MATEMATİK CANAVARI MATEMATİK FORMÜLLERİ. Devirli Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirme:

Transkript

1 Ardışık Syılr Toplm Formülleri Ardışık syılrı toplmı: =.(+1) Ardışık çift syılrı toplmı : =.(+1) Ardışık tek syılrı toplmı: ( 1) =.= Ardışık tm kre syılrı toplmı: =.(+1).(+1) 6 Ardışık ve küp şeklideki syılrı toplmlrı: =[.(+1) ] Ardışık 4.dereceli syılrı toplmı: =.(+1)(+1)(3²+3+1) 6 Terim syısı: (Büyük terim Küçük Terim) Artış Miktrı + 1 (So terim İlk Terim) + 1 Artış Miktrı Belirli ir syıd şly ve sit rtış göstere dizileri toplm: r: ilk terim :so terim x: rdışık iki terimi frkı ise, r+(r+x)+(r+x)+ = (+r).( r+x) x Devirli Odlık Syıyı Rsyoel Syıy Çevirme: Syıı tmmıd devretmeye kısım çıkrılır. Pydy virgülde sorki devrede smk syısı kdr 9 ve sğı devretmeye smk syısı kdr sıfır yzılrk rsyoel syı oluşturulur.,cde = cde c 9900 Bir Syıı Pozitif Tm Bölelerii Syısı: A = p. r.c s frklı sl çrplrıı çrpımı şeklide olsu. * A syısıı pozitif tm ölelerii syısı, (p + 1).(r + 1).(s + 1) * A syısıı pozitif tm ölelerii ters işretlileri de egtif tm öleidir. A syısıı tm syı öleleri syısı.(p + 1).(r + 1).(s + 1) * A syısıı tm syı ölelerii toplmı sıfırdır. * A syısıı pozitif tm ölelerii toplmı p r cs+1 1 c 1 * A syısıı sl olmy tm syı öleleri toplmı -( + + c) * A syısıı pozitif tm syı ölelerii çrpımı A (p+1).(r+1).(s+1) Çrplr Ayırm Özdeşlikler Tm Kre Özdeşliği: İki Terim Toplmıı Kresi : ( + ) = + + İki Terim frkıı Kresi : ( - ) = Üç Terim Toplmıı Kresi: ( + + c) = + + c +.( + c + c) İki Terim Toplmıı Küpü: ( + ) 3 = İki Terim Frkıı Küpü : ( - ) 3 = İki Kre Frkı Özdeşliği: = ( + ).( ) x + y = (x + y) xy x + y = (x y) + xy (x y) = (x + y) 4xy (x + y) = (x y) + 4xy x 3 y 3 = (x y) 3 + 3xy (x y) x 3 + y 3 = (x + y) 3 3xy (x + y) x + y + z = (x + y + z) (xy + xz + yz) x + y vey x - y içimideki poliomlrı Özdeşliği İki Küp Toplmı : = ( + ).( + ) İki Küp Frkı : 3-3 = ( - ).( + + ) = ( + ).( ) 4 4 = ( + ).( + ).( ) = ( + ).( ) 5 5 = ( ).( ) = ( + ).( ) 6 6 = ( ).( + + ).(+ ).( + + ) = ( + ).( ) 7 7 = ( ).( )

2 Ortlm Çeşitleri Aritmetik Ortlm: Verileri toplmıı veri syısı ölümüdür. 1,, 3... gii te syıı ritmetik ortlmsı; AO= Geometrik Ortlm: ve syılrı içi x=. ise, x syı ile i geometrik ortlmsı vey x syısı ile rsıd ort ortılı deir. 1,, 3... gii te syıı geometrik ortlmsı; x= Hrmoik Ortlm: dir. ve reel syılrı içi x=. + syısı ile i hrmoik ortlmsı deir. 1,, 3... gii te syıı hrmoik ortlmsı; x= Üslü Syılr R ve Z + olmk üzere ;.. = (: t, : üs) 1) 0 içi 0 =1 dir. (0 0 elirsizdir.) 1 =, =. ( kre), 3 =.. ( küp) ) > 0 içi (-) = > 0 dır. 3) > 0 içi (-) -1 =- -1 < 0 dır. 4) (-) =(-), (-) -1 =-(-) -1 5) = m ise =m dir. ( 0, 1, -1) 6) x +x +cx m -dx m +ex m = (+)x +(c-d+e)x m 7) m. = m+, m. m =(.) m 8) m : = (m-) 9) m : m =(:) m 10) ( m ) = m. 11) -m =1/( m ) Köklü Syılr 1. m m.. m = m 3... c m. = p m..p =. p p. c 4. ± = +c ± c c= dir = 7. : : 1 = 1 +1 = = NOT: syısı rdışık iki tmsyıı çrpımı eşit ise souç üyük ol syıy eşittir. 9. = 10.. = x + x = ( + ) x 13. x çift ise x 0 dır. 14.Pydyı kökte kurtrmk =. = = Mutlk Değer. 1 = 1 1 Syı doğrusu üzeride ir x R syısıı sıfır ol uzklığı Mutlk Değer deir. x ifdesi lttki şrtlrd elirtile değerleri lır. ) x > 0 ise x = x ) x < 0 ise x = -x c) x=0 ise x = 0 Özellikleri 1) x 0 ) x = -x 3) x² = x ²= x² ve x = x 4) x.y = x. y 5) x/y = x / y 6) c>0 içi x- = c ise x- = ± c dir. x = ± c 7) x- c içi -c x- c => -c x +c 8) x- c içi x- c vey x- -c 9) Or Ortı ve reel syılrıd e z iri sıfırd frklı olmk üzere ifdesie ı ye orı deir.

3 vec orlrı içi,.d=.c ise d dir. Yi iki orı eşitliğie ortı deir. :=c:d ile d ye dışlr, c ile ye içler deir. 1.İçler yer değiştireilir. ise c = d de ortıdır.. Dışlr yer değiştireilir. ise d =c de ortıdır. 3. Ortı ters çevrileilir. ise =d c dir. 4. m 0 ve 0 içi, =c = m.+.c olilir. d m.+.d 5. ise + = c+d d 6. ise = c d d vey + = vey = 7. =c =k ise = c d d =k +c c c+d dir. c c d dir. +d = k (k ortı siti) =e f üçlü ortısı :c:e=:d:f şeklide yzılilir. Doğru Ortı: x,y R + ve k>0 sit ir reel syı olmk: x ile y doğru ortılı ise: y x = k ise y=k.x Ters Ortı x,y R + çokluklrı ters ortılı ise ulrı çrpımı sit olup y.x=k ise: y = k x olur. KÜMELER Kümelerde Birleşim İşlemi Özellikleri * A ve B kümelerii irleşimi, iki kümei elemlrı ir elem ir kez kullılck şekilde ir küme içide irleştirilmesidir. * Kümelerde irleşim işlemi işreti semolüdür. * A ve B kümelerii irleşim işlemi A B şekli de gösterilir. * A B = {x: x A vey x B} * Her A ve B kümesi içi A B=B A dır. 1) A A=A ) A B=B A 3) A =A 4) A (B C)=(A B) C 5) A B= ise A= ve B= dir. 6) A B ise A B=B dir 7) s(a B)=s(A)+s(B)-s(A B) 8) s(a B C)=s(A)+s(B)+s(C)-s(A B)- s(a C)-s(B C)+s(A B C) 9) s(a B)=s(A-B)+s(A B)+s(B-A) 10) A (A B) ve B (A B) 11) (A B) (A ) 1) A (A B) 13) B (A B) 14) (A B) (A ) Kümelerde Kesişim İşlemi Özellikleri * A ve B kümelerii her ikiside de ortk olrk ulu elemlrı kümesie u iki kümei kesişimi yd rkesiti deir. * Kümelerde kesişim işlemi işreti semolüdür. * A ve B kümelerii kesişim işlemi A B şekli de gösterilir. * A B={x: x A ve x B} 1) A A=A ) A B=B A 3) A = 4) A (B C)=(A B) C 5) A B= ise i) A= vey B= dir ii) A ve B kümeleri yrıktır. 6) A B ise A B=A dir 7) A (B C)= (A B) (A C) 8) A (B C)= (A B) (A C) 9) s(a B)= s(a)+s(b)-(a B) 10) s(a B)=s(A B)-s(A-B)-s(B-A) 11) (A B) A ve (A B) B 1) (A B) (A ) 13) (A B) A 14) (A B) B 15) (A B) (A ) Kümelerde Frk İşlemi Özellikleri A ve B iki küme olsu. A kümesie it olup B kümesie it olmy elemlrd meyd gele kümeye A frk B kümesi deir. A \ B vey A B şeklide gösterilir. Bu göre, A \ B = { x x A ve x B} olur. Şekilde Ve şemsı ile gösterilmiştir. A,B,C irer küme olmk üzere 1) A\A= ) A\ =A 3) \A= 4) A\B B\A 5) A \ ( B C) = (A \ B) (A\C) 6) A \ ( B C) = (A \ B) (A\C) 7) A \ ( B \ C) = (A \ B) (A C) 8) (A \ B) B = A B 9) (A \ B) ( A B)= 10) (B\A) ( A B)= 11) A \ (A \ B)=A B 1) A \ (B \ A)=A 13) B \ (A \ B)=B 14) (A \ B) (B \ A)= 15) (A \ B) \ (B \ A)=A \ B 16) (B \ A) \ (A \ B)=B \ A 17) (A \ B) A 18) (B \ A) B 19) (A \ B) B= 0) A\( A B)=A \ B 1) A=(A \ B) (A B) ) B=(B \ A) (A B) 3) A B ise A \ B= 4) A U B = (A \ B) (B \ A) (A B) 3

4 Kümelerde Evresel Küme ve Tümleye Özellikleri Evresel küme Elemlrı icelee kümeye göre, ypılmsı gereke ütü işlemleri içie lilecek şekilde elirlee, e geiş kümeye evresel küme deir. Geel olrk E ile gösterilir. Evresel küme solu vey sosuz küme olilir. Evresel küme, icelee proleme göre değişir. Hiç ir zm oş küme olmz. Evresel kümeyi Ve şemsı ile gösterirke, diğer kümelerde yırt etmek içi dikdörtge şeklide gösterilir. Tümleme E evresel kümesi içide ir A kümesi veriliyor. A kümesi, E evresel kümei ir lt kümesidir. Bu göre, E evresel kümesie it olup, A kümesie it olmy elemlrı oluşturduğu kümeye, A kümesii tümleyei deir. A' vey A semolü ile gösterilir. E, evresel küme A E, B E, A' A ı tümleyei B' B i tümleyei olmk üzere, 1) A' E ) A A'=E 3) A A'= 4) A E=E 5) E'= 6) '=E 7) A E=A 8) (A') ' =A 9) E\A=A' 10) A \ B=A B' (A B E ise) 11) (A \ B) ' =A' B 1) A \ B=B' (A B=E ise) 13) A\A'=A DE MORGAN KURALLARI 1) (A U B) ' =A' B' ) (A B) ' =A' B' Alt Küme Sorulrıd Kullıl Formüller Herhgi iki A ve B kümeleri verilmiş olsu. A kümesii her elemı B kümesii de ir elemı ise A kümesie B kümesii ir lt kümesi deir. A B şeklide yzılır A lt küme B diye okuur. Bu tım göre, (A B) ( x A x B) dir. elemlı ir kümei lt küme syısı formülüyle uluur. Ayrıc elemlı ir kümede seçilmiş elemd ) Her ikisii de uluduğu ltküme syısı : ) Hiçirii ulumdığı ltküme syısı : c) E z irii ulumdığı ltküme syısı : 3. d) E z irii uluduğu ltküme syısı : 3. e) Herhgi irii ulumdığı ltküme syısı : 3. f) İkisii erer ulumdığı ltküme syısı : 3. g) Birii uluduğu, diğerii ulumdığı ltküme syısı : 3. elemlı ir kümede seçilmiş r elemd ) Hepsii uluduğu ltküme syısı : r ) Birrd ulumdığı ltküme syısı : r c) Hiçirii ulumdığı ltküme syısı : r d) r=x+y olmk üzere x tesii uluduğu y tesii ulumdığı ltküme syısı : r 4 Küme Prolemleride Kullıl Formüller E, evresel küme A E, B E, C E A' A ı tümleyei olmk üzere, 1) s (A U B)= s(a)+s(b) ( A B= ise ) ) s (A U B)= s(a)+s(b)-s (A B) ( A B ise ) 3) s(a B C)=s(A)+s(B)+S(C)-s (A B)- s (A C)-s (B C)+s (A B C) 4) s(a)+s(a')=s(e) 5) s(a)=s(a \ B)+s(A B) 6) s(b)=s(b \ A)+s(A B) 7) s(a U B) = s(a \ B) + s(b \ A) + s(a B) 8) s(a U B) = s(a \ B) + s(a) 9) s(e)=s(a U B)+s[(A U B) ' ] Fktöriyel _N+-{1} olmk üzere; 1 de ye kdr ol doğl syılrı çrpımı fktöriyel deir,! içimide gösterilir. N+ içi; )!=.(-1).(-) )!=.(-1)!!=.(-1).(-)!!=.(-1).(-).(-3)! c) m< ise m! ifdesi,! içide vrdır. Permütsyo te frklı elemı ir sır üzeride r li (r ) sırlışlrıd her irie i r li permütsyou deir. elemlı A kümesii r li permütsyolrıı syısı; P(,r)=! ( r)! Not: r= ise; frklı elemı li permütsyolrıı syısı P(,)=! dir.

5 Yi frklı elemı doğrusl ir sır üzerideki frklı sırlışlrıı syısı! tedir. Tekrrlı Permütsyo te esei 1 tesi ir türde, tesi ikici türde,... r tesi r. türde ve r = ise esei li permütsyolrıı syısı; te elem içeriside; 1 tesi 1. çeşit ve özdeş, tesi. çeşit ve özdeş, 3 tesi 3. çeşit ve özdeş, r tesi r. çeşit ve özdeş olmk üzere; u elem ir sır üzeride! (1)!.()!.(3)! (r)! Komisyo frklı sırlilir. elemlı ir A kümesii r elemlı (r ) lt kümelerii her irie A kümesii r li komisyou deir. elemlı ir kümei r li komisyolrıı syısı; C(,r)= r =! ( r)!.r! Olsılık Bir deeyde olklı souçlrı kümesie örek uzy, örek uzyı her lt kümesie oly deir. E örek uzyı içi oş kümeye olksız oly(imkâsız oly), E kümesie kesi oly deir. E örek uzyıı A ve B gii iki olyı içi, A B = 0 ise, A ve B olylrı yrık olylr deir. Olsılık Nedir? Bir E örek uzyıı tüm lt kümelerii kümesi T ve değer kümesi R={x R : 0 x 1} ol P foksiyou şğıdki ksiyomlrı gerçekliyors u olsılık foksiyou deir. A T ise p(a) reel syısı d A olyıı olsılığı deir. 1) A T içi 0 p(a) 1 dir. ) p(e)=1 dir. 3) A, B T ve A B = 0 ise p(a B)=p(A)+p(B) dir. Özellikler 1) P(0)=0 dır. ) A B ise p(a) p(b) 3) p(a)=1 - p(a) (A olyıı olmm olsılığı) 4) p(a B)=p(A)+p(B)-p(A B) dir. 5) E={x 1,x,x 3 } örek uzylrı içi: p(x 1 )+p(x )+p(x 3 )=1 dir Eş Olumlu Örek Uzy Nedir? Olylrı gerçekleşme olsılığı eşit ol örek uzy deir. E eş olumlu örek uzy ve A E ir oly ise, A ı olsılığı; P(A)= s(a) s(e) S(A)= Aı elem syısı S(E)= Ei elem syısı E örek uzyı A E, B E ve p(a B)=p(A).p(B) ise, A ve B olylrı ğımsız olylr deir. [p(a) 0, p(b) 0] Bir E örek uzyıı iki olyı A ve B olsu. A olyıı olsılığı B olyı ğlı ise, A olyıı olsılığı, A olyıı B koşullu olsılığı deir ve u olsılık; p( A B )=p(a B) ile gösterilir. Örek uzy p(b) eş olumlu ise; p( A B )=s(a B) s(b) olur. 5 Trigoometri Krşı Dik Ker Uzuluğu siα= Hipoteüs Uzuluğu Komşu Dik Ker Uzuluğu cosα= Hipoteüs Uzuluğu tα= Krşı Dik Ker Uzuluğu Komşu Dik Ker Uzuluğu Komşu Dik Ker Uzuluğu cotα= Krşı Dik Ker Uzuluğu secα= 1 cosecα= 1 tα= siα cosα cotα= cosα siα = Hipoteüs Uzuluğu cos Komşu Dik Ker Uzuluğu tα.cotα=1 si α+cos α=1 Eğim=t α = Hipoteüs Uzuluğu si Krşı Dik Ker Uzuluğu Merkezi Eğilim ve Yyılım Ölçüleri Ortc (medy): Veriler küçükte üyüğe vey üyükte küçüğe sırldığıd tm ortd kl değer ortcdır. Eğer tm ortd syı yoks orty gele iki syı lıır ve ikiye ölüür, çık souç virgüllüde ols ortcdır. Tepe değer (mod): Veriler küçükte üyüğe vey üyükte küçüğe sırldığıd e çok tekrr ede syı tepe değerdir. Bir veri gruud irde fzl e çok tekrr ede terim uluilir. Bu durumd veri gruuu irde fzl tepe değeri vrdır. Aritmetik Ortlm: Verileri toplmıı veri syısı ölümüdür. 1,, 3... gii te syıı ritmetik ortlmsı; AO=

6 Açıklık (rlık) (rj): Veri gruu küçükte üyüğe sırlır. E üyük değerde e küçük değer çıkrılır. Rj= E Büyük Değer E Küçük Değer Çeyrek Açıklık Alt çeyrek, ortcy göre verileri lt yrısıı ortc değeridir. Üst çeyrek, ortcy göre verileri üst yrısıı ortc değeridir. Çeyrekler çıklığı = üst çeyrek lt çeyrek şeklide hesplır. Çeyrekler çıklığı, uçlrd yer l verilerde dh z etkilediği içi verileri yyılmsı hkkıd çıklıkt dh iyi ilgi verir. Fiz Prolemleri (A pr, fiz yüzdesi, t zm) Yıllık Fiz=F= A..t 100 Aylık Fiz=F= A..t 100 Gülük Fiz=F= A..t