y xy = x şeklinde bir özel çözümünü belirleyerek genel

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "y xy = x şeklinde bir özel çözümünü belirleyerek genel"

Kelebek Sağlık
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Difransil Dnklmlr I / 94 A Aşağıdaki difransil dnklmlrin çözümlrini bulunuz d d -( + ) 7 + n( ) +, () + n ( + ) ( - ) ( -) d- ( + ) d + Not: Çözüm mtodu olarak: Tam difdnk v intgrason çaranı blirlrk Tam dif hal gtirm sınıflandırma v mtotları kullanılmaaak! k B + - dnklminin şklind bir özl çözümünü blirlrk gnl çözümünü bulunuz C Aşağıdaki dnklmlrin C-diskriminant ğrilrini blirliniz, intgral ğrilrinin zarfı var mı? varsa bulunuz, sonuç olarak tkil çözüm hakkında n sölnbilir? Açıklaınız A daki dnklm - (ön gnl çözüm bulunaak) D dnklminin aşağıdaki başlangıç koşullarını sağlaan çözümlrinin varlık v tkliğini araştırınız Not: öntm olarak: alnıza V-T Tormlri kullanılaak ; Tormlrin sonuç vrmdiği durumlar, bu durumda n sölnbilği il birlikt açıklanmalı ; Gnl çözümlr bulunmaaak (), (), ( -) - Sİltr, htt://avsistanbuldutr/iltrs

2 Çözümlr (son günllm : 94) / Not: Çözümlr-Yol göstrmlr kontrol amaçlıdır, azım hatası - ksikliklr vs olabilir kndi çözümlrinizl mutlaka karşılaştırınız Bazı soruların tam çözümlri aılaak, bazılarının is ol göstrmlrl birlikt d gnl çözümlr sorunun başında vrilktir göstrimini kullanaağız! d A d d -( + ) : - I ol : Dğişknlrin Arılabilir Dnklm : ò d ò d (, + ¹ - ) IIol : Brnoulli Dnklmi: Dnklmin hr iki tarafı d bölünürs, + ( q ) n - ) ( ( ) -, q ( ) IIIol : Gurulandırma: - d æö ç çè ø d d d d( ) ( ) d A (Brnoulli Dnklmi) + + () + ( ) q( ) n ( ), q ( ) () dnklminin hr iki tarafını il çaralım, daha sonra aşağıdaki dönüşümü aalım: + z, z z( ) z Sİltr, htt://avsistanbuldutr/iltrs

3 hr iki tarafı il çarıoruz z + z z + z (linr dnklm) / + ( ) q( ) ( ), q( ) Şimdi linr dnklmi, z uv dönüşümü il çözlim: z uv, u u( ), v v( ) z + z z u v+ uv ü ý þ u v+ uv + uv v ( u + u ) + uv u + u u ò ò - ( )d - d - (dikkat, intgral sabiti sçilior) uv v v ò d v + ( v nin tsitind: intgral sabitini klmi UNUTMAYINIZ! ) z uv dn z - æ + ö ç çè ø + - [ Gnl Çözüm ] z idi Şimdi dnklmin vriln Başlangıç-Koşulundan sağlaan çözümünü bulalım () ani için ü ý gnl çözümdn: þ O hald istniln çözüm : Sİltr, htt://avsistanbuldutr/iltrs

4 A + n ( + ) : ( )( ( )) n + + n 4/ (+ ) n ( + ) u ß u nu u + u ß (- gör türv) + u A4 - + : n - - Dğişknlrin Arılabilir Dnklm : - + ( - ) ò d d ò ( ¹ ) - A5 (Birini Mrtbdn Türv gör Çözülmn (Kaalı formda) Dnklm / Çaranlara Aırma M) - - ( - ) ì í î () - - () Şimdi () v () dnklmlrini arı arı çözlim: () : () : () in GÇ - ò d ò d ( ¹ ) () nin GÇ - / Sİltr, htt://avsistanbuldutr/iltrs

