Levent Özbek Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü
|
|
- Bilge Behçet
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Bilim ve Bilimsel Felsefe Çevresi Etkinliği Bilimsel Felsefe ve Bilimler Hans Reichenbach ın Ölümünün 50.yılı Anısına 12 Aralık 2003 Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Levent Özbek Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü Olasılık ve İstatistik Giriş Yaşamın her anında insan bilinçli ya da bilinçsiz olarak içinde veya dışında bulunduğu olayları, süreçleri gözlemleyerek bunların akışı hakkında bilgilenip bu doğrultuda kendi durumuna uygun kararları alır ve davranış biçimleri ortaya koyar. Evrende olup bitenleri anlama ve anlatma çabası içinde olan insan, ilgilendiği olay ve süreçler ile ilgili çeşitli modeller kurarak bu modeller üzerinde gelecekte ne gibi 1
2 durumlar ortaya çıkabileceğini bilmeye ve eğer süreç denetim altına alınabiliyorsa buna uygun tasarımları yapmaya çalışır. Newton'un Mekaniği ile doruk noktasına ulaşan Laplace anlamında belirlenimci dünya görüşü (determinizm-gerekircilik, saat gibi tıkır-tıkır işleyen evren modeli) 19.yy'da kuantum fiziğinin gelişimi ile beraber yerini olasılıkçı dünya görüşüne bırakmak zorunda kalmıştır. Psikologlar kesinlik arayışını, çocukluğun ilk günlerine, kişinin henüz kuşku duygusundan tedirgin olmadığı, anababanın sağladığı güven içinde rahat olduğu günlere bir dönüş arzusu olarak açıklamaktadırlar. Kesinlik arayışı, hataya yol açan en tehlikeli kaynaklardan biridir; çünkü, bu eğilim üstün bilgi edinme çabası ile birlikte gider. Doğanın akışının düzenli olduğu inancı bize ayrıca güvenlik vermektedir; bu inanç, bir noktaya kadar, geleceği önceden kestirmemize ve hoşa gitmeyecek durumları önlememize yarar. Dikkatli bir şekilde bakıldığında içinde yaşadığımız dünyanın olasılıklı özelliklere sahip olduğu görülebilir. Günlük konuşmalarda geçen "sık sık", "bazen", "ara sıra", "çok sık", "çok az"...vb. sözcükler olasılıklı dünyanın dilimize yansımalarıdır. 2
3 Olasılık kavramı, bilgi problemlerinin en önemlileri ile ilgilidir. Olasılık her şeyden önce doğa yasalarında kendini gösterir. Doğa bilimi, ileriye dönük olayları kestirme işine ne zaman koyulursa, olasılık kavramı hemen kendini gösterir. Olasılık teorisi doğa yasalarının biçimini olduğu kadar, öndeyici bilginin aracını da belirleyici güçtedir. İnceleme konusu, bilimsel metodun özünü oluşturur. Matematiksel Modelleme Gerçek dünyadaki bir olayın, sürecin veya birimlerden oluşan ve birimleri arasındaki iç ilişkiler yanında çevre ile dış ilişkilere göre işleyen bir sistemin belli bir anlatımına model denir. Anlatım sözle, çizimle, belli bir ölçekte fiziki benzer oluşturmak veya başka bir şekilde yapılmakla birlikte en geçerli anlatım, bilimin ortak dili olan matematik ile yapılmaktadır. Model, gerçek dünyadaki bir olgunun veya sistemin yapı ve işleyişinin, ilgili olduğu bilim sahasının (fizik, kimya, biyoloji, jeoloji, astronomi, ekonomi, sosyoloji,...) kavram ve kanunlarına bağlı olarak ifade edilmesidir. Model gerçek dünyadaki bir olgunun bir anlatımıdır, bir temsilidir. Gerçek dünyanın çok karmaşık olması sebebiyle 3
4 modeller, anlatmak istedikleri olgu ve sistemleri basitleştirerek belli varsayımlar altında ele almaktadır. Modeller gerçeğin kendileri değildir ve ne kadar karmaşık görünseler de gerçeğin bir eksik anlatımıdırlar. Kısaca model denilen şey model kurucunun gerçeği "anlayışının" bir ürünüdür. Her model kurma işlemi bir soyutlama sürecidir. Soyutlama süreci, gerçek dünyadaki olguların ayrıntılardan arındırılmış görüntülerinin insan düşüncesine aktarılmasıdır. Modeli kurabilmek ve seçebilmek için söz konusu olgu veya sistemin temel özelliklerini, birimleri arasındaki iç ilişkilerini ve çevre ile olan dış ilişkilerini bilmek gerekir. Modelin başarısı, pratik ve bilimsel yararlılığı, olgu veya sistemin esasını soyutlamadaki doğruluğun derecesine ve gözönüne alınan özelliklerin ne denli temel nitelikte olup olmadıklarına bağlıdır. Bir ölçme sonucu, ölçülen özelliğin modeldeki karşılığı olan değişkenin aldığı değer olarak ele alınmaktadır. Ölçülen özellik rasgelelik içerdiğinde modelde karşılık gelen değişken doğal olarak rasgele değişken olacaktır. Herhangi bir deneysel bilimin ilgi sahasına giren olguları modellemede düşünce tarzı aşağıdaki şekildeki gibidir. 4
5 Gerçek dünya Olgu Ölçme veri data sonuç çıkarma Soyut Dünya Model Matematik İstatistik Olasılık Teorisi Olasılık terorisi, soyut bir matematiksel disiplin olarak ele alındığında Ölçü Teorisinin bir parçası, rasgelelik olgusunun modellenmesinde uygulamalı bir disiplin olarak ele alındığında İstatistik Teorisinin bir parçasıdır. İstatistik, "rasgelelik" içeren olaylar, süreçler, sistemler hakkında matematiksel modeller kurmada özellikle bu modellerin geçerliliğini sınamada ve bu modellerden sonuç çıkarmada gerekli bilgi ve yöntemleri sağlayan bir bilim dalıdır. Rasgelelik, çevremizin belirgin niteliğidir. Olasılık ve İstatistik teorisine kısaca rasgeleliğin bilimi demek yanlış olmaz. 5
