2. KAYNAK ARAŞTIRMASI

Transkript

1 .GİRİŞ Kimyasal maddelerin başka kimyasal maddelere dönüştürüldüğü proseslerde genellikle yüksek dönüşüm istenmektedir. Dönüşüm sıcaklık ve derişim gibi faktörlere bağlı olarak değişmektedir. Bu nedenle kimyasal proseslerde optimum işletim koşullarının belirlenmesi ve belirlenmiş olan optimum koşullarda işletim gerekli olmaktadır. Bu çalışmada ilk olarak; kesikli işletilen karıştırmalı bir tepkime kabında sodyum hidroksit ve etil asetatın sabunlaşma reaksiyonu gerçekleştirilmiştir. Bu proseste maksimum NaOH dönüşümü elde etmek amacıyla, girdilerin başlangıç derişimleri, sıcaklık ve karıştırma hızının optimum değerleri belirlenmiştir. En iyi işletim koşullarının belirlenmesi amacıyla iki seviyeli tam faktöriyel istatistiksel deney tasarım yöntemi kullanılmıştır. Bağımlı değişken NaOH dönüşümü, bağımsız değişkenler; girdilerin başlangıç derişimleri, sıcaklık ve karıştırma hızı olarak seçilmiştir. Bağımsız değişkenlerin birinci, ikinci, üçüncü ve dördüncü dereceden etkileşim terimleri içeren lineer bir regresyon eşitliği kullanılarak bağımlı ve bağımsız değişkenler arasında bağlantı ifade edilmiştir. Bu eşitliğin deneysel olarak tanımlanması amacıyla istatistiksel deneysel tasarım metotları kullanılmıştır. Deneysel veriler kullanılarak en küçük kareler yöntemine göre regresyon eşitliği tanımlanmıştır. Fuzzy mantık endüstriyel kontrolde çok geniş bir alanda gittikçe artan talepte kullanılmaktadır. Elektronik kontrolde yeni bir teknolojidir. Genellikle tüketici elektroniklerinde sıkça kullanılmaktadır. İnsan davranışlarına benzer kararlar vererek çalışır. Fuzzy mantıkla bu yetenek bilgisayar donanımına verilmeye çalışılır. Fuzzy mantığı ile ilgili ilk çalışma, 965 yılında Lotfi A. Zadeh tarafından yapılmıştır; tamamen doğru ve tamamen yanlış doğruluk değerleri arasında kısmi doğruluk yaklaşımını getirmiştir. Fuzzy kontrol, sistemi kolayca kullanan uzmanın bilgilerini, üyelik fonksiyonlarını ve IF- THEN kurallarını kullanarak birleştirebilir. Fuzzy kontroldeki IF-THEN kuralları, giriş ve çıkış değişkenleri arasındaki ilişkiyi dilbilimsel olarak ifade eder, üyelik fonksiyonları ise dilbilimsel terimleri sayısal değerlere çevirir. Birçok fuzzy kontrol uygulamasında, kontrol kurallarının oluşturulması sırasında uzman deneyimi ya da fuzzy kontrol kurallarının ve üyelik fonksiyonlarının oluşturulması için çok fazla etkili olmayan deneme-yanılma metodu

2 kullanılmıştır. Bu nedenle son yıllarda fuzzy kontrol kurallarının ve üyelik fonksiyonlarının oluşturulması amacıyla bir optimizasyon yöntemi olan Genetik Algoritma dan (GA) yararlanılmaktadır (Zhou et al. 2000). Yapılan bu çalışmada temel olarak sürekli karıştırmalı bir reaktörde sodyum hidroksit ve etil asetat tepkimeye girmekte ve tepkime süresince sodyum hidroksitin iletkenlik değeri bir cihaz yardımıyla ölçülmektedir. Okunan iletkenlik değerleri kullanılarak sodyum hidroksitin derişim ve dönüşüm değerlerinin sisteme verilen basamak etkisi ile nasıl değiştiği gözlemlenmiştir. Belirli değerlerin hesaplanabilmesi amacıyla aynı çalışma kesikli tepkime kapında da gerçekleştirilmiştir.daha sonra deneysel ve teorik olarak hesaplanan değerler grafiğe geçirilerek;sodyum hidroksit için derişim dönüşüm ve iletkenliğin zamanla değişimi grafiksel olarak gösterilmiştir.bunların yanı sıra sürekli karışmalı reaktörün ve kesikli tepkime reaktörün tasarım denklemleri çıkarılmıştır.teorik sonuçlara ulaşabilmek için matlab programından yararlanılmıştır.yapılan bu çalışma sonucunda teorik ve deneysel olarak elde edilen veriler birbiriyle kıyaslanmıştır.ve prosesin giriş değişkeni sodyum hidroksit akış hızı,çıkış değişkeni sodyum hidroksit dönüşü olmak üzere matlab komutlarından yararlanılarak transfer fonksiyonu elde edilmiştir. Doğadaki evrim sürecinden esinlenerek geliştirilmiş doğal seçim ve genetik kurallara yani en iyi bireylerin yaşamını devam ettirebilmesi temeline dayanan bir optimizasyon yöntemidir. GA nın optimizasyon sürecinde, bireyler değişim boyunca, yeni üretilecek nesillere kendi özelliklerini aktararak, yeni neslin daha uyumlu bireylerden oluşma olasılığını artırır. GA, parametrelerin kendisi yerine kodlanmasıyla oluşturulan bireylerle, çözüme çok noktadan yaklaşır. Bu özelliğinden dolayı, GA optimizasyon problemlerinin çözümünde etkin olarak kullanılmaktadır. GA ile sistem kontrolünde, sitemin matematiksel modelinin bilinmesine ve yoğun tasarım probleminin çözümüne gereksinim duyulmaz (Gökbulut et al. 2000). Sürekli karıştırmalı reaktörde sabunlaşma reaksiyonunda dönüşümü kontrol etmek amacıyla birinci dereceden bir modele sahip olan fuzzy kontrol yöntemi kullanılmıştır. Fuzzy kontrol yönteminde kuralların ve üyelik fonksiyonlarının oluşturulması amacıyla da GA dan faydalanılmıştır. Sisteme uygulanan fuzzy kontrol sonuçları PID kontrol sonuçları ile karşılaştırılmıştır. 2

3 2. KAYNAK ARAŞTIRMASI Terry and Streghtz (927), sabunlaşma reaksiyonu hız sabitini belirlemek amacıyla yapmış oldukları çalışmada yaklaşık 0.0 N sodyum hidroksit ve etil asetat çözeltileri ile reaksiyonu gerçekleştirmişlerdir. Bimoleküler eşitlik kullanarak 25 C sıcaklıkta gerçekleşen deneyde reaksiyon sabitini 6.76 L/mol.dk olarak belirlemişlerdir. Terry and Wilson (928), çalışmalarında sodyum hidroksitin etil asetat ile sabunlaşma reaksiyonu hız sabiti üzerine, nötral tuzlar olarak bilinen sodyum klorid, sodyum asetat ve sodyum nitratın etkisini inceleyerek reaksiyon hız sabitini bulmuşlardır. Karr et al. (990), Fuzzy logic pek çok fiziksel sistemin kontrolü için başarıyla kullanılmaktadır. Bununla birlikte kabul edilebilir üyelik fonksiyonu seçimi genellikle kişisel bir kararla yapılmaktadır. Bu makalede yüksek performanslı fuzzy üyelik fonksiyonları arama tekniği doğal genetik mekanizmasına dayanan genetik algoritma kullanılarak öğrenilmiştir. Genetik algoritmayla belirlenen üyelik fonksiyonları, düşünülen sıvı seviye sistemi için araştırmacı tarafından seçilen üyelik fonksiyonundan daha etkin bir fuzzy logic kontrol edici için şarttır. Genetik algoritma temelli fuzzy logic kontrol edici sıvı seviye üzerinde gösterilmiştir. Kural temelli sistemler yapay zeka uygulamalarında popüler hale gelmiştir. Bu sistemler problem çözümünün çevresinde etkin karar vermeyi gösteren uzman bir kişiden elde edilen problem bilgisini tanımlarlar. İnsanlar proses kontrol problemlerinin çoğunu çözmede kişisel yorumlarını gerektiren terimleri kullanırlar ve böylece kontrol değişkenlerinin değerlendirilmesindeki belirsizlik dağılır. Michels (997), sistemi olabildiğince az bilgiyle kontrol etmeye olanak sağlayan bir yöntem olan, fuzzy model temelli bir kontrol edici üzerinde çalışmıştır. Sistemin fuzzy modeli ölçülen verilere dayanarak türetilir. Michels böyle bir çalışmayı yapmak için ilk olarak sistemin tanımlanması daha sonrada bu ilişkiyi kullanarak kesikli hal uzayının herhangi bir noktasında orjine olan yörüngeleri bulmak gerektiğini düşünmüştür. Sonuçlanan fuzzy kontrol sistemi hal uzayında daha sonra gelecek noktayı belirler ve ilişki matrisinden uygun değişken değerini seçer. Bu çalışma, birinci dereceden iki girdi ve çıktılı, ikinci dereceden bir sistem için geçekleştirilmiştir. Her iki sistem için de kontrol sağlanabilmiştir. Michels 3

