MAT 102 DERS NOTLARI

Transkript

1 MAT DERS NOTLAR Halit KARABULUT b z b/c b - c c b - c - c

2 İÇİNDEKİLER BÖLÜM... TÜREV VE UYGULAMALAR... Bir Değişkenin Limiti... Bir f() Fonksionunun Limiti... Türevin Tanımı... Üssü Pozitif Tam Sa Olan Kuvvet Fonksionlarının Türevi... 5 Üstel Fonksionların Türevi... 7 Trigonometrik Fonksionların Türevleri... Logaritmik Fonksionların Türevleri... Ters Trigonometrik Fonksionların Türevleri... 5 Üssü Herhangi Bir Saı Olan Kuvvet Fonksionlarının Türevleri... 6 Fonksion Fonksionunun Türevi... 7 Çarpım Fonksionların Türevi... 8 Bölüm Halindeki Fonksionların Türevi... 9 Değişken Dönüşümü Yaparak Türev Alma... Kapalı Fonksionların Türevi... Yüksek Mertebeden Türevler... 4 Tek Değişkenli Fonksionlarda Türevin Ugulamaları... 5 Talor Serisinde Kesme Hatası... 8 Çok Değişkenli Fonksionlar Ve Kısmi Türevleri Çok Değişkenli Fonksionların Yüksek Mertebeli Kısmi Türevleri Çok Değişkenli Fonksionların Talor Açınımı... 5 Çok Değişkenli Fonksionların Diferansieli... 5 Kapalı Fonksionlar İçin Türev Formülü Çok Değişkenli Fonksionların Herhangi Bir Doğrultudaki Türev Eğrilik Ve Eğrilik Yarıçapı Örnek Problemler... 6 BÖLÜM BİR BAĞMSZ DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARN İNTEGRALLERİ VE UYGULAMALAR Temel İntegral Formülleri Değişken Dönüşümü İle Çözüm Parça-Parça İntegral (Perpart) Rasonel Fonksionların İntegrali... 9 Trigonometrik İntegraller... Trigonometrik Dönüşüm Gerektiren İntegraller... 5 Sınırlı İntegral... 5 Sınırlı İntegralin Ugulamaları... 6 Örnek Problemler... 5 BÖLÜM... 7 FOURER SERİSİ... 7 Periodu Olan Fonksionların Fourier Serisine Açınımı... 7 Periodu den Farklı Olan Fonksionların Fourier Serisine Açınımı... 8 BÖLÜM İKİ DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARN İNTEGRALİ Sınırları Sabit Saılarla Tanımlanabilen Bir Düzgün Bölge Üzerinde İntegral... 94

3 Sınırları Fonksionlarla Tanımlanabilen Bir Bölgede Üzerinde İntegral Katlı İntegrallerde Koordinat Dönüşümü İki Katlı İntegral Örnekleri... 4

4 BÖLÜM TÜREV VE UYGULAMALAR Bir Değişkenin Limiti Ardı sıra,,..n gibi değerler alan bir değişkenin aldığı değerler n sonsuza giderken sonlu bir a saısına a olacak şekilde aklaşıorsa n o zaman in limiti a olur. Buradaki istenildiği kadar küçük seçilebilen bir kriterdir. Bir örnek olarak.,.9,.99,.999,. n dizisinin limiti nin olduğunu söleebiliriz. İkinci bir örnek olarak!,!, n! dizisinin limitini ele alalım. Yukarıda verilen tanımlamaa göre. ada n! azılabilir. n i arttırmak sureti ile istenildiği kadar küçük bir elde n! edilebildiği için verilen dizinin limiti sıfırdır. Bir f() Fonksionunun Limiti Bir değişkeni bir a limitine soldan ve sağdan aklaşırken f () te bir b limitine alttan ve üsten aklaşırsa f () in limiti b olur. Bazı hallerde f () fonksionu a noktasında belirli olmaa bilir. Bu durum f () in limitinin b olmadığı anlamına gelmez. Bir örnek olarak f() 4.

5 noktasında tarifli değildir. için limitinin 4 Fonksionu olduğu aşağıdaki tablodan anlaşılmaktadır. f() Aşağıdaki şekilden in e sağdan f () in 4 görülmektedir. f() e üsten aklaştığı Bir fonksionun herhangi bir belirsiz noktada sürekli olup olmadığını belirlemek için değişkenini verilen noktaa sağdan ve soldan aklaştırarak f () in anı limite aklaşıp aklaşmadığına bakmak gerekir. Eşitlik de verilen fonksionda değişkeni e soldan aklaştırılırsa ine f () in limitinin 4 olduğu görülür. Bu durumda Eşitlik de verilen fonksionun de sürekli olduğu görülmektedir. Buraa kadar olan kısımda saısal olarak aptığımız limit belirleme işlemini ada cebirsel olarak apmak için verilen fonksionda erine azmak eterli olur. Eğer erine sağdan limit, erine azarak işlem apılırsa azarak işlem apılırsa soldan limit elde edilir. Eşitlik de verilen fonksionun sağdan limiti

6 lim f( ) 4 4 lim f( ) f( ) f( ) olur. Türevin Tanımı Bağımlı değişkenin değişiminin bağımsız değişkenin değişimine oranı türev olarak ifade edilmektedir. Matematik dili ile türev () () lim lim 6 şeklinde ifade edilir. Eşitlik 6 da ortaa çıkar. Fakat ve erine sıfır azılırsa bir belirsizlik sıfıra aklaştırılırken oranının değerleri hesaplanırsa bu oranın limitinin belirli bir değere aklaştığı görülür. Bir örnek olarak 7 deki türevini saısal öntemle belirleelim. için ( ). olur. Eğer. olarak seçilirse fonksionunun ( ). 8

7 olup,.... olarak belirlenir.. seçilirse. 9 olur.. seçilirse. olur. Aşağıdaki tabloda Sonuç olarak e bağlı olarak aldığı değerler görülmektedir. lim. olduğu anlaşılmaktadır. Bu durumda verilen fonksionun deki türevinin. olduğu anlaşılmaktadır. İkinci bir örnek olarak hareket denklemi (ol-zaman ilişkisi) l t t olan bir cismin t için hızının ne olduğunu inceleelim. Bu cismin aldığı ol zamanla lineer değişmediğine göre hız değişkendir. Sürekli değişmekte olan hızın t deki değerini belirlemek için t gibi küçük bir zaman dilimi 4

8 içerisinde aldığı olun t e bölünmesi oluna gidilebilir. Cismin t süresi içerisinde aldığı ol l tl şeklinde hesaplanabilir. Aşağıdaki tabloda farklı l t değerleri ve bunlara karşılık gelen hızlar görülmektedir. t ler için hesaplanmış l t l t l t t Sonuç olarak lim l t l t t 4 olduğu görülmektedir. Bu inceleme bize olun zamana göre türevinin hız olduğunu da göstermektedir. Üssü Pozitif Tam Sa Olan Kuvvet Fonksionlarının Türevi Üssü tam saı olan fonksionlar genel olarak n C şeklinde ifade edilebilirler. Eşitlik de bulunan C ve n sabit saılardır. n için verilen eşitlik C 4 olur. Eşitlik 6 ile verilen tanımdan fadalanarak son eşitliğin türevinin lim C C 5 5

9 olduğu görülür. n olursa Eşitlik C 6 olur. Eşitlik 6 kullanılarak lim C C C 7 elde edilir. n olursa Eşitlik C 8 olur. Eşitlik 6 kullanılarak lim C C Clim 9 Clim Clim C elde edilir. n olursa Eşitlik C olur. Yine Eşitlik 6 a göre türev C C lim C C lim Clim Clim C 6

10 olur. Bu sonuçlardan fadalanarak üssü pozitif tam saı olan kuvvet fonksionlarının genel türev formülü elde edilebilir. n,,, için elde edilen türev formülleri tablo olara düzenlendiğinde n C C C olur. Bu tablodan ararlanarak C n fonksionunun türevinin n Cn olduğu görülmektedir. Son formülü elde etmek için kullanılan önteme matematikte tüme varım denmektedir. Üstel Fonksionların Türevi En çok kullanılan üstel fonksion Ce 4 şeklinde olanıdır. Eşitlik 6 a göre son eşitliğin türevi lim Ce Ce 5 Ce Ce Ce e Ce lim lim 6 e e limce Ce lim 7 şeklinde azılabilir. Limit belirleme işleminin kola apılabilmesi için 7

