Zaman Gecikmesine Sahip Kesirli Dereceli Belirsiz Sistemler için Kontrolör Tasarımı

Transkript

1 EEB 26 Eletr-Eletro ve Blgsayar Sempozyumu, -3 Mayıs 26, Toat TÜRKİYE Zama Gecmese Sahp Kesrl Derecel Belrsz Sstemler ç Kotrolör Tasarımı Tufa Doğruer, Nusret Ta 2 Eletro ve Otomasyo Bölümü Gazosmapaşa Üverstes, Toat tufa.dogruer@gop.edu.tr 2 Eletr-Eletro Mühedslğ Bölümü İöü Üverstes, Malatya usret.ta@ou.edu.tr Özet Bu bldrde zama gecmese ve parametre belrszlğe sahp ola br esrl derecel sstem ç faz lerlemel ve faz gerlemel otrolör tasarımı gerçeleştrme amacıyla br yötem suulmuştur. Çalışmada ullaıla yötem, D. P Atherto tarafıda ullaıla las br tasarım yötemdr. Bu las tasarım yöteme zama gecmes ve parametre belrszlğ eleere yötem bu tür sstemlerde de başarılı olduğu gösterlmştr. Faz lerlemel ve faz gerlemel otrolör ç ayrı ayrı tasarım basamalarıı uygulamasıyla otrolörler elde edlmştr. Kotrolör uygulaa sstemler brm basama cevapları ve Bode dyagramları elde edlmştr. Elde edle souçlar celedğde, yötem zama gecmel parametre belrszlğe sahp esr derecel br plat ç başarılı souçlar verdğ görülmüştür. Aahtar elmeler otrolör tasarımı; esr derecel sstemler; faz lerlemel ve faz gerlemel otrolör.. Grş Kotrolör tasarımı otrol mühedslğ alaıda öeml br yere sahptr. So zamalarda esr derecel matematğ ullaımıı artmasıyla, otrol mühedslğde de esr derecel hesaplamalar büyü öem azadı. 2. yüzyılı ortalarıda tbare esr derecel sstemler ve esr derecel otrolör yapıları dam sstemlerde ullaılmaya başladı []. Bu ullaım alalarıda br taes zama gecmes ve parametre belrszlğ çere esr derecel br sstem ç otrolör tasarımı gerçeleştrmetr. Bu bldrde ullaıla otrolör çeştler faz lerlemel otrolör ve faz gerlemel otrolördür. Faz lerlemel otrolör, sstem zama cevabıda daha düşü br yüzde aşma oluşturure, yüselme ve yerleşme zamaı gb zama parametreler ısaltır. Faz lerlemel otrolör sstem azaç geçş freasıı ve bat geşlğ artırır. Bu durum se sstem yaıtıı hızlamasıı sağlar. Faz gerlemel otrolörler e öeml özellğ yüse freaslarda yeterl faz gerlemes sağlamasıdır. Bu otrolör yapısı bat geşlğ azalmasıyla yüzde aşmayı düşürür faat yüselme ve yerleşme zamalarıı uzatır. Bu durum se sstem daha yavaş yaıt vermese ede olur [2-5]. Çalışmada ullaıla otrolör yapısı delem de gbdr. C s st () st Delem de belrlemes geree α ve T parametreler her otrolör ç de farlı ola tasarım basamalarıı uygulamasıyla elde edlr. Bldrde uygulama ç ullaıla plat delem 2 de verldğ gbdr. b s b s... b s Gp s e a s a s a s m m m m... Ls Delem 2 de a (,..,) ve b (,..,m) sabt termler (,..,) ve (,..,m) esr dereceler göstermetedr. Burada, eğer a [a, a ] ve b j [b j, b j ], =,, 2,,, j =,, 2,, m şelde se parametre belrszlğ vardır der [5]. Delem 2 de verle plat ç Bode dyagramları oluşturulmuştur. Oluşturula Bode dyagramlarıda faz payı e üçü trasfer fosyoua tasarım basamalarıı uygulamasıyla, belrlemes geree α ve T parametreler elde edlr. Böylece otrolör tasarımı gerçeleştrlmş olur. Kotrol edlmemş sstem çıışları le otrolör uygulaa sstem çıışlarıı brm basama cevapları ve Bode dyagramları her br otrolör ç oluşturulmuştur. Böylece otrolör tasarımı ç ullaıla yötem başarısı elde edle souçlarda görülmüştür. (2) 63

