Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri"

Bulut Durmaz
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri PROJENİN ADI: ÖKLİD NE SÖYLER CAUCHY NE ANLAR HAZIRLAYANLAR : AYŞE İREM AKYILDIZ ZEYNEP KOÇYİĞİT ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR FEN LİSESİ İSTANBUL-04

2 Projenin Adı: Öklid Ne Söyler Cauchy Ne Anlar Proje Öğrencileri: Ayşe İrem Akyıldız Zeynep Koçyiğit Projenin Amacı: Matematik derslerinde öğrenilen konulardan iriri ile herhangi ir ağı yokmuş gii görünen iki teoremi irleştirerek elementer seviyedeki eşitsizlikler için pratik ir çözüm yöntemi elirlemek. Projede Kullanılan Yöntem: Projemizi hazırlarken lise matematik müfredatında 9. Sınıf konularından olan Vektörlerde Öklid İç Çarpım ve 0. Sınıf matematik müfredatından eşitsizlikler konuları kullanılmıştır. Giriş ve Ön Tanımlar: Matematik ve Geometri dersinde öğrenilen konuların irçoğu diğer derslerde yani fizik kimya iyoloji gii temel derslerde kullanılmaktadır. Böylelikle adı geçen temel ilim dallarında ulaşılmaya çalışılan sonuç net içimde ortaya koyulacaktır. Sadece diğer ilim dallarında değil matematik iliminde de irçok alt aşlık iriri ile ağlantılıdır. Özellikle geliştirilmeye çalışılan yeni tip çözüm yöntemlerinde u ağlantılar matematikçiler tarafından kullanılmıştır. Bizim yaptığımız u projede de iz iririnden farklı gii görünen Öklid İç Çarpımı Konusu ile Eşitsizlik konusunu ir arada aldık. Bazı sorulara alternatif çözüm yöntemleri geliştirdik. Bu çözüm yöntemlerini vermeden önce çalışma oyunca kullanacağımız temel tanımları verelim. Tanım(Öklid İç Çarpımı Ceirsel): a = [a a... a n ] ve = [... n ] irer vektör olmak üzere. tanımlanmıştır. Örneğin elimizdeki vektörler [ 3 5] ve [4 ] olmak üzere u iki vektörün iç çarpımı aşağıdaki gii olacakır. Ceirsel tanımını verdiğimiz Öklid İç Çarpımın geometrik tanımını da verelim.

3 Tanım(Öklid İç Çarpımı Geometrik): Öklid uzayında tanımlanan A ve B vektörlerinin arasındaki açı ise u iki vekörün çarpımı olarak tanımlanır. Bu ifadede vektörün üyüklüğünü yani normunu göstermektedir. Yukarıda verilen her iki ifadede de ulunan sonuçlar aynıdır. Birinci anımda sadece vektörlerin ileşenleri kullanılırken ikinci tanımda vektörler arasındaki açıda önem kazanmaktadır. Yani olacakır. Method. Eğer verdiğimiz son eşitliğe akarsak eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin çarpanlarından irinin olacaktır. Bu noktada kosinüs ve sinüs fonksiyonunun grafiğini inceleyelim. Buna göre grafik aşağıdaki gii olacaktır. Şekil Sin ve Cos fonksiyonlarının grafikleri. Yani u grafikten diyeiliriz ki kosinüs fonksiyonu maksimum ve minimum - değerini alacaktır. Öyleyse eşiliği için eşitsizliği doğrudur diyeiliriz.

4 Şimdi u elde ettiğimiz eşitsizliği kanıtlamaya çalışalım. Varsayalım U ve V uzayda ileşenleri reel veya kompleks sayılardan oluşan iki vektör olsun. Buna göre izim amacımız eşitsizliğini göstermektir. V vektörünün 0 olması durumunda eşitliğin olduğu açıktır. Bu seeple ispaımız süresince olarak kaul edeceğiz. Varsayalım U vektörünün V vektörü üzerine dik izdüşümü Z olsun. Buna göre Z vektörü olacaktır. Buradan iç çarpımın özelliğinden olacaktır. Yani olacaktır. Eğer Pisagor teoremini eşitliği üzerine uygularsak eşitsizliğini elde ederiz. Bu son eşitsizliği kısaltırsak Eşitsizliği elde edilecektir. İspat tamamlanmış olur. Uygulama. Yukarıda son olarak kanıtladığımız eşitsizliği kullanarak azı eşitsizlik prolemlerine çözüm geliştirmeye çalışalım. Örnek: a 4 a ifadesinin alaileceği en küçük değer kaçtır? Çözüm: Vektörlerimizi A a ve B a olarak seçersek; AB a 3 a

