DERS 2. Fonksiyonlar - I

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "DERS 2. Fonksiyonlar - I"

Transkript

1 DERS Fonksionlar - I.1. Fonksion Kavramı. Her bilim dalının önemli bir işlevi, çeşitli nesneler vea büüklükler arasında eşlemeler kurmaktır. Böle bir eşleme kurulması belli büüklükleri belirleme vea tahmin etme olanağı verir. Örneğin, bir maliet analizcisi, üretim sürecinde çeşitli üretim sevielerde üretilen ürünlerin malietini belirlemek vea tahmin etmek ister; bir tıp araştırmacısı, kalp rahatsızlıkları ile şişmanlık arasındaki ilişkii ; bir ziraatçı, anı topraktan değişik tür buğda tohumlarının ne kadar verim verdiğini belirlemek vea tahmin etmek ister. Fonksion denince aklımıza bir tür eşleme gelmelidir. Günlük haatımızda ukarıda sözü edilenlere benzer pek çok eşleme örneğile karşılaşırız. Birkaç örnek daha verelim: Her öğrencinin bir numarası vardır. Başka bir deimle, her öğrenci bir saı ile eşlenir. Burcu Işık , Ali Demir Her insanın doğum ılı da o insan ile eşlenen bir saı olarak düşünülebilir. Mustafa Kemal Atatürk 1881, Cahit Arf 1910 Bir marketteki her malın bir fiatı vardır. Makarna 75 YKr, Sabun 85 YKr. Her saının iki katı vardır. 1, 4, 3 6, Her saının bir kare si vardır. 1 1, 4, 3 9, Yukarıda zikredilen tüm örneklerde ortak olan husus şudur: Her bir örnekte belli bir kümenin elemanları ile ikinci bir kümenin elemanlarını eşleen bir kural vardır. Son örneğimiz, saılar kümesinin her elemanını ine saılar kümesinde o elemanın karesi ile eşlemektedir. Bütün bunlar bizi fonksion kavramının tanımına götürür: Tanım 1. İki küme verilmiş olsun : A ve B. A kümesinin her elemanına B kümesinin bir ve alnız bir elemanını karşılık getiren bir kurala A dan B e bir fonksion denir. A kümesine bu fonksionun tanım kümesi, B kümesine de görüntü kümesi denir. A kümesinden B kümesine bir f fonksionu f : A B ile gösterilir.

2 Ders.. 0 Tanım. f : A B fonksionunun a A ile eşlediği eleman b B ise, b = f(a) azılır ve b = f(a) a a nın f altındaki görüntüsü vea f nin a daki değeri denir. f nin tüm değerlerinin kümesine, ani {f(a) : a A} kümesine f nin değer kümesi denir. Değer kümesi, görüntü kümesinin altkümesidir. Fonksionlar, aşağıdaki gibi, çizelgelerle de gösterilebilir: A B a f : A B b=f(a) =f() Tanıma göre A dan B e f fonksionunun A nın her a elemanına B den bir ve alnız bir, ani tek türlü belirli bir eleman karşılık getirmesi gerektiğini unutmamak gerekir. Bu bağlamda, aşağıda görülen çizelge, A = {1,, 3} kümesinden B={a, b, c} kümesine bir fonksion tanımlar. Burada, f (1) = a, f () = f (3) = c dir. B kümesinin b elemanı A nın hiçbir elemanının görüntüsü değildir. f nin değer kümesi, {a, c} dir. A 1 a b 3 c B Diğer andan, aşağıdaki çizelge, A = {1,, 3} kümesinden B={a, b, c } kümesine bir fonksion tanımlamaz(neden?) A 1 a b 3 c B

3 Fonksionlar - I 1.. Tanım Kümesi ve Görüntü Kümesi Reel Saı Kümeleri Olan Fonksionlar. Bu derste ele alacağımız fonksionların tanım kümeleri ve görüntü kümeleri saı kümeleri olacaktır. Böle bir fonksionun tanım kümesindeki her saısı için görüntü kümesinde bir ve alnız bir = f() saısı bulunacak ve dolaısıla (, f()) sıralı ikilisi, a da noktası, ortaa çıkacaktır. Bu şekilde ortaa çıkan noktaların Kartezen Düzlem de oluşturduğu nokta kümesine f fonksionunun grafiği denir. f() (,f()) = f() Örnek 1. Her reel saıa o saının iki katını karşılık getiren fonksionun grafiği anda görülen doğrudur. (-1,-) (-,-4) (1,) (,4) = Örnek. Her reel saıa o saının karesini karşılık getiren fonksionun grafiği anda görülen eğridir. (-,4) (-1,1) (,4) (1,1) = Yukarıdaki örneklerden ilkinde tanım kümesi R deki her saısına karşılık görüntü kümesi R de = saısı; ikinci örnekte de tanım kümesi R deki her saısına karşılık görüntü kümesi R de = saısı verilmektedir. Bu derste ele alacağımız fonksionlardan pek çoğu, bu örneklerde olduğu gibi, denklemler ardımıla tanımlanacaktır. Başka bir anlatımla, tanım kümesindeki her saısı için görüntü kümesinde karşılık gelen saısı, =f() gibi e bağlı bir ifade ile verilecektir. Bu

4 Ders.. ifadede tanım kümesinin herhangi bir elemanını gösteren e bağımsız değişken, görüntüsünü gösteren e de bağımlı değişken denir. in = f() Bağımlı Değişken Bağımsız Değişken Bir f fonksionu fabrikaa da benzetilebilir. O takdirde, bağımsız değişken, fabrikanın girdisi; bağımlı değişken de çıktısı olur. Çıktı = f() Girdi = f() gibi bir denklemle belirlenmiş bir fonksion verildiğinde, tanım kümesindeki her a saısı için f(a), verilen denklemden hesaplanır. Örnek 3. = f() = denklemi ile tanımlanan fonksionun tanım kümesi R dir ve f(0) = 0, f(1) = 0, f() =, f(3) = 6, f(-1) =, f(-) =6, f(-3) = 1 dir. Herhangi bir a reel saısı için f(a) = a a, f(a+1) = (a+1) (a+1) = a + a, f(a+) = (a+) (a+) = a +3 a + dir. Örnek 4. = (-1) denklemi tüm reel saılar kümesi R den R e bir fonksion tanımlar. = 1 olunca = 0, = 5 olunca = 0 ve =1/ olunca =-1/4 tür. Burada, birden büük saıları için,, kenar uzunlukları ve (-1) birim olan bir dik- -1 dörtgenin alanı olarak orumlanabilir. Çoğu zaman, denklemle tanımlanmış bir fonksionun tanım kümesi açıkça belirtilmez. Bu gibi durumlarda, tanım kümesi, bağımsız değişkenin bağımlı değişkeni tek türlü belirli bir reel saı olarak tanımlaabildiği değerlerin tümü olarak; değer kümesi de bağımlı değişken için bölece tanımlanan tüm değerler olarak alınır. Örnek 5. = 5 denklemi ile tanımlanan fonksionun tanım kümesi (,5] tir. Çünkü, 5 in tanımlı olması için olmalıdır

