Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme: Temel Kavramlar ve Farklı Yaklaşımlar *

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme: Temel Kavramlar ve Farklı Yaklaşımlar *"

Transkript

1 Kuram ve Uygulamada Eğitim Bilimleri Educational Sciences: Theory & Practice 14(4) Eğitim Danışmanlığı ve Araştırmaları İletişim Hizmetleri Tic. Ltd. Şti. DOI: /estp Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme: Temel Kavramlar ve Farklı Yaklaşımlar * Ayhan Kürşat ERBAŞ a Orta Doğu Teknik Üniversitesi Bülent ÇETİNKAYA c Orta Doğu Teknik Üniversitesi Cengiz ALACACI e İstanbul Medeniyet Üniversitesi Mahmut KERTİL b Marmara Üniversitesi Erdinç ÇAKIROĞLU d Orta Doğu Teknik Üniversitesi Sinem BAŞ f İstanbul Aydın Üniversitesi Öz Bütün dünyada olduğu gibi son yıllarda ülkemizde de akademik çalışmalara konu olan matematiksel modellemeyle ilgili geniş bir alan yazın bulunmaktadır. Fakat matematiksel modelleme ve ilgili kavramlar üzerine ortak bir anlayıştan bahsetmek mümkün değildir. Alan yazında öğrenme ve öğretme sürecinde matematiksel modellemenin kullanımı, model ve modellemenin tanımı, kuramsal altyapısı ve kullanılan modelleme sorularının niteliği gibi konularda farklı bakış açıları görülmektedir. Bu çalışmada iki konu üzerine odaklanılmıştır. İlk bölümde matematik eğitiminde matematiksel modellemeyle ilgili temel konu ve kavramlar incelenmiştir. İkinci bölümde ise modellemenin matematik eğitiminde kullanımıyla ilgili matematiği öğretmek için bir araç ve matematik öğretiminin amacı şeklinde özetlenebilecek iki farklı yaklaşım tartışılmıştır. Anahtar Kelimeler Matematik Eğitimi, Matematiksel Model, Matematiksel Modelleme, Problem Çözme. * Bu makaleye konu olan çalışma Türkiye Bilimsel ve Teknolojik Araştırma Kurumu (TÜBİTAK) tarafından 110K250 nolu araştırma projesi kapsamında desteklenmiştir. Bu makalede öne sürülen görüşler yazarlara ait olup TÜBİTAK ın görüşlerini yansıtmamaktadır. Ayhan Kürşat ERBAŞ, Türkiye Bilimler Akademisi Genç Bilim İnsanlarını Ödüllendirme Programı (TÜBA-GEBİP) tarafından desteklenmektedir (A.K.E./TÜBA-GEBİP/ ). a Sorumlu Yazar: Dr. Ayhan Kürşat ERBAŞ Matematik eğitimi alanında doçenttir. Çalışma alanları arasında cebir öğretimi ve öğrenimi, matematik öğretmen eğitimi ve öğretmen yeterlilikleri, matematik eğitiminde teknoloji entegrasyonu, problem çözme ve modelleme yer almaktadır. İletişim: Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanları Eğitimi Bölümü, Ankara. Elektronik posta: erbas@metu.edu.tr b Dr. Mahmut KERTİL Matematik Eğitimi alanında araştırma görevlisidir. İletişim: Marmara Üniversitesi, Atatürk Eğitim Fakültesi, Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanları Eğitimi Bölümü, Kadıköy, İstanbul. Elektronik posta: mkertil@marmara.edu.tr c d e f Dr. Bülent ÇETİNKAYA Matematik Eğitimi alanında doçenttir. İletişim: Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanları Eğitimi Bölümü, Ankara. Elektronik posta: bcetinka@metu.edu.tr Dr. Erdinç ÇAKIROĞLU Matematik Eğitimi alanında doçenttir. İletişim: Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, İlköğretim Bölümü, Ankara. Elektronik posta: erdinc@metu.edu.tr Dr. Cengiz ALACACI Matematik Eğitimi alanında profesördür. İletişim: İstanbul Medeniyet Üniversitesi, Eğitim Bilimleri Fakültesi, İstanbul. Elektronik posta: cengiz.alacaci@medeniyet.edu.tr Dr. Sinem BAŞ Matematik Eğitimi alanında yardımcı doçenttir. İletişim: İstanbul Aydın Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, İlköğretim Matematik Öğretmenliği Bölümü, İstanbul. Elektronik posta: sinembas@aydin.edu.tr

2 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ Matematiksel modelleme en genel anlamda gerçek hayattan veya gerçekçi bir durumun matematiksel yöntemler kullanılarak analiz edilmesi sürecidir. Matematiksel modellemenin ilköğretimden yükseköğretime kadar bütün kademelerde matematik derslerinde kullanılması gerektiği fikri son yıllarda önem kazanmıştır. Öğrencilerin matematiği daha anlamlı ve gerçek hayatla ilişkili öğrenmelerine yardımcı olacağı düşüncesi ve mevcut problem türlerinin bu hedefi gerçekleştirmede yetersiz kalması, modellemenin matematik eğitiminde kullanılması fikrinin temel dayanağıdır. Günümüzde teknolojinin de hızla gelişmesiyle farklı alanlarda çalışacak olan bireylerden farklı becerilere sahip olmaları beklenmektedir. Bu bağlamda, bireylere gerçek hayatta problem çözme becerilerinin kazandırılmasının matematik eğitiminin asıl hedefi olması gerektiği; matematiksel modellemenin öğretim sürecinde kullanımının da bu hedefe ulaşmanın bir yolu olabileceği düşünülmektedir (Gravemeijer ve Stephan, 2002; Lesh ve Doerr, 2003a). Son yıllarda matematik eğitiminin her seviyesinde matematiksel modelleme uygulamaları üzerine çalışmalar yapılmakta (ör. Çiltaş ve Işık, 2013; Delice ve Kertil, 2014; Kertil, 2008) ve okul matematiğinde modelleme uygulamalarına daha fazla yer verilmesi gerekliliği vurgulanmaktadır (Department for Education [DFE], 1997; National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 1989; 2000; Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı [TTKB], 2011, 2013). Eğitim ortamlarında matematiksel modellemenin anlamı, amacı, öğrencilere sunuluş biçimi, öğretim programına entegre edilme biçimleri ve öğretmenlerin sahip olması gereken mesleki donanımlar gibi konularda kabul görmüş ortak bir anlayıştan söz etmek mümkün değildir (Kaiser, Blomhoj ve Sriraman, 2006; Niss, Blum ve Galbraith, 2007). Modelleme farklı alanlarda kullanılan yaygın bir terim olup matematik eğitimi alan yazını içinde bile oldukça farklı anlam, amaç ve yaklaşımlarla ele alınabilmektedir. Bu alanda çalışma yapmak isteyen araştırmacıların alan yazındaki farklı yaklaşımların farkında olması önemlidir. Bu çalışmanın amacı öncelikle matematik eğitiminde matematiksel modellemeye ilişkin temel konuların ve kavramların tartışılmasıdır. Ayrıca, öğretim sürecinde kullanılan yöntemler ve hedefler çerçevesinde modellemenin nasıl tanımlandığı, kuramsal altyapısı ve kullanılan soruların niteliği bakımından matematik öğretiminde araç veya matematik öğretiminin amacı olarak matematiksel modelleme yaklaşımları ele alınmaktadır. Matematiksel Modelleme ve İlgili Temel Kavramlar Modelleme, birçok alanda gerçek hayattan bir objenin veya bir durumun prototipini oluşturma anlamında kullanılan yaygın bir terimdir. Matematiksel modelleme ise gerçek hayat durumlarının işleyişi ve yapısını anlamlandırmak için matematiğin sembolik diline aktarılarak ifade edilmesi sürecidir (Gravemeijer, 2002). Matematiksel modelleme ve ilgili bazı temel kavramlar ilerleyen bölümlerde ele alınmıştır. Model ve Matematiksel Model: Lesh ve Doerr a (2003a) göre model, karmaşık sistemleri ve yapıları yorumlamak ve anlamak için zihinde var olan kavramsal yapılar ile bunların dış gösterimlerinin bütünüdür. Bir başka ifadeyle insanların doğayı anlayabilmek için keşfedip geliştirdikleri ve kullandıkları fikirler, gösterimler, kanunlar ve birtakım araç ve gereçler model kavramı ile ilişkilidir. Lehrer ve Schauble (2003) ise modeli, basit anlamda hiç aşina olmadığımız bir sistem ile önceden bildiğimiz sistemler arasında bağ kuran bir tür analoji olarak tarif etmektedirler. Bir analoji ve onunla ifade edilmeye çalışılan gerçek durum arasında mutlak bir uygunluktan söz edilemez. Aynı durum modeller için de geçerlidir. İnsanlar gerçek hayat durumlarının yorumlayıp anlamlandırmak için modeller ile düşünürler. Lehrer ve Schauble (2007) bu durumu model tabanlı düşünme olarak ifade etmekte ve bunun sürekli geliştiğini ve değiştiğini vurgulamaktadırlar. Model tabanlı düşünmenin ilk seviyesi fiziksel modellerdir. Örneğin, bir dönme dolabın küçük bir maketinin yapılması fiziksel bir modeldir. İkinci seviye ise gerçek hayat durumunun farklı gösterim sistemleri kullanılarak ifade edilmesidir. Örneğin, bir dönme dolabın genişletilmiş birim çember gibi düşünülerek koordinat düzlemine yerleştirilmesi, yarıçap ve merkez açı gibi semboller de kullanılarak matematiksel gösterim sisteminde ifade edilmesi bu seviyede bir modeldir. Kullanılan gösterimler basit olabileceği gibi daha üst düzey de olabilir. Üçüncü seviye ise sentaktik model olup, gerçek hayat durumunun yapısal özelliklerinin ve işleyişinin daha soyut ve bilimsel sembollerle ifade edilmesidir. Bu seviyede gerçek hayat durumu ile modeli arasında fiziksel bir benzerlik söz konusu değildir. Sabit hızda dönen bir dönme dolap üzerinde bulunan herhangi bir kapsülün zamana bağlı yerden yüksekliğini gösteren matematiksel formülün trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak ifade edilmesi sentaktik modele örnek olarak verilebilir. Son seviye ise gelişmekte olan (emergent) modellerdir. Bu seviyede ise incelenen gerçek hayat durumunun yapısal özellik- 2

3 ERBAŞ, KERTİL, ÇETİNKAYA, ÇAKIROĞLU, ALACACI, BAŞ / Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme: Temel Kavramlar... leri sentaktik modellerle matematiksel olarak ifade edilmesinden sonra başlangıçta hedeflenmeyen yeni ilişkilerin ve modellerin ortaya çıkarılması söz konusudur. Netice itibariyle, gerçek hayat durumu ile modeli arasında birebir aynılıktan bahsetmek mümkün olmayacağı için, her zaman daha iyi bir modele ulaşabilme söz konusudur. Bu ise insanların kendi modellerini geliştirme veya yeni modeller ortaya çıkarma uğraşının sürekli devam etmekte olduğu anlamına gelmektedir. Matematiksel modeller gerçek hayattan bir nesnenin veya durumun fiziksel özelliklerinin ötesinde daha çok yapısal özelliklerini ve çalışma prensiplerini açıklamakla ilgilenir (Lehrer ve Schauble, 2003, 2007; Lesh ve Doerr, 2003a). Örneğin, E = mc 2 formülü kütle, ışık hızı ve enerji arasındaki ilişkiyi açıklayan bir matematiksel modeldir. Fakat bir kişinin bu modele sahip olması yalnızca formülü kullanarak işlemler yapabilmesini değil, bu formülün temsil ettiği fiziksel yapıları anlayarak farklı bağlamlarda yorumlayabilmesini gerektirir. Dolayısıyla Lehrer ve Schauble ın (2007) farklı model seviyelerinin ikinci seviyesinden sonra matematiksel modeller söz konusu olur. Ancak, herhangi bir matematiksel gösterimi tek başına bir matematiksel model olarak kabul etmek doğru değildir. Lehrer ve Schauble a (2003) göre, gerçek hayattan bir durumun matematiksel bir modelinin oluşturulması sürecinde birden fazla matematiksel temsilin kullanılması ve birlikte yorumlanması söz konusudur. Bu nedenle, oluşturulan matematiksel bir modele gerçek hayat durumunun içerdiği bütün özellikleri aktarmak mümkün olmadığı gibi, tek bir matematiksel gösterimin de bir model olarak kabul edilmesi beklenmemelidir. Bir gerçek hayat durumunun yapısını anlamak için kullanılan farklı matematiksel gösterimler, işlemler ve fonksiyonel ilişkiler bir bütün olarak matematiksel modeli oluşturmaktadır. Örneğin, deprem ve gün uzunlukları gibi periyodik yapıya sahip durumları açıklamak için trigonometrik fonksiyonlar ve bu fonksiyonların farklı gösterimleri, maliyet hesaplarında değişim oranını açıklamak için türevin farklı gösterim ve yorumları birer matematiksel model olarak düşünülebilir. Matematiksel Model ve Somut Materyaller: Matematiksel model ve modelleme özellikle ilköğretim düzeyinde yaygın olarak somut materyal kullanımı olarak anlaşılmaktadır (Lesh, Cramer, Doerr, Post ve Zawojewski, 2003). Dienes e göre öğrencilerde önemli matematiksel düşünme becerilerinin gelişmesi için somut materyallerin etkili bir şekilde kullanımı somutlaştırma (embodiment) açısından oldukça önemlidir (1960 dan akt., Lesh ve ark., 2003). Öğrencilerdeki gelişim somuttan soyuta olduğu için somut materyal kullanımı, soyut matematiksel düşünme becerilerinin gelişimi için ilk adım olarak görülür. Bu sebeple, onluk taban blokları, birim küpler, örüntü blokları, simetri aynası, kesir takımı, şeffaf kesir kartları ve geometri şeritleri gibi materyallerin matematik eğitiminde kullanımı sıklıkla vurgulanmaktadır. Öğretim aracı olarak kullanılan somut materyallerin model olarak adlandırılması, matematiksel modellemenin somut materyal tasarlama ve kullanımı ile sınırlı olduğu algısına sebep olmaktadır. Oysa matematik eğitiminde matematiksel modelleme daha geniş bir anlamda kullanılmaktadır. Somut materyal kullanımı, model terimi ile modelleme alan yazınında ele alınmakla birlikte, bu çalışmada açıklanan dinamik bir süreç ifade eden matematiksel modelleme genel teriminin kapsamını yansıtmamaktadır. Hatta bu somut materyaller bazı matematiksel kavramların birileri tarafından oluşturulmuş, hazır ve statik modelleri olarak görülmekte ve bu nedenle yapılandırmacı ve sosyo-kültürel öğrenme teorilerini temel alan modelleme yaklaşımlarınca bireyin kendi zihinsel yapılandırma sürecinden geçmediği noktasında eleştirilmektedir (Gravemeijer, 2002). Matematiksel Modelleme Matematiksel modelleme matematik dışında birçok disiplinin de ilgi alanına giren, eğitimin her seviyesinde gerçek hayatla ilişkili, açık-uçlu ve uygulamalı problem çözme uygulamalarını kapsayan genel bir terimdir. Haines ve Crouch (2007) matematiksel modellemeyi, gerçek hayat problem durumlarının soyutlanarak matematik diline aktarıldığı, çözümlendiği ve sonra çözümün test edildiği döngüsel bir süreç olarak tarif etmektedirler. Öte yandan Verschaffel, Greer ve De Corte ye (2002) göre ise matematiksel modelleme, bir gerçek hayat durumundaki olayları ve bunlar arasındaki ilişkileri matematiksel olarak ifade etmeye çalışma ve matematiksel örüntüleri ortaya çıkarma sürecidir. Her iki tanımda da bir gerçek hayat durumunun fiziksel modelinin ötesine geçilerek yapısal özelliklerinin matematik yardımıyla incelenmesine işaret edilmektedir. Lesh ve Doerr (2003a) matematiksel modellemeyi mevcut kavramsal sistemlerin ve modellerin kullanıldığı, farklı bağlamlarda anlamlandırılarak geliştirildiği ve yeni modellerin ortaya çıkarıldığı bir süreç olarak ifade etmektedirler. Bu tanıma göre matematiksel modelleme, hem önceden bilinen kavramsal sistemleri ve modelleri kullanma hem de yenilerini oluşturma ve geliştirme anlamlarını içermesi bakımından statik ve dinamik yapıları içe- 3

