BÖLÜM 5 TÜREV ALMA KURALLARI

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "BÖLÜM 5 TÜREV ALMA KURALLARI"

Transkript

1 BÖLÜM 5 TÜREV ALMA KURALLARI ~ Türevin Tanýmý ~ Saðdan ve Soldan Türev ~ Türevin Süreklilikle Ýliþkisi ~ Türev Alma Kurallarý ~ Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi ~ Alýþtýrmalar ~ Test ~ Türevde Zincir Kuralý ~ Bileþke ve Ters Fonksiyonun Türevi ~ Trigonometrik Fonksiyonun Türevi ~ Ters Trigonometrik Fonksiyonun Türevi ~ Alýþtýrmalar ~ Test ~ Kapalý Fonksiyonun Türevi ~ Parametrik Fonksiyon Türevi ~ Logaritmik Fonksiyon Türevi ~ Üstel Fonksiyon Türevi ~ Yüksek Mertebeden Türev ~ Diferansiyel Kavramý ~ Alýþtýrmalar ~ Test ~ Karma Test - - ~ ÖSYM Sorularý

2 Ýsterdim ki... Kavgayý bir aðacýn yapraðýna yazmak isterdim, Sonbahar gelince yapraklar kurusun diye... Öfkeyi bir bulutun üstüne yazmak isterdim; Yaðmur yaðsýn bulut yok olsun diye... Nefreti karlarýn üstüne yazmak isterdim; Güneþ açsýn, karlar erisin diye... Dostluðu ve sevgiyi yeni doðan bebeklerin yüreðine yazmak isterdim; Onlar büyüsün, dünyayý sarsýn diye... Türev Günün birinde birkaç fonksiyon bir kafede oturmuþ, sýfýra ne kadar hýzla yakýnsadýklarý gibi konular üzerinde tartýþýyorlarmýþ. Derken içlerinden biri kapýya bakarak aniden, baðýrmýþ, Dikkat türev geliyor! Hepsi apar topar sandalyelerinin altýna saklanmýþlar, ancak e hiç istifini bozmamýþ. Türev aðýr adýmlarla içeri girmiþ ve tek baþýna oturan fonksiyonu görüp sen benden korkmuyor musun? demiþ. Hayýr, ben e im diye yanýtlamýþ kendine güvenen bir tavýrla. Yaa demiþ türev. Peki benim e göre türev alacaðýmý kim söyledi?

3 Türev Alma Kurallarý. TÜREVÝN TANIMI f : A R, y = f() fonksiyonu a A da sürekli olmak üzere, lim f() f(a) a a limiti bir reel sayýya eþitse; bu deðere f() fonksiyonunun = a noktasýndaki türevi denir. y = f() fonksiyonunun = a noktasýndaki türevi f ý df dy (a) veya (a), sembollerinden d d = a biri ile gösterilir. d Burada e türev alma oparatörü denir. d Türev alma iþlemi deðiþik biçimde þöyle ifade edilebilir. h > 0 olmak üzere; = a + h a = h olur. a ( a) 0 olur. h 0 olur. Burada f() fonksiyonunun = a noktasýndaki türevi, ý f() f(a) f(a + h) f(a) f(a) = lim = lim a a h 0 h Eðer yukarýdaki limit bir reel sayý deðerine eþit deðilse fonksiyonun = a noktasýnda türevi yoktur denir. Buna göre, f() fonksiyonunun herhangi bir deðeri için türevi, ý f( + h) f() f() = lim h 0 h þeklinde gösterilmektedir. Örnek f : R R ve f() = fonksiyonunun = noktasýndaki türevini bulunuz. Çözüm f() = f() = () = 5 ý f() f() f() = lim O halde f ý () = 8 bulunur. Örnek f : R R ve f() = + fonksiyonunun herhangi bir deðeri için türevini tanýmdan yararlanarak bulunuz. Çözüm ý f( + h) f() f() = lim h 0 h O halde f ý () = 6 bulunur. Örnek f : R + R ve f() = ñ fonksiyonunun herhangi bir deðeri için türevini tanýmdan yararlanarak bulunuz. Çözüm ý f() 5 = lim ( 4) = lim ( ) ( + ) = lim ( ) = lim ( + ) = ( + ) = 8 ( + h) + ( + ) = lim h 0 h + 6h + h + = lim h 0 h 6h + h = lim h 0 h h(6 + h) = lim h 0 h = lim (6 + h) = = 6 h 0 f( + h) f() = lim h 0 h + h = lim h 0 h 5

4 Türev Alma Kurallarý dir. Örnek 4 f : R + R ve f() = sin fonksiyonunun herhangi bir deðeri için türevini tanýmdan yararlanarak bulunuz. Çözüm ý f() = ý f() ( + h ) ( + h + ) = lim h 0 h( + h+ ) + h = lim h 0 h( + h + ) = lim h 0 + h + = = ) f( + h) f() = lim h 0 h sin( + h) sin = lim h 0 h sin cosh + sinh cos sin = lim h 0 h sin (cosh ) sinh.cos = lim + h 0 h h cosh sinh = sin lim + cos lim h 0 h h 0 h (cosh ).(cosh + ) = sin lim + cos h 0 h(cosh + ) sin h = sin lim + cos h 0h( + cosh) sinh sinh = sin lim + cos h 0 h + cosh = sin ( 0) + cos = cos bulunur.. SAÐDAN VE SOLDAN TÜREV A R, a A, f : A R ye tanýmlý f() fonksiyonu verilsin. i) limitinin bir reel sayý deðeri varsa buna f() in = a noktasýndaki saðdan türevi denir ve f ý (a + ) þeklinde gösterilir. ii) Çözüm f() f(a) lim + a a f() f(a) lim a a limitinin bir reel sayý deðeri varsa bu deðere f() in = a noktasýndaki soldan türevi denir ve f ý (a ) þeklinde gösterilir. = a noktasýnda f() in saðdan ve soldan türevleri birbirine eþit ise fonksiyonun bu noktada türevi vardýr denir. f ý (a + ) = f ý (a ) = f ý (a) dýr. Limitte olduðu gibi saðdan ve soldan türevler özel tanýmlý fonksiyonlarda uygulanýr. Örnek 5, < f() =, fonksiyonunun = noktasýndaki türevi nedir? ý + f() f() 0 f( ) = lim = lim + + ( )( + ) = lim = lim ( + ) = + ( ) + ý f() f() 0 f() = lim = lim = O halde, f() = sin ise f ý () = cos dir. f ý ( + ) f ý ( ) olduðundan f() fonksiyonunun = noktasýnda türevi yoktur. 5

5 Türev Alma Kurallarý Örnek 6 f : R R ye tanýmlý, fonksiyonunun o = 0 noktasýnda türevi nedir? Çözüm = 0 noktasýnda saðdan ve soldan türevleri farklý olduðundan f() in bu noktada türevi yoktur, fakat fonksiyon = 0 noktasýnda süreklidir. Örnek 7 f : R R ye tanýmlý, fonksiyonunun o = noktasýnda türevi nedir? Çözüm ý + ý f() f() f( ) = f() = lim olduðundan f() fonksiyonu = noktasýnda türevi vardýr ve f ý () = dir. = nok- olduðundan f() fonksiyonu o tasýnda süreklidir. Örnek 8, 0 f() =, > 0 ý + f() f(0) 0 f(0 ) = lim = lim = dir ý f() f(0) 0 f(0 ) = lim = lim = lim = 0 bulunur. 0 +, için f() =, = için + = lim = lim = lim f() = lim f() = lim ( + ) = = f() + +, f() = 6, =, < fonksiyonunun = noktasýnda türevi var mýdýr? Çözüm f() = 6 ý + f() f() f( ) = lim + ý f() f() f( ) = lim f ý ( + ) f ý ( ) olduðundan f() in = noktasýnda türevi yoktur. Burada, f() fonksiyonunun = noktasýnda sürekli olduðuna dikkat ediniz. Sürekli olan her fonksiyon ayný noktada türevlenemeyebilir.. TÜREVÝN SÜREKLÝLÝK ÝLE ÝLÝÞKÝSÝ Teorem: f : [a, b] R ve c [a, b] olsun. Eðer f() fonksiyonu = c noktasýnda türevi varsa bu noktada süreklidir. Ýspat : f() in = c noktasýnda türevi olduðundan, f() f(c) h() = ( c) c lim h() c = ý f (c) dir. Buradan, alýnýrsa, f() lim f() = lim f(c) + lim f( c) h() f(c) = ( c) h() c c c f() = f(c) = f(c) + ( + limc) f( h() c) lim h() c c her iki tarafýn limitini alalým. = f(c) + 0 h(c) = f(c) lim f() = f(c) c + 6 = lim + ( + )( ) = lim + ( ) 6 = lim ( ) ( + ) = lim = 8 bulunur. ( ) bulunur. = 5 bulunur. 5

6 Türev Alma Kurallarý Bu da f() fonksiyonunun = c noktasýnda sürekli olduðunu gösterir. Bu teoremden þu sonuçlar çýkartýlabilir. Sonuç : f() fonksiyonu herhangi bir o noktasýnda sürekli deðilse o noktada türevlenemez. y f() = de f() süreksiz = de türevi yok Gerçekten yukarýda verilen noktalarda teðetlerin çizilemediðini veya teðet çizildiðinde bu teðetlerin farklý olduðu görülür. y f() = de f() süreksiz = de türevi yok Örnek 9 + f() = fonksiyonunun türevsiz olduðu noktalarý bulunuz. Çözüm f() fonksiyonu süreksiz olduðu noktalarda türevi yoktur. Bundan dolayý fonksiyonun tanýmsýz olduðu noktalarý bulalým. = 0 ( 4)( + ) = 0 4 = 0 + = 0 = 4 = bulunur. O halde f() fonksiyonu = 4 ve = apsisli noktalarda süreksiz, dolayýsýyla bu noktalarda türevi yoktur. Sonuç : f() fonksiyonu o noktasýnda sürekli olsa bile bu noktada türevi olmayabilir. y f() Örnek 0 f() = + a a + fonksiyonunun türevsiz olduðu noktalarýn 5 apsisleri toplamý ise a nýn deðeri kaç- 4 týr? 4 d d = 4 noktasýnýn solunda artan saðýnda azalan veya saðdan teðet d soldan teðet d olup d d olduðundan fonksiyon = 4 noktasýndaki saðdan ve soldan türevleri farklýdýr, dolayýsýyla o noktada fonksiyonun türevi yoktur. Çözüm f() in süreksiz olduðu noktalarda türevinin olmadýðýný biliyoruz. Buna göre; a = 0 a + = 0 = = a a Yukarýdaki örneði inceleyiniz. Uyarý: Bir fonksiyon sürekli olup, türevi olmadýðý noktalara kýrýlma noktasý denir. türevsiz olduðu noktalarýn toplamý; = = = olur. a a a a Buradan, 5 5 = a = bulunur. a 4 54

7 Türev Alma Kurallarý 4. TÜREV ALMA KURALLARI Türevin tanýmýný kullanarak bir fonksiyonun türevini almak uzun iþlemler gerektirebilir. Bundan dolayý bir fonksiyonun türevini kýsa yoldan bulmamýzý saðlayacak kurallarý göreceðiz. ) Sabit fonksiyonun türevi : f : R R, f() = c, c R olmak üzere, n n n n + n. h h = lim h 0 h n n n. h h = lim h 0 h n n h[ n h ] = lim h 0 h n = n n = n. f() = c ise f ý () = 0 Sabitin türevi sýfýrdýr. dýr. ý n f () = n. bulunur. Ýspat : ý f() f(c) c c f() = lim = lim h 0 h h 0 h 0 = lim = lim 0 = 0 dýr. h 0 h h 0 Örnek ~ f() = f ý () = ~ f() = 5 4 f ý () = 5 4 = 0 ~ ý y = = y = = Örnek ~ f() = ý f() = 0 ~ ý y = y = = ~ f() = t + ~ f(t) = + k ý dy f() = = 0 d ý dy f(t) = = 0 dt ~ y = a 5 ~ y = a 5 ~ y = t dy a 5 4 = d dy 5 = a da dy = t dt ) Bir polinomum türevi : n R {0}, f : R R, f() = n ~ y = t ~ y = a. dy = 0 dc dy = a d f() = n ise f ý () = n n dir. ~ y = t. dy = dt Ýspat: n n ý f( + h) f() ( + h) f() = lim = lim h 0 h h 0 h n n n n n n n ( 0) + ( ) h ( n)h = lim h 0 h ) Fonksiyonlarýn toplamýnýn veya farkýnýn türevi : f ve g türevlenebilen iki fonksiyon olmak üzere, ý ý ý F() = f() g() F () = f () g () 55