4 olabildiğince az bilgi, tarihsel kural temeline gerek kalmadan sistemin kontrolünün mümkün olduğunu göstermeye çalışmıştır. Son olarak fuzzy modelin; sayısal kararsızlıklardan kaynaklanabilecek hatalardan kaçındığını ve nonlineer sistemler için olduğu kadar lineer sistemler için de kullanılabileceğini belirtmiştir. Erdemir (999), çalışmada girdileri sodyum hidroksit ve etil asetat olan 2.mertebe reaksiyonun gerçekleştiği, sürekli karıştırmalı reaktörün dinamiği ve kontrolü incelenmiş; simülasyonu yazılarak bilgisayarda çözülmüştür. Deneysel ve teorik sonuçlar karşılaştırılarak matematiksel modelin sistemi iyi temsil ettiği anlaşılmıştır. Çalışmada ayarlanabilen değişken sodyum hidroksit besleme akış hızı, kontrol edilen değişken sodyum hidroksit derişimi olarak seçilmiştir. Genelleştirilmiş Minimum Değişmeli Kontrol (GMV) uygulanmıştır. Giriş değişkeni sodyum hidroksit akış hızı ile çıkış değişkeni sodyum hidroksit derişimi arasındaki ilişki polinom tipi ARMAX model ile tanımlanmıştır. ARMAX model parametrelerinin hesaplanmasında yalancı ikili gelişigüzel sinyal (PRSB) özelliklerinin etkisi incelenmiş, daha sonra ARMAX model mertebesinin seçimi için bir takım performans kriterleri oluşturulmuştur. Çeşitli çalışmalar sonunda en iyi GMV kontrol etkinliğini elde edebilmek için en uygun ARMAX model mertebesi ve ileri beslemeli fonksiyon seçimi yapılmıştır. İleri kontrol stratejilerinden biri olan GMV kontrolun önemini ve etkinliğini açıkça gösterebilmek amacıyla parametreleri Cohen-Coon yöntemiyle bulunan PID kontrol sistemi de kontrol amacıyla kullanılmıştır. Yapılan karşılaştırma sonucunda ileri kontrol stratejilerinin gerekliliği ortaya konulmuştur. Gürocak (999), çalışmasında FLK ( Fuzzy Logic Kontrol) tipi kontrol edicinin kural temelinin ayarlanmasında GA temeline dayanan bir metod kullanmış, 2. dereceden bir sistemin seviye kontrolü ve ters sarkaçın kontrolü, FLK ile yapılmaya çalışılmıştır. Bu sistemlerde ilk önce kontrolsüz durum ve daha sonrada FLK kontrolü altındaki durum incelenmiştir. Böylece kullanılan algoritmanın kullanılabilirliği test edilmeye çalışılmıştır. İlk sistemde yani ikinci dereceden bir prosesin seviyesinin kontrol edildiği bir sistemde popülasyon sayısı 20, nesil sayısı 30 ve mutasyon oranı %2 dir. Bu sistemde kontrol olmadığı durumda aşma, salınımlı bir cevap ve büyük bir yatışkın hal hatası gözlenmiştir. Kontrollü durumda ise sistem biraz daha yavaş cevap vermiştir ancak aşma yoktur ve yatışkın hal kazancı da oldukça düşüktür. İncelenen ikinci sistemde popülasyon sayısı 20, nesil sayısı 40 ve mutasyon oranıda %.5 olarak seçilmiştir. Yine aynı şekilde sistemde kontrolsüz durumda 4

5 aşma, küçük bir yatışkın hal hatası ve salınım gözlenmiş, ancak kontrol altında aşma, yatışkın hal hatası ve salınım yok olurken sistemin cevap süresi biraz yavaşlamıştır. Gürocak (2000) metodun performansındaki limitin başlangıçta kullanılan kural temelinin daha sonra geliştirilerek kullanılması olduğunu düşünmektedir. Bu metodun kullanılmasında ayar aralığının seçimi, deneysel olarak belirlenen GA parametrelerinin değeri FLK de sistemi direkt olarak etkilediğinden Gürocak tarafından önemli olarak gösterilmiştir Martinez et al. (999), çalışmalarında şarap üretim proseslerinde kullanılmak üzere yeni bir kontrol stratejisi geliştirmişlerdir. Kontrolün amacı, yüksek fermentasyon hızının şıra lezzetinin daha fazla kaybolmasına yol açması sebebiyle, fermentasyon hızının belli bir değerden düşük tutulmasıdır. Çalışmada fermentasyon hızı, sıcaklığın ve fermentasyonun durumuna bakarak karar veren bir fermentasyon simülatörü vasıtasıyla belirlenmiştir. Kontrol edilen değişken fermentasyon hızı, giriş değişkeni sıcaklık ölçümü, çıkış değişkeni soğutma hareketi olarak belirlenmiştir. İki girişli, tek çıkışlı fuzzy kontrol edici kullanılmıştır. Ayrıca çalışmada belli bir sıcaklık aralığında sistem kontrol edilmeye çalışılarak, izotermal olarak işletilen bir reaktörle sonuçları karşılaştırılmıştır. Sonuç olarak fermentasyon hızı belli bir değerden düşük tutulmuş ve belli bir sıcaklık aralığında kontrol edilerek %30 enerji ve %20 zaman kazancı elde edilmiştir. Gökbulut vd. (2000), bu çalışmada endüstriyel uygulamalarda yaygın olarak kullanılan PID denetleyici parametrelerinin genetik algoritma (GA) ile bulunması gerçekleştirilmeye çalışılmıştır. Herhangi bir sistemin GA-PID ile denetimi için, rastgele PID parametreleri oluşturulmuş ve belirlenen uygunluk fonksiyonuna göre sistemden en iyi cevabı alacak şekilde PID parametreleri GA ile uyarlanmıştır. Benzetim sonuçlarına bakılarak, diğer PID ayarlama yöntemlerine göre GA nın kolay uygulanabilir ve etkin olduğu görülmüş. Denemeler sırasında. ve 2. dereceden olmak üzere iki farklı sistem kullanılmıştır. Çalışmalar sonunda, pratik açıdan sistemlerin matematik modeline ve yoğun hesaplamalara gerek duyulmadan, GA ile PID denetleyici tasarımı başarılı bir şekilde gerçekleştirilmiştir. Guan- yu lıu et al. (2000), Fuzzy logic kontrol edici dizaynı için; birbirlerine bağlı olan üyelik fonksiyonları ve fuzzy kontrol kurallarının eş zamanlı bulunabildiği genetik algoritma temelli bir yaklaşım önerilmiştir. Üçgensel tip üyelik fonksiyonları ile bu fonksiyonların sol ve sağ genişlikler, piklerinin konumu ve girdi dilbilimsel değişkenlerin her bir mümkün kombinasyonuna karşılık gelen fuzzy kontrol kuralları optimize edilecek 5

6 parametreler olarak seçilmiştir. Oransal ölçekleme metodu kullanılarak bu parametreler; sıratemelli yeniden üretim, konveks çaprazlama ve nonuniform mutasyonla üretilen döllerin üzerinden gerçek kodlanmış kromozomlara dönüştürülmüş. FLK daha fazla başlangıç koşulunun tanımlanan uygunluk fonksiyonunda içermesi durumunda daha iyi performansa sahip olacağı sonucuna varılmıştır. Honda et al. (2000), çalışmalarında Fuzzy kontrolün kullanıldığı endüstriyel prosesler hakkında bilgi vermişlerdir. Honda ve arkadaşlarının üzerinde çalıştıkları sistemler provastatin belirteci, vitamin B 2 üretimi prosesleridir. Çalışmacılar ilk önce fuzzy kontrolü doğrudan ve dolaylı kontrol olmak üzere ikiye ayırmışlar; birincisi proses değişkenlerinin direkt olarak kontrol edildiği (yarı kesikli şeker besleme hızı gibi) doğrudan kontrol, ikincisi ise öncelikli olarak proses değişkenleriyle faz doğrulamanın yapıldığı fuzzy sonuç çıkarma şeklinde olan kontroldür. Sonuç olarak fazın, yetiştirme sırasında belirlenmesinin sistemin kolayca kontrol edilmesine yardımcı olacağını söylemişlerdir. Ayrıca son zamanlarda ki yeni sistemlerin fuzzy sonuç çıkarmayı kullanarak kurulduğu ve biyoproses kontrol sistemlerinde kullanılabileceğini belirtmişlerdir. Zhou et al. (2000), çalışmalarında genetik algoritma (GA) yardımıyla bir fuzzy kontrol edici tasarımı yapmışlardır. Burada GA yardımıyla fuzzy kontrol parametreleri olan, kontrol kuralları ve üyelik fonksiyonları bulunmaya çalışılmıştır. Kullandıkları sistem için tasarladıkları kontrol edici Fuzzy -PID kontrol edicidir. Burada çalışmacılar PID yi temel, fuzzy yi ise PID nin etkinliğini artırmak için yardımcı kontrol edici olarak seçmişlerdir. Bu sistem için popülasyon sayısı 20, nesil sayısı ise 50 olarak belirlenmiştir. Kullanılan PID kontrol edicinin parametreleri Ziegler-Nichols yöntemiyle bulunmuştur. Sonuç olarak böyle bir sistemde varsayılan metodun etkili olduğu, sistemde birkaç fuzzy değişkeninin yeterli olduğu ve fazladan profesyonel uzmanlık ve matematiksel analizlere gerek olmadığı sonucuna ulaşmışlardır. Altınten (200), GA yı çok iyi anlaşılmamış, düzensiz ve kompleks üyelik fonksiyon uzayını araştırmak için fuzzy kontrol tasarımında kullanmış ve böylece, genetik algoritmanın öğrenme yeteneği ile fuzzy kontrolun proses kontrol yeteneğini birleştirmiştir. Tasarımı yapılan bu sistemi, stirenin serbest radikalik polimerizasyon reaksiyonunun gerçekleştiği soğutma ceketli kesikli bir reaktörün sıcaklık kontrolunda kullanmıştır. Kontrol değişkeni olarak reaktör içi sıcaklığını ve ayarlanabilen değişken olarak sisteme verilen Q ısısını 6

