MasColell Ders Notları

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "MasColell Ders Notları"

Transkript

1 MasColell Ders Notları Murat Donduran February 20, 2009

2 Contents 1 İşbirliksiz Oyunların Temel Elemanları Oyun Nedir? Genişleyen Biçimde Oyunlar Stratejiler ve Bir Oyunun Normal Biçimde Sunumu Rastlantısallaşmış Seçimler

3 Chapter 1 İşbirliksiz Oyunların Temel Elemanları 1.1 Oyun Nedir? Bir oyun, stratejik bir birbirine bağımlılık ilişkisi içinde çeşitli sayıda bireylerin durumlarının formal sunumudur. Kısacası, herbir bireyin rafaha sadece kendi eylemine değil aynı zamanda diğer bireylerin eylemlerine de bağlıdır. Bundan başka, kendisi için en iyi olan eylem diğer bireylerin ne yapacaklarının beklentisinde de bağlıdır. Stratejik etkileşim durumunu tanımlamak için, dört şey gereklidir; 1. Oyuncular: Kimler oyunu oynamaktadır? 2. Kurallar: Kim ne zaman oynamaktadır? Hareket ederlerken ne bilmektedirler? Ne yapabilirler? 3. Çıktılar: Oyuncular tarafından gerçekleştirilen eylemlerin olanaklı her kümesi için, oyunun çıktısı nedir? 4. Ödemeler: Olanaklı çıktılar üzerinde oyuncuların tercihleri (örneğin fayda fonksiyonları) nedir? Aşağıdaki örnek bir oyunun ilk üç öğesini göstermektedir. Örnek 1.1 (Eşleşen Paralar).. 1. Oyuncular: İki oyuncu vardır. 1 ve 2 ile gösterilmektedir. 2. Kurallar: Her iki oyuncu aynı anda havaya iki tane bozuk para atmaktadır. Ya yazı gelecek ya da tura gelecektir. 3. Çıktılar: İki para eşleşirse, 1. oyuncu 2. oyuncuya 1 lira eşleşmezse 2. oyuncu 1. oyuncuya 1 lira ödemektedir. 2

4 Bu örnekteki oyunu tamamlamak için, olanaklı çıktılar üzerinde oyuncuların tercihlerinin ne olduğunu belirtmek gerekmektedir. Kısacası, tanımdaki dördüncü öğe tamamlanmalıdır. Genel olarak, oyuncunun tercihi fayda fonksiyonları tarafından belirlenmektedir ve her olanaklı çıktı için fayda seviyesi atanmaktadır. Oyuncunun fayda fonksiyonuna ödeme fonksiyonu denmekte ve fayda seviyesi de ödeme olarak adlandırılmaktadır. Analiz boyunca fayda fonksiyonları beklenen fayda biçiminde olacaktır. Her oyuncunun ödemesini basit şekilde elde ettiği yada kaybettiği para miktarına eşitleyerek dördüncü öğe oluşturulabilir. Bu noktada oyuncuların ödemelerini maksimize eden eylemler rakibinin ne yaptığı beklentisine bağlıdır. Örnek 1.2 (New York ta Buluşma).. 1. Oyuncular: İki oyuncu, Ali ile Veli vardır. 2. Kurallar: Her iki oyuncu da ayrıdır ve iletişim içinde değildir. Öğle yemeği için New York ta buluşacaklardır ancak nerede buluşacaklarını unutmuşlardır. Herbiri nereye gideceğine karar vermek zorundadır ve sadece bir şeçim şansı vardır. 3. Çıktılar: Karşılaşırlarsa mutlu olacaklardır. Buluşamazlarsa yemeği yanlız yiyeceklerdir. 4. Ödemeler: Karşılaşırlarsa ödeme 100, ayrı ayrı kalırlarsa 0 birimdir. Bu örnekte, iki oyuncunun çıkarları bağlantılıdır. Problemleri basitçe koordinasyondur. Yine de, her oyuncunun ödemesi diğer oyuncunun ne yaptığına bağlıdır ve daha da önemlisi, her oyuncunun optimal eylemi diğerinin ne yapacağını düşünmesine bağlıdır. Böylece, kordinasyon görevi bile stratejik bir önem kazanmaktadır. 1.2 Genişleyen Biçimde Oyunlar Yukarıda tanımlanan dört öğe biliniyorsa, oyun genişleyen biçimde gösterilebilir. Genişleyen biçim kim ne zaman hareket edecek, her oyuncu hangi eylemleri gerçekleştirecek, hareket ettiklerini oyuncular neleri bilmektedir, oyuncular tarafından gerçekleştirilen eylemlerin bir fonksiyonu olarak çıktılar nelerdir, ve her olanaklı çıktıdan elde edilen ödemeler nelerdir gibi soruların cevaplarını kapsamaktadır. Genişleyen biçim oyun ağacı olarak bilinen kavramsal araca dayanmaktadır. Basit bir örnekle başlamak kolaylık sağlayacaktır. Örnek 1.3 (Eşleşen Paralar Versiyon B ve Genişleyen Biçimi).. Bu versiyon ilk versiyona özdeştir. Sadece iki oyuncu ardışık hareket etmektedir. İlk verisyonda eş-anlı olarak hareket etmektedirler. Önce birinci oyuncu parası çevirmekte daha sonra ikinci oyuncu birinci oyuncunun seçimini gördükten sonra parasını çevirmektedir (Bu 2. oyuncu için gerçekten çok güzel bir oyundur). 3

5 Bu oyunun genişleyen biçimdeki sunumu şekil (1.1) de gösterilmektedir. Oyun başlangıç karar noktasında başlamaktadır (Açık daire ile gösterilmiştir). 1. oyuncunun hareketini yaptığı yerdir. Yazı mı Tura mı kararını verecektir. 1. oyuncu için her iki olanaklı seçim bu başlangıç karar noktasından çizilen yollarla gösterilmektedir. Her yolun sonunda bir başka karar noktası vardır. Buralarda 2. oyuncu 1. oyuncunun seçimini gördükten sonra iki eylem arasından birini seçecektir. 2. oyuncu hareket ettikten sonra oyun sona erecektir. Varılan noktalara terminal noktalar denmektedir. Her terminal noktada oyuncuların ödemeleri sırasıyla gösterilmektedir. 1.Oyuncu Yazı Tura 2.Oyuncu 2.Oyuncu Yazı Tura Yazı Tura 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 Figure 1.1: Eşleşen Paralar Versiyon B için Genişleyen Biçim Örnek 1.4 (Eşleşen Paralar Versiyon C ve Genişleyen Biçimi).. Bu versiyon versiyon B ye özdeştir. Farklılık 1. oyuncu kararını verdiğinde parayı 2. oyuncuya göstermemektedir. 2. oyuncu hareket etmeden önce 1. oyuncunun seçimi görememektedir. 1.Oyuncu Yazı Tura 2.Oyuncu Yazı Tura Yazı Tura 1, 0 2, 3 0, 1 1, 0 Figure 1.2: Eşleşen Paralar Versiyon C için Genişleyen Biçim Bu oyun şekil (1.2) de gösterilmektedir. Şekil (1.1) e özdeş sadece 2. oyuncunun karar noktalarının arasına kesikli çizgi çizilmiştir. Bu çizginin anlamı iki karar noktasının tek bir enformasyon kümesinde olduğunu belirtmesidir. Bu enformasyon kümesinin anlamı kısaca şudur; 2. oyuncu hareket edeceği zaman 1. oyuncunun kararını göremediğinden hangi karar noktasında olduğunu bilemez. 2. oyuncunun enformasyon kümesindeki iki her iki noktadada aynı olanaklı eylemler vardır. 2. oyuncu iki nokta arasında ayrım yapamaz. Prensipte, 1. oyuncunun karar noktasının da bir enformasyon kümesi vardır. Çünkü 1. oyuncuda hareket etmeden önce hiçbir şeyin olmadığını bilmektedir. Bu enformasyon kümesinin bir elemanı vardır (1. oyuncu hareket ettiğinde hangi noktada olduğunu tam olarak bilmektedir). Kabaca, şekil (1.2) de de 1. oyuncu için bir enformasyon kümesi belirtilebilir. Ancak, grafiksel gösterimi basitleştirmek amacıyla bu gösterim kullanılmamaktadır. Bundan dolayı, kesikli çizgilerin olmadığı karar noktalarında enformasyon kümeleri tekildir (singleton). 4