4 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ ren bir terimdir. Başka bir deyişle, model bir süreç sonunda oluşturulmuş ürünü ifade ederken modelleme ise bir durumun fiziksel, sembolik ya da soyut modelini oluşturma sürecini ifade etmektedir (Sriraman, 2006). Benzer şekilde Gravemeijer ve Stephan (2002) da matematiksel modellemenin sadece gerçek hayat durumlarının hazır modeller kullanılarak matematik diline aktarmakla sınırlı olmadığını, gerçek hayat durumu içerisindeki olguların yeniden yorumlanıp düzenlenerek matematiksel kavramlarla ve gösterimlerle ilişkilendirilmesini de kapsadığını ifade etmektedirler. Matematiksel modellemede, gerçek hayat durumunun matematiğin sembolik diline başarılı bir şekilde aktarılabilmesi için öğrencilerin işlemsel ve aritmetik bilgilerin ötesinde uzamsal düşünme, yorumlama, tahmin etme gibi daha üst düzey matematiksel donanımlara sahip olmaları gerekmektedir (Lehrer ve Schauble, 2003). Bu anlamda, matematiksel modelleme bilimsel düşünmenin gereklilikleri olan oluşturma, keşfetme, uygulama, yorumlama ve değerlendirme gibi becerileri içerdiği için iki ayrı alan gibi görülen matematik ile fen bilimleri arasındaki yakın ilişkiyi de ön plana çıkarmaktadır. Matematiksel modellemenin öğretim sürecinde kullanımı bakımından temel iki yaklaşımdan bahsedilebilir (Gravemeijer, 2002; Niss ve ark., 2007). Birincisi, matematik derslerinde hazır bir şekilde verilen matematiksel bilgilerin gerçek hayat durumlarını analiz ederken uygulanabilmesi, dönüştürülebilmesi ve uyarlanabilmesidir. Bu yaklaşımda matematiksel modeller ve bu modellerin hangi gerçek hayat durumlarını yorumlamada kullanılabileceği bilgileri hazır verilmekte, öğrencilerden bir gerçek hayat durumuna uygun matematiksel modeli aramaları veya uyarlamaları beklenmektedir. İkinci yaklaşım ise bir gerçek hayat durumunu yorumlama sürecinde öğrencilerin kendi sembolik araçlarını ve modellerini geliştirmesidir (Gravemeijer ve Stephan, 2002; Lesh ve Doerr, 2003a). Bu yaklaşım öğrencilere kendi matematiksel modellerini oluşturma ve geliştirme fırsatını vermeyi önemsemektedir. Matematiksel Modelleme Süreci: Matematiksel modellemede, verilenleri kullanarak hedefe ulaşma sürecinde katı bir prosedür uygulaması söz konusu değildir (Blum ve Niss, 1991; Crouch ve Haines, 2004; Lesh ve Doerr, 2003a). Gerçek hayattan bir olgunun matematiksel modelini oluşturma sürecinde; matematiksel model ile modellenen gerçek durumu ayırt edebilme, hata payı ve uyumluluk bakımından değerlendirme, farklı ve daha iyi bir model ile ifade edebilme ihtimali göz önünde bulundurulması gereken unsurlardır. Matematiksel modelleme sürecinde verilenleri kullanarak bir çözüme ulaşma, çözümü gerçek hayat durumuyla karşılaştırma, eğer yeterli değilse çözümü geliştirme veya daha farklı bir çözüm geliştirme gibi çok basamaklı bir döngü vardır (Haines ve Crouch, 2007; Lehrer ve Schauble, 2003). Matematiksel modellemenin döngüsel bir süreç olduğu, alan yazında ortak bir fikir olarak vurgulanmaktadır (Zbiek ve Conner, 2006). Alan yazında matematiksel modelleme sürecindeki aşamaları açıklayan farklı model ve gösterimler mevcuttur. Örneğin, Lingefjärd a (2002a) göre döngüsel modelleme süreci; verilenleri belirleme ve sadeleştirme, problemi formülleştirme, değişkenleri belirleme, matematiksel ifadeleri formülleştirme, Şekil 1 Matematiksel Modelleme Süreci (NCTM, 1989, s. 138) 4

5 ERBAŞ, KERTİL, ÇETİNKAYA, ÇAKIROĞLU, ALACACI, BAŞ / Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme: Temel Kavramlar... bir matematiksel model seçme, grafik gösterimleri kullanma ve gerçek hayat durumu ile karşılaştırarak kontrol etme gibi yedi aşamadan oluşmaktadır. Modelleme süreci lineer olmayan, tekrarlı döngüler içeren ve beş temel aşmadan oluşan bir süreçtir (bkz. Şekil 1). Bu süreçler şunlardır: (i) Gerçek hayat problemini tanımlama ve sadeleştirme, (ii) bir matematiksel model oluşturma, (iii) modeli dönüştürme, geliştirme ve çözme, (iv) modeli yorumlama, (v) modeli doğrulama ve kullanma. Birinci aşamada, öğrenciler problem durumunu inceleyip verilen bilgileri belirleyerek problem durumunu anlayabilecekleri en sade hâle getirirler. İkinci aşamada, problem durumunu ifade edebilecek matematiksel gösterimlerden (grafik, denklem vs.) yararlanarak problemi matematiksel ifadeye aktarılar. Üçüncü aşama, probleme matematiksel bir çözüm bulabilmek için geliştirilen matematiksel gösterimleri dönüştürme ve analiz etmeyi içerir. Dördüncü aşamada, öğrenciler buldukları çözümün analiz ettikleri gerçek hayat durumu ile ne kadar tutarlı olduğunu incelerler. En son aşamada ise öğrenciler geliştirdikleri matematiksel modelin, üzerinde çalıştıkları gerçek problem durumunu ve benzer durumları açıklamada ne kadar geçerli ve kullanışlı olduğuna karar verirler. Oluşturulan matematiksel modelin asıl problem durumunu ne kadar açıkladığı değerlendirilerek aynı aşamaları tekrarlama ve alternatifler üretme söz konusu olduğu için modelleme sürecinde tekrarlı bir döngü vardır. Yukarıda örnek olarak sunulanlar haricinde modelleme sürecinin döngüsel yapısını daha detaylı açıklayan çok sayıda model ve gösterimler mevcuttur (bkz. Borromeo Ferri, 2006; Hıdıroğlu ve Bukova Güzel, 2013). Bu tür gösterimler öğrencilerin modelleme sürecinde geçtiği aşamaların idealleştirilmiş tanımlamalarından ibarettir. Fakat yine de, bu tür gösterim ve modeller, öğretmenler ve araştırmacılar için yol gösterici olabilir. Örneğin, modelleme etkinliklerini sınıfında uygulamak isteyen bir öğretmen, öğrencilerin hangi aşamalardan geçebileceği ve bu süreçte ne tür problemlerle karşılaşabileceği ile ilgili öngörülerde bulunabilir. Matematiksel Modelleme ve Problem Çözme Modelleme ile ilgili önemli sorulardan birisi, modelleme ile problem çözme arasında bir fark olup olmadığı; eğer varsa bu farkın ne olduğudur. Matematiksel modelleme en çok geleneksel sözel problemlerle (word problems) karıştırılabilmektedir. Reusser ve Stebler e (1997) göre geleneksel sözel problemler, öğrencilerde kitapta olan veya öğretmen tarafından sorulan her problemin çözülebilir ve çözülmesi gereken bir problem olarak düşünme; problem anlaşılmadı ise doğru matematiksel işlemleri seçmek için anahtar kelimelere veya daha önce çözülen benzer problemlere bakma gibi bazı didaktik kabullerin gelişmesine sebep olmaktadır. Ayrıca, sözel problemlerde gerçek hayat durumu gibi yansıtılan durumlar genellikle bir gerçek hayat durumu da değildir (Niss ve ark., 2007). Bu problemlerde bütün değişkenler belli, idealleştirilmiş ve gerçeklikten uzak, yapay bir durum söz konusudur. Sözel problemleri çözerken öğrenciler sıklıkla gerçek hayat durumlarını ve deneyimlerini göz önünde bulundurmadan sadece işlemlere odaklanmaktadırlar (ör. Greer, 1997; Nunes, Schliemann ve Carraher, 1993). Sözel problemlerdeki gerçekçi durumu öğrencilerin nasıl algıladıklarını matematiksel modelleme bağlamında inceleyen birçok çalışma vardır (Greer 1997; Verschaffel ve De Corte, 1997; Verschaffel, De Corte ve Borghart, 1997; Verschaffel ve ark., 2002). Bu çalışmalarda öğrencilerin sözel problemleri çözerken gerçek hayat durumlarını da göz önünde bulundurma becerilerini geliştirmek hedeflenmiştir. Kullanılan soru türleri aşağıdaki örnekte de görüldüğü gibi geleneksel sözel problemlere çok benzemekle birlikte, göz önünde bulundurulması gereken bir gerçek hayat durumu söz konusudur. 228 kişilik bir turist kafilesi yüksek bir binanın tepesinden şehri izlemek istemektedir. Binada kapasitesi 24 kişilik tek bir asansör bulunmaktadır. Asansör bütün kafileyi binanın tepesine çıkarabilmek için kaç sefer yapmalıdır? (Verschaffel ve De Corte, 1997, s. 584) Bu problemde, geleneksel sözel problemlerden faklı olarak (ondalık) kesir olarak çıkan bir sonucun öğrenciler tarafından nasıl yorumlandığını sorgulamaktadır. Burada öğrencilerin sözel problemlere verdikleri cevapları gerçek hayat bağlamında da test etme becerilerini geliştirme amaçlanmıştır. Yani 228 in 24 e bölümü sonucu kalan 12 kişi için asansörün bir sefer daha yapması gerektiği fikri öğrencilere kazandırılmaya çalışılmaktadır. Böylece bu tür sözel problemler matematiksel modelleme için başlangıç uygulamaları olabilir (Verschaffel ve De Corte, 1997). Ancak yine de, bu tür problemlerde idealleştirilmiş bir gerçek hayat durumunun bütün bilinenleri, bilinmeyenleri ve sonucu bulmak için yapılacak işlemler anahtar kelimelerle sorunun içerisinde gizlenmiştir. Lingefjard (2002b), modelleme sürecinde öğrencilerin yaşadıkları birçok alt sürecin problem çözme olduğunu ve matematiksel modelleme ile problem 5

