Basit Doğrusal Regresyon Analizi ile Hiyerarşik Doğrusal Modeller Analizinin Karşılaştırılması

Transkript

1 Eğitimde ve Psikoloide Ölçme ve Değerlendirme Dergisi, Kış 2010, 1(2), Basit Doğrusal Regresyon Analizi ile Hiyerarşik Doğrusal Modeller Analizinin Karşılaştırılması Burcu ATAR * Hacettepe Üniversitesi Hiyerarşik veya iç içe geçmiş yapıdaki verilere irçok araştırma alanında rastlanmaktadır. Eğitim alanında öğrenciler, sınıf, okul, şehir, ülke gii hiyerarşik ir sosyal yapının içinde yer alırlar. Bu yapıdaki ir veride aynı sınıftaki veya okuldaki öğrenciler, evrenden rasgele seçilen öğrencilere göre irirlerine daha enzer özellikler gösterirler. O halde, aynı sosyal irimde yer alan ireylerden elde edilen gözlemlerin iririnden tamamen ağımsız olduğu söylenemez. Haluki doğrusal regresyon analizi gii geleneksel istatistiksel analiz yöntemlerindeki en önemli varsayımlardan iri gözlemlerin iririnden ağımsız olmasıdır. Hiyerarşik yapıdaki verilerde ortaya çıkan u prolem, hiyerarşik doğrusal modeller yöntemi ile giderileilir. Bu çalışmada iki düzeyli hiyerarşik doğrusal modellerin yapısı ve TIMSS 1999 Türkiye verisi üzerinde asit doğrusal regresyon analizi ile hiyerarşik doğrusal modeller analizinin karşılaştırmalı uygulaması sunulmuştur. Özet Anahtar Sözcükler: Hiyerarşik doğrusal modeller, çok düzeyli modeller, TIMSS 1999 Astract It is common to see hierarchical or nested data structure in many research areas. In education, students are placed within a hierarchical social structure such as classroom, school, city, country. The students in the same classroom or school exhiit more similar characteristics to each other than the students who are randomly selected from the population. Therefore it can not e said that the oservations gathered from individuals in the same social unit are fully independent. However, one of the important assumptions in traditional statistical analysis procedures is the independence of oservations. The prolem that arouses with hierarchial data structures can e addressed with the hierarchical linear modeling procedures. In this paper, two-level hierarchical linear models have een introduced and the comparison of the analyses with simple linear regression and hierarchical linear modeling on TIMSS 1999 Turkey data have een provided. Keywords: Hierarchical linear models, multilevel models, TIMSS 1999 Sosyal ilimlerde irçok veri hiyerarşik veya iç içe geçmiş yapıdadır. Örneğin, eğitim alanında öğrenciler sınıflarda, sınıflar okullarda, okullar şehirlerde, şehirler ölgelerde, ölgeler de ülkelerde kümelenirler. Yapılan araştırmalarda irim olarak öğrenciler, sınıflar, okullar, v. kullanılailir. Öğrencileri tanımlayan değişkenler olduğu gii, sınıfları ve okulları tanımlayan değişkenler de vardır. Herir okul farklı sayıda sınıf, herir sınıf da farklı sayıda öğrenci içerir. Böyle ir hiyerarşik sistemde, öğrenciler, sınıflar ve okullar farklı düzeylerde tanımlanailirler. Bu durumda, öğrenciler ve onları tanımlayan değişkenler (öğrencilerin cinsiyetleri, sosyoekonomik durumları, aşarıları, v.) hiyerarşik sistemin irinci düzeyinde yer alırlar. Sınıflar ve onları tanımlayan değişkenler (sınıf mevcudu, sınıf öğretmeninin deneyimi, öğretim metodları, v.) sistemin ir üst düzeyinde yani ikinci düzeyde yer alırlar. * Dr., Hacettepe Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, Eğitim Bilimleri Bölümü urcua@hacettepe.edu.tr

