BÖLÜM 5 TÜREV ALMA KURALLARI

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "BÖLÜM 5 TÜREV ALMA KURALLARI"

Transkript

1 BÖLÜM 5 TÜREV ALMA KURALLARI ~ Türevin Tanýmý ~ Saðdan ve Soldan Türev ~ Türevin Süreklilikle Ýliþkisi ~ Türev Alma Kurallarý ~ Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi ~ Alýþtýrmalar ~ Test ~ Türevde Zincir Kuralý ~ Bileþke ve Ters Fonksiyonun Türevi ~ Trigonometrik Fonksiyonun Türevi ~ Ters Trigonometrik Fonksiyonun Türevi ~ Alýþtýrmalar ~ Test ~ Kapalý Fonksiyonun Türevi ~ Parametrik Fonksiyon Türevi ~ Logaritmik Fonksiyon Türevi ~ Üstel Fonksiyon Türevi ~ Yüksek Mertebeden Türev ~ Diferansiyel Kavramý ~ Alýþtýrmalar ~ Test ~ Karma Test - - ~ ÖSYM Sorularý

2 Ýsterdim ki... Kavgayý bir aðacýn yapraðýna yazmak isterdim, Sonbahar gelince yapraklar kurusun diye... Öfkeyi bir bulutun üstüne yazmak isterdim; Yaðmur yaðsýn bulut yok olsun diye... Nefreti karlarýn üstüne yazmak isterdim; Güneþ açsýn, karlar erisin diye... Dostluðu ve sevgiyi yeni doðan bebeklerin yüreðine yazmak isterdim; Onlar büyüsün, dünyayý sarsýn diye... Türev Günün birinde birkaç fonksiyon bir kafede oturmuþ, sýfýra ne kadar hýzla yakýnsadýklarý gibi konular üzerinde tartýþýyorlarmýþ. Derken içlerinden biri kapýya bakarak aniden, baðýrmýþ, Dikkat türev geliyor! Hepsi apar topar sandalyelerinin altýna saklanmýþlar, ancak e hiç istifini bozmamýþ. Türev aðýr adýmlarla içeri girmiþ ve tek baþýna oturan fonksiyonu görüp sen benden korkmuyor musun? demiþ. Hayýr, ben e im diye yanýtlamýþ kendine güvenen bir tavýrla. Yaa demiþ türev. Peki benim e göre türev alacaðýmý kim söyledi?

3 Türev Alma Kurallarý. TÜREVÝN TANIMI f : A R, y = f() fonksiyonu a A da sürekli olmak üzere, lim f() f(a) a a limiti bir reel sayýya eþitse; bu deðere f() fonksiyonunun = a noktasýndaki türevi denir. y = f() fonksiyonunun = a noktasýndaki türevi f ý df dy (a) veya (a), sembollerinden d d = a biri ile gösterilir. d Burada e türev alma oparatörü denir. d Türev alma iþlemi deðiþik biçimde þöyle ifade edilebilir. h > 0 olmak üzere; = a + h a = h olur. a ( a) 0 olur. h 0 olur. Burada f() fonksiyonunun = a noktasýndaki türevi, ý f() f(a) f(a + h) f(a) f(a) = lim = lim a a h 0 h Eðer yukarýdaki limit bir reel sayý deðerine eþit deðilse fonksiyonun = a noktasýnda türevi yoktur denir. Buna göre, f() fonksiyonunun herhangi bir deðeri için türevi, ý f( + h) f() f() = lim h 0 h þeklinde gösterilmektedir. Örnek f : R R ve f() = fonksiyonunun = noktasýndaki türevini bulunuz. Çözüm f() = f() = () = 5 ý f() f() f() = lim O halde f ý () = 8 bulunur. Örnek f : R R ve f() = + fonksiyonunun herhangi bir deðeri için türevini tanýmdan yararlanarak bulunuz. Çözüm ý f( + h) f() f() = lim h 0 h O halde f ý () = 6 bulunur. Örnek f : R + R ve f() = ñ fonksiyonunun herhangi bir deðeri için türevini tanýmdan yararlanarak bulunuz. Çözüm ý f() 5 = lim ( 4) = lim ( ) ( + ) = lim ( ) = lim ( + ) = ( + ) = 8 ( + h) + ( + ) = lim h 0 h + 6h + h + = lim h 0 h 6h + h = lim h 0 h h(6 + h) = lim h 0 h = lim (6 + h) = = 6 h 0 f( + h) f() = lim h 0 h + h = lim h 0 h 5

4 Türev Alma Kurallarý dir. Örnek 4 f : R + R ve f() = sin fonksiyonunun herhangi bir deðeri için türevini tanýmdan yararlanarak bulunuz. Çözüm ý f() = ý f() ( + h ) ( + h + ) = lim h 0 h( + h+ ) + h = lim h 0 h( + h + ) = lim h 0 + h + = = ) f( + h) f() = lim h 0 h sin( + h) sin = lim h 0 h sin cosh + sinh cos sin = lim h 0 h sin (cosh ) sinh.cos = lim + h 0 h h cosh sinh = sin lim + cos lim h 0 h h 0 h (cosh ).(cosh + ) = sin lim + cos h 0 h(cosh + ) sin h = sin lim + cos h 0h( + cosh) sinh sinh = sin lim + cos h 0 h + cosh = sin ( 0) + cos = cos bulunur.. SAÐDAN VE SOLDAN TÜREV A R, a A, f : A R ye tanýmlý f() fonksiyonu verilsin. i) limitinin bir reel sayý deðeri varsa buna f() in = a noktasýndaki saðdan türevi denir ve f ý (a + ) þeklinde gösterilir. ii) Çözüm f() f(a) lim + a a f() f(a) lim a a limitinin bir reel sayý deðeri varsa bu deðere f() in = a noktasýndaki soldan türevi denir ve f ý (a ) þeklinde gösterilir. = a noktasýnda f() in saðdan ve soldan türevleri birbirine eþit ise fonksiyonun bu noktada türevi vardýr denir. f ý (a + ) = f ý (a ) = f ý (a) dýr. Limitte olduðu gibi saðdan ve soldan türevler özel tanýmlý fonksiyonlarda uygulanýr. Örnek 5, < f() =, fonksiyonunun = noktasýndaki türevi nedir? ý + f() f() 0 f( ) = lim = lim + + ( )( + ) = lim = lim ( + ) = + ( ) + ý f() f() 0 f() = lim = lim = O halde, f() = sin ise f ý () = cos dir. f ý ( + ) f ý ( ) olduðundan f() fonksiyonunun = noktasýnda türevi yoktur. 5

5 Türev Alma Kurallarý Örnek 6 f : R R ye tanýmlý, fonksiyonunun o = 0 noktasýnda türevi nedir? Çözüm = 0 noktasýnda saðdan ve soldan türevleri farklý olduðundan f() in bu noktada türevi yoktur, fakat fonksiyon = 0 noktasýnda süreklidir. Örnek 7 f : R R ye tanýmlý, fonksiyonunun o = noktasýnda türevi nedir? Çözüm ý + ý f() f() f( ) = f() = lim olduðundan f() fonksiyonu = noktasýnda türevi vardýr ve f ý () = dir. = nok- olduðundan f() fonksiyonu o tasýnda süreklidir. Örnek 8, 0 f() =, > 0 ý + f() f(0) 0 f(0 ) = lim = lim = dir ý f() f(0) 0 f(0 ) = lim = lim = lim = 0 bulunur. 0 +, için f() =, = için + = lim = lim = lim f() = lim f() = lim ( + ) = = f() + +, f() = 6, =, < fonksiyonunun = noktasýnda türevi var mýdýr? Çözüm f() = 6 ý + f() f() f( ) = lim + ý f() f() f( ) = lim f ý ( + ) f ý ( ) olduðundan f() in = noktasýnda türevi yoktur. Burada, f() fonksiyonunun = noktasýnda sürekli olduðuna dikkat ediniz. Sürekli olan her fonksiyon ayný noktada türevlenemeyebilir.. TÜREVÝN SÜREKLÝLÝK ÝLE ÝLÝÞKÝSÝ Teorem: f : [a, b] R ve c [a, b] olsun. Eðer f() fonksiyonu = c noktasýnda türevi varsa bu noktada süreklidir. Ýspat : f() in = c noktasýnda türevi olduðundan, f() f(c) h() = ( c) c lim h() c = ý f (c) dir. Buradan, alýnýrsa, f() lim f() = lim f(c) + lim f( c) h() f(c) = ( c) h() c c c f() = f(c) = f(c) + ( + limc) f( h() c) lim h() c c her iki tarafýn limitini alalým. = f(c) + 0 h(c) = f(c) lim f() = f(c) c + 6 = lim + ( + )( ) = lim + ( ) 6 = lim ( ) ( + ) = lim = 8 bulunur. ( ) bulunur. = 5 bulunur. 5

6 Türev Alma Kurallarý Bu da f() fonksiyonunun = c noktasýnda sürekli olduðunu gösterir. Bu teoremden þu sonuçlar çýkartýlabilir. Sonuç : f() fonksiyonu herhangi bir o noktasýnda sürekli deðilse o noktada türevlenemez. y f() = de f() süreksiz = de türevi yok Gerçekten yukarýda verilen noktalarda teðetlerin çizilemediðini veya teðet çizildiðinde bu teðetlerin farklý olduðu görülür. y f() = de f() süreksiz = de türevi yok Örnek 9 + f() = fonksiyonunun türevsiz olduðu noktalarý bulunuz. Çözüm f() fonksiyonu süreksiz olduðu noktalarda türevi yoktur. Bundan dolayý fonksiyonun tanýmsýz olduðu noktalarý bulalým. = 0 ( 4)( + ) = 0 4 = 0 + = 0 = 4 = bulunur. O halde f() fonksiyonu = 4 ve = apsisli noktalarda süreksiz, dolayýsýyla bu noktalarda türevi yoktur. Sonuç : f() fonksiyonu o noktasýnda sürekli olsa bile bu noktada türevi olmayabilir. y f() Örnek 0 f() = + a a + fonksiyonunun türevsiz olduðu noktalarýn 5 apsisleri toplamý ise a nýn deðeri kaç- 4 týr? 4 d d = 4 noktasýnýn solunda artan saðýnda azalan veya saðdan teðet d soldan teðet d olup d d olduðundan fonksiyon = 4 noktasýndaki saðdan ve soldan türevleri farklýdýr, dolayýsýyla o noktada fonksiyonun türevi yoktur. Çözüm f() in süreksiz olduðu noktalarda türevinin olmadýðýný biliyoruz. Buna göre; a = 0 a + = 0 = = a a Yukarýdaki örneði inceleyiniz. Uyarý: Bir fonksiyon sürekli olup, türevi olmadýðý noktalara kýrýlma noktasý denir. türevsiz olduðu noktalarýn toplamý; = = = olur. a a a a Buradan, 5 5 = a = bulunur. a 4 54

7 Türev Alma Kurallarý 4. TÜREV ALMA KURALLARI Türevin tanýmýný kullanarak bir fonksiyonun türevini almak uzun iþlemler gerektirebilir. Bundan dolayý bir fonksiyonun türevini kýsa yoldan bulmamýzý saðlayacak kurallarý göreceðiz. ) Sabit fonksiyonun türevi : f : R R, f() = c, c R olmak üzere, n n n n + n. h h = lim h 0 h n n n. h h = lim h 0 h n n h[ n h ] = lim h 0 h n = n n = n. f() = c ise f ý () = 0 Sabitin türevi sýfýrdýr. dýr. ý n f () = n. bulunur. Ýspat : ý f() f(c) c c f() = lim = lim h 0 h h 0 h 0 = lim = lim 0 = 0 dýr. h 0 h h 0 Örnek ~ f() = f ý () = ~ f() = 5 4 f ý () = 5 4 = 0 ~ ý y = = y = = Örnek ~ f() = ý f() = 0 ~ ý y = y = = ~ f() = t + ~ f(t) = + k ý dy f() = = 0 d ý dy f(t) = = 0 dt ~ y = a 5 ~ y = a 5 ~ y = t dy a 5 4 = d dy 5 = a da dy = t dt ) Bir polinomum türevi : n R {0}, f : R R, f() = n ~ y = t ~ y = a. dy = 0 dc dy = a d f() = n ise f ý () = n n dir. ~ y = t. dy = dt Ýspat: n n ý f( + h) f() ( + h) f() = lim = lim h 0 h h 0 h n n n n n n n ( 0) + ( ) h ( n)h = lim h 0 h ) Fonksiyonlarýn toplamýnýn veya farkýnýn türevi : f ve g türevlenebilen iki fonksiyon olmak üzere, ý ý ý F() = f() g() F () = f () g () 55

8 Türev Alma Kurallarý Ýspat : ý F() = lim h 0 [ f( + h) g( + h) ] [ f() g() ] f( + h) f() g( + h) g() = lim h 0 h f( + h) f() g( + h) g() = lim lim h 0 h h 0 h ý ý h = f () g () bulunur. Örnek 6 Çözüm f() = ve g() = + olduðuna göre, (f + g) ý () nin eþiti nedir? ý ý f() = f() = = 0 ý g() = + g() = + = 5 ý ý ý (f + g) () = f () + g () ý = = 5 bulunur. Örnek ~ f() = + 4 f ý () = ~ f() = c k + t f ý () = c k + 0 ~ f() = a b f ý () = a a b b ~ y = k t + dy t = kt + d ~ y = a b + t dy b = ab + 0 d 4) Ýki fonksiyonun çarpýmýnýn türevi : f ve g fonksiyonlarý (a, b) aralýðýnda türevlenebilen iki fonksiyon ise f g fonksiyonu da ayný aralýkta türevlenebilir. F() = f().g() ý ý ý F () = f () g() + f() g () Örnek 4 f() = + ise f ý () in eþiti nedir? Çözüm ý f() = + ý f () = () + = bulunur. ý (f g)( + h) (f g)() (f g) () = lim h 0 h f( + h) g( + h) f() g( + h) + f() g( + h) f() g() = lim h 0 h [f( + h) f()] g( + h) +[ g( + h) g()] f() = lim h 0 h [f( + h) f()] g( + h) g() = lim g( + h) + lim f() h 0 h h 0 h Ýspat: ý ý = f() g() + g () f() bulunur. Örnek 5 f() = a ve f ý () = 6 ise a nýn eþiti kaçtýr? Çözüm ý f() = a f() = a = 6 ý a = 8 a = 4 bulunur. Uyarý : ~ f() = c g() f ý () = c g ý () ~ f() = [g()] f ý () = g() g ý () ~ f() = [g()] f ý () = [g()] g () ~ f() = [g()] n f ý () = n [g()] n g ý () 56

9 Türev Alma Kurallarý Örnek 7 Örnek 8 ~ y = ( ) y ý = ( ) ~ y = ( + ) y ý = ( + ) + = + ~ y = ( ) ( ) ise y ý eþiti nedir? y ý = ( ) + (4 ) ( ) h() = ( )( ) ise h ý () nin eþiti nedir? f( + h) f() = lim g() h 0g( h) g() + h g( + h) g() f() h f(+ h) f() = lim lim g() h 0 h 0 h [ g() ] [ g() ] g( + h) g() f() lim h 0 h lim ý ý = f () g() g () f() h 0 Çözüm h ý () = ( )( ) + ( ) ( ) = ý ý f () g() g () f() [ g() ] dir. h ý () = ( )( ) + ( ) ( ) h ý () = ( ) + ( 4) 6 h ý () = 4 = 5 dir. 5) Ýki fonksiyonun bölümününün türevi : f ve g, (a, b) aralýðýnda türevlenebilen iki f fonksiyon ve g() 0 ise fonksiyonu da g ayný aralýkta türevlenebilir. f() ý f () g() F() F () g () = = f() g() Ýspat : ý ý [ g() ] Örnek 9 ~ ~ ~ + f() = + f() = f() = 4 ý ( + ) ( + ) f() = ( + ) ý 0 f() = = 4 ý 0 4 f() = = dir. 4 5 ( ) ~ f() = + ise f ý () in eþiti nedir? + ý ( + ) ( ) f() = + 6 ( + ) ý F() f f ( + h) () g g = lim h 0 h f( + h) f() g( + h) g() = lim h 0 h Uyarý: ~ a + b ý ad y = y = bc c + d (c + d) a + b + c ~ y = m + n + t Bu ifadenin pay kýsmýna f() g() ifadesini bir çýkartýp bir de eklediðimizde, = lim h 0 f( + h) g() g( + h) f() = lim h 0 g( + h) g() h [ f( + h) f() ] g() f() [ g( + h) g() ] g( + h) g() h ý y = a b a c b c + + m n m t n t (m + n + t) ý (an bm) + (at cm) + (bt cn) y = (m + n + t) 57

10 Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi Örnek 0 Çözüm ise f ý () in deðeri kaçtýr? 5. ÖZEL TANIMLI FONKSÝYONLARIN TÜREVLERÝ Özel tanýmlý fonksiyonlar her yerde sürekli deðildir. Dolayýsýyla süreksiz olduðu yerde türevlenemezler. Fonksiyonun verilen bir noktada türevinin olabilmesi için, i) fonksiyon verilen noktada sürekli olmalý ii) fonksiyon verilen noktada saðdan ve soldan türevleri birbirine eþit olmalýdýr. A) PARÇALI FONKSÝYONUN TÜREVÝ Örnek f() = ý f() = ( ) ý ( 6 + 6) + (0 ) + ( 0 + 8) f() = ( ) ý 6 f() = ( ) ý 6 4 f () = = = bulunur. ( ) +, f() = +, < f() fonksiyonunun = noktasýnda türevi varsa bulunuz. Çözüm f() fonksiyonu = noktasýnda sürekli olduðundan türevlenebilir. O halde, f() f() + ý + f ( ) = lim ve f() = olduðundan, Örnek lim lim (+ )( ) = = ( ) = lim ( + ) = + = + _ ý f() f() f() = lim,f() = _ >, f() = 6, =, < + ( )( + + ) = lim = lim ( ) _ = lim ( + + ) = + + = ý + _ f() = f( ) = olduðundan ý f () = bulunur. ý f() fonksiyonunun = noktasýndaki türevi varsa bulunuz. Çözüm f() fonksiyonu = noktasýnda sürekli olduðundan türevine bakýlabilir. ý + f() f() f ( ) = lim ve f() = 6 olduðundan, + 6 ( + )( ) = lim = lim + + ( ) = lim ( + ) =. + = 7 + _ ý f() f() f( ) = lim _ 6 = lim = lim _ _ ( )( + + 4) = lim _ ( ) = lim ( + + 4) = = _ O halde f ý ( + ) f ý ( _ ) olduðundan f() in = noktasýnda türevi yoktur. 58

11 Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi B) MUTLAKDEÐER FONKSÝYONUN TÜREVÝ g : A R, f() = g() a A, g(a) 0 olmak üzere; ý g(), g(a) < 0ise ý ý y = f () = ý g(), g(a) > 0ise ~ g(a) = 0 için f() in = a noktasýndaki saðdan ve soldan türevleri eþit ise fonksiyonun = a noktasýnda türevi vardýr, aksi takdirde türevi yoktur. ~ mutlak deðer fonksiyonun içi tamkare ise mutlak deðerin içini sýfýr yapan noktada saðdan ve soldan türevleri genelde eþit çýkacaktýr. Örnek 4 Çözüm f() = _ fonksiyonunun = ve = noktalarýndaki türevini bulunuz. Örnek 5 = için _ > 0 olduðundan f() = _ f ý () = _ f ý () = _. = 0 = için _ < 0 olduðundan f() = _ + f ý () = _ + f() = _ f ý () = _ +. = 4 fonksiyonunun = noktasýndaki türevini bulunuz. Çözüm Örnek f() = _ fonksiyonunun türevinin kuralýný bulunuz. Çözüm f() in _ = 0 ise = noktasýndaki türevine bakalým., > f() = +, < > ise f ý () = ve f ý ( + ) = < ise f ý () = _ ve f ý ( _ ) = _ f ý ( + ) f ý ( _ ) olduðundan = de türevi yoktur., > ise ý f () = yoktur, = ise, < ise Uyarý : Mutlak deðer fonksiyonu türevi alýnacak noktada önce tanýmlanýr, sonra türevi alýnýr. Daha sonra verilen nokta türevde yerine yazýlýr. = için f() = _ = 0 = 0 olduðundan = nin saðýnda ve solunda fonksiyon ayný deðeri alacaðýndan = için saðdan ve soldan türevler daima birbirine eþittir. Örnek 6 ý f() = lim f() = =. ( ) f : R [ _, ] ve f() = cos noktalarýn- π fonksiyonunun = ve = π daki türevlerini bulunuz. Çözüm ~ π = için cos > 0 olduðundan f() = cos f() f() = lim. ( ) = lim = lim.( ) = 0 bulunur. f ý () = _ sin 59

12 Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi ý π π f = sin = ~ = π için cos < 0 olduðundan f() = Sgn(g()) ise, 0, g(a) 0 ise ý f(a) = yoktur, g(a) = 0 ise f() = _ cos f ý (π) = sinπ = 0 f ý () = sin ise Ýþaret fonksiyonu iþaret deðiþtirdiði noktada sýçrama yaptýðýndan süreksizdir dolayýsýyla türevlenemez. Örnek 7 f : IR IR, f() = _ 9 + fonksiyonu verildiðine göre f ýý () kaçtýr? Çözüm = için mutlakdeðerin içi negatif f() = _ f ý () = _ + f ýý () = _ 6 + f ýý () = _ 6. + = _ 0 Örnek 9 f() = Sgn( 6) fonksiyonunun türevsiz olduðu noktalarý bulunuz. Çözüm 6 = 0 ( _ )( + ) = 0 = ve = _ Örnek 8 f() = _ fonksiyonunun = noktasýnda türevini bulunuz. y Çözüm = noktasý mutlakdeðerin içini sýfýr yapan bir deðer olduðundan kritik noktadýr. = için saðdan ve soldan türevler farklý olacaðýndan f ý ( + ) f ý ( _ ) dýr. Dolayýsýyla bu noktada f() in türevi yoktur. = noktasýnýn dýþýndaki noktalarda türevleri vardýr. C) ÝÞARET FONKSÝYONUNUN TÜREVÝ g : A R, a A, f() = Sgn(g()) fonksiyonu verilsin. Eðer f() = Sgn(g()) fonksiyonu, ~ = a noktasýnda sürekli ise bu nokta da türevi vardýr ve bu türev sýfýrdýr. (sabitin türevi sýfýr olduðundan) ~ = a noktasýnda f() sürekli deðilse bu noktada türevi yoktur. f() fonksiyonu = ve = _ de iþaret deðiþtiriyor. Grafikte görüldüðü gibi fonksiyon bu noktalarda sýçrama yapmýþtýr. Dolayýsýyla süreksizdir. O halde türevi yoktur. Örnek 0 _ f() = + Sgn( _ ) fonksiyonunun = ve = noktalarýndaki türevlerini bulunuz. Çözüm = ve = için _ 0 dýr. O halde bu noktalar f() in kritik noktasý (iþaret deðiþtirdiði) noktalar deðildir. = için f() = _ f ý () = f ý () =. = = için f() = + f ý () = f ý () =. = 7 bulunur. 60

13 Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi Örnek f() = ( _ ). Sgn( _ ) fonksiyonunun = noktasýnda türevi var mýdýr? Çözüm i) = de f() sürekli midir? ii) [ ] lim f() = lim ( )Sgn( ) = ( ). = [ ] lim f() = lim ( )Sgn( ) = ( ).( ) = 0 = için f() = 0 olduðundan bu noktada f() süreklidir. O halde f() in = noktasýnda saðdan ve soldan türevlerine bakalým. ý + f() f() ( ). 0 f( ) = lim = lim = + + ý f() f() ( ).( ) 0 f( ) = lim = lim = f ý ( + ) f ý ( _ ) olduðundan f() in = noktasýnda türevi yoktur. Uyarý : Yukarýdaki örnekte de görüldüðü gibi fonksiyon iþaret deðiþtirdiði (kritik) noktada sürekli ise bu noktada türevinin olup olmadýðýný anlamak için saðdan ve soldan türevine bakýlýr. O halde fonksiyonun sürekli olduðu kritik noktada türevi olmayabilir. Fonksiyonlar sürekli olduðu bütün noktalarda türevlenemiyebilir. ~ Eðer g(a) Z ise f() in = a noktasýnda sürekli olup olmadýðýna bakýlýr. Eðer fonksiyon sürekli ise ayný noktada saðdan ve soldan türevine bakýlýr. Fonksiyon sürekli deðilse türevi yoktur. Örnek f() = + fonksiyonunun = noktasýndaki türevini bulunuz. Çözüm 5 = için. + = Z olduðundan f() in = sýfýrdýr. ý f = 0 dýr. Örnek f() = noktasýnda türevi vardýr ve bu türev + fonksiyonunun = noktasýnda varsa türevini bulunuz. Çözüm + + lim f() = lim + =, + = 5 lim f() = lim + =,9 + = 4 O halde f() fonksiyonu = noktasýnda sürekli olmadýðýndan dolayý türevi yoktur. D) TAMDEÐER FONKSÝYONUNUN TÜREVÝ g : A R, a A, f() = fonksiyonu veriliyor. ~ Eðer g(a) Z ise f() in = a noktasýnda türevi vardýr ve bu türev sýfýrdýr. (sabit sayýnýn türevi sýfýr olduðundan) g() Örnek 4 f() = 4+ 4 fonksiyonunun = noktasýnda varsa türevini bulunuz. Çözüm = için + = 5 Z ise f() in = noktasýnda sürekli olup olmadýðýna bakalým. = için _ = 0 Z olduðundan f() = noktasýnda sürekli olup olmadýðýna bakalým. 6

14 Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi lim f() = lim ( ) = lim 0 = = için f() = _ + ( _ ) = _ lim f() = lim ( ) = lim 0 = 0 _ olduðundan f() = noktasýnda süreklidir. O halde fonksiyonun bu noktada saðdan ve soldan türevlerine bakalým. f() f() ( ) 0 + ý f( ) = lim = lim = lim = lim 0 = f() f() ( ) 0 ý f( ) = lim = lim 0 = lim = lim 0 = 0 f ý ( + ) = f ý ( _ ) f ý () = 0 dýr. f() = _ ise, Örnek 7 Çözüm ý ý f () = f = bulunur. f : R R, f() =. + fonksiyonu verildiðine göre, deðeri kaçtýr?. sgn() = de f() =. +. f() = + dir. ý ý f () = f =. = bulunur. ý f nin Örnek 5 f : [ _, 5] R, f() = + fonksiyonunun türevsiz olduðu noktalarýn kümesini bulunuz. Çözüm [ _, 5] aralýðýnda ifadesini tamsayý + yapan noktalarýnýn kümesini bulmalýyýz. Bunun için e verilecek sayýlarýn ile bölünmesi gerekiyor. Bu sayýlar { _, 0,, 4} dür. Örnek 6 f : R R, f() = + + sgn ý fonksiyonu verildiðine göre f kaçtýr? Çözüm = de özel tanýmlý fonksiyonlarý tanýmlýyalým, sonra türevlerini alalým. Örnek 8 f() = fonksiyonunun = noktasýndaki türevi kaçtýr? Çözüm = için olup tamdeðerin içi kare olduðundan fonksiyon bu noktada süreklidir, dolayýsýyla türevlenebilir. = için f() = f ý () = + f ý () =. + = 9 bulunur. Uyarý : f() = g() ( ) = 0 Z fonksiyonu ý 0, g(a) Z f(a) = yoktur, g(a) Z = de fonksiyon süreklidir. Bazý istisnalar hariç bu formül kullanýlabilir. 6

15 ALIÞTIRMALAR. f() = _ olduðuna göre, f( + h) f() lim h 0 h ifadesinin sonucu nedir? Cevap : _ Türev Alma Kurallarý - Özel Tanýmlý Fonk. Türevi 6. f() = _ 9 + sgn( _ ) fonksiyonunun türevsiz olduðu noktalarýn apsislerini bulunuz. Cevap : {,, 0,, }. f() = + a ve f() f() lim = 0 a nýn deðeri kaçtýr? olduðuna göre, Cevap : 4 7. f() = + a _ + fonksiyonu için f() = f ý () olduðuna göre, a nýn deðeri kaçtýr? Cevap : _. f() = _ olduðuna göre, f() f() lim ifadesinin sonucu kaçtýr? Cevap : 0 8. f() = a dy + k olduðuna göre, d kaçtýr? Cevap : 0 4., > ise f() = 4, ise fonksiyonu tanýmlandýðýna göre, f ý ( + ) + f ý ( _ ) nin eþiti kaçtýr? Cevap : 8 9. f(a) = a dy k + olduðuna göre, kaçtýr? da Cevap : ak 5., ise f() =, < ise fonksiyonunun = noktasýndaki türevini bulunuz. Cevap : yoktur. 0. f() = + 5 _ 4 + olduðuna göre, dy = f ý () d kaçtýr? Cevap : + 0 _ 4 6

16 ALIÞTIRMALAR. f(m) = m _ m + 5 olduðuna göre, d f(m) = f ý (m) =? dm Cevap : m _ Türev Alma Kurallarý - Özel Tanýmlý Fonk. Türevi 6. f() = olduðuna göre, ý 6 f in deðeri kaçtýr? 5 Cevap : 5. f() = ( _ ) 5 olduðuna göre, f ý () i bulunuz. Cevap : 5( _ ) 4. ( _ ) 7. f() = _ + olduðuna göre, f ý () + f ý ( _ ) kaçtýr? Cevap : 9. f() = _ + olduðuna göre, f(+h) f() lim h 0 h ifadesinin deðeri kaçtýr? Cevap : 5 8. f() =. sgn( _ ) + olduðuna göre, f ý (5) in deðeri kaçtýr? Cevap : 0 4. f() = ( _ ). ( + ) olduðuna göre, f ýý () ün deðeri kaçtýr? Cevap : _ f() = olduðuna göre, Sgn( ) f ý () ün deðeri kaçtýr? Cevap : 6 5. f() = ( _ ), g() = _ olduðuna göre, d d f () g kaçtýr? Cevap : f() = Sgn( _ ), g() = ( _ ) 5 olduðuna göre, (f.g) ý () nin deðeri kaçtýr? Cevap : 0 64

17 TEST. f() = _ fonksiyonu verildiðine göre; f() f(c) lim c c ifadesinin deðeri kaçtýr? A) 6 B) 6 C) 6c D) c E) 0 Türev Alma Kurallarý - Özel Tanýmlý Fonk. Türevi 6. Aþaðýdaki grafiklerden hangisinin = o noktasýnda türevi vardýr? y A) B) y C) y o o o y D) E) y. f() =.t _.t fonksiyonu verildiðine göre; dy dt nin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? o o A) 6.t _ t B) _ t C) 6 _ t D) 6 _.t E) _ t. 7. (a + h) (a) lim h 0 h ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir?. f() = _ + fonksiyonu verildiðine göre; f( + h) f() lim h 0 h ifadesinin deðeri kaçtýr? A) 0 B) C) D) E) 5 8. A) B) a C) a D) a E) a f() = + a a + 4 fonksiyonunun türevsiz olduðu noktalarýnýn ap- sisler toplamý 5 ise, a nýn deðeri kaçtýr? A) 5 B) 4 C) D) E) 4. f : R R, f() = _ a + fonksiyonu için f ý () = olduðuna göre, a nýn deðeri kaçtýr? A) B) C) D) 4 E) , > f() = +, fonksiyonu verildiðine göre, f ý ( + ) + f ý ( _ ) eþiti kaçtýr? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) , > f() = + c, fonksiyonu = noktasýnda türevi olduðuna göre, c nin deðeri kaçtýr? A) B) C) 0 D) _ E) _, 0. f() = fonksiyonu veriliyor., > Buna göre f ý () in deðeri kaçtýr? A) Yoktur. B) C) D) E) 0 65

18 TEST. f() =.( _ ) fonksiyonu verildiðine göre, f ý () in deðerini bulunuz. A) 9 _ B) 9 _ 5 4 C) 9 _ 4 D) _ 4 4 E) _ 4 Türev Alma Kurallarý - Özel Tanýmlý Fonk. Türevi 6. f() = _ 4 + Sgn( _ ) + fonksiyonu verildiðine göre, f ý ( + ) nin deðeri kaçtýr? A) 0 B) C) D) E) 4. f : R _ {} R, n f() = fonksiyonunun = noktasýndaki türevi _ ise, n nin deðeri kaçtýr? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 7. f() = + _ 4 + _ fonksiyonu verildiðine göre, f ý () nin deðeri kaçtýr? A) B) 4 C) 6 D) 7 E) 8. f() = + fonksiyonu verildiðine göre, f ý (8) in deðeri kaçtýr? 5 A) B) C) D) E) f() = _ _ + fonksiyonunun = _ noktasýndaki türevi kaçtýr? A) 8 B) C) D) 0 E) Yoktur. 4. f() = _ + fonksiyonu için, f() + f ý () = f ý () denkleminin kökü kaçtýr? A) _ B) 0 C) D) E) 9. f() = _ +.Sgn( _ + ) + fonksiyonu verildiðine göre, f ý () ün deðeri kaçtýr? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 5. f() = _ fonksiyonu veriliyor. Buna göre d f () eºiti kaçtýr? d A) 4 _ 6 + B) _ + C) _ + D) 4 _ + E) 4 _ f() = + _ 4 + fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f ý (0) ýn deðeri kaçtýr? A) _ 4 B) _ C) _ D) E) Yoktur. Cevaplar: -C -E -B 4-D 5-A 6-D 7-D 8-A 9-E 0-A -B -C -C 4-E 5-A 6-E 7-E 8-C 9-E 0-A 66

19 Türev Alma Kurallarý 6. TÜREVDE ZÝNCÝR KURALI þeklinde türev alýnýr. Genelde iç içe fonksiyonlarýn türevlerinin daha kolay bir þekilde alýnmasýnda kullanýlýr. Örnek 7 y = u dy ise, in eºiti kaçtýr? u = + d Bu tür fonksiyonlar, f() = ( + _ ) 7 þeklinde karþýmýza çýkabilir. Bu durumda üste göre türev sonrada içinin türevi çarpý olarak yazýlýr. Örnek Çözüm Örnek çözüm y = f(u) dy dy du d u = g() ise, =.. dt du d dt = h(t) dy dy du =. d du d 6 = 7.u.( + ) f ý () = 7.( + _ ) 6.( + ) dir. f() = 5 8 ( ) 5 8 f() = = 5( ) 8 ( ) þeklinde yazýlýr ve türev alýnýrsa, ý 8 f () = 5. 8( ).( ) 40.( ) = bulunur. 9 ( ) f() = 6 = 7.( + ) ( + ) ise, dy in eºiti kaçtýr? d fonksiyonunun türevini bulunuz. f() = = olur. ( ) Uyarý : Köklü ifadelerin türevi alýnýrken iç içe fonksiyonlar gibi düþünebiliriz, yani kökün derecesi üstel biçimde yazýlarak türevde zincir kuralý uygulanýr. Örnek 4 Çözüm Bu örneklerden sonra aþaðýdaki sonuçlarý verebiliriz: u, e baðlý bir fonksiyon olmak üzere, Örnek 5 f() = ise, ( ) ý f() =..( ) = =. ( ) ( ) f() = ( ) ( ) ý f() = (+ ) = ( + ) = + +. ( + 5) ý u f() = u ise, f () = u ý ý u f() = u ise, f () =. u ý p q ý q.u p p q f() = u ise, f () = p. u ý y = y = ý + y = + y = + dy in eºiti kaçtýr? d ý y = y =. y = ý y =. ( ) ý 67

20 Türev Alma Kurallarý BÝLEÞKE FONKSÝYONUN TÜREVÝ F : A R, a o A da türevlenebilen bir fonksiyon olsun. Eðer taným kümesi f(a) olan bir g fonksiyonunda y o = f( o ) f(a) da türevlenebiliyor ise bu taktirde (gof)() fonksiyonu da o noktasýnda türevlenebilir ve bu türev; Örnek f()= _ ve g()= + ise, y = (fog)() bileþke fonksiyonunun türevini bulunuz. Çözüm y ý ý ý ý ý ý ý (fog) () = f(g()) = f (g()). g () = f (g()). g () = (4 )o( + ). = 4( + ). = = bulunur. Örnek < 0 olmak üzere, f( _ ) = _ + ise, f ý (4) ün deðeri kaçtýr? Çözüm f ý ( _ ). ( _ ) = 6 _ Ayrýca _ = 4 olmalýdýr. Buradan, 4 = 0 ise ( + )( _ 4) = 0 = _ ve = 4 bulunur. < 0 olduðundan = _ i türevde yerine yazalým. = _ için, f ý [( _ ) _ ( _ )](.( _ ) _ ) = 6.( _ ) _ f ý (4).( _ 5) = _ 8 f ý (4) = Örnek 4 Çözüm 8 5 bulunur. f() = g( _ ), g ý (6) = 5 ise f ý () ün deðeri kaçtýr? f ý () = g ý ( _ ).( _ ) f ý () = g ý ( _ ).(. _ ) = g ý (6). 5 = 5.5 = 5 bulunur. Örnek f()= _, g()= + fonksiyonlarý verilsin, h() = (fog)() in türevi nedir? Çözüm h() = (fog) ý () = f ý (g()). g ý () dir. = [g() _ ]. ( + ) = [( + ) _ ]. ( + ) = _ + 8 _ II. Yol : fog() = f(g()) = g() _ g() = ( + ) _ ( + ) = ise (fog) ý () = _ + 8 _ þeklinde de bileþke fonksiyonunun türevi alýnabilir. Örnek 5 f( _ ) = Çözüm ý.( + ). f( ).= ( + ) Örnek 6 = için, + ise, f ý () ün eþiti kaçtýr? ý.( + ) 6. f(. ).= ( + ) ý 5 4 f().= 5 ý 9 f() = bulunur. 50 [f()] =.f() + 6 ve f() = ise, f ý () ün deðeri kaçtýr? 68

21 Türev Alma Kurallarý Çözüm Eþitliðin her iki tarafýn türevini alalým..f().f ý () =.f() + f ý ()..f().f ý () =..f() + f ý ()...f ý () = 6. + f ý ().9.f ý () = f () ý ý 6 7.f () = 6 f () = bulunur. 7 TERS FONKSÝYONUN TÜREVÝ A, B R ve f : A B bire-bir ve örten fonksiyon olsun. Bu taktirde f _ : B A ya ters fonksiyonu vardýr. o A ise, f( o ) = y o B dir. y o B ise, f _ (y o ) = o A dýr. tersine Bu taktirde f fonksiyonu o A noktasýnda türevli ve f ( o ) 0 ise f _ fonksiyonu da o ýn f altýndaki görüntüsü olan y o noktasýnda türevlidir ve bu türev, + 4 = _ = 0 ise (+)(+) = 0 buradan = _ ve = _ bulunur. Taným kümesi [ _, ) olduðunda = _ olamaz. O halde o = _ dir, o = _ için y o = _ dür. f() = + 4 f ý () = + 4 f ý ( _ ) = Bu taktirde (f _ ) ý ( _ ) = bulunur. II. Yol: Önce verilen fonksiyonunun tersini bulup sonra türevini alalým. y = + 4 ise, y = _ 4 y = (+) _ 4 y + 4 = (+) ó+4 = + _ +óy+4 = y o = _ için, f( ) = ý f _ () = _ + ó+4 f _ (y) = _ + óy+4 ý (f ) (y) = y+ 4 ý (f ) (y o) = ý f( ) o ý (f ) ( ) = = + 4 bulunur. Bu kural yardýmýyla f _ ters fonksiyonu bulunmadan f _ in türevi bulunabilir. Eðer f fonksiyonunun tersi kolayca bulunabiliyorsa fonksiyonunun önce tersini bulur, sonra türevini alýrýz. Örnek [ _, ) [ _ 4, ), f() = + 4 verildiðine göre, f _ fonksiyonunun y o = _ noktasýndaki türevini bulunuz. Çözüm f fonksiyonu bire-bir ve örten olduðundan tersi vardýr. Fakat bu fonksiyonun tersini bulmak zor olabilir, biz fonksiyonun tersini bulmadan yukarýdaki formül yardýmýyla tersinin türevini bulalým. Önce bu fonksiyonda yerine hangi sayý yazýlarak y o = _ deðeri bulunmuþtur, bunu araþtýralým. Örnek f : R R, f() = _ olduðuna göre, (f _ ) ý (4) in deðeri kaçtýr? Çözüm y o = 4 için, _ = 4 denkleminden o = bulunur. Bu taktirde (f _ ) ý (4) = 0 bulunur. f() = ý Örnek f : R _ {} R _ {}, Çözüm f() = fonksiyonu veriliyor. (f _ ) ý () in deðeri kaçtýr? I. Yol : Fonksiyonunun tersini almak kolaysa önce tersi alýnýr daha sonra da türevi bulunabilir. 69