8 Türev Alma Kurallarý Ýspat : ý F() = lim h 0 [ f( + h) g( + h) ] [ f() g() ] f( + h) f() g( + h) g() = lim h 0 h f( + h) f() g( + h) g() = lim lim h 0 h h 0 h ý ý h = f () g () bulunur. Örnek 6 Çözüm f() = ve g() = + olduðuna göre, (f + g) ý () nin eþiti nedir? ý ý f() = f() = = 0 ý g() = + g() = + = 5 ý ý ý (f + g) () = f () + g () ý = = 5 bulunur. Örnek ~ f() = + 4 f ý () = ~ f() = c k + t f ý () = c k + 0 ~ f() = a b f ý () = a a b b ~ y = k t + dy t = kt + d ~ y = a b + t dy b = ab + 0 d 4) Ýki fonksiyonun çarpýmýnýn türevi : f ve g fonksiyonlarý (a, b) aralýðýnda türevlenebilen iki fonksiyon ise f g fonksiyonu da ayný aralýkta türevlenebilir. F() = f().g() ý ý ý F () = f () g() + f() g () Örnek 4 f() = + ise f ý () in eþiti nedir? Çözüm ý f() = + ý f () = () + = bulunur. ý (f g)( + h) (f g)() (f g) () = lim h 0 h f( + h) g( + h) f() g( + h) + f() g( + h) f() g() = lim h 0 h [f( + h) f()] g( + h) +[ g( + h) g()] f() = lim h 0 h [f( + h) f()] g( + h) g() = lim g( + h) + lim f() h 0 h h 0 h Ýspat: ý ý = f() g() + g () f() bulunur. Örnek 5 f() = a ve f ý () = 6 ise a nýn eþiti kaçtýr? Çözüm ý f() = a f() = a = 6 ý a = 8 a = 4 bulunur. Uyarý : ~ f() = c g() f ý () = c g ý () ~ f() = [g()] f ý () = g() g ý () ~ f() = [g()] f ý () = [g()] g () ~ f() = [g()] n f ý () = n [g()] n g ý () 56

9 Türev Alma Kurallarý Örnek 7 Örnek 8 ~ y = ( ) y ý = ( ) ~ y = ( + ) y ý = ( + ) + = + ~ y = ( ) ( ) ise y ý eþiti nedir? y ý = ( ) + (4 ) ( ) h() = ( )( ) ise h ý () nin eþiti nedir? f( + h) f() = lim g() h 0g( h) g() + h g( + h) g() f() h f(+ h) f() = lim lim g() h 0 h 0 h [ g() ] [ g() ] g( + h) g() f() lim h 0 h lim ý ý = f () g() g () f() h 0 Çözüm h ý () = ( )( ) + ( ) ( ) = ý ý f () g() g () f() [ g() ] dir. h ý () = ( )( ) + ( ) ( ) h ý () = ( ) + ( 4) 6 h ý () = 4 = 5 dir. 5) Ýki fonksiyonun bölümününün türevi : f ve g, (a, b) aralýðýnda türevlenebilen iki f fonksiyon ve g() 0 ise fonksiyonu da g ayný aralýkta türevlenebilir. f() ý f () g() F() F () g () = = f() g() Ýspat : ý ý [ g() ] Örnek 9 ~ ~ ~ + f() = + f() = f() = 4 ý ( + ) ( + ) f() = ( + ) ý 0 f() = = 4 ý 0 4 f() = = dir. 4 5 ( ) ~ f() = + ise f ý () in eþiti nedir? + ý ( + ) ( ) f() = + 6 ( + ) ý F() f f ( + h) () g g = lim h 0 h f( + h) f() g( + h) g() = lim h 0 h Uyarý: ~ a + b ý ad y = y = bc c + d (c + d) a + b + c ~ y = m + n + t Bu ifadenin pay kýsmýna f() g() ifadesini bir çýkartýp bir de eklediðimizde, = lim h 0 f( + h) g() g( + h) f() = lim h 0 g( + h) g() h [ f( + h) f() ] g() f() [ g( + h) g() ] g( + h) g() h ý y = a b a c b c + + m n m t n t (m + n + t) ý (an bm) + (at cm) + (bt cn) y = (m + n + t) 57

10 Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi Örnek 0 Çözüm ise f ý () in deðeri kaçtýr? 5. ÖZEL TANIMLI FONKSÝYONLARIN TÜREVLERÝ Özel tanýmlý fonksiyonlar her yerde sürekli deðildir. Dolayýsýyla süreksiz olduðu yerde türevlenemezler. Fonksiyonun verilen bir noktada türevinin olabilmesi için, i) fonksiyon verilen noktada sürekli olmalý ii) fonksiyon verilen noktada saðdan ve soldan türevleri birbirine eþit olmalýdýr. A) PARÇALI FONKSÝYONUN TÜREVÝ Örnek f() = ý f() = ( ) ý ( 6 + 6) + (0 ) + ( 0 + 8) f() = ( ) ý 6 f() = ( ) ý 6 4 f () = = = bulunur. ( ) +, f() = +, < f() fonksiyonunun = noktasýnda türevi varsa bulunuz. Çözüm f() fonksiyonu = noktasýnda sürekli olduðundan türevlenebilir. O halde, f() f() + ý + f ( ) = lim ve f() = olduðundan, Örnek lim lim (+ )( ) = = ( ) = lim ( + ) = + = + _ ý f() f() f() = lim,f() = _ >, f() = 6, =, < + ( )( + + ) = lim = lim ( ) _ = lim ( + + ) = + + = ý + _ f() = f( ) = olduðundan ý f () = bulunur. ý f() fonksiyonunun = noktasýndaki türevi varsa bulunuz. Çözüm f() fonksiyonu = noktasýnda sürekli olduðundan türevine bakýlabilir. ý + f() f() f ( ) = lim ve f() = 6 olduðundan, + 6 ( + )( ) = lim = lim + + ( ) = lim ( + ) =. + = 7 + _ ý f() f() f( ) = lim _ 6 = lim = lim _ _ ( )( + + 4) = lim _ ( ) = lim ( + + 4) = = _ O halde f ý ( + ) f ý ( _ ) olduðundan f() in = noktasýnda türevi yoktur. 58

11 Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi B) MUTLAKDEÐER FONKSÝYONUN TÜREVÝ g : A R, f() = g() a A, g(a) 0 olmak üzere; ý g(), g(a) < 0ise ý ý y = f () = ý g(), g(a) > 0ise ~ g(a) = 0 için f() in = a noktasýndaki saðdan ve soldan türevleri eþit ise fonksiyonun = a noktasýnda türevi vardýr, aksi takdirde türevi yoktur. ~ mutlak deðer fonksiyonun içi tamkare ise mutlak deðerin içini sýfýr yapan noktada saðdan ve soldan türevleri genelde eþit çýkacaktýr. Örnek 4 Çözüm f() = _ fonksiyonunun = ve = noktalarýndaki türevini bulunuz. Örnek 5 = için _ > 0 olduðundan f() = _ f ý () = _ f ý () = _. = 0 = için _ < 0 olduðundan f() = _ + f ý () = _ + f() = _ f ý () = _ +. = 4 fonksiyonunun = noktasýndaki türevini bulunuz. Çözüm Örnek f() = _ fonksiyonunun türevinin kuralýný bulunuz. Çözüm f() in _ = 0 ise = noktasýndaki türevine bakalým., > f() = +, < > ise f ý () = ve f ý ( + ) = < ise f ý () = _ ve f ý ( _ ) = _ f ý ( + ) f ý ( _ ) olduðundan = de türevi yoktur., > ise ý f () = yoktur, = ise, < ise Uyarý : Mutlak deðer fonksiyonu türevi alýnacak noktada önce tanýmlanýr, sonra türevi alýnýr. Daha sonra verilen nokta türevde yerine yazýlýr. = için f() = _ = 0 = 0 olduðundan = nin saðýnda ve solunda fonksiyon ayný deðeri alacaðýndan = için saðdan ve soldan türevler daima birbirine eþittir. Örnek 6 ý f() = lim f() = =. ( ) f : R [ _, ] ve f() = cos noktalarýn- π fonksiyonunun = ve = π daki türevlerini bulunuz. Çözüm ~ π = için cos > 0 olduðundan f() = cos f() f() = lim. ( ) = lim = lim.( ) = 0 bulunur. f ý () = _ sin 59

12 Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi ý π π f = sin = ~ = π için cos < 0 olduðundan f() = Sgn(g()) ise, 0, g(a) 0 ise ý f(a) = yoktur, g(a) = 0 ise f() = _ cos f ý (π) = sinπ = 0 f ý () = sin ise Ýþaret fonksiyonu iþaret deðiþtirdiði noktada sýçrama yaptýðýndan süreksizdir dolayýsýyla türevlenemez. Örnek 7 f : IR IR, f() = _ 9 + fonksiyonu verildiðine göre f ýý () kaçtýr? Çözüm = için mutlakdeðerin içi negatif f() = _ f ý () = _ + f ýý () = _ 6 + f ýý () = _ 6. + = _ 0 Örnek 9 f() = Sgn( 6) fonksiyonunun türevsiz olduðu noktalarý bulunuz. Çözüm 6 = 0 ( _ )( + ) = 0 = ve = _ Örnek 8 f() = _ fonksiyonunun = noktasýnda türevini bulunuz. y Çözüm = noktasý mutlakdeðerin içini sýfýr yapan bir deðer olduðundan kritik noktadýr. = için saðdan ve soldan türevler farklý olacaðýndan f ý ( + ) f ý ( _ ) dýr. Dolayýsýyla bu noktada f() in türevi yoktur. = noktasýnýn dýþýndaki noktalarda türevleri vardýr. C) ÝÞARET FONKSÝYONUNUN TÜREVÝ g : A R, a A, f() = Sgn(g()) fonksiyonu verilsin. Eðer f() = Sgn(g()) fonksiyonu, ~ = a noktasýnda sürekli ise bu nokta da türevi vardýr ve bu türev sýfýrdýr. (sabitin türevi sýfýr olduðundan) ~ = a noktasýnda f() sürekli deðilse bu noktada türevi yoktur. f() fonksiyonu = ve = _ de iþaret deðiþtiriyor. Grafikte görüldüðü gibi fonksiyon bu noktalarda sýçrama yapmýþtýr. Dolayýsýyla süreksizdir. O halde türevi yoktur. Örnek 0 _ f() = + Sgn( _ ) fonksiyonunun = ve = noktalarýndaki türevlerini bulunuz. Çözüm = ve = için _ 0 dýr. O halde bu noktalar f() in kritik noktasý (iþaret deðiþtirdiði) noktalar deðildir. = için f() = _ f ý () = f ý () =. = = için f() = + f ý () = f ý () =. = 7 bulunur. 60

13 Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi Örnek f() = ( _ ). Sgn( _ ) fonksiyonunun = noktasýnda türevi var mýdýr? Çözüm i) = de f() sürekli midir? ii) [ ] lim f() = lim ( )Sgn( ) = ( ). = [ ] lim f() = lim ( )Sgn( ) = ( ).( ) = 0 = için f() = 0 olduðundan bu noktada f() süreklidir. O halde f() in = noktasýnda saðdan ve soldan türevlerine bakalým. ý + f() f() ( ). 0 f( ) = lim = lim = + + ý f() f() ( ).( ) 0 f( ) = lim = lim = f ý ( + ) f ý ( _ ) olduðundan f() in = noktasýnda türevi yoktur. Uyarý : Yukarýdaki örnekte de görüldüðü gibi fonksiyon iþaret deðiþtirdiði (kritik) noktada sürekli ise bu noktada türevinin olup olmadýðýný anlamak için saðdan ve soldan türevine bakýlýr. O halde fonksiyonun sürekli olduðu kritik noktada türevi olmayabilir. Fonksiyonlar sürekli olduðu bütün noktalarda türevlenemiyebilir. ~ Eðer g(a) Z ise f() in = a noktasýnda sürekli olup olmadýðýna bakýlýr. Eðer fonksiyon sürekli ise ayný noktada saðdan ve soldan türevine bakýlýr. Fonksiyon sürekli deðilse türevi yoktur. Örnek f() = + fonksiyonunun = noktasýndaki türevini bulunuz. Çözüm 5 = için. + = Z olduðundan f() in = sýfýrdýr. ý f = 0 dýr. Örnek f() = noktasýnda türevi vardýr ve bu türev + fonksiyonunun = noktasýnda varsa türevini bulunuz. Çözüm + + lim f() = lim + =, + = 5 lim f() = lim + =,9 + = 4 O halde f() fonksiyonu = noktasýnda sürekli olmadýðýndan dolayý türevi yoktur. D) TAMDEÐER FONKSÝYONUNUN TÜREVÝ g : A R, a A, f() = fonksiyonu veriliyor. ~ Eðer g(a) Z ise f() in = a noktasýnda türevi vardýr ve bu türev sýfýrdýr. (sabit sayýnýn türevi sýfýr olduðundan) g() Örnek 4 f() = 4+ 4 fonksiyonunun = noktasýnda varsa türevini bulunuz. Çözüm = için + = 5 Z ise f() in = noktasýnda sürekli olup olmadýðýna bakalým. = için _ = 0 Z olduðundan f() = noktasýnda sürekli olup olmadýðýna bakalým. 6

14 Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi lim f() = lim ( ) = lim 0 = = için f() = _ + ( _ ) = _ lim f() = lim ( ) = lim 0 = 0 _ olduðundan f() = noktasýnda süreklidir. O halde fonksiyonun bu noktada saðdan ve soldan türevlerine bakalým. f() f() ( ) 0 + ý f( ) = lim = lim = lim = lim 0 = f() f() ( ) 0 ý f( ) = lim = lim 0 = lim = lim 0 = 0 f ý ( + ) = f ý ( _ ) f ý () = 0 dýr. f() = _ ise, Örnek 7 Çözüm ý ý f () = f = bulunur. f : R R, f() =. + fonksiyonu verildiðine göre, deðeri kaçtýr?. sgn() = de f() =. +. f() = + dir. ý ý f () = f =. = bulunur. ý f nin Örnek 5 f : [ _, 5] R, f() = + fonksiyonunun türevsiz olduðu noktalarýn kümesini bulunuz. Çözüm [ _, 5] aralýðýnda ifadesini tamsayý + yapan noktalarýnýn kümesini bulmalýyýz. Bunun için e verilecek sayýlarýn ile bölünmesi gerekiyor. Bu sayýlar { _, 0,, 4} dür. Örnek 6 f : R R, f() = + + sgn ý fonksiyonu verildiðine göre f kaçtýr? Çözüm = de özel tanýmlý fonksiyonlarý tanýmlýyalým, sonra türevlerini alalým. Örnek 8 f() = fonksiyonunun = noktasýndaki türevi kaçtýr? Çözüm = için olup tamdeðerin içi kare olduðundan fonksiyon bu noktada süreklidir, dolayýsýyla türevlenebilir. = için f() = f ý () = + f ý () =. + = 9 bulunur. Uyarý : f() = g() ( ) = 0 Z fonksiyonu ý 0, g(a) Z f(a) = yoktur, g(a) Z = de fonksiyon süreklidir. Bazý istisnalar hariç bu formül kullanýlabilir. 6

15 ALIÞTIRMALAR. f() = _ olduðuna göre, f( + h) f() lim h 0 h ifadesinin sonucu nedir? Cevap : _ Türev Alma Kurallarý - Özel Tanýmlý Fonk. Türevi 6. f() = _ 9 + sgn( _ ) fonksiyonunun türevsiz olduðu noktalarýn apsislerini bulunuz. Cevap : {,, 0,, }. f() = + a ve f() f() lim = 0 a nýn deðeri kaçtýr? olduðuna göre, Cevap : 4 7. f() = + a _ + fonksiyonu için f() = f ý () olduðuna göre, a nýn deðeri kaçtýr? Cevap : _. f() = _ olduðuna göre, f() f() lim ifadesinin sonucu kaçtýr? Cevap : 0 8. f() = a dy + k olduðuna göre, d kaçtýr? Cevap : 0 4., > ise f() = 4, ise fonksiyonu tanýmlandýðýna göre, f ý ( + ) + f ý ( _ ) nin eþiti kaçtýr? Cevap : 8 9. f(a) = a dy k + olduðuna göre, kaçtýr? da Cevap : ak 5., ise f() =, < ise fonksiyonunun = noktasýndaki türevini bulunuz. Cevap : yoktur. 0. f() = + 5 _ 4 + olduðuna göre, dy = f ý () d kaçtýr? Cevap : + 0 _ 4 6

16 ALIÞTIRMALAR. f(m) = m _ m + 5 olduðuna göre, d f(m) = f ý (m) =? dm Cevap : m _ Türev Alma Kurallarý - Özel Tanýmlý Fonk. Türevi 6. f() = olduðuna göre, ý 6 f in deðeri kaçtýr? 5 Cevap : 5. f() = ( _ ) 5 olduðuna göre, f ý () i bulunuz. Cevap : 5( _ ) 4. ( _ ) 7. f() = _ + olduðuna göre, f ý () + f ý ( _ ) kaçtýr? Cevap : 9. f() = _ + olduðuna göre, f(+h) f() lim h 0 h ifadesinin deðeri kaçtýr? Cevap : 5 8. f() =. sgn( _ ) + olduðuna göre, f ý (5) in deðeri kaçtýr? Cevap : 0 4. f() = ( _ ). ( + ) olduðuna göre, f ýý () ün deðeri kaçtýr? Cevap : _ f() = olduðuna göre, Sgn( ) f ý () ün deðeri kaçtýr? Cevap : 6 5. f() = ( _ ), g() = _ olduðuna göre, d d f () g kaçtýr? Cevap : f() = Sgn( _ ), g() = ( _ ) 5 olduðuna göre, (f.g) ý () nin deðeri kaçtýr? Cevap : 0 64

17 TEST. f() = _ fonksiyonu verildiðine göre; f() f(c) lim c c ifadesinin deðeri kaçtýr? A) 6 B) 6 C) 6c D) c E) 0 Türev Alma Kurallarý - Özel Tanýmlý Fonk. Türevi 6. Aþaðýdaki grafiklerden hangisinin = o noktasýnda türevi vardýr? y A) B) y C) y o o o y D) E) y. f() =.t _.t fonksiyonu verildiðine göre; dy dt nin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? o o A) 6.t _ t B) _ t C) 6 _ t D) 6 _.t E) _ t. 7. (a + h) (a) lim h 0 h ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir?. f() = _ + fonksiyonu verildiðine göre; f( + h) f() lim h 0 h ifadesinin deðeri kaçtýr? A) 0 B) C) D) E) 5 8. A) B) a C) a D) a E) a f() = + a a + 4 fonksiyonunun türevsiz olduðu noktalarýnýn ap- sisler toplamý 5 ise, a nýn deðeri kaçtýr? A) 5 B) 4 C) D) E) 4. f : R R, f() = _ a + fonksiyonu için f ý () = olduðuna göre, a nýn deðeri kaçtýr? A) B) C) D) 4 E) , > f() = +, fonksiyonu verildiðine göre, f ý ( + ) + f ý ( _ ) eþiti kaçtýr? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) , > f() = + c, fonksiyonu = noktasýnda türevi olduðuna göre, c nin deðeri kaçtýr? A) B) C) 0 D) _ E) _, 0. f() = fonksiyonu veriliyor., > Buna göre f ý () in deðeri kaçtýr? A) Yoktur. B) C) D) E) 0 65

18 TEST. f() =.( _ ) fonksiyonu verildiðine göre, f ý () in deðerini bulunuz. A) 9 _ B) 9 _ 5 4 C) 9 _ 4 D) _ 4 4 E) _ 4 Türev Alma Kurallarý - Özel Tanýmlý Fonk. Türevi 6. f() = _ 4 + Sgn( _ ) + fonksiyonu verildiðine göre, f ý ( + ) nin deðeri kaçtýr? A) 0 B) C) D) E) 4. f : R _ {} R, n f() = fonksiyonunun = noktasýndaki türevi _ ise, n nin deðeri kaçtýr? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 7. f() = + _ 4 + _ fonksiyonu verildiðine göre, f ý () nin deðeri kaçtýr? A) B) 4 C) 6 D) 7 E) 8. f() = + fonksiyonu verildiðine göre, f ý (8) in deðeri kaçtýr? 5 A) B) C) D) E) f() = _ _ + fonksiyonunun = _ noktasýndaki türevi kaçtýr? A) 8 B) C) D) 0 E) Yoktur. 4. f() = _ + fonksiyonu için, f() + f ý () = f ý () denkleminin kökü kaçtýr? A) _ B) 0 C) D) E) 9. f() = _ +.Sgn( _ + ) + fonksiyonu verildiðine göre, f ý () ün deðeri kaçtýr? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 5. f() = _ fonksiyonu veriliyor. Buna göre d f () eºiti kaçtýr? d A) 4 _ 6 + B) _ + C) _ + D) 4 _ + E) 4 _ f() = + _ 4 + fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f ý (0) ýn deðeri kaçtýr? A) _ 4 B) _ C) _ D) E) Yoktur. Cevaplar: -C -E -B 4-D 5-A 6-D 7-D 8-A 9-E 0-A -B -C -C 4-E 5-A 6-E 7-E 8-C 9-E 0-A 66

19 Türev Alma Kurallarý 6. TÜREVDE ZÝNCÝR KURALI þeklinde türev alýnýr. Genelde iç içe fonksiyonlarýn türevlerinin daha kolay bir þekilde alýnmasýnda kullanýlýr. Örnek 7 y = u dy ise, in eºiti kaçtýr? u = + d Bu tür fonksiyonlar, f() = ( + _ ) 7 þeklinde karþýmýza çýkabilir. Bu durumda üste göre türev sonrada içinin türevi çarpý olarak yazýlýr. Örnek Çözüm Örnek çözüm y = f(u) dy dy du d u = g() ise, =.. dt du d dt = h(t) dy dy du =. d du d 6 = 7.u.( + ) f ý () = 7.( + _ ) 6.( + ) dir. f() = 5 8 ( ) 5 8 f() = = 5( ) 8 ( ) þeklinde yazýlýr ve türev alýnýrsa, ý 8 f () = 5. 8( ).( ) 40.( ) = bulunur. 9 ( ) f() = 6 = 7.( + ) ( + ) ise, dy in eºiti kaçtýr? d fonksiyonunun türevini bulunuz. f() = = olur. ( ) Uyarý : Köklü ifadelerin türevi alýnýrken iç içe fonksiyonlar gibi düþünebiliriz, yani kökün derecesi üstel biçimde yazýlarak türevde zincir kuralý uygulanýr. Örnek 4 Çözüm Bu örneklerden sonra aþaðýdaki sonuçlarý verebiliriz: u, e baðlý bir fonksiyon olmak üzere, Örnek 5 f() = ise, ( ) ý f() =..( ) = =. ( ) ( ) f() = ( ) ( ) ý f() = (+ ) = ( + ) = + +. ( + 5) ý u f() = u ise, f () = u ý ý u f() = u ise, f () =. u ý p q ý q.u p p q f() = u ise, f () = p. u ý y = y = ý + y = + y = + dy in eºiti kaçtýr? d ý y = y =. y = ý y =. ( ) ý 67

20 Türev Alma Kurallarý BÝLEÞKE FONKSÝYONUN TÜREVÝ F : A R, a o A da türevlenebilen bir fonksiyon olsun. Eðer taným kümesi f(a) olan bir g fonksiyonunda y o = f( o ) f(a) da türevlenebiliyor ise bu taktirde (gof)() fonksiyonu da o noktasýnda türevlenebilir ve bu türev; Örnek f()= _ ve g()= + ise, y = (fog)() bileþke fonksiyonunun türevini bulunuz. Çözüm y ý ý ý ý ý ý ý (fog) () = f(g()) = f (g()). g () = f (g()). g () = (4 )o( + ). = 4( + ). = = bulunur. Örnek < 0 olmak üzere, f( _ ) = _ + ise, f ý (4) ün deðeri kaçtýr? Çözüm f ý ( _ ). ( _ ) = 6 _ Ayrýca _ = 4 olmalýdýr. Buradan, 4 = 0 ise ( + )( _ 4) = 0 = _ ve = 4 bulunur. < 0 olduðundan = _ i türevde yerine yazalým. = _ için, f ý [( _ ) _ ( _ )](.( _ ) _ ) = 6.( _ ) _ f ý (4).( _ 5) = _ 8 f ý (4) = Örnek 4 Çözüm 8 5 bulunur. f() = g( _ ), g ý (6) = 5 ise f ý () ün deðeri kaçtýr? f ý () = g ý ( _ ).( _ ) f ý () = g ý ( _ ).(. _ ) = g ý (6). 5 = 5.5 = 5 bulunur. Örnek f()= _, g()= + fonksiyonlarý verilsin, h() = (fog)() in türevi nedir? Çözüm h() = (fog) ý () = f ý (g()). g ý () dir. = [g() _ ]. ( + ) = [( + ) _ ]. ( + ) = _ + 8 _ II. Yol : fog() = f(g()) = g() _ g() = ( + ) _ ( + ) = ise (fog) ý () = _ + 8 _ þeklinde de bileþke fonksiyonunun türevi alýnabilir. Örnek 5 f( _ ) = Çözüm ý.( + ). f( ).= ( + ) Örnek 6 = için, + ise, f ý () ün eþiti kaçtýr? ý.( + ) 6. f(. ).= ( + ) ý 5 4 f().= 5 ý 9 f() = bulunur. 50 [f()] =.f() + 6 ve f() = ise, f ý () ün deðeri kaçtýr? 68

21 Türev Alma Kurallarý Çözüm Eþitliðin her iki tarafýn türevini alalým..f().f ý () =.f() + f ý ()..f().f ý () =..f() + f ý ()...f ý () = 6. + f ý ().9.f ý () = f () ý ý 6 7.f () = 6 f () = bulunur. 7 TERS FONKSÝYONUN TÜREVÝ A, B R ve f : A B bire-bir ve örten fonksiyon olsun. Bu taktirde f _ : B A ya ters fonksiyonu vardýr. o A ise, f( o ) = y o B dir. y o B ise, f _ (y o ) = o A dýr. tersine Bu taktirde f fonksiyonu o A noktasýnda türevli ve f ( o ) 0 ise f _ fonksiyonu da o ýn f altýndaki görüntüsü olan y o noktasýnda türevlidir ve bu türev, + 4 = _ = 0 ise (+)(+) = 0 buradan = _ ve = _ bulunur. Taným kümesi [ _, ) olduðunda = _ olamaz. O halde o = _ dir, o = _ için y o = _ dür. f() = + 4 f ý () = + 4 f ý ( _ ) = Bu taktirde (f _ ) ý ( _ ) = bulunur. II. Yol: Önce verilen fonksiyonunun tersini bulup sonra türevini alalým. y = + 4 ise, y = _ 4 y = (+) _ 4 y + 4 = (+) ó+4 = + _ +óy+4 = y o = _ için, f( ) = ý f _ () = _ + ó+4 f _ (y) = _ + óy+4 ý (f ) (y) = y+ 4 ý (f ) (y o) = ý f( ) o ý (f ) ( ) = = + 4 bulunur. Bu kural yardýmýyla f _ ters fonksiyonu bulunmadan f _ in türevi bulunabilir. Eðer f fonksiyonunun tersi kolayca bulunabiliyorsa fonksiyonunun önce tersini bulur, sonra türevini alýrýz. Örnek [ _, ) [ _ 4, ), f() = + 4 verildiðine göre, f _ fonksiyonunun y o = _ noktasýndaki türevini bulunuz. Çözüm f fonksiyonu bire-bir ve örten olduðundan tersi vardýr. Fakat bu fonksiyonun tersini bulmak zor olabilir, biz fonksiyonun tersini bulmadan yukarýdaki formül yardýmýyla tersinin türevini bulalým. Önce bu fonksiyonda yerine hangi sayý yazýlarak y o = _ deðeri bulunmuþtur, bunu araþtýralým. Örnek f : R R, f() = _ olduðuna göre, (f _ ) ý (4) in deðeri kaçtýr? Çözüm y o = 4 için, _ = 4 denkleminden o = bulunur. Bu taktirde (f _ ) ý (4) = 0 bulunur. f() = ý Örnek f : R _ {} R _ {}, Çözüm f() = fonksiyonu veriliyor. (f _ ) ý () in deðeri kaçtýr? I. Yol : Fonksiyonunun tersini almak kolaysa önce tersi alýnýr daha sonra da türevi bulunabilir. 69

