Metin Yayınları

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "http://www.metinyayinlari.com Metin Yayınları"

Transkript

1 İNTEGRAL İÇ KAPAK

2 B kitın ütün ın hklrı sklıdır. Tüm hklrı, zrlr ve METİN YAYINLARI n ittir. Kısmen de ols lıntı pılmz. Metin, içim ve sorlr, ımln şirketin izni olmksızın, elektronik, meknik, fotokopi d herhngi ir kıt sistemile çoğltılmz, ımlnmz. İSBN METİN YAYINLARI Tel: Metin Yınlrı Yzrlr Gökhn METİN Müjdt ERAN Doç. Dr. Ahn TUTAR Bilimsel İnceleme Aşen KÜTAHYALIOĞLU Ftih UYANIK Umt KAPI Hkk Dnışmnı ihn Kor ÖZAŞAN Grfik Tsrım Merve ÖZBAY Dizgi Genel Dğıtım A KARE BASIM DAĞITIM YAYIN LTD. ŞTİ. Meşrtiet ddesi No: / Kızıl / ANKARA Tel: Fks : 9 Bskı Adn Yıncılık A.Ş. Ankr

3 FASİKÜLE VERİMLİ ÇALIŞMA REHBERİ Sevgili öğrenciler ve değerli meslektşlrım, Biresel Mtemtik Fsikülleri, mtemtik ilmeene keifli ir olclk, mtemtik ilene htsız sor çözme kilieti kzndırck şekilde tsrlnmıştır. Her fsikül, en temelden dım dım mtemtiğinizi geliştirip güçlendirecek tekniklerle olştrlmştr. Sf şlıklrıl, her ünite, nlmı kollştırıcı lt şlıklr rılmıştır. Kon Özeti : Kon özetlerinde kvrmlr mdde mdde vrglnmıştır. : Urı ikonlrıl htırltmlr ve dikkt edilmesi gerekenler elirtilmiştir. (*) : Dipnotlrl kon dışı kvrmlr çıklnmıştır. ÖRNEK ve ÇÖZÜM : Örnekler sf şlığını en ii çıklck şekilde özenle krlmş ve çözümleri kolc nlşılck şekilde düzenlenmiştir. : Her şlıkl ilgili el lışknlığı kznmnızı sğlck olc sor Sır Sende kısmınd, cevplrınızı kolc kontrol edeileceğiniz şekilde sorlmştr. Uglm Zmnı : Belirli rlıklrl irikimlerinizi değerlendirme glmlrı konlmştr. Tekrr Zmnı : Ünite sonlrınd öğrendiklerinizi test tekniğile pekiştireceğiniz ve çözümlerile nttklrınızı htırlcğınız testler snlmştr. Anhtr kvrmlr ve çözümler renklendirilerek frk etmeniz sğlnmıştır. Öğrencilerin sık düştüğü htlr vrglnrk elirtilmiştir. Prtik ve eğlenceli çözümlerle kıld klıcılık rttırılmıştır. Her kon, özenle olştrln Kon Testi ile pekiştirilirken, " çözümünü "SİZİN İÇİN ÇÖZDÜKLERİMİZ" kısmınd lilirsiniz. " ikonl elirtilen sorlrın Sonç olrk, şn dieiliriz ki; mtemtik rıntılrd gizlidir. Bndn dolı sırl her fsikülü, ünitei, şlığı ve mddei nlrk, her örneği ve sor çözerek mtemtiği kolc öğreneilir, sınvlrdki mtemtik korknzdn krtlilirsiniz. Bşrılı ir gelecek dileğile... METİN YAYINLARI

4 İÇİNDEKİLER BELİRSİZ İNTEGRAL Difernsiel Kvrmı... İntegrl Kvrmı (Belirsiz İntegrl Alm)... Sit Fonksionn İntegrli / f() n Fonksionnn İntegrli... İntegrlin Özellikleri... Temel Trigonometrik İntegrller... Üstel Fonksionlrın İntegrlleri... 6 İntegrli lnf() ve Arcf() Olnlr... 7 İntegrl Difernsiel İlişkileri... 8 İntegrlden Fonksion Çekme... 9 İntegrl Sitini Tespit Etme... Teğet İntegrl İlişkisi... Uglm Zmnı... Uglm Zmnı... Tekrr Zmnı ÇÖZÜMLÜ TEST... 6 ÇÖZÜMLÜ TEST... 8 İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ Değişken Değiştirme Yöntemi I (Değişken Değiştirme Kvrmı / Lineer Dönüşümler)... Değişken Değiştirme Yöntemi II (Polinomik Dönüşümler / Rsonel ve Köklü Dönüşümler)... Değişken Değiştirme Yöntemi III (Bsit Trigonometrik Dönüşümler / Üstel ve Logritmik Dönüşümler)... Ters Trigonometrik Değişken Değiştirmeler I (Arcsinf() Dönüşümleri A)... Ters Trigonometrik Değişken Değiştirmeler II (Arcsinf() Dönüşümleri B)... 6 Ters Trigonometrik Değişken Değiştirmeler III (Arctnf() Dönüşümleri A)... 7 Ters Trigonometrik Değişken Değiştirmeler IV (Arctnf() Dönüşümleri B)... 8 m + İçeren İntegrller...9 m n + ve + i Birlikte İçeren İntegrller... Uglm Zmnı... Tekrr Zmnı ÇÖZÜMLÜ TEST... ÇÖZÜMLÜ TEST... Rsonel Fonksionlrın İntegrli I (Polinom Bölmesi)... 9 Rsonel Fonksionlrın İntegrli II (. Tip Bsit Kesirlere Aırm)... Rsonel Fonksionlrın İntegrli III (. Tip Bsit Kesirlere Aırm /. Tip Bsit Kesirlere Aırm)... Rsonel Fonksionlrın İntegrli IV (Sdeleştirme + Polinom Bölmesi + Bsit Kesirlere Aırm)... Rsonel Fonksionlrın İntegrli V (Rsonel Fonksionlr Dönüşen İntegrntlr)... Uglm Zmnı... Trigonometrik Fonksionlrın İntegrlleri I (sin + cos Özdeşliğinden Fdlnm)...6 Trigonometrik Fonksionlrın İntegrlleri II (Yrım Açı Formüllerinden Fdlnm /+ den Krtrm)...7 Trigonometrik Fonksionlrın İntegrlleri III (Ters Dönüşüm Formüllerinden Fdlnm)...8 Trigonometrik Fonksionlrın İntegrlleri IV (Tnjnt ve otnjnt Fonksionlrının İntegrlleri)...9 Trigonometrik Fonksionlrın İntegrlleri V ( tn Dönüşümü / tn Dönüşümü)... Trigonometrik Fonksionlrın İntegrlleri VI (Trigonometrik Özdeşliklerden Fdlnm)... -, - ve + Şeklindeki İfdeleri İçeren İntegrller (Trigonometrik Değişken Değişimler)... Kısmi İntegrl Yöntemi I (Prçlı İntegrson ve LAPTÜ)... Kısmi İntegrl Yöntemi II (Önemli Kısmi İntegrller)... Kısmi İntegrl Yöntemi III (Tlo Yrdımıl Kısmi İntegrson / Ardışık Kısmi İntegrson)... Uglm Zmnı... 6 Tekrr Zmnı ÇÖZÜMLÜ TEST... 8 ÇÖZÜMLÜ TEST... 6 BELİRLİ İNTEGRAL Belirli İntegrl Kvrmı (Bir Eğri Altındki Aln)...6 Belirli İntegrlin Temel Teoremi ve Elemnlrı (Belirli İntegrl Alm).. 6 Belirli İntegrlin Özellikleri...66 Belirli İntegrlde İntegrl Alm Yöntemleri...67 Prçlı Fonksionnn İntegrli...68 Mtlk Değer Fonksionnn İntegrli...69 Uglm Zmnı Belirli İntegrlde Değişken Dönüşümleri I (İntegrl ve Sınır Dönüşümleri)...7 Belirli İntegrlde Değişken Dönüşümleri II (Fonksion Tnımınd Dönüşümler)...7 Belirli İntegrlde Değişken Dönüşümleri III (Dönüşüm ile İntegrl Hesplm)...7 Trigonometrik Belirli İntegrller...7 Belirli İntegrlde Kısmi İntegrson...76 Tek ve Çift Fonksionlrın İntegrli...77 Ters ve İntegrli Alınmn Fonksionlrd İntegrl...78 Uglm Zmnı Tekrr Zmnı ÇÖZÜMLÜ TEST... 8 ÇÖZÜMLÜ TEST... 8 Belirli İntegrl Denklemleri...87 Teğet Türev İntegrl İlişkisi Belirli İntegrl İçin Grfik Okm I Belirli İntegrl İçin Grfik Okm II... 9 İntegrl Süreklilik İlişkisi... 9 İntegrl Difernsiel İlişkileri... 9 Belirli İntegrlin Türevi I (İntegrl Hesının Temel Teoremi... 9 Belirli İntegrlin Türevi II (Ardışık Uglmlr / L'Hospitl)... 9 Belirli İntegrlin Türevi III (Nokt Değer / Fonksion Çekme)... 9 Uglm Zmnı Tekrr Zmnı ÇÖZÜMLÜ TEST İNTEGRAL UYGULAMALARI Riemnn Toplmı I (Riemnn Kvrmı ve Bölüntü)... Riemnn Toplmı II (Riemnn Alt Toplmı)... Riemnn Toplmı III (Riemnn Üst Toplmı)... Riemnn Toplmı IV(Riemnn Ort Toplmı)... Riemnn Toplmı V(Riemnn Toplmı İntegrl İlişkisi)... İntegrl ile Aln Hesı I (Aln-İntegrl İlişkisi)... 6 İntegrl ile Aln Hesı II (Geometrik Şekiller Yrdımıl İntegrl / Frktl Fonksionlrın Eğrileri Altındki Aln)... 7 İntegrl ile Aln Hesı III (Sık Krşılşıln Fonksionlrın Eğrisi Altındki Aln)... 8 İntegrl ile Aln Hesı IV ( Ekseni ile Eğri Arsındki Aln)... 9 İntegrl ile Aln Hesı V (Bir Fonksion ile Tersinin Alnlrı Toplmı)... İntegrl ile Aln Hesı VI (İki Eğri Arsındki Aln)... İntegrl ile Aln Hesı VII (Yrım Çemer Denklemlerile İntegrl Hesı)... İntegrl ile Aln Hesı VIII (Verilen Alnın İntegrl ile İfdesi)... Uglm Zmnı 9... Tekrr Zmnı ÇÖZÜMLÜ TEST... 6 İntegrl ile Hcim Hesı I ( Ekseni Etrfınd Döndürme)... 9 İntegrl ile Hcim Hesı II ( Ekseni Etrfınd Döndürme)... İntegrl ile Hcim Hesı III (İki Eğri Arsındki Bölgenin Döndürülmesi)... İntegrl ile Hcim Hesı IV ( k ve m Doğrlrı Etrfınd Döndürme)... İntegrlin Fiziksel Yorm I (Doğrsl Hreket Denklemi)... İntegrlin Fiziksel Yorm II (Yer Değiştirme ve Toplm Yol)... İntegrlin Ekonomi ve Diğer Alnlr Uglmsı... Kesit Aln İntegrl Hcim İlişkisi... 6 Uglm Zmnı... 7 Tekrr Zmnı ÇÖZÜMLÜ TEST... 9 KONU TESTLERİ... SİZİN İÇİN ÇÖZDÜKLERİMİZ... 8

5 Difernsiel Kvrmı BELİRSİZ İNTEGRAL Kon Özeti Tnımlı oldğ rlıkt türevleneilen f() fonksion için in değerindeki değişim oln Δ e krşılık gelen nin değerindeki değişim Δ olsn. in difernsieli d Δ iken nin difernsieli d f'()d olr. O hlde, f() fonksionnn difernsieli, (Difernsiel Alm) Aşğıdki fonksionlrın difernsiellerini lınız. ) f() ) g(t) sint c) f () ) d f() d( ) d ) dg(t) d(sint) cost dt c) d d(f ()) f() f'() d f() df() dir. d f() df() f'() d dir. Aşğıd verilen fonksionlrın difernsiellerini lnz. 7. f(t ) ln( + ). t + t + 9. z e +. sin. f ( ). e t. f( ) + g( ) 6. v +. f() ve v g() olmk üzere d( v) difernsielinin ve v cinsinden eşiti nedir? ) d d ) d ( + )d ) d (t + 6t)dt ) d cos d ) d e t dt 6) dv ( 6 + )d 7) d t f'(t ) dt 8) d d 9) dz e + ^ + h d + df( ) ) d f ( ) ) d df() + dg() ) dv + v d

6 BELİRSİZ İNTEGRAL İntegrl Kvrmı Kon Özeti (Belirsiz İntegrl Alm) Belirsiz İntegrl Alm: Türevi d difernsieli verilmiş ir fonksionn kendisini lm işlemidir. f() fonksionnn türevi t() olsn, R iken, v v f'() t() td ( ) f ( ) + : İntegrl işreti d: integrl difernsieli, : integrl değişkeni t(): İntegrl ltındki fonksion (integrnt) f(): t() in nti-türevi (ilkeli) f() + t() in tüm : İntegrson siti nti-türevleridir. İntegrl lm, türev lmnın tersi oldğ için türev lm krllrı ii ilinmelidir.(*) (Belirsiz İntegrl Alm) Aşğıdki integrlleri hesplınız. ) d ) cosd c) 6 f' ^hg ^ h+ g' ^hf ^ d İntegrl ile ir fonksionn ilkeli, ilkele sitinin eklenmesi ile tüm ilkeleri elirlenir. d ) ^ h oldğndn d + d dir. d ) ^sinh cos oldğndn cosd sin + dir. d d c) ^f ( ) g ( ) h f '( ) g ( ) + g '( ) f ( ) oldğndn d 6 f'( ) g ( ) + g'( ) f ( d f ( ) g ( ) + dir. Aşğıd verilen integrllerin eşitini lnz.. d 6. '( ) d ( ). cos d 7. f'( )() fd. ed 8. g'( ) f'( g( )) d. ^ + tn hd 9. 7f'( ) + f''( ) - f'''( ) Ad. + d. Ç - f'( ) g ( )- g'( ) f ( ) > H d g ( ) ) + ) sin + ) e + ) tn + ) rctn + (*) "Türev-I" fsikülü "Türev Alm" krllrını tekrrlınız. 6) ln ( ) f ( ) + 7) f () + 8) (fog)() + 9) f() + f'() f''() + ) + g ( )

