ÇENTİK METODU İLE SAYMA TEKNİKLERİNDE YENİ TEOREMLER

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ÇENTİK METODU İLE SAYMA TEKNİKLERİNDE YENİ TEOREMLER"

Transkript

1 DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ MATEMATİK YARIŞMASI ÇENTİK METODU İLE SAYMA TEKNİKLERİNDE YENİ TEOREMLER MATEMATİK PROJESİ DANIŞMAN YASEMİN YAVAŞ İSTANBUL-2014

2 İÇİNDEKİLER AMAÇ... 3 GİRİŞ... 4 TEOREMLER... 9 ÖRNEKLER 24 KAYNAKLAR... 34

3 AMAÇ Lise müfredatında öğretilen metodlarla çözülemeyen Umo ve Bilgisayar Olimpiyatları sorularının daha kolay bir yoldan çözülmesi ve bu yolun derinlemesine arşivlenmesidir. Bu derlemenin yapılma amaclarından biri de çentik metodu hakkında yeterli dokümanın bulunmaması da vardır. Örneğin ; 4 özdeş oyuncak 4 çocuğa kaç farklı şekilde dağıtılır? 1.yol (Lise düzeyi) a+b+c+d= ! 4! ! 2! ! 2!.2! ! 2! ! 3! =35 farklı şekilde dağatılır.sayılar büyüdükçe bu çözüm yolunun kullanımı daha da zorlaşacaktır. 2.Yol (Çentik Metodu) olur.

4 GİRİŞ SAYMA TEKNİKLERİ PERMÜTASYON 1-)Saymanın Temel İlkesi K D 1 D 2 D 3 D 4 E 1 E 2 L M N E 3 F 1 F 2 D={ K den L ye giden yollar } = { D 1, D 2, D 3, D 4 } E={ L den M ye giden yollar } = { E 1, E 2, E 3 } F={ M den N ye giden yollar } = { F 1, F 2 } K den (L ve M den geçmek koşuluyla) N ye gidebilmek için önce D kümesinden bir eleman sonra E den ve sonra da F den bir eleman seçilmelidir. (D 3, E 2, F 1 ) sıralı üçlüsü K den N ye giden bir yolu göstermektedir. (D 4, E 1, F 2 ), (D 1, E 1, F 1 ) sıralı üçlüleri de farklı birer yolu göstermektedir. Bu şekilde kaç tane sıralı üçlü yazılabileceği bu üç kümenin eleman sayılarının çarpımı ile bulunur. Bu kurala Saymanın Temel İlkesi denir. Buna göre, yol sayısı = s(d).s(e).s(f) = = 24 tür. Genellikle izlenen yöntem; sıralı üçlü yazılacağından üç kutu oluşturulur ) Sıralama ÖRNEK: 5 kişi yan yana sıralanmış 5 sandalyeye kaç değişik biçimde oturabilir? ( 5 kişi yan yana kaç değişik biçimde sıralanabilir? ) ÇÖZÜM: Bu örneğin çözümü için kutu yöntemi kullanılırsa: = = 5! Çözüme soldaki kutudan başlandı. Bir kişi iki yere birden oturamayacağına göre, kişi sayısı birer azalacaktır.

5 Sonuç olarak; n!, n tane nesnenin yan yana SIRALANMA sayısını 3) Permütasyon n ve r birer doğal sayı olmak üzere r n olsun. n tane elemanın r li sıralanışına n nin r li permütasyonu denir ve P(n,r) ile gösterilir. P(n,r) = n! (n-r)! 4-) Dönel ( Dairesel ) Permütasyon n tane elemanın kapalı bir eğri üzerindeki farklı sıralanışına dönel (dairesel) permütasyon denir. n-2 (sabit) n 1 n Çember üzerinde sıralama yapabilmek için elemanlardan biri sabit tutulur. Buna göre, n tane elemanın biri sabit tutulduğunda kalan n-1 elemanın sıralanışı; P( n-1, n-1) = (n-1)! kadardır. 5-) Tekrarlı Permütasyon aynı ise n tane farklı elemanın n 1 tanesi aynı, n 2 tanesi aynı,, n r tanesi n 1 + n n r = n tane elemanın farklı sıralamasının sayısı; n! n 1!.n 2!...n r! kadardır.

6 Kombinasyon kullanımı Geometride; 1) Alt Kümelerde; ÖRNEK: A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 2 birlikte bulunmaz? 9 ÇÖZÜM: ) Gruplamada; ÖRNEK: 5 evli çift arasından 3 kişilik bir kurul, a) Hiçbir şart olmaksızın b) Kurulda 2 erkek, 1 kadın olmak şartıyla c) Eşler aynı kurulda bulunmamak şartıyla kaç farklı şekilde seçilir? ÇÖZÜM: a) Sıra önemi olmadığından 10 kişi arasından 3 ünün seçimi düşünülür = 10! 7!.3! = = 10 1 = yolla seçilir. Çarpma kuralından. = 10.5= b) 2 erkek yolla seçilir. Bu seçim yapıldıktan sonra 1 kadın c) Eşler aynı kurulda bulunmayacaklarına göre, kurulda bulunan kişiler eş olmamalıdır. Önce 3 çift, 5 çift arasından yolla seçilir. 3 çift seçildikten sonra, ilk çiftten iki (erkek ya da kadın), ikinci çiftten iki üçüncü çiftten iki seçim yapılabilir. Çarpma kuralıyla;

7 = 80 ya da 10 tüm seçim 5 beş çiftten. 8 3 sayısından 1 birinin seçimi 1 geri kalan 8 kişiden birinin seçimi = 80 4) Dağılımda; ÖRNEK: ( x+y+z+t ) 12 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? ÇÖZÜM: a+b+c+d=12, a 0, b 0, c 0, d 0 denkleminin ( a, b, c, d tam sayıları için) çözüm sayısı kadar terim vardır. O halde; = 15! 12!.3! =455 tane çözüm vardır. Yani ifadenin açılımında 455 terim vardır. Lise düzeyinde öğrendiğimiz yukarıdaki konular son soruda ifade ettiğimiz dağılım sorularında yetersiz kalmaktadır. Bu yüzden n özdeş nesnenin r farklı kutuya dağılımı soruları çok fazla uygulaması olduğu için teferruatlı bir şekilde incelenecektir.