6 Pagels "rasgelelik nedir?" sorusuna cevap vermeye çalışırken, matematiksel ve fiziksel rasgelelik problemleri arasında ayrım yapmanın önemine değinmiştir. Matematiksel problem, sayılar veya fonksiyonların rasgele sırasının ne anlama geldiğini tanımlayan bir mantıksal problemdir. Fiziksel rasgelelik problemi gerçek fiziksel olayların rasgelelik konusundaki matematiksel kriterlere uyup uymadığını belirlemektir. Rasgeleliğin matematiksel bir tanımına sahip olana kadar, doğal olayların bir dizisinin gerçekten rasgele olup olmadığını belirleyemeyiz. Bir kere böyle bir tanımımız olunca, o zaman, gerçek olayların böyle bir tanıma karşılık gelip gelmediğini belirleme konulu ek deneysel bir problemimiz olur. Burada ilk problemle karşılaşırız: Matematikçiler, rasgeleliğin kesin bir tanımını verme ya da onunla bağlantılı bir iş olan olasılığı tanımlama işinde hiç bir zaman başarı sağlayamamıştır... Tarihsel Gelişim İlk olasılık problemleri ile matematikçiler ciddi şekilde XVII yüzyılda, kumar oyunlarını incelerlerken karşılaşmışlardır. Bu yüzyılın üç büyük matematikçisi, B.Pascal ( ), P.Fermat ( ) ve C.Huygens 6
7 ( ) bilimsel çalışmalarında olasılığın temel kavramlarını basit şekilde ele almışlardır. P.Fermat ve B.Pascal'ın bilimsel yazışmaları olasılık teorisinin temel kavramlarının oluşmasında önemli rol oynamıştır yılına ait olan bu yazışmaların birinde B.Pascal "Ben çok mutluyum, çünkü matematiğin yeni bir dalı meydana gelmektedir" diye yazmaktadır. C.Huygens, 1655 yılındaki Paris gezisinde Fransız matematikçilerden Fermat ve Pascal'ın yeni bir bilim dalı hakkında yazışmalar yaptıklarını duyar ve 1658 yılında "Kumar oyunlarında şansların hesaplanması" adlı bir eser yazar. Yazıldıktan kısa bir süre sonra kitap ikinci, üçüncü,... baskılarını yaparak devrin bilim adamlarını önemli derecede etkilemiştir. Olasılık teorisinin bir bilim dalı şeklinde oluşmasında, şüphesiz, en büyük rolü Jacobi Bernoulli'nin ( ) yazdığı "Ars Conjectandi" (Varsayımlar Sanatı) adlı eseri oynamıştır. J. Bernoulli bu eserinde olasılık teorisinin temel teoremi olan büyük sayılar kuramını ifade ederek ispatlamıştır. Bernoulli'nin bu kitabından sonra olasılık teorisi matematiksel bir kuram olarak hızla gelişmeye başlamıştır. De Mouvre ( ), D.Bernoulli ( ), P.S.Laplace ( ), K.F.Gauss ( ), S.D.Poisson ( ), P.L.Chebişev ( ), A.A.Markov ( ) olasılık teorisinin gelişmesinde 7
8 ve başka bilim dallarına uygulanmasında büyük rol oynamışlardır. XVIII yüzyıl ve XIX yüzyıl başları, olasılık teorisinin yoğun biçimde uygulama alanı gösterdiği bir dönemdir. Bu dönemde olasılık hesapları bilim adamları arasında adeta moda olmuştur. Hukuk problemlerine, tarih araştırmalarına, politikaya, hatta teolojiye bile uygulamaya girişilmişti. Tüm düşüncelerde belli olasılık kabulünden yola çıkılıyordu. Mesela, hukuk problemlerinde, kabul ediliyordu ki insanlar aynı olasılıkla yalan veya doğruyu söyler. Bir sosyal problem, basit bir aritmetik problemi gibi çözülüyordu. XX yüzyılda Olasılık Teorisi aksiyomatik bir yapıya kavuşturulmuştur yılında Borel, olasılığı, şu kötümser sözlerle nitelemekteydi: "olasılığı, salt mantık açısından sağlam, uygulama alanları açısından kimseye yararı olmayan ve bilim adına layık olmaktan uzak bir konu sayabiliriz." Bu kötümser görüşe rağmen Borel (1924), Von Mises ( ) ve Kolmogorov (1933) olasılığı, tıpkı geometri gibi, belli aksiyomlardan hareket eden mantıki bir yapıya sahip bir matematik dalı haline getiren çalışmalarda öncü oldular. Bugün kümeler teorisi üstüne kurulan aksiyomatik 8
9 olasılık teorisinin temelleri adı geçen bu yazarların çalışmalarıyla olmuştur. Olasılık Uzayları Cümle kavramı matematiğin temel bir kavramıdır. Boş olmayan bir kümenin alt cümlelerinden oluşan cümleye sınıf denir. Tanım : Bir Ω cümlesinin alt cümlelerinden oluşan sınıfı, U bir i) Ω U ii) iii) A U A U U ' da her ( A n ) dizisi için i= 1 A n U Özelliklerine sahipse U sınıfına Ω da bir σ cebir denir. Tanım : R deki açık aralıkların {( a, b) : a < b, a b R} Β =, 1 sınıfını kapsayan en küçük σ cebire Borel cebiri denir. Borel cebirinin bir elemanına Borel cümlesi denir. Benzer şekilde R de de Borel cebiri tanımlanabilir. n Olasılık Ölçüsü 9
10 Tanım : U, Ω da bir σ cebir olmak üzere P : U R A P(A) fonksiyonu; 1) A U için P( A) 0 2) P( Ω) = 1 3) U daki ayrık cümlelerin her (A n ) dizisi için P A i= 1 n = i= 1 P( A n ) özelliklerine sahipse P ye U üzerinde bir olasılık ölçüsü denir. P(A) değerine A'nın olasılık ölçüsü veya A'nın olasılığı denir. Tanım : Ω, boş olmayan bir cümle U, Ω da bir σ cebir ve P, U üzerinde bir olasılık ölçüsü olmak üzere ( Ω, U, P) üçlüsüne olasılık uzayı denir. Örnek : Ω = { w 1, w2,..., wn} sonlu elemana sahip olduğunda, σ cebir olarak N kuvvet kümesi alındığında, ve p i = P( wi ), p i = 1 olmak üzere i= 2 P : U R A P(A) = wi A olasılık ölçüsü tanımlanır. p i p = 1 = p2 =... pn olduğunda 10