6 Bir oyuncunun bütün enformasyon kümelerinin listesi oyuncunun perspektifinden hareketi hakkında olayları ve durumları ayırabilmesinin listesini vermektedir. Örneğin, örnek (1.1) de 2. oyuncunun perspektifinden, olabilecek iki ayrılabilir olay vardır. Bunlar iki tekil enformasyon kümesinden oluşmaktadır. Ancak, örnek (1.4) de 2. oyuncunun sadece olanaklı bir tane durumu vardır. Örnek (1.4) de, enformasyon kümeleri üzerine doğal bir kısıtlama konmaktadır: veri bir enformasyon kümesi içindeki her noktada, oyuncunun olanaklı eylemlerinin benzer bir kümesi olmak zorundadır. Diğer kısıtlama mükemmel hatırlama (perfect recall) olarak bilinmektedir. Mükemmel hatırlama oyuncunun bir kere öğrendiğini bir daha unutmaması durumudur. 1.Oyuncu l r 2.Oyuncu 2.Oyuncu L R L R 1.Oyuncu x y x y x y x y Figure 1.3: Mükemmel Hatırlamayı Sağlamayan Bir Oyun Ağacı Şekil (1.3) de, 1. oyuncu önceki hareketini unutmaktadır. Aksi belirtilmedikçe bütün oyunlar mükemmel hatırlama altında oynanacaktır. Enformayon kümelerinin kullanımı eş-anlı yerine ardışık oyunlara izin vermektedir. Böylelikle örnek (1.1) de oyun ağacı ile gösterilebilir. Bu bağlamda kusursuz enformasyonlu oyunun tanımı yapılabilir. Tanım 1.1. Her enformasyon kümesi sadece tek bir karar noktasını içeriyorsa bu oyun kusursuz enformasyonlu bir oyundur. Aksi takdirde, oyun kusurlu enformasyonludur. Örnek 1.5 (Eşleşen Paralar Versiyon D ve Genişleyen Biçimi).. Oyuncular oyunun B versiyonunu oynamadan önce, iki oyuncu biz bozuk para atarak oyuna kimin başlayacağına karar vermektedirler. Böylece, 1. ve 2. oyuncu için parayı ilk kullanacak oyuncuyu seçmede eşit olasılık olacaktır. Şekil (1.4) de bu oyun doğanın oyuna başlaması ile gösterilmektedir. Doğa oyuna iki yola sahip olarak 1 olasılıkla kararını vermektedir. Doğa sabit olasılıklarla iki eylemi 2 5

7 Doğa Oyuncu 2.Oyuncu Y T Y T 2.Oyuncu 2.Oyuncu 1.Oyuncu 1.Oyuncu Y T Y T Y T Y T -1,1 1,-1 1,-1-1,1-1,1 1,-1 1,-1-1,1 Figure 1.4: Eşleşen Paralar Versiyon D oynamak zorunda olan bir oyuncu olarak eklenmiştir. Şekilde (Y ) yazı, (T ) tura için kullanılmıştır. Grafiksel olarak gösterimine ek olarak, genişleyen biçim matematiksel olarak da tanımlanabilir. Formal olarak, genişleyen biçimdeki bir oyun aşağıda sıralanan maddelere sahiptir; 1. Noktaların sonlu kümesi X, olanaklı eylemlerin sonlu kümesi A ve oyuncuların sonlu kümesi {1,..., I}. 2. Her x noktasının tek bir ara atasını belirten bir fonksiyon, p : X {X }, Başlangıç noktası x 0 hariç, bütün x X için p(x) boş-olmayandır. x noktasının ara torun noktası o zaman s(x) = p 1 (x) olacaktır. x noktasının bütün ataları ve torunları kümesi p(x) ve s(x) yinelemesi ile bulunabilir. Bir ağaç yapısı olması için, ayrık kümeler olmak zorundadır (x noktasının atası torunu olamaz.) Terminal noktalar kümesi T = {x X : s(x) = }. Diğer bütün noktaları X \ T karar noktalarıdır. 3. α : X \ {x 0 } A fonksiyonu başlangıç noktası olmayan bir x noktasına atasından p(x) bir eylemle gelmektedir ve x, x s(x) ve x x ise, α(x ) α(x ) olan özelliği sağlamaktadır. x karar noktasında elverişli seçimler kümesi c(x) = {a A : Bazı x s(x) noktaları için a = α(x )} 4. Enformasyon kümeleri koleksiyonu, H ve H : X H her x noktasını bir enformasyon kümesine H(x) H atayan fonksiyon. H koleksiyonundaki enformasyon kümeleri X kümesinin parçalanışı biçimindedir. Tekil enformasyon kümesine atanmış bütün karar noktalarında aynı seçimler elverişldir. Formal olarak, H(x) = H(x ) ise, c(x) = c(x ) geçerlidir. Bundan dolayı, H enformasyon kümesindeki elverişli seçimler C(H) = {a A : x H için a c(x)} şeklinde yazılmaktadır. 6