8 N özdeş nesne r farklı kutuya Teorem nr1 nr1 r1 n İSPAT farklı şekilde yerleştirilir. N özdeş nesnenin r farklı kutuya dağalımını inceleyelim r n özdeş nesne r kutu için,her kutu arasına bir çentik atarsak r-1 tane çentik oluşur r n n nesneyi, n= ( n tane 1 ) olacak şekilde 1 lerden oluşturalım r (n tane nesne) 1 lerimiz r kutuya rastgele dağıtıldığında, örneğin; şeklinde bir dağılım oluşur.yani; şeklini alır.bu ise, (r-1) çentik (çizgiler) N nesne (1 ler) için ikili tekrarlı permütasyondur.kısaca; ( nr1)! n! r1!. Bu ise nr1 nr1 r1 n kombinasyonudur.

9 Teorem 1 x1 x... 2 x3 xr n n N x1, x2, x3... x r N için denklemin çözüm kümesi elemanlıdır. nr1 nr1 r1 n İSPAT Çentik metodu ile, x1 x2 x3... xr (n tane 1) x1, x2, x3... x r kutularına özdeş 1 lerimizi dağıtırsak ilk teorem gereği doğal sayılarda çözüm kümesi nr1 nr1 r1 n elemanlıdır. ÖRNEK: a+b+c+d+e=37 denkleminin doğal sayılarda kaç tane çözümü vardır?

10 ÇÖZÜM: Teorem 2 x1 x... 2 x3 xr n n N x1, x2, x3... x r Z N, ve denkleminin çözüm kümesi ( nr) r1 n1 nr nr elemanlıdır. İSPAT Çentik metodunun geçerli olması için kutularda boş kutu kalabilmelidir.bu yüzden pozitif tam sayı kümesi elemanları olmak şartı ile n özdeş nesneden birer tane kutulara koymamız gerekir.yani r tane dağıtırsak, x x x x n r l l l... l r l l l l x1, x2, x3... x r en az bir elemanlı olur. Yani pozitif tamsayılar olur. (n-r) elemanı r kutuya dağıtırsak yine (r-1) çentik olur. ( nr) r1 n1 nr nr

11 SORU: a+b+c+d+e=37 denkleminin pozitif tamsayılarda kaç çözümü vardır? ÇÖZÜM: a ı b ı c ı d ı e ı 37 5 ı ı ı ı ı a b c d e Teorem 3 x1, x2, x3... x r N n N ise, x1 x... 2 x3 xr n Eşitsizliğinin çözüm kümesi nr nr n r elemanlıdır. İSPAT x1 x... 2 x3 xr n x1 x x3 xr n x1 x x3 xr n.... x1 x x3 x r

12 Denklemlerinin hepsi yukarıdaki eşitsizliği sağlar.n deki azalma yerine sol tarafa xr 1 elemanını eklersek ve n de her azalmadaki nesneleri bu kutuya atarsak tek formülle çözüm elemanlarının sayılarını bulabiliriz. Yani, x1 x2 x3... xr xr 1 n N özdeş nesneyi (r+1) kutuya, r çentiğe dağıtırsak nr nr n r ispatlanmış olur. SORU: a b c d e f 20 eşitsizliğinin doğal sayılarda kaç çözümü vardır? ÇÖZÜM: a+b+c+d+e+f+k= Teorem 4 x1, x2, x3..., xr Z

13 x1 x... 2 x3 xr n kümesi n n r nr elemanlıdır. eşitsizliğinin çözüm İSPAT x1 x... 2 x3 xr n Teorem 2 deki yolla birer eleman x1, x2, x3..., x r kutularına yerleştirelim.teorem 3 teki yolla eşitsizliğin azalan n değerleri için xr 1 kutusuna ekleyelim.yani, x x x... x x n r l l l l r r1 Çentik metodu ile (n-r) nesne, r çentiğe dağıtılırsa çözüm kümesi nrr nrr n r nr r elemanlıdır. ÖRNEK: a b c d e f 20 eşitsizliğinin doğal sayılarda kaç çözümü vardır? ÇÖZÜM: a l b l c l d l e l f l

14 Teorem 5 x1, x2, x3..., xr N n N x1 x... 2 x3 xr n için çözüm kümeleri nr 2 nr 2 n1 r1 elemanlıdır. İSPAT x1 x x3 xr n olur. ( n N için ) x x x... x x n r r1

15 (n-1) nesneyi r çentiğe dağıtırsak, çözüm kümesi nr 2 nr 2 n1 r1 elemanlı olur. ÖRNEK a b c d e f 20 eşitsizliğinin doğal sayılarda kaç çözümü vardır? ÇÖZÜM: a b c d e f 19 a b c d e f k TEOREM 6 x1, x2, x3... x r N n N ve n a1 a2 a3... a r olmak üzere x1 a1, x2 a2, x3 a3,... x r a r olacak şekilde doğal sayılarda x1x... 2 x3 xr n denkleminin çözüm kümesi a1 a2 a3... a r T olacak şekilde n T r 1 r 1 elemanlıdır. x ' e 1 a 1 tane, x ' ye 2 a 2 tane, İSPAT xr ' ye ar tane elemanı n den alıp yerleştirirsek

16 n a1 a2 a3... a r x x x... x n ( a a a... a ) l l l r şartı gerçekleşecek şekilde düzenleyelim.. Yani; r dır. n a1 a2 a3 a r (... ) elemanı, (r-1) çentikle yöntemimizi uygularsak Çözüm kümesi n ( a1 a2... ar ) r 1 n T r 1 r1 r1 elemanlı olur. ÖRNEK: x1 3, x2 2, x3 4 olmak üzere, x x x... x 30 denkleminin çözüm kümesi kaç tanedir? ÇÖZÜM: 3+2+4=9, bu elemanları x1, x2, x 3 e yerleştirirsek l l l x x x x... x Teorem 7 x1, x2, x3... x r N, n N olmak üzere x1 a1, x2 a2, x3 a3... xr ar olacak şekilde, n N,