7 seçilmiştir. GA için uygunluk fonksiyonu olarak farkların mutlak değerleri toplamını (IAE) alınmıştır. Seçilen sabit sıcaklık ve optimal sıcaklık profili işletim koşullarında, teorik olarak GA ile oluşturulan fuzzy üyelik fonksiyon kümeleri ve bunlara bağlı olarak ilişki matrisini kullanarak polimer deneylerini yapmış, fuzzy kontrol yönteminin reaktör içi sıcaklığını istenen set noktasında tutabildiğini belirtmiştir. Kelleher et al. (2002), çalışmada bira fermentasyon prosesiyle fuzzy mantık birleştirilmiş. Çalışma sırasında fermentasyon tankının optimizasyonuda eşanlı olarak devam ettirilmiştir. Değişik giriş parametrelerinin (sıcaklık, basınç, fermentasyon süresi ve maya sayımı) prosesi nasıl etkilediğini ve bu parametrelerle çıkış değişkenleri (alkol içeriği, ph, renk, anlık ağırlık) arasındaki ilişkiyi veren, modele dayalı fuzzy mantığı geliştirmek üzere bu çalışma yapılmıştır. Prosesin optimizasyonu için 6 farklı fermentörde çalışma yapılmış. Bu reaktörler ceketinde glikol olan ve soğutma sistemi otomatik olarak çalışan reaktörlerdir. Proses iki giriş- tek çıkış değişkeni olan bir sistemdir. Giriş değişkenleri; sıcaklık, PG, çıkış değişkeni olarak ise soğutma işlemi seçilmiştir. Kayacan vd. (2003), tornalama işlemlerinde takım aşınması esas alınarak ekonomik takım kullanımı için bulanık mantık programlama yöntemi kullanılarak genel bir fuzzy model kurulmuştur. Kesilecek malzemenin sertliği ve kullanılan kesici takımın cinsine göre ekonomik takım aşınması için en uygun kesme hızı, ilerleme oranı ve talaş derinliklerini belirleyebilen bulanık mantık çözüm modeli oluşturulmuştur. Bulanık mantık kullanılarak oluşturulan modelde giriş parametreleri ve çıkış parametrelerinin üyelik fonksiyonları, ayak genişlikleri ve üyelik fonksiyonları arasındaki ilişkiler kullanılarak oluşturulan kural tabanında bu zamana kadar yapılan deneysel çalışmalardan ve uzman görüşlerden yararlanılmıştır. Üretim sürecinde aynı kalitede ürün üretebilmek için imalatın eş zamanlı denetlenmesi gerektiği, üretimde standardı bozan en önemli ve etkili faktörlerden birisi takım aşınması olduğu, etkili bir üretimde kalite, verimlilik ve ekonomikliliği beraber düşünülmesi gerektiği vurgulanmıştır. Deneysel çalışmalardaki ideal şartların her çalışmada korunması pek mümkün olmamaktadır. İş parçası ve kesici takım özellikleri ile birlikte kesme parametreleri olan keme hızı, ilerleme oranı, kesme derinliği, çalışma sıcaklığı gibi etkenler takım aşınma miktarını belirleyen ideal 7

8 şartlar oluşturmaktadır. Bulanık mantık kullanılarak oluşturulan çözüm modelinde her parametrenin diğerleri ile aralarındaki ilişkiler ve hedef fonksiyona olan etkileri görülebilmektedir. Bu çalışma sonucunda talaşlı üretimde ekonomik tornalama için en uygun takım aşınmasının oluşacağı işleme parametreleri çok kolaylıkla kısa sürede belirlenebilmiş, değişen kesici takım performanslarına, takım tezgahlarına ve akademik çalışmalar sonucu elde edilen olumlu kazanımlara göre kural tabanı, üyelik fonksiyonları ve ayak genişlikleri tekrar kısa sürede düzenlenerek yeni kesme şartları belirlenebilir. Bunun yanı sıra oluşturulan model, elektronik üretim sürecinde takım aşınmasının eş zamanlı denetlenebilmesi için kesme şartlarının kontrol altında tutulması amacıylada kullanılabileceği belirtilmiştir. Ahioğlu (2005), çalışmada havalı koşullarda S.cerevisiae mikroorganizmasının çoğaltıldığı bir biyoreaktörün çoğalma ortamı sıcaklığı Fuzzy kontrol yöntemi ile kontrol edilmiştir. Sistemde çıkış değişkeni olarak biyoreaktör sıcaklığı, ayarlanabilen değişken olarak ise biyoreaktöre dalgıç ısıtıcıdan verilen ısı ve soğutma suyu akış hızı seçilmiştir. Kontrol çalışmalarına geçmeden önce biyoreaktörün açık hat işletimi gerçekleştirilerek mikroorganizma çoğalması sırasındaki dinamik davranışı incelenmiştir. Öncelikle ayarlanabilen değişken olarak seçilen soğutma suyu akış hızı ve biyoreaktöre dalgıç ısıtıcıdan verilen ısıya, pozitif ve negatif basamak etkiler verilmesi sonucu çıkış değişkeni olan biyoreaktör sıcaklığının değişimi verileri elde edilmiştir. Sistemdeki sensör ölçümlerine etki eden gürültüyü azaltmak için birinci mertebeden filtre tasarımı yapılmıştır. Kontrol çalışmalarında öncelikli olarak fuzzy kontrol yöntemi teorik olarak uygulandıktan sonra biyoreaktör sıcaklığı fuzzy kontrol yöntemi ile başarılı bir şekilde kontrol edilmiştir. fuzzy kontrol parametrelerini bulmak için kullanılan optimizasyon yöntemi olan genetik algoritmanın parametreleri olan çaprazlama oranı (pc), mutasyon oranı (pm) ve yığın boyutu (N) teorik olarak belirlenmiştir. Kontrol sonuçları GA ile Fuzzy Kontrol ayar parametrelerinin seçiminin etkili olduğunu göstermektedir. 8

9 3. SABUNLAŞMA REAKSİYONU 3.. Sabunlaşma Reaksiyonu Kinetik Modeli Bu çalışmada etil asetatın sodyum hidroksit ile verdiği sabunlaşma reaksiyonu aşağıda ifade edilmektedir. CH 3 COOC 2 H 5 +NaOH CH 3 COONa +C 2 H 5 OH (3.) Reaksiyon sonucu sodyum hidroksitin kaybolma hızı; -r NaOH =k[ch 3 COOC 2 H 5 ][NaOH] k - [CH 3 COONa][C 2 H 5 OH] (3.2) Yukarıdaki hız ifadesinde;k,ileri yöndeki reaksiyon hız sabitini, k - ise geri yöndeki reaksiyon hız sabitini göstermektedir. Bu reaksiyon için denge sabitinin literatürde çok yüksek (k / k - ) olduğu ifade edilmektedir. Sodyum asetat çok kararlı olduğundan C 2 H 5 bağlanamaz. Bu yüzden reaksiyonun tersinmez ve reaksiyon hızının tepkimeye giren bileşenlerin derişimine birinci dereceden bağlı olduğu kabul edilmiş ve reaksiyon hız ifadesi aşağıdaki şekilde ele alınmıştır. -r NaOH =k[ch 3 COOC 2 H 5 ][NaOH] (3.3) -r A =k C A C B (3.4) A bileşeni, sodyum hidroksit (NaOH) ve B bileşeni, etil asetatı (CH 3 COOC 2 H 5 ) göstermektedir. Reaksiyon hız ifadesinde bileşen derişimleri sodyum hidroksitin dönüşüm oranı cinsinden düzenlenerek yeniden ifade edilecek olursa; ( aa + bb cc + dd ) X A =F A -F A /F A = (C A -C A )/C A (3.5) C A= F A ( -X A )/Q =C A ( -X A ) (3.6) C B =(F B2 -b/a F A X A)/Q =C B2 -b/a C A X A (3.7) 9

