SAÜ BÖLÜM 11. OLASILIK. Prof. Dr. Mustafa AKAL

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "SAÜ BÖLÜM 11. OLASILIK. Prof. Dr. Mustafa AKAL"

Transkript

1 SAÜ BÖLÜM. OLASILIK Prof. Dr. Mustafa AKAL 0

2 İÇİNDEKİLER.KAVRAMLAR.. Rassal Deney, Örneklem Uzayı ve Olay.. Olayların Biçimlenmesi.3. Olasılık Tanımı.PERMÜTASYON VE KOMBİNASYON..Permütasyon... Sıralı Permütasyon... Dairesel Permütasyon..3. Tekrarlı Permütasyon.. Kombinasyon.3. Olasılık Kuralları.3.. Olasılıkların Toplanması.3.. Olasılıkların Çarpımı.3.3. Olasılıların Şartlı İhtimalleri 3.İKİ SONUÇLU OLAYLARDA OLASILIKLAR 4. ŞARTLI OLASILIKLARDA ÇARPIM KURALI 5. TOPLAM OLASILIK KURALI 6. BAYES TEOREMİ HEDEFLER Olasılıkla ilgili kavramların açıklanması, olasılık kurallarının örnek olaylarla açıklanması Permütasyon ve kombinasyonun kullanım yerleri ve hesaplanması

3 . KAVRAMLAR İstatistik biliminin önemli bir alanı olan olasılık kavramı, araştırılan herhangi bir olayın meydana gelme şansını ölçmemize yardımcı olmaktadır ve istatiksel öngörülerin (tahminlerin) temelini oluşturmaktadır. İnsanların yaşamlarında sık sık belirsizliklerle karşılaşmaktadırlar. Çiftçi için hava durumu, firma için gelecek yılın satışları, uygulanan farklı tedavi yöntemlerinin başarılı olup olmayacağı v.b. belirsizliğe örnek olarak verilebilir. Olasılık belirsizlik altında daha doğru kararlar almaya yardımcı olacağından bir çok alanda kullanılmakta ve faydalı olmaktadır. Olasılık konusunu ve hesaplamasının daha iyi anlaşılabilmesi için bazı olasılıkla ilğili temel kavramların iyi anlaşılmasında fayda vardır... Rassal Deney, Örneklem Uzayı ve Olay Aynı koşullar altında tekrarlanan deneylerde gözlemlerden hangisinin gerçekleşeceğinin belirsiz olduğu ve sadece bir tanesinin gerçekleştiği sürece RASSAL DENEY denir. Yazı-tura atışı, zar atışı, hisse senedi değişimleri, maç sonuçları, öğrencinin alacağı not v.b. Rassal deneyin tüm mümkün sonuçlarını gösteren kümeye ÖRNEKLEM UZAYI denir ve S harfi ile gösterilir. Örneklem uzayının gerçekleşmesi arzu edilen alt kümesine OLAY denir ve E harfi ile gösterilir. ÖRNEK:Bir zar atıldığında tek sayıların gelmesi istenmektedir. RASTGELE DENEY: Bir zarın atılması S = {,,3,4,5,6} E = {,3,5} ÖRNEK: İki madeni para aynı anda atıldığında ikisininde tura gelmesi istenmektedir. RASTGELE DENEY: İki madeni paranın aynı anda atılması. S = {(yazı, yazı), (yazı, tura), (tura, yazı), (tura, tura)} E = {(tura,tura)} ÖRNEK: Üretilen üç tane televizyondan en az iki tanesinin kusursuz olması istenmektedir. K= kusurlu, N=kusursuz.

4 RASTGELE DENEY: Üretilen üç tane televizyonun kusurlu olup olmaması. S = {(KKK), (KKN), (KNK), (NKK), (KNN),(NKN),(NNK),(NNN)} E = {(KNN),(NKN),(NNK),(NNN)}.. Olayların Biçimlenmesi Rastgele deneyler sonucunda bazı olaylar meydana geldiğinde bu olaylardan yeni olaylar yaratılabilir. Bunun yolları aşağıdaki gibi sıralanabilir ve olaylar arasındaki ilişkileri daha iyi gösterebilmek için VENN diyagramları denilen şekillerden yararlanılır. ÖRNEK:Atılan bir zarın tek olayına A ve 4 ten küçün gelme olayına B olayı dersek. S = {,, 3, 4, 5, 6} A = [, 3, 5] ve B= [,, 3]. Bütünleyici: A nın bütünleyicisi A da olmayan bütün olayları gösterir ve ile gösterilir. B nin bütünleyicisi B de olmayan bütün olayları gösterir ve ile gösterilir. = [, 4, 6] ve [4, 5, 6]. Bileşim: A veya B olayından en az bir tanesi gerçekleştiğinde, A veya B olayının bileşimi denir ve A B olarak gösterilir. A B = [,, 3, 5] 3. Kesişim: A ve B olaylarında aynı zamanda olan (ortak olan) bütün deneysel sonuçlardan oluşur ve A ve B olayının kesişimi denir. A B olarak gösterilir. A B = [, 3] 4. Ayrık Olay : A ve B olaylarınınortak sonuçları yoksa bu olaylara ayrık yada bağdaşmaz olaylar denir. A B boş küme olacaktır. 3

5 .3. Olasılık Tanımı Rassal bir deneme yapıldığında sonucu önceden belli olmayan durumlarda bir olayın gerçekleşebilirliğinin sayısal olarak ifade edilmesine OLASILIK denir. Diğer bir ifadeyle rassal denemede bir olayın hanği sıklıkla gerçekleşeceğinin bir sayı ile ülçülmesidir. Olasılık 0 ile aralığında bir ölçekle ölçülür. olasılığı olayın kesin olarak gerçekleşeceğini ifade ederken, 0 olasılığı olayın gerçekleşmesinin imkansızlığını ifade eder. Bunlar iki uç değerlerdir. Olasılığın uyması gereken üç önemli kural vardır. A bir olayı, P(A) olayın gerçekleşme olasılığını ve O i temel sonuçları göstermektedir.. 0 P(A), A olayının gerçekleşme olasılığı 0 ile arasındadır.. P(A) =, Deneme (N) sonsuza giderken N A / N oranı P(A) ya ve N i /N oranıda ye yaklaşır. 3. P(S) =, Olayın sonucu örneklem uzayı içinde olacaktır. 4

6 ÖRNEK: Atılan bir zarın 3 çıkma olasılığı nedir? P(A) = ÖRNEK: 0 tanesi hatalı olan 500 SEDAŞ faturasından seçilen bir tanesinin hatalı çıkma olasılığı nedir? P(A) =. PERMÜTASYON VE KOMBİNASYON Permütasyon ve Kombinasyon hesaplamalarında kullanılan en önemli kavram FAKTÖRYEL dir. den n e kadar sayıların çarpımına faktöryel denir ve n! sembolüyle gösterilir. Örneğin 4! = 4*3** = 4 tür. Özel bir durum olarak 0! = ve! = dir... Permütasyon Birbirinden farklı n tane elamanın kaç farklı şekilde sıralanabileceği PERMÜTASYON yardımıyla bulunur. Permütasyonlar olaya göre farklılıklar gösterebilirler.... Sıralı Permütasyon : n elemanlı bir A kümesinin seçilen k tane elemanının kaç farklı şekilde olabileceğinin hesaplamsında kullanılır. Formülü aşağıdaki gibidir. ÖRNEK :,, 3, 4, 5 sayılarından seçilecek olan iki sayı kaç farklı şekilde sıralanabilir? ÖRNEK : 5 kişi 5 kişilik bir koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir? 5

