Bölüm 3. Tanımlayıcı İstatistikler. Tanımlayıcı İstatistikler. Tanımlayıcı İstatistikler. Yer Ölçüleri

Transkript

1 Taımlayıcı İstatstler Bölüm 3 Taımlayıcı İstatstler Br ver set taıma veya brde azla ver set arşılaştırma ç ullaıla ve ayrıca öre verlerde hareet le reas dağılışlarıı sayısal olara özetleye değerlere taımlayıcı statstler der. Aalzlerde ullaıla ver tplere (bast, gruplamış, sıılamış) göre hesaplamalarda ullaılaca ormüller değşmetedr. Yer Ölçüler )Artmet ort. )Geometr ort. 3)Harmo ort. 4)Mod 5)Medya 6)Kartller Taımlayıcı İstatstler Değşel Ölçüler ) Rage (Değşm Aralığı) ) Ort. Mutla sapma 3) Varyas Ölçüsü 4) Stadart Sapma 5) Değşel(Varyasyo) Katsayısı Çarpılı Ölçüler )Pearso Asmetr Ölçüsü )Bowley Asmetr Basılı Ölçüler Yer Ölçüler Yer ölçüsüü belrleme amacıyla ver aalz yapaca ş, öcelle ver set ç hag ölçüyü ullaması geretğe arar vermeldr. 3 4

2 Taım Merez Eğlm Ölçüsü Ver set orta otası veya merez değerdr. Yer Ölçüler 5 Hesaplama tüm verler ullaıldığı ölçüler -Artmet Ort. -Ağırlılı Art. Ort. -Geometr Ort. -Harmo Ort. Hesaplama tüm verler ullaılmadığı ölçüler -Mod -Medya -Kartl 6 ) Artmet Ortalama Üzerde celeme yapıla ver setde elemaları toplaıp celee elema sayısıa bölümesyle elde edle yer ölçüsüe artmet ortalama der. Öre: Sıav otlarıı ortalaması, Yaz aylarıda m ye düşe ortalama yağış mtarı x Öre Ortalaması ve Aaütle Ortalaması, x-bar şelde telauz edlr ve örelem ortala masıdır. x = x µ, mü şelde telauz edlr ve aaütle ortalamasıdır µ = x N 7 8

3 Br Dege Notası Olara Ortalama, 4, 9, 3, 50 sayılarıı ortalaması =3 tür. Şel sayıları br çzg üzerde yerleştrlmş eşt üçü ağırlılar şelde gösterr.,4,9,3,50 Artmet ortalama dege otasıdır. Eğer çzgy üzerde ağırlılar ola br tahta olara düşüürse, tahtayı degede tutma ç ü buluduğu yerde dege otası oymalıyız. Bu artmet dege otasıı özellğ; her br sayı ç x - yü hesaplarsa pozt ve egat sayılar degede alır çüü toplamları 0 olur. Herhag br ver set ç, olur. ( x ) 0 x x 9 x uzalığı 0 Bast Verler ç Artmet Ortalama Öreğ Öre: İzmr lde löğretm c sııta ouya öğrecler üzerde yapıla br araştırmada rasgele 8 öğrec seçlmş ve alezde aç çocu vardır sorusua aşağıda gb cevap vermşlerdr. Aleler çocu sayılarıı ortalamasıı hesaplayıız. = 8 =,,,8,3,,,4,5,6, x x 3 8 Gruplamış Verler İç Artmet Ortalama x x : reas : grup sayısı =,,3,., 3

4 Öre: Br otomobl baysde 80 gü boyuca yapıla celeme soucuda satıla arabaları adetlere göre dağılımı yada tabloda verlmştr. Bua göre br gü çde satıla ortalama araba sayısıı hesaplayıız. x x, Araba (x ) Gü ( ) x =80 Sıılamış Verler İç Artmet Ortalama m x : reas : sıı sayısı =,,3,., m : sıı orta otası Sıılamış verlerde her br sıı çde değerler eler olduğu blmedğde dolayı ve yalızca her br sııı reas değerler bldğde dolayı sııı temsl etme üzere sıı orta otaları hesaplamada ullaılır. Kullaıla ormül gruplamış verler ç ullaıla 4 ormüle bezerdr. Öre: Br sııta öğrecler boyları haıda br araştırma yapılmatadır. Bu amaçla 50 öğrec boyları ölçülere aydedlmştr.öğrecler boylarıı artmet ortalamasıı hesaplayıız. x Sıılar m m de az 5 53,5 767, de az 7 60,5 3, de az 4 67, de az 9 74,5 570, de az 8 8, de az 4 88, da az 3 95,5 586,5 Toplam m 53,5(5) 60,5(7)... 95,5(3) ,98 cm Artmet Ortalama. x x x x x x 0 Artmet ortalamada sapmaları toplamı sıırdır. x x m Öre değerlerde meydaa gele değşm ço üçü de olsa artmet ortalama bu değşmde etler. Verler tümüü br osyoudur. 4

