T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CATALAN SAYILARI VE CATALAN MATRİSLERİ. Hikmet Turan EKİCİ YÜKSEK LİSANS TEZİ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CATALAN SAYILARI VE CATALAN MATRİSLERİ. Hikmet Turan EKİCİ YÜKSEK LİSANS TEZİ"

Transkript

1 T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CATALAN SAYILARI VE CATALAN MATRİSLERİ Himet Tura EKİCİ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI DANIŞMAN Dr. Şerife BÜYÜKKÖSE KIRŞEHİR 013 i

2 FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÜDÜRLÜĞÜ NE Himet Tura EKİCİ tarafıda hazırlaa CATALAN SAYILARI VE CATALAN MATRİSLERİ adlı bu tezi Yüse Lisas tezi olara uygu olduğuu oaylarım. Dr. Şerife BÜYÜKKÖSE Tez Yöeticisi Bu çalışma ürimiz tarafıda oy birliği ile Matemati Aabilim Dalıda Yüse lisas tezi olara abul edilmiştir. Başa : Prof. Dr. Dursu TAŞÇI Üye : Dr. Şerife BÜYÜKKÖSE Üye : Yrd. Doç. Dr. Hada KÖSE Üye : Yrd. Doç. Dr. Our KIYMAZ Üye : Yrd. Doç. Dr. Yasemi KIYMAZ Tarih : Bu tez, Ahi Evra Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü tez yazım urallarıa uygudur. ii

3 TEZ BİLDİRİMİ Tez içidei bütü bilgileri eti davraış ve aademi urallar çerçeveside elde edilere suulduğuu ayrıca tez yazım urallarıa uygu olara hazırlaa bu çalışmada oriial olmaya her türlü ayağa esisiz atıf yapıldığıı bildiririm. Himet Tura EKİCİ iii

4 ÖZET Bu çalışmada Biom atsayıları ile merezi Biom atsayısıı özellileride faydalaılara Catala sayılarıı özellileri icelemiştir. Ayrıca Catala sayıları ullaılara oluşturula Catala matrisi ile bu matisi bazı özellileri icelemiştir. Aahtar Kelimeler : Biom atsayıları, Catala sayıları, Catala matrisi iv

5 ABSTRACT I this study, the Catala umbers have bee aalysed by maig use of Biom factors ad the features of cetral Biom factor. Together with the Catala matrice made by usig Catala umbers, some features of this matrice has bee aalysed, as well. Key Words : Biomial ceofficiets, Catala umber, Catala matrice v

6 TEŞEKKÜR Çalışmam boyuca değerli yardım ve atılarıyla bei yöledire Hocam Dr. Şerife BÜYÜKKÖSE ye ve maevi desteğiyle bei hiçbir zama yalız bıramaya değerli aileme teşeürü bir borç bilirim. vi

7 İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET...IV ABSTRACT.....V TEŞEKKÜR.... VI İÇİNDEKİLER... VII SİMGELER VE KISALTMALAR... VIII 1. ÖNBİLGİLER Biom Katsayısı 1 1. Üçgesel Ve Dörtyüzlüsel Sayılar Kombiasyo Özellileri Hermite i Bölme Presibi Özel Fosiyolar İdirgeme Bağıtısı ve Üreteç Fosiyou CATALAN SAYILARI VE ÖZELLİKLERİ Merezi Biom Katsayısı Merezi Biom Katsayısıı E Büyü Üslü Asal Çarpaı Coway ı Geellemesi Merezi Biom Katsayısı İçi Reüras İlişisi Merezi Biom Katsayısı İçi Üreteç Fosiyou CATALAN MATRİSLERİ Kombiasyo Özdeşlilerie Bağlı Ters Matrisler KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ vii

8 SİMGELER VE KISALTMALAR Bu çalışmada ullaılmış bazı simgeler açılamaları ile birlite aşağıda suulmuştur. Simgeler Γ x x F P Açılama Gamma fosiyou Geelleştirilmiş Hipergeometri Poliomlar Pochhammer fosiyou x Pochhammer fosiyouu diğer gösterimi C. Catala sayısı x Merezi biom atsayısı x te üçü veya eşit ola e büyü tam sayı P x Geelleştirilmiş Pascal matrisi C x. mertebede Catala matrisi ( m) İl m Catala sayısıı toplamı G( a ; x ) a dizisii üreteç fosiyou!! Çift fatöriyel viii

9 1. BÖLÜM ÖNBİLGİLER Bu bölümde, çalışmamızda sıça ullaacağımız Biom açılımıı ve Biom atsayılarıı bazı öemli özellilerii verme istiyoruz Biom Katsayısı : ve r egatif olmaya tamsayılar olsu. 0 r olma üzere! r r! r! ifadesie biom atsayısı deir. olara taımlaır. Ayrıca 0!=1 olara taımla- Eğer < r olursa 0 r dığıda 1 0 dır. Düzlemde herhagi üç taesi ayı doğru üzeride bulumaya tae otada tae doğru geçer. Ayrıca bu tae ota ile 3 tae üçge çizilebilir. earlı bir düzgü çogei öşege sayısı: ( 1) ( 3) taedir. 1

10 Köşegeleri iişer iişer esişme otalarıı sayısı 4 taedir. Bu esişme otalarıı farlı olmaları geremez. (Öreği 3 tae öşege ayı otada 3 esişebilir, bu otadai iişer iişer esişmeleri sayısı 3 taedir.) tae farlı otada geçe paralel çizgiler düzlemi e az parçaya ayırır. Doğrular paralel olmadığıda parça sayısı artacağıda, e ço parça sayısı, ( 1) taedir. Üç boyutlu bir yaş pastayı tae düzlemle bölerse parça sayısı e ço taedir. Geelleme yapılaca olursa, m boyutlu bir yaş pasta tae düzlemle e fazla m parçaya ayrılır. [15] 1.. Üçgesel ve Dörtyüzlüsel Sayılar: 1 de e adar ola tae doğal sayıı toplamıa üçgesel sayı deir. Bu sayılara üçgesel demesii sebebi, bir üçge şelide dizilebilece eşit çaplı topları sayılarıa arşılı gelmeleridir. -ici üçgesel sayıı formülü şöyledir:

11 ( 1) 1 t 1...( 1) 1 Dörtyüzlüsel (tetrahedral veya üçge piramidal) sayı, üçge tabalı ve bir piramidi temsil ede biçimli sayılardır. Yuarıdai şeilde her bir üçgesel sayıyı temsil ede bilyeler, e üçüğü üstte olaca şeilde üst üste oulduğuda piramidal şeil elde edilir. Bu şeil diate alıdığıda. dörtyüzlüsel sayı, il üçgesel sayıı toplamıa eşittir. İl o yedi dörtyüzlüsel sayı şulardır: 1, 4, 10, 0, 35, 56, 84, 10, 165, 0, 86, 364, 455, 560, 680, 816, 969,. dörtyüzlüsel sayı formülü 3. arta fatöriyeli 3. fatöriyele bölümü biçimide gösterilir ve şöyledir; T ( 1)( ) 6 Üçgesel ve dörtyüzlüsel sayılar biom atsayısı olara yazılabilir. [8-9] t.( 1) 1 T ( 1)( ) 6 3 Burada t = t -1 + olduğuda 1 = + = + 1 3

12 şelide yazılabilir. Bir problem üzeride üçgesel ve dörtyüzlüsel sayıları iceleyelim: Yei evli ola bir adam evliliğii il güü eşie bir ırmızı gül alır. İici gü bir ırmızı gül ve lale alır. Üçücü gü 1 ırmızı gül, lale ve 3 arafil alır. Dördücü gü 1 ırmızı gül, lale, 3 arafil ve 4 papatya alır. Bu hediye alma işlemi bu şeilde devam ederse ala ii ilgiç soru gelir: Verile düze gü devam ederse çiçeleri sayısı g. güde aç tae olur? güde alıa toplam çiçeleri sayısı S ise S açtır? 1. gü. gü 3. gü.. gü, İl olara. güde göderile hediyeleri sayısı bir öcei gü göderile hediyeleri sayısıda fazla olduğua diat edelim. g = g -1 + olup g 1 =1 olduğuda. güdeileri toplamı, g ( 1) 1 t olur. İl güdeileri toplamı ise, S i i1 i1 t 1 = i( i 1) i i1 i1 i 1 ( 1)( 1) ( 1) = 6 4

