Sayı Kümeleri ve Koordinatlar

Transkript

1 DERS 1 Sı Kümeleri ve Koordintlr 1.1 Kümeler. Mtemtiğin temel kvrmlrındn biri küme kvrmıdır. Okuucunun küme kvrmın bncı olmıp kümelerle ilgili temel işlemleri bildiğini kbul edioruz. Bununl berber kümelerle ilgili temel kvrm ve gösterimleri özet olrk suncğız. Küme denince ii tnımlı bir nesneler topluluğu nlşılır. Burd ii tnımlı deiminin nlmı şudur: Herhngi bir küme söz konusu olduğund herhngi bir nesnenin o kümee, ni nesneler topluluğun it olup olmdığı kuşku er bırkmck biçimde bilinmelidir. Kümee, ni nesneler topluluğun it oln nesnelerden her birine kümenin bir elemnı denir. Genellikle kümeler lfbedeki büük hrflerle, elemnlr d küçük hrflerle gösterilir. Burdki lfbe sözcüğü Türkçe lfbe ile sınırlı değildir, kümeleri ve elemnlrı göstermek için Türkçe lfbeden olduğu kdr İngilizce, Yunnc ve bşk lfbelerden hrfler de kullnılır. K bir küme. ve b nesneler olsun. nın elemnı değilse, b K zılır. Eğer, K nın elemnı ise, K zılır. Eğer b, K Hiç elemnı bulunmn kümee boş küme denir ve boş küme, ile gösterilir. A ve B kümeler,.a nın her elemnı B nin elemnı ise, A kümesi B nin ltkümesidir denir. A, B nin ltkümesi ise, A B zılır. Elemnlrı nı oln iki kümee eşit kümeler denir ve bu durumd lışkın olduğumuz üzere, A = B zılır. A = B A B ve B A olduğu çıktır. Kümeler, elemnlrı { ve } işretleri rsın listelenerek ve elemnlrı tnımlnrk gösterilir. Örneğin, Türkçe lfbedeki ilk üç küçük hrften oluşn küme : {,b,c} ; 1 den 5 e kdr oln doğl sılrın kümesi : {1,,,4,5} = { : 1 5}; 5 ten büük 1 den küçük oln doğl sılrın kümesi :. Şimdi, A ve B kümeleri için ukrıdki küme gösterimini de kullnrk, birleşim, kesişim ve frk işlemlerini tnımllım. A ve B nin birleşimi, A B ={ : A ve B}; A ve B nin kesişimi, A B ={ : A ve B} ; A ve B nin frkı, A \ B ={ : A ve B} olrk tnımlnır.

2 Kümeler üzerindeki trtışmlrı kollştırmk için Venn Çizelgeleri denilen çizelgeler kullnılır. Şöle ki, bir küme kplı bir eğrinin, örneğin bir dikdörtgenin ve bir çemberin sınırldığı lnl gösterilir ve o ln içindeki noktlrın d kümenin elemnlrını gösterdiği düşünülür. b A K Yukrıdki çizelgee göre, A K, A ve b A dır. Kümeler için ukrıd tnımldığımız üç işlemin Venn çizelgeleri ile görünümü şğıdki gibi olcktır. A A B B A A B B A A \ B B

3 1.. Sılr. Mtemtiğin temel kvrmlrındn biri de sı kvrmıdır. Bu dersi ln öğrencilerin sı kvrmın bncı olmdıklrını, sılrl ilgili temel özellikleri bildiğini kbul edioruz. Şimdi, ders içinde kullncğımız gösterimleri tnıtcğız ve bu vesilele sılrl ilgili temel özelliklerden bzılrını htırlcğız. N : doğl sılr kümesi. 1,,,... Z : tm sılr kümesi...., -, -, -1, 0, 1,,, Q : rsonel sılr kümesi. ; ; 1,; 7 gibi. R : reel sılr kümesi. R\Q : irrsonel sılr kümesi., π, 5, e gibi. 1. Reel Sılrd Sırlm. Herhngi bir reel sının pozitif, negtif d sıfır olduğunu bilioruz. İki reel sı, ve verildiğinde, eğer ( ) pozitif ise, sısı den küçüktür denir ve < zılır.,, z R için < ve < z ise, < z dir. <, = ve < ten bir ve lnız biri geçerlidir. < ise, + z < + z dir. < ve 0 < z ise, z < z dir. ( < ve 0 > z ise, z > z dir. ) Bzen < erine > de zılır ve sısı den büüktür denir. < ve = ise, ( ve ) zılır Mutlk Değer. R nin mutlk değeri =,, 0 < 0 olrk tnımlnır. Örnek olrk =, =, = = 4 4 Mutlk değer ile ilgili bzı özellikleri şğıd listelioruz: Her R için 0, = 0 = 0. Her, R için =. Her, R için Her, R için.