5 Artmet Ortalama Ağırlılı Artmet Ortalama 4. Öre gözlemler tümü a gb br sabt le çarpılırsa bu ye ver set artmet ortalaması da es ver set artmet ortalamasıı a le çarpımı adar değşr. 5. Öre gözlemler tümü a gb br sabt le toplaırsa bu ye ver set artmet ortalaması da es ver set artmet ortalamasıı a le toplamı adar değşr. 6. Artmet ortalama tüm verler hesaplama osyou çde ullaması ede le güçlü br statsttr. Ver setde gözlemler belrl br rtere göre ağırlıladırılması durumuda ver set ortalamasıı hesaplaması ç ullaıla ortalamadır. x w wx w 7. Artmet ortalama verlerde uç değerlerde etlemes se bu statstğ zayı yöüü oluşturur. 7 8 Ağırlılı Artmet Ortalama Gözlemler bell br rtere göre ağırlıladırılmış se ağırlılı artmet ortalama ullaılır. Ağırlılı artmet ortalama ullaılıre tüm gözlemler ağırlıları eşt se artmet ortalama le ayı soucu verr. İtsad ve İdar Blmler Faültes İşletme Bölümü de brc sıı öğrecs güz döemde aldığı dersler, başarı otları, başarı otlarıı atsayıları ve red değerler aşağıda verlmştr: Öğrec döem ot ortalamasıı atsayı csde hesaplayıız

6 ) Geometr Ortalama Br ver setde bulua adet elemaı çarpımıı c derecede öüü alımasıyla elde edle yer ölçüsüdür. G x x... log x G at log Log G log x Geometr ortalamaı ormülüe baıldığıda hesaplama zorluğu olduğuda dolayı logartma ades ullaılır. Geellle bast verler ç ullaışlı olup egat sayılar ç ullaışlı değldr. x Ortalama oraları, Değşm Oraları, Geometr Ortalama ı Kullaım Alaları Logartm dağılış göstere ver setler, ç ullaışlıdır. Öre: yat desler, az ormüller.. x. G 0 x Geometr Ortalama olmalıl 3. Uç değerlerde artmet ortalama adar etlemez. 4 6

7 Öre: Abac şret yılda-yıla ola uel de tüetm harcamalarıı değşm yüzde -5, 0, 0, 40, ve 60. büyüme atörler geometr ortalamasıı ullaara harcamalarda ortalama yıllı yüzde değşm belrler. Büyüme atörler ç yüzde değşm döüştürme le elde edleler; G x 5 x... x (0,95)(,0)(,0)(,40)(,60) , 9 log x 0,076 0, ,0798 0,468 0,040 Log G 5 0, Log G 0, G = at log 0,7045 = 0 0,0897,9 3) Harmo Ortalama Br ver setde bulua adet elemaı çarpma şleme göre tersler ortalamasıı ters alımasıyla elde edle yer ölçüsüdür. Geellle bast verler ç ullaışlıdır. H... x x x H... x x x x 7 Harmo Ortalama ı Kullaım Alaları Zama verler ç ullaışlıdır. Öre: Zama brm başıa hız, para brm başıa satı alıa brm sayısı. Belrl oşullar ve yat tpler ç zama verler ortalamalarıı hesaplamasıda ullaıla br yer ölçüsüdür. Zamaa bağlı hız, yat vermll gb orasal olara ade edleble verler ortalaması alımasıda da ullaılablr. NOT: ARİTMETİK ORT. > GEOMETRİK ORT. > HARMONİK ORT. 8 7