5 Fonksionlar - I 3 Örnek 6. 1 = denklemi ile tanımlanan fonksionun tanım kümesi + dir. Çünkü, 1 + ( ) (, ), = R \ {-} kesri - dışında her reel saı için tanımlıdır. Bazen kapalı denklemler de fonksion tanımlaabilir. Örnek 7. bağımsız ve bağımlı değişkenler olmak üzere, +3 = 6 denklemi bir fonksion tanımlar. Çünkü, bu denklem her reel saısına karşılık = (-/3) + saısını verir. +3 = 6 Bununla beraber, fonksion tanımlamaan kapalı denklemler de vardır. Örnek 8. bağımsız ve bağımlı değişkenler olmak üzere = 4 denklemi bir fonksion tanımlamaz. Çünkü, örneğin = 0 değeri için hem = hem de = - saıları bu denklemi sağlarlar. O halde bu denklem = 0 saısına birden çok saı karşılık getirmektedir ve bu nedenle bir fonksion tanımlamaz. = 4 - Bir denklemin fonksion tanımlaıp tanımlamadığını anlamanın pratik bir olu, o denklemin grafiğinin düşe doğrularla kesişimlerini düşünmektir. Eğer her düşe doğru grafiği en çok bir noktada kesiorsa, o denklem bir fonksion tanımlar ve denklemin grafiği fonksionun grafiğidir. Eğer grafiği birden çok noktada kesen düşe doğrular varsa, o denklem bir fonksion tanımlamaz. Son iki örnekte bu durumu gözlemleebilirsiniz..3. Ekonomide Fonksionlar. Ekonomide doğal olarak ortaa çıkan fonksionlar, gider, gelir, fiat ve kâr fonksionlarıdır. Bu kitapta vereceğimiz örneklerden büük çoğunluğu bu fonksionlarla ilişkili olacaktır Maliet(Gider) Fonksionu. Üretim apan her işletme için maliet(gider) söz konusudur. Bir işletmenin giderleri, kira, personel giderleri gibi sabit giderler ile, üretilen

6 Ders.. 4 ürün saısına göre değişebilen değişken giderlerden oluşur. Bir işletmenin belli bir dönemdeki toplam giderini Gi ile göstereceğiz. Gi = (sabit gider) + (değişken gider). Örneğin, bir işletmenin alık sabit gideri A YTL ve ürün başına gideri işletmenin ada ürün üretmesi durumunda alık toplam gideri B YTL ise, bu YTL olur. Gi() = A + B.3.. Fiat - Talep Fonksionu. Üretilip satılan ürün miktarı ile birim ürün fiatı arasındaki bağıntı, bir fonksion tanımlar. Örneğin, bir ürün için tespit edilen fiat p YTL ve o ürünün bu fiatla satılabileceği miktar (talep) adet ise ve fiat ile talep arasında, a ve b sabitler olmak üzere, p =p()= a b. gibi bir denklem varsa, bu denkleme fiat - talep denklemi, bu denklemin tanımladığı p fonksionununa da fiat - talep fonksionu denir Gelir Fonksionu. Bir işletmenin belli bir üründen elde ettiği gelir, satılan ürün saısı ile birim ürün fiatının çarpımıdır. Fiatın sabit olduğu varsaılırsa, gelir, satılan ürün saısına bağlı olarak değişir. Gelir fonksionunu Ge ile göstereceğiz: Ge = (satılan ürün miktarı). (birim ürün fiatı). Örneğin, bir firma bir ada her biri p YTL den tane ürün satmışsa, bu firmanın alık toplam geliri YTL olur. Ge()= p.3.4. Kâr Fonksionu. Kâr, gelir ile gider arasındaki farktır. Kâr fonksionunu K ile göstereceğiz: K()= Ge() Gi(). Örneğin, belli bir zaman aralığında ürün üretip satan bir firmanın gideri Gi() = A + B YTL ve bir ürünün satış fiatı p() = a b YTL ise, bu firmanın o zaman aralığındaki geliri Ge() = p = (a - b) = a - b YTL olur ve bölece firmanın o zaman aralığındaki kârı YTL olur. K() = Ge() Gi() =( a - b ) (A + B) = -b +(a - B) -A.3.5. Bir Problem. Bir tür çapa makinesi üreten bir firma, aptırdığı analizler sonucu, ılda adet çapa makinesi üretmesi durumunda toplam giderinin Gi( ) = bin YTL; makine başına ugun satış fiatının da p( ) = bin YTL olacağını tespit edior.

7 Fonksionlar - I 5 Bu firma ılda en çok 80 adet makine üretecektir. Firmanın ürettiği ürünün tamamını satacağını varsaarak a) Yılda 50 adet makine üretilmesi durumunda toplam gider ve bir makinenin satış fiatı ne olacaktır? b) Gelir fonksionunu veren denklemi ve bu fonksionun tanım kümesini azınız. 50 adet makine üretilmesi durumunda firmanın gelirini belirleiniz. c) Kâr fonksionunu veren denklemi azınız. Yılda 50 adet makine üretilmesi durumunda firmanın kârını bulunuz. Çözüm. a) Yıllık toplam gider Gi ( 50) = 15 + (1.) 50 = 75 bin YTL, bir makinenin satış fiatı p = p( 50) = 6 (0.075) 50 =. 5 bin, ani 50 YTL. b) Ge ( ) = p = , Ge ( 50) = = bin YTL, ani YTL. c) Kâr fonksionunun denklemi K ( ) = Ge( ) Gi( ) = ( ) = olup 50 adet makine üretilmesi durumunda firmanın kârı K ( 50) = = bin, ani YTL dir..4. Elemanter Fonksionlar. Ugulamalarda en çok karşılaşacağınız fonksionlar, elemanter fonksionlar olarak bilinen fonksionlar vea bu fonksionlar cinsinden ifade edilebilen fonksionlardır. Aşağıda, elemanter fonksionları, grafiklerile birlikte listelioruz:.4.1. Birim Fonksion: Her reel saıa kendisini karşılık getiren fonksion: f ( ) =. Yanda grafiği görülen birim fonksionun tanım kümesi ve değer kümesi R dir. =

8 Ders Mutlak Değer Fonksionu: Her reel saıa o saının mutlak değerini karşılık getiren fonksion, 0 f ( ) = =., < 0 Yanda grafiği görülen bu fonksionun tanım kümesi R, değer kümesi [0, ) dur. =.4.3. Kare Fonksionu: Her reel saıa o saının karesini karşılık getiren fonksion: f ( ) =. Yanda grafiği görülen kare fonksionunun tanım kümesi R, değer kümesi [0, ) dur. =.4.4. Küp Fonksionu: Her reel saıa o saının küpünü karşılık getiren fonksion: 3 f ( ) =. Yanda grafiği görülen küp fonksionunun tanım kümesi ve değer kümesi R dir. = Karekök Fonksionu: Her reel saıa o saının karekökünü karşılık getiren fonksion: f ( ) = Yanda grafiği görülen karekök fonksionunun tanım kümesi ve değer kümesi [0, ) dur. =.4.6. Küpkök Fonksionu: Her reel saıa o saının küpkökünü karşılık getiren fonksion: f = 3 ( ) Yanda grafiği görülen küpkök fonksionunun tanım kümesi ve değer kümesi R dir. = 3

9 Fonksionlar - I 7.5. Elemanter Dönüşümler. Ugulamalarda, ukarıda listelediğimiz elemanter fonksionlar listede verildikleri biçimlerile karşımıza çıkmasalar da, karşımıza çıkan fonksionların pek çoğu onlarla ilişkili olacaktır. Örneğin, aşağıdaki denklemlerle tanımlanan g, h, k ve m fonksionlarını ele alalım: g( ) =, h( ) = 1, k( ) = 3. Bu fonksionların her biri f ( ) = fonksionu cinsinden ifade edilebilir: g() = f(-), h() = f() 1, k() = 3f(). Aşağıda göreceğimiz üzere, g, h, k ve m fonksionlarının grafikleri de fonksionunun grafiği cinsinden elde edilebilir. f ( ) = g, h, k ve m fonksionlarının f fonksionu cinsinden tanımı en genel biçimile şöle verilebilir: a, b ve c reel saılar olmak üzere g() = f(+a), h() = f() + b, k() = c f(), m()=f(-). Bu fonksionlardan her birinin grafiği f nin grafiğinin belli bir biçimde dönüştürülmesile elde edildiğinden ukarıdaki ifadelerden her birine bir elemanter dönüşüm denir Yata Kama. f den g() = f(+) ile elde edilen g fonksionu için (, g ()) noktası ile (+, f (+) nin konumları karşılaştırılınca, =g() in grafiği üzerinde bulunan (, g ()) = (, f (+)) noktasının =f() in grafiği üzerinde bulunan (+, f (+)) nin ata doğrultuda birim solunda bulunduğu görülür. Arıca, =f() in grafiği üzerinde bulunan bir (, f ()) noktası birim sola kadırılırsa, =g() in grafiği üzerinde bulunan (-, f()) = (-, g (-)) noktasının elde edileceği görülebilir. = g() i sağlar = f() i sağlar g()=f(+ (,g()) (+,f(+)) + Sonuç olarak, g() = f(+) denklemi ile tanımlanan g fonksionunun grafiği, f nin grafiğinin ata doğrultuda birim sola kadırılmasıla elde edilir. için gözlemlemiş olduğumuz bu hususun herhangi bir pozitif reel saı için de doğru olduğu açıktır. a R, a>0 ise, g() = f(+a) denklemi ile tanımlanan g fonksionunun grafiği, f nin grafiğinin ata doğrultuda a birim sola kadırılmasıla elde edilir.

10 Ders.. 8 Şimdi, a R, a < 0 durumunu ele alalım. = f() i sağlar g()=f(+a) (+a,g()) = (+a,f(+a)) (,g()) = g() i sağlar +a Yukarıdaki şekilden de görüldüğü üzere, a < 0 ise, bir noktanın = f(+a)=g() in grafiği üzerinde olması için gerek ve eter koşul, o nuktanın ata doğrultuda -a birim sola kadırılmasıla elde edilen noktanın = f() in grafiği üzerinde bulunmasıdır. Başka bir deimle, = f(+a) nın grafiği, = f() in grafiğinin ata doğrultuda -a birim sağa kadırılmasıla elde edilir. g() = f(+a) denklemi ile tanımlanan g fonksionunun grafiği ve f nin grafiği arasında ukarıda açıklanan ilişkiden dolaı bu dönüşüme ata kama denir. Örnek 1. = in ata kamaları. = = + = Örnek. = f() = nin ata kamaları. = =(-) =(+)

11 Fonksionlar - I 9 Örnek 3. = f() = in ata kamaları. = = + = Düşe Kama. h() = f()+b denklemi ile tanımlanan h fonksionunun grafiği, f nin grafiğinin düşe doğrultuda kadırılmasıla elde edilir. Gerçekten, (, h( )) = (, f ( ) + b) noktası ile (, f ( )) noktasının düzlemdeki konumlarına bakılırsa, (, h( )) in, b nin pozitif vea negatif oluşuna göre, (, f ( )) in b birim ukarıa vea aşağıa kadırılmasıla elde edilebileceği görülür. Başka bir deimle, bir noktanın = f() + b=h() in grafiği üzerinde olması için gerek ve eter koşul, o nuktanın düşe doğrultuda, b > 0 ise b birim aşağıa, b < 0 ise b birim ukarıa kadırılmasıla elde edilen noktanın = f() in grafiği üzerinde bulunmasıdır. b > 0 olması durumu aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. h()=f() + b (,h()) =h() i sağlar f() (,f()) = f() i sağlar Bölece, b > 0 olması durumunda = f() + b nin grafiği, = f() in grafiğinin b birim ukarı kadırılmasıla elde edilir.

12 Ders.. 30 b<0 durumu da aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. f() (,f()) = f() i sağlar h()=f() + b (,h()) =h() i sağlar Sonuç olarak b<0 olması durumunda = f() + b nin grafiği, = f() in grafiğinin -b birim aşağı kadırılmasıla elde edilir. Örnek 1. = in düşe kamaları. = = + = Örnek. = f() = nin düşe kamaları. = = + = -

13 Fonksionlar - I 31 Örnek 3. = f() = in düşe kamaları. = = + = Yansıma. k() = - f() denklemi ile tanımlanan k fonksionunun grafiği, f nin grafiğinin -eksenine göre ansıtılmasıla elde edilir. Gerçekten, (, f ( )) ve (, f ( )) noktaları birbirinin -ekseni etrafında ansımaları olduğundan, = - f() in grafiği, = f() in grafiğinin ekseni etrafında ansıtılmasıla elde edilir. Bu durum aşağıdaki şekilde açıklanmıştır. f() (,f()) = f() i sağlar - f() (,- f()) = -f() i sağlar Örnek 1. = nin ve = in -ekseni etrafında ansımaları. = = = - =

14 Ders Germe ve Büzme. k() = c f(), c > 0 olsun. k fonksionunun grafiği ile f nin grafiği arasındaki ilişki, c > 1 vea 0 < c < 1 oluşuna göre farklılık gösterir. Önce, c > 1 durumunu ele alalım. Aşağıdaki şekilden de anlaşılacağı üzere, eğer c > 1 ise, = c f() in grafiği, = f() in grafiğinin düşe doğrultuda gerilmiş bir biçimi olur. = c f() i sağlar c f() f() (,c f()) (,f()) = f() i sağlar Şimdi, 0<c<1 durumunu ele alalım. Aşağıdaki şekilden de anlaşılacağı üzere, eğer 0 < c < 1 ise, = c f() in grafiği, = f() in grafiğinin düşe doğrultuda büzülmüş bir biçimi olur. = f() i sağlar f() (,f()) = c f() i sağlar c f() (,c f()) Aşağıdaki örneklerde, grafik üzerrinde gösterilen noktalara da dikkat ederek düşe doğrultuda gerilme ve büzülme deimlerinin anlamı üzerinde düşününüz.

15 Fonksionlar - I 33 Örnek 1. = f() = nin gerilme ve büzülmeleri. gerilme = = büzülme (1, ) = (1/) (1,1) (1,1/) Örnek. = f() = in büzülme ve gerilmeleri. gerilme = büzülme = = (1/) (1, ) (1,1) (1,1/)

16 Ders Kama, Yansıma, Gerilme ve Büzülmelerin Art Arda Ugulanması. Pratikte karşılaştığımız fonksionlardan pek çoğu, elemanter fonksionlara daha önce gördüğümüz transformasonların art arda ugulanmasıla elde edilir. Örnek 1. = nin grafiği, = in grafiğinden elde edilebilir. = = - 1 = 3-1 = -(3-1 ) = -(3-1 ) + = 3-1 = = - 1 (1,3) =-3-1 = Örnek. = in grafiği, = nin grafiğinden elde edilebilir. = = (-1) = +1 = (-1) 1 = = = (-1) (1,0) (1,-1) =

17 Fonksionlar - I 35 Örnek 3. = 1 + in grafiği, = in grafiğinden elde edilebilir. = = = ( 1) = 1 = 1 + = 1 + = 1 (1,) = = (1,0) Örnek 4. Daha önce.3.5 te ele alınan problem için gelir fonksionunun grafiğini çizelim. Sözü edilen problemdeki gelir fonksionu Ge ( ) = p = , 0 80 olarak belirlenmişti. Biraz aritmetik işlemle, gelir fonksionu için Ge ( ) = = 0.075( 800) = 0.075(( 40) Ge ( ) = 0.075( 40) ), ifadesi elde edilir. Dolaısıla, aşağıdaki elemanter dönüşümler izlenerek, gelir fonksionunun grafiği = kare fonksionunun grafiğinden elde edilir:

18 Ders.. 36 = = ( 400) = ( 40) = 0.075( 40) = 0.075( 40) + 10 = (40,10) (40,0) (80,0) = , 0 80 Benzer şekilde, kâr fonksionu K ( ) = , 0 80 in grafiği K ( ) = 0.075( 3) ifadesinden ararlanılarak aşağıdaki gibi elde edilebilir = = ( 3) = ( 3) = 0.075( 3) = 0.075( 3) = (3,61.8) (3,0) (80,0) = , 0 80