7 ÖRNEK : 5 kişi 4 kişilik bir koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir? ÖRNEK : 5 kişi 3 kişilik bir koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir?... Dairesel Permütasyon : n elemanlı bir A kümesinin seçilen k tane elemanının bir çember etrafında kaç farklı şekilde olabileceğinin hesaplamsında kullanılır. Formülü aşağıdaki gibidir. P n = (n-)! ÖRNEK : kadın 3 erkekten oluşan bir grup 5 kişilik yuvarlak bir masada kaç farklı şekilde oturabilir? P 5 = (5-)! = 4! =4 farklı şekilde. ÖRNEK : kadın 3 erkekten oluşan bir grup erkekler bir arada olmak üzere 5 kişilik yuvarlak bir masada kaç farklı şekilde oturabilir? Erkekler kendi aralarında 3! = 6 ve kadınlar kendi aralarında! = farklı şekilde oturabilirler. Kadın ve erkekleri iki grup olarak düşünürsek bu iki grup yuvarlak masa etrafında (-)! = farklı şekilde oturabilir. O zaman bu koşullar altında 6**= farklı şekilde oturabilirler...3. Tekrarlı Permütasyon : n elemanlı bir A kümesinin bazı elemanları tekrar ediyorsa bu tekrar eeden elemanların yer değiştirmesi yeni bir sıralama oluşturmaz. Bu durumlarda aşağıdaki formül kullanılmalıdır. n, n.n x P n = 6

8 ÖRNEK: 44 sayısındaki rakamların yeri değiştirilerek 5 rakamlı kaç farklı sayı türetilebilir? 4,P 6 = farklı sayı elde edilir... Kombinasyon: A kümesinin herhangi bir alt kümesine A kümesinin KOMBİNASYONU denir. Kombinasyon n elemanlı bir A kümesinden k elemanlı kaç tane farklı seçim yapılabileceğini gösterir. Formülü aşağıdaki şekildedir. ÖRNEK : 0 kişilik bir aday kadrodan 5 kişilik basketbol takımı kaç farklı şekilde seçilebilir?.3.olasılık Kuralları Bazen olasılık olayları bileşim, arakesit yada şartlı olabilir. Bu başlık altında bu olasıkların hesaplanması incelenecektir..3.. Olasılıkların Toplanması A ve B gibi iki olay bir deneyde aynı anda meydana gelemiyorsa yani bağdaşmaz olaylarsa bu iki olaydan en az birinin gerçekleşme olasılığı: P (A B) = P(A) + P(B) olarak yazılır. ÖRNEK : Bir zar atıldığında veya 4 gelme olasıiığı nedir? P (A B) = P(A) + P(B)= + bulunur. Dikkat edilirse atılan bir zarın aynı anda ve 4 gelme olasılığı yoktur. Burada kullanılan veya sözcüğü bize ipucu vermektedir. A ve B gibi iki olay bir deneyde aynı anda meydana gelebiliyorsa yani 7

9 bağdaşır olaylarsa bu iki olaydan en az birinin gerçekleşme olasılığı: P (A B) = P(A) + P(B) P(A B) olarak yazılır. ÖRNEK : Maliye bölümü ögrencilerinin % 50 si İstatistik, % 80 i İngilizce ve % 40 ı ise her iki dersten geçmiştir. Seçilen bir ögrencinin derslerden en azından birinden geçme olasılığı nedir? Bu örnekte P(A) = 0.5, P(B) = 0.8 ve P(A B) = 0.4 tür. P (A B) = P(A) + P(B) P(A B) = = 0.9 bulunur. Dikkat iki olayında yani öğrencinin her iki derstende geçme olasılığı vardır..3.. Olasılıkların Çarpımı Bir deneyde aynı anda birden çok olay meydana gelebiliyorsa bunlara bağımsız olaylar denir ve bu olayların aynı anda meydana gelme olasılığı: P (A B) = P(A) * P(B) olarak yazılır. ÖRNEK : İki zar aynı anda atıldığında ikisininde 3 gelme olasılığı nedir? P (A B) = P(A) * P(B)=P(3,3) = = olarak bulunur. ÖRNEK :Maliye bölümü ögrencilerinin % 50 si İstatistik, % 80 i İngilizce dersinden geçmiştir. Seçilen bir ögrencinin iki dersten birden geçme olasılığı nedir? P (A B) = P(A) * P(B) = P (0.5, 0.8) = 0.5 * 0.8 =0.4olarak bulunur. ÖRNEK : İki zar aynı anda atıldığında ikisininde 3 veya ikisininde gelme olasılığı nedir? P (A B veya C D) = P(A) * P(B) + P(C) * P(D) P (3,3 veya,) = + = olarak bulunur. Bu örnekte ilk olarak aynı anda atılan iki zarın ikisininde 3 ve gelme olasıkları bulunur. İkinci aşamada bu olasılıklar toplanır. 8

10 ÖRNEK: Şampiyonlar liginde bulunan A, B, C ve D grubunun. Ve. leri bir üst tura çıkmışlardır. Çeyrek finalde grup. leri ile. leri karşılaşacaklardır. Grup. lerinin galip gelme olasılığı % 60 ve grup. lerinin galip gelme şansı % 40 tır. Oynanan 4 maçta da grup. lerinin galip gelme olasılığı nedir? P(A B C D) = 0.4*0.4*0.4*0.4 = olarak bulunur. En az bir tane. nin galip gelme olasılığı nedir? P(en az bir. nin galip gelmesi) = - P(A B C D) = = olarak bulunur Olasılıkların Şartlı İhtimalleri A ve B gibi olaydan bir tanesinin (B nin) gerçekleştiği biliniyorsa A nın gerçekleşme olasılığı koşullu olasılık formülüyle bulunur. B olayı gerçekleşmeden A olayının gerçekleşmesi mümkün değildir. P (A\ B) = ÖRNEK: Maliye bölümü ögrencilerinin % 80 i İngilizce, % 50 si İstatistik dersinden geçmiştir. İstatistik dersinden geçen bir ögrencinin İngilizce dersinden geçme olasılığı nedir? P (A\ B) = olarak bulunur. ÖRNEK: Maliye bölümü ögrencilerinin % 50 si İstatistik, % 80 i İngilizce dersinden geçmiştir. İngilizce dersinden geçen bir ögrencinin İstatistik dersinden geçme olasılığı nedir? P (B\ A) = olarak bulunur. Örnek : Bir sınıftaki öğrencilerin 0,35 inin sadece istatistik dersinden, %5 inin ise hem istatistik hem de matematik dersinden başarılı olduklarını varsayalım. Rasgele 9

