T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CATALAN SAYILARI VE CATALAN MATRİSLERİ. Hikmet Turan EKİCİ YÜKSEK LİSANS TEZİ

Transkript

1 T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CATALAN SAYILARI VE CATALAN MATRİSLERİ Himet Tura EKİCİ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI DANIŞMAN Dr. Şerife BÜYÜKKÖSE KIRŞEHİR 013 i

2 FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÜDÜRLÜĞÜ NE Himet Tura EKİCİ tarafıda hazırlaa CATALAN SAYILARI VE CATALAN MATRİSLERİ adlı bu tezi Yüse Lisas tezi olara uygu olduğuu oaylarım. Dr. Şerife BÜYÜKKÖSE Tez Yöeticisi Bu çalışma ürimiz tarafıda oy birliği ile Matemati Aabilim Dalıda Yüse lisas tezi olara abul edilmiştir. Başa : Prof. Dr. Dursu TAŞÇI Üye : Dr. Şerife BÜYÜKKÖSE Üye : Yrd. Doç. Dr. Hada KÖSE Üye : Yrd. Doç. Dr. Our KIYMAZ Üye : Yrd. Doç. Dr. Yasemi KIYMAZ Tarih : Bu tez, Ahi Evra Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü tez yazım urallarıa uygudur. ii

3 TEZ BİLDİRİMİ Tez içidei bütü bilgileri eti davraış ve aademi urallar çerçeveside elde edilere suulduğuu ayrıca tez yazım urallarıa uygu olara hazırlaa bu çalışmada oriial olmaya her türlü ayağa esisiz atıf yapıldığıı bildiririm. Himet Tura EKİCİ iii

4 ÖZET Bu çalışmada Biom atsayıları ile merezi Biom atsayısıı özellileride faydalaılara Catala sayılarıı özellileri icelemiştir. Ayrıca Catala sayıları ullaılara oluşturula Catala matrisi ile bu matisi bazı özellileri icelemiştir. Aahtar Kelimeler : Biom atsayıları, Catala sayıları, Catala matrisi iv

5 ABSTRACT I this study, the Catala umbers have bee aalysed by maig use of Biom factors ad the features of cetral Biom factor. Together with the Catala matrice made by usig Catala umbers, some features of this matrice has bee aalysed, as well. Key Words : Biomial ceofficiets, Catala umber, Catala matrice v

6 TEŞEKKÜR Çalışmam boyuca değerli yardım ve atılarıyla bei yöledire Hocam Dr. Şerife BÜYÜKKÖSE ye ve maevi desteğiyle bei hiçbir zama yalız bıramaya değerli aileme teşeürü bir borç bilirim. vi

7 İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET...IV ABSTRACT.....V TEŞEKKÜR.... VI İÇİNDEKİLER... VII SİMGELER VE KISALTMALAR... VIII 1. ÖNBİLGİLER Biom Katsayısı 1 1. Üçgesel Ve Dörtyüzlüsel Sayılar Kombiasyo Özellileri Hermite i Bölme Presibi Özel Fosiyolar İdirgeme Bağıtısı ve Üreteç Fosiyou CATALAN SAYILARI VE ÖZELLİKLERİ Merezi Biom Katsayısı Merezi Biom Katsayısıı E Büyü Üslü Asal Çarpaı Coway ı Geellemesi Merezi Biom Katsayısı İçi Reüras İlişisi Merezi Biom Katsayısı İçi Üreteç Fosiyou CATALAN MATRİSLERİ Kombiasyo Özdeşlilerie Bağlı Ters Matrisler KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ vii

8 SİMGELER VE KISALTMALAR Bu çalışmada ullaılmış bazı simgeler açılamaları ile birlite aşağıda suulmuştur. Simgeler Γ x x F P Açılama Gamma fosiyou Geelleştirilmiş Hipergeometri Poliomlar Pochhammer fosiyou x Pochhammer fosiyouu diğer gösterimi C. Catala sayısı x Merezi biom atsayısı x te üçü veya eşit ola e büyü tam sayı P x Geelleştirilmiş Pascal matrisi C x. mertebede Catala matrisi ( m) İl m Catala sayısıı toplamı G( a ; x ) a dizisii üreteç fosiyou!! Çift fatöriyel viii

9 1. BÖLÜM ÖNBİLGİLER Bu bölümde, çalışmamızda sıça ullaacağımız Biom açılımıı ve Biom atsayılarıı bazı öemli özellilerii verme istiyoruz Biom Katsayısı : ve r egatif olmaya tamsayılar olsu. 0 r olma üzere! r r! r! ifadesie biom atsayısı deir. olara taımlaır. Ayrıca 0!=1 olara taımla- Eğer < r olursa 0 r dığıda 1 0 dır. Düzlemde herhagi üç taesi ayı doğru üzeride bulumaya tae otada tae doğru geçer. Ayrıca bu tae ota ile 3 tae üçge çizilebilir. earlı bir düzgü çogei öşege sayısı: ( 1) ( 3) taedir. 1