17 x1 x... 2 x3 xr n, a1 a... 2 a3 ar T a1 a... 2 a3 ar n olmak üzere doğal sayılarda çözüm kümesi T n r 1 T n r 1 T n r 1 elemanlıdır. İSPAT Burada kutuların üst limitleri vardır. x 1 kutusu en fazla a 1 tane eleman alırken x 2 kutusu en fazla a 2 eleman alır ve bu şekilde devam eder. Eğer a1 a... 2 a3 ar n ise n nesne kutuları doldurmaya yetmeyecektir.burada ( a1 a2 a3... ar ) n farkı kadar kutularda boşluk kalır.o halde bu boşlukların kutulara dağıtılması çözüm kümesi için yeterlidir. x x x... x ( a a... a ) n r 1 2 r a1 a... 2 a3 ar T olmak üzere çözüm kümesi T-n nesne, r-1 çentikle T n r 1 T n r 1 T n r 1 elemanlıdır. İkinci olarak ;

18 T a... 1 a2 a3 ar n ise n nesneyi kutulara dağıtınca kutular dolacağı için dağılım tam olarak gerçekleşmez.adeti sıfırdır.bir kısmı dağıtılırsa önceki teoremlerden çözüm yapılabilir. ÖRNEK: x1 13, x2 15, x3 4 olmak üzere, x x x... x 27 denkleminin doğal sayılarda kaç çözümü vardır? ÇÖZÜM: >27 32>27 olduğundan, 32-27=5 boşluğu dağıtmamız gerekir. x x x... x

19 Teorem 8 (... ) n açılımında x1 x2 x3 x r n r 1 n r 1 n r1 tane terim vardır. İSPAT n a1 a2 a ( x x x... x )... K. x. x... x r r 1 1 r şeklinde bir 1 2 r K. x a. x a... x a elemanı vardır. 1 1 r Burada, a1 a... 2 a3 ar toplamı n ye eşit olur. Yani ; a1 a... 2 a3 ar n olur. a1 a... 2 a3 ar N olmak üzere dağılım yaparsak açılımdaki bütün terimleri saymış oluruz. Açılımın terim sayısı n r 1 n r 1 n r1 olur. ÖRNEK: ( a b c d e) 21 açılımında kaç terim vardır? ÇÖZÜM: a1 a2 a3 a4 a K a b c d e açılımını elde ederiz.

20 a1 a2 a3 a4 a5 21 olmalıdır Teorem 9 r basamaklı x1 x... 2x3 x r sayısında rakamlar toplamı k olan (k<10) k r2 r 1 farklı doğal sayı yazılır. İSPAT x1 x... 2 x3 xr k olmalı ve aynı zamanda ilk basamak olduğu için x1 1 şartı vardır.k dan 1 nesneyi x e yerleştirirsek,

21 l x x2 x3 xr k olur. (k-1) tane nesneyi r kutuya,(r-1) çentiğe yerleştirirsek, k 1 r 1 k r 2 k r 2 k 1 k 1 r 1 sayı yazılabilir. ÖRNEK :Altı basamaklı abcdef sayısının rakamlar toplamı 8 olacak şekilde kaç farklı sayı yazılır? ÇÖZÜM: a b c d e f 8, a1 1 için, 1 a b c d e f

22 Teorem 10 r basamaklı x x x x sayısı rakamları toplamı k olacak şekilde ( k 10) 1, 2, 3... r k r 2 k r 13 k r 12 ( r 1) r 1 r 1 r 1 farklı şekilde yazılabilir. Burada rakamlar İSPAT 9 dan küçük eşit olmalıdır. O halde (k-1) özdeş nesneyi r kutu, (r-1) çentiğe dağıtırsak, k1 r1 ile bütün durumları buluruz.bütün durumlardan, r 1 şartlarını çıkarmalıyız.örneğin, x1 x2 x3 x r şartı için (k-1)-9=k-10 tane nesneyi x ye yerleştirmemiz mümkün değildir.çünkü sadece 0, 1, 2,...,9 tane özdeş nesneleri (10 adet) yerleştirebiliz. O halde (k-10) özdeş nesnenin x1 1 x x x x k r 10, 10, 10..., 10 x1 x x3 xr k x1, x2, x3... x r x x 2 gibi (r-1) tane kutuya dağılımı bütünden çıkarılmalıdır.ayrıca x 1 için 1 elemanı olma şartı olduğundan farklı ele alınır. k r 2 k r 13 k r 12 ( r 1) r 1 r 1 r 1

23 ÖRNEK: Altı basamaklı abcdef sayısının rakamları toplamı 14 ise kaç farklı sayı yazılır? ÇÖZÜM: a+b+c+d+e+f=14 a 1 için 1 a b c d e f 13 k1 r r bütün durumlar. k , r 6 (5) olur. doğal sayı çözüm kümesi Teorem 11 x Çarpımı bir n Z 1. x2. x3... x r sayısına eşitse ( x1, x2, x3, x4... x r) n p1 p2 p3 p n a r 1 a r 1 a r 1 a r 1 a1 a2 a3 an..... asal çarpanları için, n..... r 1 r 1 r 1 r 1 tanedir. İSPAT x x x x n p p p p a1 a2 a3 an r n p1, p2..., pn asal sayılar olacak şekilde asal çarpanlara ayrılabilir. x1, x2, x3..., x kutularının her birinin oluşumu p r 1, p2..., pn asal sayılarının bu kutulara dağılımı ile ulaşılır. a tane, tane, tane asal sayımız 1 p1 a p a 2 2 n p n varsa, (r-1) çentiğe, a1 r 1 a2 r 1 an r r 1 r 1 r 1

24 farklı şekilde yazılabilir. BİLGİSAYAR OLİMPİYATI SORULARI VE CEVAPLARI BİLGİ: Serender pastanesinde muzlu, kestaneli,limonlu,bademli ve çikolatalı pasta çeşitleri bulunmaktadır.ali okulda düzenleyecekleri parti için 12 adet pasta almak istenmektedir. SORU 1: Ali 12 pastayı kaç farklı şekilde seçebilir? (2002 Bilgisayar Olimpiyatları) ÇÖZÜM: Muzlu+Kestaneli+Limonlu+Bademli +Çikolatalı=12 olarak alındığında problem çentik problemine dönüşür. Çentik denkleminde sayı formülü,