11 seçilen bir öğrenci istatistik dersinde başarılı ise bu öğrencinin matematik dersinde de başarılı olma olasılığı nedir? Çözüm: E = istatistikten başarılı olması olayı P( E ) = 0,35 istatistikten başarılı olma olasılığı E = matematikten başarılı olması olayı P( E E ) = 0.5 hem istatistik hem de matematikten başarılı olma olasılığı P( E E ) = 0, 5 0,35 = 0,74 Örnek : 0 kişilik bir sınıfta erkek öğrenciden 50 kız 70 erkek öğrenci mevcuttur. Bunlardan 0 tanesinin adı Ahmet tir. Bu sınıftan kura ile listeden gözü kapalı çekilen bir öğrencinin erkek ve isminin Ahmet olması olasılığı nedir? Çözüm: Bu sınıftan kura ile listeden gözü kapalı çekilen bir öğrencinin erkek ve isminin Ahmet olması olasılığı nedir bize şartlı olasılığı verir. Çünkü ismi kuradan çıkan öğrencinin erkek olmasına bağlı olarak isminin Ahmet olması aranmaktadır. P(Erkek) = P( E ) = 70 0 P(Ahmet) = P( E ) = 0 70 Kurada çıkan öğrencinin erkek olması ( E ) halinde bunun Ahmet isminde bir öğrenci olması ( E ) ihtimali P(Ahmet/Erkek) = P( E / E ) şeklinde gösterilir. P( E E) P( E / E ) = PE ( ) = =0, Örnek : 3 çocuklu bir ailede, ikiden az kız çocuğu olma olasılığı G olsun. Buna göre bütün çocukların aynı cinsiyete sahip olma olasılığı (H) nedir? Çözüm: Burada G ortaya çıktıktan sonra H nasıl oluşacaktır. Bu şartlı olasılık olarak nitelendirilir. H nin G ye bağlı şartlı olasılığı ; P(H/G) = P( H G) PG ( ) 0

12 Örnek : 3 hatalı lamba 6 iyi ile karıştırılmıştır. Eğer lamba arka arkaya çekilirse ikisinin de iyi olma olasılığı nedir? Çözüm: İkisinin iyi olma olasılığı P( E E ) = = 5 = 0,4 yani P( G )P( G/ G ) = P( G G ). İkincinin birinci çekilişe bağlı olarak iyi olma olasılığı ise P( G G) 5/ P( G/ G )= PG ( ) 6 / İKİ SONUÇLU OLAYLARDA OLASILIKLAR İki sonucu olan bir olay n kere tekrarlanırsa bir olayın (X) ortaya çıkma olasılığı: P (X) = formülü yardımıyla bulunur. ÖRNEK: Bir madeni para üç kez atılırsa, Üçünün de yazı gelme olasılığı? P(3) = İki tanesinin yazı gelme olasılığı? olarak bulunur. P() = olarak bulunur. Bir tanesinin yazı gelme olasılığı? P() = olarak bulunur. Hiç yazı gelmeme olasılığı? P() = olarak bulunur. 4. ŞARTLI OLASILIKLARDA ÇARPIM KURALI

13 E ve E bağımlı olaylarından E, E den sonra meydana geliyorsa bu olayların her ikisinin de gerçekleşme ihtimali; P( E E ) = P( E ) ( E / E ) veya A ve B gibi iki olay için P (A P (A B) = A ve B nin birlikte gerçekleşme olasılığı B) = P(B) P(A/B) Örnek: Bir piyangoda 8 boş ve ikramiyeli bilet vardır. Bir kimse bu piyangodan iki bilet satın almıştır. Her iki bilete de ikramiye isabet etmesi olasılığı nedir? Çözüm: Birinci bilete ikramiye isabet etmesi hali P( E ) = dur. Birinci biletin ikramiye 0 alması halinde geriye 8 boş ikramiyeli olmak üzere 9 bilet kalır. İkinci bir ikramiye isabet etmesi hali P( E / E ) = 9 dur. Her iki bilete de ikramiye isabet etmesi hali ise P( E E ) = 0 9 = 45 Örnek: Bir torbada kırmızı 5 tane de beyaz top vardır. Ardı ardına iki top çekiyoruz. Bu iki topun her ikisinin de beyaz gelme olasılığı nedir? Çözüm: P (A B) = = 0 4. topun beyaz. topun kırmızı gelme olasılığı; = TOPLAM OLASILIK KURALI Eğer B, B B k gibi k tane ara süreç olduğunda, bir çok sonuç ara süreçlerde sonuçlanan olaylara bağlı olduğunda bu olayı açıklamada toplam olasılık kuralına başvurulur.

14 Teorem: Eğer B, B ve P( B i ) 0, i =.k, S örnekleminin içinde bir A olayının olasılığı P(A) = P Bi P A i B olaylar S örneklem düzeyinin farklı parçalarını oluşturuyor k k i ( /B ) dir. Bu Bayes Teoremi değildir; Bayes Teoremi formülünün bir parçasıdır. Bu Elimine Teoremi ya da Toplam Olasılık Kuralı Teoremi dir. Örnek: Bir inşaatın zamanında bitimi işçi grevleri yüzünden aksayabilir. Grev olma ihtimalinin 0,6 ve eğer grev olmadığı durumda işin zamanında bitirilmesi olasılığı 0,85 ve eğer grev olması halinde işin zamanında bitirilmesi ihtimali 0,35 ise işin zamanında bitirilme olasılığını nedir? Çözüm: A işin zamanında bitirilme olayı (grev olsun veya olmasın) B grev olması olayı B grev olmama olasılığı P( B ) = 0,6, P( A / B ) = 0,85, P ( A / B ) = 0,35 P( A B) ve P( A B ) olayları birbiriyle bağdaşmaz. Yani bunların kesişimi 0 dır. A A B = grev olması durumunda işin zamanında bitirilme olayı B = grev olmaması durumunda işin zamanında bitirilme olayı P ( A / B ) = grev olması durumunda işin zamanında bitirilmesi olasılığı P( A / B ) = grev olmaması durumunda işin zamanında bitirilmesi olasılığı P(A) = P[( A B) ( A B ) ] = P( A B) + P( A B ) P(A) = P(B) P ( A / B ) + P( B ) P( A / B ) P(A) = (0,60) (0,35) + (-0,60) ( 0,85) = 0,55 Örnek: Bir şantiye firması 3 farklı acenteden araba kiralamaktadır. %60 ını. acenteden, %30 unu. acenteden, %0 unu ise 3. acenteden kiralamaktadır. Eğer. acenteden kiralanan araçların %9 unun,. acenteden kiralanan araçların %0 sinin, 3. acenteden kiralanan araçların %6 sının genel muayeneye ihtiyacı varsa firmaya gönderilen araçlardan birinin genel muayene olma ihtiyacı nedir? Çözüm: A arabanın muayene olma olasılığı 3

15 B, B, B 3 arabanın.,., ve 3., acenteden gelmesi olayları olsun. Bu durumda, PB ( ) = 0,6, PB ( ) = 0,3, PB ( 3) = 0, P( A/ B ) = 0,09, P( A/ B ) = 0,, P( A/ B 3) = 0,06 Bunları elimine ya da toplam kuralında yerine koyarsak; P(A) = (0,6)(0,09) + (0,3)(0,) + (0,)(0,06) = 0, Bu firmaya gönderilen arabaların % sinin genel muayene ihtiyacı vardır. Şimdi bu yukarıdaki örneğe istinaden biz şu soru ile ilgilenelim. Firmaya gönderilen genel muayeneye ihtiyacı olan aracın. acenteden gelme olasılığı nedir? Bunun cevabını Bayes Teoremi ile verebiliriz. 6. BAYES TEOREMİ Çeşitli nedenlerin aynı sonuçları verebildiği durumlarda bazen sonuç bilindiği halde bunun hangi nedenden ileri gelmiş olduğu bilinmeyebilir. Söz konusu sonucun hangi olasılıkla hangi nedenden ortaya çıktığı araştırılmak istendiğinde Bayes Teoremi nden yararlanılır. Sonuçtan nedene doğru gidilir. Ağaç Diyagramı Ağaç şeması, b ve c sonuçlarının a olayına, a ve c sonuçlarının b olayına, a ve b sonuçlarının c olayına bağlı geliştiğini gösterir. Bu ağaç işlemi Bayes Teoremi nde yerine konarak da elde edilebilir. Bayes Teoremi, bir sonucun hangi olasılıkla hangi nedenden dolayı ortaya çıktığı araştırılmak istendiğinde kullanılan teoremdir. Bayes teoremi sonuç belli iken geriye doğru analiz yapma imkânı sağlar. Bu teoreme Bayes kuralı, ters olasılık ya da nedenler olasılığı denir. Teorem: Eğer B, B B olayları S örnekleminde kısımları oluşturuyorsa ve k P( B i ) 0, i =.k için S de herhangi bir A olayı P(A) 0 kaydıyla, 4