11 e 8 m şeklinde bir dönüşüm apılırsa, e 9 m lne ln m lne ln m ln m e mln ln m m m elde edilir. için Eşitlik 8 in sol tarafı sıfıra aklaşacaktır. Sağ tarafının da sıfıra aklaşması için m olması gerekir. Buna göre e lim lim m ln m olur. Eşitlik 7 Ce lim m ln m m m 4 5 8

12 şeklinde düzenlenir. Aşağıdaki tabloda m e bağlı olarak değerler görülmektedir. m m aldığı m m m m m için in.788 gibi bir değere aklaştığı görülmüştür. Bu m değer matematikte e harfi ile gösterilen saı olup lne olur. Üstel fonksionun Eşitlik 7 ile verilen türevi 6 Ce olacaktır. Üstel fonksionların genel olarak CA 7 şeklinde verilmesi mümkündür. Son eşitlikte Bulunan A pozitif olmak kadı ile herhangi bir değer olabilir. Türevin Eşitlik 6 ile verilen tanımı kullanılırsa son eşitliğin türevi lim CA CA lim A CA 8 Şeklinde azılabilir. 9

13 A 9 m Dönüşümü apılırsa A 4 m Elde edilir. Eşitlik 9 a göre iki tarafına A tabanlı bir logaritma işlemi ugulanırsa iken m olacaktır. Eşitlik 4 ın her log A log A A m 4 log A log A A m 4 log A elde edilir. Eşitlik 8 m 4 CA lim CA lim m m mlog A log A m m m 44 CA 45 log e A olur. Eşitlik 4 bulunan A herhangi bir saı olduğu için log e nin sıradan A bir hesap makinesi ile belirlenmesi mümkün olmaabilir. Bunun için logaritma alma işleminin e ada tabanlıa dönüştürülmesi gerekmektedir. u log e 46 A

14 Dönüşümü apılırsa ve son eşitliğin her iki tarafının A tabanına göre anti logaritması alınırsa u A log e A A 47 u A e 48 u ln A lne 49 ulna 5 u 5 ln A elde edilir. Bu durumda eşitlik 45 5 lna CA olur. Trigonometrik Fonksionların Türevleri Çok saıda trigonometrik fonksion mevcut olmakla birlikte bunlardan alnız iki tanesi temel fonksion olup burada alnız bunların türev formülleri elde edilecektir. Bunlar sin ve cos fonksionlarıdır. Eşitlik 6 a göre Csin 5 fonksionunun türevi lim Csin Csin 54 şeklinde tanımlanabilir. Yarım açı formülü kullanarak sin açınımı apılır ve Eşitlik 54 e azılırsa in lim C sin cos cos sin Csin 54

15 lim Csin cos Ccos sin Csin 55 Ccos sin Csin cos Csin lim lim 56 lim sin lim cos Ccos Csin 57 elde edilir. Aşağıdaki tabloda açısının gittikçe küçülen değerlerine karşı sin ve cos kesirlerinin aldığı değerler görülmektedir. sin cos sin cos Tablodan lim in eşit olduğu, lim görülmektedir. Bu durumda 57 numaralı eşitlikten in a eşit olduğu elde edilir. Ccos 58 Eşitlik 6 ile verilen tarife göre Ccos 59 fonksionunun türevi Ccos Ccos lim 6 şeklinde azılabilir. Yarım açı formülü kullanılarak Eşitlik 6 dan

16 C cos cossin sin Ccos lim 6 Csin sin Ccos cosccos lim lim 6 sin cos Csin lim Ccos lim 6 elde edilir. Csin 64 Logaritmik Fonksionların Türevleri Bazı fonksionların türevi türevin tanımından ola çıkılarak belirlenememektedir. Bu tür fonksionların türevi ancak tersinin türevinden istifade ederek belirlenebilmektedir. Logaritmik fonksionlar bu guruba girmektedir. Şimdie kadar f şeklinde verilen fonksionların türevlerini ile gösterdik ve lim olduğunu bilioruz. Ters fonksionların türevi belirlenirken kolalık olması için lim erine d d kesri kullanılmaktadır. Bu kesirde d ile in değişimi d ile nin değişimi ifade edilmektedir. d d kesri ile nin e göre türevi kesri ile ise in e d d göre türevi, ani; d lim lim 65 d ifade edilmektedir. En çok karşılaşılan logaritmik fonksion ln 66 şeklinde olandır. Verilen eşitlik

17 e 67 şeklinde düzenlenebilir. Eşitlik 65 kullanılarak d e d 68 belirlenir. Eşitlik 67 e göre e erine azılabilir. Bu durumda Eşitlik 68 d d 69 olacaktır. Son eşitlik taraf tarafa ters çevrilirse ln in türevi d d olarak belirlenir. 7 A tabanlı bir logaritmik fonksion log A 7 verilsin. Bunun ters fonksionu A 7 olur. Eşitlik 65 e göre d ln A A d 7 olacaktır. Son eşitlik ters çevrilirse d d ln A A 74 4

18 d d elde edilir. ln A 75 Ters Trigonometrik Fonksionların Türevleri Ters trigonometrik fonksionların türevleri de logaritmik fonksionlar gibi ters fonksionu ardımı ile belirlenir. arcsin 76 verilsin. Bunun tersi sin 77 olur. Eşitlik 65 kullanılarak d cos d 78 elde edilir. Son eşitliğin taraf tarafa ters çevrilmesi ile d d cos 79 d d sin 8 d d 8 elde edilir. arccos 8 5

19 verilsin. Bunun tersi cos 8 olur. Yine Eşitlik 65 kullanılarak d d sin 84 elde edilir. Son eşitliği taraf tafra ters çevirerek d d sin 85 d d cos 86 d d 87 elde edilir. Üssü Herhangi Bir Saı Olan Kuvvet Fonksionlarının Türevleri ile herhangi bir saı gösterilmek kadı ile C 88 verilsin. Taraf tafra e tabanlı logaritma ugulanırsa eşitlik ln lnc ln 89 şekline dönüşür. Şimdi z ln 9 6

20 z ln C ln 9 tanımlamalarını apalım. Eşitlik 9 e göre, Eşitlik 9 de e göre türetilerek dz d dz d 9 9 ifadeleri elde edilir. Arıca d d d dz 94 dz d şeklinde azılabilir. Son üç eşitlikten d d d d C elde edilir. Eşitlik 96 ile Eşitlik kıaslanırsa üssü herhangi bir saı olan kuvvet fonksionları ile üssü pozitif tam saı olan kuvvet fonksionların türevlerinin anı kaidee göre belirleneceği görülür. Fonksion Fonksionunun Türevi Bir değişkeni bir u değişkenine, u değişkeni de bir değişkenine bağlı ise, değişkenine fonksion fonksionu denir. f u 97 u f 98 7

21 verilsin ve d d istensin. İstenilen türev d d d du 99 du d şeklinde belirlenebilir. Bir örnek olarak u e u eşitliklerinden d d i belirleelim. d e u du du d olup Eşitlik 99 a azılırsa elde edilir. d u e 6 6e d 4 Çarpım Fonksionların Türevi İki çarpandan oluşan bir çarpım fonksionun u v 5 şeklinde verildiğini kabul edelim. Verilen eşitliğin her iki tarafının e tabalı logaritması alınırsa, 8

22 ln lnu lnv 6 olur. Eşitliğin her iki tarafını bir z değişkenine eşitleelim, z ln 7 z lnu lnv 8 Eşitlik 7 den dz d d 9 d Eşitlik 8 den dz du dv d u d v d elde edilir. Eşitlik 9 ve un sağ tarafları birbirine eşitlenirse d du dv d ud vd olur. Son eşitlikte bulunan nin erine u v azılırsa d du dv v u d d d elde edilir. Bölüm Halindeki Fonksionların Türevi Bir bölüm fonksionun u v şeklinde verildiğini kabul edelim. Eşitlik ün her iki tarafının e tabanlı logaritması alınırsa 9

23 ln lnu lnv 4 olur. Eşitlik 4 ün her iki tarafını bir z değişkenine eşitlersek z ln 5 z lnu lnv 6 olur. Eşitlik 5 ve 6 dan dz d d 7 d dz du dv 8 d u d v d elde edilir. Son iki eşitliğin sağ tarafları birbirine eşitlenirse d du dv 9 d ud vd olur. Son eşitlikte erine u v azarak d u du u dv d uv d vv d du dv v u d d d d v elde edilir. Değişken Dönüşümü Yaparak Türev Alma Türevi alınması gereken ifadeler e sin