4 1.5. Denklemler ve Eşitsizlikler. Yukrıdki ifdelerde de görüldüğü gibi, herhngi bir sıı ve dh genel olrk bir kümenin herhngi bir elemnını göstermek için,, z,... gibi hrfler ve semboller kullnırız. Bir kümenin herhngi bir elemnını göstermek için kullnıln hrf ve sembole bir değişken denir. Bu dersimizde, ksi belirtilmedikçe, değişkenler reel sılr için kullnılcktır. Derslerimizde, = + 1 ; < + 1 örneklerinde olduğu gibi değişkenler içeren denklem ve eşitsizlikler üzerinde çlışmmız gerekecektir. Bir denklem ve eşitsizliği sğln her sı o denklem ve eşitsizliğin bir çözümü denir. Örneğin, 5 sısı ukrıd verilen denklemin; sısı d ordki eşitsizliğin bir çözümüdür: 5 = ; < Bir denklem ve eşitsizliğin tüm çözümlerinin oluşturduğu kümee o denklem ve eşitsizliğin çözüm kümesi denir. Örneğin, -=+1 denkleminin çözüm kümesi {-, 5} tir. Eğer iki denklem nı çözüm kümesine shipse, o iki denkleme denk denklemler denir. Çözüm kümeleri nı oln eşitsizliklere de denk eşitsizlikler denir. Bir denklemi çözmek için ugulnn stndrt öntem şudur: Verilen denklem, kendisine denk oln öle bir dizi denklemle değiştirilir ki, bu dizideki son denklemin çözüm kümesinin ne olduğu kolc görülebilmektedir. Benzer şekilde, bir eşitsizliği çözmek için ugulnn stndrt öntem şudur: Verilen eşitsizlik, kendisine denk oln öle bir dizi eşitsizlikle değiştirilir ki, bu dizideki son eşitsizliğin çözüm kümesinin ne olduğu kolc görülebilmektedir. Örnek. -=+1 denkleminin çözümü : -= =0 (+)(-5) =0. Yukrıdki denklemler dizisindeki her denklem diğerine denktir ve son denklemin çözüm kümesinin {-, 5} olduğu çıktır. Lise bilgilerinizden, bu örnekte ele lınn türden denklemlere ikinci dereceden denklemler dendiğini nımsınız. İkinci dereceden denklemlerin genel ifdesi,, b, c R olmk üzere + b + c = 0 biçimindedir ve çözümleri şğıdki formülle elde edilir: = b m b 4c.