6 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ Tablo 1 Problem Çözme ve Matematiksel Modellemenin bir Karşılaştırması (Lesh ve Doerr [2003a] Lesh ve Zawojewski den [2007] derlenmiştir.) Geleneksel Problem Çözme Yaklaşımları Verilenleri kullanarak belirli bir sonuca ulaşma süreci Problem bağlamı idealleştirilmiş gerçek veya gerçekçi hayat durumları Öğrencilerden hazır öğretilmiş formül, algoritma, strateji, matematiksel fikir vb. yapıları kullanmaları beklenmektedir. Bireysel çalışma ön planda Gerçek hayattan soyutlanmış Öğrencilerden matematiksel sembol ve yapıları anlamlandırmaları bekleniyor. Belirli problem çözme stratejilerinin (farklı bir yaklaşım geliştirme, bir şekil üzerine aktarma vb.) öğretilmesi ve benzer problemlerde kullanılması Tek doğru bir çözüm Matematiksel Modelleme Çoklu döngü, farklı yorumlar Otantik gerçek hayat bağlamı Öğrenciler modelleme sürecinde önemli matematiksel fikir ve yapıları geliştirme, gözden geçirme ve düzeltme aşamalarını yaşarlar. Grup çalışması vurgulanıyor (sosyal iletişim, matematiksel fikirlerin paylaşımı vs.) Gerçek hayatla ilişkili ve disiplinler arası bir doğaya sahip Modelleme sürecinde ise öğrenciler anlamlı gerçek hayat durumların matematiksel tarifini yapmaya çalışıyor. Birden fazla ve öğrenciler tarafından bilinçli olarak duruma özel geliştirilen, belirgin olmayan çözüm stratejileri Birden fazla çözüm yaklaşımı ve çözüm (model) çözme arasında bir karşılaştırma yapmanın çok anlamlı olmadığını ifade eder. Fakat yine de, matematiksel modelleme ve geleneksel problem çözme arasındaki farklar ve benzerlikler birçok araştırmacı tarafından incelenmiştir (ör. Lesh ve Doerr, 2003a; Lesh ve Zawojewski, 2007; Mousoulides, Sriraman ve Christou, 2007; Zawojewski ve Lesh, 2003). Bu çalışmalarda geleneksel problemlerle kıyaslandığında matematiksel modelleme problemlerinin daha açık uçlu, öğrencilere farklı düşünme fırsatları sunan, daha gerçekçi ve anlamlı öğrenmeyi destekleyen özelliklere sahip olduğu ifade edilmektedir. Lesh ve Zawojewski (2007), Polya geleneğini devam ettiren problem çözme çalışmalarının betimsel düzeyde kalmakta olduğu ve öğrencilerin gerçek hayatta problem çözme becerilerini geliştirme sorununa bir çözüm sunmadığı için eleştirmektedir. Bu araştırmacılara göre problem çözme alan yazınında bahsedilen problemi anlama, bir strateji belirleme, uygulama ve test etme gibi aşamalar çalışmaların çoğunda ortaya çıkan ve farklı terimlerle adlandırılan sıralı yapıyı ifade etmektedir. Bununla birlikte, yine alan yazında belli başlı problem çözme stratejileri tanımlanmaktadır. Gerçek hayatta bireylerin ileriki yaşamlarında karşılaşabilecekleri problem durumları daha karmaşık olacaktır. Lesh ve Doerr (2003a) ve Lesh ve Zawojewski (2007) gibi araştırmacılar tarafından tartışılan fikirler doğrultusunda hazırlanan matematiksel modelleme ve problem çözmenin bir karşılaştırması Tablo 1 de verilmiştir. Matematiksel Modelleme Yaklaşımları Matematik ile gerçek hayat arasında bağ kurmaya çalışan her tür uygulama matematiksel modellemeyle ilişkilendirilebilir. Fakat farklı teorik altyapılar çerçevesinde matematik eğitiminde modelleme kullanımına yönelik farklı yaklaşımlar söz konusu olup uluslararası çalışmalarda da henüz ortak bir anlayış oluşmamıştır (Kaiser, Blum, Borromeo Ferri ve Stillman, 2011; Kaiser ve Sriraman, 2006). Bazı araştırmacılar modellemeyi matematik eğitiminde yapılandırmacılığın da ötesinde bir paradigma, eğitim ve öğretimi yorumlamada yeni bir yaklaşım olarak benimserken (Lesh ve Doerr, 2003a, 2003b) bir kısım araştırmacılar matematiksel modellemeyi gerçek hayat durumlarının matematiksel dilde ifade edilmesi, hazır verilen matematiksel yapıların, modellerin ve formüllerin gerçek hayatta uygulamaları olarak görmektedir (Haines ve Crouch, 2007). Matematiksel modelleme alanında yapılan çalışmalarda tartışılan konuların anlaşılması için bu farklı yaklaşımların benzer ve farklı yönleri irdelenmelidir. Ancak ne yazık ki, birçok araştırmacı tarafından dile getirilmekle birlikte henüz matematiksel modellemenin anlaşılmasındaki farklılıklara yönelik ayrıntılı ve sistematik bir şekilde analiz eden bilimsel çalışmalar yeterli düzeyde değildir (Kaiser, 2006; Kaiser ve Sriraman, 2006; Sriraman, Kaiser ve Blomhoj, 2006). Bu nedenle, matematiksel modellemenin öğrenimi ve öğretimi ile ilgili tüm dünyada kabul gören bir teoriden bahsetmek de henüz mümkün değildir (Kaiser ve ark., 2006). Aşağıda alan yazında karşımıza çıkan farklı matematiksel modelleme yaklaşımları ele alınmaktadır. International Commission on Mathematical Instruction (ICMI) ve the International Community of Teachers of Mathematical Modelling and Applications (ICTMA) tarafından düzenlenen kongrelerde modellemeyle ilgili sunulan çalışmaların genel hedefleri ve teorik çerçeveleri göz önünde bulundurularak Kaiser (2006) ile Kaiser ve Sriraman (2006) tarafından yapılan sınıflandırma bu konuda faydalı bir bakış açısı sağlamaktadır. Araştırmacılar sınırlı sayıdaki çalışmaları inceleyerek bunlara yön veren 6

7 ERBAŞ, KERTİL, ÇETİNKAYA, ÇAKIROĞLU, ALACACI, BAŞ / Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme: Temel Kavramlar... modelleme yaklaşımlarını 6 başlık altında sınıflandırmaktadırlar: (i) gerçekçi veya uygulamalı modelleme, (ii) bağlamsal modelleme, (iii) eğitimsel modelleme, (iv) sosyo-kritik modelleme, (v) epistemolojik veya teorik modelleme ve (vi) bilişsel modelleme. Bu sınıflandırmada her bir yaklaşım matematiksel modellemenin farklı bir yönünü ön plana çıkarmaktadır. Gerçekçi veya uygulamalı modelleme yaklaşımı, öğrencilerde problem çözme ve modelleme becerilerini geliştirmeyi hedeflemektedir. Bu yaklaşımda öğrencilere mühendislik ve diğer bilim dallarından problem durumları verilerek öğrendikleri matematiksel bilgileri farklı bağlamlarda uygulamaları önemsenmektedir. Bağlamsal modelleme yaklaşımında öğrencilere yapaylıktan uzak anlamlı gerçek hayat durumları verilmektedir. Böylece öğrencilerin matematiksel kavramları uygun bağlamlar içerisinde tecrübe ederek daha anlamlı öğrenebilecekleri varsayılır. Eğitimsel modelleme ise gerçekçi modelleme yaklaşımı ile bağlamsal modelleme yaklaşımının bir çeşit karması olarak düşünülebilir. Bu yaklaşımda matematiksel modelleme ile uygun öğrenme ortamlarının ve süreçlerinin oluşturularak öğrencilere kavramların öğretilmesini amaçlamaktadır. Sosyo-kritik modelleme yaklaşımı ise matematiğin sosyo-kültürel ve etno-matematik boyutlarına odaklanmaktadır. Bu yaklaşıma göre matematik öğretimi ile öğrencilere kendi yaşadığı topluma ve kültürel yapıya özgü kullanabileceği eleştirel düşünme becerileri kazandırılmalıdır. Bunu gerçekleştirmede matematiksel modelleme etkinliklerinin önemli olduğu düşünülmektedir. Bu çerçevede modelleme sürecinde öğrencilerin basitten karmaşığa doğru matematiği kullanarak tartışmaları onların eleştirel düşünme becerilerinin gelişmesine katkı sunacağı varsayılır. Epistemolojik veya teorik modelleme yaklaşımı ise matematiksel modellemede, matematiksel kavramlar arasındaki ilişkileri ve öğrencilerin bunlar üzerinde konuşmalarını ön planda tutmaktadır. Bu yaklaşıma göre modelleme etkinliklerindeki gerçekçi bağlam ikinci planda olup, içerisinde matematik olan her uğraş bir modelleme etkinliği olarak kabul edilir. Son olarak, bilişsel modelleme yaklaşımı ise modelleme sürecinde öğrencilerin yaşadıkları bilişsel ve üst bilişsel düşünme süreçlerinin analiz edilmesine odaklanmaktadır. Bu yaklaşıma göre modelleme etkinlikleri öğrencilerin düşünme süreçlerini anlama ve destekleme amacıyla öğretmenlere yol gösterici bir ortam sunmaktadır. Kaiser (2006) ile Kaiser ve Sriraman (2006) tarafından öne sürülen sınıflandırma, sistematik bilimsel bir analizden ziyade araştırmacıların öznel yorumlarını içermektedir. Bu sınıflandırmadaki modelleme yaklaşımlarını birbirinden kesin sınırlarla ayırmak pek de mümkün değildir. Nitekim bunun yüzeysel bir sınıflandırma olduğunu bu araştırmacıların kendileri de belirterek matematiksel modelleme ve ilgili kavramları üzerine ortak anlayışı artırmak ve derinleştirmek için bu konuda daha ayrıntılı çalışmaların yapılması gerektiğini önermektedirler. Kaiser ve Sriraman (2006) tarafından yapılan sınıflandırma farklı matematiksel modelleme yaklaşımlarını ve anlayışlarını ifade etmekle birlikte aralarındaki farkı net bir şekilde ortaya koymamaktadır. Matematiksel modellemenin matematik öğretiminde kullanım amacı bakımından daha basit bir sınıflandırma yapmak mümkündür. Genel olarak bakıldığında matematiksel modellemenin matematik eğitiminde kullanım amacına yönelik iki farklı yaklaşımdan söz etmek mümkündür: (i) matematik öğretiminin amacı, (ii) matematiği öğretmek için kullanılan bir yöntem (araç) (Galbraith, 2012; Gravemeijer, 2002; Julie ve Mudaly, 2007; Niss ve ark., 2007). Birinci yaklaşımda matematik öğretimi ile hedeflenen öğrencilerin modellerinin ve bu modelleri kullanarak matematiksel modelleme yapabilme becerilerinin geliştirilmesi hedeflenir. Matematiksel kavram ve modeller verildikten sonra gerçek hayat uygulamaları ile desteklenir. Bu yaklaşımda matematikten gerçek hayata (matematik gerçek hayat) doğru bir yönelim vardır. İkinci yaklaşımda ise matematiksel modelleme matematiksel kavram ve modellerin öğretilmesinde bir yöntem ve bağlam olarak kullanılır. Bu yaklaşımda ise gerçek hayattan matematiğe (gerçek hayat matematik) doğru bir yönelim söz konusudur. Birincisinde matematiksel yapılar, kavramlar ve modeller idealleştirilmiş gerçek hayat durumlarında uygulanacak birer hazır obje olarak ele alınırken ikincisinde ilgili matematiksel yapıların oluşturulması, geliştirilmesi ve genelleştirilmesini ifade eden sürece daha çok vurgu yapılmaktadır. İlerleyen kısımlarda bu iki modelleme yaklaşımı kuramsal altyapıları, matematiksel modelleme tanımları ve kullanılan soruların doğası bakımından incelenecektir. Matematik Öğretiminin Amacı Olarak Matematiksel Modelleme Bu yaklaşımda matematiksel modellemeye matematik ve matematik dışındaki disiplinler için öğrencilerde geliştirilmesi gereken temel beceriler açısından bakılmaktadır (ör. Blomhøj ve Jensen, 2007; Blum, 2002; Crouch ve Haines, 2004; Haines ve Crouch, 2001; Izard, Haines, Crouch, Houston ve Neill, 2003; Lingefjard, 2002a; Lingefjard ve Holmquist, 2005). Diğer bir deyişle, matematik öğ- 7

8 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ İçecek Kutusu İçi dolu bir metal içecek kutusu düşünün. Dolu kutuda 0,33 litre içecek bulunmaktadır. Kutunun altından küçük bir delik açıp üst kısmındaki kapağını açtığımızda kutudaki içecek 0,5 cm 3 /sn. hızla boşalmaya başlamaktadır. Kutu ve altındaki küçük delik içerisindeki bütün sıvının dökülebileceği şekilde konumlandırılmıştır. Başlangıçta kutunun kütle merkezinde bulunan sistemin ağırlık merkezi (Kutu ve içindeki içecek), yavaşça aşağıya doğru kaymakta ve sonra kutu boşalınca da başlangıç konumuna geri dönmektedir. a) Bu ağırlık merkezinin zamana bağlı hareketini açıklayan bir matematiksel model geliştiriniz. Modeli bir diyagram ile gösteriniz ve içecek kutusunun boşalma süresince sahip olabileceği en düşük ağırlık merkezi seviyesinin değerini en yaklaşık değeri ile hesaplayınız. b) Belli bir miktar içecek için kutu yandaki şekilde görüldüğü gibi konumlandırılabilmektedir. Kutudaki içecek miktarı ne kadar olduğunda bu işlem mümkündür? Varsayımlarınızı ve hesaplamalarınızı çözüm sürecinizde detaylandırarak açık bir şekilde gösteriniz. Şekil 2 İçecek Kutusu Problemi (Lingefjard dan [2002a] uyarlanmıştır.) retiminin amacı, öğrencilerin gerçek hayat durumları ile ilgili problemleri çözmek için ihtiyacı olan modelleme becerileri elde etmesini ve bu becerileri kullanabilmesini sağlamaktır. Lingefjard (2002a; 2002b) matematiksel modellemeyi soyut ve uygulamalı matematiğin bir parçası olarak görmektedir. Diğer bir deyişle sınıf ortamında öğretilen soyut matematik kavram ve konuları gerçek hayatta kullanılabileceği bağlamlarla birlikte öğretilmelidir. Lingefjard (2004), matematiksel modellemeyi bir otantik durumu gözlemleme, ilişkileri tahmin etme (saptama), matematiksel analizleri uygulama (denklemler, sembolik yapılar vs.), matematiksel sonuçları elde etme ve modeli tekrar yorumlamayı içeren bir süreç olarak tanımlamaktadır. Dolayısıyla Niss ve arkadaşlarının (2007) bahsettiği gibi önce matematiksel kavramların verildiği daha sonra bu kavramların uygulanabileceği gerçek hayat durumları üzerine çalışılan (matematik gerçek hayat) bir yaklaşım bulunmaktadır. Gravemeijer (2002) ise bunu başkaları tarafından oluşturulmuş ve öğrenci için statik yapıda hazır modeller olarak ifade etmektedir. Kullanılan modelleme problemlerine bakıldığında genel olarak ağır ve üst düzey matematik uygulamaları söz konusudur (bkz. Şekil 2). Ayrıca bu yaklaşımı kullanan araştırmacılara göre, matematiksel modelleme sadece matematik içinde değil disiplinlerarası düşünülmesi ve ele alınması gereken bir konudur (ör. Haines ve Crouch, 2001, 2007). Dolayısı ile diğer disiplinlerde de kullanılacak olan matematiksel modelleme becerileri iyi belirlenmeli ve bu becerileri geliştirmenin yöntemleri aranmalıdır. Bu araştırmacılar çalışmalarında matematik eğitiminin önemli amaçlarından biri olarak gördükleri matematiksel modelleme becerilerinin tanımlanması, geliştirilmesi ve ölçülmesi ile ilgili konulara odaklanmışlardır. Bunun için modelleme becerilerinin ve yeterliliklerinin neler olduğuna, nasıl geliştirileceğine ve nasıl ölçülebileceğine yönelik farklı görüşler ortaya çıkmaktadır (Henning ve Keune, 2007). Bu konuya bütüncül bir yaklaşımla bakılabilirken (Blomhøj ve Jensen, 2007), Crouch ve Haines (2004) gibi bazı araştırmacılar ise mikro-düzeyde bakmaktadır. Matematiksel modelleme becerilerine mikro düzeyde bakan Ross Crouch, John Davis, Andrew Fitzharris, Chris Haines, John Izard, Ken Houston ve Neville Neill gibi araştırmacılar, yılları arasındaki çalışmaları sonucunda matematiksel modelleme becerilerini aşağıdaki gibi tanımlamışlardır (Lingefjard, 2004): 1. Aşağıdaki seçeneklerden hangisi sabit durumdayken hızlanan bir otomobilin zamana (t) bağlı olarak hızını veren en yakın matematiksel ifadedir? 2. Aşağıda verilen durum üzerine düşününüz. Araçların arka arkaya düz bir sıra halinde park edildiği bir caddeye arabanızı geri geri park etmek durumundasınız. Park edeceğiniz boşluk arabanızın yaklaşık 1,5 katıdır. Buna göre, manevranın başarılı bir şekilde gerçekleştirilebilmesi için aşağıdaki değişkenlerden hangisi en önemlidir? A) Arabanın dönme yarıçapı B) Geri gitmeye başlamadan önce arabanın park boşluğuna olan mesafesi C) Mevcut hava koşulları D) Kaldırıma çıkıp çıkmayacağınız E) Geri gitmeye başlamadan önce arabanızla paralelinizde park edilmiş arabalar arasındaki mesafe Şekil 3 Modelleme Becerilerini Ölçmeye Yönelik Soru Örnekleri 8