5 3 a a 3 4 a a 9 a 4 a Örnek: ac pozitif reel sayılar olmak üzere; a..c c.a. a..c c.a 9a..c eşitsizliğini gösteriniz Çözüm: vektörlerimizi A a c c a ve B a c a c olarak elirleyelim AB A.B olacağına göre 3 AB a a c c ac ac 3 a.a...c.c 3ac urada A.O G.O kullandık 3ac a c c a a c a c Eşitsizliğin her iki tarafının karesini alalım çünkü ac pozitif reel sayı 9a c a c c a. a c ca olur. Örnek: ac d pozitif reel sayılar için a c d a c d eşitsizliğini gösteriniz Çözüm: ac d olduğuna göre(a++c+d 0) a c d eşitliğini yazailiriz a c d

6 Vektörlerimizi A a c d ve B 4 a c d olarak seçelim.eğer; AB A.B eşitsizliğini kullanırsak AB a c d 4 8 ulunacaktır a c d 8 A. B ise 64 A. B a c d. 4 6 a c d olacaktır. Örnek: x y z eşitliğini sağlayan reel sayılar için x 3y 6z ifadesinin alaileceği en küçük değeri ulunuz Çözüm: Vektörlerimizi A 3 6 ve B.x 3.y 6.z olarak elirleyelim AB.x 3.y 6.z x y z (soruda x y z 3 6 verilmiş) AB A.B ise x 3y 6z. x 3y 6z 3 6 x 3y 6z eşitsizliğinden en küçük değer olarak ulunur Örnek: xyz pozitif reel sayılar olmak üzere; 5a c 3c a ifadesinin alaileceği en küçük değeri ulunuz. Çözüm: Vektörlerimizi A 5a 3c ve 5 B 0 3c a olarak alalım; AB A.B eşitsizliğini kullanalım.buna göre; 5 AB 5 0 3c a 3c

7 5 3 5a 0 3c 5a c 3c a 3c a Eşitsizliğinden en küçük değer 3 olarak ulunur. Örnek: m ve n tamsayı olmak üzere m n 000 ise 3m 4n nin alaileceği en üyük değer nedir? (93 Tüitak) Çözüm: vektörlerimizi A 34 ve B mn alalım AB A.B eşitsizliğini kullanalım 3m 4n 3 4. m n 3m 4n 5. m n m n 000 ve mn tamsayı olduğundan 3m 4n m 4n m 4n en çok 500 olur Örnek: acd 0 ve c d a 3 ise Çözüm: Önce vektörlerimizi elirleyelim a c d 3 3 olduğunu gösteriniz. a A c 3 3 d ve B ac d olarak alalım 3 3 a. ac. d AB a c d AB A.B ise a A. B olacaktır:bu eşitsizliğin her iki tarafınında karesi alınırsa a c d 3 3 ac d a olur. a. a 3

8 a. c d olur. Şimdi yeniden vektör elirleyelim A a ve B cd AB ac d olacağından ise ac d a. c d ve a. c d ac d ac d olacağından ac d a. c d olacaktır. Buna göre; 3 3 a. ac d ac d c d olur. acd 0 a c 3 3 d ulunur. Sonuç ve Değerlendirme. Yaptığımız u projede aslında Cauchy Eşitsizliği ile çözüleilen azı eşitsizliklerin kanıtlarının hem fizik hem de matematik dersinin konusu olan vektörler ve vektör iç çarpımları kullanılarak da gösterileileceğini ortaya koyduk. Çözümlerimizin anlaşılması ve görsel olarak kavranmasının daha kolay olduğuna inanıyoruz. Benzer içimde projemizin ilerleyen aşamalarında vektörlerin öğrendiğimiz diğer özellikleri ile de aşka eşitsizlik prolemlerinin çözümleneileceğine inanıyoruz. Teşekkür. ederiz. Çalışmalarımıza destek olan ve izlere güvenen ailelerimize ve okul idaremize teşekkür

9 Kaynakça Cauchy Schwarz Inequality. (0). 04 tarihinde Wikipedia: adresinden alındı Erkip A. (99). Bazı Temel Eşitsizlikler. Matematik Dünyası s Inner Product Space. (0). 04 tarihinde Wikipedia: adresinden alındı Li K. (00 Ocak). Vector Geometry. Mathematical Excaliure s. -4. Malikic S. (007 Kasım). Inequalities with Product Condition. Mathematical Excaliure s. -4. Özdemir M. (03). Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık V. İzmir: Altın Nokta Yayınları.

Benzer belgeler

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu