TEZ ONAYI Eda YAZAR tarafıda hazırlaa Fuzzy Topolojk Gruplar adlı tez çalışması 22/07/2008 tarhde jür tarafıda oy brlğ le Akara Üverstes Fe Blmler Est

Transkript

2 TEZ ONAYI Eda YAZAR tarafıda hazırlaa Fuzzy Topolojk Gruplar adlı tez çalışması 22/07/2008 tarhde jür tarafıda oy brlğ le Akara Üverstes Fe Blmler Esttüsü Matematk Aablm Dalı da YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edlmştr. Daışma: Yrd. Doç. Dr. Erdal GÜNER Jür Üyeler Başka : Prof. Dr. Sabahatt BALCI Akara Üverstes Fe Fakültes Matematk A.B.D. Üye : Prof. Dr. Ceml YILDIZ Gaz Üverstes Fe-Edebyat Fakültes Matematk A.B.D. Üye : Yrd. Doç. Dr. Erdal GÜNER Akara Üverstes Fe Fakültes Matematk A.B.D. Yukarıdak soucu oaylarım. Prof. Dr. Orha ATAKOL Esttü Müdürü

3 ÖZET Yüksek Lsas Tez FUZZY TOPOLOJİK GRUPLAR Eda YAZAR Akara Üverstes Fe Blmler Esttüsü Matematk Aablm Dalı Daışma: Yrd. Doç. Dr. Erdal GÜNER Bu tez beş bölümde oluşmaktadır. Brc bölüm grş kısmıa ayrılmıştır. İkc bölümde fuzzy kümeler ve fuzzy kümeler üzerde taımlaa küme şlemler verlmştr. Üçücü bölümde fuzzy topolojk uzaylar celemştr. Dördücü bölümde fuzzy gruplar araştırılmıştır. So olarak beşc bölümde fuzzy topolojk gruplar çalışılmıştır. Temmuz 2008, 06 sayfa Aahtar Kelmeler: Fuzzy altküme, fuzzy topolojk uzay, fuzzy altgrup, fuzzy ormal altgrup, fuzzy topolojk grup.

4 ABSTRACT Master Thess FUZZY TOPOLOGICAL GROUPS Eda YAZAR Akara Uversty Graduate School of Natural ad Appled Sceces Departmet of Mathematcs Supervsor: Assst. Prof. Dr. Erdal GÜNER Ths thess cosst of fve parts. The frst part has bee reserved for the troducto. I the secod part, fuzzy sets ad set operatos whch s defed o fuzzy sets have bee gve. I the thrd part, fuzzy topologcal spaces have bee vestgated. I the fourth part, fuzzy groups have bee examed. Fally the ffth part, fuzzy topologcal groups have bee studed. July 2008, 06 pages Key Words: Fuzzy subset, fuzzy topologcal spaces, fuzzy subgroup, fuzzy ormal subgroup, fuzzy topologcal groups

5 TEŞEKKÜR Tez çalışmamı her aşamasıda yakı lg ve desteğ gördüğüm, çalışmalarımı yöledrlmes ve souçladırılmasıda büyük emeğ geçe tez daışmaım sayı Yrd. Doç. Dr. Erdal GÜNER e (Akara Üverstes Fe Fakültes Matematk Bölümü), çalışmalarım sırasıda tezm madd açıda destekleye TÜBİTAK Blm Adamı Yetştrme Grubu a, her türlü yardım, destek ve blgs esrgemeye sayı hocam Prof. Dr. Sabahatt BALCI ya (Akara Üverstes Fe Fakültes Matematk Bölümü) ve hayatımı her aşamasıda destekler eksk etmeye değerl arkadaşım İsmal Koçyğt ve aleme sosuz teşekkürlerm suuyorum. Eda YAZAR Akara, Temmuz 2008

6 İÇİNDEKİLER ÖZET... ABSTRACT... TEŞEKKÜR... SİMGELER DİZİNİ... v ŞEKİLLER DİZİNİ... v. GİRİŞ FUZZY ALTKÜMELER Fuzzy Altkümeler ve Özellkler Fuzzy Altkümeler Br Foksyo Altıdak Görütüsü ve Ters Görütüsü. 3. FUZZY TOPOLOJİK UZAYLAR Fuzzy Topoloj, Komşuluk Sstemler ve Tabalar F-Sürekl Foksyolar Çarpım Fuzzy Topoloj ve Bölüm Fuzzy Topoloj FUZZY ALT GRUPLAR Fuzzy Alt Grupodler Fuzzy Alt Gruplar Sevye Alt Grupları Fuzzy Normal Alt Gruplar Fuzzy Çarpım Alt Grupları FUZZY TOPOLOJİK GRUPLAR Fuzzy Topolojk Gruplar ve Özellkler Komşuluk Sstemler Fuzzy Topolojk Alt Grup, Normal Alt Grup ve Bölüm Grubu Homomorfzm ve İzomorfzm Fuzzy Topolojk Grupları Kartezye Çarpımı KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ v

7 SİMGELER DİZİNİ A o A A fuzzy alt kümes ç A fuzzy alt kümes kapaışı A A A c A t AqB Β F(G) FC(X,Y) FN(G) FP(X) Σ supa Υ Q (x λ ) x λ x λ qa A fuzzy alt kümes dışı A fuzzy alt kümes sıırı A fuzzy alt kümes tümleye A fuzzy alt kümes sevye alt kümes A ve B fuzzy altkümeler quas-cocdettr T fuzzy topolojs br tabaı G grubuu bütü fuzzy alt gruplarıı kümes X fuzzy topolojk uzayıda Y fuzzy topolojk uzayıa bütü F-sürekl foksyoları kümes G grubuu bütü fuzzy ormal alt gruplarıı kümes X kümes bütü fuzzy alt kümeler kümes T fuzzy topolojs br alt tabaı A fuzzy alt kümes dayaağı x λ fuzzy oktasıı Q-komşuluk sstem Fuzzy okta x λ fuzzy oktası le A fuzzy alt kümes quas-cocdettr µ A A fuzzy alt kümes üyelk foksyou λ * Sabt fuzzy küme v

8 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekl 2. Klask küme ve Fuzzy küme... 3 Şekl 2.2 A fuzzy alt kümes grafğ... 4 Şekl 2.3 Fuzzy alt kümelerde şlemler... 7 Şekl 2.4 A A c ve A A c... 9 v

9 . GİRİŞ Fuzzy sözcüğü dlmzde bulaık veya belrsz sözcüğü olarak kullaılmaktadır. 965 de L.A. Zadeh Fuzzy Sets makales yayılayaa kadar matematk çalışmalarıı klask matıkla temelledryordu. Bldğ gb klask matıkta br öerme ya doğru ya da yalıştır. Ya doğruluk değer ya ya da 0 dır. Fuzzy matıkta se br öerme kısme doğru kısme de yalış olablr. Öreğ hava soğuk ya da sıcaktır öermes yere hava ılıktır öermes fuzzy matıkla matematksel br değere sahp olablmektedr. Öermeler doğruluk değerlere lşk bu yaklaşım güdelk hayatla sıkı br lşk çde ola fuzzy matığı hızla gelşmese olaak taımıştır. Fuzzy teors kura Azerbaycalı elektrk müheds Zadeh grdlerdek hassaslığı çıktılarda koruamamasıda rahatsızlık duyar ve bu kouda yaptığı çalışmalarıı Fuzzy Sets başlığı le yayılar. Blm düyasıda çeştl tartışmaları ardıda uygulamadak başarılı souçları le fuzzy matık büyük br lg toplar. Zadeh makalesde sora Chag, Wog ve dğerler geel topoloj bazı temel kavramlarıı fuzzy kümelere taşıyarak fuzzy topolojk uzaylar teors gelştrdler. Rosefeld 97 de br grubu fuzzy alt grubuu taımladı. Fuzzy topolojk grup kavramıı lk olarak 979 da Foster celemştr. Foster, fuzzy topolojk grupları homomorfk görütü ve ters görütüler le çarpım ve bölüm uzaylarıı br karakterzasyouu vermştr. 984 de Lag ve Ha Fuzzy Topologcal Groups başlıklı makalelerde br fuzzy oktaı Q-komşuluk sstemler le fuzzy topolojk grupları alt grupları, ormal alt grupları ve bölüm gruplarıı celemşlerdr. Daha sora brçok blm adamı tarafıda fuzzy topolojk grup kavramı çalışılmıştır. Güümüzde fuzzy matık le yapıla çalışmalar robot tekolojsde, metro yapımıa, çamaşır makesde cep telefolarıa kadar geş br alaa yayılmıştır. Fuzzy tekolojs geleceğ tekolojs olarak görülmektedr.

10 2. FUZZY ALTKÜMELER 2. Fuzzy Altkümeler ve Özellkler Bldğ gb klask küme teorsde kes sıırlarla belrlemş küme kavramı söz kousudur. Burada kes sıır br ese küme elemaı olması ya da olmamasıı üçücü br hal mkâsızlığıı fade eder. Öreğ X evresel kümes X={ Türkye dek 25 yaşıda büyük breyler } bçmde belrlersek A ={ Türkye dek 25 yaşıda büyük erkekler } kümes X klask alamda br altkümesdr. Ya evresel kümeye at br elema A kümes ya elemaıdır ya da elemaı değldr. Şmd ayı X evresel kümes üzerde B={ Türkye dek 25 yaşıda büyük mutlu breyler } kümes taımlayalım. B kümes X br altkümes olmasıa rağme A kümes sağladığı kes sıır özellğ sağlamaz, zra mutlu olma dereceledrleblecek br kavram olduğu kadar br ese B kümes elemaı olması ya da olmaması durumu br görecelk fade eder. O halde B kümes belrleyeblmek ç X dek her br elemaı B ye at olma dereces atayacak ola br üyelk foksyoua htyaç duyarız. İşte bu şeklde br üyelk foksyou le karakterze edle kümelere fuzzy (bulaık) küme der. Şmd taım ve öreklerle fuzzy altküme kavramıı daha yakıda celeyelm. Taım 2..: X boş olmaya br küme ve I =[0,] brm aralık olsu. µ A :X I foksyou tarafıda karakterze edle A ={(x, µ A (x)) x X } X I kümese X de br fuzzy altküme ve µ A foksyoua A fuzzy altkümes üyelk foksyou der. Burada her x X ç µ A (x) I değer x A ya üyelk derecesdr. Br X kümes bütü fuzzy altkümeler kümes FP(X) le gösterlr. Aslıda bu taım klask kümelerde br küme karakterstk foksyou ola f A :X {0,} 2

11 ì, x Î A f A(x) = ï í ï ïî 0, x Ï A foksyouu br geelleştrlmes olarak da yorumlaablr. Karakterstk foksyo, X evresel kümesdek bütü x oktalarıı tarayarak olara üyelk dereces olarak sadece k değer, 0 ya da değerler atarke, üyelk foksyou [0,] aralığıdak tüm değerler atayablmektedr. Bua göre br x X oktasıı X dek br A fuzzy altkümes elemaı olması ya da olmaması durumuu yere e derece elemaı olduğu durumu söz kousudur. Ya µ A (x) e yaklaşması x A ya üyelk dereces artmasıı ve bezer şeklde 0 a yaklaşması üyelk dereces azalmasıı fade eder (Şekl 2.). X A a. c. b. d. e.. Klask küme f A 0 a b c d e X Karakterstk foksyo X c A b. a. e. d µ A 0,5 0 a b c d e X Fuzzy küme Üyelk foksyou Şekl 2. Klask küme ve Fuzzy küme Örek 2..: A ={50 de çok büyük reel sayılar } fuzzy altkümes µ A : R I ì 0, x 50 x- 50 m A = ï í, 50 < x < ï ïî, x ³ 50 3

12 üyelk foksyou le taımlayablrz. Bua göre A fuzzy altkümes grafğ Şekl 2.2 dek gb olur. µ A R Şekl 2.2 A fuzzy altkümes grafğ Taım 2..2: X kümes üzerde üyelk foksyou µ X : X [0,], µ X (x) =, x X X = {(x,) x X} şeklde taımlaa fuzzy altküme X evresel kümesdr. Bezer olarak üyelk foksyou µ Ø : X [0,], µ Ø (x) = 0, x X Ø ={(x,0) x X} şeklde taımlaa fuzzy altküme fuzzy boş kümedr. Taım 2..3: A FP(X) olsu. A t = {x X µ A (x) t}, t I bçmde taımlaa A t kümese A ı t-sevye ya da kısaca sevye altkümes der. suppa = {x X µ A (x)>0} kümese se A ı dayaağı (support) der. Örek 2..2: X={a, b, c, d, e} olsu. A={b, d, e}, X br altkümesdr. Üyelk foksyou µ B :X I, µ B (a)= 0, µ B (b)=, µ B (c)= 0, µ B (d)=, µ B (e)= 4

13 şeklde verle B, X br fuzzy altkümesdr. Bu durumda B={b,d,e}, ya B=A dır. O halde br X kümes her br altkümes karakterstk foksyou X br fuzzy altkümesdr. X böyle br fuzzy altkümese crsp fuzzy altküme der. µ C : X I, µ C (a)= 0.85, µ C (b)= 0.3, µ C (c)= 0.5, µ C (d)= 0.7, µ C (e)= 0.5 X br fuzzy altkümesdr. C fuzzy altkümes altı tae sevye altkümes vardır. ìï X 0 t 0.5 { a,b,c,d } 0.5 < t 0.3 { a, c, d } 0.3 < t 0.5 C t = ï í { a, d } 0.5 < t 0.7 { a } 0.7 < t 0.85 ï ïî Æ 0.85 < t Taım 2..4: λ [0,] olmak üzere üyelk foksyou m : X [0,], m * (x) = λ, x X * l şeklde taımlaa fuzzy altkümeye sabt fuzzy altküme der. l Şmd fuzzy altkümeler üzerde tıpkı klask kümelerde olduğu gb bazı temel şlemler asıl taımladığıı celeyelm. Taım 2..5: A, B FP(X) olsu. Bu durumda () A = B µ A (x) = µ B (x), x X ( Eştlk ) () A B µ A (x) µ B (x), x X ( Altküme ) () C = A B µ C (x) = max{µ A (x), µ B (x)}, x X ( Brleşm ) (v) D = A B µ D (x) = m{µ A (x), µ B (x)}, x X ( Kesşm ) (v) E = A c µ E (x) = µ A (x), x X ( Tümleye ) 5

14 (v) F = A\ B µ F (x) = m (x) = m{µ c A (x), µ B (x)}, x X ( Fark ) AÇB Daha geel olarak A = {A j j J} br fuzzy altküme ales olmak üzere brleşm ve kesşm C = D = È A j jî J Ç A j jî J µ C (x) = sup{ m A (x) j J}, x X µ D (x) = f{ m A (x) j J}, x X şeklde taımlaır. Şekl 2.3 de A ve B fuzzy altkümeler brleşm, kesşm, tümleme ve altküme olma durumları gösterlmştr. Örek 2..3: X={a,b,c,d} olmak üzere A ve B fuzzy altkümeler üyelk foksyoları sırasıyla µ A : X I, µ A (a)= 0.4, µ A (b)=, µ A (c)= 0.5, µ A (d)= 0.8 µ B : X I, µ B (a)= 0.4, µ B (b)= 0.5, µ B (c)= 0.6, µ B (d)= 0.2 olsu. Bu durumda A B, A B, A\B fuzzy altkümeler üyelk foksyoları µ A B : X I, µ A B (a) = 0.4, µ A B (b) =, µ A B (c) = 0.6, µ A B (d) = 0.8. µ A B : X I, µ A B (a) = 0.4, µ A B (b) = 0.5, µ A B (c) = 0.5, µ A B (d) = 0.2. µ c B : X I, µ c B (a) = 0.6, µ c B (b)= 0.5, µ c B (c) = 0.4, µ c B (d) = 0.8. µ A\B : X I, µ A\B (a) =0.4, µ A\B (b) = 0.5, µ A\B (c) = 0.4, µ A\B (d) = 0.8. dır. 6

15 A B A B A B A B A c B A B A B Şekl 2.3 Fuzzy altkümelerde şlemler X evresel küme ve A, B, C FP(X) olmak üzere fuzzy altkümelerde bazı özellkler şulardır: () A B A = A B () A (B C) = (A B) C () A (B C) = (A B) C (v) A (B C) = (A B) (A C) (v) A (B C) = (A B) (A C) (v) (A B) c = A c B c (v) (A B) c = A c B c 7

16 Burada (v) ve (v) ç geel olarak, A={A j j J}, X de br fuzzy altküme ales olmak üzere ( () È A j ) c = jî J X c = () c = X () (A c ) c = A (v) A A c Ç A c j ve ( jî J A c A (v) A B B c A c Ç A j ) c = jî J È A c j dr. Ayrıca jî J dr. Burada dkkat edlecek olursa (v)-özellğ klask kümelerde geçerl değldr, zra klask kümelerde br küme ve ou tümleye kümes ayrık k kümedr. Ayrıca klask kümelerde br küme le ou tümleye kümes kesşm boş kümey ve brleşmler evresel kümey vermese karşı fuzzy altkümelerde bu durum zorulu değldr. Bu durumu aşağıdak teoremlerle fade edelm. Teorem 2..: X de br A fuzzy altkümes ç A A c = olmak zoruda değldr. İspat: Eğer A=X x X ç µ A (x)= ve A c =, µ c A (x)=0 olacağıda A A c = dır. Eğer A= x X ç µ A (x) = 0 ve A c =X, µ c A (x) = olacağıda A A c = dır. Şmd A X ve A olsu. A A c = olduğuu kabul edelm. Bua göre x X ç c 0 = µ (x) = µ A A (x)= m{µ A (x), µ c A (x)} = m{µ A (x), µ A (x)} dır. Burada x X ç µ A (x) = 0 ya da µ A (x) = 0 µ A (x) = 0 ya da µ A (x) = A = ya da A =X elde edlr. Bu se br çelşkdr. O halde A A c = olmak zoruda değldr. Teorem 2..2: X de br A fuzzy altkümes ç A A c = X olmak zoruda değldr. İspat: Eğer A=X x X ç µ A (x)= ve A c =, µ A c (x)=0 olacağıda A A c =X dır. 8

17 Eğer A= x X ç µ A (x) = 0 ve A c = X, µ c A (x) = olacağıda A A c = X dır. Şmd A X ve A olsu. A A c = X olduğuu kabul edelm. Bua göre x X ç c = µ X (x) = µ A A (x) = max{µ A (x), µ c A (x)} = max{µ A (x), µ A (x)} dır. Burada x X ç µ A (x) = ya da µ A (x) = µ A (x) = ya da µ A (x) = 0 A = X ya da A = elde edlr. Bu se br çelşkdr. O halde A A c = X olmak zoruda değldr. A c A A c A A c A Şekl 2.4 A A c ve A A c Bu çalışmaı buda sorak bölümlerde br A fuzzy altkümes le üyelk foksyou µ A arasıda br fark gözetlmeyecek, µ A yere A gösterm kullaılacaktır. Bu durumda µ A : X I yere A: X I yazılacaktır. Taım 2..6: X kümes üzerde e az br x X oktasıda λ ( 0<λ ), dğer bütü y X oktalarıda 0 değer ala br fuzzy altkümeye X de br fuzzy okta der ve x λ le gösterlr. Burada x oktası x λ ı dayaağıdır. Taım 2..7: A FP(X) ve x λ, X de br fuzzy okta olsu. Eğer λ A(x) se x λ fuzzy oktası A tarafıda kapsaır der ve x λ A le gösterlr. 9

18 Bu durumda her A fuzzy altkümes kapsadığı bütü x λ fuzzy oktalarıı brleşm şeklde fade edleblr. Taım 2..8: X, X 2,, X boşta farklı kümeler ve A, A 2,, A sırasıyla bu kümeler üzerde fuzzy altkümeler olsu. Bua göre X X 2 X üzerde A A 2 A çarpım fuzzy altkümes her (x, x 2,, x ) X X 2 X ç A m A A... A 2 A... A 2 : X X 2 X [0,] m (x, x 2,, x ) = m{ A (x ), A 2 (x 2 ),, A (x ) } üyelk foksyou le taımlaır. Özel olarak =2 ve =,2 ç X =X aldığımızda X X üzerde fuzzy çarpım kümes bezer şeklde taımlaır. Taım 2..9: X boşta farklı br küme olsu. X üzerde br β kl fuzzy bağıtı X X br fuzzy altkümesdr. Bu durumda β, β: X X [0,] şeklde br döüşümdür. X üzerde kl fuzzy bağıtı -l fuzzy bağıtıya geşletleblr. Bu durumda X = X X X olmak üzere β -l fuzzy bağıtı X de br fuzzy altküme, ya β: X [0,] şeklde br döüşüm olacaktır. Taım 2..0: X boşta farklı br küme ve β, β, β 2, X de kl fuzzy bağıtılar olsu. () x X ç β(x, x) = se β ya yasımalıdır der. () x, y X ç β(x, y) = β(y, x) se β ya smetrktr der. () β, β 2 kl fuzzy bağıtılarıı brleşm β o β 2 her x, y X ç β o β 2 (x, y) = sup{m{ β (x, z), β 2 (z, y) } z X} şeklde taımlaır. (v) Eğer βoβ β se β ya geçşldr der. 0

19 Taım 2..: X boşta farklı br küme olmak üzere, X de () Yasımalı () Smetrk () Geçşl br β fuzzy bağıtısıa fuzzy deklk bağıtısı der. 2.2 Fuzzy Altkümeler Br Foksyo Altıdak Görütüsü ve Ters Görütüsü Taım 2.2.: f: X Y br foksyo ve B FP(Y) olsu. Bu durumda B f altıdak ters görütüsü X de f (B) le gösterle ve f (B)(x) = B(f(x)), x X şeklde taımlaa br fuzzy altkümedr Terse A FP(X) olsu. Bu durumda A f altıdak görütüsü Y de f(a) le gösterle ve f (A)(y) - - ìï sup{a(z) : z Î f (y)}, f (y) ¹ Æ = ï í ï - 0, f (y) = Æ ïî, y Y şeklde taımlaa br fuzzy altkümedr. Burada f (y)={x f(x) = y} dr. Örek 2.2.: X ={x, x 2, x 3, x 4 } ve Y ={, 2, 3} k küme ve f: X Y foksyou f(x ) = 3, f(x 2 ) =, f(x 3 ) = 2, f(x 4 ) = şeklde verls. Bu durumda Y de br B:Y I, B()= 0., B(2)= 0.2, B(3)= 0 fuzzy altkümes ç X de f (B) fuzzy altkümes f (B)(x ) = B(f(x )) = B(3) = 0 f (B)(x 2 ) = B(f(x 2 )) = B() = 0. f (B)(x 3 ) = B(f(x 3 )) = B(2) = 0.2

20 f (B)(x 4 ) = B(f(x 4 )) = B() = 0. şeklde elde edlr. X de br A:X I, A(x )= 0.9, A(x 2 )= 0.2, A(x 3 )= 0.5, A(x 4 )= 0 fuzzy altkümes ç Y de f(a) fuzzy altkümes f(a)() = max{a(x) x f ()}= max{a(x 2 ), A(x 4 ) x 2, x 4 f ()} = 0.2 f(a)(2) = max{a(x) x f (2)}= {A(x 3 ) x 3 f (2)}= 0.5 f(a)(3) = max{a(x) x f (3)}= {A(x ) x f (3)}= 0.9 dr. Burada X solu sayıda elemaa sahp olduğu ç supremum yere maksmum kullaılır. Teorem 2.2.: f: X Y br döüşüm olsu. Bu durumda () A,A 2 FP(X) ç A A 2 f(a ) f(a 2 ) dr. () B,B 2 FP(Y) ç B B 2 f (B ) f (B 2 ) dr. () Her A FP(X) ç A f (f(a)) dr. (v) f brebr se her A FP (X) ç A = f (f(a))dr. (v) Her B FP(Y) ç B f (f (B)) dr. (v) f örte se her B FP(Y) ç B = f (f (B) ) dr. (v) Her A FP(X) ve her B FP(Y) ç f(a) B A f (B) (v) f: X Y ve g:y Z k döüşüm olsu. gof bleşke döüşüm olmak üzere her A FP(X) ç (gof)(a)= g(f(a)) dr. (x) f: X Y ve g:y Z k döüşüm olsu. gof bleşke döüşüm olmak üzere her C FP(Z) ç (gof) (C) = f (g (C)) dr. İspat: () f(a )(y) = sup zî f ( y) {A (z)} ve f(a 2 )(y) = sup zî f ( y) {A 2 (z)} dr. A A 2 olduğua göre her y Y ç f(a )(y) f(a 2 )(y) dr. Böylece f(a ) f(a 2 ) dr. 2

21 () Her x X ç f (B )(x) = B (f(x)) ve f (B 2 )(x) = B 2 (f(x)) dr. B B 2 olduğua göre her x X ç f (B )(x) f (B 2 )(x) dr. Böylece f (B ) f (B 2 ) elde edlr. () Her x X ç f (f(a))(x) = f(a)(f(x)) = dr. O halde A f (f(a)) dır. (v) f brebr se her x X ç f (f(a))(x) = dr. O halde A= f (f(a)) dr. sup zî f ( f( x ) sup zî f ( f( x ) {A(z)} A(x) {A(z)} = A(x) (v) Eğer f (y) boşta farklı se dr. Eğer f (y) boş se f(f (B))(y) = sup xî f ( y) {f (B)(x)} = sup xî f f(f (B))(y) = 0 ( y) {B(f(x))} = B(y) dır. O halde her y Y ç f (f (B))(y) B(y) ve böylece B f(f (B)) dr. (v) f örte se her y Y ç f (f (B))(y) = B(y) dr. (v) f(a) B () de Û f (f(a)) f (B) (v) Her z Z ve A FP(X) ç () de Û A f (f(a)) f (B) A f (B) dr. (gof) (A)(z) = sup{a(x) x (gof) (z)} = sup{sup{a(x) x f (y)} y g (z)} = sup{f(a)(y) y g (z)} = g(f(a))(z) dr. Ya (gof) (A) = g (f(a)) elde edlr. 3

22 (x) Her x X ve C FP(Z) ç (gof ) (C)(x) = C(gof (x)) = C (g (f (x))) = g (C)(f(x)) = f (g (C))(x) dr. Ya (gof) (C) = f (g (C)) elde edlr. Teorem 2.2.2: f: X Y br foksyo olsu. Bu durumda () Her A FP(X) ç f(a c ) f(a) c dr. () Her B FP(Y) ç f (B c ) = (f (B)) c dr. İspat: () Her br y Y ç eğer f (y)¹ Æ se f(a c )(y) = sup{a c (z) z f (y)} = sup{ A(z) z f (y)} = f{a(z) z f (y)} ve f(a) c (y) = f(a)(y) = sup{a(z) z f (y) } dr. O halde f (A c )(y) f (A) c (y) dr ve f (A c ) f(a) c elde edlr. () Her x X ç f (B c )(x) = B c (f(x)) = B(f(x)) = f (B)(x) = (f (B)) c (x) dr. O halde f (B c ) = (f (B)) c olur. Öerme 2.2.: f: X Y br foksyo, {A } I, X de br fuzzy altküme ales ve {B } I, Y de br fuzzy altküme ales olsu. Bu durumda () f ( I B ) = I f (B ) () f ( I B ) = I f (B ) () f ( I A ) = I f(a ) (v) f ( I A ) I f(a ) dr (Foster 979). 4

23 Taım 2.2.2: f : X Y ve f 2 : X 2 Y 2 foksyoları ç (f f 2 )(x, x 2 ) = (f (x ), f 2 (x 2 )), (x, x 2 ) X X 2 şeklde taımlaa f f 2 : X X 2 Y Y 2 foksyoua f ve f 2 foksyolarıı çarpım foksyou der. Bezer olarak (f f 2 ) - : Y Y 2 X X 2 foksyou le taımlaır. (f f 2 ) - (y, y 2 ) = (f (y ), f 2 (y 2 )), (y, y 2 ) Y Y 2 Taım 2.2.3: S br küme ve f: S f(s) br foksyo olsu. S µ fuzzy altkümes her x,y S ç f(x) = f(y) µ(x) = µ(y) şartıı sağlıyorsa µ ye f-varyat der. 3. FUZZY TOPOLOJİK UZAYLAR 3. Fuzzy Topoloj, Komşuluk Sstemler ve Tabalar 5

24 Bldğ gb klask topolojk uzaylar teorsde uzaylar arasıdak lşkler ya da foksyoları sürekllğ gb temel celeme alaları açık kümeler yardımı le belrleeblmektedr. Fuzzy topolojk uzaylarda da bezer durum söz kousudur. Bu kısımda buları celeyeceğz. Taım 3..: X br küme, T FP(X) olsu. Eğer T (T - ) Ø, X T (T -) A, B T A B T (solu kesşm) (T - ) A T, I U A T Î I (keyf brleşm) şartlarıı sağlıyorsa T ye X üzerde br fuzzy topoloj der. (X,T) çfte fuzzy topolojk uzay, T elemalarıa se T fuzzy açık altkümeler der. Tümleye T fuzzy açık ola br fuzzy altkümeye T fuzzy kapalı altküme der. Aks belrtlmedkçe br T fuzzy açık (T kapalı) altküme yere kısaca T açık (kapalı) dyeceğz. X üzerde k topoloj T ve T 2 olsu. Eğer T T 2 se T, T 2 de daha kabadır ya da T 2, T de daha cedr der. Klask topolojk uzaylarda olduğu gb e kaba (dscerete) fuzzy topoloj T t ={X, Ø} ve e ce (dscrete) fuzzy topoloj T d = FP(X) dr. Taım 3..2: (X,T) br fuzzy topolojk uzay olsu. Eğer X bütü sabt fuzzy altkümeler T açık se (X,T) ye fully stratfed uzay der. Bu durumda br (X,T) fully stratfed uzayıda λ [0,] ç λ * :X [0,], λ * (x)=λ olmak üzere λ * T dr. Taım 3..3: (X,T) fuzzy topolojk uzay, U FP(X) ve x λ X de br fuzzy okta olsu. Eğer x λ O U olacak şeklde br O T var se U ya x λ fuzzy oktasıı komşuluğu der. 6