8 Öre: Br testl abrasıda çalışa dört ş br patolou ütüleme süreler aşağıda verlmştr. Bua göre bu abrada br patolo ortalama aç daada ütüler? İşç : 0 d. İşç : 6 d. İşç 3: 4 d. İşç 4 : 5 d. Öre: A ve B gb şehr arasıda 00m l br yol vardır. Br otomobll yolu l yarısıı 30 m/saat hızla gdyor. Dğer yarısıı 40 m/saat hızla gdyor. Hız ortalaması edr? H x H 5,58d ) Mod Br hızlı tre gttğ mesaes l üçte brde 300m/s, c üçte brde 450 m/s ve so üçte brde 360 m/s hız yapmıştır. Bua göre aracı ortalama hızı e olmuştur. Br ver setde e ço gözlee ( e ço terar ede ) değere veya reası e azla ola şas değşe değere mod adı verlr. Ver set modu olmayacağı gb brde azla da modu olablr. Mod geellle esl şas değşel ç oluşturula gruplamış verlerde artmet ortalama yere ullaılablr

9 Mod Öreler Mod, büyü ver setlerde ver daha ço erede topladığıı bulma ç ullaılır. Öreğ ere ıyaetler sata br peraedec, potasyel müşterler belrleme ç gömle ol uzuluğu ve gömle yaa ölçüsüyle lgleeblr. ) 5,40,0 0,4 0,73 0,48,0 ) ) Modu,0 de azla moda sahp, 7 ve 55 Modu yo Gruplamış Verler İç Mod Bast verlerde buluduğu gb hesaplaır. Öre: Br gömle baysde 80 gü boyuca yapıla celeme soucuda satıla gömleler adetlere göre dağılımı yada tabloda verlmştr. Bua göre gömle satışları ç mod değer edr? Gömle bede(x ) Satış aded ( ) E yüse reasa sahp ola gözlem değer olduğuda dolayı gömle satışları ç mod değer dr. 35 Sıılamış Verler İç Mod Sıılamış verlerde mod değer hesaplaıre l olara mod sııı belrler. Mod sııı reası e yüse ola sııtır. Mod sııı belrledte sora bu sıı çersde yer ala modu tam değer sıı reası ve ede omşu ola sıı reasları date alıara hesaplaır. 36 9

10 Mod = L mod. Öre: Br sııta öğrecler boyları haıda br araştırma yapılmatadır. Bu amaçla 50 öğrec boyları ölçülere aydedlmştr.öğrecler boylarıı mod değer hesaplayıız. L Mod = Mod Sııı Aralığıı Alt Sıırı = Mod Sııı Freası - Kedde Br Öce Sıı Freası = Mod Sııı Freası Kedde Br Sora Sıı Freası = Mod Sıııı Sıı Aralığı Mod sııı Sıılar de az de az de az de az de az de az da az 3 Toplam Freası e yüse ola sıı mod sııı olara belrler. Mod sııı belrledte sora ormülde lgl değerler yere oyulara mod değer hesaplaır. 5) Medya Br ver set büyüte üçüğe veya üçüte büyüğe sıraladığımızda tam orta otada ver set eşt parçaya ayıra değere medya adı verlr. Mod Lmod (4 7) ,08 cm. (4 7) (4 9) Ver setde aşırı uçlu elemalar olduğuda artmet ortalamaya göre daha güvelrdr. Medya, ver setde tüm elemalarda etlemez. 40 0

11 Bast Verler İç Medya Ver Set Hacm Te Sayı İse; c gözlem değer medyadır. Medya bu otaı arasıa düşmetedr MEDYAN 0.95 Ver Set Hacm Çt Sayı İse; ve c gözlem değer artmet ortalaması medyadır Tam ortada değer medyadır. MEDYAN Gruplamış Verler İç Medya Gruplamış verlerde medya değer hesaplaıre ver set tam orta otasıı hag gruba at olduğuu belrleme ç brml reas sütuu oluşturulur. Sıra umarası belrledte sora o sıra umarasıa at grup medya değer olara ade edlr. 43 Öre: Br gömle bays satış mağazasıda br gü çde satıla gömleler dağılımı aşağıda verlmştr. Bua göre ver set ç medya değer hesaplayıız. Gömle bede Satış aded Brml Freas ( ) / ve (/)+ c gözlem değerlere arşılı gele değerler (40 ve 4 c sıra ) olduğuda dolayı medya değer dr.