19 Fonksionlar - I 37 Problemler 1. f () = + 3 ve g () = + 3 denklemleri ile tanımlanan f ve g fonksionları için a) f (-1), f (0), f (1), f (), f ( 1 ), f ( ), f ( 1 ), f (-1), f (3) değerlerini bulunuz. b) g (-1), g (0), f (1), g (), g ( 1 ), g ( ), g ( 1 ), g(-1), g(3) değerlerini bulunuz. c) f ve g nin grafiklerini çiziniz.. Kenar uzunlukları metre ve metre olan bir dikdörtgenin alanı A ve çevre uzunluğu Ç ile gösterilsin. a) Dikdörtgenin alanı 5 metrekare ise, çevre uzunluğu Ç i in fonksionu olarak ifade ediniz ve bu fonksionun tanım kümesini belirleiniz. b) Dikdörtgenin alanı 81 metrekare ise, çevre uzunluğu Ç i nin fonksionu olarak ifade ediniz ve bu fonksionun tanım kümesini belirleiniz. c) Dikdörtgenin çevre uzunluğu 100 metre ise, alan A ı in fonksionu olarak ifade ediniz ve bu fonksionun tanım kümesini belirleiniz. ç) Dikdörtgenin çevre uzunluğu 160 metre ise, alan A ı nin fonksionu olarak ifade ediniz ve bu fonksionun tanım kümesini belirleiniz. 3. Aşağıdaki fonksionların tanım kümelerini bulunuz a) ç) f) 3 f ( ) = 1 f ( ) = 7 1 f ( ) = b) f ( ) = c) f ( ) = d) f ( ) = + 3 e) f ( ) = g) f ( ) = ğ) f ( ) = Aşağıdaki denklemlerin hangisi, bağımsız değişken ve bağımlı değişken olmak üzere, bir fonksion tanımlar? a) 3 7 = 15 b) = 1 c) + = 10 ç) + = 5 d) + = 9 e) = 16 f ( a + h) f ( a) 5. Aşağıda verilen f() için ifadesini hesaplaınız. h 3 a) f ( ) = 3 4 b) f ( ) = c) f ( ) = ç) f ( ) = 1 d) f ( ) = f = e) ( ) f) f ( ) = g) f ( ) = + 1

20 Ders Bilgisaarlar için hafıza çipi üreten bir firma, aptırdığı analizler sonucu, milon adet çip üretmesi durumunda toplam giderini Gi( ) = milon YTL; çip başına satış fiatını da p( ) = YTL olarak belirlior. Bu firma en az bir milon en çok irmi milon çip üretecektir. Firmanın ürettiği ürünün tamamını satacağını varsaarak a) 6 milon çip üretilmesi durumunda bir çipin satış fiatını bulunuz. 10 milon çip üretilmesi durumunda bir çipin satış fiatını bulunuz. b) Gelir fonksionunu veren denklemi ve bu fonksionun tanım kümesini azınız. 6 milon ve 10 milon çip üretilmesi durumunda firmanın gelirini arı arı belirleiniz. c) Kâr fonksionunu veren denklemi ve bu fonksionun tanım kümesini azınız. 6 milon ve 10 milon çip üretilmesi durumunda firmanın kâr durumunu arı arı belirleiniz. 7. Aşağıdaki fonksionların grafiklerini elemanter fonksionların grafikleri üzerinde elemanter dönüşümler ugulaarak çiziniz. a) g( ) = + 3 b) h( ) = ( 4) k( ) = c) ç) f ( ) = ( + 4) + 4 d) m( ) = + 5 e) v( ) = 0. 5 f) u( ) = 5 g) f ( ) = Aşağıdaki fonksionların grafiklerini elemanter fonksionların grafikleri üzerinde elemanter dönüşümler ugulaarak çiziniz. a) f ( ) = + 3 b) h( ) = ( 4) 3 c) k( ) = + 3 ç) m( ) = ( + 3) + 4 d) g( ) = 4( ) 6 e ) h( ) = Bir tür fotoğraf makinesi üretip satan bir firmanın malie bölümü, aptığı araştırmalar sonucunda, bin adet fotograf makinesi üretilmesi durumunda toplam giderinin Gi( ) = bin YTL ve makine başına satış fiatının p ( ) = ( 10) YTL olacağını belirlior. Bu firma enaz 10 bin en çok 1000 bin fotoğraf makinesi üretecektir. a) 50 bin fotoğraf makinesi üretilip satılması durumunda bir makinenin satış fiatı ne olacaktır? b) Fiat talep fonksionu p () in grafiğini çiziniz. c) Gelir fonksionu Ge () i ifade ediniz ve 30 bin makine üretilip satılması durumunda ne kadar gelir elde edileceğini bulunuz. ç) Kâr fonksionu K () i ifade ediniz ve 30 bin makine üretilip satılması durumunda ne kadar kâr elde edileceğini bulunuz. 10. Altıncı problemde bulduğunuz gelir ve kâr fonksionlarının grafiklerini çiziniz.

DERS 2. Fonksiyonlar

DERS 2. Fonksiyonlar DERS Fonksionlar.1. Fonksion Kavramı. Her bilim dalının önemli bir işlevi, çeşitli nesneler vea büüklükler arasında eşlemeler kurmaktır. Böle bir eşleme kurulması tahmin ürütme olanağı verir. Örneğin,

Detaylı

Doğrusal Fonksiyonlar, Karesel Fonksiyonlar, Polinomlar ve Rasyonel Fonksiyonlar, Fonksiyon Çizimleri

Doğrusal Fonksiyonlar, Karesel Fonksiyonlar, Polinomlar ve Rasyonel Fonksiyonlar, Fonksiyon Çizimleri Doğrusal Fonksionlar, Karesel Fonksionlar, Polinomlar ve Rasonel Fonksionlar, Fonksion Çizimleri Bir Fonksionun Koordinat Kesişimleri(Intercepts). Bir fonksionun grafiğinin koordinat eksenlerini kestiği

Detaylı

DERS 8. Artan ve Azalan Fonksiyonlar, Konkavlık, Maksimum ve Minimum

DERS 8. Artan ve Azalan Fonksiyonlar, Konkavlık, Maksimum ve Minimum DERS 8 Artan ve Azalan Fonksionlar, Konkavlık, Maksimum ve Minimum 8.. Artan ve Azalan Fonksionlar. Bir fonksionun vea onun grafiğinin belli bir aralık üzerinde artan vea azalan olmasının ne anlama geldiği

Detaylı

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR Fonksionlar ve Özel Tanımlı Fonksionlar Özel tanımlı fonksionlar konusu fonksionların alt bir dalıdır. Bu konuu daha ii anlaabilmemiz için fonksionlar ile ilgili bilgilerimizi

Detaylı

Örnek...3 : f(2x 3)=4 3x ise f(1) kaçtır? Örnek...4 : f(x)=3x+1 ise f(2x) fonksiyonu nedir?

