PDF Created with deskpdf PDF Writer - Trial ::

Transkript

1 Bilim ve Bilimsel Felsefe Çevresi Etkiliği Bilimsel Felsefe ve Bilimler Has Reichebach ı Ölümüü 50.yılı Aısıa 1 Aralık 003 Akara Üiversitesi Fe Fakültesi Levet Özbek Akara Üiversitesi Fe Fakültesi Đstatistik Bölümü Olasılık ve Đstatistik Giriş Yaşamı her aıda isa biliçli ya da biliçsiz olarak içide veya dışıda buluduğu olayları, süreçleri gözlemleyerek buları akışı hakkıda bilgileip bu doğrultuda kedi durumua uygu kararları alır ve davraış biçimleri ortaya koyar. Evrede olup biteleri alama ve alatma çabası içide ola isa, ilgilediği olay ve süreçler ile ilgili çeşitli modeller kurarak bu modeller üzeride gelecekte e gibi durumlar ortaya çıkabileceğii bilmeye ve eğer süreç deetim altıa alıabiliyorsa bua uygu tasarımları yapmaya çalışır. Newto'u Mekaiği ile doruk oktasıa ulaşa Laplace alamıda belirleimci düya görüşü (determiizm-gerekircilik, saat gibi tıkır-tıkır işleye evre modeli) 19.yy'da kuatum fiziğii gelişimi ile beraber yerii olasılıkçı düya görüşüe bırakmak zoruda kalmıştır. Psikologlar kesilik arayışıı, çocukluğu ilk gülerie, kişii heüz kuşku duygusuda tedirgi olmadığı, aa-babaı sağladığı güve içide rahat olduğu gülere bir döüş arzusu olarak açıklamaktadırlar. Kesilik arayışı, hataya yol aça e tehlikeli kayaklarda biridir; çükü, bu eğilim üstü bilgi edime çabası ile birlikte gider. Doğaı akışıı düzeli olduğu iacı bize ayrıca güvelik vermektedir; bu iaç, bir oktaya kadar, geleceği öcede kestirmemize ve hoşa gitmeyecek durumları ölememize yarar. Dikkatli bir şekilde bakıldığıda içide yaşadığımız düyaı olasılıklı özelliklere sahip olduğu görülebilir. Gülük kouşmalarda geçe "sık sık", "baze", "ara sıra", "çok sık", "çok az"...vb. sözcükler olasılıklı düyaı dilimize yasımalarıdır. Olasılık kavramı, bilgi problemlerii e öemlileri ile ilgilidir. Olasılık her şeyde öce doğa yasalarıda kedii gösterir. Doğa bilimi, ileriye döük olayları kestirme işie e zama koyulursa, olasılık kavramı heme kedii gösterir. Olasılık teorisi doğa yasalarıı biçimii olduğu kadar, ödeyici bilgii aracıı da belirleyici güçtedir. Đceleme kousu, bilimsel metodu özüü oluşturur. 1

