BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

Transkript

1 BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre ogrü değildir deir ve a b (mod ) şelide gösterilir. Geel olara > abul edilir. Teorem 3. Herhagi ii a ve b tamsayısı içi a b(mod ) olması aca ve yalız a ve b i ile bölüdüğüde ayı (egatif olmaya) alaı bıramasıdır. İspat:. a b(mod ) olsu. Bu durumda ( a b) ve böylece a = b +, Z şelide b yi ye bölerse b = q + r, 0 r < ve burada da a = b + = ( q + ) + r, 0 r < buluur. O halde a ve b, ile bölüdüğüde ayı alaı bıraır. a = q + r, b = q + r, 0 r < olsu. Bua göre ( a b), yai a b(mod ) Taım 3. 3 Bir a tam sayısı verilmiş olsu. a yı sayısıa alalı olara bölerse a = q + r, 0 r < Yai a r(mod ) buluur. Bu durumda a ı değerie göre r i alacağı değerler 0,,,..., sayılarıda biri tae sayıda oluşa 0,,,..., taıma mod egatif olmaya e üçü ala sistemi deir. Teorem 3. " " bağıtısı tam sayılar ümesi üzeride bir deli bağıtısıdır. Yai N sabit bir sayı olma üzere, her a, b, c Z içi. a a(mod ). a b(mod ) ise b a(mod ) 3. a b(mod ) ve b c(mod ) ise a c(mod ) İspat: ( Ödev) Teorem 3.5 > bir tamsayı ve a, b, c, d eyfi tam sayılar olsu Bu durumda aşağıdai özelliler geçerli. a b(mod ) ve c d(mod ) ise a + c b + d(mod ) ve ac bd(mod ). a b(mod ) ise a + c b + c(mod ) ve ac bc(mod ) 3. a b(mod ) ise herhagibir pozitif tamsayısı içi a b (mod )

2 İspat: ( Ödev) Souç 3.6 Eğer f x, x, K, x ) atsayıları tamsayı ola bir poliom ve i m içi ai bi (mod ) ise ( m f a, a, am ) f ( b, b, bm )(mod ) ( Öre. f ( x, x ) = x + xx + 3x + olsu. 5 (mod7), 5(mod 7) böylece f ( 5,) f (,5)(mod7) Gerçete (5) + (5)() + 3() + () + ()(5) + 3(5) + (mod 7) Teorem 3.5 te a b(mod ) ise herhagi bir c Z içi ac bc(mod ) olduğuu belirtmişti. Faat buu arşıtı her zama doğru değil Öreği 3. 3.(mod 6) faat (mod 6). Yai ogrüas aritmetiğide gelişi güzel ısaltma yapılamaz. d Teorem 3.7 Eğer ac bc(mod ) ve ( c, ) = d ise a b mod d c c İspat: ac bc(mod ) ise ( ac bc) ohalde ( a b) ve, = d d d d ( a b) yai, a b mod d Souç 3.8 Eğer ac bc(mod ) ve (, ) = Souç 3.9 Eğer ac bc(mod p) ve, c ise a b( mod ) böylece p pf c ola bir asal sayı ise a b( mod p) Öre. Kogrüas teorisi ullaara 6 F 5 olduğuu gösterelim. Burada F = 5. 7 (mod 6) ogrüasıı her ii tarafıı dördücü uvvetii 8 alırsa 5. (mod 6) buluur. Diğer tarafta 5 6 (mod 6) olduğuda (mod 6) ve böylece 3 (mod6), yai 3 + 0(mod 6) elde edilir. Teorem 3.0 a b(mod ) ve a b(mod ) ise a b(mod ) dir, burada = [, ] İspat: (, ) = d ile gösterelim. Bu durumda = ds, = ds olaca şeilde s, s Z sayıları vardır. ( a b) olduğuda ( a b) = x = dsx olaca şeilde x Z ve ( a ) olduğuda ( b) = y = ds y olaca şeilde y Z sayısı vardır. Böylece b a ds x = ds y Öte yada ( s, s ) = olduğuda s x = s y de s s y ve böylece y = s z, z Z buluur. O halde ( a b) = sz = z = [, ]z ve buu soucu olara d ( a yai a b(mod ) [ ] ), b 3

