LİSE MATEMATİK DERSLERİNDE ÖĞRENCİLERİN İSPAT YAPABİLME DÜZEYLERİ

Transkript

1 LİSE MATEMATİK DERSLERİNDE ÖĞRENCİLERİN İSPAT YAPABİLME DÜZEYLERİ Özge ÖZER 1, Ahmet ARIKAN 2 1 Namık Kemal İlköğretim Okulu, İSTANBUL 2 Gazi Ün., Gazi Eğitim Fakültesi, OFMAE Bölümü, Matematik Eğt. Anabilim Dalı, ANKARA ÖZET: Matematikte ispat, matematik eğitiminin önemli parçalarından biridir. İspat konusunda yurt dışında bir çok araştırma yapılmış olup bu konu ile ilgili pek çok yayıına rastlanmaktadır. Ülkemizde bu konu ile ilgili olarak yeterli düzeyde araştırmanın yapılmış olmadığı görülmektedir. M. Miyazaki nin Levels of Proof in Lower Secondary School Mathematics, Educational Studies in Mathematics 41, 47-68, 2000 çalışmasını ve bu konuda yapılan diğer bazı çalışmaları da göz önüne alarak bu araştırma yürütülmüştür. Bu çalışmada lise 2 öğrencilerinin matematik derslerinde ispat yapabilme becerileri tespit edilmiş ve öğrencilerin ispat düzeyleri incelenmiştir. Ayrıca materyal kullanarak ispat yapıp yapamadıkları gözlenmiştir. Bu amaçla eğitim öğretim yılında toplam 110 öğrenci üzerinde araştırma yapılmıştır. Ayrıca 3 öğrenci ile görüşme yapılmıştır. Açık uçlu sorulara öğrenciler tarafından verilen yanıtlar sonucunda aldıkları puanlar gruplandırılarak tablolar oluşturulmuştur. Görüşme sırasında farklı zamanlarda 3 öğrencinin verdikleri cevaplar kasetlere kaydedilmiş ve bu kayıtlar yazılı görüşme metinlerine dönüştürülmüştür. Araştırma sonucunda lise 2 öğrencilerinin istenilen düzeyde ya da materyal kullanarak ispat yapamadıkları gözlenmiştir. Öğrencilerin ispat yapma yöntem ve tekniklerini yeterince kullanmadıkları saptanmıştır. 1.GİRİŞ Bu çalışmada Miyazaki ve Balacheff in ispat konusunda yapmış oldukları çalışmalardan yararlanılmıştır. Balacheff matematik ispatı, pragmatik ispat, entellektüel ispat ve demonstrasyon olmak üzere üç seviyeye ayırmıştır. En alt seviye pragmatik ispatlar, örnek vererek yapılan gösterimler, orta düzey entellektüel ispat, formülasyona dayalı olarak yapılan ispatlar ve en ileri seviye demonstrasyon, bir teoriyle organize edilmek zorunda olan veya bir topluluk tarafından kabul edilen bilgileri kullanan ispatlardır.. Miyazaki ispatı, ispat A, ispat B, ispat C ve ispat D olarak dört gruba ayırmıştır. Tümdengelimsel muhakeme içeren, demonstrasyonun fonksiyonel dili kullanılan ispatı ispat A, tümdengelimsel muhakeme içeren, diğer dil, çizimler veye hareket edebilen objeler kullanılan ispatı ispat B, tümevarımsal muhakeme içeren, diğer dil, çizimler veya hareket edebilen objeler kullanılan ispatı ispat C, tümevarımsal muhakeme içeren, demonstrasyonun fonksiyonel dili kullanılan ispatı ispat D olarak belirtmiştir. 2.YÖNTEM 2.1 Araştırmanın Modeli Lise 2. sınıf öğrencilerinin ispat yapabilme becerilerinin var olup olmadığının bulunmasıyla ilgili yapılan bu araştırmada durum tespiti yapılmıştır. Araştırma lise 2. sınıf toplam 110 öğrenciye açık uçlu sorular sorularak ve 3 ayrı lise 1. sınıf öğrencisi ile görüşme yapılarak yürütülmüştür. 2.2 Çalışma Evreni Araştırmanın çalışma evreni olarak İstanbul İli ortaöğretim okullarından Kartal Köy Hizmetleri Anadolu Lisesi, Pendik Süper Lisesi ve Tuzla Tuğrul Bey Lisesi olarak belirlenmiştir. 3. BULGULAR VE YORUMLAR Buradaki bulgular ve yorumlar her bir soru için aşağıdaki şekilde verilmektedir. Soru 1: b, a ya tam olarak bölünür. c, a ya tam olarak bölünsün. O zaman (b+c) nin a ya tam olarak bölündüğünü gösteriniz. TABLO 3.1Birinci Soruya Verilen Cevaplara İlişkin Puanlama Tablosu SORU 1 Öğrencilerin aldıkları puan Öğrenci sayısı %