11 n( A) " A' nıı P( A) = = n( Ω) " Ω' nıı eleman sayı" eleman sayı" olacaktır (klasik olasılık tanımı). Benzer biçimde sayılabilir sonsuz elemana sahip Ω cümlesi için de olasılık ölçüsü tanımlanabilir. Ω R, sonlu uzunluklu bir cümle olmak üzere da bir P olasılık ölçüsü, " A araliginin P( A) = " Ω araliginin uzunlugu" uzunlugu" olarak tanımlanır. Benzer biçimde, B Ω 2 Ω R sonlu alanlı bir cümle olmak üzere da bir P olasılık ölçüsü, " A ' nin alan olcusu" P( A) = " Ω ' nin alan olcusu" olarak tanımlanır. B Ω Örnek Uzaylar ve Olaylar Olasılık deneyi : Sonuçlarının cümlesi belli olan, ancak gerçeklendiğinde hangi sonucun ortaya çıkacağı önceden bilinmeyen bir işleme Olasılık deneyi denir. Örnek Uzay : Bir olasılık deneyinin tüm olabilir sonuçlarının kümesine Örnek Uzay denir. 11
12 Olay : Örnek uzayın bir alt cümlesine olay denir. Bir olayın gerçekleşmesi deney sonucunun bu cümlenin bir elemanı olması demektir. Belli bir ( Ω,U, P) olasılık uzayını belli bir olasılık deneyinin modeli olarak kullandığımızda Ω cümlesi örnek uzayı, U, σ cebiri olayların cümlesini, P ise bu olasılık deneyi ile ilgili probleme "iyi bir yaklaşımda" bulunan bir olasılık ölçüsünü temsil edecektir. Belli bir ( Ω,U, P) olasılık uzayı belli bir olasılık deneyinin modeli olarak kullanıldığında U, σ cebirindeki cümleler deney ile ilgili olaylara karşılık gelecektir. Bir σ cebir sayılabilir birleşim, kesişim ve tümleme işlemine göre kapalı olduğundan, σ cebirdeki cümleler üzerinde bu işlemler sonucu elde edilen bir cümle bir olaya karşılık gelecektir. Rasgele Değişkenler Bir olasılık deneyinin sonuçlarının cümlesi olan örnek uzayın elemanları çok değişik türde olabilir. Rasgele değişkenler yardımıyla örnek uzayın elemanlarına reel 12
13 sayılar eşlenmekte, böylece olasılık ölçüleri Borel cebiri üzerindeki olasılık ölçülerine indirgenmiş olmaktadır. Tanım : ( Ω,U, P) bir olasılık uzayı ve X :Ω R w X (w) olmak üzere, a R için, { w Ω : X ( w) a} U ise X fonksiyonuna bir rasgele değişken denir. Bundan sonra gelen kavramlar; Dağılım fonksiyonu, Olasılık (yoğunluk) fonksiyonu, Beklenen değer, vb. biçiminde sıralanabilir. Olasılığın anlamına ilişkin görüşler "Hilesiz bir zarla 6 atmanın olasılığı 1/6'dır" önermesi sayısal olasılık önermesine bir örnektir. Sayısal bir olasılık önermesi nasıl yorumlanacaktır? Popper, öznel yorumlamada bazı ruhbilimsel öğelerin olduğunu, buna göre olasılık derecesini kesinlik ya da belirsizlik inancının ölçütü olarak değerlendirmiştir. Reichanbach, rasyonalistler için, olasılık derecesi denen şey, nedenlerin yokluğunda aklın ürünüdür, değerlendirmesini yapmıştır. Popper, nesnel yorumlamayı ise, sayısal her olasılık önermesi, olaylar dizisi içerisindeki 13
14 belirli olayların göreli sıklığına ilişkin bir önerme olarak nitelemiştir. Böylece örneğin, "bir sonraki zar atışında 1 atmanın olasılığı 1/6 dır" biçimindeki bir önerme, bir sonraki zar atışının bir önermesi değil, atışlar kümesinin tamamının bir önermesidir; bir sonraki atış ile ilgili bir önerme de bu kümenin bir elemanıdır; bu önerme yalnızca, söz konusu kümede "1 atmanın" göreli sıklığının 1/6 olduğunu ileri sürmektedir. Bu yaklaşıma göre, sayısal olasılık önermeleri, ancak sıklığa ilişkin bir yorum yapılabildiğinde kabul edilebilir. Olasılıklar hesabındaki başlıca önermelerin geçerliliğini sağlayan bir sıklık kuramı R.V. Mises tarafından ortaya konulmuştur. Reichanbach, bu kuramı olasılığın deneysel felsefesi olarak adlandırmıştır ve rasyonalist yorumun bilimsel felsefede yer almaması gerektiğini söylemiştir. Bu kurama göre olasılıklar hesabı, belirli "rasgelelik" öğesi içeren olaylar dizisinin bir kuramıdır. Bu olaylar dizisini tanımlayan iki belitsel koşul vardır: Bunlar, "sınır-değer beliti" ve "gelişigüzellik belitidir". Bir olaylar dizisi bu iki koşulu doyurduğunda, Mises bunu, sonsuz biçimde yinelendiği düşünülen denemeler dizisi - yani "kolektif"- olarak tanımlamaktadır. Örneğin, yıpranmayan bir zarla yapılan atışlar dizisi bir kolektifdir. Bu tür her olayın belirli bir özelliği vardır; örneğin "beş atış" bir özelliktir. Olaylar dizisindeki her bir eleman için yeni bir dizi "göreli sıklıklar dizisi" karşılık 14
15 getirilebilir. Özellikler dizisi uzadıkça, sınır-değer belitine göre, göreli sıklıkların dizisi belirli bir sınır değere ulaşmalıdır. Mises'e göre "olasılık" sözcüğü, bir "kolektifin içinde bulunan göreli sıklığın sınır-değerinin" başka bir ifadesidir. Mises'e göre olasılık hesabının tek amacı şudur: Verilmiş olasılıklardan yola çıkarak, başka olasılıkların hesaplanmasıdır. Reichanbach, olasılığın sıklık yorumunun, bir olasılık önermesinin tek bir olaya uygulanması sırasında güçlük çıkaracağını, tek bir olayın olasılığının sıklık olarak belirtmenin bir anlam taşımadığını söylemiştir. Mises'in sıklık kuramı, Bernouilli Büyük Sayılar Kuralı ile matematiksel olarak daha iyi anlaşılabilir. Büyük Sayılar Kuralı kuramsal ve deneysel iki sayıyı birbirine bağlamaktadır. Bu kuralın aracılığı ile olasılık teorisi deneysel çalışma ile temas eder ve bu kuramın teorik olarak elde edilen sonuçları çeşitli deneysel bilim dallarına uygulanarak doğanın daha derin, ama kesin yasalarla ifade edilemeyen kanunlara uygunluklarını matematiksel olarak ifade etmeye olanak sağlar. Bernoulli Teoremi (Büyük Sayılar Kuralı): Bir deney n kez yapılsın ve yapılan her bir deneyin sonucunda A olayının gelme olasılığı, p=p(a), sabit olsun, m 15
