Uzayda Simetri. A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(x, y, z ) ise O noktası [AB] nın orta noktasıdır.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Uzayda Simetri. A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(x, y, z ) ise O noktası [AB] nın orta noktasıdır."

Transkript

1 Uzayda Simetri Hazırlayan Halit Çelik Matematik Öğretmeni Noktaya Göre Simetri: A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(x, y, z ) ise O noktası [AB] nın orta noktasıdır. Buna göre şeklinde bulunur. Buna göre; A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(a x, b y, c z) noktasıdır. Şekilde görüldüğü gibi A(, 1, 1) noktasının O ( 1, 1, 3) noktasına göre simetriği 1,.1 1,.3 1 4, 1, 5 noktasıdır. 1. Orijine göre simetri: Yukarıda yapılan işlemde a=0, b=0 ve c=0 alınırsa A(x, y, z) noktasının O(0, 0, 0) noktasına göre simetriği,, olarak elde edilir. Örnek: 1,,3 noktasının orijine göre simetriği 1,, 3 noktasıdır.

2 Bir noktanın bir vektöre göre simetriği A(x 1, y 1, z 1 ) noktasının,, vektörüne göre simetriği X(x, y, z) noktası ise aşağıdaki şekil incelenirse: AX AB ve A AB B buradan AB B A olur. Burada B vektörü A vektörünün Au üzerindeki dik iz düşüm vektörüdür. ve B u vektörüne eşittir. Yerine yazılırsa u olarak bulunur.,,, Örnek: A(1, ) noktasının,1 vektörüne göre simetriğini bulunuz. Çözüm: A noktasını başlangıç noktası orijin olan bir vektör olarak alalım. vektörünün 1,,1 8 4 vektörü üzerindeki dik iz düşüm vektörü,1 B, vektörüdür Yukarıdaki ifadede yerine yazılırsa X , 1,, olarak bulunur

3 Örnek: A(, 1, 3) noktasının 1, 0, 1 vektörüne göre simetriğini bulunuz. Çözüm: A noktasını ve simetriği olan B noktasını birer yer vektörü olarak yazacak olursak B Au ua u olarak yazılır. Buna göre olarak bulunur.,1,3 1, 0,1 xyz,, 1,0,1,1,3 5, 0,5,1,3 3, 1,

4 Doğruya göre simetri: Özel doğrulara göre simetri: 1. x eksenine göre simetri: x ekseni üzerindeki noktaların genel yazılışı (x, 0, 0) şeklinde olduğundan O(a, b, c) noktası yerine (x, 0, 0) noktası alınarak A(x, y, z) noktasının x eksenine göre simetriği:,, olarak yasılır. Örnek: 3,, noktasının x eksenine göre simetriği 3,, noktasıdır.. y eksenine göre simetri: y ekseni üzerindeki noktaların genel yazılışı (0, y, 0) şeklinde olduğundan O(a, b, c) noktası yerine (0, y, 0) noktası alınarak A(x, y, z) noktasının y eksenine göre simetriği,, ş. Örnek:,3, noktasının y eksenine göre simetriği, 3, noktasıdır.

5 3. z eksenine göre simetri: z ekseni üzerindeki noktaların genel yazılışı (0, 0, z) şeklinde olduğundan O(a, b, c) noktası yerine (0, 0, z) noktası alınarak A(x, y, z) noktasının z eksenine göre simetriği,, ş. Ö:, 3, noktasının z eksenine göre simetriği, 3, noktasıdır.

6 x x1 y y1 zz1 4. A(m, n, p) noktasının doğrusuna göre simetrisi: a b c Verilen bir A(m, n, p) noktasının verilen bir doğruya göre simetriği bulunurken doğrunun doğrultman vektörü,, ve parametresi k olmak üzere doğru üzerinde,, olmak üzere, =0 olacak şekilde k parametresi bulunarak O noktası yazılır ve A noktasının O noktasına göre simetriği bulunur. Örnek: x y z 1,,1 noktasının doğrusuna göre simetriğini bulunuz. 3 oğrunun parametresi k olmak üzere doğru üzerindeki bir nokta,, 3 olsun. 3, 4, 3 1 doğrultman vektörü ise,, 3 olup, 0 dır. Buna göre, olur. Buna göre O(0, 0, 3) noktası olarak elde edilir. A noktasının O noktasına göre simetriği ise B noktası olarak bulunur. 0 (1),0,3 1 den B1,,5

7 5. Doğrunun doğruya göre simetrisi: x x1 y y1 zz1 x x y y zz.. doğrusunun d.. a1 b1 c1 a b c doğrusuna göre simetriği bulunurken önce d 1 üzerinde alınan ve B noktalarının d doğrusuna göre simetriği alınır. A ve B noktalarının simetriği olan noktalar A ve B ise A B doğrusu d 1 doğrusunun d doğrusuna göre simetriğidir. x z Örnek : d 1.., y 0 doğrusunun d 3 göre simetriği olan doğrunun denklemini bulunuz. x y, z 0 3 doğrusuna Çözüm: d 1 doğrusu üzerinde iki nokta A(0, 0, 3) ve B(, 0, 0) olsun. d üzerinde genel nokta, 3, 0 dır. d doğrusunun doğrultman vektörü ise,3,0 vektörüdür., 3, 3 olduğundan, 0 olacaktır. Bu işlemde den k ve 13 bulunur. A noktasının O noktasına göre simetriği A' 0, 0,03 den A',, O,, olarak olur. 4, 3, 0 ğ, 0 olacaktır. Bu işlemde dan k olur. Bu k değeri için O noktası ise O,,0 noktasıdır. B noktasının bu O noktasına göre simetriği B', 0,00 dan B',, olur ç ğ ğ ğ. Doğrunun doğrultman vektörü ' ', 4 AB,0 3 10, 4, dür. B noktası kullanılarak doğru denklemi: ü elde edilir. Bu denklem aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi düzenlenirse

8 13 46 şğ şğ eşitlikleri elde edilir.. Çözüm: Bir X noktasının bir doğruya göre simetriği X olsun. Bilinen haliyle şekilde, olarak yazılır. öü öüü vektörü üzerindeki dik izdüşüm