2 Bu yüzdelere göre, 1. Sorudaki ifadenin doğruluğunu göstermek için sayısal değer vererek ispat yapmaya çalışan öğrencilerin ağırlıkta olduğu görülmektedir. Yani bu soruda öğrenciler, iddiayı örneklerle test etmek yerine, özel sayısal değerler vererek iddiayı ispat etmeye çalışmışlardır. Bu birkaç durum için iddianın doğru olmasının bütün durumlar için iddianın doğru olması demek olmadığının açık bir şekilde farkında olmadıklarını göstermektedir. Balacheff in belirlemelerine göre öğrenciler ispat C tipinde, Miyazaki nin belirlemelerine göre pragmatik ispat düzeyinde ispat yapmışlardır. Soru 2: a 0 olmak üzere her m, n N için (a m ) n =(a) mn olduğunu gösteriniz. Tablo 3.4 İkinci Sorudan Aldıkları Puanlara Göre Öğrenci Sayıları ve Yüzdeleri SORU 2 Öğrencilerin aldıkları puan Öğrenci sayısı % Toplam Öğrencilerin % 55.5 inin bu soruya yanlış cevap vermesi ya da hiç cevap vermemesi dikkat çekicidir. İkinci soruya öğrencilerin %49.1 i yanlış cevap vermiştir ve %6.4 ü hiç cevap verememişlerdir. Tümdengelim yöntemini kullanarak ispat yapmayı deneyen hiç bir öğrenciye rastlanmamıştır. Bir öğrenci doğrudan ispatı denemiş fakat eksik kalmıştır. Dolayısıyla öğrenciler bu soruda yine örnek vererek ifadenin doğruluğunu göstermeye çalışmışlardır. Öğrencilerin tümevarım ve tümdengelimle muhakeme etmeyi bilmedikleri, bunları ayırt edemedikleri ve bunların ne zaman uygun olduğuna karar veremedikleri görülmektedir. Yazarlar, öğrencilerin tümevarım ve tümdengelimle muhakeme etmelerinin yeterince farkına varmadıklarını düşünmektedir. 2. soruda da öğrencilerin çoğunluğu ispat C tipinde yanıtlar vermişlerdir. Balacheff in ispat seviyelerine göre, bu soruda çoğunlukla pragmatik ispat yapılmıştır. Soru 3: İki tek sayının toplamının bir çift sayı olduğunu gösteriniz. Tablo 3.6 Üçüncü Sorudan Aldıkları Puanlara Göre Öğrenci Sayıları ve Yüzdeleri SORU 3 Öğrencilerin aldıkları puan Öğrenci sayısı % Öğrencilerin % 76.4 ü bu soruda da örnek vererek ifadenin doğruluğunu göstermişlerdir. Öğrencilerin tek sayıyı cebirsel olarak ifade edemedikleri görülmüştür. Yine sadece % 10 u ifadeyi tam olarak doğru bir şekilde gösterebilmişlerdir.

3 3. soruda öğrencilerin çoğunluğunun yanıtları ispat C tipindedir. Tümevarım yöntemini kullanarak, sayısal değerler vererek ifadenin doğruluğunu göstermişlerdir. Soru 4: 3 ardışık sayının toplamı ortadaki sayının 3 katıdır ifadesinin doğruluğunu gösteriniz. Tablo 3.8 Dördüncü Sorudan Aldıkları Puanlara Göre Öğrenci Sayıları ve Yüzdeleri SORU 4 Öğrencilerin aldıkları puan Öğrenci sayısı % Bu soruda öğrencilerin % 46.4 ü soruya tam olarak doğru cevap vermişlerdir. Üç ardışık sayıyı cebirsel olarak ifade edip ifadenin doğruluğunu gösterebilmişlerdir. Bu soruda öğrencilerin verdikleri yanıtların çoğunluğu ispat A tipindedir. Öğrencilerin geneli ya örnek vererek göstermişler ya da tam olarak yanıtlamışlardır. Balacheff in tanımına göre burada çoğunluk demonstrasyon yapmışlardır. Bu soruda 5 puan alan öğrencilerin yaptığı ispatlar, Mikio Miyazaki nin tanımına göre ispat C tipinde ve Balacheff in tanımına göre pragmatik ispatlardır. Soru 5: 5 ardışık sayının toplamı ortadaki sayının 5 katıdır ifadesinin doğruluğunu gösteriniz. Tablo 3.10 Beşinci Sorudan Aldıkları Puanlara Göre Öğrenci Sayıları ve Yüzdeleri SORU 5 Öğrencilerin aldıkları puan Öğrenci sayısı % Dördüncü soruya tam cevap veren öğrenciler bu soruyu da tam olarak cevaplandımışlardır. İfadenin doğruluğunu cebirsel olarak gösterebilmişlerdir. Dördüncü soruyu örnek vererek gösterenler bu soruyu yine örnekle açıklamışlardır. Genelde demonstrasyon ve pragmatik ispatlar yapılmıştır. İspat tipleri ispat A ve ispat C şeklindedir. Soru 6: a bir çift sayı, b bir tek sayı ise a 2 + b 2 nin tek sayı olduğunu gösteriniz. Tablo 3.12 Altıncı Sorudan Aldıkları Puanlara Göre Öğrenci Sayıarı ve Yüzdeleri SORU 6 Öğrencilerin aldıkları puan Öğrenci sayısı % Bu yüzdelere göre 6. sorudaki ifadenin doğruluğunu göstermek için sayısal değer vererek ispat yapan öğrenciler ağırlıktadır. 3. sorudaki gibi öğrencilerin çoğunluğu tek ve çift sayıyı cebirsel olarak ifade edememişlerdir. Sayısal değer vererek hemen sonucu bulmaya yönelmişlerdir.