7 Sit Fonksionn İntegrli / f() n Fonksionnn İntegrli BELİRSİZ İNTEGRAL Kon Özeti (Sit Fonksionn İntegrli), R iken, d + dir. İntegrsonn difernsieli ltındki değişken dışındki diğer değişkenler sit kl edilir. Örneğin, d ifdesinde d in değişkeni e göre integrl lındığındn sit terimdir. Kon Özeti ( f() n Fonksionnn İntegrli) R ve n R { } iken, n+ n d n + + dir. " d " İntegrsonnd ket rttırımı glnmz. B integrntın nti-türevi logritm fonksiondr. İleride değinilecektir. Aşğıdki integrlleri hesplınız. ) dt ) d c) t d İntegrson değişkenlerine dikkt ediniz. ) dt t + dir. ) d + dir. c) t d t + dir. Aşğıdki integrlleri hesplınız. ) d ) d c) d Ketleri düzenleip ket rttırımı glınız. + dir. ) d d ) + dir. d d dir. c) d d Aşğıd verilen integrlllerin eşitini lnz.. d 7. e d Aşğıd verilen integrlllerin eşitini lnz.. d 6. d. d. d 8. d 9. d. d 7. d. dt. d. d 8. d. r d. d. d 9. d 6. d. + cos d n d ln +. d. d t ) + ) + ) + ) + ) p + 6) + 7) e + 8) + 9) + ) + ) + ) + ) + ) + ) + ) + ) + 6) + 7) + 8) + 9) + + ) + + r + +

8 BELİRSİZ İNTEGRAL İntegrlin Özellikleri Kon Özeti İntegrlin temel özellikleri ile düzenlemeler pılrk integrli lınilecek ifdeler elde edilir. _ f( d ) fd ( ) ` 6 f ( )" gd ( fd ( ) " gd ( ) (Temel Özellikler) Eşitliklerini iki önlü glileceğinizi UNUTMAYINIZ! İntegrl toplm-frk dğılilir nck çrpım-ölüme DAĞILMAZ! Çrpım-ölüm için frklı glmlr pılır. İleride rıntılı değineceğiz. Aşğıdki integrllerin eşitini lnz. ) costd ) + ^ hd c) ^- hd ^ + h + ^ h ) costd cos t d cos t+ ) d d d + + c) - d d- d - + (Düzenlemeler) Aşğıdki integrllerin eşitini lnz. ) - ^ + hd ) c m d Çrpımın ve ölümün dğılımı pılrk olşn her terime ket rttırımı glnır. ) ^ + hd ^ + hd + + ) - c m d c - m d ^ - h d - + Aşğıd verilen integrllerin eşitini lnz.. ^ + hd 8. c + + d m. ^ + 6+ hd 9. d + d. ^+ hd. ^ + hd - ^ - hd. 8 c - d m 6. ^+ h d.... c f - md -6 - pd - c m d f - d p 7. ^ + hd. f'( ) gd ( ) + g'( ) fd ( ) ) + + ) ) + + ) + ) + + 6) ) + + 8) ) + + ) - + ) ) - + ) - + ) f() g() +

9 Temel Trigonometrik İntegrller BELİRSİZ İNTEGRAL Kon Özeti Her trigonometrik ifdenin integrli kolc lınmz. Aşğıd nti türevi elli temel trigonometrik integrller verilmiştir. İşretlerine DİKKAT EDİNİZ! cos^ + d h sin^ + h+ sin^ + d h cos^ + h+ d sec d ^ + tn hd tn + cos d cosec d ^ + cot hd cot + sin Trigonometrik integrller lınırken trigonometrik özdeşlikler, rım çı ve dönüşümlerden fdlnılır. Bnlr ileride rıntılı nltılcktır. Örneğin, " + tn sec " ve cos " + cot cosec " oldğn htırlınız. sin Aşğıdki integrlleri hesplınız. d ) sind c) sin ) cos^+ hd d) _ + tn id İşretlere dikkt ediniz. Gerekirse trigonometrik düzenlemeler pınız. ^ h d - + sin _ i ) sind cos + ) cos + d sin^+ h+ c) cot d) + tn d _ + tn id tn + Aşğıd verilen integrllerin eşitini lnz.. cosd. cos d. cos^+ hd. sind. sin d 6. sin^+ hd 7. ^sin+ cos hd 8. ^cos- sin hd 9. 6 sin^+ h+ d ) sin + ) sin + ) sin^+ h + ) cos+ ) cos+ 6) cos^+ h + 7) cos+ sin + 8) sin+ cos + 9) cos^+ h+ sin +. cos d. ^ + tn hd. sec d. + cos cos d. ^ + cot hd. ^ cosec + sec hd c - cos d m cos sin + f pd sin Ç - sin + d sin ) tn + ) tn + ) tn + ) sin + tn + ) cot + ) cot + tn + 6) tn- sin + 7) cot + 8) - cot +

10 Tekrr Zmnı Test Çözümü - 6. ( - 6+ ) d lnr. evp: D d. ( ) d lnr. d evp: B. f - pd lnr. evp: A. c d + - m + d - + d + + ln + - ln + + ln + lnr. + evp: E. ( + ) d ( + ) + lnr. evp: B 6. f - + pd ( - + ) d lnr. evp:. d d ln lnr.. c + d rctn m + + lnr. + ln evp: evp: E ln d c - + m ln + lnr. evp:. ; + d rctn ln E lnr. + + evp: D 6. ( - )( + ) d ( - - ) d lnr. evp: B 6. f ( ) f'( ) d ( ) d & f ( ) f() ise f() + + c tür. 7. ( e + ) d e + + lnr. evp: A O hlde f() f() lnr. evp: B 8. ( cos- sin ) d sin+ cos + lnr. evp: A f ( ) 7. f d ( p - + )' (Her iki trfın türevi lınırs) + f ( ) & 8 & f( ) ( ) ( 8 ) dir. f() ( + ) (8 ) 8 lnr. evp: B + 9. ( e + ) d e ln + e - + lnr. ln 8 evp: D. d e ^ e h c m + lnr. evp: E I 8. f f ( ) ( + ) dp ( - + )' (Her iki trfın türevi lınırs) f() ( + ) & f ( ) ( + ) ( - )( + ) & f ( ) - oldğndn sit terim - lnr. evp: A

11 Tekrr Zmnı Test Çözümü c8 + d m & - + lnr. evp:. f + e pd rcsin + e + lnr. - evp: B. f - pd lnr. evp: A. f - sin - ( ) pd -cot- rcsin + lnr. evp: D. c- + + e + + sin + d m d f pd d lnr. sin sin evp: B + ln + e -rccot- cos + X+ lnr. evp:. sin d+ cos d ( sin + cos ) d. J K K K L N + O d f + p d + + lnr. O O P evp: D. ( sin- cosec + ) d - cos+ cot + + lnr. evp: A 6. f + d tn rcsin p + + lnr. cos - evp: E 7. ( + sind ) - cos + cos + lnr. evp: A 8. f + e d rctn e p + + lnr. ( + ) evp: d 9. ( ) d lnr. d evp: D. d( ) d d + lnr. evp: A d + lnr. evp:a I f'( ) f f'( d ) p ( + + )' & 6. f f'( ) 6 6 & + + & f'( ) d c m d & f ( ) + 6+ ln + lnr. evp: ' f( - ) dp ^ h' f( - ) & & f( - ) dir. Her iki trfın türevi lınırs ( 6+ 8) - ( ) f'( - ) için f'( ) f'( ) - lnr. evp: E d 7. d d & tir. Yni f'( ) & f'( ) d d d & f ( ) ln + & f( ) ln+ & dir. 8 O hlde f ( ) ln + & f( e ) ln e & fe ( ) lnr. evp: A 8. f() in deki teğetinin eğimi f'(-) dir. f''( ) - + & f''( ) d ( - + ) d & f'( ) & f'( ) & f'( - ) -- + & 6 & f'( ) 6 lnr. evp:

12 İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ Değişken Değiştirme Yöntemi I Kon Özeti (Değişken Değiştirme Kvrmı) Kon Özeti (Lineer Dönüşümler) İntegrli lınn ifde ir fonksion ile irlikte fonksionn difernsielini içeriors değişken değiştirme pılrk nti türevi tnıdık ir integrl elde edilir. Mtemtik dilile, f ( ) ff ( ) '( ) d d + c + 9> d Yni, f() dönüşümü pılırs f'() d d olr. ÖRNEK (Temel Değişken Değiştirmeler) f() + şeklindeki. derece (lineer) fonksionlr dönüşüm glndığınd difernsiel dönüşümü pılırken; d + d d & d olr. ÖRNEK Aşğıdki integrlleri lınız. ) ( + ) d ) + d c) sec ( ) d Aşğıd verilen integrllerin eşitini lnz. f'( ) ) d ) f ( ) f'( ) d c) ( fog)( ) g'( ) d f ( ) ÇÖZÜM ) f() f'() d d dr. f'( ) d d ln + ln f( ) + f ( ) ) f() f'() d d dr. f ( ) f ( ) f'( ) d d c) (fog)() f(g()) dir. g() g'() d d dr. ( fog)( ) g'( ) d fg ( ( )) g'( ) d f( ) d ÇÖZÜM ) + d d d d ise 6 d ( + ) d d + > 6 ( + ) 6 + ) + d d d d ise d + d d ( + + ) + 9 c) d d d ise d sec ( ) d sec sec d 9 tn+ tn( ) + Aşğıd verilen integrllerin eşitini lnz.. f ( ) '( f ) d Aşğıd verilen integrllerin eşitini lnz.. ( + ) d. f'( ) d f ( ). + d f (). e f'( d ). ^e h d f ( ) ) + ) - + ) e f ( ) + f ( ) ) ( ) + + ) ( ) + + ) e +

13 Değişken Değiştirme Yöntemi II İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ Kon Özeti (Polinomik Dönüşümler) P() ir polinom olmk üzere, fp ( ( )) P'( d ) f( d ) olr. P() P'() d d ÖRNEK Aşğıdki integrlleri hesplınız. ) 6 ( + ) d Kon Özeti (Rsonel ve Köklü Dönüşümler) g'( ) d f(g()) olmk üzere, d olr. fg ( ( )) f ( ) g() g'() d d Pdnın çrpnlrın rıldığı drmlrd ileride değineceğimiz sit kesirlere ırm krllrındn fdlnılır. f^ + h > olmk üzere, d fd ( ) olr. d d + & d & d ÖRNEK ) cos( ) d Aşğıdki integrlleri hesplınız. d - ) ) d c) ( + ) - + ^ + h d ÇÖZÜM ÇÖZÜM ) + d d d d ise d 6( + ) d > ( + ) + lnr. ) d d ise cos( ) d cos d sin+ sin( ) + 9 ) + d d ise d d - d + ( + ) - > ) + ( ) d d ise - d d ln + ln c) d d d + & & d ise H ( + ) d d ( ) Aşğıd verilen integrllerin eşitini lnz. Aşğıd verilen integrllerin eşitini lnz.. ( + ) ( + ) d. ( -6) ( - ) d. ( -) sin( - d )... Ç - 6 d + ( - ) d + d ) ( ) + + ) ( ) + ) -cos( - ) + 6 ) ln + + ) - + ) ( + ) + 6( - )

14 İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ Değişken Değiştirme Yöntemi III Kon Özeti (Bsit Trigonometrik Dönüşümler) Kon Özeti (Üstel ve Logritmik Dönüşümler) Trigonometrik ifdelerin integrsonnd sin cos d d ve cos sin d d difernsiel dönüşümlerden fdlnılır. f() > olmk üzere, olr. f'( ) ln f ( ) d d f ( ) f'( ) ln f ( ) & d d f ( ) Trigonometrik integrllere rıntılı değinilecektir. R + {} olmk üzere, f () '( f d ) d olr. f() f'() d d ÖRNEK Aşğıdki integrlleri inceleiniz. ) sincos d ) tnd Çözümde d cevpt üstel d logritmik düzenlemeler pılilir. ÖRNEK Aşğıdki integrlleri inceleiniz. ln ) d ) cosd sin ln c) e + d ÇÖZÜM ÇÖZÜM ) sin cos d d ise sin sin cos d d c : + + dir. sin ) tn oldğ için, cos cos &- sin d d & sin d - d ise, tn d sin d cos < -d - ln + - ln cos + lnr. ) ln & d d ise B ln ln d d + + lnr. ) sin cos d d ise D sin sin cos d d ln + + ln ( ) ( ) c) e + ln ln e e e iken d & d d & d ise e ln e ( + d ) d e d ( ) e + e + lnr. Aşğıdki integrllerin eşitini lnz. Aşğıdki integrllerin eşitini lnz.. sin cos d. ( ln ) d. sin d cos sin. cosd. cotd. Ç e d ) sin + ) + ) ln sin + cos ) sin ( ln ) + ) + + ) e + ln