13 ( 1) = ( 1) 3 1 ( 1)( ) = 6 = 3 olara buluur Kombiasyo Özellileri: Teorem 1.1: ve r egatif olmaya tamsayılar olsu. 0 r olma üzere aşağıdai özelliler vardır: 1) r r (1.1) ) 1 r r r 1 (1.) 3) 1 r r r (1.3) 4) r 1 r r r 1 (1.4) 5) r r r r (1.5) 6) 1 1 (1.6) 7) 1 m m 1 m m 1 (1.7) 8) r 1 + r r r 1 r (1.8) 5

14 İspat: (1.1) özdeşliğii sağ tarafıda sol tarafıı elde edelim,! r r! r! =! r! r!! = r! r! = r (1.) özdeşliğii sağ tarafıda sol tarafıı elde edelim, 1 1! r r 1 r r! r 1! = = r! r! r! (1.3) özdeşliğii sağ tarafıda sol tarafıı elde edelim, 1 1! r r r r 1! r! =! r! r! = r 6

15 (1.4) özdeşliğii sağ tarafıda sol tarafıı elde edelim, r 1 r 1! r r 1 r r 1! r 1! =! r! r! = r (1.5) özdeşliğii sağ tarafıda sol tarafıı elde edelim,! r! r r r r! r!! r! =!!!!! r = r (1.6) özdeşliğide solda sağa doğru ispat yapılırsa, 1! 1!!! 3!!!! 1!! 3 1! 7

16 (1.7) özdeşliğide solda sağa doğru ispat yapılırsa,! 1 m 1 m = m m m! m! m 1! m = m m 1! m m! = m 1! m m m m 1 m 1 1!! (1.8) özdeşliğii sağ tarafıda sol tarafıı elde edelim,!! r 1 r r 1! r 1! r! r! r 1 + r r 1 r =! r! r r! r! r! r! =! r! r! r olduğuda ispat tamamlaır. Teorem 1.: (Pascal Özdeşliği) r ile pozitif tamsayılar ve r olma üzere 1 1 r r 1 r 8

17 İspat: Eşitliği sağ tarafıda yola çıara sol tarafıı elde etmeye çalışalım, 1 1 1! 1! r 1 r r 1! r! r! r 1! 1! r r r! r! r 1! r 1! r r 1! r! r! r r 1! r 1! r 1! r! r! r! r! 1! r! r!! r! r! r olduğuda ispat tamamlaır. [3] Teorem 1.3. Her 0 tamsayısı içi r biom atsayısı tamsayıdır. İspat: 0 Tümevarımda =0 içi 1 r tamsayı soucu doğrudur. Şimdi egatif 1 1 olmaya tüm tamsayıları içi doğru olduğuu varsayalım. ve r 1 r sayıları da tümevarım hipotezide tamsayıdır. O halde bu tamsayıları toplamı da 9

18 tamsayıdır. Bua göre Pascal özdeşliğide atsayısıı tamsayı olduğu gösterilmiş olur. r tamsayıdır. Böylece her biom Souç 1.1: Ardışı r tae tamsayıı çarpımı r! ile tam bölüür. İspat: r tae ardışı pozitif tamsayıı çarpımıı iceleme yeterlidir. Bu sayıları e üçüğü olsu. ( 1)...( r 1) ( r 1)! r 1 r! r!( 1)! r r 1 ( 1)...( r 1) Teorem 1.3 e göre r ifadesi tamsayı dolayısıyla r! tamsayı olduğuda.(+1). (+r-1) çarpımı r! ile tam bölüür Hermite i Bölme Presibi: m, 0 olma üzere m ( m, ) m m 1 m ( m 1, ) Burada m ile pozitif tamsayılar olma üzere (m,), m ile sayılarıı e büyü orta böleii gösterir. 10

19 İspat: d = (m, ) olsu. Ölid algoritmasıda, öyle A,B tamsayıları vardı i; d = Am + B Her ii taraf m ile çarpılırsa d m = Am m + B m m m 1 m A B 1 olur. Teorem 1.3 e göre m m 1 ile 1 biom atsayıları tamsayı olduğuda m m 1 A B C 1 ifadesi de tamsayıdır. Burada d m =mc şelide tamsayı olara buluur. O halde m d m m olur. Böylece ( m, ) m elde edilir. d=(m+1,) olsu. Daha öce olduğu gibi P ve Q sayıları içi d=p(m+1)+q =(m-+1)p+(p+q) 11

20 m! m m d. P ( P Q)!( m 1)! 1 =R m d ( m 1) R m 1 m d olur. Böylece m 1 m ( m 1, ) olur. [15] Souç 1.: 1) biom atsayısı çift tamsayıdır. ( 1 ) ) m =, ( +1, ) = 1 ise +1 3) 1 +1 ifadesi bir tamsayıdır. Bu souçları ispatı sorai bölümde yapılacatır Özel Fosiyolar: Negatif olmaya bir tamsayısı içi x P P x, x x 1... x 1 x tae şelide taımlaa fosiyoa Pochhammer fosiyou deir. Pochhammer foiyou arta fatöriyel olara da taımlaır. Bu fosiyo ayrıca 1

21 x P x x 1... x 1 x tae x x şelide de ifade edilir. Burada ( ) =(-1)! ola Euler gama fosiyoudur.[1-3] α, β, C olma üzere, F(, ; ; z ) 1 z z z... geel şeliyle taımlaa seriye hipergeometri seri deir. Hipergeometri seriler, α veya β egatif tamsayıya veya sıfıra eşit olduğuda sıırlı olur. = - ( = 0,1,, ) içi α = -m veya β = -m ( < m ve m doğal sayı) e eşit olmadığı sürece hipergeometri seri sıırsızdır. [16] p F q( a 1,,a p ; b 1,...,b q ; x) şelide taımlaa fosiyoa geelleştirilmiş hipergeometri fosiyo deir. Bu fosiyoda p = ve q = 1 yazılırsa; F 1( a,b; c; z ) 1 z z... = 0 a.b a a 1.b b 1 1!c!c c 1 a b z c! elde edilir.[10-1] Öre !1!1 1 1 F 1( 1,1; 1; z ) 1 z z... 3 =1 z z z z 13

22 Öre !1!1 1 1 F 1( 1,; 1; z ) 1 z z !1! 1. 3! =1+ z z z... 3 =1 z 3z 4z z Öre !! 1 F 1( 1,; ; z ) 1 z z !!.3 3! =1+ z z z... 3 =1 z z z z 1.6. İdirgeme Bağıtısı ve Üreteç Fosiyou: a 0, a 1, a,.a,... bir sosuz dizi, N sabit ve olsu. Başlagıç değerleri a 0, a 1,., a -1 ve her içi 1,,, f : NxZ R bir fosiyo a f, a a. a (1.9) şelide taımlaa fosiyoa. derecede idirgeme bağıtısı deir. Dizii bütü elemaları delem (1.9) ve a 0,a 1,.,a 1 değerleri ile belirleir. Öre 1.4. a 0 = c ve a = f(, a -1 ) birici derecede idirgeme bağıtısıdır. 14

23 bağıtısıdır a c, a c ve a f, a, a iici derecede idirgeme a c, a c ve a 4 a.a iici derecede homoe lieer idirgeme bağıtısıdır. Taım 1.1. Bir a dizisi verilsi. G( a ;x ) ax 0 ifadesie a dizisii üreteç fosiyou deir. Öre 1.5. a dizisii üreteç fosiyou 3 G( ; x ) x x x 3 x... x 1 x 3 x A( x ) x x 3x... x 1 x 3x... 1 x 1 x B ( x ) 3 B( x ) x x x... B ( x ) G( ; x ) x 1 1 x 1 x 1 x 1 A( x ) x A ( x ) x( x 1) 3 ( 1 x ) 3 A ( x ) şelidedir. 15

24 . BÖLÜM C CATALAN SAYILARI VE ÖZELLİKLERİ 1 +1 şelide taımlaa tamsayılara Catala Sayıları deir. Catala sayıları ombiatori matematite birço problemi çözümüde ullaılabile özel bir sayı dizisidir. Dizii terimleri 1,, 5, 14, 4,. şelidedir.[].1. Merezi Biom Katsayısı: Pascal üçgeii merez sütuuda bulua 1,,6,0, sayıları şelide ifade edilir. Bu sayılar aşağıdai şeilde de görüldüğü gibi Pascal üçgeii çift umaralı satırlarıda buluur. Souç 1. de 1 içi ifadesii çift tamsayı olduğu belirtildi. Şimdi bu soucu farlı ispatlarıı iceleyelim:!!.!! 1 1!.! 16

