T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
|
|
- Oz Benli
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI PAINLEVЀ VE SALINIM DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN MAGNUS SERİ AÇILIMI METODU İLE NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ Tezi Hazırlayan Musa BAŞBÜK Tez Danışmanı Doç. Dr. Ayekin ERYILMAZ Maemaik Anabilim Dalı Dokora Tezi Haziran 5 NEVŞEHİR
2
3
4 TEŞEKKÜR Dokora öğrenimim ve ez çalışmam süresince üm bilgilerini benimle paylaşmakan kaçınmayan, her ürlü konuda deseğini benden esirgemeyen ve ezimde büyük emeği olan Sayın Hocalarım Doç. Dr. Ayekin ERYILMAZ ve Yrd. Doç. Dr. M. Tarık ATAY a, Maddi ve manevi deseklerini esirgemeyen değerli eşim Emine BAŞBÜK ve çok kıymeli kızlarım Zeynep ve Beül BAŞBÜK e, Deseklerinden dolayı Yrd. Doç. Dr. S. Baal Gazi KARAKOÇ a ve Cahi KÖME ve Sure KÖME ye, Teknik ve idari yardımlarından dolayı Nevşehir Hacı Bekaş Veli Üniversiesi Maemaik Bölümünün değerli hocalarına eşekkür ederim. iii
5 BAZI PAINLEVЀ VE SALINIM DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN MAGNUS SERİ AÇILIMI METODU İLE NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ (Dokora Tezi) Musa BAŞBÜK NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Haziran 5 ÖZET Bu ez çalışmasında öncelikle konunun arihsel gelişimi anlaılmışır. Daha sonra Lie grubu, Lie cebiri ve Magnus seri açılımı ve difereansiyel geomerinin emel anım ve eoremleri haırlaılmış ve maris üsel asvirinin anımı verilerek, lineer ve lineer olmayan adi diferansiyel denklemler için Magnus seri açılımı yönemi incelenmişir. Lieraürde Magnus seri açılımı yöneminin uygulanmadığı fiziksel uygulamalarda ve mühendislik uygulamalarında karşımıza çıkan lineer ve lineer olmayan salınım adi diferansiyel denklem ve denklem sisemleri ile. ve. Painlevè denklemleri ele alınmış ve bu denklemler Magnus seri açılımı yönemi ile çözülmüşür. Elde edilen çözümler varsa analiik kesin çözümlerle, yoksa Runge Kua yönemi ile elde edilen çözümlerle karşılaşırılmışır. Anahar kelimeler: Lie grubu, Lie ipi denklem, Magnus serisi, Osilasyon, Vibrasyon, Painlevè denklemleri, Van Der Pol denklemleri. Tez Danışmanları: Doç. Dr. Ayekin ERYILMAZ Sayfa sayısı: 6 iv
6 NUMERICAL SOLUTIONS OF SOME PAINLEVЀ AND OSCILLATORY DIFFERENTIAL EQUATIONS BY MEANS OF MAGNUS SERIES EXPANSION METHOD (PhD Thesis) Musa BAŞBÜK NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ UNIVERSITY GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES June 5 ABSTRACT In his hesis, firsly he hisorical progress of he subjec is considered. Then some basic definiions and main heorems of Lie group, Lie algebra, Magnus series and differenial geomery are recalled. In addiion essenial definiions and heorems of a marix exponenial mapping are given. The Magnus series expansion mehod for linear and nonlinear ordinary differenial equaions is invesigaed. A he end, firs & second Painlevè equaions and linear & nonlinear oscillaory ODEs ha occur in physical and engineering applicaions, in which Magnus series expansion hasn been applied, are considered and numerical soluions for hese equaions are obained by Magnus series expansion mehod. The resuls are compared wih exac analyical soluions and he soluions obained by Runge Kua mehod. Keywords: Lie group, Lie ype equaion, Magnus series, Oscillaion, Vibraion, Painlevè equaions, Van Der Pol equaions. Thesis Supervisors: Assoc. Prof. Dr. Ayekin ERYILMAZ Pages: 6 v
7 İÇİNDEKİLER TEZ KABUL ve ONAY SAYFASI... i TEZ BİLDİRİM SAYFASI... ii TEŞEKKÜR... iii ÖZET... iv ABSTRACT... v İÇİNDEKİLER... vi TABLOLAR LİSTESİ... viii ŞEKİLLER LİSTESİ... xii SİMGELER ve KISALTMALAR LİSTESİ... xiv. BÖLÜM GİRİŞ.... BÖLÜM ÖN BİLGİLER BÖLÜM MAGNUS SERİ AÇILIMI METODU Giriş Magnus Seri Açılımı Picard İerasyonu Lineer Denklemler için Magnus Seri Açılımı Meodu Gauss Tümlevi (Gaussian Quadraure) Tek inegraller için Gauss ümlevi Kalı inegraller için Gauss ümlevi (Mulivariae Gaussian Quadraure) Lineer Olmayan Diferansiyel Denklemler için Magnus Seri Açılımı Meodu İkinci Merebe Lineer Olmayan Magnus Seri Açılımı Meodu NMG Üçüncü Merebe Lineer Olmayan Magnus Seri Açılımı Meodu NMG Dördüncü Merebe Lineer Olmayan Magnus Seri Açılımı Meodu NMG Homojen Olmayan Denklemler BÖLÜM MAGNUS SERİ AÇILIMI METODUNUN UYGULAMALARI Yay üzerindeki bir cismin ireşimi Yay üzerindeki bir cisme eki eden kuvveler vi
8 4... F Yerçekimi Kuvvei F Yayı Geri Geiren Kuvve F 3 Sönüm Kuvvei F 4 Harici Kuvveler Yay üzerindeki bir cismin harekei Serbes sönümsüz hareke Serbes sönümlü hareke Zorlanmış hareke Van Der Pol Denklemleri DOF Bağlanılı (Coupled) Van Der Pol Denklem Sisemi DOF Bağlanılı Van Der Pol Denklem Sisemi DOF Bağlanılı Van Der Pol Duffing Denklem Sisemi DOF Bağlanılı Van Der Pol Denklem Sisemi Zorlanmış (Forced) Van Der Pol Denklemi Painlevè Denklemleri P birinci Painlevè denklemi P ikinci Painlevè denklemi BÖLÜM SONUÇLAR VE ÖNERİLER Sonuçlar Öneriler KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ... 9 vii
9 TABLOLAR LİSTESİ Tablo 4.. (4.3) denkleminin MG4 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x( ) için çözümü ile kesin analiik çözümünün karşılaşırılması Tablo 4.. (4.3) denkleminin RK4 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x( ) için çözümü ile kesin analiik çözümünün karşılaşırılması Tablo 4.3. (4.3) denkleminin MG4 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x ( ) için çözümü ile kesin analiik çözümünün karşılaşırılması Tablo 4.4. (4.3) denkleminin RK4 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x ( ) için çözümü ile kesin analiik çözümünün karşılaşırılması Tablo 4.5. (4.3) denkleminin MG6 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x( ) için çözümü ile kesin analiik çözümünün karşılaşırılması Tablo 4.6. (4.3) denkleminin RK6 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x( ) için çözümü ile kesin analiik çözümünün karşılaşırılması Tablo 4.7. (4.3) denkleminin MG6 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x ( ) için çözümü ile kesin analiik çözümünün karşılaşırılması Tablo 4.8. (4.3) denkleminin RK6 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x ( ) için çözümü ile kesin analiik çözümünün karşılaşırılması Tablo 4.9. (4.3) denkleminin MG4, MG6, RK4 ve RK6 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x( ) için çözümlerinin mulak haaları... 5 Tablo 4.. (4.3) denkleminin MG4, MG6, RK4 ve RK6 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x ( ) için çözümlerinin mulak haaları... 5 Tablo 4.. (4.34) denkleminin MG4 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x( ) için çözümü ile kesin analiik çözümünün karşılaşırılması Tablo 4.. (4.34) denkleminin RK4 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x( ) için çözümü ile kesin analiik çözümünün karşılaşırılması Tablo 4.3. (4.34) denkleminin MG4 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x ( ) için çözümü ile kesin analiik çözümünün karşılaşırılması Tablo 4.4. (4.34) denkleminin RK4 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x ( ) için çözümü ile kesin analiik çözümünün karşılaşırılması viii
10 Tablo 4.5. (4.34) denkleminin MG6 ile h adım aralığı ve (,) aralığında x( ) için çözümü ile kesin analiik çözümünün karşılaşırılması Tablo 4.6. (4.34) denkleminin RK6 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x( ) için çözümü ile kesin analiik çözümünün karşılaşırılması Tablo 4.7. (4.34) denkleminin MG6 ile h adım aralığı ve (,) aralığında x ( ) için çözümü ile kesin analiik çözümünün karşılaşırılması Tablo 4.8. (4.34) denkleminin RK6 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x ( ) için çözümü ile kesin analiik çözümünün karşılaşırılması Tablo 4.9. (4.34) denkleminin MG4, MG6, RK4 ve RK6 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x( ) için çözümlerinin haalarının karşılaşırılması Tablo 4.. (4.34) denkleminin MG4, MG6, RK4 ve RK6 ile h adım aralığı ve (,) zaman aralığında x ( ) için çözümlerinin haalarının karşılaşırılması Tablo 4.. (4.38) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h,, 99 /,,, değerleri ve (,) zaman aralığı için x çözümleri... 6 Tablo 4.. (4.38) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h,, 99 /,,, değerleri ve (,) zaman aralığı için x çözümleri... 6 Tablo 4.3. (4.38) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h,, 99 /,,, değerleri ve (,) zaman aralığı için x çözümleri Tablo 4.4. (4.38) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h,, 99 /,,, değerleri ve (,) zaman aralığı için x çözümleri Tablo 4.5. (4.4) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h,,, değerleri ve (,) zaman aralığı için x çözümleri Tablo 4.6. (4.4) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h,,, değerleri ve (,) zaman aralığı için x çözümleri ix
