Metin Yayınları

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "http://www.metinyayinlari.com Metin Yayınları"

Transkript

1 İNTEGRAL İÇ KAPAK

2 B kitın ütün ın hklrı sklıdır. Tüm hklrı, zrlr ve METİN YAYINLARI n ittir. Kısmen de ols lıntı pılmz. Metin, içim ve sorlr, ımln şirketin izni olmksızın, elektronik, meknik, fotokopi d herhngi ir kıt sistemile çoğltılmz, ımlnmz. İSBN METİN YAYINLARI Tel: Metin Yınlrı Yzrlr Gökhn METİN Müjdt ERAN Doç. Dr. Ahn TUTAR Bilimsel İnceleme Aşen KÜTAHYALIOĞLU Ftih UYANIK Umt KAPI Hkk Dnışmnı ihn Kor ÖZAŞAN Grfik Tsrım Merve ÖZBAY Dizgi Genel Dğıtım A KARE BASIM DAĞITIM YAYIN LTD. ŞTİ. Meşrtiet ddesi No: / Kızıl / ANKARA Tel: Fks : 9 Bskı Adn Yıncılık A.Ş. Ankr

3 FASİKÜLE VERİMLİ ÇALIŞMA REHBERİ Sevgili öğrenciler ve değerli meslektşlrım, Biresel Mtemtik Fsikülleri, mtemtik ilmeene keifli ir olclk, mtemtik ilene htsız sor çözme kilieti kzndırck şekilde tsrlnmıştır. Her fsikül, en temelden dım dım mtemtiğinizi geliştirip güçlendirecek tekniklerle olştrlmştr. Sf şlıklrıl, her ünite, nlmı kollştırıcı lt şlıklr rılmıştır. Kon Özeti : Kon özetlerinde kvrmlr mdde mdde vrglnmıştır. : Urı ikonlrıl htırltmlr ve dikkt edilmesi gerekenler elirtilmiştir. (*) : Dipnotlrl kon dışı kvrmlr çıklnmıştır. ÖRNEK ve ÇÖZÜM : Örnekler sf şlığını en ii çıklck şekilde özenle krlmş ve çözümleri kolc nlşılck şekilde düzenlenmiştir. : Her şlıkl ilgili el lışknlığı kznmnızı sğlck olc sor Sır Sende kısmınd, cevplrınızı kolc kontrol edeileceğiniz şekilde sorlmştr. Uglm Zmnı : Belirli rlıklrl irikimlerinizi değerlendirme glmlrı konlmştr. Tekrr Zmnı : Ünite sonlrınd öğrendiklerinizi test tekniğile pekiştireceğiniz ve çözümlerile nttklrınızı htırlcğınız testler snlmştr. Anhtr kvrmlr ve çözümler renklendirilerek frk etmeniz sğlnmıştır. Öğrencilerin sık düştüğü htlr vrglnrk elirtilmiştir. Prtik ve eğlenceli çözümlerle kıld klıcılık rttırılmıştır. Her kon, özenle olştrln Kon Testi ile pekiştirilirken, " çözümünü "SİZİN İÇİN ÇÖZDÜKLERİMİZ" kısmınd lilirsiniz. " ikonl elirtilen sorlrın Sonç olrk, şn dieiliriz ki; mtemtik rıntılrd gizlidir. Bndn dolı sırl her fsikülü, ünitei, şlığı ve mddei nlrk, her örneği ve sor çözerek mtemtiği kolc öğreneilir, sınvlrdki mtemtik korknzdn krtlilirsiniz. Bşrılı ir gelecek dileğile... METİN YAYINLARI

4 İÇİNDEKİLER BELİRSİZ İNTEGRAL Difernsiel Kvrmı... İntegrl Kvrmı (Belirsiz İntegrl Alm)... Sit Fonksionn İntegrli / f() n Fonksionnn İntegrli... İntegrlin Özellikleri... Temel Trigonometrik İntegrller... Üstel Fonksionlrın İntegrlleri... 6 İntegrli lnf() ve Arcf() Olnlr... 7 İntegrl Difernsiel İlişkileri... 8 İntegrlden Fonksion Çekme... 9 İntegrl Sitini Tespit Etme... Teğet İntegrl İlişkisi... Uglm Zmnı... Uglm Zmnı... Tekrr Zmnı ÇÖZÜMLÜ TEST... 6 ÇÖZÜMLÜ TEST... 8 İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ Değişken Değiştirme Yöntemi I (Değişken Değiştirme Kvrmı / Lineer Dönüşümler)... Değişken Değiştirme Yöntemi II (Polinomik Dönüşümler / Rsonel ve Köklü Dönüşümler)... Değişken Değiştirme Yöntemi III (Bsit Trigonometrik Dönüşümler / Üstel ve Logritmik Dönüşümler)... Ters Trigonometrik Değişken Değiştirmeler I (Arcsinf() Dönüşümleri A)... Ters Trigonometrik Değişken Değiştirmeler II (Arcsinf() Dönüşümleri B)... 6 Ters Trigonometrik Değişken Değiştirmeler III (Arctnf() Dönüşümleri A)... 7 Ters Trigonometrik Değişken Değiştirmeler IV (Arctnf() Dönüşümleri B)... 8 m + İçeren İntegrller...9 m n + ve + i Birlikte İçeren İntegrller... Uglm Zmnı... Tekrr Zmnı ÇÖZÜMLÜ TEST... ÇÖZÜMLÜ TEST... Rsonel Fonksionlrın İntegrli I (Polinom Bölmesi)... 9 Rsonel Fonksionlrın İntegrli II (. Tip Bsit Kesirlere Aırm)... Rsonel Fonksionlrın İntegrli III (. Tip Bsit Kesirlere Aırm /. Tip Bsit Kesirlere Aırm)... Rsonel Fonksionlrın İntegrli IV (Sdeleştirme + Polinom Bölmesi + Bsit Kesirlere Aırm)... Rsonel Fonksionlrın İntegrli V (Rsonel Fonksionlr Dönüşen İntegrntlr)... Uglm Zmnı... Trigonometrik Fonksionlrın İntegrlleri I (sin + cos Özdeşliğinden Fdlnm)...6 Trigonometrik Fonksionlrın İntegrlleri II (Yrım Açı Formüllerinden Fdlnm /+ den Krtrm)...7 Trigonometrik Fonksionlrın İntegrlleri III (Ters Dönüşüm Formüllerinden Fdlnm)...8 Trigonometrik Fonksionlrın İntegrlleri IV (Tnjnt ve otnjnt Fonksionlrının İntegrlleri)...9 Trigonometrik Fonksionlrın İntegrlleri V ( tn Dönüşümü / tn Dönüşümü)... Trigonometrik Fonksionlrın İntegrlleri VI (Trigonometrik Özdeşliklerden Fdlnm)... -, - ve + Şeklindeki İfdeleri İçeren İntegrller (Trigonometrik Değişken Değişimler)... Kısmi İntegrl Yöntemi I (Prçlı İntegrson ve LAPTÜ)... Kısmi İntegrl Yöntemi II (Önemli Kısmi İntegrller)... Kısmi İntegrl Yöntemi III (Tlo Yrdımıl Kısmi İntegrson / Ardışık Kısmi İntegrson)... Uglm Zmnı... 6 Tekrr Zmnı ÇÖZÜMLÜ TEST... 8 ÇÖZÜMLÜ TEST... 6 BELİRLİ İNTEGRAL Belirli İntegrl Kvrmı (Bir Eğri Altındki Aln)...6 Belirli İntegrlin Temel Teoremi ve Elemnlrı (Belirli İntegrl Alm).. 6 Belirli İntegrlin Özellikleri...66 Belirli İntegrlde İntegrl Alm Yöntemleri...67 Prçlı Fonksionnn İntegrli...68 Mtlk Değer Fonksionnn İntegrli...69 Uglm Zmnı Belirli İntegrlde Değişken Dönüşümleri I (İntegrl ve Sınır Dönüşümleri)...7 Belirli İntegrlde Değişken Dönüşümleri II (Fonksion Tnımınd Dönüşümler)...7 Belirli İntegrlde Değişken Dönüşümleri III (Dönüşüm ile İntegrl Hesplm)...7 Trigonometrik Belirli İntegrller...7 Belirli İntegrlde Kısmi İntegrson...76 Tek ve Çift Fonksionlrın İntegrli...77 Ters ve İntegrli Alınmn Fonksionlrd İntegrl...78 Uglm Zmnı Tekrr Zmnı ÇÖZÜMLÜ TEST... 8 ÇÖZÜMLÜ TEST... 8 Belirli İntegrl Denklemleri...87 Teğet Türev İntegrl İlişkisi Belirli İntegrl İçin Grfik Okm I Belirli İntegrl İçin Grfik Okm II... 9 İntegrl Süreklilik İlişkisi... 9 İntegrl Difernsiel İlişkileri... 9 Belirli İntegrlin Türevi I (İntegrl Hesının Temel Teoremi... 9 Belirli İntegrlin Türevi II (Ardışık Uglmlr / L'Hospitl)... 9 Belirli İntegrlin Türevi III (Nokt Değer / Fonksion Çekme)... 9 Uglm Zmnı Tekrr Zmnı ÇÖZÜMLÜ TEST İNTEGRAL UYGULAMALARI Riemnn Toplmı I (Riemnn Kvrmı ve Bölüntü)... Riemnn Toplmı II (Riemnn Alt Toplmı)... Riemnn Toplmı III (Riemnn Üst Toplmı)... Riemnn Toplmı IV(Riemnn Ort Toplmı)... Riemnn Toplmı V(Riemnn Toplmı İntegrl İlişkisi)... İntegrl ile Aln Hesı I (Aln-İntegrl İlişkisi)... 6 İntegrl ile Aln Hesı II (Geometrik Şekiller Yrdımıl İntegrl / Frktl Fonksionlrın Eğrileri Altındki Aln)... 7 İntegrl ile Aln Hesı III (Sık Krşılşıln Fonksionlrın Eğrisi Altındki Aln)... 8 İntegrl ile Aln Hesı IV ( Ekseni ile Eğri Arsındki Aln)... 9 İntegrl ile Aln Hesı V (Bir Fonksion ile Tersinin Alnlrı Toplmı)... İntegrl ile Aln Hesı VI (İki Eğri Arsındki Aln)... İntegrl ile Aln Hesı VII (Yrım Çemer Denklemlerile İntegrl Hesı)... İntegrl ile Aln Hesı VIII (Verilen Alnın İntegrl ile İfdesi)... Uglm Zmnı 9... Tekrr Zmnı ÇÖZÜMLÜ TEST... 6 İntegrl ile Hcim Hesı I ( Ekseni Etrfınd Döndürme)... 9 İntegrl ile Hcim Hesı II ( Ekseni Etrfınd Döndürme)... İntegrl ile Hcim Hesı III (İki Eğri Arsındki Bölgenin Döndürülmesi)... İntegrl ile Hcim Hesı IV ( k ve m Doğrlrı Etrfınd Döndürme)... İntegrlin Fiziksel Yorm I (Doğrsl Hreket Denklemi)... İntegrlin Fiziksel Yorm II (Yer Değiştirme ve Toplm Yol)... İntegrlin Ekonomi ve Diğer Alnlr Uglmsı... Kesit Aln İntegrl Hcim İlişkisi... 6 Uglm Zmnı... 7 Tekrr Zmnı ÇÖZÜMLÜ TEST... 9 KONU TESTLERİ... SİZİN İÇİN ÇÖZDÜKLERİMİZ... 8

5 Difernsiel Kvrmı BELİRSİZ İNTEGRAL Kon Özeti Tnımlı oldğ rlıkt türevleneilen f() fonksion için in değerindeki değişim oln Δ e krşılık gelen nin değerindeki değişim Δ olsn. in difernsieli d Δ iken nin difernsieli d f'()d olr. O hlde, f() fonksionnn difernsieli, (Difernsiel Alm) Aşğıdki fonksionlrın difernsiellerini lınız. ) f() ) g(t) sint c) f () ) d f() d( ) d ) dg(t) d(sint) cost dt c) d d(f ()) f() f'() d f() df() dir. d f() df() f'() d dir. Aşğıd verilen fonksionlrın difernsiellerini lnz. 7. f(t ) ln( + ). t + t + 9. z e +. sin. f ( ). e t. f( ) + g( ) 6. v +. f() ve v g() olmk üzere d( v) difernsielinin ve v cinsinden eşiti nedir? ) d d ) d ( + )d ) d (t + 6t)dt ) d cos d ) d e t dt 6) dv ( 6 + )d 7) d t f'(t ) dt 8) d d 9) dz e + ^ + h d + df( ) ) d f ( ) ) d df() + dg() ) dv + v d