10 Burada F A =Q.C A [=mol/dak], Q =akış hızı [=L/dak], X A = dönüşüm oranıdır. Sabunlaşma reaksiyonu hız ifadesi; -r A =k C A (-X A ) (C B2 b/a C A X A ) (3.8) -r A =k (C A -C A.X A ) (C B2 b/a C A X A ) (3.9) -r A =k C A C B =k C A 2 (-X A ) (C B2 /C A -X A ) (3.0) 3.2. Reaktör Modeli Deneysel çalışmaların yapıldığı sürekli karıştırmalı tank reaktörünün modeli ikinci mertebeden reaksiyon hız ifadesinin madde dengesinde kullanımı ile ifade edilmiştir. Bu modelde yapılan varsayımlar; Reaktörde tam karışma vardır. Tam karışma varsayımı ile özellikler (C=Derişim, T=Sıcaklık) konumdan bağımsız tutulur. Tepkime sıcaklığı reaktör süresince 25 0 C de tutulmaktadır. Reaksiyon hız sabiti sabittir. Dinamik koşulda sürekli karıştırmalı reaktör için kütle korunum denklemi; F A -F A +r A V= d/dt (V C A ) (3.) Q CA -QC A -kc A C B V=dC A V/dt (3.2) FA -[FA -FA XA]-kC A C B V=dC A V/dt (3.3) FA X A -kc 2 A (-X A )(C B2 /C A -X A )V=-VC A dx A /dt (3.4) Q C A X A -kvc 2 A (-X A )(C B2 /C A -X A )=-V C A dx A /dt (3.5) Eşitlik (3.5) in her iki tarafı (C A V)ile bölünürse dx A /dt=-q /V X A +k C A (-X A ) (C B2 /C A -X A ) (3.6) 0

11 Q =Toplam besleme akış hızı C A =NaOH ın toplam beslemedeki molaritesi C B2 =Etil asetat ın toplam beslemedeki molaritesi Amacımız kontrol edilen değişken X A yı ayarlanabilen değişken FA 0 a bağlayan transfer fonksiyonu eşitliğini bulmaktır Kesikli Reaktörde Kütle Korunum Dengesi Bir sistemin kütle korunum denklemi, kütlenin sisteme giriş hızı, sistemden çıkış hızı, tepkime sırasında üretim/tüketim hızı ve sistemde birikim hızı terimlerinden oluşur. Bir sistem için kütle korunum denkliği şu şekilde kurulur; F i F 2i + G i = dn i /dt (3.7) G i = r i dv (3.8) Burada F i0 kütlenin sisteme giriş hızını, F i sistemden çıkış hızını, G i sistemde üretim/tüketim hızını ve dn i /dt de sistemde birikim hızını göstermektedir. Kesikli reaktörde sisteme giren ve çıkan akım olmadığı için F i0 = F i = 0 dır: dn i /dt = r i dv (3.9) İyi bir karışma varsa r i değeri reaktörün her yerinde aynıdır (dn i /dt = r i V). Buna göre A +B C + D sıvı faz tepkimesi için sabit hacimli kesikli reaktörde kütle korunum denkliği aşağıdaki gibi olur. (tam karışma var, T: sabit, izoterm işletim koşulu) r A = dc A / dt = k C A C B veya r A =-kc A C B (3.20) r B = dc B / dt = k C A C B veya r B =-kc A C B (3.2) r C = dc C / dt = k C A C B (3.22) r D = dc D / dt = k C A C B (3.23) Kesikli tepkime kabı kabaca Şekil 3.. de gösterilmiştir.

12 Şekil 3.. Kesikli Tepkime Kabı 3.4. Sürekli Reaktörde Kütle Korunum Dengesi Q (L/dk) C A0 Q 2 (L/dk) C B0 Q C A, C B, C c, C D Şekil 3.2.Sürekli tepkime kabı Toplam Kütle dengesi; Q *ρ +Q 2 * ρ 2 -Q* ρ=d(ρv)/dt (3.24) Sıvı fazların yoğunluğu derişimin fonksiyonu değil (ρ =ρ 2 = ρ) Q +Q 2 =Q=dV/dt (3.25) Hacim değişimi yok (dv/dt=0) Q +Q 2 =Q (3.26) Bileşen Kütle Dengesi; A Bileşeni için; F A -F A +r A V=d(C A V)/dt (3.27) Q *C A Q*C A +r A V=d(C A V)/dt (3.28) d(c A V)/dt=C A dv/dt+vdc A /dt (3.29) d(c A V)/dt=VdC A /dt+c A (Q +Q 2 Q) (3.30) 2

13 Hacim sabit ise; (Q +Q 2 =Q) Q C A -QC A -kc A C B V =V dc A /dt+ C A (Q +Q 2 Q) (3.3) Q C A -(Q +Q 2 )C A -k C A C B V=V dc A /dt (3.32) Q C A -Q C A -Q 2 C A -k C A C B V=V dca/dt (3.33) Q /V(C A -C A )-Q 2 /V C A -k C A C B =dc A/ dt (3.34) Hacim sabit değilse; (Q +Q 2 #Q) Q C A -QC A -k C A C B V=V dc A /dt +C A (Q +Q 2 Q) (3.35) Q C A -QC A -k C A C B V=V dc A /dt+q C A + Q 2 C A -QC A (3.36) Q (C A -C A )/V-Q 2 /VC A -k C A C B =dc A /dt (3.37) Burada Q,V,Q 2, C Ai, k belli olmalıdır. B Bileşeni için; F B2 -F B +r B V=d(C B V)/dt (3.38) Q 2 C B2 -QC B -kc A C B V=d(C B V)/dt (3.39) Hacim Sabit ise; (Q +Q 2 =Q) Q 2 C B2 -QC B -kc A C B V=VdC B /dt+c B dv/dt (3.40) Hacim sabit olduğundan Q 2 /V.C B2 Q/V.C B -kc A C B =dc B /dt (3.4) Q 2 /V.C B2 ((Q +Q 2 )/V).C B -kc A C B =dc B /dt (3.42) Q 2 /V (C B2 C B )-(Q /V).C B -kc A C B =dc B /dt (3.43) Hacim sabit değil ise; (Q +Q 2 #Q) Q 2 C B2 -QC B -kc A C B V=VdC B /dt+c B (Q +Q 2 -Q) (3.44) Q 2 /V.C B2 -Q/VC B -kc A C B =dc B /dt+c B /V(Q +Q 2 -Q) (3.45) Q 2 /V.C B2 -Q/VC B -kc A C B =dc B /dt+q /V.C B +Q 2 /V.C B -Q/V.C B (3.46) Q 2 /V.(C B2 -C B )- Q /V.C B -kc A C B =dc B /dt (3.47) 3

14 C Bileşeni için; 0-F C +r C V=d(C C V)/dt (3.48) -QC C +kc A C B =VdC C /dt+c C dv/dt (3.49) Hacim Sabit ise; (Q +Q 2 =Q) -(Q +Q 2 )C C +kc A C B V=VdC C /dt+c C (Q +Q 2 -Q) (3.50) -(Q +Q 2 )/V.C C +kc A C B V=dC C /dt (3.5) Hacim Sabit Değilken; (Q +Q 2 #Q) QC C +kc A C B V=VdC C /dt+c C dv/dt (3.52) QC C +QC C -Q C C -Q 2 C C +kc A C B V=VdC C /dt (3.53) 2QC C -Q C C -Q 2 C C -Q 2 C C +kc A C B V=VdC C /dt (3.54) C C /V(2Q-Q -Q 2 )+kc A C B =dc C /dt (3.55) D Bileşeni için; 0-F D +r D V=d(C D V)/dt (3.56) -QC D +kc A C B V=VdC D /dt+c D dv/dt Hacim Sabit ise; (Q +Q 2 =Q) -QC D +kc A C B V=VdC D /dt+c D (Q +Q 2 -Q) (3.57) -(Q +Q 2 )/V.C D +kc A C B =dc D /dt (3.58) Hacim Sabit Değil ise; (Q+Q2#Q) QC D +kc A C B V=VdC D /dt+c D dv/dt (3.59) QC D +kc A C B V=VdC D /dt+c D (Q +Q 2 -Q) (3.60) QC D +QC D -Q C D -Q 2 C D +kc A C B V=VdC D /dt (3.6) 2QC D -Q C D -Q 2 C D +kc A C B V=VdC D /dt (3.62) C D (2Q-Q -Q 2 )+kc A C B =dc D /dt (3.63) Amacımız kontrol edilen değişken x A yı ayarlanabilen değişken F Ao a bağlayan transfer fonksiyonu elde etmek. Bunun için 3.5 ve 3.6 eşitliklerini stokiyometrik ilişkiyi de göz önünde bulundurarak tekrar yazarsak aşağıdaki eşitliği elde ederiz. 4