Örnek...3 : f(2x 3)=4 3x ise f(1) kaçtır? Örnek...4 : f(x)=3x+1 ise f(2x) fonksiyonu nedir? FONKSİYON HATIRLATMA ( FONKSİYON TANIMI ) A dan B e tanımlı f kuralının fonksion olm ası için; Örnek... : f( )= ise f() kaçtır? ) A daki her elemanın görüntüsü olmalı ( A da açıkta eleman kalmamalı) )A

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012 Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi e Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.8. ta rih ve sa ı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve - Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren u gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar 61. y = 2 in grafiğinin büzülmesiyle de elde

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar 61. y = 2 in grafiğinin büzülmesiyle de elde DERS 4 Üstel ve Logaritmik Fonksionlar, Bileşik Faiz 4.. Üstel Fonksionlar. > 0, olmak üzere fonksiona taanında üstel fonksion denir. f = ( ) denklemi ile tanımlanan gösterimi ile ilgili olarak, okuucunun

Detaylı

9. BÖLÜM. Özel Tanımlı Fonksiyonlar ÇİFT VE TEK FONKSİYONLAR: ÖRNEK ÖRNEK ÇÖZÜM ÇÖZÜM. M A T E M A T İ K

9. BÖLÜM. Özel Tanımlı Fonksiyonlar ÇİFT VE TEK FONKSİYONLAR: ÖRNEK ÖRNEK ÇÖZÜM ÇÖZÜM. M A T E M A T İ K M A T E M A T İ K www.akademitemellisesi.com ÇİFT VE TEK FONKSİYONLAR: f:ar (A R) fonksionu için, 9. BÖLÜM ) Her A için f( ) = f() ise f e çift fonksion denir. olduğundan ne tek nede çifttir. MUTL AK DEĞER

Detaylı

Örnek...1 : f (x)=2x 2 5x+6 parabolü K(2,p) noktasından geçiyorsa p kaçtır? Örnek...2 : Aşağıda çeşitli parabol grafikleri verilmiştir incele yi niz.

Örnek...1 : f (x)=2x 2 5x+6 parabolü K(2,p) noktasından geçiyorsa p kaçtır? Örnek...2 : Aşağıda çeşitli parabol grafikleri verilmiştir incele yi niz. a, b,c R,a 0 olmak koşulula f ()=a 2 +b+c fonksionuna ikinci dereceden bir değişkenli fonksion ve bu fonksionun belirttiği eğrie de parabol denir. Uarı ir parabolün grafiği başkatsaı olan a saısına bağlı

Detaylı

Fonksiyonlar ve Grafikleri

Fonksiyonlar ve Grafikleri Fonksionlar ve Grafikleri Isınma Hareketleri Aşağıda verilenleri inceleiniz. A f f(a) 7 f: Çocukları annelerine götürüor. Fonksion olma şartı: Her çocuğun annesi olmalı ve bir tane olmalı. ( çocuk annenin

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...2 : Örnek...3 : A={0,1,2} kümesinden reel sayılara tanımlı f(x)=x² x fonksiyonu bire bir midir? Örnek...4 :

Örnek...1 : Örnek...2 : Örnek...3 : A={0,1,2} kümesinden reel sayılara tanımlı f(x)=x² x fonksiyonu bire bir midir? Örnek...4 : FONKSİYONLAR BÖLÜM 4 FONKSİYON TÜRLERİ: BİRE BİR FONKSİYON Bir fonksionun grafiğinden bire bir olup olmadığını anlamak için verilen tanım aralığında çizilen ata doğruların sadece bir defa grafiği kesmesini

Detaylı

DERS 6. Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Maksimum Minimum

DERS 6. Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Maksimum Minimum DERS Çok Değişkenli onksionlarda Maksimum Minimum.. Yerel Maksimum Yerel Minimum. z denklemi ile tanımlanan iki değişkenli bir onksionu ve bu onksionun tanım kümesi içinde ab R verilmiş olsun. Tanım. Eğer

Detaylı

DERS 5. Çok Değişkenli Fonksiyonlar, Kısmi Türevler

DERS 5. Çok Değişkenli Fonksiyonlar, Kısmi Türevler DERS 5 Çok Değişkenli Fonksionlar Kısmi Türevler 5.1. Çok Değişkenli Fonksionlar. Reel saılar kümesi R ile gösterilmek üere ve her n için olarak tanımlanır. R R 3 {( ): R} = {( ) : R} = {( L ): L R} n

Detaylı

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir?

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir? MC www.matematikclub.com, 006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir3@ahoo.com.tr. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler- TEST I A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 1. 1/ = 0 denkleminin köklerinin toplamı aşağıdakilerden

Detaylı

Fonksiyonlar ve Grafikleri

Fonksiyonlar ve Grafikleri Fonksionlar ve Grafikleri Isınma Hareketleri Aşağıda verilenleri inceleiniz. A f f(a) 7 çocuk baan f: Çocukları annelerine götürüor. Fonksion olma şartı: Her çocuğun annesi olmalı ve bir tane olmalı. (

Detaylı

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri

Detaylı

MECHANICS OF MATERIALS

MECHANICS OF MATERIALS 00 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. T E CHAPTER 7 Gerilme MECHANICS OF MATERIALS Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf Dönüşümleri Fatih Alibeoğlu 00 The McGraw-Hill

Detaylı

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır.

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır. -A Adı Soadı kulu Sınıfı LYS- MATEMATİK TESTİ Bu Testte; Toplam Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 7 dakikadır. Süre bitiminde Matematik Testi sınav kitapçığınızı gözetmeninize verip Geometri Testi

Detaylı

EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ Test -1

EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ Test -1 EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ Test -1 1. 9 5. 69 A) (, ] B) (, ) C) (, ) D) [, ] E) [, ) A) B) {} C) {, } D) R E) R {}. 5 6. 1 A) (, 5) B) [, 5] C) (, 5) D) (5, ) E) (, ) A) (, 1] B) (, ) C) [1, ) D) (, ] [1,

Detaylı

EĞİM, BİR DOĞRUNUN DENKLEMİ VE EĞİMİ ARASINDAKİ İLİŞKİ

EĞİM, BİR DOĞRUNUN DENKLEMİ VE EĞİMİ ARASINDAKİ İLİŞKİ Özgür EKER EĞİM, BİR DOĞRUNUN DENKLEMİ VE EĞİMİ ARASINDAKİ İLİŞKİ Eğim: ETKİNLİK : Bir bisiklet arışındaki iki farklı parkur aşağıdaki gibidir. I. parkurda KL 00 metre ve II. parkurda AB 00 metre olduğuna

Detaylı

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır? . SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)

Detaylı

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları...

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları... ÜNİTE Safa No............................................................ 79 98 Fonksionlar Konu Özeti...................................................... 79 Konu Testleri ( 8)...........................................................

Detaylı

ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı a da bir kısmı, azarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik,

Detaylı

TÜRKİYE GENELİ DENEME SINAVI LYS - 1 MATEMATİK

TÜRKİYE GENELİ DENEME SINAVI LYS - 1 MATEMATİK TÜRKİY GNLİ SINVI LYS - 1 7 MYIS 017 LYS 1 - TSTİ 1. u testte 80 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz. + k+ n 15 + 10 1. : = + 6 16 + 8 0 + 8 olduğuna

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması www.mustafaagci.com.tr, 11 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, agcimustafa@ahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması B ir doğru kaç noktasıla bellidi? İki, değil mi Çünkü tek bir noktadan geçen istediğimiz kadar

Detaylı

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: 4x > 9 b) x 4 < - c)

Detaylı

FONKSİYONLAR BÖLÜM 8. Örnek...3 : Örnek...1 : f(x)=2x+5 fonksiyonu artan mıdır? Örnek...4 :

FONKSİYONLAR BÖLÜM 8. Örnek...3 : Örnek...1 : f(x)=2x+5 fonksiyonu artan mıdır? Örnek...4 : FONKSİYONLAR BÖLÜM 8 Örnek...3 : ARTAN AZALAN FONKSİYONLAR ARTAN FONKSİYON f : A R R fonksionu verilsin. Her i B A için 1 < 2 f ( 1 )

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği HEDEFLER İÇİNDEKİLER GRAFİK ÇİZİMİ Simetri ve Asimtot Bir Fonksionun Grafiği MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR Bu ünitei çalıştıktan sonra; Fonksionun simetrik olup olmadığını belirleebilecek, Fonksionun

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. Üç basamaklı doğal saılardan kaç tanesi, 8 ve ile tam bölünür? 8 9. ile in geometrik ortası z dir. ( z). ( z ). z aşağıdakilerden hangisidir?. 9 ifadesinin cinsinden değeri