16 P( Br A ) = P( B ) P( A B ) k i r P( B ) P( A B ) i r r, i =,,.,k Burada B r ler bağdaşmaz ve bütüne tamamlayan olaylardır; P( E E ) = 0 bağdaşmaz. Bayes teoreminin bileşenleri ağaç diyagramı ile şöyle şema edilebilir: Bu şemada A olayına r. branş ile ulaşılmaktadır. Fakat A ya k tane branştan sadece birisi ile ulaşıldığı bilindiğinde A nın olasılığı onun r. branş ile ilişkisinin bütün k branşlarıyla olan ilişkisi toplamına eşittir. Örnek: Toplam olasılık kuralına verilen örnekte, genel muayene ihtiyacı olan aracın. acenteden gelme olasılığı nedir? Çözüm: Olasılıkları Bayes teoreminde yerine koyarak çözebiliriz. (0,3)(0,) P B A = ( / )= (0,6)(0,09) + (0,3)(0,) + (0,)(0,06) Firmaya gönderilen araçların 0,30 u. acenteden gelmesine rağmen bu araçların genel muayene gerektirenlerinin %50 si. acenteden gelmektedir. Örnek: Sakarya vilayetindeki araçların 0,5 i aşırı hava kirliliği yapmaktadır. Şehir trafik kontrolünde bu araçların egzoz muayenesi sonucu %99 u testi geçemediğini ve 0,7 sinin hava kirliliği yapmamasına rağmen testi geçemediğini varsayarsak aşırı derecede hava kirliliği yapan bir aracın testi geçememe olasılığı nedir? Çözüm: 5

17 Ağaç diyagramında branşla ilişkili olan durum gösterilmiştir. Bu durumda bir aracın aşırı derecede kirlilik yaratması halinde testi geçememe olasılığı; 0, 475 = 0,66 dır. 0, 475 0,75 Kaynakça. Yılmaz Özkan, Uygulamalı İstatistik, Sakarya Kitapevi, Özer Serper, Uygulamalı İstatistik, Filiz Kitapevi, Meriç Öztürkcan, İstatistik Ders notları, YTÜ. 4. Andım Oben Balce ve Serdar Demir, İstatistik Ders Notları, Pamukkale Üniversitesi, Ayşe Canan Yazıcı, Biyoistatistik Ders Notları, Başkent Üniversitesi. 6. Zehra Muluk ve Yavuz Eren Ataman, Biyoistatistik ve Araştırma Teknikleri Ders Notları, Başkent Üniversitesi. 7. John Freund, Matematiksel İstatistik 6

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir.

Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir. 5.SUNUM Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir. Günlük hayatta sıklıkla kullanılmakta olan olasılık bir olayın ortaya

Detaylı

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLSILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

Dr. Mehmet AKSARAYLI OLASILIK. Ders 3 / 1

Dr. Mehmet AKSARAYLI OLASILIK. Ders 3 / 1 Dr. Mehmet AKSARAYLI OLASILIK Ders 3 / 1 1 0 Kesin İmkansız OLASILIK; Bir olayın gerçekleşme şansının sayısal değeridir. N adet denemede s adet başarı söz konusu ise, da başarının nisbi frekansı lim (s/n)

Detaylı

BAYES KURAMI. Dr. Cahit Karakuş

BAYES KURAMI. Dr. Cahit Karakuş BAYES KURAMI Dr. Cahit Karakuş Deney, Olay, Sonuç Küme Klasik olasılık Bayes teoremi Permütasyon, Kombinasyon Rasgele Değişken; Sürekli olasılık dağılımı Kesikli - Süreksiz olasılık dağılımı Stokastik

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 4: OLASILIK TEORİSİ Giriş Bu bölüm sonunda öğreneceğiniz konular: Rastgele Olay Örnek Uzayı Olasılık Aksiyomları Bağımsız ve Ayrık Olaylar Olasılık Kuralları Koşullu Olasılık

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 GİRİŞ Olasılık Teorisi: Matematiğin belirsizlik taşıyan

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ OLASILIĞA GİRİŞ DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması

Detaylı

OLASILIĞA GİRİŞ P( )= =

OLASILIĞA GİRİŞ P( )= = OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması olasılığı %85 dir. Olasılık modelleri; Sıvı içindeki moleküllerin davranışlarını

Detaylı

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir.

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız.

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız. OLASILIK (İHTİMALLER HESABI) Olasılık kavram ı ilk önceleri şans oyunları ile başlamıştır. Örneğin bir oyunda kazanıp kazanmama, bir paranın atılmasıyla tura gelip gelmemesi gibi. Bu gün bu kavramın birçok

Detaylı

Olasılık Kuramı ve İstatistik. Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları

Olasılık Kuramı ve İstatistik. Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları Olasılık Kuramı ve İstatistik Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları OLASILIK Olasılık teorisi, raslantı ya da kesin olmayan olaylarla ilgilenir. Raslantı

Detaylı

Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar

Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar Küme Kavramı Küme İşlemleri Deney, Örnek Uzay, Örnek Nokta ve Olay Kavramları Örnek Noktaları Sayma Permütasyonlar Kombinasyonlar Parçalanmalar

Detaylı

kişi biri 4 kişilik, üçü ikişer kişilik 4 takıma kaç farklı şekilde ayrılabilir? (3150)

kişi biri 4 kişilik, üçü ikişer kişilik 4 takıma kaç farklı şekilde ayrılabilir? (3150) PERMÜTASYON KOMBİNASYON. A = {,,,,5} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 5 elemanı bulunur? (). 7 elemanlı bir kümenin en az 5 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? (9). A { a, b, c, d, e, f, g, h}

Detaylı

BİYOİSTATİSTİK Olasılıkta Temel Kavramlar Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH

BİYOİSTATİSTİK Olasılıkta Temel Kavramlar Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH BİYOİSTTİSTİK Olasılıkta Temel Kavramlar Yrd. Doç. Dr. slı SUNER KRKÜLH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim D. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr 1 OLSILIK Olasılık; Tablo

Detaylı

OLASILIK LASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık

OLASILIK LASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık 1-1 Click To Edit Master Title Style OLASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık Yrd.Doç.Dr Doç.Dr.. Pınar YILDIRIM Okan Üniversitesi Mühendislik ve Mimarlık Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü 1-2 GİRİŞ Olasılık,

Detaylı

1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir?

1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir? 1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir? 9. 4 çocuklu bir aile yan yana poz verecektir. Çocukların soldan sağa doğru boy sırasında olduğu kaç durum

Detaylı

Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür.

Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür. 1 Olasılık Örnekler 1. Bir çantada 4 beyaz 8 siyah top vardır. Bir siyah top çekilmesi olasılığı nedir? Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür. 2.

Detaylı

OLASILIK. P(A) = şeklinde ifade edilir.