22 Türev Alma Kurallarý f() = ise, f () = ý.( ).( ) (f ) () = ( ) ý.( ).( ) (f ) () = ( ) II. Yol : y o = ise _ = _ ise = 0 bulunur. ý.( ) ( ) f() = ( ) ý + f(0) = = = ( ) ý (f ) () = = = bulunur. ý f(0) Örnek 4 f : [, ) R, f() = + fonksiyonu veriliyor. (f _ ) ý (4) ün deðeri kaçtýr? Çözüm I. Yol : y o = 4 için o deðerini bulalým. 4 = + = 4 = _ ise, o = 7 ý ý f() = f(7) = = 7 4 ý (f ) (4) = = = 4 ý f(7) 4 II. Yol : Verilen fonksiyonun önce tersini bulup sonra türevini alalým. f() = + y _ = 0 = = = ( ) = (y _ ) = _ f _ () = ( _ ) + (f _ ) ý () = ( _ ) dir. (f _ ) ý (4) = (4 _ ) =. = 4 bulunur. 7. TRÝGONOMETRÝK FONKSÝYONLARIN TÜREVLERÝ y = f(u) u = u() olmak üzere,. f() = sinu f () = cosu. u. f() = cosu f () = sinu. u. f() = tanu ý ý u ý f() = (+ tan u).u = = usec u cos u 4. f() = cotanu ý ý u ý f () = (+ cotan u).u = = u cosec u sin u ~ y = sin ise y ý = cos. ~ y = sin( ) ise y ý = cos( ). ~ y = sinñ ise y ý = cosñ. ~ y = cos( +) ise y ý = sin( + ). ~ y = cos(sin) ise y ý = sin(sin).cos ~ y = sin ise y ý = sin.cos = sin ~ y = cos ise y ý = cos.( sin) ~ y = tan ise y ý = ( + tan ). ~ y = cotan(sin) ise y ý = [+cotan (sin)].cos ~ y = tan ise y ý = tan.( + tan ) Örnek f() =.sin ise f ý () in eþiti kaçtýr? Çözüm Çarpýmýn türevini uygulayalým. f ý () =.sin + cos. =.sin +.cos dir. Örnek f() = tan + tan Çözüm ý ý ise f ý () kaçtýr? f() = (tan) + tan( ) f ý () = (tan).( + tan ) + ( + tan ). ý ý ý ý 70

23 Örnek sin f() = tan ise, f ý () kaçtýr? Türev Alma Kurallarý TERS TRÝGONOMETRÝK FONKSÝYONLARIN TÜREVLERÝ Çözüm ý sin cos..sin f() = + tan. ( ). f() = y = arcsin fonksiyonu π π f:[, ], ve f() = arcsin dir. ý sin.cos sin f() = + tan. f() = arcsin = siny dir. Örnek 4 f : R R, f( + 4) = sina ve f ý (4) = ise, a nýn deðeri kaçtýr? Çözüm f ý ( + 4). = cosa.a bu türevde = 0 deðerini yerine koyalým. ý dy f() = = = = d d d cosy (siny) dy dy = = sin y (sin y + cos y = ise cosy = olduðuna dikkat ediniz.) sin y f ý (.0 + 4). = cos(a.0).a f ý (4). = cos0.a. =.a a = 6 bulunur. ý f() = arc sin f () = dir. Örnek 5 f() = sin (tan) ise f ý () kaçtýr? Çözüm f() = [sin(tan)] f ý () =.[sin(tan)].cos(tan).( + tan ) þeklinde bulunur.. f() = arccos fonksiyonu f() = arccos = cosy ý dy f() = = = = d d d siny (cosy) dy dy = cos y = cosy yi yerine yazarsak Örnek 6 f() = sin ise, ý π f nin deðeri kaçtýr? Çözüm f ý () =.sin.cos. f ý () =.sin6 bulunur. ý π π π f =.sin 6. =.sin =. = bulunur. f() = arc cos ý f () = dir.. f() = arc tan fonksiyonu f() = arctan = tany ý dy f() = = = = d d (tany) + tan y + dy ý f() = arc tan f () = dir. + 7

24 Türev Alma Kurallarý 4. f() = arccotan fonksiyonu f() = arccotan = cotany ý dy f() = = = = d d d + (cot any) ( cot an y) dy dy = + dir. Örnek f() = arctanñ ise, f ý () kaçtýr? Çözüm ý f() = = = dir. + (+ ) ý ( ) + ( ) ý f() = arc cot an f () = + u = g() þeklinde e baðlý bir fonksiyon ve u nun herhangi bir noktasýndaki türevi u ý olsun. Bu taktirde; Örnek 4 f() = arctan( ) ise, f ý () kaçtýr? Çözüm ý ý ( ) f() = = + ( ) + ( ) dir. d (arcsinu) = d u ý u d (arccosu) = d u u d u (arc tanu) = d + u d u (arc cotanu) = d + u ý ý ý Örnek 5 f() = arccotan(cos) ise, f ý () kaçtýr? Çözüm ý ý.(cos ) sin f() = = dir. + cos + cos Örnek f() = arcsin( +) ise f ý () kaçtýr? Çözüm ý ý ( + ) f() = = ( + ) ( + ) Örnek 6 f() = arccotan(tan) ise, f ý () kaçtýr? Çözüm ý ý.(tan ).( + tan ) f() = = = dir. + tan + tan Örnek f() = arccos(sin), 0 < < f ý () kaçtýr? Çözüm π ise Örnek 7 Çözüm f() = arccos(sin ), 0 < < f ý () kaçtýr? ý ý.(sin ).cos. f() = = (sin ) sin π ise ý ý (sin ) cos cos f() = = = = sin cos cos.cos.cos = = = cos cos 7

25 Türev Alma Kurallarý Örnek 8 f() = arctanó+ ise f ý () kaçtýr? Çözüm Örnek 9 f() = sin(arctan) ise f ý () kaçtýr? Çözüm ý ý ( + ) + f() = = = + ( + ) (+ ) bulunur. y= sinu dy dy du =. u= arctan d du d Zincir kuralýný uygulayalým. dy = cosu. = cos(arctan ). d + + bunu daha kýsa yazmak gerekirse, u = arctan = tanu Bu oraný bir dik üçgende gösterelim. ý f() = ý ( ) = =.. ý f = = 4 = = =. = bulunur. 4 Örnek f() = sin.arctan ise, f ý () kaçtýr? Çözüm Çarpýmýn türevini alalým, f ý () = cos. arctan +. ( sin) + ý sin f () = cos. arctan + dir. ó+ cosu = + u y= sinu y = cosu. u ý = cosu. =. bulunur ý Örnek 0 ý f() = cos(arcsin) ise f Çözüm f() = cos(arcsin) = cosu u = arcsin = sinu kaçtýr? u ó f() = cosu = dir. Bu düzenlenmiþ fonksiyonun türevini alalým. 7

26 ALIÞTIRMALAR Türevde Zincir Kuralý-Bileþke Fonk.-Ters Fonk.-Trigonometrik Fonk.Türevi. f() = ( ) 0 ise, df kaçtýr? d Cevap: 0( ) 9.( ) 7. f() = + fonksiyonu verildiðine göre, f ý () in deðeri kaçtýr? Cevap: 5 4 d. ( + ) 5 + eþiti kaçtýr? d Cevap: 5( + ) f() = 7 + fonksiyonu verildiðine göre, f ý (4) ün deðeri kaçtýr? Cevap: 4. f( ) = + fonksiyonu verildiðine göre, f ý (5) in deðeri kaçtýr? Cevap: p 9. f() = 4p ise, f ý (p) kaçtýr? Cevap: 4. > 0 olmak üzere, f( ) = + + fonksiyonu veriliyor. Buna göre f ý () + f() toplamý kaçtýr? 0. f() = ise, (f _ ) ý (7) kaçtýr? Cevap: 5 9 Cevap: 5. f[( + g()] = + 8 fonksiyonu ve f ý () =, g() = 0 deðerleri verildiðine göre, g ý () in deðeri kaçtýr? Cevap:. f : [, ) [ 9, ), f() = 6 ise, (f _ ) ý ( 8) nin deðeri kaçtýr? Cevap : 6. h() = f( ) + f (), f() = ve f ý () = ise, h ý () in deðeri kaçtýr? Cevap: 6. f : [, ) R, f() = + + ise, (f _ ) ý (5) nin deðeri kaçtýr? Cevap : 6 74

27 ALIÞTIRMALAR Türevde Zincir Kuralý-Bileþke Fonk.-Ters Fonk.-Trigonometrik Fonk.Türevi d sin. eþiti kaçtýr? d cos Cevap : sin π 9. 0 < < olmak üzere, f(sin ) = tan ise, ý f nin deðeri kaçtýr? Cevap : 4. f() = sin ý π () ise, f nýn deðeri kaçtýr? 6 Cevap : f() =.arctan ise, f ý () in deðeri kaçtýr? Cevap : π+ 4 ý π 5. f() = tan(cotan) ise, f nýn deðeri kaçtýr? Cevap :. f() = arctan ise, f ý (4) ün deðeri kaçtýr? Cevap : 0 6. d sin d eþiti kaçtýr? Cevap : sin(cos).( sin) d. arc sin eþiti kaçtýr? d d 7..sin eþiti kaçtýr? d Cevap : cos.sin Cevap : 4 8. f() =.sin + cos ise, f ý () in deðeri kaçtýr? Cevap : 0 d. arc tan(sin ) eþiti kaçtýr? d Cevap : cos + sin 75

28 TEST. f() = ( _ ) 0 fonksiyonunun = noktasýndaki türevi kaçtýr? A) 48 B) 40 C) 0 D) E) 0 Türevde Zincir Kuralý - Bileþke Fonk. - Trigonometrik Fonk.Türevi 6. f( + ) = + + fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f ý (4) ün deðeri kaçtýr? A) B) C) D) 5 E) 6. f : R R, f() = ise, f(+ h) f() lim h 0 h ifadesinin deðeri kaçtýr? 7. f( + ) =.g( + ) fonksiyonu ve g() = 6 ise, f ý () in deðeri kaçtýr? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 A) 0 B) 60 C) 70 D) 90 E) 0. f() = 7 + fonksiyonu verildiðine göre, f ý (4) ün deðeri kaçtýr? A) B) C) D) E) 4 6 f() 8. f() =, lim = 6 ve h() =.f() ise, h ý () in deðeri kaçtýr? A) B) 6 C) 5 D) 8 E) 0 4. f() = fonksiyonunun = 9 noktasýndaki türevi kaçtýr? A) 9 B) C) D) E) g() = 4, g ý g() () = 6 ve f() = þeklinde verildiðine göre, f() fonksiyonunun = nok- tasýndaki türevi kaçtýr? A) 0 B) C) D) E) 4 5. f() = + fonksiyonunun = 5 noktasýndaki türevi kaçtýr? 8 0 A) B) C) D) E) 0. f : R R, f() = fonksiyonu verildiðine göre, (f _ ) ý (6) nýn deðeri kaçtýr? A) B) 6 C) D) E) 6 76

29 TEST. f : [, ) R, f() = ó+ fonksiyonu verildiðine göre, f ý () + (f _ ) ý () ifadesinin deðeri kaçtýr? A) B) 4 C) D) E) Türevde Zincir Kuralý - Bileþke Fonk. - Trigonometrik Fonk.Türevi π 6. f() = tan fonksiyonunun = noktasýndaki türevi kaçtýr? A) 0 B) C) D) E) 4. f() = 6 fonksiyonu verildiðine göre, (f _ ) ý (0) ýn deðeri kaçtýr? A) B) C) D) E) d.sin d eþiti kaçtýr? A) cos B) cos C) (sin+cos) D) sin E) (sin+.cos). f() = sin + tan fonksiyonunun = noktasýndaki türevi kaçtýr? A) B) C) D) + E) π 4 8. a > 0, f() = arccos fonksiyonu veriliyor. a ý f( ) = ise, a nýn deðeri kaçtýr? A) B) C) D) 4 E) 5 4. f() = cos cos fonksiyonu verildiðine ý π göre, f nýn deðeri kaçtýr? 6 A) B) 0 C) D) E) ñ 9. d sin =? ( ) d =π A) B) 4 C) D) 4 E) 6 d 5. sin eþiti kaçtýr? d A) cos B) cos C) sin D) sin.cos E) cos f() = cos(arcsin) fonksiyonu verildiðine göre, ý f nin deðeri kaçtýr? A) B) C) D) E) Cevaplar: -B -B -D 4-E 5-C 6-A 7-B 8-C 9-C 0-E -D -C -A 4-B 5-E 6-D 7-E 8-B 9-C 0-A