15 Ters Trigonometrik Değişken Değiştirmeler - I İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ Kon Özeti (Arcsin f() Dönüşümleri - A) f'( ) d ifdesinde şğıdki dımlr glnır. - f ( ) f'( ) d f'( ) d _ " I. Adım: prntezine" lıp f ( ) f ( ) ` f - p - ; E "tm kre" düzenleme f ( ) II. Adım: & f( ) & f'( d ) d} değiştirme d d değişken değiştirmei III. Adım: - - erine zıp tnıdık ifdei elde etme _ f ( ) _ rcsin+ rcsin; E + d eşitliklerinden irisi ` ` f ( ) - rccos+ rccos; E + kllnılır. d " rcsin^h " + ğıntısını ^ h ilmeniz işlem hızınızı rttırcktır. (f() f'() d d Dönüşümü) Aşğıdki integrlleri hesplınız. d ) - 9 ) d - c) ) ) d d d ^h - d d rcsin d - d rcsin+ rcsin^h+ - d d d - - ^ h - d d d rcsin+ rcsin^ h+ - c) rcsin d - rcsin d d - rcsin d + + Aşğıdki integrllerin eşitini lnz.. d -. rccos d -. d - 6. d 6 -. d 9-7. ed - e Ç - 8. d - 8. d - ln ) rcsin + ) rcsin + ) rcsind n + ) rcsin_ i + ) rccos _ i + 6) rcsin_ i + 7) rcsin_ e i + 8) rcsin_ lni +

16 İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ Ters Trigonometrik Değişken Değiştirmeler - II Kon Özeti (Arcsin f() Dönüşümleri - B) Bir önceki sfd hsedildiği üzere; f'( ) d d şeklindeki ifdeler prntezine - f ( ) lınıp tm kre düzenleerek, değişken değiştirme ile d - rcsin + eşitliği elde edilir. " d rcsin + " - n ğıntısını ilmeniz işlem hızınızı rttırcktır. ( Prntezine Alm ve Tm Kre Düzenleme) Aşğıdki integrlleri hesplınız. ) d - ) d - ) d d d - c- m c c m m d - - & & d d d rcsin + rcsinc m+ - ) Pddki kökün içindeki ifdei tm kreli olrk düzenleelim; ^ - + h -^ - h (terim ekleip çıkrlım) ^ - h O hlde, d d d - - -^ -h - d d rcsin + rcsin( ) + lnr. Aşğıdki integrllerin eşitini lnz.. d 9 -. d -. d 6-6. d -. d 9-7. d + - Ç d -. d - 6 ) rcsin + ) rcsin + ) rcsin d n + ) rcsin d n+ 6 ) rcsinf p + 6) rcsin_ + i + 7) rcsin_ - i + - 8) rcsind n+

17 BELİRLİ İNTEGRAL Belirli İntegrl Kvrmı Kon Özeti (Bir Eğri Altındki Aln) Bir fonksionn tnımlı ve sürekli oldğ ir lt rlığı ile fonksion eğrisi rsınd kln ölgenin lnı elirli integrl ile gösterilir. O A f() v O c B d g() Trlı ln A ise Trlı Aln B ise d fd ( ) A fd ( ) B Eğri ltındki lnın integrl ile nsıl ifde edildiği ileride "Riemnn Toplmı" ile rıntılı gösterilecektir. c S f() O S Şekildeki f() fonksionnn grfiği verilmiştir. S ve S lndklrı ölgelerin lnlrını göstermektedir. S 7 r, S r oldğn göre şğıdki elirli integrl değerlerini lnz. ) fd ( ) ) fd ( ) c) fd ( ) ) fd ( ) 7 dir. ) fd ( ) dir. c) fd ( ) 7+ _ i lnr.. f(). S S S 6 S S S f() Ykrıdki şekilde f() fonksionnn grfiği verilmiştir. S, S ve S lndklrı ölgenin lnını göstermektedir. S 6 r, S r ve S r oldğn göre şğıdki elirli integrllerin değerlerini lnz. ) fd ( ) c) fd ( ) Ykrıdki şekilde f() fonksionnn integrli verilmiştir. S, S ve S lndklrı ölgenin lnını göstermektedir. Bn göre şğıdki elirli integrllerin S, S ve S cinsinden eşitini lnz. ) fd ( ) d) fd ( ) 6 6 ) fd ( ) d) fd ( ) ) fd ( ) e) fd ( ) c) fd ( ) f) fd ( ) 6 6 ) ) 6 ) c) d) ) ) S ) S c) S d) S S e) S + S f) S S + S

18 Belirli İntegrlin Temel Teoremi ve Elemnlrı BELİRLİ İNTEGRAL Kon Özeti (Belirli İntegrl Alm) f() fonksion [, ] rlığınd integrli lınilen ir fonksion ve f() fonksionnn nti türevi F() iken; ni (, ) için F'() f() ise fd ( ) F ( ) F ( )- F ( ) dır. v v "" integrlin lt sınırıdır. v v "" integrlin üst sınırıdır. v v "d" integrlin hngi değişkene göre lıncğını elirten difernsiel ifdesidir. fd ( ) elirli integrlinin değeri den ğımsız sit ir reel sıdır. (Belirli İntegrlin Değeri) Aşğıdki integrllerin değerini lnz. ) d ) d c) sintdt d) e d ) d - dir. ) d - 6 dır. c) sintdt cos t ( cos )-( cos ) ( ) ( ) dir. < < d) e d e e - e e- dir. Aşğıd verilen integrllerin değerini lnz.. d 6. cos d. d 7. sind ln. ed 8. d -. cosd 9. d 9 +. dt. d - ) ) 9 ) ) ) 6) 7) 8) 9) ) ln 6

19 BELİRLİ İNTEGRAL Belirli İntegrlin Özellikleri Kon Özeti f() ve g(), [, ] rlığınd integrlleneilen iki fonksion olmk üzere, k R iken k fd ( ) k fd ( ) tir. v v 7f ( )" g ( ) Ad fd ( ) " gd ( ) tir. v v fd ( ) dır. v v fd ( ) fd ( ) tir. < c < ise fd ( ) fd ( ) + fd ( ) tir. c c fd ( ), fd ( ) ve g( d ) 7 oldğn göre şğıdki elirli integrllerin değerlerini lnz. ) 7f ( ) + g ( ) Ad ) gd ( ) c) fd ( ) ) 7 f ( ) + g ( ) A d fd ( ) + gd ( ) + + _ Alt sıınır ve üst sınır ) gd ( ) ` nı oldğ için eğri ltınd ln olşmz. c) fd ( ) fd ( ) + fd ( ) fd ( ) fd ( ) 7 & fd ( ) +_ i & f ( ) + 7 lnr fd ( ) 6, fd ( ) ve gd ( ) 8 oldğn göre şğıdki sorlrı cevplınız.. 7f ( ) + g ( ) Ad. gd ( ) - fd ( ). fd ( ) f ( )- g ( ) Ad. fd ( ) 6 6. fd ( ) + fd ( ) - fd ( ) 6 66 ) ) ) ) ) 6)

20 Belirli İntegrlde İntegrl Alm Yöntemleri BELİRLİ İNTEGRAL Kon Özeti Belirsiz integrl lınırken kllnıln temel türev-nti türev krllrı, değişken değiştirme, sit kesirlerine ırm, trigonometrik integrller ve kısmi integrson öntemleri elirli integrlin değerini tespit ederken kllnılcğındn ii ilinmelidir. Aşğıdki integrllerin değerlerini lnz. ) _ + e id ) d + ) _ + e id f + e p ( + e ) ( + e ) e lnr. ) Öncelikle integrnt polinom ölmesi gllım: _ + + ` olr. d d < - F - + d rctn _ -i-( rctn -rctn ) > > - lnr. Aşğıd verilen integrllerin eşitini lnz.. _ - id. _ sec - d i. _ - id 6. d +. _ + id 7. _ sin- cos id. _ - e id 8. + d - ) ) 6 ) ) e ) ) ln 7) 8) + ln 67

21 BELİRLİ İNTEGRAL Prçlı Fonksionnn İntegrli Kon Özeti Prçlı fonksionlrın integrli, kritik noktlrın göre prçlı integrllerin toplmı şeklinde zılrk lınır. Kritik nokt integrlin sınırlrı rsınd değil ise prçlı integrle ırmdn sınırlrın oldğ ölgede fonksionn eşiti kllnılır., < f ( ) * oldğn göre şğıdki integrl- -, H lerin değerini hesplınız. ) fd ( ) ) f ( + ) d ) fd ( ) fd ( ) + fd ( ) d + _ -id + _ - i _ - i+ _ 9-i-_ -i lnr., <, < ) f ( + ) * + _ + i-, + H * -, H f ( + ) d _ - id _ - i > H iken f ( + ) - (9 6) ( ) lnr. -, <. f ( ) * fonksion verilior. -, Bn göre şğıdki integrl değerlerini lnz. ) fd ( ) +, <. f ( ) * fonksion verilior. +, Bn göre şğıdki integrl değerlerini lnz. ) fd ( ) ) fd ( ) ) fd ( ) c) fd ( ) c) f ( - ) d d) fd ( ) d) f( d ) 68 ) ) ) c) 6 d) 8 8 ) ) ) 7 c) 9 d)

22 Mtlk Değer Fonksionnn İntegrli BELİRLİ İNTEGRAL Aşğıdki integrllerin değerini lnz. ) - d ) - d c) - d ) kritik noktdır Kon Özeti Mtlk değer fonksionnn integrli, kritik (mtlk değerin içini sıfır pn) noktlrın göre prçlı integrllerin toplmı şeklinde zılrk lınır. İntegrllerin sınırlrı rsınd kritik nokt ok ise prçlı integrle ırmdn o ölgedeki fonksionn eşiti kllnılır. - d - d + - d < < - + _ - d i + _ - id d - n + d -n 9 7 _ -i - A + < d -6n -_ - if lnr. ) kritik noktsı (, ) sınırlrıl elirlenen ölgenin elemnı değildir. (, ) iken - - < dir. - - d _ - id d - n ( ) ( ) lnr. c) ise + ( ) + + ve kritik noktlrdır. Ykrıdki işret tlosn göre integrli prçllım. - d - d + - d + - d _ -id + _ - id + _ - id d - n + d - n + d - n + + d n lnr. Aşğıd verilen integrllerin değerini lnz.. - d. + d. + d. cos- 6 Ç -. _ id 6. cos- sin d ) ) ) ) ) 6-6) - 69

23 İNTEGRAL UYGULAMALARI Riemnn Toplmı - I Kon Özeti (Riemnn Kvrmı ve Bölüntü) Riemnn Toplmı; ir eğrinin ltındki ölgei, eş tnlı "dikdörtgenlere ırrk" eğri ltındki lnın klşık değerini tespit etmedir. B dikdörtgenlerin sısı rtıkç gerçek ln dh çok klşılır. Riemnn toplmı için olştrln dikdörtgenlerin eşit znlktki tn rlıklrın lt rlıklr rlıklrın sınırlrının kümesine düzgün ölüntü (prçlnm) denir. f f f (Bölüntü) [, 7] rlığınd f() eğrisinin ltınd kln lnın klşık değerinin düzgün prçlnmış lt rlıklı Riemnn Toplmı ile lnilmesi için; ) Arlık genişliğini lnz. ) Alt rlıklrı lnz. c) Bölüntüü elirtiniz. rlık genişliği, P ölüntü olmk üzere T T T 7-6 ) dir. ) [, ], [, ], [, 7] c) P {,,, 7} tne tne n tne n Alt rlıklr: [, ] [, ],[, ] [, ],... [ n-, n ] Bölüntü (P): {, } {,, } {,,..., n }, rlık genişliği: - - n iken oldğndn; - n Riemnn Toplmı Eğri Altındki Aln fd ( ) Alt rlık sısı rttıkç dikdörtgenlerin lnlrı toplmı eğrinin ltındki ln klşır. [, ] kplı rlığınd, P (,, ölüntüsüne göre Riemnn Toplmı glnck ln f() fonksion için olştrln lt rlıklrı, rlık genişliğini ve lt rlık detini elirtiniz. [, ] rlığındki lt rlıklr T T T E [, H ], [ H, ],[,] dir. Olştrln rlığın heririnin ortk rlık genişliği; dür.. [, ] rlığınd f() fonksionnn eğrisi ltınd kln lnın klşık değeri için [, ] kplı rlığı eşit znlkt lt rlığ ölünüp Riemnn toplmı glncktır. Bnn için olşck, ) Arlık genişliğini lnz.. [, ] rlığınd giderek incelen prçlnmlrdn olşn (P n ) (P, P,... P n, P n, P n+,...) dizisine incelme dizisi denir. (Lim(P n ) dır) Bn göre şğıdki dizilerden incelme olnlrı "İ", olmnlrı "X" ile elirtiniz. ) [, ] nı n eşit prç ırn düzgün prçlnmlrdn olşn (P n ) dizisi. ( ) ) Prçlnmı elirtiniz. ) [, ] nı n! eşit prç ırn düzgün prçlnmlrdn olşn (P n ) dizisi. ( ) c) Alt rlıklrı elirtiniz. ) ) D ),, P, 7, (, 7 7 c) <, F, <, F, <, F, <, F, <, F c) [, ] nı eşit prç ırn düzgün prçlnmlrdn olşn (P n ) dizisi. ( ) d) [, ] nı n eşit prç ırn düzgün prçlnmlrdn olşn (P n ) dizisi. ( ) ) İ ) İ c) X d) İ