2 Eğitimde ve Psikoloide Ölçme ve Değerlendirme Dergisi 79 Okullar ve onları tanımlayan değişkenler (okul mevcudu, okul kaynakları, okul türü, v.) de sistemin üçüncü düzeyinde yer alırlar. Benzer şekilde, ir grup öğrenciden elli zamanlarda elde edilen ölçümler de hiyerarşik veya iç içe geçmiş yapıdadırlar. Bu durumda tekrarlayan ölçümler öğrencilerde kümelenmişlerdir. Herir öğrenci için değişik zamanlarda toplanan ölçümler irinci düzeyde yer alırken, öğrenciler ir üst düzeyde yani ikinci düzeyde yer alırlar. Çok düzeyli verilere tek düzeyli modellerin uygulanması hem istatistiksel hem de kavramsal prolemlere yol açmaktadır (De Leeuw ve Kreft, 1986, Hox, 2002). Hiyerarşik yapıdaki ir veride elli ir sınıftaki öğrenciler aynı öğretmeni, aynı fiziksel koşulları ve enzer deneyimleri paylaştıkları için diğer sınıflardaki öğrencilere göre irirlerine daha enzer özellikler gösterirler (Osorne, 2002). Belli ir okuldaki öğrenciler de aynı okul kaynakları, eğitimsel uygulamalar ve enzer çevresel koşulları paylaştıkları için diğer okullardaki öğrencilere göre irirlerine daha enzerdirler. O halde, aynı sosyal irimde yer alan ireylerden elde edilen gözlemlerin iririnden tamamen ağımsız olması eklenemez. Haluki doğrusal regresyon analizi gii geleneksel istatistiksel analiz yöntemlerinin en önemli varsayımlarından iri gözlemlerin iririnden ağımsız olmasıdır. Hiyerarşik yapıdaki verilerde ortaya çıkan diğer ir prolem de farklı düzeylerdeki değişkenler arasındaki ilişkiler inceleneceği zaman analizde kullanılacak irimin ne olacağı ve u yapıdaki ir verinin nasıl ele alınacağıdır. Örneğin, öğretmen deneyimi, öğretim metodları, sınıf mevcudu gii hiyerarşinin üst düzeylerinde yer alan ağımsız değişkenlerin öğrenci aşarısı gii hiyerarşinin alt düzeyinde yer alan ir ağımlı değişken üzerindeki etkisinin inceleneceği ir çalışmada, ağımsız değişkenlere ait gözlemler sınıf düzeyinde toplanırken, ağımlı değişkene ait gözlemler öğrenci düzeyinde toplanır. Bu durumda, çok düzeyli veriler alt düzeye ait değişkenlerin ir üst düzeyde toplanmasıyla (aggregation) veya üst düzeydeki degişkenlerin ir alt düzeye yayılmasıyla (disaggregation) tek ir düzeye indirgeneilirler. Örneğin, öğrenci düzeyindeki öğrenci aşarısı değişkeni, sınıf düzeyinde toplanailir ve analiz sınıf düzeyinde yapılailir. Bunun için herir sınıfın ortalama aşarısı hesaplanır. Böylece ortalama aşarı sınıf düzeyinde ir değişken haline gelmiş olur ve öğretmen deneyimi, öğretim metodları, sınıf mevcudu gii öğretmen veya sınıf özelliklerinin ortalama sınıf aşarısı üzerindeki etkisinden söz edilir. Bu durumda karşılaşılan en üyük prolem, sınıf içindeki varyasyonun göz ardı edilmesidir ki u ilgi kayı da istatistiksel analizlerde güç kayedilmesine yol açar (Hox, 2002, Raudenush ve Byrk, 2002). Ayrıca araştırmacı sonuçların yorumlanmasında yeterince dikkatli olmazsa, sonuçları analizi yaptığı sınıf düzeyinde değil, öğrenci düzeyinde yorumlayailir (De Leeuw ve Kreft, 1986, Hox, 2002). Diğer ir örnek, sınıf düzeyindeki öğretmen ve sınıf özelliklerinin öğrenci düzeyine yayılması ve analizin öğrenci düzeyinde yapılmasıdır. Bunun için elli ir sınıftaki ütün öğrencilere öğretmen deneyimi, öğretim metodları, sınıf mevcudu değişkenleri için aynı değerler atanır. Bu durumda karşılaşılan en üyük prolem, aynı sınıftaki öğrenciler için öğretmen ve sınıf değiişkenlerine ait gözlemlerin iririne ağımlı olmasıdır. Çok düzeyli veriler uzun ir zamandır gündemde olmasına rağmen, 1980 li yıllara kadar teknik eksiklikler