5 () v () nin GÇ dn / ( - )( - - ) [ Çözüm ] 5/ A6 ( - ) + : Brnoulli Dnklm ( in - gör): d + - d d + ( ) q( ) n d ( ), q ( ) - A7 (Lagrang Dnklmi) + n( ) + n - + n () j( ) + ( ) (Lagrang D) j ( ) -, ( ) n Şimdi () d ( ) olarak düşünü, dnklmin hr iki tarafının - gör türvini alalım: d d d d ( ) d d d - + d Şimdi son dnklmin hr iki tarafını bölğiz v düznldiğimizd linr bir dnklm dğiz! [ durumunu inlmk grkir is: dnklmin bu durumda tanımsız olaağı açıktır, dolaısıla bu durumdan bir çözüm ld dilmz!] ¹ ( in d gör linr dnk) d + d r( ) q( ) d + Sİltr, htt://avsistanbuldutr/iltrs

6 Linr dnklmin GÇ: - + İnli ara işlmlri aınız! Kontrol için: uv dönüşümündn u, v - + bulmalısınız! 6/ ì í î - + () - + n () Son olarak () dki i, () d rin azılır v düznlnirs, ì í î n Paramtrik Çözüm ld dilir A8 - - : - Brnoulli Dnklm: - + ( ) q( ) n ( ) -, q) ( A9 + + : ( -- )( - ) Birini Mrtbdn Türv gör Çözülmn (Kaalı formda) Dnklm / Çaranlara Aırma M ( - ) ( + ) Sİltr, htt://avsistanbuldutr/iltrs

7 A ( j(, ) Formundaki Dnklm) - 7/ + () Şimdi () d ( ) olarak düşünü, dnklmin hr iki tarafının - gör türvini alalım: d d d + - d d d / d ( - ) () d Şimdi () nin çözümü il ilgilnğiz: IDurum: ( - ) - ì í î - () + () () dn çkilir, () d rin azılı düznlnirs; bu dnklmin bir çözümüdür æö ç çè ø / ld dilir Dikkat dilirs d IIDurum: d ì í î (4) + () Dikkat dilirs, ukarıdaki bağıntılarda i ok ld tmk mümkün: (4) dki, () d rin azılırsa; + [ Gnl Çözüm ] Sİltr, htt://avsistanbuldutr/iltrs

8 A (Darbou Dnklmi) ( ) d ( ) d ( ) - d- d+ d - d ( d d ) M(, ) d + N(, ) d + P(, ) - M( t, t) - t t M, Ntt (, ) - t t N M, N : mrtbdn, P :mrtbdn homojn fonksionlar (Darbou D) 8/ z dönüşümü, æö d - d d ç dz çè ø d zd + dz dnklmd azalım: ( ) ( )( ) - z d- z zd + dz + dz - zd- zdz- dz, şimdi hr iki tarafı d + - (Linr D) ld dilir dz z z Bu dnklm çözülür is n z - zdz æ ö ç - + z çè ø bulunur, z idi il çaralım ( z ¹ ) - + [ Gnl Çözüm ] n ( z dan çözüm glir mi? inliniz) A + : ( ) + - I ol : Birini Mrtbdn Türv gör Çözülmn Dnklm / j(, ), özl olarak Lagrang Dnklmi j( ) + ( ) B (Riati dnklmi) Önlikl, k II ol : + - Dğişknlrin Arılabilir Dnklm + - dnklminin özl çözümünd (ani da ) sözü gçn k ı blirllim: dnklmi sağlar Sİltr, htt://avsistanbuldutr/iltrs

9 k- + - dn k + - k k 9/ k- k- k- k + - k k ( + ) k k- k - k k k dn k olduğu görülür! IAşama: Şimdi dnklmi, z+ dönüşümü il bir Brnoulli dnki halin gtirlim: z +, z z( ) z + z + z + ü ý þ + - z + z+ z+ z æ ö z + z + z ç çè ø z + z- z (Brnoulli dnklmi) IIAşama: Şimdi Brnoulli dnki, linr dnk halin gtiri çözlim: Brnoulli dnknin hr iki tarafını z il böllim, daha sonra aşağıdaki dönüşümü aalım: z - + z - z z - u, u u ( ) - - z z u - u + - u hr iki tarafı - il çarıoruz u - u (linr dnklm) + ( ) q( ) ( ) -, Şimdi linr dnklmi, intgrason çaranı bulma mtodu il çözlim : q( ) Sİltr, htt://avsistanbuldutr/iltrs