16 de n denemede gelen A olayının sayısı olmak üzere; ε > 0 için lim n m P p n ε = 0 dır. Deneme saysı sonsuza gittiğine, lim n m = n p gibi düşünülmemelidir, yapılan deneyler sonucunda m p n > ε şeklinde bir sapma olabilir. Bernoulli teoremine göre deneme sayısı n yeterince büyük olduğunda m p > ε olayının olasılığının, olayın bir deneyde gelme olasılığından herhangi bir sapması olasılığı çok küçük olan bir olaydır. n Olasılık teorisi Kolmogorov Aksiyomları olarak bilinen matematiksel alt yapısı ve Mises'in sıklık kuramı (Bernoulli Büyük Sayılar Kuralı) ile birlikte ele alınmakta ve rasgelelik içeren süreçleri modellemede kullanılmaktadır. Geleceğe ilişkin her önerme, olasılık önermesini içinde barındırmaktadır. Doğada ve toplumda, bilmediğimiz veya hesaba katmadığımız nedenlerle değişen sonuçlar veren olaylarla çoğu zaman karşılaşılır. Gerçekliği ifade eden matematiksel fonksiyonlar değildir. Gerçekliği ifade eden, büyüklüklerin deneyle belirlendiği dağılım fonksiyonlarıdır. Bilim giderek katı belirlenimcilik anlayışını terk etmekte ve günlük yaşam ölçeğiyle belirlenmiş yasaları 16
17 değiştirmeden, olguların temelinde yatan daha esnek bir "istatistik belirlenimcilik" anlayışına yaklaşmaktadır. 17
18 Örnek. Kenar uzunluğu 20 br. olan kare marleyler ile döşeli bir odanın tabanına yarıçapı 2 br. olan bir tavla pulu rasgele atıldığında marleyin kenarları ile kesişmemesi olasılığı nedir? Model : Deney sonucunda, paranın merkez noktasının düştüğü (bulunduğu) marley üzerindeki konumu gözlensin. Gözlemleme işlemi, paranın merkez noktasının bulunduğu marleyi Şekil 1 deki gibi bir koordinat sisteminin başlangıç noktasına kaydırarak yapılabilir. Deney sanki bir tek marley üzerinde yapılıyormuş gibi düşünülebilir. Paranın merkez noktasının koordinatları sonuçların kümesi ( x, y) olmak üzere olabilir {( xy, ) R : 0 x 20, 0 y 20} Ω= R 2 2 dir. üzere R 2 A deki Borel cebirinin Ω'ya kısıtlanması B Ω olmak B için olasılık ölçüsü olarak Ω " A nıı alan ölçüsü" P( A) = " Ω nıı alan ölçüsü" alınırsa, deneyi, ( Ω, B Ω, P) olasılık uzayı ile modellemiş (anlatmış) oluruz. 18
19 y A Şekil -1 x A: Atılan pulun marleyin kenarları ile kesişmemesi olayı olsun. A = {( x, y) R 2 : 2 x 18, 2 y 18 } olmak üzere P( A) = = olarak bulunur. Modelin verdiği sonucun "iyiliği" nasıl belirlenebilir? Deneyin bu model üzerinde simülasyonu yapılmak istendiğinde, örneğin bir koordinat sisteminin başlangıcına 20x20'lik bir kare çizilip rasgele rakamlar tablosu (RRT) yardımıyla x ile y koordinatları üretilebilir. Aynı işlemler bilgisayarda da yapılabilir. Örnek. 19
20 Yarıçapı 1 br. olan madeni bir para, taban yarıçapı 4 br. olan bir silindirin içine atıldığında tabanın merkez noktasını örtmesi olasılığı nedir? 1.Model : Para atıldığında deney sonucu, taban ile paranın merkez noktaları arasındaki uzaklık olarak belirlensin. Deney sonucunda bu uzaklık ölçülmüş (gözlenmiş) olsun. Bu uzaklık 1 br den küçük olduğunda bu olay gerçekleşmiş olur. d. Şekil-2 d :Tabanın merkezi ile paranın merkezi arasındaki uzaklık A: Paranın silindir tabanının merkezini örtmesi olayı olsun. Bu durumda, Ω= { d : 0 d 3} A = { d : 0 d 1} 20
21 dir. İki merkez arasındaki uzaklığı gösteren d sayısı deney sonucunda 0 ile 3 arasında bir değer olacaktır. Olasılık ölçüsü olarak, A B için Ω " A nin aralik uzunlugu" P( A) = " Ω nin aralik uzunlugu" alınırsa olasılık uzayı ( Ω, B Ω, P ) olmak üzere bu uzayda (modelde) sorulan olasılık P( A) = 1 3 olarak bulunur. 2.Model : Deneyin sonucu, başlangıç noktası silindirin tabanının merkezinde olan bir dik koordinat sistemine göre, paranın merkez noktasının bu koordinat sistemindeki konumu olarak belirlensin. y.(x,y) x Şekil -3 A : Paranın silindir tabanının merkez noktasını örtmesi olayı olsun. Bu durumda { xy R 2 : 0 x 2 y 2 9} Ω * = (, ) {(, ) : 0 1} A= x y R x + y P " A nin alanölçüsü" A) = " Ω nin alan ölçüsü" * ( * 21
22 ve olasılık uzayı ( Ω *, B Ω, P * ) olmak üzere bu uzayda (modelde) sorulan olasılık * P ( A ) = π 1 2 = π olarak bulunur. Bu örnekteki deney iki farklı şekilde modellendi. Bu modellerden hangisi tercih edilecektir? İstatistik Bölümü öğrencileri ile istatistik laboratuvarında yapılan deneyler açık bir şekilde ikinci modeli desteklemiştir. Birinci modelin neresinde kusur olabilir? 22
Olasılık Kuramı ve İstatistik. Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları
Olasılık Kuramı ve İstatistik Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları OLASILIK Olasılık teorisi, raslantı ya da kesin olmayan olaylarla ilgilenir. Raslantı
DetaylıSAB 101 OLASILIK DERS NOTLARI. Prof.Dr. Fatih TANK. SAB 101 Olasılık. F.Tank. 1 Rastgelelik. 2. Modelleme. 3. Kümeler Cebiri. 4. Sınıf. 5.