6 BELİRSİZ İNTEGRAL İntegrl Kvrmı Kon Özeti (Belirsiz İntegrl Alm) Belirsiz İntegrl Alm: Türevi d difernsieli verilmiş ir fonksionn kendisini lm işlemidir. f() fonksionnn türevi t() olsn, R iken, v v f'() t() td ( ) f ( ) + : İntegrl işreti d: integrl difernsieli, : integrl değişkeni t(): İntegrl ltındki fonksion (integrnt) f(): t() in nti-türevi (ilkeli) f() + t() in tüm : İntegrson siti nti-türevleridir. İntegrl lm, türev lmnın tersi oldğ için türev lm krllrı ii ilinmelidir.(*) (Belirsiz İntegrl Alm) Aşğıdki integrlleri hesplınız. ) d ) cosd c) 6 f' ^hg ^ h+ g' ^hf ^ d İntegrl ile ir fonksionn ilkeli, ilkele sitinin eklenmesi ile tüm ilkeleri elirlenir. d ) ^ h oldğndn d + d dir. d ) ^sinh cos oldğndn cosd sin + dir. d d c) ^f ( ) g ( ) h f '( ) g ( ) + g '( ) f ( ) oldğndn d 6 f'( ) g ( ) + g'( ) f ( d f ( ) g ( ) + dir. Aşğıd verilen integrllerin eşitini lnz.. d 6. '( ) d ( ). cos d 7. f'( )() fd. ed 8. g'( ) f'( g( )) d. ^ + tn hd 9. 7f'( ) + f''( ) - f'''( ) Ad. + d. Ç - f'( ) g ( )- g'( ) f ( ) > H d g ( ) ) + ) sin + ) e + ) tn + ) rctn + (*) "Türev-I" fsikülü "Türev Alm" krllrını tekrrlınız. 6) ln ( ) f ( ) + 7) f () + 8) (fog)() + 9) f() + f'() f''() + ) + g ( )

7 Sit Fonksionn İntegrli / f() n Fonksionnn İntegrli BELİRSİZ İNTEGRAL Kon Özeti (Sit Fonksionn İntegrli), R iken, d + dir. İntegrsonn difernsieli ltındki değişken dışındki diğer değişkenler sit kl edilir. Örneğin, d ifdesinde d in değişkeni e göre integrl lındığındn sit terimdir. Kon Özeti ( f() n Fonksionnn İntegrli) R ve n R { } iken, n+ n d n + + dir. " d " İntegrsonnd ket rttırımı glnmz. B integrntın nti-türevi logritm fonksiondr. İleride değinilecektir. Aşğıdki integrlleri hesplınız. ) dt ) d c) t d İntegrson değişkenlerine dikkt ediniz. ) dt t + dir. ) d + dir. c) t d t + dir. Aşğıdki integrlleri hesplınız. ) d ) d c) d Ketleri düzenleip ket rttırımı glınız. + dir. ) d d ) + dir. d d dir. c) d d Aşğıd verilen integrlllerin eşitini lnz.. d 7. e d Aşğıd verilen integrlllerin eşitini lnz.. d 6. d. d. d 8. d 9. d. d 7. d. dt. d. d 8. d. r d. d. d 9. d 6. d. + cos d n d ln +. d. d t ) + ) + ) + ) + ) p + 6) + 7) e + 8) + 9) + ) + ) + ) + ) + ) + ) + ) + ) + 6) + 7) + 8) + 9) + + ) + + r + +

8 BELİRSİZ İNTEGRAL İntegrlin Özellikleri Kon Özeti İntegrlin temel özellikleri ile düzenlemeler pılrk integrli lınilecek ifdeler elde edilir. _ f( d ) fd ( ) ` 6 f ( )" gd ( fd ( ) " gd ( ) (Temel Özellikler) Eşitliklerini iki önlü glileceğinizi UNUTMAYINIZ! İntegrl toplm-frk dğılilir nck çrpım-ölüme DAĞILMAZ! Çrpım-ölüm için frklı glmlr pılır. İleride rıntılı değineceğiz. Aşğıdki integrllerin eşitini lnz. ) costd ) + ^ hd c) ^- hd ^ + h + ^ h ) costd cos t d cos t+ ) d d d + + c) - d d- d - + (Düzenlemeler) Aşğıdki integrllerin eşitini lnz. ) - ^ + hd ) c m d Çrpımın ve ölümün dğılımı pılrk olşn her terime ket rttırımı glnır. ) ^ + hd ^ + hd + + ) - c m d c - m d ^ - h d - + Aşğıd verilen integrllerin eşitini lnz.. ^ + hd 8. c + + d m. ^ + 6+ hd 9. d + d. ^+ hd. ^ + hd - ^ - hd. 8 c - d m 6. ^+ h d.... c f - md -6 - pd - c m d f - d p 7. ^ + hd. f'( ) gd ( ) + g'( ) fd ( ) ) + + ) ) + + ) + ) + + 6) ) + + 8) ) + + ) - + ) ) - + ) - + ) f() g() +

9 Temel Trigonometrik İntegrller BELİRSİZ İNTEGRAL Kon Özeti Her trigonometrik ifdenin integrli kolc lınmz. Aşğıd nti türevi elli temel trigonometrik integrller verilmiştir. İşretlerine DİKKAT EDİNİZ! cos^ + d h sin^ + h+ sin^ + d h cos^ + h+ d sec d ^ + tn hd tn + cos d cosec d ^ + cot hd cot + sin Trigonometrik integrller lınırken trigonometrik özdeşlikler, rım çı ve dönüşümlerden fdlnılır. Bnlr ileride rıntılı nltılcktır. Örneğin, " + tn sec " ve cos " + cot cosec " oldğn htırlınız. sin Aşğıdki integrlleri hesplınız. d ) sind c) sin ) cos^+ hd d) _ + tn id İşretlere dikkt ediniz. Gerekirse trigonometrik düzenlemeler pınız. ^ h d - + sin _ i ) sind cos + ) cos + d sin^+ h+ c) cot d) + tn d _ + tn id tn + Aşğıd verilen integrllerin eşitini lnz.. cosd. cos d. cos^+ hd. sind. sin d 6. sin^+ hd 7. ^sin+ cos hd 8. ^cos- sin hd 9. 6 sin^+ h+ d ) sin + ) sin + ) sin^+ h + ) cos+ ) cos+ 6) cos^+ h + 7) cos+ sin + 8) sin+ cos + 9) cos^+ h+ sin +. cos d. ^ + tn hd. sec d. + cos cos d. ^ + cot hd. ^ cosec + sec hd c - cos d m cos sin + f pd sin Ç - sin + d sin ) tn + ) tn + ) tn + ) sin + tn + ) cot + ) cot + tn + 6) tn- sin + 7) cot + 8) - cot +

10 Tekrr Zmnı Test Çözümü - 6. ( - 6+ ) d lnr. evp: D d. ( ) d lnr. d evp: B. f - pd lnr. evp: A. c d + - m + d - + d + + ln + - ln + + ln + lnr. + evp: E. ( + ) d ( + ) + lnr. evp: B 6. f - + pd ( - + ) d lnr. evp:. d d ln lnr.. c + d rctn m + + lnr. + ln evp: evp: E ln d c - + m ln + lnr. evp:. ; + d rctn ln E lnr. + + evp: D 6. ( - )( + ) d ( - - ) d lnr. evp: B 6. f ( ) f'( ) d ( ) d & f ( ) f() ise f() + + c tür. 7. ( e + ) d e + + lnr. evp: A O hlde f() f() lnr. evp: B 8. ( cos- sin ) d sin+ cos + lnr. evp: A f ( ) 7. f d ( p - + )' (Her iki trfın türevi lınırs) + f ( ) & 8 & f( ) ( ) ( 8 ) dir. f() ( + ) (8 ) 8 lnr. evp: B + 9. ( e + ) d e ln + e - + lnr. ln 8 evp: D. d e ^ e h c m + lnr. evp: E I 8. f f ( ) ( + ) dp ( - + )' (Her iki trfın türevi lınırs) f() ( + ) & f ( ) ( + ) ( - )( + ) & f ( ) - oldğndn sit terim - lnr. evp: A

11 Tekrr Zmnı Test Çözümü c8 + d m & - + lnr. evp:. f + e pd rcsin + e + lnr. - evp: B. f - pd lnr. evp: A. f - sin - ( ) pd -cot- rcsin + lnr. evp: D. c- + + e + + sin + d m d f pd d lnr. sin sin evp: B + ln + e -rccot- cos + X+ lnr. evp:. sin d+ cos d ( sin + cos ) d. J K K K L N + O d f + p d + + lnr. O O P evp: D. ( sin- cosec + ) d - cos+ cot + + lnr. evp: A 6. f + d tn rcsin p + + lnr. cos - evp: E 7. ( + sind ) - cos + cos + lnr. evp: A 8. f + e d rctn e p + + lnr. ( + ) evp: d 9. ( ) d lnr. d evp: D. d( ) d d + lnr. evp: A d + lnr. evp:a I f'( ) f f'( d ) p ( + + )' & 6. f f'( ) 6 6 & + + & f'( ) d c m d & f ( ) + 6+ ln + lnr. evp: ' f( - ) dp ^ h' f( - ) & & f( - ) dir. Her iki trfın türevi lınırs ( 6+ 8) - ( ) f'( - ) için f'( ) f'( ) - lnr. evp: E d 7. d d & tir. Yni f'( ) & f'( ) d d d & f ( ) ln + & f( ) ln+ & dir. 8 O hlde f ( ) ln + & f( e ) ln e & fe ( ) lnr. evp: A 8. f() in deki teğetinin eğimi f'(-) dir. f''( ) - + & f''( ) d ( - + ) d & f'( ) & f'( ) & f'( - ) -- + & 6 & f'( ) 6 lnr. evp:

12 İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ Değişken Değiştirme Yöntemi I Kon Özeti (Değişken Değiştirme Kvrmı) Kon Özeti (Lineer Dönüşümler) İntegrli lınn ifde ir fonksion ile irlikte fonksionn difernsielini içeriors değişken değiştirme pılrk nti türevi tnıdık ir integrl elde edilir. Mtemtik dilile, f ( ) ff ( ) '( ) d d + c + 9> d Yni, f() dönüşümü pılırs f'() d d olr. ÖRNEK (Temel Değişken Değiştirmeler) f() + şeklindeki. derece (lineer) fonksionlr dönüşüm glndığınd difernsiel dönüşümü pılırken; d + d d & d olr. ÖRNEK Aşğıdki integrlleri lınız. ) ( + ) d ) + d c) sec ( ) d Aşğıd verilen integrllerin eşitini lnz. f'( ) ) d ) f ( ) f'( ) d c) ( fog)( ) g'( ) d f ( ) ÇÖZÜM ) f() f'() d d dr. f'( ) d d ln + ln f( ) + f ( ) ) f() f'() d d dr. f ( ) f ( ) f'( ) d d c) (fog)() f(g()) dir. g() g'() d d dr. ( fog)( ) g'( ) d fg ( ( )) g'( ) d f( ) d ÇÖZÜM ) + d d d d ise 6 d ( + ) d d + > 6 ( + ) 6 + ) + d d d d ise d + d d ( + + ) + 9 c) d d d ise d sec ( ) d sec sec d 9 tn+ tn( ) + Aşğıd verilen integrllerin eşitini lnz.. f ( ) '( f ) d Aşğıd verilen integrllerin eşitini lnz.. ( + ) d. f'( ) d f ( ). + d f (). e f'( d ). ^e h d f ( ) ) + ) - + ) e f ( ) + f ( ) ) ( ) + + ) ( ) + + ) e +

13 Değişken Değiştirme Yöntemi II İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ Kon Özeti (Polinomik Dönüşümler) P() ir polinom olmk üzere, fp ( ( )) P'( d ) f( d ) olr. P() P'() d d ÖRNEK Aşğıdki integrlleri hesplınız. ) 6 ( + ) d Kon Özeti (Rsonel ve Köklü Dönüşümler) g'( ) d f(g()) olmk üzere, d olr. fg ( ( )) f ( ) g() g'() d d Pdnın çrpnlrın rıldığı drmlrd ileride değineceğimiz sit kesirlere ırm krllrındn fdlnılır. f^ + h > olmk üzere, d fd ( ) olr. d d + & d & d ÖRNEK ) cos( ) d Aşğıdki integrlleri hesplınız. d - ) ) d c) ( + ) - + ^ + h d ÇÖZÜM ÇÖZÜM ) + d d d d ise d 6( + ) d > ( + ) + lnr. ) d d ise cos( ) d cos d sin+ sin( ) + 9 ) + d d ise d d - d + ( + ) - > ) + ( ) d d ise - d d ln + ln c) d d d + & & d ise H ( + ) d d ( ) Aşğıd verilen integrllerin eşitini lnz. Aşğıd verilen integrllerin eşitini lnz.. ( + ) ( + ) d. ( -6) ( - ) d. ( -) sin( - d )... Ç - 6 d + ( - ) d + d ) ( ) + + ) ( ) + ) -cos( - ) + 6 ) ln + + ) - + ) ( + ) + 6( - )