10 ( ) d -ò d - n v ò bulunur / Şimdi linr dnklmin hr iki tarafını v il çaralım: u - u æ ö ( vu) ç u oldugu görülür! çè ø æ ö ç u çè ø Şimdi son dnklmin hr iki tarafının intgralini alalım: d u ò u - + æ ö u ç - + çè ø u idi z - æ ö ç çè ø, düznlnirs:: + [ Gnl Çözüm ] - + C - dnklminin gnl çözümü: + idi Sİltr, htt://avsistanbuldutr/iltrs

11 ( f - - () f - + () ü ý þ () dn çkilir () düznlni, bu dğr kullanılırsa, f / 7 küünü alalım, 8 / 4-7 (C-dis ğri) Şimdi C-dis Eğrisi: intgral ğrilrin zarfı olabilir mi araştıralım Drst vriln tr koşulun sağlanı sağlanmadığına bakaağız: f f - f f ¹, f -- ¹ ( ¹ için) Tormin koşullar sağlanaaktır 4-7 : intgğrilrinin zarfıdır Tkil çözümdür (Ek gözlm: zarf varsa: -dis tarafından içrilğindn, intğrilrin başka zarfı oktur dibiliriz) C (Clairaut dnklmi) + () + ) Şimdi () d ( ) olarak düşünü, dnklmin hr iki tarafının - gör türvini alalım: d d d d + + ( + ) d d d d æd ö + ç çèd ø ( ) d bölümündn dvam dlim d bu soruda amaç gnl çözümü blirlmk olduğu için Sİltr, htt://avsistanbuldutr/iltrs

12 + () ü ý þ Gnl çözüm: + / f -- () f -- () ü ý þ () dn çkilir - n( -) () azılırsa, -- n( -) (C-dis ğri) Şimdi C-dis Eğrisi: intgral ğrilrin zarfı olabilir mi araştıralım Drst vriln tr koşulun sağlanı sağlanmadığına bakaağız: f f f f - ¹, - f - ¹ Tormin koşullar sağlanaaktır -- n( -) : intgğrilrinin zarfıdır Tkil çözümdür D f(, ), f f ü ý þ { ( ) ( )} Bu fonksionlar G (, ) Î : >, > <, < d Sürklidir v < < için (,) in ivarı G nin içrisind kalır ani U (,) Í G ß Varlık-Tklik To(Sonuç Torm) dn, D U (,) Dnklmin; () koşulunu sağlaan in bir ivarında ( { Î : - < h} ), h trin küçük çözümü var v tktir (,) noktası için: sürklilik bozulaağından; drst Sonuç Torm olarak vriln Varlık- Tklik Torminin koşulları sağlanmaaaktır Dolaısıla bu To ugulanamaz v çözümün varlığı-tkliği hakkında bir ş sölmiz Sİltr, htt://avsistanbuldutr/iltrs

13 f [Ek gözlm: Şimdi özl olarak alnıza Varlık To (Pano) bakarsak ( (,) d: tanımsız anak f tanımlı, bu ndnl çözümün varlığını inlm grği duduk) : f fonksionu { (, ) Î : ( ³, > ) (, < )} da sürklidir Dikkat dilirs, (,) bu kümnin / lmanıdır anak, bu küm (,) in bir ivarını içrmz (gözlmlmk grkir is: ın dki hr ivarında ngatif dğrlr d bulunur < için kümnin tanımı grği (,) noktasını içrmz ) O hald Varlık-Tonin koşulu sağlanmaz dolaısıla sad çözüm varlığı hakkında bir ş sölmioruz] (-,- ) noktası için: (,) için aılanlara bnzr şkild (anak bu sfr, < < alınaak), dnklmin; ( - ) - koşulunu sağlaan - in bir ivarında ( { Î : + < h} ), h trin küçük çözümü var v tktir Sİltr, htt://avsistanbuldutr/iltrs

Benzer belgeler

UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER

UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER Homojn Hal Gtirilbiln Diransil Dnklmlr a b cd a' b' c' d 0 Şklindki diransil dnklm homojn olmamasına rağmn basit bir dğişkn dönüşümü il homojn hal dönüştürülbilir. a