8 5. ι : H {0, 1,..., I} fonksiyonu, H koleksiyonundaki her enformasyon kümesini bu kümedeki karar noktasında hareket eden oyuncuya atamaktadır (ya da doğaya formal olarak 0. oyuncuya atamaktadır.) i. oyuncunun enformasyon kümeleri koleksiyonu H i = {H H : i = ι(h)} şeklinde gösterilmektedir. 6. ρ : H 0 A [0, 1] fonksiyonu doğanın hareket ettiği ve bütün H H 0 için a / C(H) ve a C(H) ρ(h, a) = 1 ise, ρ(h, a) = 0 olan enformasyon kümelerinde eylemlere olasılık atamaktadır. 7. Ödeme fonksiyonları koleksiyonu, u = {u 1 (.), u 2 (.),..., u I (.)}, ulaşılan her terminal noktada oyunculara fayda atamaktadır; u i : T R. Böylece, yukarıdaki maddelerle genişleyen biçimde bir oyun tanımlanmaktadır; Γ = {X, A, I, p(.), α(.), H, H(.), ι(.), ρ(.), u} 1.3 Stratejiler ve Bir Oyunun Normal Biçimde Sunumu Oyun teorisinde merkezi kavram oyuncunun stratejisi nosyonudur. Strateji tam bir tesadüfi plan ya da karar kuralıdır ve hareket etmesi gereken her olanaklı ayrılabilir durumda nasıl hareket edeceğini belirten bir plan ya da kuraldır. Oyuncunun perspektifinden, böyle durumlar kümesi enformasyonkümelerinin koleksiyonu taraafından belirtilmektedir. Hareket etme ihtiyacı duyabileceği farklı ayrılabilir durumları belirten her enformasyon kümesine konu olmaktadır. Tanım 1.2. H i ; i oyuncusunun enformasyon kümelerinin koleksiyonu, A oyundaki olanaklı eylemlerin kümesi, ve C(H) A, H enformasyon kümesindeki olanaklı eylemlerin kümesi olsun. i oyuncusu için bir strateji, bütün H H i için s i (H) C(H) olan bir s i : H i A fonksiyonudur. Tam bir tesadüfi plan olarak, strateji genellikle oyunun fiili oynanması sırasında ulaşılamayabilinecek enformasyon kümelerinde oyuncunun eylemlerini belirtmektedir. Örnek 1.6 (Eşleşen Paralar Versiyon B de Stratejiler).. Eşleşen paraler versiyon B de 1. oyuncu için strateji oyunun başlangıç noktasındaki hareketini belirtmektedir. İki olanaklı stratejisi vardır: yazı (Y) ya da tura (T) stratejilerini oynayabilir. Diğer taraftan, 2. oyuncu için strateji, her iki enformasyon kümesinde nasıl (Y yada T) oynayacağını belirtmektedir. Yani, 1. oyuncu Y oynarsa ve 1. oyuncu T oynarsa nasıl oynayacaktır? Böylece, 2. oyuncunun dört olanaklı stratejisi vardır; Strateji 1 (s 1 ): 1. oyuncu Y oynarsa, Y oyna, 1. oyuncu Y oynarsa, T oyna. Strateji 2 (s 2 ): 1. oyuncu Y oynarsa, Y oyna, 1. oyuncu T oynarsa, T oyna. Strateji 3 (s 3 ): 1. oyuncu T oynarsa, Y oyna, 1. oyuncu Y oynarsa, T oyna. Strateji 4 (s 4 ): 1. oyuncu T oynarsa, Y oyna, 1. oyuncu T oynarsa, T oyna. 7

9 Örnek 1.7 (Eşleşen Paralar Versiyon C de Stratejiler).. Eşleşen paralar oyununun C versiyonunda, 1. oyuncunun stratejileri versiyon B deki ile aynıdır. Fakat 2. oyuncunun sadece iki olanaklı stratejisi vardır. Y ya da T oynamak, çünkü sadece bir tane enformasyon kümesi vardır. I-oyunculu bir oyunda oyuncuların strateji seçimlerinin profilini s = (s 1,..., s I ) vektörü ile göstermek uygundur. s i, i. oyuncunun seçilen stratejisi belirtmektedir. Kısaca yazmak için, bazen s strateji profili (s i, s i ) şeklinde gösterilecektir. s i, i. oyuncu dışındaki oyuncuların (I 1) boyutundaki strateji vektörüdür. Oyuncuları için stratejilerin her profili s = (s 1,..., s I ), oyunun çıktısına neden olmaktadır. Böylece, herhangi bir strateji profili için, s = (s 1,..., s I ), her oyuncu tarafından elde edilen ödemeler ortaya çıkacaktır. Bundan dolayı, oyun direk olarak stratejiler ve ilgili ödemeleri ile belirlenebilir. Bir oyunun sunmanın ikinci yolu normal (ya da stratejik) biçim olarak bilinen yöntemle olacaktır. Bu genişleyen biçimdeki bir oyunun kısaltılmış halidir. Tanım 1.3. I oyuncu ile bir oyun için, Γ N normal biçim sunumu her i oyuncusu için stratejiler kümesi S i (s i S i ile) ve u i (s 1,..., s I ) ödeme fonksiyonu ile belirtilmektedir. u i (s 1,..., s I ), (s 1,..., s I ) stratejilerinden ortaya çıkan (muhtemelen rastlantısal) çıktılar ile ilgili von Neumann-Morgenstern fayda seviyelerini vermektedir. Formal olarak, şeklinde yazılmaktadır. Γ N = [I, {S i }, {u i (.)}] Gerçekte, normal biçimde bir oyunu tanımlarken, her strateji için spesifik hareketlerin kaydını tutmaya ihtiyaç yoktur. Oyuncunun çeşitli olanaklı stratejilerini i. oyuncunun strateji kümesi S i = (s 1i, s 2i,...) şeklinde yazarak basitçe sayılabilir ve her strateji numarası ile ifade edilebilir. Örnek 1.8 (Eşleşen Paralar Versiyon B nin Normal Biçimi).. Örnek (1.6) de iki oyuncunun strateji kümeleri tanımlanmıştır. Ödeme fonksiyonları aşağıdaki şekildedir; { +1, (s 1, s 2 ) = (H, 3 ya da 4 stratejileri) yada (T, 1 ya da 3 stratejileri) ise u 1 (s 1, s 2 ) = 1, (s 1, s 2 ) = (H, 1 ya da 2 stratejileri) yada (T, 2 ya da 4 stratejileri) ise ve u 2 (s 1, s 2 ) = u 1 (s 1, s 2 ). Bu bilgileri şekil (1.5) de özetlemek olanaklıdır. Her bir hücrede, iki oyuncunun ödemeleri u 1 (s 1, s 2, u 2 (s 1, s 2 ) olarak gösterilmiştir. 8

10 1. Oyuncu 2. Oyuncu s 1 s 2 s 3 s 4 Y 1, +1 1, +1 +1, 1 +1, 1 T +1, 1 1, +1 +1, 1 1, +1 Figure 1.5: Eşleşen Paralar Versiyon B Normal Biçimi 2.Oyuncu a b d c 1. Oyuncu L R L R L R L R 1, +1 +1, 1 1, +1 1, +1 +1, 1 +1, 1 +1, 1 1, +1 Figure 1.6: Yukarıdaki Normal Biçimin Genişleyen Biçimi Yukarıdaki normal biçimdeki oyun şekil (1.6) de genişleyen biçimde gösterilmektedir. Oyundaki davranışları incelemek için normal biçim sunumunu kullanmaktaki mantık, oyuncunun karar problemini rakibinin benimseyeceğini düşündüğü stratejileri veri kabul ederek stratejisini seçmesi olarak düşünülmektedir. Çünkü her oyuncu bu problemle karşı karşıyadır, oyuncular stratejilerini eş-anlı olarak {S i } kümelerinden seçtikleri düşünülmektedir. 1.4 Rastlantısallaşmış Seçimler Bu bölüme kadar oyuncuların seçimlerini belirlilik (kesinlik) altında yaptıkları varsayılmıştır. Bununla beraber, birseçimle karşılaşan oyuncunun rastlantısallaştırma olanağını dışlamanın önsel (priori) bir nedeni yoktur. Tanım (1.3) de belirtildiği gibi, deterministik bir strateji, pür strateji olarak da adlandırılabilir. i oyuncusu için her H H enformasyon kümesinde s i (H) deterministik seçimini belirtmektedir. i oyuncusunun (sonlu) pür stratejiler kümesi S i olsun. Oyuncunun rastlantısallaştırmasının yolu bu kümeden rastlantısal olarak bir elemanı seçmesidir. Bu tip rastlantısallaştıma durumunda karma strateji söz konusudur. Tanım 1.4. i oyuncusunun veri (sonlu) pür strateji kümesi S i ile, karma stratejisi, σ i : S i [0, 1] sayesinde, s i S i σ i (s i ) = 1 koşulunu sağlayan σ i (s i ) 0 olasılığını her pür s i S i stratejisine atamaktadır. 9