14 İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ Değişken Değiştirme Yöntemi III Kon Özeti (Bsit Trigonometrik Dönüşümler) Kon Özeti (Üstel ve Logritmik Dönüşümler) Trigonometrik ifdelerin integrsonnd sin cos d d ve cos sin d d difernsiel dönüşümlerden fdlnılır. f() > olmk üzere, olr. f'( ) ln f ( ) d d f ( ) f'( ) ln f ( ) & d d f ( ) Trigonometrik integrllere rıntılı değinilecektir. R + {} olmk üzere, f () '( f d ) d olr. f() f'() d d ÖRNEK Aşğıdki integrlleri inceleiniz. ) sincos d ) tnd Çözümde d cevpt üstel d logritmik düzenlemeler pılilir. ÖRNEK Aşğıdki integrlleri inceleiniz. ln ) d ) cosd sin ln c) e + d ÇÖZÜM ÇÖZÜM ) sin cos d d ise sin sin cos d d c : + + dir. sin ) tn oldğ için, cos cos &- sin d d & sin d - d ise, tn d sin d cos < -d - ln + - ln cos + lnr. ) ln & d d ise B ln ln d d + + lnr. ) sin cos d d ise D sin sin cos d d ln + + ln ( ) ( ) c) e + ln ln e e e iken d & d d & d ise e ln e ( + d ) d e d ( ) e + e + lnr. Aşğıdki integrllerin eşitini lnz. Aşğıdki integrllerin eşitini lnz.. sin cos d. ( ln ) d. sin d cos sin. cosd. cotd. Ç e d ) sin + ) + ) ln sin + cos ) sin ( ln ) + ) + + ) e + ln

15 Ters Trigonometrik Değişken Değiştirmeler - I İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ Kon Özeti (Arcsin f() Dönüşümleri - A) f'( ) d ifdesinde şğıdki dımlr glnır. - f ( ) f'( ) d f'( ) d _ " I. Adım: prntezine" lıp f ( ) f ( ) ` f - p - ; E "tm kre" düzenleme f ( ) II. Adım: & f( ) & f'( d ) d} değiştirme d d değişken değiştirmei III. Adım: - - erine zıp tnıdık ifdei elde etme _ f ( ) _ rcsin+ rcsin; E + d eşitliklerinden irisi ` ` f ( ) - rccos+ rccos; E + kllnılır. d " rcsin^h " + ğıntısını ^ h ilmeniz işlem hızınızı rttırcktır. (f() f'() d d Dönüşümü) Aşğıdki integrlleri hesplınız. d ) - 9 ) d - c) ) ) d d d ^h - d d rcsin d - d rcsin+ rcsin^h+ - d d d - - ^ h - d d d rcsin+ rcsin^ h+ - c) rcsin d - rcsin d d - rcsin d + + Aşğıdki integrllerin eşitini lnz.. d -. rccos d -. d - 6. d 6 -. d 9-7. ed - e Ç - 8. d - 8. d - ln ) rcsin + ) rcsin + ) rcsind n + ) rcsin_ i + ) rccos _ i + 6) rcsin_ i + 7) rcsin_ e i + 8) rcsin_ lni +

16 İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ Ters Trigonometrik Değişken Değiştirmeler - II Kon Özeti (Arcsin f() Dönüşümleri - B) Bir önceki sfd hsedildiği üzere; f'( ) d d şeklindeki ifdeler prntezine - f ( ) lınıp tm kre düzenleerek, değişken değiştirme ile d - rcsin + eşitliği elde edilir. " d rcsin + " - n ğıntısını ilmeniz işlem hızınızı rttırcktır. ( Prntezine Alm ve Tm Kre Düzenleme) Aşğıdki integrlleri hesplınız. ) d - ) d - ) d d d - c- m c c m m d - - & & d d d rcsin + rcsinc m+ - ) Pddki kökün içindeki ifdei tm kreli olrk düzenleelim; ^ - + h -^ - h (terim ekleip çıkrlım) ^ - h O hlde, d d d - - -^ -h - d d rcsin + rcsin( ) + lnr. Aşğıdki integrllerin eşitini lnz.. d 9 -. d -. d 6-6. d -. d 9-7. d + - Ç d -. d - 6 ) rcsin + ) rcsin + ) rcsin d n + ) rcsin d n+ 6 ) rcsinf p + 6) rcsin_ + i + 7) rcsin_ - i + - 8) rcsind n+

17 BELİRLİ İNTEGRAL Belirli İntegrl Kvrmı Kon Özeti (Bir Eğri Altındki Aln) Bir fonksionn tnımlı ve sürekli oldğ ir lt rlığı ile fonksion eğrisi rsınd kln ölgenin lnı elirli integrl ile gösterilir. O A f() v O c B d g() Trlı ln A ise Trlı Aln B ise d fd ( ) A fd ( ) B Eğri ltındki lnın integrl ile nsıl ifde edildiği ileride "Riemnn Toplmı" ile rıntılı gösterilecektir. c S f() O S Şekildeki f() fonksionnn grfiği verilmiştir. S ve S lndklrı ölgelerin lnlrını göstermektedir. S 7 r, S r oldğn göre şğıdki elirli integrl değerlerini lnz. ) fd ( ) ) fd ( ) c) fd ( ) ) fd ( ) 7 dir. ) fd ( ) dir. c) fd ( ) 7+ _ i lnr.. f(). S S S 6 S S S f() Ykrıdki şekilde f() fonksionnn grfiği verilmiştir. S, S ve S lndklrı ölgenin lnını göstermektedir. S 6 r, S r ve S r oldğn göre şğıdki elirli integrllerin değerlerini lnz. ) fd ( ) c) fd ( ) Ykrıdki şekilde f() fonksionnn integrli verilmiştir. S, S ve S lndklrı ölgenin lnını göstermektedir. Bn göre şğıdki elirli integrllerin S, S ve S cinsinden eşitini lnz. ) fd ( ) d) fd ( ) 6 6 ) fd ( ) d) fd ( ) ) fd ( ) e) fd ( ) c) fd ( ) f) fd ( ) 6 6 ) ) 6 ) c) d) ) ) S ) S c) S d) S S e) S + S f) S S + S

18 Belirli İntegrlin Temel Teoremi ve Elemnlrı BELİRLİ İNTEGRAL Kon Özeti (Belirli İntegrl Alm) f() fonksion [, ] rlığınd integrli lınilen ir fonksion ve f() fonksionnn nti türevi F() iken; ni (, ) için F'() f() ise fd ( ) F ( ) F ( )- F ( ) dır. v v "" integrlin lt sınırıdır. v v "" integrlin üst sınırıdır. v v "d" integrlin hngi değişkene göre lıncğını elirten difernsiel ifdesidir. fd ( ) elirli integrlinin değeri den ğımsız sit ir reel sıdır. (Belirli İntegrlin Değeri) Aşğıdki integrllerin değerini lnz. ) d ) d c) sintdt d) e d ) d - dir. ) d - 6 dır. c) sintdt cos t ( cos )-( cos ) ( ) ( ) dir. < < d) e d e e - e e- dir. Aşğıd verilen integrllerin değerini lnz.. d 6. cos d. d 7. sind ln. ed 8. d -. cosd 9. d 9 +. dt. d - ) ) 9 ) ) ) 6) 7) 8) 9) ) ln 6

19 BELİRLİ İNTEGRAL Belirli İntegrlin Özellikleri Kon Özeti f() ve g(), [, ] rlığınd integrlleneilen iki fonksion olmk üzere, k R iken k fd ( ) k fd ( ) tir. v v 7f ( )" g ( ) Ad fd ( ) " gd ( ) tir. v v fd ( ) dır. v v fd ( ) fd ( ) tir. < c < ise fd ( ) fd ( ) + fd ( ) tir. c c fd ( ), fd ( ) ve g( d ) 7 oldğn göre şğıdki elirli integrllerin değerlerini lnz. ) 7f ( ) + g ( ) Ad ) gd ( ) c) fd ( ) ) 7 f ( ) + g ( ) A d fd ( ) + gd ( ) + + _ Alt sıınır ve üst sınır ) gd ( ) ` nı oldğ için eğri ltınd ln olşmz. c) fd ( ) fd ( ) + fd ( ) fd ( ) fd ( ) 7 & fd ( ) +_ i & f ( ) + 7 lnr fd ( ) 6, fd ( ) ve gd ( ) 8 oldğn göre şğıdki sorlrı cevplınız.. 7f ( ) + g ( ) Ad. gd ( ) - fd ( ). fd ( ) f ( )- g ( ) Ad. fd ( ) 6 6. fd ( ) + fd ( ) - fd ( ) 6 66 ) ) ) ) ) 6)

20 Belirli İntegrlde İntegrl Alm Yöntemleri BELİRLİ İNTEGRAL Kon Özeti Belirsiz integrl lınırken kllnıln temel türev-nti türev krllrı, değişken değiştirme, sit kesirlerine ırm, trigonometrik integrller ve kısmi integrson öntemleri elirli integrlin değerini tespit ederken kllnılcğındn ii ilinmelidir. Aşğıdki integrllerin değerlerini lnz. ) _ + e id ) d + ) _ + e id f + e p ( + e ) ( + e ) e lnr. ) Öncelikle integrnt polinom ölmesi gllım: _ + + ` olr. d d < - F - + d rctn _ -i-( rctn -rctn ) > > - lnr. Aşğıd verilen integrllerin eşitini lnz.. _ - id. _ sec - d i. _ - id 6. d +. _ + id 7. _ sin- cos id. _ - e id 8. + d - ) ) 6 ) ) e ) ) ln 7) 8) + ln 67

21 BELİRLİ İNTEGRAL Prçlı Fonksionnn İntegrli Kon Özeti Prçlı fonksionlrın integrli, kritik noktlrın göre prçlı integrllerin toplmı şeklinde zılrk lınır. Kritik nokt integrlin sınırlrı rsınd değil ise prçlı integrle ırmdn sınırlrın oldğ ölgede fonksionn eşiti kllnılır., < f ( ) * oldğn göre şğıdki integrl- -, H lerin değerini hesplınız. ) fd ( ) ) f ( + ) d ) fd ( ) fd ( ) + fd ( ) d + _ -id + _ - i _ - i+ _ 9-i-_ -i lnr., <, < ) f ( + ) * + _ + i-, + H * -, H f ( + ) d _ - id _ - i > H iken f ( + ) - (9 6) ( ) lnr. -, <. f ( ) * fonksion verilior. -, Bn göre şğıdki integrl değerlerini lnz. ) fd ( ) +, <. f ( ) * fonksion verilior. +, Bn göre şğıdki integrl değerlerini lnz. ) fd ( ) ) fd ( ) ) fd ( ) c) fd ( ) c) f ( - ) d d) fd ( ) d) f( d ) 68 ) ) ) c) 6 d) 8 8 ) ) ) 7 c) 9 d)

22 Mtlk Değer Fonksionnn İntegrli BELİRLİ İNTEGRAL Aşğıdki integrllerin değerini lnz. ) - d ) - d c) - d ) kritik noktdır Kon Özeti Mtlk değer fonksionnn integrli, kritik (mtlk değerin içini sıfır pn) noktlrın göre prçlı integrllerin toplmı şeklinde zılrk lınır. İntegrllerin sınırlrı rsınd kritik nokt ok ise prçlı integrle ırmdn o ölgedeki fonksionn eşiti kllnılır. - d - d + - d < < - + _ - d i + _ - id d - n + d -n 9 7 _ -i - A + < d -6n -_ - if lnr. ) kritik noktsı (, ) sınırlrıl elirlenen ölgenin elemnı değildir. (, ) iken - - < dir. - - d _ - id d - n ( ) ( ) lnr. c) ise + ( ) + + ve kritik noktlrdır. Ykrıdki işret tlosn göre integrli prçllım. - d - d + - d + - d _ -id + _ - id + _ - id d - n + d - n + d - n + + d n lnr. Aşğıd verilen integrllerin değerini lnz.. - d. + d. + d. cos- 6 Ç -. _ id 6. cos- sin d ) ) ) ) ) 6-6) - 69

23 İNTEGRAL UYGULAMALARI Riemnn Toplmı - I Kon Özeti (Riemnn Kvrmı ve Bölüntü) Riemnn Toplmı; ir eğrinin ltındki ölgei, eş tnlı "dikdörtgenlere ırrk" eğri ltındki lnın klşık değerini tespit etmedir. B dikdörtgenlerin sısı rtıkç gerçek ln dh çok klşılır. Riemnn toplmı için olştrln dikdörtgenlerin eşit znlktki tn rlıklrın lt rlıklr rlıklrın sınırlrının kümesine düzgün ölüntü (prçlnm) denir. f f f (Bölüntü) [, 7] rlığınd f() eğrisinin ltınd kln lnın klşık değerinin düzgün prçlnmış lt rlıklı Riemnn Toplmı ile lnilmesi için; ) Arlık genişliğini lnz. ) Alt rlıklrı lnz. c) Bölüntüü elirtiniz. rlık genişliği, P ölüntü olmk üzere T T T 7-6 ) dir. ) [, ], [, ], [, 7] c) P {,,, 7} tne tne n tne n Alt rlıklr: [, ] [, ],[, ] [, ],... [ n-, n ] Bölüntü (P): {, } {,, } {,,..., n }, rlık genişliği: - - n iken oldğndn; - n Riemnn Toplmı Eğri Altındki Aln fd ( ) Alt rlık sısı rttıkç dikdörtgenlerin lnlrı toplmı eğrinin ltındki ln klşır. [, ] kplı rlığınd, P (,, ölüntüsüne göre Riemnn Toplmı glnck ln f() fonksion için olştrln lt rlıklrı, rlık genişliğini ve lt rlık detini elirtiniz. [, ] rlığındki lt rlıklr T T T E [, H ], [ H, ],[,] dir. Olştrln rlığın heririnin ortk rlık genişliği; dür.. [, ] rlığınd f() fonksionnn eğrisi ltınd kln lnın klşık değeri için [, ] kplı rlığı eşit znlkt lt rlığ ölünüp Riemnn toplmı glncktır. Bnn için olşck, ) Arlık genişliğini lnz.. [, ] rlığınd giderek incelen prçlnmlrdn olşn (P n ) (P, P,... P n, P n, P n+,...) dizisine incelme dizisi denir. (Lim(P n ) dır) Bn göre şğıdki dizilerden incelme olnlrı "İ", olmnlrı "X" ile elirtiniz. ) [, ] nı n eşit prç ırn düzgün prçlnmlrdn olşn (P n ) dizisi. ( ) ) Prçlnmı elirtiniz. ) [, ] nı n! eşit prç ırn düzgün prçlnmlrdn olşn (P n ) dizisi. ( ) c) Alt rlıklrı elirtiniz. ) ) D ),, P, 7, (, 7 7 c) <, F, <, F, <, F, <, F, <, F c) [, ] nı eşit prç ırn düzgün prçlnmlrdn olşn (P n ) dizisi. ( ) d) [, ] nı n eşit prç ırn düzgün prçlnmlrdn olşn (P n ) dizisi. ( ) ) İ ) İ c) X d) İ