9 vektörüdür. AX u doğrunun doğrultman vektörü olduğundan AC u u dir. Buna göre XX ' XC AC AX AX u u AX olarak yazılır. u Yer vektörleri türünden yazılmak istenirse X noktası AX u AX u X ' X ux A ve X ' uax u u olarak yazılır. Bu düşünceden hareketle: x z 3x 6, y 0 doğrusu üzerinde genel bir nokta X x,0, 3 ve x y, z 0 doğrususu üzerinde bir nokta,0,0 noktası olarak alınır 3 3x 6 x y AX x,0, ve, z 0 doğrusunun doğrultman vektörü 3,3,0 olduğuna göre X noktasının bu duğruya göre simetriği olan X (x, y, z ) noktası: 3x 6 x,0,,3,0 3x 6 x', y', z',3,0,0,0 x,0, 13 x 4 3x 6 x', y', z' 4, 6,0 4 x, 0, x', y', z' x, x, 0 4 x, 0, x x36 1x4 3x6 x', y', z',, olarak bulunur. İki noktanın eşitliğinden x z x y olarak yazılırsa, y 0 doğrusunun, z 0 doğrusuna göre 3 3 simetriği olan doğrunun denklemi:

10 olur. Bu denklemde doğrultman vektörü ile genişletilirse elde edilir. Bu ise yukarıdaki çözümde A noktasından geçen doğrudur. Doğrultman vektörleri aynı olduğundan aynı doğruyu ifade etmektedir. 6. Doğrunun Noktaya Göre Simetriği: Bir doğrunun bir noktaya göre simetriği doğruya paralel olan bir doğrudur. Bunu bulmak için önce verilen doğru üzerindeki bir noktanın verilen noktaya göre simetriği bulunur. Daha sonra bulunan bu noktadan geçen ve verilen doğruya paralel olan doğrunun denklemi yazılır. Örnek: x y z3 doğrusunun,1, noktasına göre simetriğini bulunuz Çözüm: Doğru üzerindeki bir nokta,, 3 noktasının,1, noktasına göre dan A simetriği A ' ( ),1,3 ',4,1 noktasıdır. İstenen doğru A noktasından geçen ve verilen doğruya paralel olan doğrunun denklemidir. Doğrular paralel olduğundan doğrultman vektörleri aynıdır. buna göre istenen doğrunun denklemi şeklindedir veya şekildeki yazılış formatıyla ilk iki eşitlikten;

11 İlk ve son oranlardan İkinci ve üçüncü oranlardan olur. II ifadesi 4 ile çarpılır ve III ifadesiyle toplanırsa elde edilir. Aşağıdaki şekil bunu göstermektedir.

12 Düzleme Göre Simetri: 1. Noktanın düzleme göre simetrisi: Özel düzlemlere göre simetri: Yukarıda A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriğinin,, olduğunu biliyoruz. Buna göre a) xoy düzlemine göre simetri: xoy düzlemi üzerindeki noktalar genel olarak (x,y,0) şeklinde yazıldığından yukarıda (a, b, c) noktasına göre simetride a = x, b = y ve c = 0 alınırsa A(x, y, z) noktasının xoy düzlemine göre simetriği,, olarak yazılır. Örnek:,1, 3 noktasının xoy düzlemine göre simetriği,1,3 noktasıdır. b) yoz düzlemine göre simetri: yoz düzlemi üzerindeki noktalar genel olarak (0,y,z) şeklinde yazıldıklarından yukarıdaki (a, b, c) noktasında a = 0, b = y ve c = z alınırsa A(x, y, z) noktasının yoz düzlemine göre simetriği,, olarak yazılır. Örnek: A(, 1, 3) noktasının yoz düzlemine göre simetriği,1,3 noktasıdır.

13 c) xoz düzlemine göre simetri: xoz düzlemi üzerindeki noktalar genel olarak (x, 0, z) olarak yazıldıklarından yukarıdaki (a, b, c) noktasında a = x, b = 0 ve c = z alınırsa A(x, y, z) noktasının xoz düzlemine göre simetriği,, olarak yazılır. Örnek:, 3, noktasının xoz düzlemine göre simetriği olan nokta, 3, noktasıdır.

14 d) Ax + By + Cz + D = 0 düzlemine göre simetri: Bir P(m,n,p) noktasının Ax+By+Cz+D=0 düzlemine göre simetriğini bulmak için AxByD düzlem üzerinde bir nokta Qx, y, olmak üzere vektörü ile C düzlemin normal vektörü,, vektörü paraleldir. Buna göre Ax By D p xm yn C A B C orantısından faydalanarak düzlem üzerindeki Q noktasının koordinatları bulunur. P noktasının bu Q noktasına göre simetriği, P noktasının Ax+By+Cz+D=0 düzlemine göre simetriğidir. Örnek,, 1 noktasınn x + 3y + 3z 9 = 0 düzlemine göre simetriğini bulunuz. Çözüm: Düzlem üzerinde bir nokta x y z olduğundan O x, y, x y x 3y noktasıdır. AO x, y, ve düzlemin normal vektörü 3, 3, 3 vektörüdür. Bu iki vektör birbirine paralel olduğundan 1 x 3y x y 3 den x y 1 x 3 y orantısı yazılır. Bu orantıdan: denklemleri elde edilir. Birinci denklem 3 ile çarpılır ikinci ile toplanırsa x = 0 elde edilir. Bu değer için y = 1 ve z = olur. yani düzleme dik olacak şekilde düzlem üzerindeki nokta 0, 1, noktasıdır. A noktasının O noktasına göre simetriği ise, 4, 5 noktasıdır.

15 Düzlemin noktaya göre simetriği: AmBnD Ax + By + Cz + D = 0 düzlemi üzerinde bir nokta X m, n, C noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetri X (x, y, z) ise noktanın noktaya göre simetriği alınarak AmBnD olur. Bu değerler z c eşitliğinde yerine yazılarak düzlemin C simetriği bulunur. Örnek: x + y + 4z 34 = 0 düzleminin O(, 3, 3) noktasına göre simetriğinin denklemi nedir? Çözüm: 34 m n Düzlem üzerinde bir nokta x = m, y = n için X m, n, şeklindedir. Bu 4 noktanın O(, 3, 3) noktasına göre simetriği X (x,y,z) ise

16 düzlemi elde edilir Doğrunun düzleme göre simetriği a) Verilen bir doğrunun herhangi iki noktasının verilen düzleme göre simetriklerinin belirttiği doğrunun denklemi istenen doğru denklemidir. b) Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi Bir d 1, doğrusunun Bir P düzlemine göre simetriği d doğrusu ise, P düzlemi bu iki doğrunun belirttiği açının açıortay düzlemidir. Bir başka deyişle düzlemin normal vektörü bu doğruların doğrultman vektörlerinin belirttiği açının açıortay vektörüdür. Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi [OE ışını OA ile OB doğrularının açı ortayı ile buna dik olan [OF ışını yine bu iki doğrunun oluşturduğu açının açıortayıdır.