3 Taım 3. N sabit bir sayı olma üzere, modülüe göre ogrüaslarla uğraştığımız zama " " bağıtısıı tam sayılar ümesi üzeride bir deli bağıtısı olduğuu görmüştü. Bua göre " " bağıtısı Z üzeride bir sııflara ayrılış belirler. " " bağıtısıı belirlediği bu deli sııflarıa mod ala sııfları deir ve herhagi bir a tamsayısı içi x a(mod ) şelidei bütü tam sayılar a ı buluduğu deli sııfıa aittirler. Bu durumda sabit bir sayısı içi Z tam sayılar ümesi tae ayrı ala sııfıa parçalaır. Her ala sııfıda bir ve yalız bir temsilci seçmele elde edile sayı taımıa mod bir tam ala sistemi deir. Eğer a, a, a mod bir tam ala sistemi ise bu sayılar belirli bir sırada alıdıları zama modülüe göre 0,,..., sayılarıda birie ogrüdür. Öre. -0, -7, -8,, 7, 9, 30,, 76, 77, 03 ( mod ) bir tam ala sistemi Gerçete 0 (mod), 7 5(mod), 8 3(mod), (mod), 7 6(mod), 9 7(mod),30 8(mod), 9(mod), 76 0(mod), 77 0(mod),03 (mod) Yuarıdai bilgilere göre eğer a, a, K, a gibi bir sayı taımı mod bir tam ala sistemi ise aşağıdai özellilere sahiptir:. i j içi ai a j (mod ),. Herhagi bir a tamsayısı içi a ai (mod ) olaca şeilde i ola bir i idisi vardır. ise de Teorem 3. Eğer mod bir tam ala sistemi a, a, K, a mod bir tam ala sistemi,, b Z ve (, ) = a + b a + b,, a + b, K İspat:. Eğer ai + b a j + b(mod ) ise ai a j (mod ) ve (, ) = olduğuda Souç 3.8 e göre ai a j (mod ) a, a, K, a mod bir tam ala sistemi olduğuda i = j olma zorudadır.. Teorem. e göre (, ) = ise herhagi bir a Z içi x a b(mod ) ogrüasıı x 0 gibi bir çözümü vardır. a, a, K, a mod bir tam ala sistemi olduğuda x a (mod ) olaca şeilde i ola bir i idisi vardır. Bua göre 0 i 0 a a b(mod ) x i ve böylece a i + b a(mod ) buluur. Özel Bölüebilirli Testleri b > bir tamsayı olsu. Herhagi bir pozitif a tamsayısı b i uvvetleri şelide a = c0 + cb + L+ c b şelide te türlü olara gösterilebilir, burada 0 m içi 0 c m < b a sayısıı bu gösterilişie a ı b tabaıa göre veya b-adi gösterilişi deir ve

4 şelide gösterilir. a = ( L 0 c c ccc ) b Teorem 3.3 a = c0 + c0 + L + c 0, 0 m içi 0 c m < 0, a sayısıı odalı açılımı ve t = c0 + c + L+ c olsu. Bu durumda (i) 3 a olması aca ve yalız 3 t olması ile mümüdür. (ii) İspat: 9 a olması aca ve yalız 9 t olması ile mümüdür. f x ) = = 0 ( c x olsu (i) 0 (mod 3) Souç 3.6 ya göre f ( 0) f ()(mod3 ) f ( 0) = a, f () = t a t(mod3). Böylece a t(mod 3), 3 a t a 0(mod 3) 3 t. (ii) 0 (mod 9) Souç 3.6 ya göre f ( 0) f ()(mod9 ) f ( 0) = a, f () = t a t(mod9). Böylece a t(mod 9), 9 a t a 0(mod 9) 9 t. Teorem 3. a = c0 + c0 + L + c 0, 0 m içi 0 c m < 0, a sayısıı odalı açılımı ve t = c c + c L + ( ) c olsu. Bu durumda a olması aca ve yalız 0 t olması ile mümüdür. İspat: f x ) = = 0 ( c x derse 0 (mod) f ( 0) f ( )(mod). f ( 0) = a, f ( ) = t, a t (mod). Böylece a t. Teorem 3.5 a = c0 + c0 + L + c 0, 0 m içi 0 c m < 0, a sayısıı odalı açılımı olsu. a sayısıı 7, ve 3 sayılarıı hepsi ile bölüebilmesi aca ve yalız u = ( 00c + 0c + c0 ) (00c 5 + 0c + c3) + (00c8 + 0c7 + c6 ) L sayısıı 7, ve 3 sayılarıı hepsi ile bölümesi (00c İspat: 7..3=00 3m 3m+ Eğer m çift ise 0, 0 3m+ 0, 0 00(mod00) + 0c + c 0 0 3m ) (00c c 3m+ 3m+ Eğer m te ise 0, 0 0, 0 00(mod00) O halde a = (00c + 0c + c 3+ ) + (0 c c c ) + (0 c c c + c 3 3 ) + (00c 8 + 0c c 6 7 ) L(mod00) Bua göre 00 a olması aca ve yalız 00 u olması ile mümüdür. 6 ) + L 5