11 i oyuncusunun M tane pür stratejisi olsun; S i = {s 1i,..., s Mi }. i oyuncusunun olanaklı karma stratejiler kümesi bundan dolayı aşağıdaki simpleksin noktalarıyla ilgilidir; (S i ) = { (σ 1i,..., σ Mi ) : bütün m = 1,..., M için σ mi 0 ve } M σ mi = 1 m=1 Bu simpleks S i kümesinin karma genişlemesi olarak adlandırılmaktadır. Pür strateji, S i kümesinin elemanları üzerindeki olasılık dağılımının yozlaştığı (degenerate) karma stratejilerin özel bir durumu olarak da görülebilir. 10

Dinamik Biçimde Oyunlar. Murat Donduran

Dinamik Biçimde Oyunlar. Murat Donduran Dinamik Biçimde Oyunlar Murat Donduran Mart 18, 2008 2 İçindekiler 3 4 İÇINDEKILER Bölüm 1 Tam Bilgi İle Dinamik Oyunlar Şimdiye kadar oyuncular stratejileri aynı anda seçtiğinden statik bir durum analiz

Detaylı

Matematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran

Matematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran Matematik Ders Notları Doç. Dr. Murat Donduran Mart 18, 28 2 İçindekiler 1 Tanımlı Integral Uygulamaları 5 1.1 Olasılık.............................. 5 3 4 İÇINDEKILER Bölüm 1 Tanımlı Integral Uygulamaları

Detaylı

Oyun Teorisine (Kuramına) Giriş

Oyun Teorisine (Kuramına) Giriş Oyun Teorisi Oyun Teorisine (uramına) Giriş Şimdiye kadar, karar modellerinde bireysel kararlar ve çözüm yöntemleri ele alınmıştı. adece tek karar vericinin olduğu karar modellerinde belirsizlik ve risk

Detaylı

END. İKTİSADI VE OYUN TEORİSİ (BİRİNCİ ÖDEV)

END. İKTİSADI VE OYUN TEORİSİ (BİRİNCİ ÖDEV) END. İKTİSADI VE OYUN TEORİSİ (BİRİNCİ ÖDEV) AÇIKLAMALAR Ödevlerinizin teslimi, 14 Kasim 2013 günü saat 09:30-12:30 da yapılacaktır. Sorular aynı gün örgün (13:15) ve ikinci öğretim (17:00) dersinde çözüleceği

Detaylı

OYUN TEORİSİ. Özlem AYDIN. Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü

OYUN TEORİSİ. Özlem AYDIN. Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü OYUN TEORİSİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü TANIM ''Oyun Teorisi'', iki yada daha fazla rakibi belirli kurallar altında birleştirerek karşılıklı olarak çelişen olasılıklar

Detaylı

14.12 Oyun Teorisi Ders Notları

14.12 Oyun Teorisi Ders Notları 4.2 Oyun Teorisi Ders Notları Muhamet Yıldız Ders 2-3 Tekrarlı Oyunlar Bu ders notlarında, daha küçük bir oyunun tekrarlandığı ve bu tekrarlanan küçük oyunun statik oyun adını aldığı oyunları tartışacağız.

Detaylı

Ara Sınav Yanıtları Econ 159a/MGT 522a Ben Polak Güz 2007

Ara Sınav Yanıtları Econ 159a/MGT 522a Ben Polak Güz 2007 Ara Sınav Yanıtları Econ 159a/MGT 522a Ben Polak Güz 2007 Aşağıdaki yanıtlar puanları almak için gerekenden daha fazladır. Genelde daha öz açıklamalar daha iyidir. Soru 1. (15 toplam puan). Kısa yanıtlı

Detaylı

14.12 Oyun Teorisi Ders Notları

14.12 Oyun Teorisi Ders Notları 14.1 Oyun Teorisi Ders Notları Muhamet Yıldız Ders 15-18 1 Eksik Bilgili Statik Oyunlar Şu ana kadar, herhangi bir oyuncu tarafından bilinen herhangi bir bilgi parçasının tüm oyuncular tarafından bilindiği

Detaylı

14.12 Oyun Teorisi Ders Notları

14.12 Oyun Teorisi Ders Notları 14.12 Oyun Teorisi Ders Notları Giriş Muhamet Yıldız (Ders 1) Oyun Teorisi Çok Kişili Karar Teorisi için yanlış bir isimlendirmedir. Oyun Teorisi, birden çok ajanın bulunduǧu ve her ajanın ödülünün diǧer

Detaylı

Oyun Teorisi IENG 456 Karar Vermede Analitik Yaklaşımlar

Oyun Teorisi IENG 456 Karar Vermede Analitik Yaklaşımlar Oyun Teorisi IENG 456 Karar Vermede Analitik Yaklaşımlar Bu ders notlarının hazırlanmasında Doç. Dr. İbrahim Çil in ders notlarından faydalanılmıştır. Yrd. Doç. Dr. Hacer GÜNER GÖREN Pamukkale Üniversitesi

Detaylı

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2 Bir Olayın Olasılığı P(A) = n(a) n(s) = A nın eleman sayısı S nin eleman sayısı Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: S

Detaylı

DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI

DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI PROJENİN ADI: OYUN TEORİSİ İLE İSTANBUL TRAFİĞİNİN İNCELENMESİ HAZIRLAYANLAR: ECE TUNÇKOL-BERKE OĞUZ AKIN MEV KOLEJİ ÖZEL

Detaylı

Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir.

Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir. 5.SUNUM Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir. Günlük hayatta sıklıkla kullanılmakta olan olasılık bir olayın ortaya

Detaylı

3/6/2013. Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları

3/6/2013. Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı

Detaylı

Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları

Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı

Detaylı

Ders 5: Kesikli Olasılık Dağılımları

Ders 5: Kesikli Olasılık Dağılımları Ders 5: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı

Detaylı

Ders 5: Kesikli Olasılık Dağılımları

Ders 5: Kesikli Olasılık Dağılımları Ders 5: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı

Detaylı

14.12 Oyun Teorisi. Ders 16: Eksik Bilgi Statik Durum. Yol haritası. 1. Bayesyen nash Dengesi. 2. Örnekler. 3. Cournot Duopolü. 4.