OLASILIK. P(A) = şeklinde ifade edilir. OLASILIK Olasılık belirli bir olayın olabilirliğinin sayısal ölçüsüdür. Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. 17 yy. da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya

Detaylı

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006 MC www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I 1. Ankra'dan Đstanbul'a giden 10 farklı otobüs, Đstanbul'- dan Edirne'ye giden 6 farklı

Detaylı

( B) ( ) PERMÜTASYON KOMBİNASYON BİNOM OLASILIK

( B) ( ) PERMÜTASYON KOMBİNASYON BİNOM OLASILIK PERMÜTASYON KOMBİNASYON BİNOM OLASILIK.... n = n! olmak üzere, ( n + )! = 0 n! + n! ise, n kaçtır? (A) ( ) A)0 B) C) D) E). ( n +,) = 6 C olduğuna göre, n kaçtır? (B) A) B)6 C) D)8 E)9. ( n, ). C( n,)

Detaylı

BİYOİSTATİSTİK OLASILIK

BİYOİSTATİSTİK OLASILIK BİYOİSTATİSTİK OLASILIK B Doç. Dr. Mahmut AKBOLAT *Küme Kavramı: Küme, tek bir isim altında toplanabilen ve benzer özellik gösteren birimlerin meydana getirdiği topluluk olarak tanımlanabilir. Küme içinde

Detaylı

VERİLERİN GRAFİKLER YARDIMIYLA SUNUMU. 3.2.1.Daire Grafikleri Yardımıyla Verilerin Sunumu. 3.2.2.Sütun(Çubuk) Grafikleri Yardımıyla Sunumu

VERİLERİN GRAFİKLER YARDIMIYLA SUNUMU. 3.2.1.Daire Grafikleri Yardımıyla Verilerin Sunumu. 3.2.2.Sütun(Çubuk) Grafikleri Yardımıyla Sunumu SAÜ 3. BÖLÜM VERİLERİN GRAFİKLER YARDIMIYLA SUNUMU PROF. DR. MUSTAFA AKAL İÇİNDEKİLER 3.2.Grafiksel Sunumlar 3.2.1.Daire Grafikleri Yardımıyla Verilerin Sunumu 3.2.2.Sütun(Çubuk) Grafikleri Yardımıyla

Detaylı

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersin Adı SINIFI: KONU: Olasılık Dersin Konusu. Bir kutudaki 7 farklı boncuğun içinden iki tanesi seçiliyor. Buna göre, örneklem uzayının eleman sayısı A) 7 B)! 7. madeni

Detaylı

İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik

İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik 6.SUNUM İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik özellikleri (ortalama, varyans v.b. gibi) hakkında

Detaylı

Şartlı Olasılık. Pr[A A ] Pr A A Pr[A ] Bir olayın (A 1 ) olma olsılığı, başka bir olayın (A 2 ) gerçekleştiğinin bilinmesine bağlıysa;

Şartlı Olasılık. Pr[A A ] Pr A A Pr[A ] Bir olayın (A 1 ) olma olsılığı, başka bir olayın (A 2 ) gerçekleştiğinin bilinmesine bağlıysa; Şartlı Olasılık Bir olayın (A ) olma olsılığı, başka bir olayın (A 2 ) gerçekleştiğinin bilinmesine bağlıysa; Pr[A A 2 Pr A A Pr A A = Pr[A A 2 2 2 Pr[A Pr[A 2 2 A A 2 S Pr[A A 2 A 2 verildiğinde (gerçekleştiğinde)

Detaylı

Biyoistatistik V. HAFTA

Biyoistatistik V. HAFTA Biyoistatistik V. HAFTA Olasılık Olasılık: Bir olayın gerçekleşme ihtimalinin matematiksel değeridir. p= Başarı sayısı / olanaklı durumlar Yazı gelmesi ihtimali p=1/2=0.5 Olasılığın özellikleri: Daima

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek: SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=

Detaylı

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2 Bir Olayın Olasılığı P(A) = n(a) n(s) = A nın eleman sayısı S nin eleman sayısı Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: S

Detaylı

8. SINIF MATEMATiK OLASILIK. Murat ÇAVDAR OLASILIK. Olasılık: Sonucu önceden kesin olarak bilinmeyen rastlantıya bağlı olaylara olasılık denir.

8. SINIF MATEMATiK OLASILIK. Murat ÇAVDAR OLASILIK. Olasılık: Sonucu önceden kesin olarak bilinmeyen rastlantıya bağlı olaylara olasılık denir. 04 8. SINIF MATEMATiK OLASILIK OLASILIK Olasılık: Sonucu önceden kesin olarak bilinmeyen rastlantıya bağlı olaylara olasılık denir. Bir zarın atılması, bir torbadan top çekilmesi, bir paranın yazı veya

Detaylı

Şartlı Olasılık. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK

Şartlı Olasılık. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK Şartlı Olasılık Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK tover@sakarya.edu.tr Şartlı Olasılık ir olayın olasılığından söz edebilmek için bir alt kümeyle temsil edilen bu olayın içinde bulunduğu örnek uzayının

Detaylı

İstatistik 1. Bölüm 5 Olasılık Teorisi ve Kesikli Olasılık Dağılımları. Ankara Üniversitesi SBF, GYY

İstatistik 1. Bölüm 5 Olasılık Teorisi ve Kesikli Olasılık Dağılımları. Ankara Üniversitesi SBF, GYY İstatistik 1 Bölüm 5 Olasılık Teorisi ve Kesikli Olasılık Dağılımları Bu Bölümde İşlenecek Konular Temel Olasılık Teorisi Örnek uzayı ve olaylar, basit olasılık, birleşik olasılık Koşullu Olasılık İstatistiksel

Detaylı

Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur

Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur Kümeler Kümeler ve küme işlemleri olasılığın temellerini oluşturmak için çok önemlidir Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur Sonlu sayıda, sonsuz sayıda, kesikli

Detaylı

Olasılık: Klasik Yaklaşım

Olasılık: Klasik Yaklaşım Olasılık Teorisi Olasılık: Klasik Yaklaşım Olasılık Bir olayın meydana gelme şansına olasılık denir. Örnek Türkiye nin kazanma olasılığı Hava durumu Loto Olayların Olasılığını Belirleme Rastsal (gelişigüzel)

Detaylı

Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.

Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir. BÖLÜM 1 KÜMELER CEBİRİ Küme, iyi tanımlanmış ve farklı olan nesneler topluluğudur. Yani küme, belli bir kurala göre verilmiş nesnelerin listesidir. Nesneler reel veya kavramsal olabilir. Kümede bulunan

Detaylı

OLASILIK (Probability)

OLASILIK (Probability) OLASILIK (Probability) Olasılık, bir olayın meydana gelme, ortaya çıkma şansını ifade eder ve P ile gösterilir. E i ile gösterilen bir basit olayın olasılığı P (E i ), A bileşik olayının olasılığıysa P

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar

Detaylı

Temel Olasılık {\} /\ Suhap SAHIN

Temel Olasılık {\} /\ Suhap SAHIN Temel Olasılık 0 {\} /\ Suhap SAHIN Olasılık P(E) : E nin olma olasılıgı n: Deneme sayısı n(e): Denemelerden kaçı E ile sonuçlandı Deneme sayısı sonsuza( ) yaklasırsa P(E) = limn n(e) n Örnek Uzay S: Bir

Detaylı

Olasılık Kavramı. Recep YURTAL. Mühendislikte İstatistik Metotlar. Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Olasılık Kavramı. Recep YURTAL. Mühendislikte İstatistik Metotlar. Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Olasılık Kavramı Mühendislikte İstatistik Metotlar Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği ölümü OLSILIK KVRMI KÜME KVRMI irlikte ele alınan belirli nesneler topluluğuna küme, Kümede içerilen nesnelere

Detaylı

Dr. Mehmet AKSARAYLI

Dr. Mehmet AKSARAYLI Dr. Mehmet AKSARAYLI Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir. Şans Değişkenleri KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli

Detaylı

Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler.

Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler. Bölüm 2 OLASILIK TEORİSİ Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler. Rasgele değişken, gelecekteki bir gözlemde alacağı

Detaylı

Olasılık Föyü KAZANIMLAR

Olasılık Föyü KAZANIMLAR Olasılık Föyü KAZANIMLAR Bir olaya ait olası durumları belirler. Daha fazla, eşit, daha az olasılıklı olayları ayırt eder, örnek verir. Eşit şansa sahip olan olaylarda her bir çıktının olasılık değerinin

Detaylı

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir.

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. OLSILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

PERMÜTASYON DERS NOTLARI. Sayma Yöntemleri. TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma. Çarpma yoluyla sayma

PERMÜTASYON DERS NOTLARI. Sayma Yöntemleri. TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma. Çarpma yoluyla sayma TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma A ve B ayrık iki küme olsun. Bu iki kümenin birleşimlerinin eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının toplamına eşittir. Bu sayma yöntemine toplama yoluyla

Detaylı

Örnek...5 : A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 4 lü perm ütas yonlarının kaç tanesinde,

Örnek...5 : A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 4 lü perm ütas yonlarının kaç tanesinde, PERMÜTASYON ( SIRALAMA OLAYI ) Birbirinden farklı n tane nesnenin r tanesinin farklı her dizilişine (sıralanışına) n nesnenin r li permütasyonları denir ve P(n,r)= n! (r n) (n r)! biçim inde gösterilir.

Detaylı

Not: n tane madeni paranın atılması deneyinde örnek uzayın eleman sayısı

Not: n tane madeni paranın atılması deneyinde örnek uzayın eleman sayısı LYS Matematik Olasılık Tanım: Bir deneyde çıkabilecek tüm sonuçların kümesine örnek uzay denir ve E ile gösterilir. Örnek uzayın herhangi bir elemanına da örnek nokta denir. Örnek: Bir zarın atılması deneyinde

Detaylı

16. 6 kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç farklı şekilde sonuçlanabilir? (64)

16. 6 kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç farklı şekilde sonuçlanabilir? (64) SAYMANIN TEMEL İLKESİ 1. Altılık sayma düzeninde dört basamaklı rakamları tekrarsız kaç sayı yazılabilir? (300) 2. 0,1,2,3,4,5,6,7 rakamları ile yazılabilecek 300 ile 700 arasında en çok kaç değişik doğal

Detaylı

BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,,

BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,, BİNOM AÇILIMI Binom Açılımı n doğal sayı olmak üzere, (x+y) n ifadesinin açılımını pascal üçgeni yardımıyla öğrenmiştik. Pascal üçgenindeki katsayılar; (x+y) n ifadesi 1. Sütun: (x+y) n açılımındaki katsayılar

Detaylı

ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT

ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM, OLASILIK ve İSTATİSTİK ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT Permütasyon. Kazanım : Eşleme, toplama ve çarpma yoluyla sayma yöntemlerini açıklar. 2. Kazanım : n elemanlı

Detaylı

Kosullu Olasılık & Bayes Teoremi

Kosullu Olasılık & Bayes Teoremi Kosullu Olasılık & Bayes Teoremi 0 {\} /\ Suhap SAHIN Olasılık Deneyi Olasılık problemlerinde gerçeklestirilen eylemler Zar atılması Para atılması Top Çekme Bir zar atıldıgında üst yüze çift gelme ihtimali

Detaylı

( ) (, ) Kombinasyon. Tanım: r n olmak üzere n elemanlı bir kümenin r elemanlı her alt kümesine bu n elemanın r li kombinasyonu denir.

( ) (, ) Kombinasyon. Tanım: r n olmak üzere n elemanlı bir kümenin r elemanlı her alt kümesine bu n elemanın r li kombinasyonu denir. Kombinasyon Tanım: r n olmak üzere n elemanlı bir kümenin r elemanlı her alt kümesine bu n elemanın r li kombinasyonu denir. n elemanın tüm r li kombinasyonlarının sayısı; (, ) C n r ( ) r n P n, r n!

Detaylı

Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları

Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları KAVRAMLAR Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları Deney: belirli koşullar altında tekrarlanabilen ve her tekrarda farklı sonuçlar elde edilebilen işlemdir. Örneklem uzayı: bir denemenin tüm olası

Detaylı

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674 kapak sayfası İÇİNDEKİLER. ÜNİTE SAYMA Sıralama ve Seçme... 4 Toplama Yolu ile Sayma... 4 Çarpma Yolu ile Sayma... 4 Permütasyon (Sıralama)... 5 Konu Testleri - -... 9 Kombinasyon (Seçme)... 4 Konu Testleri

Detaylı

TEMEL SAYMA KURALLARI

TEMEL SAYMA KURALLARI TEMEL SAYMA KURALLARI SAYMA Toplama Yoluyla Sayma A ve B sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı; s(a,b) = s(a) + s(b) dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 1 Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

OLASILIK. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

OLASILIK.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) OLASILIK 46 0 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları Ocak 20 0. Teorik Olasılık 0.. Deney ve Çıktı 4. Bir zar ile

Detaylı

OLASILIK (İHTİMAL) TEORİSİ. DENEY (experiment),sonuç (outcome), OLAY (event) DENEY:Bir aktivitenin gözlemlenmesi ve ölçüm yapma şekilleridir.

OLASILIK (İHTİMAL) TEORİSİ. DENEY (experiment),sonuç (outcome), OLAY (event) DENEY:Bir aktivitenin gözlemlenmesi ve ölçüm yapma şekilleridir. OLASILIK (İHTİMAL) TEORİSİ 1 DENEY (experiment),sonuç (outcome), OLAY (event) DENEY:Bir aktivitenin gözlemlenmesi ve ölçüm yapma şekilleridir. SONUÇ:Deneylerin tamamlanması ile elde edilen verilerdir.

Detaylı

3)Aşağıdaki tabloda gruplandırılmış bir veri kümesi bulunmaktadır. Bu veri kümesinin mutlak ortalamadan sapması aşağıdakilerden hangisidir?