25 mn1 dir. Burada; n 1 m = alınacak pasta sayısı n = kaç çeşit pasta olduğu durumu için cevabımız: m n n olarak bulunur. SORU 2: En az 4 pastanın muzlu olması istenildiğinde Ali 12 pastayı kaç farklı şekilde seçebilir? (2002 Bilgisayar Olimpiyatları) ÇÖZÜM: Muzlu+Kestaneli+Limonlu+Bademli+Çikolatalı=12 olarak alınır. Fakat burada en az 4 pasta muzlu olacağı için muzlu yerine a+4 yazılır. Kestaneli=b Limonlu=c Bademli=d Çikolatalı=e

26 olarak alındığında, a+4+b+c+d+e=12 a+b+c +d+e=8 olur. Çentik denklem formülünden ; m n n olarak bulunur. SORU 3: x+y+z=17 denkleminde x,y ve z negatif olmayan tamsayılardır. x>1, y>2 ve z>3 durumunda denkleminin kaç çözümü vardır? (2003 Bilgisayar Olimpiyatları ) ÇÖZÜM: Bu durumda x,y ve z tekrar yazılırsa ; x =a+2, y=b+3, z=c+4 Buna göre denklem şu şekilde değişir. a +b+c+2+3+4=17 a+b+c=8

27 Artık bir çentik denklemine dönüşmüş olan denklem için tamsayı çözümleri bulunur; m n n Verilen bu durum için denklemin 45 farklı çözümü vardır. Soru 4: m2( n 1) iken m adet 0 ve n adet 1 içeren ve her 1 in en az iki 0 ile ayrıldığı kaç farklı dizi oluşturulabilir? ÇÖZÜM: İlk önce minimum durum için 1 ve 0 ları dizelim; Bu dizilimde n adet 1 ve n(n-1) adet 0, yani toplamda 3n-2 adet rakamımız mevcut. Şimdi dağıtmamız gereken m-2(n-1) adet 0 rakamımız kaldı. Bu sıfırları 1 rakamları arasında dağıtacağımız için, dağıtabilecek (n+1) bölgemiz var. Elimizdeki 1 rakamlarını ayraçlar olarak kabul ettiğimizde, çentik (genel kutu dağılım ) formülümüze göre uygun bir biçimde verileri yerlerine yerleştirelim:

28 k r 1 m 2n 2 n 11 m n 2 r 1 n 11 n sonucunu elde ederiz. Bizden istenen şekilde C( m n 2, n) adet farklı dizi oluşturulabilir. SORU 5: 20 adet posta kartı ve 12 adet zarf (zarflar 1 den 12 ye kadar numaralandırılmıştır) bulunmaktadır. Kartlar aynı ise (ayırt edilebiliyorsa) 20 posta kartını zarflara kaç farklı şekilde koyabiliriz? ÇÖZÜM:... = 20 aynı posta kartı = 12 tane zarf Zarfların arasına çentik (çizgi) koyarsak = 12 tane zarf ve 12-1 tane çentik Çentik formülünden sonuç dağıtılacaklar ayraçlar ayraçlar olur. SORU 6: 20 adet posta kartı ve 12 adet zarf (zarflar 1 den 12 ye kadar numaralandırılmıştır) bulunmaktadır.

29 Kartlar aynı ise (ayırt edilemiyorsa) 20 posta kartını zarflara hiçbir zarf boş kalmamak şartıyla kaç şekilde koyabiliriz? ÇÖZÜM: 20 aynı zarftan 12 tanesini 12 zarfa her birine birer tane olmak üzere dağıtılır.geriye 20-12=8 tane posta kartı kalır. Geriye kalan 8 posta kartını 12 zarfa dağıtmak için çentik formülü kullanılır. kartlar zarflar zarflar olur. SORU 7: 100 tane birbirinin aynısı top ve 5 adet birbirinden farklı kutu bulunmaktadır.

30 Her bir kutuda en az 6 adet top bulunacak şekilde topları kaç farklı şekilde kutulara dağıtabiliriz? ÇÖZÜM: En az her kutuda 6 tane olacaksa her kutuya 6 tane koyalım: 6.5=30 bütün kutularda var olan toplardır =70 tane kutularda olamayan top vardır. Çentik formülü sonuç nr1 74 r 1 4 olur. SORU 8: 100 tane birbirinin aynısı top ve 5 adet birbirinden farklı kutu bulunmaktadır. Her bir kutuda en fazla 40 tane top bulunacak şekilde topları kaç farklı şekilde kutulara dağıtabiliriz? ÇÖZÜM: Önce gelen durumu buluruz. Genel durum nr1 104 r 1 4 olur. 1.kutu= x 1 2.kutu= x 2

31 3.kutu= x 3 4.kutu= x 4 5.kutu= x 5 olmak üzere x1 x2 x3 x4 x5 100 Olmayan durumlara bakalım; x 41 y y x x x x C(63,4) x 41 y y y x x x C(22,4) Genel durum özel durum C(104,4)-5.C(63,4)+10.(22,4) 100 i i k SORU 9: ( x y z) ifadesi açıldığında, her bir x y z ( i j k 100) şeklindeki ortak terimlerin toplandığı varsayılırsa toplam kaç farklı terim elde edilir? ÇÖZÜM: Tipik bir çentik sorusudur.

32 i +j+k=100 denklemini sağlayan değerlerin sayısını bulmak yeterlidir. i +j+k=100 ise SORU10: Bir programcı çalışması gereken toplam 15 saati, günde en az 2 saat çalışmayı sağlayacak şekilde, toplam 5 güne dağıtmak istiyor. Programcının zamanını birer saatlik birimlerin katları ile dağıtılabildiğini varsayarsak, kaç farklı dağıtım yapılabilir? ÇÖZÜM: Toplam 5 günü g1, g2, g3, g4, g 5 ile gösterelim. Buna göre g1, g2, g3, g4, g5 15 olacaktır. Her gün en az 2 saat çalışacağına göre, g 2 g 2 g 2... g 2 15 ve ı ı ı ı g g g... g 5 ı ı ı ı Buradan; olur.

33 OLİMPİYAT SORULARI VE CEVAPLARI SORU 1: Çarpanlarının sırasını da hesaba katarsak sayısı üç pozitif tam sayının çarpımı olarak kaç değişik biçimde gösterilir? (UM0-1993) ÇÖZÜM: a.b.c= a. b. c 10 a. b. c SORU 2: En fazla 3,5,7 ve 8 top alabilen dört kutuya birbirinin aynı olan 19 top kaç farklı şekilde dağıtılabilir? ÇÖZÜM: a+b+c+d=19 a 3, b 5, c 7, d = =4 tane boşluk olur. boşlukları dağıtırsak, tane dağılım gerçekleşir.

34 6 SORU 3: x. y. z 10 eşitliğini sağlayan kaç(x,y,z) doğal sayı üçlüsü vardır? (UMO-2005) ÇÖZÜM: 6 x. y. z x. y. z KAYNAKLAR 1-CANSU Kürşat Fatih, AYSAN Bülent, TUBİTAK Ulusal Bilgisayar Olimpiyatı Soruları ve Çözümleri YAGLOM A.M and YAGLOM I.M, Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutıons 3-ALİYEV İlham, Sonlu Matematik 4-ÖZDEMİR Mustafa, Matematik Olimpiyatları Hazırlık-3 5-YÜCESAN Recep, Meraklısına Lise Matematik

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek: SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

Örnek...5 : A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 4 lü perm ütas yonlarının kaç tanesinde,

Örnek...5 : A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 4 lü perm ütas yonlarının kaç tanesinde, PERMÜTASYON ( SIRALAMA OLAYI ) Birbirinden farklı n tane nesnenin r tanesinin farklı her dizilişine (sıralanışına) n nesnenin r li permütasyonları denir ve P(n,r)= n! (r n) (n r)! biçim inde gösterilir.

Detaylı

Cebir Notları. Nesnelerin Dağılımları Mustafa YAĞCI,

Cebir Notları. Nesnelerin Dağılımları Mustafa YAĞCI, www.mustafayagci.com, 2006 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Nesnelerin Dağılımları Bu yazımızda, r ve n birer sayma sayısı olmak üzere, r tane nesneyi n farklı kutuya belli şartlar altında

Detaylı

TEMEL SAYMA KURALLARI

TEMEL SAYMA KURALLARI TEMEL SAYMA KURALLARI SAYMA Toplama Yoluyla Sayma A ve B sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı; s(a,b) = s(a) + s(b) dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4 NİSAN 21 DENEMESİ 1) ABCD dikdörtgeninin AB kenarı üzerindeki M noktasından geçen ve CM doğrusuna dik olan doğru AD kenarını E noktasında kesiyor. M noktasından CE doğrusuna indirilen dikmenin ayağı P

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.

Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir. BÖLÜM 1 KÜMELER CEBİRİ Küme, iyi tanımlanmış ve farklı olan nesneler topluluğudur. Yani küme, belli bir kurala göre verilmiş nesnelerin listesidir. Nesneler reel veya kavramsal olabilir. Kümede bulunan

Detaylı

c

c L ıneer Denklemler ın Tamsayı Çözümler ı Ol ımp ıyat Çalışma Kağıdı c www.sbelian.wordpress.com sbelianwordpress@gmail.com Özellikle Bilgisayar Olimpiyatları sınavlarına hazırlanan öğrenci arkadaşların

Detaylı

MUTLAK DEĞER Test -1

MUTLAK DEĞER Test -1 MUTLAK DEĞER Test -. < x < olduğuna göre, x x ifadesinin eşiti aşağıdakilerden 7 B) 7 x C) x 7 D) x 7 E) 7 x 5. y < 0 < x olduğuna göre, y x x y x y ifadesinin eşiti aşağıdakilerden xy B) xy C) xy D) xy

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

2. (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 10 ifadesinin açılımında kaç terim vardır?

2. (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 10 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84 N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı A 1. Köşeleri, yarıçapı 1 olan çemberin üstünde yer alan düzgün bir n-genin çevre uzunluğunun alanına oranı 4 3 ise, n kaçtır? 3 a) 3 b) 4 c) 5 d)

Detaylı

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar, 1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

2000 Birinci Aşama Sınav Soruları

2000 Birinci Aşama Sınav Soruları 2000 irinci şama Sınav Soruları Lise 1 Soruları 1 369 sayısı bir kaç ardışık doğal sayının toplamı olarak kaç farklı biçimde yazılabilir? )2 )3 )4 )5 )7 2 ve sayıları 2000 sayısının pozitif bölenleri olmak

Detaylı

Sivas Fen Lisesi Ortaokul 2. Matematik Olimpiyatı Sınavı A A) 55 B) 50 C) 45 D) 40 E) 35

Sivas Fen Lisesi Ortaokul 2. Matematik Olimpiyatı Sınavı A A) 55 B) 50 C) 45 D) 40 E) 35 Sivas Fen Lisesi Ortaokul 2. Matematik Olimpiyatı Sınavı A 1. ABC üçgeninde BF BD, EC CD olacak şekilde AC kenarı üzerinde E noktası, o BC m(ba C) 70 ise m(fd E) kaç derecedir? AB kenarı üzerinde F noktası,

Detaylı

PERMÜTASYON DERS NOTLARI. Sayma Yöntemleri. TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma. Çarpma yoluyla sayma

PERMÜTASYON DERS NOTLARI. Sayma Yöntemleri. TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma. Çarpma yoluyla sayma TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma A ve B ayrık iki küme olsun. Bu iki kümenin birleşimlerinin eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının toplamına eşittir. Bu sayma yöntemine toplama yoluyla

Detaylı

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde 1. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz küme belirtir? A) A = { x 4 < x < 36,x N} B) B = { x 19 < x,x asal sayı} C) C = { x x = 5k,0 < x < 100,k Z} D) D = { x x = 5, x Z} E) E = { x x < 19,x N}. A, B ve

Detaylı

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir.