9 ERBAŞ, KERTİL, ÇETİNKAYA, ÇAKIROĞLU, ALACACI, BAŞ / Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme: Temel Kavramlar... Verilenleri belirleme ve sadeleştirme Hedefi belirginleştirme Problemi formülleştirme Değişkenleri, parametreleri ve sabitleri belirleme Matematiksel ifadeleri formülleştirme Bir matematiksel model seçme Grafik gösterimleri kullanma Gerçek hayat durumu ile karşılaştırarak kontrol etme Aynı grup tarafından mikro-düzeydeki bu modelleme becerilerini ölçmek için geliştirilen bir test, modelleme sürecinin her bir aşamasında öğrencilerden beklenen becerileri ayrı ayrı, mikro düzeyde ölçmeyi hedeflemektedir (Haines, Crouch ve Davis, 2000). Şekil 3 teki ilk soru, matematiksel bir model seçme becerisini ölçmeye yönelik iken ikinci soru, hedefi belirginleştirme becerisini ölçmeye yöneliktir. Matematiksel modellemeyi öğretmeyi amaçlayan yaklaşımlarda modellemenin öğretimi üzerine çalışmalar da ön plana çıkmaktadır (bk. Ärlebäck ve Bergsten, 2010; Lingefjard, 2002a). Bu bağlamda, Fermi problemleri matematiksel modellemenin öğretimi sürecinde kullanılabilecek problem türlerine örnek olarak verilmiştir (Ärlebäck, 2009; Ärlebäck ve Bergsten, 2010; Sriraman ve Lesh, 2006). Fermi problemleri; varsayımlarda bulunarak, sistematik bir düşünme biçimi ve sınırlı bilgi ile hesaplanması pek mümkün olmayan büyüklüklerle ilgili tahmin yürütmeyi içermektedir (Ärlebäck, 2009) (bkz. Şekil 4). Ünlü fizikçi Enrico Fermi ye atfedilen Şikago da kaç tane piyano akortçusu var? sorusu Fermi problemleri olarak isimlendirilen problem türünün klasik bir örneğidir (Sriraman ve Lesh, 2006). Ärlebäck a (2009) göre Fermi problemleri, öğrencilerin basit hesaplamalarla çözüme başlamadan önce varsayımlarda bulunarak sistematik tahminlerde bulunmalarını gerektiren açık uçlu, rutin olmayan problemlerdir ve matematiksel modellemenin öğretilmesi için mükemmel araçlardır. Sriraman ve Lesh e (2006) göre bu tür problemler bir matematiksel modelleme problemi olmaktan ziyade, modelleme problemleri için iyi birer başlangıç problemidir. Fermi problemleri diğer klasik problemlerle kıyaslandığında yaşadığımız çevre ile daha yakından ilişkili olup pedagojik olarak daha geniş ve anlamlı olanaklar sunmaktadır (Ärlebäck ve Bergsten, 2010). Özet olarak, matematik öğretiminin amacı olarak matematiksel modelleme yaklaşımında matematiksel modelleme hazır öğretilen soyut matematiksel kavram ve modellerin gerçek hayat uygulamalarını yapabilme olarak görülmekte ve matematik öğretiminden bağımsız olarak ayrıca modelleme beceri ve stratejilerinin öğretilmesi savunulmaktadır. Burada modelleme becerilerinin geliştirilmesi çok önemsenmekte ve bunun için de matematiksel kavramlar öğretildikten sonra çok sayıda gerçek hayat bağlamlı uygulama problemleri çözülmesinin ve hatta matematik dersinden ayrı olarak matematiksel modelleme dersi olmasının gerekliliği vurgulanmaktadır (Haines ve Crouch, 2001). Yine de, bu yaklaşım temelinde uygulanan modelleme problemleri, öğrencilere hem kendi yaşamları ile ilgili gerçek problemleri çözme deneyimi kazandırmakta hem de modelleme becerilerini geliştirerek öğrencilerde modelleme süreci ile ilgili zihinsel bir altyapı oluşturmaya yardımcı olmaktadır (Galbraith, 2012). Matematiği Öğretmek İçin Bir Araç (Yöntem) Olarak Matematiksel Modelleme Matematiksel modellemenin matematik eğitiminde kullanımına yönelik ikinci bir yaklaşım ise matematiksel modellemeyi matematiği öğretmek için bir araç olarak ele almaktadır. Bu bakış açısına göre matematiksel modelleme süreci, öğrencilerin kendi matematiksel bilgi ve modellerini oluşturup geliştirmek için kullanılabilecek öğretim aracıdır. Bunun için önemli matematiksel kavramlar ve fikirler, tarihsel gelişimine de uygun bir şekilde ve sezgiselden formele doğru, uygun problemler ve gerçek hayat durumları aracılığıyla öğretilmelidir (Lesh ve Doerr, 2003a). Geleneksel yöntemlerde öğrencilere hazır sunulan matematiksel bilgi ve modeller öğrencilerin zihninde bir süreçten geçmediği için anlamlı öğrenmenin gerçekleşmesi zordur. Bunun için, öğrencilere kendi matematiksel bilgi ve modellerini geliştirebilecekleri ortamlar sunmak gerekir. Matematik eğitiminde Model ve Modelleme Perspektifi (MMP) (Lesh ve Doerr, 2003a) ve Gerçekçi Matematik Eğitiminin ortaya koyduğu modelleme yaklaşımı (emergent modeling) (Gravemeijer, 1) Bir yüzme havuzunu doldurmak için kaç bardak suya ihtiyaç vardır? 2) İstanbul da bulunan ve Türkiye nin en yüksek binası olan Sapphire Towers ın girişindeki danışma görevlilerine en sık sorulan sorular şunlardır: Binanın en üst katında bulunan gözlem odasına asansör ne kadar zamanda çıkmaktadır? Eğer yürüyerek çıkmak istersek kaç dakika sürer? Şekil 4 Örnek Fermi Problemleri (Ärlebäck dan [2009] uyarlanmıştır.) 9

10 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ 2002; Gravemeijer ve Stephan, 2002) bu bakış açısına sahip yaklaşımlara örnektir. Model ve Modelleme Perspektifi (MMP): Lesh ve Doerr (2003a) tarafından öne sürülen Matematiksel Model ve Modelleme Perspektifi (MMP) matematikte öğrenmeyi, öğretmeyi ve problem çözmeyi açıklayan kapsamlı bir teorik yaklaşımdır. MMP kuramsal altyapı olarak yapılandırmacılık ve sosyo-kültürel teorileri temel alır. Bu yaklaşıma göre kişiler olayları, deneyimleri ve/veya problem durumlarını zihinlerinde var olan bilişsel sistemlerini (zihinsel modellerini) kullanarak yorumlamaya ve böylece anlamlandırmaya çalışmaktadırlar. Bu yorumlama sürecinde zihinsel modeller, söz konusu olay veya problem durumu ile ilgili bilgiyi düzenlemek, organize etmek ve anlamlı örüntüler bulmak için kullanılır. Modelleme sürecinde öğrencinin çözüm bulma, çözümü test etme ve alternatif çözüm üretme döngüsünde aktif rol alması ve sürecin sonunda bir matematiksel model geliştirmesi yapılandırmacılığın bireyin zihinsel gelişim sürecini merkeze alan yaklaşımını yansıtmaktadır (Lesh ve Lehrer, 2003). Ancak bu zihinsel modellerin kullanılabilmesi ve gelişimi bir takım gösterimlerle (dil, semboller, şekiller, teknolojik araçlar vs.) ifade edilebilmesi ile mümkündür. Modelleme sürecinde grup çalışması yapılması, grup tartışmaları neticesinde birçok döngüden geçerek çözüme ulaşılması sosyal bir öğrenme ortamını gerektirir. Bu yönüyle teori, bilişsel gelişimin sosyo-kültürel boyutunu da içermektedir (Lesh ve Doerr, 2003b; Lesh ve Lehrer, 2003). Zawojewski, Lesh ve English e (2003) göre geleneksel matematik problem çözme etkinliklerinde, elde edilmesi beklenen bir matematiksel (sayısal) sonuç olduğu için paylaşılmaya ihtiyaç yoktur ve bu nedenle sosyal yönü zayıftır. Ancak matematiksel modelleme etkinliklerinde model oluşturma ve modeli genelleme ilkeleri, geliştirilen bir modelin paylaşılabilir ve tekrar kullanılabilir olmasını öngörür. Modelleme etkinliklerinde grup çalışma sürecinde her bir öğrenci kendi gösterim yöntemleri ile problemi yorumlamakta ve bu yorumlar grupça tartışılmaktadır. Her bir model tartışılıp değerlendirildikten sonra da en uygun model oluşturulmaktadır. Oluşturulan model başkaları tarafından kullanılacağından, öğrenciler her bir süreci, yöntemi ve stratejiyi açıklamak durumundadır (Zawojewski ve ark., 2003). Burada yine grup çalışmasında grup üyelerinin birbirlerini değerlendirmesiyle öğretmen tek değerlendirme kaynağı olmaktan da çıkmaktadır. Ayrıca grup tartışması sürecinde grup üyelerinin iletişim becerilerini geliştirme fırsatı da ortaya çıkmaktadır. MMP ye göre matematik eğitiminin en önemli amacı öğrencilerin karşılaştıkları gerçek problem durumlarını yorumlayıp çözüm üretebilecekleri zihinsel modeller geliştirmelerine yardımcı olmaktır. MMP yaklaşımı model ve modelleme terimleri için kapsamlı bir tanım sunmaktadır. Lesh ve Doerr a (2003a) göre model, karmaşık sistemleri ve yapıları yorumlamak ve anlamak için zihinde var olan kavramsal yapılar ile bu yapıların dış temsillerinin bütünüdür. Modelleme ise olayları ve problemleri yorumlama (tanımlama, açıklama veya oluşturma) sürecinde problem durumlarını zihinde düzenleme, koordine etme, sistemleştirme ve organize edip bir örüntü bulma, zihinde farklı şemalar ve modeller kullanma ve oluşturma sürecidir (s. 11). Bu bağlamda model bir süreç sonunda oluşturulmuş ürünü ifade ederken modelleme ise bir durumun fiziksel, sembolik ya da soyut modelini oluşturma sürecini anlatmaktadır. MMP yaklaşımı modelleme problemleri için model-oluşturma (model-eliciting) etkinlikleri ifadesini kullanmakta ve bu etkinliklerin eğitim-öğretim sürecinde kullanılmasına önem vermektedir. Model-oluşturma etkinlikleriyle genel anlamda öğrencilere kısa bir zaman diliminde belirli matematiksel kavramların ve modellerin tarihsel gelişimindeki doğal süreci yaşatarak onlarda bu kavramları ihtiyaç olarak hissettirme ve sezgisel olarak ortaya çıkarma amaçlanmaktadır (Lesh ve Doerr, 2003a). MMP ye göre model-oluşturma etkinlikleri çok farklı bağlamlarda, farklı gruplara farklı amaçlar için kullanılabilir (Doerr ve Lesh, 2011). Sorunun içerdiği gerçek hayat bağlamının otantik ve amaca uygun olabilmesi için, etkinlikler oluşturulurken modelleme tasarım prensiplerinin sağlanmasına dikkat edilmelidir. Lesh, Hoover, Hole, Kelly ve Post (2000) tarafından belirlenen ve modelleme etkinliklerinde bulunması gereken özellikler Tablo 2 de gösterilmektedir. Tablo 2 deki prensipler göz önünde bulundurularak geliştirilen bir modelleme etkinliği Şekil 5 te gösterilmektedir. Şekil 2 deki İçecek Kutusu problemi ile kıyaslandığında bazı farklılıklar görülmektedir. İçecek Kutusu probleminde modellenmesi istenen durumun gerçekçiliği ve neden modellenmesi gerektiği açık değildir. Soru kalıpları bu durumu modelleyiniz şeklinde olup öğrenciden hazır bazı modelleri kullanması beklenmektedir. Şekil 5 te gösterilen Su Deposu probleminde ise daha gerçekçi bir senaryo vardır. Soru, hiçbir teknik ve matematiksel ifade kullanılmadan öğrenciyi bir çözüm bulmaya ve çözümü yazarak ayrıntılı olarak anlatmaya yönlendirmektedir. MMP ye göre modelleme etkinlikleri dersin herhangi bir anında bir uygulama problemi gibi tek başına, 10

