Uzayda Simetri. A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(x, y, z ) ise O noktası [AB] nın orta noktasıdır.
|
|
- Aysel Ayhan
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Uzayda Simetri Hazırlayan Halit Çelik Matematik Öğretmeni Noktaya Göre Simetri: A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(x, y, z ) ise O noktası [AB] nın orta noktasıdır. Buna göre şeklinde bulunur. Buna göre; A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(a x, b y, c z) noktasıdır. Şekilde görüldüğü gibi A(, 1, 1) noktasının O ( 1, 1, 3) noktasına göre simetriği 1,.1 1,.3 1 4, 1, 5 noktasıdır. 1. Orijine göre simetri: Yukarıda yapılan işlemde a=0, b=0 ve c=0 alınırsa A(x, y, z) noktasının O(0, 0, 0) noktasına göre simetriği,, olarak elde edilir. Örnek: 1,,3 noktasının orijine göre simetriği 1,, 3 noktasıdır.
2 Bir noktanın bir vektöre göre simetriği A(x 1, y 1, z 1 ) noktasının,, vektörüne göre simetriği X(x, y, z) noktası ise aşağıdaki şekil incelenirse: AX AB ve A AB B buradan AB B A olur. Burada B vektörü A vektörünün Au üzerindeki dik iz düşüm vektörüdür. ve B u vektörüne eşittir. Yerine yazılırsa u olarak bulunur.,,, Örnek: A(1, ) noktasının,1 vektörüne göre simetriğini bulunuz. Çözüm: A noktasını başlangıç noktası orijin olan bir vektör olarak alalım. vektörünün 1,,1 8 4 vektörü üzerindeki dik iz düşüm vektörü,1 B, vektörüdür Yukarıdaki ifadede yerine yazılırsa X , 1,, olarak bulunur
3 Örnek: A(, 1, 3) noktasının 1, 0, 1 vektörüne göre simetriğini bulunuz. Çözüm: A noktasını ve simetriği olan B noktasını birer yer vektörü olarak yazacak olursak B Au ua u olarak yazılır. Buna göre olarak bulunur.,1,3 1, 0,1 xyz,, 1,0,1,1,3 5, 0,5,1,3 3, 1,
4 Doğruya göre simetri: Özel doğrulara göre simetri: 1. x eksenine göre simetri: x ekseni üzerindeki noktaların genel yazılışı (x, 0, 0) şeklinde olduğundan O(a, b, c) noktası yerine (x, 0, 0) noktası alınarak A(x, y, z) noktasının x eksenine göre simetriği:,, olarak yasılır. Örnek: 3,, noktasının x eksenine göre simetriği 3,, noktasıdır.. y eksenine göre simetri: y ekseni üzerindeki noktaların genel yazılışı (0, y, 0) şeklinde olduğundan O(a, b, c) noktası yerine (0, y, 0) noktası alınarak A(x, y, z) noktasının y eksenine göre simetriği,, ş. Örnek:,3, noktasının y eksenine göre simetriği, 3, noktasıdır.
5 3. z eksenine göre simetri: z ekseni üzerindeki noktaların genel yazılışı (0, 0, z) şeklinde olduğundan O(a, b, c) noktası yerine (0, 0, z) noktası alınarak A(x, y, z) noktasının z eksenine göre simetriği,, ş. Ö:, 3, noktasının z eksenine göre simetriği, 3, noktasıdır.
6 x x1 y y1 zz1 4. A(m, n, p) noktasının doğrusuna göre simetrisi: a b c Verilen bir A(m, n, p) noktasının verilen bir doğruya göre simetriği bulunurken doğrunun doğrultman vektörü,, ve parametresi k olmak üzere doğru üzerinde,, olmak üzere, =0 olacak şekilde k parametresi bulunarak O noktası yazılır ve A noktasının O noktasına göre simetriği bulunur. Örnek: x y z 1,,1 noktasının doğrusuna göre simetriğini bulunuz. 3 oğrunun parametresi k olmak üzere doğru üzerindeki bir nokta,, 3 olsun. 3, 4, 3 1 doğrultman vektörü ise,, 3 olup, 0 dır. Buna göre, olur. Buna göre O(0, 0, 3) noktası olarak elde edilir. A noktasının O noktasına göre simetriği ise B noktası olarak bulunur. 0 (1),0,3 1 den B1,,5
7 5. Doğrunun doğruya göre simetrisi: x x1 y y1 zz1 x x y y zz.. doğrusunun d.. a1 b1 c1 a b c doğrusuna göre simetriği bulunurken önce d 1 üzerinde alınan ve B noktalarının d doğrusuna göre simetriği alınır. A ve B noktalarının simetriği olan noktalar A ve B ise A B doğrusu d 1 doğrusunun d doğrusuna göre simetriğidir. x z Örnek : d 1.., y 0 doğrusunun d 3 göre simetriği olan doğrunun denklemini bulunuz. x y, z 0 3 doğrusuna Çözüm: d 1 doğrusu üzerinde iki nokta A(0, 0, 3) ve B(, 0, 0) olsun. d üzerinde genel nokta, 3, 0 dır. d doğrusunun doğrultman vektörü ise,3,0 vektörüdür., 3, 3 olduğundan, 0 olacaktır. Bu işlemde den k ve 13 bulunur. A noktasının O noktasına göre simetriği A' 0, 0,03 den A',, O,, olarak olur. 4, 3, 0 ğ, 0 olacaktır. Bu işlemde dan k olur. Bu k değeri için O noktası ise O,,0 noktasıdır. B noktasının bu O noktasına göre simetriği B', 0,00 dan B',, olur ç ğ ğ ğ. Doğrunun doğrultman vektörü ' ', 4 AB,0 3 10, 4, dür. B noktası kullanılarak doğru denklemi: ü elde edilir. Bu denklem aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi düzenlenirse
8 13 46 şğ şğ eşitlikleri elde edilir.. Çözüm: Bir X noktasının bir doğruya göre simetriği X olsun. Bilinen haliyle şekilde, olarak yazılır. öü öüü vektörü üzerindeki dik izdüşüm