5 Bundn önceki örnekte verilen denklem bu formülle de çözülebilir: ( ) m ( ) 4.1.( 15) m 64 = =.1 = ve = 5. Eşitsizliklerin çözümünü dh sonr ele lcğız Sı Ekseni. Reel sılr sistemi R, ess itibrile ölçüm pmk için kullnılır. Bşk bir deişle, reel sılr sistemini, bir doğru üzerinde her nokt bir reel sı krşılık getirerek koordintlr tnımlmk için kullnırız. Şöle ki, verilen bir doğru üzerinde bir nokt(orijin, merkez) ve bir birim uzunluk işretlendiği tkdirde, doğru üzerindeki noktlr ile reel sılr sistemi rsınd bire-bir bir eşleme elde edilir sı ekseni Orijin olrk işretlenen nokt 0 (sıfır) sısın, orijinin sğın doğru bir birim uzklıktki nokt 1 (bir) sısı ile eşlenir. Üzerinde orijin ve birim uzunluk işretlenmiş doğru sı ekseni denir. Sı ekseni üzerinde bir pozitif reel sısı ile eşlenen nokt, orijinin sğın doğru orijinden birim uzklıktki nokt; bir b negtif reel sısı ile eşlenen nokt d orijinin solun doğru orijinden -b birim uzklıktki noktdır. Sı ekseni üzerinde bir noktnın eşlendiği sı o noktnın koordintı denir. Bölece, orijinin koordintı 0; orijinin sğ trfınd ve orijinden bir birim uzklıktki noktnın koordintı 1 dir. Yukrıd, sı ekseni üzerinde, koordintlrı -, -1, -1/, 1/, 5/ ve oln noktlr işretnmiştir. Ssı ekseni üzerinde koordintı oln nokt bzen noktsı d denir. Örnek olrk, 8 sı ekseni üzerinde noktsı denince şğıdki şekilde görülen nokt nlşılır

6 1.7. Arlıklr. Sı ekseni kullnılrk her reel sı kümesi sı ekseni üzerinde noktlr kümesi olrk gösterilebilir. Bunlrdn en çok krşılşcğımız küme türleri rlıklrdır. Aşğıd, rlıklrın tnımlrını ve sı ekseni üzerinde gösterilişlerini verioruz: ve b reel sılr, < b olmk üzere (, b) = { : < < b} [, b) = { : < b} (, b] = { : < b} [, b] = { : b} b b b b Bölece tnımlnn rlıklrdn ilkine çık rlık, sonuncusun kplı rlık, diğer ikisine de rıçık rlıklr denir. 7 1,1,,,,,, 4 rlıklrını Örnek. Sı ekseni üzerinde ( ) ( ] işretleelim: Reel sılr sistemi R e her reel sıdn büük olduğu kbul edilen (sonsuz) sembolü ve her reel sıdn küçük olduğu kbul edilen - (eksi sonsuz) sembolü ktılrk sonsuz rlıklr tnımlnır: (, ) = { : < < } (, ) = { : > } [, ) = { : } (, ) = { : < } (, ] = { : }

7 Reel sılr ile ilgili olrk verilen eşitsizliklerin çözüm kümesini belirlemenin stndrt öntemini dh önce belirtmiştik. Şimdi eşitsizlik çözümü için bzı örnekler vereceğiz ve bir eşitsizliğin çözüm kümesinin rlıklr cinsinden ifde edilebildiğini göreceğiz Örnek. + 1 < 0 eşitsizliğini düşünelim. + 1 < 0 < -1 < -1/. Yukrıdki eşitsizlikler dizisindeki her eşitsizlik diğerine denktir. Son eşitsizliğin çözüm kümesinin (-, -1/) rlığı olduğu çıktır ve sı ekseni üzerinde şğıdki gibi gösterilebilir Örnek. - < +1 eşitsizliğinin çözümü : - < <0 (+)(-5) <0 Yukrıdki eşitsizlikler dizisindeki her eşitsizlik diğerine denktir. Son eşitsizliğin çözüm kümesinin (-, 5) rlığı olduğu çıktır ve sı ekseni üzerinde şğıdki gibi gösterilebilir Son eşitsizliğin çözüm kümesi belirlenirken şğıdki tblodn rrlnılbilir: ( + )( -5)

8 Bzı eşitsizliklerin çözüm kümesi doğrudn doğru tblodn rrlnılrk bulunbilir. 1 Örnek eşitsizliğini düşünelim ? Tblodn, çözüm kümesinin (-1, 1] rlığı olduğu görülür ve sı ekseni üzerinde şğıdki gibi gösterilebilir: Mutlk değer eşitsizliklerile verilen kümeler çoğu zmn rlıklr krşılık gelir. Örneğin < c c < < c < c c < < + c - c c 0 - c +c

9 1.8. Krtezen Koordintlr. Sı ekseni tnımını genişleterek düzlemde ve uzd noktlr için de koordintlr tnımlbiliriz. Düzlemde noktlrın koordintlrını tnımlmk için, düzlemde birbirini orijinlerinde dik olrk kesen iki sı ekseni lmk eterlidir. Genellikle bu eksenlerden biri t diğeri de düşe olrk seçilir; t olnın -ekseni, düşe olnın -ekseni denir. Orijin O Krtezen Koordint Sistemi Düzlemde bu şekilde seçilmiş eksenlerin oluşturduğu şekle Krtezen Koordint Sistemi, eksenlerin kesim noktsın d bu sistemin orijini denir ve genellikle O hrfi ile gösterilir.. - ve - eksenleri düzlemi dört bölgee ırır. Bu bölgelerden her birine bir çerek düzlem d kdrn denir. Çerek düzlemler şekilde görüldüğü gibi numrlnırlr. II 1 I O 1 III IV Krtezen koordint sistemi kullnılrk düzlemdeki noktlr ile sırlı reel sı ikilileri rsınd bire-bir bir eşleme olduğu; ni, düzlemde her nokt bir ve lnız bir sırlı reel sı ikilisi, her sırlı reel sı ikilisine de düzlemde bir ve lnız bir nokt krşılık geldiği gösterilebilir. Sırlı reel sı ikilileri kümesinin elemnlrıdır. R {(, b) :, R} = R R = b

10 Düzlemde bir nokt krşılık gelen sırlı reel sı ikilisi şöle belirlenir: (Şekilden izleiniz) Verilen noktdn her iki eksene birer dikme indirilir. -eksenine indirilen dikmenin ğı bir sısın, -eksenine indirilen dikmenin ğı bir b sısın krşılık gelir. Verilen nokt krşılık gelen reel sı ikilisi (,b) dir. sısın o noktnın -koordintı ve psisi; b sısın d -koordintı ve ordintı denir. b (,b) (0,1 (1,1) (0,0) (1,0) Verilen bir (,b) sırlı reel sı ikilisine krşılık gelen noktı bulmk için ukrıdki işlem tersine işletilir. Dh çık bir ifdele, önce -ekseni üzerinde noktsı ve -ekseni üzerinde b noktsı bulunur ve sonr her iki noktdn it olduklrı eksene birer dikme çıkılır; bu dikmelerin kesim noktsı, psisi ve ordintı b oln noktdır. Bundn böle Krtezen koordint sistemi seçilmiş bir düzlemde bir noktı o nokt krşılık gelen sırlı reel sı ikilisi ile özdeşleeceğiz; ni (,b) noktsı denince, psisi ve ordintı b oln noktı nlcğız Üzerinde bir Krtezen koordint sistemi seçilmiş bir düzleme Krtezen düzlem denir. Bzı noktlrın Krtezen Düzlemde erleştirilişleri ndki şekilde görülmektedir. (-,) (,) (0,1) (1,1) (0,0) (1,0) (0,-1) (-,-) (,-) (,0) Düzlemde Krtezen koordint sistemi seçmek ne işe rr? Bu seçim, düzlemde noktlrı ve nokt kümelerini sısl ifdelerle belirlememize, pek çok geometri problemini cebirsel öntemlerle çözmemize ve krşıt olrk, pek çok cebirsel problemi geometrik olrk orumlmmız rdımcı olur.

11 Örneğin, düzlemde iki nokt rsındki uzklık, koordintlr rdımıl kolc hesplnbilir: d (,) d = ( ) + ( b ) b (,b) - b d = ( ) + ( b ) (0,0) - Örnek. (1,-) ve (5,1) noktlrı rsındki uzklık: d = (5 1) + (1 ( )) = = 5. İki değişkenli bir denklem; örneğin + = 1, verildiğinde, bu denklemi sğln reel sı ikililerinden her birine o denklemin bir çözümü, denklemi sğln tüm (, ) sı ikililerinin kümesine de o denklemin çözüm kümesi denir. Örneğin, (1,0), (0,1), 4 1 1,,, 5 5 her biri + = 1 denkleminin bir çözümüdür. Bir denklemin çözüm kümesi Krtezen düzlemde bir nokt kümesi olrk düşünülünce elde edilen şekle o denklemin grfiği(grfik) denir. Örnek. + = 1 denkleminin grfiği, orijinden 1 birim uzklıktki noktlrın oluşturduğu şekildir ki bun Krtezen düzlemde birim çember denir. (1,0) Her hngi bir denklem ve bğıntı verildiğinde, o denklem ve bğıntının grfiğini çizmek için izlenebilecek ollrdn biri, denklemi ve bğıntıı sğln mümkün olduğunc çok-

12 noktlr bulup o noktlrı Krtezen düzlemde işretlemektir. İşretlenen noktlr rdımıl, grfik thmin edilmeğe çlışılır. Örnek. = 9 - denkleminin grfiğini çizmek için bzı çözümler bullım ve Krtezen düzlemde işretleelim. (-1,8) (-,5) (0,9) (1,8) (,5) (-,0) (0,0) (,0) = 9 - Örnek. + < 1 in grfiği + < 1 (0,0) (1,0) + = 1

13 Problemler 1 1. A = {-1, 0, 1, } ve B = {-, -1, 0, 1} kümeleri verilior. Aşğıd... ile gösterilen erlere,, ve işretlerinden ugun olnını erleştiriniz: A, B, -... A, -... B,... A,... B {0, 1}... A, {0, 1, }... A, {0, 1, }... B, {-, }... A. Önceki problemde verilen A ve B kümeleri için şğıdkileri belirleiniz: ) A B b) A B c) A \ B d) B \ A. Aşğıd... ile gösterilen erlere <, > ve = işretlerinden ugun olnını erleştiriniz: , ,... 5,... 5, , /... 0, ,... 0, 4..., , , /... 1, ,, ,... 1,4, , π Aşğıdki ifdelerin eşitini mutlk değer gösterimi kullnmdn zınız: 1-7 =?, =?, - 7 =?, =? 1 4 =?, - - =?, -,5 =?, =?, (-) 1 =?, 0. 5 =?, -π =?, 4-1 =? 5. Aşğıdki denklemleri çözünüz: ) 5 = + 1 b) = 4 c) 9 +7 = 0 d) 5 + = 9 6. Aşğıdki sılrdn her birini sı ekseni üzerinde gösteriniz: ) 7 b) -7 c) 1 f) 1 g) 5 1 d) e) h ) 1,5 ı) 1,45 i) 4 7. Aşğıdki reel sı kümelerinden her birini sı ekseni üzerinde gösteriniz: ) { : - 1 = - } b) { : - 1 = - 1 } c) { : = 1 }

14 8. Aşğıdki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleiniz ve rlıklr cinsinden ifde ediniz: ) 4 > 5 b) 4 < 1 c) + < 5 8 d) e) - 4 f) 9 +7 < 0 g) h) > ı) < 1 i) > j) 1 + k) > Aşğıdki reel sı kümelerinden her birini sı ekseni üzerinde gösteriniz: ) { : < 7} b) { : - < 7} c) { : - < 5 } d) { : < 1 } e) { : 1 < - < } f) { : ( 1) 0} 10. Aşğıdki noktlrdn her birini Krtezen düzlemde erleştiriniz: ) (1, ) b) (0, ) c) (-1, ) d) (0, -1 1 ) e) (-1,-1) f) (1, ) g) (1,5,,5) h) (-, 1 ) 11. Aşğıdki nokt çiftleri rsındki uzklıklrı bulunuz: ) (1, ), (-, - ) b) (0, ), (1, ) c) (0, ), (-1, ) d) (1, - ), (-, - ) e) (0, 1 ), (1, ) f) (0, ), (-, ) 1. Aşğıdki denklemlerin grfiklerini çiziniz: ) = 1 b) = -4 c) = d) = - e) + = 1 f) + = 9 g) = 9 h) (-1) + (-) = 9 1. Aşğıdki eşitsizliklerin grfiklerini çiziniz: ) > 1 b) < 0 c) < 0 d) > e) + > 1