SAB 101 OLASILIK DERS NOTLARI Giriş Prof.Dr. Fatih TANK Ankara Üniversitesi Uygulamalı Bilimler Fakültesi Sigortacılık ve Aktüerya Bilimleri Bölümü Prof.Dr. Fatih TANK - Olasılık Ders Notları- Sayfa :
DetaylıOlasılık ve İstatistik Dersinin Öğretiminde Deney ve Simülasyon
Olasılık ve İstatistik Dersinin Öğretiminde Deney ve Simülasyon Levent ÖZBEK Fikri ÖZTÜRK Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü Sistem Modelleme ve Simülasyon Laboratuvarı 61 Tandoğan/Ankara
Detaylı2. Klasik Kümeler-Bulanık Kümeler
2. Klasik Kümeler-Bulanık Kümeler Klasik Küme Teorisi Klasik kümelerde bir nesnenin bir kümeye üye olması ve üye olmaması söz konusudur. Bu yaklaşıma göre istediğimiz özelliğe sahip olan bir birey, eleman
DetaylıBİYOİSTATİSTİK Olasılıkta Temel Kavramlar Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH
BİYOİSTTİSTİK Olasılıkta Temel Kavramlar Yrd. Doç. Dr. slı SUNER KRKÜLH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim D. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr 1 OLSILIK Olasılık; Tablo
Detaylıİstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik
6.SUNUM İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik özellikleri (ortalama, varyans v.b. gibi) hakkında
DetaylıEME Sistem Simülasyonu. Giriş. Olasılık Dağılımı. Rassal Degiskenler
EME 3105 1 Giriş Sistem Simülasyonu Önümüzdeki hafta simulasyon girdilerinin modellenmesinde kullanılan kesikli ve sürekli Simulasyonda İstatistiksel Modeller-I Ders 4 dağılımlar hatırlatılacaktır. Rassal
DetaylıOlasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir.
5.SUNUM Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir. Günlük hayatta sıklıkla kullanılmakta olan olasılık bir olayın ortaya
DetaylıSORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A
2.2 Ölçüler SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X kuvvet kümesi veriliyor. P (X üzerinde 0 ; A (A : 1 ; A şeklinde tanımlanan dönüşümü ölçü müdür? ÇÖZÜM 1: (i Tanımdan ( 0. (ii A
DetaylıDENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ
DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS OLASILIK VE İSTATİSTİK FEB-222 2/ 2.YY 3+0+0 3 3 Dersin Dili Dersin Seviyesi
DetaylıHatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5
Ders Kodu: 0010070021 Kredi: 3 / ECTS: 5 Yrd. Doç. Dr. Serkan DOĞANALP Necmettin Erbakan Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü Konya 07.01.2015 1 Giriş 2 Giriş Matematiksel istatistiğin konusu yığın
DetaylıOlasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:
OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi
DetaylıOlasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:
OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi
DetaylıOlasılık Kavramı. Recep YURTAL. Mühendislikte İstatistik Metotlar. Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü
Olasılık Kavramı Mühendislikte İstatistik Metotlar Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği ölümü OLSILIK KVRMI KÜME KVRMI irlikte ele alınan belirli nesneler topluluğuna küme, Kümede içerilen nesnelere
DetaylıMATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.
MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Rastgele Değişkenlerin Dağılımları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Ders konusu Bu derste; Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması Olasılık kütle fonksiyonu Olasılık yoğunluk
Detaylı3.Ders Rasgele Değişkenler
3.Ders Rasgele Değişkenler Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X : R X olmak üzere, a R için, : X a U oluyorsa X fonksiyonuna bir rasgele değişken denir. a R için X, a : X a U özelliğine sahip bir X rasgele
DetaylıTesadüfi Değişken. w ( )
1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.
DetaylıTABLO-1 KPSS DE UYGULANACAK TESTLERİN KAPSAMLARI Yaklaşık Ağırlığı Genel Yetenek
TABLO-1 KPSS DE UYGULANACAK TESTLERİN KAPSAMLARI Yaklaşık Ağırlığı Genel Yetenek Yaklaşık Ağırlığı 1) Sözel Bölüm %50 2) Sayısal Bölüm %50 Sözel akıl yürütme (muhakeme) becerilerini, dil bilgisi ve yazım
DetaylıFRAKTAL VE TARİHÇESİ. Benoit Mandelbrot
FRAKTAL VE TARİHÇESİ Matematiksel gerçeklerin niteliğinde var olan kesinliğin özetinde aksiyomatik yapılar vardır. Öklid geometrisi, matematik tarihinde bunun önde gelen örneğidir. Matematiksel doğruların,
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar
DetaylıMAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 3
1.3. Kompleks Düzlemin Topolojisi Tanım 1. D ε (z 0 ) = {z C : z z 0 < ε} kümesine z 0 ın bir ε komşuluğu denir. Tanım 2. Bir A C kümesi verilsin. z 0 ın sadece A nın elemanlarından oluşan bir komşuluğu
DetaylıTemel Kavramlar Bilgi :
Temel Kavramlar Bilim, bilgi, bilmek, öğrenmek sadece insana özgü kavramlardır. Bilgi : 1- Bilgi, bilim sürecinin sonunda elde edilen bir üründür. Kişilerin öğrenme, araştırma veya gözlem yolu ile çaba
DetaylıRastgelelik, Rastgele Sinyaller ve Sistemler Rastgelelik Nedir?
Rastgelelik, Rastgele Sinyaller ve Sistemler Rastgelelik Nedir? Rastgelelik en basit anlamda kesin olarak bilinememektir. Rastgele olmayan deterministiktir (belirli). Bazı rastgele olgu örnekleri şöyle
DetaylıProgramlama Dilleri 1. Ders 3: Rastgele sayı üretimi ve uygulamaları
Ders 3: Rastgele sayı üretimi ve uygulamaları Ders 3 Genel Bakış Giriş Rastgele Sayı Rastgele Sayı Üreteci rand Fonksiyonunun İşlevi srand Fonksiyonunun İşlevi Monte Carlo Yöntemi Uygulama 1: Yazı-Tura
DetaylıĐst101 Olasılık ve Đstatistiğe Giriş
Đst0 Olasılık ve Đstatistiğe Giriş DERSĐN TÜRÜ Zorunlu DERSĐN DÖNEMĐ Güz DERSĐN KREDĐSĐ Ulusal Kredi: (, 0, 0 ) AKTS: 7 DERSĐN VERĐLDĐĞĐ Bölüm: Đstatistik 007/008 Öğretim Yılı Yardımcı Kitaplar Larson,
DetaylıViyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik
Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik 1. Ünite: Geometriden Olasılığa 1. Bölüm: Yansıyan ve Dönen Şekiller, Fraktallar Yansıma, Öteleme, Dönme Fraktallar 2. Bölüm: Üslü Sayılar Tam
DetaylıOKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9
OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 015 01 1 Eylül 18 Eylül Kümelerde Temel Kavramlar 1. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler.