24 Riemnn Toplmı - II İNTEGRAL UYGULAMALARI Kon Özeti (Riemnn Alt Toplmı) [, ] rlığınd tnımlı f() foksion için Alt rlıklrın ç noktlrındn eğrinin ltınd f( n ) f klck... f( ) f( ) n n şekilde ükseklikleri elirlenen dikdörtgenlerin lnlrı toplmı Riemnn Alt Toplmını verir. P {,,... n } ölüntü v v [, ], [, ],... [ n, n ] lt rlıklr Arlık genişliği dikdörtgenlerin tnlrı v f( ), f( ),..., f( n ) dikdörtgenlerin ükseklikleri olmk üzere, dikdörtgenlerin lnlrı toplmı n / k f( ) + f( ) f( n ) f ( ) D k - f fonksionnn P ölüntüsüne göre (Riemnn) lt toplmıdır.... f: [, ] [, 9] olmk üzere f() fonksionnn tnım rlığını eşit znlkt iki lt rlığ ölerek Riemnn lt toplmını lnz O f() [, ] rlığı eşit znlkt lt rlığ ölünürse rlık genişliği D - r dikdörtgenlerin tn znlklrıdır. f() ve f() ise dikdörtgenlerin ükseklikleridir. O hlde, dikdörtgenlerin lnlrı toplmı; f( ) + f( ) + r f fonksionnn 9 9 P {,, } ölüntüsüne göre lt toplmıdır.. doğrs, ekseni ve 6 doğrs rsınd kln ölgenin; ) Alnı nedir?. f: [, ] [6, ] f() 6 fonksionnn grfiği şğıd verilmiştir. 6 f ) P {,,, 6} ölüntüsüne göre Riemnn lt toplmı nedir? O [, ] rlığının eşit znlktki, ) İki lt rlığın göre Riemnn lt toplmı nedir? c) lt rlık genişliğine göre Riemnn lt toplmı nedir? ) Dört lt rlığın göre Riemnn lt toplmı nedir? d) [, 6] rlığı lt kplı rlığı rılırs Riemnn lt toplmı ne olr? c) n lt rlığın göre n Riemnn lt toplmı nedir? e) [, 6] rlığı n lt rlığ rıldığınd n Riemnn lt toplmı ne olr? ) ) 8 ) c) d) 6, e) 8 8 ) ) ) c)

25 İNTEGRAL UYGULAMALARI Riemnn Toplmı - III Kon Özeti (Riemnn Üst Toplmı) [, ] rlığınd tnımlı f() foksion için f( n ) f f( ) f( ) n n Alt rlıklrın ç noktlrındn eğrinin üstünde klck şekilde ükseklikleri elirlenen dikdörtgenlerin lnlrı toplmı Riemnn Üst Toplmını verir. P {,,... n } ölüntü v v [, ], [, ],... [ n, n ] lt rlıklr Arlık genişliği dikdörtgenlerin tnlrı v f( ), f( ),... f( n ) dikdörtgenlerin ükseklikleri olmk üzere, dikdörtgenlerin lnlrı toplmı... n / k f( ) + f( ) f( n ) f ( ) D f fonksionnn P ölüntüsüne göre (Riemnn) üst toplmıdır. k... f: [, ] [, 9] olmk üzere f() fonksionnn tnım rlığını eşit znlkt iki lt rlığ ölerek Riemnn üst toplmını lnz O f() [, ] rlığı eşit znlkt lt rlığ ölünürse rlık genişliği D - r dikdörtgenlerin tn znlklrıdır. f() ve f() 9 ise dikdörtgenlerin ükseklikleridir. O hlde, dikdörtgenlerin lnlrı toplmı; f( ) + f( ) + 9 r f fonksionnn P {,, } ölüntüsüne göre üst toplmıdır.. doğrs, ekseni ve 6 doğrs rsınd kln ölgenin; ) Alnı nedir?. f: [, ] [6, ] f() 6 fonksionnn grfiği şğıd verilmiştir. 6 f ) P {,,, 6} ölüntüsüne göre Riemnn üst toplmı nedir? O [, ] rlığının eşit znlktki, ) İki lt rlığın göre Riemnn üst toplmı nedir? c) lt rlık genişliğine göre Riemnn üst toplmı nedir? ) Dört lt rlığın göre Riemnn üst toplmı nedir? d) [, 6] rlığı lt kplı rlığ rılırs Riemnn üst toplmı ne olr? e) [, 6] rlığı n lt rlığ rıldığınd n Riemnn üst toplmı ne olr? c) n lt rlığın göre n Riemnn üst toplmı nedir? ) ) 8 ) c) d) 9, e) 8 8 ) ) 6 ) c)

26 Riemnn Toplmı - IV İNTEGRAL UYGULAMALARI Kon Özeti (Riemnn Ort Toplmı) [, ] rlığınd tnımlı f() foksion için f(r n )... f(r ) f(r )... r r... r n n n v v P {,,... n } ölüntü f Alt rlıklrın ort noktlrın göre ükseklikleri elirlenen dikdörtgenlerin lnlrı toplmı Riemnn Ort Toplmını (Riemnn Toplmını) verir. [, ], [, ],... [ n, n ] lt rlıklr r, r,..., r n, lndklrı rlıklrın ort noktlrı Arlık genişliği dikdörtgenlerin tnlrı v f(r ), f(r ),... f(r n ) dikdörtgenlerin ükseklikleri olmk üzere, dikdörtgenlerin lnlrı toplmı n / k f(r ) + f(r ) +... f(r n ) fr ( ) D f fonksionnn P ölüntüsüne göre Riemnn toplmıdır. k f: [, ] [, 9] olmk üzere f() fonksionnn tnım rlığını eşit znlkt iki lt rlığ ölerek Riemnn ort toplmını lnz. 9 / 9/ O f() [, ] rlığı eşit znlkt lt rlığ ölünürse rlık genişliği D - r dikdörtgenlerin tn znlklrıdır. Arlıklrın ort noktlrın göre çizilen dikdörtgenlerin ükseklikleri f 9 vef d n d n tür. O hlde, dikdörtgenlerin lnlrı toplmı; 9 7 f f d n + d n + r f fonksionnn ; ; 9 P {,, } ölüntüsüne göre Riemnn ort toplmıdır.. doğrs, ekseni ve 6 doğrs rsınd kln ölgenin; ) P {,,, 6} ölüntüsüne göre Riemnn lt toplmı ile Riemnn üst toplmının ortlmsı nedir?. f: [, ] [6, ] f() 6 prolünün [, ] rlığının eşit znlktki, ) İki lt rlığın göre Riemnn ort toplmı nedir? ) P {,,, 6} ölüntüsüne göre Riemnn toplmı ( * ) nedir? ) n sıdki lt rlığın göre n Riemnn toplmı nedir? c) [, 6] rlığı n lt rlığı rıldığınd n Riemnn lt toplmı ne olr? ) ) 8 ) 8 c) 8 (*) "Riemn Toplmı" ifdesi ile "Riemn Ort Toplmı" nlşılmlıdır. 8 ) ) )

27 İNTEGRAL UYGULAMALARI Riemnn Toplmı - V Kon Özeti (Riemnn Toplmı - İntegrl İlişkisi) Bir fonksion Riemnn toplmındki dikdörtgen sılrı rttıkç eğri ltındki ln klşılcğı için lt rlık sısı n iken rlık genişliği ile eğri ltındki ln lşılır. Eğri ltındki ln ise elirli integrl ile tespit edilir. f f... n tne lt rlık Dikdörtgenlerin lnlrı toplmı n n / fr ( ) D k k n iken Δ Eğri ltındki ln n lim / fr ( ) D f( d ) n k " k f: [, ] [, 9] olmk üzere f() fonksionnn eşit znlkt iki lt rlığın göre Reimnn lt toplmı A, fonksion ile ekseni rsınd kln ölgenin lnı B ise B A ı lnz. 9 O f() A + r B B A 7 6 d - r 6 - r dir.. f: [, ] [, ] f() + fonksionnn grfiği şğıd verilmiştir. f foksionnn P {,, } düzgün ölüntüsüne göre. [, ] kplı rlığınd tnımlı f() 6 fonksionnn eşit znlkt lt rlığın göre Riemnn toplmı A, fonksion eğrisi ile ekseni rsınd kln ölgenin lnı B ise A B frkı kç r dir? ) Alt toplmı ile üst toplmının ortlmsı kçtır? ) Riemnn toplmı kçtır? Ç -. d integrl ifdesinin Riemnn toplm formülü ile 6 ifdesi nedir? c) f ile ekseni rsınd kln ölgenin lnı kçtır? ) ) ), c) ) ) lim n " k / n 8 _ k - i n

28 İntegrl ile Aln Hesı - I İNTEGRAL UYGULAMALARI Kon Özeti (Aln-İntegrl İlişkisi) S O S f c (i) [, ] için f() oldğndn S f( d ) (ii) [, c] için f() oldğndn S f( d ) f fonksionnn ile c rsındki integrli fd ( ) S -S dir. c f fonksionnn ile c rsındki lnlr toplmı c _ Mtlk değeri S + S f ( ) d dir. ` ntmınız! c (Aln ile İntegrlin Frkı) Şekilde f() fonksionnn A c A d A f grfiği verilmiştir. A r, A r, A r oldğn göre şğıdki ifdelerin değerlerini lnz. ) fd ( ) ) f() eğrisi ve rsınd kln ln c ) fd ( ) fd ( ) + fd ( ) + fd ( ) c d + ( ) + lnr. ) f ( ) d + + r lnr. d.. A B c d A B f() f() Şekilde f() fonksionnn grfiği verilmiştir. A r, B 7 r ve r dir. Bn göre şğıdki sorlrı cevplınız. ) fd ( ) d e) fd ( ) f() in grfiğinde A ve B lndklrı ölgenin lnını elirtmektedir. A + B r ve fd ( ) 6 oldğn göre A kç r dir? ) fd ( ) c f) fd ( ) d. A B f() c) fd ( ) c d) f() eğrisi,, c ve ekseni rsınd kln ölgenin lnı c g) fd ( ) + fd ( ) h) f() eğrisi,, d ve ekseni rsınd kln ölgenin lnı d Şekildeki f() fonksionnn grfiğinde A ve B lndklrı ölgenin lnlrını göstermektedir. fd ( ) ve A r oldğn göre B kç r dir? 6 ) ) ) 7 c) d) e) f) g) h) 6 ) ) 6

29 İNTEGRAL UYGULAMALARI İntegrl ile Aln Hesı - II Kon Özeti (Geometrik Şekiller Yrdımıl İntegrl) Bir fonksionn grfiği ltındki lnlr, mümkünse geometrik şekillere rılrk lnlr rdımıl fonksionn elirli integrl değeri tespit edileilir. Örnekle çıkllım. Kon Özeti (Frktl Fonksionlrın Eğrileri Altındki Alnı) Frktl fonksion sisteminin (*) eğrileri ltındki ln tespit edilirken sonsz geometrik dizi toplmındn fdlnılır. r < için _ k + r + r +... i r / dir. - r k f() n N olmk üzere [n, n + ) rlıklrınd tnımlı n f ( ) - n n fonksion sisteminin ekseni ile rsınd kln ölgenin lnlrı toplmını lnz. Grfiği şekideki gii oln f() fonksion için verilenlere göre fd ( ) in değerini lnz. O f f f... f (), f ( ) -, f ( ) -, f ( ) -,... S S S + d n r (mğn lnı) S r (üçgenin lnı) O hlde fd ( ) + lnr. Trlı Aln D - - TA.. d + d + d +... _ - i _ - i > / / / d n lnr. r -.. O 6 Şekilde f() fonksion grfiği verilmiştir. Bn göre şğıdki sorlrı cevplınız. ) fd ( ) ) fd ( ) c) fd ( ) 6 d) f ( ) d 6 f f O _ - ni n N için [n, n + ) rlıklrınd tnımlı f ( ) n n içiminde tnımlnn fonksionlr ile ekseni rsınd kln ölgeler şekilde trlı olrk verilmiştir. Bn göre tüm trlı ölgenin lnlrı toplmı kçtır? f... ) ) ) 7 c) d) 6 (*) Belirli ir krl göre küçülen d üüen grfiklerden olşn fonksion sistemine frktl geometri ile tekrrln fonksionlr denir. ) 7