4 Bu soruda öğrenciler 1., 2., 3. sorulara verdikleri yanıtlar gibi çoğunlukla Mikio Miyazaki nin tanımladığı gibi ispat C tipinde ve Balacheffin tanımladığı gibi pragmatik ispatlardır. Okullarında çok başarılı olan üç öğrenciyle ayrı zamanlarda görüşmeler yapılmıştır. Öğrencilerden bazı elemanter sonuçları göstermeleri istenmiştir. İlk olarak üç öğrenciye aşağıdaki sorular sorulmuştur. Soru 1: Üç ardışık sayının toplamı ortadaki sayının üç katıdır ifadesini gösteriniz. Soru 2: Beş ardışık sayının toplamı ortadaki sayının beş katıdır ifadesini gösteriniz. Öğrencilerden harf kullanmaları istendiğinde bu problemlerle ilgili olarak genel sonuca ulaşabildikleri gözlenmiştir. Bu öğrencilerde, genel ispat yapma alışkanlığının olmadığı fakat böyle bir eğitim verildiğinde genel ispat yapma becerilerini kullanabilecekleri gözlenmiştir. 4. TARTIŞMA VE SONUÇ Araştırma sonucunda elde edilen bulgularla, öğrencilerin hemen hemen tamamının amaçlanan düzeyde tümdengelim ve tümevarım yoluyla ispat yapamadıklarını ortaya çıkmaktadır. Öğrenciler, verilen bir ifadenin doğruluğunu gösterebilmek için özel sayısal değerler vermektedirler. Böylece bu ifadenin doğruluğunu gösterdiklerine inanmaktadırlar. Bu çalışmada sorulan 6 tane açık uçlu soruya öğrenciler genel olarak sayısal değerler vererek yanıtlamışlardır. Buna göre Balacheff in belirlediği ispat seviyelerine göre öğrenciler pragmatik ispat düzeyinde görünmektedirler. Özellikle 2. soruda öğrencilerin pragmatik ispat düzeyinde bile cevap veremedikleri görülmüştür. 4 üncü ve 5 inci sorular Miyazaki tarafından Japonya da öğrencilere sorulan sorulardır. 4 üncü soruda öğrencilerin %46.4 ü, 5 inci soruda öğrencilerin %48.2 si demonstrasyon düzeyinde sayabileceğimiz cevaplar vermişlerdir. Fakat bu sorular zorluk açısından 8. sınıf düzeyindedir. Özellikle bu sorular Miyazaki nin sınıflandırmasıyla mukayese edebilmek için sorulmuştur. Bu çalışmada üç öğrenci ile yapılan görüşme sonucunda, öğrencilerin materyal kullanarak ispat yapamadıkları gözlenmektedir. Öğrencilere bir ifade verilip, doğruluğun göstermeleri istendiğinde, öğrenciler bulundukları yerde gerekli materyal olmasına karşın, sayısal değerler vermekte ya da tümevarım yöntemini kullanarak göstermektedirler. Mülakatçının yardımıyla materyalleri kullanarak ispat yapmaya çalışmışlardır. Bu konuda öğrencilerdeki eksiklik dikkat çekici bir şekilde ortaya çıkmıştır. 5.ÖNERİLER Yapılacak çalışmalar için şu önerilerde bulunulabilir: 1- Eğitimin her kademesinde öğrencilerin muhakeme yapabilme, ispat yapabilme becerileriyle ve düzeyleriyle ilgili olarak çalışmalar yapılmalıdır. 2- Öğrencilere ezbere dayalı verilen eğitim sonucu öğrencilerin muhakeme etme ve ispat yapma fırsatlarının kısıtlandığı bir gerçektir. Bu sebepte öğrencilere bu fırsatları sağlayan düzenlemelerin yapılması gerekmektedir. 3-3-Bu çalışmada öğrencilerin hareket edebilir objelerle muhakeme ve ispat yapma konusunda hiç bilgi ve alışkanlıklarının olmadığı, hatta görüşme yapılan öğrencilerin bu tür yaklaşımları gördüklerinde çok şaşırdıkları gözlenmiştir. Bu sebeple bu konuya önem verilerek gerekli düzenlemeler yapılarak öğrencilere bu tür muhakemeler yapabilme fırsatları sağlanmalıdır. 4-4-Müfredatın yoğunluğu, bilgi eksikliği vb. Sebeplerle öğretmenlerin muhakeme etme, ispat yapma konusunda öğrencilere yeterli fırsatları vermedikleri düşünülürse, bu konuda çalışmaların yapılması gerekmektedir. 5-5-Okullara giriş sınavlarının öğrencilerin muhakeme etme ve ispat yapabilme konusundaki etkileri (özellikle negatif etkileri) araştırılmalıdır. 6-6-Özellikle üniversitelerin matematiği yoğun şekilde kullanan bölümlerinin birinci sınıflarındaki öğrencilerin ispat yapabilme düzeylerinin araştırılmasının önemli sonuçlar vereceği düşünülmektedir.