Detaylı

DERS 1. İki Değişkenli Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler

DERS 1. İki Değişkenli Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler DES İki Değişkenli Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler.. Doğrusal Denklem Sistemleri. Günlük aşamda aşağıdakine benzer pek çok problemle karşılaşırız. Problem. Manavdan alışveriş eden bir müşteri,

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 :

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 : FONKSİYONLR FONKSİYONUN EKSENLERİ KESİM NOKTLRI fonksionunun ekseninin kestiği k noktaların m apsisleri b, c, e dir. u noktalar a b c f()= denkleminin n kök leridir p in eksenini kestiği nokta ise (,p)

Detaylı

FONKSİYONLAR ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

FONKSİYONLAR ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT FONKSİYONLAR ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Fonksionlar. Kazanım : Fonksion kavramı, fonksion çeşitleri ve ters fonksion kavramlarını açıklar.. Kazanım : Verilen bir fonksionun artan, azalan ve sabit

Detaylı

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU f :R R, =f ( fonksionuna düzlemde A karşılık gelen f( +h eğri anda ki =f( P gibi olsun. f( Eğrinin P(,f( noktasındaki teğetlerini +h araştıralım. Bunun için P(,f( noktasının sağıda

Detaylı

3. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN

3. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN 3 HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM Yazan SAYIN SAN SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 2 BÖLÜM 2 EŞ-ANLI DENKLEM SİSTEMLERİ Bu bölümde analitik ve grafik olarak eş-anlı denklem sistemlerinin

Detaylı

ÖRNEK : x. y = 1 biçiminde verilen fonksiyonun grafiğini. çiziniz. Çizim : x. y = 1 olması ancak x =1ve y =1 yada x =-1ve. x =1ve x =-1ve ÖRNEK :

ÖRNEK : x. y = 1 biçiminde verilen fonksiyonun grafiğini. çiziniz. Çizim : x. y = 1 olması ancak x =1ve y =1 yada x =-1ve. x =1ve x =-1ve ÖRNEK : MC www.matematikclub.com, 6 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@ahoo.com.tr Özel Tanımlı Fonksionlar. Tam değer fonksionu: Tanım: Tamsaı ise kendisi, tamsaı değilse kendinden önce gelen ilk tamsaı (kendinden

Detaylı

2005 ÖSS Soruları. 5. a, b, c gerçel sayıları için 2 a = 3 3 b = 4 4 c = 8 olduğuna göre, a.b.c çarpımı kaçtır?

2005 ÖSS Soruları. 5. a, b, c gerçel sayıları için 2 a = 3 3 b = 4 4 c = 8 olduğuna göre, a.b.c çarpımı kaçtır? . + c m 9 + c9 m 9 9 20 ) ) 9 ) 27 ) ) 82 9 5. a, b, c gerçel saıları için 2 a = b = c = 8 olduğuna göre, a.b.c çarpımı kaçtır? ) ) 2 ) ) ) 5 6. a, b, c gerçel saıları için, a.c = 0 a.b 2 > 0 2. 2 2 +

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 :

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 : FONKSİYONLR FONKSİYONUN EKSENLERİ KESİM NOKTLRI fonksionunun ek seninin k estiği k nok taların m apsisleri b, c, e dir. u noktalar a b c f()= denk leminin n kök leridir p in eksenini kestiği nokta ise

Detaylı

Örnek...1 : ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR 14 ( FONKSİYONLARDA ÖTELEME VE SİMETRİ ) 2. X EKSENİNDE ÖTELEMELER FONKSİYONLAR BÖLÜM 14 FONKSİYONLARDA ÖTELEME

Örnek...1 : ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR 14 ( FONKSİYONLARDA ÖTELEME VE SİMETRİ ) 2. X EKSENİNDE ÖTELEMELER FONKSİYONLAR BÖLÜM 14 FONKSİYONLARDA ÖTELEME ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR BÖLÜM FONKSİYONLARDA ÖTELEME VE SİMETRİ FONKSİYONLARDA ÖTELEME. Y EKSENİNDE ÖTELEMELER a) =f() fonksionu verildiğinde k R + olmak üzere, =f()+k fonksionunu çizmek

Detaylı

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: a) 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: a) 4x > 9 b) x 4

Detaylı

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI YILLAR 966 967 968 969 97 97 97 975 976 977 978 980 98 98 98 98 985 986 987 988 989 990 99 99 99 99 995 996 997 998 006 007 ÖSS / ÖSS-I ÖYS / ÖSS-II 5 6 6 5

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 :

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 : FONKSİYONLR FONKSİYONUN EKSENLERİ KESİM NOKTLRI =f() fonksio - nunun ekseninin kestiği noktaların m apsisleri b, c, e dir. u noktalar a b f()= denkleminin kökleridir n =f() in p eksenini kestiği nokta

Detaylı

Ders 7: Konikler - Tanım

Ders 7: Konikler - Tanım Ders 7: Konikler - Tanım Şimdie kadar nokta ve doğrular ve bunların ilişkilerini konuştuk. Bu derste eni bir kümeden söz edeceğiz: kuadrikler ve düzlemdeki özel adı konikler. İzdüşümsel doğrular, doğrusal

Detaylı

KONU 13: GENEL UYGULAMA

KONU 13: GENEL UYGULAMA KONU : GENEL UYGULAMA Kahve üretimi apan bir şirket anı zamanda cezve ve fincan üretmektedir. Üretilen cezveler ve fincanlar boama kısmında işlem görmekte ve arıca fincanlar kaplanmaktadır. Bir cezve apımı

Detaylı

Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören

Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında ılmaarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören çocuklarımızın ana ve babalarına da avrularının öğreniminin tamamlanması

Detaylı

AKIŞKANLAR MEKANİĞİ 1. YILİÇİ SINAVI ( )

AKIŞKANLAR MEKANİĞİ 1. YILİÇİ SINAVI ( ) 1 3 4 5 6 T AKIŞKANLAR MEKANİĞİ 1. YILİÇİ SINAVI (13.11.008) Ad-Soad: No: Grup: 1) a) İdeal ve gerçek akışkan nedir? Hız dağılımlarını çiziniz. Pratikte ideal akışkan var mıdır? Açıklaınız. İdeal Akışkan;

Detaylı

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674 kapak safası İÇİNDEKİLER. ÜNİTE FNKSİYNLARDA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI Fonksionların Simetrileri ve Cebirsel Özellikleri... 4 Tek ve Çift Fonksionlar... 4 Fonksionlarda İşlemler... 6 Konu Testleri -...

Detaylı

ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı a da bir kısmı, azarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik, fotokopi a da herhangi bir

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. n olmak üzere; n n toplamı ten büük n nin alabileceği tamsaı değerleri kaç tanedir? 9 B) 8 7.,, z reel saılar olmak üzere; ( 8) l 8 l z z aşağıdakilerden hangisidir? B) 8. tabanındaki

Detaylı

6 II. DERECEDEN FONKSÝYONLAR 2(Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MATEMATÝK. y f(x) f(x)

6 II. DERECEDEN FONKSÝYONLAR 2(Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MATEMATÝK. y f(x) f(x) 6 II. DERECEDEN FNKSÝYNLR (Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MTEMTÝK 1. f(). f() 6 8 T Yukarıda grafiği verilen = f() parabolünün denklemi nedir?( = 6) Yukarıda grafiği verilen

Detaylı

1997 ÖSS Soruları. 5. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büyük doğal sayı aşağıdakilerden hangisi ile kalansız bölünebilir?