5 Lieer Kogrüaslar Taım 3.6 > bir doğal sayı a, b Z olma üzere, ax b(mod ) şelidei bir ogrüasa bir bilimeyeli lieer ogrüas deir. Taıma göre ax0 b(mod ) olması aca ve yalız ax 0 b = y0 olaca şeilde bir y 0 Z olması ile mümüdür. Yai ax b(mod ) ogrüasıı sağlaya bütü tamsayıları bulma problemi ile ax y = b lieer Diofat delemii çözme problemi ayıdır. Not. x 0, ax b(mod ) ogrüasıı bir çözümü ise x 0 ile mod ayı ala sııfıa ait bütü tamsayılarda bu ogrüası bir çözümüdür. ax b(mod ) ogrüasıı birbiride farlı çözümlerii sayısı dediği zama ogrüası sağlaya faat mod ye göre ogrü olmaya tam sayıları sayısı alaşılacatır. Teorem 3.7 d = ( a, ) olma üzere, ax b(mod ) ogrüasıı bir çözümüü olması aca ve yalız d b olması ile mümüdür. Eğer d b ise bu ogrüası mod ye göre ogrü olmaya tam d tae çözümü vardır. İspat: Daha öcede verile ogrüası ax y = b Diofat delemie eşdeğer olduğuu görmüştü. Teorem. e göre bu Diofat delemii çözümlü olması içi gere ve yeter oşul ( a, ) b olmasıdır. Eğer bu Diofat delemi çözümlü ise x 0, y 0 Z bir özel çözüm olma üzere, diğer çözümler a x = x0 + t, y = y0 + t, t Z şelide t = 0,, K, d içi x 0, x0 +, x0 +, K, x0 + ( d ) () d d d çözümlerii gözöüe alalım. Bu tamsayılar mod ye göre ogrü değildirler. Asi halde x 0 + t x0 + t (mod ), 0 t < t d d d olsa t (mod t ),, = olduğuda t t (mod d) elde edilir i bu mümü d d d d değil Şimdi x = x0 + t, t Z şelidei bir çözümü mod ye göre () dei sayılarda herhagi birie ogrü olduğuu gösterelim: t ve d çiftie bölme algoritması uygularsa t = qd + r, 0 r d x = x0 + t = x0 + ( qd + r) = x0 + q + r x0 + r (mod ) ve x 0 + r, () de d d d sıralaa tamsayılarda biri 6

