TÜ B Üzerine Modüller

Transkript

1 TÜ B Üzerine odüller ateatik Dünyas, 2003 K fl De ifleli, s f r böleni olayan (rs = 0 ise ya r ya da s = 0) ve her ideali tek bir elean taraf ndan üretilen halkalara k saca TÜ B (tek üreteçli ideal bölgesi) denildi ini an satal. ( ngizilicesi PID) Bu yaz daki tü odüller, aksi söylenedikçe, TÜ B olan bir R halkas üzerine sol R-odüllerdir. Bu yaz da kan tlayaca z ana teore flu: j+1 j F F j+1 = Rx 1 + Rx Rx j + Rx j+1 F j = Rx 1 + Rx Rx j Teore 1., sonlu say da elean taraf ndan gerilifl bir R-odül olsun. O zaan,, tek elean taraf ndan üretilifl sonlu say da altodülün Kartezyen çarp d r. Tek elean taraf ndan üretilifl odüller bir a R için R/aR ye izoorf olduklar ndan (neden?), yukardaki teoreden, sonlu say da elean taraf ndan üretilifl bir odülün, R/a 1 R R/a 2 R... R/a n R sol R-odülüne izoorf oldu u ç kar. Bu teorei kan tlaak için herbiri di erinden öneli ve yararl birçok sonuç kan tlayaca z. adece sonuçlar de il, sonuçlara giden kan t yönteleri de önelidir. Ayr ca sonuçlar z n kii zaan gerekenden daha genel olaca n söyleyeli. Teore 2. F, R üzerine n boyutlu özgür bir odül olsun. F olsun. O zaan de özgürdür ve boyutu en fazla n dir. Kan t: F odülü, x 1, x 2,..., x n eleanlar taraf ndan özgürce gerilifl olsun. Her j = 0, 1,..., n için F j = x 1, x 2,..., x j ve j = F j tan lar n yapal. F 0 = 0 ve F n = F eflitliklerine dikkatinizi çekeriz. Her F j, boyutu j olan özgür bir altodüldür ve her j bir altodüldür. n = oldu undan, her j nin boyutu en fazla j olan özgür bir odül oldu unu kan tlaak yeterli. Bunu j üzerine tüevar la yapaca z. E er j = 0 ise, 0 = 0 oldu undan, bu duruda sorun yok. Tüevar a bafllayabiliriz; aa kan t j = 1 duruunda da verek ayd nlat c olacakt r. Bunun iki de iflik kan t n sunaca z. (Bizi favoriiz ikinci kan tt r.) 2 1 F 2 = Rx 1 + Rx 2 F 1 = Rx 1 j = 1 için birinci kan t: E er F 1 = 0 ise kan tlayacak fazla bir fley yok. Bundan böyle F 1 0 varsay n yapal. 1 = F 1 = Rx 1 oldu undan 1 in eleanlar baz r R eleanlar için rx 1 biçiinde yaz l r. Bu r eleanlar n n küesine bakal : I = {r R : rx 1 1 } olsun. Deek ki 1 = Ix 1. Öte yandan I n n bir ideal oldu u belli. R bir TÜ- B oldu undan, bir a R için I = Ra. Dolay s yla, 1 = Ix 1 = Rax 1. Yani ax 1 elean 1 odünü geriyor; aa bakal özgürce i geriyor: E er r, s R için r(ax 1 ) = s(ax 1 ) ise, (ra)x 1 = (sa)x 1 Aa x 1, F nin bir taban n n bir elean oldu u için, buradan ra = sa elde ederiz. R de s f rbölen olad ndan, bundan da r = s ç kar. Birinci kan t taalan flt r. j = 1 için ikinci kan t: F 1, bir elean taraf ndan gerilifl özgür odül oldu undan, F 1 R (özkonusu olan odül izoorfizas d r elbet, baflka bir izoorfiza olaaz.) Dolay s yla R nin altodüllerinin boyutu en fazla 1 olan özgür odül olduklar n kan tlaal. Aa R nin R altodüllerinin R nin idealleridir ve R nin idealleri de bir a R için ar biçiindedir. E er a 0 ise, r a ar kural yla tan lanan ƒ : R ar fonksiyonu bir R- odül izoorfizas oldu undan, ar R ve kan t tan lan flt r. 1