22 Türev Alma Kurallarý f() = ise, f () = ý.( ).( ) (f ) () = ( ) ý.( ).( ) (f ) () = ( ) II. Yol : y o = ise _ = _ ise = 0 bulunur. ý.( ) ( ) f() = ( ) ý + f(0) = = = ( ) ý (f ) () = = = bulunur. ý f(0) Örnek 4 f : [, ) R, f() = + fonksiyonu veriliyor. (f _ ) ý (4) ün deðeri kaçtýr? Çözüm I. Yol : y o = 4 için o deðerini bulalým. 4 = + = 4 = _ ise, o = 7 ý ý f() = f(7) = = 7 4 ý (f ) (4) = = = 4 ý f(7) 4 II. Yol : Verilen fonksiyonun önce tersini bulup sonra türevini alalým. f() = + y _ = 0 = = = ( ) = (y _ ) = _ f _ () = ( _ ) + (f _ ) ý () = ( _ ) dir. (f _ ) ý (4) = (4 _ ) =. = 4 bulunur. 7. TRÝGONOMETRÝK FONKSÝYONLARIN TÜREVLERÝ y = f(u) u = u() olmak üzere,. f() = sinu f () = cosu. u. f() = cosu f () = sinu. u. f() = tanu ý ý u ý f() = (+ tan u).u = = usec u cos u 4. f() = cotanu ý ý u ý f () = (+ cotan u).u = = u cosec u sin u ~ y = sin ise y ý = cos. ~ y = sin( ) ise y ý = cos( ). ~ y = sinñ ise y ý = cosñ. ~ y = cos( +) ise y ý = sin( + ). ~ y = cos(sin) ise y ý = sin(sin).cos ~ y = sin ise y ý = sin.cos = sin ~ y = cos ise y ý = cos.( sin) ~ y = tan ise y ý = ( + tan ). ~ y = cotan(sin) ise y ý = [+cotan (sin)].cos ~ y = tan ise y ý = tan.( + tan ) Örnek f() =.sin ise f ý () in eþiti kaçtýr? Çözüm Çarpýmýn türevini uygulayalým. f ý () =.sin + cos. =.sin +.cos dir. Örnek f() = tan + tan Çözüm ý ý ise f ý () kaçtýr? f() = (tan) + tan( ) f ý () = (tan).( + tan ) + ( + tan ). ý ý ý ý 70

23 Örnek sin f() = tan ise, f ý () kaçtýr? Türev Alma Kurallarý TERS TRÝGONOMETRÝK FONKSÝYONLARIN TÜREVLERÝ Çözüm ý sin cos..sin f() = + tan. ( ). f() = y = arcsin fonksiyonu π π f:[, ], ve f() = arcsin dir. ý sin.cos sin f() = + tan. f() = arcsin = siny dir. Örnek 4 f : R R, f( + 4) = sina ve f ý (4) = ise, a nýn deðeri kaçtýr? Çözüm f ý ( + 4). = cosa.a bu türevde = 0 deðerini yerine koyalým. ý dy f() = = = = d d d cosy (siny) dy dy = = sin y (sin y + cos y = ise cosy = olduðuna dikkat ediniz.) sin y f ý (.0 + 4). = cos(a.0).a f ý (4). = cos0.a. =.a a = 6 bulunur. ý f() = arc sin f () = dir. Örnek 5 f() = sin (tan) ise f ý () kaçtýr? Çözüm f() = [sin(tan)] f ý () =.[sin(tan)].cos(tan).( + tan ) þeklinde bulunur.. f() = arccos fonksiyonu f() = arccos = cosy ý dy f() = = = = d d d siny (cosy) dy dy = cos y = cosy yi yerine yazarsak Örnek 6 f() = sin ise, ý π f nin deðeri kaçtýr? Çözüm f ý () =.sin.cos. f ý () =.sin6 bulunur. ý π π π f =.sin 6. =.sin =. = bulunur. f() = arc cos ý f () = dir.. f() = arc tan fonksiyonu f() = arctan = tany ý dy f() = = = = d d (tany) + tan y + dy ý f() = arc tan f () = dir. + 7

24 Türev Alma Kurallarý 4. f() = arccotan fonksiyonu f() = arccotan = cotany ý dy f() = = = = d d d + (cot any) ( cot an y) dy dy = + dir. Örnek f() = arctanñ ise, f ý () kaçtýr? Çözüm ý f() = = = dir. + (+ ) ý ( ) + ( ) ý f() = arc cot an f () = + u = g() þeklinde e baðlý bir fonksiyon ve u nun herhangi bir noktasýndaki türevi u ý olsun. Bu taktirde; Örnek 4 f() = arctan( ) ise, f ý () kaçtýr? Çözüm ý ý ( ) f() = = + ( ) + ( ) dir. d (arcsinu) = d u ý u d (arccosu) = d u u d u (arc tanu) = d + u d u (arc cotanu) = d + u ý ý ý Örnek 5 f() = arccotan(cos) ise, f ý () kaçtýr? Çözüm ý ý.(cos ) sin f() = = dir. + cos + cos Örnek f() = arcsin( +) ise f ý () kaçtýr? Çözüm ý ý ( + ) f() = = ( + ) ( + ) Örnek 6 f() = arccotan(tan) ise, f ý () kaçtýr? Çözüm ý ý.(tan ).( + tan ) f() = = = dir. + tan + tan Örnek f() = arccos(sin), 0 < < f ý () kaçtýr? Çözüm π ise Örnek 7 Çözüm f() = arccos(sin ), 0 < < f ý () kaçtýr? ý ý.(sin ).cos. f() = = (sin ) sin π ise ý ý (sin ) cos cos f() = = = = sin cos cos.cos.cos = = = cos cos 7

25 Türev Alma Kurallarý Örnek 8 f() = arctanó+ ise f ý () kaçtýr? Çözüm Örnek 9 f() = sin(arctan) ise f ý () kaçtýr? Çözüm ý ý ( + ) + f() = = = + ( + ) (+ ) bulunur. y= sinu dy dy du =. u= arctan d du d Zincir kuralýný uygulayalým. dy = cosu. = cos(arctan ). d + + bunu daha kýsa yazmak gerekirse, u = arctan = tanu Bu oraný bir dik üçgende gösterelim. ý f() = ý ( ) = =.. ý f = = 4 = = =. = bulunur. 4 Örnek f() = sin.arctan ise, f ý () kaçtýr? Çözüm Çarpýmýn türevini alalým, f ý () = cos. arctan +. ( sin) + ý sin f () = cos. arctan + dir. ó+ cosu = + u y= sinu y = cosu. u ý = cosu. =. bulunur ý Örnek 0 ý f() = cos(arcsin) ise f Çözüm f() = cos(arcsin) = cosu u = arcsin = sinu kaçtýr? u ó f() = cosu = dir. Bu düzenlenmiþ fonksiyonun türevini alalým. 7

26 ALIÞTIRMALAR Türevde Zincir Kuralý-Bileþke Fonk.-Ters Fonk.-Trigonometrik Fonk.Türevi. f() = ( ) 0 ise, df kaçtýr? d Cevap: 0( ) 9.( ) 7. f() = + fonksiyonu verildiðine göre, f ý () in deðeri kaçtýr? Cevap: 5 4 d. ( + ) 5 + eþiti kaçtýr? d Cevap: 5( + ) f() = 7 + fonksiyonu verildiðine göre, f ý (4) ün deðeri kaçtýr? Cevap: 4. f( ) = + fonksiyonu verildiðine göre, f ý (5) in deðeri kaçtýr? Cevap: p 9. f() = 4p ise, f ý (p) kaçtýr? Cevap: 4. > 0 olmak üzere, f( ) = + + fonksiyonu veriliyor. Buna göre f ý () + f() toplamý kaçtýr? 0. f() = ise, (f _ ) ý (7) kaçtýr? Cevap: 5 9 Cevap: 5. f[( + g()] = + 8 fonksiyonu ve f ý () =, g() = 0 deðerleri verildiðine göre, g ý () in deðeri kaçtýr? Cevap:. f : [, ) [ 9, ), f() = 6 ise, (f _ ) ý ( 8) nin deðeri kaçtýr? Cevap : 6. h() = f( ) + f (), f() = ve f ý () = ise, h ý () in deðeri kaçtýr? Cevap: 6. f : [, ) R, f() = + + ise, (f _ ) ý (5) nin deðeri kaçtýr? Cevap : 6 74

27 ALIÞTIRMALAR Türevde Zincir Kuralý-Bileþke Fonk.-Ters Fonk.-Trigonometrik Fonk.Türevi d sin. eþiti kaçtýr? d cos Cevap : sin π 9. 0 < < olmak üzere, f(sin ) = tan ise, ý f nin deðeri kaçtýr? Cevap : 4. f() = sin ý π () ise, f nýn deðeri kaçtýr? 6 Cevap : f() =.arctan ise, f ý () in deðeri kaçtýr? Cevap : π+ 4 ý π 5. f() = tan(cotan) ise, f nýn deðeri kaçtýr? Cevap :. f() = arctan ise, f ý (4) ün deðeri kaçtýr? Cevap : 0 6. d sin d eþiti kaçtýr? Cevap : sin(cos).( sin) d. arc sin eþiti kaçtýr? d d 7..sin eþiti kaçtýr? d Cevap : cos.sin Cevap : 4 8. f() =.sin + cos ise, f ý () in deðeri kaçtýr? Cevap : 0 d. arc tan(sin ) eþiti kaçtýr? d Cevap : cos + sin 75

28 TEST. f() = ( _ ) 0 fonksiyonunun = noktasýndaki türevi kaçtýr? A) 48 B) 40 C) 0 D) E) 0 Türevde Zincir Kuralý - Bileþke Fonk. - Trigonometrik Fonk.Türevi 6. f( + ) = + + fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f ý (4) ün deðeri kaçtýr? A) B) C) D) 5 E) 6. f : R R, f() = ise, f(+ h) f() lim h 0 h ifadesinin deðeri kaçtýr? 7. f( + ) =.g( + ) fonksiyonu ve g() = 6 ise, f ý () in deðeri kaçtýr? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 A) 0 B) 60 C) 70 D) 90 E) 0. f() = 7 + fonksiyonu verildiðine göre, f ý (4) ün deðeri kaçtýr? A) B) C) D) E) 4 6 f() 8. f() =, lim = 6 ve h() =.f() ise, h ý () in deðeri kaçtýr? A) B) 6 C) 5 D) 8 E) 0 4. f() = fonksiyonunun = 9 noktasýndaki türevi kaçtýr? A) 9 B) C) D) E) g() = 4, g ý g() () = 6 ve f() = þeklinde verildiðine göre, f() fonksiyonunun = nok- tasýndaki türevi kaçtýr? A) 0 B) C) D) E) 4 5. f() = + fonksiyonunun = 5 noktasýndaki türevi kaçtýr? 8 0 A) B) C) D) E) 0. f : R R, f() = fonksiyonu verildiðine göre, (f _ ) ý (6) nýn deðeri kaçtýr? A) B) 6 C) D) E) 6 76

29 TEST. f : [, ) R, f() = ó+ fonksiyonu verildiðine göre, f ý () + (f _ ) ý () ifadesinin deðeri kaçtýr? A) B) 4 C) D) E) Türevde Zincir Kuralý - Bileþke Fonk. - Trigonometrik Fonk.Türevi π 6. f() = tan fonksiyonunun = noktasýndaki türevi kaçtýr? A) 0 B) C) D) E) 4. f() = 6 fonksiyonu verildiðine göre, (f _ ) ý (0) ýn deðeri kaçtýr? A) B) C) D) E) d.sin d eþiti kaçtýr? A) cos B) cos C) (sin+cos) D) sin E) (sin+.cos). f() = sin + tan fonksiyonunun = noktasýndaki türevi kaçtýr? A) B) C) D) + E) π 4 8. a > 0, f() = arccos fonksiyonu veriliyor. a ý f( ) = ise, a nýn deðeri kaçtýr? A) B) C) D) 4 E) 5 4. f() = cos cos fonksiyonu verildiðine ý π göre, f nýn deðeri kaçtýr? 6 A) B) 0 C) D) E) ñ 9. d sin =? ( ) d =π A) B) 4 C) D) 4 E) 6 d 5. sin eþiti kaçtýr? d A) cos B) cos C) sin D) sin.cos E) cos f() = cos(arcsin) fonksiyonu verildiðine göre, ý f nin deðeri kaçtýr? A) B) C) D) E) Cevaplar: -B -B -D 4-E 5-C 6-A 7-B 8-C 9-C 0-E -D -C -A 4-B 5-E 6-D 7-E 8-B 9-C 0-A