1997 ÖSS Soruları. 5. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büyük doğal sayı aşağıdakilerden hangisi ile kalansız bölünebilir? 997 ÖSS Soruları. ( ) + ( ).( ) işleminin sonucu kaçtır? ) ) ) ) 8 6 ) 6. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büük doğal saı aşağıdakilerden hangisi ile kalansız bölünebilir? ) ) 9 ) 6 )

Detaylı

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 1 E) x x. x x = x

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 1 E) x x. x x = x Ö.S.S. MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. olduğuna göre, kaçtır? A B C D E Çözüm. -. : ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A B C D E Çözüm :... :....... . olduğuna göre, - ifadesinin

Detaylı

1977 ÜSS. 2 y ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? 1 x. 2 y. 1 y. 1 y. 1 x. 2 x. 2 x. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y 2 C) 4 E)

1977 ÜSS. 2 y ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? 1 x. 2 y. 1 y. 1 y. 1 x. 2 x. 2 x. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y 2 C) 4 E) 77 ÜSS. ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?. C) 4 E). Şekilde a+b+c+d açılarının toplamı kaç dik açıdır? (açılar pozitif önlüdür.) 4 C) 6 7 E) 8 Verilen şekilde açıların ölçüleri verilmiştir. En

Detaylı

Ders: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1.

Ders: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1. Ders: MAT6 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri. A = matrisi bulunuz.. A = a b c d e f ve B = ÇALIŞMA SORULARI- olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X matrisi satır basamak hale getirildiğinde en fazla

Detaylı

SAYISAL BÖLÜM. 5. a, b, c gerçel sayıları için. 2 a = 3. 3 b = 4. 4 c = 8. olduğuna göre, a b c çarpımı kaçtır? 6. a, b, c gerçel sayıları için

SAYISAL BÖLÜM. 5. a, b, c gerçel sayıları için. 2 a = 3. 3 b = 4. 4 c = 8. olduğuna göre, a b c çarpımı kaçtır? 6. a, b, c gerçel sayıları için SYISL ÖLÜM ĐKKT! U ÖLÜM VPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. Đlk 45 soru Matematiksel Đlişkilerden Yararlanma Gücü, Son 45 soru Fen ilimlerindeki Temel Kavram ve Đlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir. şit ğırlık

Detaylı

BAĞINTI - FONKSİYON Test -1

BAĞINTI - FONKSİYON Test -1 BAĞINTI - FONKSİYON Test -. A,,,4,5 B,, olduğuna göre, AB kümesinin eleman saısı A) 8 B) C) D) 4 E) 5 5. A ve B herhangi iki küme AB,a,,a,,a,,b,,b,,b olduğuna göre, s(a) + s(b) toplamı A) B) 4 C) 5 D)

Detaylı

YARDIRMALI MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ

YARDIRMALI MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ YRIRMLI MTEMTİK TÜREV FSİKÜLÜ Maksimum-Minimum Problemleri MESUT ERİYES MKSİMUM - MİNİMUM PROLEMLERİ Maksimum ve minimum problemlerini çözmek için şu kurallar ugulanır; 1) Maksimum a da minimum olması

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan

Detaylı

Örnek...3 : f : R R, f (x)=2 x fonksiyonuna ait tabloyu. Örnek...4 : Örnek...1 :

Örnek...3 : f : R R, f (x)=2 x fonksiyonuna ait tabloyu. Örnek...4 : Örnek...1 : LOGARİTMA a b =c eşitliğini düşünelim. Mümkün olan durum larda; Durum 1: a ve b biliniorsa c üs alma işlemile bulunabilir. Örneğin 2 5 =c ise c=32 dir. Örnek...3 : f : R R, f ()=2 fonksionuna ait tablou

Detaylı

Bilginin Görselleştirilmesi

Bilginin Görselleştirilmesi Bilginin Görselleştirilmesi Bundan önceki konularımızda serbest halde azılmış metinlerde gerek duduğumuz bilginin varlığının işlenmee, karşılaştırmaa ve değerlendirmee atkın olmadığını, bu nedenle bilginin

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. abba dört basamaklı, ab iki basamaklı doğal saıları için, abba ab. a b eşitliğini sağlaan kaç farklı (a, b) doğal saı ikilisi vardır? 7 olduğuna göre, a b toplamı kaçtır? 9.,,

Detaylı

LYS MATEMATİK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ

LYS MATEMATİK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ Ders Adı.ınıf Mezun LY MATEMATİK KONU ANLATIM FAİKÜLÜ TÜREV KAF 0 Konu Bir doğrunun eğimi dik koordinat sisteminde X ekseni ile aptığı pozitif önlü açının tanjantıdır. Örneğin, şekilde verilen d doğrusunun

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Tekrar Zamanı TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ÇÖZÜMLÜ TEST 1... 52 ÇÖZÜMLÜ TEST 2... 54 MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ. Uygulama Zamanı 1...

İÇİNDEKİLER. Tekrar Zamanı TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ÇÖZÜMLÜ TEST 1... 52 ÇÖZÜMLÜ TEST 2... 54 MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ. Uygulama Zamanı 1... İÇİNDEKİLER TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Teğet ve Normal Doğruların Eğimi... Teğet Doğrusunun Eğim Açısı... Teğet ve Normal Denklemleri... Eğrinin Teğetine Paralel ve Dik Doğrular... Grafikte Teğet I... 5

Detaylı

Chapter 1 İçindekiler

Chapter 1 İçindekiler Chapter 1 İçindekiler Kendinizi Test Edin iii 10 Birinci Mertebeden Diferansiel Denklemler 565 10.1 Arılabilir Denklemler 566 10. Lineer Denklemler 571 10.3 Matematiksel Modeller 576 10.4 Çözümü Olmaan

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS MTEMTİK TESTİ. Bu testte soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. d + n - d + n d - + n- d + + n işleminin sonucu kaçtır?., R olmak üzere, + +

Detaylı

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08 LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SRU KİTPÇIĞI 08 U SRU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SRULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik Testi

Detaylı

Konikler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN

Konikler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN Konikler Yazar Doç.Dr. Hüsein AZCAN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu ünitei çalıştıktan sonra; lise ıllarından da tanıdığınız çember, elips, parabol ve hiperbol gibi konik kesitleri olarak adlandırılan geometrik nesneleri

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. A.. n saısının tamsaı bölenlerinin saısı olduğuna göre, n 0. R de tanımlı " " işlemi; ο ο işleminin sonucu 0. (6) 6 (6) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 6 6 (6)

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte 5 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. - - ^- h + c- m - (-5 )-(- ) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) 5 E).

Detaylı

TEST. Dönüşüm Geometrisi. 1. y 5. 4

TEST. Dönüşüm Geometrisi. 1. y 5. 4 Dönüşüm Geometrisi 8. Sınıf Matematik Soru ankası TEST 33 1. 4. (0, 4) (5,4) (3, 0) Koordinat düzlemi üzerinde verilen ve noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? ) 5 ) 3 2 4 2 5 2 Koordinat düzlemi

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI

LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI LYS- MATEMATİK (MF-TM). Bu testte Matematik ile ilgili soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz..

Detaylı

1998 ÖYS. 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7. iki basamaklı bir y doğal sayısına eşittir. Buna göre, y doğal sayısı en az kaç olabilir?