25 1!! 1!! 1 1! 1!! 1! 1 1! 1!! 1!! 1! 1 1! 1! 1 1! 1! Her biom atsayısı bir tamsayı olduğu içi ifadesi bir çift tamsayıdır.[5] Bu ispatı dördücü satırıdai hafif bir değişili iici ispatı verir;! 1 1! 1! 1 1 yie çift tamsayı olduğu elde edilir.[13] Bir diğer ispat ise Pascal özdeşliğide olaylıla yapılabilir;[6] = 1 1 olduğuda 1 = 17

26 Aşağıdai ombiasyo özdeşlileri de ayı soucu verir: r r 1 r 1 r r 1 r Daha geel olara r r!! ifadesi bir tamsayıdır. Bu ifadei doğruluğuu aşağıdai örete göstereceğiz. Öre.1. 0 içi r!! r! ifadesii bir tamsayı olduğuu gösteriiz. Çözüm: Tümevarım yötemie göre 0 içi 0! r 0 0!! 1 ve 1 içi r! 1 1! r! olup her iisi de tamsayı olduğu içi souç doğrudur. Şimdi bir 0 içi doğru olduğuu varsayalım, yai. r!! r! tamsayıdır. (+1) içi ifadei doğru olduğuu gösterelim. r r! r! 1.! 1 1! r! 1.!! r!. r 1! r! 1! r! = = r r r r 1... r 1 1 r! r r 1... r 1 r 1! r r 1 = r 1 18

27 Teorem 1.3 e göre her 0 tamsayısı içi eşitliği sağ tarafı tamsayıdır. Dolayısıyla r biom atsayısı tamsayı olduğuda 1 r! 1! r! 1 ifadesi bir tamsayıdır. [7] Öre.. 0 içi 1 olduğuu gösteriiz. İspat: 1!!! 1! 1!! =! 1! = 1 1 Teorem 1.3 e göre sol taraf tamsayıdır, bu yüzde C 1 +1 sayısı bir tamsayıdır. Diğer bir deyişle 1 olur.[14] Alteratif İspatlar:! =!! 1! 1 1!! 1 1 = 1 19

28 ! 1 = 1 1! 1! 1 = 1 1 (+1) ile (+1) aralarıda asal olduğuda 1 olur. Diğer bir ispatta ise C 1 +1 olsu. 1 C +1C C = 1 1 = = 1!! 1!! 1!! 1!! 1!! 1! 1! 1 = 1 1 Eşitliği sağ tarafı tamsayı olduğuda sol tarafı da tamsayı olacatır. O halde C 1 +1 tamsayı olup 1 olur.[4] Wahlis i İspatı: 1! !! 1! Souç 1.1 de N bir tamsayıdır. Ayı edele! N ! de bir tamsayıdır. Yai N 1 N 1 olur. 0

29 (+1,+1)=1 olduğuu biliyoruz. Burada N N olduğuda ! 1 1! 1 olur i 1 +1 tamsayı olur.[15].. Merezi Biom Katsayısıı E Büyü Üslü Asal Çarpaı: x reel sayısı bir taba olma üzere x te üçü veya eşit ola e büyü tamsayı x şelide gösterilir. Öreği 3,1 4,, 3, 1 3 olur. p asal sayı olma üzere p m olsu. Bua göre m!=1..3 p (p) (p.p) m şelide ifade edilirse m! çarpımıdai p asal çarpaıı buludura sayıları sayısı m p taedir. Bezer şeilde p m çarpaıı buludura sayıları sayısı p taedir, p 3 m çarpaıı buludura sayıları sayısı 3 p taedir. Bu şeilde devam edilirse m! çarpımıdai p asal çarpalarıı toplam sayısı: i1 m i p taedir. Öreği 1! çarpımıdai 3 çarpalarıı sayısı ; taedir. çarpalarıı sayısı;

30 taedir. e = i1 m i p (.1) olsu., p i e büyü üssü, yai +1 m p m, p m olsu. Bu durumda 1 p olur. Souç olara (.1) dei delem soludur. Bu durumda =0 e = m i i1 p (.) olur. Burada = log p m olur. Öreği p=, m=1 içi = log 1 3,... 3 olur. Şimdi e e büyü üs olma üzere p e durumuu iceleyelim. Burada! = olup, ()! ifadesii böle p sayısıı e büyü uvveti!! ()! ifadesii böle p sayısıı e büyü uvveti olur. Souç olara!!! i i1 p ve i i1 p olur. Burada = p ifadesii tam böle p sayısıı e büyü uvveti log e i i i i1 p i1 p i1 p i i i1 p i1 p = şelide buluur.[1] Öre.3. =9 ve p=5 içi,

31 18 18! = = !9! ve = log518 1 buluur. 5 i e büyü üssü e olma üzere Gerçete e olmalıdır e 3 1 i i i1 5 i1 5 olma üzere olduğu görülür. 5 i 4860 sayısıı bölmediğie diat edelim. Bezer şeilde =14 ve p=5 alıırsa 8 = = ve = log5 8 buluur. 5 i e büyü üssü e olma üzere Gerçete e olmalıdır e i i i 1 5 i1 5 (5 1) ( 0) olma üzere olduğu görülür. 5 3 ü sayısıı bölmediğie diat edelim. Lemma.1. x 0 reel sayı olma üzere 1 3x x x x 3 3 eşitliği sağlaır. 3

32 İspat: Eşitliği sağ tarafıda başlayıp sol tarafıı elde etmeye çalışalım. 0 x 1 ve pozitif tamsayı olma üzere; 1. Durum: Eğer 0 x < 1/3 ise 0 3x < 1 olduğuda eşitli 0+0+0=0. Durum: Eğer 1/3 x < /3 ise 1 3x < olduğuda eşitli 0+0+1=1 3. Durum: Eğer /3 x < 1 ise 3x < 3 olduğuda eşitli 0+1+1= O halde souç her x 0 reel sayısı içi geçerlidir. Lemma.. p bir asal sayı ve m pozitif tamsayı olma üzere p m 3 olsu. Bu durumda m m m m p p p p eşitsizliği vardır. İspat: Lemma.1 de x = m p alıırsa olayca görülür. Teorem.1. 3 olma üzere R (3)!! 1!! 4

33 ifadesi bir tamsayıdır. İspat: p eyfi bir asal sayı ve e p R olaca şeilde e e büyü üs olsu. 3 1 e m m m m m1 p p p p e 0 olduğuu gösterme yeterlidir. Lemma. ye göre eğer p ise e 0. p = olduğuu varsayalım. Bu durumda (+, 3] aralığıda şelide bir sayı vardır. Lemma. ye göre 3 1 e m m m m m f () Burada 3 1 f () = 3 1 = Diat edilirse f(0) = = 0 ve f(1)= =0 olduğuda f(0) = 0 = f(1) olur. Ayrıca, 5

34 3 3 f ( ) 3 1 = = =f() Böylece tümevarımda her 0 içi f() = 0 olur. Souç olara her zama e pozitif olur. Dolayısıyla R bir tamsayıdır.[15] 15! Öreği R tamsayıdır. 5!6!7!.3. Coway ı Geellemesi : Coway, Öre. yi aşağıdai şeilde geellemiştir: m!! m, m 1! Burada (m,) m ile i OBEB idir. İspatta aşağıdai bilgiler ullaılır: İi pozitif tamsayıı OBEB i pozitif tamsayıdır. Her biom atsayısı tamsayıdır. m 1 m m 1! m!! m 1 (ab, ac)=a(b, c) Burada, m 1 m 1 m m 1! m 1!,, m!! m!! m 1 1 6

35 m 1! m, m!! Sol tarafı tamsayı olması içi soucuda ise m!! m, m 1! olmalıdır. ifadesi tamsayı olmalıdır. Buu Öreği m=6 ve =9 içi (m,)=(6,9)=3 olur. Burada tamsayı olara buluur.[15] m, m 1! 3.14! 1001 m!! 6!9! Öre.4. m ve pozitif tamsayı olma üzere m m m! m!!!m!! m m!m!m!m!!!!! m! m m m!! = m m!! m! Eşitliği sol tarafı tamsayı olduğuda m!! m!! m! ifadesi de tamsayı olmalıdır..4. Merezi Biom Katsayısı İçi İdirgeme İlişisi: Şimdi merezi biom atsayısı içi idirgeme bağıtısı elde edelim. Buu içi A = olsu. A 1 1! = 1! 1! 7