30 Maksimum Minimum Problemleri

31

32

33

34

35

36

37

38

39 İ:K

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81 The End

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115 Grafik Çizimleri 4. GRAFÝK ÇÝZÝMLERÝ. POLÝNOM FONKSÝYONLARIN GRAFÝKLERÝ f() = a n n + a n n + a n n a + a o þeklindeki polinom fonksiyonunun grafiðini çizerken aþaðýdaki yollar izlenir. a) f() in taným kümesi bulunur. Yani bu fonksiyonlar R için tanýmlýdýr. b) f() in eksenleri kestiði noktalar bulunur. = 0 için oy eksenini kestiði nokta, y = 0 için o eksenini kestiði nokta bulunur. y = 0 için bir deðeri bulunamýyorsa fonksiyonun o eksenini kesmediði anlaþýlýr. c) Fonksiyonun geliþ ve gidiþ yönüne bakýlýr. n lim (a +...) limiti hesaplanýr, bulunan ± n deðerler eðrinin uç noktalarýnýn hangi bölgede olduðunu gösterir. II. bölge (, +) (, ) III. bölge y I. bölge (+, +) (+, ) IV. bölge e) f() in türevine bakýlýr; yani fonksiyonun birinci türevi alýnýp sýfýra eþitlenir, varsa kökler bulunur, bulunan bu kökler fonksiyonda yerine yazýlarak y deðerleri elde edilir. Bu deðerler fonksiyonun maksimum veya minimum deðerlerini verir. f) Deðiþim tablosu yapýlýr. Yukarýdaki tüm bilgiler tabloya aktarýlýr, türevin iþareti incelenir, fonksiyonun maksimum ve minimum noktalarý belirlenir. Bu bilgilerin tamamý koordinat düzlemine aktarýlarak grafik çizilmiþ olur. Örnek f : R R, f() = fonksiyonunun grafiðini çiziniz. Çözüm a) Taným kümesi tüm reel sayýlardýr. b) Eksenleri kestiði noktalar; = 0 için y = y = 0 için = 0 ( + )( ) = 0 ise, =, = c) Fonksiyonun uç noktalarý, + için y + I. bölge için y + II. bölge d) Çift katlý kök yoktur. e) Türevine bakalým. f ý () = = 0 ise = bulunur. = f() = = 4 f) Deðiþim tablosunu inceleyelim. + için y + ise I. bölge için y + ise II. bölge için y ise III. bölge + için y ise IV. bölge olduðu anlaþýlýr. 0 + f ý () + + f() y Bu iþlemleri yaparken f() in derecesinin tek veya çift olduðuna dikkat edilmesi gerekir. d) f() in tam kareli bir çarpaný, veya baþka bir deyiþle y = 0 için çift katlý bir kökü varsa bu kökte grafik o eksenine teðettir, tek katlý kökünde grafik o eksenini keser. 4 47

116 Grafik Çizimleri Uyarý : Polinom fonksiyonun grafiði verilirse denklemi þöyle olur: Not : Fonksiyonun derecesi, tepe noktasý sayýsýndan bir fazla olduðuna dikkat ediniz. I) Parabolün eksenleri kestiði noktalar verilmiþ ise denklem, y = a( + ).( ) þeklinde yazýlýp = 0 için y = deðeri denklemde yeyerine yazýlarak a y f() Örnek f() = ( ) ( + ) fonksiyonunun grafiðini çiziniz. Çözüm. f() bir polinom olduðundan R için tanýmlýdýr. bilmeyeni bulunur.. Eksenleri kestiði noktalar, = 0 için y = 4, A(0, 4) y = 0 için ( ) (+) = 0 II) Parabolün oy eksenini kestiði nokta ve tepe noktasý verilmiþ ise denklemi, y f(). Fonksiyonun uç noktalarý, = =, = bulunur. y = a( ) þeklinde yazýlýp (0, ) noktasý denklemde yerine yazýlarak a deðeri bulunur. + için y + için y I. bölge III. bölge 4. Fonksiyonun ( ) çarpaný tamkare olduðundan eðri = apsisli noktada eksenine teðettir. 5. Türevine bakalým. III) Parabol o eksenine teðet ise denklemi, y = a( ) þeklinde yazýlýr. (0, ) noktasý denklemde yerine yazýla- y f() f() = ( ) ( + ) ise f ý () = ( )( + ) + ( ) = 0 ( ) [( + ) + ] = 0 ( ) () = 0 =, = 0 türevin kökleridir. 6. Deðiþim tablosu ve grafik, rak a deðeri bulunur. 0 + y ý IV) Yanda görülen þekildeki gibi bir grafik verildiðinde denklemi, y = a(+4)( ) þeklinde yazýlýr. (0, ) noktasý denk- 4 y f() y f() = ( ) ( + ) f(0) = (0 ) (0 + ) = 4 ise f(0) = 4 f() = ( ) ( + ) = 0 ise f(0) = 0 lemde yerine yazýlarak a deðeri bulunur. f() = ( ) ( + ) Fonksiyonunun grafiði aþaðýdaki gibidir. 48

117 Grafik Çizimleri 4 y Örnek 4 f() = ( ) fonksiyonunun grafiðini çiziniz. Çözüm. f() fonksiyonu her yerde tanýmlýdýr. Örnek f() = + fonksiyonunun grafiðini çiziniz. Çözüm. f() fonksiyonu R için tanýmlýdýr.. Eksenleri kestiði noktalar, = 0 için y = y = 0 için + = 0 ( ) + = 0 ( ).( + ) = 0 = 0 veya + = 0 ise Çk = {} dir.. Fonksiyonun uç noktalarý, + için y + I. bölge için y III. bölge 4. Fonksiyonda çift katlý kök yok. 5. Türevine bakalým. f() = + ise f ý () = 4 + = 0 ( )( ) = 0 ise =, = 0 + y ý y min ma. Eksenleri kestiði noktalar, = 0 için y = y = 0 için ( ) = 0 ( ). ( + ) = 0 ise = = = 4 = dir.. Fonksiyonun uç noktalarýna bakalým, + için y + I. bölge için y + II. bölge 4. f() = ( ) = ( ). ( + ) olduðundan fonksiyonun iki tane tam kareli kökü vardýr. Yani grafik = ve = de o eksenine teðettir. 5. Türevine bakalým. f() = ( ) ise f ý () = ( )..( )( + ). = 0 ise = 0 = ve = bulunur. 0 + f ý () + + f() Y.min Y.ma Y.min y y

118 Grafik Çizimleri Örnek 5 y ASÝMPTOTLAR Yukarýda grafiði verilen fonksiyonun denklemini bulunuz. Çözüm Verilen grafiðin denklemi = de o eksenine teðet ve = den geçtiðine göre, f() = a.( + ). ( ) þeklinde ifade edebiliriz. Bu fonksiyon oy eksenini ordinatlý noktada kestiðine göre, (0, ) noktasý denklemi saðlar. = a.(0 + ). (0 ) = a.4.( ) ise a = dýr. 6 Örnek 6 Buna göre, f() = bulunur. y 6 ( + ). ( ) olarak Yukarýdaki grafik f() = a + b 9 + c fonksiyonunun grafiði olduðuna göre, a, b, c nin iþaretlerini bulunuz. Çözüm ~ = 0 için y = c ise c < 0 dýr. Çünkü grafik oy eksenini negatif bölgede kesmektedir. Grafikten de görüldüðü gibi köklerin üçü de pozitiftir. Buna göre, c ( 9) ~.. = > 0 > 0 a a olduðundan a > 0 dýr. b ~ + + = > 0 ve a > 0 a olduðundan b > 0 ise b < 0 dýr. O halde a > 0, b < 0, c < 0 dýr. f() Asimptotlar fonksiyona sonsuzda teðet olan doðru ve eðrilerdir. Asimptotlar kesirli ve köklü fonksiyonlarda vardýr. Asimptotlar kendi özelliðine göre ad alýr. ~ Düþey bir doðrudan oluþan asimptota düþey asimptot, ~ Yatay bir doðrudan oluþan asimptota yatay asimptot, ~ Eðik bir doðrudan oluþan asimptota eðik asimptot, ~ Bir eðriden oluþan asimptota eðri asimptot denir. A) DÜÞEY ASÝMPTOT P() f() = kesirli fonksiyonunda paydayý Q() sýfýr yapan deðerlerine düþey asimptot denir. Yani; P() f() = ( a)( b) fonksiyonunun paydasýný sýfýra eþitlersek ( a).( b) = 0 denkleminden = a, = b deðerleri bulunur. Burada a ve b noktalarýndaki limitler ± gider. a y lim f() =± ve lim f() =± dýr. b lim f() =+ ve lim f() = a + b + lim f() = ve lim f() =+ a b y b 50

119 Grafik Çizimleri Not : Grafik hiçbir zaman düþey asimptotu kesmez, ancak düþey asimptota sonsuzda teðet olur. P() f() = kesirli fonksiyonu verildiðinde Q() ) Q() = 0 denkleminin kökleri düþey asimptotlarý verir. Q() = 0 denkleminin kökleri yoksa, fonksiyonun düþey asimptotlarý da yoktur. Çözüm y + 6 = 0 + ( )( + ) = 0 =, = düþey asimptotlardýr. = = + + lim =±, lim =± ) Düþey asimptot grafiði parçalar yani düþey asimptot sayýsý n tane ise grafik n+ parçadan oluþmaktadýr. Yukarýdaki f() fonksiyonunun = a ve = b þeklinde iki düþey asimptotu olduðundan grafiðin üç parçaya ayrýlacaðýný söyleyebiliriz. ) Kesirli fonksiyonlarýn paydasý ( a) gibi tam kare ise = a düþey asimptottur ve = a da eðrinin (± ) a atýlmýþ bir ekstremumu vardýr. (Aklýmýzda kalmasý için biz buna = a da bir baca vardýr diyeceðiz.) y y Uyarý : P() f() = kesirli fonksiyonunda Q() = 0 Q() denkleminin kökleri P() = 0 denkleminin kökü deðilse düþey asimptotturlar. Eðer Q() = 0 denkleminin kökü, P() = 0 denkleminin de kökü ise, bu noktada f() in sað ve sol limitlerine bakýlýr bu limitlerden en az biri ± ise o kök düþey asimptottur. Örnek + f() = 4 = a da a atýlmýþ bir ekstremum (baca) vardýr. = a de + a atýlmýþ bir ekstremum (baca) vardýr. eðrisinin düþey asimptotlarýný bulunuz. Çözüm Paydayý sýfýra eþitleyelim, 4 = 0 = = bulunur. Bunlarýn düþey asimptot olabilmesi için bu noktalardaki limitlerin ± a gitmesi gerekir. + 0 lim 4 0 lim = =. 4 Örnek + f() = + 6 eðrisinin düþey asimptotlarýný bulunuz. olduðundan = düþey asimptot deðildir lim = = =± olduðundan = düþey asimptottur. 5

120 Grafik Çizimleri Örnek + f() = + a+ 4 y y eðrisinin düþey asimptotu yoksa a nýn deðeri kaçtýr? Çözüm Eðrinin paydasýndaki + a + 4 = 0 denkleminin reel kökünün olmamasý gerekir. Bunun için Δ = b 4.a.c = a 4..4 < 0 olmalý a < 6 her iki tarafýn karekökünü alýrsak, a < 4 olur, burdan 4 < a < 4 bulunur. B) YATAY ASÝMPTOT P() f() = Q() kesirli fonksiyonunda P() lim f() = lim = a ise ± Q() ± y = a doðrusuna yatay asimptot denir. Bu kesirli fonksiyonda; i) Payýn derecesi paydanýn derecesinden büyükse, Uyarý : Eðri düþey asimptotu kesmez. Fakat yatay asimtot eðri ve eðik asimtotlarý kesebilir. Fonksiyonla asimtot denklemi ortak çözüldüðünde bu kesim noktalarý bulunur. Örnek f() = 5 eðrisinin yatay asimtotunu bulunuz. Çözüm lim = 5 olduðundan y = yatay asimtottur. y ii) iii) lim ± olduðundan yatay asimptot yoktur (eðik veya eðri asimtot vardýr.) Payýn derecesi paydanýn derecesine eþitse eþit dereceli terimlerin önündeki katsayýlarýn oraný limitin deðeridir. lim ± Q() ± q b +... olduðundan yatay asimptottur. Paydanýn derecesi payýn derecesinden daha büyükse, P() a +... lim = lim = 0 ± P() a +... = lim = + Q() ± q b... P() a +... a = lim = b a y = b Q() ± q b +... p p p olduðundan y = 0 yani ekseni yatay asimptottur. y = Örnek 5 f() = + eðrisinin yatay asimtotlarýný bulunuz. Çözüm lim = olduðundan + y = yatay asimptottur. lim = olduðundan y = de yatay asimptottur. 5

121 Grafik Çizimleri Örnek 6 + f() = + eðrisinin yatay asimtotunu bulunuz. Çözüm lim + =± ± + olduðundan verilen eðrinin yatay asimptotu yoktur. Örnek 7 f() = 5 eðrisinin yatay asimptotunu bulunuz. Çözüm lim 5 = 5 =, lim 5 = 5 = = = 0 5 olduðundan y = 0 doðrusu yatay asimptottur. Örnek 8 / f() = e eðrisinin yatay asimptotunu bulunuz. Çözüm / / o lim e = e = e = / / lim e = e = = = = / o e e olduðundan y = yatay asimptottur. Örnek 9 f() =(a b) + b + asimptotu ise, a nin deðeri kaçtýr? b Çözüm (a b) + b + c f() = eðrisinin yatay haline getirilir. Burada yatay asimptotun reel bir sayý olabilmesi için pay ve paydanýn dereceleri eþit olmalýdýr. c Buna göre; a b = 0 dýr. Buradan a = b dir. b + c f() = b + c lim = b ise y = b yatay asimptottur dolasýyla b = ; a = b ise a = a = =. = bulunur. b a Burada oraný sorulduðundan b'yi bulma b a dan a = b eºitliðinden = bulunabilir. b Not : f() = (a b) + b + eðrisinde y = (a b) + b ifadesi yatay asimptota özdeþtir. (a b) + b = eþitliðinden a b = 0 ve b = a =, b = bulunur. Örnek 0 olur. f() = (m ) + n + + fonksiyonunun yatay asimptotu ise, m + n nin deðeri kaçtýr? Çözüm + f() = (m ) + n + + y = (m ) + n y = (m ) + n yatay asimptottur. (m ) + n = 0 eþitliðinden m = ve n = olup, m + n = bulunur. c 5