12 Freas dağılımı aşağıda gb olsaydı (+)/ c elemaa (40 cı elemaa) arşılı gele değer 8 olacağıda dolayı ver set medyaı 3 olara hesaplaacatı. Gömle bede Satış aded Brml Freas ( ) Sıılamış Verler İç Medya Sıılamış verlerde medya değer hesaplaıre l olara medya sııı belrler. Medya sııı brml reaslar date alıdığıda toplam reası yarısıı çde buludura sııtır. Medya sııı belrledte sora medya sıııda br öce sııı brml reası ve medya sııı reası date alıara hesaplaır. 46 Medya L l med. med Öre: Br sııta öğrecler boyları haıda br araştırma yapılmatadır. Bu amaçla 50 öğrec boyları ölçülere aydedlmştr.öğrecler boylarıı mod değer hesaplayıız. L med : Medya sıııı alt sıırı l : Medya sıııda br öce sııı brml reası med : Medya sıııı reası Medya sııı Sıılar de az de az de az de az de az de az da az 3 50 Toplam 50 47

13 Toplam 50 adet gözlem olduğuda dolayı, brml reas sütuuda 50/ =5 c gözlem buluduğu sıı medya sııı olara belrler. l Medya L med. med ,5cm 4 Merez Ölçüm Ortalama Medya Mod Taım x x Orta değer E sı terar ede ver değer Nasıl Kullaılıyor E Ble ortalama Sılıla Kullaılır Ara sıra ullaılır Varlığı Her değer Date Alıırmı? Her zama vardır. Evet Evet Her zama vardır. Olmayablr ya da brde azla olablr. Hayır Hayır Uç Değerlerde Etlerm? Hayır Hayır Avatajları ve Dezavatajları Brço statstsel metodla y çalışır. Braç uç değer varsa geellle y br terchtr Nomal düzeyde verler ç uygudur Verler mod etraıda smetr olduları zama, mod, medya ve artmet ortalama brbrlere eşt olur. Eğer örelem ayı aaütlede çelmşse, artmet ortalama dğer ölçülere göre daha güvelrdr 50 Br ver set büyüte üçüğe veya üçüte büyüğe sıraladığımızda dört eşt parçaya ayıra üç değere artller adı verlr. İl % 5 l ısmı çde buludura. Kartl (Q ), % 50 l ısmı çde buludura. Kartl (Q ), % 75 l ısmı çde buludura 3. Kartl (Q ), olara adladırılır. 6) Kartller %5 %5 %5 %5.Kartl Q Bast Verler İç Kartller 4 c gözlem değer, 3.Kartl Q 3 3( ) 4 c gözlem değer, %50 l ısmı çde buludura. Kartl (Q ) ayı zamada ver set medyaıdır. Q Q Q

14 Öre: İstatst I ders ala 0 öğrec vze otları aşağıda gb sıralamıştır. Bua göre vze otları ç Q ve Q 3 değerler hesaplayıız. 30,4,56,6,68,79,8,88,90,98 (+)/4 cü ver sıra umarası (0+)/4 =,75 dr. Q = 4 + 0,75.(56-4) = 5,5, 3(+)/4 cü ver sıra umarası 3(0+)/4 = 8,5 dr. Ver set aşağıda gb verlseyd, 30,4,56,6,68,79,8,88,90,98 (+)/4 cü ver sıra umarası (9+)/4 =,5 dr. Q = 4 + 0, 5.(56-4) = 49, 3(+)/4 cü ver sıra umarası 3(9+)/4 = 7,5 dr. Q 3 = 8 + 0, 5.(88-8) = 85, olara hesaplaacatı. Q 3 = ,5.(90-88) = 88,5 dr. 53 Gruplamış Verler İç Kartller Gruplamış verlerde artller hesaplaıre ver set l çeyre ve so çeyre ısmıı tam olara ade etme amacıyla brml reas sütüü oluşturulur. Gruplamış verlerde öre hacm te veya çt olduğua baılmasızı /4 cü elema.kartl (Q ), 3/4 cü elema se 3.Kartl (Q 3 ), olara ade edlr. 55 Öre: Br gömle bays bedelere göre satış adetler aşağıda verlmştr. Bua göre ver set ç Q ve Q 3 edr? Gömle bede Satış aded Brml Freas ( ) /4 cü ( 0 c ) sıra umarasıa arşılı gele gözlem olduğuda;.artl, 3(+)/4 cü ( 60 c ) sıra umarasıa arşılı gele gözlem 3 olduğuda; 3.artl 3 dür. 4