17 F A C 90-α α 90-α α α O E B Bu nedenle aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi X noktasının P düzleminin normal doğrusuna göre simetriği olan X noktası d 1 doğrusunun P düzlemine göre simetriği olan doğrunun üzerinde olacaktır. A düzlemin bir noktası ve doğrunun bir noktası X olmak üzere öüü vektörü üzerindeki dik iz düşüm vektörü vektörü, X noktasının doğrultusuna göre simetriği X ise dür. Ayrıca buradan da olarak yazılır. Bu ifadeden yer vektörlerine geçilirse

18 olur. vektörünün vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörü AX N AC N olduğuna göre yukarıdaki ifade N AX N X ' AC N A X N Şeklinde yazılır. Burada X doğru üzerinde genel bir nokta X ise bu genel noktanın düzleme göre simetriğini ifade eden yine genel bir noktadır. Örnek: x 8 z, y 0 doğrusunun düzlemine göre simetriği olan 4 1 doğrunun denklemini bulunuz. 1. Çözüm: Önce doğru üzerinde iki nokta alalım. Bu noktalar 4,0,3 ve B(4, 0, 1) olsun. x 3y 6 Düzlemin bir noktası ise Ox, y, olarak yazılırsa vektörleri 3 düzlemin normal vektörü olan, 3, 3 vektörüne paraleldir. Buna göre 3 3 4,, Bu eşitliklerden denklemleri elde edilir. Bu denklemlerden x 3, y ve z olur. Bu değerler düzlem üzerindeki A noktasının simetriğini bulmak için kullanılacak O 3 3 noktasının koordinatlarıdır. Yani O 3,, dır. A noktasının bu noktaya göre simetriği A', 3,0 noktasıdır. 4,,

19 yazılır. Bu eşitliklerden denklemleri elde edilir. Bu denklemlerden x 3, y, z bulunur. Bu değerler B noktasının simetriği için kollanılacak O noktasının koordinatlarıdır. Yani B noktası 3 5 için O 3,, notasıdır. B noktasının bu O noktasına göre simetriği B ',3,4 AB ' ' 4,6,4 olduğundan AB doğrusunun simetriği olan A B noktası olur. doğrusunun denklemi x y3 z4 olur Bu orantının paydaları ile sadeleştirilirse denklem edilir. x y3 z4 elde 3

20 . Çözüm: x 8 z x 3y 3z + 6 = 0 düzlem üzerinde bir nokta A(0, 0, ) ve, y 0 doğrusu 4 1 üzerinde bir nokta bir k parametresine eşitlenerek X(8 4k, 0, k) olur. Düzlemin normal vektörü, 3, 3 ve 84,0, olduğuna göre yukarıda yapılan izah gereği X noktasının doğrultusuna göre simetriği AX N X ' N AX N 16 8k3k6 x, yz, 11k, 3, 3 0,0,4 8 4 k,0, k x, yz,, 3, 30,0,8 4 k,0, k x, yz, k, 3, 3 4k8,0,4 k x, yz, k4, 63 k, k olarak bulunur. Bu simetrik doğrunun parametrik denklemidir. Kartezyen biçime getirilirse x 4 y 6 z 3 denklemi elde edilir. Bu yukarıdaki denklemle aynı doğruyu ifade etmektedir. Zira doğrultman vektörleri aynıdır ve 1. çözümde bulunan doğru üzerindeki (, 3, 4) noktası bu doğruyu sağlamaktadır. 3. Düzlemin doğruya göre simetriği: AmBnD Ax + By + cz + D = 0 düzleminin bir noktası x = m, y = n ve z olmak C AmBnD üzere X m, n, C olsun. x x1 y y1 zz1 doğrusu üzerinde bir a b c nokta A(x 1, y 1, z 1 ) olmak üzere verilen düzlemin verilen doğruya göre simetriği olan düzlemin bir noktası X (x, y, z ) ise yukarıda yapılan vektörel izah gereği şeklindedir. AX u X ' uax u

21 Örnek: 40 düzleminin denklemini bulunuz. x 3 y z 1 1 doğrusuna göre simetriğinin Çözüm: x = m, y = n olmak üzere düzlemin bir noktası z = 4 m n olmak üzere X m, n,4m n, doğrunun bir noktası 3,,0 ve doğrultman vektörü 1, 1, olmak üzere 3,, 4 olduğundan X noktasının doğruya göre simetriği AX u X ' uax u m3, n, 4 mn1, 1, x ', y', z' 1, 1, 3,, 0 m, n, 4 m n 6 m3n84mn x ', y', z' 1, 1, 6 m, 4 n, 4 m n 3 3m3n3 x ', y', z' 1, 1, 6 m, 4 n, 4 m n 3 x ', y', z' mn11, 1, 6 m, 4 n, 4 m n x ', y', z' mn1, mn1, mn 6 m, 4 n, 4 m n x', y', z' mn7, m5, n y = m 5 den m = y + 5 z = n den n = z Buradan genel ifadeye geçilerek simetrik düzlemin denklemi 10 olarak bulunur.

22 4. Düzlemin düzleme göre simetriği: Şekilde sadelik olması bakımından doğrular düzlemleri temsil etmektedir. E 1 düzleminin, E düzlemine göre simetriği E düzlemi olarak gösterilmektedir. E düzlemi nasıl E 1 ve E düzlemlerinin belirttiği iki düzlemli açının açıortay düzlemi ise E düzleminin normali olan vektörü de yine bu iki düzlemin oluşturduğu diğer iki

23 düzlemli açının açıortay düzlemi üzerinde bulunmaktadır. O halde E 1 düzlemi üzerindeki bir X noktasının doğrultusuna göre simetriği olan X noktası da E düzlemi üzerinde olacaktır. Daha önceki bölümlerde açıklandığı üzere O, E düzleminin bir noktası ve, E düzleminin normal vektörü olmak üzere E 1 düzleminin X noktasının simetriği olan X noktası için OX N X ' N OX N ile bulunabilir. Örnek: x + y + z 4 = 0 düzleminin x y + z 4 = 0 düzlemine göre simetriğinin denklemini bulunuz. Çözüm: x y + z 4 = 0 düzleminin bir noktası O(, 0, 0) ve normal vektörü, 1, 1 dür. x = m, y = n olmak üzere x + y + z 4 = 0 düzleminin bir noktası X(m, n, 4 m n) şeklindedir.,, 4 olduğuna göre AX N X ' N AX N mn,,4mn, 1,1 x, yz,, 1,1,0,0 mn,,4m n 6 m4n4mn x, yz,, 1,1 4 m, n,mn4 mn,,4mn 3 n 3 4n n n,, 4 m, n,mn m4n n 6mn1,, xyz,,, 1,14 m, n,mn4 eşitliği yazılır. Bu eşitliklerden: Bu değerler ifadesinde yerine yazılırsa

24 olur. 3 ile sadeleştirilir ve aynı tarafa alınırsa simetrik düzlem denklemi olarak elde edilir.