2 EEB 26 Eletr-Eletro ve Blgsayar Sempozyumu, -3 Mayıs 26, Toat TÜRKİYE Suula bu çalışma beş bölümde oluşmatadır. Brc bölüm grş bölümüdür ve otrolörü öem le faz lerlemel/faz gerlemel otrolör yapısıda ısaca bahsedlmştr. İc bölümde zama gecmel parametre belrszlğe sahp esr derecel sstemlerde bahsedlmştr. Üçücü bölümde faz lerlemel ve faz gerlemel otrolör tasarım yötem alatılmıştır. Dördücü bölümde, üçücü bölümde suula yötem uygulamasıa yer verlmştr. Beşc bölümde souçlara yer verlmştr. 2. Zama Gecmese Sahp Belrsz Kesr Derecel Sstemler Kesr derecel hesaplamalar matematğ br alaıdır ve tamsayı olmaya türev ve tegral le lgldr [6]. Kesr derecel matematğ varlığı üç yüz yıl öcese dayamatadır. Kotrol mühedslğ alaıda uygulamaları se ell yıllı br geçmşe sahptr [7,8]. So yrm yılda, esr derecel hesaplamalar blm adamları ve mühedsler tarafıda yede eşfedlmş ve sayısı gdere arta brço alada uygulama bulmuştur [6]. Zama gecmes ve belrszl gerçe sstemlerde brço zama arşılaşıla br durumdur. Dolayı le belrszl çere zama gecmese sahp sstemler modellemes olduça öeml br oudur [9]. Buda dolayı zama gecmese ve parametre belrszlğe sahp sstem otrolü de öem arz etmetedr. Ayrıca otrol edlece ola sstem esr derecel olması daha gerçeç souçlar elde edleblmes sağlamatadır. Gerçe sstemler tamsayı derecel modeller yere esr derecel modellerle fade edeblme daha gerçe souçlar verdğ blmetedr [4]. Kesr derecel türev ve esr derecel tegral ç ullaıla öeml taım vardır. Bu taımlar Grüwald-Letov ve Rema-Louvlle şeldedr. Kesr derecel otrol sstem (KDKS) delem 3 te gb fade edleblr []. a D a D... a D b D r(t) b D r(t)... b D r(t) m m m m Rema-Louvlle esr derecel tegral ve türev Laplace döüşümler sırasıyla delem 4 ve delem 5 te verlmştr []. Delem 3 te r(t) grş syal, çıış syal, D Dt esr derecel türev, a (,..,) ve b (,..,m) sabtler, (,..,) ve (,..,m) esr dereceler göstermetedr. (3) L D f (t);s s F(s) (4) t t (t);s (s) t (t) t L D f s F s D f (5) Delem 3 ü Laplace döüşümüü elde etme ç delem 4 ve delem 3 ullaılır. Böylece delem 3 ü Laplace döüşümü delem (6) da verldğ şelde buluablr [,]. b s b s... b s b s Gs a s a s a s a s m m m m... Zama gecmes fade ede üstel fosyou Delem (6) 6 ya atılmasıyla uygulamada ullaılaca ola trasfer fosyou elde edlr. Delem 6 da a (,..,) ve b (,..,m) sabt termler, (,..,) ve (,..,m) esr dereceler göstermetedr. Bu delem de, a [a, a ] ve b j [b j, b j ] =,, 2,,, j =,, 2,, m şelde se parametre belrszlğ çermetedr [5]. 3. Faz İlerlemel ve Faz Gerlemel Kotrolör Tasarımı Faz lerlemel ve faz gerlemel otrolörler, otrol sstemler tasarımıda sılıla terch edlrler. Terch edlme sebepler başıda ayarlaması geree parametre sayısıı az olması gelmetedr. İ ya da üç parametre hesaplaıp, ayarlamasıyla başarılı souçlar verrler. Ayrıca otrol yapılarıı sade olması ve uygulama alalarıı geş olması dğer terch edlme sebeplerdedr. Faz lerlemel ve faz gerlemel otrolörler geel yapı olara brbr le bezerl göstermese rağme, sıfır ve utupları yerleşm yöüde farlıdırlar [4]. Faz lerlemel otrolör, sstem ler yol trasfer fosyoua br sıfır ve br utup eler. Buu soucuda sstem zama cevabıda daha düşü br yüzde aşma oluşur. Yüselme ve yerleşme zamaı gb zama parametreler ısalır. Ayrıca apalı çevrm sstem azaçfaz payı artar ve sstem bağıl ararlılığı düzelr. Faz lerlemel