30 İntegrl ile Aln Hesı - III İNTEGRAL UYGULAMALARI Kon Özeti (Sık Krşılşıln Fonksionlrın Eğrisi Altındki Aln) Fonksion grfikleri (*) integrl ile ln hesı için ii ilinmelidir. v v v e O e Şekildeki trlı ölgenin lnını lnz. ln 7! R iken e > dır. TA e d e d e e - e e- r v cos sin v k (k < ) k (k > ) f() fonksion ve doğrlrı ve ekseni rsınd kln ölgenin lnını lnz. v v Arıc grfiği verilen fonksionn (doğrsl, prolik, polinomik,...) denklemini olştrmı ii iliniz. (*) f() O TA - d _ - i d + _ - id lnr. d - n + d - n < - d nf+ < - F r. Şekilde prolünün grfiği verilmiştir.. prolü ile, doğrlrı ve ekseni ile sınırlnn ölgenin lnı kç r dir? O Bn göre trlı ln kç r dir?. Şekilde eğrisinin grfiği verilmiştir.. eğrisi, doğrlrı ve ekseni ile sınırlnn ölgenin lnı kç r dir? O e Bn göre trlı ln kç r dir? 8 6 ) ) 6 (*) "Türev II" fsikülü "Grfikler" ünitesini tekrrlınız. 9 ) ) 8

31 İNTEGRAL UYGULAMALARI İntegrl ile Hcim Hesı II Kon Özeti ( Ekseni Etrfınd Döndürme) f() fonksion, ve ekseni rsınd kln ölgenin ekseni etrfınd 6 f() döndürülmesi ile olşn cismin hcmi V olsn; öncelikle fonksion f() olrk düzenlenmelidir. o V d [f()] d dir. f() 6 den küçük kdr döndürmelerde hcim α ifdesini " 6 " ornı ile çrpmı ntmınız. ÖRNEK Birinci ölgede, ekseni, ekseni ve + elipsi rsınd kln ölge ekseni etrfınd, ) 6 ) 8 o döndürülmesi ile olşn cisimlerin hcimlerini lnz. ÇÖZÜM isim ekseni etrfınd döndürülerek elde edileceği için e göre fonksion elde edilip d ile integrl lınır. + & - dir. ) V ^ - h d ^- h d 8 f - p ; c - m - ^he r lnr. 8 ) V 6 d r lnr. Aşğıdki grfiklerde verilen trlı ölgelerin o ekseni etrfınd 6 döndürülmesi ile olşn cisimlerin hcmini lnz.. Anlitik düzlemin irinci ölgesinde eğrisi ve koordint eksenleri ile sınırlı ölgenin ekseni etrfınd 6 döndürülmesi ile olşn cismin hcmi nedir?. o Ç - 6. ln eğrisi, doğrlrı ve ekseni ile sınırlı ölgenin ekseni etrfınd 8 döndürülmesi ile olşn cismin hcmi nedir?. e e o e. - eğrisinin ekseni etrfınd 8 döndürülmesi ile olşn cismin hcmi nedir? ) ) ( e - e) 6 ( e - e ) ) ) 6 )

32 İntegrl ile Hcim Hesı III İNTEGRAL UYGULAMALARI Kon Özeti (İki Eğri Arsındki Bölgenin Döndürülmesi) f() ve g() fonk sionlrı, ve doğrlrı rsınd kln ölgenin ekseni etrfınd döndürülmesi ile olşn cismin hcmi V olsn, f() g() iken; V o [f () -g ()]d tir. f() g() İki eğri rsındki ölgenin ekseni etrfınd döndürülmesi ile olşn cismin hcmi için fonksionlr eksenine göre integrl lınck şekilde düzenlenip krıdki mntık çerçevesinde ormlnır. ÖRNEK Fonksionlrın kesim noktlrının lnmsı gereken drmlrd ortk çözüm pılır. Anlitik düzlemin I. ölgesinde; + doğrs ve eğrisi rsınd kln sonl ölgenin ( * ) ekseni etrfınd 6 döndürülmesi ile olşn dönel cismin hcmini lnz. ÇÖZÜM Sınırlı ölge ekseni etrfınd döndürüleceği için fonksionlr d ile integrl lınck şekilde düzenlenir. (irinci ölgede) + o + Ortk çözüm ile kesişim noktsını llım; - & ^ h ( - ) & - + & - + & ve dir. V ( ) d + ( - ) d > ( - ) ( - ) d+ ( - ) d + ; + r lnr. 6.. prolü ile doğrs rsınd kln ölgenin ekseni etrfınd 6 döndürülmesi ile olşn cismin hcmi nedir? o + Şekilde trlı ölgenin ekseni etrfınd 6 döndürülmesi ile olşn cismin hcmi nedir?. o Ç - 7. ve 8 eğrileri rsınd kln ölgenin ekseni etrfınd 8 döndürülmesi ile olşn cismin hcmi nedir? Şekilde trlı ölgenin ekseni etrfınd 6 döndürülmesi ile olşn cismin hcmi nedir? ) ) ) 6 ) ( * ) "Sonl Bölge" sınırlndırılmış ölge demektir.

33 İNTEGRAL UYGULAMALARI İntegrl ile Hcim Hesı IV Kon Özeti ( k ve m Doğrlrı Etrfınd Döndürme) f() fonksion, ve k doğrs rsınd kln ölgenin eksenine prlel oln k doğrs etrfınd 6 döndürülmesi ile olşn cismin hcmi V ise, V 6 f( ) - d Anı orm eksenine prlel m doğrs etrfınd döndürme ve iki eğri rsındki ölgei, k ve m etrfınd döndürme için de glnır. k k ÖRNEK Anlitik düzlemde + prolü ile ekseni, ve doğrlrı rsınd kln sınırlı ölgenin doğrs etrfınd 6 döndürülmesi ile olşn cismin hcmini lnz. ÇÖZÜM Grfiği çizerek ormllım, + o V ( + - ) d V ( + ) d + + ( + + ) d 8 c + + m c + + m lnr.. o + Ç - 8. prolü ile doğrs rsınd kln sınırlı ölgenin doğrs etrfınd 6 döndürülmesi ile olşn cismin hcmi nedir? Şekildeki trlı ölgenin doğrs etrfınd 6 döndürülmesi ile elde edilen dönel cismin hcmi nedir?. o Şekildeki trlı ölgenin doğrs etrfınd 6 döndürülmesi ile elde edilen dönel cismin hcmini veren integrl ifdesi nedir?. ln eğrisi ile ve doğrs rsınd kln sınırlı ölgenin doğrs etrfınd 6 döndürülmesi ile olşn cismin hcmini veren integrl ifdesi nedir? ) ) ^ - h d 6 ) ) ^e - h d

34 İntegrlin Fiziksel Yorm I İNTEGRAL UYGULAMALARI Kon Özeti (Doğrsl Hreket Denklemi) S ol, V hız, ivme ve t zmn olmk üzere, S(t) oln zmn, V(t) hızın zmn ve (t) ivmenin zmn göre fonksionlrı iken "oln türevi hızı (S'(t) V(t)" ve "hızın türevi ivmei (V'() (t)" verdiğine göre, İvmenin integrli hızı verir: Vt () tdt () Hızın integrli ol verir: St () Vtdt () Belirsiz integrl hesındki integrson siti, hız için ilk hız V ve ol için ilk konm S dır. ÖRNEK Yerden m ükseklikte lnn ir cisim m/sn hızl krı doğr düşe olrk fırltılıor. Yer çekimi ivmesi m/sn olrk lındığınd, t snie sonrki zmn göre şğıdki istenilenleri lnz. ) ismin (t) ivmesini, V(t) hızını, S(t) konmn ) ismin çıkileceği mksimm üksekliği c) ismin ere çrptığı n kdr geçen sürei ÇÖZÜM İlk konm S m ve ilk hız V m/sn olmk üzere krı doğr hreketi "+" şğı doğr hreketi " " llım. m m/sn ) isme etkien er çekimi ivmesi zmn ile değişmeeceğinden, (i) (t) m/sn dir. (ii) Vt () tdt () & Vt () (- ) dt V(t) t + 9 Vo t lnr. (iii) St () Vtdt () & St () ( - tdt ) S(t) t t + t + t + lnr. S 9 o ) ismin mksimm ükseklikteki hızı dır. V(t) t t. sn de cisim mksimm üksekliğe lşır. O hlde, t için S() + + m dir. c) ismin ere çrptığı nd konm dır. S(t) t + t + t t (t )(t + ) t. sn de cisim ere çrpr.. V m/sn 8 m Yerden üksekliği 8 m oln ir cisim m/sn hızl düşe olrk fırltılıor. Yer çekimi ivmesi m/sn olrk lındığınd t snie sonrki zmn göre şğıdkileri lnz. c) ismin S(t) konm fonksion nedir? ) ismin (t) ivme fonksion nedir? d) ismin çıkileceği mksimm ükseklik kç metredir? ) ismin V(t) hız fonksion nedir? e) isim fırltıldıktn kç snie sonr ere çrpr? ) ) ) t c) t + t + 8 d) e) 8

35 İNTEGRAL UYGULAMALARI İntegrlin Fiziksel Yorm II Kon Özeti (Yer Değiştirme ve Toplm Yol) St () Vtdt () iken, t ve t nlrı rsındki er değişim; t ÖRNEK t t Vtdt () St () St ( )- St ( ) dir. t t ve t onlrı rsınd lınn toplm ol; t t Vt () dt dir. Mtlk değer fonksionnn integrlinin kritik noktlrın göre prçlnıp lıncğını htırlınız. Doğrsl ir ol onc hreket eden ir cismin hız fonksion V(t) t t m/sn oldğn göre, cismin t ve t snie nlrınd lndğ noktlr rsındki, ) Uzklığı lnz ) Aldığı toplm ol lnz ÇÖZÜM St () Vtdt () olmk üzere, ) Yer değişimi: t ( t - t) dt c - t m - tür. isim. sniede. sniede lndğ noktnın metre ilerisini gitmiştir. O hlde noktlr rsı zklık metredir. ) Toplm ol: t - t dt dir. t t t(t ) t ve t kritik noktlrdır. O hlde, t - t dt t - t dt + t - t dt - + ( t- t ) dt + ( t -t) dt t t ct - m + c - t m + lnr. O hlde, cisim toplm metre ol lmıştır.. Doğrsl ir ol onc hreket eden ir cismin hız fonksion V(t) (t t) m/sn oldğn göre şğıdki sorlrı cevplınız.. Herhngi ir t nındki hızı V(t) t + 6t m/sn oln ir hreketlinin hrerekete şldığı ndn itiren sniede ldığı ol kç m dir? ) t ve t snie nlrınd lndğ noktlr rsındki zklık kç m dir? ) t ve t snie nlrı rsınd ldığı toplm ol kç m dir.. Doğrsl ir old m/sn hızl giden ir rç niden frene stığınd 6 m/sn ivme ile vşlrk drmştr. B rç frene sıldığı ndn drnc kdr geçen sürede kç metre ol lmıştır? ) ) 9 9 ) 6 ) ) 7

36 İntegrlin Ekonomi ve Diğer Alnlr Uglmsı İNTEGRAL UYGULAMALARI Kon Özeti İntegrlin fiziksel glmsınd kllnıln ilişkiler, ekonomik ve diğer lnlrd krşımız çıkn değişim hızı (ornı) ve hız (orn) ğlı değişen miktr rsınd kllnılır. t zmnın ğlı miktr fonksion F(t) ve hız fonksion V(t) ise, Ft () Vtdt () dir. t ile t rsındki net iş Vtdt (), toplm iş Vt () dt dir. t t ÖRNEK (Üretim Uglmsı) Bir ınevinin kitp sm hızı + t (det/ıl) olrk elirlenmiştir. B ın evinin. ve. ıllr rsınd scğı toplm kitp sısını lnz. (t ıl olrk zmnı elirtmektedir) t t ÇÖZÜM Toplm sıln kitp sısı, sım hızının elirli integrli lınrk lnr. Toplm sım ( + t) dt Nüfs + ( + t) dt + ( t+ t ) ( t+ t ) 8-6 dettir ÖRNEK (Nüfs Uglmsı) ılınd nüfs oln ir şehrin ıldn itiren nüfsnn + t (kişi/ıl) ornı ile değişeceği thmin edilior. t zmn değişkeni, ılındn sonr geçen ılı elirtmek üzere 8 ılınd şehrin thmini nüfsn lnz. ÇÖZÜM ılı t ise 8 ılı t deki nüfs, nüfs değişim ornının (hızının) elirli integrli lınrk lnr. + ( ) 6 kişidir.. Yeni çıln ir otomoil friksının ilk lık üretim ilgilerine göre üretim hızı A'(t) + t (det / ) olrk elirlenmiştir. t friknın çılışındn itiren geçen zmnı, A(t) ise friknın çılışındn t sonr det olrk üretilen otomoil miktrını göstermektedir.. M() ir telin sol cndn itiren noktsın kdr kütlesini, M'() ise oğnlğn elirtmektedir. Bn göre sol cndn itiren cm zklığ kdr oğnlğ M'() + (gr/cm) oln ir telin; ) Friknın ilk d ürettiği toplm otomoil sısı kçtır? ) İlk cm sindeki kütlesi kç grmdır? ) Friknın 9. ve. lr rsınd üreteceği toplm otomoil sısı kçtır? ). ve. sntimetreleri rsındki kütlesi kç grmdır? ) ) 6 ) 69 ) ) 6 ) 68