36 1! = 1!! 1 = A 1 olduğuda idirgeme bağıtısı vardır. Bua göre idirgeme bağıtısı, 1 A 1.A 1 şelidedir. Burada A 0 = 1 alıır.[4].5. Merezi Biom Katsayısı İçi Üreteç Fosiyou: Şimdi merezi biom atsayısı içi üreteç fosiyou oluşturalım. A ifadeside 0 olma üzere A(x) 0 A x =A A x x değişeie göre her ii tarafı türevi alıırsa A (x) 1 A 1x (.1) 0 xa (x) 1 A x 0 0 = A x 1 1 (.1) de idirgeme ilişisi ullaılırsa A (x) 1 A x A x 8

37 1-4x A (x)=a(x) = Ax Ax 0 0 = xa (x) A(x) =4xA (x) A(x) A (x) = A(x) 1-4x Her ii tarafı itegrali alıırsa 1 l A(x) l l C 1 4x C A(x) = 1 4x A(0) = A 0 = 1 olduğuda C = 1 buluur. A(x) = 1 1 4x 1 1 4x x 0 elde edilir.[15] Teorem.. (Biom Teoremi): x ile y eyfi reel sayılar ve eyfi egatif olmaya bir tamsayı olsu. İspat: x y x y r0 r r r Verile ifadeyi P() ile gösterelim. = 0 içi; (x+y) 0 =1 ve 0 r0 0 x 0r y r x 0 y 0 1 r 9

38 olduğuda eşitli doğrudur. Varsayalım i eyfi bir 0 tamsayısı içi P() doğru olsu. Bu durumda doğrudur. +1 içi, 1 x y x y x y r r = x y x y r0 r x y x y r0 r r r = x y x y r0 r r0 r 1 r r r r r r r r1 = x x y x y y 0 r1 r r r = x x y x y y 0 r r r r 1r r 1 r1 r1 1 1 = x x y y 0 r1 r r r r = x x y y 0 r r r 1 r1 1 1r r = x y r0 1 r Böylece tümevarımda her 0 içi eşitliği doğruluğu ispatlaır.[14] Souç.1. r0 r Diğer bir ifadeyle biom atsayılarıı toplamı olur. 30

39 İspat: Biom teoremide x=y=1 alıara souç elde edilir. 31

40 3. BÖLÜM CATALAN MATRİSLERİ Geelleştirilmiş Pascal matrisi P x p x i gösterilir. Burada i,, 1,,..., şelide i i 1 x, i- 0 pi, x 1 0, i- 0 (3.1) biçimide elemalara sahiptir. Geelleştirilmiş Pascal matriside x 1 alıırsa Pascal matrisi P p i i,, 1,,..., ile gösterilir. Özel fosiyolar teorisidei bütülüğü bozmada aa taımları yieleyelim. Geelleştirilmiş hipergeometri fosiyo, p F q sosuz toplamı olara taımlaır F a,..., a ; b,...,b ; p q 1 p 1 q a1... a l p l1 b1... bq l l l l l! burada ap =P(a, ) = a aa 1... a 1 tae şelide taımlaa Pochhammer fosiyou a a (ayı zamada arta fatöriyel gösterimi olara da biliir) ve ( ) =(-1)! ola Euler gama fosiyoudur.[10-1] Catala sayıları 0 C şelide alıara icelemiştir. Burada terimler sırasıyla 1, 1,, 5, 14, 4, 13, olur. Dizii il terimi C 0 =1 ve -ici terim Biom atsayıları ciside açıça ifade edilirse, C 1!, !! (3.4) 3

41 Ayrıca Catala sayısıı aşağıdai gösterimie diat ediiz, C 1 4, eyfi. (3.5) Aşağıda verile formül, bilie Catala sayılarıı apsaya formüldür 1 0 C C. C, 0. (3.6) Ayrıca ardışı ii Catala sayıları arasıdai idirgeme bağıtısı C 1 1 C şelidedir. Buda sorai ısımda alt üçge matrisi sıfırda farlı elemaları olara Catala sayıları ullamatır. Catala matrisii gösterme içi bu matrisi ullaacağız. Taım mertebede geelleştirilmiş Catala matrisi C x c x diğer bir ifadeyle i,=1,,..., olma üzere, c i, x x i C i, i- 0 0, i- 0 şelidedir, burada C sayısı. Catala sayısı ve xr dır. i, ile gösterilir, Öre x7 tipidei geelleştirilmiş Catala matrisi 33

42 x x x C 7 x 5x x x x 5x x x x 14x 5x x x x x x x x x şelide gösterilir. Basitli içi, x = 1 olması durumuda. derecede Catala matrisi C =[C i, ] şelide gösterilir. Öreği 7x7 tipidei Catala matrisi x 1olması durumuda şelidedir. C 7 x Teorem 3.1. x tipidei geelleştirilmiş Catala matrisi birim alt üçge matris olduğu içi determiatı 1 dir, dolayısıyla tersi vardır. C x c x matrisi 1 C x c i, x olup burada i, matrisii ters 1, i= i c i, x x Ci 1, i +1 0, diğer durumlarda (3.7) şelidedir. 34

43 İspat : q x c x c x olduğuu diate alalım. i i, 1,. i, olduğuu görme zor değildir. Ayrıca i, i 1 içi q x i, 0 q x, i=1,,., olur. i durumuda (3.6) da bazı cebirsel döüşümler ve bağıtılar ullaılırsa aşağıdai eşitli elde edilir:. i, i,, 1 i i,, = c x. c x = c x. c x c x. c x i,, i,, 1 i i i Ci Ci C 1 1 = x x.x i 1 i i Ci Ci 1 C 0 = x x. = x q x c x c x = 0 i C C i i i Bu edele. 1 C x C x I olduğu görülür, burada I, x tipide birim matristir. Bezer şeilde tamamlaır. 1. C x C x I olduğu da gösterilebilir. Böylece ispat Öre 3.. 7x7 tipidei geelleştirilmiş Catala matrisii tersi 35

44 şelidedir x x x C 7 x x x x x x x x x 5x x x x x 14x 5x x x x 1 Teorem 3.. İl m Catala sayısıı toplamı m1 1 i 3 1 ( m) C Cm. F1 1, m ; m ; 4 0 şelidedir, burada i 1 saal birimdir. İspat: (3.5) delemiyle verile Catala sayısı gösterimii ullaalım. Bu delem diate alıara m m m 1 i F1 1, m ; m ; 4 m olduğuu ispatlamalıyız. İspatı matematisel tümevarım yötemiyle yapalım. m=1 içi doğruluğuu iceleyelim, 3 3 1, 3 ve 1, ; 3; 4 3 F1 i i değerleri delemde yerlerie yazılırsa delemi sağladığı görülür. m içi doğru olsu, m+1 içi doğruluğuu iceleyelim. Tümevarım adımıı ispatlama içi geelleştirilmiş hipergeometri fosiyou aşağıdai özelliğii ullaacağız; 36

45 F 1, a; b; a F 1, a 1; b+1; 1 b 1 1 Ayrıca tümevarım hipotezi ullaılırsa, m m m m 1 i F1 1, m; 3+ m; 4 m m buluur. Şimdi z 1 z z eşitliği yerie yazılırsa, m m F 1, m; 3+ m; 4 3 m1 4 1 i m olup ispat tamamlaır.[16] geçerlidir Souç 3.1. m > 0 eyfi olma üzere Catala sayıları içi aşağıdai idirgeme bağıtısı C m 1 i 3 ( m) 1 F 1, m ; m ; Kombiasyo Özdeşlilerie Bağlı Ters Matrisler: G x gi, x, H x hi, x, (i,=1,,,..., ) matrisleri taımlası. Aşağıdai ii teorem geelleştirilmiş Catala matrisi ve geelleştirilmiş Pascal matrisi arasıdai ilişiyi verir. Çeşitli ombiasyo özdeşlilerii souçları olara türetilmiştir. Basitli içi buda sora G G g i, 1 ifadesii ve 1 ifadesii de i, g şelide gösterelim. Ayı şeilde H 1 ifadesii yerie H ve h ifadesii yerie de h i, ifadelerii ullaalım. i, 1 37