11 ERBAŞ, KERTİL, ÇETİNKAYA, ÇAKIROĞLU, ALACACI, BAŞ / Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme: Temel Kavramlar... plansız bir şekilde uygulanmamalıdır. Matematikte belli bir konu ile ilgili temel matematiksel fikirlerin kazandırılması asıl hedef olmalıdır. Belli bir konu ile ilgili temel matematiksel fikirler belirlendikten sonra öğrencileri bu fikirlere yönlendirecek, onlarda bu fikirleri sezgisel olarak ortaya çıkarabilecek uygun model-oluşturma etkinlikleri tasarlanmalıdır. Bir modelleme etkinliğinin uygulanması öncesinde, sürecinde ve sonrasında planlanması gereken unsurlar şunlardır: (i) Etkinlikle hedeflenen kavramlar, matematiksel fikirler önceden belirlenmeli; (ii) Öğrenciler problemin bağlamına yabancı iseler bağlamın gerçekliğini ve öğrenci için anlamlılığını artırmak için bir ısındırma etkinliği yapılmalı; (iii) Uygulamanın hemen sonrasında modelleme esnasında öğrencilerin geliştirdikleri modelleri kullanabilecekleri devam etkinlikleri (model-keşfetme etkinlikleri) uygulanmalıdır (Lesh ve Doerr, 2003b). MMP ye göre modelleme etkinlikleri öncesiyle ve sonrasıyla düşünülerek iyi planlanmış, matematiksel bir veya birkaç kavramla ilgili model geliştirmeyi sağlayacak şekilde belli bir sıra ve düzende uygulanmalıdır. MMP, model-oluşturma ve devam etkinlikleri ile matematiksel konuların içerdiği ana fikirleri bir bağlam içerisinde geliştirmeyi ve öğretmeyi hedeflemektedir (Lesh ve ark., 2003). Tablo 2 Model-Oluşturma Etkinliklerine Yön Vermesi Beklenen Prensipler (Lesh ve arkadaşlarından [2000] uyarlanmıştır.) Prensipler Açıklama Model oluşturma prensibi Gerçeklik prensibi Öz değerlendirme prensibi Model açığa çıkarma (belgeleme) prensibi Model genelleştirme prensibi Etkili örnek model (prototip) prensibi Bu prensibe uygun düzenlenmiş etkinlik öğrenciye, sorulan durum için bir çözüm olacak model (yapı) oluşturmaya, geliştirmeye ya da düzenlemeye ihtiyaç olduğunu hissettirebilmeli ve etkinlik sonunda da öğrenci bir model oluşturabilmelidir. Modelleme etkinliği öğrencinin sahip olduğu bilgi ve deneyimleriyle anlamlı bir gerçek hayat problemini çözebilmesine olanak sağlamalıdır. Öğrenci, etkinlikte kendi yorumlarının ve vardığı sonuçların doğruluğunu kendi kontrol edebileceği gibi, oluşturduğu modelin geliştirilmesine veya düzeltilmesine ihtiyacın olup olmadığı hükmüne de kendisi karar verebilmelidir. Bu prensibe uygun şekilde hazırlanmış modelleme etkinlikleri, öğrencilerin, etkinlik boyunca problem durumuyla ilgili kendi düşünceleri ve çözüm yollarını açıkça ortaya çıkaracak yazılı bir doküman oluşturmalarını gerektirmelidir. Modelleme etkinlikleri, öğrencinin genel bir model oluşturmasına, dolayısıyla oluşturduğu modeli benzer başka durumlarda da kullanabilmesine olanak sağlamalıdır. Modelleme etkinlikleri, öğrencilerin yapısal olarak benzer başka durumları da yorumlamakta kullanabileceği, açıklama gücü yüksek bir örnek model oluşturabilmesine olanak sağlamalıdır. Bu özelliklere sahip olmasının yanında problem durumu mümkün olduğunca karmaşıklıktan uzak olmalı, öğrencinin mantıklı bir cevap üretebilmesine olanak sağlamalıdır. Gerçekçi Matematik Eğitiminde Modelleme Yaklaşımı (Ortaya Çıkan Modelleme Yaklaşımı): Alanda karşımıza çıkan ve ikinci yaklaşım altında değerlendirdiğimiz bir diğer önemli modelleme yaklaşımı Gerçekçi Matematik Eğitimi (Realistic Mathematics Education) (Freudental, 1991) teorisinin sunduğu modelleme yaklaşımıdır. Bir önceki bölümde bahsedilen MMP yaklaşımında olduğu gibi bu modelleme yaklaşımının kuramsal altyapısı da yapılandırmacılık ve sosyo-kültürel teorilere dayanmaktadır (Freudental, 1991; Gravemeijer, 2002). Bu yaklaşımda matematiksel kavramları ve matematiksel fikirleri hazır vermek yerine uygun bağlamlarda ve iyi planlanmış yönlendirmeler yaparak öğrencilerin kendilerinin keşfetmeleri sağlanır. Bunun amacı, öğrencilerde sezgisel olarak bazı matematiksel fikirleri geliştirmektir. Bu fikirler formel matematiksel araçlarla desteklendiğinde de daha anlamlı bir öğrenme olacağı düşünülmektedir. Yani duruma özel somut düşünme tarzından daha soyut ve genele (matematiksele) doğru bir gidiş söz konusudur. Bu yaklaşımda matematiksel modelleme sadece otantik problem durumlarının matematik diline aktarılması değil, aynı zamanda bu otantik durumun içerdiği olguları düzenleyerek yeni ilişkiler ortaya çıkarma olarak görülmektedir (Gravemeijer ve Stephan, 2002). Bu esasında öğrenciler için bir tür keşfetme sürecidir. Öğrencilerin her şeyi kendi kendine keşfetmesi beklenemeyeceği için de rehberlik yaparak keşfettirme (guided discovery/ reinvention) yöntemi kullanılır (Doorman ve Gravemeijer, 2009). Keşfettirme sürecinde öğrencilerin kendi formel olmayan, bağlama özel modeller geliştirmelerine imkân verdiğinden problem durumları kilit role sahiptir. Buradaki model sadece gerçek hayat durumunun fiziksel veya matematik diline aktarılarak gösterimi değil, onunla birlikte gelen ve modelin içeriğini oluşturan amaç, düşünme biçimi vb. her şeydir (Cobb, 2002). Bu bakış açısıyla modelleme, gerçek hayat durumlarını ve bunları anlamak, analiz etmek için kullanılan matematiksel bilgiyi ve düşünme biçimini düzenleme ve yeniden organize etme sürecidir. Soyut matematiksel düşünmeye geçerken modelleme ve modellerin anlamı değişebilir. İlk aşamada öğrencilere bağlama özel stratejiler ve kişisel modeller geliştirebilecekleri gerçek hayat problem durumları inceletilir. Öğrenci önce kendi gösterimlerini kullanarak formel olmayan modeller oluşturacaktır (model of). Devam eden süreçte öğrenciler bu kişisel modelleri ve model ile ilişkili matematiksel bilgilerini geliştirmeleri için desteklenir. Ki- 11

Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme: Temel Kavramlar ve Farklı Yaklaşımlar *

Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme: Temel Kavramlar ve Farklı Yaklaşımlar * Kuram ve Uygulamada Eğitim Bilimleri Educational Sciences: Theory & Practice 14(4) 1607-1627 2014 Eğitim Danışmanlığı ve Araştırmaları İletişim Hizmetleri Tic. Ltd. Şti. www.edam.com.tr/kuyeb DOI: 10.12738/estp.2014.4.2039

Detaylı

Öğrenme 10/1/15. Öğrenme nedir? Öğrendiğimizi nasıl biliyoruz? Matematik nedir? Matematik öğrendiğimizi nasıl biliyoruz? Doç. Dr. Güney HACIÖMEROĞLU

Öğrenme 10/1/15. Öğrenme nedir? Öğrendiğimizi nasıl biliyoruz? Matematik nedir? Matematik öğrendiğimizi nasıl biliyoruz? Doç. Dr. Güney HACIÖMEROĞLU 10/1/15 Öğrenme nedir? Öğrendiğimizi nasıl biliyoruz? Matematik nedir? Matematik öğrendiğimizi nasıl biliyoruz? Doç. Dr. Güney HACIÖMEROĞLU http://matematikogretimi.weebly.com/ Öğrenme 1 Öğrendiğimizi

Detaylı

Problem çözme durumları öğretmen tarafından modellenmeli ve öğrenciler uygun sorular yardımı ile yönlendirilmelidir. Bir problem çözüldükten sonra,

Problem çözme durumları öğretmen tarafından modellenmeli ve öğrenciler uygun sorular yardımı ile yönlendirilmelidir. Bir problem çözüldükten sonra, Problem Çözme Problem Çözme Problem çözme esasen tüm öğrenme alanlarında pekiştirilen ve diğer beceriler ile ilişki hâlinde olan temel bir beceridir. Matematik öğretiminde problem çözme becerisine atfedilen

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Nuray Ç. Dedeoğlu İlköğretim Matematik Eğitimi İlkokul Matematik Dersi Öğretim Programı

Yrd. Doç. Dr. Nuray Ç. Dedeoğlu İlköğretim Matematik Eğitimi İlkokul Matematik Dersi Öğretim Programı Yrd. Doç. Dr. Nuray Ç. Dedeoğlu İlköğretim Matematik Eğitimi ndedeoglu@sakarya.edu.tr İlkokul Matematik Dersi Öğretim Programı Güncel Öğretim Programı MEB (2009) İlköğretim ve MEB (2015) İlkokul Matematik

Detaylı

Ortaokul Sınıflar Matematik Dersi Öğretim Programı*: Kazandırılması Öngörülen Temel Beceriler

Ortaokul Sınıflar Matematik Dersi Öğretim Programı*: Kazandırılması Öngörülen Temel Beceriler Ortaokul 5.- 8. Sınıflar Matematik Dersi Öğretim Programı*: Kazandırılması Öngörülen Temel Beceriler Yrd. Doç. Dr. Nuray Ç. Dedeoğlu İlköğretim Matematik Eğitimi * MEB (2013). Ortaokul matematik dersi

Detaylı

Eğitim Fakülteleri ve İlköğretim Öğretmenleri için Matematik Öğretimi

Eğitim Fakülteleri ve İlköğretim Öğretmenleri için Matematik Öğretimi Dicle Üniversitesi Ziya Gökalp Eğitim Fakültesi Dergisi, 19 (2012) 269-273 269 KİTAP İNCELEMESİ Eğitim Fakülteleri ve İlköğretim Öğretmenleri için Matematik Öğretimi Prof. Dr. Murat ALTUN Dilek SEZGİN

Detaylı

ÖĞRENME PERFORMANSINI YÜKSELTME PROJESİ

ÖĞRENME PERFORMANSINI YÜKSELTME PROJESİ ÖĞRENME PERFORMANSINI YÜKSELTME PROJESİ Çağdaş eğitimin en önemli amaçlarından biri her öğrenciye kendi bireysel özelliklerine göre öğrenme fırsatı sağlamaktır. Bu yolla bireysel farklılıkları olan çocuklar

Detaylı

MATEMATİK DERSİ ÖĞRETİM PROGRAMI. Programın Temel Yapısı

MATEMATİK DERSİ ÖĞRETİM PROGRAMI. Programın Temel Yapısı MATEMATİK DERSİ ÖĞRETİM PROGRAMI Programın Temel Yapısı MATEMATİK DERSİ ÖĞRETİM PROGRAMI İlkokul ve Ortaokul 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ve 8. Sınıflar Çıkmış soru (ÖABT-LS) Uygulanmakta olan Ortaöğretim Matematik

Detaylı

MATEMATİĞİN DOĞASI, YAPISI VE İŞLEVİ

MATEMATİĞİN DOĞASI, YAPISI VE İŞLEVİ İÇİNDEKİLER Önsöz.III Bölüm I: MATEMATİĞİN DOĞASI, YAPISI VE İŞLEVİ 11 1.1. Matematiğin Tanımına Çeşitli Yaklaşımlar 12 1.2.Matematik Öğrenmenin Amaçları 13 1.3.Matematik ile Diğer Öğrenme Alanlarının

Detaylı

Sınıf Öğretmenliği Anabilim Dalı Yüksek Lisans Ders İçerikleri

Sınıf Öğretmenliği Anabilim Dalı Yüksek Lisans Ders İçerikleri Sınıf Öğretmenliği Anabilim Dalı Yüksek Lisans Ders İçerikleri Okuma-Yazma Öğretimi Teori ve Uygulamaları ESN721 1 3 + 0 7 Okuma yazmaya hazıroluşluk, okuma yazma öğretiminde temel yaklaşımlar, diğer ülke

Detaylı

Yılmaz Mutlu 1

Yılmaz Mutlu 1 05.03.2013 Yılmaz Mutlu 1 Gerçekçi Matematik Eğitimi; ilk olarak 1970 li yıllarda Hans Freudenthal ve meslektaşları tarafından Hollanda daki Freudenthal Enstitüsü'nde geliştirilen ve tanıtılan, matematik

Detaylı

ĐLKÖĞRETĐM ANABĐLĐM DALI MATEMATĐK EĞĐTĐMĐ BĐLĐM DALI YÜKSEK LĐSANS PROGRAMI 2013-2014 EĞĐTĐM ÖĞRETĐM PLANI GÜZ YARIYILI DERSLERĐ

ĐLKÖĞRETĐM ANABĐLĐM DALI MATEMATĐK EĞĐTĐMĐ BĐLĐM DALI YÜKSEK LĐSANS PROGRAMI 2013-2014 EĞĐTĐM ÖĞRETĐM PLANI GÜZ YARIYILI DERSLERĐ ĐLKÖĞRETĐM ANABĐLĐM DALI MATEMATĐK EĞĐTĐMĐ BĐLĐM DALI YÜKSEK LĐSANS PROGRAMI 2013-2014 EĞĐTĐM ÖĞRETĐM PLANI GÜZ YARIYILI DERSLERĐ Kodu Adı T U AKTS Ders Türü ĐME 500* Seminer 0 2 6 Zorunlu ĐME 501 Eğitimde

Detaylı

İŞLEM KAVRAMI - 2. Çarpma-Bölme

İŞLEM KAVRAMI - 2. Çarpma-Bölme İŞLEM KAVRAMI - 2 Çarpma-Bölme TEKRAR TESTİ Matematik Dersi Öğretim Programının ulaşmaya çalıştığı genel amaçlar aşağıdaki kanunların hangisinde yer alan Türk Milli Eğitiminin genel amaçları ile Türk Milli