2 Matematiksel Modelleme Gerçek düyadaki bir olayı, süreci veya birimlerde oluşa ve birimleri arasıdaki iç ilişkiler yaıda çevre ile dış ilişkilere göre işleye bir sistemi belli bir alatımıa model deir. Alatım sözle, çizimle, belli bir ölçekte fiziki bezer oluşturmak veya başka bir şekilde yapılmakla birlikte e geçerli alatım, bilimi ortak dili ola matematik ile yapılmaktadır. Model, gerçek düyadaki bir olguu veya sistemi yapı ve işleyişii, ilgili olduğu bilim sahasıı (fizik, kimya, biyoloji, jeoloji, astroomi, ekoomi, sosyoloji,...) kavram ve kaularıa bağlı olarak ifade edilmesidir. Model gerçek düyadaki bir olguu bir alatımıdır, bir temsilidir. Gerçek düyaı çok karmaşık olması sebebiyle modeller, alatmak istedikleri olgu ve sistemleri basitleştirerek belli varsayımlar altıda ele almaktadır. Modeller gerçeği kedileri değildir ve e kadar karmaşık görüseler de gerçeği bir eksik alatımıdırlar. Kısaca model deile şey model kurucuu gerçeği "alayışıı" bir ürüüdür. Her model kurma işlemi bir soyutlama sürecidir. Soyutlama süreci, gerçek düyadaki olguları ayrıtılarda arıdırılmış görütülerii isa düşücesie aktarılmasıdır. Modeli kurabilmek ve seçebilmek içi söz kousu olgu veya sistemi temel özelliklerii, birimleri arasıdaki iç ilişkilerii ve çevre ile ola dış ilişkilerii bilmek gerekir. Modeli başarısı, pratik ve bilimsel yararlılığı, olgu veya sistemi esasıı soyutlamadaki doğruluğu derecesie ve gözöüe alıa özellikleri e deli temel itelikte olup olmadıklarıa bağlıdır. Bir ölçme soucu, ölçüle özelliği modeldeki karşılığı ola değişkei aldığı değer olarak ele alımaktadır. Ölçüle özellik rasgelelik içerdiğide modelde karşılık gele değişke doğal olarak rasgele değişke olacaktır. Herhagi bir deeysel bilimi ilgi sahasıa gire olguları modellemede düşüce tarzı aşağıdaki şekildeki gibidir. Gerçek düya Olgu Ölçme veri data souç çıkarma Soyut Düya Model Matematik Đstatistik Olasılık Teorisi Olasılık terorisi, soyut bir matematiksel disipli olarak ele alıdığıda Ölçü Teorisii bir parçası, rasgelelik olgusuu modellemeside uygulamalı bir disipli olarak ele alıdığıda Đstatistik Teorisii bir parçasıdır. Đstatistik, "rasgelelik" içere olaylar, süreçler, sistemler hakkıda matematiksel modeller

3 kurmada özellikle bu modelleri geçerliliğii sıamada ve bu modellerde souç çıkarmada gerekli bilgi ve yötemleri sağlaya bir bilim dalıdır. Rasgelelik, çevremizi belirgi iteliğidir. Olasılık ve Đstatistik teorisie kısaca rasgeleliği bilimi demek yalış olmaz. Pagels "rasgelelik edir?" sorusua cevap vermeye çalışırke, matematiksel ve fiziksel rasgelelik problemleri arasıda ayrım yapmaı öemie değimiştir. Matematiksel problem, sayılar veya foksiyoları rasgele sırasıı e alama geldiğii taımlaya bir matıksal problemdir. Fiziksel rasgelelik problemi gerçek fiziksel olayları rasgelelik kousudaki matematiksel kriterlere uyup uymadığıı belirlemektir. Rasgeleliği matematiksel bir taımıa sahip olaa kadar, doğal olayları bir dizisii gerçekte rasgele olup olmadığıı belirleyemeyiz. Bir kere böyle bir taımımız oluca, o zama, gerçek olayları böyle bir taıma karşılık gelip gelmediğii belirleme koulu ek deeysel bir problemimiz olur. Burada ilk problemle karşılaşırız: Matematikçiler, rasgeleliği kesi bir taımıı verme ya da oula bağlatılı bir iş ola olasılığı taımlama işide hiç bir zama başarı sağlayamamıştır... Tarihsel Gelişim Đlk olasılık problemleri ile matematikçiler ciddi şekilde XVII yüzyılda, kumar oyularıı icelerlerke karşılaşmışlardır. Bu yüzyılı üç büyük matematikçisi, B.Pascal ( ), P.Fermat ( ) ve C.Huyges ( ) bilimsel çalışmalarıda olasılığı temel kavramlarıı basit şekilde ele almışlardır. P.Fermat ve B.Pascal'ı bilimsel yazışmaları olasılık teorisii temel kavramlarıı oluşmasıda öemli rol oyamıştır yılıa ait ola bu yazışmaları biride B.Pascal "Be çok mutluyum, çükü matematiği yei bir dalı meydaa gelmektedir" diye yazmaktadır. C.Huyges, 1655 yılıdaki Paris geziside Frasız matematikçilerde Fermat ve Pascal'ı yei bir bilim dalı hakkıda yazışmalar yaptıklarıı duyar ve 1658 yılıda "Kumar oyularıda şasları hesaplaması" adlı bir eser yazar. Yazıldıkta kısa bir süre sora kitap ikici, üçücü,... baskılarıı yaparak devri bilim adamlarıı öemli derecede etkilemiştir. Olasılık teorisii bir bilim dalı şeklide oluşmasıda, şüphesiz, e büyük rolü Jacobi Beroulli'i ( ) yazdığı "Ars Cojectadi" (Varsayımlar Saatı) adlı eseri oyamıştır. J. Beroulli bu eseride olasılık teorisii temel teoremi ola büyük sayılar kuramıı ifade ederek ispatlamıştır. Beroulli'i bu kitabıda sora olasılık teorisi matematiksel bir kuram olarak hızla gelişmeye başlamıştır. De Mouvre ( ), D.Beroulli ( ), P.S.Laplace ( ), K.F.Gauss ( ), S.D.Poisso ( ), P.L.Chebişev ( ), A.A.Markov ( ) olasılık teorisii gelişmeside ve başka bilim dallarıa uygulamasıda büyük rol oyamışlardır. XVIII yüzyıl ve XIX yüzyıl başları, olasılık teorisii yoğu biçimde uygulama alaı gösterdiği bir döemdir. Bu döemde olasılık hesapları bilim adamları arasıda adeta moda olmuştur. Hukuk problemlerie, tarih araştırmalarıa, politikaya, hatta teolojiye bile uygulamaya girişilmişti. Tüm düşücelerde belli olasılık kabulüde yola çıkılıyordu. Mesela, hukuk problemleride, kabul ediliyordu ki isalar ayı olasılıkla yala veya doğruyu söyler. Bir sosyal problem, basit bir aritmetik problemi gibi çözülüyordu. 3