30 Maksimum Minimum Problemleri

31

32

33

34

35

36

37

38

39 İ:K

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81 The End

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115 Grafik Çizimleri 4. GRAFÝK ÇÝZÝMLERÝ. POLÝNOM FONKSÝYONLARIN GRAFÝKLERÝ f() = a n n + a n n + a n n a + a o þeklindeki polinom fonksiyonunun grafiðini çizerken aþaðýdaki yollar izlenir. a) f() in taným kümesi bulunur. Yani bu fonksiyonlar R için tanýmlýdýr. b) f() in eksenleri kestiði noktalar bulunur. = 0 için oy eksenini kestiði nokta, y = 0 için o eksenini kestiði nokta bulunur. y = 0 için bir deðeri bulunamýyorsa fonksiyonun o eksenini kesmediði anlaþýlýr. c) Fonksiyonun geliþ ve gidiþ yönüne bakýlýr. n lim (a +...) limiti hesaplanýr, bulunan ± n deðerler eðrinin uç noktalarýnýn hangi bölgede olduðunu gösterir. II. bölge (, +) (, ) III. bölge y I. bölge (+, +) (+, ) IV. bölge e) f() in türevine bakýlýr; yani fonksiyonun birinci türevi alýnýp sýfýra eþitlenir, varsa kökler bulunur, bulunan bu kökler fonksiyonda yerine yazýlarak y deðerleri elde edilir. Bu deðerler fonksiyonun maksimum veya minimum deðerlerini verir. f) Deðiþim tablosu yapýlýr. Yukarýdaki tüm bilgiler tabloya aktarýlýr, türevin iþareti incelenir, fonksiyonun maksimum ve minimum noktalarý belirlenir. Bu bilgilerin tamamý koordinat düzlemine aktarýlarak grafik çizilmiþ olur. Örnek f : R R, f() = fonksiyonunun grafiðini çiziniz. Çözüm a) Taným kümesi tüm reel sayýlardýr. b) Eksenleri kestiði noktalar; = 0 için y = y = 0 için = 0 ( + )( ) = 0 ise, =, = c) Fonksiyonun uç noktalarý, + için y + I. bölge için y + II. bölge d) Çift katlý kök yoktur. e) Türevine bakalým. f ý () = = 0 ise = bulunur. = f() = = 4 f) Deðiþim tablosunu inceleyelim. + için y + ise I. bölge için y + ise II. bölge için y ise III. bölge + için y ise IV. bölge olduðu anlaþýlýr. 0 + f ý () + + f() y Bu iþlemleri yaparken f() in derecesinin tek veya çift olduðuna dikkat edilmesi gerekir. d) f() in tam kareli bir çarpaný, veya baþka bir deyiþle y = 0 için çift katlý bir kökü varsa bu kökte grafik o eksenine teðettir, tek katlý kökünde grafik o eksenini keser. 4 47

116 Grafik Çizimleri Uyarý : Polinom fonksiyonun grafiði verilirse denklemi þöyle olur: Not : Fonksiyonun derecesi, tepe noktasý sayýsýndan bir fazla olduðuna dikkat ediniz. I) Parabolün eksenleri kestiði noktalar verilmiþ ise denklem, y = a( + ).( ) þeklinde yazýlýp = 0 için y = deðeri denklemde yeyerine yazýlarak a y f() Örnek f() = ( ) ( + ) fonksiyonunun grafiðini çiziniz. Çözüm. f() bir polinom olduðundan R için tanýmlýdýr. bilmeyeni bulunur.. Eksenleri kestiði noktalar, = 0 için y = 4, A(0, 4) y = 0 için ( ) (+) = 0 II) Parabolün oy eksenini kestiði nokta ve tepe noktasý verilmiþ ise denklemi, y f(). Fonksiyonun uç noktalarý, = =, = bulunur. y = a( ) þeklinde yazýlýp (0, ) noktasý denklemde yerine yazýlarak a deðeri bulunur. + için y + için y I. bölge III. bölge 4. Fonksiyonun ( ) çarpaný tamkare olduðundan eðri = apsisli noktada eksenine teðettir. 5. Türevine bakalým. III) Parabol o eksenine teðet ise denklemi, y = a( ) þeklinde yazýlýr. (0, ) noktasý denklemde yerine yazýla- y f() f() = ( ) ( + ) ise f ý () = ( )( + ) + ( ) = 0 ( ) [( + ) + ] = 0 ( ) () = 0 =, = 0 türevin kökleridir. 6. Deðiþim tablosu ve grafik, rak a deðeri bulunur. 0 + y ý IV) Yanda görülen þekildeki gibi bir grafik verildiðinde denklemi, y = a(+4)( ) þeklinde yazýlýr. (0, ) noktasý denk- 4 y f() y f() = ( ) ( + ) f(0) = (0 ) (0 + ) = 4 ise f(0) = 4 f() = ( ) ( + ) = 0 ise f(0) = 0 lemde yerine yazýlarak a deðeri bulunur. f() = ( ) ( + ) Fonksiyonunun grafiði aþaðýdaki gibidir. 48

117 Grafik Çizimleri 4 y Örnek 4 f() = ( ) fonksiyonunun grafiðini çiziniz. Çözüm. f() fonksiyonu her yerde tanýmlýdýr. Örnek f() = + fonksiyonunun grafiðini çiziniz. Çözüm. f() fonksiyonu R için tanýmlýdýr.. Eksenleri kestiði noktalar, = 0 için y = y = 0 için + = 0 ( ) + = 0 ( ).( + ) = 0 = 0 veya + = 0 ise Çk = {} dir.. Fonksiyonun uç noktalarý, + için y + I. bölge için y III. bölge 4. Fonksiyonda çift katlý kök yok. 5. Türevine bakalým. f() = + ise f ý () = 4 + = 0 ( )( ) = 0 ise =, = 0 + y ý y min ma. Eksenleri kestiði noktalar, = 0 için y = y = 0 için ( ) = 0 ( ). ( + ) = 0 ise = = = 4 = dir.. Fonksiyonun uç noktalarýna bakalým, + için y + I. bölge için y + II. bölge 4. f() = ( ) = ( ). ( + ) olduðundan fonksiyonun iki tane tam kareli kökü vardýr. Yani grafik = ve = de o eksenine teðettir. 5. Türevine bakalým. f() = ( ) ise f ý () = ( )..( )( + ). = 0 ise = 0 = ve = bulunur. 0 + f ý () + + f() Y.min Y.ma Y.min y y

118 Grafik Çizimleri Örnek 5 y ASÝMPTOTLAR Yukarýda grafiði verilen fonksiyonun denklemini bulunuz. Çözüm Verilen grafiðin denklemi = de o eksenine teðet ve = den geçtiðine göre, f() = a.( + ). ( ) þeklinde ifade edebiliriz. Bu fonksiyon oy eksenini ordinatlý noktada kestiðine göre, (0, ) noktasý denklemi saðlar. = a.(0 + ). (0 ) = a.4.( ) ise a = dýr. 6 Örnek 6 Buna göre, f() = bulunur. y 6 ( + ). ( ) olarak Yukarýdaki grafik f() = a + b 9 + c fonksiyonunun grafiði olduðuna göre, a, b, c nin iþaretlerini bulunuz. Çözüm ~ = 0 için y = c ise c < 0 dýr. Çünkü grafik oy eksenini negatif bölgede kesmektedir. Grafikten de görüldüðü gibi köklerin üçü de pozitiftir. Buna göre, c ( 9) ~.. = > 0 > 0 a a olduðundan a > 0 dýr. b ~ + + = > 0 ve a > 0 a olduðundan b > 0 ise b < 0 dýr. O halde a > 0, b < 0, c < 0 dýr. f() Asimptotlar fonksiyona sonsuzda teðet olan doðru ve eðrilerdir. Asimptotlar kesirli ve köklü fonksiyonlarda vardýr. Asimptotlar kendi özelliðine göre ad alýr. ~ Düþey bir doðrudan oluþan asimptota düþey asimptot, ~ Yatay bir doðrudan oluþan asimptota yatay asimptot, ~ Eðik bir doðrudan oluþan asimptota eðik asimptot, ~ Bir eðriden oluþan asimptota eðri asimptot denir. A) DÜÞEY ASÝMPTOT P() f() = kesirli fonksiyonunda paydayý Q() sýfýr yapan deðerlerine düþey asimptot denir. Yani; P() f() = ( a)( b) fonksiyonunun paydasýný sýfýra eþitlersek ( a).( b) = 0 denkleminden = a, = b deðerleri bulunur. Burada a ve b noktalarýndaki limitler ± gider. a y lim f() =± ve lim f() =± dýr. b lim f() =+ ve lim f() = a + b + lim f() = ve lim f() =+ a b y b 50

119 Grafik Çizimleri Not : Grafik hiçbir zaman düþey asimptotu kesmez, ancak düþey asimptota sonsuzda teðet olur. P() f() = kesirli fonksiyonu verildiðinde Q() ) Q() = 0 denkleminin kökleri düþey asimptotlarý verir. Q() = 0 denkleminin kökleri yoksa, fonksiyonun düþey asimptotlarý da yoktur. Çözüm y + 6 = 0 + ( )( + ) = 0 =, = düþey asimptotlardýr. = = + + lim =±, lim =± ) Düþey asimptot grafiði parçalar yani düþey asimptot sayýsý n tane ise grafik n+ parçadan oluþmaktadýr. Yukarýdaki f() fonksiyonunun = a ve = b þeklinde iki düþey asimptotu olduðundan grafiðin üç parçaya ayrýlacaðýný söyleyebiliriz. ) Kesirli fonksiyonlarýn paydasý ( a) gibi tam kare ise = a düþey asimptottur ve = a da eðrinin (± ) a atýlmýþ bir ekstremumu vardýr. (Aklýmýzda kalmasý için biz buna = a da bir baca vardýr diyeceðiz.) y y Uyarý : P() f() = kesirli fonksiyonunda Q() = 0 Q() denkleminin kökleri P() = 0 denkleminin kökü deðilse düþey asimptotturlar. Eðer Q() = 0 denkleminin kökü, P() = 0 denkleminin de kökü ise, bu noktada f() in sað ve sol limitlerine bakýlýr bu limitlerden en az biri ± ise o kök düþey asimptottur. Örnek + f() = 4 = a da a atýlmýþ bir ekstremum (baca) vardýr. = a de + a atýlmýþ bir ekstremum (baca) vardýr. eðrisinin düþey asimptotlarýný bulunuz. Çözüm Paydayý sýfýra eþitleyelim, 4 = 0 = = bulunur. Bunlarýn düþey asimptot olabilmesi için bu noktalardaki limitlerin ± a gitmesi gerekir. + 0 lim 4 0 lim = =. 4 Örnek + f() = + 6 eðrisinin düþey asimptotlarýný bulunuz. olduðundan = düþey asimptot deðildir lim = = =± olduðundan = düþey asimptottur. 5

120 Grafik Çizimleri Örnek + f() = + a+ 4 y y eðrisinin düþey asimptotu yoksa a nýn deðeri kaçtýr? Çözüm Eðrinin paydasýndaki + a + 4 = 0 denkleminin reel kökünün olmamasý gerekir. Bunun için Δ = b 4.a.c = a 4..4 < 0 olmalý a < 6 her iki tarafýn karekökünü alýrsak, a < 4 olur, burdan 4 < a < 4 bulunur. B) YATAY ASÝMPTOT P() f() = Q() kesirli fonksiyonunda P() lim f() = lim = a ise ± Q() ± y = a doðrusuna yatay asimptot denir. Bu kesirli fonksiyonda; i) Payýn derecesi paydanýn derecesinden büyükse, Uyarý : Eðri düþey asimptotu kesmez. Fakat yatay asimtot eðri ve eðik asimtotlarý kesebilir. Fonksiyonla asimtot denklemi ortak çözüldüðünde bu kesim noktalarý bulunur. Örnek f() = 5 eðrisinin yatay asimtotunu bulunuz. Çözüm lim = 5 olduðundan y = yatay asimtottur. y ii) iii) lim ± olduðundan yatay asimptot yoktur (eðik veya eðri asimtot vardýr.) Payýn derecesi paydanýn derecesine eþitse eþit dereceli terimlerin önündeki katsayýlarýn oraný limitin deðeridir. lim ± Q() ± q b +... olduðundan yatay asimptottur. Paydanýn derecesi payýn derecesinden daha büyükse, P() a +... lim = lim = 0 ± P() a +... = lim = + Q() ± q b... P() a +... a = lim = b a y = b Q() ± q b +... p p p olduðundan y = 0 yani ekseni yatay asimptottur. y = Örnek 5 f() = + eðrisinin yatay asimtotlarýný bulunuz. Çözüm lim = olduðundan + y = yatay asimptottur. lim = olduðundan y = de yatay asimptottur. 5

121 Grafik Çizimleri Örnek 6 + f() = + eðrisinin yatay asimtotunu bulunuz. Çözüm lim + =± ± + olduðundan verilen eðrinin yatay asimptotu yoktur. Örnek 7 f() = 5 eðrisinin yatay asimptotunu bulunuz. Çözüm lim 5 = 5 =, lim 5 = 5 = = = 0 5 olduðundan y = 0 doðrusu yatay asimptottur. Örnek 8 / f() = e eðrisinin yatay asimptotunu bulunuz. Çözüm / / o lim e = e = e = / / lim e = e = = = = / o e e olduðundan y = yatay asimptottur. Örnek 9 f() =(a b) + b + asimptotu ise, a nin deðeri kaçtýr? b Çözüm (a b) + b + c f() = eðrisinin yatay haline getirilir. Burada yatay asimptotun reel bir sayý olabilmesi için pay ve paydanýn dereceleri eþit olmalýdýr. c Buna göre; a b = 0 dýr. Buradan a = b dir. b + c f() = b + c lim = b ise y = b yatay asimptottur dolasýyla b = ; a = b ise a = a = =. = bulunur. b a Burada oraný sorulduðundan b'yi bulma b a dan a = b eºitliðinden = bulunabilir. b Not : f() = (a b) + b + eðrisinde y = (a b) + b ifadesi yatay asimptota özdeþtir. (a b) + b = eþitliðinden a b = 0 ve b = a =, b = bulunur. Örnek 0 olur. f() = (m ) + n + + fonksiyonunun yatay asimptotu ise, m + n nin deðeri kaçtýr? Çözüm + f() = (m ) + n + + y = (m ) + n y = (m ) + n yatay asimptottur. (m ) + n = 0 eþitliðinden m = ve n = olup, m + n = bulunur. c 5