24 Riemnn Toplmı - II İNTEGRAL UYGULAMALARI Kon Özeti (Riemnn Alt Toplmı) [, ] rlığınd tnımlı f() foksion için Alt rlıklrın ç noktlrındn eğrinin ltınd f( n ) f klck... f( ) f( ) n n şekilde ükseklikleri elirlenen dikdörtgenlerin lnlrı toplmı Riemnn Alt Toplmını verir. P {,,... n } ölüntü v v [, ], [, ],... [ n, n ] lt rlıklr Arlık genişliği dikdörtgenlerin tnlrı v f( ), f( ),..., f( n ) dikdörtgenlerin ükseklikleri olmk üzere, dikdörtgenlerin lnlrı toplmı n / k f( ) + f( ) f( n ) f ( ) D k - f fonksionnn P ölüntüsüne göre (Riemnn) lt toplmıdır.... f: [, ] [, 9] olmk üzere f() fonksionnn tnım rlığını eşit znlkt iki lt rlığ ölerek Riemnn lt toplmını lnz O f() [, ] rlığı eşit znlkt lt rlığ ölünürse rlık genişliği D - r dikdörtgenlerin tn znlklrıdır. f() ve f() ise dikdörtgenlerin ükseklikleridir. O hlde, dikdörtgenlerin lnlrı toplmı; f( ) + f( ) + r f fonksionnn 9 9 P {,, } ölüntüsüne göre lt toplmıdır.. doğrs, ekseni ve 6 doğrs rsınd kln ölgenin; ) Alnı nedir?. f: [, ] [6, ] f() 6 fonksionnn grfiği şğıd verilmiştir. 6 f ) P {,,, 6} ölüntüsüne göre Riemnn lt toplmı nedir? O [, ] rlığının eşit znlktki, ) İki lt rlığın göre Riemnn lt toplmı nedir? c) lt rlık genişliğine göre Riemnn lt toplmı nedir? ) Dört lt rlığın göre Riemnn lt toplmı nedir? d) [, 6] rlığı lt kplı rlığı rılırs Riemnn lt toplmı ne olr? c) n lt rlığın göre n Riemnn lt toplmı nedir? e) [, 6] rlığı n lt rlığ rıldığınd n Riemnn lt toplmı ne olr? ) ) 8 ) c) d) 6, e) 8 8 ) ) ) c)

25 İNTEGRAL UYGULAMALARI Riemnn Toplmı - III Kon Özeti (Riemnn Üst Toplmı) [, ] rlığınd tnımlı f() foksion için f( n ) f f( ) f( ) n n Alt rlıklrın ç noktlrındn eğrinin üstünde klck şekilde ükseklikleri elirlenen dikdörtgenlerin lnlrı toplmı Riemnn Üst Toplmını verir. P {,,... n } ölüntü v v [, ], [, ],... [ n, n ] lt rlıklr Arlık genişliği dikdörtgenlerin tnlrı v f( ), f( ),... f( n ) dikdörtgenlerin ükseklikleri olmk üzere, dikdörtgenlerin lnlrı toplmı... n / k f( ) + f( ) f( n ) f ( ) D f fonksionnn P ölüntüsüne göre (Riemnn) üst toplmıdır. k... f: [, ] [, 9] olmk üzere f() fonksionnn tnım rlığını eşit znlkt iki lt rlığ ölerek Riemnn üst toplmını lnz O f() [, ] rlığı eşit znlkt lt rlığ ölünürse rlık genişliği D - r dikdörtgenlerin tn znlklrıdır. f() ve f() 9 ise dikdörtgenlerin ükseklikleridir. O hlde, dikdörtgenlerin lnlrı toplmı; f( ) + f( ) + 9 r f fonksionnn P {,, } ölüntüsüne göre üst toplmıdır.. doğrs, ekseni ve 6 doğrs rsınd kln ölgenin; ) Alnı nedir?. f: [, ] [6, ] f() 6 fonksionnn grfiği şğıd verilmiştir. 6 f ) P {,,, 6} ölüntüsüne göre Riemnn üst toplmı nedir? O [, ] rlığının eşit znlktki, ) İki lt rlığın göre Riemnn üst toplmı nedir? c) lt rlık genişliğine göre Riemnn üst toplmı nedir? ) Dört lt rlığın göre Riemnn üst toplmı nedir? d) [, 6] rlığı lt kplı rlığ rılırs Riemnn üst toplmı ne olr? e) [, 6] rlığı n lt rlığ rıldığınd n Riemnn üst toplmı ne olr? c) n lt rlığın göre n Riemnn üst toplmı nedir? ) ) 8 ) c) d) 9, e) 8 8 ) ) 6 ) c)

26 Riemnn Toplmı - IV İNTEGRAL UYGULAMALARI Kon Özeti (Riemnn Ort Toplmı) [, ] rlığınd tnımlı f() foksion için f(r n )... f(r ) f(r )... r r... r n n n v v P {,,... n } ölüntü f Alt rlıklrın ort noktlrın göre ükseklikleri elirlenen dikdörtgenlerin lnlrı toplmı Riemnn Ort Toplmını (Riemnn Toplmını) verir. [, ], [, ],... [ n, n ] lt rlıklr r, r,..., r n, lndklrı rlıklrın ort noktlrı Arlık genişliği dikdörtgenlerin tnlrı v f(r ), f(r ),... f(r n ) dikdörtgenlerin ükseklikleri olmk üzere, dikdörtgenlerin lnlrı toplmı n / k f(r ) + f(r ) +... f(r n ) fr ( ) D f fonksionnn P ölüntüsüne göre Riemnn toplmıdır. k f: [, ] [, 9] olmk üzere f() fonksionnn tnım rlığını eşit znlkt iki lt rlığ ölerek Riemnn ort toplmını lnz. 9 / 9/ O f() [, ] rlığı eşit znlkt lt rlığ ölünürse rlık genişliği D - r dikdörtgenlerin tn znlklrıdır. Arlıklrın ort noktlrın göre çizilen dikdörtgenlerin ükseklikleri f 9 vef d n d n tür. O hlde, dikdörtgenlerin lnlrı toplmı; 9 7 f f d n + d n + r f fonksionnn ; ; 9 P {,, } ölüntüsüne göre Riemnn ort toplmıdır.. doğrs, ekseni ve 6 doğrs rsınd kln ölgenin; ) P {,,, 6} ölüntüsüne göre Riemnn lt toplmı ile Riemnn üst toplmının ortlmsı nedir?. f: [, ] [6, ] f() 6 prolünün [, ] rlığının eşit znlktki, ) İki lt rlığın göre Riemnn ort toplmı nedir? ) P {,,, 6} ölüntüsüne göre Riemnn toplmı ( * ) nedir? ) n sıdki lt rlığın göre n Riemnn toplmı nedir? c) [, 6] rlığı n lt rlığı rıldığınd n Riemnn lt toplmı ne olr? ) ) 8 ) 8 c) 8 (*) "Riemn Toplmı" ifdesi ile "Riemn Ort Toplmı" nlşılmlıdır. 8 ) ) )

27 İNTEGRAL UYGULAMALARI Riemnn Toplmı - V Kon Özeti (Riemnn Toplmı - İntegrl İlişkisi) Bir fonksion Riemnn toplmındki dikdörtgen sılrı rttıkç eğri ltındki ln klşılcğı için lt rlık sısı n iken rlık genişliği ile eğri ltındki ln lşılır. Eğri ltındki ln ise elirli integrl ile tespit edilir. f f... n tne lt rlık Dikdörtgenlerin lnlrı toplmı n n / fr ( ) D k k n iken Δ Eğri ltındki ln n lim / fr ( ) D f( d ) n k " k f: [, ] [, 9] olmk üzere f() fonksionnn eşit znlkt iki lt rlığın göre Reimnn lt toplmı A, fonksion ile ekseni rsınd kln ölgenin lnı B ise B A ı lnz. 9 O f() A + r B B A 7 6 d - r 6 - r dir.. f: [, ] [, ] f() + fonksionnn grfiği şğıd verilmiştir. f foksionnn P {,, } düzgün ölüntüsüne göre. [, ] kplı rlığınd tnımlı f() 6 fonksionnn eşit znlkt lt rlığın göre Riemnn toplmı A, fonksion eğrisi ile ekseni rsınd kln ölgenin lnı B ise A B frkı kç r dir? ) Alt toplmı ile üst toplmının ortlmsı kçtır? ) Riemnn toplmı kçtır? Ç -. d integrl ifdesinin Riemnn toplm formülü ile 6 ifdesi nedir? c) f ile ekseni rsınd kln ölgenin lnı kçtır? ) ) ), c) ) ) lim n " k / n 8 _ k - i n

28 İntegrl ile Aln Hesı - I İNTEGRAL UYGULAMALARI Kon Özeti (Aln-İntegrl İlişkisi) S O S f c (i) [, ] için f() oldğndn S f( d ) (ii) [, c] için f() oldğndn S f( d ) f fonksionnn ile c rsındki integrli fd ( ) S -S dir. c f fonksionnn ile c rsındki lnlr toplmı c _ Mtlk değeri S + S f ( ) d dir. ` ntmınız! c (Aln ile İntegrlin Frkı) Şekilde f() fonksionnn A c A d A f grfiği verilmiştir. A r, A r, A r oldğn göre şğıdki ifdelerin değerlerini lnz. ) fd ( ) ) f() eğrisi ve rsınd kln ln c ) fd ( ) fd ( ) + fd ( ) + fd ( ) c d + ( ) + lnr. ) f ( ) d + + r lnr. d.. A B c d A B f() f() Şekilde f() fonksionnn grfiği verilmiştir. A r, B 7 r ve r dir. Bn göre şğıdki sorlrı cevplınız. ) fd ( ) d e) fd ( ) f() in grfiğinde A ve B lndklrı ölgenin lnını elirtmektedir. A + B r ve fd ( ) 6 oldğn göre A kç r dir? ) fd ( ) c f) fd ( ) d. A B f() c) fd ( ) c d) f() eğrisi,, c ve ekseni rsınd kln ölgenin lnı c g) fd ( ) + fd ( ) h) f() eğrisi,, d ve ekseni rsınd kln ölgenin lnı d Şekildeki f() fonksionnn grfiğinde A ve B lndklrı ölgenin lnlrını göstermektedir. fd ( ) ve A r oldğn göre B kç r dir? 6 ) ) ) 7 c) d) e) f) g) h) 6 ) ) 6

29 İNTEGRAL UYGULAMALARI İntegrl ile Aln Hesı - II Kon Özeti (Geometrik Şekiller Yrdımıl İntegrl) Bir fonksionn grfiği ltındki lnlr, mümkünse geometrik şekillere rılrk lnlr rdımıl fonksionn elirli integrl değeri tespit edileilir. Örnekle çıkllım. Kon Özeti (Frktl Fonksionlrın Eğrileri Altındki Alnı) Frktl fonksion sisteminin (*) eğrileri ltındki ln tespit edilirken sonsz geometrik dizi toplmındn fdlnılır. r < için _ k + r + r +... i r / dir. - r k f() n N olmk üzere [n, n + ) rlıklrınd tnımlı n f ( ) - n n fonksion sisteminin ekseni ile rsınd kln ölgenin lnlrı toplmını lnz. Grfiği şekideki gii oln f() fonksion için verilenlere göre fd ( ) in değerini lnz. O f f f... f (), f ( ) -, f ( ) -, f ( ) -,... S S S + d n r (mğn lnı) S r (üçgenin lnı) O hlde fd ( ) + lnr. Trlı Aln D - - TA.. d + d + d +... _ - i _ - i > / / / d n lnr. r -.. O 6 Şekilde f() fonksion grfiği verilmiştir. Bn göre şğıdki sorlrı cevplınız. ) fd ( ) ) fd ( ) c) fd ( ) 6 d) f ( ) d 6 f f O _ - ni n N için [n, n + ) rlıklrınd tnımlı f ( ) n n içiminde tnımlnn fonksionlr ile ekseni rsınd kln ölgeler şekilde trlı olrk verilmiştir. Bn göre tüm trlı ölgenin lnlrı toplmı kçtır? f... ) ) ) 7 c) d) 6 (*) Belirli ir krl göre küçülen d üüen grfiklerden olşn fonksion sistemine frktl geometri ile tekrrln fonksionlr denir. ) 7

30 İntegrl ile Aln Hesı - III İNTEGRAL UYGULAMALARI Kon Özeti (Sık Krşılşıln Fonksionlrın Eğrisi Altındki Aln) Fonksion grfikleri (*) integrl ile ln hesı için ii ilinmelidir. v v v e O e Şekildeki trlı ölgenin lnını lnz. ln 7! R iken e > dır. TA e d e d e e - e e- r v cos sin v k (k < ) k (k > ) f() fonksion ve doğrlrı ve ekseni rsınd kln ölgenin lnını lnz. v v Arıc grfiği verilen fonksionn (doğrsl, prolik, polinomik,...) denklemini olştrmı ii iliniz. (*) f() O TA - d _ - i d + _ - id lnr. d - n + d - n < - d nf+ < - F r. Şekilde prolünün grfiği verilmiştir.. prolü ile, doğrlrı ve ekseni ile sınırlnn ölgenin lnı kç r dir? O Bn göre trlı ln kç r dir?. Şekilde eğrisinin grfiği verilmiştir.. eğrisi, doğrlrı ve ekseni ile sınırlnn ölgenin lnı kç r dir? O e Bn göre trlı ln kç r dir? 8 6 ) ) 6 (*) "Türev II" fsikülü "Grfikler" ünitesini tekrrlınız. 9 ) ) 8

31 İNTEGRAL UYGULAMALARI İntegrl ile Hcim Hesı II Kon Özeti ( Ekseni Etrfınd Döndürme) f() fonksion, ve ekseni rsınd kln ölgenin ekseni etrfınd 6 f() döndürülmesi ile olşn cismin hcmi V olsn; öncelikle fonksion f() olrk düzenlenmelidir. o V d [f()] d dir. f() 6 den küçük kdr döndürmelerde hcim α ifdesini " 6 " ornı ile çrpmı ntmınız. ÖRNEK Birinci ölgede, ekseni, ekseni ve + elipsi rsınd kln ölge ekseni etrfınd, ) 6 ) 8 o döndürülmesi ile olşn cisimlerin hcimlerini lnz. ÇÖZÜM isim ekseni etrfınd döndürülerek elde edileceği için e göre fonksion elde edilip d ile integrl lınır. + & - dir. ) V ^ - h d ^- h d 8 f - p ; c - m - ^he r lnr. 8 ) V 6 d r lnr. Aşğıdki grfiklerde verilen trlı ölgelerin o ekseni etrfınd 6 döndürülmesi ile olşn cisimlerin hcmini lnz.. Anlitik düzlemin irinci ölgesinde eğrisi ve koordint eksenleri ile sınırlı ölgenin ekseni etrfınd 6 döndürülmesi ile olşn cismin hcmi nedir?. o Ç - 6. ln eğrisi, doğrlrı ve ekseni ile sınırlı ölgenin ekseni etrfınd 8 döndürülmesi ile olşn cismin hcmi nedir?. e e o e. - eğrisinin ekseni etrfınd 8 döndürülmesi ile olşn cismin hcmi nedir? ) ) ( e - e) 6 ( e - e ) ) ) 6 )