ve ilgisayar programlarının eksikliği, u yapıdaki verilerin uygun yöntemlerle analizine olanak sağlamamıştır li ve 1990 lı yıllarda Aitkin ve Longford (1986), Goldstein (1986), Longford (1987), Byrk ve Raudenush (1992) ve diğerlerinin çok düzeyli modellerin teknik tanımlarını yapmaları ve geliştirdikleri ilgisayar programlarıyla eraer çok düzeyli modeller uygulanailir hale gelmiştir. Literatürde, çok düzeyli verileri tanımlayan tek ir model yoktur ancak mevcut modeller irirlerine üyük oranda enzerlik gösterirler. Bu çalışmada Byrk ve Raudenush (1992) tarafından tanımlanan iki düzeyli hiyerarşik doğrusal modeller (two-level hierarchical linear models) ele alınmıştır. Bu çalışmada, TIMSS (Third International Mathematics and Science Study) 1999 Türkiye verisi kullanılarak sekizinci sınıf öğrencilerin fene karşı tutumlarının genel fen aşarısı üzerindeki etkisi

3 Regresyon Analizi ve Hiyerarşik Doğrusal Modeller Analizi 80 öncelikle geleneksel yöntemlerden asit doğrusal regresyon yöntemi ile daha sonra u analiz yöntemine alternatif olan hiyerarşik doğrusal modeller yöntemi ile analiz edilmiştir. Veri ve Yöntem TIMSS 1999 Türkiye verisinde, Türkiye genelindeki devlet okullarından rasgele seçilen 206 okula ait toplam 7841 sekizinci sınıf öğrencisi ulunmaktadır. Bu öğrencilerin %42.1 i kız, % 57.9 u erkektir. Öğrencilerin genel fen aşarıları, fen aşarı testi ile ölçülmüş olup elde edilen ham puanlar, dağılımın ağırlıklı ortalaması 50, standard sapması 10 olacak şekilde standard puanlara dönüştürülmüştür. Öğrencilerin fene karşı tutumları ise öğrenci anketindeki 4 noktalı Likert tipindeki (tamamen katılıyorum: 4 puan, katılıyorum: 3 puan, katılmıyorum: 2 puan, hiç katılmıyorum: 1 puan) 10 madde ile ölçülmüş olup madde puanlarının toplamı alınmıştır. Basit Doğrusal Regresyon Analizi ve Bulguları Sekizinci sınıf öğrencilerin fen aşarısında öğrencilerin fene karşı tutumlarının etkisini incelemek için aşağıdaki asit doğrusal regresyon modeli kullanılailir: Y i = + X - X ) + e 0 1 ( i i Bu modelde Y i ağımlı değişken olup i öğrencisinin fen aşarı puanı, X i ağımsız değişken olup i öğrencisinin fene karşı tutum puanı olup u değişken ortalaması etrafında merkezlenmiştir. Değişken merkezlenmeden modele alındığında modeldeki kesişim katsayısı olan β 0 fen tutum puanı sıfıra eşit olduğunda fen aşarı puanının eşit olacağı tahmini değer şeklinde yorumlanır. Haluki fen tutum puanı 10 ile 40 arasında değişmektedir ve sıfır değeri almadığından kesişim katsayısı için yapılan yorum anlamlı olmamaktadır. Değişken ortalaması etrafında merkezlendiğinde kesişim katsayısı olan β 0 tahmini fen aşarı puanı ortalaması, eğim katsayısı olan β 1 fene karşı tutumun fen aşarısı üzerindeki tahmini etkisi, modeldeki hata terimi olan ε i ise fene karşı tutum değişkeni kontrol altına alındıktan sonra i öğrencisinin fen aşarı puanının ortalamadan farkı şeklinde yorumlanır. Bu modelde hata terimlerinin iririnden ağımsız olduğu, normal dağılım gösterdiği ve u dağılımın ortalamasının 0, varyansının σ 2 olduğu varsayılır. Basit doğrusal regresyon analizi sonucu elde edilen parametre tahminleri Talo 1 de verilmiştir. Bu taloya göre ortalama fen aşarısı puan olarak tahmin edilmiştir. Fene karşı tutumun fen aşarısı üzerindeki etkisi ise 0.37 puan olarak tahmin edilmiştir. Bu etki, fene karşı tutum puanındaki 1 irimlik artışın fen aşarı puanında ortalama olarak 0.37 puanlık artışa neden olduğu şeklinde yorumlanailir. Analiz sonucunda fen karşı tutumun sekizinci sınıfların fen aşarısı üzerindeki etkisinin istatistiksel olarak 0.05 alfa düzeyinde anlamlı olduğu ulunmuştur (p-değeri < 0.001). Talo 1. Basit Doğrusal Regresyon Analizi Sonuçları Model Parametresi Tahmin Standart Hata p-değeri β 0 (Ortalama Fen Başarısı) < β 1 (Fen Tutumunun Etkisi) < σ 2 (Hata Varyansı) 96.13