9 vektörüdür. AX u doğrunun doğrultman vektörü olduğundan AC u u dir. Buna göre XX ' XC AC AX AX u u AX olarak yazılır. u Yer vektörleri türünden yazılmak istenirse X noktası AX u AX u X ' X ux A ve X ' uax u u olarak yazılır. Bu düşünceden hareketle: x z 3x 6, y 0 doğrusu üzerinde genel bir nokta X x,0, 3 ve x y, z 0 doğrususu üzerinde bir nokta,0,0 noktası olarak alınır 3 3x 6 x y AX x,0, ve, z 0 doğrusunun doğrultman vektörü 3,3,0 olduğuna göre X noktasının bu duğruya göre simetriği olan X (x, y, z ) noktası: 3x 6 x,0,,3,0 3x 6 x', y', z',3,0,0,0 x,0, 13 x 4 3x 6 x', y', z' 4, 6,0 4 x, 0, x', y', z' x, x, 0 4 x, 0, x x36 1x4 3x6 x', y', z',, olarak bulunur. İki noktanın eşitliğinden x z x y olarak yazılırsa, y 0 doğrusunun, z 0 doğrusuna göre 3 3 simetriği olan doğrunun denklemi:
10 olur. Bu denklemde doğrultman vektörü ile genişletilirse elde edilir. Bu ise yukarıdaki çözümde A noktasından geçen doğrudur. Doğrultman vektörleri aynı olduğundan aynı doğruyu ifade etmektedir. 6. Doğrunun Noktaya Göre Simetriği: Bir doğrunun bir noktaya göre simetriği doğruya paralel olan bir doğrudur. Bunu bulmak için önce verilen doğru üzerindeki bir noktanın verilen noktaya göre simetriği bulunur. Daha sonra bulunan bu noktadan geçen ve verilen doğruya paralel olan doğrunun denklemi yazılır. Örnek: x y z3 doğrusunun,1, noktasına göre simetriğini bulunuz Çözüm: Doğru üzerindeki bir nokta,, 3 noktasının,1, noktasına göre dan A simetriği A ' ( ),1,3 ',4,1 noktasıdır. İstenen doğru A noktasından geçen ve verilen doğruya paralel olan doğrunun denklemidir. Doğrular paralel olduğundan doğrultman vektörleri aynıdır. buna göre istenen doğrunun denklemi şeklindedir veya şekildeki yazılış formatıyla ilk iki eşitlikten;
11 İlk ve son oranlardan İkinci ve üçüncü oranlardan olur. II ifadesi 4 ile çarpılır ve III ifadesiyle toplanırsa elde edilir. Aşağıdaki şekil bunu göstermektedir.
12 Düzleme Göre Simetri: 1. Noktanın düzleme göre simetrisi: Özel düzlemlere göre simetri: Yukarıda A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriğinin,, olduğunu biliyoruz. Buna göre a) xoy düzlemine göre simetri: xoy düzlemi üzerindeki noktalar genel olarak (x,y,0) şeklinde yazıldığından yukarıda (a, b, c) noktasına göre simetride a = x, b = y ve c = 0 alınırsa A(x, y, z) noktasının xoy düzlemine göre simetriği,, olarak yazılır. Örnek:,1, 3 noktasının xoy düzlemine göre simetriği,1,3 noktasıdır. b) yoz düzlemine göre simetri: yoz düzlemi üzerindeki noktalar genel olarak (0,y,z) şeklinde yazıldıklarından yukarıdaki (a, b, c) noktasında a = 0, b = y ve c = z alınırsa A(x, y, z) noktasının yoz düzlemine göre simetriği,, olarak yazılır. Örnek: A(, 1, 3) noktasının yoz düzlemine göre simetriği,1,3 noktasıdır.
13 c) xoz düzlemine göre simetri: xoz düzlemi üzerindeki noktalar genel olarak (x, 0, z) olarak yazıldıklarından yukarıdaki (a, b, c) noktasında a = x, b = 0 ve c = z alınırsa A(x, y, z) noktasının xoz düzlemine göre simetriği,, olarak yazılır. Örnek:, 3, noktasının xoz düzlemine göre simetriği olan nokta, 3, noktasıdır.
14 d) Ax + By + Cz + D = 0 düzlemine göre simetri: Bir P(m,n,p) noktasının Ax+By+Cz+D=0 düzlemine göre simetriğini bulmak için AxByD düzlem üzerinde bir nokta Qx, y, olmak üzere vektörü ile C düzlemin normal vektörü,, vektörü paraleldir. Buna göre Ax By D p xm yn C A B C orantısından faydalanarak düzlem üzerindeki Q noktasının koordinatları bulunur. P noktasının bu Q noktasına göre simetriği, P noktasının Ax+By+Cz+D=0 düzlemine göre simetriğidir. Örnek,, 1 noktasınn x + 3y + 3z 9 = 0 düzlemine göre simetriğini bulunuz. Çözüm: Düzlem üzerinde bir nokta x y z olduğundan O x, y, x y x 3y noktasıdır. AO x, y, ve düzlemin normal vektörü 3, 3, 3 vektörüdür. Bu iki vektör birbirine paralel olduğundan 1 x 3y x y 3 den x y 1 x 3 y orantısı yazılır. Bu orantıdan: denklemleri elde edilir. Birinci denklem 3 ile çarpılır ikinci ile toplanırsa x = 0 elde edilir. Bu değer için y = 1 ve z = olur. yani düzleme dik olacak şekilde düzlem üzerindeki nokta 0, 1, noktasıdır. A noktasının O noktasına göre simetriği ise, 4, 5 noktasıdır.
15 Düzlemin noktaya göre simetriği: AmBnD Ax + By + Cz + D = 0 düzlemi üzerinde bir nokta X m, n, C noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetri X (x, y, z) ise noktanın noktaya göre simetriği alınarak AmBnD olur. Bu değerler z c eşitliğinde yerine yazılarak düzlemin C simetriği bulunur. Örnek: x + y + 4z 34 = 0 düzleminin O(, 3, 3) noktasına göre simetriğinin denklemi nedir? Çözüm: 34 m n Düzlem üzerinde bir nokta x = m, y = n için X m, n, şeklindedir. Bu 4 noktanın O(, 3, 3) noktasına göre simetriği X (x,y,z) ise
16 düzlemi elde edilir Doğrunun düzleme göre simetriği a) Verilen bir doğrunun herhangi iki noktasının verilen düzleme göre simetriklerinin belirttiği doğrunun denklemi istenen doğru denklemidir. b) Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi Bir d 1, doğrusunun Bir P düzlemine göre simetriği d doğrusu ise, P düzlemi bu iki doğrunun belirttiği açının açıortay düzlemidir. Bir başka deyişle düzlemin normal vektörü bu doğruların doğrultman vektörlerinin belirttiği açının açıortay vektörüdür. Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi [OE ışını OA ile OB doğrularının açı ortayı ile buna dik olan [OF ışını yine bu iki doğrunun oluşturduğu açının açıortayıdır.