2 ateatik Dünyas, 2003 K fl Tüevar Ad : fiidi j nin boyutu en fazla j olan özgür bir odül oldu unu varsay p j+1 in boyutu en fazla j olan özgür bir odül oldu unu kan tlayal. E er j+1 = j ise, ifliiz bitifltir. Bundan böyle j < j+1 eflitsizli ini varsayal. j+1 F j+1 oldu undan, j+1 nin her elean, F j ve r R için + rx j+1 biçiinde yaz l r. x j+1 in katsay lar n n küesine bakal : I = {r R : Bir F j için + rx j+1 j+1 } olsun. I n n bir ideal oldu unu görek kolay. Deek ki bir a R için I = Ra. Bu arada, j < j+1 eflitsizli inden dolay a n n 0 olaayaca n göreli, ilerde gerekecek. ade ki a I, öyle bir 0 F j vard r ki, 0 + ax j+1 j+1 fiidi j+1 den rastgele bir elean alal. 1 F j ve r R için, = 1 + rx j+1 biçiinde yazal. Tan a göre, r I = Ra, deek ki bir s R için r = sa. fiidi flu hesab yapal : s( 0 + ax j+1 )= ( 1 + rx j+1 ) s( 0 + ax j+1 ) = ( 1 + sax j+1 ) s( 0 + ax j+1 ) = 1 s 0. Deek ki j+1 in s( 0 + ax j+1 ) elean F j nin 1 s 0 elean na eflit, yani s( 0 + ax j+1 ) j+1 F j = j. Bundan da j + R( 0 + ax j+1 ) ç kar. Deek ki j+1 j + R( 0 + ax j+1 ). Di er içindelik bariz oldu undan, j+1 = j + R( 0 + ax j+1 ) buluruz. fiidi topla n direkt oldu unu göstereli: j R( 0 + ax j+1 ) olsun. O zaan bir r R için, = r( 0 + ax j+1 ) rax j+1 = r 0 F j Aa x 1, x 2,..., x j, x j+1 eleanlar lineer ba- s z olduklar ndan, bundan ra = 0 ç kar. a 0 oldu undan, r = 0 ve = r( 0 + ax j+1 ) = 0 elde ederiz. Böylece j+1 = j R( 0 + ax j+1 ) eflitli ini kan tla fl olduk. Tüevar varsay - na göre j, boyutu en fazla j olan özgür bir odül oldu undan, geriye R( 0 + ax j+1 ) odülünün 1 boyutlu özgür odül oldu unu kan tlaak kald. Bu da oldukça kolay: r a r( 0 + ax j+1 ) kural yla tan lan fl R R( 0 + ax j+1 ) odül hooorfizas elbette örtendir, aa ayn zaanda birebirdir de: r( 0 + ax j+1 ) = 0 ise, rax j+1 = r 0 Rx j+1 F j = 0 olur ve x j+1 elean bir taban n parças oldu undan bundan ra = 0 ç kar. a 0 oldu undan, bundan da r = 0 ç kar. Teore 2, sonsuz boyutlu özgür odüller için de geçerlidir. Aa bu sefer, Zorn Önsav n kullan p taban bir ordinalle iyis ralay p ordinaller üzerine tüevar yapak ve ayr ca Zorn Önsav n (ikinci bir kez) ak ll ca kullanak gerekir. E er α bir ordinalse, α+1 için kan t aynen yukardaki gibidir aa λ bir liit ordinalse, λ = α<λ α olarak tan lanan λ altodülü için isteneni kan tlayaay z çünkü α lar özgür olsalar da λ özgür olayabilir. Örnek: R = Z, λ = ω =, n = (1/n!)Z ve λ = n<ω n = Q olur ve n ler özgür olalar na karfl n bileflileri olan Q özgür bir Z-odül de ildir. (eden?) Zorn Önsav n biraz daha usturuplu bir biçide kullanak gerekir. Bunun kan t n bir baflka yaz da gösteririz. Bu yaz dan n Teore 9 unda benzer bir yönte kullan l yor. onuç 3. Z n nin her altgrubu, bir i n için Z i ye eflyap sald r. onuç 4. n tane elean taraf ndan gerilifl bir R-odülün her altodülü en fazla n tane eleanla gerilifltir. Kan t:, n tane elean taraf ndan gerilifl bir odül ve bir altodül olsun. Bu eleanlara x 1, x 2,..., x n diyeli. F = R n = R R... R olsun ve ϕ(r 1, r 2,..., r n ) = r 1 x 1 + r 2 x r n x n kural yla tan lanan ϕ : F odül hooorfizas n ele alal. Bu, örten bir 2

3 hooorfizad r. Teore 1 e göre ϕ 1 (), boyutu en fazla n olan özgür bir odüldür. E er, y 1, y 2,..., y eleanlar ϕ 1 () yi geriyorlarsa, o zaan, ϕ(y 1 ), ϕ(y 2 ),,..., ϕ(y ) eleanlar yi gerer. E er bir R sol odülde her r R \ {0} ve her \ {0} için r 0 oluyorsa, o zaan ye burulas z halka denir. ( ngilizcesi torsion-free) Teore 5. onlu say da (diyeli n tane) elean taraf ndan gerilifl ve burulas z olan bir odül özgürdür ve en fazla n tane elean taraf ndan gerilifltir. Kan t: odüle diyeli. nin x 1, x 2,..., x n eleanlar taraf ndan gerildi ini varsayal. Birinci Kan t: n üzerine tüevar yapaca z. E er n = 0 ya da 1 ise kan tlayacak fazla bir fley yok. fiidi teorein n den az üreteçli odüller için do ru oldu unu varsayal. = x 1, x 2,..., x n 1 olsun. Tüevar varsay ndan dolay özgür bir odüldür ve boyutu en fazla n 1 dir. Ve elbette = + Rx n eflitli i geçerlidir. I = {r R : rx n } olsun. I nin bir ideal oldu u bariz. E er I = 0 ise o zaan, = Rx n eflitli i geçerlidir ve bu duruda istenen kan tlan flt r. Bundan böyle I nin 0 olad n varsayal. I = ar olsun. Elbette a 0. fiidi ϕ(x) = ax kural yla tan lan fl, ϕ : hooorfisine bakal. a 0 ve burulas z oldu undan, ϕ birebirdir. Deek ki, ϕ(). Öte yandan, a n n ve I n n tan lar ndan dolay, ϕ() = a = a( + Rx n ) = a + Rax n. Yani ϕ(), nin bir altodülü. Aa özgür. Deek ki Teore 2 ye göre ϕ() de özgür. Dolay s yla de özgürdür. kinci Kan t: y 1,..., y eleanlar, x 1, x 2,..., x n aras ndan seçilifl lineer ba s z aksial say da elean olsun. (Ya da y 1,..., y eleanlar nin aksial say da lineer ba s z eleanlar olsun; kan tta bir de ifliklik olaz.) Deek ki y 1,..., y özgür bir odüldür. {y 1,..., y } küesinin aksialli inden dolay, her i = 1,..., n için, 3 ateatik Dünyas, 2003 K fl x i, y 1,..., y eleanlar aras nda bariz olayan lineer bir ba- l l k vard r, yani öyle bir r i R \ {0} vard r ki, r i x i y 1,..., y r = r 1 r 2... r n 0 olsun. O zaan her i = 1,..., n için, rx i y 1,..., y r y 1,..., y fiidi, ϕ(x) = rx kural yla tan lan fl, ϕ : y 1,..., y hooorfizas na bakal. burulas z oldu- undan, ϕ birebirdir. Deek ki, ϕ() y 