122 Grafik Çizimleri C) EÐÝK VE EÐRÝ ASÝMPTOTLAR P() f() = kesirli fonksiyonunda payýn derecesi paydanýn derecesinden bir derece Q() büyük ise eðik, daha fazla dereceden büyükse eðri asimptot vardýr. y = f() eðrisi için, lim f() K() = 0 veya lim f() K() = 0 olacak þekilde bir K() polinomu varsa buna f() eðrisinin bir eðri veya eðik asimptotu denir. Bu asimptot K() = m + n þeklinde ise eðik, K() = m + n + t þeklinde ise eðri asimptot adýný alýr. P() R() f() = = K() + Q() Q() þeklinde yazýlarak K() elde edilir. Örnek + 5 f() = eðrisinin varsa asimptotunu bulunuz. Çözüm = + ± + 5 olduðundan ± ± y = eðik asimptottur. lim f() k() = lim + ( ) ± ± = lim = 0 dýr. ± y y = Örnek + f() = + fonksiyonunun eðri asimptotunu bulunuz. Çözüm ± = olduðundan ± ± y = eðri asimptottur. y Uyarý : y = f() fonksiyonunun y = m + n biçiminde bir eðik asimptotu varsa f() m = lim, n = lim [f() m] veya f() m = lim, n = lim [f() m] þeklinde bulunur. Örnek + f() = eðrisinin asimptotlarýný bulunuz. Çözüm i) Düþey asimptot = 0 ise = 0 ve = dir. ii) + lim = olduðundan yatay asimptotu yoktur. 54

123 Grafik Çizimleri iii) Eðik asimptotunu bulalým. + i) a > 0 ise lim f() = lim a +b +c ± + + ± f() = = + + b = a. + a ifadesi eðik asimptottur. Bu asimptot b için y = a + a b için y = a + dýr. a olduðundan y = + eðik asimptottur. KÖKLÜ FONKSÝYONLARIN ASÝMPTOTLARI f() = + 4 þeklindeki irasyonel fonksiyonlarýn eðik asimptotlarýný araþtýralým. ± lim + + = lim ( ) + ± = lim ( ). + ± ( ) ii) iii) a < 0 ise lim f() = lim a +b +c limiti hesaplanamaz, çünkü kökün içi için negatiftir. f()= lim a +b+c+p+q fonksiyonunun yatay asimptotu b y = a + + p +q dir. a Bu da yukarýdakiler gibi elde edilir. olduðundan eðik asimptotlar için y = için y = + doðrularýdýr. Uyarý : f() = = lim. + ± ( ) = + lim. lim ± ± ( ) = lim. + ± = lim ± a +b +c þeklindeki fonksiyonlarýn eðik asimptotlarý kýsaca þöyle bulunur. Örnek 4 f() = 4 + fonksiyonunun asimptotunu bulunuz. Çözüm Bunu da yukarýdaki formülün çýkýþýný kullanarak yapalým. f() = = ( ) = ( ). =. ( ) ( ) için karekökün limiti olacaðýndan eðik asimptot y = dir. + için y = ve için y = + bulunur. 55

124 Grafik Çizimleri Örnek 5 f() = fonksiyonunun eðik asimptotlarýný bulunuz. Çözüm Bunu da elde ettiðimiz formülden yapalým. 8 y = y = +. y = + = 5 y = + = + dir. Örnek 6 y= eðrisinin asimptotlarý hangi noktada kesiþir? Çözüm Fonksiyonun asimptotlarýný bulup, bunlarý ortak çözerek kesim noktasýný ortaya çýkartalým. 4 y = y = + + = + y = + + = 5 y = y 5 = + =, y = 5 Asimptotlarýn kesim noktasý (, 5) dir. a b = 0 = Yatay asimptotu Asiptotlarýn kýsým noktasý y = + doðrusu üzerinde ise b b+ a = + ise = a + b = bulunur. a a a a Örnek 8 b+ 4 f() = + c eðrisinin simetri merkezi (, ) noktasý olduðuna göre, b c nin deðeri kaçtýr? Çözüm Fonksiyonun simetri merkezi asimptotlarýn kesim noktasý olduðuna göre; ~ + c = 0 = c düþey asimptot olup = verilmiþtir. Buna göre = c = ise c = bulunur. ~ Eðik Asimptot b a lim y = y = a a b A, a a b + 4 +c ise y = (b + c) ± c (b+c) eðik asimptottur. (b+c) + 4 ± (b + c) + c(b + c) Uyarý : Bir fonksiyonun simetri merkezi asimptotlarýn kesim noktasýdýr. 4 + c(b + c) Asimptotlarýn kesim noktasý A(, ) y = (b + c) y asimptotu üzerinde Örnek 7 + y = a b olduðundan, = (b + c) (, ) eðrisinin simetri merkezi y = + doðrusu üzerinde ise a + b nin deðeri kaçtýr? b + c = 5 bulunur. b = 5 ise b = 7 Çözüm + y = a b eðrisinin düþey asimptotu Buna göre; b c = 7 ( ) = 7 + = 9 bulunur. 56

125 Grafik Çizimleri KESÝRLÝ FONKSÝYONLARIN GRAFÝKLERÝ Bir f() fonksiyonunun grafiðini çizmek için aþaðýdaki yollar sýrasýyla izlenir.. f() in tanýmlý olduðu aralýk bulunur, fonksiyon trigonometrik ise peryodu tespit edilir.. f() fonksiyonunun asimptotlarý bulunur.. f() fonksiyonunun eksenleri kestiði noktalar bulunur. ~ = 0 için y = f(0), A[0, f(0)] noktasý fonksiyonun y eksenini kestiði noktadýr. ~ y = 0 için f() = 0, B(, 0) noktasý fonksiyonun eksenini kestiði noktadýr. 4. Fonksiyon kesirli ise pay, kesirsiz ise çarpanlarýndan biri tam kare ise tam karenin kökünde grafik eksenine teðettir. y 5. Türevine bakýlýr yani f ý () = 0 denklemi çözülerek eðrinin ekstremum noktalarý bulunur. Deðiþim tablosu yapýlarak artan ve azalan olduðu aralýklar tesbit edilir. Bütün bilgiler bu deðiþim tablosu üzerine yazýlýr ve bu bilgiler ýþýðýnda grafik çizilir. Örnek fonksiyonunun grafiðini çiziniz. Çözüm i) f() = y nin taným kümesi R {} dir. ii) = 0 ise = düþey asimptot iii) y = lim = = 0, y = 0 doðrusu yani ekseni yatay asimptottur. Eksenleri kestiði noktalar = 0 için y = A 0, noktasý y eksenini kestiði noktadýr. f() = ( ) (...) y = 0 için 0 = 0 yani eðri eksenini kesmez. ( + ) (...) f() = (...) y iv) Deðiþim tablosunu inceleyelim. ý 0.. f() = = = 0 ( ) ( ) olduðundan denklemin kökü yoktur. Dolayýsýyla fonksiyon her yerde azalandýr. 0 + Eðer kesirli fonksiyonun paydasýnda tam kareli terim varsa tamkarenin kökünde fonksiyon ± a atýlmýþ bir ekstremumu vardýr. y y y ý y bu incelemelerden sonra grafiði rahatlýkla çizebiliriz. y f() = (...) ( ) 57

4. a ve b, 7 den küçük pozitif tam sayý olduðuna göre, 2 a a b. 5. 16 x+1 = 3

4. a ve b, 7 den küçük pozitif tam sayý olduðuna göre, 2 a a b. 5. 16 x+1 = 3 LYS ÜNÝVSÝT HAZILIK ÖZ-D-BÝ YAYINLAI MATMATÝK DNM SINAVI A Soru saýsý: 5 Yanýtlama süresi: 75 dakika Bu testle ilgili anýtlarýnýzý optik formdaki Matematik bölümüne iþaretleiniz. Doðru anýtlarýnýzýn saýsýndan

Detaylı

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI YILLAR 966 967 968 969 97 97 97 975 976 977 978 980 98 98 98 98 985 986 987 988 989 990 99 99 99 99 995 996 997 998 006 007 ÖSS / ÖSS-I ÖYS / ÖSS-II 5 6 6 5

Detaylı

PARABOL TEST / 1. 1. Aþaðýdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiði parabol. 5. Aþaðýdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiði A(0,2) noktalarýndan geçer?

PARABOL TEST / 1. 1. Aþaðýdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiði parabol. 5. Aþaðýdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiði A(0,2) noktalarýndan geçer? PARABOL TEST /. Aþaðýdaki fnksinlardan hangisinin grafiði parabl belirtir? 5. Aþaðýdaki fnksinlardan hangisinin grafiði A(0,) nktalarýndan geçer? A) f()=5 f()=+ C) f()= D) f()= f()= 4 + + A) f()= f()=

Detaylı

LYS MATEMATÝK II - 10

LYS MATEMATÝK II - 10 ÝREY DERSHNELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS UYGULM FÖYÜ (MF-TM) DERSHNELERÝ LYS MTEMTÝK II - 0 PRL - I Ders anlatým föleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar çalýþýlmalýdýr. dý Soadý :... u kitapçýðýn her hakký

Detaylı

5. 2x 2 4x + 16 ifadesinde kaç terim vardýr? 6. 4y 3 16y + 18 ifadesinin terimlerin katsayýlarý

5. 2x 2 4x + 16 ifadesinde kaç terim vardýr? 6. 4y 3 16y + 18 ifadesinin terimlerin katsayýlarý CEBÝRSEL ÝFADELER ve DENKLEM ÇÖZME Test -. x 4 için x 7 ifadesinin deðeri kaçtýr? A) B) C) 9 D). x 4x ifadesinde kaç terim vardýr? A) B) C) D) 4. 4y y 8 ifadesinin terimlerin katsayýlarý toplamý kaçtýr?.

Detaylı

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

3. Çarpýmlarý 24 olan iki sayýnýn toplamý 10 ise, oranlarý kaçtýr? AA 2 1 1 2 1. BÖLÜM

3. Çarpýmlarý 24 olan iki sayýnýn toplamý 10 ise, oranlarý kaçtýr? AA 2 1 1 2 1. BÖLÜM 7. SINIF COÞMAYA SORULARI 1. BÖLÜM DÝKKAT! Bu bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. 3. Çarpýmlarý 24 olan iki sayýnýn toplamý 10 ise, oranlarý kaçtýr? 2 1 1 2 A) B) C) D) 3 2 3

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

1. Böleni 13 olan bir bölme iþleminde kalanlarýn

1. Böleni 13 olan bir bölme iþleminde kalanlarýn 4. SINIF COÞMAYA SORULARI 1. BÖLÜM 3. DÝKKAT! Bu bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. 1. Böleni 13 olan bir bölme iþleminde kalanlarýn toplamý kaçtýr? A) 83 B) 78 C) 91 D) 87

Detaylı

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4.

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4. POLİNOMLAR I MATEMATİK. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? I. ( ) P = + II. ( ) P = + III. ( ) + + P = + 6. ( ) ( ) ( ) P = a b a + b sabit polinom olduğuna göre ( ) ( ) ( ) P a +P b +P 0 toplamı kaçtır?

Detaylı

Geometriye Y olculuk. E Kare, Dikdörtgen ve Üçgen E Açýlar E Açýlarý Ölçme E E E E E. Çevremizdeki Geometri. Geometrik Þekilleri Ýnceleyelim

Geometriye Y olculuk. E Kare, Dikdörtgen ve Üçgen E Açýlar E Açýlarý Ölçme E E E E E. Çevremizdeki Geometri. Geometrik Þekilleri Ýnceleyelim Matematik 1. Fasikül ÜNÝTE 1 Geometriye Yolculuk ... ÜNÝTE 1 Geometriye Y olculuk Çevremizdeki Geometri E Kare, Dikdörtgen ve Üçgen E Açýlar E Açýlarý Ölçme Geometrik Þekilleri Ýnceleyelim E E E E E Üçgenler

Detaylı

3. FASÝKÜL 1. FASÝKÜL 4. FASÝKÜL 2. FASÝKÜL 5. FASÝKÜL. 3. ÜNÝTE: ÇIKARMA ÝÞLEMÝ, AÇILAR VE ÞEKÝLLER Çýkarma Ýþlemi Zihinden Çýkarma

3. FASÝKÜL 1. FASÝKÜL 4. FASÝKÜL 2. FASÝKÜL 5. FASÝKÜL. 3. ÜNÝTE: ÇIKARMA ÝÞLEMÝ, AÇILAR VE ÞEKÝLLER Çýkarma Ýþlemi Zihinden Çýkarma Ýçindekiler 1. FASÝKÜL 1. ÜNÝTE: ÞEKÝLLER VE SAYILAR Nokta Düzlem ve Düzlemsel Þekiller Geometrik Cisimlerin Yüzleri ve Yüzeyleri Tablo ve Þekil Grafiði Üç Basamaklý Doðal Sayýlar Sayýlarý Karþýlaþtýrma

Detaylı

İçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1...

İçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1... İçindekiler. Türev......... Türev kavramı.. 00. Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 00. Alıştırmalar.... 005. Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan türevi..... 006.4 Bir fonksiyonun bir noktadaki

Detaylı

Kanguru Matematik Türkiye 2015

Kanguru Matematik Türkiye 2015 3 puanlýk sorular 1. Hangi þeklin tam olarak yarýsý karalanmýþtýr? A) B) C) D) 2 Þekilde görüldüðü gibi þemsiyemin üzerinde KANGAROO yazýyor. Aþaðýdakilerden hangisi benim þemsiyenin görüntüsü deðildir?