24 ln 4 gibi karmaşık ifadeler olduğunda değişken dönüşümü apmak gerekir. Değişken dönüşümü apıldığında türev işlemi fonksion fonksionunun türevine dönüşür ve işlem kolaca tamamlanır. Bir örnek olarak Eşitlik i ele alalım. Eğer i bir u değişkeni ile gösterecek olursak Eşitlik u e 5 Şeklinde azılır. Son eşitliğin türevi d d d du 6 du d şeklinde belirlenebilir. d u e e du 7 du d 8 olup, bunlar Eşitlik 6 da erine azılırsa d e d 9 neticesi elde edilir. Bazı hallede birkaç kademeli fonksion dönüşümü apmak gerekebilir. Mesela e eşitliğini ele alalım. u v

25 Dönüşümleri apılırsa Eşitlik u e Eşitlik de u v 4 Olacaktır. Bu durumda Eşitlik un türevi d d d du dv 5 du dv d Şeklinde olacaktır. Eşitlik den d du u e e 6 Eşitlik 4 den du dv v 7 Eşitlik den dv d 8 elde edilir. Bunlar Eşitlik 5 de erine azıldığında d e d 9 neticesi elde edilir. Kapalı Fonksionların Türevi

26 d Kapalı fonksionların türevlerini alırken türev operatörünü kullanmak d gerekmektedir. Bu işlemci e göre türev alınacak anlamına gelmektedir. Bir örnek olarak 4 eşitliğine d d i ugularsak d d d 4 d olur. Sağ taraf sıfır olduğu için son eşitlik d d 4 şeklinde düzenlenebilir. d d terimlere dağıtılarak d d d 4 d d d 44 d d 45 elde edilir. Eşitlik 4 türevini önceden bildiğimiz bir fonksion olup burada d sadece d denince daha çok f( ) ada f( ) in kullanımına önelik bir ugulama aptık. Kapalı fonksion şeklinde düzenlenemeen fonksionlar akla gelmektedir. Bir örnek olarak

27 sin 5 46 e fonksionundan d d i belirleelim. Eşitliğin her iki tarafına d d ugulanırsa d d d5 e sin 47 d olur. İşlemlere devam edilerek d e d sin 48 d d d d e sin d d d d 49 d d d d d d e sin d d d d d d 5 d d d e cos d d d 5 d 5 d cos e d e cos d 5 elde edilir. Kapalı fonksionların türevinin formül olarak verilmesi de mümkün olup bu husus ileride çok değişkenli fonksionların türevinden sonra ele alınacaktır Yüksek Mertebeden Türevler İkinci mertebe türev lim şeklinde tanımlanmaktadır. Verilmiş bir fonksionun üksek mertebeden türevlerini belirlemek için ardı sıra tekrar türev almak gerekir. Söz konusu olan ikinci mertebe türev ise verilen fonksionu iki 4

28 kere türetmek gerekir. Söz konusu olan üçüncü mertebe türev ise verilen fonksionu üç kere türetmek gerekir. f şeklinde verilen bir fonksionun ikinci mertebe türevi ada gösterilir. Üçüncü mertebe türevi ada 4 d 4 d d d d ile ile gösterilir. Dördüncü mertebe V türev ada ile gösterilir. Daha üksek mertebeden türevlerde dördüncü d mertebe olduğu gibi bir gelenek ugulanır. d sembolü ile gösterilen birinci d mertebe türevlerde kesrin paı nin değişimini, padası in değişimini 4 d göstermekte idi. d, d d, d şeklinde gösterilen ikinci ve daha üksek 4 d mertebeli türevlerde ise kesrin paı hiçbir anlam ifade etmemektedir. Kesrin padası in değişiminin karesi, küpü, dördüncü kuvveti gibi değerleri göstermektedir. Bir örnek olarak fonksionunun ilk üç mertebe türevleri olur. Tek Değişkenli Fonksionlarda Türevin Ugulamaları Eğim Hesabı Bir, üçgen tasavvur edeli. Aşağıdaki şekilde böle bir üçgen görülmektedir. düzleminde dik kenarları ve eksenlerine paralel duran bir dik 5

29 B A C Şekilde görülen üçgenin AB kenarının eğimi dendiği zaman tg anlaşılması gerekir. Bu değer bilindiği üzere BC tg 58 AC şeklinde hesaplanmaktadır. Bir eğrinin herhangi bir noktasındaki eğimini tanımlamak için sözkonusu noktada eğrie bir teğet çizmek gerekir. Çizilen teğet bir dik üçgene tamamlanarak eğrinin verilen noktadaki eğimi tanımlanabilir. Aşağıdaki şekilde bir eğrinin verilen bir noktadaki eğimi görülmektedir. A Eğer ukarıdaki üçgen küçültülecek olursa aşağıdaki şekilde görülen hal oluşur. Görüldüğü üzere üçgenin hipotenüsü eğrinin küçük bir parçası ile örtüşmektedir. Üçgenin A noktası çevresinde küçültülürken açısının değeri sabit kalmakta olup 6

30 A d d d tg 59 d olur. Bu sonuç bir eğrinin herhangi bir noktadaki eğiminin o noktadaki türeve eşit olduğunu göstermektedir. Bir örnek olarak 5 6 Eğrisinin deki eğimini hesaplaalım. d 5 d 6 d tg d 6 6 olur. Artan fonksionlarda vea bir fonksionun artma bölgesinde eğim pozitif bir saı, azalma bölgesinde negatif bir saı olur. Maksimum Ve Minimum Belirleme Monoton değişen bir fonksionun hem maksimumda hemde minimumda eğimi sıfır olduğu için türevi sıfıra eşit olacaktır. Birinci türevin sıfıra eşit olduğu bir noktada ikinci türev pozitif ise söz konusu noktada bir minimum olur. Birinci türevin sıfıra eşit olduğu bir noktada ikinci türev negatif ise söz konusu noktada bir maksimum bulunur. Bir örnek olarak 7

31 sin 6 fonksionunun davranışlarını inceleelim. Aşağıdaki şekilde açısı ve uzunluğu görülmektedir. R= Verilen fonksionun türevleri cos 64 sin 65 olur. Eşitlik 64 te azarsak cos 66 olur. cos şartı ancak ve de gerçekleşir. O halde ve de bir maksimum ada minimum bulunmaktadır. Eşitlik 65 te azarsak buluruz. Bu sonuç de bir maksimum olduğunu göstermektedir. Eşitlik 65 te azarsak olur. Bu durum de bir minimum olduğunu göstermektedir. İkinci bir örnek olarak Fonksionunun davranışlarını inceleelim. Verilen fonksionun türevleri d 4 6 d 66 8

32 d 6 4 d 67 Olur. Eşitlik 66 dan Elde edilir. Eşitlik 67 de d ve azılırsa d 8 d d Elde edilir. Görülüor ki maksimum mevcuttur. de bir minimum, de bir Hospital kuralı Kesirli fonksionlarda bağımsız değişkenin bazı değerlerine karşılık kesirli fonksion belirsiz olmaktadır. Kesirli fonksion f ( ) g ( ) şeklinde verilsin. a da bir belirsizlik olduğunu kabul edelim a ( ) f g lim ( ) ( ) şeklinde bir 9

33 Maclaurin Serisi sin, cos, e, ln gibi fonksionların tablo değerlerinin belirlenebilmesi için bu fonksionların seri açınımı apılır. Maclaurin serisi n 8 n a a a a... a şeklinde bir polinomdur. Bu seride bulunan a, a, a,, a katsaıları değeri n belirlenecek olan sabitlerdir. Eşitlik 8 de azılarak a 8 Belirlenir. Eşitlik 8 türetilirse aaa 4a... na 84 n 4 n elde edilir. Son eşitlikte azılırsa a () 85 olarak belirlenir. Eşitlik 84 tekrar türetilerek 4 a a 4a... n n a 86 elde edilir. Son eşitlikte azılarak n n a 87 elde edilir. Anı şekilde devam ederek diğer sabitler a a 4 88 V 4 89 an n 9 n!

