ELASTİK ZEMİNE OTURAN KİRİŞLERİN TAŞIMA MATRİSİ YÖNTEMİ İLE BİRİNCİ VE İKİNCİ MERTEBE STATİK VE STABİLİTE ANALİZİ

Transkript

1 S.Ü. Müh.-Mm. Fak. rg., c.9, s., 00 J. Fac.Eg.rch. Slcuk Uv., v.9,., 00 ELSTİK ZEMİE OTUR KİRİŞLERİ TŞIM MTRİSİ YÖTEMİ İLE BİRİİ E İKİİ MERTEBE STTİK E STBİLİTE LİZİ Kaat Burak BOZOĞ, lpr SEZER v Pl KLIK Eg Üv. Müh Fak. İşaat Müh. Böl. kaat@g.g.du.tr, asr@borova.g.du.tr, plaklk@myt.com Makal Glş Tarh: ÖZET :Bu çalışmada lastk m otura krşlr brc v kc mrtb statk aal ç taşıma matrs yötm tml ala br yötm suulmuştur. Elastk m otura krşlr yük altıdak davraışıı Wklr hpot uyduğu kabulü yapılmıştır. Çalışmaı uda suula yaklaşımı matrs-dplasma yötm yakısaklığıı araştırmak ür ltratürd alıa k adt örk suulmuştur. ahtar klmlr: Taşıma matrs, Wklr hpot, lastk m otura krş. Frst ad Scod Ordr Statc ad Stablty alyss of Bams o Elastc Foudatos Usg Trasfr Matrx Mthod BSTRT: I ths study, a mthod basd o trasfr matrx mthod for th frst ad scod ordr statcal aalyss of bams o lastc foudatos s prstd. It s assumd that th bhavor of bams udr loadg s agrmt wth th Wklr hypothss. t th d of th study, two xampls quotd from th ltratur ar prstd ordr to vstgat th advatag of th mthod to matrxdsplacmt mthod. Ky words: Trasfr matrx, Wklr hypothss, bams o lastc foudatos. GİRİŞ Elastk m otura krşlr statk v damk hsabıa yölk olarak ltratürd brçok çalışma mvcuttur. Bularda kouu lıca srlrd brs Hty ktabı hç şüphs k ta glmktdr (Hty, 96). Ülkmd d bu kouda öllkl Çatal v lku (996), Gülka v lmdar (99) v Kskl v Kumbasar (976) ı çalışmaları dkkat dğrdr. Söü dl çalışmalarda lu lmalar yötm v lu farklar yötm kullaılmıştır. Bu çalışmada s lastk m otura krşlr brc v kc mrtb statk hsabı ç taşıma matrs yötm dayaa br yaklaşım suulmuştur. Çalışmada, taşıma matrslr ld dlmsd; a) Malm lr-lastk olduğu, b) Zm yük altıdak davraışıı Wklr hpot uyduğu kabullr yapılmıştır. şağıda sırasıyla brc v kc mrtb taşıma matrslr ld dlmsd l yol suulmuştur. BİRİİ MERTEBE TŞIM MTRİSİ Br krş lmaıı lastk br ortamda sürkl olarak mstlms hald lmaı lastk ğrs at dfrasyl dklm aşağıdak gb vrlmktdr :