17 F A C 90-α α 90-α α α O E B Bu nedenle aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi X noktasının P düzleminin normal doğrusuna göre simetriği olan X noktası d 1 doğrusunun P düzlemine göre simetriği olan doğrunun üzerinde olacaktır. A düzlemin bir noktası ve doğrunun bir noktası X olmak üzere öüü vektörü üzerindeki dik iz düşüm vektörü vektörü, X noktasının doğrultusuna göre simetriği X ise dür. Ayrıca buradan da olarak yazılır. Bu ifadeden yer vektörlerine geçilirse
18 olur. vektörünün vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörü AX N AC N olduğuna göre yukarıdaki ifade N AX N X ' AC N A X N Şeklinde yazılır. Burada X doğru üzerinde genel bir nokta X ise bu genel noktanın düzleme göre simetriğini ifade eden yine genel bir noktadır. Örnek: x 8 z, y 0 doğrusunun düzlemine göre simetriği olan 4 1 doğrunun denklemini bulunuz. 1. Çözüm: Önce doğru üzerinde iki nokta alalım. Bu noktalar 4,0,3 ve B(4, 0, 1) olsun. x 3y 6 Düzlemin bir noktası ise Ox, y, olarak yazılırsa vektörleri 3 düzlemin normal vektörü olan, 3, 3 vektörüne paraleldir. Buna göre 3 3 4,, Bu eşitliklerden denklemleri elde edilir. Bu denklemlerden x 3, y ve z olur. Bu değerler düzlem üzerindeki A noktasının simetriğini bulmak için kullanılacak O 3 3 noktasının koordinatlarıdır. Yani O 3,, dır. A noktasının bu noktaya göre simetriği A', 3,0 noktasıdır. 4,,
19 yazılır. Bu eşitliklerden denklemleri elde edilir. Bu denklemlerden x 3, y, z bulunur. Bu değerler B noktasının simetriği için kollanılacak O noktasının koordinatlarıdır. Yani B noktası 3 5 için O 3,, notasıdır. B noktasının bu O noktasına göre simetriği B ',3,4 AB ' ' 4,6,4 olduğundan AB doğrusunun simetriği olan A B noktası olur. doğrusunun denklemi x y3 z4 olur Bu orantının paydaları ile sadeleştirilirse denklem edilir. x y3 z4 elde 3
20 . Çözüm: x 8 z x 3y 3z + 6 = 0 düzlem üzerinde bir nokta A(0, 0, ) ve, y 0 doğrusu 4 1 üzerinde bir nokta bir k parametresine eşitlenerek X(8 4k, 0, k) olur. Düzlemin normal vektörü, 3, 3 ve 84,0, olduğuna göre yukarıda yapılan izah gereği X noktasının doğrultusuna göre simetriği AX N X ' N AX N 16 8k3k6 x, yz, 11k, 3, 3 0,0,4 8 4 k,0, k x, yz,, 3, 30,0,8 4 k,0, k x, yz, k, 3, 3 4k8,0,4 k x, yz, k4, 63 k, k olarak bulunur. Bu simetrik doğrunun parametrik denklemidir. Kartezyen biçime getirilirse x 4 y 6 z 3 denklemi elde edilir. Bu yukarıdaki denklemle aynı doğruyu ifade etmektedir. Zira doğrultman vektörleri aynıdır ve 1. çözümde bulunan doğru üzerindeki (, 3, 4) noktası bu doğruyu sağlamaktadır. 3. Düzlemin doğruya göre simetriği: AmBnD Ax + By + cz + D = 0 düzleminin bir noktası x = m, y = n ve z olmak C AmBnD üzere X m, n, C olsun. x x1 y y1 zz1 doğrusu üzerinde bir a b c nokta A(x 1, y 1, z 1 ) olmak üzere verilen düzlemin verilen doğruya göre simetriği olan düzlemin bir noktası X (x, y, z ) ise yukarıda yapılan vektörel izah gereği şeklindedir. AX u X ' uax u
21 Örnek: 40 düzleminin denklemini bulunuz. x 3 y z 1 1 doğrusuna göre simetriğinin Çözüm: x = m, y = n olmak üzere düzlemin bir noktası z = 4 m n olmak üzere X m, n,4m n, doğrunun bir noktası 3,,0 ve doğrultman vektörü 1, 1, olmak üzere 3,, 4 olduğundan X noktasının doğruya göre simetriği AX u X ' uax u m3, n, 4 mn1, 1, x ', y', z' 1, 1, 3,, 0 m, n, 4 m n 6 m3n84mn x ', y', z' 1, 1, 6 m, 4 n, 4 m n 3 3m3n3 x ', y', z' 1, 1, 6 m, 4 n, 4 m n 3 x ', y', z' mn11, 1, 6 m, 4 n, 4 m n x ', y', z' mn1, mn1, mn 6 m, 4 n, 4 m n x', y', z' mn7, m5, n y = m 5 den m = y + 5 z = n den n = z Buradan genel ifadeye geçilerek simetrik düzlemin denklemi 10 olarak bulunur.
22 4. Düzlemin düzleme göre simetriği: Şekilde sadelik olması bakımından doğrular düzlemleri temsil etmektedir. E 1 düzleminin, E düzlemine göre simetriği E düzlemi olarak gösterilmektedir. E düzlemi nasıl E 1 ve E düzlemlerinin belirttiği iki düzlemli açının açıortay düzlemi ise E düzleminin normali olan vektörü de yine bu iki düzlemin oluşturduğu diğer iki
23 düzlemli açının açıortay düzlemi üzerinde bulunmaktadır. O halde E 1 düzlemi üzerindeki bir X noktasının doğrultusuna göre simetriği olan X noktası da E düzlemi üzerinde olacaktır. Daha önceki bölümlerde açıklandığı üzere O, E düzleminin bir noktası ve, E düzleminin normal vektörü olmak üzere E 1 düzleminin X noktasının simetriği olan X noktası için OX N X ' N OX N ile bulunabilir. Örnek: x + y + z 4 = 0 düzleminin x y + z 4 = 0 düzlemine göre simetriğinin denklemini bulunuz. Çözüm: x y + z 4 = 0 düzleminin bir noktası O(, 0, 0) ve normal vektörü, 1, 1 dür. x = m, y = n olmak üzere x + y + z 4 = 0 düzleminin bir noktası X(m, n, 4 m n) şeklindedir.,, 4 olduğuna göre AX N X ' N AX N mn,,4mn, 1,1 x, yz,, 1,1,0,0 mn,,4m n 6 m4n4mn x, yz,, 1,1 4 m, n,mn4 mn,,4mn 3 n 3 4n n n,, 4 m, n,mn m4n n 6mn1,, xyz,,, 1,14 m, n,mn4 eşitliği yazılır. Bu eşitliklerden: Bu değerler ifadesinde yerine yazılırsa
24 olur. 3 ile sadeleştirilir ve aynı tarafa alınırsa simetrik düzlem denklemi olarak elde edilir.