11 Tablo 4.7. (4.4) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h,,, değerleri ve (,) zaman aralığı için x çözümleri Tablo 4.8. (4.4) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h,,, değerleri ve (,) zaman aralığı için x çözümleri Tablo 4.9. (4.4) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h,,, değerleri ve (,) zaman aralığı için x 3 çözümleri Tablo 4.3. (4.4) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h,,, değerleri ve (,) zaman aralığı için x 3 çözümleri Tablo 4.3. (4.4) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h,,, değerleri ve (,) zaman aralığı için x çözümleri... 7 Tablo 4.3. (4.4) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h,,, değerleri ve (,) zaman aralığı için x çözümleri Tablo (4.4) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h,,, değerleri ve (,) zaman aralığı için x çözümleri Tablo (4.4) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h,,, değerleri ve (,) zaman aralığı için x çözümleri Tablo (4.4) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h,,, değerleri ve (,) zaman aralığı için x 3 çözümleri Tablo (4.4) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h,,, değerleri ve (,) zaman aralığı için x 3 çözümleri Tablo (4.44) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h, a.98339,.45 ve değerleri ve (,) zaman aralığı için x( ) çözümleri Tablo (4.44) denkleminin NMG4 ve RK4 ile h, a.98339,.45 ve değerleri ve (,) zaman aralığı için x ( ) çözümleri Tablo (4.53) denkleminin y( ) için h adım aralığı ve (,) zaman aralığında NMG4 ve RK4 çözümleri Tablo 4.4. (4.53) denkleminin y ( ) için h adım aralığı ve (,) zaman aralığında NMG4 ve RK4 çözümleri... 8 x
12 Tablo 4.4. (4.56) denkleminin y( ) için h adım aralığı ve (,) zaman aralığında NMG4 çözümü ve mulak haası... 8 Tablo 4.4. (4.56) denkleminin y( ) için h adım aralığı ve (,) zaman aralığında RK4 çözümü ve mulak haası... 8 Tablo (4.56) denkleminin y ( ) için h adım aralığı ve (,) zaman aralığında NMG4 çözümü ve mulak haası Tablo (4.56) denkleminin y ( ) için h adım aralığı ve (,) zaman aralığında RK4 çözümü ve mulak haası xi
13 ŞEKİLLER LİSTESİ Şekil.. manifoldu üzerindeki koordina sisemleri arasındaki bağını... 6 Şekil 4.. Yay üzerindeki cismin harekei Şekil 4.. (4.3) denkleminde x( ) için (a) MG4, (b) RK4 haa grafikleri Şekil 4.3. (4.3) denkleminde x( ) için (a) MG4, (b) RK4 ve analiik çözüm grafikleri Şekil 4.4. (4.3) denkleminde x ( ) için (a) MG4, (b) RK4 haa grafikleri Şekil 4.5. (4.3) denkleminde x ( ) için (a) MG4, (b) RK4 ve analiik çözüm grafikleri Şekil 4.6. (4.3) denkleminde x( ) için (a) MG6, (b) RK6 haa grafikleri Şekil 4.7. (4.3) denkleminde x( ) için (a) MG6, (b) RK6 ve analiik çözüm grafikleri Şekil 4.8. (4.3) denkleminde x ( ) için (a) MG6, (b) RK6 haa grafikleri Şekil 4.9. (4.3) denkleminin x ( ) için (a) MG6, (b) RK6 ve analiik çözüm grafikleri Şekil 4.. (4.3) denkleminin x( ) için (a) MG4, (b) RK4 haa grafikleri... 5 Şekil 4.. (4.3) denkleminin x( ) için (a) MG4, (b) RK4 ve analiik çözüm grafikleri... 5 Şekil 4.. (4.3) denkleminin x ( ) için (a) MG4, (b) RK4 haa grafikleri... 5 Şekil 4.3. (4.3) denkleminin x ( ) için (a) MG4, (b) RK4 ve analiik çözüm grafiği... 5 Şekil 4.4. (4.34) denkleminin x( ) için (a) MG6, (b) RK6 haa grafikleri Şekil 4.5. (4.34) denkleminin x( ) için (a) MG6, (b) RK6 ve analiik çözüm grafikleri Şekil 4.6. (4.34) denkleminin x ( ) için (a) MG6, (b) RK6 haa grafikleri Şekil 4.7. (4.34) denkleminin x ( ) için (a) MG6, (b) RK6 ve analiik çözüm grafikleri Şekil 4.8. (4.38) denkleminin (a) x ( ), (b) x ( ) çözümlerinin grafikleri... 6 Şekil 4.9. (4.38) denkleminin (a) x ( ), (b) x ( ) çözümlerinin grafikleri... 6 xii
14 Şekil 4.. (4.38) denkleminin (a) x ( ), (b) x ( ) çözümlerinin grafikleri... 6 Şekil 4.. (4.38) denkleminin (a) x ( ), (b) x ( ) çözümlerinin grafikleri... 6 Şekil 4.. (4.4) denkleminin,, için (a) x ( ), (b) x ( ) grafikleri Şekil 4.3. (4.4) denkleminin,, için (a) x ( ), (b) x ( ) grafikleri. 65 Şekil 4.4. (4.4) denkleminin,, için (a) x ( ), (b) x ( ) 3 3 grafikleri.. 65 Şekil 4.5. (4.4) denkleminin,, için (a) x ( ), (b) x ( ) grafikleri Şekil 4.6. (4.4) denkleminin,, için (a) x ( ), (b) x ( ) grafikleri. 66 Şekil 4.7. (4.4) denkleminin,, için (a) x ( ), (b) x ( ) 3 3 grafikleri.. 66 Şekil 4.8. (4.4) denkleminin,, için (a) x ( ), (b) x ( ) grafikleri.. 7 Şekil 4.9. (4.4) denkleminin,, için (a) x ( ), (b) x ( ) grafikleri. 7 Şekil 4.3. (4.4) denkleminin,, için (a) x ( ), (b) x ( ) 3 3 grafikleri.. 7 Şekil 4.3. (4.4) denkleminin,, için (a) x ( ), (b) x ( ) grafikleri.. 7 Şekil 4.3. (4.4) denkleminin,, için (a) x ( ), (b) x ( ) grafikleri. 7 Şekil (4.4) denkleminin,, için (a) x ( ), (b) x ( ) 3 3 grafikleri.. 7 Şekil (4.44) denkleminin (a) x( ), (b) x ( ) grafikleri Şekil (4.44) denkleminin (a) x( ), (b) x ( ) için NMG4 ve RK4 mulak farkı xiii
15 SİMGELER ve KISALTMALAR LİSTESİ k C : k. merebeden kısmi ürevleri var ve sürekli olan fonksiyonlar kümesi : Doğal sayılar kümesi : Reel sayılar kümesi n E : n-boyulu Öklid uzayı : Manifold : Lie grubu : Lie cebiri Ad : Adjoin göserim ad : Adjoin operaör expm : Üsel asvir dexp : Üsel asvirin diferansiyeli.,. : Lie paranez operaörü B j : Bernoulli sayıları xiv
16 . BÖLÜM GİRİŞ Mühendisliken fiziğe, isaisiken biyolojiye kadar uygulamalı bilimlerin çoğunda karşılaşılan problemlerde diferansiyel denklemler karşımıza çıkmakadır. Her zaman bu denklemlerin analiik çözümlerini bulmak mümkün olmamakadır. Bunun için birçok yarı analiik ve nümerik yönem ve meolar gelişirilmişir. Bu yönem ve meolar içerisinde nümerik yönem ve meolar diğerlerinden daha iyi sonuçlar verdiğinden daha çok ercih edilmekedir. Analiik kesin çözümlerin bulunmadığı durumlarda nümerik çözümler kesin çözümler gibi kabul edilip diğer yönemlerle elde edilen sonuçlar da nümerik çözümlerle kıyaslanır olmuşur. Diferansiyel denklem ve denklem sisemlerinde elbee en az haayla yaklaşık bir çözüm elde emek önemlidir. Faka sadece yaklaşık çözümün doğruluğu birçok fiziksel uygulamada yeerli olmamakadır. Fiziksel problemlerdeki enerjinin korunumu, momenum, açısal momenum ve simeri gibi geomerik özelliklerin korunumu problemlerin çözümünde ve analizinde önemlidir. Bunun için elde edilen nümerik çözümlerin aynı zamanda geomerik özellikleri başarılı bir şekilde koruması çok önem kazanmakadır. Geomerik inegrasyon, diferansiyel denklemlerin çözümlerinin niel özelliklerini ve geomerik özelliklerini başarılı bir şekilde koruyan nümerik inegrasyon yönemidir. Son zamanlarda sayısal çözüm yanında niel özelliklerin ve geomerik yapının korunmasını sağlayan meolar diğer sandar meolardan daha güvenilir, daha hızlı, daha hassas, daha ucuz olması yönüyle ercih edilir olmuşur. Geomerik inegrasyonda geomerik özellikler nümerik meo içerisinde korunmaka ve bu yüzden bu ür meolar sandar meolara nazaran daha yüksek performans gösermekedir. Bu meolar sıvıların yapısı, biyomoleküller, kuanum mekaniği, nano eknoloji gibi birçok alanda kullanılmakadır. Bu yeni yaklaşımla elde edilen çözüm analiik çözümle aynı geomerik yapıda yer aldığından analiik sonuca daha yakın sonuçlar vermekedir. Adi diferansiyel denklemlerin geomerik inegrasyonunda kullanılan meolardan başlıcaları Spliing, Composiion meoları ve Lie grup
17 meolarıdır. Başlıca Lie grup meoları Runge-Kua Munhe Kaas meodları (RK-MK), Magnus seri açılımı meodu ve Fer açılımı meodudur []. Lie grup meolarından biri olan Magnus seri açılımı meodu W. Magnus un 954 yılında yapmış olduğu On he exponenial soluion of differenial equaions for a linear operaor isimli çalışmasına dayanmakadır []. Bu çalışmada Magnus, Y A( ) Y birinci merebe lineer homojen diferansiyel denkleminin çözümünü ( ) Y ( ) e Y maris üsel fonksiyonu şeklinde ifade emiş ve ( ) için bir seri açılımı vermişir []. Daha sonra bu açılım Magnus seri açılımı olarak adlandırılmışır. Magnus açılımının ilk fiziksel uygulaması Robinson un çalışmasıdır [3]. Bialynicki-Birula, Mielnik & Plebanski [4], Mielnik & Plebanski [5], Sricharz [6], Klarsfeld & Oeo [7] ve Fomenko & Chakon [8] gibi farklı yazarlar arafından Magnus seri açılımındaki erimleri veren genel formüller sunulmuşur. Faka bunlar çok karmaşık ve yüksek merebelerde kullanımı çok da praik olmayan formüllerdir. 997 yılından iibaren Iserles & Nørse bu alanda çalışmalar yapmaya başlamışır [9]. Magnus seri açılımındaki erimleri veren praik bir algorima 999 yılında Iserles & Nørse arafından verilmişir []. Blanes ve çalışma arkadaşları [], Casas [], Moan & Niesen [3] Magnus serisinin yakınsaklığını incelemişlerdir. 963 yılındaki Robinson un çalışmasından bugüne kadar Magnus seri açılımı meodu birçok alanda başarıyla uygulanmışır [4-9]. Magnus seri açılımı ve uygulamaları hakkında daha fazla bilgi edinmek iseyenler Blanes ve çalışma arkadaşlarının The Magnus expansion and some of is applicaions [3] isimli çalışmalarını inceleyebilir. Klarsfeld & Oeo Magnus operaörün analiik özelliklerini incelemişlerdir [3]. Özellikle Iserles & Nørse in 997 ve 999 yılında yapıkları çalışmalarından [9,] sonra birçok araşırmacı Magnus seri açılımı ile ilgili çalışmalar yapmışlardır [,3-36]. Casas & Iserles 6 yılında lineer olmayan diferansiyel denklemlerde Magnus seri açılımı meodu için bir algorima sunmuşlardır [37]. Blanes & Ponsoda yılında homojen ve homejen olmayan lineer, sınır değer ve başlangıç değer problemleri için Magnus açılımı meodunu sunmuşlardır [38]... Amaç ve Kapsam Bu çalışmanın emel amacı, Lie grup meolarından biri olan Magnus seri açılımı
18 meodunu inceleyerek lieraürde bu yönemin uygulanmadığı, I. ve II. Painlevè denklemlerine, yay üzerindeki bir cismin harekeinde oraya çıkan lineer homojen ve homojen olmayan adi diferansiyel denklemlere ve lineer olmayan bağlanılı Vander Pol denklem sisemi ile zorlanmış Vander Pol salınım diferansiyel denklemine bu yönemi uygulamakır. Ayrıca elde edilecek sonuçlar, analiik çözümlerle ve Runge Kua meoduyla elde edilecek çözümlerle karşılaşırılacak ve sonuçlar, ablolar ve haa grafikleri ile verilecekir. 3
19 . BÖLÜM ÖN BİLGİLER Bu bölümde emel anımlar verilecekir. Tanım.. (Topolojik Manifold) bir opolojik uzay olsun. Aşağıdaki şarları sağlayan ye n-boyulu bir opolojik manifold (veya kısaca opolojik n-manifold) denir. i. bir Hausdorff uzayıdır. ii. nin her bir açık al kümesi homeomorfur. n E ye veya iii. sayılabilir çokluka açık kümeler ile örülebilir [39]. n E nin bir açık al kümesine Tanım.. (Diferansiyellenebilirlik) n E, n-boyulu Öklid uzayında U bir açık al küme olsun. : f U n E fonksiyonu verilsin. f fonksiyonunun büün k. merebeden kısmi ürevleri var ve sürekli ise f fonksiyonuna k C sınıfından diferansiyellenebilirdir denir. Diferansiyellenebilirlike anım kümesi açık olmak zorundadır. Özel olarak f sadece sürekli ise denir. U üzerinde anımlı C sınıfından fonksiyona -form adı verilir. C sınıfındandır k, C ( U, ) f f C k ( U, ), k C k ( U, ) f f : U, f C sınıfından dir. Eğer f : n n birebir f ve f sürekli ise f ye homeomorfizm, eğer birebir f ve f diferansiyellenebilir ise f ye diffeomorfizm denir [39]. Tanım.3. (Öklid koordina fonksiyonları) U ve V sırasıyla :U V m E ve x ( x) f ( x), f ( x),, f ( x) n E de birer açık al küme olsunlar. Bir n fonksiyonu için büün fi : U koordina fonksiyonları k C sınıfından iseler k C ( U, V ) dir denir. 4
20 k C ( U, V ) C ( U, V ), k dir. f i fonksiyonlarına nin Öklid koordina fonksiyonları denir [39]. Tanım.4. (Koordina Komşuluğu= Haria) bir n-boyulu opolojik manifold ve U da de bir açık al kümesi olsun. Eğer U bir homeomorfizmi ile n E nin bir W açık al kümesine eşlenebiliyorsa, yani n : U W E homeomorfizmi varsa ( U, ) ikilisine de bir koordina komşuluğu veya haria denir. u U için ( u) dir ve ( u) x ( u), x ( u),, x ( u), x ( u), i n dir. n Burada xi ( u ) reel sayısına ( u) E nokasının i-yinci koordinaı ve ui : U fonksiyonuna da u nun i-yinci Öklid koordina fonksiyonu denir. [39]. n i Tanım.5. (Koordina Komşuluğu Sisemi = Alas) bir opolojik n-manifold ve nin bir açık örüsü U olsun. U açık kümelerinin indislerinin kümesi A olmak üzere U örüsü için A U yazalım. n homeomorfizm E de U ya homeomorf olan bir açık küme E ve : U E Böylece oraya çıkan (, U ) (koordina komşuluğu sisemi) denir [39]. harialarının (, U ) olsun. A koleksiyonuna bir alas Bir opolojinin n-manifoldu ve bir P nokasının açık komşulukları da W olsun. P nokasının lokal koordinaları, W lar değişikçe değişeceğinden W ların sayısı kadar vardır. Her bir A için (, W ) üzerindeki lokal koordina sisemini ( x, x,, x n ) ile göserelim. P nokasının iki açık komşuluğu W ve W ise W W ise W W nın her bir nokasında ( x, x,, x n ) ve ( x, x,, x n ) gibi iki koordina sisemi anımlıdır. Bu iki koordina sisemi arasındaki bağını Şekil.. de verilmişir. 5
21 ve W W U E n n W W V E al kümeleri, ikişer açık kümenin birer homeomorfizm alında görünüleri olduklarından açık kümelerdir. Ayrıca : W W W W ve : W W W W fonksiyonları da ikişer homeomorfizmin bileşimi olduklarından birer homeomorfizmdirler. W W W W n E U V n E W W W W Şekil.. manifoldu üzerindeki koordina sisemleri arasındaki bağını [39] Kısaca yukarıdaki fonksiyonu, ve göserimleri kullanılır. nın diferansiyellenebilir olması ( ) i gerekirir. Aynı şey fonksiyonu içinde söylenebilir [39]. bileşenlerinin diferansiyellenebilir olmasını 6
22 Tanım.6. (Diferansiyellenebilir Yapı), n-boyulu bir opolojik manifold ve nin bir alası S, W olsun. Eğer S A alası için W W olmak üzere, A ya karşılık ve fonksiyonları k C sınıfından diferansiyellenebilir iseler S ye üzerinde k C sınıfındandır denir. S alası k C sınıfından olduğu zaman S ye üzerinde diferansiyellenebilir yapı denir [39]. k C sınıfından Tanım.7. (Diferansiyellenebilir Manifold), n-boyulu bir opolojik manifold olsun. üzerinde k C sınıfından bir diferansiyellenebilir yapı anımlanabilirse ye manifold denir [39]. k C sınıfından diferansiyellenebilir Tanım.8. (Tanjan Vekör, Tanjan Uzay, Tanjan Deme), n-boyulu bir manifold ve ( ) diferansiyellenebilir bir eğri olsun. () p ise p nokasındaki anjan vekörü, d( ) a d dır. p nokasındaki üm anjanların kümesine p nokasındaki anjan uzayı denir ve T ile göserilir. Ve bu anjan uzayı n-boyulu bir lineer uzaydır. Yani, a, bt ise a bt ve herhangi bir reel p p sayısı için a T dır. p nokalarındaki üm anjan uzayların kümesine p anjan demei (angen bundle) denir []. p Tanım.9. (Lie Grubu) Bir cümlesi verilsin. Şaye aşağıdaki şarları sağlıyorsa, bu akirde ye bir Lie grubu denir [4]. ) bir diferansiyellenebilir manifolddur. ) (,.) bir grupur. 3) :, ( a, b) ab ve ı :, ı( a) a diferansiyellenebilir asvirlerdir. 7
23 Başka bir ifadeyle bir Lie grubu, çarpma :, ( a, b) ab ve ers ı :, ı( a) a asvirleri C olan grup yapısına sahip, diferansiyellenebilir bir manifolddur [4]. Tanım.. (Lie paranez operaörü (komüaör)) Bir maris Lie cebiri de Lie paranez operaörü.,. : u, v uv vu, u, v, (.) şeklinde anımlıdır. u, v, z ve, için Lie paranez operaörü aşağıdaki aksiyomları sağlar [4]. i. [ u v, z] [ u, z] [ v, z], ii. [ u, v] [ v, u], iii. [ u,[ v, z]] [ v,[ z, u]] [ z,[ u, v]]. (Jacobi özdeşliği) Tanım.. (Lie cebiri) Bir Lie grubunun birim elemanı I daki üm anjanlarının lineer uzayına Lie grubunun Lie cebiri denir. Lie cebirinde Lie operaörü (Lie paranez operaörü), x, y s ( s) ( ) ( s) s (.) şeklinde anımlıdır. Burada ( s) ve ( ), () () I ve () x, () y olan Lie grubunda diferansiyellenebilir eğrilerdir []. Bir diğer ifadeyle üzerinde Lie paranez operaörü [.,.]:V V V anımlı V lineer uzayına Lie cebiri denir []. Tanım.. (Reel Maris Lie Grubu) Marislerde çarpma ve ers işlemlerine göre kapalı olan kümesi nn nin diferansiyellenebilir al n n ye reel maris Lie grubu denir. Birim maris I ile göserilir []. Tanım.3. (Maris Lie Cebiri) maris Lie grubunun Lie cebri n n, d( s) A şeklindeki üm n n ds 8 s
24 marislerden oluşan nn nin lineer al uzayıdır. nn d( s) A : A, (.3) ds s burada ( s), de diferansiyellenebilir bir eğri ve () I dır. uzayı marislerde oplama, skalerle çarpma işlemlerine ve A, B AB BA, maris komüaörüne göre kapalıdır []. (.4) Tanım.4. (Salınım diferansiyel denklem) Bir diferansiyel denklemin aşikar olmayan üm çözümlerinin sonsuz sayıda sıfırı varsa bu çözümlere salınımlı çözüm, bu diferansiyel denkleme de salınım diferansiyel denklem denir [43]. 9
25 3. BÖLÜM MAGNUS SERİ AÇILIMI METODU Bu bölümde bir Lie-grup meodu olan Magnus seri açılımı meodu, Lie grup yapısıyla Magnus serisi arasındaki ilişki ile lineer ve lineer olmayan Lie ipi diferansiyel denklemler için Magnus seri yönemi incelenecekir. 3.. Giriş Magnus seri açılımı meodunda amaç, adi diferansiyel denklem veya denklem siemlerini, y ( ) A( ) y( ), (3.) (3.) maris diferansiyel denklemi şekline dönüşürüp daha sonra bu denkleme Magnus serisi ile yaklaşık bir çözüm bulmakır. (3.) denklemi maris diferansiyel denklemi olduğundan daha önce genel Lie grubu için. bölümde verilen anımlar bu defa maris Lie grubu için verilecek ve ardından [,44] e yapılan çalışmalar incelenecekir. Tanım 3.. (Maris Lie grubunda diferansiyel denklem) Bir maris Lie grubu üzerindeki diferansiyel denklem, Y A(, Y) Y,, Y(), (3.) şeklinde anımlanır. Burada A : ve AY maris çarpımı, maris Lie grubu, maris Lie grubuna karşılık gelen Lie cebiri, A ve Y dir []. (3.) denklemine aynı zamanda Lie ipi diferansiyel denklem denir. Tanım 3.. (Üsel asvir (exponenial mapping)) bir maris Lie grubu ve de onun Lie cebiri olsun. Üsel asvir j A expm :, expm A=, (3.3) j j! şeklinde anımlanır. expm( O) I dır. A marisi için, O nin yeeri kadar yakın bir komşuluğunda üsel asvir expm nin, logm : ile verilen diferansiyellenebilir bir ersi vardır [].
26 Tanım 3.3. (Adjoin göserim) Bir maris Lie grubu de, Ad adjoin göserim ve onun ürevi olan ad operaörü, Ad A PAP ( ), P (3.4) ad ( ),, A B AB BA A B (3.5) şeklinde anımlanır []. Tanım 3.4. (Üsel asvirin ürevi) Üsel asvirin ürevi dexp :, d exp( A( )) dexp A( ) A( ) exp( A( )), (3.6) d şeklinde anımlıdır []. dexp A, ad A nın analiik bir fonksiyonu olduğundan, dexp A expm( ad A) I (3.7) ad A elde edilir. Burada expm( ad A), I ve ad A maris olduğundan ve expm( ad ) A I ad A bölme işlemi marislerde yapılamayacağından, expm( ad A) I ad A kuvve serisine açılacakır. x e x in seri açılımından yaralanarak x e 3 j x x x x olduğundan, x! 3! 4! ( j )! expm( ad AC) I dexp A( C) ad C 3 j C ad AC ad AC ad AC ad AC,! 3! 4! ( j )! C A, C,,,,,,! 3! A A C A A A C 4! j ad AC. ( j )! j A (3.8) dexp A ad A exp( ad ) I A i bulmak için de x x e in seri açılımından yaralanılacakır.
