DEPREM ETKİSİNDEKİ BİNALARIN GÜVENİLİRLİK ANALİZİ

Transkript

1 Altıncı Ulusal Deprem Mühendisliği Konferansı, Ekim 2007, İstanbul Sixth National Conference on Earthquake Engineering, October 2007, Istanbul, Turkey DEPREM ETKİSİNDEKİ BİNALARIN GÜVENİLİRLİK ANALİZİ THE RELIABILITY ANALYSIS OF BUILDINGS UNDER EARTHQUAKE Hasan Basri BAŞAĞA1, Alemdar BAYRAKTAR2, Murat Emre KARTAL3, Kemal HACIEFENDİOĞLU4 ÖZET Bu çalışmada, çerçeve sistemlerin deprem etkisi altındaki davranışları malzeme özellikleri, kesit özellikleri ve eşdeğer deprem yükleri rastgele değişken alınarak güvenilirlik analizi ile belirlenmektedir. Bu amaçla, iki grup çerçeve sistem oluşturulmuştur. Birinci grup, 7 farklı malzeme özelliğine sahip çerçeve sistemden, ikinci grup ise farklı düzensizliklere sahip 5 adet çerçeve sistemden oluşmaktadır. Kullanılabilirlik limit durumuna göre belirlenen göçme sınırı maksimum yatay yerdeğiştirmenin bina yüksekliğinin 1/400 ünü aşmaması olarak dikkate alınmaktadır. Güvenilirlik analizi için, çerçeve sistemlerin sonlu elemanlar yöntemini kullanarak yerdeğiştirme hesabı yapan ANSYS programı ile güvenilirlik analiz yöntemlerinden birinci derece güvenilirlik yöntemi birleştirilmiştir. Her model için 9 değişken alınarak yapılan analizler sonucunda elde edilen güvenilirlik indekslerinin değişimi, grafiksel olarak verilmektedir. Elde edilen sonuçlara göre, malzeme kalitesinin artımı güvenilirliği de artırmaktadır. Düzensizlikler yapıların güvenilirliğini olumsuz yönde etkilemektedir. Anahtar Kelimeler: Güvenilirlik analizi, Eşdeğer deprem yükü, Birinci derece güvenilirlik yöntemi, Sonlu elemanlar yöntemi ABSTRACT In this study, the response of frames subjected to earthquake is determined considering material properties and section properties and equivalent earthquake forces as random parameters using reliability analysis. For this purpose, two groups of frames are constituted. First group includes 7 frames involving different material properties and second group involves 5 frames with different irregularities. Failure criterion according to serviceability limit state is determined considering permissible maximum horizontal displacement no to exceed h/400 where h is the height of the frame. ANSYS, which computes displacements of frames using finite element method, is combined with first order reliability method due to reliability analyses. The variation of reliability indexes calculated using 9 variables for each model is given by graphics. According to obtained results the improvement of material quality increases the safety. Besides, the irregularities in frames affect the safety negatively. Keywords: Reliability analysis, The earthquake force, First order reliability method, Finite element method. GİRİŞ Bir mühendislik yapısının davranışı, uygulanan yükün büyüklüğüne, yapı elemanlarının malzeme ve kesit özelliklerine ve çevresel faktörlere bağlıdır. Yapı davranışının doğru belirlenebilmesi 1 Arş. Gör., Karadeniz Teknik Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü, Trabzon, hasanbb69@hotmail.com 2 Prof. Dr., Karadeniz Teknik Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü, Trabzon, alemdar@ktu.edu.tr 3 Arş. Gör., Zonguldak Karaelmas Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü, Zonguldak, murat_emre_kartal@hotmail.com 4 Arş. Gör., Ondokuz Mayıs Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü, Samsun, kemalhaciefendioglu@hotmail.com 391