Detaylı

Öğretim içeriğinin seçimi ve düzenlenmesi

Öğretim içeriğinin seçimi ve düzenlenmesi Öğretim içeriğinin seçimi ve düzenlenmesi Öğretim hedefleri belirlendikten sonra öğrencileri bu hedeflere ulaştıracak içeriğin saptanması gerekmektedir. Eğitim programlarının geliştirilmesinde ikinci aşama

Detaylı

MATEMATİK BİLİM GRUBU III KURS PROGRAMI

MATEMATİK BİLİM GRUBU III KURS PROGRAMI MATEMATİK BİLİM GRUBU III KURS PROGRAMI 1.Kurumun Adı 2.Kurumun adresi 3.Kurucunun Adı 4.Programın Adı : OĞUZHAN ÖZKAYA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU : Onur Mahallesi Leylak Sok.No:9 Balçova-İzmir : Oğuzhan Özkaya

Detaylı

ÖĞRETMENLİK VE ÖĞRETİM YETİŞKİNLER İÇİN OKUMA YAZMA ÖĞRETİCİLİĞİ MODÜLER PROGRAMI (YETERLİĞE DAYALI)

ÖĞRETMENLİK VE ÖĞRETİM YETİŞKİNLER İÇİN OKUMA YAZMA ÖĞRETİCİLİĞİ MODÜLER PROGRAMI (YETERLİĞE DAYALI) T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI Hayat Boyu Öğrenme Genel Müdürlüğü ÖĞRETMENLİK VE ÖĞRETİM YETİŞKİNLER İÇİN OKUMA YAZMA ÖĞRETİCİLİĞİ MODÜLER PROGRAMI (YETERLİĞE DAYALI) 2013 ANKARA ÖNSÖZ Günümüzde mesleklerin

Detaylı

MATEMATİK OKURYAZARLIĞI

MATEMATİK OKURYAZARLIĞI MATEMATİK OKURYAZARLIĞI VE PISA EDİTÖR Tangül KABAEL YAZARLAR Tangül KABAEL Ayla ATA BARAN Fatma KIZILTOPRAK Ömer DENİZ Emre EV ÇİMEN Hatice Kübra GÜLER 2. Baskı Ankara 2019 MATEMATİK OKURYAZARLIĞI VE

Detaylı

SAYILAR VE SAYMA TEKRAR TESTİ

SAYILAR VE SAYMA TEKRAR TESTİ İŞLEM KAVRAMI SAYILAR VE SAYMA TEKRAR TESTİ SAYILAR VE SAYMA KONU ÖZETİ SAYI KAVRAMI VE SAYMA Sayı ve sayma kavramı öncesinde öğrenilmiş olması gereken alt düzey temel beceriler: Karşılaştırma Sınıflandırma

Detaylı

Genel Fizik I (PHYS 101) Ders Detayları

Genel Fizik I (PHYS 101) Ders Detayları Genel Fizik I (PHYS 101) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Genel Fizik I PHYS 101 Güz 3 2 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i Dersin Dili Dersin Türü

Detaylı

BÖLÜM 1 GİRİŞ. Bu bölümde araştırmanın problemi, amacı, önemi, kısaltmalar ve tanımlardan bahsedilmektedir.

BÖLÜM 1 GİRİŞ. Bu bölümde araştırmanın problemi, amacı, önemi, kısaltmalar ve tanımlardan bahsedilmektedir. BÖLÜM 1 GİRİŞ Bu bölümde araştırmanın problemi, amacı, önemi, kısaltmalar ve tanımlardan bahsedilmektedir. 1.1.Problem Durumu İlkokul eğitim-öğretim faaliyetlerinin temelini oluşturmakta ve kişinin geleceğinin

Detaylı

Uzaktan Eğitim ve E-Öğrenme (ISE 424) Ders Detayları

Uzaktan Eğitim ve E-Öğrenme (ISE 424) Ders Detayları Uzaktan Eğitim ve E-Öğrenme (ISE 424) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Uzaktan Eğitim ve E-Öğrenme ISE 424 Bahar 3 0 0 3 5 Ön Koşul Ders(ler)i

Detaylı

AKADEMİ. Eğitim Kataloğu GELECEĞE YÖN VERENLERİN AKADEMİSİ. * Bu katalog ETZ Akademi tarafından hazırlanan eğitimleri içermektedir.

AKADEMİ. Eğitim Kataloğu GELECEĞE YÖN VERENLERİN AKADEMİSİ. * Bu katalog ETZ Akademi tarafından hazırlanan eğitimleri içermektedir. AKADEMİ GELECEĞE YÖN VERENLERİN AKADEMİSİ 20 18 Eğitim Kataloğu * Bu katalog ETZ Akademi tarafından hazırlanan eğitimleri içermektedir. Eğitimde Teknoloji Entegrasyonu ve Öğretim Tasarımı Her branştan

Detaylı

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-III ÇERÇEVE PROGRAMI. : Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-III ÇERÇEVE PROGRAMI. : Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-III ÇERÇEVE PROGRAMI 1.KURUMUN ADI 2.KURUMUN ADRESİ 3.KURUCUNUN ADI :Tercih Özel Öğretim Kursu : Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA : ARTI ÖZEL EĞİTİM ÖĞRETİM

Detaylı

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-IV ÇERÇEVE PROGRAMI. 2. KURUMUN ADRESİ : Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-IV ÇERÇEVE PROGRAMI. 2. KURUMUN ADRESİ : Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-IV ÇERÇEVE PROGRAMI 1. KURUMUN ADI : Tercih Özel Öğretim Kursu 2. KURUMUN ADRESİ : Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA 3. KURUCUNUN ADI : ARTI ÖZEL EĞİTİM ÖĞRETİM

Detaylı

İŞLEM KAVRAMI. Çarpma-Bölme

İŞLEM KAVRAMI. Çarpma-Bölme İŞLEM KAVRAMI Çarpma-Bölme TEKRAR TESTİ 1. Aşağıdakilerden hangisinde Matematik Dersi Öğretim Programının öğrenme alanları doğru olarak verilmiştir? A) B) C) D) E) Sayılar ve Sayılar ve Sayılar ve Sayılar

Detaylı

Staj II (EE 499) Ders Detayları

Staj II (EE 499) Ders Detayları Staj II (EE 499) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Staj II EE 499 Bahar 0 0 0 0 4 Ön Koşul Ders(ler)i Dersin Dili Dersin Türü Dersin Seviyesi

Detaylı

Yazarlar hakkında Editör hakkında Teşekkür

Yazarlar hakkında Editör hakkında Teşekkür İÇİNDEKİLER Yazarlar hakkında Editör hakkında Teşekkür XIII XIV XV Giriş 1 Kitabın amaçları 1 Öğretmen katkısı 2 Araştırma katkısı 2 Yansıma için bir ara 3 Sınıf etkinlikleri 3 Terminoloji üzerine bir

Detaylı

a) Çıkarma işleminin; eksilen ile çıkanın ters işaretlisinin toplamı anlamına geldiğini kavrar.

a) Çıkarma işleminin; eksilen ile çıkanın ters işaretlisinin toplamı anlamına geldiğini kavrar. 7. SINIF KAZANIM VE AÇIKLAMALARI M.7.1. SAYILAR VE İŞLEMLER M.7.1.1. Tam Sayılarla Toplama, Çıkarma, Çarpma ve Bölme İşlemleri M.7.1.1.1. Tam sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerini yapar; ilgili problemleri

Detaylı

FEN BİLİMLERİ DERSİ ÖĞRETİM PROGRAMI (3, 4, 5, 6, 7 VE 8. SıNıF) TANITIMI. Öğretim Programı Tanıtım Sunusu

FEN BİLİMLERİ DERSİ ÖĞRETİM PROGRAMI (3, 4, 5, 6, 7 VE 8. SıNıF) TANITIMI. Öğretim Programı Tanıtım Sunusu FEN BİLİMLERİ DERSİ ÖĞRETİM PROGRAMI (3, 4, 5, 6, 7 VE 8. SıNıF) TANITIMI Öğretim Programı Tanıtım Sunusu Sununun İçeriği Programın Yapısı Ünite, Kazanım Sayı ve Süre Tablosu Fen Bilimleri Dersi Öğretim

Detaylı

BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ

BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf / Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS PROGRAMLAMA BG-213 2/1 2+0+2 2+1 5 Dersin Dili : TÜRKÇE Dersin Seviyesi : LİSANS

Detaylı

AKTIF (ETKİN) ÖĞRENME

AKTIF (ETKİN) ÖĞRENME AKTIF (ETKİN) ÖĞRENME 2 AKTIF (ETKİN) ÖĞRENME Aktif öğrenme, bireyin öğrenme sürecine aktif olarak katılımını sağlama yaklaşımıdır. Bu yöntemle öğrenciler pasif alıcı konumundan çıkıp yaparak yaşayarak

Detaylı

Yapılandırmacı anlayışta bilgi, sadece dış dünyanın bir kopyası ya da bir kişiden diğerine geçen edilgen bir emilim değildir.

Yapılandırmacı anlayışta bilgi, sadece dış dünyanın bir kopyası ya da bir kişiden diğerine geçen edilgen bir emilim değildir. Yapılandırmacılık, pozitivist geleneği reddetmekte; bilgi ve öğrenmeyi Kant ve Wittgeinstein'nın savunduğu tezlerde olduğu gibi özneler arası kabul etmektedir. Bu bakış açısından yapılandırıcı öğrenme,

Detaylı

Bilgisayar Oyunları ve Simulasyon (COMPE 376) Ders Detayları

Bilgisayar Oyunları ve Simulasyon (COMPE 376) Ders Detayları Bilgisayar Oyunları ve Simulasyon (COMPE 376) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Uygulama Saati Saati Laboratuar Kredi AKTS Saati Bilgisayar Oyunları ve Simulasyon COMPE 376 Her İkisi 2 2 0

Detaylı

KİŞİSEL GELİŞİM VE EĞİTİMİ LİDERLİK EĞİTİMİ KURS PROGRAMI

KİŞİSEL GELİŞİM VE EĞİTİMİ LİDERLİK EĞİTİMİ KURS PROGRAMI T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI Hayat Boyu Öğrenme Genel Müdürlüğü KİŞİSEL GELİŞİM VE EĞİTİMİ LİDERLİK EĞİTİMİ KURS PROGRAMI 2016 ANKARA İÇİNDEKİLER PROGRAMIN ADI... 1 PROGRAMIN DAYANAĞI... 1 PROGRAMIN GİRİŞ

Detaylı

SİMÜLASYON Hazırlayan: Özlem AYDIN

SİMÜLASYON Hazırlayan: Özlem AYDIN SİMÜLASYON Hazırlayan: Özlem AYDIN Not: Bu sunumda Yrd. Doç. Dr. Yılmaz YÜCEL in Modelleme ve Benzetim dersi notlarından faydalanılmıştır. SİMÜLASYONUN ORTAYA ÇIKIŞI Simülasyonun modern anlamda kullanılışı

Detaylı

İKTİSAT YÜKSEK LİSANS PROGRAM BİLGİLERİ

İKTİSAT YÜKSEK LİSANS PROGRAM BİLGİLERİ İKTİSAT YÜKSEK LİSANS PROGRAM BİLGİLERİ Genel Bilgiler Programın Amacı Kazanılan Derece Kazanılan Derecenin Seviyesi Kazanılan Derecenin Gerekleri ve Kurallar Kayıt Kabul Koşulları Önceki Öğrenmenin Tanınması

Detaylı

Proje Tabanlı Öğrenme Yaklaşımının temeli bir konunun derinlemesine araştırılmasına odaklanmaktadır. Araştırmada genellikle sınıf içerisinde

Proje Tabanlı Öğrenme Yaklaşımının temeli bir konunun derinlemesine araştırılmasına odaklanmaktadır. Araştırmada genellikle sınıf içerisinde Proje Tabanlı Öğrenme Yaklaşımının temeli bir konunun derinlemesine araştırılmasına odaklanmaktadır. Araştırmada genellikle sınıf içerisinde öğrenenler tarafından oluşturulan küçük bir grup, bazen tüm

Detaylı

FEN BĠLGĠSĠ EĞĠTĠMĠNĠN TEMELLERĠ

FEN BĠLGĠSĠ EĞĠTĠMĠNĠN TEMELLERĠ FEN BĠLGĠSĠ EĞĠTĠMĠNĠN TEMELLERĠ Fen Bilgisi Eğitiminin Önemi 06-14 yaş arasındaki zorunlu eğitim döneminde fen bilgisi eğitimi önemli bir yere sahiptir. Fen bilgisi eğitimi; Çocuğa yaratıcı düşünme becerisi

Detaylı

Matematiksel Beceriler (Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı)

Matematiksel Beceriler (Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı) Matematiksel Beceriler (Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı) 1. Matematiksel Modelleme ve Problem Çözme Matematiksel modelleme, hayatın her alanındaki problemlerin doğasındaki ilişkileri çok daha

Detaylı

Zirve Üniversitesi Eğitim Fakültesi Sınıf Öğretmenliği ABD Ders Ġçerikleri

Zirve Üniversitesi Eğitim Fakültesi Sınıf Öğretmenliği ABD Ders Ġçerikleri Zirve Üniversitesi Eğitim Fakültesi Sınıf Öğretmenliği ABD Ders Ġçerikleri 5.DÖNEM 6.DÖNEM DERSLER T U K ECTS DERSLER T U K ECTS SNF 301 FEN VE TEK. ÖĞR. 4 0 4 6 SNF 304 TÜRKÇE ÖĞRETIMI 4 0 4 6 SNF 303

Detaylı

Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS. Temel Matematik 1 TEM

Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS. Temel Matematik 1 TEM DERS BİLGİLERİ Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS Temel Matematik 1 TEM425 7 3+0 3 4 Ön Koşul Dersleri Dersin Dili Dersin Seviyesi Dersin Türü Türkçe Lisans Yüz Yüze / Zorunlu Dersin

Detaylı

I. GİRİŞ II. UZAK HEDEFLER. Üçüncü sınıf ders programının hedefleri:

I. GİRİŞ II. UZAK HEDEFLER. Üçüncü sınıf ders programının hedefleri: I. GİRİŞ Eğitim, Kosova nın toplumsal, siyasi ve ekonomik gelişmesinin etki alanını temsil eder. Eğitim, Bilim ve Teknoloji Bakanlığı (EBTB) savaşın bitiminden sonra başlayan, en gelişmiş uluslar arası

Detaylı

İŞVERENLERİN ÇALIŞANLARDAN BEKLENTİLERİ

İŞVERENLERİN ÇALIŞANLARDAN BEKLENTİLERİ İŞVERENLERİN ÇALIŞANLARDAN BEKLENTİLERİ TEMEL YETENEKLER YETENEKLER Okuma: El kitapları, grafikler ve programlar gibi kaynaklardaki yazılı bilgileri bulma, anlama ve yorumlama Yazma: Düşünceleri, fikirleri,

Detaylı

ETKILI BIR FEN ÖĞRETMENI

ETKILI BIR FEN ÖĞRETMENI FEN BİLİMLERİ ÖĞRETMENLERİNİN YETİŞTİRİLMESİNDE DEĞİŞİM VE GEREKÇELER Öğrencinin performansını yükseltmek istiyorsanız kaliteli öğretmen yetiştirmek zorundasınız Alan bilgisi Genel eğitim ve kültür dersleri

Detaylı

Öğretmen Liderliği ÖĞRETMEN LİDERLİĞİ

Öğretmen Liderliği ÖĞRETMEN LİDERLİĞİ Öğretmen Liderliği ÖĞRETMEN LİDERLİĞİ Doç. Dr. Cevat ELMA İlköğretim Bölümü Sınıf Öğretmenliği Anabilim Dalı E-posta: cevat.elma@omu.edu.tr Öğretmen liderliğini etkileyen faktörler: Bilgi kaynaklarının

Detaylı

MATEMATİĞİ SEVİYORUM OKUL ÖNCESİNDE MATEMATİK

MATEMATİĞİ SEVİYORUM OKUL ÖNCESİNDE MATEMATİK MATEMATİĞİ SEVİYORUM OKUL ÖNCESİNDE MATEMATİK Matematik,adını duymamış olsalar bile, herkesin yaşamlarına sızmıştır. Yaşamın herhangi bir kesitini alın, matematiğe mutlaka rastlarsınız.ben matematikten

Detaylı

FEN ÖĞRETİMİNDE LABORATUVAR YAKLAŞIMLARI. Burak Kağan Temiz (burak@gazi.edu.tr)

FEN ÖĞRETİMİNDE LABORATUVAR YAKLAŞIMLARI. Burak Kağan Temiz (burak@gazi.edu.tr) FEN ÖĞRETİMİNDE LABORATUVAR YAKLAŞIMLARI 1800 lerden günümüze Bilgi Bilginin Elde Ediliş Yöntemleri Demonstrasyon Bireysel Yapılan Deneyler Öğretmen Merkezli Öğrenci Merkezli Doğrulama (ispat) Keşfetme

Detaylı

BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ VE YAZILIM DERSİ (5 VE 6. SINIFLAR) Öğretim Programı Tanıtım Sunusu

BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ VE YAZILIM DERSİ (5 VE 6. SINIFLAR) Öğretim Programı Tanıtım Sunusu BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ VE YAZILIM DERSİ (5 VE 6. SINIFLAR) Öğretim Programı Tanıtım Sunusu İÇERİK Öğretim Programının Temel Felsefesi Öğretim Programının Temel Felsefesi Öğretim programları; bireyi topluma,

Detaylı

Sayı Kavramı ve Sayma

Sayı Kavramı ve Sayma Sayı Kavramı ve Sayma Elma nedir? Elma??? Elma Elma Elma Elma Elma Elma Elma Elma Elma Elma Elma Elma Bir??? Bir Bir Bir Bir Bir SAYI KAVRAMI VE SAYMA Her ne kadar basit gibi gözükse de sayı ve sayma işlemi

Detaylı

1 Bilişsel Psikolojiye Giriş 1

1 Bilişsel Psikolojiye Giriş 1 İÇİNDEKİLER Ön söz xiv Teşekkürler xvii 1 Bilişsel Psikolojiye Giriş 1 Kısa Tarih 1 Çağrısımsal (İlişkisel) Dönem 1 Bilişsel Dönem 5 Eğitimde Bilişsel Konular 5 Bir Örnek 9 Özet 11 Önerilen Kaynaklar 12

Detaylı

Bilişim Teknolojilerinde Yenilik ve Girişimcilik (ISE 432) Ders Detayları

Bilişim Teknolojilerinde Yenilik ve Girişimcilik (ISE 432) Ders Detayları Bilişim Teknolojilerinde Yenilik ve Girişimcilik (ISE 432) Ders Detayları Ders Adı Ders Dönemi Ders Kodu Saati Uygulama Saati Laboratuar Kredi AKTS Saati Bilişim Teknolojilerinde Yenilik ve Girişimcilik

Detaylı

I. GİRİŞ II. UZAK HEDEFLER

I. GİRİŞ II. UZAK HEDEFLER I. GİRİŞ Eğitim, Kosova nın toplumsal, siyasi ve ekonomik gelişmesinin etki alanını temsil eder. Eğitim, Bilim ve Teknoloji Bakanlığı (EBTB) savaşın bitiminden sonra başlayan, en gelişmiş uluslararası

Detaylı

MATEMATIK ÖĞRETIM YÖNTEMLERI. Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan-Dedeoğlu Matematik Eğitimi

MATEMATIK ÖĞRETIM YÖNTEMLERI. Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan-Dedeoğlu Matematik Eğitimi MATEMATIK ÖĞRETIM YÖNTEMLERI Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan-Dedeoğlu Matematik Eğitimi Dersin İçeriği Matematiğin doğası / Matematiksel bilgi Matematik öğretiminin temel ilkeleri Matematikte başlıca kuramlar

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETİMİ I. Dersin Tanıtılması

MATEMATİK ÖĞRETİMİ I. Dersin Tanıtılması MATEMATİK ÖĞRETİMİ I Dersin Tanıtılması Ders Bilgileri Ders Adı MATEMATİK ÖĞRETİMİ I Ders Koordinatörü YRD. DOÇ. DR. MESUT TABUK İletişim Bilgileri Oda No: E-304 Mail: mtmtk73@gmail.com Web: www.mtmtk.weebly.com

Detaylı

Elektrik Mühendisliğine Giriş (EE 234) Ders Detayları

Elektrik Mühendisliğine Giriş (EE 234) Ders Detayları Elektrik Mühendisliğine Giriş (EE 234) Ders Detayları Ders Adı Ders Dönemi Ders Kodu Saati Uygulama Saati Laboratuar Kredi AKTS Saati Elektrik Mühendisliğine Giriş EE 234 Her İkisi 2 2 0 3 5 Ön Koşul Ders(ler)i

Detaylı

Rassal Modeller (IE 324) Ders Detayları

Rassal Modeller (IE 324) Ders Detayları Rassal Modeller (IE 324) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Rassal Modeller IE 324 Güz 3 0 0 3 3 Ön Koşul Ders(ler)i IE 201 Olasılık ve İstatistik

Detaylı

İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ PROGRAMI

İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ PROGRAMI Program Tanımları İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ PROGRAMI Kuruluş: İlköğretim Matematik Öğretmenliği Programı 2013 yılından itibaren öğrenci almaya başlamıştır ve henüz mezun vermemiştir. Amaç: İlköğretim

Detaylı

Yapay Zeka (MECE 441) Ders Detayları

Yapay Zeka (MECE 441) Ders Detayları Yapay Zeka (MECE 441) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Yapay Zeka MECE 441 Bahar 3 0 0 3 4 Ön Koşul Ders(ler)i Yok Dersin Dili Dersin Türü

Detaylı

Türkiye de Biyoloji Eğitimi. Türkiye de Biyoloji Eğitimi İÇERİK

Türkiye de Biyoloji Eğitimi. Türkiye de Biyoloji Eğitimi İÇERİK 24.3.215 TÜRKİYE DE BİYOLOJİ EĞİTİMİ ALANINDA YAPILAN ARAŞTIRMALARA YÖNELİK BİR İÇERİK ANALİZİ ÇALIŞMASI İÇERİK Biyoloji Eğitimi ŞEYDA GÜL Atatürk Üniversitesi K.K. Eğitim Fak. Biyoloji Eği t i m i MUSTAFA

Detaylı

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-I ÇERÇEVE PROGRAMI. :Kesikkapı Mah. Atatürk Cad.No.79 Fethiye /MUĞLA

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-I ÇERÇEVE PROGRAMI. :Kesikkapı Mah. Atatürk Cad.No.79 Fethiye /MUĞLA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-I ÇERÇEVE PROGRAMI 1.KURUMUN ADI 2.KURUMUN ADRESİ 3.KURUCUNUN ADI :Tercih Özel Öğretim Kursu :Kesikkapı Mah. Atatürk Cad.No.79 Fethiye /MUĞLA : ARTI ÖZEL EĞİTİM ÖĞRETİM Danışmanlık

Detaylı

İlköğretim Sınıflar Matematik Dersi Öğretim Programı (2009/2013)*

İlköğretim Sınıflar Matematik Dersi Öğretim Programı (2009/2013)* İlköğretim 5.- 8. Sınıflar Matematik Dersi Öğretim Programı (2009/2013)* Yrd. Doç. Dr. Nuray Ç. Dedeoğlu İlköğretim Matematik Eğitimi *MEB (2009). İlköğretim matematik dersi 6.-8. sınıflar öğretim programı.

Detaylı

BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ

BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf / Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS PROGRAMLAMA DİLLERİ BG-324 3/2 3+0+0 3+0 4 Dersin Dili : TÜRKÇE Dersin Seviyesi

Detaylı

BİÇİMSEL YÖNTEMLER (FORMAL METHODS) Betül AKTAŞ Suna AKMELEZ

BİÇİMSEL YÖNTEMLER (FORMAL METHODS) Betül AKTAŞ Suna AKMELEZ BİÇİMSEL YÖNTEMLER (FORMAL METHODS) Betül AKTAŞ 14011021 Suna AKMELEZ 14011050 Biçimsel Yöntemler Nedir? Nerede Kullanılır? Biçimsel Tasarım Biçimsel Yöntemlerin Yararları Biçimsel Yöntemlerin Zayıf Yönleri

Detaylı

Akıllı Mekatronik Sistemler (MECE 404) Ders Detayları

Akıllı Mekatronik Sistemler (MECE 404) Ders Detayları Akıllı Mekatronik Sistemler (MECE 404) Ders Detayları Ders Adı Akıllı Mekatronik Sistemler Ders Kodu MECE 404 Dönemi Ders Uygulama Saati Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Bahar 2 0 2 3 5 Ön Koşul Ders(ler)i

Detaylı

06-14 yaș arasındaki zorunlu eğitim döneminde fen bilgisi eğitimi önemli bir yere sahiptir.

06-14 yaș arasındaki zorunlu eğitim döneminde fen bilgisi eğitimi önemli bir yere sahiptir. FEN BİLGİSİ EĞİTİMİNİN TEMELLERİ Fen Bilgisi Eğitiminin Önemi 06-14 yaș arasındaki zorunlu eğitim döneminde fen bilgisi eğitimi önemli bir yere sahiptir. Fen bilgisi eğitimi; Çocuğa yaratıcı düșünme becerisi

Detaylı

ÇOCUK GELİŞİMİ VE EĞİTİMİ 0-36 AYLIK GELİŞİMSEL RİSK ALTINDAKİ ÇOCUKLAR AİLE DESTEK MODÜLER PROGRAMI (YETERLİĞE DAYALI)

ÇOCUK GELİŞİMİ VE EĞİTİMİ 0-36 AYLIK GELİŞİMSEL RİSK ALTINDAKİ ÇOCUKLAR AİLE DESTEK MODÜLER PROGRAMI (YETERLİĞE DAYALI) T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI Hayat Boyu Öğrenme Genel Müdürlüğü ÇOCUK GELİŞİMİ VE EĞİTİMİ 0-36 AYLIK GELİŞİMSEL RİSK ALTINDAKİ ÇOCUKLAR AİLE DESTEK MODÜLER PROGRAMI (YETERLİĞE DAYALI) 2013 ANKARA ÖN SÖZ

Detaylı

Eğitim ve Bilim. Cilt 40 (2015) Sayı

Eğitim ve Bilim. Cilt 40 (2015) Sayı Eğitim ve Bilim Cilt 40 (2015) Sayı 178 139-161 Türkiye de Matematik Eğitimi Alanındaki Matematiksel Modelleme Araştırmalarının İçerik Analizi: Bir Meta-Sentez Çalışması Serdar Aztekin 1, Zehra Taşpınar

Detaylı

YABANCI DİLLER MESLEKİ İTALYANCA (AYAKKABI) MODÜLER PROGRAMI (YETERLİĞE DAYALI)

YABANCI DİLLER MESLEKİ İTALYANCA (AYAKKABI) MODÜLER PROGRAMI (YETERLİĞE DAYALI) T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI Hayat Boyu Öğrenme Genel Müdürlüğü YABANCI DİLLER MESLEKİ İTALYANCA (AYAKKABI) MODÜLER PROGRAMI (YETERLİĞE DAYALI) 2013 ANKARA ÖN SÖZ Günümüzde mesleklerin değişim ile karşı

Detaylı

Temel Kavramlar Bilgi :

Temel Kavramlar Bilgi : Temel Kavramlar Bilim, bilgi, bilmek, öğrenmek sadece insana özgü kavramlardır. Bilgi : 1- Bilgi, bilim sürecinin sonunda elde edilen bir üründür. Kişilerin öğrenme, araştırma veya gözlem yolu ile çaba

Detaylı

Hangi onluğa daha yakın dan limite doğru

Hangi onluğa daha yakın dan limite doğru Aldemir, S. (004). Hangi onluğa daha yakın dan limite doğru, İlköğretim-Online, 3(), 4-47, [Online]: http://ilkogretim-online.org.tr Hangi onluğa daha yakın dan limite doğru Salih ALDEMİR salihaldemir65@mynet.com

Detaylı

YENİ İLKÖĞRETİM TÜRKÇE PROGRAMININ GETİRDİKLERİ Hasan Basri DURSUN > hbdursun@gmail.com

YENİ İLKÖĞRETİM TÜRKÇE PROGRAMININ GETİRDİKLERİ Hasan Basri DURSUN > hbdursun@gmail.com YENİ İLKÖĞRETİM TÜRKÇE PROGRAMININ GETİRDİKLERİ Hasan Basri DURSUN > hbdursun@gmail.com Bilginin hızla yenilenerek üretildiği çağımızda birey ve toplumun geleceği, bilgiye ulaşma, bilgiyi kullanma ve üretme