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

Kümeler II. KÜMELER. Çözüm A. TANIM. rnek... 3. Çözüm B. KÜMELERÝN GÖSTERÝLMESÝ. rnek... 1. rnek... 2. rnek... 4. 9. Sýnýf / Sayý..

Kümeler II. KÜMELER. Çözüm A. TANIM. rnek... 3. Çözüm B. KÜMELERÝN GÖSTERÝLMESÝ. rnek... 1. rnek... 2. rnek... 4. 9. Sýnýf / Sayý.. Kümeler II. KÜMLR. TNIM Küme, bir nesneler topluluðudur. Kümeyi oluþturan nesneler herkes tarafýndan ayný þekilde anlaþýlmalýdýr. Kümeyi oluþturan nesnelerin her birine eleman denir. Kümeyi genel olarak,,

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

3. Tabloya göre aþaðýdaki grafiklerden hangi- si çizilemez?

3. Tabloya göre aþaðýdaki grafiklerden hangi- si çizilemez? 5. SINIF COÞMY SORULRI 1. 1. BÖLÜM DÝKKT! Bu bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. Kazan Bardak Tam dolu kazandan 5 bardak su alýndýðýnda kazanýn 'si boþalmaktadýr. 1 12 Kazanýn

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Tekrar Zamanı TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ÇÖZÜMLÜ TEST 1... 52 ÇÖZÜMLÜ TEST 2... 54 MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ. Uygulama Zamanı 1...

İÇİNDEKİLER. Tekrar Zamanı TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ÇÖZÜMLÜ TEST 1... 52 ÇÖZÜMLÜ TEST 2... 54 MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ. Uygulama Zamanı 1... İÇİNDEKİLER TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Teğet ve Normal Doğruların Eğimi... Teğet Doğrusunun Eğim Açısı... Teğet ve Normal Denklemleri... Eğrinin Teğetine Paralel ve Dik Doğrular... Grafikte Teğet I... 5

Detaylı

Çalışma Soruları(MAT-117)-Harita Mühendisliği Bölümü(2015)-Ara Sınav

Çalışma Soruları(MAT-117)-Harita Mühendisliği Bölümü(2015)-Ara Sınav Çalışma Soruları(MAT-117)-Harita Mühendisliği Bölümü(015)-Ara Sınav S-1) Merkezi M(, 1) de olan ve 4y + 1 = 0 doğrusundan 4 birimlik bir kiriş ayıran çemberin S-) Merkezi M(,4) de olan ve + 5y 10 = 0 doğrusundan

Detaylı

Geometri Çalýþma Kitabý

Geometri Çalýþma Kitabý LYS GMTRÝ ÇLIÞM ÝTI LYS Geometri Çalýþma itabý opyright Sürat asým Reklamcýlýk ve ðitim raçlarý San. Tic. Þ u kitabýn tamamýnýn ya da bir kýsmýnýn, kitabý yayýmlayan þirketin önceden izni olmaksýzýn elektronik,

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012 Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi e Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.8. ta rih ve sa ı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve - Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren u gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır

Detaylı

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

LYS MATEMATİK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ

LYS MATEMATİK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ Ders Adı.ınıf Mezun LY MATEMATİK KONU ANLATIM FAİKÜLÜ TÜREV KAF 0 Konu Bir doğrunun eğimi dik koordinat sisteminde X ekseni ile aptığı pozitif önlü açının tanjantıdır. Örneğin, şekilde verilen d doğrusunun

Detaylı

Örnek...1 : f (x)=2x 2 5x+6 parabolü K(2,p) noktasından geçiyorsa p kaçtır? Örnek...2 : Aşağıda çeşitli parabol grafikleri verilmiştir incele yi niz.

Örnek...1 : f (x)=2x 2 5x+6 parabolü K(2,p) noktasından geçiyorsa p kaçtır? Örnek...2 : Aşağıda çeşitli parabol grafikleri verilmiştir incele yi niz. a, b,c R,a 0 olmak koşulula f ()=a 2 +b+c fonksionuna ikinci dereceden bir değişkenli fonksion ve bu fonksionun belirttiği eğrie de parabol denir. Uarı ir parabolün grafiği başkatsaı olan a saısına bağlı

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI

MATEMATİK SORU BANKASI Bu kitap tarafından hazırlanmıştır. MATEMATİK SORU BANKASI ISBN-978-605-6067-8- Sertifika No: 748 Konu Kavrama s e r i s i Üniversiteye Hazırlık & Okula Yardımcı Bu kitabın tüm basım ve yayın hakları na

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No MATEMATÝK - II POLÝNOMLAR - IV MF TM LYS1 04 Ders anlatým föyleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar çalýþýlmalýdýr

Detaylı

LYS GEOMETRÝ. Doðruda Açýlar Üçgende Açýlar Açý - Kenar Baðýntýlarý Dik Üçgen ve Öklit Baðýntýlarý

LYS GEOMETRÝ. Doðruda Açýlar Üçgende Açýlar Açý - Kenar Baðýntýlarý Dik Üçgen ve Öklit Baðýntýlarý LYS GEOMETRÝ Soru Çözüm ersi Kitapçığı 1 (MF - TM) oðruda çýlar Üçgende çýlar çý - Kenar aðýntýlarý ik Üçgen ve Öklit aðýntýlarý Ýkizkenar ve Eþkenar Üçgen Üçgende lan u yayýnýn her hakký saklýdýr. Tüm

Detaylı

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız Bölüm 4 Türev Uygulamaları 4.1 Bağımlı Hız Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem yarıçapı hem de hacmi artar ve artış hızları birbirine bağımlıdır. Fakat, hacmin artış hızını doğrudan ölçmek

Detaylı

Kanguru Matematik Türkiye 2015

Kanguru Matematik Türkiye 2015 3 puanlýk sorular 1. Aþaðýdaki þekillerden hangisi bu dört þeklin hepsinde yoktur? A) B) C) D) 2. Yandaki resimde kaç üçgen vardýr? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 3. Yan taraftaki þekildeki yapboz evin eksik parçasýný

Detaylı

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları...

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları... ÜNİTE Safa No............................................................ 79 98 Fonksionlar Konu Özeti...................................................... 79 Konu Testleri ( 8)...........................................................

Detaylı

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri

Detaylı

Kanguru Matematik Türkiye 2015

Kanguru Matematik Türkiye 2015 3 puanlýk sorular 1. Aþaðýda verilen iþlemleri sýrayla yapýp, soru iþareti yerine yazýlmasý gereken sayýyý bulunuz. A) 7 B) 8 C) 10 D) 15 2. Erinç'in 10 eþit metal þeridi vardýr. Bu metalleri aþaðýdaki

Detaylı

Matematik ve Türkçe Örnek Soru Çözümleri Matematik Testi Örnek Soru Çözümleri 1 Aþaðýdaki saatlerden hangisinin akrep ve yelkovaný bir dar açý oluþturur? ) ) ) ) 11 12 1 11 12 1 11 12 1 10 2 10 2 10 2

Detaylı

Fonksiyonların Grafikleri... 378

Fonksiyonların Grafikleri... 378 f() a a TÜREV KAVRAMI Türev ile Hız Arasındaki İlişki...5 Türev ve Teğetin Eğimi Arasındaki İlişki... 58 Diferansiel Kavramı... 6 Türevin Tanımı...6 Türev Alma Kuralları... 7 Sabitin Türevi... 7 Toplam

Detaylı

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY A. AÇI Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir. B. YÖNLÜ AÇI

Detaylı

TMOZ/tmoz@yahoogroups.com Kasım - 2005 Ters trigonometrik fonksiyonlar Eyüp Kamil Yeşilyurt Alaattin Altuntaş Mustafa Yağcı Dikkat edilmeyen veya önemsenmeyen ayrıntılar bir gün sizi de rahatsız edebilir.

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması www.mustafaagci.com.tr, 11 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, agcimustafa@ahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması B ir doğru kaç noktasıla bellidi? İki, değil mi Çünkü tek bir noktadan geçen istediğimiz kadar

Detaylı

Genel Yetenek Testi Örnek Soru Çözümleri

Genel Yetenek Testi Örnek Soru Çözümleri Genel Yetenek Testi Örnek Soru Çözümleri Genel Yetenek Testi Örnek Soru Çözümleri 1 2 1 1 2 Çok Sýcak Soðuk Sýcak Çok Soðuk D B C Çorba Kutuplar Yanardað Sonbahar Yukarýda yer alan 1. ve 2. kutudakiler

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. P(x) x 2 x 3 polinomunda. 2b a ifade- x lü terimin. olduğuna göre, katsayısı kaçtır? değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 4.

2014 LYS MATEMATİK. P(x) x 2 x 3 polinomunda. 2b a ifade- x lü terimin. olduğuna göre, katsayısı kaçtır? değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 4. 04 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsayısı kaçtır? 4 lü terimin. ifadesinin değeri kaçtır? 4. yy y 4y y olduğuna göre, + y toplamının değeri kaçtır?

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi

Detaylı

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir.

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir. Biz, Sizin İçin Farklı Düşünüyor Farklı Üretiyor Farklı Uyguluyoruz Biz, Sizin İçin Farklıyız Sizi de Farklı Görmek İstiyoruz Soru Bankası matematik konularını yeni öğrenen öğrenciler için TMOZ öğretmenlerince

Detaylı

PID Kontrol Formu. Oransal Bant. Proses Deðeri Zaman

PID Kontrol Formu. Oransal Bant. Proses Deðeri Zaman PID Kontrol Formu PID kontrol formu endüstride sýkça kullanýlan bir proses kontrol yöntemidir. PID kontrol algoritmasýnýn çalýþma fonksiyonu, kontrol edilen prosesten belirli aralýklarla geri besleme almak

Detaylı

f : R + R, f(x) = log a 0 < a < 1 için f(x) = log a a. f : ;, 4m R, f(x) = log2 x b. f : R + R, f(x) = log 1, f(2) = 2 2

f : R + R, f(x) = log a 0 < a < 1 için f(x) = log a a. f : ;, 4m R, f(x) = log2 x b. f : R + R, f(x) = log 1, f(2) = 2 2 Fonksionlar f : R R, f() = a Fonksionunun Grafi i f : R R, f() = log a Fonksionunun Grafi i a > için f() = a üstel fonksionunun grafi i andaki gibidir. = a a > için f() = log a fonksionunun grafi i andaki

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

18 Sağ son örnek x 3 yerine 3 x yazılacak 20 5 Soru denkleminin reel köklerinin olacak

18 Sağ son örnek x 3 yerine 3 x yazılacak 20 5 Soru denkleminin reel köklerinin olacak MAT 1 Hata 73 1 C 135 8 A 137 7 D şıkkına parantez konacak 143 Sol üst örnek Sıkça yapılan yanlış ün son cümlesi O halde. 144 Son örnek tam yerine doğal 208 9 18 yerine 18 8 5 225 2 A 246 6 Doğru cevap:

Detaylı

PARABOL Test -1. y x 2x m 1 parabolü x eksenini kesmiyorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

PARABOL Test -1. y x 2x m 1 parabolü x eksenini kesmiyorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir? PROL est -. m parabolü eksenini kesmiorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?. f a b c (, ) ) (, ) (, ) (, ) ( 6, ). m parabolü eksenini iki farklı noktada kesmektedir. una göre,

Detaylı

2014 2015 Eðitim Öðretim Yýlý ÝSTANBUL ÝLÝ ÝLKOKULLAR ARASI 2. Zeka Oyunlarý Turnuvasý 7 Mart Silence Ýstanbul Hotel TURNUVA PROGRAMI 09.30-10.00 10.00-10.45 11.00-11.22 11.35-11.58 12.10-12.34 12.50-13.15

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

Geometri Çalýþma Kitabý

Geometri Çalýþma Kitabý YGS GMTRÝ ÇLIÞM ÝTI YGS Geometri Çalýþma itabý opyright Sürat asým Reklamcýlýk ve ðitim raçlarý San. Tic. Þ u kitabýn tamamýnýn ya da bir kýsmýnýn, kitabý yayýmlayan þirketin önceden izni olmaksýzýn elektronik,

Detaylı

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir

Detaylı

MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE DEVLET OLGUNLUK SINAVI. Testin Çözme Süresi: 180 dakika ADAY ÝÇÝN AÇIKLAMALAR - YÖNERGE DEVLET SINAV MERKEZÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ

MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE DEVLET OLGUNLUK SINAVI. Testin Çözme Süresi: 180 dakika ADAY ÝÇÝN AÇIKLAMALAR - YÖNERGE DEVLET SINAV MERKEZÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ BURAYA YAPIÞTIR DEVLET OLGUNLUK SINAVI DEVLET SINAV MERKEZÝ MATEMATÝK - TEMEL SEVÝYE MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE Testin Çözme Süresi: 180 dakika Haziran, 2009 yýlý BÝRÝNCÝ deðerlendiricinin þifresi

Detaylı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı FOURIER SERİLERİ Bu bölümde Fourier serilerinden bahsedeceğim. Önce harmoniklerle (katsıklıklarla) ilişkili sinüsoidin tanımından başlıyacağım ve serilerin trigonometrik açılımlarını kullanarak katsayıları

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan

Detaylı

Soru 1. Çözüm. Soru 2. Çözüm. 2005 Yýlý Sorularý ve Çözümleri. Cevap D. Cevap E. Tübitak Ulusal Bilgisayar Olimpiyatlarý

Soru 1. Çözüm. Soru 2. Çözüm. 2005 Yýlý Sorularý ve Çözümleri. Cevap D. Cevap E. Tübitak Ulusal Bilgisayar Olimpiyatlarý 005 Yýlý Sorularý ve Çözümleri Soru m sayýda yetiþkin izci ile n sayýda yavrukurttan oluþan bir izci grubu (m, n ), bir gezi sýrasýnda bir nehir kýyýsýna ulaþýr. Karþý tarafa geçmek için sahip olduklarý

Detaylı

Türev Kavramı ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Kavramı ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Kavramı Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramını anlayacak, türev alma kurallarını öğrenecek, türevin geometrik ve fiziksel anlamını kavrayacak,

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği HEDEFLER İÇİNDEKİLER GRAFİK ÇİZİMİ Simetri ve Asimtot Bir Fonksionun Grafiği MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR Bu ünitei çalıştıktan sonra; Fonksionun simetrik olup olmadığını belirleebilecek, Fonksionun

Detaylı

ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 12. SINIFLAR SEÇMELİ MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK DERS PLANI

ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 12. SINIFLAR SEÇMELİ MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK DERS PLANI ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ 015-016 EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 1. SINIFLAR SEÇMELİ MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK DERS PLANI AY HAFTA SAAT KAZANIMLAR BÖLÜMLER (ALT ÖĞRENME ALANLARI) ÖĞRENME

Detaylı

KÜMELER TEST / 1. 1. Aþaðýdakilerden hangisi bir küme belirtir?