DetaylıTABLO-1 KPSS DE UYGULANACAK TESTLERİN KAPSAMLARI Yaklaşık Ağırlığı Genel Yetenek
TABLO-1 KPSS DE UYGULANACAK TESTLERİN KAPSAMLARI Yaklaşık Ağırlığı Genel Yetenek Yaklaşık Ağırlığı 1) Sözel Bölüm 0 2) Sayısal Bölüm 0 Sözel akıl yürütme (muhakeme) becerilerini, dil bilgisi ve yazım kurallarını
DetaylıABDULKADİR KONUKOĞLU FEN LİSESİ REHBERLİK VE PSİKOLOJİK DANIŞMA BİRİMİ
HAZİRAN AYI 1. TÜRKÇE Sözcük Anlamı-Söz Yorumu FEN İ Trigonometri-yönlü açılar 10. sınıf matematik Sıralama Ve Ölçme -Basit Olayların Olasılıkları Fizik Bilimine Giriş- Madde 9.fizik Ve Özellikleri 9.biyoloji
Detaylı1 Hipotez konusuna öncelikle yokluk hipoteziyle başlanılan yaklaşımda, araştırma hipotezleri ALTERNATİF HİPOTEZLER olarak adlandırılmaktadır.
Özellikle deneysel araştırmalarda, araştırmacının doğru olup olmadığını yapacağı bir deney ile test edeceği ve araştırma sonunda ortaya çıkan sonuçlarla doğru ya da yanlış olduğuna karar vereceği bir önermesi
DetaylıKüme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur
Kümeler Kümeler ve küme işlemleri olasılığın temellerini oluşturmak için çok önemlidir Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur Sonlu sayıda, sonsuz sayıda, kesikli
DetaylıİÇİNDEKİLER. Ön Söz Saymanın Temel Kuralları Permütasyon (Sıralama) Kombinasyon (Gruplama) Binom Açılımı...
İÇİNDEKİLER Ön Söz... Saymanın Temel Kuralları... Permütasyon (Sıralama)... 8 Kombinasyon (Gruplama)... 6 Binom Açılımı... Olasılık... 9 İstatistik... 8... Dağılımlar... 5 Genel Tarama Sınavı... 6 RASTGELE
DetaylıDers 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları
Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Rastgele değişken kavramı Kesikli ve sürekli rastgele değişkenler İki boyutlu rastgele değişkenler Beklenen değer Varyans Örnek uzaydaki her elemanı bir sayıyla
DetaylıKAHRAMANMARAŞ SÜTÇÜ İMAM ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM ÖĞRETİM YILI FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİRİNCİ VE İKİNCİ ÖĞRETİM DERSLERİ
I. YARIYIL Adı Teori Uygulama KSU MT101 Analiz I 6 4 2 5 7 MT107 Soyut Matematik I 4 4 0 4 5 MT109 Analitik Geometri I 4 4 0 4 5 FZ173 Fizik I 4 4 0 4 4 OZ101 Türk Dili I 2 2 0 2 2 OZ121 Ingilizce I 2
DetaylıKesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları
Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 1 Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.
DetaylıGENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE
ÖZEL EGE LİSESİ GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Berk KORKUT DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL İZMİR 2013 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI 3.33 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM 3 4.
Detaylı13.Konu Reel sayılar
13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık
DetaylıRASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN
RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi
DetaylıÖrnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer
DetaylıMIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
DetaylıKuantum Fiziği (PHYS 201) Ders Detayları
Kuantum Fiziği (PHYS 201) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Kuantum Fiziği PHYS 201 Her İkisi 3 0 0 3 5 Ön Koşul Ders(ler)i PHYS 102, MATH 158
DetaylıKESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı
KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı 1 Bernoulli Dağılımı Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için ilgilenilen süreçte bernoulli
Detaylıİlköğretim Matematik Öğretmenliği
İlköğretim Matematik Öğretmenliği Evrak Tarih ve Sayısı: 16/01/2019-E.1248 Lisans - I.Öğretim Genel Toplam Ders Adedi : -950 T : -1684,5 U : -553 Kredi : -1963 ECTS : -2189 T + U : -2237,5 1. Yarıyıl 2.
DetaylıUygulama 3 Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH
BİYOİSTATİSTİK Uygulama 3 Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr Olasılık Hatırlatma Olasılık teorisi,
DetaylıDEVREK ANADOLU LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Alt Öğrenme Alanı
ELÜL TRİH/SÜRE HFT Eylül 0Eylül Eylül 7 Eylül STİ LNI 0-0 DEVREK NDOLU LİSESİ 9. SINIF MTEMTİK İ ILLIK PLNI lt de Temel Kavramlar de Temel Kavramlar de Temel Kavramlar de Temel Kavramlar de de de de. Küme
DetaylıMATEMATİK VE FEN BİLİMLERİ EĞTİMİ ANABİLİM DALI MATEMATİK EĞİTİMİ BİLİM DALI TEZLİ YÜKSEK LİSANS PROGRAMI
I.YARIYIL MATEMATİK VE FEN BİLİMLERİ EĞTİMİ ANABİLİM DALI MATEMATİK EĞİTİMİ BİLİM DALI TEZLİ YÜKSEK LİSANS PROGRAMI 3715055832012 Z Uzmanlık Alan Dersi 3715055702017 Z Bilimsel Araştırma Yöntemleri ve
DetaylıDERS 2 : BULANIK KÜMELER
DERS 2 : BULNIK KÜMELER 2.1 Gİriş Klasik bir küme, kesin sınırlamalarla verilen bir kümedir. Örneğin, klasik bir küme aşağıdaki gibi belirtilebilir: = { x x > 6 }, Kapalı sınır noktası burada 6 dır.burada
DetaylıÖrnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2
Bir Olayın Olasılığı P(A) = n(a) n(s) = A nın eleman sayısı S nin eleman sayısı Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: S
DetaylıSistem nedir? Başlıca Fiziksel Sistemler: Bir matematiksel teori;
Sistem nedir? Birbirleriyle ilişkide olan elemanlar topluluğuna sistem denir. Yrd. Doç. Dr. Fatih KELEŞ Fiziksel sistemler, belirli bir görevi gerçekleştirmek üzere birbirlerine bağlanmış fiziksel eleman