1,..., y ve ϕ(), dolay s yla de, Teore 2 ye göre özgür bir halkad r. E er elean, bir r R \ {0} için r = 0 eflitli ini sa l yorsa, ye burulal elean denir. nin 0 elean elbette burulal bir eleand r. E er özgür bir halkaysa (örne in bir vektör uzay ysa), nin sadece 0 elean burulal d r. E er R bir bölü halkas ysa, burulal eleanlar küesi bir altodül Bunun basit kan t okura b rak l flt r. (E er R bir bölü halkas de ilse, bu yanl flt r. Örne in Z/6Z yi bir Z/6Z-odül olarak görürsek, 2 ve 3 burulal eleanlard r aa topla olan 5, yani 1, burulal bir elean de ildir.) fiidi Teore 1 in kan t nda öneli bir ad ataca z: Teore 6. sonlu say da (diyeli n tane) elean taraf ndan gerilen bir odül olsun. T, nin burulal eleanlar ndan oluflan altodül olsun. O zaan boyutu n den küçükeflit olan özgür bir F altodülü için, = T F (Yani T, de ayr fl r ve tüleyeni özgürdür.) Ayr ca (onuç 4 e göre) T de sonlu elean taraf ndan gerilir. Kan t: /T burulas zd r ve sonlu elean taraf ndan gerilifltir ve geren elean say s en fazla dir. (Bunun kolay kan t okura b rak l flt r.) Deek ki bir önceki teoree göre /T özgür bir halkad r. x 1, x2,..., xk eleanlar /T yi özgürce gersinler. k n olal elbette. F = x 1, x 2,..., x k olsun. x 1, x 2,..., x k eleanlar aras ndaki herhangi bir lineer ba l l k, izdüflüle an nda x 1, x2,..., x k eleanlar na sirayet etti inden, x 1, x 2,..., x k

4 ateatik Dünyas, 2003 K fl eleanlar lineer ba s zd r; dolay s yla F özgür bir halkad r. = T + F eflitli i oldukça kolay. ise, /T nin elean, r 1, r 2,..., r k R için, = r 1 x 1 + r2 x r k x k olarak yaz l r; dolay s yla, (r 1 x 1 + r 2 x r k x k ) T Bu da F + T deektir. fiidi T F = 0 eflitli ini kan tlayal : E er F nin r 1 x 1 + r 2 x r k x k elean T deyse, o zaan bir a R \ {0} için a(r 1 x 1 + r 2 x r k x k ) = 0 ar 1 x 1 + ar 2 x ar k x k = 0 Aa x i ler lineer ba s z olduklar ndan, bundan, her i için, ar i = 0 ç kar, yani r i = 0, deek ki r 1 x 1 + r 2 x r k x k = 0. Yukardaki kan t asl nda flu daha genel teorein kan t d r: Teore 7. ϕ : bir odül hooorfisi olsun. özgür bir odül olsun. O zaan nin öyle bir F özgür odülü vard r ki ϕ F, F ile aras nda bir izoorfidir ve = F Ker ϕ Kan t: Aynen yukardaki teore gibi... Art k kolay olas gereken kan t okura b rak yoruz. Teore 6, Teore 7 den flöyle ç kar: = /T ve ϕ : /T = do al izdüflü olsun. O zaan Ker ϕ = T ve heen Teore 6 y elde ederiz. Deek ki, Teore 6 ya göre burulal (ve sonlu elean taraf ndan gerilen) odülleri s n fland rd k Teore 1 i de kan tla fl oluruz. Önce bir tan. bir odül ve p R bir asal olsun. p = { : bir n için p n = 0} olsun. p nin nin bir altodül oldu unun kan - t kolayd r. E er p ve q yandafl ( ngilizcesi associate) asallarsa, p = q Bundan böyle, her asal yandafll k s n f için bir p asal n n seçildi ini varsayaca z. Örne in, R = Z ve = Z/6Z ise, 2 = 3, 3 = 2 ve ±2 ve ±3 ten de iflik asallar için p = 0 d r. p ye nin p-baflat altodülü diyeli. p gibi, her elean için p n = 0 eflitli ini sa layan bir n do al say s olan odüllere p-burulal odül diyeli. Teore 8. Her odülü için, p : p R, p asal = p asal p E er burulal ysa, = p asal p Kan t: Önce birinci önereyi kan tlayal. Kan tlaa z gereken fley flu: E er p 1, p 2,.., p n sonlu say da de iflik (yani yandafl olayan) asalsa ve her i içi i pi ise ve Σ i i = 0 ise o zaan her i için i = 0 Kan tlayal. Diyeli, k i do- al say s için, p i ki i = 0. O zaan 1 = n oldu undan, öyle k 1, k 2,.., k n do al say lar vard r ki, he p 1 k1 1 = 0 he de p 2 kn 1 = 0 Aa R nin p 1 k1 ve p 2 kn eleanlar birbirine asallar. Deek ki öyle u, v tasay lar var ki, up 1 k1 + vp 2 kn = 1 O zaan da, 1 = 1 1 = (up 1 k1 + vp 2 kn) 1 = up 1 k1 1 + vp 2 kn 1 = = 0 fiidi de ikinci önereyi kan tlayal : rastgele bir elean olsun. 0 a R elean a = 0 eflitli ini sa las n. a y asallar na ay ral : a = up 1 k1... p n kn. Burada u in R* ve p i ler biraz önce seçti iiz birbirinden de iflik asallar. Her i = 1,..., n için, b i = a/p i ki olsun. O zaan p i kib i = a = 0 b i pi. R nin b 1,..., b n eleanlar aralar nda asald r, yani (tersinir eleanlar d fl nda) ortak bölenleri olaaz. Dolay s yla b 1,..., b n = R ve R nin 1 = r 1 b r n b n eflitli ini sa layan r 1,..., r n eleanlar vard r. Deek ki, = 1 = (r 1 b r n b n ) = r 1 b r n b n eflitli i geçerlidir ve bundan da p pn ç kar. Deek ki = p : p R, p asal ve birinci k s dan dolay teore kan tlan flt r. Teore 6 ve 8 e göre sonlu elean taraf ndan gerilifl p-burulal halkalar s n fland ral y z; 4

5 ateatik Dünyas, 2003 K fl bunlar n tek üreteçli odüllerin direkt topla oldu unu kan tlaal y z. Daha iyisini yapaca z. Teore 9., p-burulal aa derecesi sonlu olan bir odül olsun; yani bir t do al say s için p t = 0 olsun. O zaan I 1, I 2,.., I t göstergeç küeleri için, izoorfizas do rudur. i ( I R pr i ) t i=1 / Z nin eleanlar Uzun sürecek olan kan t t üzerine tüevar la yapaca z. Aa önce kendi bafl na önei olan birkaç önsav kan tlayal. Önsav 10. p R asal bir elean ve t > 0 bir do al say olsun. O zaan p(r/p t R) = {r R/p t R : p t 1 r = 0 } Kan t: ( ) Her r R/p t R için p t 1 (pr ) = p t r 0 oldu u için çok bariz. ( ) r R/p t R elean p t 1 r = 0 eflitli ini sa las n. O zaan p t 1 r p t R bir s in R için, p t 1 r = p t s R bir bölge oldu undan, bundan, r = ps ç kar, yani r = ps p(r/p t R). her tas ral altküesinin) Z de bir üsts n r oldu- unu kan tlaa z gerekiyor. iteki ( j ) j J, Z nin bir zinciri olsun. Yani her j, k J için ya j k ya da k j olsun. O zaan j J j nin bir odül oldu u ve ile kesifledi i, dolay s yla bu j j lerin birleflii Z de bir zincir onuç 11. p R asal bir elean ve t > 0 bir do- al say olsun. I bir göstergeç küesi olsun. O zaan p( I R/p t R) = {r I R/p t R : p t 1 r = 0 } Önsav 12., p-burulal aa derecesi sonlu olan bir odül olsun; yani bir t do al say s için p t = 0 olsun. Ayr ca p t 1 0 olsun., nin I R/p t R odülüne izoorf olan bir altodülü olsun. O zaan bir P altodülü için, = P Kan t: Zorn Önsav n kullanaca z. ( sonlu say da elean taraf ndan geriliyorsa, Zorn Önsav na gerek yok. Zorn Önsav ndan hofllanayan gençler bu paragraf atlay p bir sonraki paragrafa geçebilirler. Z = { : = 0} olsun. Z yi altküe (yani altodül) ola iliflkisiyle s ralayal. Zorn Önsav n uygulaak için Z nin her zincirinin (yani tan lanan s ralaa için 5 odülün Z de oldu u ve ayr ca her j yi içerdi i, yani her j den büyük oldu u bariz. Bir baflka deyiflle, j J j odülü ( j ) j J zincirinin Z de bir üsts n r d r (asl nda en küçük üsts n r d r.) Deek ki Zorn Önsav n uygulay p Z nin aksial bir elean oldu unu buluruz. Bu aksial eleana diyeli. Zorn Önsav k s n atlayanlar için: nin flu özelli i öneli:, nin ile kesifleyen (daha do rusu 0 da kesiflen) en büyük altodüllerinden biridir (genelllikle birden fazla vard r bu altodüllerden), den büyük her altodül yi 0 dan de iflik bir altodülde keser. Elbette, = + =. fiidi nin + ye eflit oldu unu kan tlayal. Ta tersine + < eflitsizli ini varsay p bir çeliflki elde edece iz. ade ki + <, de olup da + de olayan bir elean vard r. Böyle bir eleana diyeli. afl k derecesine varan iyiser bir günü-

6 ateatik Dünyas, 2003 K fl üzde, = 0 eflitli ini kan tlay p nin Z de aksialli ine karfl örnek oldu unu kan tlaaya çal flabilirdik aa bu yanl fl, çünkü e er ola- p s + = + = n anüstü flansl bir günüüzde de ilsek, yani do ru yi seçeiflsek,, odülü ile kesiflir ve dolay s yla Z de olaz. yi do ru bir ile de ifltireece iz. + aa p t = 0 +., p, p 2,..., p t dizisine bakal. lk teri + de de il aa son teri + de. i do al say s p i nin + de olad en büyük do al say olsun. deek ki, p i + ve p i+1 +. Deek ki elean yerine p i elean n al p + ve p +. varsay n yapabiliriz. p + = I R/p t R izoorfisini an say p, onuç 11 i uygulayal : Öyle bir n 1 vard r ki, n = pn 1 Deek ki, p n = pn 1 p = n + s = pn 1 + s ve p( n 1 ) = p pn 1 = p n = s. fiidi, n 1 + ve p( n 1 ) oldu. Art k yerine n 1 al p, + ve p varsay lar n yapabiliriz. s + = n ve s için, p = n + s olarak yazal. O zaan, p t 1 n + p t 1 s = p t 1 (n + s) = p t 1 (p) = p t = 0 p t 1 n = p t 1 s = 0 6 p Yukarda kulland z n ve s eleanlar n unutal. utlu sona bir ad c k kald : + =