2 392 Deprem Etkisindeki Binaların Güvenilirlik Analizi ancak bu parametrelerin doğru olarak belirlenmesi ve gerek yapının inşa aşamasında gerekse kullanım aşamasında bu değerlerin farklılık göstermemesi ile mümkündür. Yapının yapım aşamasındaki belirsizlikler ile çevresel faktörlerdeki belirsizlikler parametre değerlerinin değişmesine neden olmaktadır. Bu belirsizliklerin yapı davranışını nasıl etkileyeceği, yapı davranışını etkileyen parametrelerin değişkenlikleri dikkate alınarak hesaplanan göçme olasılığı ile verilebilir. Belirsiz parametreler dikkate alınarak gerçekleştirilen analize güvenilirlik analizi denilmektedir. Yapı güvenilirliği, yapı sistemlerinin ekonomik ömrü boyunca karşılaşabileceği herhangi bir durum için limit durum ihlali olasılığının hesabı ile ilgili bir çalışma olarak tanımlanabilir (Ranganathan, 1990; Melchers, 1999). Literatürde güvenilirlik analizi konusunda yapılmış birçok çalışma mevcuttur. Bunlardan, bir kısmı güvenilirlik analiz yöntemlerinin geliştirilmesine yönelik çalışmalar olup, diğerleri ise farklı yapı sistemlerinin güvenilirliklerinin belirlenmesine yönelik çalışmalardır. Bu çalışma kapsamında literatürde çerçeve sistemlerin güvenilirliklerinin belirlenmesine yönelik gerçekleştirilmiş bazı çalışmalar aşağıda verilmektedir. Gao ve Haldar (1993) doğrusal ve geometrik olarak doğrusal olmayan iki ve üç boyutlu çerçeve türü yapıların güvenilirlik analizi için stokastik sonlu elemanlar yöntemine dayalı bir algoritma ortaya koymuşlardır. Bu algoritma, gelişmiş birinci derece güvenilirlik yöntemine dayanmaktadır. Örnek olarak seçilen iki ve üç boyutlu çerçeve sistemlerde malzeme özellikleri, geometri ve dış yükler değişken alınarak kullanışlılık ve nihai duruma göre belirlenen kriterler ile güvenilirlik analizi gerçekleştirilmiştir. Çalışmada, geliştirilen yöntemin avantajları vurgulanmıştır. Huh (1999), Huh ve Haldar (2000) tarafından deprem etkisindeki doğrusal olmayan yapıların güvenilirliklerinin belirlenebilmesi için bir algoritma geliştirilmiştir. Bu algoritma, sonlu elemanlar yöntemi, yanıt yüzeyi yöntemi ve birinci derece güvenilirlik yönteminin birleştirilmesinden oluşmaktadır. Örnek olarak depreme maruz yapılar seçilerek, bu yapıların güvenilirlikleri geliştirilen algoritma ve Monte Carlo yöntemi ile elde edilerek karşılaştırılmıştır. Sonuçların birbirine yakınlığı geliştirilen yöntemin doğruluğunu göstermektedir. Lee (2000), Lee ve Haldar (2003a, 2003b) çerçeve ve perde duvarlı yapıların statik ve dinamik yüklere karşı güvenilirliklerini elde etmek için bir algoritma geliştirmiştir. Bu amaçla, ilk olarak, çerçeve sistemde perde duvar olması ve olmaması durumları için statik ve dinamik yükler altında çözüm yapabilen sonlu elemanlar yöntemine dayalı bir program yazılmıştır. Daha sonra, statik durum için, yazılan bu program ile güvenilirlik analiz yöntemlerinden birinci derece güvenilirlik yöntemi birleştirilmiştir. Dinamik durum için ise, yazılan program ile yanıt yüzeyi yöntemi ve birinci derece güvenilirlik yöntemi birleştirilerek iterasyona dayalı bir algoritma oluşturulmuştur. Örnek olarak seçilen bir çerçeve sistemin güvenilirlik analizi, perde duvar olması ve olmaması durumlarına göre statik ve dinamik yükler altında gerçekleştirilmiştir. Analizlerde malzeme, kesit ve yük rastgele değişken alınmıştır. Elde edilen sonuçlar, Monte Carlo yönteminden elde edilen sonuçlar ile karşılaştırılarak algoritmanın doğruluğu gösterilmiştir. Basaga ve Bayraktar (2006), kirişlerin güvenilirlik analizini, açık ve kapalı limit durumlarına göre Monte Carlo yöntemini kullanarak gerçekleştirmişlerdir. Yapılan çalışmada, açık limit durum fonksiyon olarak kirişlerin maksimum yerdeğiştirmesini veren bağıntılar, kapalı limit durum olarak kirişlerin maksimum yerdeğiştirmesinin sayısal değerini veren sonlu elemanlar yöntemi kullanılmıştır. Sonuç olarak, sonlu elemanlar yönteminin güvenilirlik analizi ile birlikte etkili bir şekilde kullanabildiği vurgulanmıştır. Bu çalışmada, çerçeve tipi sistemlerin güvenilirlik analizi eşdeğer deprem yükleri, malzeme ve kesit özellikleri değişken alınarak birinci derece güvenilirlik yöntemine göre karşılaştırmalı olarak belirlenmiştir. GÜVENİLİRLİK ANALİZİ Yapıların güvenilirlik analizi, limit durum koşulları altında göçme olasılığının hesabı şeklinde tanımlanabilir. Dayanım ve yük etkisi sırasıyla R ve Q ile gösterilirse limit durum fonksiyonu en temel ifadeyle; g(r,q) = R-Q (1)

3 H.B. Başağa, A. Bayraktar, M.E. Kartal, K. Hacıefendioğlu 393 olarak tanımlanır (Nowak ve Collins, 2000; Ranganathan, 2000). X 1, X 2, X 3,, X n yapıları temsil eden yük ve dayanım parametrelerini (sabit yük, hareketli yük, uzunluk, basınç dayanımı, atalet momenti, malzeme özellikleri vb.) göstermek üzere limit durum fonksiyon şartları; g(x 1, X 2, X 3,, X n ) > 0 g(x 1, X 2, X 3,, X n ) = 0 g(x 1, X 2, X 3,, X n ) < 0 emniyetli durum emniyetli ve emniyetsiz arasında sınır durum emniyetsiz durum şeklinde gösterilebilir (Ranganathan, 2000). Limit duruma bağlı olarak yapı elemanlarının göçme olasılığı, P = f (X) dx (2) f X g(x) 0 şeklinde ifade edilebilir. Burada X, rastgele değişken vektörünü, g(x), göçme kriterine göre belirlenen limit durum fonksiyonunu, f X (X), X vektörünün noktasal olasılık yoğunluk fonksiyonunu göstermektedir. Güvenilirlik indeksi, indirgenmiş değişkenlerin orijini ile bu değişkenlerin oluşturduğu doğru arasındaki en kısa mesafe olarak tanımlanır ve göçme olasılığının ters dönüşümü alınarak hesaplanır. 1 β= Φ (P f ) (3) Burada Φ () istatistiksel olarak tablolaştırılmış standart normal dağılım fonksiyonunu (sıfır ortalama ve birim varyans) göstermektedir (Nowak ve Collins, 2000). Güvenilirlik analizi, seviye I, II ve III olmak üzere üç seviyede gerçekleştirilmektedir. Seviye I yönteminde, yapının göçme olasılığını hesaplamak yerine yapının güvenilir olup olmadığına bakılır. Bu yöntem, genellikle kısmi güvenlik faktörlerinin ortalamalarının hesabı ile gerçekleştirilir. Seviye II yönteminde Birinci Derece Güvenilirlik ve İkinci Derece Güvenilirlik Yöntemleri göçme olasılığını, idealleştirilmiş limit durum fonksiyonunun ortalamalarını kullanarak hesaplar. Monte Carlo Benzeşimi olarak bilinen Seviye III yöntemi hassasiyeti en yüksek olan yöntemdir. Bu yöntem, yapı sisteminin veya yapı elemanlarının göçme olasılığını, bütün rastgele değişkenlerinin kesin olasılık yoğunluk fonksiyonunu kullanarak hesaplar (Schueremans, 2003). Bu çalışmada, Birinci Derece Güvenilirlik Yöntemi kullanıldığından, bu güvenilirlik yöntemi anlatılacaktır. Birinci Derece Güvenilirlik Yöntemi Birinci derece güvenilirlik yöntemi, standart normal uzayda limit durum fonksiyonu üzerinde orijine en yakın noktayı tayin etmek için, tasarım noktasında limit durum fonksiyonunu doğrusallaştırarak çözüm arar. Güvenilirlik indeksinin dolayısıyla göçme olasılığının hesabı, normal olmayan dağılımlara sahip değişkenlerin standart normal değişkenlere dönüştürülmesi ve bu değişkelerin iterasyon çözümde kullanılmasıyla gerçekleştirilmektedir (Melchers, 1999; Madsen ve diğ., 1986). β güvenilirlik indeksini, α duyarlılık faktör vektörünü, u tasarım noktalarını (sıfır ortalamalı birim standart sapmalı ortamda) göstermek üzere güvenilirlik indeksi, şeklinde hesaplanır. Burada, T g(u ) u β = (4) T g(u ) α

4 394 Deprem Etkisindeki Binaların Güvenilirlik Analizi T [ g(u ) g(u )] g(u ) α = (5) ifadesiyle elde edilir. g (u ), performans fonksiyonunun tasarım noktasındaki ( u ) türevlerini temsil etmektedir. Bir sonraki iterasyon adımı için yeni tasarım noktası, 1/ 2 u = βα (6) şeklinde hesaplanır ve iterasyon gerekli yakınsama sağlanana kadar devam ettirilir. Güvenilirlik Analizi-Sonlu Eleman Algoritması Bir önceki bölümde de açıklandığı gibi, güvenilirlik analizi yapı sistemlerinin kritik durumlarını gösteren fonksiyonlar yardımıyla gerçekleştirilmektedir. Bu fonksiyonlar yapıyı etkileyen parametrelerin değişken alınmasıyla oluşturulmaktadır. Güvenilirlik analizi sonucunda gerçekçi sonuçların alınabilmesi yalnızca bu fonksiyonun gerçekçi olarak tanımlanmasıyla mümkündür. Ancak, birçok problemde limit durum fonksiyonu değişkenlere bağlı olarak açıkça elde edilemeyebilir. Bu durumda yapının limit durumu, sonlu elemanlar yöntemi gibi sayısal algoritmalarla ifade edilebilen kapalı formda bir fonksiyondur. Bu tür kapalı formdaki limit durum fonksiyonlarının güvenilirlik analizinin gerçekleştirilebilmesi için sonlu elemanlar algoritması ile güvenilirlik analiz algoritmasının birleştirilmesi gerekmektedir (Melchers,1999). Bu çalışmada, sonlu elemanlar yöntemini kullanarak çözüm yapan ANSYS (2003) programı ile güvenilirlik analiz yöntemlerinden birinci derece güvenilirlik yöntemi birleştirilmiştir. Birleştirme yöntemi olarak direkt yöntem kullanılmıştır. Bu yöntemde algoritma, güvenilirlik analiz algoritmasının limit durum fonksiyonuna ihtiyaç duyduğu her seferde sonlu elemanlar yöntemini kullanarak istenilen değeri hesaplayıp güvenilirlik analizine devam etmektedir. UYGULAMA Bu çalışmada, çerçeve sistemlerin güvenilirlik analizi Birinci Derece Güvenilirlik Yöntemine göre kullanılabilirlik kriterini kullanarak karşılaştırmalı olarak gerçekleştirilmiştir. Bu amaçla, örnek olarak 4 katlı ve üç açıklıklı bir çerçeve sistemin 4-4 aksı üzerindeki düzlem çerçeve sistem ana modeli olarak seçilmiştir (Şekil 1). Seçilen bu yapı sisteminde C20 sınıfı beton kullanıldığı kabul edilmiştir. Kiriş kesitleri 30x60 cm ve kolon kesitleri 40x80 cm olarak düşünülmüştür. Yapının 1. derece deprem bölgesinde olduğu ve yerel zemin sınıfının Z1 olduğu kabul edilmiştir. Ayrıca yapının süneklik düzeyi normal olarak dikkate alınmıştır. Karşılaştırmalar iki grup modeller üzerinde yapılmaktadır. Birinci grup modeller, farklı malzeme özelliklerinden oluşturulan yedi çerçeve sistemden meydana gelmektedir. İkinci grup modeller ise düzensiz yapı modellerinden oluşmaktadır. Bu grupta değişik düzensizlik durumlarını içeren dört çerçeve sistem ve bir de ana model bulunmaktadır. Oluşturulan çerçeve sistemlerin güvenilirlik analizlerinde, her bir modele ait eşdeğer deprem yükleri, kesit özellikleri ve malzeme özellikleri değişken seçilmiştir. Bu durumda her çerçeve sistem 9 adet değişkene sahip olmaktadır. Bu değişkenlerden, bütün sistemlerde ortak olan kesit özelliklerine ait istatistiksel dağılımlar Tablo 1 de verilmektedir. Tablo 1. Kesit Özelliklerine Ait Dağılımlar Ortalama Değişim Kat. (%) Dağılım A kiriş (m 2 ) LogNormal I kiriş (m 4 ) LogNormal A kolon (m 2 ) LogNormal I kolon (m 4 ) LogNormal