27 x B 4 j j x x x x x, e 7 j! j burada B j, ilk erimleri B, B B B B ve, 6, 4 3, 6 4 B j, j,,3, olan Bernoulli sayılarıdır [45]. j j dexp A ( C) C A, C A, A, C ad AC, j j! şeklinde elde edilir []. B (3.9) 3.. Magnus Seri Açılımı y a( ) y,, y() y, (3.) (3.) lineer diferansiyel denkleminin çözümü, y( ) exp a( ) d y, (3.) dır. Burada maris diferansiyel denklemi için genelleme yapılarak, Y A( ) Y,, Y () Y, (3.) (3.) lineer maris diferansiyel denkleminin çözümü, Y ( ) expm A( ) d Y, (3.3) dır denilebilir, faka bu doğru değildir [43]. (3.) lineer maris diferansiyel denkleminin bir çözümü (3.3) olsun., kapalı aralığı,,,, ( ) şeklinde iki kapalı aralığın birleşimi olarak yazılırsa, a( ) d a( ) d a( ) d olur. Buradan da exp a( ) d exp a( ) d exp a( ) d exp a( ) d exp a( ) d elde edilir. expm A( ) d B, expm A( ) d C, (3.4)
28 olmak üzere (3.) lineer maris diferansiyel denkleminin çözümü Y ( ) expm A( ) d Y expm A( ) d expm A( ) d Y BCY expm A( ) d expm A( ) d Y CBY Y ( ) expm A( ) d Y BCY CBY şeklinde elde edilir. Marislerde değişme özelliği olmadığından BC CB dir. Bu durumda (3.) lineer maris diferansiyel denklemi için (3.3) bir çözüm olamaz. (3.) lineer diferansiyel denkleminin çözümü (3.) lineer maris diferansiyel denklemi için genellenemez [43]. Şimdi, Y( ) A( ) Y( ),, Y () Y, (3.5) Lie ipi lineer diferansiyel denklemi incelenecekir. Burada maris Lie grubu, de onun Lie cebiridir. A: çözümünü, ve ( ) A dir. Hausdorff [46], (3.5) denkleminin Y ( ) expm ( ) Y, (3.6) maris üsel fonksiyonu şeklinde bulmuşur. Burada ( ), k ( ) k ad (, ) a,, (), (3.7) ( k )! k kapalı lineer olmayan (3.7) denkleminin çözümüdür ve k ad ( p, q) p, k, (, ),,, k ad p q q k dır [46]. Daha sonra Magnus (3.7) denkleminin, k (3.8) B k k a ad( a, ) ad ( a, ) (3.9) ( k)! şekline dönüşürülebileceğini fark ei []. Burada ( ) yi, B k Bernoulli sayılarıdır. Magnus 3
29 ( ) A( ) d A( ), A( ) d d A( ), A( ), A( ) d d d 4 A( ), A( ) d, A( ) d d (3.) şeklinde elde ei. Burada A( ) olduğundan (3.8) denklemindeki her bir erim ve onların lineer kombinasyonları yine dedir. Dolayısıyla için ( ) dir. Bir başka değişle Magnus seri açılımındaki üm erimler aynı Lie cebirinde yer alır bunun sonucu olarak Magnus seri açılımının herhangi bir eriminden iibaren kesilmesiyle elde edilen kesilmiş Magnus serisi de yine aynı Lie cebirinde yer alır. Dolayısıyla herhangi bir merebeden Magnus seri açılımıyla elde edilen yaklaşık çözümler, analiik çözümün niel özelliklerini korur. Bu Magnus seri açılımı meodunun en önemli avanajlarındandır [47]. Magnus ( ) nin seri açılımı için ne genel bir formül vermiş ne de meodun merebesi ve hangi merebede Magnus seri açılımının hangi erimde kesileceği hakkında bilgi vermişir. Magnus seri açılımı meodunun ana fikri (3.) Magnus serisini uygun bir yerden kesip elde edilen erimleri verimli bir şekilde hesaplamakır. 997 yılında Iserles ve Norse Magnus seri açılımındaki erimleri veren ve böylece onların özyinelemeli (recursive) değerlendirme ve analizine imkan anıyan genel bir yönem bulmuşlar ve Lie ipi lineer diferansiyel denklemler için Magnus seri açılımı meodunu sunmuşlardır [9,]. Magnus serisi açılımı meodunda 3 ayrı haa kaynağı vardır [3]. Bunlar; Sonsuz Magnus serisinin kesilmesi, Çok değişkenli inegrallerin ayrıklaşırılması (discreizaion), Maris üsel fonksiyonunun değerinin yaklaşık olarak bulunmasıdır. Iserles, Marhinsen & Norse ilk iki haa kaynağını incelemişlerdir [3]. Maris üsel fonksiyonunun değerinin yaklaşık olarak hesaplanmasında çok yaygın kullanılan bilgisayar yazılımları bu hesaplamayı yaparken Pade yaklaşık çözüm meodunu kullanmakadır. Bundan dolayı Magnus seri açılımı meoduyla elde edilen yaklaşık çözümlerdeki haanın bir kısmı da kullanılan maemaik yazılımlarından kaynaklanmakadır [47]. 4
30 3.3. Picard İerasyonu dy f ( x, y), y( x ) Y, dx (3.) Y ( x ), (3.) başlangıç değer probleminin çözümü olsun. (3.) denkleminin her iki arafının inegrali alınırsa x Y ( x) Y f (, Y ( )) d (3.) x eşiliği elde edilir. (3.) denklemi, x Y ( x) Y f (, Y ( )) d, x x b, m,,3, (3.3) m m x (3.3) ierasyonu ile çözülür [43]. (3.3) eşiliğine Picard ierasyonu denir Lineer Denklemler için Magnus Seri Açılımı Meodu Bu bölümde Iserles ve çalışma arkadaşlarının [] de sunduğu lineer diferansiyel denklemler için Magnus seri açılımı meodu incelenecekir. Maris Lie grubu de, y ( ) A( ) y( ), y() y. (3.4) şeklinde verilen lineer maris diferansiyel denklemini ele alalım. Burada A: ve A( ) dir. Bu durumda (3.4) denkleminin çözümü Magnus seri açılımı yönemiyle aşağıdaki gibi bulunabilir [,44]. y( ), maris Lie grubu nin bir elemanı ve A( ) marisi bu gruba karşılık gelen Lie cebiri içerisinde yer aldığından (3.4) denklemi bir lineer Lie ipi denklemdir. Burada amaç, (3.4) denkleminin çözümü y( ) exp ( ) y, (3.5) olacak şekilde bir ( ) maris fonksiyonu bulmakır. (3.4) denkleminin çözümü (3.5) ise, ( ) 5
31 ( ) ( ) dexp A( ), (), (3.6) diferansiyel denklemini sağlar [44]. (3.6) denklemi, ( ) A( ) ( ), A( ) ( ), ( ), A( ), (3.7) (3.7) denklemini sonuç verir. Burada noka ye göre ürevi gösermekedir. Bu durumda (3.7) denklemine Picard ierasyonu uygulanarak ( ) maris fonksiyonu için yaklaşık bir çözüm bulunabilir [44]. ( ) çözüm fonksiyonu için başlangıç yaklaşımı olsun. (3.6) denkleminde başlangıç koşulu () olduğundan seçelim. (3.7) denkleminde yerine yazılırsa, ( ) A( ), (), (3.8) elde edilir. (3.8) denkleminin değişkenine göre inegrali alınırsa, ( ) d A( ) d, (3.9) Birinci ierasyon, A( ) d. (3.3) bulunur. (3.3) denklemi (3.7) denkleminde yerine yazılıp inegrali alınınca ikinci ierasyon, ( ) A( ) d ( ), A( ) d ( ), ( ), A( ) d (3.3) elde edilir. Benzer şekilde, üçüncü ierasyon, ( ) A( ) d ( ), A( ) d ( ), ( ), A( ) d (3.3) 3 olur., (3.3) denkleminde yerine yazılırsa, ( ) A( ) d A( ) d, A( ) d A( ) d, A( ) d, A( ) d (3.33) 6
32 elde edilir. ve (3.3) denkleminde yerine yazılırsa, 3( ) A( ) d A( ) d, A( ) d A( 3) d3, A( ) d, A( ) d 4 A( ) d, A( 3) d3, A( ) d A( ) d, A( 3) d3, A( ) 4 d, A( ) d A( 3) d3, A( 3) d3, A( ) d, A( ) d 4 A( 3) d3, A( ) d, A( ) d, A( ) d A( 4) d4, A( 3) d3, A( ) d, A( ) d, (3.34) elde edilir. için Picard ierasyonu ile elde eiğimiz,, 3, ierasyonları içerdikleri inegral ve komüaör sayısına göre erimleri yeniden düzenlenip Hi, i,,, şeklinde adlandırılırsa, her biri inegraller ve komüaörler (Lie paranezi) içeren erimlerin lineer kombinasyonu şeklinde yazılabilir. ( ) Hi i (3.35) burada her bir H i, i ane komüaör ve ( i ) inegral içeren erimlerin lineer kombinasyonundan oluşmakadır []. (3.35) Magnus serisinin ilk erimleri H ( ) A( ) d (3.36) H ( ) [ A ( ) d, A ( )] d (3.37) 7
33 3 3 3 ( ) ) ) ) H [ A( d,[ A( d, A( ]] d [ [ A( ) d, A( )] d, A( )] d 4 (3.38) H3( ) [ A ( ) d,[ [ A ( ) d, A ( ) ] d, A ( ) ]] d [ [ A ( ) d, A ( ) ] d,[ A ( ) d, A ( ) ]] d [ [ A ( ) d,[ A ( ) d, A ( ) ]] d, A ( ) ] d [ [ [ A ( ) d, A ( )] d, A ( )] d, A ( )] d 8 (3.39) H 4( ) [ A( ) d,[ A( ) d,[ A( ) d,[ A( ) d, A( )]]]] d [ A( ) d,[ [ A( ) d,[ A( ) d, A( )]] d, A( )]] d [ A ( ) d,[ [ [ A ( ) d, A( )] d, A( )] d, A( )]] d [ [ A ( ) d, A ( )] d,[ [ A ( ) d, A ( )] d, A ( )]] d [ [ A( ) d,[ A( ) d, A( )]] d,[ A( ) d, A( )]] d [ [ [ A ( ) d, A ( )] d, A ( )] d,[ A ( ) d, A ( )]] d [ [ A ( ) d,[ [ A ( ) d, A ( )] d, A ( )]] d, A ( )] d [ [ [ A ( ) d, A ( )] d,[ A ( ) d, A( )]] d, A( )] d [ [ [ A ( ) d,[ A ( ) d, A ( )]] d, A ( )] d, A ( )] d [ [ [ [ A ( ) d, A ( )] d, A ( )] d, A ( )] d, A ( )] d 8 (3.4)