46 Teorem 3.3. olma üzere G x gi, x (i,=1,...,) matrisii elemaları 1 ; i = 1 i 1 i 3 1 gi, x x Ci 1 F1, i; i ; ; i > ; i < P x C x G x (3.8) dır. İspat : 1 G x C x P x eşitliğii ispatlama içi yeterlidir. c 1 i, x. p, x toplamıı s i, x ile gösterelim. i < içi i, i, s x 0 g x olduğu açıtır. O halde i durumu doğrulayalım. x c x p x s. i, i,, 1 i i1 i,, = c x. p x = c x. p x c x. p x i,, i, i i, (3.7) ile (3.1) ifadeleride; 1 i 1 i i 1 i, x x Ci s, i (3.9) 38

47 i 1 1 Elde edilir. i = durumuda s x 1 g x olur. Şimdi i > içi aşağıdai özdeşliği ispat etmemiz gereir. i, i, 1 1 i i1 Ci 1 Ci 1 F1, i; i ; (3.10) basitleştirme amacıyla eşitliği sol tarafıa R diyelim. Hipergeometri fosiyo döüşümleri uygulaırsa aşağıdai gibi olur 1 i R Ci 1 F1, i; i ; i 1 i 4 = C i ! i Pochhammer fosiyoudai temel döüşümler diate alıırsa 1! i! ; i 1, i, i- 1! i! (3.11) i 3 i 5... i 1 3 i 1 i 1 i 1 4 i! i 1 1 i 3! 4 i 1 i! 1 i 3! i! ; i-- 4 i 3! i! 1 i 3! = ; =i--1 ; =i- Toplam, e büyü değerii i- ye eşit olduğuda alır. 39

48 C i 1 i 1! i i! 1! yerie yazılırsa i 0 i 3! 1! 1 i 1 i 1 1 i 1 i 1 R 1 0 i! 1! i!! = 1! i 3! 1 i! 1!! i! 1 olur. Şimdi aşağıdai eşitliği yazabiliriz i i! i 3! i R 0! 1! 1! i! 1 = C i1 1 Ci 1 1 i 3 i C 1 1 olur. Bua göre (3.10) u sol tarafı da bulumuş olur. Bu teorem doğrultusuda aşağıdai soucu elde ederiz.[17] Souç 3.. Keyfi bir pozitif tamsayısı içi Catala sayılarıda aşağıdai idirgeme bağıtısı vardır: 1 C 1 ( ) C ( ) ayrıca C 1( ) C F1 1,1 ; ;

49 İspat: Keyfi boyutlu bir C matrisi seçelim. (3.8) ve (3.9) da i 1 i 1 1 l 1 p i, = Ci C l1 1 1 l 1 elde edilir. (i, )=(, 1) olduğuda 1 1 C C 1 C 1 l1 l1 = C 1 C Cl l1 = C 1 C Cl 0 l1 burada 1 1 C 1 C C l 0 l1 ve souçta (3.1) bulumuş olur. (3.13) ü aıtlama içi Teorem 3.3 tei özdeşlileri ullaırsa, aşağıdai eşitli buluur i 1 p i, =, 1 i Ci C 1 F1, ; ; C i Burada i, 1 alıırsa (3.13) buluur. C 1 1 /, F 1( a,0;b; ) 1 ve i eyfiliği diate alıara ispat tamamlaır. 41

50 Teorem 3.4. H x hi, x i,=1,..., şelide taımlaa matriste h i, x 1 1 F1, i; ; 4 i i 1 x ; i 1 0 ; asi durumda (3.14) olma üzere P x H x C x (3.15) eşitliği vardır. İspat : (3.14) özdeşliğii aşağıdai şeilde gösterebiliriz: 1 1 F, i; ; 4 i 1 i 1 i 1 C (3.16) eşitliğide ispata devam edelim. (3.11) de yapıla ısaltmalar da diate alıdığıda 1 3!! (3.17) olur. Yapıla döüşümler (3.16) ı sağ tarafıda yazılırsa F1, i; ; 4 i 4 i 1 1 i ! 0 i 1 i 1 3!! i! 1! = 1 1 i! 1!! 4

51 1 i 1 0 3!! i 1! i 1 = i! 1!! = = = = = i 1 0 i 1 0 i 1 0 i 1 1!! i 1! i 1!! 1! i 1 1!!! 1!! i i 1 C C 1 i 1 1 elde edilir. Böylece (3.16) eşitliğii sağ tarafıda, sol tarafı elde edilere ispat tamamlaır.[17] Souç 3.. i 1 ola eyfi bir tamsayıı Catala sayısıa arşılı gele ifadesi aşağıda verile eşitlitei gibidir: i 5 1 i 1 1 i C F1, i ; ; İspat: (3.15) de aşağıdai eşitli yazılabilir, 1 i 1 i i 1 i 1 i 1 1 C C F1, i ; ; (3.19) Şimdi aşağıdai ısma odalaara ispata devam edelim, 43

52 1 1 F1, i 1; -1; 4 i i 1 i 1 C 1 (3.0) Bu eşitli Teorem 3.4 dei gibi ispatlaır, ayrıca (3.17) özdeşliği de ullaılırsa,! i 1! 1 ; i 1 1, i, i-+1! i 1! ve 1 i 1 1 F, i 1; -1; 4 0 1! 1 i 1 4 Bu değerler (3.0) ve (3.19) da yerie yazılırsa 1 1 F, i 1; 1; 4 1 i i 1 i 1 1 i 1 1 C F1, i; ; burada C -1 =-1/, = değerlerii yerie yazarsa ispat tamamlaır. x tipidei pascal matrisii tersii buluabileceğide hareetle, tersi 1 P x p x olma üzere yei ombiasyo özdeşlileri buluabilir. Teorem 3.5. Catala sayıları, i i 1 Ci 1 F1, ; ;4, i 1 0 şelide gösterilebilir. 44

53 İspat : (3.8) de G x g x matrisii tersii olduğu açıtır ve G x P x C x şelidedir. G x g i, x i, i i i 1 x g i, x 1 0 ; i (3.8) de C 1 x P x G x i yerie i 1 ullaılır ve 1 alıırsa C formuu bulalım, i 1 C ; i (3.1) Şimdi 1 i içi (3.1) i elde edelim, i 1 i l 1 1 C 1 l l 1 i l C i i 1 1 Cl 1 l i1 1 l1 1 l0 olur. Şimdi, özel fosiyoları temel taım ve özellilerii ullaara eyfi pozitif bir tamsayı içi aşağıdai özdeşliği yazabiliriz, 1 l0 l Cl F1,1 ; ;4 l Gerçete de, Catala sayılarıı taımı ve biom atsayıları temel özellileri ullaılırsa, 1 1 l 1 l 1 1 C 1 1 l l l l l l0 l l0 l! l 1 l! l0 l0 l 1 l 1 l l 4 = l l 1! 4 l! l 1 l 1 l l 4 = l 4 l! l 45

54 olur, burada l l l l l l l l l l l 1! 1!!!! 1 4!!! l eyfi olma üzere geelleştirilmiş hipergeometri fosiyo taımı diate alıır ve ispat tamamlaır. 46

55 KAYNAKLAR [1] Alter, R. Prime ad Prime Power Divisiblity of Catala Numbers, Notices of the AMS 19 (197), A-48. [] Cofma, J. Catala Numbers for the Classroom?, Elemete der Mathemati 5 (1997), [3] Coh, D. I. A. Basic Techiques of Combiatorial Theory,Wiley, NewYor, [4] Deustch, E., ad Saga, B. E. Cogrueces for Catala ad Motzi Numbers ad Related Sequeces, Joural of Number Theory, 117 (006), [5] Došli c, T. Perfect Matchigs, Catala Numbers, ad Pascal s Triagle, Mathematics Magazie 80 (Jue 007), [6] Erdös, P. et al. O the Prime Factors of (Ja. 1975), Mathematics of Computatio 9 [7] Grimaldi, R. P. The Catala Numbers, MAA Miicourse, Orlado, Florida (Ja. 1996). [8] [9] [10] [11] [1 ] [13] [14] Jarvis, F. Catala Numbers, Mathematical Spectrum 36 ( ),

56 [15] Koshy, T. 009, Catala Numbers with Applicatios. [16] Üler, M. 009, Kovaryas matrisii ozdeğerlerii aralı tahmilerii simulasyola belirlemesi, [17] Staimirovic, S, Staimirovic, P, Miladiovic, M, Ilic, A, Catala matrix ad related combiatorial idetities Applied Mathematics ad Computatio 15 (009)

57 ÖZGEÇMİŞ Kişisel Bilgiler Soyadı, adı Uyruğu : EKİCİ, Himet Tura : T.C. Doğum tarihi ve yeri : KIRŞEHİR Medei hali : Evli Telefo : 0 (386) Eğitim Derece Eğitim Birimi Mezuiyet tarihi Lisas Karadeiz Tei Üv./Matemati Bölümü 004 Lise Kırşehir Lisesi 1988 Yabacı Dil Almaca 49

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre

Detaylı

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1)

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1) TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu

Detaylı

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir.