4 XX yüzyılda Olasılık Teorisi aksiyomatik bir yapıya kavuşturulmuştur. 193 yılıda Borel, olasılığı, şu kötümser sözlerle itelemekteydi: "olasılığı, salt matık açısıda sağlam, uygulama alaları açısıda kimseye yararı olmaya ve bilim adıa layık olmakta uzak bir kou sayabiliriz." Bu kötümser görüşe rağme Borel (194), Vo Mises ( ) ve Kolmogorov (1933) olasılığı, tıpkı geometri gibi, belli aksiyomlarda hareket ede matıki bir yapıya sahip bir matematik dalı halie getire çalışmalarda öcü oldular. Bugü kümeler teorisi üstüe kurula aksiyomatik olasılık teorisii temelleri adı geçe bu yazarları çalışmalarıyla olmuştur. Olasılık Uzayları Cümle kavramı matematiği temel bir kavramıdır. Boş olmaya bir kümei alt cümleleride oluşa cümleye sııf deir. Taım : Bir Ω cümlesii alt cümleleride oluşa U bir sııfı, i) Ω U ii) A U A U iii) U ' da her ( A ) d izisi içi U i= 1 Özelliklerie sahipse U sııfıa Ω da bir A U σ cebir deir. Taım : R deki açık aralıkları Β 1 = {( a, b) : a < b, a, b R} sııfıı kapsaya e küçük σ cebire Borel cebiri deir. Borel cebirii bir elemaıa Borel cümlesi deir. Bezer şekilde R de de Borel cebiri taımlaabilir. Olasılık Ölçüsü Taım : U, Ω da bir σ cebir olmak üzere P : U R A P( foksiyou; 1) A U içi P( 0 ) P ( Ω) = 1 3) U daki ayrık cümleleri her ( A ) dizisi içi P U A = P( A ) i= 1 i= 1 özelliklerie sahipse P ye U üzeride bir olasılık ölçüsü deir. P( değerie A'ı olasılık ölçüsü veya A'ı olasılığı deir. Taım : Ω, boş olmaya bir cümle U, Ω da bir σ cebir ve P, U üzeride bir olasılık ölçüsü olmak üzere Ω,U, P üçlüsüe olasılık uzayı deir. ( ) 4