34 H5( ) [ A( ) d,[ A( ) d,[ A( ) d,[ [ A( ) d, A( )] d, A( )]]]] d [ A( ) d,[ A( ) d,[ [ A( ) d, A( )] d,[ A( ) d, A( )]]]] d [ A( ) d,[ [ A( ) d, A( )] d,[ A( ) d,[ A( ) d, A( 6)]]]] d [ A( ) d,[ [ A( ) d,[ [ A( ) d, A( )] d, A( )]] d, A( )]] d [ A( ) d,[ 4 4 [ [ A( ) d, A( )] d,[ A( ) d, A( )]] d, A( )]] d [ A( ) d,[ [ [ A( ) d,[ A( ) d, A( )]] d, A( )] d, A( )]] d [ A( ) d,[ [ [ [ A( ) d, A( )] d, A( )] d, A( )] d, A( )]] d [ [ A( ) d, A( )] d,[ A( ) d,[ A( ) d,[ A( ) d, A( )]]]] [ [ A( ) d, A( )] d,[ [ A( ) d,[ A( ) d, A( )]] d, A( )]] d [ [ A ( ) d, A ( )] d,[ [ [ A ( ) d, A ( )] d, A ( )] d, A ( )]] d [ [ [ A ( ) d, A ( )] d, A ( )] d,[ [ A ( ) d, A ( )] d, A ( )]] d [ [ A( ) d,[ A( ) d, A( )]] d,[ [ A( ) d, A( )] d, A( )]] d [ [ A( ) d,[ [ A( ) d, A( )] d, A( )]] d,[ A( ) d, A( )]] d [ [ [ A( ) d, A( )] d,[ A( ) d, A( )]] d,[ A( ) d, A( )]] d [ [ [ A( ) d,[ A( ) d, A( )]] d, A( )] d,[ A( ) d, A( )]] d [ [ [ [ A ( ) d, A( )] d, A( )] d, A( )] d,[ A( ) d, A( )]] d [ [ A( ) d,[ A( ) d,[ A( ) d,[ A( ) d, A( )]]]] d, A( )] d
35 88 [ [ A( ) d,[ [ A( ) d,[ A( ) d, A( )]] d, A( )]] d, A( )] d [ [ A ( ) d,[ [ [ A ( ) d, A ( )] d, A ( )] d, A ( )] ] d, A( )] d [ [ [ A( ) d, A( )] d,[ [ A( ) d, A( )] d, A( )]] d, A( )] d [ [ [ A( ) d,[ A( ) d, A( )]] d,[ A( ) d, A( )]] d, A( )] d [ [ [ [ A( ) d, A( )] d, A( )] d,[ A( ) d, A( )]] d, A( )] d [ [ [ A ( ) d,[ [ A ( ) d, A ( )] d, A ( )]] d, A ( )] d, A ( )] d [ [ [ [ A ( ) d, A ( )] d,[ A( ) d, A( )]] d, A( )] d, A( )] d [ [ [ [ A ( ) d,[ A ( ) d, A ( )]] d, A ( )] d, A ( )] d, A ( ) ] d [ [ [ [ [ A ( ) d, A ( )] d, A ( )] d, A ( )] d, A ( )] d, A( ) ] d 3 (3.4) dir. Magnus seri açılımındaki erimler Renan Cabrera ve Herschel Rabiz in Uluslarası Maemaika Kullanıcıları Konferansında (Inernaional Mahemaica Users Conference 9) sundukları Symbolic Magnus Expansion wih PrinLieCalc. yazılımıyla hesaplanmışır. (3.35) eşiliği (3.6) denkleminin yaklaşık bir çözümüdür. Faka (3.35) denkleminde i değeri arıkça Magnus seri açılımı daha karmaşık erimlerden oluşmaka ve bu erimlerdeki inegral ve komüaör sayısı arıkça inegrallerin yaklaşık değerlerinin hesaplanması daha zor ve maliyeli olmaka ve daha çok zaman almakadır. Bu yüzden Magnus seri açılımı belirli bir yerden kesilerek yaklaşık çözümler hesaplanır. Iserles ve çalışma arkadaşları Magnus serisinin nasıl kesileceğini Teorem de ifade emişlerdir []. Teorem ( ), nin ek kuvvelerine göre açılabilir ve ( ) ( ) ( q ),. q q
36 Teorem in sonucu olarak q için (q ) li inegrallerin lineer kombinasyonu q ( ) de yer alır. Örneğin 4. merebe Magnus açılımında (MG4) q 3 olacağından Magnus seri açılımında 3 lü inegraller q olur ve 3 3 [ A( ) d,[ A( ) d, A( )]] d ve 3 3 kombinasyonu 3 [ [ A( ) d, A( )] d, A( )] d nin lineer [ A( ) d,[ A( ) d, A( )]] d [ [ A( ) d, A( )] d, A( )] d ( ) de olacağından 4. merebe için sadece ilk iki erim yeerlidir. Magnus seri açılımının merebelere göre hangi erimde kesileceği aşağıda verilmişir []. ( ) A( ) d. merebe [ A ( ) d, A ( ) ] d 4. merebe 3 3 [ A ( ) d,[ A ( ) d, A ( ) ]] d [ [ A ( ) d, A ( ) ] d, A ( ) ] d [ A ( 3) d3,[ [ A ( ) d, A ( 3 )] d, A( )]] d [ [ A ( ) d, A ( ) ] d,[ A ( ) d, A ( ) ]] d [ [ A ( ) d,[ A ( ) d, A ( ) ]] d, A ( ) ] d 4 [ [ [ A( ) d, A( )] d, A( )] d, A( )] d 6. merebe Gauss Tümlevi (Gaussian Quadraure) Bir önceki bölümde elde edilen Magnus seri açılımında oraya çıkan kalı inegralleri hesaplamak için bazı ümlev ekniklerine ihiyaç duyulmakadır. Burada Gauss ümlevi
37 ve Legendre polinomunun kökleri kullanılacakır. n. dereceden Legendre polinomu P ( ) n x [-,] simerik aralığında anımlıdır. Pn ( x ) polinomu x ile öelenirse [,] aralığında aşağıdaki gibi anımlanan öelenmiş Legendre polinomu elde edilir [48]. P * ( x) P (x ) n n P ( x), * P ( x) x, * P ( x) 6x 6x, * P ( x) x 3x x, * 3 3 Lemma Aşağıdaki özellikleri sağlayan n* ( ) :, polinomları vardır [48]; P x n. dereceden ( n,,3, ) P n* ( x ) * * : m ( ) n ( ),, p P x P x dx m n (3.4) p P n (3.43) * : n (),,,3,, p P x P x n (3.44) * n * 3 : n ( ) ( ) n ( ),,,3,, * 4 : n ( ),,,3,, n p P x dx n (3.45) n * d n 5 : n ( ) ( ),,,3,, p P x x x n n! dx * * * 6 n n n (3.46) p : np ( x) (x )(n ) P ( x) ( n ) P ( x), n,3, 4,, (3.47) P n* ( x) denkleminin (,) aralığında n ane farklı reel kökü vardır. Tümlev formülüyle yapılmak isenen, ek değişkenli bir fonksiyonun inegrali için yaklaşık değer bulmakır. İnegral aralığındaki belirli nokalarda inegrali alınan fonksiyonun ağırlıklı oplamı şeklinde yazılmasıyla yaklaşık değer hesaplanır. Newon- Coes gibi yönemlerde eşi aralıklı nokalar kullanılırken Gauss ümlevinde bu nokalar eşi aralıklı değil en az haayı, opimum doğruluğu verecek şekilde seçilir. Bu nokalara
38 düğüm (node) denir. Gauss ümlevinde bu düğümler aralığındaki kökleridir [49]. P n* ( x ) Legendre polinomunun [,] Tek inegraller için Gauss ümlevi Tek inegraller için Gauss ümlevi aşağıdaki gibi anımlanır. Tanım n. derece Legendre polinomu P n* ( x ) in kökleri x, x, x3,, xn olsun, i,,, n için c i ağırlıkları aşağıdaki gibi anımlanır, c i n x xi x x j i j ji dx. (3.48) Eğer ( x) derecesi n den küçük herhangi bir polinom ise Gauss-Legendre ümlevi ( x) dx ci ( xi ) (3.49) n i şeklinde anımlıdır [49] Kalı inegraller için Gauss ümlevi (Mulivariae Gaussian Quadraure) Bu bölümde Magnus seri açılımında oraya çıkan kalı inegrallerinin nümerik değerlerini hesaplamak için Gauss ümlevi uygulanacakır. Tek inegrallerde olduğu gibi kalı inegrallerde de Gauss ümlevi çok değişkenli fonksiyonun ağırlıklı oplamı şeklinde yazılmasıyla elde edilir. Burada b i ağırlıkları Lagrange inerpolasyon polinomlarının çarpımının kalı inegralleriyle verilir. Burada Iserles ve çalışma arkadaşlarının [] de sunduğu polioplarla kalı inegral ümlevi incelenecekir. Magnus seri açılımındaki kalı inegraller I ( h) L( A( ), A( ),, A( )) d d, (3.5) S s s şeklinde olsun. Burada L çok değişkenli fonksiyon, s verilen ifadedeki inegral sayısı, h kalı inegralin yaklaşık değerini hesplamada kullanılan adım aralığıdır. S ise 3
39 S,,, s :, h, k, m k, k,3,, s, (3.5) şeklinde anımlanan özel bir poliopur. Burada m,,, s A( ), A( 3), A( ) d ve inegralleri sırasıyla 3 3 L( F, F, F ) F, F, F, m, m3 ve 3 3 L( F, F, F ) F, F, F, m, m3 k A( 3), A( ), A( ) d dir. Örneğin, şeklinde ifade edilir. Burada her iki inegralde de üçlü inegral bulunduğundan s 3 ür. (3.35) inegralinin yaklaşık değerini hesaplamak için v. derece Legendre polinomu P x in farklı reel kökleri c, c,, c, v* ( ) leri ümlev nokaları olarak seçelim. v Daha sonra A ha( c h), k,,, v ahminlerini hesaplayalım ve Gauss ümlevini k k k k ks k D( h) b L( A, A,, A ) (3.5) v kcs şeklinde oluşuralım. Burada diğerlerinden farklı olan üm sıralı s lilerin kümesidir. S,,, s :,, k, m k, k,3,, s ve j i j ji C,,,,v kümesinden oluşurulan en az bir bileşeni v s n x xi l j ( x), j,,, v, (3.53) x x kardinal Lagrange inerpolasyon polinomu olmak üzere b k ağırlıkları s b l ( ) d, (3.54) k ki i i S i şeklindedir. (3.53) polinomunu ümlev nokalarında yerine koyarak elde edilen v A( ) h lk Ak k h (3.55) (3.55) eşiliğini (3.5) denkleminde A( ) yerine yazarak inegral alınır. Arık (3.5) denklemindeki kalı inegralin yaklaşık değeri (3.5) ümlevi ile hesaplanabilir. Iserles ve çalışma arkadaşları bu meodun merebesini aşağıdaki eoremde vermişir []. 4
40 Teorem v c( ) ( ck ) şeklinde anımlanan c( ) polinomunun aşağıdaki orogonallik k koşulunu sağladığı en büyük i amsayısı m olsun. i c( ) d, i,,, m. Orogonallik koşulu, üm S poliopları ve üm çok değişkenli (mulilinear) L fonksiyonları için (3.5) ümlevinin merebesinin v m olmasını gerekirir. Eğer c, c,, cv v. derece Legendre polinomu P v* ( x ) ın, aralığındaki farklı reel kökleri (Gauss-Legendre nokaları) ise (3.5) ümlevinin merebesi v olur. Şimdi 4. merebeden kesilmiş (runcaed) Magnus seri açılımı için bir algorima oluşuralım. Teorem e göre 4. Merebe Magnus seri açılımı meodu için Gauss- Legendre ümlevinde yalnızca. dereceden Legendre polinomu kullanılacakır. Bu durumda v ve merebe p 4 olur. P * ( ) x nin kökleri Önceki bölümde verdiğimiz Magnus seri açılımındaki inegraller Ii( ), i,,3, I ( ) A( ) d I ( ) [ A( ), A( )] d d I ( ) [ A( ),[ A( ), A( )]] d d d I ( ) [ A( ), A( )], A( )] d d d şeklinde yeniden adlandırılırsa, ( ) I I I3 I4 (3.56) 4 denklemi elde edilir. (3.56) denklemindeki ilk dör inegrali Gauss (Gauss-Legendre) ümlevi ile hesaplanacakır.. dereceden Legendre polinomu 3 c, c ve v dir. Lagrange inerpolasyon polinomları ise P * ( ) x nin kökleri 5