KÜMELER TEST / 1. 1. Aþaðýdakilerden hangisi bir küme belirtir? KÜMELER TEST /. þaðýdakilerden hangisi bir küme belirtir? 6. ten küçük asal sayýlar kümesinin Venn þemasý ile gösterimi aþaðýdakilerden ) Yýlýn aylarý ) Sokaktaki yaþlý insanlar ) Trabzondaki en iyi lokantalar

Detaylı

17 ÞUBAT 2016 5. kontrol

17 ÞUBAT 2016 5. kontrol 17 ÞUBAT 2016 5. kontrol 3 puanlýk sorular 1. Tuna ve Coþkun un yaþlarý toplamý 23, Coþkun ve Ali nin yaþlarý toplamý 24 ve Tuna ve Ali nin yaþlarý toplamý 25 tir. En büyük olanýn yaþý kaçtýr? A) 10 B)

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS UYGULAMA FÖYÜ (MF) LYS FÝZÝK - 13 KALDIRMA KUVVETÝ - I

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS UYGULAMA FÖYÜ (MF) LYS FÝZÝK - 13 KALDIRMA KUVVETÝ - I BÝRE DERSHANEERÝ SINIF ÝÇÝ DERS UUAMA FÖÜ (MF) DERSHANEERÝ S FÝÝ - 13 ADIRMA UVVETÝ - I Ders anlatým föyleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar çalýþýlmalýdýr. ADIRMA UVVETÝ - I Adý Soyadý :... Bu

Detaylı

Ý Ç Ý N D E K Ý L E R

Ý Ç Ý N D E K Ý L E R ÝÇÝNDEKÝLER A. BÝRÝNCÝ ÜNÝTE: ÞEKÝLLER VE SAYILAR Nokta...9 Düzlem...10 Geometrik Cisimler ve Modelleri...12 Geometrik Cisimler ve Yüzeyleri...14 Haftanýn Testi...16 Veri Toplama - Þekil Grafiði...18 Tablo...20

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. ab iki basamaklı saısı b ile bölündüğünde, bölüm 5 ve kalan b 5 tir. u şartlara uan kaç farklı ab iki basamaklı saısı vardır? ) 5 6 7 5. a, b, c, d, e sıfırdan farklı tamsaılar

Detaylı

FONKSİYONLAR ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

FONKSİYONLAR ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT FONKSİYONLAR ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Fonksionlar. Kazanım : Fonksion kavramı, fonksion çeşitleri ve ters fonksion kavramlarını açıklar.. Kazanım : Verilen bir fonksionun artan, azalan ve sabit

Detaylı

MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR.

MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR. Ö S Y M T.C. YÜKSEKÖĞRETİM KURULU ÖĞRENCİ SEÇME VE YERLEŞTİRME MERKEZİ LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 BU SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 LYS MATEMATİK

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 :

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 : FONKSİYONLR FONKSİYONUN EKSENLERİ KESİM NOKTLRI =f() fonksio - nunun ekseninin kestiği noktaların m apsisleri b, c, e dir. u noktalar a b f()= denkleminin kökleridir n =f() in p eksenini kestiği nokta

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 :

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 : FONKSİYONLR FONKSİYONUN EKSENLERİ KESİM NOKTLRI fonksionunun ekseninin kestiği k noktaların m apsisleri b, c, e dir. u noktalar a b c f()= denkleminin n kök leridir p in eksenini kestiği nokta ise (,p)

Detaylı

Vektörler - Kuvvetler

Vektörler - Kuvvetler Vektörler - uvvetler 1. esiþen üç kuvvet dengede ise, herhangi iki kuvvetin bileþkesi ters yöndeki T T üçüncü kuvvete büyüklükçe eþittir. G Ýplerde oluþan gerilme kuvvetleri arasýndaki açý büyüdükçe bileþkesi

Detaylı

Çözüm: Örnek: 3. BÖLÜM TEST - 1. 4x 3 +3y 2 2x 4y=9 eğrisinin (1, 1) noktasındaki teğetinin denklemi nedir?

Çözüm: Örnek: 3. BÖLÜM TEST - 1. 4x 3 +3y 2 2x 4y=9 eğrisinin (1, 1) noktasındaki teğetinin denklemi nedir? . BÖLÜM TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU TEST TEST - 4 + 4=9 eğrisinin (, ) noktasındaki teğetinin denklemi nedir?. f()=( ). ( 5) fonksionun =4 noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? A) 4 B) C) D) E) 6. fonksionun.

Detaylı

π a) = cosa Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran 2007 Matematik II Soruları ve Çözümleri

π a) = cosa Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran 2007 Matematik II Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 7 Haziran 7 Matematik II Soruları ve Çözümleri. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * ( + i) işleminin sonucu

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 19 HAZİRAN 2016 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

π θ = olarak bulunur. 2 θ + θ θ θ θ θ π 3 UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II VİZE SORULARI ÇÖZÜMLERİ 22.04.

π θ = olarak bulunur. 2 θ + θ θ θ θ θ π 3 UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II VİZE SORULARI ÇÖZÜMLERİ 22.04. UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II VİZE SORULARI ÇÖZÜMLERİ.04.006. Aşağıdaki gibi, M ve M merkezli br yarıçaplı iki dairenin kesişimi şeklinde bir park inşa edilmektedir. Bu iki dairenin

Detaylı

4.3. Türev ile İlgili Teoremler

4.3. Türev ile İlgili Teoremler 4.. Türev ile İlgili Teoremler Bu kesimde ortalama değer teoremini vereceğiz. Ortalama değer teoremini ispatlarken kullanılacak olan Fermat teoremini ve diğer bazı teoremleri ispat edeceğiz. 4...Teorem

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır?

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır? MATE 106 SOSYAL BİLİMLER İÇİN TEMEL ANALİZ Ad-Soyad No Uygun cevabı bulunuz. 1)A = πr2 formülü r yarıçaplı çemberin A alanını vermektedir. Bir masa örtüsü A alanına sahipse, yarıçapını A'nın bir fonksiyonu

Detaylı

İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan. seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını

İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan. seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını OPTİMİZASYON İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize edecek olan üretim miktarının belirlenmesi; bir bireyin toplam

Detaylı

Belirsiz Integraller. 1.1 Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral. 1.1.1 Temel Tan mlar ve Sonuc. lar

Belirsiz Integraller. 1.1 Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral. 1.1.1 Temel Tan mlar ve Sonuc. lar Ic. indekiler Belirsiz Integraller 3. Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral................ 3.. Temel Tan mlar ve Sonuc.lar............... 3. Temel Integral Alma Yöntemleri................ 0.. De giṣken

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

Şekildeki gibi yarıçapları 1 cm olan üç çember birbirine teğettir. Bu çemberler arasındaki a- lan kaç cm 2 dir? A) π. E) π+ 2 3. Çözüm: üçgendir. 2.

Şekildeki gibi yarıçapları 1 cm olan üç çember birbirine teğettir. Bu çemberler arasındaki a- lan kaç cm 2 dir? A) π. E) π+ 2 3. Çözüm: üçgendir. 2. . + - + + - x y x y x y x y ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) - B) - C) - x y x y x y D) - E ) 5 - x y x y + - + + - 5 - x y x y x y x y x y. Verilen şekilde açıların ölçüleri verilmiştir. En

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

Örnek...1 : mx+3y+12=0 ve 2x 5y+3=0 doğruları para - lelse m kaçtır?

Örnek...1 : mx+3y+12=0 ve 2x 5y+3=0 doğruları para - lelse m kaçtır? İKİ DOĞRUNUN BİRBİRİNE GÖRE DURUMU DURUM 1 PARALEL DOĞRULAR ve doğruları paralel doğrular ise eğimleri eşittir. Yani / / m 1 =m 2 Ayr ıca : a 1 x+b 1 y+c 1 =0 =0} / / a 1 a 2 = b 1 c 1 c 2 Örnek...1 :

Detaylı

ege yayıncılık Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 49 1. Afla daki fonksiyonlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir?

ege yayıncılık Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 49 1. Afla daki fonksiyonlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir? Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 9. Afla daki fonksionlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir? 5. Afla daki fonksionlardan hangisi A(,) noktas ndan geçer? A) f() = B) f() = f() = + f() =. f()

Detaylı

www.mehmetsahinkitaplari.org

www.mehmetsahinkitaplari.org MATEMA www.mehmetsahinkitaplari.org T T r. P ALME YA YINCILIK Ankara I PALME YAYINLARI: 76 Sinif Matematik Konu Anlatım / Mehmet Şahin Yaına Hazırlama : PALME Dizgi-Grafik Tasarım Birimi Yaın Editörü :

Detaylı

KÖÞE TEMÝZLEME MAKÝNASI ELEKTRONÝK KONTROL ÜNÝTESÝ KULLANIM KILAVUZU GENEL GÖRÜNÜM: ISLEM SECIMI FULL

KÖÞE TEMÝZLEME MAKÝNASI ELEKTRONÝK KONTROL ÜNÝTESÝ KULLANIM KILAVUZU GENEL GÖRÜNÜM: ISLEM SECIMI FULL KÖÞE TEMÝZLEME MAKÝNASI ELEKTRONÝK KONTROL ÜNÝTESÝ KULLANIM KILAVUZU GENEL GÖRÜNÜM: calismaya hazir Enter Tuþu menülere girmek için kullanýlýr. Kýsa süreli basýldýðýnda kullanýcý menüsüne, uzun sürelibasýldýðýnda

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLAIM FÖYÜ DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No. MAEMAÝK - II PARABL - II MF M LYS1 10 Ders anlatým föleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar çalýþýlmalýdýr.

Detaylı

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe)

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) Merak uyandıran konulardan birisi olan fonksiyonel denklemlerle ilgili Türkçe kaynakların az oluşundan dolayı, matematik

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir.

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir. Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri Düzlemin noktalarını, düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten bir fonksiyona düzlemin bir dönüşümü denir. Öteleme: a =(a 1,a ) ve u =(u 1,u ) olmak

Detaylı

3 VEKTÖRLER. Pilot uçağın kokpit inden havaalanını nasıl bulur?

3 VEKTÖRLER. Pilot uçağın kokpit inden havaalanını nasıl bulur? 3.1 Koordinat sistemleri 3.2 Kartezyen koordinatlar 3.3 Vektörler 3.4 Vektörlerin bileşenleri 3.5 Vektörlerin toplanması 3.6 Vektörlerin çıkarılması 37Bii 3.7 Birim vektör 3 VEKTÖRLER Pilot uçağın kokpit

Detaylı

Firmamýz mühendisliðinde imalatýný yaptýðýmýz endüstriyel tip mikro dozaj sistemleri ile Kimya,Maden,Gýda... gibi sektörlerde kullanýlan hafif, orta

Firmamýz mühendisliðinde imalatýný yaptýðýmýz endüstriyel tip mikro dozaj sistemleri ile Kimya,Maden,Gýda... gibi sektörlerde kullanýlan hafif, orta Mikro Dozaj Firmamýz mühendisliðinde imalatýný yaptýðýmýz endüstriyel tip mikro dozaj sistemleri ile Kimya,Maden,Gýda... gibi sektörlerde kullanýlan hafif, orta ve aðýr hizmet tipi modellerimizle Türk

Detaylı

B: Bu şekildeki her bir nokta dikdörtgenin noktalarını temsil eder.

B: Bu şekildeki her bir nokta dikdörtgenin noktalarını temsil eder. 2. ÇOK KATLI İNTEGRALLER, DİFERENSİYEL DENKLEMLERE GİRİŞ 2.1. Çok Katlı İntegraller 2.1.1. İki Katlı İntegraller Fonksiyonu bir B bölgesinde sınırlı yani için olsun. B bölgesi alt bölgelere ayrılırsa;

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş Dr. Özgür Kabak Doğrusal Olmayan Programlama Eğer bir Matematiksel Programlama modelinin amaç fonksiyonu ve/veya kısıtları doğrusal değil

Detaylı

Diğer sayfaya geçiniz. 2013 - YGS / MAT TEMEL MATEMATİK TESTİ. olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır?

Diğer sayfaya geçiniz. 2013 - YGS / MAT TEMEL MATEMATİK TESTİ. olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır? TEMEL MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. 3. olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır? A)

Detaylı