1998 ÖYS. 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7. iki basamaklı bir y doğal sayısına eşittir. Buna göre, y doğal sayısı en az kaç olabilir? 99 ÖYS. Üç basamaklı bir doğal saısının 7 katı, iki basamaklı bir doğal saısına eşittir. Buna göre, doğal saısı en az kaç olabilir? A) B) C) 6. Bugünkü aşları 6 ve ile orantılı olan iki kardeşin 6 ıl sonraki

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

PARABOL Test -1. y x 2x m 1 parabolü x eksenini kesmiyorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

PARABOL Test -1. y x 2x m 1 parabolü x eksenini kesmiyorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir? PROL est -. m parabolü eksenini kesmiorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?. f a b c (, ) ) (, ) (, ) (, ) ( 6, ). m parabolü eksenini iki farklı noktada kesmektedir. una göre,

Detaylı

AYRIK YAPILAR. ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FıRAT ÜNIVERSITESI TEKNOLOJI FAKÜLTESI YAZıLıM MÜHENDISLIĞI BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR. ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FıRAT ÜNIVERSITESI TEKNOLOJI FAKÜLTESI YAZıLıM MÜHENDISLIĞI BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

f : R + R, f(x) = log a 0 < a < 1 için f(x) = log a a. f : ;, 4m R, f(x) = log2 x b. f : R + R, f(x) = log 1, f(2) = 2 2

f : R + R, f(x) = log a 0 < a < 1 için f(x) = log a a. f : ;, 4m R, f(x) = log2 x b. f : R + R, f(x) = log 1, f(2) = 2 2 Fonksionlar f : R R, f() = a Fonksionunun Grafi i f : R R, f() = log a Fonksionunun Grafi i a > için f() = a üstel fonksionunun grafi i andaki gibidir. = a a > için f() = log a fonksionunun grafi i andaki

Detaylı

C E V A P L I T E S T ~ 1

C E V A P L I T E S T ~ 1 C E V A P L I T E S T ~. 5. () 7 ( ).( ) A) B) C) 0 D) E) A) B) C) 0 D) E). 6. 5 A) 0 B) C) D) E) A) B) C) D) E) 5. b b ab a a A) B) a C) b D) b E) 7. ( 5 ) A) B) C) 0 D) E). 9 8. 5 8 A) B) 0 C) D) E)

Detaylı

BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜMÜ

BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜMÜ BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜMÜ DÜZLEM-BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME 3D durumda, bir noktadaki birim şekil değiştirme durumu 3 normal birim şekildeğiştirme bileşeni,, z, ve 3 kesme birim şekildeğiştirme bileşeninden,

Detaylı

Tesadüfi Değişken. w ( )

Tesadüfi Değişken. w ( ) 1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x.

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x. - TÜREV KAVRAMI - TÜREV KAVRAMI 7 iadesinin türevini alınız. Çözüm lim lim 7 7 lim 7 7 lim lim onksionunun türevini alınız. Tanım onksionunda değişkeni artımını alırken de kadar artsın. oranının giderken

Detaylı

( ) ( ) m = DERS 10. Türevin Uygulamaları: Kapalı Türev, Değişim Oranları Kapalı Türev(İmplicit Differentiation).

( ) ( ) m = DERS 10. Türevin Uygulamaları: Kapalı Türev, Değişim Oranları Kapalı Türev(İmplicit Differentiation). DERS Türevin Ugulamaları: Kapalı Türev, Değişim Oranları.. Kapalı Türev(İmplici Differeniaion). Eğer f (), denkleminde olduğu gibi kapalı(implici olarak verilmişse, ü bulmak için zincir kuralı kullanılabilir:

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIFLAR FİNAL SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIFLAR FİNAL SORULARI 8 SINIFLAR FİNAL SORULARI 1 3+ 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz ( R ) Aritmetik bir dizinin ilk 0 teriminin toplamı 400 ve dördüncü terimi olduğuna göre, birinci terimini bulunuz 3 4 öğrencinin katıldığı

Detaylı

7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56

7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56 , 006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@ahoo.com.tr Türev TEST I 7. f() = sin cos fonksionunun. f()= sin( + )cos( ) için f'() nin eşiti nedir? A) B) C) 0 D) E) için erel minimum değeri nedir? A) B)

Detaylı

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)

Detaylı

MATEMAT K TEST. 3. a ve b reel say lar olmak üzere, 3 a = 4 ve 3 2a b 3 = 8 oldu una göre,

MATEMAT K TEST. 3. a ve b reel say lar olmak üzere, 3 a = 4 ve 3 2a b 3 = 8 oldu una göre, MTMT K TST KKT! + u testte 80 soru vard r. + u test için ar lan cevaplama süresi 5 dakikad r. + evaplar n z, cevap ka d n n Matematik Testi için ar lan k sma iflaretleiniz.. a, b, c pozitif reel sa lard

Detaylı

z z Genel yükleme durumunda, bir Q noktasını üç boyutlu olarak temsil eden kübik gerilme elemanı üzerinde 6 bileşeni

z z Genel yükleme durumunda, bir Q noktasını üç boyutlu olarak temsil eden kübik gerilme elemanı üzerinde 6 bileşeni GERİLME VE ŞEKİL DEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜM BAĞINTILARI Q z Genel ükleme durumunda, bir Q noktasını üç boutlu olarak temsil eden kübik gerilme elemanı üzerinde 6 bileşeni gösterilebilir: σ, σ, σ z, τ, τ z, τ z.

Detaylı

DERS 1. Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler

DERS 1. Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler DERS Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler Sosal ve Beşeri Bilimlerde Matematik I kitabımıda doğrusal denklemleri tanımlamıştık (safa 85). Arıca, matematiksel modeli doğrusal denklemler içeren problem

Detaylı

Cebir Notları. Karmaşık sayılar TEST I. Gökhan DEMĐR, 2006

Cebir Notları. Karmaşık sayılar TEST I. Gökhan DEMĐR,  2006 MC Karmaşık saılar www.matematikclub.cm, 006 Cebir Ntları Gökhan DEMĐR, gdemir@ah.cm.tr TEST I. i 897 + i 975 + i 997 i 995 tplamının snucu i B) i C) i D) i E) 5i 8. Z = i nin kutupsal biçimi (cs0 + isin0)

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

MATERIALS. Basit Eğilme. Third Edition. Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf. Lecture Notes: J. Walt Oler Texas Tech University

MATERIALS. Basit Eğilme. Third Edition. Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf. Lecture Notes: J. Walt Oler Texas Tech University CHAPTER BÖLÜM MECHANICS MUKAVEMET OF I MATERIALS Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf Basit Eğilme Lecture Notes: J. Walt Oler Teas Tech Universit Düzenleen: Era Arslan 2002 The McGraw-Hill

Detaylı

10. SINIF MATEMATİK FONKSİYONLARDA İŞLEMLER-2

10. SINIF MATEMATİK FONKSİYONLARDA İŞLEMLER-2 . SINIF MTEMTİK FONKSİYONLRD İŞLEMLER- ÇKEY NDOLU LİSESİ MTEMTİK ÖLÜMÜ . ÜNİTE.. FONKSİYONLRD DÖRT İŞLEM Neler öğreneceksiniz? Fonksiyonlarda dört işlem yani toplama çıkarma, çarpma ve bölmeyi öğreneceksiniz.

Detaylı

Problemler. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Problemler. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol Problemler 1 7 parabolü = k doğrusu ile ve B noktalarında kesişior. Oluşan OB üçgenlerinden alanı en büük olanının alanı kaç br dir? 7 O B OB k 7 7 k 7 7 ' 7 0 mak 7. 18 54br 0 1 parabolü içerisine, köşeleri

Detaylı

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1 II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -. 5 {, 5} {, 5} { 5, } {, 5} {, 5} 5. 5 {,, } {,, } {,, } {,, } {,, }.. 5 7 7 5 5,, 5 5, 5 5, 5 5, 6. 7. 5 95 { 5,, } {,, 5} { 5,, 9} {,, 5} { 9,, 5} 6 66 {, } {,, } {,,

Detaylı

VEKTÖRLER KT YRD.DOÇ.DR. KAMİLE TOSUN FELEKOĞLU

VEKTÖRLER KT YRD.DOÇ.DR. KAMİLE TOSUN FELEKOĞLU VEKTÖRLER KT YRD.DOÇ.DR. KMİLE TOSUN ELEKOĞLU 1 Mekanik olaları ölçmekte a da değerlendirmekte kullanılan matematiksel büüklükler: Skaler büüklük: sadece bir saısal değeri tanımlamakta kullanılır, pozitif

Detaylı