122 Grafik Çizimleri C) EÐÝK VE EÐRÝ ASÝMPTOTLAR P() f() = kesirli fonksiyonunda payýn derecesi paydanýn derecesinden bir derece Q() büyük ise eðik, daha fazla dereceden büyükse eðri asimptot vardýr. y = f() eðrisi için, lim f() K() = 0 veya lim f() K() = 0 olacak þekilde bir K() polinomu varsa buna f() eðrisinin bir eðri veya eðik asimptotu denir. Bu asimptot K() = m + n þeklinde ise eðik, K() = m + n + t þeklinde ise eðri asimptot adýný alýr. P() R() f() = = K() + Q() Q() þeklinde yazýlarak K() elde edilir. Örnek + 5 f() = eðrisinin varsa asimptotunu bulunuz. Çözüm = + ± + 5 olduðundan ± ± y = eðik asimptottur. lim f() k() = lim + ( ) ± ± = lim = 0 dýr. ± y y = Örnek + f() = + fonksiyonunun eðri asimptotunu bulunuz. Çözüm ± = olduðundan ± ± y = eðri asimptottur. y Uyarý : y = f() fonksiyonunun y = m + n biçiminde bir eðik asimptotu varsa f() m = lim, n = lim [f() m] veya f() m = lim, n = lim [f() m] þeklinde bulunur. Örnek + f() = eðrisinin asimptotlarýný bulunuz. Çözüm i) Düþey asimptot = 0 ise = 0 ve = dir. ii) + lim = olduðundan yatay asimptotu yoktur. 54

123 Grafik Çizimleri iii) Eðik asimptotunu bulalým. + i) a > 0 ise lim f() = lim a +b +c ± + + ± f() = = + + b = a. + a ifadesi eðik asimptottur. Bu asimptot b için y = a + a b için y = a + dýr. a olduðundan y = + eðik asimptottur. KÖKLÜ FONKSÝYONLARIN ASÝMPTOTLARI f() = + 4 þeklindeki irasyonel fonksiyonlarýn eðik asimptotlarýný araþtýralým. ± lim + + = lim ( ) + ± = lim ( ). + ± ( ) ii) iii) a < 0 ise lim f() = lim a +b +c limiti hesaplanamaz, çünkü kökün içi için negatiftir. f()= lim a +b+c+p+q fonksiyonunun yatay asimptotu b y = a + + p +q dir. a Bu da yukarýdakiler gibi elde edilir. olduðundan eðik asimptotlar için y = için y = + doðrularýdýr. Uyarý : f() = = lim. + ± ( ) = + lim. lim ± ± ( ) = lim. + ± = lim ± a +b +c þeklindeki fonksiyonlarýn eðik asimptotlarý kýsaca þöyle bulunur. Örnek 4 f() = 4 + fonksiyonunun asimptotunu bulunuz. Çözüm Bunu da yukarýdaki formülün çýkýþýný kullanarak yapalým. f() = = ( ) = ( ). =. ( ) ( ) için karekökün limiti olacaðýndan eðik asimptot y = dir. + için y = ve için y = + bulunur. 55

124 Grafik Çizimleri Örnek 5 f() = fonksiyonunun eðik asimptotlarýný bulunuz. Çözüm Bunu da elde ettiðimiz formülden yapalým. 8 y = y = +. y = + = 5 y = + = + dir. Örnek 6 y= eðrisinin asimptotlarý hangi noktada kesiþir? Çözüm Fonksiyonun asimptotlarýný bulup, bunlarý ortak çözerek kesim noktasýný ortaya çýkartalým. 4 y = y = + + = + y = + + = 5 y = y 5 = + =, y = 5 Asimptotlarýn kesim noktasý (, 5) dir. a b = 0 = Yatay asimptotu Asiptotlarýn kýsým noktasý y = + doðrusu üzerinde ise b b+ a = + ise = a + b = bulunur. a a a a Örnek 8 b+ 4 f() = + c eðrisinin simetri merkezi (, ) noktasý olduðuna göre, b c nin deðeri kaçtýr? Çözüm Fonksiyonun simetri merkezi asimptotlarýn kesim noktasý olduðuna göre; ~ + c = 0 = c düþey asimptot olup = verilmiþtir. Buna göre = c = ise c = bulunur. ~ Eðik Asimptot b a lim y = y = a a b A, a a b + 4 +c ise y = (b + c) ± c (b+c) eðik asimptottur. (b+c) + 4 ± (b + c) + c(b + c) Uyarý : Bir fonksiyonun simetri merkezi asimptotlarýn kesim noktasýdýr. 4 + c(b + c) Asimptotlarýn kesim noktasý A(, ) y = (b + c) y asimptotu üzerinde Örnek 7 + y = a b olduðundan, = (b + c) (, ) eðrisinin simetri merkezi y = + doðrusu üzerinde ise a + b nin deðeri kaçtýr? b + c = 5 bulunur. b = 5 ise b = 7 Çözüm + y = a b eðrisinin düþey asimptotu Buna göre; b c = 7 ( ) = 7 + = 9 bulunur. 56

125 Grafik Çizimleri KESÝRLÝ FONKSÝYONLARIN GRAFÝKLERÝ Bir f() fonksiyonunun grafiðini çizmek için aþaðýdaki yollar sýrasýyla izlenir.. f() in tanýmlý olduðu aralýk bulunur, fonksiyon trigonometrik ise peryodu tespit edilir.. f() fonksiyonunun asimptotlarý bulunur.. f() fonksiyonunun eksenleri kestiði noktalar bulunur. ~ = 0 için y = f(0), A[0, f(0)] noktasý fonksiyonun y eksenini kestiði noktadýr. ~ y = 0 için f() = 0, B(, 0) noktasý fonksiyonun eksenini kestiði noktadýr. 4. Fonksiyon kesirli ise pay, kesirsiz ise çarpanlarýndan biri tam kare ise tam karenin kökünde grafik eksenine teðettir. y 5. Türevine bakýlýr yani f ý () = 0 denklemi çözülerek eðrinin ekstremum noktalarý bulunur. Deðiþim tablosu yapýlarak artan ve azalan olduðu aralýklar tesbit edilir. Bütün bilgiler bu deðiþim tablosu üzerine yazýlýr ve bu bilgiler ýþýðýnda grafik çizilir. Örnek fonksiyonunun grafiðini çiziniz. Çözüm i) f() = y nin taným kümesi R {} dir. ii) = 0 ise = düþey asimptot iii) y = lim = = 0, y = 0 doðrusu yani ekseni yatay asimptottur. Eksenleri kestiði noktalar = 0 için y = A 0, noktasý y eksenini kestiði noktadýr. f() = ( ) (...) y = 0 için 0 = 0 yani eðri eksenini kesmez. ( + ) (...) f() = (...) y iv) Deðiþim tablosunu inceleyelim. ý 0.. f() = = = 0 ( ) ( ) olduðundan denklemin kökü yoktur. Dolayýsýyla fonksiyon her yerde azalandýr. 0 + Eðer kesirli fonksiyonun paydasýnda tam kareli terim varsa tamkarenin kökünde fonksiyon ± a atýlmýþ bir ekstremumu vardýr. y y y ý y bu incelemelerden sonra grafiði rahatlýkla çizebiliriz. y f() = (...) ( ) 57

4. f(x) = x 3 3ax 2 + 2x 1 fonksiyonunda f ý (x) in < x < için f(x) azalan bir fonksiyon olduðuna

4. f(x) = x 3 3ax 2 + 2x 1 fonksiyonunda f ý (x) in < x < için f(x) azalan bir fonksiyon olduðuna Artan - Azalan Fonksionlar Ma. Min. ve Dönüm Noktalarý ÖSYM SORULARI. Aþaðýdaki fonksionlardan hangisi daima artandýr? A) + = B) = C) = ( ) + D) = E) = + (97). f() = a + fonksionunda f ý () in erel (baðýl)

Detaylı

EÞÝTSÝZLÝKLER. I. ve II. Dereceden Bir Bilinmeyenli Eþitsizlik. Polinomlarýn Çarpýmý ve Bölümü Bulunan Eþitsizlik

EÞÝTSÝZLÝKLER. I. ve II. Dereceden Bir Bilinmeyenli Eþitsizlik. Polinomlarýn Çarpýmý ve Bölümü Bulunan Eþitsizlik l l l EÞÝTSÝZLÝKLER I. ve II. Dereceden Bir Bilinmeyenli Eþitsizlik Polinomlarýn Çarpýmý ve Bölümü Bulunan Eþitsizlik Çift ve Tek Katlý Kök, Üslü ve Mutlak Deðerlik Eþitsizlik l Alýþtýrma 1 l Eþitsizlik

Detaylı

BÖLÜM 3 FONKSÝYONLARIN LÝMÝTÝ. ~ Limitlerin Tanýmý ve Özellikleri. ~ Alýþtýrmalar 1. ~ Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Limitleri

BÖLÜM 3 FONKSÝYONLARIN LÝMÝTÝ. ~ Limitlerin Tanýmý ve Özellikleri. ~ Alýþtýrmalar 1. ~ Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Limitleri BÖLÜM FONKSÝYONLARIN LÝMÝTÝ Limitlerin Tanýmý ve Özellikleri Alýþtýrmalar Özel Tanýmlý Fonksionlarýn Limitleri (Saðdan ve Soldan Limitler) Alýþtýrmalar Trigonometrik Fonksionlarýn Limitleri Alýþtýrmalar

Detaylı

4. a ve b, 7 den küçük pozitif tam sayý olduðuna göre, 2 a a b. 5. 16 x+1 = 3

4. a ve b, 7 den küçük pozitif tam sayý olduðuna göre, 2 a a b. 5. 16 x+1 = 3 LYS ÜNÝVSÝT HAZILIK ÖZ-D-BÝ YAYINLAI MATMATÝK DNM SINAVI A Soru saýsý: 5 Yanýtlama süresi: 75 dakika Bu testle ilgili anýtlarýnýzý optik formdaki Matematik bölümüne iþaretleiniz. Doðru anýtlarýnýzýn saýsýndan

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x.

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x. - TÜREV KAVRAMI - TÜREV KAVRAMI 7 iadesinin türevini alınız. Çözüm lim lim 7 7 lim 7 7 lim lim onksionunun türevini alınız. Tanım onksionunda değişkeni artımını alırken de kadar artsın. oranının giderken

Detaylı

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI YILLAR 966 967 968 969 97 97 97 975 976 977 978 980 98 98 98 98 985 986 987 988 989 990 99 99 99 99 995 996 997 998 006 007 ÖSS / ÖSS-I ÖYS / ÖSS-II 5 6 6 5

Detaylı

MAT MATEMATİK I DERSİ

MAT MATEMATİK I DERSİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital

Detaylı

LYS 1 ÖZ-DE-BÝR YAYINLARI MATEMATÝK DENEME SINAVI 1 MA = a 4, 3 b Bazý M pozitif gerçek sayýlarý için, 5M = M 5 ve. 6.

LYS 1 ÖZ-DE-BÝR YAYINLARI MATEMATÝK DENEME SINAVI 1 MA = a 4, 3 b Bazý M pozitif gerçek sayýlarý için, 5M = M 5 ve. 6. LYS ÜNÝVERSÝTE HAZIRLIK ÖZ-DE-BÝR YAYINLARI MATEMATÝK DENEME SINAVI A Soru saýsý: 0 Yanýtlama süresi: dakika Bu testle ilgili anýtlarýnýzý optik formdaki Matematik bölümüne iþaretleiniz. Doðru anýtlarýnýzýn

Detaylı

ÇEMBERÝN ANALÝTÝÐÝ - I

ÇEMBERÝN ANALÝTÝÐÝ - I YGS-LYS GEOMETRÝ Konu Anlatýmý ÇEMBERÝN ANALÝTÝÐÝ - I 1. Çember Denklemi: Analitik düzlemde merkezi M(a, b) ve yarýçapý r birim olan çemberin denklemi, (x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2 (x - a) 2 + y 2 = r 2

Detaylı

POLÝNOMLAR TEST / Aþaðýdakilerden hangisi polinom fonksiyonu deðildir?

POLÝNOMLAR TEST / Aþaðýdakilerden hangisi polinom fonksiyonu deðildir? POLÝNOMLAR TEST / 1 1. Bir fonksiyonun polinom belirtmesi için, deðiþkenlerin kuvveti doðal sayý olmalýdýr. Buna göre, aþaðýdakilerden hangisi bir polinomdur? 5. m 4 8 m 1 P(x) = x + 2.x + 2 ifadesi bir

Detaylı

PARABOL TEST / 1. 1. Aþaðýdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiði parabol. 5. Aþaðýdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiði A(0,2) noktalarýndan geçer?

PARABOL TEST / 1. 1. Aþaðýdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiði parabol. 5. Aþaðýdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiði A(0,2) noktalarýndan geçer? PARABOL TEST /. Aþaðýdaki fnksinlardan hangisinin grafiði parabl belirtir? 5. Aþaðýdaki fnksinlardan hangisinin grafiði A(0,) nktalarýndan geçer? A) f()=5 f()=+ C) f()= D) f()= f()= 4 + + A) f()= f()=

Detaylı

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır? . SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)

Detaylı

LYS MATEMATÝK II - 10

LYS MATEMATÝK II - 10 ÝREY DERSHNELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS UYGULM FÖYÜ (MF-TM) DERSHNELERÝ LYS MTEMTÝK II - 0 PRL - I Ders anlatým föleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar çalýþýlmalýdýr. dý Soadý :... u kitapçýðýn her hakký

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II ÝREY DERSHNELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS NLTIM FÖYÜ DERSHNELERÝ Konu Ders dý ölüm Sýnav DF No. MTEMTÝK - II PRL - IV MF TM LYS1 12 Ders anlatým föleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar çalýþýlmalýdýr. dý

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II ÝREY DERSHNELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS NLTIM FÖYÜ DERSHNELERÝ Konu Ders dý ölüm Sýnav DF No. MTEMTÝK - II PRL - I MF TM LYS 09 Ders anlatým föleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar çalýþýlmalýdýr. dý Soadý

Detaylı

DENEME Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir.