25 x λ ı bütü komşuluklarıı oluşturduğu aleye x λ ı komşuluk sstem der ve Υ(x λ ) le gösterlr. Taım 3..4: (X,T) fuzzy topolojk uzay, A, U FP(X) olsu. Eğer A O U olacak şeklde br O T var se U ya A fuzzy altkümes komşuluğu der. A fuzzy altkümes bütü komşuluklarıı oluşturduğu aleye A ı komşuluk sstem der. Taım 3..5: (X,T) br fuzzy topolojk uzay, x λ br fuzzy okta ve A FP(X) olsu. Eğer λ >A c (x) veya λ +A(x) > se x λ fuzzy oktasıa A fuzzy altkümes le quas- cocdet dr der ve x λ qa şeklde gösterlr. Taım 3..6: (X,T) br fuzzy topolojk uzay, A, B FP(X) olsu. Eğer A(x) > B c (x) veya A(x)+B(x) > olacak şeklde br x X var se A le B quas-cocdet dr der ve AqB şeklde gösterlr. A le B br x oktasıda quas-cocdet se açık olarak hem A(x) hem de B(x) sıfırda farklıdır. Bu durumda A ve B fuzzy altkümeler bu x oktasıda kesşr ((A B)(x) ). Taım 3..7: (X,T) fuzzy topolojk uzay U FP(X) ve x λ, X de br fuzzy okta olsu. Eğer x λ qo U olacak şeklde br O T varsa U fuzzy altkümese x λ fuzzy oktasıı br Q-komşuluğu der. x λ ı bütü Q-komşuluklarıı oluşturduğu aleye x λ ı Q-komşuluk sstem der ve Υ Q (x λ ) le gösterlr. 7

26 Dkkat edlmeldr k br fuzzy oktaı Q-komşuluğu oktaı keds çermek zoruda değldr. Ayrıca geel topolojde A le A c kesşmez. Bölüm 2. de fuzzy kümeler ç bu durumu zorulu olmadığıı göstermştk. Buula brlkte fuzzy topolojde A le A c quascocdet olamaz. Zra taımda A(x)+A c (x)= dr. Aşağıdak öerme bu durumu karakterze etmektedr. Öerme 3..: A, B FP(X) olsu. Bu durumda () A B A ve B c quas- cocdet değldr. () x λ A x λ ve A c quas- cocdet değldr. İspat: () A B A(x) B(x), x X A(x)+B c (x) = A(x)+ B(x), x X A ve B c quas- cocdet değldr. () x λ A λ A(x) λ+a c (x)= λ+ A(x) x λ ve A c quas-cocdet değldr. Şmd aşağıdak teoremle br komşuluk ales klask topolojk uzaylarda sağladığı temel özellklere bezer özellkler fuzzy topolojk uzaylarda da sağladığıı gösterelm. Teorem 3..: (X,T) fuzzy topolojk uzay, x λ br fuzzy okta olsu. Bu durumda () U Υ Q (x λ ) x λ qu dr. () U, V Υ Q (x λ ) U V Υ Q (x λ ) dr. () U Υ Q (x λ ) ve U V V Υ Q (x λ ) dr. (v) U Υ Q (x λ ) V Υ Q (x λ ) öyle k V U ve y ρ qv ç V Υ Q (y ρ ) dr. Dğer tarafta Υ Q (x λ ), X de her br x λ fuzzy oktası ç yukarıdak ()-() şartlarıı sağlaya fuzzy altkümeler ales olsu. Bu durumda x λ qu ola bütü U Υ Q (x λ ) fuzzy altkümeler oluşturduğu T ales, X ç br fuzzy topolojdr. Ayrıca Υ Q (x λ ) yukarıdak (v) şartıı da sağlıyorsa Υ Q (x λ ), x λ ı T ye göre Q-komşuluk alesdr. 8

27 Bu teorem fades br x λ fuzzy oktasıı komşuluk ales ç de geçerldr (Mg ad Mg 980a). Teorem 3..2: (X,T) fuzzy topolojk uzay, A FP(X) olsu. Bu durumda A T B A, B FP(X) ç A, B br komşuluğudur. İspat: A T ve B A se Taım 3..4 de dolayı A, B br komşuluğudur. A A olduğua göre O T öyle k A O A dır. O halde A=O ve A T dr. Teorem 3..3: (X,T) br fuzzy topolojk uzay ve A FP(X) olsu. Bu durumda Herhag br x λ qa ç A, x λ ı Q-komşuluğu se A fuzzy açıktır. İspat: x λ qa ve A, x λ ı Q-komşuluğu olsu. Bu durumda olacak şeklde br Gx l T vardır. A = x λ q G xl ve Gx l A U Gx l xl qa A A ve A T dyelm. Açık olarak dr. Şmd A(x)= t ve t =-t ve dyelm. Ayrıca t < t ve azala br dz olsu. Bu durumda her t ç olduğua göre x t qa dır. O halde A, A(x) + t =t+ t >t+ t = lm t = t olmak üzere { t } x t br Q-komşuluğudur. Bu durumda x q t O x t ve O x A t olacak şeklde br O x T vardır. Bezer şeklde t =- t olmak üzere { t }, t lm t =t arta br dzdr. O x (x) + t > olduğua göre t 9

28 dr. Ayrıca O x (x) > t t O x A olduğua göre A (x) > t ve burada t A (x) > t elde edlr. x keyf br elema olduğua göre A A dr. Bu durumda A=A ve A fuzzy açıktır. Taım 3..8: (X,T) fuzzy topolojk uzay, A FP(X) olsu. A ı kapsadığı bütü fuzzy açık altkümeler brleşme A ı ç der ve A o = U {O O A ve O T } le gösterlr. A o o o, A ı kapsadığı e geş açık fuzzy altkümedr ve aşkâr olarak ( A ) = A dr. o Taım 3..9: (X,T) fuzzy topolojk uzay, A FP(X) olsu. A yı kapsaya bütü fuzzy kapalı altkümeler kesşme A ı kapaışı der ve A = I {F A F ve F c T} le gösterlr. A, A yı kapsaya e dar fuzzy kapalı kümedr ve aşkar olarak ( A ) = A dır. Taım 3..0: (X,T) fuzzy topolojk uzay, A FP(X) olsu. A c kapsadığı bütü fuzzy açık altkümeler brleşme A ı dışı der ve A = U {O O A c ve O T } le gösterlr. Açık olarak A = ( A ) c dr. Taım 3..: (X,T) fuzzy topolojk uzay, A FP(X) olsu. A ı ve A c kapaışlarıı kesşmdek br x λ fuzzy oktasıa A ı sıır oktası der ve sıır oktalarıı kümes A = { x λ x λ A I c A } 20

29 le gösterlr. Teorem 3..4: (X,T) fuzzy topolojk uzay, x λ br fuzzy okta olsu. Bu durumda () x λ A o U Υ(x λ ) U A () x λ A " U Υ Q (x λ ) ç UqA dr (Mg ad Mg 980a). Teorem 3..5: (X,T) fuzzy topolojk uzay ve A FP(X) olsu. Bu durumda ( ) c () A o c = ( A ) c c, A = ( A ) o, ( A ) c =( A c ), ( c ) () A A A dır (Mg ad Mg 980a). o c æo ö A = ç A çè ø Teorem 3..6: (X,T) fuzzy topolojk uzay ve A FP(X) olsu. Bu durumda A T A= A o İspat: A T se A A o dır. Ayrıca A o A olduğua göre A= A o dır. Terse A= A o se A o T olduğua göre A T dr. Taım 3..2: (X,T) fuzzy topolojk uzay ve AÎ FP(X) olsu. Bu durumda A ya drgemş fuzzy topoloj T A, X dek fuzzy açık altkümeler A le arakestler oluşturduğu aledr. T A ={O O =O ÇA, O T} (A,T A ) çfte (X,T) ı br fuzzy alt uzayı der. Taım 3..3: (X,T) fuzzy topolojk uzay, Υ Q (x λ ), x λ fuzzy oktasıı Q-komşuluk sstem olsu. Υ Q (x λ ) ı br Β Q (x λ ) alt ales U Υ Q (x λ ) ç B Β Q (x λ ) B U şartıı sağlıyorsa Β Q (x λ ) ya Υ Q (x λ ) ı br Q-komşuluk tabaı der. 2

