Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ"

Transkript

1 Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ Kapalı-döngü denetim sisteminin geçici-durum davranışının temel özellikleri kapalı-döngü kutuplarından belirlenir. Dolayısıyla problemlerin çözümlenmesinde, kapalı-döngü kutuplarının s-karmaşık sayı düzlemindeki dağılımın araştırılması gerekir. Kapalı-döngü sistemlerinin incelenmesi ve tasarımında kapalı-döngü kutuplarının ve sıfırlarının s-düzleminde arzu edilen konumda yerleşimini sağlamak üzere açık-döngü kutuplarının ve sıfırlarının ayarlanması gerekir. Kapalı-döngü kutupları, özyapısal denklemin kökleridir. Bu kökleri bulmak için özyapısal polinomun çarpanlara ayrılması gerekir. Bu ise genelde üçüncü ve daha yüksek dereceden polinomlarda çok zaman alıcı bir işlemdir. Ayrıca açık-döngü kazancı, değişken bir parametre olduğundan polinomun çarpanlara ayırmak için kullanılan klasik teknikler her zaman uygun olmamaktadır. Özyapısal denklemin köklerinin bulunmasından kullanılan bir yöntem ise W.R. Evans tarafından geliştirilmiştir. Kök-yer eğrisi yöntemi adını alan bu grafik teknik, sistem kazancının bir fonksiyonu olarak sisteme ait özyapısal denklemin köklerinin belirlenmesini sağlar. Bu yöntem kapalı-döngü transfer fonksiyonu ile açık-döngü transfer fonksiyonu arasındaki mevcut bağıntıya dayanır. Özyapısal denklemin köklerinin geometrik yeri, genellikle sistem kazancı olan parametrelerin tüm değerleri için s-düzleminde çizilir. Bu parametrenin özel bir değerine karşılık gelen kökler, elde edilen grafiğin üzerinde belirlenir. Genellikle bu parametre sistemin kazanç değeri olmakla beraber, açık-döngü transfer fonksiyonun diğer herhangi bir parametresi de kullanılabilir.

2 Kapalı-döngü sistemin özyapısal denklemi köklerinin geometrik yerinin çizdiği eğri kazancın sıfırdan sonsuza kadar olan değişimine bağlı olarak elde edilir. Böyle bir eğri ise açık-döngü kutup veya sıfırının kapalı-döngü kutuplarının yerleşimleri üzerindeki paylarını açık bir şekilde gösterir. Kök-yer eğrisi yöntemi kazanç parametreli açık-döngü kutup ve sıfırlarından kapalı-döngü kutuplarının bulunmasını sağlar. Bir doğrusal denetim sistemi tasarımında, kök-yer eğrisi yöntemi çok kullanışlı olmaktadır. Çünkü bu yöntem yoluyla açık-döngü kutupları ve sıfırlarını sistemin başarım isteklerini karşılayacak biçimde değiştirmek mümkündür.

3 Kapalı-döngü transfer fonksiyonun kutupların bulunması için aşağıdaki koşulların sağlanması gerekir. Kapalı-döngü sistem 1+G(s)H(s)=0 G(s)H(s)= -1 Yukarıdaki denklemde, kapalı-döngü kutupunun var olma koşulunu, açı koşulu ve modül koşulu olmak üzere iki durumu belirler. Burada G(s)H(s) bir karmaşık sayı fonksiyonu olarak açı ve modül olmak üzere iki unsuru vardır. Açı koşulu, G(s)H(s) = 180 (2k+1) (k = 0, ± 1, ± 2,...) (9.3) ± şeklinde ifade edilir. Burada G(s)H(s) in açısı 180 çarpımının tek katlarıdır. Modül (büyüklük) koşulu: G(s)H(s) modülü birim değere eşit olmalıdır. Bu da G(s)H(s) = 1 (9.4) şeklinde gösterilir. Açı ve modül koşullarını sağlayan s değerleri özyapısal denklemin kökleri veya kapalı-döngü kutuplarıdır.

4 Karmaşık açı koşulunu sağlayan noktaların çizdiği eğri köklerin geometrik yerinin eğrisi veya kısaca kök-yer eğrisidir. Kazancın belirli bir değerine karşılık gelen özyapısal denklemin kökleri ise modül koşulundan belirlenir. Şekil 9.2 Kök-yer eğrisinin çizimi Belli bir sistemin kök-yer eğrisinin çizimi karmaşık düzlemde açık-döngü kutupları ve sıfırlarının bulunması ve bunların karmaşık sayı düzlemine yerleştirmesi ile başlar. Kök-yer eğrisi üzerinde yer alan diğer noktaları bulmak için çeşitli test noktaları bulunur ve bu noktalarının (9.3) nolu denklemle verilen açı koşulunu sağlayıp sağlamadığına bakılır. Karmaşık düzlemde herhangi bir test noktasındaki G(s)H(s) açısı çeşitli kutup ve sıfırlardan bu noktaya olan açıların ölçülmesi yoluyla bulunur. Örnek olarak açık-döngü transfer fonksiyonu aşağıda verilen kapalı-döngü sistemini ele alalım.

5 Karmaşık düzlemde herhangi bir test noktasındaki G(s)H(s) açısı çeşitli kutup ve sıfırlardan bu noktaya olan açıların ölçülmesi yoluyla bulunur. Örnek olarak açıkdöngü transfer fonksiyonu aşağıda verilen kapalı-döngü sistemini ele alalım.

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29 KÖK-YER EĞRİSİ DİYAGRAMININ KESİŞEN VE KESİŞMEYEN KOLLARI, GENEL BİÇİMİ VE BASKIN KARAKTERLİ KOLLARI Bundan önceki bölümlerde ve ele alınan çeşitli örneklerde kökyer eğrisinin genellikle birden fazla kolu olan kök-yer eğrileri diyagramından ibaret olduğunu gördük. Bu kollar üzerinde köklerin yeri ise bir sistem parametresine göre değişim gösterir. Örneğin gerçek kökler gerçek eksen üzerinde yer alan kolların durumunu vermektedir. Benzer şekilde karmaşık sayı düzlemi içinde yer alan karmaşık eşlenik köklerin yerini de kök-yer eğrisinin karmaşık sayı düzleminde yer alan kol çiftlerini verir. Sisteme ait bir 's' değerinin kök-yer eğrisi üzerinde yer alabilmesi için bu değerin (9.3) nolu denklem ile verilen açı koşulunu sağlaması gerekir. Eğer ele alınan bu noktada dw(s)/ds= 0 ise bu noktadan geçen yalnızca bir tek kök-yer eğrisi kolu bulunabilir. Diğer bir deyişle böyle bir nokta üzerinde kök-yer eğrisi kolları kesişemez. Burada W(s), 1+KG(s)H(s)=0 özyapısal denklemde kazanç katsayısının çekilmesiyle elde edilen fonksiyondur. G(s)H(s) = 180 (2k+1) (k = 0, ± 1, ± 2,...)

30 Eğer kök-yer eğrisi üzerinde verilen bir noktada W(s) fonksiyonun ilk (y-1) nci türevi sıfır değerini alıyorsa bu noktaya giden ve bu noktadan ayrılan "y" adet kök-eğrisi kolu bulunur. Dolayısıyla kökyer eğrileri bu noktada kesişirler. Bu noktaya giden iki komşu kol arasında açı formülü, şeklinde verilir. Benzer şekilde noktaya giden ve noktadan ayrılan iki komşu kol arasındaki açı ise 180 θ y = ± y

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

11. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ

11. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ 2012 11. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni 1.ÜNİTE: KARMAŞIK SAYILAR x 2 +3=0 gibi denklemlerin gerçek sayılarda çözümü olmadığından bu denklemlerin boş kümeden farklı çözüm kümeleri

Detaylı

BÖLÜM 9 Kök-yer Eğrisiyle Tasarım

BÖLÜM 9 Kök-yer Eğrisiyle Tasarım BÖLÜM 9 Kök-yer Eğrisiyle Tasarım GİRİŞ Kök-yer eğrisi bize grafik olarak sistemin geçici hal cevabı ve kararlılığı ile ilgili bilgi verir. Sistemin geçici hal cevabı ve kararlılığı ile ilgili bilgi almak

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

BÖLÜM 5 TRANSİSTÖRLERİN DC ANALİZİ. Konular: Amaçlar:

BÖLÜM 5 TRANSİSTÖRLERİN DC ANALİZİ. Konular: Amaçlar: ÖLÜM 5 5 TRANSİSTÖRLRİN D ANALİZİ Konular: Amaçlar: 5.1 Transistörde D çalışma noktası 5.2 Transistörde temel polarama 5.3 eyz polarma 5.4 Gerilim bölücülü polarma devresi 5.5 Geribeslemeli polarma devresi