15 Sıılamış Verler İç Kartller Sıılamış verlerde artller hesaplaıre l olara brml reas sütuu oluşturulara artl sııları belrler. Kartl sııları belrlere gruplamış verlerde olduğu gb /4 ve (3)/4 cü sıralarda elemaları hag sıılara at seler o sıılar artl sııları olur. Kartl sııları belrledte sora bu sıılarda br öce sııı brml reası ve mevcut sıı reası date alıara artl değerler hesaplaır. 57. Kartl. Kartl 3. Kartl Q L Q Medya L Q L 3 l 4 Q. Q 3 4 l Q. Q l. Q 3 Q3 58 Öre: Br sııta öğrecler 7 boyları haıda br araştırma yapılmatadır. Bu amaçla 50 öğrec boyları ölçülere aydedlmştr.öğrecler boylarıı brc ve üçücü artller hesaplayıız. Sıılar de az de az 7 Q sııı 64-7 de az de az 9 35 Q 3 sııı de az de az da az 3 50 Toplam 50 l Q 4 LQ. Q, ,58cm 6 59 Yayılma (Değşel) Ölçüler Br ver set taıma yada arlı ver set brbrde ayırt etme ç her zama yalızca yer ölçüler yeterl olmayablr. Dağılımları brbrde ayırt etmede ullaıla ve geellle artmet ortalama etraıda değşm date alara hesaplaa statstlere yayılma (değşel) ölçüler adı verlr. 60 5

16 Freas Aşağıda gra = 500 hacml alıa arlı öre doğrultusuda oluşturula hstogramlardır. Her öre ortalaması yalaşı olara 00 olduğua göre öreğ ayı aaütlede alıdığı söyleeblr m? Dağılımları brbrde ayırt etmede ullaıla yayılım ölçüler artmet ortalama etraıda değşmler date ala taımlayıcı statstlerdr Br ver setde artmet ortalamalarda her br gözlem arı alııp bu değerler tümü topladığıda soucu 0 olduğu görülür. 0 3,33 09,33 95,33 8,33 67,33 0 3,33 09,33 95,33 8,33 67,33 X X 6 6 Öre: 4,8,9,3,6 şelde verle br bast ver ç; x x 0 5 x x Bu örete görüleceğ üzere gözlemler artmet ortalamada uzalığı alıp topladığıda 0 elde edldğde dolayı bu problem mutlaa değer ullaara veya aresel uzalı alıara ortada aldırılır. 63 7) Rage (Değşm Aralığı) Ver setde yayılımı ade etmede ullaıla e bast ölçü, değşm aralığıdır. Geel olara az sayıda ver ç ullaılır. E büyü gözlem değer le e üçü gözlem değer arasıda ar değşm aralığıı verr. Ver setde te br gözlem aşırı derecede üçü veya büyü olmasıda etledğ ç br başa adeyle örete yer ala sadece ver ullaılara hesaplamasıda dolayı tüm ver set değşelğ açılama ç yetersz almatadır. 64 6

17 Değşm Aralığı Öre: Aralı, ver set çde e büyü değerle e üçü değer arasıda uzalığı ölçere ver yayılımıı ortaya oyar. Öreğ aşağıda şelde gösterldğ üzere A hsse seed belrl br yılda 36$ la 3$ arasıda çeştll gösterre, B hsse seed 0$ la 58$ arasıda gösterd. Hsse seed yatıda aralı A ç 36$-3$ = 4$ dır; B ç 58$-0$=48$.Aralıları ıyasladığımızda B hsse seed yat aralığıı A ya göre daha ço değşel gösterdğ söyleyeblrz. Kartller Arası Far Dğer değşel 3. ve. artller arasıda ara dat çeer. Çeyre aralı olara adladırıla bu ar, Q 3 -Q, bze ver set yarısıı çere geşlğ verr. B hsses aralığı A hsses aralığı Ücret ($) ) Ortalama Mutla Sapma(OMS) Ver setde her br gözlem değer artmet ortalamada arlarıı mutla değerler toplamıı öre hacme bölümesyle elde edlr. Gözlem değerler artmet ortalamada alarıı toplamı 0 olacağıda bu problem ortada aldırma ç mutla değer ades ullaılır. x x Bast verler ç: OMS Gruplamış verler ç: Sıılamış verler ç : OMS OMS x x m x 67 Öre: İstatst I ders ala 0 öğrec vze otları aşağıda gb sıralamıştır. Bua göre vze otları ç ortalama mutla sapma değer hesaplayıız. 30,4,53,6,68,79,8,88,90,98 x x x x OMS ,