3)Aşağıdaki tabloda gruplandırılmış bir veri kümesi bulunmaktadır. Bu veri kümesinin mutlak ortalamadan sapması aşağıdakilerden hangisidir? İSTATİSTİK SORU VE CEVAPLARI 1)Tabloda 500 kişinin sahip oldukları akıllı telefon markalarını gösteren bilgiler verilmiştir.bu tabloda ki bilgileri yansıtan daire grafiği aşağıdakilerden hangisidir? TELEFON

Detaylı

Prof.Dr.A.KARACABEY Doç.Dr.F.GÖKGÖZ RANDOM DEĞİŞKEN

Prof.Dr.A.KARACABEY Doç.Dr.F.GÖKGÖZ RANDOM DEĞİŞKEN SÜREKSİZ (DISCRETE) OLASILIK DAĞILIMLARI 1 RANDOM DEĞİŞKEN Nümerik olarak ifade edilebilen bir deneyin sonuçlarına rassal (random) değişken denir. Temelde iki çeşit random değişken vardır. ##süreksiz(discrete)

Detaylı

ÜNİTE 11 ÜNİTE 9 MATEMATİK. Kümeler. 1. Bölüm: Kümelerde Temel Kavramlar 2. Bölüm: Kümelerde İşlemler. 9. Sınıf Matematik

ÜNİTE 11 ÜNİTE 9 MATEMATİK. Kümeler. 1. Bölüm: Kümelerde Temel Kavramlar 2. Bölüm: Kümelerde İşlemler. 9. Sınıf Matematik ÜNİTE 11 ÜNİTE Kümeler 1. Bölüm: Kümelerde Temel Kavramlar 2. Bölüm: Kümelerde İşlemler 9 MATEMATİK 1. ÜNİTEDE HEDEFLENEN KAZANIMLAR 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR Kazanım 9.1.1.1: Küme kavramını

Detaylı

Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları

Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli ġans DeğiĢkenlerinin Olasılık Fonksiyonları X, şans değişkeni ve, 2,.., n ise bu tesadüfi değişkenin

Detaylı

Dr. Akarsu Hafta-4 11/16/2014 1

Dr. Akarsu Hafta-4 11/16/2014 1 Dr. Akarsu Hafta-4 11/16/2014 1 GİRİŞ Olasılık dolaylı istatistiğin önemli metotlarının temelini oluşturmaktadır. Örneğin, cinsiyet belirleyici bir prosedür belirlediğinizi iddia ediyorsunuz ve her seferinde

Detaylı

BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ İÇİN İŞLETME İSTATİSTİĞİ

BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ İÇİN İŞLETME İSTATİSTİĞİ SAKARYA ÜNİVERSİTESİ BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ İÇİN İŞLETME İSTATİSTİĞİ Hafta 5 Yrd. Doç. Dr. Halil İbrahim CEBECİ Bu ders içeriğinin basım, yayım ve satış hakları Sakarya Üniversitesi ne aittir. "Uzaktan

Detaylı

ÜNİTE. İSTATİSTİĞE GİRİŞ Prof.Dr.Erkan Oktay İÇİNDEKİLER HEDEFLER İHTİMAL TEORİSİ

ÜNİTE. İSTATİSTİĞE GİRİŞ Prof.Dr.Erkan Oktay İÇİNDEKİLER HEDEFLER İHTİMAL TEORİSİ HEDEFLER İÇİNDEKİLER İHTİMAL TEORİSİ Temel Kavramlar Toplama Kuralı Çarpma Kuralı İhtimal Dağılım Tablosu Beklenen Değer İSTATİSTİĞE GİRİŞ Prof.Dr.Erkan Oktay Bu üniteyi çalıştıktan sonra; İhtimal (olasılık)

Detaylı

10SINIF MATEMATİK. Sayma ve Olasılık Fonksiyonlar

10SINIF MATEMATİK. Sayma ve Olasılık Fonksiyonlar 0SINIF MATEMATİK Sayma ve Olasılık Fonksiyonlar YAYIN KOORDİNATÖRÜ Oğuz GÜMÜŞ EDİTÖR Hazal ÖZNAR - Uğurcan AYDIN DİZGİ Muhammed KARATAŞ SAYFA TASARIM - KAPAK F. Özgür OFLAZ Eğer bir gün sözlerim bilim

Detaylı

ALKÜ EKONOMİ ve FİNANS BÖLÜMÜ ISL 207 İSTATİSTİK I ALIŞTIRMALAR

ALKÜ EKONOMİ ve FİNANS BÖLÜMÜ ISL 207 İSTATİSTİK I ALIŞTIRMALAR ALKÜ EKONOMİ ve FİNANS BÖLÜMÜ ISL 207 İSTATİSTİK I ALIŞTIRMALAR 1- İlaçla tedavi edilen 7 hastanın ortalama iyileşme süresi 22.6 gün ve standart sapması.360 gündür. Ameliyatla tedavi edilen 9 hasta için

Detaylı

Olasılığa Giriş Koşullu Olasılık Bayes Kuralı

Olasılığa Giriş Koşullu Olasılık Bayes Kuralı Olasılığa Giriş Koşullu Olasılık Bayes Kuralı Doç. Dr. Ertuğrul ÇOLAK Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı Olasılığa Giriş Bundan önceki bölümlerde veri setini özetleyen,

Detaylı

Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık

Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık Saymanın Temel İlkesi: A1, A2,..., A n kümeleri için s( A1 ) = a1, s( A2 ) = a2,.., s( An ) A xa x xa Kartezyen çarpımının eleman sayısı; s( A xa x... xa ) = s( A

Detaylı

MOMENTLER, ÇARPIKLIK VE BASIKLIK. Moment: Bir değişkenin gözlemleri X 1, X 2, X 3, X 4.X n olsun. Bu serinin r inci momenti:

MOMENTLER, ÇARPIKLIK VE BASIKLIK. Moment: Bir değişkenin gözlemleri X 1, X 2, X 3, X 4.X n olsun. Bu serinin r inci momenti: MOMENTLER, ÇARPIKLIK VE BASIKLIK Moment: Bir değişkenin gözlemleri X 1, X 2, X 3, X 4.X n olsun. Bu serinin r inci momenti: İşletme no 1 2 3 4 5 Arazi genişliği (da) 5 10 4 3 8 Aritmetik ortalamaya göre

Detaylı

İstenen Durum Olasılık Tüm Durum 12

İstenen Durum Olasılık Tüm Durum 12 OLASILIK ÇIKMIŞ SORULAR 1.SORU İçinde top bulunan iki torbadan birincisinde beyaz, siyah ve ikincisinde beyaz, 5 siyah top vardır. Birinci torbadan bir top çekilip rengine bakılmadan ikinci torbaya atılıyor.

Detaylı

10. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları

10. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları 10. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter OLASILIK Altın Kalem Yayınları KOŞULLU OLASILIK Bas t olayların olma olasılıklarını 9. sınıf matemat k konularında şlem şt k. Ş md yapacağımız se daha karmaşık olayların

Detaylı

Toplam Olasılık Prensibi

Toplam Olasılık Prensibi 1 Toplam Olasılık Prensibi A 1, A 2,, A n karşılıklı kapsamayan ve birlikte tamamlayan olaylar kümesi olsun: A k A A j 0 = 0 k j j nn j j 1 = 1 B, S içinde herhangi bir olay ise k j AA j = ise S ise Pr[A

Detaylı

KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM

KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM Eğer X kesikli rassal değişkeninin alabileceği değerler (,,..., ) eşit olasılığa sahip ise, kesikli düzgün dağılım söz konusudur. p(x) =, X=,,..., şeklinde gösterilir. Bir kutuda

Detaylı

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER III Bölüm 1 İSTATİSTİK ve SAYISAL BİLGİ 11 1.1 İstatistik ve Önemi 12 1.2 İstatistikte Temel Kavramlar 14 1.3 İstatistiğin Amacı 15 1.4 Veri Türleri 15 1.5 Veri Ölçüm Düzeyleri 16 1.6

Detaylı

İSTATİSTİK TANIMI VE ÖNEMLİ İSTATİKSEL KAVRAMLAR

İSTATİSTİK TANIMI VE ÖNEMLİ İSTATİKSEL KAVRAMLAR SAÜ 1. HAFTA İSTATİSTİK TANIMI VE ÖNEMLİ İSTATİKSEL KAVRAMLAR PROF. DR. MUSTAFA AKAL İÇİNDEKİLER 1. İSTATİSTİK TANIMI VE İSTATİSTİK YÖNTEMLERİ Genel olarak istatistik Daha teknik bir ifade ile istatistik

Detaylı

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir,

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir, 14. Binom ve Poisson olasılık dağılımları Faktöriyeller ve kombinasyonlar Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, n! denir ve n! = 1.2.3...(n-2).(n-l).n biçiminde gösterilir.