otrolör sstem azaç geçş freasıı ve bat geşlğ artırır. Bu durum se sstem yaıtıı hızlamasıı sağlar [2,4]. Faz gerlemel otrolörler e öeml özellğ yüse freaslarda yeterl faz gerlemes sağlamasıdır. Bu otrolör yapılarıda azaç geçş freası daha düşü freaslara aydırılara sstem bat geşlğ azaltılır. Bat geşlğ azalması yüzde aşmayı düşürür faat yüselme ve yerleşme zamalarıı uzatır. Bu durum se sstem daha yavaş yaıt vermese ede olur [2,4]. Bu bölümde, faz lerlemel ve faz gerlemel otrolör tasarımıa yöel br yötem ullaılmıştır. Kullaıla yötem D. P. Atherto [2] tarafıda ullaıla las br otrolör tasarım yötemdr. Bu çalışmada yötem zama gecmel ve parametre belrszlğe sahp esr derecel br ssteme uygulamıştır. 3.. Faz İlerlemel Kotrolör Tasarımı Aşağıda verle tasarım basamaları tap edlere faz lerlemel otrolör tasarımı gerçeleştrlr.. Kotrol edlece ola sstem faz payı (φ), faz payı e üçü ola trasfer fosyou terch edlere Bode dyagramı üzerde buluur. 2. Küçü br mtar güvel açısı (ε) seçlr. Güvel açısı yalaşı olara 5º-8º arasıda terch edlr. 3. Delem (7) de sstem faz payı elde edlr. Burada, φ açısı stee sstem faz payı olara alıacatır. m (7) 4. Delem (8) de α parametres hesaplaır. 64

3 EEB 26 Eletr-Eletro ve Blgsayar Sempozyumu, -3 Mayıs 26, Toat TÜRKİYE sm (8) 5. parametrese arşılı gele azaç payı delem (9) ullaılara elde edlr. Gm 2log (9) 6. Bode dyagramı üzerde azaç payıa arşılı gele freas ( ) değer ouur. 7. So adımda T parametres hesaplama ç delem () da yararlaılır. m m () T Yuarıda tasarım adımları tap edlere α ve T parametreler belrler. Belrlee α ve T parametreler delem () de yere yazılara faz lerlemel otrolör elde edlmş olur. Eğer apalı çevrm otrol sstem ç stee zama cevabı parametreler elde edlememşse, farlı br ε değer alıara adımlar terarlaır [2-4]. C s 3.2. Faz Gerlemel Kotrolör Tasarımı st () st Faz gerlemel otrolör tasarımı ç tasarım basamaları aşağıda verldğ gbdr.. Verle trasfer fosyou G(s) faz payı, faz payı e üçü trasfer fosyou terch edlere delem (2) de hesaplaır. Bu delemde φ sstem faz payıı, δ se yalaşı 4º-5º ola br güvel açısıı gösterr. δ parametres delem (3) te gb fade edlr. 8 argg j (2) ta ta (3) 2. G(s) Bode dyagramıda,. adımda hesaplaa faz payıa arşılı gele freas değer ouur. 3. Bode dyagramıda bu freas değere arşılı gele azaç payı buluur. 4. İc ve üçücü adımda bulua faz payı ve azaç payı değerler delem (4) ve (5) te yere yazılara α ve T değerler hesaplamış olur. T (4) 2log Kazaç db G j (5) 5. Böylece faz gerlemel otrolör tasarlamış olur. Eğer stee çıış değerler elde edlememşse, farlı br δ değer alıara adımlar terarlaır [2-4]. 4. Yötem Uygulaması Öre: Aşağıda verle zama gecmese sahp esrl derecel belrsz parametrel br sstem öre olara alalım. Bu uygulamaı amacı, gerçe sstemlerde sıça arşılaşıla zama gecmel ve parametreler bell br aralıta değşe br esr derecel sstem ç faz lerlemel ve faz gerlemel otrolör tasarımı gerçeleştrmetr. 