Detaylı

ŞEKİL DEĞİŞTİRME HALİ

ŞEKİL DEĞİŞTİRME HALİ ŞEKİL DEĞİŞTİRME HALİ GİRİŞ Önceki bölümde cisme etkiyen kuvvetlerin dengesi incelenerek gerilme kavramı geliştirildi. Bu bölümde ise şekil değiştiren cisim mekaniğinin en önemli kavramlarından biri olan

Detaylı

Hangi mallar/hizmetler ne miktarda üretilmelidir? Hangi kaynaklar ne kadar kullanılarak üretimde bulunulmalıdır?

Hangi mallar/hizmetler ne miktarda üretilmelidir? Hangi kaynaklar ne kadar kullanılarak üretimde bulunulmalıdır? 3. TERCİH, TÜKETİCİ VE ÜRETİCİ KURAMLARI Bu bölümde, mikro iktisadın iki önemli yapı taşı üretici ve tüketicinin rasyonel davranışlarının iktisadi olarak nasıl analiz edileceğini öğreneceğiz. Üretici ve

Detaylı

Ergime ve katılaşma 2/41

Ergime ve katılaşma 2/41 Faz Diyagramları Ergime ve katılaşma Bir malzemenin eritilmesi ve katılaşması sırasında meydana gelen olayları bilerek bizler amacımıza uygun malzemeler elde edebiliriz. Bunun için erime ve katılaşma sırasında

Detaylı

SU DALGALARINDA GİRİŞİM

SU DALGALARINDA GİRİŞİM SU DALGALARINDA GİRİŞİM Yukarıda iki kaynağın oluşturduğu dairesel su dalgalarının meydana getirdiği girişim deseni gösterilmiştir Burada kesikli çizgiler dalga çukurlarını, düz çizgiler dalga tepelerini

Detaylı

2. SAF MADDENİN ÖZELİKLERİ. 2.1. Saf Madde

2. SAF MADDENİN ÖZELİKLERİ. 2.1. Saf Madde 2. SAF MADDENİN ÖZELİKLERİ 2.1. Saf Madde Her noktasında aynı ve değişmeyen bir kimyasal bileşime sahip olan maddeye saf madde denir. Saf maddenin sadece tek bir kimyasal element veya bileşimden oluşması

Detaylı

11. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ

11. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ 2012 11. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni 1. ÜNİTE: DÖRTGENLER DÖRTGEN VE TEMEL ELEMANLARI Herhangi üçü doğrusal olmayan A, B, C ve D noktaları verilsin. [AB], [BC], [CD] ve [DA]

Detaylı

1. Giriş 2. Kristal Yapılar 3. Kristal Kafes Noktaları 4. Kristal Kafes Doğrultuları ve Düzlemler MALZEME BILGISI B3

1. Giriş 2. Kristal Yapılar 3. Kristal Kafes Noktaları 4. Kristal Kafes Doğrultuları ve Düzlemler MALZEME BILGISI B3 1. Giriş 2. Kristal Yapılar 3. Kristal Kafes Noktaları 4. Kristal Kafes Doğrultuları ve Düzlemler Katı malzemeler, atomların veya iyonların oluşturdukları düzene göre sınıflandırılabilir. Bir kristal

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Levent Çetin. Alternatif Gerilim. Alternatif Akımın Fazör Olarak İfadesi. Temel Devre Elemanlarının AG Etkisi Altındaki Davranışları

Yrd. Doç. Dr. Levent Çetin. Alternatif Gerilim. Alternatif Akımın Fazör Olarak İfadesi. Temel Devre Elemanlarının AG Etkisi Altındaki Davranışları Yrd. Doç. Dr. Levent Çetin İçerik Alternatif Gerilim Faz Kavramı ın Fazör Olarak İfadesi Direnç, Reaktans ve Empedans Kavramları Devresinde Güç 2 Alternatif Gerilim Alternatif gerilim, devre üzerindeki

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

PARALEL MEKANİZMALARIN KİNEMATİĞİ, DİNAMİĞİ VE ÇALIŞMA UZAYI

PARALEL MEKANİZMALARIN KİNEMATİĞİ, DİNAMİĞİ VE ÇALIŞMA UZAYI HAVACILIK VE UZAY TEKNOLOJİLERİ DERGİSİ OCAK 25 CİLT 2 SAYI 1 (19-36) PARALEL MEKANİZMALARIN KİNEMATİĞİ, DİNAMİĞİ VE ÇALIŞMA UZAYI Elmas ANLI Uçak Müh. Böl İstanbul Teknik Üni. anli@itu.edu.tr Hüseyin