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Mantık Kurallarının Elektrik Devrelerine Uygulanması... 14

İÇİNDEKİLER. Mantık Kurallarının Elektrik Devrelerine Uygulanması... 14 İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM MANTIK Giriş... 1 Genel Olarak Mantık... 1 Mantığın Tarihçesi ve Modern Mantığın Doğuşu... 1 Mantık Öğretimin Önemi ve Amacı... 2 Önerme... 3 VE İşlemi (Birlikte Evetleme, Mantıksal

Detaylı

dir. Bir başka deyişle bir olayın olasılığı, uygun sonuçların sayısının örnek uzaydaki tüm sonuçların sayısına oranıdır.

dir. Bir başka deyişle bir olayın olasılığı, uygun sonuçların sayısının örnek uzaydaki tüm sonuçların sayısına oranıdır. BÖLÜM 3 OLASILIK HESABI 3.. Br Olayın Olasılığı Tanım 3... Br olayın brbrnden ayrık ve ortaya çıkma şansı eşt n mümkün sonucundan m tanes br A olayına uygun se, A olayının P(A) le gösterlen olasılığı P(A)

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

A { x 3 x 9, x } kümesinin eleman sayısı A { x : x 1 3,x } kümesinin eleman sayısı KÜMELER

A { x 3 x 9, x } kümesinin eleman sayısı A { x : x 1 3,x } kümesinin eleman sayısı KÜMELER KÜMELER Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış bir listesidir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine kümenin elemanı denir. Kümeler genellikle A, B, C,... gibi büyük harflerle gösterilir. x nesnesi A kümesinin

Detaylı

OLASILIK PROBLEMLERİ I (BAĞIMSIZ OLAYLAR, KOLMOGOROV BELİTLERİ VE KOŞULLU OLASILIK)

OLASILIK PROBLEMLERİ I (BAĞIMSIZ OLAYLAR, KOLMOGOROV BELİTLERİ VE KOŞULLU OLASILIK) İST65-0-02-OLASILIK I (BAĞIMSIZ OLAYLAR, KOLMOGOROV BELİTLERİ VE KOŞULLU OLASILIK). A ve B olayları ayrık olaylar ve olasılıkları sıfırdan farklı ise, bu olayların bağımlı olduklarını tanıtlayınız. A ve

Detaylı

ÖSYM M TEMEL MATEMATİK TESTİ YGS / MAT. Diğer sayfaya geçiniz. 1. Bu testte 40 soru vardır.

ÖSYM M TEMEL MATEMATİK TESTİ YGS / MAT. Diğer sayfaya geçiniz. 1. Bu testte 40 soru vardır. TEMEL MATEMATİK TESTİ 2011 - YGS / MAT M9991.01001 1. Bu testte 40 soru vardır. 1. 2. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. işleminin sonucu kaçtır?

Detaylı

a. Aynı sırada çekilen herhangi iki kartın aynı d. 4. çekişte iki torbadan da 4 numaralı kartların e. 2. ve 4. çekişte aynı numaralı kartların

a. Aynı sırada çekilen herhangi iki kartın aynı d. 4. çekişte iki torbadan da 4 numaralı kartların e. 2. ve 4. çekişte aynı numaralı kartların Örnek Problem - Sinemada, yan yana koltukta oturan arkadaş, ara verildiğinde kalkıyorlar. Dönüşte, aynı koltuğa rastgele oturduklarına göre; hiçbirinin ilk yerine oturmaması olasılığı Örnek Problem - 4

Detaylı

1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON) Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON) Bölüm: BİNOM AÇILIMI Bölüm: OLASILIK...25

1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON) Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON) Bölüm: BİNOM AÇILIMI Bölüm: OLASILIK...25 1 İçindekiler 1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON)... 5 2. Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON)...13 3. Bölüm: BİNOM AÇILIMI...21 4. Bölüm: OLASILIK...25 5. Bölüm: FONKSİYONLARIN SİMETRİLERİ VE CEBİRSEL ÖZELLİKLERİ...37

Detaylı

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi

Detaylı

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01 Ortak Varyans ve İstatistiksel Bağımsızlık Bir rassal değişken çifti istatistiksel olarak bağımsız ise aralarındaki ortak varyansın değeri 0 dır. Ancak ortak varyans değerinin 0 olması, iki rassal değişkenin

Detaylı

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı 1 Bernoulli Dağılımı Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için ilgilenilen süreçte bernoulli

Detaylı

KÜMELER KÜMELER. Ortak Özellik Yöntemi: Kümenin içindeki elemanlar ortak bir özelliğe yazılır.

KÜMELER KÜMELER. Ortak Özellik Yöntemi: Kümenin içindeki elemanlar ortak bir özelliğe yazılır. Küme: elirli nesneler topluluğuna küme adını veriyoruz. n iyi sanatçı ( - ) n güzel şarkı ( - ) Sınıftaki en güzel kız ( - ) Sınıftaki mavi gözlü erkekler ( + ) Uçan insanlar ( + ) oş Küme: lemanı olmayan

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

A GRUBU Noktaları adlandırılmış K 6 tam çizgesinin tam olarak 3 noktalı kaç tane alt çizgesi vardır? A) 9 B) 20 C) 24 D) 60 E) 160

A GRUBU Noktaları adlandırılmış K 6 tam çizgesinin tam olarak 3 noktalı kaç tane alt çizgesi vardır? A) 9 B) 20 C) 24 D) 60 E) 160 A GRUBU.. Numarası :............................................. Adı Soyadı :............................................. SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına

Detaylı

3/6/2013. Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları

3/6/2013. Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı

Detaylı

Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları

Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 4: OLASILIK TEORİSİ Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Giriş Bu bölüm sonunda öğreneceğiniz konular: Rastgele Olay Örnek Uzayı Olasılık Aksiyomları Bağımsız ve Ayrık Olaylar Olasılık Kuralları

Detaylı

OLASILIK TEORİSİ VE İSTATİSTİK

OLASILIK TEORİSİ VE İSTATİSTİK OLASILIK TEORİSİ VE İSTATİSTİK İki Değişkenli Olasılık Bu bölümde yapılan bir deneyin iki değişkene bağlı olan sonuçları dikkate alınacaktır. Örneğin: Bir gazete yöneticisi, politikasını belirlemek için

Detaylı

Ankara Üniversitesi, SBF İstatistik 2 Ders Notları Prof. Dr. Onur Özsoy 1

Ankara Üniversitesi, SBF İstatistik 2 Ders Notları Prof. Dr. Onur Özsoy 1 1 Rastgele bir denemede ortaya çıkması olası sonuçların tamamıdır Örnek: bir zar bir kez yuvarlandığında S= Yukarıdaki sonuçlardan biri elde edilecektir. Sonuçların her biri basit olaydır Örnek: Bir deste

Detaylı

Örnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız.

Örnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız. KÜME KAVRAMI Küme matematiğin tanımsız bir kavramıdır. Ancak kümeyi, iyi tanımlanmış kavram veya nesneler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi

Detaylı