18 Sıılamış Verler İç Ortalama Mutla Sapma Öreğ Sıılar m I (m -x )I de az 5 53,5 9, de az 7 60,5 80, de az 4 67,5 6, de az 9 74,5, de az 8 8,5 76, de az 4 88,5 66, da az 3 95,5 70,56 Toplam ,96 m x 7,98 g. OMS m x 470, Yayılma Ölçüler Gerellğ Öre Öre Ölçümler,,3,4,5,3,3,3,4 Ortalama x x x da Uzalılar -3, -3, 3-3, 4-3, 5-3 veya -, -, 0,, -3, 3-3, 3-3, 3-3, 4-3 veya -, 0, 0, 0, İ ver set ç uzalılar a) Öre b) Öre 70 9) Varyas Ortalama mutla sapmada ullaıla mutla değerl adeler le şlem yapmaı zor hatta bazı durumlarda masız olması sebebyle ye değşel ölçüsüe htyaç bulumatadır. Mutla değer adesde zorlu artmet ortalamada arları areler alımasıyla ortada almatadır. Ver setde her br gözlem değer artmet ortalamada arlarıı areler toplamıı öre hacm br esğe bölümesde elde edle yayılım ölçüsüe öre varyası adı verlr. 7 Bast verler İç: Aaütle Varyası: : Aaütle Ortalaması Öre Varyası : Gruplamış verler ç: Sıılamış verler ç : N : Aaütle Hacm N s s s x x x ( x x) ( m x) 7 8

19 x x Bast Verler İç: x x s ades statstte br ço ormülde ullaılır ve areler toplamı olara adladırılır. Matematsel olara hesaplama olaylığı sağlaması açısıda ormüllerde areler toplamıı açılımı ola aşağıda eştl ullaılablr. x x x x 73 Gruplamış Verler İç: Sıılamış Verler İç : s s x m x m 74 Öre: Br u abrasıı satış mağazasıda br gü çde satıla u paetler gramajlarıa göre göre satış adetler aşağıda verlmştr. Bua göre ver set ç varyas değerler hesaplayıız. Araba Satış aded x. x toplam x x s 80,56 79 Sıılamış Verler İç Ortalama Varyas Öreğ Sıılar m (m - x ) de az 5 53,5 707, de az 7 60,5 9, de az 4 67,5 80, de az 9 74,5 57, de az 8 8,5 75, de az 4 88,5 09, da az 3 95,5 659,57 Toplam ,48 m ( m x) x 7,98 g. s ,48 3,5 9

20 ) Stadart Sapma Varyas hesaplaıre ullaıla verler areler alıdığıda verler ölçü brm ares varyasıda ölçü brm mevcut ölçü brm ares olur. Öre: g, cm gb. Bu teledrme verler açısıda br alam taşımayacağıda varyas yere ortalama etraıda değşm br ölçüsü olara ou pozt areöü ola stadart sapma ullaılır. 77 Bast Verler İç: Populasyo Stadart Sapması: : Populasyo Stadart Sapması N : Populasyo Hacm Öre Stadart Sapması : Gruplamış Verler İç: Sıılamış Verler İç : s s s x x ( x x) ( m x) N x 78 Öre: İstatst I ders ala 0 öğrec vze otları aşağıda gb sıralamıştır. Bua göre vze otları ç varyas ve stadart sapmayı hesaplayıız. 30,4,53,6,68,79,8,88,90,98 x x s , 9 s 504, s s x x ,,45 Ayı soru areler ortalamasıı açılımı ullaılara çözüldüğüde ayı souçları verecetr. 30,4,53,6,68,79,8,88,90,98 x x s 504, 504,,45 İstatst I vzesde alıa otları ortalama etraıda yalaşı x 690 olara pua değştğ görülmetedr s x 548 x s s x

21 CHEBYSHEV TEOREMİ Herhag br ver setde, verler ortalamaı K stadart sapma uzağıda buluması oraı -/K dır. Burada K, brde büyü pozt sayıdır. K= ve K=3 ç; Verler e az 3/4 ü (%75) ortalamaı stadart sapma uzagıda buluur. Verler e az 8/9 u (%89) ortalamaı 3 stadart sapma uzağıda buluur. 8 Öre: X değşe br sııta İstatst I ders başarı otlarıı gösterme üzere, öre ortalamasıı 60 varyasıı 00 olduğu bldğe göre, verler ¾ ü hag aralıta değşr? 3 4 x s ,80 8 Stadart Sapmaı Yorumlaması - Chebyshev teoremde, reas dağılımıı şele baılmasızı, ölçümler herhag br öreğe uygulaa ural: a- Ölçümlerde hçbr x s yada ( x s, x s) aralığıa düşmemes mümüdür. b- Ölçümler e az ¾ ü ( x s, x s) aralığıa düşer.- ortalamaı c- Ölçümler e az 8/9 u ( x 3s, x 3s) aralığıa düşer.- d- Geellle, ölçümler e az (-/ ) ı ( x s, x s) aralığıa düşer. (>) 83 - Smer dağılışlarda stadart sapmaı yorumu: a- Ölçümler yalaşı %68 x s yada ( x s, x s) aralığıa düşer.- ortalamaı stadart sapması ç b- Ölçümler yalaşı %95 ( xs, x s) aralığıa düşer.- ortalamaı stadart sapması ç c- Temelde, tüm ölçümler ( x3s, x 3s) aralığıa düşer. -ortalamaı 3 stadart sapması ç 84