Detaylı

www.mehmetsahinkitaplari.org

www.mehmetsahinkitaplari.org MATEMA www.mehmetsahinkitaplari.org T T r. P ALME YA YINCILIK Ankara I PALME YAYINLARI: 76 Sinif Matematik Konu Anlatım / Mehmet Şahin Yaına Hazırlama : PALME Dizgi-Grafik Tasarım Birimi Yaın Editörü :

Detaylı

KROMATOGRAFİYE GİRİŞ. Ref. e_makaleleri, Enstrümantal Analiz

KROMATOGRAFİYE GİRİŞ. Ref. e_makaleleri, Enstrümantal Analiz 1 KROMATOGRAFİYE GİRİŞ Ref. e_makaleleri, Enstrümantal Analiz Bir analitte bulunan engelleyici maddeler fiziksel veya kimyasal yöntemlerle ayrılabilir; bunlar çok bilinen distilasyon, kristalizasyon, çözgen

Detaylı

Temel Ders Kitabı: Fen Bilimcileri ve Mühendislik için Fizik; Douglas C. Giancoli, Akademi, 2009 (Dördüncü Baskıdan Çeviri)

Temel Ders Kitabı: Fen Bilimcileri ve Mühendislik için Fizik; Douglas C. Giancoli, Akademi, 2009 (Dördüncü Baskıdan Çeviri) FİZİK 102 Temel Ders Kitabı: Fen Bilimcileri ve Mühendislik için Fizik; Douglas C. Giancoli, Akademi, 2009 (Dördüncü Baskıdan Çeviri) 1. Hafta: Elektrik Alanları (Bölüm 21) Elektrik Yükü: Pozitif ve negatif

Detaylı

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir,

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir, 14. Binom ve Poisson olasılık dağılımları Faktöriyeller ve kombinasyonlar Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, n! denir ve n! = 1.2.3...(n-2).(n-l).n biçiminde gösterilir.

Detaylı

Temel Devre Elemanlarının Alternatif Gerilim Etkisi Altındaki Davranışları

Temel Devre Elemanlarının Alternatif Gerilim Etkisi Altındaki Davranışları Temel Devre Elemanlarının Alternatif Gerilim Etkisi Altındaki Davranışları Direnç (R) Alternatif gerilimin etkisi altındaki direnç, Ohm kanunun bilinen ifadesini korur. Denklemlerden elde edilen sonuç

Detaylı

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. MALZEME BILGISI B9

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. MALZEME BILGISI B9 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Aşağıdaki grafik saf suya (H 2 0) ait faz diyagramını göstermektedir. Bu grafikte yer alan değişkenler; dış basınç (düşey eksende ve logaritmik ölçekte) ve sıcaklıktır. Bir bakıma

Detaylı

EŞ POTANSİYEL VE ELEKTRİK ALAN ÇİZGİLERİ. 1. Zıt yükle yüklenmiş iki iletkenin oluşturduğu eş potansiyel çizgileri araştırıp bulmak.

EŞ POTANSİYEL VE ELEKTRİK ALAN ÇİZGİLERİ. 1. Zıt yükle yüklenmiş iki iletkenin oluşturduğu eş potansiyel çizgileri araştırıp bulmak. EŞ POTANSİYEL VE ELEKTRİK ALAN ÇİZGİLERİ AMAÇ: 1. Zıt yükle yüklenmiş iki iletkenin oluşturduğu eş potansiyel çizgileri araştırıp bulmak. 2. Bu eş potansiyel çizgileri kullanarak elektrik alan çizgilerinin

Detaylı

ÖLÇME HATALARI VE ÖZELLİKLERİ

ÖLÇME HATALARI VE ÖZELLİKLERİ ÖLÇME VE KONTROL Birim adı verilen ve bilinen bir değerle, kendi cinsinden bilinmeyen bir değeri kıyaslamaya (karşılaştırmaya) ÖLÇME denir. Parçaların istenilen ölçü sınırları içersinde yapılıp yapılmadıkları