5 Örek : Ω = w w,..., solu elemaa sahip olduğuda, σ cebir olarak kuvvet kümesi alıdığıda, ve { } 1, w p = P w ), p = 1 olmak üzere i ( i N i= P : U R A P( = p i w A olasılık ölçüsü taımlaır. ( " A' ıı P( = = ( Ω) " Ω' ıı i i p = p =... = p 1 olduğuda elema sayı" elema sayı" olacaktır (klasik olasılık taımı). Bezer biçimde sayılabilir sosuz elemaa sahip Ω cümlesi içi de olasılık ölçüsü taımlaabilir. Ω R, solu uzuluklu bir cümle olmak üzere B Ω da bir P olasılık ölçüsü, " A araligii uzulugu" P( = " Ω araligii uzulugu" olarak taımlaır. Bezer biçimde, Ω R solu alalı bir cümle olmak üzere B Ω da bir P olasılık ölçüsü, " A ' i ala olcusu" P( = " Ω ' i ala olcusu" olarak taımlaır. Örek Uzaylar ve Olaylar Olasılık deeyi : Souçlarıı cümlesi belli ola, acak gerçeklediğide hagi soucu ortaya çıkacağı öcede bilimeye bir işleme Olasılık deeyi deir. Örek Uzay : Bir olasılık deeyii tüm olabilir souçlarıı kümesie Örek Uzay deir. Olay : Örek uzayı bir alt cümlesie olay deir. Bir olayı gerçekleşmesi deey soucuu bu cümlei bir elemaı olması demektir. Ω olasılık uzayıı belli bir olasılık deeyii modeli olarak kulladığımızda Ω cümlesi örek uzayı, U, σ cebiri olayları cümlesii, P ise bu olasılık deeyi ile ilgili probleme "iyi bir yaklaşımda" bulua bir olasılık ölçüsüü temsil edecektir. Belli bir (,U, P) Ω olasılık uzayı belli bir olasılık deeyii modeli olarak kullaıldığıda U, σ cebirideki cümleler deey ile ilgili olaylara karşılık gelecektir. Bir σ cebir sayılabilir birleşim, kesişim ve tümleme işlemie göre kapalı olduğuda, σ cebirdeki cümleler üzeride bu işlemler soucu elde edile bir cümle bir olaya karşılık gelecektir. Belli bir (,U, P) 5

6 Rasgele Değişkeler Bir olasılık deeyii souçlarıı cümlesi ola örek uzayı elemaları çok değişik türde olabilir. Rasgele değişkeler yardımıyla örek uzayı elemalarıa reel sayılar eşlemekte, böylece olasılık ölçüleri Borel cebiri üzerideki olasılık ölçülerie idirgemiş olmaktadır. Taım : (,U, P) Ω bir olasılık uzayı ve X : Ω R w X (w) olmak üzere, a R içi, w Ω : X ( w) a { } U ise X foksiyoua bir rasgele değişke deir. Buda sora gele kavramlar; Dağılım foksiyou, Olasılık (yoğuluk) foksiyou, Beklee değer, vb. biçimide sıralaabilir. Olasılığı alamıa ilişki görüşler "Hilesiz bir zarla 6 atmaı olasılığı 1/6'dır" öermesi sayısal olasılık öermesie bir örektir. Sayısal bir olasılık öermesi asıl yorumlaacaktır? Popper, özel yorumlamada bazı ruhbilimsel öğeleri olduğuu, bua göre olasılık derecesii kesilik ya da belirsizlik iacıı ölçütü olarak değerledirmiştir. Reichabach, rasyoalistler içi, olasılık derecesi dee şey, edeleri yokluğuda aklı ürüüdür, değerledirmesii yapmıştır. Popper, esel yorumlamayı ise, sayısal her olasılık öermesi, olaylar dizisi içerisideki belirli olayları göreli sıklığıa ilişki bir öerme olarak itelemiştir. Böylece öreği, "bir soraki zar atışıda 1 atmaı olasılığı 1/6 dır" biçimideki bir öerme, bir soraki zar atışıı bir öermesi değil, atışlar kümesii tamamıı bir öermesidir; bir soraki atış ile ilgili bir öerme de bu kümei bir elemaıdır; bu öerme yalızca, söz kousu kümede "1 atmaı" göreli sıklığıı 1/6 olduğuu ileri sürmektedir. Bu yaklaşıma göre, sayısal olasılık öermeleri, acak sıklığa ilişki bir yorum yapılabildiğide kabul edilebilir. Olasılıklar hesabıdaki başlıca öermeleri geçerliliğii sağlaya bir sıklık kuramı R.V. Mises tarafıda ortaya koulmuştur. Reichabach, bu kuramı olasılığı deeysel felsefesi olarak adladırmıştır ve rasyoalist yorumu bilimsel felsefede yer almaması gerektiğii söylemiştir. Bu kurama göre olasılıklar hesabı, belirli "rasgelelik" öğesi içere olaylar dizisii bir kuramıdır. Bu olaylar dizisii taımlaya iki belitsel koşul vardır: Bular, "sıır-değer beliti" ve "gelişigüzellik belitidir". Bir olaylar dizisi bu iki koşulu doyurduğuda, Mises buu, sosuz biçimde yielediği düşüüle deemeler dizisi - yai "kolektif"- olarak taımlamaktadır. Öreği, yıpramaya bir zarla yapıla atışlar dizisi bir kolektifdir. Bu tür her olayı belirli bir özelliği vardır; öreği "beş atış" bir özelliktir. Olaylar dizisideki her bir elema içi yei bir dizi "göreli sıklıklar dizisi" karşılık getirilebilir. Özellikler dizisi uzadıkça, sıır-değer belitie göre, göreli sıklıkları dizisi belirli bir sıır değere ulaşmalıdır. Mises'e göre "olasılık" sözcüğü, bir "kolektifi içide bulua göreli sıklığı sıır-değerii" başka bir ifadesidir. Mises'e göre olasılık hesabıı tek amacı şudur: Verilmiş olasılıklarda yola çıkarak, başka olasılıkları hesaplamasıdır. Reichabach, olasılığı sıklık yorumuu, bir olasılık öermesii tek bir olaya uygulaması sırasıda güçlük çıkaracağıı, tek bir olayı olasılığıı sıklık olarak belirtmei bir alam taşımadığıı söylemiştir. Mises'i sıklık kuramı, Berouilli Büyük Sayılar Kuralı ile matematiksel olarak daha iyi alaşılabilir. Büyük Sayılar Kuralı kuramsal ve deeysel iki sayıyı birbirie bağlamaktadır. Bu kuralı aracılığı ile olasılık teorisi deeysel çalışma ile temas eder ve bu kuramı teorik olarak elde edile souçları çeşitli deeysel 6

7 bilim dallarıa uygulaarak doğaı daha deri, ama kesi yasalarla ifade edilemeye kaulara uyguluklarıı matematiksel olarak ifade etmeye olaak sağlar. Beroulli Teoremi (Büyük Sayılar Kuralı): Bir deey kez yapılsı ve yapıla her bir deeyi soucuda A olayıı gelme olasılığı, p=p(, sabit olsu, m de deemede gele A olayıı sayısı olmak üzere; ε > 0 içi m lim P p ε = 0 dır. Deeme saysı sosuza gittiğie, lim m = p gibi düşüülmemelidir, yapıla deeyler soucuda m p > ε şeklide bir sapma olabilir. Beroulli teoremie göre deeme sayısı yeterice büyük olduğuda m p > ε olayıı olasılığıı, olayı bir deeyde gelme olasılığıda herhagi bir sapması olasılığı çok küçük ola bir olaydır. Olasılık teorisi Kolmogorov Aksiyomları olarak bilie matematiksel alt yapısı ve Mises'i sıklık kuramı (Beroulli Büyük Sayılar Kuralı) ile birlikte ele alımakta ve rasgelelik içere süreçleri modellemede kullaılmaktadır. Geleceğe ilişki her öerme, olasılık öermesii içide barıdırmaktadır. Doğada ve toplumda, bilmediğimiz veya hesaba katmadığımız edelerle değişe souçlar vere olaylarla çoğu zama karşılaşılır. Gerçekliği ifade ede matematiksel foksiyolar değildir. Gerçekliği ifade ede, büyüklükleri deeyle belirlediği dağılım foksiyolarıdır. Bilim giderek katı belirleimcilik alayışıı terk etmekte ve gülük yaşam ölçeğiyle belirlemiş yasaları değiştirmede, olguları temelide yata daha esek bir "istatistik belirleimcilik" alayışıa yaklaşmaktadır. 7