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir. BÖLÜM II Asal Sayılar Taım. p > tam sayısıı de ve ediside başa bölei yosa bu sayıya asal sayı deir. de büyü asal olmaya sayılara da bileşi sayı deir. Teorem. Eğer p bir asal sayı ve p ab ise p a veya p

Detaylı

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde SAYILAR DÜNYASINDA GEZİNTİLER H. Turgay Kaptaoğlu Bu yazıda deri teorilere imede sayıları çoğulula da tamsayıları ilgiç özellileride bahsedeceğiz. Bu özellileri hiçbiri yei değil; yüzyıllar, hatta biyıllar

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

Ele Alınacak Ana Konular. Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant, LTI)

Ele Alınacak Ana Konular. Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant, LTI) 5..5 Ele Alıaca Aa Koular Ayrı-zama işaretleri impuls dizisi ciside ifade edilmesi Ayrı-zama LTI sistemleri ovolüsyo toplamı gösterilimi Hafta 3: Doğrusal ve Zamala Değişmeye Sistemler (Liear Time Ivariat

Detaylı

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAUSS BALANS VE GAUSS KOBALANS SAYILARI ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ MUSTAFA YILMAZ DENİZLİ, TEMMUZ - 07 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

Bir Sınıf Jacobi Matrisi İçin Özdeğer Problemi 1

Bir Sınıf Jacobi Matrisi İçin Özdeğer Problemi 1 S Ü Fe Ed Fa Fe Derg Sayı 7 (6-8, KONYA Bir Sııf Jacobi Matrisi İçi Özdeğer Problemi Oza ÖZKAN Selçu Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi, Matemati Bölümü 479 Kampüs, Koya simetri Jacobi matrislerii özdeğerleri

Detaylı

v = ise v ye spacelike vektör,

v = ise v ye spacelike vektör, D.P.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü 1. ayı Mayıs 6 emi-pozitif Ortogoal Matrisler içi Alteratif İi Yötem WO ALERNAIVE MEHOD FOR EMI-POIIVE OROGONAL MARICE B. BÜKCÜ* *Gaziosmapaşa Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi,

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açı Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerde alıtı yapma veya Kullaım Koşulları haıda bilgi alma içi http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.aciders.org.tr adresii ziyaret ediiz. 18.102

Detaylı

3. Bir kabı, biri 17 diğeri 55 litre su alan ölçeklendirilmemiş iki kap yardımıyla tam olarak 1 litre suyla nasıl doldurursunuz açıklayınız. (10 P.

3. Bir kabı, biri 17 diğeri 55 litre su alan ölçeklendirilmemiş iki kap yardımıyla tam olarak 1 litre suyla nasıl doldurursunuz açıklayınız. (10 P. 0..006 MAT3 AYRIK MATEMATİK ARASINAV SORULARI Numarası :..................................... Adı Soyadı :...................................... F,. Fiboacci sayısıı gösterme üzere, ( 0 P.) (a) F + = F

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi,

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi, . Ders Büyü Sayılar Kauları Kouya geçmede öce DeMoivre-Stirlig formülüü ve DeMoivre-Laplace teoremii hatırlayalım. DeMoivre, geel terimi, a!,,, 3,... e ola dizii yaısa olduğuu göstermiş, aca limitii bulamamış.

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748 ISBN - 978-605-563-60-4 Sertifia No: 748 GENEL KOORDİNATÖR: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR REDAKTE: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR SERDAR DEMİRCİ SABRİ ŞENTÜRK Basm Yeri: EVOS BASIM - ANKARA Bu itab tüm basm ve yay halar

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 60 sayısıı asal çarpalarıa ayrılmış şekli aşağıdakilerde hagisidir? A)..5 D)..5 B)..5 E)..5 C)..5 1.Yötem: 60 180 90 45 60..5 tir. 15 5 5 1.Yötem: Öğrecilerimizi1.Yötemde

Detaylı

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden MC TEST I Seriler ve Diziler www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir2@yahoo.com.tr 8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerde hagisidir? A) 0,8 B) 0,9

Detaylı

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

Explanation: Number of bracelets made with 2 blue, 2 identical red and n identical black beads.

Explanation: Number of bracelets made with 2 blue, 2 identical red and n identical black beads. http://oeis.org/a - (,,) Origial wor by Ata Aydi Uslu Hamdi Gota Ozmeese.. Explaatio: Number of bracelets made with blue, idetical red ad idetical blac beads. Usage: Chemistry: CROSSRES: A85 A989 A989

Detaylı

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere, KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM. Neslihan KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM. Neslihan KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM Nesliha KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ŞUBAT 00 ANKARA Nesliha Koza BAŞAK taraıda hazırlaa KANTOROVICH-STANCU

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( )

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( ) . TEMEL KAVRAMLAR Derleye: Osma EKİZ Bu çalışmaı temelii Jiri Herma, Rada Kucera, Jaromir Simsa., Elemetary Problems ad Theorems i Algebra ad Number Theory isimli kitap oluşturmaktadır. İlgili bölümü çevirisi

Detaylı

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS YILLAR 4 5 6 7 8 9 ÖSS - - - - - - ÖYS POLĐNOMLAR a,a,a,..., a P () = a + a +... + a R ve N olmak üzere; ifadesie Reel katsayılı.ci derecede bir değişkeli poliom deir. P()= a sabit poliom, (a ) P()= sıfır

Detaylı

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım Normal Dağılımlı Bir Yığı a İlişi İstatistisel Çıarım Bir üretici edi ürüleride, piyasadai 3,5 cm li vidalarda yalıca boyları 3,4 cm ile 3,7 cm aralığıda olaları ullaabilmetedir. Üretici, piyasadai bu

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

İspatlarıyla Türev Alma Kuralları

İspatlarıyla Türev Alma Kuralları İspalarıyla Türev Ala Kuralları Muarre Şai dy f( ) f() y f() y f () li d 0. f() a (a R) ise f ()? f( ) f() a a f () li li 0 0 f () 0 5. f() ise f ()? f () li 0 ( ) ( ) f () li 0 ( ) f () li li 0 ( ) 0.

Detaylı

WEIBULL DAĞILIM PARAMETRELERİNİ BELİRLEME METODLARININ KARŞILAŞTIRILMASI

WEIBULL DAĞILIM PARAMETRELERİNİ BELİRLEME METODLARININ KARŞILAŞTIRILMASI VII. Ulusal Temiz Eerji Sempozyumu, UTES 008 7-9 Aralı 008, İstabul WEIBULL DAĞILIM PARAMETRELERİNİ BELİRLEME METODLARININ KARŞILAŞTIRILMASI Seyit Ahmet AKDAĞ, Öder GÜLER İstabul Tei Üiversitesi, Eerji

Detaylı

KÖKLÜ İFADELER. = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci. Tanım: n pozitif doğal sayı olmak üzere kuvvetten kökü denir.