2 0 K.B. BOZOĞ. SEZER P. KLIK q() k Şkl. Elastk m otura krş ürd yayılı yük. Fgur. strbutd load ovr lastc sol. d y ky q() () d Burada, :Krş lmaıı ğlm rjtlğ, y :Krş lastk ğr foksyouu, :Krş ürdk br oktaı lagıca ola uaklığıı, q() :Krş ürdk yayılı yük foksyouu göstrmktdr (Şkl ). Burada k, lastk m otura b gşlkl krş altıdak m yatak katsayısıı göstrmktdr. Böylc () olu dfrasyl dklm, q()0 durumuda, d y ky 0 () d y' y [ s( ) cos( )] [ cos( ) s( )] ΙΙ [ s( ) cos( )] [ cos( ) s( )] M y [ s( )] [ cos( )] [ s( )] ΙΙΙ [ [ [ [ cos( ) s( ) cos( ) s( ) [ cos( )] s( )] cos( )] s( )] cos( )] (5) (6) (7) şkld dördücü mrtbd homoj br ad dfrasyl dklm ld dlr. () olu dfrasyl dklm çöümü y [ s( ) cos( ) ] [ s( ) cos( ) ] şklddr. Burada, () k () şkld vrl br sabt göstrmktdr. () olu lastk ğr fadsd yararlaılarak sırasıyla döm, momt v ksm kuvvt fadlr aşağıdak gb ld dlrlr Yukarıdak (), (5), (6) v (7) fadlrd yr ala şkl dğştrm, döm, momt v ksm kuvvt fadlr matrs formda aşağıdak gb yaılablr: y() () M() () Burada matrs lmaları sırasıyla, (,) (,) (,) (,) s( ) [ s( ) cos( )] [ [ cos( )] cos( ) s( )] (8)

3 Elastk Zm Otura Krşlr Taşıma Matrs Yötm l Brc v İkc Mrtb Statk v Stablt al (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) cos( ) [ cos( ) s( )] [ [ [ s( ) [ s( )] s( ) [ s( ) cos( )] [ cos( ) [ cos( )] cos( ) [ cos( ) s( )] s( )] s( ) cos( )] s( )] cos( )] olarak yaılablr. Krş lmaıı lagıç oktası ç (8) olu ştlk, y( ( M( ( ( şkld yaılır. Burada ( ı lmaları, ( ( ( ( ( ( ( ( (,) 0 (,) (,) (,) (,) 0 (,) (,) (,) ( ( ( ( ( ( ( ( (,) (,) (,) 0 (,) (,) (,) (,) 0 (,) (9) şklddr. Burada (9) olu bağıtıda yr ala katsayılar vktörü çklrs, ld dlr. Bu fad (8) olu fadd yr yrlştrlrs, y() y( () ( ( () M() M( () ( - ld dlr. Burada yr ala T ( fads olu krş parçası ç brc mrtb taşıma matrsdr. STBİLİTE TŞIM MTRİSİİ ELE EİLMESİ Bu çalışmada suula yötm l lastk m otura krşlr stablt aal ç kullaılacak stablt taşıma matrs, öck bölümd açıklaalara br olarak ld dlblr. Yukarıda yapıla şlmlr ksl ormal kuvvt d lav dlrs, kc mrtb tklr d şlmlr dahl dlmş oluur. Bu durumda () olu dfrasyl dklm krş parçası boyuca sabt ola ksl ormal kuvvt d dkkat alımasıyla, d y d y ky 0 () d d hal alır. Burada çkm durumuda potf, basıç durumuda b,gatf şart alır. () olu dfrasyl dklm, şart dkkat alıarak k 0 () şkld yaılablr. Böylc () olu karaktrstk dklmd yararlaılarak () olu dfrasyl dklm çöümü, y () ( y M ( ( ( ( ( olur. Burada,, v sırasıyla () olu karaktrstk dklm köklrdr. () olu şkl dğştrm foksyouda yararlaarak brc mrtb taşıma matrs ld dlms br şkld, sırasıyla döm,

4 K.B. BOZOĞ. SEZER P. KLIK momt v ksm kuvvt dğrlr aşağıdak gb ld dlblr: (5) d y d M (6) d dy d y d (7) (), (5), (6) v (7) olu fadlr, matrs formuda aşağıdak gb yaılablr: () M() () y() (8) Burada matrs lmaları sırasıyla, (,) (,) (,) (,) I (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) olarak yaılablr. Krş lmaıı lagıç oktası ç (8) olu ştlk, ( ( ( ( ( M y (9) şkld yaılır. Burada ( ı lmaları, (,) (,) (,) (,) ( ( ( ( ( ( ( ( (,) (,) (,) (,) ( ( ( ( (,) (,) (,) (,) ( ) ( ) ( ) ( ) (,) (,) (,) (,) ( ( ( ( olur. Burada (9) olu bağıtıda yr ala katsayılar vktörü çklrs, ( ( ( ( ( M y ( ld dlr. Bu fad (8) olu fadd yr yrlştrlrs,