41 l x x c ( ) 3 x ( 3 ), c c x c l x x ( ) 3 ( 3 ), c c dir. Bu durumda A ha h 3 6 ve A ha h 3 6 (3.57) (3.58) (3.59) (3.6) dır. I ( ) inegralinin Gauss ümlevi için L fonksiyonu ve sıralı s lilerin kümesi sırasıyla L( A( )) A( ) v ve (),() (3.54) denkleminden, () () Cs şeklinde anımlanır. Tümlevdeki k b l ( ) d, b l ( ) d, b ağırlıkları ise (3.6) şeklinde elde edilir. I ( ) inegrali için Gauss-Legendre nokalarını kullanarak elde edilen ümlev () () D ( h) b L( A ) b L( A ) A A (3.6) dir. I ( ) inegralinin Gauss ümlevi için L fonksiyonu ve sıralı s lilerin ( s ) kümesi v sırasıyla L( A( ), A( )) A( ), A( ) ve (, ),(,) Dolayısıyla ümlevdeki b k ağırlıkları, C şeklinde anımlanır. s 3 3 b l ( ) l ( ) d d, b l ( ) l ( ) d d, 8 8 (3.63) (,) (,) olur. Buradan I ( ) için Gauss-Legendre ümlevi b(,) b(,) A, A A, A D ( h) b L( A, A ) b L( A, A ) b A, A b A, A (,) (,) (,) (,) şeklinde elde edilir. 3 6 (3.64) Bundan sonraki inegrallerde inegral sayısı s arıkça yapılan işlemler de daha karmaşık bir hal alacakır. Üçüncü inegral için Gauss ümlevindeki L fonksiyonu ve sıralı s lilerin ( s 3) kümesi sırasıyla 6
42 L( A( ), A( ), A( )) A( ), A( 3), A( ) ve v Cs dir. C 3 (,,),(,,),(,, ),(,,),(,,),(,,) C 3 deki her bir üçlüye karşılık gelen b k ağırlıkları ayrı ayrı bulunmalıdır. Burada (,, ) üçlüsüne ai b (,,) ağırlığını bulmak için (3.54) inegralini hesaplarsak, 3 7 b l ( ) l ( ) l ( ) d d d 48 4 (3.65) (,,) 3 3 olarak bulunur. Aynı şekilde diğer ağırlıklar da (3.54) inegralinin hesaplanmasıyla aşağıdaki gibi b b b , b, (,,) (,,) 3 3, b, (,,) (,,) , b, (,,) (,,) (3.66) elde edilir. I ( ) 3 için L fonksiyonu iç içe komüaörler içerdiğinden ve komüaörlerin çarpık simeri (skew-symmery) özelliğinden dolayı D ( ) 3 h ümlevinde L fonksiyonunun değerlerinden ikisi olur. L( A, A, A ) A, A, A A, A, A, L( A, A, A ) A, A, A, L( A, A, A ) A, A, A A, A, A, L( A, A, A ) A, A, A A, A, A, L( A, A, A ) A, A, A, L( A, A, A ) A, A, A A, A, A. (3.66) ağırlıkları ile (3.67) fonksiyon değerleri D ( h ) ümlevinde 3 D ( h) b L( A, A, A ) b L( A, A, A ) b L( A, A, A ) 3 (,,) (,,) (,,) b L( A, A, A ) b L( A, A, A ) b L( A, A, A ) (,,) (,,) (,,) (3.67) (3.68) yerine yazılırsa, 7
43 D3 ( h) b(,,) b(,,) A, A, A b(,,) b(,,) A, A, A A, A, A A, A, A (3.69) elde edilir. Benzer şekilde I ( ) inegrali için v 4 C ve L fonksiyonu 3 L( A( ), A( ), A( )) A( ), A( ), A( ) (3.7) v Cs C (3.7) 3 (,,),(,,),(,, ),(,,),(,,),(,,) şeklinde anımlanır. s C 3 deki her bir üçlüye karşılık gelen b k ağırlıkları (3.54) inegrali kullanılarak hesaplanacakır. Burada (,, ) üçlüsüne ai b (,,) ağırlığı, 3 b l ( ) l ( ) l ( ) d d d 48 3 (3.7) (,,) 3 3 olur. (3.54) inegralinin hesaplanmasıyla b k ağırlıkları, b b b 3, b, (,,) (,,) 3 3, b, (,,) (,,) 3, b, (,,) (,,) elde edilir. Her bir b k ağırlığına karşılık gelen L fonksiyon değerleri,, A. L( A, A, A ) A, A, A A, A, A, L( A, A, A ) A, A, A A, A, A, L( A, A, A ) A, A, A, L( A, A, A ) A, A, A, L( A, A, A ) A, A, A A, A, A, L( A, A, A ) A, A, A A, A olur. I ( ) inegrali için oluşurulan D ( h ) ümlevinde 4 4 D ( h) b L( A, A, A ) b L( A, A, A ) b L( A, A, A ) 4 (,,) (,,) (,,) b L( A, A, A ) b L( A, A, A ) b L( A, A, A ) (,,) (,,) (,,) (3.73) ağırlıkları ile (3.74) fonksiyon değerleri yerine yazılırsa D4 ( h) b(,,) b(,,) A, A, A b(,,) b(,,) A, A, A A A A 48 8 A A A,,,,. (3.73) (3.74) (3.75) (3.76) 8
44 elde edilir. D ( h ), D ( h ), D ( h ), 3 D ( ) 4 h ümlevleri (3.55) denkleminde yerine yazılırsa Magnus seri açılımındaki ( ) için bir ahmin elde edilir. ( ) D ( h) D ( h) D3 ( h) D4 ( h) 4 3 ( A A ) A, A A, A, A A, A, A 8 8 Teorem den I ( ) ve I ( ) 3 4 inegralleri 4. merebe Magnus seri açılımındadır faka bu inegrallerin lineer kombinasyonları 4. merebede Magnus meodu MG4 ün sonucunu ekilemez ve 5 ( ) de bulunur. Bunun için son iki erim ihmal edilir ve 4. merebe Magnus seri açılımı 3 5 ( ) ( A A ) A, A ( ) (3.77) şeklinde elde edilir. (3.) denklemini 4. merebe kesilmiş Magnus seri açılımı ile çözmek için Iserles, Marhinsen & Norse aşağıdaki algorimayı oluşurmuşlardır []. Adım aralığı h n n ve y( n) yn olmak üzere 3 n, 6 A ha h (3.78) 3 n, 6 A ha h (3.79) 4 ( A A 3 ) A, A, (3.8) y n exp 4 yn. (3.8) 6. Merebe Magnus seri açılımı için ise v 3 ve c, c, c, (3.8) ve l ( x) x x, (3.83) l( x) x x, (3.84) l3( x) x x, (3.85) olur. 9
45 5 5 n n n A ha h, A ha h, A ha h, (3.86) ve 3 B A, B A A, B A A A, (3.87) olmak üzere 4. merebede yapılan hesaplamalara benzer şekilde hesaplanınca 6. merebe Magnus meodu MG6,,,, B B3 B B 4 B B3 36 B B B3 B, B, B B, B, B, B, 4 7 y n exp yn. şeklinde elde edilir []. (3.88) (3.89) 3.6. Lineer Olmayan Diferansiyel Denklemler için Magnus Seri Açılımı Meodu Bu bölümde (3.) denklemindeki A( ) marisinin yalnızca zamana bağlı olmadığı aynı zamanda y fonksiyonuna da bağlı olduğu durum yani denklemin lineer olmayan diferansiyel denklem olması hali incelenecekir. Burada A A(, y) şeklindedir. Bu durumda kalı inegraller için Gauss ümlevi sadece zaman değişkenine bağlı değil aynı zamanda bilinmeyen y fonksiyonunun ümlev nokalarındaki değerine de bağlıdır. Bu da inegrasyonun her adımında lineer olmayan cebirsel işlemlere ve meodun kapalı olmasına yol açar [33]. Bu bölümde 6 yılında Casas ve Iserles arafından y A(, y) y, y() y G, (3.9) (3.9) denklemi için gelişirilen Magnus seri açılımı meodu incelenecekir [37]. Burada A: G, G maris Lie grubu ve bu gruba karşılık gelen Lie cebirini belirmekedir. Lineer durumdakine benzer şekilde Picard ierasyonuyla her bir ierasyon hesaplanarak elde edilen sonuç bir sonrakinde yerine yazılarak açık bir meo elde edilecekir. Bu şekilde am çözüm için sürekli bir ahmin elde edilecek ve bu ahmin sadece kesikli (discree) zaman adımlarında değil, üm zaman değerlerinde doğru ve geçerli olacakır [33]. 3
46 (3.9) denkleminin çözümü y e y ( ) ( ), şeklindedir. Buradan ( ) dexp A(, e y), (), (3.9) (3.9) diferensiyel denklemi elde edilir. Burada B ve B n Bernoulli sayılarıdır. n n dexp ( C) adc n n! m m ad A A ad A ad A m, [, ],, n ad ise ile anımlı adjoin operaör ve [ X, Y] XY YX dir. Lineer durumdakine benzer prosedür (3.9) denklemine uygulanırsa [ m] [ m] ( s) ( ) [ m] dexp A( s, e y ( ) ) ds s B [ m] k ad k ( s) [ m] ( s) A s e y k k! ds m (, ),, (3.93) elde edilir. (3.93) açılımında dexp operaörünün uygun biçimde kesilmesiyle Casas ve Iserles aşağıdaki sonuçları elde emişlerdir [37]. [] ( ), olduğundan [] buradan A(, y), (3.94) (3.95) [] ( ) A( s, y) ds ( ( ) elde edilir. [] ( s) ), (3.96) A( s, e y ) A(, y ) ( s), (3.97) olduğundan [] [] ( s) 3 ( s), A( s, e y) ds ( ). (3.98) [3] ( ) hesaplanırken [] ( ) deki ikinci erim (3.98) de dahil edilirse, [3] ( ) [] ( ) yi ( ) ye kadar üreir. Bundan dolayı [] [] ( s) dexp operaörü k da kesilir ve ( ) A( s, e y ) ds (3.99) alınır. Genelleme yapılırsa, 3
T. C. NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANA BİLİM DALI
T. C. NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANA BİLİM DALI LİNEER STİFF DİFERANSİYEL DENKLEM VE STİFF DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİNİN FARKLI RUNGE-KUTTA METODLARI KULLANILARAK HESAPLANMASI
DetaylıT.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ LİNEER VE LİNEER OLMAYAN BAZI ADİ DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİNİN NÜMERİK ÇÖZÜMLERİNİN MAGNUS VE DÜZELTİLMİŞ MAGNUS SERİ AÇILIM YÖNTEMLERİ
Detaylı= t. v ort. x = dx dt
BÖLÜM.4 DOĞRUSAL HAREKET 4. Mekanik Mekanik konusu, kinemaik ve dinamik olarak ikiye ayırmak mümkündür. Kinemaik cisimlerin yalnızca harekei ile ilgilenir. Burada cismin hareke ederken izlediği yol önemlidir.