4 Eğitimde ve Psikoloide Ölçme ve Değerlendirme Dergisi 81 Bu modelde öğrencilerin fen aşarısının ve fen tutumunun etkisinin okuldan okula değişmediği varsayılmıştır. Bu varsayımı kontrol etmek için asit doğrusal modeller çalışmadaki her okul için tek tek uygulanmıştır. İlk 15 okula ait asit doğrusal regresyon analizi sonuçları Talo 2 de verilmiştir. Bu taloya göre azı okulların ortalama fen aşarısı genel ortalamaya yakın olsa da ortalama fen aşarısı okuldan okula farklılık göstermektedir. Benzer şekilde fen tutumunun fen aşarısı üzerindeki etkisinin de okuldan okula farklılık gösterdiği azı okullarda negatif etkisinin olduğu gözlenmektedir. Diğer ir ifadeyle, modeldeki kesişim ve eğim katsayıları dolayısıyla da regresyon eğrisi okuldan okula farklılık göstermektedir. Bu sonuçlar, öğrencilerin içinde ulundukları okul ortamının öğrencilerin davranışlarında etkili olduğunu göstermektedir. Bu durumda, öğrencilerin fen aşarısı hem öğrenci, hem de okul özelliklerinin ir fonksiyonu olarak modelleneilir. Talo 2. Okullara Göre Basit Doğrusal Regresyon Analizi Sonuçları β 0 (Ortalama Fen Başarısı) β 1 (Fen Tutumunun Etkisi) Okul No Okul Mevcudu Tahmin (S.H.) Tahmin (S.H.) (1.46) (0.34) (1.61) (0.30) (1.32) 0.38 (0.30) (1.22) 0.44 (0.22) (1.45) 0.72 (0.32) (1.35) 1.09 (0.39) (1.35) 0.91 (0.35) (1.78) 0.77 (0.37) (1.68) (0.37) (1.29) 0.52 (0.30) (1.42) (0.37) (1.26) (0.23) (1.70) (0.31) (1.63) 0.46 (0.38) (1.63) 0.20 (0.31) Hiyerarşik Doğrusal Modeller Analizi ve Bulguları Aynı okulda ulunan öğrenciler gerek fene karşı tutumları gerekse fen aşarılarında, farklı okullarda ulunan öğrencilere göre daha homoen ir yapı gösterdiklerinden ve dolayısıyla u öğrencilerden elde edilen gözlemler iririnden tamamen ağımsız olmadığından asit doğrusal resresyon analizi yöntemine göre daha esnek varsayımları olan iki düzeyli hiyerarşik doğrusal modeller yöntemi kullanılailir Böyle ir modelde irinci düzey öğrenci düzeyi olup öğrenci özellikleri u düzeyde tanımlanırken, ikinci düzey ise okul düzeyidir ve okul özellikleri u düzeyde tanımlanır. Rastlantısal Katsayılar Modeli (Random-Coefficients Model) Rastlantısal katsayılar modelinin irinci düzey modeli asit doğrusal resgresyon modeline oldukça enzemektedir. Basit doğrusal resgresyon modelinde olduğu gii çalışmadaki ağımlı değişken ağımsız ir değişkenin doğrusal kominasyonu olarak modellenir. Y i = + ) + e 0 1 ( X i - X. i

5 Regresyon Analizi ve Hiyerarşik Doğrusal Modeller Analizi 82 Bu modelde Y i okulundaki i öğrencisinin fen aşarı puanı, X i okulundaki i öğrencisinin fene karşı tutum puanı olup okul ortalaması etrafında merkezlenmiştir. Modelde kesişim katsayısı olan β 0 okulundaki tahmini fen aşarı puanı ortalaması, eğim katsayısı olan β 1 okulundaki fene karşı tutumun fen aşarısı üzerindeki tahmini etkisi, hata terimi olan ε i ise fene karşı tutum değişkeni kontrol altına alındıktan sonra okulundaki i öğrencisinin fen aşarı puanının okul ortalamasından farkıdır. Bu modelde hata terimlerinin iririnden ağımsız olduğu, normal dağılım gösterdiği ve u dağılımın ortalamasının 0, varyansının σ 2 olduğu varsayılır. Birinci