32 İntegrl ile Hcim Hesı III İNTEGRAL UYGULAMALARI Kon Özeti (İki Eğri Arsındki Bölgenin Döndürülmesi) f() ve g() fonk sionlrı, ve doğrlrı rsınd kln ölgenin ekseni etrfınd döndürülmesi ile olşn cismin hcmi V olsn, f() g() iken; V o [f () -g ()]d tir. f() g() İki eğri rsındki ölgenin ekseni etrfınd döndürülmesi ile olşn cismin hcmi için fonksionlr eksenine göre integrl lınck şekilde düzenlenip krıdki mntık çerçevesinde ormlnır. ÖRNEK Fonksionlrın kesim noktlrının lnmsı gereken drmlrd ortk çözüm pılır. Anlitik düzlemin I. ölgesinde; + doğrs ve eğrisi rsınd kln sonl ölgenin ( * ) ekseni etrfınd 6 döndürülmesi ile olşn dönel cismin hcmini lnz. ÇÖZÜM Sınırlı ölge ekseni etrfınd döndürüleceği için fonksionlr d ile integrl lınck şekilde düzenlenir. (irinci ölgede) + o + Ortk çözüm ile kesişim noktsını llım; - & ^ h ( - ) & - + & - + & ve dir. V ( ) d + ( - ) d > ( - ) ( - ) d+ ( - ) d + ; + r lnr. 6.. prolü ile doğrs rsınd kln ölgenin ekseni etrfınd 6 döndürülmesi ile olşn cismin hcmi nedir? o + Şekilde trlı ölgenin ekseni etrfınd 6 döndürülmesi ile olşn cismin hcmi nedir?. o Ç - 7. ve 8 eğrileri rsınd kln ölgenin ekseni etrfınd 8 döndürülmesi ile olşn cismin hcmi nedir? Şekilde trlı ölgenin ekseni etrfınd 6 döndürülmesi ile olşn cismin hcmi nedir? ) ) ) 6 ) ( * ) "Sonl Bölge" sınırlndırılmış ölge demektir.

33 İNTEGRAL UYGULAMALARI İntegrl ile Hcim Hesı IV Kon Özeti ( k ve m Doğrlrı Etrfınd Döndürme) f() fonksion, ve k doğrs rsınd kln ölgenin eksenine prlel oln k doğrs etrfınd 6 döndürülmesi ile olşn cismin hcmi V ise, V 6 f( ) - d Anı orm eksenine prlel m doğrs etrfınd döndürme ve iki eğri rsındki ölgei, k ve m etrfınd döndürme için de glnır. k k ÖRNEK Anlitik düzlemde + prolü ile ekseni, ve doğrlrı rsınd kln sınırlı ölgenin doğrs etrfınd 6 döndürülmesi ile olşn cismin hcmini lnz. ÇÖZÜM Grfiği çizerek ormllım, + o V ( + - ) d V ( + ) d + + ( + + ) d 8 c + + m c + + m lnr.. o + Ç - 8. prolü ile doğrs rsınd kln sınırlı ölgenin doğrs etrfınd 6 döndürülmesi ile olşn cismin hcmi nedir? Şekildeki trlı ölgenin doğrs etrfınd 6 döndürülmesi ile elde edilen dönel cismin hcmi nedir?. o Şekildeki trlı ölgenin doğrs etrfınd 6 döndürülmesi ile elde edilen dönel cismin hcmini veren integrl ifdesi nedir?. ln eğrisi ile ve doğrs rsınd kln sınırlı ölgenin doğrs etrfınd 6 döndürülmesi ile olşn cismin hcmini veren integrl ifdesi nedir? ) ) ^ - h d 6 ) ) ^e - h d

34 İntegrlin Fiziksel Yorm I İNTEGRAL UYGULAMALARI Kon Özeti (Doğrsl Hreket Denklemi) S ol, V hız, ivme ve t zmn olmk üzere, S(t) oln zmn, V(t) hızın zmn ve (t) ivmenin zmn göre fonksionlrı iken "oln türevi hızı (S'(t) V(t)" ve "hızın türevi ivmei (V'() (t)" verdiğine göre, İvmenin integrli hızı verir: Vt () tdt () Hızın integrli ol verir: St () Vtdt () Belirsiz integrl hesındki integrson siti, hız için ilk hız V ve ol için ilk konm S dır. ÖRNEK Yerden m ükseklikte lnn ir cisim m/sn hızl krı doğr düşe olrk fırltılıor. Yer çekimi ivmesi m/sn olrk lındığınd, t snie sonrki zmn göre şğıdki istenilenleri lnz. ) ismin (t) ivmesini, V(t) hızını, S(t) konmn ) ismin çıkileceği mksimm üksekliği c) ismin ere çrptığı n kdr geçen sürei ÇÖZÜM İlk konm S m ve ilk hız V m/sn olmk üzere krı doğr hreketi "+" şğı doğr hreketi " " llım. m m/sn ) isme etkien er çekimi ivmesi zmn ile değişmeeceğinden, (i) (t) m/sn dir. (ii) Vt () tdt () & Vt () (- ) dt V(t) t + 9 Vo t lnr. (iii) St () Vtdt () & St () ( - tdt ) S(t) t t + t + t + lnr. S 9 o ) ismin mksimm ükseklikteki hızı dır. V(t) t t. sn de cisim mksimm üksekliğe lşır. O hlde, t için S() + + m dir. c) ismin ere çrptığı nd konm dır. S(t) t + t + t t (t )(t + ) t. sn de cisim ere çrpr.. V m/sn 8 m Yerden üksekliği 8 m oln ir cisim m/sn hızl düşe olrk fırltılıor. Yer çekimi ivmesi m/sn olrk lındığınd t snie sonrki zmn göre şğıdkileri lnz. c) ismin S(t) konm fonksion nedir? ) ismin (t) ivme fonksion nedir? d) ismin çıkileceği mksimm ükseklik kç metredir? ) ismin V(t) hız fonksion nedir? e) isim fırltıldıktn kç snie sonr ere çrpr? ) ) ) t c) t + t + 8 d) e) 8

35 İNTEGRAL UYGULAMALARI İntegrlin Fiziksel Yorm II Kon Özeti (Yer Değiştirme ve Toplm Yol) St () Vtdt () iken, t ve t nlrı rsındki er değişim; t ÖRNEK t t Vtdt () St () St ( )- St ( ) dir. t t ve t onlrı rsınd lınn toplm ol; t t Vt () dt dir. Mtlk değer fonksionnn integrlinin kritik noktlrın göre prçlnıp lıncğını htırlınız. Doğrsl ir ol onc hreket eden ir cismin hız fonksion V(t) t t m/sn oldğn göre, cismin t ve t snie nlrınd lndğ noktlr rsındki, ) Uzklığı lnz ) Aldığı toplm ol lnz ÇÖZÜM St () Vtdt () olmk üzere, ) Yer değişimi: t ( t - t) dt c - t m - tür. isim. sniede. sniede lndğ noktnın metre ilerisini gitmiştir. O hlde noktlr rsı zklık metredir. ) Toplm ol: t - t dt dir. t t t(t ) t ve t kritik noktlrdır. O hlde, t - t dt t - t dt + t - t dt - + ( t- t ) dt + ( t -t) dt t t ct - m + c - t m + lnr. O hlde, cisim toplm metre ol lmıştır.. Doğrsl ir ol onc hreket eden ir cismin hız fonksion V(t) (t t) m/sn oldğn göre şğıdki sorlrı cevplınız.. Herhngi ir t nındki hızı V(t) t + 6t m/sn oln ir hreketlinin hrerekete şldığı ndn itiren sniede ldığı ol kç m dir? ) t ve t snie nlrınd lndğ noktlr rsındki zklık kç m dir? ) t ve t snie nlrı rsınd ldığı toplm ol kç m dir.. Doğrsl ir old m/sn hızl giden ir rç niden frene stığınd 6 m/sn ivme ile vşlrk drmştr. B rç frene sıldığı ndn drnc kdr geçen sürede kç metre ol lmıştır? ) ) 9 9 ) 6 ) ) 7

36 İntegrlin Ekonomi ve Diğer Alnlr Uglmsı İNTEGRAL UYGULAMALARI Kon Özeti İntegrlin fiziksel glmsınd kllnıln ilişkiler, ekonomik ve diğer lnlrd krşımız çıkn değişim hızı (ornı) ve hız (orn) ğlı değişen miktr rsınd kllnılır. t zmnın ğlı miktr fonksion F(t) ve hız fonksion V(t) ise, Ft () Vtdt () dir. t ile t rsındki net iş Vtdt (), toplm iş Vt () dt dir. t t ÖRNEK (Üretim Uglmsı) Bir ınevinin kitp sm hızı + t (det/ıl) olrk elirlenmiştir. B ın evinin. ve. ıllr rsınd scğı toplm kitp sısını lnz. (t ıl olrk zmnı elirtmektedir) t t ÇÖZÜM Toplm sıln kitp sısı, sım hızının elirli integrli lınrk lnr. Toplm sım ( + t) dt Nüfs + ( + t) dt + ( t+ t ) ( t+ t ) 8-6 dettir ÖRNEK (Nüfs Uglmsı) ılınd nüfs oln ir şehrin ıldn itiren nüfsnn + t (kişi/ıl) ornı ile değişeceği thmin edilior. t zmn değişkeni, ılındn sonr geçen ılı elirtmek üzere 8 ılınd şehrin thmini nüfsn lnz. ÇÖZÜM ılı t ise 8 ılı t deki nüfs, nüfs değişim ornının (hızının) elirli integrli lınrk lnr. + ( ) 6 kişidir.. Yeni çıln ir otomoil friksının ilk lık üretim ilgilerine göre üretim hızı A'(t) + t (det / ) olrk elirlenmiştir. t friknın çılışındn itiren geçen zmnı, A(t) ise friknın çılışındn t sonr det olrk üretilen otomoil miktrını göstermektedir.. M() ir telin sol cndn itiren noktsın kdr kütlesini, M'() ise oğnlğn elirtmektedir. Bn göre sol cndn itiren cm zklığ kdr oğnlğ M'() + (gr/cm) oln ir telin; ) Friknın ilk d ürettiği toplm otomoil sısı kçtır? ) İlk cm sindeki kütlesi kç grmdır? ) Friknın 9. ve. lr rsınd üreteceği toplm otomoil sısı kçtır? ). ve. sntimetreleri rsındki kütlesi kç grmdır? ) ) 6 ) 69 ) ) 6 ) 68

İntegral Uygulamaları

İntegral Uygulamaları İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim

Detaylı

4- SAYISAL İNTEGRAL. c ϵ R olmak üzere F(x) fonksiyonunun türevi f(x) ise ( F (x) = f(x) ); denir. f(x) fonksiyonu [a,b] R için sürekli ise;

4- SAYISAL İNTEGRAL. c ϵ R olmak üzere F(x) fonksiyonunun türevi f(x) ise ( F (x) = f(x) ); denir. f(x) fonksiyonu [a,b] R için sürekli ise; 4- SAYISAL İNTEGRAL c ϵ R olmk üzere F() onksiyonunun türevi () ise ( F () = () ); Z ` A d F ` c eşitliğindeki F()+c idesine, () onksiyonunun elirsiz integrli denir. () onksiyonu [,] R için sürekli ise;

Detaylı

Örnek...2 : x=2, x=4, y=2, y= 5 doğruları arasında kalan

Örnek...2 : x=2, x=4, y=2, y= 5 doğruları arasında kalan KAT CİSİMLERİN HACİMLERİ Örnek...2 : =2, =4, =2, = 5 doğrulrı rsınd kln ölgenin O ekseni etrfınd 360 o döndürülm esi le oluşck ktı cism in hcm ini ulunuz İNTEGRAL İLE HACİM HESAB 1. X EKSENİNDE DÖNDÜRMELER

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.

Detaylı

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü,

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü, 005 ÖSS SIN KPYSI SYISL ÖLÜM İKKT! U ÖLÜME EVPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. İlk 45 Soru Son 45 Soru Mtemtiksel İlişkilerden Yrrlnm Gücü, Fen ilimlerindeki Temel Kvrm ve İlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir.

Detaylı

LOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm

LOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm LOGARİTMA Üstel Fonksion >0 ve olmk üzere f:r R +, f() = şeklindeki fonksionlr üstel fonksion denir. Üstel fonksionlr birebir ve örtendir. f:r R +, f()=( ) bğıntısının üstel fonksion olup olmdığını inceleiniz.

Detaylı

Ünite 5 ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. 5.1. Üstel Fonksiyon. 5.2. Logaritma Fonksiyonu. 5.3. Üstel ve Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler

Ünite 5 ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. 5.1. Üstel Fonksiyon. 5.2. Logaritma Fonksiyonu. 5.3. Üstel ve Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler Ünite ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR f() g() log.. Üstel Fonksion / / / /.. Logritm Fonksionu.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR KAZANIM ve İÇERİK.

Detaylı

AKM 205-BÖLÜM 4-UYGULAMA SORU VE ÇÖZÜMLERİ

AKM 205-BÖLÜM 4-UYGULAMA SORU VE ÇÖZÜMLERİ AKM 5-BÖÜM -UYGUAMA SORU VE ÇÖZÜMERİ 1. Aşğıd erilen dimi, iki otl ız lnını dikkte lınız: V (, ) (.66.1) i (.7.1) j B kış lnınd ir drm noktsı r mıdır? Vrs nerededir? Kller: 1. Akış dimidir.. Akış -otldr.

Detaylı

11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS)

11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS) ÇMR ÖSS SRULRI 1., ve noktlrı merkezli çember üzerinde m( ) = m( ) =. ir dik üçgeni için, = cm ve = 4 cm olrk veriliyor. Merkezi, yrıçpı [] oln bir çember, üçgenin kenrını ve noktlrınd kesiyor. un göre,

Detaylı

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.