5 Elastk Zm Otura Krşlr Taşıma Matrs Yötm l Brc v İkc Mrtb Statk v Stablt al y() yii( () ( II M() M ( () ( II () II( ld dlr. Burada yr ala ( çarpımı olu krş ç stablt taşıma matrsdr v T II- () ( şkld göstrlr. ÜŞEY YÜKLER ETKİSİE STTİK LİZ Öck bölümd ld dl brc v kc mrtb stablt taşıma matrslr kullaılarak lastk m otura krşlr düşy yüklr tksdk statk aal prosdürü aşağıda açıklamıştır. rdışık krş parçaları arasıdak bağlatıyı sağlaya T ( T I, T II ) lma taşıma matrs l dplasmalar v uç kuvvtlr arasıdak lşk, y M y T F M () dklm l sağlaablr. Buradak F, olu krş parçasıı btş ucudak düşy dış yükü kapsar v 0 0 F () 0 f vktörü l tarf dlblr. () umaralı dklm hr br lma ç yaılıp ardışık olarak uygulaırsa, lastk m otura krş lagıç l btş ucu arasıda aşağıda vrl lşk ld dlblr. y M y Tk Tk Fs F M k s k s (5) Bu dklmd;, lma sayısı, k v s s sırası l ta tbar s v s c lmalardır. t T k v P Tk Fs F k s k s Grkl kısaltmalar yapılırsa, (6) y y t P (7) M M ld dlr. (7) dklmd, sıır şartları dkkat alıarak blmylr ld dlr. Sıır şartları yardımıyla lagıçta blmy ola dplasma,döm,ksm kuvvt vya momt dğrlr () fadsd yrlr yaılırsa, hr br düğüm oktasıdak blmylr ( y,, M, ) tay dlblr. KRİTİK BURKULM YÜKÜÜ TYİİ şağıda, lastk m otura krşlr krtk burkulma yüküü öck bölümd vrl () bağıtısı yardımıyla asıl buluacağı açıklamıştır. Bua gör, lastk m otura krş lagıç v oktaları arasıdak lşk stablt durumuda aşağıdak gb yaılablr y M T T y...t...t M (8) Yukarıdak dklmd S T T...T... T kabul dlrs, dklm sıır şartlarıı hsaba katarak otrval çöümüü sağlaya küçük dğr sstm krtk burkulma yüküü vrmktdr.

6 K.B. BOZOĞ. SEZER P. KLIK BİLGİSYR PROGRMII KIŞ İYGRMI şağıda bu çalışmada suula yötm sayısal uygulamaları ç glştrl blgsayar programıı akış dyagramı vrlmştr. Bu çalışmada suula programı haırlamasıda MTLB 6.5 pakt programı kullaılmıştır. ÖREKLER Bu çalışmada suula yötm yaklaşıklığıı göstrmk ür Ltratürd alıa k sayısal örk çöülmüştür. Ltratürd alıa örklr v kıyaslama uçları aşağıda vrlmştr. Sayısal Örk Rfras (Gülka v lmdar, 99) d alıa örkt Şkl d görül lastk m otura krş kst v malm öllklr aşağıda vrlmştr. K /mm, E /mm I mm Sö kousu rfrasta vrl örk, bu çalışmada suula yötml d çöülmüş v uçlar karşılaştırılmıştır. Çöüm aşağıda aşamalı olarak l alımıştır. Öclkl, hr lma ç (8) olu bağıtıda yr ala, (9) olu bağıtıda yr ala 0 v () olu bağıtıda yr ala T taşıma matrslr program dahld oluşturulmuştur. rlr okuuyor Bllğ alııyor Krş parçaları arası gçş sağlaya statk aal sas lma taşıma matrslr oluşturuluyor Statk aal ç sstm taşıma matrs l sstm kuvvt vktörü oluşturuluyor Burkulma v kc mrtb aal sas sstm taşıma matrs, lmalara at stablt taşıma matrslr yardımıyla oluşturuluyor Sstm taşıma matrs v kuvvt vktörüd sıır şartları uygulaarak krş ıdak blmylr ld dlr Sıır şartları uygulaarak frkas dklmlr burkulma aal ç buluuyor Krş ıdak lmalara at blmylr yardımıyla lmalara at blmylr buluur. Sayısal br yötm yardımıyla frkas dklmlr çöülrk krş at krtk burkulma yükü buluur(ödğr Problm) Souçları bllğ alıması v görütülms Şkl. Yötm blgsayar programıa at akış şması. Fgur. omputr program flow chart of th mthod.

7 Elastk Zm Otura Krşlr Taşıma Matrs Yötm l Brc v İkc Mrtb Statk v Stablt al 5 70 k 70 k 70 k Şkl. Sayısal örk. Fgur. umrcal sampl. () v () olu lmalar ç; 0.899, T () v () olu lmalar ç, 0.899, T () olu düğüm oktasıdak blmylrl () olu düğüm oktasıı sol ucu blmylr arasıdak lşk, aşağıdak gb yaılablr: y (sol) (sol) M (sol) (sol) y M (9) () olu düğüm oktasıı sağ ucu ç, () olu düğüm oktasıdak kuvvt dkkat alıırsa, bu durumda, aşağıdak fad yaılablr: y (sağ) (sağ) M (sağ) (sağ) y ( M () olu lmaa at taşıma matrsd yararlaılarak aşağıdak bağıtıyla () olu düğüm oktasıı solua aşağıdak bağıtıyla gçlblr: y M y M (sol) (sol) (sol) (sol) (sağ) (sağ) (sağ) (sağ) ()

8 6 K.B. BOZOĞ. SEZER P. KLIK lmaıı sağıa at vktör yr ( olu bağıtıdak şt yaılırsa, y (sol) (sol) M (sol) (sol) y M () İşlmlr buda ra da dğr lmalar ç br şkld yapılırsa, () olu düğüm oktasıyla (5) olu düğüm oktası arasıdak lşk aşağıdak şkld yaılablr: y y M M () () olu dklmd sstm at sıır şartlarıa MM550 yaılırsa, ld dlr. () olu dklmd grkl drgmlr yapılırsa, y (5) ld dlr. Burada, y -707 v dr. Bu dğrlr ( olu dklmd yr yrlştrlrs, y(sağ) (sağ) M (sağ) (sağ) (6) y(sağ) m., (sağ) -0.00, M(sağ) 6.97 km v (sağ) k dğrlr buluablr. Bular () olu bağıtıda yr yrlştrlrs, y(sol) (sol) 0 M (sol) (sol) (7) y y () Burada y(sol) m., (sol) 0, M(sol) 0.9 km v (sol) k ld dlblr. Eld dl uçları Gülka v lamdar (99) d vrl dğrlr l karşılaştırılması Tablo d vrlmştr. Tablo. Rfrasta (Gülka v lmdar,99) alıa örk v bu çalışmada ld uçları karşılaştırılması Tabl. ompar of xampl rfrac (Gülka ad lmdar,99) ad th obtad valus ths study Blmylr Rfras ( lma ) Bu çalışma ( lma) Görcl Hata (%) oktasıdak dplasma (mm.) oktasıdak momt (km.)

9 Elastk Zm Otura Krşlr Taşıma Matrs Yötm l Brc v İkc Mrtb Statk v Stablt al 7 Sayısal Örk Gülka v lmdar (99) d alıa v Şkl d kst görül lastk m otura krş kst v malm öllklr aşağıda vrlmştr. K 600 k/m 80 k/m L m. rl örğ at krtk burkulma yükü, rfras (Gülka v lmdar,99) d lu lmalar yötmyl,, 6 v 8 parçalı olarak çöülmüştür. Bu çalışmada suula yötml yapıla çöümd s, sstm k parçalı olarak çöülmüş v buu ucuda k parçalı çöümü rfras (Gülka v lmdar, 99) d yapıla 8 parçalı uca çok yakı uç vrdğ görülmüştür. şağıda uçlar br tablo hald suulmuştur. P P K K L L Şkl. Sayısal örk. Fgur. umrcal sampl. Tablo. Rfrasta [Gülka v lmdar,99] t alıa örk v bu çalışmada ld uçları karşılaştırılması. Tabl. ompar of xampl rfrac [Gülka ad lmdar,99] ad th obtad valus ths study. Blmylr Rfras (8 lma) Bu çalışma ( lma) Görcl Hata (%) Krtk burkulma yükü (k) Yapıla çöümd, öc hr lmaa at kc mrtb stablt taşıma matrslr (8), (9) v () olu bağıtılarla hsaplaır. Bağıtılarda d görüldüğü gb, taşıma matrslr P ksl kuvvt br foksyoudur. Gö öü alıa krşt öc, lagıç v btş oktası arasıdak lşk, P br foksyou olarak yaılır. aha ra, yaıla bu ştlkt, gö öü alıa sstm at sıır şartları ola akastr uçta dplasma v döm sıfır olması dkkat alıırsa, otrval çöümü vr br bağıtı ld dlr. Burada bu bağıtıyı sağlaya küçük P dğr sstm krtk burkulma yüküü vrcktr. Tablo d rfras (Gülka v lmdar, 99) d vrl v bu çalışmada ld dl uçlar karşılaştırılmıştır.sayısal Örk Çatal v lku (996) da alıa v Şkl 5 d kst görül lastk m otura krş kst v malm öllklr aşağıda vrlmştr. K.0 8 /m,.0 9 k/m, L 6 m. rl örğ at olu düğüm oktasıdak dplasma v olu düğüm oktasıdak momt dğrlr bu çalışmada suula taşıma matrs yötmyl çöülmüştür. Bu çalışmada suula yötml yapıla çöümd, sstm k parçalı olarak çöülmüş v buu ucuda k parçalı çöümü rfras (Çatal v lku, 996) da yapıla parçalı uca çok yakı uç vrdğ görülmüştür. şağıda uçlar br tablo hald suulmuştur.

10 8 K.B. BOZOĞ. SEZER P. KLIK m j m Şkl 5. Sayısal örk. Fgur 5. umrcal sampl. k Tablo. Rfrasta [Çatal v lku,996] alıa v bu çalışmada ld uçları karşılaştırılması. Tabl. ompar of frst xampl rfrac [Çatal ad lku,996] ad th obtad valus ths study. Blmylr Rfras ( lma ) Bu çalışma ( lma) Görcl Hata (%) oktasıdak dplasma (mm.) oktasıdak momt (m.) 5.9*0.0*0 - SOUÇ Bu çalışmada, lastk m otura krşlr statk v stablt aal ç taşıma matrs yötm sas ala br yaklaşım suulmuştur. Yaklaşım, lu lmalar yötm gör daha kısa sürd programlaablmktdr. Çalışmaı uda, ltratürd alıa örklr çöümüd suula yaklaşımı ytrl doğrulukta olduğu görülmüştür. Eld dl uçlara dayaarak, suula yötm grk ö boyutladırma aşamasıda, grks ks hsap aşamasıda güvl kullaılablcğ aılmaktadır. KYKLR Çatal, H.H. v lku, S., 996, Elastk Zm Otura Çubuğu İkc Mrtb Rjtlk Matrs Hsabı, Türk Mühdslk v Çvr Blmlr rgs, TÜBİTK, 0, Gülka, P. v lmdar, B.M., 99, Elastk m otura krşlr ç lu lmalar, Yapı Mkağ Smr 9, umlupıar Üvrsts, o.. Haslma. v Lttlfld B., 996, Mastrg MTLB, Prtc-Hall, w Jrsy, 5 s. Hty, M., 96, Bams o Elastc Foudatos, Uvrsty of Mchga Prss, Mchga, 55 s. Kskl, F. v Kumbasar,., 976, Sürkl Tmllr v öl Kabuklar, İ.T.Ü. Matbaası, İstabul, 60 s.