10 Köşegeleri iişer iişer esişme otalarıı sayısı 4 taedir. Bu esişme otalarıı farlı olmaları geremez. (Öreği 3 tae öşege ayı otada 3 esişebilir, bu otadai iişer iişer esişmeleri sayısı 3 taedir.) tae farlı otada geçe paralel çizgiler düzlemi e az parçaya ayırır. Doğrular paralel olmadığıda parça sayısı artacağıda, e ço parça sayısı, ( 1) taedir. Üç boyutlu bir yaş pastayı tae düzlemle bölerse parça sayısı e ço taedir. Geelleme yapılaca olursa, m boyutlu bir yaş pasta tae düzlemle e fazla m parçaya ayrılır. [15] 1.. Üçgesel ve Dörtyüzlüsel Sayılar: 1 de e adar ola tae doğal sayıı toplamıa üçgesel sayı deir. Bu sayılara üçgesel demesii sebebi, bir üçge şelide dizilebilece eşit çaplı topları sayılarıa arşılı gelmeleridir. -ici üçgesel sayıı formülü şöyledir:

11 ( 1) 1 t 1...( 1) 1 Dörtyüzlüsel (tetrahedral veya üçge piramidal) sayı, üçge tabalı ve bir piramidi temsil ede biçimli sayılardır. Yuarıdai şeilde her bir üçgesel sayıyı temsil ede bilyeler, e üçüğü üstte olaca şeilde üst üste oulduğuda piramidal şeil elde edilir. Bu şeil diate alıdığıda. dörtyüzlüsel sayı, il üçgesel sayıı toplamıa eşittir. İl o yedi dörtyüzlüsel sayı şulardır: 1, 4, 10, 0, 35, 56, 84, 10, 165, 0, 86, 364, 455, 560, 680, 816, 969,. dörtyüzlüsel sayı formülü 3. arta fatöriyeli 3. fatöriyele bölümü biçimide gösterilir ve şöyledir; T ( 1)( ) 6 Üçgesel ve dörtyüzlüsel sayılar biom atsayısı olara yazılabilir. [8-9] t.( 1) 1 T ( 1)( ) 6 3 Burada t = t -1 + olduğuda 1 = + = + 1 3

12 şelide yazılabilir. Bir problem üzeride üçgesel ve dörtyüzlüsel sayıları iceleyelim: Yei evli ola bir adam evliliğii il güü eşie bir ırmızı gül alır. İici gü bir ırmızı gül ve lale alır. Üçücü gü 1 ırmızı gül, lale ve 3 arafil alır. Dördücü gü 1 ırmızı gül, lale, 3 arafil ve 4 papatya alır. Bu hediye alma işlemi bu şeilde devam ederse ala ii ilgiç soru gelir: Verile düze gü devam ederse çiçeleri sayısı g. güde aç tae olur? güde alıa toplam çiçeleri sayısı S ise S açtır? 1. gü. gü 3. gü.. gü, İl olara. güde göderile hediyeleri sayısı bir öcei gü göderile hediyeleri sayısıda fazla olduğua diat edelim. g = g -1 + olup g 1 =1 olduğuda. güdeileri toplamı, g ( 1) 1 t olur. İl güdeileri toplamı ise, S i i1 i1 t 1 = i( i 1) i i1 i1 i 1 ( 1)( 1) ( 1) = 6 4

13 ( 1) = ( 1) 3 1 ( 1)( ) = 6 = 3 olara buluur Kombiasyo Özellileri: Teorem 1.1: ve r egatif olmaya tamsayılar olsu. 0 r olma üzere aşağıdai özelliler vardır: 1) r r (1.1) ) 1 r r r 1 (1.) 3) 1 r r r (1.3) 4) r 1 r r r 1 (1.4) 5) r r r r (1.5) 6) 1 1 (1.6) 7) 1 m m 1 m m 1 (1.7) 8) r 1 + r r r 1 r (1.8) 5

14 İspat: (1.1) özdeşliğii sağ tarafıda sol tarafıı elde edelim,! r r! r! =! r! r!! = r! r! = r (1.) özdeşliğii sağ tarafıda sol tarafıı elde edelim, 1 1! r r 1 r r! r 1! = = r! r! r! (1.3) özdeşliğii sağ tarafıda sol tarafıı elde edelim, 1 1! r r r r 1! r! =! r! r! = r 6

15 (1.4) özdeşliğii sağ tarafıda sol tarafıı elde edelim, r 1 r 1! r r 1 r r 1! r 1! =! r! r! = r (1.5) özdeşliğii sağ tarafıda sol tarafıı elde edelim,! r! r r r r! r!! r! =!!!!! r = r (1.6) özdeşliğide solda sağa doğru ispat yapılırsa, 1! 1!!! 3!!!! 1!! 3 1! 7

16 (1.7) özdeşliğide solda sağa doğru ispat yapılırsa,! 1 m 1 m = m m m! m! m 1! m = m m 1! m m! = m 1! m m m m 1 m 1 1!! (1.8) özdeşliğii sağ tarafıda sol tarafıı elde edelim,!! r 1 r r 1! r 1! r! r! r 1 + r r 1 r =! r! r r! r! r! r! =! r! r! r olduğuda ispat tamamlaır. Teorem 1.: (Pascal Özdeşliği) r ile pozitif tamsayılar ve r olma üzere 1 1 r r 1 r 8