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir. TABAN ARĠTMETĠĞĠ Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde sayılar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanları (Rakam) kullanılarak yazılır. En büyük elemanı 9 olan, 10 elemanlı bir kümedir. Onluk sistemde;

Detaylı

Singapur Matematik Olimpiyatı Soruları

Singapur Matematik Olimpiyatı Soruları Singapur Matematik Olimpiyatı Soruları 1.) 1, 1, 1,., 1 sayıları tahtaya yazılıyor. Burak x ve y gibi iki sayı seçip bunları siliyor ve 1 2 3 2010 x+y+xy sayısını yazıyor. Burak bu işleme tahtada tek sayı

Detaylı

Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık

Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık Saymanın Temel İlkesi: A1, A2,..., A n kümeleri için s( A1 ) = a1, s( A2 ) = a2,.., s( An ) A xa x xa Kartezyen çarpımının eleman sayısı; s( A xa x... xa ) = s( A

Detaylı

1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON) Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON) Bölüm: BİNOM AÇILIMI Bölüm: OLASILIK...25

1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON) Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON) Bölüm: BİNOM AÇILIMI Bölüm: OLASILIK...25 1 İçindekiler 1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON)... 5 2. Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON)...13 3. Bölüm: BİNOM AÇILIMI...21 4. Bölüm: OLASILIK...25 5. Bölüm: FONKSİYONLARIN SİMETRİLERİ VE CEBİRSEL ÖZELLİKLERİ...37

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :.

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. SAYILAR BASAMAK KAVRAMI İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. Üç basamaklı rakamları farklı en küçük sayı :. SORU 5 MATEMATİK KAF03 TEMEL KAVRAM 01 Üç basamaklı birbirinden

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

4. Bir tabakta 3 elma, 4 armut ve 5 portakal vardır.

4. Bir tabakta 3 elma, 4 armut ve 5 portakal vardır. Saymanın Temel İlkesi Birinci elemanı A 1 kümesinden, ikinci elemanı A 2 kümesinden,..., n inci elemanı A n kümesinden alınmak koşulu ile; kaç değişik sıralı n li yazılabilir? 1. Aşağıdaki problemleri,

Detaylı

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10.

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10. MAT-1 EK SORULAR-2 1. 6. A)7 B)8 C)15.D)56 E)64 Olduğuna göre x.a)1 B)2 C)3 D)4 E)6 7. 2. Birbirinden farklı x ve y gerçek A)5.B)6 C)7 D)8 E)9 sayıları için; x 2 +2009y=y 2 +2009x eşitliği sağlandığına

Detaylı

SERİMYA 2003 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

SERİMYA 2003 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI SERİMYA 00 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI. + + 5 0 + + + 0 40 toplamının sonucu kaçtır? A) 5 B) C) D) E) + 4. a,b,c Z olmak üzere, a + b + c 7 = 6 ise, a.b.c kaçtır? A) 6 B) 8 C) D) 6 E) 8 y.

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

TEMEL SAYMA. Bill Gates

TEMEL SAYMA. Bill Gates Bölüm 1 TEMEL SAYMA YÖNTEMLERİ Firmamızın sahip olduğu tek şey insan düş gücüdür. Bill Gates Bu bölümde fazla kuramsal bilgi gerektirmeyen sayma problemleri üzerinde duracağız. Bu tür problemlerde sayma;

Detaylı

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI BİREYSEL YARIŞMA SORULARI CEVAPLARI CEVAP KAĞIDI ÜZERİNE YAZINIZ. SORU KİTAPÇIĞINI KARALAMA MAKSATLI KULLANABİLİRSİNİZ 1

Detaylı

EN AZ SAYIDA AĞIRLIKLA AĞIRLIKLARI TARTMAK

EN AZ SAYIDA AĞIRLIKLA AĞIRLIKLARI TARTMAK EN AZ SAYIDA AĞIRLIKLA AĞIRLIKLARI TARTMAK Amaç: 1 den n ye kadar olan tamsayı ağırlıkları, toplamları n olan en az sayıda ağırlığı kullanarak tartmak. Giriş: Bu araştırmanın temelini Ulusal Bilgisayar

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

14. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI EKİP FİNAL SORULARI

14. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI EKİP FİNAL SORULARI 14. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI EKİP FİNAL SORULARI - 008 SORU -1 1 0.7 0.1 0.48 = 0.018 0.8 0. eşitliğini sağlayan sayısı kaçtır? [ 0.15] SORU - c d d c a b 4 c d b b a ifadesinin i i sayısal ldeğeri

Detaylı

Ünite 1: SAYMA Konu : Sıralama ve seçme Alt Konu : Toplama ve çarpma yolu ile sayma Neler öğreneceksiniz? Olayların gerçekleşme sayılarını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplamayı öğreneceksiniz.

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

2. Aşağıdaki pseudocode ile verilen satırlar işletilirse, cnt isimli değişkenin son değeri ne olur?

2. Aşağıdaki pseudocode ile verilen satırlar işletilirse, cnt isimli değişkenin son değeri ne olur? Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.

Detaylı

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNE: AM AYIAR N: am ayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE RAR VE ÇÖZÜMER 1. [(+17) (+25)] + [( 12) (+21)] işleminin sonucu A) 41 B) 25 C) 25 D) 41 Çıkarma işlemi yapılırken çıkanın işareti değişir ve eksilen

Detaylı

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol: EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,

Detaylı

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi 2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 4 (336 sayfa) ANALİZ CEBİR 1 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 13 Mayıs Matematik Sorularının Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 13 Mayıs Matematik Sorularının Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 1 Mayıs 01 Matematik Sorularının Çözümleri 1. 9! 8! 7! 9! + 8! + 7! 7!.(9.8 8 1) 7!.(9.8+ 8+ 1) 6 81 9 7. 4, π, π π,14

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon İçindekiler Cebir 1. Fonksiyonlar....... 1.1 Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi...... 1.1.1 Fonksiyon.. 1.1. Görüntü Kümesi... 1.1.3 Eşit Fonksiyonlar. 1.1.4 Fonksiyonun Gösterimi. 1.1.4.1 Liste