Detaylı

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2) 009 - ÖSS / MT- MTEMTİK TESTİ (Mt ). u testte sırsıl, Mtemtik ( 8) Geometri (9 7) nlitik Geometri (8 0) lnlrın it 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için rıln kısmın işretleiniz..

Detaylı

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0

Detaylı

Bilgisayar Destekli Tasarım/İmalat Sistemlerinde Kullanılan Modelleme Yöntemleri: Bézier ve Tiriz Eğrileri ve İmalat Uygulamaları

Bilgisayar Destekli Tasarım/İmalat Sistemlerinde Kullanılan Modelleme Yöntemleri: Bézier ve Tiriz Eğrileri ve İmalat Uygulamaları Bilgisr Destekli Tsrım/İmlt Sistemlerinde Kllnıln Modelleme Yöntemleri: Béier ve Tiri Eğrileri ve İmlt Uglmlrı Bilimsel Hesplm II Dönem Projesi Hmdi Ndir Trl İçerik. Giriş. Bilgisrlı Destekli Tsrım (CAD

Detaylı

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 998 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Üç bsmklı bir doğl syısının ktı, iki bsmklı bir y doğl syısın eşittir. 7 Bun göre, y doğl syısı en z kç olbilir? A) B) C) 8 D) E) Çözüm y 7 7y (, en küçük bsmklı,

Detaylı

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS Rsonel Sılr YILLAR 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0 ÖSS-YGS RASYONEL SAYILAR KESĐR: Z ve 0 olmk üzere şeklindeki ifdelere kesir denir p pd kesirçizgisi KESĐR ÇEŞĐTLERĐ: kesri için i) < ise kesir sit kesirdir

Detaylı

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : Örnek...4 : a 3 DÜZGÜN ALTIGEN DÜZGÜN ALTIGEN TANIM VE ÖZELLİKLERİ. ABCDEF düzgün

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : Örnek...4 : a 3 DÜZGÜN ALTIGEN DÜZGÜN ALTIGEN TANIM VE ÖZELLİKLERİ. ABCDEF düzgün ÜZGÜN TIGN ( ÜZGÜN TIGN TNIMI, ÖZİİ V NI ĞNİM ) ÜZGÜN TIGN Örnek...2 : TNIM V ÖZİİ enr syısı 6 oln çok - gene lt ıgen denir. ltıgeni için [], [] ve [] köşegenlerinin kesim noktsı oln noktsı dü zgün ltıge

Detaylı

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen ÇONLR Çokgenler rdışık en z üç noktsı doğrusl olmyn, düzlemsel şekillere çokgen denir. Çokgenler kenr syılrın göre isimlendirilirler. Üçgen, dörtgen, beşgen gibi. ışbükey (onveks) ve İçbükey (onkv) Çokgenler

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER Sf No..................................................... - 7 Denklem ve Eşitsizlikler Konu Özeti............................................. Konu Testleri ( 0)..........................................................

Detaylı

KPSS ÇEVİR KONU - ÇEVİR SORU MATEMATİK

KPSS ÇEVİR KONU - ÇEVİR SORU MATEMATİK MTEMTİK KPSS ÇEVİR KONU - ÇEVİR SORU MTEMTİK EDİTÖR Turgut MEŞE YZR İdris DOĞN ütün hklrı Editör Yyınlrın ittir. Yyınevinin izni olmksızın, kitbın tümünün vey bir kısmının bsımı, çoğltılmsı ve dğıtımı

Detaylı

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS Ferdinnd P. Beer E. Russell Johnston, Jr. Ders Notu: Hri ACAR İstnbul Teknik Üniveristesi Tel: 85 1 46 / 116 E-mil: crh@itu.edu.tr Web: http://tls.cc.itu.edu.tr/~crh

Detaylı

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit

Detaylı

KONİKLER KONİKLER...318-357. Sayfa No. r=a A O A. Asal çember. x 2 + y 2 = a 2

KONİKLER KONİKLER...318-357. Sayfa No. r=a A O A. Asal çember. x 2 + y 2 = a 2 Sf No.........................................................8-7 Prol....................................................................... 9 - Etkinlikler.....................................................................

Detaylı

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri

Detaylı

FONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

FONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - LYS - - - - - - - - FONKSĐYONLAR A ve B oşn frklı iki küme olsun A dn B ye tnımlı f fonksiyonu f : A B ile gösterilir A y tnım kümesi, B ye

Detaylı

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir?

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir? 98 ÜYS Sorulrı. r top kumşın önce, sonr d klnın ü 5 stılıor. Gere 6 m kumş kldığın göre, kumşın tümü kç metredr? ) 7 ) 65 ) 6 ) 55 ) 5 4. r şekln, u brm uzunluğun göre ln ölçüsü, v brm uzunluğun göre ln

Detaylı

ÜÇGENDE AÇI-KENAR BAĞINTILARI

ÜÇGENDE AÇI-KENAR BAĞINTILARI ÜÇGN ÇI-NR ĞINTILRI ir üçgende üük çı krşısınd üük kenr, küçük çı krşısınd küçük kenr ulunur. 3 Şekildeki verilere göre, en uzun kenr şğıdkilerden hngisidir? 3 3 üçgeninde, kenrlr rsınd > > ğıntısı vrs,

Detaylı

İÇİNDEKİLER ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06

İÇİNDEKİLER ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06 PROBLEMLER İÇİNDEKİLER Syf No Test No ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06 SAYI PROBLEMLERİ... 299-314... 01-08 YAŞ PROBLEMLERİ...

Detaylı

Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN 978-605-364-027-1. Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN 978-605-364-027-1. Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 0 DENEME SINAVI ISBN 97-0--07- Kitpt yer ln ölümlerin tüm sorumluluğu yzrın ittir. Pegem Akdemi Bu kitın sım, yyın ve stış hklrı Pegem Akdemi Yy. Eğt. Dn. Hizm. Tic. Ltd. Şti

Detaylı

http://www.metinyayinlari.com Metin Yayınları

http://www.metinyayinlari.com Metin Yayınları LİMİT İÇ KAPAK Bu kitbı bütü ı hklrı sklıdır. Tüm hklrı, zrlr ve METİN YAYINLARI ittir. Kısme de ols lıtı pılmz. Meti, biçim ve sorulr, ıml şirketi izi olmksızı, elektroik, mekik, fotokopi d herhgi bir

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER. Kznım : Gerçek syılr kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir.. Kznım : Gerçek

Detaylı

UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-1

UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-1 UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-. A(,, ) ve B(,, ) noktlrı rsındki uklık kç birimdir? 6. A e e e B e e e AB vektörü ile nı doğrultud ıt öndeki birim vektör şğıdkilerden ( e e e ). A(, b, ) B(,, ) noktlrı ve U

Detaylı

İNTEGRAL KONU ANLATIMI ÖRNEKLER

İNTEGRAL KONU ANLATIMI ÖRNEKLER İNTEGRL KONU NLTIMI ÖRNEKLER Ġtgrl lmk, türi ril ir oksio lmk tır d,, d oksio olrk rildiğii =F i istdiğii rslım d içi i cid idsi: d = + dir, hrhgi ir sit df d koģl sğl = F oksio i gör itgrli dir d F içimid

Detaylı

BÖLÜM 3 : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ

BÖLÜM 3 : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ BÖLÜM : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ (Rndom Vribles Giriş: Bölüm de olsılık fonksionu, denein örneklem uzını oluşurn sonuçlrın erimleri ile belirleniordu. Örneğin; iki zr ıldığınd, P gelen 6 olsı sırlı ikilinin

Detaylı

Belirsiz İntegral...415. İntegral Alma Yöntemleri... 425 Değişken Değiştirme Yöntemi... 425

Belirsiz İntegral...415. İntegral Alma Yöntemleri... 425 Değişken Değiştirme Yöntemi... 425 Belisiz İntegl... İntegl Alm Yöntemlei... Değişken Değiştime Yöntemi... d c Biçimindeki İnteglle... 9 A B d Biçimindeki integlle... c Kesili Fonksionlın İntegli... 8 Tigonometik Fonksionlın İntegli...

Detaylı

Çevre ve Alan. İlköğretim 6. Sınıf

Çevre ve Alan. İlköğretim 6. Sınıf Çevre ve Aln İlköğretim 6. Sınıf Çevre Merhb,ilk olrk seninle birlikte evin çevresini bulmy çlışlım Kırmızı çizgiler evin çevre uzunluğunu verir. Çevre Şimdi sır futbol shsınd Çevre Şimdi,Keloğlnın Pmuk

Detaylı

Anadolu Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması 2015-2016 Güz Dönemi

Anadolu Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması 2015-2016 Güz Dönemi Andolu Üniversitesi Mühendislik Fkültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Plnlmsı 2015-2016 Güz Dönemi 2 Tesis (fcility) Tesis : Belli bir iş için kurulmuş ypı Tesis etmek :

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d

Detaylı

ÜÇGENĠN ĠÇĠNDEKĠ GĠZEMLĠ ALTIGEN

ÜÇGENĠN ĠÇĠNDEKĠ GĠZEMLĠ ALTIGEN ÖZEL EGE ORTAOKULU ÜÇGENĠN ĠÇĠNDEKĠ GĠZEMLĠ ALTIGEN HAZIRLAYAN ÖĞRENCĠLER: Olçr ÇOBAN Sevinç SAYAR DANIġMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL AÇIKSÖZ ĠZMĠR 2014 ĠÇĠNDEKĠLER 1. PROJENĠN AMACI... 2 2. GĠRĠġ... 2 3.

Detaylı

Kesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi

Kesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi Kesir.. Trlı lnı gösteren kesri bulunuz. kesrini ile genişlettiğimizde elde edilecek kesri bulunuz.. Yndki şekilde bir bütün 8 eş prçy bölünmüş ve bu prçlrdn tnesi trnmıştır. Trlı lnı gösteren kesir syısı

Detaylı

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7.

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7. MC. + + +.. Rsyonel Syılr TEST I sonsuz kesrinin eşiti kçtır? A) B) C) D) E) 4 www.mtemtikclu.com, 006 Ceir Notlrı. 8. Gökhn DEMĐR, gdemir@yhoo.com.tr 0;0 0;0008 = 0; x ise x kçtır? A) 0,0 B) 0,000 C)

Detaylı

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir.

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir. LOGARİTMA I. Üstl Fonksiyonlr v Logritmik Fonksiyonlr şitliğini sğlyn dğrini bulmk için ypıln işlm üs lm işlmi dnir. ( =... = 8) y şitliğini sğlyn y dğrini bulmk için ypıln işlm üslü dnklmi çözm dnir.

Detaylı

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24.

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24. DENKLEM ÇÖZME + + = 0 + = 0 + = 0 + y = 0 İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden İki ilinmeyenli

Detaylı

1. Değişkenler ve Eğriler: Matematiksel Hatırlatma

1. Değişkenler ve Eğriler: Matematiksel Hatırlatma DERS NOTU 01 Son Hli Değildir, tslktır: Ekleme ve Düzenlemeler Ypılck BİR SOSYAL BİLİM OLARAK İKTİSAT VE TEMEL KAVRAMLAR 1 Bugünki dersin işleniş plnı: 1. Değişkenler ve Eğriler: Mtemtiksel Htırltm...

Detaylı

İŞ ETKİ ÇİZGİSİ TEOREMİ. Balıkesir Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi İnşaat Müh. Bölümü Balıkesir, TÜRKİYE THEOREM OF WORK INFLUENCE LINE

İŞ ETKİ ÇİZGİSİ TEOREMİ. Balıkesir Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi İnşaat Müh. Bölümü Balıkesir, TÜRKİYE THEOREM OF WORK INFLUENCE LINE BAÜ Fen Bil. Enst. Dergisi (006).8. İŞ ETKİ ÇİZGİSİ TEOREMİ Scit OĞUZ, Perihn (Krkulk) EFE Blıkesir Üniversitesi Mühendislik Mimrlık Fkültesi İnşt Müh. Bölümü Blıkesir, TÜRKİYE ÖZET Bu çlışmd İş Etki Çizgisi

Detaylı

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

Detaylı

Ünite Planı Şablonu. Öğretmenin. Fatma BAĞATARHAN Yunus Emre Anadolu Lisesi. Ġnönü Mahallesi. Bingöl. Adı, Soyadı. Okulunun Adı

Ünite Planı Şablonu. Öğretmenin. Fatma BAĞATARHAN Yunus Emre Anadolu Lisesi. Ġnönü Mahallesi. Bingöl. Adı, Soyadı. Okulunun Adı Intel Öğretmen Progrmı Ünite Plnı Şlonu Öğretmenin Adı, Soydı Okulunun Adı Okulunun Bulunduğu Mhlle Okulun Bulunduğu Ġl Ftm BAĞATARHAN Yunus Emre Andolu Lisesi Ġnönü Mhllesi Bingöl Ünit Bilgisi Ünite Bşlığı

Detaylı

MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1)

MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1) ÖSS MT-1 / 008 MTMTİK 1 TSTİ (Mt 1) 1. u testte 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik 1 Testi için yrıln kısmın işretleyiniz. 1. 1 + 4 1 ( ) 4. syısı b 0 ) b syısının kç ktıdır? ) b ) b işleminin

Detaylı

FRENLER 25.02.2012 FRENLERİN SINIFLANDIRILMASI

FRENLER 25.02.2012 FRENLERİN SINIFLANDIRILMASI RENLER RENLER renler çlışmlrı itiriyle kvrmlr enzerler. Kvrmlr ir hreketin vey momentin diğer trf iletilmesini sğlrlr ve kıs ir süre içinde iki trftki hızlr iririne eşit olur. renler ise ir trftki hreketi

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

BİREYSEL YARIŞMA SORULARI. IV. BAHATTİN TATIŞ MATEMATİK YARIŞMASI Bu test 30 sorudan oluşmaktadır. 2 D) a = olduğuna göre, a 1 1. 4 2 3 + 1 4.