25 z=f(x,y) şeklindeki bir fonksiyonun noktaya, doğruya ve düzleme göre simetrikleri 1. O(a, b, c) noktasına göre simetriği: Fonksiyon üzerindeki bir X(m, n, f(m,n)) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği X (a m, b m, c f(m,n)) =(x, y, z) şeklindedir. Bu eşitlikten Bu değerler z = c f(m,n) de yerine yazılırsa,. Örnek 4 fonksiyonunun O(1,, 1) noktasına göre simetriğini bulunuz. Çözüm: x = m, y = n olmak üzere z = m + n 4 olur. Bu fonksiyon üzerinde bir nokta,, 4 şeklindedir. Bu noktanın O(1,, 3) noktasına göre simetriği X (x, y, z) ise x 1 mdenmx y n den n4 y z m n den z m n olur. m ve n değerleri yerine yazılırsa olarak bulunur. 1. Doğrultman vektörü,, olan doğruya göre simetriği Doğru üzerinde bir nokta A(x 1, y 1, z 1 ) ve verilen fonksiyonun bir noktası,,, olsun. z = f(x,y) fonksiyonunun bu noktasının doğrultmanı olan doğruya göre simetriği X (x, y, z) noktası ise AX u X ' uax u olarak bulunur. Bu ifadenin bulunuşu yukarıdaki bölümlerde izah edilmişti.

26 Örnek: fonksiyonun denklemini bulunuz. x1 y, z 0 doğrusuna göre simetriğinin 1 Çözüm: Doğru üzerinde bir nokta A(1, 0, 0), doğrunun doğrultman vektörü, 1, 0 vektörüdür. fonksiyonunun bir noktası x = m, y = n olmak üzere,, şeklindedir. 1,, olduğuna göre AX u X ' uax u m1, n, m n,1, 0 ( x, yz, ),1,0 1,0,0 mn,,m n 6 m n ( x, yz, ),1,0 m, nn, m 3 4mn4 mn ( x, yz, ),,0 m, nn, m 3 3 Bu eşitlikten denklem sisteminden elde edilir. Bu değerle. mn mn ( x, yz, ),, nm

27 . Normal vektörü,, olan düzleme göre simetriği Düzlem üzerinde bir nokta A(x 1, y 1, z 1 ) ve verilen fonksiyonun bir noktası,,, olsun. z = f(x,y) fonksiyonunun bu noktasının normali olan düzlemine göre simetriği X (x, y, z) noktası ise AX N X ' N AX N olarak bulunur. Bu ifadenin bulunuşu yukarıdaki bölümlerde izah edilmişti Örnek: fonksiyonunun x + y = 0 düzlemine göre simetriğini bulunuz. Çözüm: Düzlem üzerinde bir nokta A(1,, 0) ve düzlemin normal vektörü, 1,0 vektörüdür. fonksiyonunun bir noktası x = m, y = n olmak üzere,, şeklindedir. 1,, olduğuna göre AX N X ' N AX N ( m1, n, mn ) (,1,0),, (,1,0) (1,,0) (,, ) x yz mn m n 5 4m n8 x, yz, (,1,0) ( m,4 n, m n) 5 8m4n16 4mn8 x, yz,,,0 ( m,4 n, mn) 5 5 3m 4n 6 4m 3n x, yz,,, mn Bu eşitlikten denklem sistemi elde edilir Bu denklem sisteminde değerleri z = m + n de yerine yazılırsa olarak bulunur

28 Ek Düzlemde bir doğrunun bir doğruya göre simetriği dx+ey+f=0 doğrusunun ax+by+c=0 doğrusuna göre simetriği Simetri kavramının esası bir orta nokta uygulamasından ibarettir. Bu şekilde yaklaşılırsa hem konunun izahı hem de anlaşılması kolay olur. dx+ey+f=0 doğrusu üzerindeki bir nokta A(x, y) olsun. Bu noktanın simetriği olan nokta xx' y y' B(x, y ) olsun. [AB] nın orta noktası olan C, noktası ax+by+c=0 doğrusu üzerindedir. Ayrıca [AB] sı ax+by+c=0 doğrusuna dik olduğundan eğimleri çarpımı 1 e eşittir. Bu düşünce ile aşağıdaki işlemleri yapabiliriz. C noktasının koordinatlarını ax+by+c=0 denkleminde yerine yazalım: 0 elde edilir. Diklikten 1 ifadesinden

29 elde edilir. (I) ve (II) den denklemleri elde edilir. Bu denklem sisteminden ve olarak bulunur. Bu değerler dx+ey+f=0 denkleminde yerine yazılırsa 0 ifadesi elde edilir. İfade ortak çarpan parantezlerine alınırsa: 0 0 parantezler açılır ve tekrar ortak çarpan parantezine alınırsa; olarak bulunur. Buradan genel denklem olarak: olarak bulunur. ad be dx ey f ( ) ax by c0 a b

30 İkinci Çözüm: dx+ey+f=0 doğrusu ile ax+by+c=0 doğrusuna göre simetriği olan doğru bir noktada kesişirler. Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi üç doğru aynı noktada kesişmektedir. Buna göre bu üç doğru aynı noktada kesişen doğru demetinin üç elemanıdır. Bu doğru demetinin genel denklemi 0 şeklindedir. K sayısının bulunması simetrik doğrunun bulunması anlamına gelir. ax+by+c=0 doğrusu simetrinin özelliğinden ötürü dx+ey+f=0 doğrusu ile simetriğinin oluşturduğu açının açıortayıdır. d a dx+ey+f=0 doğrusunun eğimi ve ax+by+c=0 doğrusunun eğimi dir. Simetrik e b doğrunun eğimine m diyelim. Buna göre doğrular arasındaki açıların tanjantları eşit olacağından d a a m e b b d a a 1 1m e b b

31 eşitliği yazılır. Buradan m değeri hesaplanırsa: ae bd a bm den abe a em b d abdm a d abdm abe b em ad be b ma olur. Bulunan bu değer simetrik doğrunun eğimidir. Yukarıdaki 0 doğru demetinde eğim şeklindedir. Bu durumda bulunması gereken doğru demetinde eğimi yukarıda bulunan m değeri olacak şekilde K sayısıdır. iki eğimi birbirine eşitleyerek: 3 3 b dk a bdk ab ek eb d a de abe a bdk a ek ab ek abd a de b de ad be olur. Buradan K olarak bulunur. Yani dx+ey+f=0 doğrusunun ax+by+c=0 a b doğrusuna göre simetriğinin denklemi: ad be dx ey f ( ) ax by c0 a b olarak bulunur.

