. KENDİNE BENZERLİK VE FRAKTAL BOYUT

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download ". KENDİNE BENZERLİK VE FRAKTAL BOYUT"

Ufuk Akagündüz
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 . KEİE BEZERLİK VE FRAKAL BOYU Bu bölüme fraktal geometrinin temel ve birbiriyle ilişkili iki temel kavramı olan Kenine Benzerlik ve Fraktal Boyut incelenecektir. 3. Kenine Benzerlik (Self similarity) 3.. am Kenine Benzerlik Kenine benzer bir nesne, önme ve transformasyonlarla ele eilmiş, kenisinin belli bir orana küçültülmüş kopyasınan oluşmaktaır. E boyutlu bir uzaya x ( x, x2,..., x E ) konumuna bulunan noktalar kümesi S ile gösterilsin. Bu kümeye 0 r olacak şekile belirlenen bir r küçültme oranı ile benzerlik transformayonu uygulanırsa S kümesi rx rx rx2 rx E (,,..., ) noktalarınan oluşan r S kümesi haline önüşür. S kümesi tane birbirinen farklı r S kümelerinin birleşiminen oluşuyorsa tam olarak kenine benzer bir kümeir,(peitgen ve Saupe) İstatiksel Kenine Benzerlik Bir segment büyütülüp inceleniğine ele eilen segmentlerin orijinali ile aynı olmaığı görülür. Bütünün küçük bir parçası büyük bir parçasına benzer ama onun bir eşi eğilir. Segmentler farklı ölçeklere büyütülüp küçültülmüşlerir. Bu urum istatistiksel Kenine Benzeme olarak alanırılır. eğişik ölçeklere pek çok etaylar içeren objelerin istatiksel kenine benzer olma özelliği oğaaki fraktalların bulunukları metrik uzay içine ne kaar yoğun olukları kişien kişiye eğişebilir. Fraktal boyut, bu özel yaklaşımları nesnel yaklaşımlar haline önüştürerek fraktalları karşılaştırabilme sonucu olarak ortaya çıkmıştır. Fraktal boyut gerçek ünya ile bağlantılı olarak tanımlanabilir. Örneğin İngiltere kıyılarının fraktal boyutu,3 olarak ölçülmüştür. Bulutları, ağaçlarını, kıyıların, kuş tüylerinin, vücuttaki nöronların birer fraktal boyutu varır. Bu sayılar gerçek ünyayla ilişkin kümelerin karşılaştırılmasına kullanılır, (Barnsley 988).

2 3.2 opolojik Boyut ( ) opolojik boyutun temelleri Ökli in üzlem geometrisi üzerine yazığı bir kitapla anlatılır.. Bir nokta keninen küçük bir öğeye ayrıştırılamaz. 2. Bir oğrunun genişliği yoktur; ama uzunluğu varır. 3. Bir oğru parçasının uçları birer noktaır. 4. Bir yüzeyin eni ve boyu varır. 5. Yüzeylerin sınırları oğrularır. 6. Bir cismin eni, boyu ve erinliği varır. 7. Bir cismin kaplaığı alanın sınırları ise yüzeylerir. Poincare ise topolojik boyutu şöyle tanımlar: Bir geometrik cismin topolojik boyutu o geometrik objeyi parçalara ayırmak için kullanılan iğer geometrik objelerin topolojik boyutlarınan fazlaır, Uzayı bölmek için yüzeyler, yüzeyleri bölmek için eğriler, eğrileri bölmek için noktalar kullanılır. oktalar ise parçalara ayrılmaz. Bu neenle noktaların topolojik boyutu 0 ır. Eğrileri bölmek için eğriler yüzeylerin topolojik boyutu 2 ir. Uzayı bölmek için yüzeyler kullanılığınan uzayın topolojik boyutu 3 ür. üm aaların kıyıları topolojik olarak bir çember özeştir. üm çemberlerin topolojik boyutları ir. Bu uruma kıyıları birbirinen ayırmak için topolojik boyut kullanılmaz, (Manelbrot 983) 3.3 Fraktal Boyut ( ) Fraktal boyut topolojik eğil, metrik bir kavramır. Uzaya iki nokta arasınaki uzaklığın tanımlanabiliyor olması temelinen yola çıkılarak ortaya konmuştur. Fraktal boyutun temeli Hausorff ve Besicovitch tarafınan ortaya atılmıştır. opolojik ve fraktal boyut arasına şu şekile bir ilişki söz konusuur. İçine bulunan olabilir. E uzayına ve az 0, en çok E her zaman bir tamsayıır ama tamsayı olmak zoruna eğilir. Ökli geometrisine bağlı kalınarak oluşturulan objeler için = ir. iğer urumlar içinse ir. Buraan yola çıkılarak fraktallar: Hausorff-Besicovitch boyutunun topolojik boyutunan büyük olan kümelere fraktal kümeler enir, (Manelbrot 983). Fraktal Boyut ve kenine