5 KAYNAKÇA ALMEDIA, Dennis.(2001). Pupils proof potential. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 32(1), BAKİ, Adnan ve BELL, Alan.(1997). Ortaöğretim Matematik Öğretimi. Yök Dünya Bankası Milli Eğitim Geliştirme Projesi Hizmet Öncesi Öğretmen Eğitimi. Ankara. BLOCH, Ethan D. (2000). Proofs and Fundamentals. A First Course in Abstract Algebra. Birkhauser, Boston, Basel, Berlin. BALACHEFF, N. (1987). Processus de preuve et situations de validation. Educational Studies in Mathematics. 18, BALACHEFF, N. (1988). Aspects of Proof in Pupils Practice of School Mathematics in D. Pimm, Mathematics, Tecahers and Children. Hodder & Stoughton, London BALACHEFF, N. (1988). Thèse:Une ètude des processus de preuve en mathèmatique chez les élèves de collège. Universite Joseph Fourier, Grenoble. BLUM, Werner ve KIRSH, Arnold. (1991). Preformal Proving: Examples and Reflections. Educational Studies in Mathematics. 22, Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands. DE VILLIERS, M. (1991). Pupils needs for conviction and explanation within the context of geometry, in F. Furinghetti.Proceedings of the 15 th International Conference for the Psychology of Mathematics Education. 3, Dipartimento di Mathematica dell Universita, Genova, Assisi FAWCETT, H. P. (1938). The Nature of Proof: A Description and Evaluation of Certain Procedures Usen in A Senior High School to Develop An Understanding of the Nature of Proof. The National Council of Teachers of Mathematics, The Thirteenth Year Book), AMS PRESS, New York. FISCHBEIN, E. (1982). Intuition and Proof. For the Learning of Mathematics. 3, GALBRAITH, P.L. (1981). Aspects of Proving: A Clinical Investigation of Progress. Educational Studies in Mathematics. 12, 1-28 HANNA, Gila. (1989). More Than Formal Proof. For the Learning of Mathematics. 9(1), HANNA, Gila. (1995). Challenges to the importance of proof. For the Learning of Mathematics. 15, HANNA, Gila. (1997). Review of Proof and Progress in Mathematics. Educational Studies in Mathematics. 36(2), HEALY, Lulu ve HOYLES, Celia. (2000). A study of Proof Conceptions in Algebra. Journal for Research in Mathematics Education. 31(4), KOSEKI, K. (1978). Zukei Niokeru Ronsyou Sidou Nituite: sono 1 (Teaching A Demonstration in Geometry: the first Part). Journal of Japan Society of Mathematical Education. 60, KUNIMUNE, S. (1987). Ronsyou no igi no rikai nikansuru hattatuteki kenkyu in K. Koseki. Zukei no ronsyousidou. Meijitosho, Tokyo MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI. (1992). Ortaöğretim Matematik Dersi Programları. İstanbul: Milli Eğitim Basımevi. MIYAZAKI, Mikio. (2000). Levels of Proof in Lover Secondary School Mathematics. Educational Studies in Mathematics. 41, Kulwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands. ROSS, Kenneth A. (1998). The Place of Algorithms and Proofs in School Mathematics. Doing and Proving. March, SENK, S.L. (1983). Proof-writing achievement and Van Hiele levels among secondary school geometry students. Yayınlanmamış doktora tezi. Chicago Universitesi, Chicago. SUGIYAMA, Y. (1986). Kouritekihouhou ni motoduku sansuu/suugaku no gakusyu shidou. Touyoukan, Tokyo.