DİNAMİK Ders_3. Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü. Ders notları için: GÜZ

Transkript

1 DİNAMİK Ders_3 Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü Ders notları için: GÜZ EĞRİSEL HAREKET: SİLİNDİRİK BİLEŞENLER Bugünün Hedefleri: 1. Silindirik koordinatlar kullanarak hızın ve ivmenin bileşenlerinin hesaplanması. Sınıf Etkinliği: Sözel Yoklama Uygulamalar Hız Bileşenleri İvme Bileşenleri Kavramsal Yoklama Örnek Problem Çözümü Dikkat Yoklaması 3-2/56 1

2 SÖZEL YOKLAMA 1. Bir polar koordinat sisteminde, hız vektörü şu şekilde... yazılabilir: v = v r u r + v θ u θ = ru r +r u nün ismi; A) enine hızdır. B) radyal hızdır. C) açısal hızdır. D) açısal ivmedir. 2. Silindirik koordinat sisteminde bir parçacığın hızı;.. A) r B) r. C) (r 2.. r) 2 D) (r 2. r) 2. z) 2 3-3/56 UYGULAMALAR Eğer parçacığın hareketi bir düzlemle sınırlandırılmışsa (2B), polar/kutupsal koordinat sistemi kullanmak uygun olacaktır. Fakat parçacık üç boyutlu (3D) bir eğri üzerinde seyahat ediyorsa bu durumda da silindirik koordinat sistemi kulllanılır. Şekildeki kutu helisel bir rampa üzerinde aşağı doğru kaymaktadır. Paketin, rampanın dışına savrulup savrulmayacağını anlamak için kutunın hız bileşenlerini nasıl hesaplayabiliriz? 3-4/56 2

3 SİLİNDİRİK KOORDİNATLAR (Bölüm 12.7) Polar koordinatlarda P nin konumunu r = r u r ile ifade edebiliriz. r radyal yönü, O sabit orijinden parçacığa doğru uzanırken, enine koordinat ise yatayla saat ibreleri tersi yönde yaptığı açı olarak ölçülür. Açı radyan veya derece cinsindendir. r θ 3-5/56 POLAR KOORDİNATLARDA HIZ Anlık hız şu şekilde tanımlanır: d /dt d r /dt r r (1) u r ' = u r + Δu r Δθ lık bir değişimle u r u r ' Ancak tanım gereği birim vektörler birim kalmaya devam eder. u r nin yön değişimden kaynaklı zamana göre değişimi Δu r dir. Küçük açılar için Δu r (1) Δθ (skaler büyüklük) olur ve u θ yönünde etkimektedir. Bu durumda Δu r (1) Δθ u θ olur, iki yanı /Δt lim t lim Δt 2 3-6/56 3

4 POLAR KOORDİNATLARDA HIZ r r (1) d dt 2 r r v v burada ve v olmaktadır. : radyal bileşen, radyal yöndeki mesafenin uzama ve kısalma yönünde değişim oranının bir ölçüsü. : enine bileşen, r yarıçaplı bir çemberin çevresi boyunca olan hareketin değişim oranı. Herhangi bir an için parçacığın hızının büyüklüğü her iki bileşenin karelerinin toplamının kareköküdür: v v v, v 3-7/56 POLAR KOORDİNATLARDA HIZ nin yönü her zaman yörüngeye teğettir. açısal hız olarak tanımlanır (rad/s), açının zamana göre değişimidir, 3-8/56 4