7 fiidi, = 0 eflitli ini kan tlayaca z ve bu da nin aksialli iyle çeliflecek., kesifliinden herhangi bir n elean alal. Bu elean, s ve r R için, n = s + r, olarak yazabiliriz. Deek ki r = n s +. r, p ye asal olaaz, çünkü aksi halde, p + oldu undan, + olurdu. (eden?) Deek ki p, r yi bölüyor; diyeli u R için, r = pu. O zaan, r = (pu) = u(p) olur ve buradan da n = s + r = 0 ç kar. Önsav 12 yi kan tlad k. Teore 9 un Kan t : t üzerine tüevar la kan tlayaca z. Birinci Ad : Önce nin, I R/p t R odülüne izoorf en büyük altodülünü bulaca- z. Bunun için Zorn Önsav n dikkatlice kullanaca z. (E er sonlu elean taraf ndan geriliyorsa, Zorn Önsav na ihtiyaç yok.) Z = {( i ) i α : α bir ordinal, her i αiçin i, i : i α = i α R i, R i R/p t R}. Z yi flöyle s ralayal : ( i ) i α ve (n i ) i β, Z nin iki elean ysa, ( i ) i α (n i ) i β koflulu flu anlaa gelsin: α, β n n bir bafllang ç diliidir ve her i αiçin i = n i Zorn Önsav n kullanak için, Z nin her zincirinin Z de bir üsts n r oldu unu kan tlayal. (( j,i ) i α(j) ) j J Z den bir zincir olsun. O zaan, kolayca görülebilece i üzere, j J ( j,i ) i α(j), Z nin bir elean d r ve zincirin bir üsts n r d r (asl nda en küçük üsts n r d r.) Deek ki Z ye Zorn Önsav n uygulayabiliriz. ( i ) i α, Z nin bir aksial elean olsun. = i : i α = i α R i i α R/p t R} olsun. Al flt ra. sonlu elean taraf ndan geriliflse, birinci ad Zorn Önsav n kullanadan kan tlay n. Bir önceki Önsava göre, = eflitli ini sa layan bir vard r. kinci Ad : p t 1 = 0. E er de p t s = 0 eflitli ini sa layan aa p t 1 s = 0 eflitli ini sa laayan bir elean varsa, o zaan, ( i ) i α ailesinin en sonuna s elean n ekleyerek, ( i ) i α ailesinin Z nin aksial bir elean oldu uyla çelifliriz. Deek ki p t 1 = 0. fiidi ye tüevar varsay n uygularsak, Teore 9 kan tlan fl Art k Teore 1 i kan tlayabiliriz. Teore 1 in Kan t., sonlu say da elean taraf ndan gerilifl bir R-odül olsun. T, nin burulal eleanlardan oluflan altodülü olsun. Teore 6 ya göre, özgür bir F altodülü için, = T F onuç 4 e göre T ve F sonlu say da elean taraf ndan (en fazla yi geren elean kadar eleanla) gerilifllerdir. Deek ki, F R... R. Teore 8 e göre, T = p asal p. T sonlu elean taraf ndan gerildi inden, sadece sonlu tane p asal için p 0 d r. Deek ki, sonlu say da p 1,..., p k asal için eflitli i belli bir t(p i ) do al say s ve I pi,j göstergeç küeleri için sa lan r. ihai sonuç, k T F ( i= 1p R R i ) (... ) k tpi ( ) i j ( I R p j i R = 1 = 1 / R R p i j ) (... ), ateatik Dünyas, 2003 K fl k i T = =1. onuç 4 e göre her pi sonlu elean taraf ndan gerilifltir, diyeli x 1,..., x r taraf ndan. Her j = 1,..., r için, k j do al say s p k i j x j = 0 eflitli ini sa l yorsa, o zaan k = ax{p k 1 1,..., p k 1 r } için p k i x j = 0 ve dolay s yla p k i pi = 0 eflitli i sa lan r. Deek ki Teore 9 un varsay lar sa lan flt r ve tp ( i ) p j I R p j i R i =1 ( / p i, j ) p i 7