İntegral Uygulamaları

İntegral Uygulamaları İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı., b olduğun göre, b. b ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir?,,,9 8... b b ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir?.. Bun göre, verilior. ifdesinin değeri kçtır? 8. b b c 8 c d

Detaylı

4- SAYISAL İNTEGRAL. c ϵ R olmak üzere F(x) fonksiyonunun türevi f(x) ise ( F (x) = f(x) ); denir. f(x) fonksiyonu [a,b] R için sürekli ise;

4- SAYISAL İNTEGRAL. c ϵ R olmak üzere F(x) fonksiyonunun türevi f(x) ise ( F (x) = f(x) ); denir. f(x) fonksiyonu [a,b] R için sürekli ise; 4- SAYISAL İNTEGRAL c ϵ R olmk üzere F() onksiyonunun türevi () ise ( F () = () ); Z ` A d F ` c eşitliğindeki F()+c idesine, () onksiyonunun elirsiz integrli denir. () onksiyonu [,] R için sürekli ise;

Detaylı

Örnek...2 : x=2, x=4, y=2, y= 5 doğruları arasında kalan

Örnek...2 : x=2, x=4, y=2, y= 5 doğruları arasında kalan KAT CİSİMLERİN HACİMLERİ Örnek...2 : =2, =4, =2, = 5 doğrulrı rsınd kln ölgenin O ekseni etrfınd 360 o döndürülm esi le oluşck ktı cism in hcm ini ulunuz İNTEGRAL İLE HACİM HESAB 1. X EKSENİNDE DÖNDÜRMELER

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı.,, z rdışık pozitif tmsılr ve z olmk üzere; z olduğun göre, kçtır? C). olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir? C) 8 6., b, c Z olmk üzere; b c bc c b olduğun göre,,

Detaylı

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =?

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =? Lisns Yerleştirme Sınvı (Ls ) 6 Hirn Mtemtik Sorulrının Çöümleri 8 sı tnınd verilen ( ) 8 sısının sı tnınd ılışı? Bu durumd ( ) 8 sısı önce tnın çevrilir Sonr tnınd ılır ( ) 8 8 8 8 Bun göre ( ) 8 ( )

Detaylı

ek tremum LYS-1 MATEMATİK MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte Matematik Alanına ait toplam 80 soru vardır.

ek tremum LYS-1 MATEMATİK MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte Matematik Alanına ait toplam 80 soru vardır. LYS- MTEMTİK MTEMTİK TESTİ. u testte Mtemtik lnın it toplm 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için yrıln kısmın işretleyiniz.. = 5! +! olduğun göre,! syısının türünden eşiti şğıdkilerden

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı 8. sısının pozitif tek tmsı bölenlerinin sısı kçtır? 8. olmk üzere; kesrinin değeri şğıdkilerden hngisi olmz?. (8!) sısının sondn kç bsmğı sıfırdır? 8. ifdesinin sonucu kçtır? (

Detaylı

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü,

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü, 005 ÖSS SIN KPYSI SYISL ÖLÜM İKKT! U ÖLÜME EVPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. İlk 45 Soru Son 45 Soru Mtemtiksel İlişkilerden Yrrlnm Gücü, Fen ilimlerindeki Temel Kvrm ve İlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir.

Detaylı

1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57

1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57 99 ÖYS. si oln si kçtır? A) 9 B) 8 C) D) 6 E) 5 6. Bir nın yşı, iki çocuğunun yşlrı toplmındn üyüktür. yıl sonr nın yşı, çocuklrının yşlrı toplmının ktı olcğın göre ugün kç yşınddır? A) 5 B) 5 C) 55 D)

Detaylı

LOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm

LOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm LOGARİTMA Üstel Fonksion >0 ve olmk üzere f:r R +, f() = şeklindeki fonksionlr üstel fonksion denir. Üstel fonksionlr birebir ve örtendir. f:r R +, f()=( ) bğıntısının üstel fonksion olup olmdığını inceleiniz.

Detaylı

1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır?

1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır? 988 ÖYS. Toplmlrı 4 oln gerçel iki syıdn üyüğü küçüğüne ölündüğünde ölüm 4, kln dir. Küçük syı kçtır? A) 56 B) 5 C) 48 D) 44 E) 40. 0,5 6 devirli (peryodik) ondlık syısı şğıdkilerden hngisine eşittir?

Detaylı

Ünite 5 ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. 5.1. Üstel Fonksiyon. 5.2. Logaritma Fonksiyonu. 5.3. Üstel ve Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler

Ünite 5 ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. 5.1. Üstel Fonksiyon. 5.2. Logaritma Fonksiyonu. 5.3. Üstel ve Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler Ünite ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR f() g() log.. Üstel Fonksion / / / /.. Logritm Fonksionu.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR KAZANIM ve İÇERİK.

Detaylı

c) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir.

c) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir. FONKSİYONLAR Boş kümeden frklı oln A ve B kümeleri verildiğinde, A kümesindeki her elemnı B kümesindeki ir elemn krşı getiren ğıntıy A dn B ye fonksiyon denir. y=f(x) ile gösterilir. Bir diğer ifdeyle

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI ., ÖZEL EGE LİSESİ OKULLR RSI 8. MTEMTİK YRIŞMSI 8. SINI TEST SORULRI 5. 0,0008.0 b 0,0000.0 ise; b.0 kç bsmklı bir sıdır? olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisine eşittir? ) 80 ) 8 ) 8 ) 8

Detaylı

AKM 205-BÖLÜM 4-UYGULAMA SORU VE ÇÖZÜMLERİ

AKM 205-BÖLÜM 4-UYGULAMA SORU VE ÇÖZÜMLERİ AKM 5-BÖÜM -UYGUAMA SORU VE ÇÖZÜMERİ 1. Aşğıd erilen dimi, iki otl ız lnını dikkte lınız: V (, ) (.66.1) i (.7.1) j B kış lnınd ir drm noktsı r mıdır? Vrs nerededir? Kller: 1. Akış dimidir.. Akış -otldr.

Detaylı

11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS)

11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS) ÇMR ÖSS SRULRI 1., ve noktlrı merkezli çember üzerinde m( ) = m( ) =. ir dik üçgeni için, = cm ve = 4 cm olrk veriliyor. Merkezi, yrıçpı [] oln bir çember, üçgenin kenrını ve noktlrınd kesiyor. un göre,

Detaylı

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.

Detaylı

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2) 009 - ÖSS / MT- MTEMTİK TESTİ (Mt ). u testte sırsıl, Mtemtik ( 8) Geometri (9 7) nlitik Geometri (8 0) lnlrın it 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için rıln kısmın işretleiniz..

Detaylı

1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7 ÖYS. 0,00 0,00 k 0,00 olduğun göre, k kçtır? 6. Bir ust günde çift ykkbı, bir klf ise günde çift ykkbı ypmktdır. İkisi birlikte, 8 çift ykkbıyı kç günde yprlr? 0 C) 0 D) 0 C) D). (0 ) ( 0) işleminin

Detaylı

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0

Detaylı

Bilgisayar Destekli Tasarım/İmalat Sistemlerinde Kullanılan Modelleme Yöntemleri: Bézier ve Tiriz Eğrileri ve İmalat Uygulamaları

Bilgisayar Destekli Tasarım/İmalat Sistemlerinde Kullanılan Modelleme Yöntemleri: Bézier ve Tiriz Eğrileri ve İmalat Uygulamaları Bilgisr Destekli Tsrım/İmlt Sistemlerinde Kllnıln Modelleme Yöntemleri: Béier ve Tiri Eğrileri ve İmlt Uglmlrı Bilimsel Hesplm II Dönem Projesi Hmdi Ndir Trl İçerik. Giriş. Bilgisrlı Destekli Tsrım (CAD

Detaylı

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 998 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Üç bsmklı bir doğl syısının ktı, iki bsmklı bir y doğl syısın eşittir. 7 Bun göre, y doğl syısı en z kç olbilir? A) B) C) 8 D) E) Çözüm y 7 7y (, en küçük bsmklı,

Detaylı

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS Rsonel Sılr YILLAR 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0 ÖSS-YGS RASYONEL SAYILAR KESĐR: Z ve 0 olmk üzere şeklindeki ifdelere kesir denir p pd kesirçizgisi KESĐR ÇEŞĐTLERĐ: kesri için i) < ise kesir sit kesirdir

Detaylı

İntegralin Uygulamaları

İntegralin Uygulamaları Bölüm İntegrlin Uygulmlrı. Aln f ve g, [, b] rlığındki her x için f(x) g(x) eşitsizliğini sğlyn sürekli fonksiyonlr olmk üzere y = f(x), y = g(x) eğrileri, x = ve x = b düşey doğrulrı rsındki S bölgesini

Detaylı

LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ

LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ LYS / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ Deneme -. A) - - + B) - 7 - + C) 5-5 - 5 +. + m ; + me + > H + D) - 5 - + E) 7- - + Sılrın plrı eşit olduğun göre, pdsı en üük oln sı en küçüktür. Bun göre A seçeneğindeki

Detaylı

LYS LİMİT. x in 2 ye soldan yaklaşması hangisi ile ifade edilir? şeklinde gösterilir. lim. şeklinde gösterilir. f(x) lim f(x) ise lim f(x) yoktur.

LYS LİMİT. x in 2 ye soldan yaklaşması hangisi ile ifade edilir? şeklinde gösterilir. lim. şeklinde gösterilir. f(x) lim f(x) ise lim f(x) yoktur. Mtemtik SAĞDAN VE SOLDAN YAKLAŞMA Yndki tblod bir değişkeninin 4 sısın sğdn ve soldn klşımı ifde edilmiştir. u durumu genellemek gerekirse; değişkeni re el s ı sın, dn kü çük de ğer ler le k l şı or s,

Detaylı

Ox ekseni ile sınırlanan bölge, Ox ekseni

Ox ekseni ile sınırlanan bölge, Ox ekseni DERSİN ADI: MATEMATİK II MAT II (06) ÜNİTE: BELİRLİ İNTEGRALLERİN UYGULAMALARI. HACİM HESABI GEREKLİ ÖN BİLGİLER 1. Eğri Çizimleri. İntegrl formülleri KONU ANLATIMI. HACİM HESABI ) Disk Yöntemi = f ()

Detaylı

1992 ÖYS A) 0,22 B) 0,24 C) 0,27 D) 0,30 E) 0, Bir havuza açılan iki musluktan, birincisi havuzun tamamını a saatte, ikincisi havuzun

1992 ÖYS A) 0,22 B) 0,24 C) 0,27 D) 0,30 E) 0, Bir havuza açılan iki musluktan, birincisi havuzun tamamını a saatte, ikincisi havuzun 99 ÖYS. Bir öğrenci, hrçlığının 7 si ile, 000 lirlık otobüs biletinden 0 det lmıştır. Bun göre öğrencinin hrçlığı kç lirdır? 0 000 B) 0 000 C) 60 000 D) 80 000 E) 00 000. Bir stıcı, elindeki mlın önce

Detaylı

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : Örnek...4 : a 3 DÜZGÜN ALTIGEN DÜZGÜN ALTIGEN TANIM VE ÖZELLİKLERİ. ABCDEF düzgün

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : Örnek...4 : a 3 DÜZGÜN ALTIGEN DÜZGÜN ALTIGEN TANIM VE ÖZELLİKLERİ. ABCDEF düzgün ÜZGÜN TIGN ( ÜZGÜN TIGN TNIMI, ÖZİİ V NI ĞNİM ) ÜZGÜN TIGN Örnek...2 : TNIM V ÖZİİ enr syısı 6 oln çok - gene lt ıgen denir. ltıgeni için [], [] ve [] köşegenlerinin kesim noktsı oln noktsı dü zgün ltıge

Detaylı

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:

Detaylı

Tanım : Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere trigonometrik çember veya birim çember denir. y B(0,1) C(1,0)

Tanım : Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere trigonometrik çember veya birim çember denir. y B(0,1) C(1,0) BÖLÜM TRİGONOMETRİ.. TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR... BİRİM ÇEMBER Tnım : Merkezi orijin ve yrıçpı birim oln çembere trigonometrik çember vey birim çember denir. Trigonometrik çemberin denklemi + y dir.yni

Detaylı

1986 ÖSS. olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

1986 ÖSS. olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? 986 ÖSS. (0,78+0,8).(0,3+0,7) Yukrıdki işlemin sonucu nedir? B) C) 0, D) 0, E) 0,0. doğl syısı 4 ile bölünebildiğine göre şğıdkilerden hngisi tek syı olbilir? Yukrıdki çrpm işleminde her nokt bir rkmın

Detaylı

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen ÇONLR Çokgenler rdışık en z üç noktsı doğrusl olmyn, düzlemsel şekillere çokgen denir. Çokgenler kenr syılrın göre isimlendirilirler. Üçgen, dörtgen, beşgen gibi. ışbükey (onveks) ve İçbükey (onkv) Çokgenler

Detaylı

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS Ferdinnd P. Beer E. Russell Johnston, Jr. Ders Notu: Hri ACAR İstnbul Teknik Üniveristesi Tel: 85 1 46 / 116 E-mil: crh@itu.edu.tr Web: http://tls.cc.itu.edu.tr/~crh

Detaylı

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit

Detaylı

FONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

FONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - LYS - - - - - - - - FONKSĐYONLAR A ve B oşn frklı iki küme olsun A dn B ye tnımlı f fonksiyonu f : A B ile gösterilir A y tnım kümesi, B ye

Detaylı

DRC. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat. c m. m m. y Cevap A. Cevap D 21, 25, = = =. 21.

DRC. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat. c m. m m. y Cevap A. Cevap D 21, 25, = = =. 21. Deneme - / Mt MATMATİK DNMSİ. - + -. 0,.., f -, 0, p. 0,. c- m.,,. ^- h.. 7. ^- h 7 - ulunur. +. c m olur.. + + ulunur. ( ) c m + c m. cc m m. c m.. ulunur. evp evp. Sekiz smklı herhngi ir özel syı cdefgh

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları... İÇİNDEKİLER Ön Söz... Mtris Cebiri... Elementer İşlemler... Determinntlr...7 Lineer Denklem Sistemleri...8 Vektör Uzylrı...6 Lineer Dönüşümler...48 Özdeğerler - Özvektörler ve Köşegenleştirme...55 Genel

Detaylı

KPSS ÇEVİR KONU - ÇEVİR SORU MATEMATİK

KPSS ÇEVİR KONU - ÇEVİR SORU MATEMATİK MTEMTİK KPSS ÇEVİR KONU - ÇEVİR SORU MTEMTİK EDİTÖR Turgut MEŞE YZR İdris DOĞN ütün hklrı Editör Yyınlrın ittir. Yyınevinin izni olmksızın, kitbın tümünün vey bir kısmının bsımı, çoğltılmsı ve dğıtımı

Detaylı

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri

Detaylı

KONİKLER KONİKLER...318-357. Sayfa No. r=a A O A. Asal çember. x 2 + y 2 = a 2

KONİKLER KONİKLER...318-357. Sayfa No. r=a A O A. Asal çember. x 2 + y 2 = a 2 Sf No.........................................................8-7 Prol....................................................................... 9 - Etkinlikler.....................................................................

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER Sf No..................................................... - 7 Denklem ve Eşitsizlikler Konu Özeti............................................. Konu Testleri ( 0)..........................................................

Detaylı

ÖRNEK - 1 ÖRNEK x 3 4x 2 + 6x. 2x 3 4x 2 + 6x ifadesinde her terimdeki ortak çarpan 2x tir. 2x(x 2 2x + 3) ÖRNEK - 3.

ÖRNEK - 1 ÖRNEK x 3 4x 2 + 6x. 2x 3 4x 2 + 6x ifadesinde her terimdeki ortak çarpan 2x tir. 2x(x 2 2x + 3) ÖRNEK - 3. ÇARPANLARA AYIRMA çerisinde bilinmeen bulunn ve bilinmeenlerin her de eri için dim do ru oln eflitliklere özdefllik denir. Örne in; ÖRNEK - Afl dki ifdeleri ortk çrpn prntezlerine lrk çrpnlr r n z. ) +

Detaylı

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır? . SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)

Detaylı

YILLAR ÖSS-YGS /LYS /1 0/1 ÇÖZÜM: 1) xοy A ise ο işlemi A da kapalıdır.

YILLAR ÖSS-YGS /LYS /1 0/1 ÇÖZÜM: 1) xοy A ise ο işlemi A da kapalıdır. YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS /LYS - - - 0/ 0/ ĐŞLEM ( ) ( ) (+ ) ( ) 7 6 76+ bulunur ve e bğlı bütün tnımlı fonksionlr bir işlem belirtir i göstermek için +,,*, gibi işretler kullnılır

Detaylı

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir?

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir? 98 ÜYS Sorulrı. r top kumşın önce, sonr d klnın ü 5 stılıor. Gere 6 m kumş kldığın göre, kumşın tümü kç metredr? ) 7 ) 65 ) 6 ) 55 ) 5 4. r şekln, u brm uzunluğun göre ln ölçüsü, v brm uzunluğun göre ln

Detaylı

TEST. Rasyonel Sayılar. 1. Aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? 2. Aşağıda verilen, 3. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem tam sayı,

TEST. Rasyonel Sayılar. 1. Aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? 2. Aşağıda verilen, 3. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem tam sayı, Rsyonel Syılr. Sınıf Mtemtik Soru Bnksı TEST. Aşğıdki bilgilerden hngisi ynlıştır? A) Rsyonel syılr Q sembolü ile gösterilir. B) Her tm syı bir rsyonel syıdır. şeklinde yzıln bütün syılr rsyoneldir. b

Detaylı

ÜÇGENDE AÇI-KENAR BAĞINTILARI

ÜÇGENDE AÇI-KENAR BAĞINTILARI ÜÇGN ÇI-NR ĞINTILRI ir üçgende üük çı krşısınd üük kenr, küçük çı krşısınd küçük kenr ulunur. 3 Şekildeki verilere göre, en uzun kenr şğıdkilerden hngisidir? 3 3 üçgeninde, kenrlr rsınd > > ğıntısı vrs,

Detaylı

Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN 978-605-364-027-1. Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN 978-605-364-027-1. Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 0 DENEME SINAVI ISBN 97-0--07- Kitpt yer ln ölümlerin tüm sorumluluğu yzrın ittir. Pegem Akdemi Bu kitın sım, yyın ve stış hklrı Pegem Akdemi Yy. Eğt. Dn. Hizm. Tic. Ltd. Şti

Detaylı

İÇİNDEKİLER ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06

İÇİNDEKİLER ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06 PROBLEMLER İÇİNDEKİLER Syf No Test No ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06 SAYI PROBLEMLERİ... 299-314... 01-08 YAŞ PROBLEMLERİ...

Detaylı

http://www.metinyayinlari.com Metin Yayınları

http://www.metinyayinlari.com Metin Yayınları LİMİT İÇ KAPAK Bu kitbı bütü ı hklrı sklıdır. Tüm hklrı, zrlr ve METİN YAYINLARI ittir. Kısme de ols lıtı pılmz. Meti, biçim ve sorulr, ıml şirketi izi olmksızı, elektroik, mekik, fotokopi d herhgi bir

Detaylı

MATEMATİK TESTİ. 5. a, b birer gerçek sayı ve a + b < 3tür. Bu sayıların sayı doğrusunda gösterilişi aşağıdakilerden hangisindeki gibi olabilir?

MATEMATİK TESTİ. 5. a, b birer gerçek sayı ve a + b < 3tür. Bu sayıların sayı doğrusunda gösterilişi aşağıdakilerden hangisindeki gibi olabilir? MTEMTİK TESTİ 1 1 1 1 1. + 4 4 1 ) 0 ) 4 işleminin sonucu kçtır? ) 1 ) 1., irer gerçek syı ve + < 3tür. u syılrın syı doğrusund gösterilişi şğıdkilerden hngisindeki gii olilir? ) -3 - -1 0 1 3 ) -3 - -1

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 7. MATEMATİK YARIŞMASI. SINIF TEST SORULARI. + işleminin sonucu kçtır? 5 5 A) 0 B) 0 C) 0 7 D) 0 9 E). y = x x + prbolünün y = x doğrusun en ykın noktsının koordintlrı toplmı

Detaylı

2 olur. ADI: SOYADI: DERS: MATEMATĐK KONU: KESĐK PĐRAMĐT KONU ANLATIMI HAZIRLAYAN: ÖMER ASKERDEN

2 olur. ADI: SOYADI: DERS: MATEMATĐK KONU: KESĐK PĐRAMĐT KONU ANLATIMI HAZIRLAYAN: ÖMER ASKERDEN 1)KESĐK PĐRAMĐT: Bir pirmit, tbn prlel bir düzlem ile kesildiğinde, tbn düzlemi ile kesit üzei rsınd kln kısım kesik pirmit denir. KESĐK PĐRAMĐDĐN YANAL YÜZ ALANI: Bir düzgün kesik pirmidin nl lnı, lt

Detaylı

UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-1

UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-1 UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-. A(,, ) ve B(,, ) noktlrı rsındki uklık kç birimdir? 6. A e e e B e e e AB vektörü ile nı doğrultud ıt öndeki birim vektör şğıdkilerden ( e e e ). A(, b, ) B(,, ) noktlrı ve U

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER. Kznım : Gerçek syılr kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir.. Kznım : Gerçek

Detaylı

BÖLÜM 3 : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ

BÖLÜM 3 : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ BÖLÜM : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ (Rndom Vribles Giriş: Bölüm de olsılık fonksionu, denein örneklem uzını oluşurn sonuçlrın erimleri ile belirleniordu. Örneğin; iki zr ıldığınd, P gelen 6 olsı sırlı ikilinin

Detaylı

İNTEGRAL KONU ANLATIMI ÖRNEKLER

İNTEGRAL KONU ANLATIMI ÖRNEKLER İNTEGRL KONU NLTIMI ÖRNEKLER Ġtgrl lmk, türi ril ir oksio lmk tır d,, d oksio olrk rildiğii =F i istdiğii rslım d içi i cid idsi: d = + dir, hrhgi ir sit df d koģl sğl = F oksio i gör itgrli dir d F içimid

Detaylı

LYS 2016 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ

LYS 2016 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ LYS 06 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ 6.. 5. 5. ( ) 8 6 65 buluruz. 5. 5 5 Doğru Cevp: C Şıkkı 8 7 ()... 9 buluruz. Doğru Cevp : D Şıkkı 9 8 8 9 8 9 8 9 9 9 9 9 8 buluruz. 8 8 8 8 8 Doğru Cevp : A Şıkkı (n )! (n

Detaylı

Çevre ve Alan. İlköğretim 6. Sınıf

Çevre ve Alan. İlköğretim 6. Sınıf Çevre ve Aln İlköğretim 6. Sınıf Çevre Merhb,ilk olrk seninle birlikte evin çevresini bulmy çlışlım Kırmızı çizgiler evin çevre uzunluğunu verir. Çevre Şimdi sır futbol shsınd Çevre Şimdi,Keloğlnın Pmuk

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran Matematik I Soruları ve Çözümleri

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran Matematik I Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınvı (Öss) / 7 Hzirn 007 Mtemtik I Sorulrı ve Çözümleri.. 7 işleminin sonucu kçtır? A) B) 9 C) D) E) Çözüm. 7..9.. + işleminin sonucu kçtır? 4 8 A) 8 B) 8 C) 8 D) 4 E) 4 Çözüm + 4 8 8 4+

Detaylı

İNTEGRAL - 6 ALAN HESABI. Bazı Önemli Fonksiyonların Grafikleri: y = mx3. y = mx 2. Taralı Alan = x = my 2. f g. y.x = m. g f. (f(x) g(x)).

İNTEGRAL - 6 ALAN HESABI. Bazı Önemli Fonksiyonların Grafikleri: y = mx3. y = mx 2. Taralı Alan = x = my 2. f g. y.x = m. g f. (f(x) g(x)). SEÇKÝN GRUP DERSHANESÝ Kurtuluþ Mh. Hkký Yðcý C. - 76 / UÞAK İNTEGRAL - 6 ALAN HESABI.. Bzı Önemli Fonksionlrın Grikleri: = m = m () = () = Trlı Aln = (). Trlı Aln = (). = m. = m 5. 6. g g Trlı Aln = Trlı

Detaylı

DERS 3. Doğrusal Fonksiyonlar, Quadratic Fonksiyonlar, Polinomlar

DERS 3. Doğrusal Fonksiyonlar, Quadratic Fonksiyonlar, Polinomlar DERS 3 Doğrusl Fonksionlr Qudrtic Fonksionlr Polinomlr 3. Bir Fonksionun Koordint Kesişimleri(Intercepts). Bir fonksionun grfiğinin koordint eksenlerini kestiği noktlr o fonksionun koordint kesişimleri

Detaylı

a üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır:

a üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır: 1 Üstel Fonksiyon: >o, 1 ve herhngi bir reel syı olmk üzere f: fonksiyon denir. R fonksiyonun üstel R, f()= 1 2, f()= ve f()= f()= gibi tbnı sbit syı (pozitif ve 1 den frklı) ve üssü 4 değişken oln bu

Detaylı

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır. LİNEER CEBİR MTRİSLER: i,,,...,m ve j,,,..., n için ij sılrının. m m...... n n mn şeklindeki tblosun mn tipinde bir mtris denir. [ ij ] mn şeklinde gösterilir. m stır, n sütun sısıdır. 5 mtrisi için ;

Detaylı

SAYI ÖRÜNTÜLERİ VE CEBİRSEL İFADELER

SAYI ÖRÜNTÜLERİ VE CEBİRSEL İFADELER ÖRÜNTÜLER VE İLİŞKİLER Belirli bir kurl göre düzenli bir şekilde tekrr eden şekil vey syı dizisine örüntü denir. ÖRNEK: Aşğıdki syı dizilerinin kurlını bulunuz. 9, 16, 23, 30, 37 5, 10, 15, 20 bir syı

Detaylı

İkinci Dereceden Denklemler

İkinci Dereceden Denklemler İkini Dereeden Denkleler İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIMLAR :,, R ve olk üzere + + denkleine, ikini dereeden ir ilineyenli denkle denir Bu denkledeki,, gerçel syılrın ktsyılr, e ilineyen

Detaylı

Belirsiz İntegral...415. İntegral Alma Yöntemleri... 425 Değişken Değiştirme Yöntemi... 425

Belirsiz İntegral...415. İntegral Alma Yöntemleri... 425 Değişken Değiştirme Yöntemi... 425 Belisiz İntegl... İntegl Alm Yöntemlei... Değişken Değiştime Yöntemi... d c Biçimindeki İnteglle... 9 A B d Biçimindeki integlle... c Kesili Fonksionlın İntegli... 8 Tigonometik Fonksionlın İntegli...

Detaylı

Anadolu Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması 2015-2016 Güz Dönemi

Anadolu Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması 2015-2016 Güz Dönemi Andolu Üniversitesi Mühendislik Fkültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Plnlmsı 2015-2016 Güz Dönemi 2 Tesis (fcility) Tesis : Belli bir iş için kurulmuş ypı Tesis etmek :

Detaylı

Cevap D. 6. x = 3, y = 7, z = 9 olduğundan x + y < y ve. Cevap C. 7. x ile y aralarında asal olduğundan x 2 ile y sayıları da. Cevap A.

Cevap D. 6. x = 3, y = 7, z = 9 olduğundan x + y < y ve. Cevap C. 7. x ile y aralarında asal olduğundan x 2 ile y sayıları da. Cevap A. eneme - / Mt MTEMTİK ENEMESİ. c - m. c - m -.., bulunur. y. 7, + 7 y + + 00 y + + + y + +, y lınr ı.. ^ - h. ^ + h. ^ + h ^ - h. ^ + h - & & bulunur.. ΩΩΩΩΔφφφ ΩΩφφ ΩΩΔφ 0 evp. ise ^ h ^h 7 ise ^ 7h b

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran Matematik I Soruları ve Çözümleri

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran Matematik I Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınvı (Öss) / 7 Hzirn 007 Mtemtik I Sorulrı ve Çözümleri.. 7 işleminin sonucu kçtır? A) B) 9 C) D) E) Çözüm. 7..9.. + işleminin sonucu kçtır? 4 8 A) 8 B) 8 C) 8 D) 4 E) 4 Çözüm + 4 8 8 4+

Detaylı

ÜÇGENĠN ĠÇĠNDEKĠ GĠZEMLĠ ALTIGEN

ÜÇGENĠN ĠÇĠNDEKĠ GĠZEMLĠ ALTIGEN ÖZEL EGE ORTAOKULU ÜÇGENĠN ĠÇĠNDEKĠ GĠZEMLĠ ALTIGEN HAZIRLAYAN ÖĞRENCĠLER: Olçr ÇOBAN Sevinç SAYAR DANIġMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL AÇIKSÖZ ĠZMĠR 2014 ĠÇĠNDEKĠLER 1. PROJENĠN AMACI... 2 2. GĠRĠġ... 2 3.

Detaylı

η= 1 kn c noktasında iken A mesnedinin mesnet tepkisi (VA)

η= 1 kn c noktasında iken A mesnedinin mesnet tepkisi (VA) ölüm Đzosttik-Hipersttik-Elstik Şekil Değiştirme TESİR ÇİZGİSİ ÖRNEKLERİ Ypı sistemlerinin mruz kldığı temel yükler sit ve hreketli yüklerdir. Sit yükler için çözümler önceki konulrd ypılmıştır. Hreketli

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d

Detaylı

DERS 3. Fonksiyonlar - II

DERS 3. Fonksiyonlar - II DERS 3 Fonksionlr - II Bu derste fonksionlr için eni örnekler göreceğiz. Önce, grfik çiziminde kollık sğlck ir kvrmdn söz edeceğiz. 3.. Bir Fonksionun Koordint Kesişimleri. Bir fonksionun grfiğine kınc

Detaylı

çizilen doğru boyunca birim vektörü göstermektedir. q kaynak yükünün konum vektörü r ve Q deneme E( r) = 1 q

çizilen doğru boyunca birim vektörü göstermektedir. q kaynak yükünün konum vektörü r ve Q deneme E( r) = 1 q Elektrosttik(Özet) Coulomb Yssı Noktsl bir q yükünün kendisinden r kdr uzktki bir Q yüküne uyguldığı kuvvet, şğıdki Coulomb yssı ile ifde edilir: F = 1 qq ˆr (1) r2 burd boşluğun elektriksel geçirgenlik

Detaylı

Kesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi

Kesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi Kesir.. Trlı lnı gösteren kesri bulunuz. kesrini ile genişlettiğimizde elde edilecek kesri bulunuz.. Yndki şekilde bir bütün 8 eş prçy bölünmüş ve bu prçlrdn tnesi trnmıştır. Trlı lnı gösteren kesir syısı

Detaylı

1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR, KÜMELERDE İŞLEMLER BÖLÜM: KARTEZYEN ÇARPIM, KÜME PROBLEMLERİ BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR...

1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR, KÜMELERDE İŞLEMLER BÖLÜM: KARTEZYEN ÇARPIM, KÜME PROBLEMLERİ BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR... İçindekiler 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KVRMLR, KÜMELERDE İŞLEMLER... 10. KÜMELERDE TEMEL KVRMLR... 10 B. SONLU, SONSUZ VE BOŞ KÜME... 12 C. KÜMELERİN EŞİTLİĞİ... 14 D. LT KÜME, ÖZ LT KÜME... 14 E. KÜMELERDE

Detaylı

LYS MATEMATİK-2 SORU BANKASI LYS. M. Ali BARS. çözümlü sorular. yıldızlı testler. Sınavlara en yakın özgün sorular

LYS MATEMATİK-2 SORU BANKASI LYS. M. Ali BARS. çözümlü sorular. yıldızlı testler. Sınavlara en yakın özgün sorular LYS LYS 6 Sınavlara en akın özgün sorular MATEMATİK- SORU BANKASI çözümlü sorular ıldızlı testler M. Ali BARS M. Ali Bars LYS Matematik Soru Bankası ISBN 978-65-8-7-9 Kitapta er alan bölümlerin tüm sorumluluğu

Detaylı

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7.

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7. MC. + + +.. Rsyonel Syılr TEST I sonsuz kesrinin eşiti kçtır? A) B) C) D) E) 4 www.mtemtikclu.com, 006 Ceir Notlrı. 8. Gökhn DEMĐR, gdemir@yhoo.com.tr 0;0 0;0008 = 0; x ise x kçtır? A) 0,0 B) 0,000 C)

Detaylı

Sayı Kümeleri ve Koordinatlar

Sayı Kümeleri ve Koordinatlar DERS 1 Sı Kümeleri ve Koordintlr 1.1 Kümeler. Mtemtiğin temel kvrmlrındn biri küme kvrmıdır. Okuucunun küme kvrmın bncı olmıp kümelerle ilgili temel işlemleri bildiğini kbul edioruz. Bununl berber kümelerle

Detaylı

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir.

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir. LOGARİTMA I. Üstl Fonksiyonlr v Logritmik Fonksiyonlr şitliğini sğlyn dğrini bulmk için ypıln işlm üs lm işlmi dnir. ( =... = 8) y şitliğini sğlyn y dğrini bulmk için ypıln işlm üslü dnklmi çözm dnir.

Detaylı

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24.

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24. DENKLEM ÇÖZME + + = 0 + = 0 + = 0 + y = 0 İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden İki ilinmeyenli

Detaylı

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

Detaylı

İNTEGRAL 6 RİEMANN TOPLAMI : ALT TOPLAM,ÜST TOPLAM VE RİEMANN ALT TOPLAM ÜST TOPLAM. [a, b] R ARALIĞININ PARÇALANIŞI VE RİEMANN TOPLAMI

İNTEGRAL 6 RİEMANN TOPLAMI : ALT TOPLAM,ÜST TOPLAM VE RİEMANN ALT TOPLAM ÜST TOPLAM. [a, b] R ARALIĞININ PARÇALANIŞI VE RİEMANN TOPLAMI [, ] R ARALIĞININ PARÇALANIŞI VE RİEMANN TOPLAMI f : [, ] R sürekli ir foksio olsu. Bu [,] kplı rlığı = <

Detaylı

İŞ ETKİ ÇİZGİSİ TEOREMİ. Balıkesir Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi İnşaat Müh. Bölümü Balıkesir, TÜRKİYE THEOREM OF WORK INFLUENCE LINE

İŞ ETKİ ÇİZGİSİ TEOREMİ. Balıkesir Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi İnşaat Müh. Bölümü Balıkesir, TÜRKİYE THEOREM OF WORK INFLUENCE LINE BAÜ Fen Bil. Enst. Dergisi (006).8. İŞ ETKİ ÇİZGİSİ TEOREMİ Scit OĞUZ, Perihn (Krkulk) EFE Blıkesir Üniversitesi Mühendislik Mimrlık Fkültesi İnşt Müh. Bölümü Blıkesir, TÜRKİYE ÖZET Bu çlışmd İş Etki Çizgisi

Detaylı

4. x ve y pozitif tam sayıları için,

4. x ve y pozitif tam sayıları için, YGS MTEMTİK ENEMESİ., b ve c pozitif tm syılrı için, b c b b c c biçiminde tnımlnıyor. un göre, işleminin sonucu kçtır? ) 6 ) 4 ) 0 ) 6 E) 8. Rkmlrı frklı dört bsmklı doğl syısının ilk iki bsmğı ile son

Detaylı

1. Değişkenler ve Eğriler: Matematiksel Hatırlatma

1. Değişkenler ve Eğriler: Matematiksel Hatırlatma DERS NOTU 01 Son Hli Değildir, tslktır: Ekleme ve Düzenlemeler Ypılck BİR SOSYAL BİLİM OLARAK İKTİSAT VE TEMEL KAVRAMLAR 1 Bugünki dersin işleniş plnı: 1. Değişkenler ve Eğriler: Mtemtiksel Htırltm...

Detaylı

FRENLER 25.02.2012 FRENLERİN SINIFLANDIRILMASI

FRENLER 25.02.2012 FRENLERİN SINIFLANDIRILMASI RENLER RENLER renler çlışmlrı itiriyle kvrmlr enzerler. Kvrmlr ir hreketin vey momentin diğer trf iletilmesini sğlrlr ve kıs ir süre içinde iki trftki hızlr iririne eşit olur. renler ise ir trftki hreketi

Detaylı

Ünite Planı Şablonu. Öğretmenin. Fatma BAĞATARHAN Yunus Emre Anadolu Lisesi. Ġnönü Mahallesi. Bingöl. Adı, Soyadı. Okulunun Adı

Ünite Planı Şablonu. Öğretmenin. Fatma BAĞATARHAN Yunus Emre Anadolu Lisesi. Ġnönü Mahallesi. Bingöl. Adı, Soyadı. Okulunun Adı Intel Öğretmen Progrmı Ünite Plnı Şlonu Öğretmenin Adı, Soydı Okulunun Adı Okulunun Bulunduğu Mhlle Okulun Bulunduğu Ġl Ftm BAĞATARHAN Yunus Emre Andolu Lisesi Ġnönü Mhllesi Bingöl Ünit Bilgisi Ünite Bşlığı

Detaylı

MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1)

MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1) ÖSS MT-1 / 008 MTMTİK 1 TSTİ (Mt 1) 1. u testte 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik 1 Testi için yrıln kısmın işretleyiniz. 1. 1 + 4 1 ( ) 4. syısı b 0 ) b syısının kç ktıdır? ) b ) b işleminin

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS MTEMTİK TESTİ. Bu testte soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. d + n - d + n d - + n- d + + n işleminin sonucu kaçtır?., R olmak üzere, + +

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

BOYUT ANALİZİ- (DIMENSIONAL ANALYSIS)

BOYUT ANALİZİ- (DIMENSIONAL ANALYSIS) BOYU ANAİZİ- (IMENSIONA ANAYSIS Boyut nlizi deneysel ölçümlerde ğımlı ve ğımsız deney değişkenleri rsındki krmşık ifdeleri elirlemekte kullnıln ir yöntemdir. eneylerde ölçülen tüm fiziksel üyüklükler temel

Detaylı

Cebir Notları Mustafa YAĞCI, Eşitsizlikler

Cebir Notları Mustafa YAĞCI, Eşitsizlikler www.mustfygci.com.tr, 4 Cebir Notlrı Mustf YAĞCI, ygcimustf@yhoo.com Eşitsizlikler S yılr dersinin sonund bu dersin bşını görmüştük. O zmnlr dın sdece birinci dereceden denklemleri içeren mnsınd Bsit Eşitsizlikler

Detaylı

MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ

MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ MÜHENDİSLİK MEKNİĞİ DİNMİK MDDESEL NOKTLRIN DİNMİĞİ DİNMİK MDDESEL NOKTLRIN DİNMİĞİ İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ - Konum, Hız e İme - Newton Knunlrı 2. MDDESEL NOKTLRIN KİNEMTİĞİ - Doğrusl Hreket - Düzlemde Eğrisel

Detaylı