6 Souç: (i) Eğer x 0, ax b(mod ) ogrüasıı bir çözümü ve d = ( a, ) ise, bu ogrüası mod ye göre ogrü olmaya x 0, x0 +, x0 +, K, x0 + ( d ) d d d gibi tam d tae çözümü vardır. (ii) d = ( a, ) = ise ax b(mod ) ogrüasıı mod ye göre te çözümü vardır. ax b(mod ) ogrüasıı çözme içi, ogrüası ax y = b şelide bir lieer Diofat delemie döüştürme veya verile ogrüası her ii tarafıı ile aralarıda asal bir sayı ile çarpara x i atsayısıı yapma, gibi çeşitli çözüm yötemleri vardır. Öre 3. 0x 33(mod 30) ogrüasıı çözelim.. Çözüm. 0x 33(mod 30) ogrüasıı çözme, 0 x 30y = 33 Diofat delemii çözmeye detir. ( 0,30) = 7 ve 7 33 olduğuda çözüm var. Şimdi 33 sayısıı 0 ve 30 sayılarıı lieer ombiezou olara yazalım: 7= olara yazılabilir ve burada 33=0(-85)-30(-33) elde edilir. Yai x 0 = 85, y0 = 33 verile delemi bir çözümümdür. Diğer çözümler a x = x0 + t, y = y0 + t, t Z formülüde x = t, y = t, t Z şelide buluur. x = t, t Z burada t = 0,,,3,,5, 6 içi (mod 30) e göre ogrü olmaya bütü çözümler x 85,, 99, 56, 3, 70, 7 6, 59, 0, 5, 88, 3, 7(mod 30) olara buluur.. Çözüm. 0x 33(mod 30) 0x 9(mod 3) 0x 38(mod 3) 3x 5(mod 3) x 70(mod 3) x 6(mod 3) (mod 30) e göre ogrü olmaya pozitif çözümler x 6, 59, 0, 5, 88, 3, 7(mod 30) olara buluur. Teorem 3.8 (Çilileri Kala Teoremi) de büyü pozitif tamsayılar olma üzere, x a (mod ogrüas sistemii modulo r,,, r i j K içi (, ) = ) x a (mod ) M ola i j x a r (mod r ) K ye göre te türlü belirli bir çözümü vardır. 7

7 İspat: = Kr ve =,, r içi N = = K + Kr ile gösterelim. Hipoteze göre ler iişer iişer aralarıda asal oldularıda ( N, ) = i Bu edele N x (mod ) ogrüasıı (mod ) ya göre te türlü çözümü vardır, bu çözümü x ile gösterirse, x 0 = anx + a N x + L+ ar N r xr, verile sistemi bir çözümüdür. Gerçete i içi, Ni olduğuda Ni 0(mod ) dır. Buu soucu olara x0 a N x (mod ) buluur. Öte yada x, N x (mod ) ı bir çözümü olduğuda N x (mod ) ve böylece =,, r içi x a N x a (mod ) 0 buluur. Bu ise x 0 ı verile sistemi bir çözümü olduğuu gösterir. Şimdi bu çözümü modulo Kr ye göre te türlü belirli olduğuu gösterelim: Verile sistemi x 0 gibi bir başa çözümüü olduğuu abul edelim. Bu durumda =,, r içi, x 0 x0 (mod ) yai ( x 0 x0 ) dır. Öte yada i j içi ( i, j ) = olduğuda K r ( x0 x0 ) ve buradada x x0 (mod K ) buluur. 0 r Öre. x (mod ) x (mod 3) x (mod 5) sistemii çözelim: =.3.5 = 30 ve N = = 5, N = = 0, N 3 = = x (mod ) x (mod ) x =. 0x (mod3) x (mod3) x =. 6x (mod5) x (mod5) x. x = = 9 9(mod30) dır. 0 =,, r içi m lar iişer iişer aralarıda asal olma üzere, a x b (mod m ) a x b (mod m ) M ar x br (mod mr ) gibi bir lieer ogrüas sistemi verilmiş olsu. Bu sistemi çözümlü olabilmesi içi ö oşul, sistemdei her bir lieer ogrüası çözümlü olmasıdır. Bu durmda =,, r içi d = ( a, m ) olma üzere d a olmalıdır. Bu oşul sağladıta sora herbir. ogrüas d ile sadeleştirilere, il sistemle ayı çözümlere sahip yei bir a x b (mod ), a x b (mod ), K, ar x br (mod r ) m sistemi elde edilir, burada = ve i j içi ( i, j ) =, ( a i, i ) = Bu sistemdei d ogrüasları ayrı ayrı çözümleri x c (mod ), x c (mod ), x c r (mod r ) (*) şelide ise problem, (*) sistemii çözümlerii bulmaya idirgeir. 3 = 8