17 İspat: Eşitliği sağ tarafıda yola çıara sol tarafıı elde etmeye çalışalım, 1 1 1! 1! r 1 r r 1! r! r! r 1! 1! r r r! r! r 1! r 1! r r 1! r! r! r r 1! r 1! r 1! r! r! r! r! 1! r! r!! r! r! r olduğuda ispat tamamlaır. [3] Teorem 1.3. Her 0 tamsayısı içi r biom atsayısı tamsayıdır. İspat: 0 Tümevarımda =0 içi 1 r tamsayı soucu doğrudur. Şimdi egatif 1 1 olmaya tüm tamsayıları içi doğru olduğuu varsayalım. ve r 1 r sayıları da tümevarım hipotezide tamsayıdır. O halde bu tamsayıları toplamı da 9

18 tamsayıdır. Bua göre Pascal özdeşliğide atsayısıı tamsayı olduğu gösterilmiş olur. r tamsayıdır. Böylece her biom Souç 1.1: Ardışı r tae tamsayıı çarpımı r! ile tam bölüür. İspat: r tae ardışı pozitif tamsayıı çarpımıı iceleme yeterlidir. Bu sayıları e üçüğü olsu. ( 1)...( r 1) ( r 1)! r 1 r! r!( 1)! r r 1 ( 1)...( r 1) Teorem 1.3 e göre r ifadesi tamsayı dolayısıyla r! tamsayı olduğuda.(+1). (+r-1) çarpımı r! ile tam bölüür Hermite i Bölme Presibi: m, 0 olma üzere m ( m, ) m m 1 m ( m 1, ) Burada m ile pozitif tamsayılar olma üzere (m,), m ile sayılarıı e büyü orta böleii gösterir. 10

19 İspat: d = (m, ) olsu. Ölid algoritmasıda, öyle A,B tamsayıları vardı i; d = Am + B Her ii taraf m ile çarpılırsa d m = Am m + B m m m 1 m A B 1 olur. Teorem 1.3 e göre m m 1 ile 1 biom atsayıları tamsayı olduğuda m m 1 A B C 1 ifadesi de tamsayıdır. Burada d m =mc şelide tamsayı olara buluur. O halde m d m m olur. Böylece ( m, ) m elde edilir. d=(m+1,) olsu. Daha öce olduğu gibi P ve Q sayıları içi d=p(m+1)+q =(m-+1)p+(p+q) 11

20 m! m m d. P ( P Q)!( m 1)! 1 =R m d ( m 1) R m 1 m d olur. Böylece m 1 m ( m 1, ) olur. [15] Souç 1.: 1) biom atsayısı çift tamsayıdır. ( 1 ) ) m =, ( +1, ) = 1 ise +1 3) 1 +1 ifadesi bir tamsayıdır. Bu souçları ispatı sorai bölümde yapılacatır Özel Fosiyolar: Negatif olmaya bir tamsayısı içi x P P x, x x 1... x 1 x tae şelide taımlaa fosiyoa Pochhammer fosiyou deir. Pochhammer foiyou arta fatöriyel olara da taımlaır. Bu fosiyo ayrıca 1

21 x P x x 1... x 1 x tae x x şelide de ifade edilir. Burada ( ) =(-1)! ola Euler gama fosiyoudur.[1-3] α, β, C olma üzere, F(, ; ; z ) 1 z z z... geel şeliyle taımlaa seriye hipergeometri seri deir. Hipergeometri seriler, α veya β egatif tamsayıya veya sıfıra eşit olduğuda sıırlı olur. = - ( = 0,1,, ) içi α = -m veya β = -m ( < m ve m doğal sayı) e eşit olmadığı sürece hipergeometri seri sıırsızdır. [16] p F q( a 1,,a p ; b 1,...,b q ; x) şelide taımlaa fosiyoa geelleştirilmiş hipergeometri fosiyo deir. Bu fosiyoda p = ve q = 1 yazılırsa; F 1( a,b; c; z ) 1 z z... = 0 a.b a a 1.b b 1 1!c!c c 1 a b z c! elde edilir.[10-1] Öre !1!1 1 1 F 1( 1,1; 1; z ) 1 z z... 3 =1 z z z z 13

22 Öre !1!1 1 1 F 1( 1,; 1; z ) 1 z z !1! 1. 3! =1+ z z z... 3 =1 z 3z 4z z Öre !! 1 F 1( 1,; ; z ) 1 z z !!.3 3! =1+ z z z... 3 =1 z z z z 1.6. İdirgeme Bağıtısı ve Üreteç Fosiyou: a 0, a 1, a,.a,... bir sosuz dizi, N sabit ve olsu. Başlagıç değerleri a 0, a 1,., a -1 ve her içi 1,,, f : NxZ R bir fosiyo a f, a a. a (1.9) şelide taımlaa fosiyoa. derecede idirgeme bağıtısı deir. Dizii bütü elemaları delem (1.9) ve a 0,a 1,.,a 1 değerleri ile belirleir. Öre 1.4. a 0 = c ve a = f(, a -1 ) birici derecede idirgeme bağıtısıdır. 14

23 bağıtısıdır a c, a c ve a f, a, a iici derecede idirgeme a c, a c ve a 4 a.a iici derecede homoe lieer idirgeme bağıtısıdır. Taım 1.1. Bir a dizisi verilsi. G( a ;x ) ax 0 ifadesie a dizisii üreteç fosiyou deir. Öre 1.5. a dizisii üreteç fosiyou 3 G( ; x ) x x x 3 x... x 1 x 3 x A( x ) x x 3x... x 1 x 3x... 1 x 1 x B ( x ) 3 B( x ) x x x... B ( x ) G( ; x ) x 1 1 x 1 x 1 x 1 A( x ) x A ( x ) x( x 1) 3 ( 1 x ) 3 A ( x ) şelidedir. 15

24 . BÖLÜM C CATALAN SAYILARI VE ÖZELLİKLERİ 1 +1 şelide taımlaa tamsayılara Catala Sayıları deir. Catala sayıları ombiatori matematite birço problemi çözümüde ullaılabile özel bir sayı dizisidir. Dizii terimleri 1,, 5, 14, 4,. şelidedir.[].1. Merezi Biom Katsayısı: Pascal üçgeii merez sütuuda bulua 1,,6,0, sayıları şelide ifade edilir. Bu sayılar aşağıdai şeilde de görüldüğü gibi Pascal üçgeii çift umaralı satırlarıda buluur. Souç 1. de 1 içi ifadesii çift tamsayı olduğu belirtildi. Şimdi bu soucu farlı ispatlarıı iceleyelim:!!.!! 1 1!.! 16

25 1!! 1!! 1 1! 1!! 1! 1 1! 1!! 1!! 1! 1 1! 1! 1 1! 1! Her biom atsayısı bir tamsayı olduğu içi ifadesi bir çift tamsayıdır.[5] Bu ispatı dördücü satırıdai hafif bir değişili iici ispatı verir;! 1 1! 1! 1 1 yie çift tamsayı olduğu elde edilir.[13] Bir diğer ispat ise Pascal özdeşliğide olaylıla yapılabilir;[6] = 1 1 olduğuda 1 = 17

26 Aşağıdai ombiasyo özdeşlileri de ayı soucu verir: r r 1 r 1 r r 1 r Daha geel olara r r!! ifadesi bir tamsayıdır. Bu ifadei doğruluğuu aşağıdai örete göstereceğiz. Öre.1. 0 içi r!! r! ifadesii bir tamsayı olduğuu gösteriiz. Çözüm: Tümevarım yötemie göre 0 içi 0! r 0 0!! 1 ve 1 içi r! 1 1! r! olup her iisi de tamsayı olduğu içi souç doğrudur. Şimdi bir 0 içi doğru olduğuu varsayalım, yai. r!! r! tamsayıdır. (+1) içi ifadei doğru olduğuu gösterelim. r r! r! 1.! 1 1! r! 1.!! r!. r 1! r! 1! r! = = r r r r 1... r 1 1 r! r r 1... r 1 r 1! r r 1 = r 1 18

27 Teorem 1.3 e göre her 0 tamsayısı içi eşitliği sağ tarafı tamsayıdır. Dolayısıyla r biom atsayısı tamsayı olduğuda 1 r! 1! r! 1 ifadesi bir tamsayıdır. [7] Öre.. 0 içi 1 olduğuu gösteriiz. İspat: 1!!! 1! 1!! =! 1! = 1 1 Teorem 1.3 e göre sol taraf tamsayıdır, bu yüzde C 1 +1 sayısı bir tamsayıdır. Diğer bir deyişle 1 olur.[14] Alteratif İspatlar:! =!! 1! 1 1!! 1 1 = 1 19

28 ! 1 = 1 1! 1! 1 = 1 1 (+1) ile (+1) aralarıda asal olduğuda 1 olur. Diğer bir ispatta ise C 1 +1 olsu. 1 C +1C C = 1 1 = = 1!! 1!! 1!! 1!! 1!! 1! 1! 1 = 1 1 Eşitliği sağ tarafı tamsayı olduğuda sol tarafı da tamsayı olacatır. O halde C 1 +1 tamsayı olup 1 olur.[4] Wahlis i İspatı: 1! !! 1! Souç 1.1 de N bir tamsayıdır. Ayı edele! N ! de bir tamsayıdır. Yai N 1 N 1 olur. 0

29 (+1,+1)=1 olduğuu biliyoruz. Burada N N olduğuda ! 1 1! 1 olur i 1 +1 tamsayı olur.[15].. Merezi Biom Katsayısıı E Büyü Üslü Asal Çarpaı: x reel sayısı bir taba olma üzere x te üçü veya eşit ola e büyü tamsayı x şelide gösterilir. Öreği 3,1 4,, 3, 1 3 olur. p asal sayı olma üzere p m olsu. Bua göre m!=1..3 p (p) (p.p) m şelide ifade edilirse m! çarpımıdai p asal çarpaıı buludura sayıları sayısı m p taedir. Bezer şeilde p m çarpaıı buludura sayıları sayısı p taedir, p 3 m çarpaıı buludura sayıları sayısı 3 p taedir. Bu şeilde devam edilirse m! çarpımıdai p asal çarpalarıı toplam sayısı: i1 m i p taedir. Öreği 1! çarpımıdai 3 çarpalarıı sayısı ; taedir. çarpalarıı sayısı;

30 taedir. e = i1 m i p (.1) olsu., p i e büyü üssü, yai +1 m p m, p m olsu. Bu durumda 1 p olur. Souç olara (.1) dei delem soludur. Bu durumda =0 e = m i i1 p (.) olur. Burada = log p m olur. Öreği p=, m=1 içi = log 1 3,... 3 olur. Şimdi e e büyü üs olma üzere p e durumuu iceleyelim. Burada! = olup, ()! ifadesii böle p sayısıı e büyü uvveti!! ()! ifadesii böle p sayısıı e büyü uvveti olur. Souç olara!!! i i1 p ve i i1 p olur. Burada = p ifadesii tam böle p sayısıı e büyü uvveti log e i i i i1 p i1 p i1 p i i i1 p i1 p = şelide buluur.[1] Öre.3. =9 ve p=5 içi,