DENEME Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir. 1. Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir. 1. a, b, c birbirinden farklý rakamlardýr. 2a + 3b - 4c ifadesinin alabileceði

Detaylı

5. 2x 2 4x + 16 ifadesinde kaç terim vardýr? 6. 4y 3 16y + 18 ifadesinin terimlerin katsayýlarý

5. 2x 2 4x + 16 ifadesinde kaç terim vardýr? 6. 4y 3 16y + 18 ifadesinin terimlerin katsayýlarý CEBÝRSEL ÝFADELER ve DENKLEM ÇÖZME Test -. x 4 için x 7 ifadesinin deðeri kaçtýr? A) B) C) 9 D). x 4x ifadesinde kaç terim vardýr? A) B) C) D) 4. 4y y 8 ifadesinin terimlerin katsayýlarý toplamý kaçtýr?.

Detaylı

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

ÖSS MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ

ÖSS MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ ÖSS MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ GRAFİK ÇİZİMİ Bir fonksiyonun denklemi verilip grafiği istendiğinde aşağıdaki yolu izlemeliyiz. ) Fonksiyonun en geniş tanım kümesi bulunur. ) ± için fonksiyonun limiti bulunur.

Detaylı

Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol Artan ve Azalan Fonksiyonlar Tanım: a,b aralığında tanımlı bir onksiyonu verilsin., a,b ve için, ise onksiyonu a,b aralığında artan, ise

Detaylı

7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56

7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56 , 006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@ahoo.com.tr Türev TEST I 7. f() = sin cos fonksionunun. f()= sin( + )cos( ) için f'() nin eşiti nedir? A) B) C) 0 D) E) için erel minimum değeri nedir? A) B)

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

DERS: MATEMATİK I MAT101(04)

DERS: MATEMATİK I MAT101(04) DERS: MATEMATİK I MAT0(0) ÜNİTE: FONKSİYONLAR KONU:. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR Öncelikle açı ölçü birimlerine göz atalım: Bilindiği gibi bir tam açının ölçüsü 0 derecedir. Diğer bir açı ölçü birimi de

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

DENEME Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir.

DENEME Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir. 1. Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir. 1. 3 2x +1 = 27 olduðuna göre, x kaçtýr? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 4. Yukarýda

Detaylı

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II) 7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile

Detaylı

1. BÖLÜM. 4. Bilgi: Bir üçgende, iki kenarýn uzunluklarý toplamý üçüncü kenardan büyük, farký ise üçüncü kenardan küçüktür.

1. BÖLÜM. 4. Bilgi: Bir üçgende, iki kenarýn uzunluklarý toplamý üçüncü kenardan büyük, farký ise üçüncü kenardan küçüktür. 8. SINIF COÞMY SORULRI 1. ÖLÜM DÝKKT! u bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. 3. 1. 1 1 1 1 1 1 D E F 1 1 1 C 1 ir kenarý 1 birim olan 24 küçük kareden oluþan þekilde alaný 1 birimkareden

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

3. Çarpýmlarý 24 olan iki sayýnýn toplamý 10 ise, oranlarý kaçtýr? AA 2 1 1 2 1. BÖLÜM

3. Çarpýmlarý 24 olan iki sayýnýn toplamý 10 ise, oranlarý kaçtýr? AA 2 1 1 2 1. BÖLÜM 7. SINIF COÞMAYA SORULARI 1. BÖLÜM DÝKKAT! Bu bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. 3. Çarpýmlarý 24 olan iki sayýnýn toplamý 10 ise, oranlarý kaçtýr? 2 1 1 2 A) B) C) D) 3 2 3

Detaylı

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3 Matematik 1 - Alıştırma 1 A) Denklemler 1. Dereceden Denklemler 1) Verilen denklemlerdeki bilinmeyeni bulunuz (x =?). a) 4x 6 = x + 4 b) 8x + 5 = 15 x c) 7 4x = 1 6x d) 7x + = e) 5x 1 = 10x + 6 f) 0x =

Detaylı

4. 5. x x = 200!

4. 5. x x = 200! 8. SINIF COÞMY SORULRI 1. ÖLÜM 3. DÝKKT! u bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. 1. adým (2) 2. adým (4) 1. x bir tam sayý ve 4 3 x 1 7 5 x eþitsizliðinin doðru olmasý için x yerine

Detaylı

YAZILIYA HAZIRLIK TESTLERÝ TEST / 1

YAZILIYA HAZIRLIK TESTLERÝ TEST / 1 YAZILIYA HAZIRLIK TESTLERÝ TEST / 1 1. x +6x+5=0 5. x +5x+m=0 denkleminin reel kökü olmadýðýna göre, m nin alabileceði en küçük tam sayý deðeri kaçtýr? A) {1,5} B) {,3} C) { 5, 1} D) { 5,1} E) {,3} A)

Detaylı

1. Böleni 13 olan bir bölme iþleminde kalanlarýn

1. Böleni 13 olan bir bölme iþleminde kalanlarýn 4. SINIF COÞMAYA SORULARI 1. BÖLÜM 3. DÝKKAT! Bu bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. 1. Böleni 13 olan bir bölme iþleminde kalanlarýn toplamý kaçtýr? A) 83 B) 78 C) 91 D) 87

Detaylı

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR Fonksionlar ve Özel Tanımlı Fonksionlar Özel tanımlı fonksionlar konusu fonksionların alt bir dalıdır. Bu konuu daha ii anlaabilmemiz için fonksionlar ile ilgili bilgilerimizi

Detaylı

Aþaðýdaki tablodaki sayýlarýn deðerlerini bulunuz. Deðeri 0 veya 1 olan sayýlarýn bulunduðu kutularý boyayýnýz. b. ( 3) 4, 3 2, ( 3) 3, ( 3) 0

Aþaðýdaki tablodaki sayýlarýn deðerlerini bulunuz. Deðeri 0 veya 1 olan sayýlarýn bulunduðu kutularý boyayýnýz. b. ( 3) 4, 3 2, ( 3) 3, ( 3) 0 Tam Sayýlarýn Kuvveti Sýfýr hariç her sayýnýn sýfýrýncý kuvveti e eþittir. n 0 = (n 0) Sýfýrýn (sýfýr hariç) her kuvvetinin deðeri 0 dýr. 0 n = 0 (n 0) Bir sayýnýn birinci kuvveti her zaman kendisine eþittir.

Detaylı

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4.

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4. POLİNOMLAR I MATEMATİK. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? I. ( ) P = + II. ( ) P = + III. ( ) + + P = + 6. ( ) ( ) ( ) P = a b a + b sabit polinom olduğuna göre ( ) ( ) ( ) P a +P b +P 0 toplamı kaçtır?

Detaylı

BÖLÜM 1. stanbul Kültür Üniversitesi. Fonksiyonlar - Özellikleri ve Limit Kavram. ³eklinde tanmlanan fonksiyona Dirichlet fonksiyonu ad verilir.

BÖLÜM 1. stanbul Kültür Üniversitesi. Fonksiyonlar - Özellikleri ve Limit Kavram. ³eklinde tanmlanan fonksiyona Dirichlet fonksiyonu ad verilir. BÖLÜM 1 0, Q 1. f() = 1, R/Q, Fonksiyonlar - Özellikleri ve Limit Kavram ³eklinde tanmlanan fonksiyona Dirichlet fonksiyonu ad verilir. Buna göre a³a da verilen tanm bölgeleri altnda görüntü cümlelerini

Detaylı

3. FASÝKÜL 1. FASÝKÜL 4. FASÝKÜL 2. FASÝKÜL 5. FASÝKÜL. 3. ÜNÝTE: ÇIKARMA ÝÞLEMÝ, AÇILAR VE ÞEKÝLLER Çýkarma Ýþlemi Zihinden Çýkarma

3. FASÝKÜL 1. FASÝKÜL 4. FASÝKÜL 2. FASÝKÜL 5. FASÝKÜL. 3. ÜNÝTE: ÇIKARMA ÝÞLEMÝ, AÇILAR VE ÞEKÝLLER Çýkarma Ýþlemi Zihinden Çýkarma Ýçindekiler 1. FASÝKÜL 1. ÜNÝTE: ÞEKÝLLER VE SAYILAR Nokta Düzlem ve Düzlemsel Þekiller Geometrik Cisimlerin Yüzleri ve Yüzeyleri Tablo ve Þekil Grafiði Üç Basamaklý Doðal Sayýlar Sayýlarý Karþýlaþtýrma

Detaylı

Geometriye Y olculuk. E Kare, Dikdörtgen ve Üçgen E Açýlar E Açýlarý Ölçme E E E E E. Çevremizdeki Geometri. Geometrik Þekilleri Ýnceleyelim

Geometriye Y olculuk. E Kare, Dikdörtgen ve Üçgen E Açýlar E Açýlarý Ölçme E E E E E. Çevremizdeki Geometri. Geometrik Þekilleri Ýnceleyelim Matematik 1. Fasikül ÜNÝTE 1 Geometriye Yolculuk ... ÜNÝTE 1 Geometriye Y olculuk Çevremizdeki Geometri E Kare, Dikdörtgen ve Üçgen E Açýlar E Açýlarý Ölçme Geometrik Þekilleri Ýnceleyelim E E E E E Üçgenler

Detaylı

Kanguru Matematik Türkiye 2015

Kanguru Matematik Türkiye 2015 3 puanlýk sorular 1. Hangi þeklin tam olarak yarýsý karalanmýþtýr? A) B) C) D) 2 Þekilde görüldüðü gibi þemsiyemin üzerinde KANGAROO yazýyor. Aþaðýdakilerden hangisi benim þemsiyenin görüntüsü deðildir?

Detaylı

YAZILIYA HAZIRLIK SORULAR ve ÇÖZÜMLERİ

YAZILIYA HAZIRLIK SORULAR ve ÇÖZÜMLERİ _ i f: _-, A $ R, f() + - fonksionunun görüntü kümesini bularak grafiðini çiziniz - i _- i + _-i- ( - i -8- f _ i + - ( i + - b r - - - a - i _- i + _i - -- - + - _ + i - biçiminde azýlýrsa; TN_, - i olureksenleri

Detaylı

LYS - 1 GEOMETRÝ TESTÝ

LYS - 1 GEOMETRÝ TESTÝ LYS - 1 GMTRÝ TSTÝ ÝKKT : 1. u testte toplam 3 soru vardýr. 2. evaplamaa istediðiniz sorudan baþlaabilirsiniz. 3. evaplarýnýzý, cevap kaðýdýnýn Geometri Testi için arýlan kýsmýna iþaretleiniz.. Safalar

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

Kanguru Matematik Türkiye 2017

Kanguru Matematik Türkiye 2017 4 puanlýk sorular 1. Dünyanýn en büyük dairesel pizzasý 128 parçaya bölünecektir. Her bir kesim tam bir çap olacaðýna göre kaç tane kesim yapmak gerekmektedir? A) 7 B) 64 C) 127 D) 128 E) 256 2. Ali'nin

Detaylı

İçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1...

İçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1... İçindekiler. Türev......... Türev kavramı.. 00. Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 00. Alıştırmalar.... 005. Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan türevi..... 006.4 Bir fonksiyonun bir noktadaki

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

MATEMATÝK GEOMETRÝ DENEMELERÝ

MATEMATÝK GEOMETRÝ DENEMELERÝ NM 1 MTMTÝK OMTRÝ NMLRÝ 1. o o = 75 ve y = 5 olduğuna göre,. 3 + 8 = 0 sin( y)cos( + y) + sin( + y)cos( y) sin( y)sin( + y) cos( + y)cos( y) denkleminin kaç tane farklı reel kökü vardır? ifadesinin eşiti

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.S.S. 7 MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * (+i) işleminin sonucu nedir? A) + 8i B) - 8i C) 8 + i

Detaylı

3. Tabloya göre aþaðýdaki grafiklerden hangi- si çizilemez?

3. Tabloya göre aþaðýdaki grafiklerden hangi- si çizilemez? 5. SINIF COÞMY SORULRI 1. 1. BÖLÜM DÝKKT! Bu bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. Kazan Bardak Tam dolu kazandan 5 bardak su alýndýðýnda kazanýn 'si boþalmaktadýr. 1 12 Kazanýn

Detaylı

Geometri Çalýþma Kitabý

Geometri Çalýþma Kitabý LYS GMTRÝ ÇLIÞM ÝTI LYS Geometri Çalýþma itabý opyright Sürat asým Reklamcýlýk ve ðitim raçlarý San. Tic. Þ u kitabýn tamamýnýn ya da bir kýsmýnýn, kitabý yayýmlayan þirketin önceden izni olmaksýzýn elektronik,

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Tekrar Zamanı TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ÇÖZÜMLÜ TEST 1... 52 ÇÖZÜMLÜ TEST 2... 54 MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ. Uygulama Zamanı 1...