KÖKLÜ İFADELER. = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci. Tanım: n pozitif doğal sayı olmak üzere kuvvetten kökü denir. 1 Taı: pozitif doğal saı olak üzere kuvvette kökü deir. KÖKLÜ İFADELER = a dekleii sağlaa saısıa a ı ici = a dekleide = a, tek ise a 0 ; = ± a, çift ise Uarı: = ise, a = a olarak gösterilir. a ifadesie

Detaylı

D( 4 6 % ) "5 2 ( 0* % 09 ) "5 2

D( 4 6 % ) 5 2 ( 0* % 09 ) 5 2 3 BÖLÜM KAALI SİSEMLEDE EMODİNAMİĞİN I KANUNU I Yasaya giriş Birii bölümde eerjii edilide var veya yo edilemeyeeği vurgulamış, sadee biçim değiştirebileeği belirtilmişti Bu ile deeysel souçlara dayaır

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONVEKS FONKSİYONLAR VE MATRİS EŞİTSİZLİKLERİ Vilda BACAK YÜKSEK LİSANS TEZİ Matemati Aabilim Dalı Temmuz- KONYA Her Haı Salıdır ÖZET YÜKSEK LİSANS TEZİ

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

Matematik Olimpiyatları İçin

Matematik Olimpiyatları İçin KONU ANLATIMLI Matematik Olimpiyatları İçi İdirgemeli Diziler, Kombiatorik ve Cebirsel Uygulamaları LİSE MATEMATİK OLİMPİYATLARI İÇİN Lokma Gökçe, Osma Ekiz İdirgemeli Diziler ve Uygulamaları Lokma Gökçe,

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar

Detaylı

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( )

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( ) Sıava Katıla Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR 2 997. ( )( )( ) ( ) ( ) k x x x... k. x... 997. x poliomu ( ) a x a x... a x, a 0 ve k < k

Detaylı

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya

Detaylı

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir.

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir. 203-204 Bahar REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyo Basit doğrusal regresyo modeli: y i = β 0 + β x i + ε i Modeli matris gösterimi, y i = [ x i ] β 0 β + ε i şeklidedir. x y 2 gözlem

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

Matrislerin Hadamard Çarpımı Üzerine *

Matrislerin Hadamard Çarpımı Üzerine * S Ü Fe Fa Fe Derg Sayı 37 (011) 9-14, KONYA Matrisleri Hadaard Çarpıı Üzerie * İ. Halil GÜMÜŞ, Necati AŞKARA Selçu Üiversitesi, Fe Faültesi, Mateati Bölüü, Koya Özet: Bu çalışada lieer cebirde öeli bir

Detaylı

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS)

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS) T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ (IDEAL PRODUCTS) 070216013 TUĞBA ÖZMEN 080216038 AYŞE MUTLU 080216064 SEVİLAY HOROZ Nil ehri, Düyaı e uzu ehridir (6.650

Detaylı

MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI. Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI. Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ OCAK 200 ANKARA ii Mehmet YILDIZ tarafıda hazırlaa MÖBİUS

Detaylı

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1 Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault

Detaylı

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005 8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KLASİK ORTOGONAL MATRİS POLİNOMLARI VE BESSEL MATRİS FONKSİYONLARI.

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KLASİK ORTOGONAL MATRİS POLİNOMLARI VE BESSEL MATRİS FONKSİYONLARI. ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KLASİK ORTOGONAL MATRİS POLİNOMLARI VE BESSEL MATRİS FONKSİYONLARI Bayram ÇEKİM MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 0 Her haı salıdır TEZ ONAYI Bayram

Detaylı

Sisteme gire aışaı eerjisi; ieti, potasiyel, aış eerjileri ile i eerjii toplamıda oluşmata olup, Q m& g m& Z g Z z0 ref. E g E + E p + u+ E A + gz +u+

Sisteme gire aışaı eerjisi; ieti, potasiyel, aış eerjileri ile i eerjii toplamıda oluşmata olup, Q m& g m& Z g Z z0 ref. E g E + E p + u+ E A + gz +u+ 4. BÖLÜM AÇIK SİSEMLERDE ERMODİNAMİĞİN I. KANUNU Aı aışlı sistemleri sııfladırılması Aı Sistem Aışlı Kararlı aışlı Kararsız aışlı dm dm 0 m& g m& 0 m& g m& dt dt Not: Aı sistemlerde eerji depolaması sözousu

Detaylı

Cahit Arf Liseler Arası Matematik Yarışması 2008

Cahit Arf Liseler Arası Matematik Yarışması 2008 Cahit Arf Liseler Arası Matemati Yarışması 2008 İinci Aşama 11 Mayıs 2008 Notlar: Birnci tasla. 1. Tamsayılardan gerçel sayılara tanımlı fonsiyonlar ümesi üzerinde şöyle bir operatörü tanımlayalım: f(x)

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-2

Analiz II Çalışma Soruları-2 Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II

Detaylı

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ 8. HAFTA ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ PORTFÖY YÖNETİMİ II Doç.Dr. Murat YILDIRIM muratyildirim@karabuk.edu.tr Geleeksel Portföy Yaklaşımı, Bu yaklaşıma göre portföy bir bilim değil,

Detaylı

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi 3 Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteı Yötemi Bu yötem bir izdüşüm tekiğie dayaır ve yalış pozisyo olarak isimledirile matematiksel tekiğe yakıdır. Buradaki düşüce f() çizgisi üzerideki bilie iki oktada

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ TAMAMLANMAMIġ TRĠBONACCĠ SAYILARI VE DETERMĠNANTLARI Nazmiye YILMAZ YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Maemai Aabilim Dalı Temmuz-0 KONYA Her Haı Salıdır TEZ KABUL VE ONAYI

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10 . ( ) ( ) 9 x.si x + 4 / x.si x, 0 x π İfadesii alabileceği e küçük tamsayı değeri A) 4 B) 3 C) D) E) 0. Yuvarlak bir masa etrafıda otura 5 şövalye arasıda rasgele seçile 3 taeside e az ikisii ya yaa oturma

Detaylı

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s - 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri

Detaylı

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol komşuluğu: Taım: ; isteildiği kadar küçük seçilebile poziti bir sayı olmak üzere a a açık aralığıa a R sayısıı komşuluğu deir Örek : Taım: a a a a ve 0 00 olsu ' i 0 00 0 00 999 00 : Z R bir dizi deir

Detaylı

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır?

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır? PROBLEMLER: 9 Sıavı 5 a, a, a,..., a Z, 0 a k olmak üzere, 95 sayısı faktöriyel tabaıda 5. k 95 = a+ a.! + a.! +... + a.! biçimide yazılıyor. a kaçtır? (! =...( ) ) 0 ( B ) ( C ) ( D ) ( E ). Bir ABC üçgeide

Detaylı

Hiperbolik ve Küresel Uzaylarda Bir Simetrik Dörtyüzlünün Hacmi Üzerine. Abstract. Özet

Hiperbolik ve Küresel Uzaylarda Bir Simetrik Dörtyüzlünün Hacmi Üzerine. Abstract. Özet Hiperboli Küresel Uzaylarda Bir Simetri Dörtyüzlüü Hacmi Üzerie Bai KARLIĞA arliaga@gazi.edu.tr Gazi Üirsitesi Fe Edebiyat Faültesi atemati Bölümü 06500 Aara T.oullar/Aara urat SAVAŞ msavas@gazi.edu.tr

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SÜLEYMNİYE EĞİTİM KURUMLRI MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SORULR. li ile etül ü de içide buluduğu 4 erkek ve 6 bayada oluşa bir grupta

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ TOPLANABİLİRLİK ALANLARININ ÇARPAN UZAYLARI. Mehmet ÜNVER MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ TOPLANABİLİRLİK ALANLARININ ÇARPAN UZAYLARI. Mehmet ÜNVER MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ TOPLANABİLİRLİK ALANLARININ ÇARPAN UZAYLARI Mehmet ÜNVER MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2009 Her haı salıdır ÖZET Yüse Lisas Tezi TOPLANAB

Detaylı

h)

h) ĐZMĐR FEN LĐSESĐ TÜMEVARIM-DĐZĐLER-SERĐLER ÇALIŞMA SORULARI TÜME VARIM:. Aşağıdaki ifadelerde geel bir kural çıkarabilir misiiz? a) p()= ++4 poliomuda değişkeie 0,,,, değerleri verdiğimizde elde edile

Detaylı

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI:

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: www.testhae.com SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: -RAKAM -SAYI -DOGAL SAYILAR -SAYMA SAYILARI -ÇFT DOGAL SAYILAR -TEK DOGAL SAYILAR -ARDISIK DOGAL SAYILAR -ARDISIK ILK

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

tanımlanabilir. Bu nedenle olasılık konusu küme teorisini bir araç olarak kullanmaktadır.

tanımlanabilir. Bu nedenle olasılık konusu küme teorisini bir araç olarak kullanmaktadır. . OLASILIK TEORİSİ İstatistisel araştırmaları temel oularıda biri soucu öcede esi olara bilimeye bazı şasa bağlı olayları (deemeleri) olası tüm mümü souçlarıı hagi sılıla ortaya çıtığıı belirleyebilmetir.