34 şeklinde elde edilir. Belirlenen sabitler 8 numaralı eşitliğe azılırsa 9!!! n! n... olur. Son eşitlikten görüldüğü üzere bir fonksionun Maclaurin serisine açılabilmesi için fonksion kendisi ve türevleri da tanımlı olmak zorundadır. Bir serinin kullanışlı olabilmesi için akınsak seri olması gerekir. Yakınsak serilerde sınırlı saıda terim kullanılarak nin değerine eterince aklaşılır. Terk edilen terimlerin değeri hiçbir surette sonsuza gitmez. Serilerin akınsaklık ve ıraksaklık analizi matematiğin bir dalıdır. Bir örnek olarak sin in açınımını apalım V 96 V 97 değerleri belirlenir. Bunlar Eşitlik 9 e azılırsa sin in açınımı 98!! 5! 5 sin... olarak elde edilir.

35 İkinci bir örnek olarak e fonksionunu Maclaurin serisine alçım. Verilen fonksionda u 99 dönüşümü apılırsa u e olur. Son eşitlik () u u...!! şeklinde bir serie açılabilir. Eşitlik de göstermektedir. Eşitlik ün türevleri d, du d i du u e u e u 4 e şeklinde olup, değerleri elde edilir. Bu durumda Eşitlik

36 u u!!... 9 şeklinde olacaktır. Son eşitlikte u dönüşümü apılırsa!! 4... elde edilir. Talor Serisi Yukarıda incelenmiş olan Maclaurin serisi aslında bu kısımda incelenecek olan Talor serisinin özel bir halidir. Talor serisi a a a a..., in aldığı bir değer da hem hemde nin türevleri tanımlı şeklinde bir polinomdan elde edilmektedir. Bu eşitlikte olup ileride anlaşılacağı üzere olmak zorundadır. Eşitlik in türevleri a a a 4 a... 4 a a 4 a... 4 a 4 a 54 a olup, Eşitlik,, ve 4 de azılarak, a 5 a 6!

37 a 7! a 8! neticeleri elde edilir. Bu sonuçlar Eşitlik e azılırsa... 9!! olur. Son eşitlikte olarak sıfır seçilirse eşitlik Maclaurin serisine dönüşür. Bu sebeple Maclaurin serisi Talor serisinin özel bir halidir. Bir örnek olarak ln fonksionunu Talor serisine açalım. Verilen fonksionun türevleri V 4 4 olur. Şimdi bir seçmek zorunluluğu bulunmaktadır. Eğer denirse, 5 6 4

38 7 8 V 9 değerleri elde edilir. Bunlar Eşitlik 9 a azılarak! 4 ln... 4! elde edilir. Tek Değişkenli Fonksionlarda Diferansiel Diferansiel değişme miktarı anlamına gelmektedir. Aşağıdaki şekilde in diferansieli ( ) ile nin diferansieli ( ) arasındaki geometrik ilişki görülmektedir. Bağımsız değişkenin artışına karşılık bağımlı değişken gerçekte kadar artmaktadır. Eğrinin noktasındaki teğetinin eğiminden ararlanarak bağımlı değişkenin değişimi aklaşık olarak hata X X+ tg d d 5

39 şeklinde hesaplanabilir. Şekilden görüldüğü üzere küçüldükçe nin değeri e aklaşmaktadır. Eşitlik e nin diferansieli denmektedir. nin diferansiel Eşitlik 9 dan da türetilebilir. Eşitlik 9 da azarsak...!! Olur. Sağdaki son terim ihmal edilerek son eşitlikten elde edilir. 4! 5! d 6 d Bir Düzleminde Eğri Uzunluğu Hesabı Bir (,) düzleminde bulunan bir eğri parçası eterice küçükse bir doğru parçasına dönüşür. Söz konusu eğri parçasının uzunluğu s 7 olur. Eşitlik 6 ı kullanarak d s d 8 d s d 9 6

40 Elde edilir. Bir eğrii muhtelif saıda parçaa aırarak parçaların uzunlukları hesaplanır ve toplam alarak eğrinin uzunluğu hesaplanır. Silindirik Koordinata Verilmiş Eğrilerin Uzunluğu Bazı eğrilerin tanımlaması silindirik koordinat sistemi kullanarak apılmaktadır. Aşağıdaki şekilde,r düzleminde verilmiş bir eğri görülmektedir. Şekilde görülen taralı dik üçgenden fadalanarak r f 4 şeklinde verilmiş bir fonksionun eğri parçasının uzunluğu r s r s r r 4 şeklinde ifade edilebilir. Yarı çapın değişimi r dr d 4 olup erine azılırsa dr s d r 4 7

41 olur. s dr d r 44 Talor Serisinde Kesme Hatası Bir f fonksionun verilmiş bir için değerini, Talor ada Maclaurin açınımını kullanarak hesaplarken, sınırlı saıda terim kullanılır. Hesaba katılmaan terimler belirli bir hataa neden olur. Aşağıdaki şekle göre için nin değeri olup, tg 45 d tg şeklinde tanımlanabilir. Burada harfi ile arasında d bir eri göstermektedir. Eşitlik 45 d d 46 şeklinde düzenlenebilir. Anı büüklük şekle göre d Er d 47 şeklinde de ifade edilebilir. Son iki eşitliğin sağ taraflarının birbirine eşitlenmesinden 8

42 Er () Er d d d d 48 elde edilir. d d türevinin değeri d d d d d d şeklinde ifade edilebilir. noktası ile arasında kalmaktadır. Son eşitlik ile belirlenen d, Eşitlik 48 e azılırsa hata d Er d d d d d d 9

43 Er d d 49a olarak belirlenir. Son eşitlikle belirlenen hata Eşitlik 47 e azılırsa d d d d 5 Elde edilir. Eşitlik 49a da bulunan d d, tekrar d d d d d d şeklinde ifade edilebilir. Bu sonuç Eşitlik 49a a azılırsa hata Er d d d d 49b olarak hesaplanır. Yine son eşitlik ile belirlenen hata Eşitlik 47 e azılırsa d d d d d d 5 4

44 Elde edilir. Anı mantıkla 4 d d d d d d 4 azılabilir. Son eşitlik 49a a azılırsa hata Er d d d d 4 d 4 d 49c Olarak belitlenir. Bu hata ine Eşitlik 47 e azılırsa d d d d d d 4 d d 4 5 olur. Şekilde de görüldüğü üzere şeklindedir. Anı işlemleri tekrarlaarak son eşitliğin terim saısı istenildiği kadar çoğaltılabilir. Son eşitlik ile Tatalor serisi kıaslanarak 4

45 4 azılabilir. Bu durumda Eşitlik 5, 5 ve 5 ile verilen nın düzeltilmiş değerleri d d d! d! d d d d d! d!!... d d d d! d d d! d 4! olur. Eşitlik 5 ile iki terimli bir Talor serisi, Eşitlik 54 ile üç terimli bir Talor serisi ve Eşitlik 55 ile dört terimli bir Talor serisi kıaslanırsa keme hatalarının sırası ile Er d d! 4

46 Er Er d d d 4 d! 4! 4 4 olduğu görülmektedir. Özet olarak sölemek gerekirse Talor serisinde hesap dışı bırakılan terimlerin sebep olduğu kesme hatası hesap dışı bırakılan terimlerin ilkinden ile hesaplanabilmektedir. Son eşitliklerden de anlaşılacağı üzere hesap hatası Talor serisinde kullanılan terim saısına bağlı olarak azalmaktadır. Hesap dışı bırakılan terimlerin ilkinde bulunan türevin değeri olarak aralığındaki maksimum değer seçilirse hatanın olabilecek azami değeri belirlenmiş olur. Bir örnek olarak sin fonksionunun 5. için değerini belirleelim. Üçüncü ve ondan sonraki terimleri hesaba katmaalım. Bu durumda seri...! olur. Son eşitlikten sin ! neticesi elde edilir. Hesaba katılmaan terimlerden ilki Er! şeklinde tanımlanır. Burada büük değeri kastedilmektedir. sin! olup hata ile in 5. aralığındaki en 4

47 olduğu için, ın maksimum değeri 5. değeri Er ! civarında olacaktır. olur. Bu durumda hatanın azami İkinci bir örnek olarak ln fonksionunun.5 için değerini Talor serisinin ilk dört terimini kullanarak hesaplaalım. Verilen fonksionun açınımı Eşitlik olarak ukarda mevcut olup ln olarak hesaplanır. Hata Er 4 V 4! şeklinde tanımlanabilir. Verilen fonksionun dördüncü mertebe türevi V! 4 olup,.5 aralığındaki en büük değeri 6 V olarak belirlenir. Hata, Er ! olarak belirlenir. Verilen fonksionun hesaplanan değeri hata ile birlikte 44