İÇİNDEKİLER. Tekrar Zamanı TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ÇÖZÜMLÜ TEST 1... 52 ÇÖZÜMLÜ TEST 2... 54 MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ. Uygulama Zamanı 1... İÇİNDEKİLER TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Teğet ve Normal Doğruların Eğimi... Teğet Doğrusunun Eğim Açısı... Teğet ve Normal Denklemleri... Eğrinin Teğetine Paralel ve Dik Doğrular... Grafikte Teğet I... 5

Detaylı

Fonksiyonlar ve Grafikleri

Fonksiyonlar ve Grafikleri Fonksionlar ve Grafikleri Isınma Hareketleri Aşağıda verilenleri inceleiniz. A f f(a) 7 çocuk baan f: Çocukları annelerine götürüor. Fonksion olma şartı: Her çocuğun annesi olmalı ve bir tane olmalı. (

Detaylı

Mantýk Kümeler I. MANTIK. rnek rnek rnek rnek rnek... 5 A. TANIM B. ÖNERME. 9. Sýnýf / Sayý.. 01

Mantýk Kümeler I. MANTIK. rnek rnek rnek rnek rnek... 5 A. TANIM B. ÖNERME. 9. Sýnýf / Sayý.. 01 Matematik Mantýk Kümeler Sevgili öðrenciler, hayatýnýza yön verecek olan ÖSS de, baþarýlý olmuþ öðrencilerin ortak özelliði, 4 yýl boyunca düzenli ve disiplinli çalýþmýþ olmalarýdýr. ÖSS Türkiye Birincisi

Detaylı

Kümeler II. KÜMELER. Çözüm A. TANIM. rnek... 3. Çözüm B. KÜMELERÝN GÖSTERÝLMESÝ. rnek... 1. rnek... 2. rnek... 4. 9. Sýnýf / Sayý..

Kümeler II. KÜMELER. Çözüm A. TANIM. rnek... 3. Çözüm B. KÜMELERÝN GÖSTERÝLMESÝ. rnek... 1. rnek... 2. rnek... 4. 9. Sýnýf / Sayý.. Kümeler II. KÜMLR. TNIM Küme, bir nesneler topluluðudur. Kümeyi oluþturan nesneler herkes tarafýndan ayný þekilde anlaþýlmalýdýr. Kümeyi oluþturan nesnelerin her birine eleman denir. Kümeyi genel olarak,,

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon İçindekiler Cebir 1. Fonksiyonlar....... 1.1 Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi...... 1.1.1 Fonksiyon.. 1.1. Görüntü Kümesi... 1.1.3 Eşit Fonksiyonlar. 1.1.4 Fonksiyonun Gösterimi. 1.1.4.1 Liste

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 10

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 10 LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GOMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SORU KİTPÇIĞI 0 U SORU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SORULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak Akıl LYS MATEMATİK DENEME SINAVI 0505- Ortak Akıl Adem ÇİL Ali Can GÜLLÜ Ayhan YANAĞLIBAŞ Barbaros GÜR Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN

Detaylı

LYS MATEMATÝK II. Polinomlar. II. Dereceden Denklemler

LYS MATEMATÝK II. Polinomlar. II. Dereceden Denklemler LYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçığı 1 (MF - TM) Polinomlar II. Dereceden Denklemler Bu yayýnýn her hakký saklýdýr. Tüm haklarý bry Birey Eðitim Yayýncýlýk Pazarlama Ltd. Þti. e aittir. Kýsmen de

Detaylı

TEST. 8 Ünite Sonu Testi m/s kaç km/h'tir? A) 72 B) 144 C) 216 D) 288 K 25 6 L 30 5 M 20 7

TEST. 8 Ünite Sonu Testi m/s kaç km/h'tir? A) 72 B) 144 C) 216 D) 288 K 25 6 L 30 5 M 20 7 TEST 8 Ünite Sonu Testi 1. 40 m/s kaç km/h'tir? A) 72 B) 144 C) 216 D) 288 2. A noktasýndan harekete baþlayan üç atletten Sema I yolunu, Esra II yolunu, Duygu ise III yolunu kullanarak eþit sürede B noktasýna

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012 Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi e Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.8. ta rih ve sa ı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve - Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren u gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır

Detaylı

TRİGONOMETRİ Test -1

TRİGONOMETRİ Test -1 TRİGONOMETRİ Test -. y. y K O O. nalitik düzlemde verilen O merkezli birim çemberde hangi noktanın koordinatları (0, ) dir? (O noktası orijindir.) O y [OK] açıortay olmak üzere, nalitik düzlemde verilen

Detaylı

Çalışma Soruları(MAT-117)-Harita Mühendisliği Bölümü(2015)-Ara Sınav

Çalışma Soruları(MAT-117)-Harita Mühendisliği Bölümü(2015)-Ara Sınav Çalışma Soruları(MAT-117)-Harita Mühendisliği Bölümü(015)-Ara Sınav S-1) Merkezi M(, 1) de olan ve 4y + 1 = 0 doğrusundan 4 birimlik bir kiriş ayıran çemberin S-) Merkezi M(,4) de olan ve + 5y 10 = 0 doğrusundan

Detaylı

Kanguru Matematik Türkiye 2015

Kanguru Matematik Türkiye 2015 3 puanlýk sorular 1. Ayla 1997 ve kardeþi Cemile 2001 yýlýnda doðmuþtur. Bu iki kýz kardeþin yaþlarý farký için aþaðýdakilerden hangisi her zaman doðrudur? A) 4 yýldan azdýr B) en az 4 yýldýr C) tam 4

Detaylı

LĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7

LĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7 YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS ÖYS LĐMĐT Tanım : Bir x0 A = [ a,b ] alalım, f: A R ye veya f: A - { x 0 } R ye bir fonksiyon olsun. Terimleri A - { x 0 } kümesine ait ve x

Detaylı

Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN

Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYIN KURULU Hazırlayanlar Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK

Detaylı

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No. MATEMATÝK - II KARMAÞIK SAYILAR - II MF TM LYS 3 Ders anlatým föleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar

Detaylı

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir?

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir? MC www.matematikclub.com, 006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir3@ahoo.com.tr. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler- TEST I A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 1. 1/ = 0 denkleminin köklerinin toplamı aşağıdakilerden

Detaylı

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 996 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır? A) B) 8 C) 6 D) E) Çözüm Toplam öğrenci

Detaylı

LYS MATEMATİK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ

LYS MATEMATİK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ Ders Adı.ınıf Mezun LY MATEMATİK KONU ANLATIM FAİKÜLÜ TÜREV KAF 0 Konu Bir doğrunun eğimi dik koordinat sisteminde X ekseni ile aptığı pozitif önlü açının tanjantıdır. Örneğin, şekilde verilen d doğrusunun

Detaylı

Bir değişkenin bir sabite mümkün olduğu kadar çok yaklaşması durumu ancak onun limitiyle ifade edilebilir.

Bir değişkenin bir sabite mümkün olduğu kadar çok yaklaşması durumu ancak onun limitiyle ifade edilebilir. LİMİT VE SÜREKLİLİK A- LİMİTLER Bir top 10 metre yükseklikten bırakılmaktadır. Top yere vurduktan sonra ilk yüksekliğin 2/5 i kadar sıçramakta ve bunu her yükseliş için devam ettirmektedir. Topun sıçrayacağı

Detaylı

MODÜLER ARÝTMETÝK TEST / 1

MODÜLER ARÝTMETÝK TEST / 1 MODÜLER ARÝTMETÝK TEST / 1 1. m Z, x y(mod m) ise xy=m.k, k Z olduðuna göre, aþaðýdaki eþitliklerden hangisi yanlýþtýr? 5. 3x+1 2(mod 7) olduðuna göre, x in en küçük pozitif tam sayý deðeri kaçtýr? A)

Detaylı

Örnek...1 : f (x)=2x 2 5x+6 parabolü K(2,p) noktasından geçiyorsa p kaçtır? Örnek...2 : Aşağıda çeşitli parabol grafikleri verilmiştir incele yi niz.

Örnek...1 : f (x)=2x 2 5x+6 parabolü K(2,p) noktasından geçiyorsa p kaçtır? Örnek...2 : Aşağıda çeşitli parabol grafikleri verilmiştir incele yi niz. a, b,c R,a 0 olmak koşulula f ()=a 2 +b+c fonksionuna ikinci dereceden bir değişkenli fonksion ve bu fonksionun belirttiği eğrie de parabol denir. Uarı ir parabolün grafiği başkatsaı olan a saısına bağlı

Detaylı

LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI

LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI LYS- MATEMATİK (MF-TM). Bu testte Matematik ile ilgili soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz..

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No MATEMATÝK - II POLÝNOMLAR - IV MF TM LYS1 04 Ders anlatým föyleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar çalýþýlmalýdýr

Detaylı

Trigonometrik Fonksiyonlar

Trigonometrik Fonksiyonlar Trigonometrik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 6 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; açı kavramını hatırlayacak, açıların derece ölçümünü radyan ölçümüne ve tersine çevirebilecek, trigonometrik

Detaylı

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7.

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik -Bilgisayar Bölümü MB00 Analiz I 3 Aralık 03 Final Sınavı Öğrenci Numarası: Adı Soyadı: - Taatlar: Sınav süresi 0 dakikadır. İlk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz.

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte 5 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. - - ^- h + c- m - (-5 )-(- ) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) 5 E).

Detaylı

MATEMAT IK-I (SORULAR)

MATEMAT IK-I (SORULAR) Part I MATEMAT IK-I (SORULAR) SAYILAR. irrasyonel midir?. 7 say s n n irrasyonel oldu¼gunu gösteriniz. (Gauss Teoremini kullan n z.) 3. + 3 say s n n irrasyonel oldu¼gunu gösteriniz. (Gauss Teoremini kullan

Detaylı

LYS - 1 MATEMATÝK TESTÝ

LYS - 1 MATEMATÝK TESTÝ LYS - 1 MATEMATÝK TESTÝ DÝKKAT : 1. Bu ese oplam 50 soru vardýr.. Cevaplamaa isediðiniz sorudan baþlaabilirsiniz.. Cevaplarýnýzý, cevap kaðýdýnýn Maemaik Tesi için arýlan kýsmýna iþareleiniz.. Safalar

Detaylı

Yönergeyi dikkatlice oku. Gözden hiçbir þeyi kaçýrmamaya dikkat et. Þifrenin birini testin iþaretlenen yerine ( Adayýn Þifresi ), diðer þifreyi de

Yönergeyi dikkatlice oku. Gözden hiçbir þeyi kaçýrmamaya dikkat et. Þifrenin birini testin iþaretlenen yerine ( Adayýn Þifresi ), diðer þifreyi de ADAYIN ÞÝFRESÝ Eðitimi Geliþtirme Dairesi DENEME DEVLET OLGUNLUK SINAVI ÖÐRENCÝLERÝN BÝLGÝ VE BECERÝLERÝNÝ DEÐERLENDÝRME SEKTÖRÜ Öðrencilerin Bilgi Ve Becerilerini Deðerlendirme Sektörü BÝRÝNCÝ deðerlendiricinin

Detaylı

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674 kapak sayfası İÇİNDEKİLER 7. ÜNİTE POLİNOMLAR Polinom Kavramı ve Polinomlarda İşlemler... 4 Polinom Kavramı... 4 9 Polinomlarda İşlemler... 9 Konu Testleri - - - 4-5... 6 Polinomlarda Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

KÖKLÜ SAYILAR TEST / 1

KÖKLÜ SAYILAR TEST / 1 KÖKLÜ SAYILAR TEST / 1 1. Aþaðýdakilerden hangisi reel sayý deðildir? A) B) C) 0 D) 8 E). 6 2 9 A) 16 B) 18 C) 20 D) 2 E) 0 2. Aþaðýdakilerden hangisi irrasyonel sayýdýr? 6. Aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr?

Detaylı

LYS GEOMETRÝ. Doðruda Açýlar Üçgende Açýlar Açý - Kenar Baðýntýlarý Dik Üçgen ve Öklit Baðýntýlarý

LYS GEOMETRÝ. Doðruda Açýlar Üçgende Açýlar Açý - Kenar Baðýntýlarý Dik Üçgen ve Öklit Baðýntýlarý LYS GEOMETRÝ Soru Çözüm ersi Kitapçığı 1 (MF - TM) oðruda çýlar Üçgende çýlar çý - Kenar aðýntýlarý ik Üçgen ve Öklit aðýntýlarý Ýkizkenar ve Eþkenar Üçgen Üçgende lan u yayýnýn her hakký saklýdýr. Tüm

Detaylı

Doðruda Açýlar Üçgende Açýlar Açý - Kenar Baðýntýlarý Dik Üçgen ve Öklit Baðýntýlarý Ýkizkenar ve Eþkenar Üçgen Üçgende Alan

Doðruda Açýlar Üçgende Açýlar Açý - Kenar Baðýntýlarý Dik Üçgen ve Öklit Baðýntýlarý Ýkizkenar ve Eþkenar Üçgen Üçgende Alan Ödev Tarihi :... Ödev Kontrol Tarihi :... Kontrol den :... LYS GOMTRİ Ödev Kitapçığı 1 (M-TM) oðruda çýlar Üçgende çýlar çý - Kenar aðýntýlarý ik Üçgen ve Öklit aðýntýlarý Ýkizkenar ve þkenar Üçgen Üçgende

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

Kanguru Matematik Türkiye 2017

Kanguru Matematik Türkiye 2017 3 puanlýk sorular. Aþaðýdaki þekilde her kutudaki sayý altýndaki iki kutuda bulunan sayýlarýn toplamýna eþittir. Soru iþaretinin bulunduðu kutudaki sayý kaçtýr? 2039 2020? 207 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI

MATEMATİK SORU BANKASI Bu kitap tarafından hazırlanmıştır. MATEMATİK SORU BANKASI ISBN-978-605-6067-8- Sertifika No: 748 Konu Kavrama s e r i s i Üniversiteye Hazırlık & Okula Yardımcı Bu kitabın tüm basım ve yayın hakları na

Detaylı

Polinomlar II. Dereceden Denklemler

Polinomlar II. Dereceden Denklemler Ödev Tarihi :... Ödev Kontrol Tarihi :... Kontrol Eden :... LYS MATEMATİK - II Ödev Kitapçığı 1 (MF-TM) Polinomlar II. Dereceden Denklemler Adý Soyadý :... BÝREY DERSHANELERÝ MATEMATÝK-II ÖDEV KÝTAPÇIÐI

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08 LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SRU KİTPÇIĞI 08 U SRU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SRULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik Testi

Detaylı