile bakaya yatırılmıştır Bu paraı yılı souda ulaşacağı değer edir? IYol: PV = 0000 YTL = PV (

Detaylı

Ki- kare Bağımsızlık Testi

Ki- kare Bağımsızlık Testi PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN Ki- kare Bağımsızlık Testi Daha öceki bölümlerde ölçümler arasıdaki ilişkileri asıl iceleeceğii gördük. Acak sıklıkla ilgileile veriler ölçüm

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matemat Deneme Sınavı. ii basamalı doğal saıdır. 6 en büü saısı ile en üçü saısının toplamı açtır? 8 89 8 6. için, 9 ( ) ifadesinin sonucu aşağıdailerden hangisidir? 6. ile saıları arasındai çift saıların

Detaylı

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları PROJE RAPORU PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıları. Derecede Kökler Toplamı ve Trigoometrik Yasımaları PROJENİN AMACI: Karmaşık sayıı karekökleri toplamı sıfırdır. Peki. derecede kök toplamı içi de geçerli miydi?

Detaylı

35 Yay Dalgaları. Test 1'in Çözümleri. Yanıt B dir.

35 Yay Dalgaları. Test 1'in Çözümleri. Yanıt B dir. 35 Yay Dalgaları 1 Test 1'i Çözümleri 1. dalga üreteci 3. m 1 2m 2 Türdeş bir yayı her tarafıı kalılığı ayıdır. tma türdeş yay üzeride ilerlerke dalga boyu ve hızı değişmez. İlk üretile ı geişliği büyük,

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONVEKS FONKSİYONLAR VE MATRİS EŞİTSİZLİKLERİ Vilda BACAK YÜKSEK LİSANS TEZİ Matemati Aabilim Dalı Temmuz- KONYA Her Haı Salıdır ÖZET YÜKSEK LİSANS TEZİ

Detaylı

h)

h) ĐZMĐR FEN LĐSESĐ TÜMEVARIM-DĐZĐLER-SERĐLER ÇALIŞMA SORULARI TÜME VARIM:. Aşağıdaki ifadelerde geel bir kural çıkarabilir misiiz? a) p()= ++4 poliomuda değişkeie 0,,,, değerleri verdiğimizde elde edile

Detaylı

Ardışık sayılar YILLAR

Ardışık sayılar YILLAR YILLAR 00 00 004 005 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - - - 1 - - - 1 ÇÖZÜM 1: ARDIŞIK SAYILAR +(+1)+(+)++(+14)=085 Belli bir kurala göre ard arda sıralaa sayılara ardışık sayılar deir Z olmak üzere; 14

Detaylı

HARDY-CROSS METODU VE UYGULANMASI

HARDY-CROSS METODU VE UYGULANMASI HRY-ROSS MTOU V UYGUNMSI ğ şebekelerde debi bir oktaya çeşitli yollarda gelebildiği içi, şebekei er agi bir borusua suyu agi yolda geldiğii ilk bakışta söyleyebilmek geellikle mümkü değildir. Çözümleme

Detaylı

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır?

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır? PROBLEMLER: 9 Sıavı 5 a, a, a,..., a Z, 0 a k olmak üzere, 95 sayısı faktöriyel tabaıda 5. k 95 = a+ a.! + a.! +... + a.! biçimide yazılıyor. a kaçtır? (! =...( ) ) 0 ( B ) ( C ) ( D ) ( E ). Bir ABC üçgeide

Detaylı

Bölüm 5: Hareket Kanunları

Bölüm 5: Hareket Kanunları Bölüm 5: Hareket Kauları Kavrama Soruları 1- Bir cismi kütlesi ile ağırlığı ayımıdır? 2- Ne zama bir cismi kütlesi sayısal değerce ağırlığıa eşit olur? 3- Eşit kollu terazi kütleyi mi yoksa ağırlığı mı

Detaylı

MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI. Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI. Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ OCAK 200 ANKARA ii Mehmet YILDIZ tarafıda hazırlaa MÖBİUS

Detaylı

BAZI CENTRO-POLYHEDRAL GRUPLARIN PELL UZUNLUKLARI. G of the group G A by generated the

BAZI CENTRO-POLYHEDRAL GRUPLARIN PELL UZUNLUKLARI. G of the group G A by generated the BAZI CENTRO-OLYHEDRAL GRULARIN ELL UZUNLUKLARI Ömür DEVECİ 1, Hasa ÖZTÜRK 1 1 Kafkas Üiversitesi, Fe Edebiyat Fakültesi-36100/Kars e-mail: odeveci36@hotmail.com Abstract I [13], Deveci ad Karaduma defied

Detaylı

ELĐPTĐK-PARABOLĐK DĐFERENSĐYEL DENKLEMLERĐN LOKAL OLMAYAN SINIR DEĞER PROBLEMLERĐ ĐÇĐN FARK ŞEMALARI

ELĐPTĐK-PARABOLĐK DĐFERENSĐYEL DENKLEMLERĐN LOKAL OLMAYAN SINIR DEĞER PROBLEMLERĐ ĐÇĐN FARK ŞEMALARI YILDIZ TEKNĐK ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ ELĐPTĐK-PARABOLĐK DĐFERENSĐYEL DENKLEMLERĐN LOKAL OLMAYAN SINIR DEĞER PROBLEMLERĐ ĐÇĐN FARK ŞEMALARI Oa GERÇEK FBE Matemati Aabilimdalı Matemati Programıda

Detaylı

GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz

GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz GAMA FONKSİYONU H. Turgay Kaptaoğlu A. Taım Gama foksiyou, < < değerleri içi Euler itegrali dediğimiz Γ( = t e t dt itegrali ile taımlaır. Öce bu ifadei e demek olduğuu alamaya çalışalım. bir gerçel sayı

Detaylı

MATE 409 SAYILAR TEORİSİ BÖLÜM: 8. Muazzez Sofuoğlu Nebil Tamcoşar

MATE 409 SAYILAR TEORİSİ BÖLÜM: 8. Muazzez Sofuoğlu Nebil Tamcoşar MATE 409 SAYILAR TEORİSİ BÖLÜM: 8 LİNEER KONGRÜANSLAR Muazzez Sofuoğlu 067787 Nebil Tamcoşar 8.1. Bir Değişkenli Lineer Kongrüanslar a,b ve m/a olmak üzere; Z ax b(modm) şeklindeki bir kongrüansa, birinci

Detaylı