. oğru parçası ve kenine bezer şekiller Kare gibi iki boyutlu bir obje e r = oranına küçültülerek

3 benzerlik arasına önemli bir ilişki varır. Bir oğru parçası tek boyutluur. eşit parçaya bölerek r oranına küçültülebilir. Şekil 3.. oğru parçası ve kenine bezer şekiller Kare gibi iki boyutlu bir obje e r = oranına küçültülerek kenine benzeyen eşit parçaya bölünebilir. Şekil 3.2 Kare ve Kenine Benzer Şekliller Üç boyutlu bir küp ise r oranına küçültülerek küçük bölünebilir. 3 Şekil 3.3. Küp ve Kenine Benzerlik

4 Genel olarak boyutlu kenine benzeyen bir nesne tane kenisinin küçük bir kopyası ele eilebilir. r oranına küçültülerek Şekil 3.4. Koch Eğrisi ve Kenine Benzer şekiller Bu ifaeen benzerlik veya fraktal boyut olarak alanırılan çekilebilir: log( ) n r log r Bu şekile ele eilen, Benzerlik ya a Fraktal Boyutu olarak alanırılır. Fraktal boyut, Ökli boyutunan farklı olarak tam olarak tam sayı olmak zoruna eğilir. Fraktalın orijinal tanımı Manelbrot tarafınan aşağıaki gibi yapılmıştır, (Feer 988): Bir fraktal, boyutu topolojik boyuttan farklı olan kenine benzer (ölçekteki eğişme anlamına) bir kümeir. Büyüklüğü R olan bir oluşuma parçacık sayısı ; R bağıntısı ile verilir. Buraa, uzayın boyutuur. Oluşumun hacmi e aynı formaır ve V A R

5 ile verilir. Buraa A geometrik biçim hesaba katılığı geometrik çarpanır(eş eksenli biçim için A 2, A2 4, A3 4 / 3 ür). olayısıyla kompakt oluşumlara biçimine V ifae eilen parçacık yoğunluğu, oluşumun büyüklüğünen bağımsızır. Kompakt olmayan oluşumlar için tamamen farklı bir urum gözlenmekreir. Oluşumun R büyüklüğü artarken parçacık sayısı R Çok yavaş biçime artar. üsteli, fraktalın temek nicel karakteristiğiir ve fraktal boyutu enir. fraktal boyutu, yoğunluk oluşumu için verilen boyutunan farklı oluğu için R bağıntısınaki fiziksel uzayın R bağıntısı anormal bir karaktere sahiptir. Bu neenle; ( R ), şekline verilen fraktalın yoğunluğu, fraktalın kompakt olmayan karakterini yansıtan büyüklüğün azalan bir fonksiyonuur. Sonuç olarak topolojik ve fraktal boyutları arasınaki fark ne kaar büyükse fraktal nesne o kaar belirginleşir, (Olemskoi an Flat 993). Fraktal kavramı ile ilk olarak sahil şeritlerinin uzunluğunun ölçümlerine karşılaşılmıştır. Sezgisel olarak sahil şeriinin L uzunluğunun, ölçüm ölçeğinin ( 0) seçimine bağlı olmaması gerektiği hale ölçümler gerçekte L bağıntısının geçerli oluğunu göstermiştir. Sahil şerii ölçümlerine fraktal boyutun oluğu bulunmuştur (İngiltere aaları için,3 ) bu urum sahil şeriinin oğru ( = ) ve yüzey ( = 2) arasına bir küme oluğunu gösterir ve > > 2 niceliği ne kaar büyükse sahil şerii o kaar üzensizir, (Feer 988).

Benzer belgeler

KLASİK FRAKTALLAR FRAKTAL ÖZELLİKLERİ VE BOYUT

KLASİK FRAKTALLAR FRAKTAL ÖZELLİKLERİ VE BOYUT.. KENDİNE BENZERLİK VE AFİNİTE Fraktal özelliklerinden bir diğeri de kendine benzerlikdir. Geometrik açıdan, aynı şekle sahip olan geometrik şekiller birbirine