2.4s 2 as 2.2. G s p a s e (6) Burada a [.8,.2] ve a [.8, 2.2] şelde verlmştr. Bu trasfer fosyouda 2 belrsz parametre vardır. Burada her parametre belrszlğe sahp atsayı ç alt lmt, üst lmt ve orta değer olma üzere 3 değer alımıştır. Dolayısıyla trasfer fosyou G p (s) ç 3 2 = 9 öşe polomu vardır. Farlı öşe polomları ç elde edle Bode dyagramı şel de görüldüğü gbdr. ga(db) Bode dagram Şel. Zama gecmes ve parametre belrszlğe sahp esr derecel trasfer fosyouu Bode dyagramı Yapıla uygulama ç faz payı e az ola trasfer fosyou seçlmştr. Seçle trasfer fosyou delem 7 de verlmştr. Üçücü bölümde verle tasarım adımlarıı seçle trasfer fosyoua uygulamasıyla α parametres.23 ve T parametres.38 olara hesaplamıştır. Uygulama ç faz payı (φ) 4 ve güvel açısı 7.4 olara seçlmştr. Faz lerlemel otrolör delem 8 de gb tasarlamıştır. 2.4s Gp s e (7) s.8s.38s Gc s (8).32s Elde edle faz lerlemel otrolör delem 7 ye uyguladığı zama şel 2 de brm basama cevabı elde 65

4 EEB 26 Eletr-Eletro ve Blgsayar Sempozyumu, -3 Mayıs 26, Toat TÜRKİYE edlr. Şel 2 celedğde otrolörlü sstem yüzde aşma değer düştüğü görülmetedr. Ayrıca otrolörlü sstem yerleşme zamaı ve yüselme zamaı gb parametreler ısaldığı dat çemetedr..8 Brm basama cevabı ga(db) 5 Bode dagram Plat Faz lerlemel sstem Şel 2. Kotrol edlmemş sstem çıışı le Faz lerlemel otrolörle otrol edlmş sstem çıışıı brm basama cevapları Faz gerlemel otrolör tasarımı ç tasarım basamaları tap edlere α parametres 2.63 ve T parametres 2.3 olara hesaplaır. Burada delem (7) de trasfer fosyou ullaılır. Faz gerlemel otrolör tasarımı ç sstem faz payı (φ) 4 ve güvel açısıa de gele δ parametres 4 olara seçlmştr. Faz gerlemel otrolör delem (9) da gb elde edlr. G c s Kotrol edlmemş sstem Faz lerlemel otrolörle otrol edlmş sstem 2.3s (9) 56.2s Elde edle faz gerlemel otrolör ssteme uyguladığı zama şel 3 de brm basama cevabı oluşur. Şel 3 celedğde otrolörlü sstem yüzde aşmasıı yalaşı %25 lerde olduğu görülmetedr. Ayrıca faz gerlemel otrolörlü sstem zama parametreler uzadığı görülmetedr Şel 4. Kotrol edlmemş sstem çıışı le faz lerlemel otrolör uygulamış sstem çıışıı Bode dyagramı Şel 4 te faz lerlemel otrolör uygulaa ve otrolör uygulamaya sstem açı çevrm trasfer fosyolarıı Bode dyagramları görülmetedr. Şel 4 oluşturulure Delem 7 de sstem ve Delem 8 de otrolör ullaılmıştır. Şelde görüldüğü gb sstem azaç geçş freası.94 rad/s de.5 rad/s freasıa aymıştır. Bezer şelde faz geçş freası.33 rad/s de 2.26 rad/s freasıa artmıştır. Kazaç payı ayı alıre, faz payı yalaşı 3 artmıştır. Şel 5 te faz gerlemel otrolör uygulaa sstem ve otrolör uygulamaya sstem Bode dyagramları görülmetedr. Şel 5 elde edlre Delem 7 de sstem ve Delem 9 da otrolör ullaılmıştır. Şel 5 celedğde otrolör uygulamaya sstem azaç geçş freası.94 rad/s e, faz gerlemel otrolör uygulaa sstem azaç geçş freası.47 rad/s freasıa aymıştır. Faz geçş freasıı ayı aldığı görülmetedr. Kazaç payıda yalaşı 8.5 db artış olduğu görülmetedr. Faz payıda yalaşı 4º değşme görülmüştür..5 Brm basama cevabı ga(db) 5 Bode dagram Plat Faz gerlemel sstem Kotrol edlmemş sstem Faz gerlemel otrolörle otrol edlmş sstem 2 3 Şel 3. Kotrol edlmemş sstem çıışı le Faz gerlemel otrolörle otrol edlmş sstem çıışıı brm basama cevapları Şel 5. Kotrol edlmemş sstem çıışı le faz gerlemel otrolör uygulamış sstem çıışıı Bode dyagramı 66

5 EEB 26 Eletr-Eletro ve Blgsayar Sempozyumu, -3 Mayıs 26, Toat TÜRKİYE Şel 6. Trasfer fosyolarıa faz lerlemel otrolör uyguladığıda oluşa brm basama cevapları Şel 6 ve şel 7 sırasıyla faz lerlemel ve faz gerlemel otrolörlerle otrol edle sstemler brm basama cevaplarıı göstermetedr. E üçü faz payıa sahp trasfer fosyou ç tasarlaa otrolörler dğer trasfer fosyolarıı da otrol ettğ şel 6 ve şel 7 de görülmetedr Şel 7. Kotrol edlmemş sstem çıışı le faz gerlemel otrolör uygulamış sstem çıışıı Bode dyagramı Yötem uygulamasıda yer ala Bode dyagramları ve brm basama cevaplarıı göstere şeller FOTF Matlab Toolbox ullaılara elde edlmştr [4,5]. 5. Souçlar Bu çalışmada esrl derecel zama gecmese ve parametre belrszlğe sahp sstemler ç faz lerlemel ve faz gerlemel otrolör tasarımı gerçeleştrlmştr. Çalışmada ullaıla yötem, D. P. Atherto [2] tarafıda ullaıla br tasarım yötemdr. Bu yötem zama gecmel ve parametre belrszlğ çere esr derecel br ssteme uygulamış ve başarılı souçlar elde edlmştr. Zama gecmel ve parametre belrszlğe sahp KDKS ler ç tasarım basamalarıı uygulamasıyla faz lerlemel ve faz gerlemel otrolörü blmeye parametres α ve T parametreler belrlemştr. Faz lerlemel otrolör le otrol edle sstem brm basama cevabıda yüzde aşma değer stele değere geldğ, zama parametreler ısaldığı ve sstem cevap yaıtıı hızladığı görülmüştür. Ayrıca faz lerlemel otrolör le otrol edle sstem Bode dyagramlarıda azaç geçş freasıı ve bat geşlğ arttığı görülmüştür. Bu durum se sstem yaıtıı hızlamasıı sağlar. Faz gerlemel otrolör sstem azaç geçş freasıı düşürere sstem bat geşlğ azaltmıştır. Bat geşlğ azalması yüselme ve yerleşme süreler uzatmıştır. Bu durumu se sstem yaıtıı yavaşlamasıa ede olduğu görülmüştür. Kotrol sstemler e temel oularıda brs ola otrolör tasarımıı br uygulaması ola bu çalışmaı zama gecmel ve parametre belrszlğe sahp KDKS ç başarılı br şelde uyguladığı görülmüştür. Kayalar [] A. Tust, J. T. Allaso, J. M Layto ve J. Jaeways, The Desg of Systems for Automatc Cotrol of the Posto Massve Cotrol, 958. [2] K. Ogata, Moder Cotrol Egeerg, Uversty of Mesota, 22. [3] B. C. Kuo, Otomat Kotrol Sstemler, [4] M.M. Özyet, Kesrl Derecel Kotrol Sstemler Dayaılı Aalz ve Tasarımı, Dotora Tez, İöü Üverstes Fe Blmler Esttüsü, Malatya, 23. [5] C. Yeroğlu, Kesr Derecel Kotrol Sstemler Freas Cevaplarıı Hesaplaması ve Tasarımı, Dotora Tez, İöü Üverstes Fe Blmler Esttüsü, 2. [6] M. R. Faegh ve A. Nemat, O Fractoal Order PID Desg, Islamc Azad Uversty, Ira. [7] I. Petras, The Fractoal-Order Cotrollers: Methods for ther Sythess ad Applcato, J. Of Elect. Eg., s: , 999. [8] R. Matusu, Applcato of Fractoal Order Calculus to Cotrol Theory, Iteratoal Joural of Mathematcal Models ad Methods Appled Sceces, Vol. 5, No: 7, s:62-69, 2. [9] Y. Sarı ve A. F. Boz, Gecme Zamalı İc Derece Sstemler Stadart Formlar Kullaılara PID-PD le Otomat Ayarı, 5. Uluslararası İler Teolojler Sempozyumu (İATS 9), Karabü, 29. [] I. Podluby, Fractoal Order Systems ad PID Cotrollers, IEEE Trasacto o Automatc Cotrol, 999. [] C. Zhao, D. Xue ad Y. Che, A Fractoal Order PI λ D μ Tug Algorthm for A Class of Fractoal Order Plats, Iteratoal Coferece o Mechatrocs ad Automato, Caada, 25. [2] D. P. Atherto, Cotrol Egeerg, Brghto, 29. [3] D. P. Atherto, Cotrol Egeerg Problems wth Solutos, Brghto, 23. [4] D. Xue, Y. Che ad D. P. Atherto, Lear Feedbac Cotrol Aalyss ad Desg wth MATLAB, Phladelpha, 27. [5] Y. Che, I. Petr aˇs ad D. Xue, Fractoal Order Cotrol - A Tutoral, USA,