8 Öre 5. sistemii çözelim: x (mod 5) 3x 3(mod 6) x (mod 7) 5x 9(mod). Çözüm Yötemi. 5, 6, 7, iişer iişer aralarıda asal. (,5) = olduğuda x (mod5) ogrüası çözümlü, ( 3,6) = 3 ve 3 3 olduğuda. ogrüas çözümlü ve 3x 3(mod 6) x (mod ) (,7) = o halde x (mod7) çözümlü ve so olara ( 5,) = olduğuda 5x 9(mod) ogrüası çözümlüdür. Böylece il sistemle ayı çözümlere sahip ola x (mod5), x (mod ), x (mod7), 5x 9(mod) gibi yei bir sistem elde edilir. Öte yada bu sistem x 3(mod5), x (mod ), x (mod7), x (mod) sistemie detir. Problem yuarıdai sistemi çözmeye idirgeir. Teorem 3.8 dei otasyolara göre, = 770; a = 3, N = 5; a =, N = 385; a3 =, N3 = 0; a =, N = 70 5x (mod 5) x (mod 5) x = 385x (mod ) x (mod ) x 0x (mod 7) x 3(mod 7) x 70x (mod) x 3(mod) x 3 = = 3 = 3 x = = (mod 770) buluur. 0 Şimdi bu şeildei sistemleri çözme içi ullaıla bir başa metodu bu öre üzeride gösterelim.. Çözüm Yötemi. x (mod 5) x 3(mod5) x = 3 + 5, Z. x içi bulua bu değer sistemi. ogrüasıda yerleştirilir. 3x 3(mod 6) x (mod ) (mod ) 0(mod ) =, Z x = 3 + 5( ), Z, x içi bulua so değer sistemi 3. ogrüasıda yerleştirilirse, x (mod 7) (3 + 0 ) (mod 7) 5 3(mod 7) (mod 7) = + 73, 3 Z x = = 3 + 0( + 73 ) = , 3 Z buluur ve x i bu değerii sistemi so ogrüasıda yerleştirirse burada 5( ) 9(mod) 03 (mod) 3 (mod) 3 9(mod) 3 = 9 +, Z x = = (9 + ) = , Z buluur. Yai x 653(mod 770) tir. ogrüası Teorem 3.9 Eğer = i i= ve i < j içi (, ) = ise ax b(mod ) i j ax b(mod ), ax b(mod ), K, ax b(mod ) (**) 9

9 sistemie detir, yai ogrüasıı her bir çözümü ayı zamada (**) sistemii de bir çözümüdür ve buu tersi de doğrudur. İspat: x 0, ax b(mod ) ogrüasıı bir çözümü olsu. Bu durumda ax b(mod ) ve i =,, içi i olduğuda i =,, içi ax b(mod ) 0 Karşıt olara 0 i i =,, içi ax b(mod ) olsu. i =,, içi ax0 b ve 0 i i j içi (, ) = olduğuda ax0 b yai ax0 b(mod ) buluur. i j Teorem 3.9 a göre büyü bir bileşi modüle sahip ogrüasları çözme içi Çilileri Kala teoremide yararlaılabiliir. Öre 6. 3x (mod77) ogrüasıı çözme içi = 77 = 7. olduğuda buu yerie 3x (mod 7) 3x (mod) sistemii çözebiliriz. Bu sistemde x 0(mod 7), x (mod) sistemie detir. Şimdi Çilileri Kala teoremii ullaara bu sistemi çözelim: x 0(mod 7), x = 7, Z bu değeri. ogrüasta yerleştirirse 7 (mod) 8(mod) = 8 +, Z ve burada da x = 7 = , Z elde edilir. Birde Fazla Bilimeye İçere Lieer Kogrüaslar ax + a x + L + am xm c(mod ) gibi birde fazla bilimeye içere lieer ogrüasları çözümü, belirli sayıda te bilimeyeli ogrüasları ara araya çözülmesi ile gerçeleştirilir. Bu tip ogrüaslar haıda fiir sahibi olma içi aşağıdai teoremi ispatsız olara vereceğiz. Teorem 3.0 d ( a, a,, am, ) = olma üzere, K ax + a x + L + am xm c(mod ) ogrüasıı mod ye göre m () d c ise tam d tae çözümü vardır. ve () d F c ise çözüm yotur. İspat: (Bz. W.J. LeVeque sf.33) a x m m + a x + L + a x c(mod ) şelide bir ogrüası çözme içi, eğer d > d c ise ogrüası her ii tarafıı d ye bölere ogrüas a x + a x + L + am xm c (mod ) a, a, K, am, = Eğer ( a a K, am, ) = d ise a m, d = olduğuda a x c (mod d ) ogrüasıı (mod d ) tam bir tae çözümü şelie idirgeir, burada ( ) ( ) m m i 30