Detaylı

Sunuş yoluyla öğretimin aşamaları:

Sunuş yoluyla öğretimin aşamaları: ÖĞRETĠM STRATEJĠLERĠ Öğretim stratejisi, belirlenmiş hedeflere ulaşmak için seçilen genel yoldur. Öğretim stratejileri; sunuş yoluyla öğretim, buluş yoluyla öğretim, araştırma ve inceleme yoluyla öğretim

Detaylı

... ROBOTİK VE KODLAMA EĞİTİMİ ÇERÇEVESİNDE ÖĞRETİM YILI BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK DERS PLANI

... ROBOTİK VE KODLAMA EĞİTİMİ ÇERÇEVESİNDE ÖĞRETİM YILI BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK DERS PLANI ... ROBOTİK VE KODLAMA EĞİTİMİ ÇERÇEVESİNDE 2018 2019 ÖĞRETİM YILI BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK DERS PLANI Hazırlayan : Özel Öğretim Kurumları Birliği (ÖZKURBİR) Dersin Adı : Bilişim

Detaylı

Termodinamik ve Isı Aktarımı (MECE 310) Ders Detayları

Termodinamik ve Isı Aktarımı (MECE 310) Ders Detayları Termodinamik ve Isı Aktarımı (MECE 310) Ders Detayları Ders Adı Termodinamik ve Isı Aktarımı Ders Kodu MECE 310 Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Kredi AKTS Saati Bahar 3 0 0 3 3 Ön Koşul Ders(ler)i

Detaylı

Ders Kodu: FIZ 131 Ders Adı: FİZİK I Dersin Dönemi: Güz Dönemi

Ders Kodu: FIZ 131 Ders Adı: FİZİK I Dersin Dönemi: Güz Dönemi Ders Kodu: FIZ 131 Ders Adı: FİZİK I Dersin Dönemi: 2015-2016 Güz Dönemi 1 Orta 2 3 4 5 Bu ders ile ilgili temel kavramları, yasaları ve bunlar 0% 0% 0% 20% 80% arasındaki ilişkileri anladım Kuramsal ve

Detaylı

Grupta davranma kurallarına uyup öğrencileri aile içi ve çevresinde bağımsız girişim ve eylem üstlenmelerini yüreklendirebilme.

Grupta davranma kurallarına uyup öğrencileri aile içi ve çevresinde bağımsız girişim ve eylem üstlenmelerini yüreklendirebilme. DERS PROGRAMININ UYGULAMA ESASLARI I. GİRİŞ Eğitim, Kosova nın toplumsal, siyasi ve ekonomik gelişmesinin etki alanını temsil eder. Eğitim, Bilim ve Teknoloji Bakanlığı (EBTB) savaşın bitiminden sonra

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Nuray Ç. Dedeoğlu İlköğretim Matematik Eğitimi Matematik Öğretimi

Yrd. Doç. Dr. Nuray Ç. Dedeoğlu İlköğretim Matematik Eğitimi Matematik Öğretimi Yrd. Doç. Dr. Nuray Ç. Dedeoğlu İlköğretim Matematik Eğitimi ndedeoglu@sakarya.edu.tr Matematik Öğretimi Ders İçeriği Matematik öğretiminin amacı ve temel ilkeleri; Matematik öğretiminin tarihçesi (dünya

Detaylı

Nitel Araştırmada Geçerlik ve Güvenirlik

Nitel Araştırmada Geçerlik ve Güvenirlik Nitel Araştırmada Geçerlik ve Bilimsel araştırmanın en önemli ölçütlerinden biri olarak kabul edilen geçerlik ve güvenirlik araştırmalarda en yaygın olarak kullanılan iki en önemli ölçüttür. Araştırmalarda

Detaylı

1. Çocukları Tanıma Çocukların fiziksel özelliklerini tanıma Çocukların sosyo-ekonomik özelliklerini tanıma

1. Çocukları Tanıma Çocukların fiziksel özelliklerini tanıma Çocukların sosyo-ekonomik özelliklerini tanıma Milli Eğitim Bakanlığı ve öğretmen yetiştiren yüksek öğretim kurumları temsilcilerinden oluşturulan "Öğretmen Yeterlikleri Komisyonu" 1999 yılında başlattığı çalışmalarını 2002 yılında tamamlayarak öğretmen

Detaylı

GRAFİK VE FOTOĞRAF GRAFİK DESEN ÇİZİMİ MODÜLER PROGRAMI (YETERLİĞE DAYALI)

GRAFİK VE FOTOĞRAF GRAFİK DESEN ÇİZİMİ MODÜLER PROGRAMI (YETERLİĞE DAYALI) T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI Hayat Boyu Öğrenme Genel Müdürlüğü GRAFİK VE FOTOĞRAF GRAFİK DESEN ÇİZİMİ MODÜLER PROGRAMI (YETERLİĞE DAYALI) 2013 ANKARA ÖN SÖZ Günümüzde mesleklerin değişim ile karşı karşıya

Detaylı

Akademik İngilizce I (ENG101) Ders Detayları

Akademik İngilizce I (ENG101) Ders Detayları Akademik İngilizce I (ENG101) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Uygulama Laboratuar Kredi AKTS Saati Saati Saati Akademik İngilizce I ENG101 Güz 4 0 0 4 3.5 Ön Koşul Ders(ler)i Dersin Dili

Detaylı

ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENİ ÖZEL ALAN YETERLİKLERİ MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI ÖĞRETMEN YETİŞTİRME VE EĞİTİMİ GENEL MÜDÜRLÜĞÜ ORTA ÖĞRETİM PROJESİ

ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENİ ÖZEL ALAN YETERLİKLERİ MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI ÖĞRETMEN YETİŞTİRME VE EĞİTİMİ GENEL MÜDÜRLÜĞÜ ORTA ÖĞRETİM PROJESİ MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI ÖĞRETMEN YETİŞTİRME VE EĞİTİMİ GENEL MÜDÜRLÜĞÜ ORTA ÖĞRETİM PROJESİ MATEMATİK ÖĞRETMENİ ÖZEL ALAN İ Doç.Dr. Cengiz ALACACI Yrd. Doç. Dr. Ayhan Kürşat ERBAŞ Yrd. Doç.Dr. Bülent ÇETİNKAYA

Detaylı

ZEKA ATÖLYESİ AKIL OYUNLAR

ZEKA ATÖLYESİ AKIL OYUNLAR ZEKA ATÖLYESİ AKIL OYUNLAR Akıl Oyunları çocukların ve yetişkinlerin strateji geliştirme, planlama, mantık yürütmemantıksal bütünleme, görsel-uzamsal düşünme, yaratıcılık, dikkat - konsantrasyon, hafıza

Detaylı

DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ

DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS MATEMATİK-I FEB-111 1/ 1.YY 5+0+0 5 5 Dersin Dili Dersin Seviyesi Dersin

Detaylı

Eğitim Durumlarının Düzenlenmesi

Eğitim Durumlarının Düzenlenmesi Eğitim Durumlarının Düzenlenmesi Program geliştirme sürecinin üçüncü öğesi öğrenme öğretme süreci dir. Eğitim durumları olarak da bilinen bu öğe nasıl? sorusuna yanıt arar. Eğitim durumları, öğrencilere

Detaylı

Kontrol Sistemleri (EE 326) Ders Detayları

Kontrol Sistemleri (EE 326) Ders Detayları Kontrol Sistemleri (EE 326) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Kontrol Sistemleri EE 326 Bahar 3 0 0 3 5 Ön Koşul Ders(ler)i MATH 275, MATH 276

Detaylı

EĞĠTĠM TEKNOLOJĠLERĠNDE TEMEL KAVRAMLAR. Öğretim Teknolojileri ve Materyal Geliştirme

EĞĠTĠM TEKNOLOJĠLERĠNDE TEMEL KAVRAMLAR. Öğretim Teknolojileri ve Materyal Geliştirme EĞĠTĠM TEKNOLOJĠLERĠNDE TEMEL KAVRAMLAR Öğretim Teknolojileri ve Materyal Geliştirme Giriş Öğretim bir sanattır ve her sanat dalında olduğu gibi öğretim alanında da incelikler vardır. Disiplinler arası

Detaylı

ÖĞRETMEN EĞĐTĐMĐ SEMĐNERĐ , 30 Haziran, 2010; Tekirdağ

ÖĞRETMEN EĞĐTĐMĐ SEMĐNERĐ , 30 Haziran, 2010; Tekirdağ ÖĞRETMEN EĞĐTĐMĐ SEMĐNERĐ-2010 23-24, 30 Haziran, 2010; Tekirdağ PROJE TABANLI MATEMATĐK VE FEN BĐLĐMLERĐ ÖĞRETĐMĐ-I: KURAMSAL TEMEL BİLGİLER Prof Dr Yaşar ERSOY Emekli Öğretim Üyesi, ODTÜ, Ankara PROJE

Detaylı

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati Kredi AKTS (T+U+L) ŞEBEKE MODELLERİ EN-413 4/I 3+0+0 3 5 Dersin Dili : İngilizce Dersin Seviyesi : Lisans

Detaylı

Ders Kodu: FIZ 234 Ders Adı: Klasik Mekanik Dersin Dönemi: Bahar Dönemi Dersi Veren Öğretim Üyesi: Yrd. Doç. Dr.

Ders Kodu: FIZ 234 Ders Adı: Klasik Mekanik Dersin Dönemi: Bahar Dönemi Dersi Veren Öğretim Üyesi: Yrd. Doç. Dr. Ders Kodu: FIZ 234 Ders Adı: Klasik Mekanik Dersin Dönemi: 204-205 Bahar Dönemi Dersi Veren Öğretim Üyesi: Yrd. Doç. Dr. Betül USTA 2 3 4 5 7% 3% 23% 37% 30% Bu ders ile ilgili temel kavramları, yasaları

Detaylı

Programlama Dilleri (COMPE 325) Ders Detayları

Programlama Dilleri (COMPE 325) Ders Detayları Programlama Dilleri (COMPE 325) Ders Detayları Ders Adı Programlama Dilleri Ders Kodu COMPE 325 Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Kredi AKTS Saati Güz 3 0 0 3 4.5 Ön Koşul Ders(ler)i Dersin Dili

Detaylı

İKTİSADİ VE İDARİ BİLİMLER FAKÜLTESİ İŞLETME BÖLÜMÜ DERS BİLGİ PAKETİ Dersin Kodu / Adı İŞL 104/ YÖNETİM VE ORGANİZASYON 1. Sınıf Bahar Dönemi

İKTİSADİ VE İDARİ BİLİMLER FAKÜLTESİ İŞLETME BÖLÜMÜ DERS BİLGİ PAKETİ Dersin Kodu / Adı İŞL 104/ YÖNETİM VE ORGANİZASYON 1. Sınıf Bahar Dönemi Sınıfı / Dönemi Dili Düzeyi Türü Kategorisi Kredisi Eğitim Şekli Ön Koşul Dersler Öğretim Üyesi Diğer Öğr. Üyeleri Yardımcılar Ders Saatleri Değerlendirme Ölçütleri Türkçe Lisans Zorunlu İKTİSADİ VE İDARİ

Detaylı

Genel Matematik (MATH 103) Ders Detayları

Genel Matematik (MATH 103) Ders Detayları Genel Matematik (MATH 103) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Genel Matematik MATH 103 Güz 3 2 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i - Dersin Dili Dersin

Detaylı

Programlama Nedir? Bir bilgisayar bilimcisi gibi düşünmek ve programlama ne demektir?

Programlama Nedir? Bir bilgisayar bilimcisi gibi düşünmek ve programlama ne demektir? 2.1.1. PROGRAMLAMA NEDIR? Programlama Nedir? Bir bilgisayar bilimcisi gibi düşünmek ve programlama ne demektir? Bu düşünme şekli matematiğin, mühendisliğin ve doğa bilimlerinin bazı özelliklerini birleştirmektedir.

Detaylı

Üniversite Öğrencilerinin Eleştirel Düşünmeye Bakışlarıyla İlgili Bir Değerlendirme

Üniversite Öğrencilerinin Eleştirel Düşünmeye Bakışlarıyla İlgili Bir Değerlendirme Üniversite Öğrencilerinin Eleştirel Düşünmeye Bakışlarıyla İlgili Bir Değerlendirme Buket TAŞKIN & Süleyman Sadi SEFEROĞLU Hacettepe Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, Bilgisayar ve Öğretim Teknolojileri

Detaylı

SOSYAL HİZMETLER VE DANIŞMANLIK TÜRKİYE BAĞIMLILIKLA MÜCADELE EĞİTİMİ MODÜLER PROGRAMI (YETERLİĞE DAYALI)

SOSYAL HİZMETLER VE DANIŞMANLIK TÜRKİYE BAĞIMLILIKLA MÜCADELE EĞİTİMİ MODÜLER PROGRAMI (YETERLİĞE DAYALI) T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI Hayat Boyu Öğrenme Genel Müdürlüğü SOSYAL HİZMETLER VE DANIŞMANLIK TÜRKİYE BAĞIMLILIKLA MÜCADELE EĞİTİMİ MODÜLER PROGRAMI (YETERLİĞE DAYALI) 2015 ANKARA ÖN SÖZ Günümüzde mesleklerin

Detaylı

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler 2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE ÖĞRENME Ay Hafta D.Saati ALANI EYLÜL 2 Geometri 2 3 Geometri 2 Geometri 2 Olasılıkve ALT

Detaylı

Matematik Öğretimi. Ne? 1

Matematik Öğretimi. Ne? 1 Matematik Öğretimi Ne? 1 Matematik nedir? Matematik, sayı ve uzay bilimidir. Matematik, tüm olası modellerin incelenmesidir Matematiğin özü, sayı ve miktarla ilgili düşüncelerle çalışmak değildir. Matematik,

Detaylı

Matematiksel Modelleme Yeterliklerini Geliştirme ve Değerlendirme Yaklaşımlarının Sınıflandırılması 1

Matematiksel Modelleme Yeterliklerini Geliştirme ve Değerlendirme Yaklaşımlarının Sınıflandırılması 1 Turkish Journal of Computer and Mathematics Education Vol.7 No.3 (2016), 621-645 Matematiksel Modelleme Yeterliklerini Geliştirme ve Değerlendirme Yaklaşımlarının Sınıflandırılması 1 Funda Aydın Güç 2

Detaylı