25 z=f(x,y) şeklindeki bir fonksiyonun noktaya, doğruya ve düzleme göre simetrikleri 1. O(a, b, c) noktasına göre simetriği: Fonksiyon üzerindeki bir X(m, n, f(m,n)) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği X (a m, b m, c f(m,n)) =(x, y, z) şeklindedir. Bu eşitlikten Bu değerler z = c f(m,n) de yerine yazılırsa,. Örnek 4 fonksiyonunun O(1,, 1) noktasına göre simetriğini bulunuz. Çözüm: x = m, y = n olmak üzere z = m + n 4 olur. Bu fonksiyon üzerinde bir nokta,, 4 şeklindedir. Bu noktanın O(1,, 3) noktasına göre simetriği X (x, y, z) ise x 1 mdenmx y n den n4 y z m n den z m n olur. m ve n değerleri yerine yazılırsa olarak bulunur. 1. Doğrultman vektörü,, olan doğruya göre simetriği Doğru üzerinde bir nokta A(x 1, y 1, z 1 ) ve verilen fonksiyonun bir noktası,,, olsun. z = f(x,y) fonksiyonunun bu noktasının doğrultmanı olan doğruya göre simetriği X (x, y, z) noktası ise AX u X ' uax u olarak bulunur. Bu ifadenin bulunuşu yukarıdaki bölümlerde izah edilmişti.
26 Örnek: fonksiyonun denklemini bulunuz. x1 y, z 0 doğrusuna göre simetriğinin 1 Çözüm: Doğru üzerinde bir nokta A(1, 0, 0), doğrunun doğrultman vektörü, 1, 0 vektörüdür. fonksiyonunun bir noktası x = m, y = n olmak üzere,, şeklindedir. 1,, olduğuna göre AX u X ' uax u m1, n, m n,1, 0 ( x, yz, ),1,0 1,0,0 mn,,m n 6 m n ( x, yz, ),1,0 m, nn, m 3 4mn4 mn ( x, yz, ),,0 m, nn, m 3 3 Bu eşitlikten denklem sisteminden elde edilir. Bu değerle. mn mn ( x, yz, ),, nm
27 . Normal vektörü,, olan düzleme göre simetriği Düzlem üzerinde bir nokta A(x 1, y 1, z 1 ) ve verilen fonksiyonun bir noktası,,, olsun. z = f(x,y) fonksiyonunun bu noktasının normali olan düzlemine göre simetriği X (x, y, z) noktası ise AX N X ' N AX N olarak bulunur. Bu ifadenin bulunuşu yukarıdaki bölümlerde izah edilmişti Örnek: fonksiyonunun x + y = 0 düzlemine göre simetriğini bulunuz. Çözüm: Düzlem üzerinde bir nokta A(1,, 0) ve düzlemin normal vektörü, 1,0 vektörüdür. fonksiyonunun bir noktası x = m, y = n olmak üzere,, şeklindedir. 1,, olduğuna göre AX N X ' N AX N ( m1, n, mn ) (,1,0),, (,1,0) (1,,0) (,, ) x yz mn m n 5 4m n8 x, yz, (,1,0) ( m,4 n, m n) 5 8m4n16 4mn8 x, yz,,,0 ( m,4 n, mn) 5 5 3m 4n 6 4m 3n x, yz,,, mn Bu eşitlikten denklem sistemi elde edilir Bu denklem sisteminde değerleri z = m + n de yerine yazılırsa olarak bulunur
28 Ek Düzlemde bir doğrunun bir doğruya göre simetriği dx+ey+f=0 doğrusunun ax+by+c=0 doğrusuna göre simetriği Simetri kavramının esası bir orta nokta uygulamasından ibarettir. Bu şekilde yaklaşılırsa hem konunun izahı hem de anlaşılması kolay olur. dx+ey+f=0 doğrusu üzerindeki bir nokta A(x, y) olsun. Bu noktanın simetriği olan nokta xx' y y' B(x, y ) olsun. [AB] nın orta noktası olan C, noktası ax+by+c=0 doğrusu üzerindedir. Ayrıca [AB] sı ax+by+c=0 doğrusuna dik olduğundan eğimleri çarpımı 1 e eşittir. Bu düşünce ile aşağıdaki işlemleri yapabiliriz. C noktasının koordinatlarını ax+by+c=0 denkleminde yerine yazalım: 0 elde edilir. Diklikten 1 ifadesinden
29 elde edilir. (I) ve (II) den denklemleri elde edilir. Bu denklem sisteminden ve olarak bulunur. Bu değerler dx+ey+f=0 denkleminde yerine yazılırsa 0 ifadesi elde edilir. İfade ortak çarpan parantezlerine alınırsa: 0 0 parantezler açılır ve tekrar ortak çarpan parantezine alınırsa; olarak bulunur. Buradan genel denklem olarak: olarak bulunur. ad be dx ey f ( ) ax by c0 a b
30 İkinci Çözüm: dx+ey+f=0 doğrusu ile ax+by+c=0 doğrusuna göre simetriği olan doğru bir noktada kesişirler. Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi üç doğru aynı noktada kesişmektedir. Buna göre bu üç doğru aynı noktada kesişen doğru demetinin üç elemanıdır. Bu doğru demetinin genel denklemi 0 şeklindedir. K sayısının bulunması simetrik doğrunun bulunması anlamına gelir. ax+by+c=0 doğrusu simetrinin özelliğinden ötürü dx+ey+f=0 doğrusu ile simetriğinin oluşturduğu açının açıortayıdır. d a dx+ey+f=0 doğrusunun eğimi ve ax+by+c=0 doğrusunun eğimi dir. Simetrik e b doğrunun eğimine m diyelim. Buna göre doğrular arasındaki açıların tanjantları eşit olacağından d a a m e b b d a a 1 1m e b b
31 eşitliği yazılır. Buradan m değeri hesaplanırsa: ae bd a bm den abe a em b d abdm a d abdm abe b em ad be b ma olur. Bulunan bu değer simetrik doğrunun eğimidir. Yukarıdaki 0 doğru demetinde eğim şeklindedir. Bu durumda bulunması gereken doğru demetinde eğimi yukarıda bulunan m değeri olacak şekilde K sayısıdır. iki eğimi birbirine eşitleyerek: 3 3 b dk a bdk ab ek eb d a de abe a bdk a ek ab ek abd a de b de ad be olur. Buradan K olarak bulunur. Yani dx+ey+f=0 doğrusunun ax+by+c=0 a b doğrusuna göre simetriğinin denklemi: ad be dx ey f ( ) ax by c0 a b olarak bulunur.
İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25
İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Noktanın Analitik İncelenmesi...3 Doğrunun Analitiği...11 Analitik Düzlemde Simetri...25 Analitik Sistemde Eşitsizlikler...34 Çemberin Analitik İncelenmesi...40 Elips...58 Hiperbol...70
DetaylıUzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi
Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse
DetaylıParametrik doğru denklemleri 1
Parametrik doğru denklemleri 1 A noktasından geçen, doğrultman (doğrultu) vektörü w olan d doğrusunun, k parametresine göre parametrik denklemi: AP k w P A k w P A k w P A k W (P değişken nokta) A w P
Detaylı1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77
UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir
DetaylıDüzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir.
Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri Düzlemin noktalarını, düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten bir fonksiyona düzlemin bir dönüşümü denir. Öteleme: a =(a 1,a ) ve u =(u 1,u ) olmak
DetaylıÖrnek...1 : mx+3y+12=0 ve 2x 5y+3=0 doğruları para - lelse m kaçtır?
İKİ DOĞRUNUN BİRBİRİNE GÖRE DURUMU DURUM 1 PARALEL DOĞRULAR ve doğruları paralel doğrular ise eğimleri eşittir. Yani / / m 1 =m 2 Ayr ıca : a 1 x+b 1 y+c 1 =0 =0} / / a 1 a 2 = b 1 c 1 c 2 Örnek...1 :
Detaylı1. Analitik düzlemde P(-4,3) noktasının eksenlerden ve O başlangıç noktasından uzaklığı kaç birimdir?
HAZİNE- HAZİNE-2 O başlangıç noktasında dik kesişen iki sayı ekseninin oluşturduğu sisteme koordinat sistemi denir. Bir noktanın x-eksenindeki dik izdüşümüne karşılık gelen x sayısına noktanın apsis i
Detaylı( ) ( ) ÖABT Analitik Geometri KONU TESTİ Noktanın Analitik İncelemesi. Cevap D. Cevap C. noktası y ekseni üzerinde ise, a + 4 = 0 A 0, 5 = 1+
ÖABT Analitik Geometri KONU TESTİ Noktanın Analitik İncelemesi. a+ = b 4. a = b 0+ a b a b = b a+ b = 0. A ( a + 4, a) noktası y ekseni üzerinde ise, ( + ) a + 4 = 0 A 0, 5 a = 4 B b, b 0 noktası x ekseni
DetaylıKUTUPSAL KOORDİNATLAR
KUTUPSAL KOORDİNATLAR Geometride, bir noktanın konumunu belirtmek için değişik yöntemler uygulanır. Örnek olarak çok kullanılan Kartezyen (Dik ) Koordinat sistemini anımsatarak çalışmamıza başlayalım.
Detaylı1. O(0,0) merkezli, 3 birim yarıçaplı. 2. x 2 +y 2 =16 denklemi ile verilen. 3. O(0,0) merkezli ve A(3,4)
HAZİNE-1 Düzlemde sabit M(a,b) noktasından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri, M merkezli R yarıçaplı çemberdir. HAZİNE-2 O(0,0) merkezli, R yarıçaplı çemberin denklemi; x 2 +y 2 =R 2 dir.
DetaylıDOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ
Koordinatlar DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Bilindiği gibi, düzlemdeki her bir noktaya bir (a,b) sıralı ikilisi, her bir (a,b) sıralı ikilisine bir nokta karşılık gelir. Eğer bir A noktasına karşılık gelen
DetaylıÜç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi
Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.
DetaylıNokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.
Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak
DetaylıDik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.
ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da
Detaylı4. y=-2 doğrusundan 5 birim uzaklıkta. 5. O(0,0) başlangıç noktasından 3 birim. 6. A(1,2) ve B(5,8) noktalarından eşit. 7. x=-2 doğrusundan ve A(2,0)
GEOMETRİK YER HAZİNE-1 Analitik düzlemde, verilen bir ortak özelliği sağlayan P(x,y) noktalarının apsis ve ordinatı arasındaki bağıntıya Geometrik yer denklemi denir. 4. y=-2 doğrusundan 5 birim uzaklıkta
Detaylı(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM
EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin
Detaylı[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;
. Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk 8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken, havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa,boş
DetaylıANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın,
DetaylıÖğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 26 Haziran Matematik Soruları Ve Çözümleri
Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 6 Haziran 99 Matematik Soruları Ve Çözümleri. Birler basamağı 0 olan, ile bölünebilen, iki basamaklı en büyük pozitif doğal sayının, birler basamağı 0 olan, ile bölünebilen,
DetaylıS4 u(x, y) = ln ( sin y. S5 u(x, y) = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t)) fonksiyonunun
Kısmi Türevli Denklemler Problem Seti-I S1 u = u(x, y ve a, b, c R olmak uzere, ξ = ax + by ve η = bx ay degisken degistirmesi yaparak n cozunuz. au x + bu y + cy = 0 S2 Aşa gidaki denklemleri Adi Diferensiyel
DetaylıÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK
ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK YGS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI CEVAP ANAHTARI RASYONEL SAYILAR ONDALIK SAYILAR ÖRNEKLER (Sayfa -) 6 ) ) ) 6) ; ; ) 0) ) ; 8 ) ) ) 0 ) 6 0 0 8) 0 ) 0) 6 ) 8 ) 8 8) ) ; 6
DetaylıDenklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,
Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli
DetaylıÖRNEK ÖRNEK ÖRNEK ÖRNEK
Öteleme ve yansımanın birlikte kullanıldığı dönüşümlere ötelemeli yansıma denir. Düzlemde yansıma ve ötelemeli yansıma dönüşümlerinde uzaklıklar korunurken açıların yönleri değişir. Ötelemeli yansıma dönüşümünde
Detaylı= e DIŞ MERKEZLİK HAZİNE-1 HAZİNE-2
HAZİNE-1 HAZİNE-2 Bir eksen üzerinde verilen noktadan geçen ve eksen ile belirli açı yaparak dönen doğrunun oluşturduğu yüzeye konik yüzey denir. Konik yüzeyin değişik düzlemler ile arakesit kümeleri çember,
Detaylı4. y=-2 doğrusundan 5 birim uzaklıkta. 5. O(0,0) başlangıç noktasından 3 birim. 6. A(1,2) ve B(5,8) noktalarından eşit. 7. x=-2 doğrusundan ve A(2,0)
GEOMETRİK YER HAZİNE-1 Analitik düzlemde, verilen bir ortak özelliği sağlayan P(x,y) noktalarının apsis ve ordinatı arasındaki bağıntıya Geometrik yer denklemi denir. Geometrik yer üzerindeki noktalar
DetaylıTanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu
FOTOGRAMETRİ I Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ JDF329 Fotogrametri I Ders Notu 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi İzdüşüm merkezi(o):
DetaylıUZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM
UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM. ir küpün ayrıtlarını taşıyan doğrular kaç farklı doğrultu oluşturur? ) ) ) D) 7 E) 8. ir düzgün altıgenin en uzun köşegeni ile aynı doğrultuda kaç farklı kenar vardır?. şağıdaki
DetaylıMAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI
MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI SORU 1. Köşeleri (1,4) (3,0) (7,2) noktaları olan ABC üçgeninin bir ikizkenar dik üçgen (İpucu:, ve vektörlerinden yararlanın) SORU 2. Bir ABC üçgeninin
Detaylı1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)
.DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L
T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L 1 Denklemler 1.1 Doğru deklemleri İki noktası bilinen ya da bir noktası ile eğimi bilinen doğruların denklemlerini yazabiliriz.