5 POLAR KOORDİNATLARDA İVME Anlık ivme aşağıdaki şekilde tanımlanır; d /dt d/dt r r r r r r r (3) değerini bulmak için nın yön değişimini dikkate almamız gerekir, çünkü nın büyüklüğü sabit ve 1 dir. nın yönü deki değişimden etkilenmez, ancak Δθ, yı ' haline getirmektedir: ' = Δ bu durumda nın değişimi Δ olur. küçük açılar için Δ 1 Δθ ve yönü yönündedir: Δ Δθ olur, iki tarafı dt ye bölelim ve limite götürelim; lim lim θ (4) 3-9/56 POLAR KOORDİNATLARDA İVME (2) ve (4) nolu denklemleri ivme formülünde (4) yerine koyarsak; a a = (r r 2 )u r + (r + 2r )u θ... (r r 2 )terimiradyal ivme bileşenidir, a r ile gösterilir..... (r + 2r ) enine ivme bileşenidir, a ile gösterilir... d 2 θ/dt 2 dır, adı açısal ivmedir (rad/s 2 ), İvmenin büyüklüğü ise, a = (r r 2 ) 2 + (r + 2r ) 2 Yönü vektör toplamından bulunur, yörüngeye teğet DEĞİLDİR!! 3-10/56 5

6 SİLİNDİRİK KOORDİNATLAR Eğer P parçacığı bir uzay eğrisi üzerinde hareket ediyorsa, konumu aşağıdaki şekilde yazılabilir; r P = ru r + zu z Zamana göre türevi alınır ve zincir kuralı kullanılırsa:... Hız: v P = ru r + r u θ + zu z..... İvme: a P = (r r )u r + (r + 2r )u θ + zu z Eğer r ve zamanın fonksiyonları şeklinde verilirse hız ve ivme vektörleri kolaylıkla hesaplanabilir.ancak r = f ( ) gibi bir fonksiyon verilmesi durumunda zincir kuralı uygulanarak zamana göre türevler hesaplanabilir. 3-11/56 ÖRNEK I Verilen: Bir araç dairesel bir yörüngede ilerlemektedir.. r = 300 ft, = 0.4 (rad/s),.. = 0.2 (rad/s 2 ) İstenen: Hız ve ivme Plan: Polar koordinat sistemi kullan Çözüm: r = 300 ft, r = r = 0, and = 0.4 (rad/s), = 0.2 (rad/s 2 ) Hızı bulmak için bu değerler ilgili denkleme yerleştirilirse.. v = r u r + r u θ = 0 u r (0.4) u θ v = (0) 2 + (120) 2 = 120 ft/s 3-12/56 6

7 ÖRNEK I (devam) İvmeyi bulmak için bu değerler ilgili denkleme yerleştirilirse:..... a = (r r 2.. )u r + (r + 2r )u θ a = [0 300(0.4) 2 ] u r + [300(0.2) + 2(0)(0.4)] u θ a = 48 u r + 60 u θ ft/s 2 a = ( 48) 2 + (60) 2 = 76.8 ft/s /56 KAVRAMSAL YOKLAMA. 1. Eğer bir parçacığın r değeri sıfırsa, parçacık; A) hareket etmiyordur. B) dairesel bir yörüngede hareketlidir. C) düz bir çizgi üzerinde hareketlidir. D) sabit hızlıdır. 2. Eğer bir parçacık dairesel bir yörünge üzerinde sabit hızla hareket ediyorsa, radyal ivmesi dır. A) sıfır.. B) r. C) r 2.. D) 2r 3-14/56 7

8 ÖRNEK II Verilen: Arabanın hızı sabit 1.5 m/s dir. İstenen: Arabanın ivme vektörü. Plan: İpucu: Rampanın herhangi bir noktasındaki eğim açısı = tan ( ) = (10) Ayrıca, ve arasındaki ilişki nedir? Plan: Silindirik koordinatları kullanın. r sabit olduğundan, r nin zamana göre bütün türevleri sıfır olacaktır. 3-15/56 Çözüm: ÖRNEK II (devam) r sabit olduğundan,. hızın sadece iki bileşeni vardır:. v = r = v cos ve v z = z = v sin. v cos Dolayısıyla: = ( ) = rad/s r.. = 0. v z = z = v sin = m/s.. z = 0... r = r = a = (r r 2 )u r + (r + 2r )u θ + zu z. a = (-r 2 )u r = -10(0.147) 2 u r = u r m/s /56 8

9 DİKKAT YOKLAMASI 1. Dairesel bir yörünge üzerinde hareket eden bir parçacığın hızının radyal bileşeni her zaman; A) sıfırdır. B) sabittir. C) enine bileşeninden daha büyüktür. D) enine bileşeninden daha küçüktür. 2. Dairesel bir yörünge üzerinde hareket eden bir parçacığın ivmesinin radyal bileşeni her zaman; A) negatiftir. B) yörüngenin merkezine doğru yönlenmiştir. C) ivmenin enine bileşenine diktir. D) üsttekilerin hepsi. 3-17/56 Kızın spiral şekilli hareketi silindirik bileşenler kullanılarak izlenebilir. Burada radyal koordinat r sabit kalmakta, kız düşey eksen etrafında döndüğünden enine koordinat θ artmakta ve yükseklik z zamanla azalmaktadır. 3-18/56 9

10 Örnek: Yatayda r yarıçaplı dairesel yörüngede hareket eden OB kolunun açısal hız ve ivme değerleri sırasıyla ve dır. Hareketin radyal ve enine doğrultularındaki hız ve ivme bileşenleri nedir? 3-19/ /56 10

11 0 3-21/56 Örnek: OA çubuğu, yatay düzlemde rad açıyla dönmektedir. Aynı anda B kayıcı bloğu dışarıya doğru OA doğrultusunda 100 mm yarıçapıyla kaymaktadır. t=1s anında bloğun hızını ve ivmesini bulunuz. 3-22/56 11

12 3-23/ /56 12

13 3-25/56 Örnek: r = 0.15(1-cosθ) m Çatal çubuğun dönmesinden dolayı, oyuk içerisindeki top kardioid güzergahında hareket etmektedir. rad cinsindendir. 180 anında topun hızı v = 1.2 m/s ve ivmesi a = 9 m/s 2 olduğuna göre, ve değerlerini hesaplayınız. 3-26/56 13

14 3-27/ /56 14

15 Örnek: Kutu, r = 0.5 m, θ = 0.5 t 3 rad ve z = (2-0.2 t 2 ) m ile tanımlı helis rampa üzerinde kaymaktadır. Burada t saniye cinsindendir. θ = 2π anındaki hız ve ivmenin değerlerini bulunuz. 3-29/ /56 15

16 3-31/56 Ödev: Verilen: Disk yatay düzlemde (4t 3/2 ) rad açıyla dönmektedir. Aynı anda bilye 100 mm yarıçapıyla dışarıya doğru kaymaktadır. t=1.5 saniye anında bloğun hızını ve ivmesini bulunuz. İstenen: t=1.5 saniye anında bloğun hızının ve ivmesinin büyüklüğünü bulunuz. Plan: Polar koordinatlar ve bununla ilgili kinematik denklemleri kullan. Sonuç: v = 2.57 m/s, a = 20.4 m/s /56 16

17 Ödev: Arabanın sürücüsü, 40 m/s lik sabit hızını korumaktadır. Bu durumda, arabayı takip eden kameranın açısal hızı θ = 15 derece olduğunda ne olur? (12-177) Cevap: 3-33/56 İpucu: v = 40 m/s θ t ϕ r n r-θ ve n-t koordinatları çakışmıyor! 3-34/56 17

18 İKİ PARÇACIĞIN MUTLAK BAĞIMLI HAREKETİNİN ANALİZİ Bugünün Hedefi: 1. Bağımlı hareket altındaki parçacıkların konumları, hızları ve ivmeleri arasında ilişki kurma Sınıf Etkinliği: Sözel Yoklama Uygulamalar Bağımlı Hareket Tanımı Konum, Hız ve İvme İlişkilerinin Geliştirilmesi Kavramsal Yoklama Örnek Problem Çözümü Dikkat Yoklaması 3-35/56 SÖZEL YOKLAMA 1. Parçacıklar bir kablo ile birleştirildiğinde, parçacıkların hareketi A) her zaman bağımsızdır. B) her zaman bağımlıdır. C) her zaman bağımlı değildir. D) hiçbiri. 2. Eğer bir parçacığın hareketi diğer bir parçacığın hareketine bağımlı ise parçacıkların herbirinin koordinat ekseni A) hareketin yörüngesi boyunca uzanır. B) herhangi bir yönde olabilir. C) aynı orijine sahip olmalıdır. D) hiçbiri. 3-36/56 18

19 UYGULAMALAR Kullanılan kablo ve makara sistemi, maden taşıyan A aracının hızının, M motorunun hızından farklı bir hıza ayarlamak için kullanılabilir. Motorun güç gereksinimlerini ve kablodaki çekme kuvvetini hesaplamak için farklı hareketler arasında ilişki kurulması, önemlidir. Örneğin, motorun özelliklerini bildiğimiz için eğer P kablosunun hızını biliyorsak, bu durumda maden aracının hızını nasıl hesaplarız? Yolun eğiminin çözüme herhangi bir etkisi var mıdır? 3-37/56 UYGULAMALAR (devam) Ağır nesnelerin kaldırılması için genellikle çeşitli halat ve makara düzenlemeleri kullanılır. Araba tarafından sağlanması gereken toplam kaldırma kuvveti, kaldırılan kabinin hem hem ağırlık hem de ivmesine bağlıdır. Eğer arabanın ivmesi biliniyorsa kabinin hızını ve ivmesini nasıl hesaplayabiliriz? 3-38/56 19

20 BAĞIMLI HAREKET (Bölüm 12.8) Pekçok kinematik problemde, bir nesnenin hareketi diğer bir nesneye bağlıdır. Şekildeki bloklar bir makara üzerinden uzama yapmayan bir + + kablo ile birbirine bağlanmıştır. Eğer A bloğu eğimli yüzey üzerinde aşağı doğru kayıyorsa, B bloğu bu durumda diğer eğimli yüzey üzerinde yukarı doğru hareket edecektir. Herbir bloğun hareketi s A ve s B konum koordinatları kullanılarak matematiksel olarak ilişkilendirilebilir. Her koordinat ekseni sabit bir nokta veya bir referans çizgi (datum line) ye göre tanımlanır ve her parçacığın hareket yönü, ilgili düzlemler üzerinde pozitif olarak ölçülür. 3-39/56 BAĞIMLI HAREKET (devam) Bu örnekte, s A ve s B konum koordinatları, makaranın merkezinden uzanan referans çizgilerden A ve B bloklarına doğru olacak şekilde herbir eğimli düzlem boyunca tanımlanmıştır. Eğer kablo sabit uzunlukta ise, s A ve s B konum koordinatları aşağıdaki denklem kullanılırak birbiriyle matematiksel olarak ilişkilendirilebilir; s A + l CD + s B = l T Burada l T kablonun toplam uzunluğu ve l CD makaranın üzerinden geçen CD kablo yayının uzunluğudur. 3-40/56 20

21 BAĞIMLI HAREKET (devam) ds A /dt + ds B /dt = 0 => Konum denklemlerinin türevi kullanılarak A ve B bloklarının hızları birbiriyle ilişkilendirilebilir. Burada l CD ve l T nin sabit olduğu, dolayısıyla dl CD /dt = dl T /dt = 0 olduğuna dikkat edilmelidir. v B = -v A Negatif işaret, A nın aşağı doğru (pozitif s A yönünde), B nin ise yukarı doğru (negatif s B yönünde) hareket ettiğini göstermektedir. Hız ifadesinin türevi alınarak ivmeler elde edilebilir. a B = -a A olduğunu da kanıtlanabilir. 3-41/56 BAĞIMLI HAREKET - ÖRNEK + Daha karmaşık bir örnek düşünün. Konum koordinatları (s A ve s B ) referans çizgilere göre tanımlanmış ve herbir bloğun hareket yönleri ölçülmektedir (referanslar SABİT bir noktaya göre alınıyor!) + B bloğu, üzerindeki makarayla birlikte hareket ettiğinden dolayı sadece s B nin makaranın merkezine göre tanımlandığına dikkat edilmelidir. Ayrıca h sabittir. Blokların hareketi boyunca kablonun kırmızı çizgili parçalarının boyu sabit kalmaktadır. 3-42/56 21

22 BAĞIMLI HAREKET - ÖRNEK (devam) Konum koorninatları birbiriyle ilişkilendirilebilir: 2s B + h + s A = l T Burada l T toplam kablo uzunluğu eksi kırmızı parçaların uzunluğudur. l T ve h hareket boyunca sabit kaldıklarından, hız ve ivmeler zamana göre iki kere türev alınarak bulunabilir: 2v B = -v A ve 2a B = -a A B bloğu aşağı yönde hareket ettiğinde (+s B ), A bloğu sola doğru hareket etmektedir (-s A ). İşaret kabülünüzle uyumlu olmayı unutmayın!! 3-43/56 BAĞIMLI HAREKET - ÖRNEK (devam) Bu örnek ayrıca B nin pozitif konum koordinatı (s B ) üst makara yerine alt makaradan uzaklık olarak da tanımlanarak çözülebilir. Bu durumda konum, hız ve ivme ilişkileri aşağıdaki şekle gelir; 2(h s B ) + h + s A = l T Ve 2v B = v A 2a B = a A Bu çözümde işaret kabulü bir önceki çözüme göre farklı olduğu halde, sonuçların aynı olacağını kendi kendinize kanıtlayın!!. 3-44/56 22

23 BAĞIMLI HAREKET : PROSEDÜR Bu prosedürler, doğrusal yörüngede hareket eden parçacıkların bağımlı hareketlerini ilişkilendirmek için kullanılabilir (hareket yönü değil, sadece hız ve ivmedeki değişimlerin büyüklükleri) 1. Herbir parçacığın konum koordinatını, sabit referans noktalara göre yörüngeleri doğrultusunda tanımla. Her parçacık için farklı referans nokta kullanılabilir. 2. Konum koordinatlarını kablo uzunluğu ile ilişkilendir. Hareket sırasında uzunluğu değişmeyen kablo parçaları dışarıda bırakılabilir. 3. Eğer sistem birden fazla kablo içeriyorsa bir kablonun üzerindeki bir noktanın konumunu diğer kablo üzerindeki bir nokta ile ilişkilendir. Her kablo için ayrı denklem yazılır. 4. Konum koordinatı denklem(ler)ini türeterek hız ve ivme için ilişkiler bul. İşaretlere DİKKAT et! 3-45/56 ÖRNEK Verilen: Soldaki şekilde görüldüğü gibi, A noktasındaki kablo ucu aşağı doğru 2 m/s hız ile çekilmektedir. İstenen: B bloğunun hızı. Plan: Bu örnekteki hareket iki kablo içermektedir. Bu durumda iki adet konum denklemi olacaktır (her kablo için bir adet). Bu iki denklemi yaz, bunları birleştir ve türevini al. 3-46/56 23

24 ÖRNEK (devam) Çözüm: 1) Konum vektörlerini sabit bir referans çizgiye göre tanımla. Üç adet koordinat tanımlanmalıdır: biri A noktası için (s A ), biri B Bloğu için (s B ) ve sonuncusu da C bloğu için (s C ). Referans çizgisini en yukarıdaki makara boyunca tanımla (sabit bir konumu vardır). s A, A noktasına doğru tanımlanabilir. s B, B nin üzerindeki makaranın merkezine doğru tanımlanabilir. s C, C makarasının merkezine doğru tanımlanabilir. Tüm koordinatlar aşağı yönde pozitif ve her noktanın/parçacığın kendi hareketi doğrultusunda tanımlandı. 3-47/56 ÖRNEK (devam) 2) Her kablo için konum/uzunluk denklemini yaz. İlk kablonun uzunluğu eksi sabit uzunluktaki parçaların uzunluğunu l 1 olarak tanımla. İkinci kablo için aynı şekilde l 2 uzunluğunu tanımla: Kablo 1: s A + 2s C = l 1 Kablo 2: s B + (s B s C ) = l 2 3) Her iki denklemdeki s C leri sadeleştirerek aşadaki ifadeyi bul; s A + 4s B = l 1 + 2l 2 4) Bu ifadenin türevini alarak hızlar arasındaki ilişkiyi bul. l 1 ve l 2 uzunluklarının sabit olduğuna dikkat et! v A + 4v B = 0 => v B = 0.25v A = 0.25(2) = 0.5 m/s B bloğunun hızı yukarı doğru 0.5 m/s olarak bulunur (negatif s B yönünde). 3-48/56 24

25 KAVRAMSAL YOKLAMA 1. B bloğunun süratini hesaplayın. A) 1 m/s B) 2 m/s C) 4 m/s D) hiçbiri. 2. İki blok, aralarındaki kablo ile bağlıdır. Aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) v A = - v B B) (v x ) A = - (v x ) B y C) (v y ) A = - (v y ) B D) hepsi. x 3-49/56 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ Verilen: Bu makara sisteminde, A bloğu 4 m/s sürat ile aşağı yönde, C bloğu ise 2 m/s ile yukarı yönde hareket etmektedir İstenen: B bloğunun sürati. Plan: Tüm bloklar tek bir kablo ile birbirine bağlıdır. Dolayısıyla, sadece tek bir konum/uzunluk denklemi yeterli olacaktır. Her blok için konum koordinatını tanımla, konum ilişkilerini yaz ve hız ilişkilerini bulmak için türevini al. 3-50/56 25

26 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ (devam) Çözüm: 1) Yukarıdaki sabit makaralar boyunca bir referans çizgi belirlenebilir ve herbir blok için konum koordinatı tanımlanabilir. (veya blokların üzerindeki makaralar için). 2) s A, s B ve s C şekilde görüldüğü gibi tanımlanarak konum ilişkisi yazılabilir: s A + 2s B + s C = l 3) Hız ilişkisi için türevini al: v A + 2v B + v C = v B + (-2) =0 v B = -1 m/s B bloğunun hızı 1 m/s yukarı doğrudur (negatif s B yönünde). 3-51/56 DİKKAT YOKLAMASI 1. A bloğu aşağı yönde 6 ft/s, C bloğu aşağı yönde 18 ft/s ile hareket ediyorsa B bloğunun sürati nedir? A) 24 ft/s B) 3 ft/s C) 12 ft/s D) 9 ft/s v A =6 ft/s v C =18 ft/s 2. B bloğu 10 m/s sürat ile aşağı yönde hareket ediyorsa, A bloğunun hız vektörünü hesaplayın. A) (8i + 6j) m/s B) (4i + 3j) m/s C) (-8i -6j) m/s D) (3i + 4j) m/s j i v B =10 m/s 3-52/56 26

27 Bu kreyn vincin kancasının hareketi, vinç ile kanca arasındaki kabloların hareketine bağlıdır. İvmeli bir hareketten kaynaklı vincin güç gereksinimlerini ve kablolardaki çekme kuvvetlerini hesaplamak için bu bağlı hareketleri ilişkilendirmak önemlidir. 3-53/56 Örnek: Sabit bir nokta A ipi aşağı yönde 2 m/s hızla çekildiğinde B bloğunun hızı ne kadar olur? 3-54/56 27

28 3-55/56 Ödev: Önemli Not: İp yön değiştirdiği için, V A sabit de olsa, S ivmeli hareket yapar. 3-56/56 28