48 ln şeklinde verilebilir. Çok Değişkenli Fonksionlar Eğer bir fiziksel olada birden fazla bağımsız değişke beliriorsa söz konusu fiziksel ola çok değişkenli bir fonksionla ifade edilebilir. Aşağıdaki şekilde bir akış alanı görülmektedir. Akış alanının farklı noktalarında farklı hızlar olacağına göre akış alanındaki hız dağılımı u f, 56 v f, 57 şeklinde iki değişkenli fonksionlarla ifade edilmesi gerekir. Eğer kağıt düzlemine dik doğrultuda da bir hız bileşeni mevcut ise akış alanındaki hız dağılımı u f,, z 57 v f,, z 59 w f (,, z) 6 şeklinde üç değişkenli fonksionlarla ifade edilebilir. 45

49 Bir tepenin bir referans düzlemine göre üksekliği z f, 6 şeklinde iki değişkenli bir fonksionla ifade edilebilir. Bir gölün derinliği ine z f(, ) 6 şeklinde bir fonksionla ifade edilebilir. İki değişkenli bir fonksionu geometrik olarak göstermek mümkün olmakla birlikte üç ve daha çok değişkenli fonksionların geometrik olarak gösterilmesi mümkün değildir. İki değişkenli bir fonksionda ve eksenleri ata düzleme erleştirilir, z ekseni ukarı doğru artacak şekilde konumlandırılırsa, z nin aldığı değerler noktalarla işaretlendiği zaman işaretlerin cümlesi, düzleminin üzerinde bir üze oluşturacaktır. Bu noktalar bir küre üzei, arım karpuz kabuğu üzei vea arım bir umurta üzei gibi farklı şekiller oluşturur. Çok Değişkenli Fonksionlarda Limit ve Süreklilik Bir,, z koordinat sisteminin, düzleminde hareketli bir A(,) noktası bulunsun ve bu nokta koordinatları (a,b) olan bir noktaa aklaşsın. Bunu matematiksel olarak ( a) ( b) şeklinde ifade edebiliriz. Bu ola gerçekleşirken istenildiği kadar küçük bir saı olmak üzere f(, ) c oluorsa c saısı f (, ) nin limiti olur. Bir örnek olarak iken ( ) ( ) z 46

50 nin limitinin olduğunu gösterelim. Verilen fonksionda, değerleri kullanılırsa olduğu görülür. Önce saısal olarak limitleelim. Birinci denemede.,. kabul edelim. z.4 olur. İkinci denemede.,. kabul edelim. z.4 olur. Görülüorki ve değişkenleri e sağdan aklaşırken z nin değeri hep olmaktadır. Bu sonuç verilen fonksionun ( ) ( ) iken limitinin açık olarak olduğunu göstermektedir. Limitleme işlemini birde cebirsel olarak apalım, z lim lim lim lim olur. Görüldüğü üzere verilen noktaa hangi doğrultuda aklaşılırsa aklaşılsın z nin değeri / olmaktadır. Bu durumda verilen fonksion süreklidir. İkinci bir örnek olarak z 47

51 fonksionunun, için sürekli olup olmadığını belirleelim. Verilen fonksionda, azılırsa limitleme apılırsa z olduğu görülür., için ( )( ) ( ) z lim lim lim ( ) ( ) olur. Verilen bir fonksionun verilen bir noktada sürekli olabilmesi için söz konusu noktaa farklı önlerden aklaşıldığında hep anı değerin bulunması gerekir. Şimdi, noktasına, düzlemindeki bir n i j vektörü doğrultusunda aklaşalım. n i j vektörü üzerinde hareket eden bir cismin ve doğrultusunda aldığı ollar birbirine eşittir. Yani olur. Bu özellik son eşitlikte kullanılırsa z olarak belirlenir. Şimdide, noktasına n i j doğrultusunda aklaşalım. Bu durumda olur. Bu değer son eşitliğe azılırsa z bulunur. Görülüorki z için anı noktada farklı değerler 5 ortaa çıkmaktadır. Önceden görüldüğü üzere iki değişkenli bir fonksion bir tepenin ada bir gölün üzeini tanımlar. Bir gölün herhangi bir noktasında birden fazla derinlik olmaacağına göre verilen fonksion, noktasında sürekli değildir. Çok Değişkenli Fonksionların Kısmi Türevleri İki değişkenli fonksionlarda kısmi türev demek değişkenlerden birisine sabit muamelesi aparak diğerine göre türev almak demektir. Eğer ve eksenleri, koordinat su üzeine paralel olacak şekilde bir gölün üzeine bir sistemi erleştirilirse, göldeki su derinliği z f, 6 şeklinde iki değişkenli bir fonksionla gösterilebilir. Aşağıdaki şekilde gölün üzeine erleştirilen, koordinat sistemi görülmektedir. 48

52 eksenine paralel bir doğrultu üzerindeki derinlik değişiminin in değişimine oranı; z nin e göre kısmi türevi olarak adlandırılmakta ve z ile gösterilmektedir. Benzer şekilde, eksenine paralel bir doğrultu üzerindeki derinlik değişiminin in değişimine oranı z nin e göre kısmi türevi olarak z adlandırılmakta ve ile gösterilmektedir. Gölün derinliği z 6 ile tanımlı olsun. Derinliğin e göre kısmi türevi z olur. Görüldüğü üzere z 64 türevi alınırken sabit muamelesi görmektedir. Benzer şekilde Eşitlik 6 ün e göre kısmi türevi alınırsa z 65 olur. Çok Değişkenli Fonksionların Yüksek Mertebeli Kısmi Türevleri 49

53 Çok değişkenli fonksionların türevinin mertebesi ne olursa olsun türev alma işleminin apılışında. mertebe türeve göre bir farklılık oluşmaz. Yukarıda verilen 6 numaralı eşitliğin ve e göre ikinci mertebe türevlerini bulmak için apılacak egane iş birinci mertebe türevleri bir kere daha türetmektir. Dolaısı ile 64 ve 65 numaralı eşitliklerden z z elde edilir. İki değişkenli bir fonksion önce sonra doğrultusun da z türetilirse ile gösterilen çapraz türev elde edilir. Çapraz türetme önce z sonra e göre türetilirse Eşitlik 64 e göre türetilirse şeklinde gösterilir fakat anı sonuç elde edilir. z 68 olur. Eşitlik 65 e göre türetilirse z 69 elde edilir. Görüldüğü üzere son iki eşitliğin sağ tarafları anıdır. Daha üksek mertebeli kısmi türevlerin gösterilişi için z z, z, z, z, gibi semboller kullanılmaktadır. Türev alma metodu anı olduğu için bunlara burada örnek gereksiz görülmektedir. Çok Değişkenli Fonksionların Talor Açınımı 5

54 İki değişkenli bir fonksionun Talor açınımında kullanılacak olan katsaıları belirlemek için, z a a a b b c... 7 şeklinde bir kabul apalım. Son eşitlikte, azılırsa a z, 7 olduğu görülür. Eşitlik 7 in e göre kısmi türevi z a a c... 7, azılırsa olup, bu eşitlikte a z, 7, azarak elde edilir. Eşitlik 7 den göre türev alarak ve a z, 74 elde edilir. Eşitlik 7 den e göre türev alınırsa z b b c... 75, azılırsa olur. Son eşitlikte b z 76,, olarak belirlenir. Eşitlik 75 den e göre den türev alarak ve azarak b z, 77 5

55 elde edilir. Eşitlik 7 den e göre vea Eşitlik 75 den göre türev alarak, azarak ve c z,, elde edilir. Elde edilen sabitler 7 numaralı eşitlikte erine azılırsa iki değişkenli bir fonksionun Talor açınımı z z, z, z, z, z, z, olarak elde edilir. Son eşitliği z z z z,,!!, z z!! z,,,...!! 79 şeklinde vermek daha kullanışlı olabilir. Çok Değişkenli Fonksionların Diferansieli Eşitlik 79 u kullanarak, noktasına eterince akın bir, noktasındaki z i hesaplaalım. 5

56 z z, z,! z z,!!...!!! z z,,,, 8 olur. Son eşitlikte bulunan ikinci mertebe büüklükler ihmal edilirse z z, z, z,, z z, z, z,, 8 8 z z z 8,, olur. Kolalık açısından son eşitlik z z z 84 ada 5