DetaylıİKİNCİ BASAMAKTAN DİFERANSİYEL DENKLEMLER VE EMDEM- FOWLER TİPİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN BİR SİSTEMİ İÇİN SALINIMSIZLIK KRİTERLERİ.
İKİNCİ BASAMAKTAN DİFERANSİYEL DENKLEMLER VE EMDEM- FOWLER TİPİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN BİR SİSTEMİ İÇİN SALINIMSIZLIK KRİTERLERİ Rukiye TOSUN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ
Detaylı8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar
8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye
DetaylıİÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER
İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 1.1. Fiziksel Kanunlar ve Diferensiyel Denklemler Arasındaki İlişki... 1 1.2. Diferensiyel Denklemlerin Sınıflandırılması ve Terminoloji...
DetaylıLineer Tek Serbestlik Dereceli (TSD) Sistemlerin Tepki Analizi. Deprem Mühendisliğine Giriş Doç. Dr. Özgür ÖZÇELİK
Lineer Tek Serbeslik Dereceli (TSD) Sisemlerin Tepki Analizi Sunum Anaha Tek-serbeslik-dereceli (TSD) sisemlerin epki analizi, Hareke denklemi (Newon nun. yasası ve D Alember Prensibi) Gerçek deplasman,
DetaylıIki Boyutlu Sabit Katsay l Lineer Homogen Diferensiyel Denklem Sistemleri (Euler Metodu)
Iki Boyulu Sabi Kasay l Lineer Homogen Diferensiyel Denklem Sisemleri (Euler Meodu) Bu bölümde sabi kasay l, lineer, homogen 8 >< d = a 1x + b 1 y >: dy d = a 2x + b 2 y sisemi ele al nmakad r. Burada
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan
DetaylıHOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
DetaylıKONYA İLİ SICAKLIK VERİLERİNİN ÇİFTDOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELİ İLE MODELLENMESİ
KONYA İLİ SICAKLIK VERİLERİNİN ÇİFTDOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELİ İLE MODELLENMESİ İsmail KINACI 1, Aşır GENÇ 1, Galip OTURANÇ, Aydın KURNAZ, Şefik BİLİR 3 1 Selçuk Üniversiesi, Fen-Edebiya Fakülesi İsaisik
DetaylıÇift Üstel Düzeltme (Holt Metodu ile)
Tahmin Yönemleri Çif Üsel Düzelme (Hol Meodu ile) Hol meodu, zaman serilerinin, doğrusal rend ile izlenmesi için asarlanmış bir yönemdir. Yönem (seri için) ve (rend için) olmak üzere iki düzelme kasayısının
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 7- SAYISAL TÜREV Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ İntegral işlemi gibi türev işlemi de mühendislikte çok fazla kullanılan bir işlemdir. Basit olarak bir fonksiyonun bir noktadaki
DetaylıThe Nonlinear Models with Measurement Error and Least Squares Estimation
D.Ü.Ziya Gökalp Eğiim Fakülesi Dergisi 5,17-113 5 ÖLÇÜM HATALI LiNEER OLMAAN MODELLER ve EN KÜÇÜK KARELER KESTİRİMİ The Nonlinear Models wih Measuremen Error and Leas Squares Esimaion Öze : u çalışmada,
DetaylıTers Perspektif Dönüşüm ile Doku Kaplama
KRDENİZ EKNİK ÜNİERSİESİ BİLGİSR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSR GRFİKLERİ LBORURI ers Perspekif Dönüşüm ile Doku Kaplama 1. Giriş Bu deneyde, genel haları ile paralel ve perspekif izdüşüm eknikleri, ers perspekif
DetaylıLineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
DetaylıÖDEV SORULARI Güz Yarıyılı Öğretim Üyesi: Prof. Dr. Sedef Kent
LĐNEER CEBĐR ve UYGULMLRI DERSĐ ÖDEV SORULRI 9- Güz Yarıyılı Öğreim Üyesi: Prof. Dr. Sedef Ken Ödev ile ilgili açıklamalar:. Derse ai dör bölümden oluşan ödevlerin amamı buradadır. ncak ödevler konular
DetaylıMath 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012
1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel
DetaylıİSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI TERS PERSPEKTİF DÖNÜŞÜM İLE YÜZEY DOKUSU ÜRETİMİ
İANBUL İCARE ÜNİERİEİ BİLGİAAR MÜHENDİLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİAAR İEMLERİ LABORAUARI ER PERPEKİF DÖNÜŞÜM İLE ÜZE DOKUU ÜREİMİ Bu deneyde, genel haları ile herhangi bir yüzeye bir dokunun kopyalanması üzerinde
DetaylıBir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.
ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı
DetaylıVEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ
1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.
DetaylıT.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI OPTİMAL KONTROL VE OPTİMİZASYON YÜKSEK LİSANS TEZİ.
T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI OPTİMAL KONTROL VE OPTİMİZASYON YÜKSEK LİSANS TEZİ Nilgün CAN Balıkesir, Ocak - 8 T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıBİRİM KÖK TESTLERİNDE YAPISAL KIRILMA ZAMANININ İÇSEL OLARAK BELİRLENMESİ PROBLEMİ: ALTERNATİF YAKLAŞIMLARIN PERFORMANSLARI
BİRİM KÖK TESTLERİNDE YAPISAL KIRILMA ZAMANININ İÇSEL OLARAK BELİRLENMESİ PROBLEMİ: ALTERNATİF YAKLAŞIMLARIN PERFORMANSLARI Arş. Gör. Furkan EMİRMAHMUTOĞLU Yrd. Doç. Dr. Nezir KÖSE Arş. Gör. Yeliz YALÇIN
DetaylıLineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık
Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıKaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.
Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini
DetaylıHATA VE HATA KAYNAKLARI...
İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ... 1 1.1 Giriş... 1 1.2 Sayısal Analizin İlgi Alanı... 2 1.3 Mühendislik Problemlerinin Çözümü ve Sayısal Analiz... 2 1.4 Sayısal Analizde Bilgisayarın Önemi... 7 1.5 Sayısal Çözümün
DetaylıCOBB-DOUGLAS ÜRETİM FONKSİYONU ÜZERİNE BİR GENELLEME
V. Ulusal Üreim Araşırmaları Sempozyumu, İsanul Ticare Üniversiesi, 5-7 asım 005 OBB-DOUGAS ÜRETİM FONSİYONU ÜZERİNE BİR GENEEME Necmein TANRIÖVER Başken Üniversiesi Yiği oray GENÇ Başken Üniversiesi Öze
DetaylıTeori ve Problemleriyle ANALİZ-I. Hüseyin DEMİR. 2. Baskı
Teori ve Problemleriyle NLİZ-I Hüseyin DEMİR 2. Baskı Yrd. Doç. Dr. Hüseyin Demir TEORİ VE PROBLEMLERİYLE NLİZ-I ISBN 978-605-5885-13-7 Kiap içeriğinin üm sorumluluğu yazarlarına aiir. 2014, Pegem kademi
Detaylı13.Konu Reel sayılar
13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık
DetaylıMIT Açık Ders Malzemesi İstatistiksel Mekanik II: Alanların İstatistiksel Fiziği 2008 Bahar
MIT Açık Ders Malzemesi hp://ocw.mi.edu 8.334 İsaisiksel Mekanik II: Alanların İsaisiksel Fiziği 8 Bahar Bu malzemeye aıfa bulunmak ve Kullanım Şarlarımızla ilgili bilgi almak için hp://ocw.mi.edu/erms
DetaylıDeğişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.
1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı1 Vektör Uzayları 2. Lineer Cebir. David Pierce. Matematik Bölümü, MSGSÜ mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/
Vektör Uzayları Lineer Cebir David Pierce 5 Mayıs 2017 Matematik Bölümü, MSGSÜ dpierce@msgsu.edu.tr mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ Bu notlarda, alıştırma olarak her teorem, sonuç, ve örnek kanıtlanabilir;
Detaylı1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
DetaylıGRAF MATRİSLERİ Giriş
Giriş Bir graf (sisem) için Kirchhoff akım ve gerilim denklemleri marissel olarak yazılırsa, bu denklemlerde karşılaşılan marislere Graf Marisleri denir Bilindiği üzere KAY dan düğüm veya kesileme denklemleri,
Detaylıx 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)
ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme
DetaylıEş Zamanlı Yazılımlarda Güvenilirlik Analizi : Literatür Taraması
Eş Zamanlı Yazılımlarda Güvenilirlik Analizi : Lieraür Taraması Erku Tekeli Çukurova Üniversiesi, Kozan Meslek Yüksekokulu, Adana eekeli@cu.edu.r Öze: Son yıllarda yüksek başarımlı hesaplamalara olan ihiyaçlar
DetaylıMakine Öğrenmesi 8. hafta
Makine Öğrenmesi 8. hafa Takviyeli Öğrenme (Reinforcemen Learning) Q Öğrenme (Q Learning) TD Öğrenme (TD Learning) Öğrenen Vekör Parçalama (LVQ) LVQ2 LVQ-X 1 Takviyeli Öğrenme Takviyeli öğrenme (Reinforcemen
DetaylıFİZİK-II DERSİ LABORATUVARI ( FL 2 4 )
FİZİK-II DERSİ LABORATUVARI ( FL 2 4 ) KURAM: Kondansaörün Dolma ve Boşalması Klasik olarak bildiğiniz gibi, iki ileken paralel plaka arasına dielekrik (yalıkan) bir madde konulursa kondansaör oluşur.
DetaylıCopyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7. Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü
Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7 Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required
DetaylıAlıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.
Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)
DetaylıİÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri
Detaylı10.Konu Tam sayıların inşası
10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir
DetaylıTemel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b
Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri
DetaylıDİFERANSİYEL DENKLEMLER-2
DİFERANSİYEL DENKLEMLER- SINIR DEĞER ve ÖZDEĞER PROBLEMLERİ Bu bölümde adi diferansiyel denklemlerde sınır ve özdeğer problemleri ( n) ( n1) incelenecektir. F( y, y,..., y, x) 0 şeklinde verilen bir diferansiyel
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı( x) KİRİŞLERDE ÇÖKME EI PL. Px EI. dy dx. Elastik eğrinin diferansiyel denklemi. Küçük çökmeler için; Serbest uçta(a),
ifhehnis OF TERILS KİRİŞLERE ÇÖKE Beer Johnson ewolf azurek Elasik eğrinin diferansiyel denklemi ρ ( ) P Küçük çökmeler için; ρ + d d y dy d 3 d d y Serbes uça(), ρ ρ B 0, ρ 0, ρ B nkasre uça (B), PL ρ
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması
DetaylıHafta 7: FrekaNS BÖLGESİNE DOĞRU: FOURIER SERİLERİ. İçindekiler
Hafa 7: FrekaNS BÖLGESİNE DOĞRU: FOURIER SERİLERİ İçindekiler 4. ek ve çif sinyaller (Odd & Even signals)... 2 4.2 Konjüge simeri ve konjüge ani-simeri özelliği... 4 4.3 Sürekli zaman periyodik sinyallerin
DetaylıAyrık zamanlı sinyaller için de ayrık zamanlı Fourier dönüşümleri kullanılmatadır.