31 18 18! = = !9! ve = log518 1 buluur. 5 i e büyü üssü e olma üzere Gerçete e olmalıdır e 3 1 i i i1 5 i1 5 olma üzere olduğu görülür. 5 i 4860 sayısıı bölmediğie diat edelim. Bezer şeilde =14 ve p=5 alıırsa 8 = = ve = log5 8 buluur. 5 i e büyü üssü e olma üzere Gerçete e olmalıdır e i i i 1 5 i1 5 (5 1) ( 0) olma üzere olduğu görülür. 5 3 ü sayısıı bölmediğie diat edelim. Lemma.1. x 0 reel sayı olma üzere 1 3x x x x 3 3 eşitliği sağlaır. 3

32 İspat: Eşitliği sağ tarafıda başlayıp sol tarafıı elde etmeye çalışalım. 0 x 1 ve pozitif tamsayı olma üzere; 1. Durum: Eğer 0 x < 1/3 ise 0 3x < 1 olduğuda eşitli 0+0+0=0. Durum: Eğer 1/3 x < /3 ise 1 3x < olduğuda eşitli 0+0+1=1 3. Durum: Eğer /3 x < 1 ise 3x < 3 olduğuda eşitli 0+1+1= O halde souç her x 0 reel sayısı içi geçerlidir. Lemma.. p bir asal sayı ve m pozitif tamsayı olma üzere p m 3 olsu. Bu durumda m m m m p p p p eşitsizliği vardır. İspat: Lemma.1 de x = m p alıırsa olayca görülür. Teorem.1. 3 olma üzere R (3)!! 1!! 4

33 ifadesi bir tamsayıdır. İspat: p eyfi bir asal sayı ve e p R olaca şeilde e e büyü üs olsu. 3 1 e m m m m m1 p p p p e 0 olduğuu gösterme yeterlidir. Lemma. ye göre eğer p ise e 0. p = olduğuu varsayalım. Bu durumda (+, 3] aralığıda şelide bir sayı vardır. Lemma. ye göre 3 1 e m m m m m f () Burada 3 1 f () = 3 1 = Diat edilirse f(0) = = 0 ve f(1)= =0 olduğuda f(0) = 0 = f(1) olur. Ayrıca, 5

34 3 3 f ( ) 3 1 = = =f() Böylece tümevarımda her 0 içi f() = 0 olur. Souç olara her zama e pozitif olur. Dolayısıyla R bir tamsayıdır.[15] 15! Öreği R tamsayıdır. 5!6!7!.3. Coway ı Geellemesi : Coway, Öre. yi aşağıdai şeilde geellemiştir: m!! m, m 1! Burada (m,) m ile i OBEB idir. İspatta aşağıdai bilgiler ullaılır: İi pozitif tamsayıı OBEB i pozitif tamsayıdır. Her biom atsayısı tamsayıdır. m 1 m m 1! m!! m 1 (ab, ac)=a(b, c) Burada, m 1 m 1 m m 1! m 1!,, m!! m!! m 1 1 6

35 m 1! m, m!! Sol tarafı tamsayı olması içi soucuda ise m!! m, m 1! olmalıdır. ifadesi tamsayı olmalıdır. Buu Öreği m=6 ve =9 içi (m,)=(6,9)=3 olur. Burada tamsayı olara buluur.[15] m, m 1! 3.14! 1001 m!! 6!9! Öre.4. m ve pozitif tamsayı olma üzere m m m! m!!!m!! m m!m!m!m!!!!! m! m m m!! = m m!! m! Eşitliği sol tarafı tamsayı olduğuda m!! m!! m! ifadesi de tamsayı olmalıdır..4. Merezi Biom Katsayısı İçi İdirgeme İlişisi: Şimdi merezi biom atsayısı içi idirgeme bağıtısı elde edelim. Buu içi A = olsu. A 1 1! = 1! 1! 7

36 1! = 1!! 1 = A 1 olduğuda idirgeme bağıtısı vardır. Bua göre idirgeme bağıtısı, 1 A 1.A 1 şelidedir. Burada A 0 = 1 alıır.[4].5. Merezi Biom Katsayısı İçi Üreteç Fosiyou: Şimdi merezi biom atsayısı içi üreteç fosiyou oluşturalım. A ifadeside 0 olma üzere A(x) 0 A x =A A x x değişeie göre her ii tarafı türevi alıırsa A (x) 1 A 1x (.1) 0 xa (x) 1 A x 0 0 = A x 1 1 (.1) de idirgeme ilişisi ullaılırsa A (x) 1 A x A x 8

37 1-4x A (x)=a(x) = Ax Ax 0 0 = xa (x) A(x) =4xA (x) A(x) A (x) = A(x) 1-4x Her ii tarafı itegrali alıırsa 1 l A(x) l l C 1 4x C A(x) = 1 4x A(0) = A 0 = 1 olduğuda C = 1 buluur. A(x) = 1 1 4x 1 1 4x x 0 elde edilir.[15] Teorem.. (Biom Teoremi): x ile y eyfi reel sayılar ve eyfi egatif olmaya bir tamsayı olsu. İspat: x y x y r0 r r r Verile ifadeyi P() ile gösterelim. = 0 içi; (x+y) 0 =1 ve 0 r0 0 x 0r y r x 0 y 0 1 r 9