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Noktanın Analitik İncelenmesi...3 Doğrunun Analitiği...11 Analitik Düzlemde Simetri...25 Analitik Sistemde Eşitsizlikler...34 Çemberin Analitik İncelenmesi...40 Elips...58 Hiperbol...70

Detaylı

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir.

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir. Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri Düzlemin noktalarını, düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten bir fonksiyona düzlemin bir dönüşümü denir. Öteleme: a =(a 1,a ) ve u =(u 1,u ) olmak

Detaylı

Örnek...1 : mx+3y+12=0 ve 2x 5y+3=0 doğruları para - lelse m kaçtır?

Örnek...1 : mx+3y+12=0 ve 2x 5y+3=0 doğruları para - lelse m kaçtır? İKİ DOĞRUNUN BİRBİRİNE GÖRE DURUMU DURUM 1 PARALEL DOĞRULAR ve doğruları paralel doğrular ise eğimleri eşittir. Yani / / m 1 =m 2 Ayr ıca : a 1 x+b 1 y+c 1 =0 =0} / / a 1 a 2 = b 1 c 1 c 2 Örnek...1 :

Detaylı

KUTUPSAL KOORDİNATLAR

KUTUPSAL KOORDİNATLAR KUTUPSAL KOORDİNATLAR Geometride, bir noktanın konumunu belirtmek için değişik yöntemler uygulanır. Örnek olarak çok kullanılan Kartezyen (Dik ) Koordinat sistemini anımsatarak çalışmamıza başlayalım.

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

1. O(0,0) merkezli, 3 birim yarıçaplı. 2. x 2 +y 2 =16 denklemi ile verilen. 3. O(0,0) merkezli ve A(3,4)

1. O(0,0) merkezli, 3 birim yarıçaplı. 2. x 2 +y 2 =16 denklemi ile verilen. 3. O(0,0) merkezli ve A(3,4) HAZİNE-1 Düzlemde sabit M(a,b) noktasından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri, M merkezli R yarıçaplı çemberdir. HAZİNE-2 O(0,0) merkezli, R yarıçaplı çemberin denklemi; x 2 +y 2 =R 2 dir.

Detaylı

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Koordinatlar DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Bilindiği gibi, düzlemdeki her bir noktaya bir (a,b) sıralı ikilisi, her bir (a,b) sıralı ikilisine bir nokta karşılık gelir. Eğer bir A noktasına karşılık gelen

Detaylı

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir. ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da

Detaylı

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan; . Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk 8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken, havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa,boş

Detaylı

Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 26 Haziran Matematik Soruları Ve Çözümleri

Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 26 Haziran Matematik Soruları Ve Çözümleri Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 6 Haziran 99 Matematik Soruları Ve Çözümleri. Birler basamağı 0 olan, ile bölünebilen, iki basamaklı en büyük pozitif doğal sayının, birler basamağı 0 olan, ile bölünebilen,

Detaylı

S4 u(x, y) = ln ( sin y. S5 u(x, y) = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t)) fonksiyonunun

S4 u(x, y) = ln ( sin y. S5 u(x, y) = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t)) fonksiyonunun Kısmi Türevli Denklemler Problem Seti-I S1 u = u(x, y ve a, b, c R olmak uzere, ξ = ax + by ve η = bx ay degisken degistirmesi yaparak n cozunuz. au x + bu y + cy = 0 S2 Aşa gidaki denklemleri Adi Diferensiyel

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK YGS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI CEVAP ANAHTARI RASYONEL SAYILAR ONDALIK SAYILAR ÖRNEKLER (Sayfa -) 6 ) ) ) 6) ; ; ) 0) ) ; 8 ) ) ) 0 ) 6 0 0 8) 0 ) 0) 6 ) 8 ) 8 8) ) ; 6

Detaylı

ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın,

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

ÖRNEK ÖRNEK ÖRNEK ÖRNEK

ÖRNEK ÖRNEK ÖRNEK ÖRNEK Öteleme ve yansımanın birlikte kullanıldığı dönüşümlere ötelemeli yansıma denir. Düzlemde yansıma ve ötelemeli yansıma dönüşümlerinde uzaklıklar korunurken açıların yönleri değişir. Ötelemeli yansıma dönüşümünde

Detaylı

= e DIŞ MERKEZLİK HAZİNE-1 HAZİNE-2

= e DIŞ MERKEZLİK HAZİNE-1 HAZİNE-2 HAZİNE-1 HAZİNE-2 Bir eksen üzerinde verilen noktadan geçen ve eksen ile belirli açı yaparak dönen doğrunun oluşturduğu yüzeye konik yüzey denir. Konik yüzeyin değişik düzlemler ile arakesit kümeleri çember,

Detaylı

DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ

DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ 3 DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ Gerilme Kavramı Dış kuvvetlerin etkisi altında dengedeki elastik bir cismi matematiksel bir yüzeyle rasgele bir noktadan hayali bir yüzeyle ikiye ayıracak olursak, F 3 F

Detaylı

1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

1.DERECEDEN DENKLEMLER.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) .DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli

Detaylı

Bir Doğru Parçasının Orta Noktası. x 1. + x 2. Örnek: Çözüm: =5 z=7 dir. O halde C(5,-13,7) olur.

Bir Doğru Parçasının Orta Noktası. x 1. + x 2. Örnek: Çözüm: =5 z=7 dir. O halde C(5,-13,7) olur. UZAY ANALİTİK GEOMETRİ Uzayda Koordinat Sistemi ve Uzayda Vektörler: Tanım: Uzayda (üç boyutlu) birbirine ikişer ikişer dik sayı eksenlerinin oluşturduğu sisteme üç boyutlu uzayda koordinat sistemi denir.bu

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu FOTOGRAMETRİ I Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ JDF329 Fotogrametri I Ders Notu 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi İzdüşüm merkezi(o):

Detaylı

UZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM

UZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM. ir küpün ayrıtlarını taşıyan doğrular kaç farklı doğrultu oluşturur? ) ) ) D) 7 E) 8. ir düzgün altıgenin en uzun köşegeni ile aynı doğrultuda kaç farklı kenar vardır?. şağıdaki

Detaylı

MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI

MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI SORU 1. Köşeleri (1,4) (3,0) (7,2) noktaları olan ABC üçgeninin bir ikizkenar dik üçgen (İpucu:, ve vektörlerinden yararlanın) SORU 2. Bir ABC üçgeninin

Detaylı

AB yönlü doğru parçası belirtilmiş olur. Doğrultusu, uzunluğu ve yönünden söz edilebilir.

AB yönlü doğru parçası belirtilmiş olur. Doğrultusu, uzunluğu ve yönünden söz edilebilir. HAZİNE-1 HAZİNE-2 Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] DOĞRU PARÇASI denir. Doğrultusu (üzerinde bulunduğu doğru) ve uzunluğundan söz edilebilir.

Detaylı

LİSE ÖĞRENCİLERİNE OKULLARDA YARDIMCI VE ÜNİVERSİTE SINAVLARINA. (YGS ve LYS na) HAZIRLIK İÇİN. Örnek çözümlü. Deneme sınavlı GEOMETRİ-2.

LİSE ÖĞRENCİLERİNE OKULLARDA YARDIMCI VE ÜNİVERSİTE SINAVLARINA. (YGS ve LYS na) HAZIRLIK İÇİN. Örnek çözümlü. Deneme sınavlı GEOMETRİ-2. LİSE ÖĞRENCİLERİNE OKULLARDA YARDIMCI VE ÜNİVERSİTE SINAVLARINA (YGS ve LYS na) HAZIRLIK İÇİN Konu anlatımlı Örnek çözümlü Test çözümlü Test sorulu Deneme sınavlı GEOMETRİ-2 Hazırlayan Erol GEDİKLİ Matematik

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES ANAL T K GEOMETR ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES 1. ANAL T K UZAY. ANAL T K UZAY D A D K KOORD NAT EKSENLER VE ANAL T K UZAY I. Analitik uzayda koordinat sistemi II. Analitik

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 1/ 172 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası)

Detaylı

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. 1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya

Detaylı

olmak üzere C noktasının A noktasına uzaklığı ile AB nin orta dikmesine olan uzaklığının oranının α değerinden bağımsız olduğunu gösteriniz.

olmak üzere C noktasının A noktasına uzaklığı ile AB nin orta dikmesine olan uzaklığının oranının α değerinden bağımsız olduğunu gösteriniz. GOMTRİ 05/0/0. bir üçgen m() =, m() = 90 +, = 5 br, = 7 br, olduğuna göre = x kaç br dir? 5 m 9 0 m 9 0 5 90+ 7 x Çözüm: den ye çıkılan dikmenin doğrusunu kestiği nokta olsun. bir dik üçgen ve bir ikizkenar

Detaylı

Görünmeyen Yüzey ve Arkayüz Kaldırma

Görünmeyen Yüzey ve Arkayüz Kaldırma KARADENİZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR GRAFİKLERİ LABORATUARI Görünmeyen Yüzey ve Arkayüz Kaldırma 1. Giriş Bilgisayar grafiklerinin en önemli problemlerinden biri katı

Detaylı

GEOMETRİK KAVRAMLAR MUHAMMED AŞKIN TÜRKOĞLU MUHAMMET AŞKIN TÜRKOĞLU MUHAMMET TÜRKOĞLU

GEOMETRİK KAVRAMLAR MUHAMMED AŞKIN TÜRKOĞLU MUHAMMET AŞKIN TÜRKOĞLU MUHAMMET TÜRKOĞLU GEOMETRİK KAVRAMLAR n tane doğru düzlemi en az (n+1), en çok n(n + 1) + 1 bölgeye ayırır. (İki Nokta Arası Uzaklık) IABI = Ib ai (Orta nokta) a + b c = (Eş Doğru Parçaları) Uzunluğu eşit olan doğru parçalarına

Detaylı

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 19 Haziran 2010. Geometri Soruları ve Çözümleri. ABC bir üçgen CA = CD. m(acd) = m(dcb) m(bac) = 80.

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 19 Haziran 2010. Geometri Soruları ve Çözümleri. ABC bir üçgen CA = CD. m(acd) = m(dcb) m(bac) = 80. Lisans Yerleştirme Sınavı (Lys ) / 9 Haziran 00 Geometri Soruları ve Çözümleri. ABC bir üçgen CA = CD m(acd) = m(dcb) m(bac) = 80 m(abc) = x Yukarıdaki verilere göre x kaç derecedir? A) 40 B) 45 C) 50

Detaylı

Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 16 Haziran Matematik Soruları Ve Çözümleri

Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 16 Haziran Matematik Soruları Ve Çözümleri Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 6 Haziran 99 Matematik Soruları Ve Çözümleri. 0,80+ (0,+ ).0, işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) Çözüm I. Yol 0,80+ (0,+ ).0, 80 00 + ( 0 + ). 80 + ( + ). 00 0 80

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 12. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI. B) 2f(x)-6

ÖZEL EGE LİSESİ 12. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI. B) 2f(x)-6 1. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1. Pozitif baş katsayılı bir P(x) polinomunda P(P(x)+x)=x 6 eşitliği sağlandığına göre ; P x polinomunun sabit terimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 6 B) 5 C) 0 D)

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri

Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Resim düzlemi O : İzdüşüm (projeksiyon ) merkezi P : Arazi noktası H : Asal nokta N : Nadir noktası c : Asal uzaklık H OH : Asal eksen (Alım ekseni) P OP :

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri

Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Küresel Koordinatlar Silindirik Koordinatları Dönel Yüzeylerin Elde Edilmesi

Detaylı

ŞEKİL DEĞİŞTİRME HALİ

ŞEKİL DEĞİŞTİRME HALİ ŞEKİL DEĞİŞTİRME HALİ GİRİŞ Önceki bölümde cisme etkiyen kuvvetlerin dengesi incelenerek gerilme kavramı geliştirildi. Bu bölümde ise şekil değiştiren cisim mekaniğinin en önemli kavramlarından biri olan

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 18 Haziran Geometri Soruları ve Çözümleri

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 18 Haziran Geometri Soruları ve Çözümleri Lisans Yerleştirme Sınavı (Lys ) / 8 Haziran 0 Geometri Soruları ve Çözümleri. Bir ikizkenar üçgenin eş kenarlarının her birinin uzunluğu 0 cm ve üçüncü kenarının uzunluğu 4 cm olduğuna göre, alanı kaç

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

10. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ

10. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ 2012 10. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni 1. ÜNİTE: DÜZLEM GEOMETRİDE TEMEL ELEMANLAR VE İSPAT BİÇİMLERI Temel Postulatlar İspatlanamayan ve ispatına gerek duyulmayan ancak doğru

Detaylı

3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10

3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10 Diferenisyel Geometri 2 Yazokulu 2010 AdıSoyadı: No : 1. ϕ (u, v) = ( u + 2v, v + 2u, u 2 v ) parametrizasyonu ile verilen M kümesinin bir regüler yüzey olduğunu gösteriniz. (15 puan) 3. V, R 3 ün açık

Detaylı

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik 1. Ünite: Geometriden Olasılığa 1. Bölüm: Yansıyan ve Dönen Şekiller, Fraktallar Yansıma, Öteleme, Dönme Fraktallar 2. Bölüm: Üslü Sayılar Tam

Detaylı

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri

Detaylı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı A 1. Köşeleri, yarıçapı 1 olan çemberin üstünde yer alan düzgün bir n-genin çevre uzunluğunun alanına oranı 4 3 ise, n kaçtır? 3 a) 3 b) 4 c) 5 d)

Detaylı

VEKTÖRLER. DOĞRU PARÇASI: Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] DOĞRU PARÇASI denir.

VEKTÖRLER. DOĞRU PARÇASI: Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] DOĞRU PARÇASI denir. VEKTÖRLER DOĞRU PRÇSI: Doğrunun ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [B] DOĞRU PRÇSI denir. Doğrultusu (üzerinde bulunduğu doğru) ve uzunluğundan söz edilebilir.

Detaylı

Elastisite Teorisi Hooke Yasası Normal Gerilme-Şekil değiştirme

Elastisite Teorisi Hooke Yasası Normal Gerilme-Şekil değiştirme Elastisite Teorisi Hooke Yasası Normal Gerilme-Şekil değiştirme Gerilme ve Şekil değiştirme bileşenlerinin lineer ilişkileri Hooke Yasası olarak bilinir. Elastisite Modülü (Young Modülü) Tek boyutlu Hooke

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur.

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur. Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 8 Haziran 6 Matematik II Soruları ve Çözümleri x, x. f(x) x ise fonksiyonu için,, x olduğuna göre, a b kaçtır? lim + x f ( x) a ve lim x f ( x) b A) B) C) D) E) Çözüm x x için

Detaylı

DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI

DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI 1-60) Dört çocuk, Ahmet, Ferit, Berk ve Mehmet koşu yarışı yapıyorlar. Yarışma sonucunda, Ahmet, "Ben birinci ve sonuncu

Detaylı

Örnek...4 : P(x) = 3x + 2 ve Q(x)= x 2 +4x -3 polinomları için a) P(x). Q(x) b)x.p(x) 2.Q(x) işlem lerini ya pınız.

Örnek...4 : P(x) = 3x + 2 ve Q(x)= x 2 +4x -3 polinomları için a) P(x). Q(x) b)x.p(x) 2.Q(x) işlem lerini ya pınız. POLİNOMLARDA Polinomlarda To plama ve Çıkarma P(x) ve Q(x) iki polinom olsun. P(x) + Q(x) veya P(x) Q(x) işlemi yapılırken eşit dereceli terimlerin katsayıları işlemine göre toplanır veya çıkarılır. Örnek...1

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan

ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan ELASTİSİTE TEORİSİ I Yrd. Doç Dr. Eray Arslan Mühendislik Tasarımı Genel Senaryo Analitik çözüm Fiziksel Problem Matematiksel model Diferansiyel Denklem Problem ile ilgili sorular:... Deformasyon ne kadar

Detaylı

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1 . ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında

Detaylı

Bilgisayar Grafikleri

Bilgisayar Grafikleri Bilgisayar Grafikleri Konular: Cismin Tanımlanması Bilindiği gibi iki boyutta noktalar x ve y olmak üzere iki boyutun koordinatları şeklinde ifade edilirler. Üç boyutta da üçüncü boyut olan z ekseni üçücü

Detaylı

7.1 Karmaşık Sayılar. x 2 = 1. denkleminin çözümü olarak +i ve i sayıları tanımlanır. Tanım 7.1.

7.1 Karmaşık Sayılar. x 2 = 1. denkleminin çözümü olarak +i ve i sayıları tanımlanır. Tanım 7.1. Bölüm 7 Karmaşık Sayılar Karmaşık sayılar gerçel sayıların genişlemesiyle elde edilen daha büyük bir kümedier. Genişleme şu gereksemeden doğmuştur: x 2 = +1 denklemimin çözümü +1, 1 sayılarıdır ve R içindedir.

Detaylı

FİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

FİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ FİNAL SORULARI 25-26 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... SINAV TARİHİ VE SAATİ : A A A A A A A Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav süresi 9 dakikadır.

Detaylı

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

LİNEER CEBİR ve MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI (MEH111) Dersi Final Sınavı 1.Ö

LİNEER CEBİR ve MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI (MEH111) Dersi Final Sınavı 1.Ö LİNEER CEBİR ve MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI (MEH) Dersi Final Sınavı.Ö. 02.0.207 Ad Soyad : (25p) 2(25p) 3(25p) 4(25p) Toplam Numara : İmza : Kitap ve notlar kapalıdır. Yalnızca kalem, silgi, sınav kağıdı

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

11. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ

11. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ 2012 11. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni 1. ÜNİTE: DÖRTGENLER DÖRTGEN VE TEMEL ELEMANLARI Herhangi üçü doğrusal olmayan A, B, C ve D noktaları verilsin. [AB], [BC], [CD] ve [DA]

Detaylı

Ders 05. Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler. 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay

Ders 05. Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler. 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 48 Bölüm 5 Ders 05 Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1. Soru 1 Aşağıda verilen soru işaretlerinin yerine gelmesi gereken değerleri

Detaylı

90 = 3 elde edilir. 30

90 = 3 elde edilir. 30 Ö.Y.S. 99 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Birler basamağı 0 olan, ile bölünebilen, iki basamaklı en büyük pozitif doğal sayının, birler basamağı 0 olan, ile bölünebilen, iki basamaklı en küçük pozitif

Detaylı

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm:

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm: EKSTREMUM PROBLEMLERİ Ekstremum Problemleri Bu tür problemlerde bir büyüklüğün (çokluğun alabileceği en büyük (maksimum değer ya da en küçük (minimum değer bulunmak istenir. İstenen çokluk bir değişkenin

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS'de matematik testinde

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 kışkan Statiğine Giriş kışkan statiği (hidrostatik, aerostatik), durgun haldeki akışkanlarla

Detaylı

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 4 Laminatların Makromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 4 Laminatların

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

A COMMUTATIVE MULTIPLICATION OF DUAL NUMBER TRIPLETS

A COMMUTATIVE MULTIPLICATION OF DUAL NUMBER TRIPLETS . Sayı Mayıs 6 A COMMTATIVE MLTIPLICATION OF DAL NMBER TRIPLETS L.KLA * & Y.YAYLI * *Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Matematik Bölümü 6 Tandoğan-Ankara, Türkiye ABSTRACT Pfaff [] using quaternion product

Detaylı

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket Bölüm-4 İki Boyutta Hareket Bölüm 4: İki Boyutta Hareket Konu İçeriği 4-1 Yer değiştirme, Hız ve İvme Vektörleri 4-2 Sabit İvmeli İki Boyutlu Hareket 4-3 Eğik Atış Hareketi 4-4 Bağıl Hız ve Bağıl İvme

Detaylı

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 22. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 22. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 22. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI BİREYSEL YARIŞMA SORULARI CEVAPLARI CEVAP KAĞIDI ÜZERİNE YAZINIZ. SORU KİTAPÇIĞINI KARALAMA MAKSATLI KULLANABİLİRSİNİZ SORU-1.

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 7 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 7 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 7 Nisan 996 Matematik Soruları ve Çözümleri. 0,09 ın karekökü kaçtır? A) 0,008 B) 0,08 C) 0,8 D) 0, E) 0,0 Çözüm 0,09 9 00 ² 0² ( )² 0, 0 0 0. Rakamları faklı, üç basamaklı

Detaylı

3-1 Koordinat Sistemleri Bir cismin konumunu tanımlamak için bir yönteme gereksinim duyarız. Bu konum tanımlaması koordinat kullanımı ile sağlanır.

3-1 Koordinat Sistemleri Bir cismin konumunu tanımlamak için bir yönteme gereksinim duyarız. Bu konum tanımlaması koordinat kullanımı ile sağlanır. Bölüm 3 VEKTÖRLER Bölüm 3: Vektörler Konu İçeriği Sunuş 3-1 Koordinat Sistemleri 3-2 Vektör ve Skaler nicelikler 3-3 Vektörlerin Bazı Özellikleri 3-4 Bir Vektörün Bileşenleri ve Birim Vektörler Sunuş Fizikte

Detaylı

PARABOL. Merkezil parabol. 2px. 2py F 0, 2 F,0. Şekil I. Şekil II. p Odağı F 2. Odağı F 0, Doğrultmanı x. Doğrultmanı y

PARABOL. Merkezil parabol. 2px. 2py F 0, 2 F,0. Şekil I. Şekil II. p Odağı F 2. Odağı F 0, Doğrultmanı x. Doğrultmanı y ARABL Tanım: Düzlemde verilen sabit bir noktası ile bir d doğrusuna uzaklıkları eşit olan noktaların geometrik erine arabol denir. Sabit noktaa arabolün odağı; doğrua ise doğrultmanı denir. Merkezil arabol

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 6 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri E) 6 = 4

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 6 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri E) 6 = 4 Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 6 Nisan 997 Matematik Soruları ve Çözümleri. 4 ( ) + ( ) 4.( ) işleminin sonucu kaçtır? A) B) 8 C) D) 6 4 E) 6 Çözüm 4 ( ) + ( ) 4.( ) 4+ 4.( ) 4. 40. 80 8 işleminin sonucu

Detaylı

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir?

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir? MC www.matematikclub.com, 006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir3@ahoo.com.tr. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler- TEST I A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 1. 1/ = 0 denkleminin köklerinin toplamı aşağıdakilerden

Detaylı

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4.

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4. POLİNOMLAR I MATEMATİK. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? I. ( ) P = + II. ( ) P = + III. ( ) + + P = + 6. ( ) ( ) ( ) P = a b a + b sabit polinom olduğuna göre ( ) ( ) ( ) P a +P b +P 0 toplamı kaçtır?

Detaylı

çemberi ile O Çemberlerin birbirine göre durumlarını inceleyelim. İlk durumda alalım. olduğu takdirde O2K1

çemberi ile O Çemberlerin birbirine göre durumlarını inceleyelim. İlk durumda alalım. olduğu takdirde O2K1 . merkezli R yarıçaplı Ç çemberi ile merkezli R yarıçaplı ve noktasından geçen Ç çemberi veriliyor. Ç üzerinde, T Ç K T Ç, ve K K T K olacak şekilde bir T noktası alınıyor. Buna göre, uzunluklarından birinin

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Bibliography 9 Index 13 CONTENTS 5 0.1 Doğru, Düzlem, Uzay Bu derste sık sık doğru, düzlem ve

Detaylı

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500 984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)

Detaylı

2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş

2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş 2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş Kuvvet: Şiddet (P), doğrultu (θ) ve uygulama noktası (A) ile karakterize edilen ve bir cismin diğerine uyguladığı itme veya çekme olarak tanımlanabilir. Bu parametrelerden

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 996 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır? A) B) 8 C) 6 D) E) Çözüm Toplam öğrenci

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

Jeodezi

Jeodezi 1 Jeodezi 5 2 Jeodezik Eğri Elipsoid Üstünde Düşey Kesitler Elipsoid yüzünde P 1 noktasındaki normalle P 2 noktasından geçen düşey düzlem, P 2 deki yüzey normalini içermez ve aynı şekilde P 2 de yüzey

Detaylı

Analitik Geometri (MATH172) Ders Detayları

Analitik Geometri (MATH172) Ders Detayları Analitik Geometri (MATH172) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Uygulama Saati Saati Laboratuar Kredi AKTS Saati Analitik Geometri MATH172 Bahar 2 2 0 3 4 Ön Koşul Ders(ler)i Dersin Dili Dersin

Detaylı

Mukavemet-II PROF. DR. MURAT DEMİR AYDIN

Mukavemet-II PROF. DR. MURAT DEMİR AYDIN Mukavemet-II PROF. DR. MURAT DEMİR AYDIN KAYNAK KİTAPLAR Cisimlerin Mukavemeti F.P. BEER, E.R. JOHNSTON Mukavemet-2 Prof.Dr. Onur SAYMAN, Prof.Dr. Ramazan Karakuzu Mukavemet Mehmet H. OMURTAG 1 SİMETRİK

Detaylı

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları 2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Bibliography 11 CONTENTS 5 0.1 Kartezyen Çarpım 0.2 Sıralı İkililer Şimdiye kadar sıra ya da

Detaylı