Bölüm 6 Z-DÖNÜŞÜM Sürekli zamanlı sinyallerin zaman alanından frekans alanına geçişi Fourier ve Laplace dönüşümleri ile mümkün olmaktadır. Laplace, Fourier dönüşümünün daha genel bir şeklidir. Ayrık zamanlı
Detaylı12. Ders Sistem-Model-Simülasyon Güvenilirlik Analizi ve Sistem Güvenilirliği
. Ders Sisem-Model-Simülasyon Güvenilirlik Analizi ve Sisem Güvenilirliği Sisem-Model-Simülasyon Kaynak:F.Özürk ve L. Özbek,, Maemaiksel Modelleme ve Simülasyon, sayfa -9. Aklımız ile gerçek dünyadaki
DetaylıBANKA KREDİ PORTFÖYLERİNİN YÖNETİMİNDE ÖDEMEME RİSKİ ANALİZİ: KALMAN FİLTRESİNE DAYANAN ALTERNATİF BİR YÖNTEM ÖNERİSİ
BANKA KREDİ PORTFÖLERİNİN ÖNETİMİNDE ÖDEMEME RİSKİ ANALİZİ: KALMAN FİLTRESİNE DAANAN ALTERNATİF BİR ÖNTEM ÖNERİSİ K. Bau TUNA * ÖZ Ödememe riski banka kredilerini ve bankaların kredi porföylerini ekiler.
DetaylıTaşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,
DetaylıZaman Domeninde Modelleme Transfer Fonksiyonu Durum Uzay Dönüşümü Durum Uzay Transfer Fonksiyonu DönüşümÜ
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ MM306 SİSTEM DİNAMİĞİ Zaman Domeninde Modelleme Transfer Fonksiyonu Durum Uzay Dönüşümü Durum Uzay Transfer Fonksiyonu DönüşümÜ 1 EEM304 MM306
Detaylı1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
Detaylı9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı
9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,
Detaylıdir. Fonksiyonun (a,b) aralığında integrali ise, her aralıkta alınan integral değerlerini toplanarak, aşağıda verilen şekilde elde edilir.
SAYISAL İNTEGRASYON TEK KATLI İNTEGRASYON Sayısal integrasyon çok geniş bir konudur. Burada problemli olmayan (genelde integrantın tekilliği olmayan, fazla salınım yapmayan, yaklaşım problemi bulunmayan)
DetaylıBölüm 3 HAREKETLİ ORTALAMALAR VE DÜZLEŞTİRME YÖNTEMLERİ
Bölüm HAREKETLİ ORTALAMALAR VE DÜZLEŞTİRME ÖNTEMLERİ Bu bölümde üç basi öngörü yönemi incelenecekir. 1) Naive, 2)Oralama )Düzleşirme Geçmiş Dönemler Şu An Gelecek Dönemler * - -2-1 +1 +2 + Öngörü yönemi
DetaylıELASTİK DALGA YAYINIMI
ELASTİK DALGA YAYINIMI 8. ders - 016 Prof.Dr. Eşref YALÇINKAYA Geçiğimiz ders; Elasisie eorisi Gerilme ve bileşenleri Deformasyon ve bileşenleri Bu derse; Gerilme-deformasyon bağınıları Elasik sabiler
DetaylıBOBĐNLER. Bobinler. Sayfa 1 / 18 MANYETĐK ALANIN TEMEL POSTULATLARI. Birim yüke elektrik alan içerisinde uygulanan kuvveti daha önce;
BOBĐER MAYETĐK AAI TEME POSTUATARI Birim yüke elekrik alan içerisinde uygulanan kuvvei daha önce; F e = qe formülüyle vermişik. Manyeik alan içerisinde ise bununla bağlanılı olarak hareke halindeki bir
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 9 Ağırlık Merkezi ve Geometrik Merkez Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C. Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 9. Ağırlık
DetaylıBÖLÜM-9 TAŞKIN ÖTELENMESİ (FLOOD ROUTING)
BÖLÜM-9 TAŞKIN ÖTELENMEİ (FLD RUTING) 9. GİRİŞ Tarih göseriyor ki pek çok medeniye kurulurken, insanlar için suyun vazgeçilmez öneminden dolayı akarsu kenarları ercih edilmişir. Bunun içme ve sulama suyunu
DetaylıProf.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, BAHAR
MAT 114 LİNEER CEBİR ( İSTATİSTİK, ASTRONOMİ ve UZAY BİLİMLERİ) Hafta 8: İç Çarpım Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.İsmail GÖK 2017-2018 BAHAR İç Çarpım Tanım 23: V bir reel vektör
DetaylıProf.Dr. ÜNAL ERKAN MUMCUOĞLU. merkan@metu.edu.tr
Ders Bilgisi Ders Kodu 9060528 Ders Bölüm 1 Ders Başlığı BİLİŞİM SİSTEMLERİ İÇİN MATEMATİĞİN TEMELLERİ Ders Kredisi 3 ECTS 8.0 Katalog Tanımı Ön koşullar Ders saati Bu dersin amacı altyapısı teknik olmayan
DetaylıSPEKTRAL HESAP. Bir Serbestlik Dereceli Sistemler Bir serbestlik dereceli doğrusal elastik siteme ait diferansiyel hareket denklemi,
Nuri ÖHENDEKCİ SPEKAL HESAP Yapıları ekileyen deprem dalgaları amamen belirli değildir; bu dalgaların özelliklerinde rasgelelik vardır. aman parameresine bağlı bu deprem dalgalarının farklı arilerde oluşmasıyla
DetaylıLİNEER CEBİR DERS NOTLARI. Ayten KOÇ
LİNEER CEBİR DERS NOTLARI Aye KOÇ I MATRİSLER I.1. Taım F bir cisim olmak üzere her i = 1,2,..., m, j = 1,2,..., içi aij F ike a11 a12... a1 a21 a22... a 2 M M... M am1 am2... am (1) şeklide dikdörgesel
DetaylıGEFRAN PID KONTROL CİHAZLARI
GEFRAN PID KONTROL CİHAZLARI GENEL KONTROL YÖNTEMLERİ: ON - OFF (AÇIK-KAPALI) KONTROL SİSTEMLERİ: Bu eknik en basi konrol ekniğidir. Ölçülen değer (), se değerinin () üzerinde olduğunda çıkış sinyali açılır,
DetaylıDENKLEMLER CAUCHY-EULER DENKLEMİ. a n x n dn y dx n + a n 1x n 1 dn 1 y
SABİT KATSAYILI DENKLEMLERE DÖNÜŞTÜREBİLEN DENKLEMLER Bu bölümde sabit katsayılı diferansiyel denklemlere dönüşebilen değişken katsayılı diferansiyel denklemlerden Cauchy Euler ve Legendre difarensiyel
DetaylıYAPI STATİĞİ II (Hiperstatik Sistemler) Yrd. Doç. Dr. Selçuk KAÇIN
YAPI STATİĞİ II (Hiperstatik Sistemler) Yrd. Doç. Dr. Selçuk KAÇIN Yapı Sistemleri: İzostatik (Statikçe Belirli) Sistemler : Bir sistemin tüm kesit tesirlerini (iç kuvvetlerini) ve mesnet reaksiyonlarını
DetaylıELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan
ELASTİSİTE TEORİSİ I Yrd. Doç Dr. Eray Arslan Mühendislik Tasarımı Genel Senaryo Analitik çözüm Fiziksel Problem Matematiksel model Diferansiyel Denklem Problem ile ilgili sorular:... Deformasyon ne kadar
DetaylıMath 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı
Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı 6 Kasım 27 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 3: Bitiş Saati: 4: Toplam Süre: 6 Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı
DetaylıDers 9: Bézout teoremi
Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak
DetaylıDenklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,
Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli
DetaylıMesleki Terminoloji. Sayısal Analiz DERSİ VEREN: ARŞ. GRV. DR. GÖKSEL BİRİCİK MEHMET EMRE ÖNDER DOĞAÇ CEM İŞOĞLU
Mesleki Terminoloji DERSİ VEREN: ARŞ. GRV. DR. GÖKSEL BİRİCİK Sayısal Analiz MEHMET EMRE ÖNDER - 12011061 DOĞAÇ CEM İŞOĞLU - 11011074 Sayısal Analiz Nedir? Sayısal analiz, yada diğer adıyla numerik analiz,
DetaylıDiferensiyel Denklemler I Uygulama Notları
2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4
DetaylıFARK DENKLEMLERİ SİSTEMİ
FARK DENKLEMLERİ SİSTEMİ 2 Daha önce alıncı bölümde ek değişken durumunda fark denklemlerini ele almışık. Burada değişken sayısının iki ya da daha fazla olduğu fark denklemlerinden oluşan bir sisemin çözümü
Detaylı4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
4. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi BLM33 DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu
Detaylıhafta 6: Katlama işlemi özellikleri
hafa 6: Kalama işlemi özellikleri 3.4 Kalama işlemi özellikleri... 2 3.4.1 Yer değişirme özelliği (Commuaive Propery)... 2 3.4.2 Dağılma özelliği (Disribuive Propery)... 2 3.4.2.1 Dağılma özelliği kullanarak
DetaylıBÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES)
BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) Lagrange ve Neville yöntemlerinin bazı olumsuz yanları vardır: İşlem sayısı çok fazladır (bazı başka yöntemlere kıyasla) Data setinde bir nokta ilavesi veya çıkartılması
DetaylıKPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1
SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
Detaylıİç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN
İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.
DetaylıDevreler II Ders Notları
Devreler II Der Noları 3-4 LAPLACE DÖNÜŞÜMÜNÜN DURUM DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜNDE KULLANILMAI Doğrual zamanla değişmeyen bir devrenin analizi için oluşan durum denklemi abi kaayılı doğrual diferaniyel denklem
DetaylıBox-Jenkıns Modelleri ile Aylık Döviz Kuru Tahmini Üzerine Bir Uygulama
Kocaeli Üniversiesi Sosyal Bilimler Ensiüsü Dergisi (6) 2003 / 2 : 49-62 Box-Jenkıns Modelleri ile Aylık Döviz Kuru Tahmini Üzerine Bir Uygulama Hüdaverdi Bircan * Yalçın Karagöz ** Öze: Bu çalışmada geleceği
DetaylıFEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS
Bir Dönemde Okutulan Ders Saati MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1 Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2 Fonksiyonlar,
DetaylıBARAJ GÖLLERİNDE DEPREM SIRASINDA OLUŞAN HİDRODİNAMİK BASINÇLARIN SAYISAL BENZETİMİ
Eskişehir Osmangazi Üniversiesi Mühendislik Mimarlık Fakülesi Dergisi Cil:XXII, Sayı:3, 29 Journal of Engineering and Archiecure Faculy of Eskişehir Osmangazi Universiy, Vol: XXII, No:3, 29 Makalenin Geliş
Detaylı1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.
1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)
DetaylıLineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler
Lineer Cebir Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Bölüm 1 - Lineer Eşitlikler 1.1. Lineer Eşitliklerin Tanımı x 1, x 2,..., x
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)
.DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıİKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden
Detaylıbiçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces
TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)
DetaylıProf.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, BAHAR
MAT 114 LİNEER CEBİR ( İSTATİSTİK, ASTRONOMİ ve UZAY BİLİMLERİ) Hafta 7: Lineer Dönüşümlerde Görüntü Uzayıve Çekirdek Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.İsmail GÖK 2017-2018 BAHAR Lineer
Detaylı