14.12 Oyun Teorisi. Ders 16: Eksik Bilgi Statik Durum. Yol haritası. 1. Bayesyen nash Dengesi. 2. Örnekler. 3. Cournot Duopolü. 4. 14.1 Oyun Teorisi Muhamet Yıldız Güz 005 Ders 16: Eksik Bilgi Statik Durum Yol haritası 1. Bayesyen nash Dengesi. Örnekler 3. Cournot Duopolü 4. Ufak sınav 5. Karma stratejiler 1 Bayesyen Oyun (Normal

Detaylı

Konu 10 Oyun Teorisi: Oligopol Piyasaların İç Mahiyeti

Konu 10 Oyun Teorisi: Oligopol Piyasaların İç Mahiyeti .. Konu 10 Oyun si: Oligopol Piyasaların İç Mahiyeti Hadi Yektaş Uluslararası Antalya Üniversitesi İşletme Tezsiz Yüksek Lisans Programı 1 / 82 Hadi Yektaş Oyun si: Oligopol Piyasaların İç Mahiyeti İçerik.1.2.3.4

Detaylı

Statik Biçimde Oyunlar. Murat Donduran

Statik Biçimde Oyunlar. Murat Donduran Statik Biçimde Oyunlar Murat Donduran Mart 18, 2008 2 İçindekiler 1 Tam Bilgi İle Statik Oyunlar 5 1.1 Giriş................................ 5 1.2 Normal Biçimde Oyunlar..................... 8 1.2.1 Mahkumlar

Detaylı

Olasılık Kuramı ve İstatistik. Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları

Olasılık Kuramı ve İstatistik. Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları Olasılık Kuramı ve İstatistik Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları OLASILIK Olasılık teorisi, raslantı ya da kesin olmayan olaylarla ilgilenir. Raslantı

Detaylı

Genel görüntüsü yandaki gibi olması planalanan oyunun kodu e.py bağlantısından indirilebilir. Basitçe bir text ed

Genel görüntüsü yandaki gibi olması planalanan oyunun kodu  e.py bağlantısından indirilebilir. Basitçe bir text ed Türkiyede SOS olarak bilinen oyun tarihin en eski oyunlarından biridir. Isa dan önce 100 civarında oynanmaya başlandığı düşünülür Nasıl oynandığına gelince bilindiği üzere taraflar sırasıyla seçtikleri

Detaylı

Tesadüfi Değişken. w ( )

Tesadüfi Değişken. w ( ) 1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere

Detaylı

Tam ve Karma Stratejili Oyunlar. İki Kişili Oyunlar için

Tam ve Karma Stratejili Oyunlar. İki Kişili Oyunlar için Tam ve Karma Stratejili Oyunlar İki Kişili Oyunlar için İki kişili-sıfır toplamlı oyunlar Sabit toplamlı oyunların bir türüdür, Sabit olan toplam 0 a eşittir. Temel Özellikleri Oyunculardan birinin kazancı

Detaylı

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50 Modül Teori Modüller Prof. Dr. Neşet AYDIN ÇOMÜ - Matematik Bölümü [01/07] Mart 2012 Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart 2012 1 / 50 Giriş M bir toplamsal değişmeli

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Rastgele Değişkenlerin Dağılımları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Ders konusu Bu derste; Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması Olasılık kütle fonksiyonu Olasılık yoğunluk

Detaylı

İki kişili-sıfır toplamlı oyunlar. Tam ve Karma Stratejili Oyunlar. Varsayımlar. Sıfır toplamlı oyunlar

İki kişili-sıfır toplamlı oyunlar. Tam ve Karma Stratejili Oyunlar. Varsayımlar. Sıfır toplamlı oyunlar İki kişili-sıfır toplamlı oyunlar Tam ve Karma Stratejili Oyunlar İki Kişili Oyunlar için Sabit toplamlı oyunların bir türüdür, Sabit olan toplam 0 a eşittir. Temel Özellikleri Oyunculardan birinin kazancı

Detaylı

2. Klasik Kümeler-Bulanık Kümeler

2. Klasik Kümeler-Bulanık Kümeler 2. Klasik Kümeler-Bulanık Kümeler Klasik Küme Teorisi Klasik kümelerde bir nesnenin bir kümeye üye olması ve üye olmaması söz konusudur. Bu yaklaşıma göre istediğimiz özelliğe sahip olan bir birey, eleman

Detaylı

DERS 2 : BULANIK KÜMELER

DERS 2 : BULANIK KÜMELER DERS 2 : BULNIK KÜMELER 2.1 Gİriş Klasik bir küme, kesin sınırlamalarla verilen bir kümedir. Örneğin, klasik bir küme aşağıdaki gibi belirtilebilir: = { x x > 6 }, Kapalı sınır noktası burada 6 dır.burada

Detaylı

Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur

Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur Kümeler Kümeler ve küme işlemleri olasılığın temellerini oluşturmak için çok önemlidir Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur Sonlu sayıda, sonsuz sayıda, kesikli

Detaylı

KONU 4: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODELİ İÇİN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ I

KONU 4: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODELİ İÇİN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ I KONU 4: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODELİ İÇİN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ I 4.1. Dışbükeylik ve Uç Nokta Bir d.p.p. de model kısıtlarını aynı anda sağlayan X X X karar değişkenleri... n vektörüne çözüm denir. Eğer bu

Detaylı

ÖZEL DOĞAN İLKOKULU

ÖZEL DOĞAN İLKOKULU ÖZEL DOĞAN İLKOKULU 2017-2018 MART ayı Mind Lab Derslerinin Özeti FOUR IN A ROW Bu bölümde öğrenciler, iyi bir oyuncu olmak için stratejiler geliştirmek gerektiğini öğrenirler. Tıpkı hayatta olduğu gibi,

Detaylı

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,

Detaylı

SAĞLIK KURUMLARINDA OPERASYON YÖNETİMİ

SAĞLIK KURUMLARINDA OPERASYON YÖNETİMİ DİKKATİNİZE: BURADA SADECE ÖZETİN İLK ÜNİTESİ SİZE ÖRNEK OLARAK GÖSTERİLMİŞTİR. ÖZETİN TAMAMININ KAÇ SAYFA OLDUĞUNU ÜNİTELERİ İÇİNDEKİLER BÖLÜMÜNDEN GÖREBİLİRSİNİZ. SAĞLIK KURUMLARINDA OPERASYON YÖNETİMİ

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d)

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d) Ders 10 Metindeki ilgili bölümler 1.7 Gaussiyen durum Burada, 1-d de hareket eden bir parçacığın önemli Gaussiyen durumu örneğini düşünüyoruz. Ele alış biçimimiz kitaptaki ile neredeyse aynı ama bu örnek

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM 317 Prof. Dr. Nihal ERGİNEL

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM 317 Prof. Dr. Nihal ERGİNEL ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ENM 317 Prof. Dr. Nihal ERGİNEL 2 ÖRNEKLEME Anakütleden n birimlik örnek alınması ve anakütle parametrelerinin örnekten tahmin edilmesidir. 3 ÖRNEKLEME ALMANIN NEDENLERİ Anakütleye

Detaylı

SIGORTA MATEMATİĞİ SORULARI WEB EKİM 2017

SIGORTA MATEMATİĞİ SORULARI WEB EKİM 2017 SIGORTA MATEMATİĞİ SORULARI WEB EKİM 2017 SORU 1: Hasar rassal değişkenini tanımlayan rassal X aşağıdaki dağılıma sahiptir: 150 F ( x) = 1, 0. x 150 + x Simülasyon teknikleri kullanılarak bu dağılımdan

Detaylı

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Fonksiyonlar Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Fonksiyonlar Tanım: A ve B boş olmayan kümeler. A dan B ye bir f fonksiyonu f: A B ile gösterilir ve A nın her

Detaylı

İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik

İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik 6.SUNUM İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik özellikleri (ortalama, varyans v.b. gibi) hakkında

Detaylı

Örnek Uzay: Bir deneyin tüm olabilir sonuçlarının kümesine Örnek Uzay denir. Genellikle harfi ile gösterilir.

Örnek Uzay: Bir deneyin tüm olabilir sonuçlarının kümesine Örnek Uzay denir. Genellikle harfi ile gösterilir. BÖLÜM 3. OLASILIK ve OLASILIK DAĞILIMLARI Rasgele Sonuçlu Deney: Sonuçlarının kümesi belli olan, ancak hangi sonucun ortaya çıkacağı önceden söylenemeyen bir işleme Rasgele Sonuçlu Deney veya kısaca Deney

Detaylı

Bölüm 2 Varlık-İlişki Veri Modeli: Araçlar ve Teknikler. Fundamentals, Design, and Implementation, 9/e

Bölüm 2 Varlık-İlişki Veri Modeli: Araçlar ve Teknikler. Fundamentals, Design, and Implementation, 9/e Bölüm 2 Varlık-İlişki Veri Modeli: Araçlar ve Teknikler Fundamentals, Design, and Implementation, 9/e Üç Şema Modeli Üç şema modeli 1975 de ANSI/SPARC tarafından geliştirildi Veri modellemeninç ve rolünü

Detaylı

Y N G. Kris Burm G I P F

Y N G. Kris Burm G I P F ris Burm G I P F Bir birleşimin ürünü Son söz: GIPF projesinin yedinci oyunu. 2 oyuncu için. GIPF projesi başlarken 6 oyundan oluşması planmış olsa da yedinci oyun olan LYNG, projenin bir sentezi olarak

Detaylı

Bekleme Hattı Teorisi

Bekleme Hattı Teorisi Bekleme Hattı Teorisi Sürekli Parametreli Markov Zincirleri Tanım 1. * +, durum uzayı * +olan sürekli parametreli bir süreç olsun. Aşağıdaki özellik geçerli olduğunda bu sürece sürekli parametreli Markov

Detaylı

TEK BOYUTLU RASSAL DEĞİŞKENLER

TEK BOYUTLU RASSAL DEĞİŞKENLER TEK BOYUTLU RASSAL DEĞİŞKENLER Rassal değişken: S örnek uzayının her bir basit olayını yalnız bir gerçel değere dönüştüren fonksiyonuna rassal (tesadüfi) değişken denir. İki para birlikte atıldığında üste

Detaylı

2. SİMETRİK GRUPLAR. Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir.

2. SİMETRİK GRUPLAR. Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir. 2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. X boş olmayan bir küme olsun. S X ile X den X e tüm birebir örten fonksiyonlar

Detaylı

EME Sistem Simülasyonu. Giriş. Olasılık Dağılımı. Rassal Degiskenler

EME Sistem Simülasyonu. Giriş. Olasılık Dağılımı. Rassal Degiskenler EME 3105 1 Giriş Sistem Simülasyonu Önümüzdeki hafta simulasyon girdilerinin modellenmesinde kullanılan kesikli ve sürekli Simulasyonda İstatistiksel Modeller-I Ders 4 dağılımlar hatırlatılacaktır. Rassal

Detaylı

Algoritmalara Giriş 6.046J/18.401J

Algoritmalara Giriş 6.046J/18.401J Algoritmalara Giriş 6.046J/18.401J DERS 12 Atlama Listeleri Veri Yapısı Rastgele Araya Yerleştirme Yüksek olasılıkla" sınırı Analiz (Çözümleme) Yazı Tura Atma Prof. Erik D. Demaine Atlama Listeleri Basit

Detaylı

Final Sınavı. Güz 2005

Final Sınavı. Güz 2005 Econ 159a/MGT 522a Ben Polak Güz 2005 Bu defter kitap kapalı bir sınavdır. Sınav süresi 120 dakikadır (artı 60 dakika okuma süresi) Toplamda 120 puan vardır (artı 5 ekstra kredi). Sınavda 4 soru ve 6 sayfa

Detaylı

2016 YILI AKTÜERLİK SINAVLARI: İSTATİSTİK OLASILIK

2016 YILI AKTÜERLİK SINAVLARI: İSTATİSTİK OLASILIK Soru 1 X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu x x, x> f ( x) = 0, dy. 1 werilmiş ve Y = rassal değişkeni tanımlamış ise, Y değişkenin 0< 1 X 1 y için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki

Detaylı

Rastgele değişken nedir?

Rastgele değişken nedir? Rastgele değişken nedir? Şİmdiye kadar hep, kümelerden ve bu kümelerin alt kümelerinden (yani olaylar)dan bahsettik Bu kümelerin elemanları sayısal olmak zorunda değildi. Örneğin, yazı tura, kız erkek

Detaylı

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği 2007 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için

Detaylı

7. Ders Genel Lineer Modeller Singüler Modeller, Yanlış veya Bilinmeyen Kovaryanslar, Đlişkili Hatalar

7. Ders Genel Lineer Modeller Singüler Modeller, Yanlış veya Bilinmeyen Kovaryanslar, Đlişkili Hatalar 7. Ders Genel Lineer Modeller Singüler Modeller, Yanlış veya Bilinmeyen Kovaryanslar, Đlişkili Hatalar Y = X β + ε Lineer Modeli pekçok özel hallere sahiptir. Bunlar, ε nun dağılımına, Cov( ε ) kovaryans

Detaylı

Rassal Değişken. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK

Rassal Değişken. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK Rassal Değişken Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK tover@sakarya.edu.tr S örnek uzayı içindeki her bir basit olayı yalnız bir gerçel (reel) değere dönüştüren fonksiyona rassal değişken adı verilir. O halde

Detaylı

TÜRKİYE TENİS FEDERASYONU KULÜPLER ARASI YILDIZLAR TENİS LİGİ TALİMATI. Birinci Bölüm Kapsam, Dayanak ve Tanımlar

TÜRKİYE TENİS FEDERASYONU KULÜPLER ARASI YILDIZLAR TENİS LİGİ TALİMATI. Birinci Bölüm Kapsam, Dayanak ve Tanımlar TÜRKİYE TENİS FEDERASYONU KULÜPLER ARASI YILDIZLAR TENİS LİGİ TALİMATI Kapsam Birinci Bölüm Kapsam, Dayanak ve Tanımlar Madde 1- Bu talimat, kulüpler arası Yıldızlar tenis liglerinin düzenlenmesini, idari

Detaylı

2005 Final Sınavına Kısmi Yanıtlar. Güz 2007

2005 Final Sınavına Kısmi Yanıtlar. Güz 2007 2005 Final Sınavına Kısmi Yanıtlar Econ 159a/MGT 522a Ben Polak Güz 2007 LÜTFEN NOT EDİN: BUNLAR TASLAK YANITLARDIR. BUNLARI ÇOK HIZLI YAZDIM BU YÜZDEN DOĞRU OLDUKLARINA SÖZ VEREMEM! BAZEN İHTİYACINIZ

Detaylı

FONKSİYONLAR ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT

FONKSİYONLAR ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT FONKSİYONLAR ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT. Kazanım : Gerçek saılar üzerinde tanımlanmış fonksion kavramını açıklar. Tanım kümesi, değer kümesi, görüntü kümesi kavramlarını açıklar.. Kazanım : Fonksionların

Detaylı

SINAV YÖNERGESİ. Numarası : CEVAP. Adı Soyadı : ANAHTARI A) 512 B) 513 C) 256 D) 1024 E) 1025 A) 252 B) 256 C) 3024 D) 126 E) =?

SINAV YÖNERGESİ. Numarası : CEVAP. Adı Soyadı : ANAHTARI A) 512 B) 513 C) 256 D) 1024 E) 1025 A) 252 B) 256 C) 3024 D) 126 E) =? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 0.0.01 Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem

Detaylı

SORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin. A := {B P (X) : B sonlu} SORU 2: X sayılamayan bir küme

SORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin. A := {B P (X) : B sonlu} SORU 2: X sayılamayan bir küme 2. ÖLÇÜLER 2.1 BazıKüme Sınıfları SORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin bir sınıfıolsun. A sınıfıx üzerinde bir σ cebir midir? ÇÖZÜM 1: A := {B P (X) : B sonlu} X / A

Detaylı

Lecture 2. Mahir Bilen Can. Mayıs 10, 2016

Lecture 2. Mahir Bilen Can. Mayıs 10, 2016 Lecture 2 Mahir Bilen Can Mayıs 10, 2016 1 Klasik Lie Cebirleri Klasik Lie cebirlerinin hepsi içinde son derece büyük öneme sahip dört sonsuz aile vardır. Bunlar A, B, C, D harfleri ile indekslenmekte

Detaylı

Karar Verme. Karar Verme ve Oyun Teorisi. Kararların Özellikleri. Karar Analizi

Karar Verme. Karar Verme ve Oyun Teorisi. Kararların Özellikleri. Karar Analizi Karar Verme Karar Verme ve Oyun Teorisi Yrd.Doç.Dr. Gökçe BAYSAL TÜRKÖLMEZ Belirli bir amaca ulaşabilmek için, Değişik alternatiflerin belirlenmesi ve Bunlar içinden en etkilisinin seçilmesi işlemidir.

Detaylı

Ekonometri I VARSAYIMLARI

Ekonometri I VARSAYIMLARI Ekonometri I ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON MODELİNİN VARSAYIMLARI Hüseyin Taştan Temmuz 23, 2006 İçindekiler 1 Varsayım MLR.1: Parametrelerde Doğrusallık 1 2 Varsayım MLR.2: Rassal Örnekleme 1 3 Varsayım MLR.3:

Detaylı

Saf Stratejilerde Evrimsel Kararlılık Bilgi Notu Ben Polak, Econ 159a/MGT 522a Ekim 9, 2007

Saf Stratejilerde Evrimsel Kararlılık Bilgi Notu Ben Polak, Econ 159a/MGT 522a Ekim 9, 2007 Saf Stratejilerde Evrimsel Kararlılık Ben Polak, Econ 159a/MGT 522a Ekim 9, 2007 Diyelim ki oyunlarda stratejiler ve davranışlar akıl yürüten insanlar tarafından seçilmiyor, ama oyuncuların genleri tarafından

Detaylı

14.12 Oyun Teorisi Ders Notları

14.12 Oyun Teorisi Ders Notları 14.12 Oyun Teorisi Ders Notları Muhamet Yıldız Ders 3-6 Bu derste, oyunları ve Nash dengesi gibi bazı çözüm yollarını tanımlayacağız ve bu çözüm yollarının arkasındaki varsayımları tartışacağız. Bir oyunu

Detaylı

Dr. Mehmet AKSARAYLI

Dr. Mehmet AKSARAYLI Dr. Mehmet AKSARAYLI Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir. Şans Değişkenleri KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli

Detaylı

Esnek Hesaplamaya Giriş

Esnek Hesaplamaya Giriş Esnek Hesaplamaya Giriş J E O L O J İ M Ü H E N D İ S L İ Ğ İ A. B. D. E S N E K H E S A P L A M A Y Ö N T E M L E R İ - I DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Esnek Hesaplama Nedir? Esnek hesaplamanın temelinde yatan

Detaylı

YZM YAPAY ZEKA DERS#6: REKABET ORTAMINDA ARAMA

YZM YAPAY ZEKA DERS#6: REKABET ORTAMINDA ARAMA YZM 3217- YAPAY ZEKA DERS#6: REKABET ORTAMINDA ARAMA Oyun Oynama Çoklu vekil ortamı-her bir vekil karar verirken diğer vekillerin de hareketlerini dikkate almalı ve bu vekillerin onun durumunu nasıl etkileyeceğini

Detaylı

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Detaylı

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersin Adı SINIFI: KONU: Olasılık Dersin Konusu. Bir kutudaki 7 farklı boncuğun içinden iki tanesi seçiliyor. Buna göre, örneklem uzayının eleman sayısı A) 7 B)! 7. madeni

Detaylı

1.58 arasındaki her bir değeri alabileceği için sürekli bir

1.58 arasındaki her bir değeri alabileceği için sürekli bir 7.SUNUM Hatırlanacağı gibi, kesikli rassal değişkenler sonlu (örneğin; 0, 1, 2,...,10) veya sayılabilir sonsuzlukta (örneğin; 0, 1, 2,...) değerler alabilmektedir. Fakat birçok uygulamada, rassal değişkenin

Detaylı

Finansal Yatırım ve Portföy Yönetimi. Ders 7 Modern Portföy Teorisi

Finansal Yatırım ve Portföy Yönetimi. Ders 7 Modern Portföy Teorisi Finansal Yatırım ve Portföy Yönetimi Ders 7 Modern Portföy Teorisi Kurucusu Markowitz dir. 1990 yılında bu çalışmasıyla Nobel Ekonomi ödülünü MertonH. Miller ve William F. Sharpe ilepaylaşmıştır. Modern

Detaylı

Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir.

Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir. 2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. boş olmayan bir küme olsun. ile den üzerine bire-bir fonksiyonlar kümesini

Detaylı

OLASILIK ve KURAMSAL DAĞILIMLAR

OLASILIK ve KURAMSAL DAĞILIMLAR OLASILIK ve KURAMSAL DAĞILIMLAR Kuramsal Dağılımlar İstatistiksel çözümlemelerde; değişkenlerimizin dağılma özellikleri, çözümleme yönteminin seçimi ve sonuçlarının yorumlanmasında önemlidir. Dağılma özelliklerine

Detaylı

Oyun Tasarımı. 10. Ders

Oyun Tasarımı. 10. Ders Oyun Tasarımı 10. Ders Geçtiğimiz haftalar 1. Lens: Öz Deneyim 2. Lens: Şaşırtma 3. Lens: Eğlence 4. Lens: Merak 5. Lens: Endojen 6. Lens: Problem Çözme 7. Lens: Temel Eleman Dörtlüsü 8. Lens: Hologra

Detaylı

CEBİRDEN SEÇME KONULAR

CEBİRDEN SEÇME KONULAR CEBİRDEN SEÇME KONULAR MATRİS OYUNLARI HAZIRLAYANLAR : METEHAN ŞAHİN 080216030 SEDA SAYAR 080216062 AYSU CANSU ÇOĞALAN 080216058 ÖĞRETİM GÖREVLİSİ : PROF.DR. NEŞET AYDIN ARŞ. GRV. AYKUT OR ÇANAKKALE 2012

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A

SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A 2.2 Ölçüler SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X kuvvet kümesi veriliyor. P (X üzerinde 0 ; A (A : 1 ; A şeklinde tanımlanan dönüşümü ölçü müdür? ÇÖZÜM 1: (i Tanımdan ( 0. (ii A

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Bibliography 9 Index 13 CONTENTS 5 0.1 Doğru, Düzlem, Uzay Bu derste sık sık doğru, düzlem ve

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu

Detaylı

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde 1. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz küme belirtir? A) A = { x 4 < x < 36,x N} B) B = { x 19 < x,x asal sayı} C) C = { x x = 5k,0 < x < 100,k Z} D) D = { x x = 5, x Z} E) E = { x x < 19,x N}. A, B ve

Detaylı

Bu optimal reklam-satış oranının reklam etkinliğini (reklam esnekliği) fiyat esnekliğine bölerek de hesaplarız anlamına gelir.

Bu optimal reklam-satış oranının reklam etkinliğini (reklam esnekliği) fiyat esnekliğine bölerek de hesaplarız anlamına gelir. Sloan Yönetim Okulu 15.010/ 15.011 Massachusetts Teknoloji Enstitüsü Đş Kararları için Đktisadi Analiz Profesör McAdams, Montero, Stoker ve van den Steen 2000 Final Sınavı Cevapları: Asistanların Notlandırması

Detaylı

Ağaç (Tree) Veri Modeli

Ağaç (Tree) Veri Modeli Ağaç (Tree) Veri Modeli 1 2 Ağaç Veri Modeli Temel Kavramları Ağaç, bir kök işaretçisi, sonlu sayıda düğümleri ve onları birbirine bağlayan dalları olan bir veri modelidir; aynı aile soyağacında olduğu

Detaylı

kavramını tanımlayıp bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Ayrıca bir grup üzerinde tanımlı

kavramını tanımlayıp bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Ayrıca bir grup üzerinde tanımlı Bölüm 5 Permütasyon Grupları Bu bölümde sonlu bir kümenin permütasyonlarını araştıracağız. Öncelikle permütasyon kavramını tanımlayıp bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Ayrıca bir rup üzerinde tanımlı eşlenik

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Bibliography 11 CONTENTS 5 0.1 Kartezyen Çarpım 0.2 Sıralı İkililer Şimdiye kadar sıra ya da

Detaylı

2018 İKİNCİ SEVİYE AKTÜERLİK SINAVLARI RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME 12 MAYIS 2018

2018 İKİNCİ SEVİYE AKTÜERLİK SINAVLARI RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME 12 MAYIS 2018 2018 İKİNCİ SEVİYE AKTÜERLİK SINAVLARI RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME 12 MAYIS 2018 Sigortacılık Eğitim Merkezi (SEGEM) tarafından hazırlanmış olan bu sınav sorularının her hakkı saklıdır. Hangi amaçla

Detaylı

YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ BEDEN EĞİTİMİ BÖLÜMÜ REKTÖRLÜK KUPASI FAKÜLTELER ARASI ÖĞRENCİ TURNUVALARI GENEL KURALLARI

YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ BEDEN EĞİTİMİ BÖLÜMÜ REKTÖRLÜK KUPASI FAKÜLTELER ARASI ÖĞRENCİ TURNUVALARI GENEL KURALLARI FAKÜLTELER ARASI ÖĞRENCİ TURNUVALARI GENEL KURALLARI. Turnuvanın yürütülmesinden Beden Eğitimi Bölümü sorumludur. Her türlü olay karşısında Beden Eğitimi Bölümü tarafından alınan kararlar uygulanacaktır..

Detaylı

Şekil 1. Sitiller ve biçimlendirme

Şekil 1. Sitiller ve biçimlendirme ŞABLONUN KULLANILMASI Şablon yazım kuralları belirli olan metinlerin yazımında kolaylık sağlayan araçlardır. Bu şablonlarda yazım kuralları ile ilgili detaylar tanımlanarak kullanıcının detaylarla uğraşmadan

Detaylı

Programlama Dilleri 1. Ders 3: Rastgele sayı üretimi ve uygulamaları

Programlama Dilleri 1. Ders 3: Rastgele sayı üretimi ve uygulamaları Ders 3: Rastgele sayı üretimi ve uygulamaları Ders 3 Genel Bakış Giriş Rastgele Sayı Rastgele Sayı Üreteci rand Fonksiyonunun İşlevi srand Fonksiyonunun İşlevi Monte Carlo Yöntemi Uygulama 1: Yazı-Tura

Detaylı

yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I

yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I i Yayın No : 3197 Eğitim Dizisi : 149 1. Baskı Ocak 2015 İSTANBUL ISBN 978-605 - 333-225 1 Copyright Bu kitabın bu basısı için Türkiye deki yayın hakları

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. Problem 5. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan c Copyright Titu Andreescu and Jonathan Kane

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. Problem 5. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan c Copyright Titu Andreescu and Jonathan Kane PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 İLKÖĞRETİM - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Andreescu and Jonathan Kane Çeviri Sibel Kılıçarslan CANSU ve Fatih Kürşat CANSU Problem 1 Eğer 125 + n + 135 + 2n

Detaylı

12. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 24, Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon.

12. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 24, Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon. 12. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 24, 2016 1 Yerel Kaldırma Özellikleri Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon ι : Sym(g) n 0 U n /U n+1 bize bir derecelendirilmiş

Detaylı

Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar

Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar Küme Kavramı Küme İşlemleri Deney, Örnek Uzay, Örnek Nokta ve Olay Kavramları Örnek Noktaları Sayma Permütasyonlar Kombinasyonlar Parçalanmalar

Detaylı

Üç Boyutlu Serpilme (Saçılım) Grafikleri

Üç Boyutlu Serpilme (Saçılım) Grafikleri Üç Boyutlu Serpilme (Saçılım) Grafikleri 3D Scatterplot of boy vs kol vs bacak 90 boy 0 70 0 90 70 00 0 bacak 0 0 90 kol 3D Scatterplot of kol vs omuz vs kalca 90 kol 0 70 00 kalca 0 0 0 0 00 omuz Merkez

Detaylı

Bu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz.

Bu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz. Bölüm 3 Gruplar Bu bölümde ilk olarak bir küme üzerinde tanımlı işlem kavramını ele alıp işlemlerin bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Daha sonra kümeler ve üzerinde tanımlı işlemlerden oluşan cebirsel

Detaylı

Matematikte Sonsuz. Mahmut Kuzucuoğlu. Orta Doğu Teknik Üniversitesi Matematik Bölümü İlkyar-2017

Matematikte Sonsuz. Mahmut Kuzucuoğlu. Orta Doğu Teknik Üniversitesi Matematik Bölümü İlkyar-2017 Matematikte Sonsuz Mahmut Kuzucuoğlu Orta Doğu Teknik Üniversitesi Matematik Bölümü matmah@metu.edu.tr İlkyar-2017 17 Temmuz 2017 Matematikte Sonsuz Bugün matematikte çok değişik bir kavram olan sonsuz

Detaylı

OLASILIĞA GİRİŞ P( )= =

OLASILIĞA GİRİŞ P( )= = OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması olasılığı %85 dir. Olasılık modelleri; Sıvı içindeki moleküllerin davranışlarını

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ OLASILIĞA GİRİŞ DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması

Detaylı

BİYOİSTATİSTİK Bazı Olasılık Dağılışları Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH

BİYOİSTATİSTİK Bazı Olasılık Dağılışları Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH BİYOİSTATİSTİK Bazı Olasılık Dağılışları Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr 1 Uygulamalı bilim

Detaylı