10 vardır. Böylece ogrüası sağlaya ve 0 x m < ola tae d değerler a x + a x + L + am xm c (mod ) ogrüasıda yerleştirilere d bilimeyeli ogrüaslar elde edilir. Bu şeilde devam edilere bütü çözümler buluur. x m sayısı vardır. Bu tae ( m ) Öre. x + 3y 5(mod8) ii bilimeyeli lieer ogrüasıı çözelim: Bu ogrüası d = (,3,8) =, 5 Teorem 3.8 e göre d. m = 8 tae (mod 8) ogrü olmaya çözüm vardır. Şimdi buları bulalım. d = (,8) =, 3y 5(mod ) y (mod ) y 3(mod ) y 3,7(mod8). y 3(mod8) içi: x + 9 5(mod8) x (mod8) x (mod ) böylece x,3,5,7(mod8) buluur. y 7(mod8) içi: x + 5(mod8) x + 5 5(mod8) x 0(mod8) x 0(mod ) x 0,,,6(mod8) Böylece (mod8) bütü çözüm taımları x, y = 0,7;,7;,7; 6,7;,3; 3,3; 5,3; 7,3 Ödev Problemler -) Aşağıdaileri doğruluğuu ispatlayıız. (i) a b(mod ) ve m ise a b(mod m) (ii) a b(mod ) ve c > 0 ise ca cb(mod c ) (iii) a b(mod ) ve a, b, hepsi d > 0 tamsayısı ile bölüebile tamsayılar ise a / d b / d(mod / d) (iv) a b(mod ) ve c d(mod ) ise herhagi bir x, y tamsayıları içi ax + cy bx + dy (mod ( ) ( ) ) -) a b(mod ) ise ( a, ) = ( b, ) olduğuu gösteriiz. 3-) Kogrüas teorisii ullaara aşağıdaileri doğruluğuu gösteriiz. + (i) (ii) (iii) içi ( 3) ( 3) + ( 3) (mod8) -) 3 ( + ) ola bütü doğal sayıları buluuz. 5-) (i) Herhagi m tae ardışı tamsayıı (mod m ) bir tam ala sistemi oluşturduğuu, (ii) m tae ardışı tamsayıı çarpımıı m ile bölüebildiğii, (iii) Eğer m sayısı te ise,,6, K,m i (mod m ) bir tam ala sistemi oluşturduğuu, (iv) Eğer m > ise,,3, K, m i (mod m ) bir tam ala sistemi olamayacağıı gösteriiz. 3

11 6-)! +! + 3! + L + 00! sayısı 5 e bölüdüğüde ala açtır? Cevap. 3 7-) ab cd(mod ) ve b d(mod ), ( b, ) = ise a c(mod ) olduğuu göteriiz. 8-) a b(mod ) ve a c(mod ) ise b c(mod ) olduğuu göteriiz, burada = (, ) 9-) i bir a tamsayısıı bölmesi aca ve yalız i, a sayısıı so basamağıda oluşa sayıyı bölmesi ile mümü olduğuu göteriiz. 0-) a = c0 + c0 + L + c 0, burada 0 m içi 0 c m < 0 olma üzere, 6 a olması aca ve yalız 6 sayısıı t = c + c + c L c yi bölmesi ile mümüdür ) sayısıı 7, ve 3 sayıları tarafıda bölüdüğüü bölme işlemi yapmada gösteriiz. -) a = c0 + c0 + L + c 0, 0 m içi 0 c m < 0, a sayısıı odalı açılımı olsu. (i) 7 a 7 c L c c, (ii) olduğuu gösteriiz. 3 a 3 c L c 9c o 3-) x + 50y = 66 Diofat delemii ogrüas yardımı ile çözüüz. -) x 5(mod 6), x (mod), x 3(mod7) sistemii çözüüz. (Cevap. x 785(mod) 5-) 7 x = 3(mod 0) ogrüasıı çözüüz. (Cevap. x 99(mod 0) o 6-) Bir tamsayı 9,, 3 ile bölüdüğüde sırasıyla,, 6 alaları bıraıyor. ile 00 arasıda yer ala bu tamsayıyı buluuz. (Cevap. 838) 7-) x + 7 y 5(mod ) ogrüasıı (mod ) bütü çözümlerii buluuz. (Cevap. x, y = 5,;,;,3 ;0,3; 3,5; 9,5;,7; 8,7;,9; 7,9; 0,; 6,. 3