düzey modelindeki kesişim ve eğim katsayıları ikinci düzey modelinde ağımlı değişken olarak ele alınır.rastlantısal katsayılar modelinde u değişkenlerin okullar arasında rastlantısal olarak dağılmasına izin verilir ancak u dağılımı açıklayailecek okul düzeyindeki ağımlı değişkenler modele eklenmez. Bu değişkenlerin rastlantısal olarak dağılmadığı diğer ir ifade ile okuldan okula değişim göstermeyip değerlerinin sait olduğunun varsayıldığı durumda model asit doğrusal regresyon modeline indirgenir. = g u 0 = g u 1 Bu modelde γ 00 genel fen aşarı puanı ortalaması, u 0 okulunun ortalama fen aşarı puanının genel ortalamadan farkıdır. γ 10 fen tutumunun fen aşarısı üzerindeki ortalama etkisi, u 1 okulunun fen tutumu etkisinin ortalama fen tutumu etkisinden farkıdır. u 0 ve u 1 ikinci düzey hata terimlerinin normal dağıldığı ve u dağılımın ortalamasının 0, varyansının sırasıyla τ 00 ve τ 11 olduğu varsayılır. Rastlantısal katsayılar modeline göre yapılan analiz sonucu elde edilen parametre tahminleri Talo 3 de verilmiştir. Bu taloya göre genel fen aşarı ortalaması puan olarak tahmin edilmiştir. Fene karşı tutumun fen aşarısı üzerindeki ortalama etkisi ise 0.39 puan olarak tahmin edilmiştir. Ortalama okul aşarısı ile ortalama fen tutumu etkisinin varyansının 0.05 alfa düzeyinde istatistiksel olarak anlamlı ulunması (p-değerleri sırasıyla < ve 0.009) fen aşarısının ve fen tutumunun fen aşarısı üzerindeki etkisinin okuldan okula değiştiğini göstermektedir. Talo 3. Rastlantısal Katsayılar Modeli Analiz Sonuçları Model Parametreleri Tahmin Standart Hata p-değeri γ 00 (Genel Fen Başarı Ortalaması) γ 10 (Ortalama Fen Tutumu Etkisi) τ 00 (Ortalama Okul Başarısı Varyansı) τ 10 (Ortalama Fen Tutumu Etkisi Varyansı) σ 2 ( Birinci Düzey Hata Varyansı) Kesişim ve Eğimlerin Bağımlı Değişken Olduğu Model (Intercept-and-Slopes-as-Outcomes Model) Rastlantısal katsayılar modelinin analizi sonucu ortalama fen aşarısı ile fene karşı tutumun etkilerinin okuldan okula değiştiği ulunmuştur. Bu değişkenlerin okuldan okula neden değiştiğini açıklayailecek ağımsız değişken veya değişkenlerin modelin ikinci düzeyine eklenmesi ile kesişim ve eğimlerin ağımlı değişken olduğu model elde edilir. Bu çalışmada okul kaynaklarının yeterliği değişkeni hem kesişim, hem de eğim modeline eklenmiştir.

6 Eğitimde ve Psikoloide Ölçme ve Değerlendirme Dergisi 83 = g g ( W -W ) + u0 = g g ( W -W ) + u1 Bu modelde W okulundaki okul kaynaklarının yeterliği olup ortalaması etrafında merkezlenmiştir. γ 01 okul kaynaklarındaki yeterliğin ortalama fen aşarısı üzerindeki tahmini etkisi, u 0 okul kaynaklarının yeterliği değişkeni kontrol altına alındıktan sonra okulunun ortalama fen aşarı puanının genel ortalamadan farkıdır. γ 11 okul kaynaklarındaki yeterliğin fen tutumunun fen aşarısı üzerindeki ortalama etkisi üzerindeki tahmini etkisidir, u 1 okul kaynaklarının yeterliği değişkeni kontrol altına alındıktan sonra okulunun fen tutumu etkisinin ortalama fen tutumu etkisinden farkıdır. u 0 ve u 1 ikinci düzey hata terimlerinin normal dağıldığı ve u dağılımın ortalamasının 0, varyansının sırasıyla τ 00 ve τ 11 olduğu varsayılır. Kesişim ve eğimlerin ağımlı değişken olduğu modele göre yapılan analiz sonucu elde edilen parametre tahminleri Talo 4 de verilmiştir. Bu taloya göre okul kaynaklarındaki yeterliğin okulların ortalama fen aşarısı üzerinde istatistiksel olarak anlamlı ve negatif ir etkisi söz konusudur (p-değeri = 0.012). Okul