5 H.B. Başağa, A. Bayraktar, M.E. Kartal, K. Hacıefendioğlu 395 Güvenilirlik analizlerde, seçilen çerçeve sistemler için limit durum olarak, çerçeve sistemlerin maksimum yatay yerdeğiştirmelerinin m limit değerini aşmaması kriteri alınmıştır. Buna göre, çerçeve sistemlerde dikkate alınan limit durum fonksiyonu; g ( X ) = Δmaks. (7) şeklinde ifade edilmektedir. Bu fonksiyon kapalı formdadır. Dolayısıyla, daha önceki bölümlerde de anlatıldığı gibi güvenilirlik analizinin gerçekleşmesi için bir araca ihtiyaç duyulmaktadır. Yerdeğiştirme hesabı için kullanılan en etkili yöntem sonlu elemanlar yöntemi olduğundan, bu çalışmada sonlu elemanlar yöntemi güvenilirlik analizi ile birlikte kullanılmıştır. Bu amaçla, çerçeve sistemlerin yerdeğiştirme hesabı için ANSYS (2003) programı kullanılmıştır. Yapılara ait güvenilirlik indeksleri ve göçme olasılıkları, güvenilirlik analiz programı-ansys algoritması kullanılarak elde edilmiştir. A 1 2 Plan 3 4 A 4-4 B C D B C D 40x80 cm 30x60 cm 2.8 m 2.8 m 2.8 m 2.8 m 1 2 Malzeme Kalitesine Göre Karşılaştırma 3 4 Şekil 1. Analizlerde kullanılan ana model. Malzeme kalitesine göre karşılaştırma yapmak için 4 katlı yapı sisteminde C20 sınıfı beton yerine C25, C30, C35, C40, C45 ve C50 sınıfı beton kullanılarak yeni modeller oluşturulmuştur. Tablo 2 de bu sınıflara ait elastisite modüllerinin dağılımları verilmektedir. Tablo 2. Elastisite Modüllerine Ait Dağılımlar 4 m 4 m 4 m Ortalama (kn/m 2 ) Değişim Kat. (%) Dağılım Model1 (C20) 2.8E7 6 LogNormal Model2 (C25) 3.0E7 6 LogNormal Model3 (C30) 3.2E7 6 LogNormal Model4 (C35) 3.3E7 6 LogNormal Model5 (C40) 3.4E7 6 LogNormal Model6 (C45) 3.6E7 6 LogNormal Model7 (C50) 3.7E7 6 LogNormal Yapılan güvenilirlik analiz sonucunda elde edilen güvenilirlik indekslerinin değişimi Şekil 2 de gösterilmektedir. Her bir modele ait göçme olasılık değeri şekil üzerinde verilmektedir. Sonuçlara göre, beton kalitesinin artması çerçeve sistemlerin güvenilirliğini artırdığını; dolayısıyla göçme olasılığını düşürdüğünü göstermektedir.

6 396 Deprem Etkisindeki Binaların Güvenilirlik Analizi Güvenilirlik İndeksi (beta) P f =1.09E-5 P f =3.03E Modeller Şekil 2. Farklı malzemelere sahip çerçeve sistemin güvenilirlik indeks değişimi Düzensizliklere Göre Karşılaştırma P f =8.64E-7 P f =3.53E-7 P f =1.91E-7 P f =3.15E-8 P f =5.69E-8 Düzensizlikler ana model üzerinden kolon ve kiriş kesilmesi ile açıklık boyunun artırılması şeklinde oluşturularak, yeniden modellemeler yapılmıştır. Bu bölümde 4 farklı düzensizlik hali ile ana model birlikte incelenmiştir: 1. Ana model, 2.Sol açıklık fazla (6 m), 3. İlk kat orta sol kolon kesilmiş, 4. Üst kat sağ kolon ve kiriş kesilmiş, 5. Üst kat orta sol kolon kesilmiş. Düzensizliklere sahip çerçeve sistemler Şekil 3 de verilmektedir. a. Model2 b.model3 c. Model4 d. Model5 Şekil 3. Düzensizliklere sahip çerçeve modeller

7 H.B. Başağa, A. Bayraktar, M.E. Kartal, K. Hacıefendioğlu 397 Düzensizlik durumlarında kullanılan modellere ait eşdeğer deprem yükleri ve dağılımları Tablo 3 te verilmektedir. Tablo 3. Eşdeğer Deprem Yüklerine Ait Dağılımlar Ortalama Değişim Model1 Model2 Model3 Model4 Model5 Kat. (%) Dağılım (kn) LogNormal (kn) LogNormal (kn) LogNormal (kn) LogNormal Şekil 4 te modellerin güvenilirlik analizi sonucu elde edilen güvenilirlik indeksi değişimi verilmiştir. Şekil üzerinde her bir modelin göçme olasılığı değeri de gösterilmektedir. Düzensizliğe sahip bütün çerçeve sistemlerin güvenilirlikleri ana modelin güvenilirliğine göre azalmıştır. Şekil 4 ten de görüldüğü gibi, güvenilirlik yönünden en düşük sistem açıklık boyu fazla olan model çıkmıştır. Güvenilirliği en az düşen sistem ise üst kat sağ kolon ve kiriş kesilmiş olan modeldir. Güvenilirlik İndeksi (beta) P f =1.09E-5 P f =4.63E-4 P f =9.25E-5 P f =2.34E-5 P f =8.63E Modeller Şekil 4. Düzensizliklere sahip çerçeve sistemlerin güvenilirlik indeks değişimi SONUÇ Bu çalışmada, deprem etkisine maruz çerçeve sistemlerin güvenilirlik analizi gerçekleştirilmiştir. Bu amaçla, hazırlanan değişik malzeme özelliklerine ve yapısal düzensizliklere sahip çerçeve sistemlerin analizleri, güvenilirlik analiz-ansys birleşim algoritmasıyla yapılmıştır. Güvenilirlik analizi yapı davranışını etkileyen eşdeğer deprem yükleri, malzeme ve kesit özellikleri değişken alınarak birinci derece güvenilirlik yöntemi kullanılarak gerçekleştirilmiştir. Bu çalışmada elde edilen sonuçlar aşağıda sıralanmıştır: Farklı malzeme sınıflarına sahip çerçeve sistemlerin güvenilirlik analiz sonuçlarına göre malzeme kalitesinin iyileştirilmesiyle yapı güvenilirliğinin arttığı tespit edilmiştir. Yapısal düzensizliklere sahip sistemlerin güvenilirlik analizlerine göre; Düzensizliğe sahip yapı sistemlerinin güvenilirliklerinin, düzensizliğe sahip olmayan yapı sisteminin güvenilirliğine göre daha az olduğu belirlenmiştir, Düzensizliğe sahip yapılardan kat açıklığının fazla olduğu sistemin güvenilirliğinin, yapı elemanlarının kesilmesi düzensizliğine sahip sistemlerin güvenilirliğine göre daha az çıktığı belirlenmiştir. Kolon kesilmesi düzensizliğine sahip Model3 ve Model5 yapı sistemlerinin güvenilirliklerinin birbirine çok yakın olduğu belirlenmiştir.

8 398 Deprem Etkisindeki Binaların Güvenilirlik Analizi KAYNAKLAR ANSYS (2003), Swanson Analysis System, US Basaga HB and Bayraktar A (2006) Reliability Analysis of Beams Using Finite Element Method, Proceedings of Seventh International Congress on Advances in Civil Engineering, Yıldız Technical University, Istanbul, Turkey, October Gao L and Haldar A (1993) Reliability Analysis for Nonlinear Structures, Proceedings of Second International Symposium on Uncertainty Modeling and Analysis (Isuma '93), University of Maryland College Park, Maryland, April, Huh J (1999) Dynamic Reliability Analysis for Nonlinear Structures Using Stochastic Finite Element Method, Ph.D. Thesis, The University of Arizona, USA Huh J and Haldar A (2000) Reliability Estimation of Buildings Subjected to Seismic Excitation, Proceedings of 8th ASCE Specialty Conference on Probabilistic Mechanics and Structural Reliability, Notre Dame, Indianapolis USA, July, Lee SY (2000) Static and Dynamic Reliability Analysis of Frame and Shear Wall Structural Systems, Ph.D. Thesis, The University of Arizona, USA Lee SY and Haldar A (2003a) Reliability of frame and shear wall structural systems. I- static loading, Journal of Structural Engineering, 129(2): Lee SY and Haldar A (2003b) Reliability of frame and shear wall structural systems. II- dynamic loading, Journal of Structural Engineering, 129(2): Madsen HO, Krenk S, Lind NC (1986) Methods of Structural Safety, Prentice-Hall, Eaglewood Cliffs, N.J. Melchers RE (1999) Structural Reliability Analysis and Prediction, 2nd Ed., John Wiley&Sons Press, England Novak AS and Collins KR (2000) Reliability of Structures, McGraw-Hill Higher Education, United State of America Ranganathan R (1990) Reliability Analysis and Design of Structures, McGraw-Hill Publishing Company, United State of America Schueremans L (2003) Static and Dynamic Design Analysis Procedure for Structures with Uncertain Parameter, State of the Art. Department of Civil Engineering, Heverlee, Belgium