BİREYSEL YARIŞMA SORULARI. IV. BAHATTİN TATIŞ MATEMATİK YARIŞMASI Bu test 30 sorudan oluşmaktadır. 2 D) a = olduğuna göre, a 1 1. 4 2 3 + 1 4. IV. HTTİN TTIŞ MTEMTİK YRIŞMSI u test 30 sorudn oluşmktdır. İREYSEL YRIŞM SORULRI 1. 4 3 + 1 4. 3 3 + = + 1 + 1 denkleminin çözüm kümesi şğıdkilerden hngisidir? ) 5 3 ) ) 3 D) 13 3 ) { 0 } ) { 1} ) { }

Detaylı

DERS 12. Belirli İntegral

DERS 12. Belirli İntegral DERS Belili İntegl.. Bi eği ltınd kln ln. Bi [, ] kplı lığı üzeinde süekli i onksionu veilmiş olsun ve e [, ] için olduğunu kul edelim. in giği ile ekseni sınd kln ölgenin lnı ile u deste göeeğimiz elili

Detaylı

ÜÇGEN VE PİSAGOR BAĞINTISI

ÜÇGEN VE PİSAGOR BAĞINTISI ÜÇGEN VE PİSGOR ĞINTISI KZNIMLR Üçgen kvrmı Üçgen çizimi Üçgenin kenrlrı rsındki ğıntılr Üçgen eşitsizliği Üçgenlerde yükseklik Üçgenlerde kenrorty Üçgenlerde çıorty Kenr ort dikme kvrmı Pisgor ğıntısı

Detaylı

ORAN ORANTI ORAN ORANTI ORANTININ ÖZELLİKLERİ ÖRNEK - 1 TANIM. x ve y tamsayıdır. x y

ORAN ORANTI ORAN ORANTI ORANTININ ÖZELLİKLERİ ÖRNEK - 1 TANIM. x ve y tamsayıdır. x y ORAN ORANTI TANIM Anı irimden iki çokluğun iririle krşılştırılmsın orn denir. ornınd ve nı irimden olduğu için nin irimi oktur. ÖRNEK - 1 ve tmsıdır. = ve + = 0 olduğun göre, kçtır? A) 1 B) C) 0 9 D) 1

Detaylı

LOGARİTMA Test -1. olduğuna göre, x kaçtır? olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 B) 9 C) 16 D) 64 E) 81.

LOGARİTMA Test -1. olduğuna göre, x kaçtır? olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 B) 9 C) 16 D) 64 E) 81. LOGARİTMA Test -. olduğun göre, şğıdkilerden log log log. log olduğun göre, kçtır? 6 6 8. olduğun göre, şğıdkilerden 6. logm olduğun göre, m kçtır? log log log 6 log 6. olduğun göre, şğıdkilerden log log

Detaylı

9. SINIF GEOMETRİ KONU ANLATIMLI SORU BANKASI

9. SINIF GEOMETRİ KONU ANLATIMLI SORU BANKASI 9. SINI GMTRİ NU NLTIMLI SRU NSI u kitb n her hkk skl d r ve kstrem Y nc l k ittir. itb it metin ve sorulr, knk gösterilerek de ols kulln lmz. itb n hz rln fl öntemi tklit edilemez. ISN : 978 0 7 0 steme

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012 Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi e Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.8. ta rih ve sa ı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve - Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren u gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır

Detaylı

YÜZDE VE FAĐZ PROBLEMLERĐ

YÜZDE VE FAĐZ PROBLEMLERĐ YILLAR 00 003 00 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS 3 1 1 1 3 YÜZDE VE FAĐZ PROBLEMLERĐ YÜZDE: Bir syının yüzde sı= dır ÖRNEK(1) % i 0 oln syıyı bullım syımız olsun 1 = 0 = 0 ÖRNEK() 800 ün % ini bullım

Detaylı

Mobil Test Sonuç Sistemi. Nasıl Kullanılır?

Mobil Test Sonuç Sistemi. Nasıl Kullanılır? Mobil Test Sonuç Sistemi Nsıl ullnılır? Tkdim Sevgili Öğrenciler ve eğerli Öğretmenler, ğitimin temeli okullrd tılır. İyi bir okul eğitiminden geçmemiş birinin hytt bşrılı olmsı beklenemez. Hedefe ulşmks

Detaylı

DENEY 3: EŞDEĞER DİRENÇ, VOLTAJ VE AKIM ÖLÇÜMÜ

DENEY 3: EŞDEĞER DİRENÇ, VOLTAJ VE AKIM ÖLÇÜMÜ A. DENEYĠN AMACI : Direnç devrelerinde eşdeğer direnç ölçümü ypmk. Multimetre ile voltj ve kım ölçümü ypmk. Ohm knununu sit ve prtik devrelerde nlmy çlışmk. B. KULLANILACAK AAÇ VE MALZEMELE : 1. DC güç

Detaylı

YAYINA HAZIRLAYANLAR

YAYINA HAZIRLAYANLAR rif ŞYKKUYN Her hkkı sklıdır ve MVSİM SIM YY. Ğ. PZ. SN ve Tİ. LT. ŞTİ ne ittir. Metinler, örnekler, lıştırmlr nen d değiştirilerek lınmz, fotokopi ve bşk bir oll çoğltılrk kullnılmz. YYIN HZIRLYNLR ditör

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

DOĞRUDA AÇILAR. Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar. Açı Ölçü Birimleri. Açı Türleri. çözüm. kavrama sorusu

DOĞRUDA AÇILAR. Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar. Açı Ölçü Birimleri. Açı Türleri. çözüm. kavrama sorusu OĞRU ÇILR Temel Kvrmlr ve oğrud çılr Nokt: Nokt geometrinin en temel terimidir. ni, boyu vey yüksekliği yoktur. İnce uçlu bir klemin kğıt üzerinde bırktığı iz olrk düşünebilirsiniz. oğru: üz, klınlığı

Detaylı

YGS GEOMETRİ KONU ANLATIMLI SORU BANKASI

YGS GEOMETRİ KONU ANLATIMLI SORU BANKASI YGS GMTRİ NU NLTIMLI SRU NSI u kitb n her hkk skl d r ve kstrem Y nc l k ittir. itb it metin ve sorulr, knk gösterilerek de ols kulln lmz. itb n hz rln fl öntemi tklit edilemez. ISN : 978 0 0 7 0 steme

Detaylı

1984 ÖSS. 6. a, b, c birer pozitif sayı ve. olduğuna göre, a, b, c arasındaki bağlantılardan hangisi doğrudur? 7. a, b, c birer tamsayı olmak üzere

1984 ÖSS. 6. a, b, c birer pozitif sayı ve. olduğuna göre, a, b, c arasındaki bağlantılardan hangisi doğrudur? 7. a, b, c birer tamsayı olmak üzere 984 ÖSS 033 0. = x 0 olduğun göre x in değeri nedir? A) 0063 B) 063 C) 63 D) 63 E) 630. 6. b c birer pozitif syı ve b c = = 03 04 05 olduğun göre b c rsındki bğlntılrdn hngisi doğrudur? A) c

Detaylı

ÇÖZÜMLER. 3. I. Ortam sürtünmesiz ise, a) Di na mi ğin te mel pren si bi sis te me uy gu lan dığın 30 T 1 T 1. II. Ortamın sürtünme katsayısı 0,1 ise,

ÇÖZÜMLER. 3. I. Ortam sürtünmesiz ise, a) Di na mi ğin te mel pren si bi sis te me uy gu lan dığın 30 T 1 T 1. II. Ortamın sürtünme katsayısı 0,1 ise, BÖÜM DİNAMİ AIŞIRMAAR ÇÖZÜMER DİNAMİ 1 4kg 0N yty M düzle rsınd : rsınd cisin ivesi /s olduğundn cise uygulnn kuvvet, 1 4 0 N olur M rsınd : M rsınd cisin ivesi /s olduğundn cise etki eden sürtüne kuvveti,

Detaylı

Komisyon. ALES EŞİT AĞRILIK ve SAYISAL ADAYLARA TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 978-605-364-214-5

Komisyon. ALES EŞİT AĞRILIK ve SAYISAL ADAYLARA TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 978-605-364-214-5 Komisyon LES EŞİT ĞRILIK ve SYISL DYLR TMMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 97-605-36-1-5 Kitpt yer ln ölümlerin tüm sorumluluğu yzrın ittir. Pegem kdemi Bu kitın sım, yyın ve stış hklrı Pegem kdemi Yy. Eğt. Dn.

Detaylı

GERİLME VE ŞEKİL DEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜM BAĞINTILARI

GERİLME VE ŞEKİL DEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜM BAĞINTILARI GERİLME VE ŞEKİL DEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜM BAĞINTILARI Q z Genel ükleme durumund, ir Q noktsını üç outlu olrk temsil eden küik gerilme elemnı üzerinde 6 ileşeni gösterileilir: σ, σ, σ z, τ, τ z, τ z. Söz konusu

Detaylı

ege yayıncılık Oran Orant Özellikleri TEST : 91 a + 3b a b = 5 2 0,44 0,5 = 0,22 oldu una göre, a + b en az kaçt r? A) 3 B) 11 C) 14 D) 15 E) 16

ege yayıncılık Oran Orant Özellikleri TEST : 91 a + 3b a b = 5 2 0,44 0,5 = 0,22 oldu una göre, a + b en az kaçt r? A) 3 B) 11 C) 14 D) 15 E) 16 Orn Ornt Özellikleri TEST : 91 1. 0,44 0,5 = 0,22 5. + 3 = 5 2 2. 3. 4. oldu un göre, kçt r? A) 0,2 B) 0,25 C) 0,5 D) 0,6 E) 0,75 y = 3 4 + y oldu un göre, y orn kçt r? A) 7 B) 1 C) 1 D) 7 E) 10 oldu un

Detaylı

2002 ORTA ÖĞRETİM KURUMLARI ÖĞRENCİ SEÇME VE YERLEŞTİRME SINAVI MATEMATİK TESTİ 10. 10 10. aşağıdakilerden hangisidir? A) 0,01 B) 0,1 C) 10 D) 100

2002 ORTA ÖĞRETİM KURUMLARI ÖĞRENCİ SEÇME VE YERLEŞTİRME SINAVI MATEMATİK TESTİ 10. 10 10. aşağıdakilerden hangisidir? A) 0,01 B) 0,1 C) 10 D) 100 22 ORTA ÖĞRETİ URUARI ÖĞRECİ EÇE VE YEREŞTİRE IAVI ATEATİ TETİ 1. 3 2 1 1. 1 1. 1 : işleminin sonucu 7 1. 1 1 şğıdkilerden hngisidir? A),1 B),1 C) 1 D) 1 2. O P R T U V Yukrıdki syı doğrusund birbirine

Detaylı

DENEY 6 THEVENIN, NORTON, DOĞRUSALLIK VE TOPLAMSALLIK KURAMLARININ UYGULAMALARI

DENEY 6 THEVENIN, NORTON, DOĞRUSALLIK VE TOPLAMSALLIK KURAMLARININ UYGULAMALARI T.C. Mltepe Üniversitesi Mühendislik ve Doğ Bilimleri Fkültesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü ELK 201 DEVRE TEORİSİ DERSİ LABORATUVARI DENEY 6 THEVENIN, NORTON, DOĞRUSALLIK VE TOPLAMSALLIK KURAMLARININ

Detaylı

BULANIK MANTIK. Gaziosmanpaşa Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, Tokat.

BULANIK MANTIK. Gaziosmanpaşa Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, Tokat. Nim Çğmn, ncgmn@gop.edu.tr BLNIK MNTIK Gziosmnpş Üniversitesi, Fen Edebiyt Fkültesi, Mtemtik Bölümü, Tokt. Mtemtik deyince ilk kl gelen kesinliktir. Hlbuki günlük hytt konuşmlrımız rsınd belirsizlik içeren,

Detaylı

Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net. EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ www.izmirkpsskursu.net 0 232 445 21 25

Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net. EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ www.izmirkpsskursu.net 0 232 445 21 25 EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ 0 5 5 DÜZLEMDE ÇILR Prlel Ġki Doğrunun Bir Kesenle Yptığı çılr: Tnım: Bşlngıç noktsı ortk iki ışının irleşim kümesine çı denir. d 6 5 d 7 8 O OB OB = BO ÇI ÇEġĠTLERĠ. Dr çı: Ölçüsü

Detaylı

Yerel Topluluklar ve Yönetimler Arasında Sınır-Ötesi Đşbirliği Avrupa Çerçeve Sözleşmesine Ek Protokol

Yerel Topluluklar ve Yönetimler Arasında Sınır-Ötesi Đşbirliği Avrupa Çerçeve Sözleşmesine Ek Protokol Yerel Topluluklr ve Yönetimler Arsınd Sınır-Ötesi Đşirliği Avrup Çerçeve Sözleşmesine Ek Protokol Strsourg 9 Xl 1995 Avrup Antlşmlrı Serisi/159 Yerel Topluluklr vey Yönetimler rsınd Sınır-ötesi Đşirliği

Detaylı

steme Adresi Ekstrem Yayıncılık Tlf: (0322) 235 64 65 Belgeç : (0322) 232 86 27 www.ekstrem.com.tr Grafik Tasar m Dizgi Ekstrem Yay nc l k

steme Adresi Ekstrem Yayıncılık Tlf: (0322) 235 64 65 Belgeç : (0322) 232 86 27 www.ekstrem.com.tr Grafik Tasar m Dizgi Ekstrem Yay nc l k u kit n her hkk skl d r ve kstrem Y nc l k ittir. Kit it metin ve sorulr, knk gösterilerek de ols kulln lmz. Kit n hz rln fl öntemi tklit edilemez. ISN: 978 0 9 8 9 steme dresi kstrem Yıncılık Tlf: (0)

Detaylı

B - GERĐLĐM TRAFOLARI:

B - GERĐLĐM TRAFOLARI: ve Seg.Korum_Hldun üyükdor onrım süresinin dh uzun olmsı yrıc rnın izole edilmesini gerektirmesi; rızlnmsı hlinde r tdiltını d gerektireilmesi, v. nedenlerle, özel durumlr dışınd tercih edilmezler. - GERĐLĐM

Detaylı

3N MOBİL HABERLEŞME HİZMETLERİNDE HİZMET KALİTESİ ÖLÇÜTLERİNİN ELDE EDİLMESİNE İLİŞKİN TEBLİĞ

3N MOBİL HABERLEŞME HİZMETLERİNDE HİZMET KALİTESİ ÖLÇÜTLERİNİN ELDE EDİLMESİNE İLİŞKİN TEBLİĞ 3N MOBİL HABERLEŞME HİZMETLERİNDE HİZMET KALİTESİ ÖLÇÜTLERİNİN ELDE EDİLMESİNE İLİŞKİN TEBLİĞ BİRİNCİ BÖLÜM Aç, Kps, Dynk, Tnılr ve Kısltlr Aç MADDE 1 (1) Bu Tebliğin cı, IMT 2000/UMTS Altypılrının Kurulsı

Detaylı

1.6 ELEKTROMOTOR KUVVET VE POTANSİYEL FARK

1.6 ELEKTROMOTOR KUVVET VE POTANSİYEL FARK .6 ELEKTROMOTOR KUVVET VE POTANSİYEL FARK İki uundn potnsiyel frk uygulnmış metl iletkenlerde, serest elektronlr iletkenin yüksek potnsiyeline doğru çekilirler. Elektrik kımını oluşturn, elektronlrın u

Detaylı

Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207. Temel Elektronik-I. Doç. Dr. Hüseyin Sarı

Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207. Temel Elektronik-I. Doç. Dr. Hüseyin Sarı Ankr Üniversitesi Mühendislik Fkültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207 Temel ElektronikI Doç. Dr. Hüseyin Srı 2. Bölüm: Dirençli Devreler İçerik Temel Yslrın Doğrudn Uygulnışı Kynk Gösterimi ve Dönüşümü

Detaylı

ORAN VE ORANTI Tekrar Zamanı Çözümlü Test 1 Çözümlü Test 2 Uygulama Zamanı 1 Tekrar Zamanı Çözümlü Test 1 Çözümlü Test 2 KESİR PROBLEMLERİ

ORAN VE ORANTI Tekrar Zamanı Çözümlü Test 1 Çözümlü Test 2 Uygulama Zamanı 1 Tekrar Zamanı Çözümlü Test 1 Çözümlü Test 2 KESİR PROBLEMLERİ İÇİNDEKİLER ORAN VE ORANTI Orn Kvrmı... Orntı Kvrmı... Orntı Elemnlrının Yer Değiştirmesi... İçler Dışlr Çrpımı Prolemleri...4 Orntıyı Sitleme-I... Orntıyı Sitleme-II...6 Orntıyı Sitleme-III...7 Uygulm

Detaylı

MALTA HAÇI MEKANİZMASININ KİNEMATİĞİ ÜZERİNE

MALTA HAÇI MEKANİZMASININ KİNEMATİĞİ ÜZERİNE MALTA HAÇI MEKANİZMASININ KİNEMATİĞİ ÜZERİNE Yrdımcı Doçent Doktor Yılmz YÜKSEL 1. GİRİŞ Tekstil Mklnlrmd hmmddeyi mmul mdde hline getirirken çoğu kere bir çok teknik iş belirli bir sıry göre rdrd ypılmktdır.

Detaylı

Parabol, Elips ve Hiperbol Cebirsel Tan mlar ve Geometrik Çizimler

Parabol, Elips ve Hiperbol Cebirsel Tan mlar ve Geometrik Çizimler Mtemtik Düns, 2005 Yz Kpk Konusu: Konikler Geçen z d, ir koni in denkleminin, düzlemin eksenlerini döndürerek ve öteleerek, 0, c ve ƒ sitleri için, 2 + c 2 = 0, 2 = ƒ, 2 + c 2 = 1, d = 2 içiminde z lilece

Detaylı

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI EĞİTİM TEKNOLOJİLERİ GENEL MÜDÜRLÜĞÜ Ölçme Değerlendirme ve Açıköğretim Kurumları Daire Başkanlığı

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI EĞİTİM TEKNOLOJİLERİ GENEL MÜDÜRLÜĞÜ Ölçme Değerlendirme ve Açıköğretim Kurumları Daire Başkanlığı T.C. MİLLÎ EĞİTİM BKNLIĞI EĞİTİM TEKNOLOJİLERİ GENEL MÜDÜRLÜĞÜ Ölçme Değerlendirme ve çıköğretim Kurumlrı Dire Bşknlığı KİTPÇIK TÜRÜ T.C. SĞLIK BKNLIĞI PERSONELİNİN UNVN DEĞİŞİKLİĞİ SINVI 43. GRUP: ELEKTRİK

Detaylı

ÜNİTE - 9 GEOMETRİK CİSİMLER

ÜNİTE - 9 GEOMETRİK CİSİMLER ÜNİ - 9 GMRİK İSİMLR KI İSİMLRİN YÜZY LNLRI V İMLRİ RİZMLR Q ve Q birbirine prlel iki düzlem olsun. iri, diğeri Q düzlemindeki birbirine eş iki çokgenin köşeleri krşılıklı olrk birleştirilirse elde edilen

Detaylı

steme Adresi Ekstrem Yayıncılık Tlf: (0322) 235 64 65 Belgeç : (0322) 232 86 27 www.ekstrem.com.tr Grafik Tasar m Dizgi Ekstrem Yay nc l k

steme Adresi Ekstrem Yayıncılık Tlf: (0322) 235 64 65 Belgeç : (0322) 232 86 27 www.ekstrem.com.tr Grafik Tasar m Dizgi Ekstrem Yay nc l k u kit n her hkk skl d r ve kstrem Y nc l k ittir. Kit it metin ve sorulr, knk gösterilerek de ols kulln lmz. Kit n hz rln fl öntemi tklit edilemez. ISN: 978 0 9 8 9 steme dresi kstrem Yıncılık Tlf: (0)

Detaylı

Milli Eğitim Bakanlığı, Talim ve Terbiye Kurulu Bakanlığı'nın 30.12.2010 tarih ve 330 sayılı kararı ile kabul edilen ve 2011 2012 Öğretim Yılından

Milli Eğitim Bakanlığı, Talim ve Terbiye Kurulu Bakanlığı'nın 30.12.2010 tarih ve 330 sayılı kararı ile kabul edilen ve 2011 2012 Öğretim Yılından Milli ğitim knlığı, Tlim ve Terbie urulu knlığı'nın 0.1.010 trih ve 0 sılı krrı ile kbul edilen ve 011 01 Öğretim Yılındn itibren ugulnck progrm göz önüne lınrk hzırlnmıştır. u kitb n her hkk skl d r ve

Detaylı

TEST - 1 KATI BASINCI. I. yarg do rudur. II. yarg yanl flt r. Buna göre, fiekil-i de K ve L cisimlerinin yere yapt klar bas nçlar eflit oldu una göre,

TEST - 1 KATI BASINCI. I. yarg do rudur. II. yarg yanl flt r. Buna göre, fiekil-i de K ve L cisimlerinin yere yapt klar bas nçlar eflit oldu una göre, TI BSINCI TEST - 1 1 1 π dir π Bun göre, 4 > 1 CEV B de ve cisimlerinin e ypt klr s nçlr eflit oldu un göre, SX S Z + 4 8 S Y I II III CEV B Tu llr n X, Y ve Z noktlr n ypt s nç, X S Y S Z S dir Bun göre,

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. ab iki basamaklı saısı b ile bölündüğünde, bölüm 5 ve kalan b 5 tir. u şartlara uan kaç farklı ab iki basamaklı saısı vardır? ) 5 6 7 5. a, b, c, d, e sıfırdan farklı tamsaılar

Detaylı

JOVO STEFANOVSKİ NAUM CELAKOSKİ. Sekizyıllık İlköğretim

JOVO STEFANOVSKİ NAUM CELAKOSKİ. Sekizyıllık İlköğretim JOVO STEFNOVSKİ NUM CELKOSKİ Sekizyıllık İlköğretim Syın Öğrenci! u kitp, ders proğrmınd öngörülen ders mlzemesini öğrenmek için yrdımcı olcktır. Vektörler, öteleme ve dönme hkkınd yeni ilginç bilgiler

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 1 BÖLÜM 1 KÜMELER VE SAYILAR 1.1 KÜMELER 1.1.1. TEMEL TANIMLAR Kesi ir tımı ypılmmkl erer,sezgisel olrk,kümeye iyi tımlmış iri iride frklı eseler topluluğudur diyeiliriz. Kümeyi meyd getire eselere kümei

Detaylı

1000(1,025) t TL ödeyerek bir fon. F t SORU 2 : SORU 1 : Bahar, t=1,3,5. yılların sonunda. Bir yatırım fonu, 0 t 1. için. anlık faiz oranına göre

1000(1,025) t TL ödeyerek bir fon. F t SORU 2 : SORU 1 : Bahar, t=1,3,5. yılların sonunda. Bir yatırım fonu, 0 t 1. için. anlık faiz oranına göre SORU 1 : Bhr, t=1,3,5. yıllrın sonund 1000(1,025) t TL ödeyerek bir fon oluşturmuştur. Üç ylığ dönüştürülebilir nominl iskonto ornı 4/41 olrk verildiğine göre, bu fonun 7. yıl sonundki birikimli değeri,

Detaylı

b göz önünde tutularak, a,

b göz önünde tutularak, a, 3.ALT GRUPLAR Tnım 3.. bir grup ve G, nin boş olmyn bir lt kümesi olsun. Eğer ( ise ye G nin bir lt grubu denir ve G ile gösterilir. ) bir grup Not 3.. ) grubunun lt grubu olsun. nin birimi ve nin birimi

Detaylı

TEST SORULARI Adı /Soyadı : No : İmza: STATİK FİNAL SINAVI. Öğrenci No

TEST SORULARI Adı /Soyadı : No : İmza: STATİK FİNAL SINAVI. Öğrenci No -0-00 dı /Sodı : No : İmz: STTİK FİN SINVI Öğrenci No 00000 z m Şekildeki kirişinde bğ kuvvetlerin bulunuz. =(+e)n/m, =5(+e)N m m Şekildeki ğırlıksız blok det pndül k ve noktsınd küresel mfsl ile dengededir.

Detaylı

MUTLAK DEĞER. a ε R olmak üzere; Mutlak Değer MATEMATĐK ĐM YILLAR 2002 203 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 14) GENEL ÖRNEKLER.

MUTLAK DEĞER. a ε R olmak üzere; Mutlak Değer MATEMATĐK ĐM YILLAR 2002 203 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 14) GENEL ÖRNEKLER. Mutlk Değer YILLAR 4 6 8 9 1 11 ÖSS-YGS - - - 1 - - 1 - - 1/1 MUTLAK DEĞER ε R olmk üzere;, -, ise < ise ve b reel syı olmk üzere; 1) dır Eğer ise dır ) 14) + n n Z olmk üzere dır 1) f ( ) > g( ) f ( )

Detaylı

BÖLÜM 5. MATRİS ve DETERMİNANTLAR 5.1. MATRİSLER. Taşkın, Çetin, Abdullayeva. reel sayılardan oluşan. olmak üzere tüm a.

BÖLÜM 5. MATRİS ve DETERMİNANTLAR 5.1. MATRİSLER. Taşkın, Çetin, Abdullayeva. reel sayılardan oluşan. olmak üzere tüm a. MTEMTİK BÖLÜM 5 Tşkın, Çetin, bdullyev MTRİS ve DETERMİNNTLR 5 MTRİSLER Tnım : mni,,, j + olmk üzere tüm ij reel syılrdn oluşn m m n n mn tblosun m x n tipinde bir mtrisi denir ve kısc şeklinde gösterilir

Detaylı

III. 6.ELEKTROMOTOR KUVVET VE DOĞRU AKIM DEVRELERİ.

III. 6.ELEKTROMOTOR KUVVET VE DOĞRU AKIM DEVRELERİ. 103. 6.ELEKTOMOTO KUVVET VE DOĞU AKM DEVELEİ..6.0l. ELEKTOMOTO KUVVET VE ELEKTİK DEVESİ. Bir iletkende devmlı olrk kım tutilmek için, iletkenin iki uçun potnsiyel frkı uygulnmsı gerekir. Bu potnsiyel frkı

Detaylı

Yükseköğretime Geçiş Sınavı (Ygs) / 1 Nisan 2012. Matematik Soruları ve Çözümleri

Yükseköğretime Geçiş Sınavı (Ygs) / 1 Nisan 2012. Matematik Soruları ve Çözümleri Yükseköğretime Geçiş Sınvı (Ygs) / Nisn 0 Mtemtik Sorulrı ve Çözümleri. 0,5, işleminin sonuu kçtır? 0,5 0, A) 5 B) 5,5 C) 6 D) 6,5 E) 7 Çözüm 0,5 0,5, 0, 05 50 5.5.4 5.5. 4 4 0 5 .. 4.6 6 işleminin sonuu

Detaylı

3. Bir integral bantlı fren resmi çizerek fren kuvveti ve fren açma işinin nasıl bulunduğunu adım adım gösteriniz (15p).

3. Bir integral bantlı fren resmi çizerek fren kuvveti ve fren açma işinin nasıl bulunduğunu adım adım gösteriniz (15p). Ü L E Y M A N D E M Ġ R E L Ü N Ġ V E R Ġ T E Ġ M Ü H E N D Ġ L Ġ K F A K Ü L T E Ġ M A K Ġ N A M Ü H E N D Ġ L Ġ Ğ Ġ B Ö L Ü M Ü I. öğrtim II. öğrtim MAK-43 MT-Trnsport Tkniği ÖĞRENCĠ ADI OYADI NUMARA

Detaylı