15 aa + bb cc + dd stokiyometrik denklemine göre -r A /a=-r B /b=r c /c=r D /d yani -r A =-r B =r C =r D yazılabilir. A bileşeni derişimi dönüşüm cinsinden C A =C A (-X A ) olarak yazılırsa; dc A /dt=-c A dx A /dt (3.64) dc B /dt=- C A dx A /dt (3.65) dc C /dt=+ C A dx A /dt (3.66) dc D /dt=+ C A dx A /dt (3.67) 3.5.Transfer Fonksiyonunun Bulunması Girdi bileşenlerinin hacimsel giriş debileri eşit olduğundan (Q =Q 2 =Q) hacim sabit olacaktır(v=sbt). Tepkime hız ifadesi r=k*c A *C B olarak yazılabilir ( r[=] mol/l.sn) A,B,C,D Bileşenleri için Kütle Dengeleri (Hacim değişimi yok dv/dt=0) Q /V(C A -C A )-Q 2 /V C A -k C A C B =dc A/ dt (3.68) Q 2 /V (C B2 C B )-(Q /V).C B -kc A C B =dc B /dt (3.69) -(Q +Q 2 )/V.C C +kc A C B V=dC C /dt (3.70) -(Q +Q 2 )/V.C D +kc A C B =dc D /dt (3.7) A,B,C,D Bileşenleri için Kütle Dengeleri (Hacim değişimi var dv/dt#0) Q (C A -C A )/V-Q 2 /VC A -k C A C B =dc A /dt (3.72) Q 2 /V.(C B2 -C B )- Q /V.C B -kc A C B =dc B /dt (3.73) -C C /V(Q +Q 2 )+kc A C B =dc C /dt (3.74) -C D /V(Q +Q 2 )+kc A C B =dc D /dt (3.75) İlk iki eşitlik C ve D derişimine bağlı değil. Biz sadece A derişimi ile alakalı olduğumuz için ilk iki eşitliğin çözülmesi gerekli. Q /V(C A -C A )-Q 2 /V C A -k C A C B =dc A/ dt (3.76) Q 2 /V (C B2 C B )-(Q /V).C B -kc A C B =dc B /dt (3.77) 5

16 Yatışkın koşulda A için; Q s /V(C As -C As )-Q 2 /V C As -k C As C Bs =0 (3.77) Q s /V.C As -Q s /V.C As -Q 2 /V C As -k C As C Bs =0 (3.78) Q s /V.C As -Q s /V.C As -Q 2 /V C As -k C As (C B2s -C As -C As ) (3.79) Q s /V.C As -Q s /V.C As -Q 2 /V C As -k C As C B2s +k C As C As -kc 2 As =0 (3.80) -kc 2 As +(kc As -kc B2s -Q 2 /V-Q s /V)C As +Q s /VC As =0 (3.8) Burada s yatışkın koşulu göstermektedir. Bu quadratik eşitlik pozitif kök kullanılarak çözülürse; C As =[-(kc As -kc B2s -Q 2 /V-Q s /V)+ (kc As -kc B2s -Q 2 /V-Q s /V)+(4kQ s /VC As )]/2k (3.82) Yatışkın koşulda B için; -Q s /VC Bs +Q 2 /V C B2s C Bs =0 (3.83) -Q s /VC Bs +Q 2 /V C B2s Q 2 /VC Bs -kc As C Bs =0 (3.84) (-Q s /V-kCAs-Q 2 /V)C Bs +Q 2 /VC B2s =0 (3.85) C Bs =(Q 2 /VC B2s )/(Q s /V+kC As +Q 2 /V (3.86) Doğrusallaştırma dc dt A Q V Q ( CA CA ) CA kcacb 2 = V (3.87) dc dt B ( CB CB ) kcacb Q Q = 2 CB + 2 V V (3.88) dx dt Q V.. 2 = x = u( CA x) x kxx2 (3.89) dx dt Q V. 2 2 = x = u( CA x) x kxx2 (3.90) 6

17 7 y=x (3.9) Sapma Değişkenleri; U u u V Q V Q X x x C C X x x C C s B B A A s s s s s = = = = = = (3.92) ) )( ( ) )(. ( ) (. ), ( ) ( s x A s s s u u C x x x k x x x k V Q u u x f x f s s s s s = (3.93) ) )( ( ) (. ) ( ) ( ) )(. ( ), ( ) ( s s s s u u x x x x k V Q u x x x k u x f x f s s s s s = (3.94) [ ] [ ]U X C X kx X kx V Q u dt dx X s s s A s ) ( + + = = (3.95) [ ] X kx dt dx X s = = ) ( ) ( X kx V Q u s s ( ) [ ]U x s 2 (3.96) x Y= Burada s y y Y = dir. DU CX Y BU AX X + = + =. (3.97) { U B A X A s s U x x C X X kx V Q u kx kx kx V Q u X s s s s s s * * ) ( ) ( & + + = (3.98)

18 Bu eşitlikte yer alan matris ve vektörler aşağıda verilmiştir A = B = C = [ 0] D = [ 0] [num,den]=ss2tf(a,b,c,d) s G p = (polinom TF) 2 s s [z,p,k]=tf2zp(num,den) ( s ) G p = (sıfır-kutup-kazanç TF) ( s )( s ) 3.6.Yatışkın Koşuldaki Derişim Değerlerinin MATLAB Programı ile Bulunması function f=reaktor(x) k=7; cao=0.0; cbo=0.0; u=3.3*0^-4; ca=x() cb=x(2) cc=x(3) cd=x(4) f()=u*(cao-ca)-u*ca-k*ca*cb f(2)=u*(cbo-cb)-u*cb-k*ca*cb f(3)=(-2*u)*cc+k*ca*cb f(4)=(-2*u)*cd+k*ca*cb %command windowda x=fsolve( reaktor',[0.0;0.0;0;0]) %ca= cb= cc=0044 cd=0044 8

19 3.7. Sürekli Tepkime Kabı için Derişim Değerlerinin Zamanla Değişiminin MATLAB Programıyla Bulunması %Sabunlaşma reaksiyonun gerçekleştiği tam karıştırmalı sürekli akiş %reaktorunun dinamik benzetimi(v=sbt ve derişimler cinsinden cozum) function dx=sabunlasma(t,c) F=5e-4;%F=Q*CAo=(0.05L/min)*(0.0mol/L);Q sabit iken F2=5e-4; V=.5;%L,calisma hacmi k=7;%l/mol.min CAo=0.0;%mol/L CBo=0.0; dx()=(f/v)*(cao-ca)-(f2/v)*ca-k*ca*cb dx(2)=(f2/v)*(cbo-cb)-(f/v)*cb-k*ca*cb dx(3)=(-(f+f2)/v)*cc+k*ca*cb dx(4)=(-(f+f2)/v)*cd+k*ca*cb dx=dx' %command window'da [t,c]=ode23('sabunlasma',[0,50],[0.0,0.0,0,0])yazılarak cozulur %grafik halinde yine command window'da %plot(t,c(:,),'black',t,c(:,2),'o',t,c(:,3),'red',t,c(:,4),'+') 3.8. Kesikli Tepkime Kabı için Derişim Değerlerinin Zamanla Değişiminin MATLAB Programıyla Bulunması function dc=arastirma(t,c) V=.5;%L,calişma hacmi k=7;%l/mol.min cai=0.0; cbi=0.0; %mol/l dc()=-k*c()*c(2) dc(2)=-k*c()*c(2) dc(3)=k*c()*c(2) dc(4)=k*c()*c(2) dc=dc' %[t,c]=ode23('arastirma',[0,50],[0.0,0.0,0,0]) 9

20 3.9. Kesikli Reaktörün Dönüşüm Cinsinden Matematiksel Modeli Sistem üzerinde etkili olan parametrelerin ve en iyi işletim koşullarının belirlenmesine ilişkin çalışmalar kesikli işletime sahip reaktörde gerçekleştirilmiştir. Varsayımlar; * Tam karışmalı akış hidrodinamiği * T=sabit; izoterm işletim koşulu Sabit hacimli kesikli tepkime kabı tasarım denklemi r A = dc dt A (3.99) 2. Mertebeden tersinmez tepkime hız modeli r = kc A A C B (3.00) İntegral yönteme göre analiz; C A0 dx dt A = k(c A0 C A0 X A )(C B0 C A0 X A ) (3.0) C M = C C A0 B0 A0 dx dt A = kc olmak üzere; 2 A0 ( X A )(M X A ) (3.02) XA dx A = 0 ( X )( M X ) A A C A 0 k t 0 dt (3.03) M X A ln = C A 0 ( M M ( X ) A ) kt (3.04) 20