Detaylı

BÖLÜM 4 DAİMİ, BİR-BOYUTLU, SÜRTÜNMESİZ AKIMLAR

BÖLÜM 4 DAİMİ, BİR-BOYUTLU, SÜRTÜNMESİZ AKIMLAR BÖLÜ 4 DAİİ, BİR-BOYULU, SÜRÜNESİZ AKILAR 4.- Bir boyutlu akım yaklaşımı 4.- Daimi, bir-boyutlu, sürtünmesiz akım denklemleri 4..- Bir-boyutlu süreklilik denklemi 4..- Bir-boyutlu momentum denklemi (Euler

Detaylı

MALZEME BİLGB DEĞİŞ. Yrd. Doç. Dr. Hayri ÜN. Pamukkale Üniversitesi 2007 - BAHAR

MALZEME BİLGB DEĞİŞ. Yrd. Doç. Dr. Hayri ÜN. Pamukkale Üniversitesi 2007 - BAHAR 4 MALZEME BİLGB LGİSİ ŞEKİL DEĞİŞ ĞİŞTİRME Yrd. Doç. Dr. Hayri ÜN Pamukkale Üniversitesi 2007 - BAHAR ŞEKİL L DEĞİŞ ĞİŞTİRME Dış kuvvetlerin tesiri altında bulunan herhangi bir cismin şeklinde bazı değişiklikler

Detaylı

FAYDALI MODEL BAŞVURUSU NASIL HAZIRLANIR?

FAYDALI MODEL BAŞVURUSU NASIL HAZIRLANIR? FAYDALI MODEL BAŞVURUSU NASIL HAZIRLANIR? Ocak 2012 1 BAŞVURU HAZIRLAMA TPE nezdinde yapacağınız faydalı model başvurusunda aşağıdaki unsurlar bulunmalıdır: - Başvuru formu (TPE-P-102) - Başvuru ücreti

Detaylı

Arş.Gör. Işıl SARIÇİÇEK. Jeofizik Mühendisliği Eğitimi Sertifika Programı MÜHENDİSLİK PROBLEMLERİNDE GPR YÖNTEMİ GÜMÜŞHANE ÜNİVERSİTESİ

Arş.Gör. Işıl SARIÇİÇEK. Jeofizik Mühendisliği Eğitimi Sertifika Programı MÜHENDİSLİK PROBLEMLERİNDE GPR YÖNTEMİ GÜMÜŞHANE ÜNİVERSİTESİ GÜMÜŞHANE ÜNİVERSİTESİ (Sürekli Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi) Jeofizik Mühendisliği Eğitimi Sertifika Programı MÜHENDİSLİK PROBLEMLERİNDE GPR YÖNTEMİ Arş.Gör. Işıl SARIÇİÇEK GÜMÜŞHANE, 2014 ÖNSÖZ

Detaylı

İÇİNDEKİLER Sayfa ŞEKİL LİSTESİ... iv TABLO LİSTESİ...vii SEMBOL LİSTESİ... viii KISALTMA LİSTESİ... x ÖZET... 1 GİRİŞ...

İÇİNDEKİLER Sayfa ŞEKİL LİSTESİ... iv TABLO LİSTESİ...vii SEMBOL LİSTESİ... viii KISALTMA LİSTESİ... x ÖZET... 1 GİRİŞ... İÇİNDEKİLER Sayfa ŞEKİL LİSTESİ... iv TABLO LİSTESİ...vii SEMBOL LİSTESİ... viii KISALTMA LİSTESİ... x ÖZET... 1 GİRİŞ... 2 BÖLÜM 1 1 GÜNEŞ... 4 1.1 Güneş Enerjisi... 4 1.2 Türkiye de Güneş Enerjisi Potansiyeli...

Detaylı

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (3. Hafta)

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (3. Hafta) TAŞIYICI SİSTEMLER VE MESNET TEPKİLERİ STATİK (3. Hafta) Taşıyıcı Sistemler Bir yapıya etki eden çeşitli kuvvetleri güvenlik sınırları içinde taşıyan ve bu kuvvetleri zemine aktaran sistemlere taşıyıcı

Detaylı

Parametrik Yer Eğrileri

Parametrik Yer Eğrileri Parametrik Yer Eğrileri Haldun Gürmen Özgür Cemal Özerdem Yakın Doğu Üniversitesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü Alernatif akım devrelerinde parametrik empedans veya admitanslara sık rastlanır.

Detaylı