Detaylı

AKADEMİK PERSONEL VE LİSANSÜSTÜ EĞİTİMİ GİRİŞ SINAVI (ALES)

AKADEMİK PERSONEL VE LİSANSÜSTÜ EĞİTİMİ GİRİŞ SINAVI (ALES) 00000000001 AKADEMİK PERSONEL VE LİSANSÜSTÜ EĞİTİMİ GİRİŞ SINAVI (ALES) plam cevaplama süresi 150 akikadır. (,5 saat) SAYISAL BÖLÜM SAYISAL - 1 TESTİ Sınavın bu bölümünden alacağınız standart puan, Sayısal

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu

Detaylı

ales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan

ales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ales 2015 tarzına en yakın dört bin soru EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ALES Eşit Ağırlık ve

Detaylı

PROJE ADI: ÖZDEŞ NESNELERİN FARKLI KUTULARA DAĞILIMINDA POLİNOM KULLANIMI

PROJE ADI: ÖZDEŞ NESNELERİN FARKLI KUTULARA DAĞILIMINDA POLİNOM KULLANIMI PROJE ADI: ÖZDEŞ NESNELERİN FARKLI KUTULARA DAĞILIMINDA POLİNOM KULLANIMI PROJENİN AMACI: Polinom fonksiyon yardımıyla özdeş nesnelerin farklı kutulara istenilen koşullardaki dağılım sayısının hesaplanması

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ OLASILIĞA GİRİŞ DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması

Detaylı

ALTIN NOKTA YAYINEVİ ANTALYA

ALTIN NOKTA YAYINEVİ ANTALYA ALTIN NOKTA YAYINEVİ ANTALYA - 2016 Copyright Altın Nokta Basım Yayın Dağıtım Bilişim ISBN 978-605-5255-17-6 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları 1. Aşama Mustafa Özdemir mozdemir07@gmail.com İlham Aliyev

Detaylı

www.mustafayagci.com.tr, 2011 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Nesnelerin Dağılımları

www.mustafayagci.com.tr, 2011 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Nesnelerin Dağılımları www.mustafayagci.com.tr, 2011 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Nesnelerin Dağılımları B u yazımızda, r tane nesneyi n farklı kutuya belli şartlar altında kaç değişik şekilde dağıtabileceğimizi

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. 1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya

Detaylı

1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA) BÖLÜM: KOMBİNASYON (SEÇME) A. SEÇME (KOMBİNASYON) B. KOMBİNASYON GEOMETRİ İLİŞKİSİ

1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA) BÖLÜM: KOMBİNASYON (SEÇME) A. SEÇME (KOMBİNASYON) B. KOMBİNASYON GEOMETRİ İLİŞKİSİ İçindekiler 1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA)... 10 A. SAYMA KURALLARI... 10 B. FAKTÖRİYEL... 14 C. n ELEMANLI BİR KÜMENİN r Lİ PERMÜTASYONLARI (Dizilişleri)... 17 Ölçme ve Değerlendirme...20 Kazanım Değerlendirme

Detaylı

SINAV YÖNERGESİ. Numarası : CEVAP. Adı Soyadı : ANAHTARI A) 512 B) 513 C) 256 D) 1024 E) 1025 A) 252 B) 256 C) 3024 D) 126 E) =?

SINAV YÖNERGESİ. Numarası : CEVAP. Adı Soyadı : ANAHTARI A) 512 B) 513 C) 256 D) 1024 E) 1025 A) 252 B) 256 C) 3024 D) 126 E) =? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 0.0.01 Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem

Detaylı

barisayhanyayinlari.com

barisayhanyayinlari.com YGS MATEMATİK KONU ANLATIM FASİKÜLLERİ SERİSİ 1 ISBN 978-605-84147-0-9 Baskı Tarihi Ağustos 015 Baskı Yeri: İstanbul YAYINLARI İletişim tel: (538) 90 50 19 barisayhanyayinlari.com Benim için her şey bir

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ KPSS 2017 SORU BANKASI eğitimde tamamı çözümlü 30. Kerem Köker Kenan Osmanoğlu Levent Şahin Uğur Özçelik Ahmet Tümer Yılmaz Ceylan KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK

Detaylı

İSTANBUL III. BİLİM OLİMPİYATI

İSTANBUL III. BİLİM OLİMPİYATI İSTANBUL III. BİLİM OLİMPİYATI MATEMATİK SBELIAN Bu çalışma notunda İstanbul Bilim Olimpiyatı matematik sorularının bir bölümünün soru metinleri ve çözümleri verilmiştir. Soruların tamamının yayın hakkı

Detaylı

1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

1.DERECEDEN DENKLEMLER.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) .DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli

Detaylı

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 1. ve y aralarında asal iki doğal sayıdır. 7 y 11 olduğuna göre, y farkı 5. 364 sayısının en büyük asal böleni A) 3 B) 7 C) 11 D) 13 E) 17 A) B) 3 C) 4

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ ÇÖZÜMLÜ SORULARI. 1) 1000a 10b ifadesi aşağıdaki sayılardan hangisinin. ÇÖZÜM: 1000a 10b 1000.a b 1.

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ ÇÖZÜMLÜ SORULARI. 1) 1000a 10b ifadesi aşağıdaki sayılardan hangisinin. ÇÖZÜM: 1000a 10b 1000.a b 1. SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ ÇÖZÜMLÜ SORULARI 1) 1000a 10b ifadesi aşağıdaki sayılardan hangisinin çözümlenmiş biçimidir? A) ab B) a0b C) a0b0 D) ab0 E) ab00 1000a 10b 1000.a 100.0 10.b 1.0 a0b0 Doğru Cevap:

Detaylı

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Matematiğe Giriş... Temel Kavramlar... Bölme - Bölünebilme Kuralları... 85 EBOB - EKOK... Rasyonel Sayılar... Basit Eşitsizlikler... 65 Mutlak

Detaylı

ALES EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI. Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan. Eğitimde

ALES EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI. Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan. Eğitimde ALES 2017 EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan Eğitimde 30. yıl Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ALES Eşit Ağırlık ve Sayısal Soru