Detaylı

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz. 19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:

Detaylı

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI ÜÇGENSEL MATRİS METODLARININ MUTLAK YAKINSAKLIK ALANLARI VE TAUBERIAN TEOREMLERİ ÜZERİNE

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI ÜÇGENSEL MATRİS METODLARININ MUTLAK YAKINSAKLIK ALANLARI VE TAUBERIAN TEOREMLERİ ÜZERİNE AMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI ÜÇGENSEL MATRİS METODLARININ MUTLAK YAKINSAKLIK ALANLARI VE TAUBERIAN TEOREMLERİ ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ Güllü Caa HAZAR Aabilim Dalı : Matematik Tez

Detaylı

GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz

GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz GAMA FONKSİYONU H. Turgay Kaptaoğlu A. Taım Gama foksiyou, < < değerleri içi Euler itegrali dediğimiz Γ( = t e t dt itegrali ile taımlaır. Öce bu ifadei e demek olduğuu alamaya çalışalım. bir gerçel sayı

Detaylı

Sınır Koşullarının Spektral Parametreyi İçerdiği İmpulsive Sturm-Liouville Sınır-Değer Problemi İçin Düz ve Ters Problemler

Sınır Koşullarının Spektral Parametreyi İçerdiği İmpulsive Sturm-Liouville Sınır-Değer Problemi İçin Düz ve Ters Problemler CÜ Fe-Edebiyat Faültesi Fe Bilimleri Dergisi (6)Cilt 7 Sayı Sıır Koşullarıı Spetral Parametreyi İçerdiği İmpulsive Sturm-Liouville Sıır-Değer Problemi İçi Düz ve Ters Problemler R Kh Amirov, B Kesi, A

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

10. DİREKT ÇARPIMLAR

10. DİREKT ÇARPIMLAR 10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü

Detaylı

ÇİN KALAN TEOREMİ. Chinese Remainder Theorem A.KILIÇ & V.SERT Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ

ÇİN KALAN TEOREMİ. Chinese Remainder Theorem A.KILIÇ & V.SERT Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ Chiese Remaider Theorem A.KILIÇ & V.SERT 2012 Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ İçidekiler Sayfa o Semboller 2 Ösöz 3 Öbilgiler 4 Geel Halkalar içi Çi Kala Teoremi 7 Çi Kala Teoremii Tamsayılar Halkasıa

Detaylı

KOMBİNASYON: ve r birer pozitif doğal sayı olmak üzere r olsu. farklı elemaı r elemalı alt kümelerii sayısıa i r 2. Örek:! C(,r) = r!. r! li kombiasyou deir ve gösterilir. C(,r) = r P(,r)! = = r r! r!.

Detaylı

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU.

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU. T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Yüksek Lisas Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU Elif SERİN Tez Daışmaı Yrd. Doç. Dr.Abdullah SÖNMEZOĞLU Yozgat 202

Detaylı

Örnek A. Benzer tipteki 40 güç kaynağının dayanma süreleri aşağıdaki gibidir. Genişletilmiş frekans tablosu oluşturunuz;

Örnek A. Benzer tipteki 40 güç kaynağının dayanma süreleri aşağıdaki gibidir. Genişletilmiş frekans tablosu oluşturunuz; Öre A. Bezer pe 40 güç ayağıı dayama süreler aşağıda gbdr. Geşlelmş reas ablosu oluşuruuz;, 4,7 3, 3,4 3,3 3, 3,9 4, 3,4 4, 3,8 3,7 3,6 3,8 3,7 3,0,,6 3, 3,,6,9 3, 3,0 3,3 4,3 3, 4, 4,6 3, 3,3 4,4 3,9,9

Detaylı

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2 SERBEST LİE CEBİRLERİNİN ALT MERKEZİ VE POLİSENTRAL SERİLERİNİN TERİMLERİNİN KESİŞİMLERİ * Intersections of Terms of Polycentral Series and Lower Central Series of Free Lie Algebras Zeynep KÜÇÜKAKÇALI

Detaylı

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri uyruk Teorisi Ders Notları: Bazı uyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@akara.edu.tr 10 ASIM 2017 11. HAFTA 6 Çok kaallı, solu N kapasiteli, kuyruk sistemi M/M//N/ Birimleri sisteme gelişleri arasıdaki

Detaylı

HİPER KÜRESEL HORMONİKLER Nursefa YAKUPOĞLU Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Yrd. Doç. Dr.

HİPER KÜRESEL HORMONİKLER Nursefa YAKUPOĞLU Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Yrd. Doç. Dr. HİPER KÜRESEL HORMONİKLER Nursefa YAKUPOĞLU Yüksek Lisas Tezi Matematik Aabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Yrd. Doç. Dr. Arzu AYKUT 2014 Her hakkı saklıdır ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

Detaylı

BAZI CENTRO-POLYHEDRAL GRUPLARIN PELL UZUNLUKLARI. G of the group G A by generated the

BAZI CENTRO-POLYHEDRAL GRUPLARIN PELL UZUNLUKLARI. G of the group G A by generated the BAZI CENTRO-OLYHEDRAL GRULARIN ELL UZUNLUKLARI Ömür DEVECİ 1, Hasa ÖZTÜRK 1 1 Kafkas Üiversitesi, Fe Edebiyat Fakültesi-36100/Kars e-mail: odeveci36@hotmail.com Abstract I [13], Deveci ad Karaduma defied

Detaylı

... SERİLER Tanım: 2 3 toplamı kaçtır? Çözüm: serisinde 10. kısmi terimler. Ör: bir reel sayı dizisi olmak üzere

... SERİLER Tanım: 2 3 toplamı kaçtır? Çözüm: serisinde 10. kısmi terimler. Ör: bir reel sayı dizisi olmak üzere SERİLER Tım: bir reel syı dizisi olm üzere...... 3 toplmı SERİ deir. gerçel syısı serii geel terimi deir. S 3... toplmı SERİNİN N. KISMİ (PARÇA) TOPLAMI deir. S dizisie SERİNİN N. KISMİ TOPLAMLAR DİZİSİ

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

Hafta 8: Ayrık-zaman Fourier Dönüşümü

Hafta 8: Ayrık-zaman Fourier Dönüşümü Hafta 8: Ayrı-zama ourir Döüşümü El Alıaca Aa Koular Ayrı-zama ourir döüşümü Ayrı-zama priyodi işartlr içi ourir döüşümü Ayrı-zama ourir döüşümüü özllilri Doğrusal, sabit atsayılı far dlmlriyl taımlaa

Detaylı

ELĐPTĐK-PARABOLĐK DĐFERENSĐYEL DENKLEMLERĐN LOKAL OLMAYAN SINIR DEĞER PROBLEMLERĐ ĐÇĐN FARK ŞEMALARI

ELĐPTĐK-PARABOLĐK DĐFERENSĐYEL DENKLEMLERĐN LOKAL OLMAYAN SINIR DEĞER PROBLEMLERĐ ĐÇĐN FARK ŞEMALARI YILDIZ TEKNĐK ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ ELĐPTĐK-PARABOLĐK DĐFERENSĐYEL DENKLEMLERĐN LOKAL OLMAYAN SINIR DEĞER PROBLEMLERĐ ĐÇĐN FARK ŞEMALARI Oa GERÇEK FBE Matemati Aabilimdalı Matemati Programıda

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

DOKTORA TEZİ. Ali ÇEVİK

DOKTORA TEZİ. Ali ÇEVİK ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ MATRİS ORTOGONAL POLİNOMLARININ ve MATRİS FONKSİYONLARININ BAZI ÖZELLİKLERİ Ali ÇEVİK MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 9 Her hakkı saklıdır ÖZET Doktora

Detaylı

Elektrik&Elektronik Müh. Böl. İşaret İşleme Uygulamaları Deney 2

Elektrik&Elektronik Müh. Böl. İşaret İşleme Uygulamaları Deney 2 Ayrı Sistemler Eletri&Eletroi Mü. Böl. İşaret İşleme Uygulamaları Deey 2 Prof. Dr. Aydı Aa Dr. Erol Öe Baatti Karaaya Koray Sistemleri Özellileri 1. Doğrusallı Liearity: y a ay Ölçeleme scalig, a armaşı

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi oluştura

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Binom Katsayıları ve Pascal Üçgeni 3. Bölüm Emrah Ayar Anadolu Üniversitesi Fen Faültesi Matemati Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Binom Teoremi Binom Teoremi ( ) n 1. Derste

Detaylı

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ 5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii

Detaylı