38 olduğuda eşitli doğrudur. Varsayalım i eyfi bir 0 tamsayısı içi P() doğru olsu. Bu durumda doğrudur. +1 içi, 1 x y x y x y r r = x y x y r0 r x y x y r0 r r r = x y x y r0 r r0 r 1 r r r r r r r r1 = x x y x y y 0 r1 r r r = x x y x y y 0 r r r r 1r r 1 r1 r1 1 1 = x x y y 0 r1 r r r r = x x y y 0 r r r 1 r1 1 1r r = x y r0 1 r Böylece tümevarımda her 0 içi eşitliği doğruluğu ispatlaır.[14] Souç.1. r0 r Diğer bir ifadeyle biom atsayılarıı toplamı olur. 30

39 İspat: Biom teoremide x=y=1 alıara souç elde edilir. 31

40 3. BÖLÜM CATALAN MATRİSLERİ Geelleştirilmiş Pascal matrisi P x p x i gösterilir. Burada i,, 1,,..., şelide i i 1 x, i- 0 pi, x 1 0, i- 0 (3.1) biçimide elemalara sahiptir. Geelleştirilmiş Pascal matriside x 1 alıırsa Pascal matrisi P p i i,, 1,,..., ile gösterilir. Özel fosiyolar teorisidei bütülüğü bozmada aa taımları yieleyelim. Geelleştirilmiş hipergeometri fosiyo, p F q sosuz toplamı olara taımlaır F a,..., a ; b,...,b ; p q 1 p 1 q a1... a l p l1 b1... bq l l l l l! burada ap =P(a, ) = a aa 1... a 1 tae şelide taımlaa Pochhammer fosiyou a a (ayı zamada arta fatöriyel gösterimi olara da biliir) ve ( ) =(-1)! ola Euler gama fosiyoudur.[10-1] Catala sayıları 0 C şelide alıara icelemiştir. Burada terimler sırasıyla 1, 1,, 5, 14, 4, 13, olur. Dizii il terimi C 0 =1 ve -ici terim Biom atsayıları ciside açıça ifade edilirse, C 1!, !! (3.4) 3

41 Ayrıca Catala sayısıı aşağıdai gösterimie diat ediiz, C 1 4, eyfi. (3.5) Aşağıda verile formül, bilie Catala sayılarıı apsaya formüldür 1 0 C C. C, 0. (3.6) Ayrıca ardışı ii Catala sayıları arasıdai idirgeme bağıtısı C 1 1 C şelidedir. Buda sorai ısımda alt üçge matrisi sıfırda farlı elemaları olara Catala sayıları ullamatır. Catala matrisii gösterme içi bu matrisi ullaacağız. Taım mertebede geelleştirilmiş Catala matrisi C x c x diğer bir ifadeyle i,=1,,..., olma üzere, c i, x x i C i, i- 0 0, i- 0 şelidedir, burada C sayısı. Catala sayısı ve xr dır. i, ile gösterilir, Öre x7 tipidei geelleştirilmiş Catala matrisi 33

42 x x x C 7 x 5x x x x 5x x x x 14x 5x x x x x x x x x şelide gösterilir. Basitli içi, x = 1 olması durumuda. derecede Catala matrisi C =[C i, ] şelide gösterilir. Öreği 7x7 tipidei Catala matrisi x 1olması durumuda şelidedir. C 7 x Teorem 3.1. x tipidei geelleştirilmiş Catala matrisi birim alt üçge matris olduğu içi determiatı 1 dir, dolayısıyla tersi vardır. C x c x matrisi 1 C x c i, x olup burada i, matrisii ters 1, i= i c i, x x Ci 1, i +1 0, diğer durumlarda (3.7) şelidedir. 34

43 İspat : q x c x c x olduğuu diate alalım. i i, 1,. i, olduğuu görme zor değildir. Ayrıca i, i 1 içi q x i, 0 q x, i=1,,., olur. i durumuda (3.6) da bazı cebirsel döüşümler ve bağıtılar ullaılırsa aşağıdai eşitli elde edilir:. i, i,, 1 i i,, = c x. c x = c x. c x c x. c x i,, i,, 1 i i i Ci Ci C 1 1 = x x.x i 1 i i Ci Ci 1 C 0 = x x. = x q x c x c x = 0 i C C i i i Bu edele. 1 C x C x I olduğu görülür, burada I, x tipide birim matristir. Bezer şeilde tamamlaır. 1. C x C x I olduğu da gösterilebilir. Böylece ispat Öre 3.. 7x7 tipidei geelleştirilmiş Catala matrisii tersi 35

44 şelidedir x x x C 7 x x x x x x x x x 5x x x x x 14x 5x x x x 1 Teorem 3.. İl m Catala sayısıı toplamı m1 1 i 3 1 ( m) C Cm. F1 1, m ; m ; 4 0 şelidedir, burada i 1 saal birimdir. İspat: (3.5) delemiyle verile Catala sayısı gösterimii ullaalım. Bu delem diate alıara m m m 1 i F1 1, m ; m ; 4 m olduğuu ispatlamalıyız. İspatı matematisel tümevarım yötemiyle yapalım. m=1 içi doğruluğuu iceleyelim, 3 3 1, 3 ve 1, ; 3; 4 3 F1 i i değerleri delemde yerlerie yazılırsa delemi sağladığı görülür. m içi doğru olsu, m+1 içi doğruluğuu iceleyelim. Tümevarım adımıı ispatlama içi geelleştirilmiş hipergeometri fosiyou aşağıdai özelliğii ullaacağız; 36