22 Ampr Kural Ampr Kural Ampr Kural Öre ver set: 50 şret AR-GE ç harcaa gelrler yüzdeler burada terar verlmştr:

23 Öre: Aralıları çde ala bu ölçümler esr(racto) hesaplayıız Çözüm: İl aralı = ( , ) = (6.5, 0.47) 50 ölçümü 34 üü ve ya %68 ortalamaı stadart sapması çersde olduğuu ortaya oyar. Aralı, = ( , ) = (4.53,.45) 50 ölçümü 47 s ya da %94 üü çerr. ortalama etraıda 3 stadart sapma aralığı, = ( , ) = (.55, 4.43) tüm ölçümler çerr. Örelem ) z Soru Verle br gözlem değer ortalamaı aç stadart sapma uzağıda olduğuu ölçer. z = x - x s odalı basamağa yuvarlaır. Aaütle z = x - µ z- soruu Yorumlaması Br ver ortalamada üçü olursa z-soru değer egat olur. Olağa Verler : z soru ve s.s arasıda Olağadışı Verler: z soru < - veya z soru > s.s 9 9 3

24 Öre: 00 çel şçs yıllı gelrler celemş ve ortalaması = 4.000$ ve stadart sapması s=.000$ olara bulumuştur. Yıllı gelr.000$ ola Joe Smth z-soru açtır? 8.000$.000$ 4.000$ $ Joe Smth gelr 93 x x z= s = =-.0 buluur. Burada -.0 ı.000$ 4.000$.000$ alamı Joe Smth yıllı gelr ortalamaı stadart sapma altıdadır. z-soruu sayısal değer görel durumlar ç ölçümü yasıtmatadır. Br x değer ç bulua e büyü pozt z-soru değer, bu x değer dğer bütü ölçümlerde daha büyü olduğuu gösterr ve mutla değerce e büyü egat z-soru değer de bu ölçümü dğer tüm ölçümlerde daha üçü olduğuu gösterr. Eğer z soru 0 veya 0 a yaı se ölçüm ortalamaya eşt veya ortalamaya ço yaıdır. 94 ) Değşel(Varyasyo) Katsayısı İ veya daha azla populasyo üzerde ayı şas değşeler ç yapıla araştırmalarda değşeller arşılaştırılması ç ullaıla br ölçüdür. Stadart sapmayı ortalamaı br yüzdes olara ade ede ve veya daha azla populasyoda varyasyou (değşelğ) arşılaştırmada ullaıla ölçüye varyasyo(değşel) atsayısı der. Öre: İstabul da ve Aara da yaşaya aleler aylı gelrler değşeller arşılaştırılması C V Varyasyo Katsayısı: s X *00 95 Öre: A,B ve C hsse seetler apaış yatlarıa lş yapıla br araştırmada, hsse seetler apaış yatlarıı ortalamaları ve stadart sapmaları hesaplamış ve aşağıda tabloda verlmştr. Bua göre hsse seetler apaış yatlarıı değşeller açısıda arşılaştırıız ve hag hsse seed yatıda değşel daha azladır ade edz. x s A 8 B 5 C 5 3 C C C V A V B V C sa *00 *00 5 %5 X A 8 sb *00 *00 0 %0 X 5 Üç hsse seed apaış yatlarıı değşeller arşılaştırıldığıda e büyü stadart sapma değer C hsse seedde olmasıa rağme e büyü varyasyo atsayısıa sahp olduğuda e azla değşelğ A hsse seedde olduğu görülür. B sc 3 *00 *00 0 %0 X 5 C 96 4