21 3.0. Sistem Tanımlama Sistem tanımlama (System Identification) kontrol algoritmasında yer alan oldukça önemli ve zaman alan bir işlevdir. Şekil 3.2 deki gibi verilen bir dinamik sistem deneysel verilerden yararlanılarak modellenir. Sistemin fiziksel özelliklerini en iyi yansıtan matematiksel model bulunmaya çalışılır. Gürültü, e (t) Giriş değişkeni Sistem Çıkış değişkeni u (t) y (t) Şekil 3.2 t anında giriş değişkeni u( t), çıkış değişkeni y( t) ve gürültü e( t) içeren bir dinamik sistem Sistemlerin modellenmesi değişik yöntemlerle gerçekleştirilebilir. Giriş değişkenine birim basamak etki verildiğinde elde edilecek çıkış değişkeni değerlerinin grafiksel olarak değerlendirilmesi buna bir örnektir. Diğer bir yol matematiksel modeller kullanmaktır. Bunun için diferansiyel ve fark eşitliklerinden yararlanılır. Bu tür modeller sistemin dinamik davranışını yeterince tanımlamaktadır. Matematiksel modeller birçok alanda ve uygulamada oldukça yararlıdır. Matematiksel model oluşturmanın basitçe iki yolu vardır.. Modelleme (Modeling): Bu bir analitik yaklaşımdır. Basit fizik kanunları, kütle - enerji dengeleri bir prosesi tanımlamak için kullanılır. 2. Sistem tanımlama (System identification): Bu bir deneysel yaklaşımdır. Sistemde bazı deneyler gerçekleştirilir. Kaydedilen veriler kullanılarak modelin deneysel verilerle uygunluğu araştırılır. Birçok durumda prosesler oldukça karmaşıktır. Klasik fizik kanunları, madde-enerji dengeleri vb. ifadeler, kullanılabilir bir modelin elde edilmesi için yeterli olmayabilir. Bu gibi durumlarda sistem tanımlama yöntemleri uygulanır. Yüksek dereceli sistemlerin modelleri, fizik yasaları kullanılarak bulunan modellere göre daha kolay elde edilebilir. 2

22 3.0.. Sistem tanımlamanın uygulanması: Tanımlama ile ilgili uygulamalar sisteme bir etki verilmesi (girdi sinyali olarak basamak, kare, sinüsoidal veya rastgele sinyal (PRBS) kullanılarak) ve belli zaman aralıklarında çıkış değişkeni verilerinin elde edilmesiyle gerçekleştirilir. Kaydedilen giriş-çıkış değişkeni verileri kullanılarak prosesin parametrik modeli önerilir. Modeldeki bilinmeyen parametreler bulunur. Pratikte bu parametreler iterasyon yapılarak tahmin edilir. Daha sonra elde edilen model test edilir. Bu yöntem Şekil 3.3 de verilmiştir (Ljung, 987). Ön bilgi Deney tasarımı Giriş ve çıkış değişkeni verilerinin eldesi Model seçimi Parametre hesap yönteminin seçimi Model parametrelerinin hesaplanması Model geçerliliğinin test edilmesi UYGUN DEĞİL UYGUN (Model Kullanılabilir) Şekil 3.3 Sistem tanımlama akış diyagramı 22

23 Sistem tanımlama için kullanılan parametrik yöntemler Sisteme uygulanan girdi sinyalleri sonucunda oluşan çıkış değişkeni verileri kullanılarak, seçilen deney şartlarındaki sistemin dinamik davranışına ilişkin modelin parametrelerinin bulunması sağlanır. Yinelemeli En Küçük Kareler Yöntemi (Recursive Least Square Estimation, RLS) bu yöntemlerden birisidir. 3.. Sistem Modelleri Matematiksel modellerin, modelleme ve tanımlama olmak üzere iki yoldan elde edilebildiği önceki bölümde belirtilmişti. Modellemede kütle ve enerji dengeleri kullanılmakta, tanımlamada ise deneysel olarak elde edilen verilere uygun modelin bulunmasına çalışılmaktadır. Daha sonra elde edilen model sınama testlerinden geçirilmektedir Sinyal modelleri Kendinden ayarlamalı sistemlerde karşılaşılabilen değişik sinyalleri toplayabiliriz.. Tanımlı (deterministic) sinyaller 2. Rastgele (random) sinyaller s( t) iki grupta Tanımlı (deterministic) sinyaller a) Ofset: Sinyallerin en basitidir. Offset li bir sistem aşağıdaki gibi yazılabilir. s( t)= d (3.05) Kontrol sistemlerinde offset geri beslemeli kontrol içindeki integral işlemi ile yok edilebilir. b) Zamanla değişen offset: Sabit offsetin genelleştirilmiş şeklidir. Burada offset zamana bağlı olarak bir polinom şeklinde verilir. nr s( t)= R ( t) = r0 + rt rnr t (3.06) 23

24 c) Ölçülebilen sinyal: Ölçülebilen bir kaynaktan gelen sinyal v( t), kesikli zaman aktarım fonksiyonu şeklinde aşağıdaki gibi gösterilebilir. s ( D t ) = A v( t) (3.07) Burada; olarak tanımlanmıştır. D = d + d q d q 0 nd A = + a q a q na nd na Sistem ve sinyal modellerinin birleştirilmesi Genel olarak bir rastgele sinyal kaynağı aşağıdaki gibi gösterilir. s ( C t ) = A e( t) (3.08) Eşitlik 3.08 de verilen sistem modeli birçok kontrol işlemi için oldukça uygundur. Sistem ve sinyal modellerinin birleştirilmesi ile proses çıktısı elde edilir (Şekil 3.5). x ( B t ) = A u( t) (3.09) Burada; A( q ) = + a q a q na na B( q ) = b + b q b q nb nb olarak verilmiştir. Proses çıktısı y( t) = x( t) + s( t) olarak ifade edilirse; y ( B t ) A u( t ) R( t) D A A v t C = + + ( ) + A e ( t ) (3.0) Çok ender olmakla birlikte bu terimlerin tümü modelde yer alabilir. Bu terimlerin oluşmasındaki temel nedenler aşağıdadır. i) R( t) = r 0 : Sabit offset durumu prosesin kendi yapısından veya ölçüm cihazlarından kaynaklanabilmektedir. Kontrol sistemlerinde yaygın olarak gözlenmektedir. 24

25 ii) v( t) : Sistem çıktısını etkileyen, ölçülebilen ancak kontrol edilemeyen bir sinyaldir. İleri beslemeli kontrol ile üstesinden gelinebilir. iii) e( t) : Sistemin ölçülen çıktısını bozan bütün rastgele düzensizliklerdir. Son durum için model yapısı Eşitlik 3. ile verilmektedir. y ( B t ) = A u( t ) + C A e( t) (3.) Bu model ARMA tipi sinyale bir kontrol girdisi ilave edilerek elde edilmiştir. Kontrol Girdisi u( t) B A Ölçülebilen Gürültüler v( t) D A + + y( t) Offset R( t) + + Rasgele Gürültüler e( t) C A Şekil 3.5 Bir sistemde bulunabilecek girdi ve gürültüler Eşitlik (3.) ARMAX (CARMA) model olarak isimlendirilir. Belli durumlarda daha iyi gürültü tanımlaması yapmak için integre edilmiş gürültü kullanılırsa Eşitlik (3.2) ile verilen ARIMAX (CARIMA) model elde edilir. 25

26 y ( B t ) = A u( t ) + C A e( t) (3.2) Bu tip modeller rasgele gürültülerin olduğu bir sistemde yaygın olarak kullanılmaktadır. ARMAX (CARMA) model (Auto Regressive Moving Avarage with exegenous): A( q ) y( t) = B( q ) u( t) + C( q ) e( t) (3.3) Eşitlik (3.3) ile gösterilen model fark eşitliği şeklinde yazılırsa Eşitlik (3.4) bulunur. y( t) + a y( t ) a y( t na) = b u( t ) +... b u( t nb) + na nb e( t) + ce( t ) +... cnce( t nc) (3.4) Eşitlik (3.3) düzenlenerek aşağıdaki model elde edilir. B( q ) y( t) = u( t) + A( q ) C( q ) e( t) (3.5) A( q ) B( q ) C( q ) G( q ; θ ) = ve H( q ; θ ) = (3.6) A( q ) A( q ) Bu eşitlik matris şeklinde yazılacak olursa sırasıyla Eşitlik (3.7) ve (3.8) elde edilir. ϕ T θ T [ = y( t )... y( t na) u( t ) u( t nb) e( t ) e( t nc) ] (3.7) = [ a a na b 0. b nb c. ] c nc (3.8) Böylece çıkış değişkenini veri ve parametre vektörüne bağlayan Eşitlik 3.9 elde edilir. y( t) = ϕ T ( t) θ + e( t) (3.9) Burada ϕ T ( t) ile θ arasında doğrusal bir ilişki olduğundan parametreler bakımından doğrusal denir ve parametre hesaplama algoritmalarının başlangıç noktasıdır. ARMAX 26

27 model, integrasyon ile yavaş düzensizliğe sahip sistemleri tanımlamak için yararlı bir model tipi olan ARIMAX tipi modele dönüşür. Bu durumda kullanılacaktır. y( t) yerine Eşitlik 3.20 y( t) = y( t) y( t ) (3.20) Parametrik proses modellerinin avantajı proses model parametrelerinin sonlu sayıda olması, kapalı döngüde parametre hesabının mümkün olması ve kontrol algoritmasının kolay olmasıdır Model parametrelerinin hesaplanması En Küçük Kareler Yöntemi (EKK) Eşitlik 3.9 ile verilen parametreler bakımından doğrusal model ele alınsın ve ayrıca y( ), y( 2 ),... y( N ) ve ϕ ( ), ϕ ( 2),..., ϕ( N ) kadar N adet ölçüm değeri olduğu kabul edilsin. Bu durumda aşağıdaki eşitlikler yazılabilir. T y( ) = ϕ ( ) θ + e( ) T y( 2) = ϕ ( 2) θ + e( 2). (3.2).. T y( N) = ϕ ( N) θ + e( N) Yukarıdaki eşitlikleri vektörlerle ifade edilirse aşağıdaki görünüm elde edilir. y( ) y( 2) Y =.. y( N ) ϕ ϕ, φ = ϕ ( ) ( 2).. ( N ) T T T e( ) e( 2), Ε =.. e( N ) (3.22) Y = φθ + Ε (3.23) 27

28 θ tahmin edilen parametreler olsun. Modelden elde edilen çıkış değişkeni aşağıdaki gibi yazılabilir. T y( t) = ϕ ( t) θ (3.24) Tahmin hatası ( ε (t)) sistemde ölçülen çıkış değeri ile modelden elde edilen çıkış değerinin farkı olduğundan aşağıdaki gibi yazılabilir. ε ( t) y( t) y( t) y( t) ϕ T = = ( t) θ (3.25) N adet ölçüm için benzer yazılım yapılırsa Eşitlik 3.26 elde edilir. T ε ( ) = y( ) ϕ ( ) θ T ε ( 2) = y( 2) ϕ ( 2) θ.. T ε ( N ) = y( N ) ϕ ( N ) θ (3.26) Matris formunda yazılırsa; ε ( ) ε ( 2) ε =.. ε ( N ) (3.27) ε = Y φ θ (3.28) Burada θ nın en küçük kareler yöntemiyle bulunması için aşağıdaki maliyet fonksiyonunun minimum yapılması gerekir. Bu durumda hesaplanan θ 989). değeridir (Söderström ve Stoica 28

29 V N 2 T = ε ( t) = ε ε= ε (3.29) t= 2 Burada. öklid vektörüdür. Eşitlik 3.27, Eşitlik 3.28 de yerine yazılırsa aşağıdaki eşitlik elde edilir. T T T T T T V = Y φ θ Y φ θ = Y Y θ φ Y Y φ θ + θ φ φ θ (3.30) T Bu eşitliği minimum yapan θ 3.3 bulunur. değerini bulmak için türev alınır ve sıfıra eşitlenirse Eşitlik V θ T T = 2φ Y + 2φ φθ = 0 = 2 Y φθ φ = 0 (3.3) Bu eşitlikten en küçük kareler ile hesaplanmış model parametre vektörü bulunur. T ( ) θ= φ φ φ T Y Eşitlik 3.32 aşağıdaki gibi yazabiliriz. (3.32) θ = N N ϕ ϕ ϕ ( t) T ( t) ( t) y( t) t= t= (3.33) En küçük kareler yöntemi çok kullanılan bir yöntemdir. (Ljung 987). Yinelemeli parametre hesaplama yöntemleri aşağıdaki özelliklere sahiptir. a) Adaptif kontrol sistemlerinin en önemli parçasıdır. b) Çok fazla veri stoklanmadığından düşük bir hafıza hesaplama için yeterlidir. c) Zamanla değişen model parametrelerin bulunması için oluşturulan gerçek zaman (real time) algoritmalara kolaylıkla modifiye edilebilir. Birçok adaptif kontrol sistemleri (Şekil 3.6) yinelemeli parametre hesabına dayalıdır. Prosesin hesaplanan parametreleri içeren modeli tüm zamanlarda kullanılmaktadır (Söderström ve Stoica 989). 29

30 Yinelemeli En Küçük Kareler Yöntemi (YEKK) Kendinden ayarlamalı (Self-tuning) kontrol yöntemlerinde, hesaplanan sistem model parametreleri her örnekleme zamanında gelen yeni veriler ile güncelleştirilmektedir. Şekil 3.7 de verilen akış diyagramında gösterildiği gibi gelen yeni giriş ve çıkış değişkeni değerleri kullanılarak geçmiş verilere dayanan model parametreleri θ ( t ), yeni çıkış değişkeni değerinin ( y ( t ) ) hesaplanmasında kullanılmaktadır. Bu değer ölçülen y( t) ile karşılaştırılır ve aradaki fark ε ( t ) belirlenir. θ ( t ) hesaplanan yeni θ ( t ) ile güncelleştirilir. Bu yöntem yinelemeli parametre hesaplaması olarak isimlendirilir (Wellstead ve Zarrop 99). Herhangi bir t anındaki parametre hesabı Eşitlik 3.32 den aşağıdaki gibi yazılabilir. ( T ) T θ ( t) = φ ( t) φ ( t) φ ( t) Y( t) (3.34) Proses Düzensiz etkiler (Disturbance) Kontrol Edici Hesaplanan parametreler Yinelemeli parametre hesabı Şekil 3.6. Genel bir adaptif kontrol şeması 30

31 Sistem ϕ( t ) θ y (t) + Model _ θ ( t ) ε ( t ) T y( t) = ϕ ( t) θ ( t ) Güncelleme (update) Şekil 3.7 Yinelemeli parametre hesaplama yönteminin şematik gösterimi Burada; y( ) y( 2) Y( t) =.. y( t) ϕ ϕ, φ( t) = ϕ T T T ( ) ( 2).. ( t) (3.35) olarak verilmiştir. Bir sonraki zamanda ( t + ) parametre hesabı Eşitlik 3.36 da verildiği gibidir. ( T ) T θ( t + ) = φ ( t + ) φ( t + ) φ ( t + ) Y( t + ) (3.36) Burada; φ( t) φ( t + ) = T ϕ ( t + ) Y( t), Y( t + ) = y( t + ) (3.37) 3

32 olarak verilmiştir. Yukarıdaki eşitlikler kullanılıp, düzenlenirse aşağıdaki eşitlik elde edilir. φ T ( t + ) φ( t + ) = [ φ T (t) ϕ ( t +) ] φ ( t) T ϕ ( t + ) = φ T T ( t) φ( t) + ϕ( t + ) ϕ ( t + ) (3.38) T T Verilen ϕ ( t + ) ile yeni matris ϕ ( t +) ϕ ( t +) i eski matrisler ϕ( t) ϕ ( t) den kolaylıkla güncellenir. Ancak her adımda matris tersini almak ve φ T ( t + ) Y( t + ) terimini güncelleştirmek gerekmektedir. Eşitlik 3.38 den Eşitlik 3.39 elde edilir. φ T ( t + ) Y( t + ) = [ φ T (t) ϕ ( t +) ] Y( t) y( t + ) = φ T ( t) Y( t) + ϕ( t + ) y( t + ) (3.39) Kovaryans matris tanımlanırsa; T [ φ φ ] P( t) = ( t) ( t) (3.40) T P( t + ) = P( t) + ϕ ( t + ) ϕ ( t + ) (3.4) P( t) tanımını kullanarak ve θ ( t + ) ile θ ( t ) yi yazacak olursak Eşitlik 3.42 ve 3.43 elde edilir. θ ( t + ) = P( t + ) φ T ( t + ) Y( t + ) (3.42) θ( t) = P( t) φ T ( t) Y( t) (3.43) Eşitlik 3.39, Eşitlik 3.42 de yerine yazılırsa aşağıda verilen eşitlikler oluşturulabilir. [ T ] θ( t + ) = P( t + ) φ ( t) Y( t) + ϕ( t + ) y( t + ) (3.44) θ ( t + ) = P( t + ) φ T ( t) Y( t) + P( t + ) ϕ ( t + ) y( t + ) (3.45) 32

33 Eşitlik 3.43 den hareket edilerek Eşitlik 3.46 bulunmaktadır. θ ( t) Y( t) = P ( t) θ ( t) (3.46) Diğer taraftan Eşitlik 3.4 dan, Eşitlik 3.47 elde edilebilir. T T φ ( t) Y( t) = P ( t + ) θ ( t) ϕ ( t + ) ϕ ( t + ) θ ( t) (3.47) Eşitlik 3.47, 3.45 de yerine yazılırsa Eşitlik 3.48 elde edilir. θ ( t + ) = P( t + ) + θ ϕ + ϕ + θ ϕ P ( t ) ( t) ( t ) T ( t ) ( t) + P( t + ) ( t + ) y( t + ) = θ ( t) P( t + ) ϕ( t + ) ϕ T ( t + ) θ ( t) + P( t + ) ϕ( t + ) y( t + ) = θ ( t) + P( t + ) ϕ( t + ) y( t + ) ϕ ( t + ) θ ( t) T (3.48) Yukarıdaki ifadede ( t + ) anındaki tahmin hatası (prediction error) ε ( t + ) = y( t + ) ϕ T ( t + ) θ ( t) (3.49) Şeklinde tanımlanırsa, ( t + ) anındaki hesaplanan parametre vektörü aşağıdaki gibi bulunur. θ ( t + ) = θ ( t) + P( t + ) ϕ( t + ) ε ( t + ) (3.50) P( t + ) matrisini hesaplarken gerek duyulan matris tersi alma kuralı uygulanır. ( + ) = ( + ) A BCD A A B C DA B DA (3.5) Eşitlik 3.4 de P ( t) = A, ϕ ( t + ) = B, C= ve ϕ T ( t + ) = D olarak alınırsa; 33

34 T [ ] T P( t + ) = P( t) P( t) ϕ( t + ) + ϕ ( t + ) P( t) ϕ( t + ) ϕ ( t + ) (3.52) yazılabilir. Bu eşitlikte [ + ϕ T t + P t ϕ t + ] alınabilir. ( ) ( ) ( ) skalar bir değer olduğu için paydaya P( t + ) = P( t) T P( t) ϕ ( t + ) ϕ ( t + ) P( t) T + ϕ ( t + ) P( t) ϕ( t + ) (3.53) Elde edilen bu ifade ile kovaryans matrisin yeni değeri bulunur. Burada matris tersi alınmadığından işlemler kolaylaşır. Eşitlikler (3.49), (3.50) ve (3.53) aşağıda gösterilen yinelemeli en küçük kareler (YEKK) algoritmasını oluşturmaktadır. Algoritma : t + anında; i) Yeni veriler kullanılarak ϕ ( t + ) vektörü oluşturulur. ii) Eşitlik 3.49 dan ε ( t + ) hesaplanır. iii) Eşitlik 3.53 den P( t + ) hesaplanır. iv) Eşitlik 3.50 kullanılarak parametre vektörü güncelleştirilir. v) Bir sonraki zamana kadar beklenir ve ilk adıma dönülür Filtreleme İletilen sinyal, başlıca prosese, kullanılan sensöre ve sinyallerin iletimine bağlı olabilen birçok etkinin sonucudur. Kontrol hesaplamaları, sadece ayarlanabilen değişken tarafından etkilenen sinyallere karşılık olmalıdır çünkü çok yüksek frekanslı bileşenler ayarlanabilen değişken üzerinde yüksek frekanstaki sapmalara neden olacaktır. Elektriksel parazit ve mekaniksel titreşim gibi bazı gürültü bileşenleri proses yanıtından daha büyük frekanslara sahiptirler. Prosesteki değişikliklere bağlı olan iyi olmayan bir karıştırma; sıcaklık, akış hızı ve bileşimlerdeki değişimler gibi proses giriş değişkenlerindeki sapmalar kontrol döngüsünün kritik frekansına çok yakın olabilir. 34

35 Sinyaldeki çok yüksek frekanslı bileşenler, proses kontrol sistemi tarafından yok edilemezler ve bu bileşenler gürültü olarak hesaba katılırlar. Amaç istenmeyen bu bileşenlerin sinyalden uzaklaştırılmasıdır. Bu amaçla filtre geri besleme döngüsüne yerleştirilir ve dinamik filtre ile birlikte kullanılır. Bu olay kapalı döngü sistemin kararlılığını ve kontrol sisteminin performansını etkiler (Ahioğlu 2005). Genellikle çalışılan kimyasal proses endüstrilerinde filtre hesaplamaları birinci dereceden bir transfer fonksiyonu vasıtasıyla ifade edilir. CVf ( s) = CVm( s) τ fs + (3.54) Burada CVf(s) filtrelenmiş değeri, CVm(s) ölçülen değeri, τf ise filtre zaman sabitini ifade etmektedir. Filtreleme işleminde en önemli nokta, filtrenin dijital uygulamaya uyarlanmasıdır. Dijital bir filtre, ilk olarak zaman temelinde diferansiyel bir eşitlik olarak sürekli bir filtre şeklinde ifade edilmektedir. dcvf ( t) τ f + CVf ( t) = CVm( t) (3.55) dt Sürekli bir filtreyi ifade eden eşitlik çözülürse, birinci dereceden filtrenin dijital formu aşağıdaki eşitlikteki gibi olacaktır. t A τ e f = (3.56) ( CVf ) n = ( A( CVf ) n ) + ( A)( CVm) n (3.57) Filtre çalışmalarında dikkat edilecek nokta elde edilen filtre zaman sabitinin sistemin zaman sabitinin %5 inden küçük olmasıdır (Marlin 2000). 35

36 3.3. İletkenlik Dirençliliğin tersi iletkenlik olarak tanımlanmaktadır. Element ya da alaşım halindeki metaller, elektrolit çözeltileri, iyonlaşmış gazlar, yarı iletkenler ve seramik türünden bazı maddeler elektriği iletmektedirler. a. Elektronik (metalik) iletkenlik Bir elektrik akımı elektrik yükünün hareketidir. Metallerde bu yük elektronlar tarafından taşındığından, bu tür elektrik iletme olgusuna metalik iletkenlik adı verilir. Metal içindeki elektrik iletkenliğine karşı direnç, metal iyonlarının titreşimi ile elektron hareketinin engellenmesinden kaynaklanmaktadır. Metalik iletkenlik yükselen sıcaklıkla düşer. Sıcaklık yükseldikçe daha etkin hale gelen kristal örgü noktalarındaki atomların termal titreşimleri elektronların metal içindeki hareketini engellemektedir. b. Elektrolitik iletkenlik Elektrik akımının yüklü iyonlar tarafından taşınmasıdır. Çözeltideki iyonlar hareket etmedikçe elektrolitik iletkenlik gözlenmez. Çözeltilerin elektriksel iletkenliği, içerdikleri iyonların nitelik ve niceliklerine bağlı olarak değişir. Saf su çok az iyonlaştığından çok zayıf iletkendir. İyonlaşarak çözünen maddelere elektriği ilettiklerinden dolayı elektrolit adı verilir. Elektrolitlerde elektriksel iletkenliği sağlayan yüklü taneciklere iyon ; (+) yüklü olanlara katyon, (-) yüklü olanlara anyon denir. Kovalent bağlı polar maddeler moleküler olarak (iyonlaşmadan) çözündüklerinden, bu maddelerin çözeltileri elektriği iletmezler. Kuvvetli elektrolitler çözeltide tümüyle iyonlaştıkları halde, polar kovalent bağları olan zayıf elektrolitler çözeltide kısmen iyonlaşırlar moleküllerin bir kısmı iyonlaşmamış halde bulunurlar. Elektrolitik iletkenlik iyonların hareketinden kaynaklandığından dolayı bu hareketleri engelleyici bir etki, akıma karşı direncin doğmasına yol açar. 36

37 Elektrolit çözeltilerin elektriksel iletkenliği; çözünen-çözünen etkileşmesi, çözünen-çözücü etkileşmesi ve çözücü-çözücü etkileşmesi dışında, iyonlar arası etkileşmeler, iyonların solvatasyonu ve çözücünün viskozitesine bağlı olarak değişir. Sıcaklık yükseldikçe çözünen iyonların ortalama kinetik enerjilerinin artmasıyla, direnç düşerken iletkenlik yükselecektir. Solvatasyonun azalması ve viskozitenin düşmesi iyonların daha hızlı hareket etmesine yol açmaktadır İletkenliğin birimi Direncin tersi olarak tanımlanan iletkenliğin birimi de direnç biriminin tersi yani ohm - dir. Bu iletkenlik birimi siemens olarak adlandırılır ve S Ω - şeklinde simgelenir. Ohm yasası olarak bilinen eşitlik: direnç = potansiyel fark / akım ( R=V/I ) (3.58) Bir örneğin direnci, l uzunluğu ile doğru orantılı, Y kesiti ile ters orantılı olarak değiştiğinden ρ bir orantı katsayısı olmak üzere R= ρ (/Y) (3.59) eşitliği yazılabilir. Buradaki ρ orantı katsayısına dirençlilik ya da özdirenç adı verilmektedir. Dirençliliğin tersi iletkenlik olarak tanımlanmaktadır. Öz iletkenlik adı da verilen iletkenlik için son bağıntıdan К= /RY (3.60) eşitliği yazılabilir. Buna göre iletkenlik Sm - ya da Scm - birimleri ile verilir İletkenlik ölçümü İletkenlik ölçümü ister elektronik ister elektrolitik olsun, direnç ölçümüne, direnç ölçümü de ohm yasası na dayanmaktadır. Belli bir A kesitine sahip elektrolit çözeltisinin R direnci ölçülerek (3.4) bağıntısı yardımıyla öz iletkenliğe geçilir. İki ucu platinle kaplanmış elektrotlar çözeltiye daldırılarak ölçülür. Elektrot tepkimelerinin etkisini en aza indirmek için 37