30 Taım 3..4: (X,T) fuzzy topolojk uzay ve Υ(x λ ), x λ fuzzy oktasıı komşuluk sstem olsu. Υ(x λ ) ı br Β(x λ ) alt ales U Υ(x λ ) ç B Β(x λ ) B U şartıı sağlıyorsa Β(x λ ) ya Υ(x λ ) ı br komşuluk tabaı der. Öerme 3..2: (X,T) br fully stratfed uzay ve Β Q (x λ ), x λ fuzzy oktasıı br Q- komşuluk tabaı olsu. Bu durumda f{b(x) B Β Q (x λ )} = -λ= λ dr (Lag ad Ha 984). Öerme 3..3: (X,T) br fully stratfed uzay ve Β Q (x λ ), x λ ı br Q-komşuluk tabaı olsu. Bu durumda Β λ = { B λ B λ = B λ *, λ=sup{b(x)}, B Β Q (x λ ) } ales de x λ ı br Q-komşuluk tabaıdır (Lag ad Ha 984). Taım 3..4: (X,T) fuzzy topolojk uzay ve Β, T br alt ales olsu. T her elemaı Β bazı elemalarıı brleşm şeklde fade edleblyorsa Β ye T fuzzy topolojs ç br tabadır der. Ya dr. G T ç Β G Β G= BÎ U G B B Taım 3..5: (X,T) fuzzy topolojk uzay, (A,T A ), (X,T) ı fuzzy alt uzayı ve Β A, T A ı br alt ales olsu. T A ı her elemaı Β A bazı elemalarıı brleşm şeklde fade edleblyorsa Β A alt alese T A drgemş fuzzy topolojs ç br tabadır der. (X,T) fuzzy topolojk uzayıda Β, T ç br taba se Β A ={B B =B Ç A, B Β } (A,T A ) fuzzy alt uzayıda T A ç br tabadır. 22

31 Taım 3..6: (X,T) fuzzy topolojk uzay, Σ T olsu. Σ bütü elemalarıı solu kesşmler oluşturduğu ale T ç br taba oluyorsa Σ ye T fuzzy topolojs ç br alt tabadır der. Ya Β ={ I Φ Φ, Σ solu br alt ales} T ç br tabadır. Öerme 3..4: X boşta farklı br küme, J br deks kümes ve A={A j j J} X de br fuzzy altküme ales olsu. Bu durumda x λ qu A A j A x λ qa j İspat: x λ qu A U A(x)+λ> sup A j (x) +λ> jî J j J A j (x)+λ> A j A x λ qa j Öerme 3..5: (X,T) br fuzzy topolojk uzay ve Β, T br alt ales olsu. Bu durumda Β, T ç br tabadır x λ ve U Υ Q (x λ ) ç x λ qb U (Mg ad Mg 980a). olacak şeklde br B Β vardır. Taım 3..7: (X,T) br fuzzy topolojk uzay, B FP(X) ve Α, X fuzzy altkümeler br ales olsu. Eğer B {A A Α} se Α ales B fuzzy altkümes ç br örtüdür der. Her br elemaı açık ola örtüye açık örtü ve Α örtüsüü keds de br örtü ola alt alese alt örtü der. 23

32 Taım 3..8: Br (X,T) fuzzy topolojk uzayıa her açık örtüsüü solu br alt örtüsü varsa kompakt der. 3.2 F-Sürekl Foksyolar Taım 3.2.: (X,T ) ve (Y,T 2 ) fuzzy topolojk uzaylar ve f :(X,T ) (Y,T 2 ) br döüşüm olsu. Eğer G T 2 ç f (G) T oluyorsa f ye fuzzy sürekl ya da kısaca F-sürekldr der. FC(X,Y) le (X,T ) fuzzy topolojk uzayıda (Y,T 2 ) fuzzy topolojk uzayıa F-sürekl döüşümler kümes gösterelm. Taım 3.2.2: (X,T ), (Y,T 2 ) fuzzy topolojk uzaylar ve f: (X,T ) (Y,T 2 ) br döüşüm olsu. Bu durumda f(x λ )=f(x) λ fuzzy oktasıı herhag br V Q-komşuluğu (komşuluğu) ç x λ ı f(u) V olacak şeklde br U Q-komşuluğu (komşuluğu) varsa f ye x λ fuzzy oktasıda Q- komşuluğa (komşuluğa) göre F-sürekldr der. Teorem 3.2.: f :(X,T ) (Y,T 2 ) br döüşüm olsu. Bu durumda () f, F-sürekldr. () f, herhag br x λ fuzzy oktasıda Q-komşuluğa göre F-sürekldr. () f, herhag br x λ fuzzy oktasıda komşuluğa göre F-sürekldr. fadeler dektr (Lag ad Ha 984). Teorem 3.2.2: f : (X,T ) (Y,T 2 ) br döüşüm olsu. Bu durumda () f, F-sürekldr 24

33 () Her K FP(Y) T 2 -fuzzy kapalı altkümes ç f (K) T fuzzy kapalıdır. () Her A FP(X) ç f(a) ı herhag br komşuluğuu ters görütüsü A ı br komşuluğudur. (v) Her A FP(X) ve f(a) ı herhag br V komşuluğu ç A ı f(u) V olacak şeklde br U komşuluğu vardır. fadeler ç () (), () (v), () () dr. İspat: () () Teorem de dolayı her G FP(Y) ç (f (G)) c =f (G c ) dr. Bua göre f, F-sürekldr G T 2 ç f (G) T G T 2 ç (f (G)) c T kapalıdır G c T 2 kapalı ç f (G c )= (f (G)) c T kapalıdır K T 2 kapalı ç f (K) T kapalıdır () () f, F- sürekl, A FP(X) ve V, f(a) ı herhag br komşuluğu olsu. Bu durumda V, f(a) ı açık br W komşuluğuu çerr. Ya f(a) W V dır. O halde A f ( f(a)) f (W) f (V) yazablrz. f, F- sürekl olduğua göre f (W) T dr ve burada A f (W) f (V) elde edlr. Böylece f (V), A ı br komşuluğudur. () (v) f (V), A ı br komşuluğu olduğua göre U = f (V) alıırsa elde edlr. f(u)= f (f (V)) V (v) () V, f(a) ı herhag br komşuluğu olsu. Kabulde dolayı A ı f(u) V olacak şeklde br U komşuluğu vardır. Bu durumda 25

34 U f (f(u)) f (V) olduğua göre f (V), A ı br komşuluğudur. Teorem 3.2.3: f :(X,T ) (Y,T 2 ) br döüşüm olsu. Bu durumda () f, F-sürekldr () Her A FP(X) ç f( A ) f (A) dr () Her B FP(Y) ç f - (B) f - ( B ) dr fadeler dektr (Mg ad Mg 980b). Öerme 3.2.: f:(x,t ) (Y,T 2 ) br döüşüm ve Β 2, T 2 br tabaı olsu. Bu durumda (Foster 979). f, F-sürekldr Β 2 her B elemaı ç f (B) T açıktır. Taım 3.2.3: (X,T ) ve (Y,T 2 ) k fuzzy topolojk uzay, f :(X,T ) (Y,T 2 ) br döüşüm ve (A,T A ), (B,T 2B ) sırasıyla (X,T ), (Y,T 2 ) fuzzy topolojk uzaylarıı fuzzy alt uzayları ve f(a) B olsu. Eğer V T 2B ç f - (V ) I A T A se f ye rölatf fuzzy sürekl ya da kısaca rölatf F-sürekl der. Öerme 3.2.2: f: (X,T ) (Y,T 2 ) F-sürekl, (A,T A ) ve (B,T 2B ) sırasıyla (X,T ) ve (Y,T 2 ) fuzzy topolojk uzaylarıı fuzzy alt uzayları ve f(a) B olsu. Bu durumda f :(A,T A ) (B,T 2B ) rölatf F-sürekldr. İspat: G T 2B olsu. Bu durumda G =G I B olacak şeklde br G T 2 vardır. Burada f (G ) I A = f (G I B) I A = f (G) I f (B) I A = f (G) I A dr. Ayrıca f (G)Î T olduğua göre f (G ) I A T A elde edlr. 26

35 Öerme 3.2.3: f:(x,t ) (Y,T 2 ) br döüşüm (A,T A ) ve (B,T 2B ) sırasıyla (X,T ) ve (Y,T 2 ) fuzzy topolojk uzaylarıı fuzzy alt uzayları ve Β 2B, T 2B br tabaı olsu. Bu durumda f, rölatf F-sürekldr Β 2B her B elemaı ç f (B ) I A T A açıktır (Foster 979). Öerme 3.2.4: (X,T) br fuzzy topolojk uzay olmak üzere X : (X,T) (X,T) özdeşlk döüşümü F-sürekldr (Foster 979). Teorem 3.2.4: (X,T ), (Y,T 2 ), (Z,T 3 ) fuzzy topolojk uzaylar ve f :(X,T ) (Y,T 2 ) ve g :(Y,T 2 ) (Z,T 3 ) F-sürekl döüşümler olsu. Bu durumda gof :(X,T ) (Z,T 3 ) F-sürekl br döüşümdür (Foster 979). Teorem 3.2.5: (A,T A ), (B,T 2B ), (C,T 3C ) sırasıyla (X,T ), (Y,T 2 ), (Z,T 3 ) fuzzy topolojk uzaylarıı fuzzy alt uzayları ve f: (A,T A ) (B,T 2B ) ve g :(B,T 2B ) (C,T 3C ) rölatf F- sürekl döüşümler olsu. Bu durumda gof: (A,T A ) (C,T 3C ) rölatf F-sürekl br döüşümdür. İspat: W T 3C olsu. Bu durumda g - (W ) I B T 2B ve f - (g - (W ) I B) I A T A dır. Ayrıca (gof) - (W ) I A = f (g (W ) I B) I A olduğua göre gof rölatf F-sürekldr. Taım 3.2.4: (X,T ) ve (Y,T 2 ) fuzzy topolojk uzaylar, f: (X,T ) (Y,T 2 ) br döüşüm olsu. Eğer U T ç f (U) T 2 se f ye fuzzy açık ya da kısaca F- açık der. 27

36 Taım 3.2.5: (X,T ) ve (Y,T 2 ) fuzzy topolojk uzaylar, f: (X,T ) (Y,T 2 ) br döüşüm olsu. Bu durumda x λ fuzzy oktasıı herhag br U Q-komşuluğu (komşuluğu) ç f (x λ )= f(x) λ ı V f(u) olacak şeklde br V Q-komşuluğu (komşuluğu) varsa f ye x λ fuzzy oktasıda Q- komşuluğa (komşuluğa) göre F-açıktır der. Teorem 3.2.6: f : (X,T ) (Y,T 2 ) br döüşüm olsu. Bu durumda () f, F-açıktır. () f, herhag br x λ X fuzzy oktasıda Q-komşuluğa göre F-açıktır. () f, herhag br x λ X fuzzy oktasıda komşuluğa göre F-açıktır. fadeler dektr (Lag ad Ha 984). Taım 3.2.6: (X,T ) ve (Y,T 2 ) k fuzzy topolojk uzay, f :(X,T ) (Y,T 2 ) br döüşüm ve (A,T A ), (B,T 2B ) sırasıyla (X,T ), (Y,T 2 ) fuzzy topolojk uzaylarıı fuzzy alt uzayları ve f(a) B olsu. Eğer se f ye rölatf fuzzy açık der. U T A ç f(u ) T 2B Teorem 3.2.7: (X,T ), (Y,T 2 ), (Z,T 3 ) fuzzy topolojk uzaylar ve f :(X,T ) (Y,T 2 ) ve g :(Y,T 2 ) (Z,T 3 ) F-açık döüşümler olsu. Bu durumda gof :(X,T ) (Z,T 3 ) F-açık br döüşümdür (Foster 979). Teorem 3.2.8: (A,T A ), (B,T 2B ), (C,T 3C ) sırasıyla (X,T ), (Y,T 2 ), (Z,T 3 ) fuzzy topolojk uzaylarıı fuzzy alt uzayları ve f: (A,T A ) (B,T 2B ) ve g :(B,T 2B ) (C,T 3C ) rölatf F-açık döüşümler olsu. Bu durumda gof: (A,T A ) (C,T 3C ) rölatf F-açık br döüşümdür (Foster 979). 28

37 Taım 3.2.7: f: (X,T ) (Y,T 2 ) brebr örte döüşümüe F-sürekl ve F-açık se fuzzy homeomorfzm ya da kısaca F- homeomorfzm der. İk fuzzy topolojk uzay arasıda br F-homeomorfzm varsa bu uzaylara F- homeomorfktrler der. Taım 3.2.8: f: (A,T A ) (B,T 2B ) brebr örte döüşümüe f(a)=b, rölatf F-sürekl ve rölatf F-açık se rölatf fuzzy homeomorfzm ya da kısaca rölatf F-homeomorfzm der. Teorem 3.2.9: f: (X,T) (Y,V) F-sürekl, örte br döüşüm ve (X,T) kompakt olsu. Bu durumda (Y,V ) de kompakttır. İspat: B, Y açık br örtüsü olsu. Bu durumda x X ç U B Î B - - f (B) (x) = sup{f (B)(x)} = sup{b(f (x))} = B Î B B Î B dr. O halde B B ç f (B) bçmdek fuzzy altkümeler ales, X solu br alt aleye sahp açık br örtüsüdür. Ayrıca f örte olduğua göre f(f (B))= B dr. Böylece X solu alt örtüsüü elemalarıı f altıdak görütüler B Y y örte solu br alt alesdr. Souç olarak Y kompakttır. 3.3 Çarpım Fuzzy Topoloj ve Bölüm Fuzzy Topoloj I keyf br deks kümes olmak üzere {(X,T )} I, fuzzy topolojk uzayları br ales, X Õ = X Î I p - Σ={ bldğmz çarpım uzayı ve p : X X, I projeksyo olsu. A T ç (A ), X çarpım uzayıda br fuzzy altkümedr. O halde X üzerde br T fuzzy topolojs p - (A ) A T, Î I} ales alt taba olmak üzere kurulablr. B, Σ elemalarıı solu kesşmler oluşturduğu ale olsu. B elemalarıı bütü brleşmler 29

38 oluşturduğu aleye T dersek, T, X üzerde br fuzzy topoloj olur öyle k B, T ç br taba ve Σ br alt tabadır. Bua göre aşağıdak taımı vereblrz. Taım 3.3.: {(X,T )} I, fuzzy topolojk uzayları br ales olsu. Yukarıdak gb taımlaa T ye X= Õ X ç çarpım fuzzy topoloj ve (X,T) çfte {(X Î I,T )} I fuzzy topolojk uzaylarıı çarpım fuzzy topolojk uzayı der. Bezer şeklde solu sayıda fuzzy topolojk uzayı alt uzaylarıı çarpımı taımlaablr. Her =,.., ç A FP(X ) olsu. A = foksyou Õ A çarpımı, X= Î I Õ X Î I A(x,,x ) = m{a (x ),,A (x )}, (x,,x ) X şeklde taımlı br fuzzy altkümedr. Ayrıca x Î X ç p (A)(x ) = olduğua göre p (A) A dr. sup - (z,..,z ) Î p (x ) = sup - (z,..,z ) Î p (x ) = m{ sup A (x ) A(z,,z ) z X m {A (z ),,A (z )} çarpımıda üyelk Î A (z ),, A (x ),.., supz Î X A (z )} Ayrıca dkkat edlrse {(X,T )},.., solu sayıda fuzzy topolojk uzayı çarpım fuzzy topolojk uzayı (X,T), U T,,.., olmak üzere fuzzy altkümeler formudak çarpımıda oluşa br tabaa sahptr (Foster 979). Õ U Öerme 3.3.: (X,T), {(X,T )},.., solu sayıda fuzzy topolojk uzayı çarpım fuzzy topolojk uzayı olsu. Her,.., ç A FP(X ) ve A, X de çarpım fuzzy altkümes olsu. 30

39 Bu durumda A ya drgemş fuzzy topoloj T A, çarpım fuzzy altkümelerde oluşa br tabaa sahptr. Õ U, U (T ) A,.., formuda İspat: T, B={ Õ U U T,,..,} bçmde br tabaa sahp olduğua göre T A ç br taba şeklde olacaktır. Ayrıca T A ={( Õ U ) I A U T,,..,} ( Õ U Õ ) A = olduğua göre U = U A dersek stee elde edlr. U A Teorem 3.3.: (X,T), {(X,T )} I fuzzy topolojk uzaylarıı çarpım fuzzy topolojk uzayı olsu. Bu durumda () Her I ç p, F-sürekldr. () Çarpım fuzzy topoloj her I ç p F-sürekl olacak şeklde X ç e kaba fuzzy topolojdr. () (Y,ς) herhag br fuzzy topolojk uzay ve f:y X br döüşüm olsu. Bu durumda f, F-sürekldr Her I ç p of, F-sürekldr dr. Y f X p of p İspat: () ve () çarpım fuzzy topoloj taımıda heme görülür. X 3

40 () A T olsu. p of, F-sürekl olduğua göre (p of) - (A )= (f - op )(A ) ς-açıktır. Bu durumda {f (p (A ))}, A T her I ç Y de ς-açık fuzzy altkümeler br alesdr. Ayrıca T elemaları {p (A )} ales elemalarıı solu kesşmler brleşmlerde oluştuğua ve f kesşm ve brleşmler koruduğua göre f T-açıkları ς- açık fuzzy altkümelere döüştürür. O halde f, F-sürekldr. Açık olarak sağlaır. Teorem 3.3.2: (X,T), {(X,T )},.., solu sayıda fuzzy topolojk uzayı çarpım fuzzy topolojk uzayı, her,.., ç A FP(X ) ve A, X de çarpım fuzzy altkümes olsu. (Y, Υ) herhag br fuzzy topolojk uzay B, Y de br fuzzy altküme ve f, (B, Υ B ) fuzzy alt uzayıda (A,T A ) fuzzy alt uzayıa br döüşüm olsu. Bu durumda f, rölatf F-sürekl Her,.., ç p of rölatf F- sürekl dr. İspat: Öerme de dolayı her,.., ç p F-sürekl olması rölatf F-sürekl olmasıı da gerektrr. Ayrıca f rölatf bleşkes rölatf F- sürekl olur. F-sürekl olduğua göre her,.., ç p of Her,.., ç p of rölatf F- sürekl ve U = U U, U (T ) A, =,.., olsu. Öerme 3.3. de bu formdak U ler kümes T A ç br tabadır. Burada f (U ) I B = f ( p (U ) I I p (U ) ) I B = - I ((pof ) (U ) I B) Υ B -açıktır. O halde Öerme de dolayı f rölatf F-sürekldr. Öerme 3.3.2: {(X,T )}ve {(Y, Υ )} I fuzzy topolojk uzayları k ales, (X,T), (Y, Υ) sırasıyla çarpım fuzzy topolojk uzayları ve her I ç f : (X,T ) (Y, Υ ) br döüşüm olsu. Eğer her Î I ç f döüşümü F-sürekl se 32

41 çarpım döüşümü F-sürekldr. f = Õ f :(X,T) (Y, Υ), f(x) = (f (x )) Î I İspat: f döüşümü her x=(x ) X ç f(x) = (f (p (x))) şeklde yazılablr. Bu durumda Teorem 3.3. de dolayı f F-sürekldr. Öerme 3.3.3: {(X,T )}ve {(Y, Υ )},.., fuzzy topolojk uzayları k solu ales ve (X,T), (Y, Υ) sırasıyla çarpım fuzzy topolojk uzayları olsu. Her,.., ç A FP(X ), B FP(Y ) ve f :(A,(T ) A ) (B,(Υ ) B ) br döüşüm olsu. A= Õ A, B= Õ B sırasıyla X ve Y de çarpım fuzzy altkümeler olsu. Eğer her,.., ç f döüşümü rölatf F-sürekl se f = Õ f : (A,T A) (B, Υ B ), f(x,..,x ) = (f (x ),.., f (x )) çarpım döüşümü rölatf F-sürekldr (Foster 979). Öerme 3.3.4: {(X,T )}ve {(Y, Υ )},,.., fuzzy topolojk uzayları k solu ales ve (X,T), (Y, Υ) sırasıyla çarpım fuzzy topolojk uzayları ve her,.., ç f :(X,T ) (Y, Υ ) br döüşüm olsu. Eğer her,.., ç f, F-açık se f = Õ f :(X,T) (Y, Υ), f(x,..,x ) = (f (x ),.., f (x )) çarpım döüşümü F-açıktır. İspat: U, T-açık olsu. Bu durumda U = U Õ jî J olacak şeklde U j,,..,, j J T -açık fuzzy altkümeler vardır. Burada her y Y ç f(u)(y) = f( U Õ jî J U j U j )(y) 33

42 = U f( jî J = = = = sup j J Õ U j sup Î - zî f (y) sup j J sup )(y) ( Î - zî f (y ) sup jî J sup jî J m{ Õ... sup U j - zî f (y ) sup )(z) - z Î f (y ) m{ U j (z ),..., U j(z ) } U j(z ),..., sup - z Î f (y ) m{f ( U )(y ),..., f ( U )(y )} j j U (z ) } j = Õ U j jî J f (U ) (y) dr. Böylece f(u) = Õ U j jî J Υ-açıktır. Souç olarak f, F-açıktır. f (U ) elde edlr. Her,.., ç f, F-açık olduğua göre f(u), Öerme 3.3.5: {(X,T )}ve {(Y, Υ )},.., fuzzy topolojk uzayları k solu ales ve (X,T), (Y, Υ) sırasıyla çarpım fuzzy topolojk uzayları olsu. Her,.., ç A FP(X ), B FP(Y ) ve f : (A,(T ) A ) (B,(Υ ) B ) br döüşüm olsu. A= Õ A Õ, B= ve Y de çarpım fuzzy altkümeler olsu. Eğer her,.., ç f, rölatf F-açık se f = Õ f : (A,T A ) (B, Υ B ), f(x,..,x ) = (f (x ),.., f (x )) çarpım döüşümü rölatf F-açıktır. İspat: U, T A -açık olsu. Bu durumda Öerme 3.3. de dolayı B sırasıyla X U = U jî J Õ U j olacak şeklde U j,,..,, j J (T ) A -açık fuzzy altkümeler vardır. Öerme spatıa bezer br şeklde f(u )= Õ U j jî J f (U ) 34

43 olduğu gösterleblr. Bu durumda her,.., ç f rölatf F-açık olduğua göre f(u ), Υ B - açıktır. Souç olarak f rölatf F-açıktır. Öerme 3.3.6: (X,T ) ve (X 2,T 2 ) fuzzy topolojk uzaylar ve (X,T) çarpım fuzzy topolojk uzayı olsu. Bu durumda her a X ç : (X 2,T 2 ) (X,T), (x 2 )=(a,x 2 ) döüşümü F-sürekldr (Foster 979). Öerme 3.3.7: (X,T ) ve (X 2,T 2 ) fuzzy topolojk uzaylar ve (X,T) çarpım fuzzy topolojk uzayı olsu. A FP(X ), A 2 FP(X 2 ) ve A, X de çarpım fuzzy kümes olsu. Bu durumda her x 2 X 2 ç A (a ) A 2 (x 2 ) eştszlğ sağlaya her br a X ç :(A 2,(T 2 ) A2 ) (A,T A ), (x 2 ) = (a, x 2 ) döüşümü rölatf F-sürekldr (Foster 979). Teorem 3.3.3: {(X,T )},,.., kompakt fuzzy topolojk uzayları solu br ales olsu. Bu durumda (X,T) çarpım fuzzy topolojk uzayı da kompakttır (Wog 974). Şmd çarpım fuzzy topoloj dual olarak bölüm fuzzy topoloj taımıı verelm. Taım 3.3.2: (X,T) br fuzzy topolojk uzay, R, X üzerde br deklk bağıtısı, X/R bölüm kümes ve p:x X/R bölüm döüşümü olsu. Υ, X/R de Υ ={B p (B) T} bçmde taımlı fuzzy altkümeler ales olsu. Bu durumda Υ, X/R de p F-sürekl olacak şeklde br fuzzy topolojdr. Υ ya X/R ç br bölüm topolojs ve (X/R,Υ) çfte (X,T) ı bölüm fuzzy topolojk uzayı der. Teorem 3.3.4: (X,T) br fuzzy topolojk uzay ve (X/R,Υ), (X,T) ı bölüm fuzzy topolojk uzayı olsu. Bu durumda () Bölüm fuzzy topoloj p F-sürekl olacak şeklde X/R ç e ce fuzzy topolojdr. 35

44 () (Y,ς) herhag br fuzzy topolojk uzay, g, (X/R, Υ) bölüm fuzzy topolojk uzayıda (Y,ς) ye br döüşüm olsu. Bu durumda dr. g, F-sürekldr gop, F- sürekldr İspat: () Bölüm fuzzy topoloj taımıda heme görülür. () g, F-sürekl olsu. p F-sürekl olduğua göre gop, F-sürekldr. B ς alalım. Kabulde dolayı (gop) - (B) = p (g (B)) T-açıktır. Bölüm fuzzy topolojk uzayıı taımıda g (B), Υ-açıktır. O halde g, F- sürekldr. Teorem 3.3.5: f: (X,T) (Y,ς) F-sürekl, örte br döüşüm olsu. Eğer f, F-açık veya F- kapalı se (Y,ς) fuzzy topolojk uzayı, (X/R, Υ) bölüm fuzzy topolojk uzayıa F- homeomorfk olacak şeklde X üzerde br R deklk bağıtısı vardır. İspat: X üzerde R bağıtısıı xry f(x) = f(y) şeklde taımlayalım. Açık olarak R br deklk bağıtısıdır. x deklk sııfıı [x] le gösterelm. Şmd h:(y,ς) (X/R, Υ) döüşümüü f(x) = y Y ç h(y)= [x] şeklde taımlayalım. Bu durumda h brebr, örtedr. Ayrıca h - op= f, f-sürekl olduğuda Teorem () de dolayı h F-sürekldr. X f Y p h X/R 36

45 Eğer f, F-açık ve Q, X/R de açık se p (Q), (X,T) da açık ve f(p (Q))= h (p(p (Q))) = h (Q) (Y,ς) de açık olur. O halde h, F- sürekldr. Souç olarak h, (Y,ς) de (X/R,Υ) fuzzy bölüm topolojk uzayıa br F-homeomorfzmdr. 4. FUZZY ALTGRUPLAR Bu bölümde fuzzy alt grupları celeyerek karakterzasyoları üzerde duracağız. Fuzzy alt grup kavramıı vermede öce fuzzy alt grupodler le lgl özellkler ele alacağız. 4. Fuzzy Alt Grupodler S br grupod ya br kl şlem altıda kapalı olsu. 37

46 Taım 4..: µ FP(S) olsu. µ, her x,y S ç µ(xy) m{µ(x), µ(y)} şartıı sağlıyor se µ ye S br fuzzy alt grupod der. Öerme 4..: µ, S de br fuzzy alt grupod se herhag br t [0,] ç µ t = {x S µ(x) t} sevye altkümes S br alt grupoddr. İspat: Her x, y µ t ç xy µ t olduğuu göstermek yeterldr. x, y µ t olsu. Bu durumda µ(x) t ve µ(y) t dr. µ, S fuzzy alt grupod olduğua göre µ(xy) m{µ(x), µ(y)} t dr. O halde µ(xy) t ve xy µ t elde edlr. Böylece kapalılık özellğ sağlaır ve µ t br alt grupoddr. Öerme 4..2: T, S br altkümes ve µ T : S {0,} T karakterstk foksyou olsu. Bu durumda µ T, S br fuzzy alt grupoddr T, S br alt grupoddr. İspat: µ T karakterstk foksyou x T ç µ T (x)= ve x T ç µ T (x)=0 değerler alır. Bua göre µ T, S br fuzzy alt grupoddr x, y S ç µ T (xy) m{µ T (x), µ T (y)} µ T (x)=, µ T (y)= µ T (xy) = x, y T xy T T, S br alt grupoddr. Öerme 4..3: Fuzzy alt grupodler keyf kesşm br fuzzy alt grupoddr. İspat: I keyf br deks kümes olmak üzere her I ç µ, S br fuzzy alt grupod olsu. Bu durumda x, y S ç 38

47 Ç µ (xy) = Î I f {µ (xy)} Î I f {m{µ (x), µ (y)}} Î I = m{ f µ (x), Î I f µ (y)} Î I elde edlr. = m{ Ç µ (x), Î I Ç µ (y)} Î I Öerme 4..4: f, S üzerde br homomorfzm ve ν, f( S) de br fuzzy alt grupod olsu. Bu durumda ν ters homomorfk görütüsü f (ν), S br fuzzy alt grupoddr. İspat: x, y S olsu. µ = f (ν) dyelm. Bu durumda µ(xy) = (f (ν))(xy) = ν (f(xy)) = ν (f(x)f(y)) m{ν(f(x)), ν(f(y))} = m{(f (ν))(x), (f (ν))(y)} = m{µ(x), µ(y)} olur. Böylece f (ν), S br fuzzy alt grupoddr. Taım 4..2: µ, S br fuzzy altkümes olsu. Herhag br T S altkümes ç µ(t 0 ) = sup µ(t) t T olacak bçmde t 0 T varsa µ ye sup özellğe sahptr der. Eğer µ, solu sayıda değer alıyorsa ya Im(µ)< se µ, sup özellğe sahptr. Öerme 4..5: f, S üzerde br homomorfzm ve µ, S grupod sup özellğe sahp br fuzzy alt grupod olsu. Bu durumda µ ü homomorfk görütüsü f (µ), f (S) br fuzzy alt grupoddr. 39

48 İspat: f(x), f(y) f(s) olsu. µ sup özellğe sahp olduğua göre µ(x 0 ) = sup µ(t) ve µ(y 0 ) = sup µ(t) t f - (f(x)) t f - (f(y)) olacak bçmde x 0 f (f(x)) ve y 0 f (f(y)) vardır. O halde f(µ)(f(x)f(y)) = sup µ(z) m{µ(x 0 ), µ(y 0 )} z f - (f(x)f(y)) = m{sup µ(t), sup µ(t) } t f (f(x)) t f (f(y)) elde edlr. Böylece f(µ), f(s) br fuzzy alt grupoddr. = m{f(µ)(f(x)), f(µ)(f(y))} 4.2 Fuzzy Alt Gruplar G, klask alamda çarpımsal br grup ve e, G brm elemaı olsu. Bu kısımda G üzerde fuzzy alt grubu taımladıkta sora bazı temel özellkler celeyeceğz. Taım 4.2.: FP(G) üzerde ve şlemler µ, ν FP(G) ve x G ç µ ν(x) = sup{ m{µ(x ), ν(x 2 ) x, x 2 G, x = x x 2 }} µ (x) = µ(x ) şeklde taımlası. µ ν ye, µ fuzzy altkümes le ν fuzzy altkümes çarpımı ve µ e se µ fuzzy altkümes ters der. Teorem 4.2.: µ, ν, µ FP(G), I ve λ = sup{µ (x) x G}olsu. Bu durumda () (µ ν)(x) = = sup {m{µ(y), ν(y x)}} y y Î G sup {m{µ(xy ), ν(y) } Î G () (y λ µ)(x) = µ(y x) () (µ y λ )(x) = µ(xy ) 40

49 (v) (µ ) = µ (v) µ µ µ µ µ = µ (v) µ ν µ ν (v) ( U m ) = Î I (v) ( I m ) = Î I U Î I I Î I m m - - (x) ( µ ν ) = ν µ dr (Mordeso et al. 2005). x λ ve y ρ X de k fuzzy okta se λ, ρ (0,] olmak üzere x λ y ρ = (xy) m(λ, ρ) dr (Lu 982). Taım 4.2.2: µ FP(G) olsu. Eğer x,y G ç () µ(xy) m{µ(x), µ(y)} () µ(x ) µ(x) şartları sağlaıyor se µ ye G grubuu br fuzzy alt grubu der. Br G grubuu bütü fuzzy alt gruplarıı kümes F(G) le gösterlr. Öerme 4.2.: T, G br altkümes ve µ T : G {0,} T karakterstk foksyou olsu. Bu durumda µ T, G br fuzzy alt grubudur T, G br alt grubudur. dr (Rosefeld 97). Öerme 4.2.2: µ F(G) ve e, G grubuu brm elemaı olsu. Her x, y G ç () µ(x ) = µ(x) () µ(e) µ(x) dr. İspat: () µ F(G) olduğua göre her x G ç µ(x ) µ(x) dr. Bua göre 4

50 µ(x) = µ((x ) - ) µ(x ) µ(x) dr. O halde µ(x ) = µ(x) elde edlr. () µ F(G) olduğua göre her x G ç µ(e) = µ(xx ) m{µ(x), µ(x )} = µ(x) dr. O halde µ(e) µ(x) elde edlr. Souç 4.2.: µ F(G) olsu. µ e ={x G µ(x) = µ(e)}, G grubuu br alt grubudur (Mordeso et al. 2005). Öerme 4.2.3: µ F(G) olsu. Bu durumda x, y G ç dr. µ(x) µ(y) µ(xy) = m{µ(x), µ(y)} İspat: µ(x) <µ(y) olduğuu kabul edelm. Bua göre µ(x) = µ(xyy ) m{µ(xy), µ(y )} = m{µ(xy), µ(y)} = µ(xy) m{µ(x), µ(y)} = µ(x) dr. Böylece µ(xy) = µ(x) = m{µ(x), µ(y)} elde edlr. Öerme 4.2.4: µ F(G) olsu. Bu durumda x, y G ç dr. µ(x) <µ(y) µ(xy) = µ(x) = µ(yx) İspat: µ F(G) olduğua göre µ(xy) m{µ(x),µ(y)}= µ(x) () 42

51 dr. Ayrıca µ(x) = µ(xyy ) m{µ(xy),µ(y )}= m{µ(xy),µ(y)} ve µ(x)<µ(y) olduğua göre µ(x) m{µ(xy),µ(y)}= µ(xy) (2) dr. () ve (2) de µ(xy)=µ(x) elde edlr. Bezer olarak µ(yx)=µ(x) olduğu da gösterleblr. Böylece µ(xy) = µ(yx) = µ(x) elde edlr. Öerme 4.2.5: µ F(G) olsu. Bu durumda x, y G ç dr. µ(xy ) = µ(e) µ (x) = µ(y) İspat: µ(xy ) = µ(e) olsu. µ(x) = µ(xy y) m{µ(xy ), µ(y)} = m{µ(e), µ(y)} = µ(y) ve µ(y) = µ(yx x) m{µ(yx ), µ(x)} = m{µ(xy ), µ(x)} (µ(xy )=µ( (xy ) )=µ(yx )) = m {µ(e), µ(x)} = µ(x) dr. O halde µ(x) µ(y) ve µ(y) µ(x) ya µ(x) =µ(y) dr. Öerme 4.2.6: G br grup ve µ FP(G) olsu. Bu durumda dr. µ, G fuzzy alt grubudur x, y G ç µ(xy ) m{µ(x), µ(y)} 43

52 İspat: µ, G fuzzy alt grubu olsu. Bu durumda x, y G ç elde edlr. µ (xy ) m{µ(x), µ(y )}= m{µ(x), µ(y)} Her x, y G ç µ (xy ) m{µ(x), µ(y)} olsu. x= y alıırsa µ(e) µ(y) elde edlr. Böylece y G ç µ(y ) = µ(ey ) m{µ(e), µ(y )}= µ(y) dır. Bu durumda µ(xy) = µ(x(y ) - ) m{µ(x), µ( y )} m{µ(x), µ(y)} elde edlr. Teorem 4.2.2: µ F(G) olsu. suppµ ={x G µ(x)>0} dayaak (support) kümes G br alt grubudur (Mordeso et al. 2005). Teorem 4.2.3: µ F(G), H br grup ve f: G H homomorfzm olsu. Bu durumda f(µ) F(H) dr. İspat: u, v H olsu. Kabul edelm k u f(g) ve ya v f(g) dr. Bu durumda m{f(µ)(u), f(µ)(v)} = 0 f(µ)(uv) dr. Şmd u f(g) olsu. Bu durumda u f(g) olduğua göre f(µ)(u) = 0 = f(µ)(u ) dr. Şmd u f(g) ve v f(g) olduğuu kabul edelm. Bu durumda f(x)= u ve f(y)= v olacak şeklde x, y G vardır ve uv f(g) dr. burada f(µ)(uv) = sup{µ(z) z G, f(z)= uv} sup{µ(xy) x,y G, f(x)= u, f(y)= v} sup{m{µ(x), µ(y)} f(x)= u, f(y)= v} = m{sup{µ(x) x G, f(x)= u}, sup{µ(y) y G, f(y)= v}} ve = m{ f(µ)(u), f(µ)(v)} f(µ)(u ) = sup{µ(z) z G, f(z)= u }= sup{µ(z ) z G, f(z )= u}= f(µ)(u) 44

53 dr. O halde f(µ), H grubuu br fuzzy alt grubudur. Teorem 4.2.4: H br grup,ν F(H) ve f: G H homomorfzm olsu. Bu durumda f (ν) F(G) dr. İspat: x, y G ç f (ν)(xy) = ν(f(xy)) = ν(f(x)f(y)) m{ν(f(x)), ν(f(y))} = m{f (ν)(x ), f (ν)(y)} ve f (ν)(x ) = ν(f(x )) = ν(f(x) ) = ν(f(x)) = f (ν)(x) dr. O halde f (ν) F(G) dr. Öerme 4.2.7: Br G grubuu fuzzy alt gruplarıı keyf br kesşm de br fuzzy alt gruptur. İspat: G grubuu µ, I fuzzy alt grupları ç I Î I m (xy ) = f {µ (xy ) } Î I f {m{µ (x), µ (y)}} Î I dr. I Î I = m{ f µ (x), f µ (y)} = m{ I Î I Î I m (x), m = µ dersek µ(xy ) m{µ(x), µ(y)}elde edlr. I Î I Î I m (y)} 4.3 Sevye Alt Grupları 45

54 Bu kısımda br G grubu, G grubuu br µ fuzzy alt grubu ve µ ü µ t sevye altkümeler arasıdak lşkler celeyeceğz. Teorem 4.3.: G br grup ve µ FP(G) olsu. Her t [0, µ (e)] ç µ F(G) µ ü her µ t 0 sevye altkümes G br alt grubudur. dr. İspat: µ t, µ ü boşta farklı br sevye altkümes ve x, y µ t olsu. Bu durumda µ(x) t, µ(y) t ve µ, G br fuzzy alt grubu olduğuda µ(xy) m{µ(x), µ(y)} t µ(x ) = µ(x) t dır. O halde xy µ t ve x µ t dr. Ayrıca µ(e) µ(x) olduğua göre e µ t dr. Böylece µ t, G br alt grubudur. x, y G olsu. µ(x) µ(y) olduğuu kabul edelm. µ(x)=t ve µ(y)=t 2 dyelm. Bu durumda x m t ve y m t 2 ve mt t 2 m dr. O halde mt ve m t 2 G brer alt grubu olduğua göre xy m t 2 dr. Burada µ(xy) m{µ(x), µ(y)}= t 2 dr. Ayrıca eğer µ(x)>µ(x ) olsaydı x m t ve x m t olurdu k bu le çelşrd. Böylece µ, G br fuzzy alt grubudur. mt alt grup olması Taım 4.3.: G br grup ve µ F(G) olsu. t [0, µ(e)] olmak üzere µ t alt gruplarıa µ ü sevye alt grupları der. Solu br G grubu ç br µ fuzzy alt grubuu sosuz çoklukta sevye alt grubu olablr. Ayrıca µ ü her µ t 0 sevye alt grubu G br alt grubudur. Acak G solu grubuu solu tae alt grubu olacağıa göre µ ü sevye alt gruplarıı her br ayrık olamaz. Bu durumu aşağıdak teoremle karakterze edelm. 46

Daha göster