45 F 1, a; b; a F 1, a 1; b+1; 1 b 1 1 Ayrıca tümevarım hipotezi ullaılırsa, m m m m 1 i F1 1, m; 3+ m; 4 m m buluur. Şimdi z 1 z z eşitliği yerie yazılırsa, m m F 1, m; 3+ m; 4 3 m1 4 1 i m olup ispat tamamlaır.[16] geçerlidir Souç 3.1. m > 0 eyfi olma üzere Catala sayıları içi aşağıdai idirgeme bağıtısı C m 1 i 3 ( m) 1 F 1, m ; m ; Kombiasyo Özdeşlilerie Bağlı Ters Matrisler: G x gi, x, H x hi, x, (i,=1,,,..., ) matrisleri taımlası. Aşağıdai ii teorem geelleştirilmiş Catala matrisi ve geelleştirilmiş Pascal matrisi arasıdai ilişiyi verir. Çeşitli ombiasyo özdeşlilerii souçları olara türetilmiştir. Basitli içi buda sora G G g i, 1 ifadesii ve 1 ifadesii de i, g şelide gösterelim. Ayı şeilde H 1 ifadesii yerie H ve h ifadesii yerie de h i, ifadelerii ullaalım. i, 1 37

46 Teorem 3.3. olma üzere G x gi, x (i,=1,...,) matrisii elemaları 1 ; i = 1 i 1 i 3 1 gi, x x Ci 1 F1, i; i ; ; i > ; i < P x C x G x (3.8) dır. İspat : 1 G x C x P x eşitliğii ispatlama içi yeterlidir. c 1 i, x. p, x toplamıı s i, x ile gösterelim. i < içi i, i, s x 0 g x olduğu açıtır. O halde i durumu doğrulayalım. x c x p x s. i, i,, 1 i i1 i,, = c x. p x = c x. p x c x. p x i,, i, i i, (3.7) ile (3.1) ifadeleride; 1 i 1 i i 1 i, x x Ci s, i (3.9) 38

47 i 1 1 Elde edilir. i = durumuda s x 1 g x olur. Şimdi i > içi aşağıdai özdeşliği ispat etmemiz gereir. i, i, 1 1 i i1 Ci 1 Ci 1 F1, i; i ; (3.10) basitleştirme amacıyla eşitliği sol tarafıa R diyelim. Hipergeometri fosiyo döüşümleri uygulaırsa aşağıdai gibi olur 1 i R Ci 1 F1, i; i ; i 1 i 4 = C i ! i Pochhammer fosiyoudai temel döüşümler diate alıırsa 1! i! ; i 1, i, i- 1! i! (3.11) i 3 i 5... i 1 3 i 1 i 1 i 1 4 i! i 1 1 i 3! 4 i 1 i! 1 i 3! i! ; i-- 4 i 3! i! 1 i 3! = ; =i--1 ; =i- Toplam, e büyü değerii i- ye eşit olduğuda alır. 39

48 C i 1 i 1! i i! 1! yerie yazılırsa i 0 i 3! 1! 1 i 1 i 1 1 i 1 i 1 R 1 0 i! 1! i!! = 1! i 3! 1 i! 1!! i! 1 olur. Şimdi aşağıdai eşitliği yazabiliriz i i! i 3! i R 0! 1! 1! i! 1 = C i1 1 Ci 1 1 i 3 i C 1 1 olur. Bua göre (3.10) u sol tarafı da bulumuş olur. Bu teorem doğrultusuda aşağıdai soucu elde ederiz.[17] Souç 3.. Keyfi bir pozitif tamsayısı içi Catala sayılarıda aşağıdai idirgeme bağıtısı vardır: 1 C 1 ( ) C ( ) ayrıca C 1( ) C F1 1,1 ; ;

49 İspat: Keyfi boyutlu bir C matrisi seçelim. (3.8) ve (3.9) da i 1 i 1 1 l 1 p i, = Ci C l1 1 1 l 1 elde edilir. (i, )=(, 1) olduğuda 1 1 C C 1 C 1 l1 l1 = C 1 C Cl l1 = C 1 C Cl 0 l1 burada 1 1 C 1 C C l 0 l1 ve souçta (3.1) bulumuş olur. (3.13) ü aıtlama içi Teorem 3.3 tei özdeşlileri ullaırsa, aşağıdai eşitli buluur i 1 p i, =, 1 i Ci C 1 F1, ; ; C i Burada i, 1 alıırsa (3.13) buluur. C 1 1 /, F 1( a,0;b; ) 1 ve i eyfiliği diate alıara ispat tamamlaır. 41

50 Teorem 3.4. H x hi, x i,=1,..., şelide taımlaa matriste h i, x 1 1 F1, i; ; 4 i i 1 x ; i 1 0 ; asi durumda (3.14) olma üzere P x H x C x (3.15) eşitliği vardır. İspat : (3.14) özdeşliğii aşağıdai şeilde gösterebiliriz: 1 1 F, i; ; 4 i 1 i 1 i 1 C (3.16) eşitliğide ispata devam edelim. (3.11) de yapıla ısaltmalar da diate alıdığıda 1 3!! (3.17) olur. Yapıla döüşümler (3.16) ı sağ tarafıda yazılırsa F1, i; ; 4 i 4 i 1 1 i ! 0 i 1 i 1 3!! i! 1! = 1 1 i! 1!! 4