25 Taımlamalar Çarpılı Smetr Verler Eğer ver smetr se ver hstogramıı sağ taraı ve sol taraı eşt büyülütedr Çarpı Verler Eğer ver çarpı se (smetr değlse), ver hstogramı br ısmı dğer ısmı büyütür veya üçütür Çarpılı (Asmetr) Ölçüler 3) Asmetr Ölçüler PEARSON ÇARPIKLIK ÖLÇÜSÜ Aaütleler brbrde ayırma ç her zama yalızca yer ve yayılım ölçüler yeterl olmayablr. x mod S p veya s 3( X med ) S p s S P < 0 Negat çarpı(sola) S P > 0 Pozt Çarpı(Sağa) S P = 0 se dağılış smetr 99 BOWLEY ÇARPIKLIK ÖLÇÜSÜ S b < 0 Negat çarpı(sola) ( Q3 Q ) ( Q Q ) S b S b > 0 Pozt Çarpı(Sağa) Q3 Q S b = 0 se dağılış smetr 00 5

26 Öre: Aşağıda tabloda 30 gülü süre çde br restoraı ulladığı et mtarıı dağılımıda elde edle bazı taımlayıcı statstler verlmştr. Bua göre pearso ve bowley asmetr ölçüler hesaplayıp yorumlayıız. Ar t m e t Ort. Mod Medya Q Q s 46,6 45,4 46, 4,5 5,9 54,46 3( X med) 3(46,6 46,) S p 0,6 0 s 54,46 Sağa Çarpı, Pozt Asmetr Smetr Dağılım A.O = Med = Mod Sağa çarpı dağılım Sola çarpı dağılım A.O > Med > Mod A.O < Med < Mod x mod 46,6 45,4 S p 0,6 0 s 54,46 ( Q3 Q ) ( Q Q ) (5,9 46,) (46, 4,5) S b Q Q 5,9 4,5 3 0,0 0 0,4 Sağa Çarpı, Pozt Asmetr Sağa Çarpı, Pozt Asmetr 0 İ modlu smetr dağılım Modu olmaya dağılım Tedüze dağılım 0 4) Sapa Gözlemler Sapa gözlem, dğer bütü gözlemlerde uzata bulua gözlemdr. Sapa gözlem ortalama üzerde öeml br etye sahp olablr. Sapa gözlem stadart sapma üzerde öeml br etye sahp olablr. Sapa gözlem dağılımı gerçe hstogramıı ölçeğ üzerde öeml br etye sahp olablr. 03 5) 5 Sayı Özet 5 sayı özet, br ver setde mmum değer,.kartl,.kartl(medya), 3.Kartl ve masmum değer çerr. Kutu grağ(veya utu ve bıyı grağ) br ver set ç, sıırları masmum ve mmum değer olma üzere, çde.kartl,.kartl(medya) ve 3.Kartl buludura utu şelde gratr. 04 6

27 Kutu Grağ Kutu grağ hazırlama 05 Q:Kutuu sol earı Q3:Kutuu sağ earı Q:Kutuu ortasıda çzg Sapa harç m.: Sol bıyı Sapa harç max.: Sağ bıyı Sapa değer otrolu Q.5(Q3 Q) Q3 +.5(Q3 Q) bu değerler aşa verler * le gösterlr. 06 Öre: Yazlı ürüler sata br mağazada hatalı satıla t-shrt sayıları yada tabloda verlmştr. Verle tabloda beş sayı özet buluuz ve utu grağ çzz Çözüm: Öcelle verler yada gb sıralaırsa; Q =(3+)/4=8.sıraya arşılı gele ver olur. Q=8 Q 3 =3(3+)/4=4. sıraya arşılı gele ver olur. Q 3 =8 Mmum değer=7, Masmum değer=44 ve Medya(Q )= olur. Sapa değerler otrol etme ç; Q -,5(Q 3 -Q )=8-,5(8-8)=3 Q 3 +,5(Q 3 -Q )=8+,5(8-8)=43 buluur. Bu durumda elmzde 44 değer sapa değerdr ve * le gösterlr

28 Kutu Grağ 45 * 44 sapa değer Medya(Q )= 0 Fgure -6 0 Kutu Grağ 6) Basılı Ölçüsü Aşağıda A ve B dağılımlarıı ortalamaları, değşel ölçüler ayı olmasıda dolayı ve hatta s de smetr olmalarıda dolayı bu dağılışı ayırt etme ç Basılı Ölçüsü ullaılır. A B Fgure -7 A = B 8

29 Herhag br olasılı osyouu şel le lgl parametrelerde br taes de basılı ölçüsüdür. Basılı Ölçüsü ortalamaya göre dördücü momette gdlere hesaplaır ve 4 olara gösterlr Bast Ser İç 4 x 4 4 = 3 se Ser Normal 4 < 3 se Ser Bası 4 < 3 se Ser Svr Ya da Yüse 3 9