57 z z z 85 şeklinde verilmektedir. Son eşitlik iki değişkenli bir fonksionun tam diferansieli olarak isimlendirilmektedir. Eğer üç değişkenli bir u f,, z fonksion varsa bunun diferansieli z z z z z z 86 olur. Bir örnek olarak z e 87 fonksionunun giderken değişimini belirleelim..,. noktasından.,.9 noktasına z e z e z e 9 z e z

58 elde edilir. Eğer doğrudan verilen fonksionu kullanarak hesap aparsak z. 95 olur. İhmal edilen terimlerin sebep olduğu hata 94 ve 95 numaralı eşitliklerin kıaslamasından görülmektedir. ve küçüldükçe fark azalacaktır. Kapalı Fonksionlar İçin Türev Formülü Kapalı fonksionlar u, C 96 şeklinde verilmektedir. Bu eşitliğin sağ tarafı bir sabit olduğuna göre u, nin diferansieli sıfır olmak zorundadır. Yani, u u u 97 son eşitlikten u d u d 98 u u d d 99 u d d u Elde edilir. Şimdi daha önceden çözmüş olduğumuz 46 numaralı eşitlikle verilmiş olan sin 5 e 55

59 Eşitliğini eniden ele alalım. u, e sin olacaktır. Bu eşitlikten u e u cos türevleri elde edilir. Bu türevler numaralı eşitliğe azılırsa d e d cos 4 Sonucu elde edilir. Görüldüğü üzere bu öntem son derece sistematik ve hızlıca sonuca götüren bir öntemdir. Çok Değişkenli Fonksionların Herhangi Bir Doğrultudaki Türev Bir, düzleminde tanımlı bir u f(, ) fonksionun fonksionu verilsin ve verilen, düzleminde herhangi bir n doğrultusundaki türevi sorulsun. Verilen fonksionun tam diferansieli dn ile bölünürse du dn du u d u d dn dn dn 5 olur. Son eşitlikte bulunan d dn ve d dn türevleri verilen doğrultunun ve eksenleri ile aptığı açıların cosinüs leri olup aşağıdaki şekilde gösterilmişledir. 56

60 d dn d Bir örnek olarak u 5 6 fonksionunun n ij 7 doğrultusundaki değişimini belirleelim. n 8 d dn 9 d dn u u 57

61 du dn neticesi elde edilir. Eğrilik Ve Eğrilik Yarıçapı, düzlemindeki bir eğrinin eğriliği, teğetinin ata eksenle aptığı açının eğri uzunluğuna göre türevi olarak ifade edilebilir. Aşağıdaki şekilde, düzleminde bunan bir eğrinin teğetinin ata eksenle aptığı açının a uzunluğu ile değişimi görülmektedir. d ds d Eğriliği ile gösterirsek d 4 ds olur. Teğetin atala aptığı açı d tg 5 d olup, e göre türetilirse 58

62 d d tg d d d d d d tg d d d d dd 6 7 d d tg 8 d d d d d d d d d d d d d d d d ds d ds d d d 9 olur. Önceden tanıtıldığı üzere a uzunluğu ds d d d şeklinde hesaplanabilir. Son eşitlikten ds d d d 4 elde edilir. Bu sonuç Eşitlik e azılırsa 59

63 d d d d ds d d d 5 d d d d 6 elde edilir. Eğriliğin tersi eğrilik arıçapı olup, d d d d 7 şeklinde ifade edilir. Örnek Problemler Örnek. n tam saı olmak kadı ile a n Verilior. Verilen fonksionunu Maclaurin serisine açınız. Çözüm Verilen fonksionun kendisinin ve türevlerinin da ki değerleri 6

64 a n na n n n n a n n n n a... n n! Olarak belirlenir. Bunlar Eşitlik 9 e azılırsa n n n n na n( n ) a n( n )( n ) a n! a...!!! n! sonucu elde edilir. Bu açınıma Binom açınımı denmektedir. n in tam saı olmadığı hallede terim saısı sonlu olmaz ancak baştan sınırlı saıda terimi dikkate alarak verilen bir için nin değeri hesaplanabilir. Örnek. n arctg Fonksionunun türevini belirleiniz Çözüm tg d sin cos d cos d d tg 6

65 Örnek. sin fonksionunun Maclaurin serisine açınımını apınız. Çözüm u dönüşümü apılırsa Örnek 4. u u!!!! z e sin fonksionunun giderken değişimini hesaplaınız. Çözüm.,. noktasından.,. noktasına 6

66 z e sin e sin z.7 z e cos sin z.879 z z z z Örnek 5. log sin e Verilior. d d i belirleiniz. Çözüm Verilen eşitlikte 6

67 u sin e Dönüşümü apılırsa verilen eşitlik log u olur. Eşitlik 75 e göre d du d ln u d du d cos e d d ln cos e sin e Örnek 6. z sin cos Verilior. Verilen fonksionun, düzleminde n i j doğrultusundaki türevini belirleiniz. Çözüm, için hem saısal hemde analitik olarak z cos cos 64

68 z sin sin d dn d dn dz cos cos sin sin dn dz cos cos sin sin dn dz dn olur. Saısal olarak hesaplamak için dz dn lim n z n n z n n Kullanılır. z, sincos z.,.. sin.. cos dn. 65

69 z n. 44. z.,.. sin.. cos dn. 44 z n. 44. z.,.. sin.. cos dn. 44 z n. 44 n dz dn Örnek 7. 66

70 Türevini belirleiniz. Çözüm Örnek 8. d d 4 tg fonksionunun Maclaurin serisine açınımını apınız. Çözüm Verilen fonksionun türevleri tg tg tg tg tg tg tg tg olup için 67

71 değerleri elde edilir. tg in açınımı tg... olarak elde edilir. Örnek 9. Aşağıdaki şekilde görülen cisim serbest bırakılarak er çekimi ivmesi ile hareket etmesi gerçekleştirilior. Cisim / pozisonuna gelincee kadar geçen zamanı belirleiniz. 5 cm Çözüm Enerji denkliğinden mgz mgz mv zz V g V g 68

72 V ds ds d d R dt d dt dt d R g dt d Rsin R g dt d dt g sin R Arıca g sin R t t t g sin R Eğer / seçersek t.787 sin t 6 t i s olarak belirlenir. 69

73 Örnek. arctg fonksionunun civarında Talor serisine açınımını apınız. d d d d () 4 Örnek. arctg Bir ( z,, ) uzaında hareket eden bir cismin er koordinatları t t z t parametrik denklemleri ile verilior. Cismin 4 t için hız vektörünü belirleiniz. 7

74 Çözüm Hız vektörü V V iv jv k şeklinde olacaktır. z V 6t V V t V V z Vz4 t 4 olur. V 4i48 j k 4 Örnek. Kütlesi kg olan bir taşıt arıçapı m olan bir virajı 6 km/h sabit hızla geçior. Santrifüj kuvvet ne kadar olur. Çözüm R 7

75 Taşıtın çizgisel hızı açısal hızı 6 V m rad/s t d dt d dt ile tanımlanabilir. Yukarıdaki şekle göre taşıtın ve doğrultusunda aldığı ollar R Rcos Rsin Taşıtın ve doğrultusunda hızları d dt d dt d Rsin dt d Rcos dt Taşıtın doğrultusunda ivmesi d d d d a Rcos Rsin dt dt dt dt a R cos d dt 7

76 Taşıtın doğrultusunda ivmesi d d d d a Rsin Rcos dt dt dt dt a d R sin dt Bileşke ivme 4 4 cos sin a a a R R R Santrifüj kuvvet olur. F ma mr N 7

77 BÖLÜM BİR BAĞMSZ DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARN İNTEGRALLERİ VE UYGULAMALAR İntegral; fonksionların bir türev işleminden önceki halini belirlemek ada diferansiel büüklerin toplamını almak için apılan bir işlemdir. Bumlardan birincisine sınırsız integral ikincisine sınırlı integral denmektedir ancak, bu iki işlem tamamen birbirinden arı işlemler de değildir. Temel İntegral Formülleri Temel integral formülleri türev alırken apılan işlemlerin tersini hatırlaarak elde edilen sınırlı saıda formülden ibarettir. Karmaşık integralleri çözmek için onları temel integrallere dönüştürme oluna gidilir. Aşağıda temel integral formülleri verilmektedir. d d verilsin ve istensin. Verilen eşitlik d şeklinde azılabilir. Değişimi sıfır olan bir büüklüğün kendisi sabit olması gerekir. Bu sebeple C olarak belirlenir. a bir sabit olmak üzere d a d 4 74

78 verilsin ve istensin. Verilen eşitlik d ad 5 şeklinde düzenlenebilir. Her iki tarafa integral ugulanırsa d d 6 a d 7 ad olarak düzenlenebilir. işareti d işaretini ok etmektedir. Sonuç a C 8 olup, burada C bir sabiti göstermekte ve integral sabiti denmektedir. Bilindiği üzere sabitlerin türevi sıfır olduğu için türev işleminden sonra terim pozisonundaki sabitlerden iz kalmamaktadır. İntegral sabitinin amacı kabolan sabitleri temsil etmektir. 9 d integralinin çözümü istensin d d d d C elde edilir. ) m d, m 75

79 integralinin çözümü istensin m d d d m 4 m C m 5 elde edilir. ) cos d 6 d sin d 7 d sin C 8 ) sin d 9 d cos d d elde edilir. cos C 4) ed d d e d e C 4 76

80 5) d 5 d arctg d 6 d arctg C 7 6) d 8 d arcsind 9 d Elde edilir. arcsin C 7) d d ln d d ln C Buraa kadar verilen integraller türevin tersini hatırlaarak azılan temel integrallerdir. Değişken Dönüşümü İle Çözüm İntegral işleminin en önemli tekniklerinden birisi değişken dönüşümüdür. Değişken dönüşümü apmanın amacı verilen integrali temel integral formüllerinden birisine dönüştürmektir. Çok farklı dönüşümler apılabilir. Bunların en basiti b şeklindeki ifadelere ugulanan dönüşümdür. m 4 b d 77

81 sinbd 5 cosbd 6 b e d 7 d b 8 9 b d b d 4 şeklindeki integrallerin çözümü için u b 4 şeklinde bir dönüşüm apılabilir. Eşitlik 4 den türev alınırsa du d 4 olur. Yukarıda verilen (4-4) eşitlikleri sırası ile m m u b u du C C m m m 4 44 sinudu cosu C cos b C 45 cosudu sinuc sin b C u u b 46 edue Ce C 78

82 du lnu lnc ln Cu ln C b u 47 du arctg uc rctg bc u 48 du arcsinuc arcsin bc u 49 şeklinde temel integrallere dönüştürülerek çözülür. Eğer, sin b d 5 cos b d 5 b e d 5 d b 5 şeklinde integraller veriliorsa dönüşüm u b 54 şeklinde apılabilir. Bu durumda d du 55 olacaktır. Verilen integrallerin çözümleri sinudu cosu C cos b C 56 cos u du sinu C sin b C 57 79

83 58 u u b edu e C e c C du lnulnc ln u b 59 Şeklinde olur. f g d 6 şeklinde verilmiş bir integralde Bunun terside mümkündür. Yani f u denirse g u denirse g d f d du du olabilir. olabilir. Böle bir durumda verilen integral temel integral formüllerinden birisi ile çözülebilecek bir şekle dönüşür. Bir örnek olarak d 6 integralini ele alalım. u denirse du d olur. verilen integralin udu 6 olduğu görülmektedir. Çözüm olur. 6 4 u C C C g ile sin g, lng fonksion gösterilsin., g e, tg g gibi bir g f d 64 Şeklinde verilen bir integralde u denirse g du f d durumda da verilen integral bir temel integral formülüne dönüşür. olabilir. Bu 8

84 Bir örnek olarak cos d 65 integralini ele alalım. u denirse du d olduğu görülmektedir. Verilen integralin çözümü olur. cos u du sinu C sin C 66 sin a, cosa, a e, ln a gibi fonksionları içeren integrallerde a u dönüşümü apılırsa du ad olur ve verilen integral temel bir integrale dönüşür. Bir örnek olarak cosd 67 integralini ele alalım. integralin çözümü u dönüşümü apılırsa d du olur. Verilen cosudu sinuc sin C 68 olur. Değişken dönüşümü çok çeşitli şekillerde apılabilmekte olup, bunların hepsini burada tanıtmak mümkün görülmemektedir. İlerde de farklı dönüşümler kullanılacaktır. Değişken Dönüştürme Örnekleri Örnek. d 69 e 8

85 Çözüm u e 7 Örnek. du e d, d du, d du e u 7 du du uu u u 7 lnuln u ln C 7 C e lne ln e ln C ln 74 e Çözüm e e d 75 u e 76 ue 77 du du d e u 78 u u u du 79 A, B 8 8

86 du du u u 8 Örnek. lnu lnu C 8 ln e ln e C 8 Çözüm cos d sin 84 u sin 85 Dönüşümü apılırsa du cos d 86 olur. Verilen integralin çözümü du u du uu sin ln C sin 89 olur. Örnek 4. 8

87 Çözüm tgd 9 sin d cos 9 u cos, du sin d 9 du lnu lnc 9 u C lncoslnc ln 94 cos Örnek 5. Çözüm 95 d u 96 du d 97 udu 98 u C C 99 Örnek 6. sin d u 84

88 du d sin udu cosuc cos C 4 Örnek 7. d d e e 5 Çözüm u e 6 du du e d, d 7 u e 8 u du u u u 9 du arctgu C arctg e C u 85

89 Parça-Parça İntegral (Perpart) Bilindiği üzere u v şeklinde verilmiş olan bir ifadenin türevi alındığında d udv vdu olacaktır. Bu ifade vdu d udv şeklinde düzenlenerek integrallenirse ada vdu udv 4 vdu uv udv 5 Formülü elde edilir. Bir örnek olarak e d 6 integralini ele alalım. v 7 du e d 8 denirse, dv u d 9 e 86

90 olur. Bunlar Eşitlik 5 e konulursa vdu e e d vdu e e C e e C Elde edilir. İkinci bir örnek olarak 4 cosd İntegralini ele alalım. v, dv d 5 du cos d, u sin 6 Bumlar Eşitlik 4 de erine azılırsa elde edilir. vdu sin sin d 7 vdu sin cos C 8 vdu sin cos C 9 sincos C Parça-Parça İntegral Örnekleri Örnek. sin e d 87

91 Çözüm du e d, u e vsin, dv cos d Örnek. e sin cos e d 4 e sin cos e d tekrar 5 vcos, dv sin 6 du e d, u e 7 e e e d sin cos sin 8 e sin e cos C 9 sin d 4 Çözüm sin sin d 4 vsin, dv cos d 4 du sin d, u cos 4 sin cos cos cos d 44 88

92 Örnek. sin cos sin d sin cos sin d sin cos C 47 ln d 48 Çözüm du d, u 49 vln, dv 5 ln d 5 ln C 5 Örnek 4. Çözüm arctg d 5 d varctg, dv 54 du d, u 55 89

93 Örnek 5. arctg d 56 ln arctg C 57 arctgd 58 Çözüm du d, u 59 varctg, dv d 6 Örnek 6. arctag d arctag d 6 6 arctag d d 6 arctag artg C 64 ed 65 Çözüm 9

94 du e d, u e 66 v, dv d 67 e ed 68 v, dv d 69 du e d, u e 7 e e ed 7 7 e e e C Rasonel Fonksionların İntegrali Bir polinomun bir başka polinoma bölümünden oluşan kesirlere rasonel fonksion denmektedir. Rasonel fonksionların üç gurupta toplanması mümkün olup bunlar; du u du u şeklide verilen ada bu şekle dönüşen kesirler şeklinde verilen ada bu şekle dönüşen kesirler basit kesirlere arılabilen kesirler. Birinci guruba örnek olarak d 4 7 Şeklindeki bir integrali ele alalım. Kesrin padasına u denecek olursa u 4 74 du d 75 9

95 olup buradan kesrin paının du olduğu görülmektedir. Bu durumda verilen integralin çözümü du lnulnc ln Cu ln C u 4 76 olur. İkinci guruba bir örnek olarak d 4 77 Ele alalım. Kesrin padası 4 ile bölünürse d olur. denirse 4 u 79 u 8 du d 8 görülür. Eşitlik 78 den du arctgu C arctg C u 8 çözümü elde edilir. 9

96 Üçüncü guruba bir örnek olarak d 8 integralini ele alalım. Verilen kesrin padası çarpanlara arılarak 84 şeklinde azılır. A B A B A B 87 AB B A 88 A B, B A 89 A, B 9 d 9 d d ln ln lnc ln ln lnc ln C 9 9 9

97 elde edilir. Basit kesirlere aırmanın ugulanabilmesi için kesrin padasındaki polinomun derecesinin paındaki polinomdan büük olması gerekir. Eğer verilen kesrin paının derecesi ile padasının derecesi eşit vea paının derecesi büükse önce bölme işlemi ile paının derecesi küçültülebilir. Rasonel Fonksionların İntegraline Örnekler Örnek. d 94 Çözüm Kesrin padası basit kesirlere aırma oluna gidilir. şeklinde çarpanlara arılmaktadır. Bu sebeple A Bc A B 97 A B 98 BC 99 A C A,B, C Verilen integralin çözümü 94

98 d d ln ln lnc C ln olarak belirlenir. Örnek. 4 d 5 Çözüm d 6 d d d d d ln d ln arctg C Örnek. 95

99 d Çözüm Verilen eşitlik 4 d 4 4 d 4 u 4 d du 5 4 u du 6 4 arctg C 7 Örnek 4. d 8 Çözüm 96

100 d 9 u u du C C u Örnek 5. d Çözüm d 4 d 5 u 6 u 7 u du du du u u u 8 ln C 9 Örnek 6. d 97

101 Çözüm d d d d ln d 4 Örnek 7. ln arctg C 5 d 6 Çözüm Verilen kesrin pa ve padası ile çarpılırsa d 7 d 8 98

102 6 d 9 ln d 6 4 ln d 6 4 A B C 4 A B 4 A BC 44 A C 45 A B C 46 A, B, C

103 6 6 d ln d 6 6 d ln ln( ) ln 6 6 d Verilen integralde erine azılırsa ln ln( ) ln 6 6 d u 54 denilerek ln ln( ) ln d 4 55

104 ln ln( ) ln du u ln ln( ) ln 6 6 du u ln ln( ) ln 6 6 arctg C Trigonometrik İntegraller Trigonometrik fonksionların integralleri değişken dönüşümü, perpart ugulaması ve arım açı dönüşümleri ile apılmaktadır. Perpart ve değişken dönüşümü ugulamaları önceki örneklerde eterince tanıtılmıştır. Yarım açı dönüşümüne örnek olarak sin cos d 59 integralini ele alalım. sin( ab) sin acosb cosasinb 6 eşitliğini kullanarak sin sin cos cossin 6 sin sin cos cos sin 6

105 sin cos sin sin 6 elde edilir. Verilen integral olur. sin sin d cos cos C 6 İkinci bir örek olarak ele alalım. olur. 64 sin5sin d 65 cos(5 ) cos5cos sin5sin 66 cos(5 ) cos5cos sin5sin 67 sin5sin cos cos7 68 cos cos 7d sin sin 7C Trigonometrik İntegrallere Örnekler Örnek. sin d 7 Çözüm Verilen integrali

106 sin sin d 7 şeklinde iki çarpana arılabilir. Perpart ugulanırsa du sin d, u cos 7 sin, sin cos 7 v dv d sin cos cos sin d 74 elde edilir. sin cos ilişkisi kullanılarak elde edilir. Örnek. 75 sin cos sin sin d sin cos sin d sin d sin cos cos sin d sin cos cos C 4 sin d 8 Çözüm sin sin d 8 perpart i ugulaalım.

107 du sin d, u cos 8 v sin, dv sin cos d 8 sin cos sin cos d 84 sin cos sin sin d sin cossin dsin d sin cos sin d sin cos sin cos C sonucu elde edilir. Örnek. cos d 89 Çözüm Verilen integral cos cos d 9 şeklinde düzenlenebilir. Perpart ugulanırsa du cos d, u sin 9 vcos, dv sin 9 sin cos sin d 9 sin cos cos d 94 4

108 elde edilir. Örnek 4. sin cos C 95 cos d 96 Çözüm Verilen integral cos cos d 97 şeklinde azılabilir. Perpart ugulaarak du cos d, u sin 98 v cos, dv cos sin d 99 sin cos sin cos d sin cos cos cos d sin cos cos d cos d sin cos sin C neticesi elde edilir. Örnek 5. 4 cos d 4 Çözüm 5

109 Verilen integral cos cos d 5 şeklinde düzenlenir. Perpart ugulanırsa du cos d, u sin 6 cos, cos sin 7 v dv d sin cos sin cos sin d 8 sin cos cos cos d 9 4 sin cos cos d cos d 4 4 sin cos cos d sin cos sin cos C Örnek 6. d sin Çözüm Pa ve padaı sin ile çarparak sin d 4 sin sin d 5 cos 6

110 elde edilir. u cos dönüşümü apılırsa çözüm du u 6 lnu lnu C 7 ln cos lncos C 8 cos ln cos C 9 olur. Örnek 7. d sin Çözüm sin cos cos d d d sin sin cos d sin cos cos d sin cos du d u sin sin, 4 v cos, dv sin d 5 7

111 cos d sin 6 cos C 7 sin Neticesine varılır. Örnek 8. d 8 sin Çözüm Verilen integral sin cos cos d d d 9 sin sin sin cos cos ln cos d cos sin cos du d, u sin sin v cos, dv sin d cos cos ln d cos sin sin cos cos ln C cos sin 4 Örnek 9. 8

112 cos d 5 sin Çözüm Verilen integral Örnek. cos cos sin d d d sin sin sin cos cos 6 cos cos d d sin sin cos cos d d C sin sin sin ln sin 7 sin d 8 cos Çözüm Örnek d d cos cos sin sin cos sin 9 sin d d cos sin 4 sin d d cos sin 4 cos C 4 cos 9

113 Çözüm sin d 4 cos sin cos d 44 cos Örnek. sin d sin cos d cos 45 lncos cos C 46 4 sin d 47 cos Çözüm sin sin d 48 cos sin cos d 49 cos sin sin d d cos cos 5 J J 5 sin sin J d sin d cos cos 5 sin du d, u 5 cos cos

114 vsin, dv cos d 54 sin cos J d 55 cos cos J sin cos cos sin 56 d J sin sin ln cos sin 57 sin cos J d d cos cos 58 J d cos d cos 59 J d cos d cos 6 cos J d cos d cos 6 cos J d cos d sin 6 sin J ln sin C sin J sin sin ln cos sin sin ln sin C sin 6 64

115 sin sin J ln sin C cos sin 65 Örnek sin cos 66 d Çözüm sin cos sin 67 d Örnek 4. sin cos sin 68 d cos cos sin 69 d 4 cos cos sin 7 d 4 7 u u du u u du u u C cos cos C cos sin d 74 Çözüm 4 cos sin sin d u u du

116 Örnek 5. Çözüm Örnek 6. Çözüm u u du u u du cos cos C sin cos d 8 sin sincos cossin 8 sin sincos cossin 8 sin cos sin5 sin 84 sin5 sin d 85 cos5 cos C 86 sinsin d 87 cos coscos sinsin 88 cos coscos sinsin 89

117 Örnek 7. sinsin cos cos5 9 cos cos5d 9 sin sin5 C 9 Çözüm sinm sinm d 9 cosm mcos m sin m 94 cos m m sin m sin m 95 sin m cosm 96 cosmd 97 sinm C 98 4m Örnek sin cos d 99 Çözüm 4 4 sin cos sin d 4 4

118 4 4 cos cos sin d cos cos cos sin d u u u du u u u du u u u C cos cos cos C Trigonometrik Dönüşüm Gerektiren İntegraller Karekök içerisinde quadratik büüklükler bulunduğu zaman verilen integral trigonometrik dönüşümle çözülebilir. Bir örnek olarak d 47 integralini ele alalım. Aşağıdaki üçgene göre + tg 48 5

119 d d tg d 49 cos cos 4 Bunlar verilen integrale azılırsa d cos d cos cos 4 Bu integralin çözümü verilmiş olup netice sin ln C sin 4 olur. nın geri dönüşümü için ukarıdaki şekle göre sin 4 Yazılması gerekir. Bu durumda çözüm ln C 44 İkinci bir örnek olarak d 45 integralini ele alalım. Aşağıdaki şekle göre 6

120 - cos 46 d sin d 47 cos 48 sin 49 cos d 4 sin cos C 4 nın geri dönüşümü için sin 4 cos 4 arcsin 44 azılabilir. Çözümüm son şekli 45 arcsin C olur. Üçüncü bir örnek olarak 7

121 46 4 d integralini ele alalım. +4 tg 47 d cos sin 48 sin 49 d 4 4 sin 4 d 4 sin cos cos 4 ln C cos sin 4 nın geri dönüşümü için cos 4 4 8