kaynaklarındaki yeterlik değişkeni okullar arasındaki ortalama fen aşarısındaki dağılımın varyansının ir kısmını açıklamış olmakla eraer, u varyansın hala açıklanamayan önemli ir kısmı ulunmaktadır (p-değeri < 0.001). Okul kaynaklarındaki yeterliğin okullardaki fen tutumu etkisi üzerinde istatistiksel olarak anlamlı ir etkisi yoktur (p-değeri = 0.766). Fene karşı tutum etkilerinde okuldan okula gözlenen değişiklikler okul kaynaklarındaki yeterlikle açıklanamamaktadır. Talo 4. Kesişim ve Eğimlerin Bağımlı Değişken Olduğu Model Analiz Sonuçları Model Parametreleri Tahmin Standart Hata p-değeri γ 00 (Genel Fen Başarı Ortalaması) γ 01 (Kesişimde Kaynak Yeterliği Etkisi) γ 10 (Ortalama Fen Tutumu Etkisi) γ 11 (Eğimde Kaynak Yeterliği Etkisi) τ 00 (Ortalama Okul Başarısı Varyansı) τ 10 (Ortalama Fen Tutumu Etkisi Varyansı) σ 2 ( Birinci Düzey Hata Varyansı) Tartışma ve Yorum Hiyerarşik yapıdaki verilerde doğrusal regresyon modeli ile analiz yapıldığında çeşitli prolemler ortaya çıkmaktadır. Bunlardan ir tanesi gözlemlerin iririnden ağımısız olduğu varsayımının ihlalidir. Hiyerarşik yapıdaki verilerde ireyler içinde ulundukları grupların özelliklerinden etkilenirler. Bireyler kendi grupları içinde paylaştıkları enzer özellikler ve koşullardan dolayı diğer gruplardaki ireylere göre irirlerine daha çok enzerler. Sonuç olarak aynı grup içindeki ireylerden elde edilen gözlemlerin tamamen ağımsız olduğu söylenemez. Bu prolem hiyerarşik doğrusal modellerle ele alınailir. Bu modellerle yapılan analizlerde gözlemlerin ağımsızlığı varsayımı ulunmamaktadır. Ayrıca hiyerarşik doğrusal modeller irey özelliklerine etki eden grup özelliklerinin de doğru ir şekilde modellenmesine olanak verir. Birey özelliklerinin gruptan grua farklılık göstermesi durumunda regresyon analizi kullanılması, ireylerin özellikleri üzerinde grup özelliklerinin etkisinin ihmal edilmesine yol açar. Bireyler arasında incelenen özellikler akımından grup farklılıkları olmadığı varsayılır. Hiyerarşik doğrusal modeller ile yapılan analizlerde grup özelliklerinin irey özellikleri

7 Regresyon Analizi ve Hiyerarşik Doğrusal Modeller Analizi 84 üzerindeki etkisi ele alınarak regresyon analizi ile elde edilen regresyon katsayılarının gruptan grua anlamlı fark gösterip göstermediği elirleneilir. Kaynaklar Aitkin, M. ve Logford, N. (1986). Statistical modeling issues in school effectiveness studies. Journal of the Royal Statistical Society (Series A), 149(1), Bryk, A. S. ve Raudenush, S. W. (1992). Hierarchical Linear Models: Applications and Data Analysis Methods. Newury Park, CA: Sage. De Leeuw, J. ve Kreft, I. (1986). Random coefficient models for multilevel analysis. Journal of Educational Statistics, 11, Goldstein, H. (1986). Multilevel mixed linear model analysis using iterative generalized least squares., Biometrika, 73(1), Hox J. (2002). Multilevel Analysis: Techniques and Applications. Mahwah, NJ: Lawrence Erlaum Associates. Longford, N. T. (1987). A fast scoring algorithm for maximum likelihood estimation in unalanced mixed models with nested random effects. Biometrika, 74(4), Osorne, J. W. (2002). The advantages of hierarchical linear modeling. Practical Assessment, Research, and Evaluation, 7(1), 1-4. Raudenush, S. W. ve Bryk, A. S. (2002). Hierarchical Linear Models: Applications and Data Analysis Methods. London: Sage. TIMSS 1999 Pulications (1999). User Guide for the TIMSS 1999 International Dataase. Online Availale at