Detaylı1. Hafta Uygulama Soruları
. Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında
DetaylıLİSE ÖĞRENCİLERİNE OKULLARDA YARDIMCI VE ÜNİVERSİTE SINAVLARINA. (YGS ve LYS na) HAZIRLIK İÇİN. Örnek çözümlü. Deneme sınavlı GEOMETRİ-2.
LİSE ÖĞRENCİLERİNE OKULLARDA YARDIMCI VE ÜNİVERSİTE SINAVLARINA (YGS ve LYS na) HAZIRLIK İÇİN Konu anlatımlı Örnek çözümlü Test çözümlü Test sorulu Deneme sınavlı GEOMETRİ-2 Hazırlayan Erol GEDİKLİ Matematik
DetaylıİKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden
DetaylıBir Doğru Parçasının Orta Noktası. x 1. + x 2. Örnek: Çözüm: =5 z=7 dir. O halde C(5,-13,7) olur.
UZAY ANALİTİK GEOMETRİ Uzayda Koordinat Sistemi ve Uzayda Vektörler: Tanım: Uzayda (üç boyutlu) birbirine ikişer ikişer dik sayı eksenlerinin oluşturduğu sisteme üç boyutlu uzayda koordinat sistemi denir.bu
DetaylıDÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ
3 DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ Gerilme Kavramı Dış kuvvetlerin etkisi altında dengedeki elastik bir cismi matematiksel bir yüzeyle rasgele bir noktadan hayali bir yüzeyle ikiye ayıracak olursak, F 3 F
DetaylıGEOMETRİK KAVRAMLAR MUHAMMED AŞKIN TÜRKOĞLU MUHAMMET AŞKIN TÜRKOĞLU MUHAMMET TÜRKOĞLU
GEOMETRİK KAVRAMLAR n tane doğru düzlemi en az (n+1), en çok n(n + 1) + 1 bölgeye ayırır. (İki Nokta Arası Uzaklık) IABI = Ib ai (Orta nokta) a + b c = (Eş Doğru Parçaları) Uzunluğu eşit olan doğru parçalarına
DetaylıProf.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, BAHAR
MAT 114 LİNEER CEBİR ( İSTATİSTİK, ASTRONOMİ ve UZAY BİLİMLERİ) Hafta 8: İç Çarpım Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.İsmail GÖK 2017-2018 BAHAR İç Çarpım Tanım 23: V bir reel vektör
Detaylıolmak üzere C noktasının A noktasına uzaklığı ile AB nin orta dikmesine olan uzaklığının oranının α değerinden bağımsız olduğunu gösteriniz.
GOMTRİ 05/0/0. bir üçgen m() =, m() = 90 +, = 5 br, = 7 br, olduğuna göre = x kaç br dir? 5 m 9 0 m 9 0 5 90+ 7 x Çözüm: den ye çıkılan dikmenin doğrusunu kestiği nokta olsun. bir dik üçgen ve bir ikizkenar
DetaylıÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES
ANAL T K GEOMETR ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES 1. ANAL T K UZAY. ANAL T K UZAY D A D K KOORD NAT EKSENLER VE ANAL T K UZAY I. Analitik uzayda koordinat sistemi II. Analitik
DetaylıAB yönlü doğru parçası belirtilmiş olur. Doğrultusu, uzunluğu ve yönünden söz edilebilir.
HAZİNE-1 HAZİNE-2 Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] DOĞRU PARÇASI denir. Doğrultusu (üzerinde bulunduğu doğru) ve uzunluğundan söz edilebilir.
DetaylıLineer Denklem Sistemleri
Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin
DetaylıMatematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.
- 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle
DetaylıFotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri
Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Resim düzlemi O : İzdüşüm (projeksiyon ) merkezi P : Arazi noktası H : Asal nokta N : Nadir noktası c : Asal uzaklık H OH : Asal eksen (Alım ekseni) P OP :
DetaylıDERSİN ADI: MATEMATİK II MAT II (12) KUTUPSAL KOORDİNATLAR VE UYGULAMALARI 1. KUTUPSAL KOORDİNATLAR 2. EĞRİ ÇİZİMLERİ
DERSİN ADI: MATEMATİK II MAT II (1) ÜNİTE: KUTUPSAL KOORDİNATLAR VE UYGULAMALARI 1. KUTUPSAL KOORDİNATLAR. EĞRİ ÇİZİMLERİ GEREKLİ ÖN BİLGİLER 1. Trigonometrik fonksiyonlar. İntegral formülleri KONU ANLATIMI
DetaylıÜç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri
Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Küresel Koordinatlar Silindirik Koordinatları Dönel Yüzeylerin Elde Edilmesi
Detaylı( ) ( ) { } ( ] f(x) = sinx fonksiyonunun x=0 için türevi aşağıdakilerden hangisidir. 3 ün (mod 7) ye göre denk olduğu sayı aşağıdakilerden
. 4 ün (mod 7) ye göre denk olduğu sayı aşağıdakilerden hangisidir? B) 4 E ) (mod 7) (mod 7) 6 (mod 7) 6 4 (mod 7) 4 (mod 7). R R olduğuna göre f : f() = - fonksiyonunun tanım kümesi nedir? { :-< < } B)
DetaylıDeğişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.
1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya
DetaylıGörünmeyen Yüzey ve Arkayüz Kaldırma
KARADENİZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR GRAFİKLERİ LABORATUARI Görünmeyen Yüzey ve Arkayüz Kaldırma 1. Giriş Bilgisayar grafiklerinin en önemli problemlerinden biri katı
DetaylıÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER
HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI
DetaylıLisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 19 Haziran 2010. Geometri Soruları ve Çözümleri. ABC bir üçgen CA = CD. m(acd) = m(dcb) m(bac) = 80.
Lisans Yerleştirme Sınavı (Lys ) / 9 Haziran 00 Geometri Soruları ve Çözümleri. ABC bir üçgen CA = CD m(acd) = m(dcb) m(bac) = 80 m(abc) = x Yukarıdaki verilere göre x kaç derecedir? A) 40 B) 45 C) 50
DetaylıÖğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 16 Haziran Matematik Soruları Ve Çözümleri
Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 6 Haziran 99 Matematik Soruları Ve Çözümleri. 0,80+ (0,+ ).0, işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) Çözüm I. Yol 0,80+ (0,+ ).0, 80 00 + ( 0 + ). 80 + ( + ). 00 0 80
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ 12. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI. B) 2f(x)-6
1. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1. Pozitif baş katsayılı bir P(x) polinomunda P(P(x)+x)=x 6 eşitliği sağlandığına göre ; P x polinomunun sabit terimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 6 B) 5 C) 0 D)
Detaylı- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a
İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri
DetaylıYönlü doğru parçası: Zıt yönlü doğru parçaları: Eş yönlü doğru parçaları: Örnek-1. Paralel yönlü doğru parçaları:
Yönlü doğru parçası: Zıt yönlü doğru parçaları: Eş yönlü doğru parçaları: Örnek-1 Paralel yönlü doğru parçaları: 1 Örnek-2 Vektör: Örnek-3 Sıfır vektörü: Eşit vektörler: Örnek-4 Bir vektörü bir reel sayı
DetaylıAyrık zamanlı sinyaller için de ayrık zamanlı Fourier dönüşümleri kullanılmatadır.
Bölüm 6 Z-DÖNÜŞÜM Sürekli zamanlı sinyallerin zaman alanından frekans alanına geçişi Fourier ve Laplace dönüşümleri ile mümkün olmaktadır. Laplace, Fourier dönüşümünün daha genel bir şeklidir. Ayrık zamanlı
Detaylıf fonksiyonuna bir üç değişkenli fonksiyon adı verilir. Daha çok değişkenli fonksiyonlar benzer şekilde tanımlanır.
Çok Değişkenli Fonksiyonlar Tanım 1. D düzlemin bir bölgesi, f de D nin her bir (x, y) noktasına bir f(x, y) reel sayısı karşılık getiren bir fonksiyon ise f fonksiyonuna bir iki değişkenli fonksiyon adı
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun
DetaylıTaşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,
DetaylıBilgisayar Grafikleri
Bilgisayar Grafikleri Konular: Cismin Tanımlanması Bilindiği gibi iki boyutta noktalar x ve y olmak üzere iki boyutun koordinatları şeklinde ifade edilirler. Üç boyutta da üçüncü boyut olan z ekseni üçücü
DetaylıLisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 18 Haziran Geometri Soruları ve Çözümleri
Lisans Yerleştirme Sınavı (Lys ) / 8 Haziran 0 Geometri Soruları ve Çözümleri. Bir ikizkenar üçgenin eş kenarlarının her birinin uzunluğu 0 cm ve üçüncü kenarının uzunluğu 4 cm olduğuna göre, alanı kaç
Detaylı9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme
DetaylıŞEKİL DEĞİŞTİRME HALİ
ŞEKİL DEĞİŞTİRME HALİ GİRİŞ Önceki bölümde cisme etkiyen kuvvetlerin dengesi incelenerek gerilme kavramı geliştirildi. Bu bölümde ise şekil değiştiren cisim mekaniğinin en önemli kavramlarından biri olan
Detaylı10. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ
2012 10. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni 1. ÜNİTE: DÜZLEM GEOMETRİDE TEMEL ELEMANLAR VE İSPAT BİÇİMLERI Temel Postulatlar İspatlanamayan ve ispatına gerek duyulmayan ancak doğru
Detaylıkpss Önce biz sorduk 50 Soruda SORU Güncellenmiş Yeni Baskı ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK GEOMETRİ İSTATİSTİK ve OLASILIK
Önce biz sorduk kpss 0 1 8 50 Soruda 30 SORU Güncellenmiş Yeni Baskı ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK GEOMETRİ İSTATİSTİK ve OLASILIK Komisyon ÖABT İlköğretim Matematik Geometri - İstatistik ve Olasılık Konu
Detaylı3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10
Diferenisyel Geometri 2 Yazokulu 2010 AdıSoyadı: No : 1. ϕ (u, v) = ( u + 2v, v + 2u, u 2 v ) parametrizasyonu ile verilen M kümesinin bir regüler yüzey olduğunu gösteriniz. (15 puan) 3. V, R 3 ün açık
DetaylıViyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik
Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik 1. Ünite: Geometriden Olasılığa 1. Bölüm: Yansıyan ve Dönen Şekiller, Fraktallar Yansıma, Öteleme, Dönme Fraktallar 2. Bölüm: Üslü Sayılar Tam
DetaylıVEKTÖRLER. DOĞRU PARÇASI: Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] DOĞRU PARÇASI denir.
VEKTÖRLER DOĞRU PRÇSI: Doğrunun ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [B] DOĞRU PRÇSI denir. Doğrultusu (üzerinde bulunduğu doğru) ve uzunluğundan söz edilebilir.
DetaylıElastisite Teorisi Hooke Yasası Normal Gerilme-Şekil değiştirme
Elastisite Teorisi Hooke Yasası Normal Gerilme-Şekil değiştirme Gerilme ve Şekil değiştirme bileşenlerinin lineer ilişkileri Hooke Yasası olarak bilinir. Elastisite Modülü (Young Modülü) Tek boyutlu Hooke
Detaylı( ) 1. Alt kenarı bir konveks çokgenin iç açılarının toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 3. x in hangi aralıktaki değeri ( ) 2
. lt kenarı bir konveks çokgenin iç açılarının toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) 6 dik açı B) 4 dik açı C) 8 dik açı D) dik açı E ) dik açı Bir konveks çokgenin iç açıları toplamını veren bağıntı
DetaylıXII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı
XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı A 1. Köşeleri, yarıçapı 1 olan çemberin üstünde yer alan düzgün bir n-genin çevre uzunluğunun alanına oranı 4 3 ise, n kaçtır? 3 a) 3 b) 4 c) 5 d)
DetaylıÖğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur.
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 8 Haziran 6 Matematik II Soruları ve Çözümleri x, x. f(x) x ise fonksiyonu için,, x olduğuna göre, a b kaçtır? lim + x f ( x) a ve lim x f ( x) b A) B) C) D) E) Çözüm x x için
DetaylıMustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü
* Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü SAYILAR Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, N={0,1,2,3,,n, } Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Q={p/q: p,q Z ve q 0} İrrasyonel Sayılar, I= {p/q
DetaylıÖğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. ise fonksiyonu için, = b olduğuna göre, a b kaçtır? = 1 olur.
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) 8 Haziran 6 Matematik II Soruları ve Çözümleri. f (x) + x lim f ( x) a x x ve, x ise fonksiyonu için,, x lim f ( x) b olduğuna göre, a b kaçtır? x A) B) C) D) E) Çözüm x x için,
DetaylıÖrnek...4 : P(x) = 3x + 2 ve Q(x)= x 2 +4x -3 polinomları için a) P(x). Q(x) b)x.p(x) 2.Q(x) işlem lerini ya pınız.
POLİNOMLARDA Polinomlarda To plama ve Çıkarma P(x) ve Q(x) iki polinom olsun. P(x) + Q(x) veya P(x) Q(x) işlemi yapılırken eşit dereceli terimlerin katsayıları işlemine göre toplanır veya çıkarılır. Örnek...1
DetaylıÜç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi
Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.
DetaylıDOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI
DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI 1-60) Dört çocuk, Ahmet, Ferit, Berk ve Mehmet koşu yarışı yapıyorlar. Yarışma sonucunda, Ahmet, "Ben birinci ve sonuncu
DetaylıCebirsel Fonksiyonlar
Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş
DetaylıELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan
ELASTİSİTE TEORİSİ I Yrd. Doç Dr. Eray Arslan Mühendislik Tasarımı Genel Senaryo Analitik çözüm Fiziksel Problem Matematiksel model Diferansiyel Denklem Problem ile ilgili sorular:... Deformasyon ne kadar
DetaylıMat Matematik II / Calculus II
Mat - Matematik II / Calculus II Çalışma Soruları Çok Değişkenli Fonksiyonlar: Seviye eğri ve yüzeyler, Limit ve süreklilik wolframalpha.com uygulamasında bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak için: x
Detaylıii) S 2LW 2WH 2LW 2WH S 2WH 2LW S 3( x 1) 5( x 2) 5 3x 3 5x x Maliye Bölümü EKON 103 Matematik I / Mart 2018 Proje 2 CEVAPLAR C.1) C.
C.1) x1 x 1 4 4( x1) x 6 4x 4 x 6 x 46 x Maliye Bölümü EKON 10 Matematik I / Mart 018 Proje CEVAPLAR C.) i) S LW WH LW WH S LW WH S W W W S L H W ii) S LW WH WH LW S WH LW S W W W S H L W C.) ( x1) 5(
Detaylı7.1 Karmaşık Sayılar. x 2 = 1. denkleminin çözümü olarak +i ve i sayıları tanımlanır. Tanım 7.1.
Bölüm 7 Karmaşık Sayılar Karmaşık sayılar gerçel sayıların genişlemesiyle elde edilen daha büyük bir kümedier. Genişleme şu gereksemeden doğmuştur: x 2 = +1 denklemimin çözümü +1, 1 sayılarıdır ve R içindedir.
DetaylıFİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ FİNAL SORULARI 25-26 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... SINAV TARİHİ VE SAATİ : A A A A A A A Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav süresi 9 dakikadır.
Detaylıçemberi ile O Çemberlerin birbirine göre durumlarını inceleyelim. İlk durumda alalım. olduğu takdirde O2K1
. merkezli R yarıçaplı Ç çemberi ile merkezli R yarıçaplı ve noktasından geçen Ç çemberi veriliyor. Ç üzerinde, T Ç K T Ç, ve K K T K olacak şekilde bir T noktası alınıyor. Buna göre, uzunluklarından birinin
Detaylı2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir?
MC www.matematikclub.com, 006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir3@ahoo.com.tr. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler- TEST I A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 1. 1/ = 0 denkleminin köklerinin toplamı aşağıdakilerden
DetaylıÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 2
ÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 1) 4y x xy 4 4y x xy 4 ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir? 4 x 4 x x A) B) C) 4 x 4 x 4 x x x 1 D) E) 4 x x 1 1) İkili ikili gruplayarak ortak paranteze
Detaylı(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.
BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı
Detaylı2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş
2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş Kuvvet: Şiddet (P), doğrultu (θ) ve uygulama noktası (A) ile karakterize edilen ve bir cismin diğerine uyguladığı itme veya çekme olarak tanımlanabilir. Bu parametrelerden
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Bibliography 9 Index 13 CONTENTS 5 0.1 Doğru, Düzlem, Uzay Bu derste sık sık doğru, düzlem ve
Detaylıfonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı
10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.
DetaylıLİNEER CEBİR ve MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI (MEH111) Dersi Final Sınavı 1.Ö
LİNEER CEBİR ve MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI (MEH) Dersi Final Sınavı.Ö. 02.0.207 Ad Soyad : (25p) 2(25p) 3(25p) 4(25p) Toplam Numara : İmza : Kitap ve notlar kapalıdır. Yalnızca kalem, silgi, sınav kağıdı
DetaylıMATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.
MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı
DetaylıAralıklar, Eşitsizlikler, Mutlak Değer
ARALIKLAR Gerçel sayıların, aralık olarak adlandırılan bazı kümeleri kalkülüste sık sık kullanılır ve geometrik olarak doğru parçalarına karşılık gelir. Örneğin, a < b ise, a dan b ye açık aralık, a ile
Detaylı90 = 3 elde edilir. 30
Ö.Y.S. 99 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Birler basamağı 0 olan, ile bölünebilen, iki basamaklı en büyük pozitif doğal sayının, birler basamağı 0 olan, ile bölünebilen, iki basamaklı en küçük pozitif
Detaylı2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.
Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS'de matematik testinde
Detaylı11. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ
2012 11. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni 1. ÜNİTE: DÖRTGENLER DÖRTGEN VE TEMEL ELEMANLARI Herhangi üçü doğrusal olmayan A, B, C ve D noktaları verilsin. [AB], [BC], [CD] ve [DA]
DetaylıGelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören
Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören çocuklarımızın ana ve babalarına da yavrularının öğreniminin tamamlanması
DetaylıCahit Arf Matematik Günleri 10
Cahit Arf Matematik Günleri 0. Aşama Sınavı 9 Mart 0 Süre: 3 saat. Eğer n, den büyük bir tamsayı ise n 4 + 4 n sayısının asal olamayacağını gösteriniz.. Çözüm: Eğer n çiftse n 4 +4 n ifadesi de çift ve
Detaylıx e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.
TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki
Detaylı