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Ders 4: OLASILIK TEORİSİ Giriş Bu bölüm sonunda öğreneceğiniz konular: Rastgele Olay Örnek Uzayı Olasılık Aksiyomları Bağımsız ve Ayrık Olaylar Olasılık Kuralları Koşullu Olasılık
DetaylıMATEMATİKSEL MAKALELERİN İNCELEMELERİ MURAT KAŞLI. https://www.facebook.com/mrtkasli
MATEMATİKSEL MAKALELERİN İNCELEMELERİ MURAT KAŞLI https://www.facebook.com/mrtkasli İnteraktif Oyunların Matematik Açısından Etkisi Van Hiele Geometri Anlama Düzeyleri 1. Düzey: Görsel düzey Öğrenci
DetaylıMIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
Detaylı9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme
DetaylıMatematik Ve Felsefe
Matematik Ve Felsefe Felsefe ile matematik arasında, sorunların çözümüne dayanan, bir bağlantının bulunduğu görüşü Anadolu- Yunan filozoflarının öne sürdükleri bir konudur. Matematik Felsefesi ; **En genel
DetaylıVeriye Dayalı Karar Verme (Bölüm 2) Can Akkan
Veriye Dayalı Karar Verme (Bölüm 2) Can Akkan 1 Ders Planı 1. Karar Problemleri i. Karar problemlerinin bileşenleri ii. Değerler, amaçlar, bağlam iii. Etki diagramları 2. Model Girdilerinde Belirsizlik
Detaylı2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım
2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI 2.1. Tanım Regresyon analizi, bir değişkenin başka bir veya daha fazla değişkene olan bağımlılığını inceler. Amaç, bağımlı değişkenin kitle ortalamasını, açıklayıcı
Detaylı9. SINIFLAR. 1.YAZILI 1.Yazılı 17 Mart 2014 Matematik Din Kültür Ve Ahlak Bilgisi. 1.Yazılı 18 Mart 2014 T.E.D. 2. Yabancı Dil
9. SINIFLAR 1.Yazılı 19 Mart 2014 Sağlık - Tarih 1.Yazılı 21 Mart 2014 Kimya Yabancı Dil 1.Yazılı 24 Mart 2014 Fizik - Coğrafya 2.Yazılı 21 Nisan 2014 Sağlık - Tarih 2.Yazılı 24 Nisan 2014 Kimya Yabancı
Detaylı28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31
SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 11 32159 Rasyonel sayı kavramını açıklar. 2 12 32151 İki ya da daha çok doğal sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulur.
DetaylıUlusal Metroloji Enstitüsü GENEL METROLOJİ
Ulusal Metroloji Enstitüsü GENEL METROLOJİ METROLOJİNİN TANIMI Kelime olarak metreden türetilmiş olup anlamı ÖLÇME BİLİMİ dir. Metrolojinin Görevi : Bütün ölçme sistemlerinin temeli olan birimleri (SI
DetaylıJeodezide Yaklaşım Yöntemleri: Enterpolasyon ve Kollokasyon
Jeodezide Yöntemleri: ve Lisansüstü Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Aydın ÜSTÜN Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü e-posta: austun@selcuk.edu.tr Konya, 2007 A. Üstün yöntemleri 1 / 28 Bir soruyu ya
DetaylıİÇİNDEKİLER. Mantık Kurallarının Elektrik Devrelerine Uygulanması... 14
İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM MANTIK Giriş... 1 Genel Olarak Mantık... 1 Mantığın Tarihçesi ve Modern Mantığın Doğuşu... 1 Mantık Öğretimin Önemi ve Amacı... 2 Önerme... 3 VE İşlemi (Birlikte Evetleme, Mantıksal
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Kümeler Cebiri 5 1 Kümeler Cebiri 1 Doğa olaylarının ya da sosyal olayların açıklanması için,
DetaylıÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-I ÇERÇEVE PROGRAMI. :Kesikkapı Mah. Atatürk Cad.No.79 Fethiye /MUĞLA
ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-I ÇERÇEVE PROGRAMI 1.KURUMUN ADI 2.KURUMUN ADRESİ 3.KURUCUNUN ADI :Tercih Özel Öğretim Kursu :Kesikkapı Mah. Atatürk Cad.No.79 Fethiye /MUĞLA : ARTI ÖZEL EĞİTİM ÖĞRETİM Danışmanlık
DetaylıÖrnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER
MANTIK MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER İçerisinde değişken olan ve değişkenin değerlerine göre doğru ya da yanlış olabilen önermelere açık önerme denir. Açık önermeler değişkenine göre P( x), Q( a)
DetaylıMATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev
MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni
DetaylıSORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin. A := {B P (X) : B sonlu} SORU 2: X sayılamayan bir küme
2. ÖLÇÜLER 2.1 BazıKüme Sınıfları SORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin bir sınıfıolsun. A sınıfıx üzerinde bir σ cebir midir? ÇÖZÜM 1: A := {B P (X) : B sonlu} X / A
DetaylıBMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1
BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Kümeler Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Kümeler Kümeler Ayrık Matematiğin en temel konularından biridir Sayma problemleri için önemli Programlama dillerinin
DetaylıKÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT
KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,
DetaylıDAVRANIŞ BİLİMLERİNE GİRİŞ
DAVRANIŞ BİLİMLERİNE GİRİŞ DAVRANIŞIN TANIMI Davranış Kavramı, öncelikle insan veya hayvanın tek tek veya toplu olarak gösterdiği faaliyetler olarak tanımlanabilir. En genel anlamda davranış, insanların
DetaylıUYGULAMALI MATEMATİK ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
ÖABT UYGULAMALI MATEMATİK ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT UYGULAMALI MATEMATİK ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik,
Detaylı1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler
ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...
DetaylıRastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler
Rastgele Değişkenlerin Dağılımları Mühendislikte İstatistik Yöntemler Ayrık Rastgele Değişkenler ve Olasılık Dağılımları Yapılan çalışmalarda elde edilen verilerin dağılışı ve dağılış fonksiyonu her seferinde
DetaylıÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ
ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ TEMEL KAVRAMLAR PARAMETRE: Populasyonun sayısal açıklayıcı bir ölçüsüdür ve anakütledeki tüm elemanlar dikkate alınarak hesaplanabilir. Ana kütledeki
DetaylıOssmat.com Matematik-Fizik-Kimya-Biyoloji Hakkında Herşey (ana sayfaya git)
Facebook Fun Sayfamız Twitter Sayfamız Ossmat.com Matematik-Fizik-Kimya-Biyoloji Hakkında Herşey (ana sayfaya git) (adsbygoogle = window.adsbygoogle []).push({}); Çıkmış Soru Çözümlerİ Çözümleri Matematik
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri
Detaylı225 ARAŞTIRMA YÖNTEMLERİ. Yrd. Doç. Dr. Dilek Sarıtaş-Atalar
225 ARAŞTIRMA YÖNTEMLERİ Yrd. Doç. Dr. Dilek Sarıtaş-Atalar Bilgi Nedir? Bilme edimi, bilinen şey, bilme edimi sonunda ulaşılan şey (Akarsu, 1988). Yeterince doğrulanmış olgusal bir önermenin dile getirdiği
DetaylıPROBLEM BELİRLEME ve LİTERATÜR (ALANYAZIN) TARAMA
PROBLEM BELİRLEME ve LİTERATÜR (ALANYAZIN) TARAMA Araştırma Problemi Araştırma problem çözmeye yönelik bir süreçtir. Bu kapsamda Araştırmaya başlamak için ortaya bir problem konulması gerekir. Öncelikle,
DetaylıDers 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar
Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar Küme Kavramı Küme İşlemleri Deney, Örnek Uzay, Örnek Nokta ve Olay Kavramları Örnek Noktaları Sayma Permütasyonlar Kombinasyonlar Parçalanmalar
DetaylıDr. Mehmet AKSARAYLI OLASILIK. Ders 3 / 1
Dr. Mehmet AKSARAYLI OLASILIK Ders 3 / 1 1 0 Kesin İmkansız OLASILIK; Bir olayın gerçekleşme şansının sayısal değeridir. N adet denemede s adet başarı söz konusu ise, da başarının nisbi frekansı lim (s/n)
Detaylı3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI
ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER III Bölüm 1 İSTATİSTİK ve SAYISAL BİLGİ 11 1.1 İstatistik ve Önemi 12 1.2 İstatistikte Temel Kavramlar 14 1.3 İstatistiğin Amacı 15 1.4 Veri Türleri 15 1.5 Veri Ölçüm Düzeyleri 16 1.6
Detaylıİçindekiler. Ön Söz... xiii
İçindekiler Ön Söz.................................................... xiii Bölüm 1 İstatistiğe Giriş....................................... 1 1.1 Giriş......................................................1
DetaylıYGS / Temel Matematik Soru ve Çözümleri
8 9 4 4 7 0 4 5 4 4 + 5 = 4 + 5 = 1 5 = (Cevap E) Rasyonel Sayılar 1 8 4 8 8 4 6 9 ( ) = = 6 6 4 ( ) 8 8 8 1 1 8 4 = = = 16 (Cevap D) Üstlü Sayılar 1 1 7 + = 1 1 6 6 6 7 + 1 = 7 + 1 = 81 + 1 = 9+ 1 = 10
DetaylıVEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ
1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.
DetaylıİÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37
İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1 İstatistik 1 Yığın ve Örnek; Tümevarımcı ve Betimleyici İstatistik 1 Değişkenler: Kesikli ve Sürekli 1 Verilerin Yuvarlanması Bilimsel Gösterim Anlamlı Rakamlar
DetaylıAKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER
AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 015-01 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI SÜRE: MANTIK(30) ÖNERMELER VE BİLEŞİK ÖNERMELER(18) 1. Önermeyi, önermenin
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Bibliography 11 CONTENTS 5 0.1 Kartezyen Çarpım 0.2 Sıralı İkililer Şimdiye kadar sıra ya da
Detaylı2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler
2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE ÖĞRENME Ay Hafta D.Saati ALANI EYLÜL 2 Geometri 2 3 Geometri 2 Geometri 2 Olasılıkve ALT
DetaylıE.Ö.Y TEKİRDAĞ S.B LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Alt Öğrenme Alanı
A ELÜL 9 Eylül Eylül Eylül 0 Eylül 0-07 E.Ö. TEKİRDAĞ S.B LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK İ ILLIK PLANI Temel Kavramlar Temel Kavramlar Temel Kavramlar Temel Kavramlar. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri
DetaylıİSTATİSTİK MHN3120 Malzeme Mühendisliği
İSTATİSTİK MHN3120 Malzeme Mühendisliği CBÜ - Malzeme Mühendisliği Bölümü Ofis: Mühendislik Fakültesi A Blok Ofis no:311 Tel: 0 236 2012404 E-posta :emre.yalamac@cbu.edu.tr YARDIMCI KAYNAKLAR Mühendiler
DetaylıLineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
DetaylıProjenin Adı:Pascal-Fermat Olasılık Mektupları
Projenin Adı:Pascal-Fermat Olasılık Mektupları Projenin Amacı:Çalışmamızda öncelikle Pascal ve Fermat la tarihsel empati kurmakla birlikte bilginin yolunu bulabilmesi için farklı bakış açılarına ihtiyaç
DetaylıDr. Mehmet AKSARAYLI
Dr. Mehmet AKSARAYLI Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir. Şans Değişkenleri KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli
DetaylıÖrneklem Dağılımları & Hipotez Testleri Örneklem Dağılımı
Örneklem Dağılımları & Hipotez Testleri Örneklem Dağılımı Ortalama veya korelasyon gibi istatistiklerin dağılımıdır Çıkarımsal istatistikte örneklem dağılımı temel fikirlerden biridir. Çıkarımsal istatistik
DetaylıMatematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran
Matematik Ders Notları Doç. Dr. Murat Donduran Mart 18, 28 2 İçindekiler 1 Tanımlı Integral Uygulamaları 5 1.1 Olasılık.............................. 5 3 4 İÇINDEKILER Bölüm 1 Tanımlı Integral Uygulamaları
DetaylıKesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları
Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli ġans DeğiĢkenlerinin Olasılık Fonksiyonları X, şans değişkeni ve, 2,.., n ise bu tesadüfi değişkenin
DetaylıHazırlayan. Ramazan ANĞAY. Bilimsel Araştırmanın Sınıflandırılması
Hazırlayan Ramazan ANĞAY Bilimsel Araştırmanın Sınıflandırılması 1.YAKLAŞIM TARZINA GÖRE ARAŞTIRMALAR 1.1. N2tel Araştırmalar Ölçümlerin ve gözlemlerin kolaylık ve kesinlik taşımadığı, konusu insan davranışları
DetaylıBİRİNCİ SINIF. Toplam Kredi 30
BİRİNCİ SINIF I.YARIYIL İMÖ101 Genel Matematik Z 4 2 5 11 İMÖ103 Eğitim Bilimine Giriş Z 3 0 3 5 ENF103 Bilgisayar I Z 2 2 3 4 TDB111 Türkçe I: Yazılı Anlatım Z 2 0 2 2 ATA101 Atatürk İlkeleri ve İnkılap
Detaylı