8 Örek. Kear uzuluğu 0 br. ola kare marleyler ile döşeli bir odaı tabaıa yarıçapı br. ola bir tavla pulu rasgele atıldığıda marleyi kearları ile kesişmemesi olasılığı edir? Model : Deey soucuda, paraı merkez oktasıı düştüğü (buluduğu) marley üzerideki koumu gözlesi. Gözlemleme işlemi, paraı merkez oktasıı buluduğu marleyi Şekil 1 deki gibi bir koordiat sistemii başlagıç oktasıa kaydırarak yapılabilir. Deey saki bir tek marley üzeride yapılıyormuş gibi düşüülebilir. Paraı merkez oktasıı koordiatları ( x, y ) olmak üzere olabilir souçları kümesi {( x, y) R : 0 x 0, 0 y 0} Ω = R dir. R deki Borel cebirii Ω'ya kısıtlaması B Ω olmak üzere A B Ω içi olasılık ölçüsü olarak " A ıı ala ölçüsü" P( = " Ω ıı ala ölçüsü" alıırsa, deeyi, ( Ω, B, ) y Ω P olasılık uzayı ile modellemiş (alatmış) oluruz A Şekil -1 x A : Atıla pulu marleyi kearları ile kesişmemesi olayı olsu. olmak üzere {(, ) : 18, 18} A = x y R x y 16 0 P( = = olarak buluur. Modeli verdiği soucu "iyiliği" asıl belirleebilir? Deeyi bu model üzeride simülasyou yapılmak istediğide, öreği bir koordiat sistemii başlagıcıa 0x0'lik bir kare çizilip rasgele rakamlar tablosu (RRT) yardımıyla x ile y koordiatları üretilebilir. Ayı işlemler bilgisayarda da yapılabilir. Örek. Yarıçapı 1 br. ola madei bir para, taba yarıçapı 4 br. ola bir silidiri içie atıldığıda tabaı merkez oktasıı örtmesi olasılığı edir? 8

9 1.Model : Para atıldığıda deey soucu, taba ile paraı merkez oktaları arasıdaki uzaklık olarak belirlesi. Deey soucuda bu uzaklık ölçülmüş (gözlemiş) olsu. Bu uzaklık 1 br de küçük olduğuda bu olay gerçekleşmiş olur. d. Şekil- d A :Tabaı merkezi ile paraı merkezi arasıdaki uzaklık : Paraı silidir tabaıı merkezii örtmesi olayı olsu. Bu durumda, Ω = { d : 0 d 3 } A = { d : 0 d 1 } dir. Đki merkez arasıdaki uzaklığı göstere d sayısı deey soucuda 0 ile 3 arasıda bir değer olacaktır. Olasılık ölçüsü olarak, A B Ω içi " A i aralik uzulugu" P( = " Ω i aralik uzulugu" alıırsa olasılık uzayı ( Ω, B, ) P( = 1 3 olarak buluur. Ω P olmak üzere bu uzayda (modelde) sorula olasılık.model : Deeyi soucu, başlagıç oktası silidiri tabaıı merkezide ola bir dik koordiat sistemie göre, paraı merkez oktasıı bu koordiat sistemideki koumu olarak belirlesi. y.(x,y) x Şekil -3 A : Paraı silidir tabaıı merkez oktasıı örtmesi olayı olsu. Bu durumda { x y R : 0 x y 9} {(, ) : 0 1} Ω * = (, ) + A = x y R x + y 9

10 P " A i alaölçüsü" = " Ω i ala ölçüsü" * ( * * * ve olasılık uzayı ( Ω,, ) * P ( A ) = π 1 = π 3 olarak buluur. B P olmak üzere bu uzayda (modelde) sorula olasılık Ω 1 9 Bu örekteki deey iki farklı şekilde modelledi. Bu modellerde hagisi tercih edilecektir? Đstatistik Bölümü öğrecileri ile istatistik laboratuvarıda yapıla deeyler açık bir şekilde ikici modeli desteklemiştir. Birici modeli ereside kusur olabilir? 10