51 1 i 1 0 3!! i 1! i 1 = i! 1!! = = = = = i 1 0 i 1 0 i 1 0 i 1 1!! i 1! i 1!! 1! i 1 1!!! 1!! i i 1 C C 1 i 1 1 elde edilir. Böylece (3.16) eşitliğii sağ tarafıda, sol tarafı elde edilere ispat tamamlaır.[17] Souç 3.. i 1 ola eyfi bir tamsayıı Catala sayısıa arşılı gele ifadesi aşağıda verile eşitlitei gibidir: i 5 1 i 1 1 i C F1, i ; ; İspat: (3.15) de aşağıdai eşitli yazılabilir, 1 i 1 i i 1 i 1 i 1 1 C C F1, i ; ; (3.19) Şimdi aşağıdai ısma odalaara ispata devam edelim, 43

52 1 1 F1, i 1; -1; 4 i i 1 i 1 C 1 (3.0) Bu eşitli Teorem 3.4 dei gibi ispatlaır, ayrıca (3.17) özdeşliği de ullaılırsa,! i 1! 1 ; i 1 1, i, i-+1! i 1! ve 1 i 1 1 F, i 1; -1; 4 0 1! 1 i 1 4 Bu değerler (3.0) ve (3.19) da yerie yazılırsa 1 1 F, i 1; 1; 4 1 i i 1 i 1 1 i 1 1 C F1, i; ; burada C -1 =-1/, = değerlerii yerie yazarsa ispat tamamlaır. x tipidei pascal matrisii tersii buluabileceğide hareetle, tersi 1 P x p x olma üzere yei ombiasyo özdeşlileri buluabilir. Teorem 3.5. Catala sayıları, i i 1 Ci 1 F1, ; ;4, i 1 0 şelide gösterilebilir. 44

53 İspat : (3.8) de G x g x matrisii tersii olduğu açıtır ve G x P x C x şelidedir. G x g i, x i, i i i 1 x g i, x 1 0 ; i (3.8) de C 1 x P x G x i yerie i 1 ullaılır ve 1 alıırsa C formuu bulalım, i 1 C ; i (3.1) Şimdi 1 i içi (3.1) i elde edelim, i 1 i l 1 1 C 1 l l 1 i l C i i 1 1 Cl 1 l i1 1 l1 1 l0 olur. Şimdi, özel fosiyoları temel taım ve özellilerii ullaara eyfi pozitif bir tamsayı içi aşağıdai özdeşliği yazabiliriz, 1 l0 l Cl F1,1 ; ;4 l Gerçete de, Catala sayılarıı taımı ve biom atsayıları temel özellileri ullaılırsa, 1 1 l 1 l 1 1 C 1 1 l l l l l l0 l l0 l! l 1 l! l0 l0 l 1 l 1 l l 4 = l l 1! 4 l! l 1 l 1 l l 4 = l 4 l! l 45

54 olur, burada l l l l l l l l l l l 1! 1!!!! 1 4!!! l eyfi olma üzere geelleştirilmiş hipergeometri fosiyo taımı diate alıır ve ispat tamamlaır. 46

55 KAYNAKLAR [1] Alter, R. Prime ad Prime Power Divisiblity of Catala Numbers, Notices of the AMS 19 (197), A-48. [] Cofma, J. Catala Numbers for the Classroom?, Elemete der Mathemati 5 (1997), [3] Coh, D. I. A. Basic Techiques of Combiatorial Theory,Wiley, NewYor, [4] Deustch, E., ad Saga, B. E. Cogrueces for Catala ad Motzi Numbers ad Related Sequeces, Joural of Number Theory, 117 (006), [5] Došli c, T. Perfect Matchigs, Catala Numbers, ad Pascal s Triagle, Mathematics Magazie 80 (Jue 007), [6] Erdös, P. et al. O the Prime Factors of (Ja. 1975), Mathematics of Computatio 9 [7] Grimaldi, R. P. The Catala Numbers, MAA Miicourse, Orlado, Florida (Ja. 1996). [8] [9] [10] [11] [1 ] [13] [14] Jarvis, F. Catala Numbers, Mathematical Spectrum 36 ( ),

56 [15] Koshy, T. 009, Catala Numbers with Applicatios. [16] Üler, M. 009, Kovaryas matrisii ozdeğerlerii aralı tahmilerii simulasyola belirlemesi, [17] Staimirovic, S, Staimirovic, P, Miladiovic, M, Ilic, A, Catala matrix ad related combiatorial idetities Applied Mathematics ad Computatio 15 (009)

57 ÖZGEÇMİŞ Kişisel Bilgiler Soyadı, adı Uyruğu : EKİCİ, Himet Tura : T.C. Doğum tarihi ve yeri : KIRŞEHİR Medei hali : Evli Telefo : 0 (386) hturaeici@myet.com Eğitim Derece Eğitim Birimi Mezuiyet tarihi Lisas Karadeiz Tei Üv./Matemati Bölümü 004 Lise Kırşehir Lisesi 1988 Yabacı Dil Almaca 49