Detaylı

5. BÖLÜM EKİ SAYMANIN TEMEL PRENSİPLERİ

5. BÖLÜM EKİ SAYMANIN TEMEL PRENSİPLERİ 5 ÖLÜM EKİ SYMNIN TEMEL PRENSİPLERİ elirli bir takım deneylerde olanaklı tüm sonuçları belirlemek için geliştirilmiş tekniklere kombinasyon analizi denir Örneğin iki farklı denemede 1 denemenin m 2 denemenin

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde KPSS Genel Yetenek Genel Kültür MATEMATİK Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme KPSS 2016 Pegem Akademi Sınav Komisyonu; 2015 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 100'ün üzerinde soruyu kolaylıkla

Detaylı

SAYILAR SAYI KÜMELERİ

SAYILAR SAYI KÜMELERİ SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif tamsayılar

Detaylı

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 1. 2,31 0,33 0,65 0,13 + 3,6 0,6 işleminin sonucu kaçtır? A)0,5 B) 0,8 C)0,9 D)5 E)8 4. Üç basamaklı ABB doğal sayısı 4 e ve 9 a kalansız bölünmektedir. Buna göre, A+B toplamının

Detaylı

19. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI SORULARI A A A A A A A

19. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI SORULARI A A A A A A A KDENİZ ÜNİVERSİTESİ 19. ULUSL NTLY MTEMTİK OLİMPİYTI SORULRI DI SOYDI :...CEP TEL :... OKUL...ŞEHİR :... SINIF :...ÖĞRETMEN :... eposta :... İMZ :... SINV TRİHİ VESTİ:4Mayıs 2014 - Pazar 10.00-12.30 Bu

Detaylı

SAYILAR SAYI KÜMELERİ

SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1 SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif

Detaylı

2017 YGS MATEMATİK. 4. a sayısı iki farklı asal sayının çarpımıdır. OBEB (a,15) + OBEB(a,22)=2

2017 YGS MATEMATİK. 4. a sayısı iki farklı asal sayının çarpımıdır. OBEB (a,15) + OBEB(a,22)=2 SORULARI 1. 4. a sayısı iki farklı asal sayının çarpımıdır. OBEB (a,15) + OBEB(a,22)=2 işleminin sonucu kaçtır? A) 2 B) 1 C) 1 D) 2 E) 3 olduğuna göre, a nın en küçük değerinin rakamları çarpımı? A)6 B)7

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Artık matematikten korkmuyorum. Artık matematiği çok seviyorum. Artık az yazarak çok soru çözüyorum. Artık matematikten sıkılmıyorum.

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)

Detaylı

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi...

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi... İÇİNDEKİLER HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları... 1 Benzer Terim... Harfli İfadenin Terimlerini Toplayıp Çıkarma... Harfli İfadelerin Terimlerini Çarpma... Harfli İfadelerde Parantez Açma...

Detaylı

Olimpiyat Eğitimi TUĞBA DENEME SINAVI

Olimpiyat Eğitimi TUĞBA DENEME SINAVI TUSİ Ortaöğretim Öğretmenleri için Olimpiyat Eğitimi TUĞBA DENEME SINAVI 10.01.2014-17.01.2014 2 1. Tuğba üç test yapar. İlkinde, 25 sorudan %60 ını, ikinci de 30 sorudan ve %70 ini ve son olarak 45 sorudan

Detaylı

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr ASAL SAYILAR ve kendisinden aşka pozitif öleni olmayan den üyük doğal sayılara asal sayı denir.,, 5, 7,,, 7, 9, sayıları irer asal sayıdır. En küçük asal sayı dir. den aşka çift asal sayı yoktur. den aşka

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

a. Aynı sırada çekilen herhangi iki kartın aynı d. 4. çekişte iki torbadan da 4 numaralı kartların e. 2. ve 4. çekişte aynı numaralı kartların

a. Aynı sırada çekilen herhangi iki kartın aynı d. 4. çekişte iki torbadan da 4 numaralı kartların e. 2. ve 4. çekişte aynı numaralı kartların Örnek Problem - Sinemada, yan yana koltukta oturan arkadaş, ara verildiğinde kalkıyorlar. Dönüşte, aynı koltuğa rastgele oturduklarına göre; hiçbirinin ilk yerine oturmaması olasılığı Örnek Problem - 4

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

Köklü Sayılar ,1+ 0,1+ 1, 6= m 10 ise m kaçtır? ( 8 5 ) 2x 3. + a =? (4)

Köklü Sayılar ,1+ 0,1+ 1, 6= m 10 ise m kaçtır? ( 8 5 ) 2x 3. + a =? (4) Köklü Sayılar.,+ 0,+, 6= m 0 ise m kaçtır ( 8 5 ). a= ise a + a (). : :... = 8 0 0... eşitliğini sağlayan değeri nedir (). 99.0+.6+ (75) 5. + : + 8 7 8 () 6. > 0 ve = olduğuna göre ( ) + a+ b 7. a, b R

Detaylı

2. Dereceden Denklemler

2. Dereceden Denklemler . Dereceden Denklemler Yazım hataları olabilir. Tam olarak tashih edilmemiştir. Hataları osmanekiz000@gmail.com mail adresine bildirilseniz makbule geçer.. a + b + 5c = c(a + b) ise a b =? C: 9. ( 4) (

Detaylı

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı

Detaylı

ULUSAL LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI 6.SALİH ZEKİ MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI RAPORU HADARİZM SHORTCUT (MATEMATİK) PROJEYİ HAZIRLAYANLAR

ULUSAL LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI 6.SALİH ZEKİ MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI RAPORU HADARİZM SHORTCUT (MATEMATİK) PROJEYİ HAZIRLAYANLAR ULUSAL LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI 6.SALİH ZEKİ MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI RAPORU HADARİZM SHORTCUT (MATEMATİK) PROJEYİ HAZIRLAYANLAR SELİM HADAR DANIŞMAN ÖĞRETMEN SANDRA GÜNER ULUS ÖZEL MUSEVİ

Detaylı

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3): ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4 Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I Kolay Temel Matematik. 8 ( + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6.! ( )": ( ) A) B) 0 C) D) E). 7. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D)

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı