BÖLÜM 6 DAİMİ, İKİ-BOYUTLU, SIKIŞTIRILAMAZ POTANSİYEL AKIMLAR

Transkript

1 BÖLÜM 6 DAİMİ, İKİ-BOYUTLU, SIKIŞTIRILAMAZ POTANSİYEL AKIMLAR 6.1 Giriş 6. Hı Potanseli için formülasyon 6.3 Akım Fonksonu için formülasyon 6.4 Kompleks dülemde formülasyon 6.5 Potansel Akımların Süperpoisyonu 6.6 Basit Akımlar 6.7 Dairesel silindir etrafındaki simetrik ve sirkülasyonlu akımlar

2 Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılama Potansel Akımlar Giriş Yüksek Reynolds sayılarında üniform paralel akım içinde çok yüksek olmayan hücum açılarında yer alan bir kanat profili etrafındaki akım örneğinde olduğu gibi, sınır tabaka ve i etkilerinin küçük olduğu durumlarda ilk yaklaşımda akım alanının çevrisi (irrotasyonel) olduğu yaklaşımıyla inceleme yapmak mümkündür. Bu durumda akım alanı genellikle potansel olarak nitelendirilir. Bu yaklaşım, akımın daimi, sıkıştırılama kabul edilmesle de birlikte akımı yöneten denklemlerin hayli basit bir hale getirilmesini sağlar. Böylece nispeten kolay ve ucu yöntemlerle çöümler elde etmek mümkün olur. Potansel akım problemlerini reel dülemde bir hı potansel fonksonu cinsinden veya iki-boyutlu halde akım fonksonu cinsinden modelleyerek bu fonksonlardan birisi için çömek mümkün ve yeterlidir. Ancak bu iki fonksonu birleştirerek problemi kompleks dülemde modellemek de mümkündür. Kompleks dülem reel düleme kıyasla baı işlem kolaylıkları sağlar. 6.. Hı Potanseli için formülasyon: Süreklilik denklemi Daimi akım kabulü 0 t ρ + t r ( ρ V ) 0 Sıkıştırılama akım ρ Sb V r 0 Çevrisi (irrotasyonel) akım V r 0 Hı potanseli V r φ ( ) 0 φ Laplace denklemi φ 0 Problem, akım alanı olarak tanımlanan bölge içerisinde Laplace denkleminin, uygun sınır şartlarıyla birlikte, φ potansel fonksonu için çöülmesinden ibarettir. Bir potansel akım alanında potansel fonksonunun φ(,y)φ i şeklinde sabit değerler aldığı noktaları birleştiren eğrilere potansel eğrisi (potansel çigisi) adı verilir. Bu eğrilerle hı vektörleri arasında öel bir ilişki vardır. Şöyle ki; Hı vektörü potansel fonksonunun gradyantına eşit olduğu için potansel fonksonunun herhangi bir doğrultudaki türevi bu doğrultudaki hı bileşenine eşit olur. UCK 351 Aerodinamik Gü Yarıyılı Ders Notları

3 Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılama Potansel Akımlar 6- Örneğin (,y,) karteyen koordinat sisteminde hı bileşenleri u, v ve w olarak tanımlanırsa r r r r φ r φ r φ r V φ ui + vj + wk i + j + k u φ, v φ, w φ olduğu görülür. Buna göre, bir potansel eğrisi boyunca φsb olduğu için potansel fonksonunun bu eğrinin herhangi bir noktasında teğeti doğrultusundaki türevi ve dolayısıyla teğet doğrultusundaki hı bileşeni sıfır olacak, bunun sonucu olarak da bu noktadaki hı bileşeni potansel eğrisine dik olacaktır. φφ 1 φφ φφ 3 Kanat profili için problem: Öel bir durum sö konusu olmadıkça genel olarak bir kanat profilinin üniform paralel akım içerisinde yer aldığı varsayılır. Akım bölgesi, kanat profilinin yüeyi olarak tanımlanan bir iç sınır ile sonsuda yer aldığı varsayılan bir dış sınır arasındaki geniş bölgedir. Problem, hı potanseli için yaılmış Laplace denkleminin bu bölge içerisinde, bölgenin belirtilen sınırları üerinde tanımlanacak sınır şartlarıyla birlikte çöümünden ibarettir. Çöümden kastedilen, akım alanının her bir noktasında potansel fonksonunun değerinin elde edilmesidir. A y + φ φ D φ 0 - φ φ y V n φ / n0 + φ φ V p ρ B y - φ φ C Dış sınırındaki sınır şartını üniform paralel akım büyüklükleri belirler. Kanat profilinin yüeyi üerindeki sınır şartı ise akımın yüeye teğet olması şeklinde ifade edilebilir. UCK 351 Aerodinamik Gü Yarıyılı Ders Notları

4 Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılama Potansel Akımlar 6-3 Dış sınır üerindeki sınır şartı matematiksel olarak şimdilik φ φ şeklinde belirtilebilir. İlerleyen paragraflarda üniform-paralel akıma ait potansel fonksonunun nasıl tanımlanacağı gösterilecektir. Yüey üerindeki sınır şartını ise matematiksel olarak çeşitli şekillerde ifade etmek mümkündür: Örneğin akımın yüeye teğet olması yüeye dik hı bileşeninin sıfır olması şeklinde yorumlanarak: r V n r 0 ( ) n r φ φ 0 0 n yaılabilir. Pratikte, elde edilecek çöümden nasıl yararlanılacağı da önemlidir: - Laplace denkleminin çöümü akım alanının her bir noktasında φ (,y) fonksonunun değerini verecektir. - V r φ bağıntısı yardımıyla her bir noktadaki hıı elde etmek mümkündür. r C p 1 V / V noktadaki basınç katsayısını elde etmek mümkündür. - Bernoulli denkleminin sonucu olan ( ) bağıntısı yardımıyla her bir - Yüey üerindeki basınç dağılımının integrasyonu yardımıyla taşıma ve yunuslama katsayılarını verecek bilgiler elde etmek mümkündür. Cl C pd, C m C p d 6.3. Akım fonksonu için formülasyon: Daimi akım halinde akışkan errelerinin yörüngeleri akım çigisi olarak adlandırılır. Nasıl ki potansel fonksonu bir takım potansel eğrilerini tanımlıyorsa iki-boyutlu halde akım çigilerinin de beneri şekilde bir akım fonksonu ile tanımlanmaları mümkündür. Akım çigileri katı cidar gibi akışkanın bir taraftan diğer tarafa geçmesine iin vermeyen çigiler olduğundan iki akım çigisi arasında ilerleyen akımın debisi akım boyunca sabit kalacaktır. Bu öellikten akım fonksonunun tanımlanmasında ve hı bileşenlerle ilişkilendirilmesinde yararlanılır. Şekilde görüldüğü gibi birbirine çok yakın iki akım çigisi boyunca akım fonksonunun c 1 ve c gibi sabit değerler aldığını varsayalım. Akım fonksonunun değerleri arasındaki farkı ψ ile gösterelim ve bu farkın akım çigileri arasından geçen debe eşit olduğunu faredelim. c a ψc ψc 1 V n b d Akım çigileri birbirine çok yakın olduğu için n aralığının her noktasında hıın aynı olduğu kabul edilebilir. Buna göre: UCK 351 Aerodinamik Gü Yarıyılı Ders Notları

5 Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılama Potansel Akımlar 6-4 c veya limit alarak c 1 ψ ψ ρ V n ρ V n lim n 0 ψ n dψ ρ V dn elde edilir. Akım fonksonu için yaılan bu denklemi hı bileşenleri cinsinden daha kullanışlı bir biçime getirmek mümkündür. - ψc d Örneğin şekilde görüldüğü gibi (,y) karteyen koordinat sisteminde iki akım çigisi arasında dik üçgen şeklinde belirtilen kontrol hacmine giren ve çıkan debiler eşit olacağından ψ ρ V n ρ u y + ρ v( ) c u V n v y y ψc 1 b veya limit alınarak a dψ ρ u dy ρ v d Diğer taraftan bir ψ(,y) fonksonun tam diferanseli kısmi türevleri cinsinden dψ ψ d ψ + dy şeklinde ifade edilebilir. Bu iki bağıntı karşılaştırılarak ψ ρ u, ρ v ψ olduğu görülür. Sıkıştırılama akımlar halinde bu bağıntılar u ψ, v ψ şeklini alır. Bu son bağıntılar daha önce potansel fonksonunun türevleri için verilen bağıntılarla birleştirilirse φ ψ u φ ψ v yaılabilir. Bu son eşitlikler Cauchy-Riemann bağıntıları olarak bilinir UCK 351 Aerodinamik Gü Yarıyılı Ders Notları

6 Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılama Potansel Akımlar 6-5 Potansel çigileri hı vektörlerine dik ve akım çigileri de hı vektörlerine teğet olduğu için potansel ve akım çigileri birbirlerini dikey olarak keserler. Cauchy-Riemann bağıntıları da bunu doğrulayarak potansel ve akım fonksonlarının dik-kesişen (ortogonal) fonksonlar olduğunu göstermektedir. Şimdi potansel akımın çevrisi olma şartı yeniden hatırlanırsa, örneğin (,y,) karteyen koordinat sisteminde matris formda bu şart ψ 5 ψ 4 ψ 3 ψ ψ 1 φ 1 φ φ 3 r r r i j k r w v r u w r v u r V 0 i + j + k 0 u v w φ 4 şeklinde yaılabilir. İki-boyutlu halde, hılarla akım fonksonu arasında yukarıda bulunan ilişkiler de kullanılarak v u ψ ψ ψ ψ ψ 0 şeklinde yine Laplace denklemine gelinir. Yani potansel akım problemi akım fonksonu için de Laplace denklemi ile temsil edilmektedir. Kanat profili için problem: Kanat profili için problem daha önce potansel fonksonu halinde belirtilen aynı sınırlar içerisinde, ama bu defa akım fonksonu için Laplace denkleminin çöümünden ibarettir. Bununla birlikte, sınır şartlarının da akım fonksonu cinsinden verileceği unutulmamalıdır. A y + ψ ψ D ψ ψ ψ y ψ Sb ψ ψ V p ρ B y - ψ ψ C UCK 351 Aerodinamik Gü Yarıyılı Ders Notları

7 Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılama Potansel Akımlar 6-6 Dış sınır üerindeki sınır şartı matematiksel olarak şimdilik yine ψ ψ şeklinde belirtilebilir. Yüey üerindeki sınır şartını ise, yüeyin bir akım çigisi olacağını dikkate alarak yüey boyunca akım fonksonunun sabit olması şeklinde uygulamak mümkündür: ψ ψ w Sb Laplace denklemi akım fonksonu için çöüldükten sonra türevler yardımıyla hılara, daha sonra basınç katsayılarına geçilebilir. Yüey boyunca basınç katsayılarının integrasyonundan taşıma ve yunuslama katsayıları elde edilir Kompleks dülemde formülasyon: Potansel akım problemlerini her ne kadar reel dülemde potansel veya akım fonksonu cinsinden tanımlayarak çömek mümkün ise de, kompleks dülem kullanmanın birçok avantajı vardır. Kompleks dülemde bir sınıf fonkson vardır ki, analitik olarak nitelendirilen bu sürekli fonksonların reel ve imajiner kısımları Laplace denklemini ve Cauchy-Riemann şartlarını sağlarlar. Bu bakımdan bir potansel akıma ait potansel ve akım fonksonlarını f ( ) φ (, y ) + iψ (, y ) şeklinde kompleks potansel fonksonu adı verilen bir analitik fonkson içerisinde birleştirmek mümkündür. Kompleks dülemde akım hıı da w u + iv Ve iβ β w v şeklinde kompleks hı adı verilen bir büyüklükle tanımlanabilir. Nasıl ki potansel ve akım fonksonlarının türevleri hı bileşenlerini tanımlıyorsa, kompleks potansel fonksonunun türevi de -β w* u -v df d u iv w * şeklinde kompleks hıın eşleniğini (kompleks eşlenik hı) verir. Not: Analitik fonksonlar sürekli fonksonlar olup bir nokta etrafındaki türevleri hangi doğrultuda alınırsa alınsın aynı değeri verirler. Buna göre türev örneğin doğrultusunda alındığı taktirde df d df d d( φ + iψ ) φ ψ + i u iv w* d UCK 351 Aerodinamik Gü Yarıyılı Ders Notları

8 Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılama Potansel Akımlar 6-7 olduğu görülür. Türevin () doğrultusunda alınmasıyla aynı sonucun elde edilebileceğinin gösterilmesi öğrence bırakılmıştır. Örnek: 1 f ( ) sh ( / c ), ( c sb ) analitik fonksonunun temsil ettiği akım alanını anali edini. f ( ) φ + iψ, + konularak fonkson reel ve imajiner kısımlarına ayrılabilir. φ + iψ sh 1 + c + c sh ( φ + iψ ) c [ shφ ch( iψ ) + sh( iψ ) chφ] + c shφ cosψ + i c sinψ chφ y c shφ cosψ c sinψ chφ Bilinen trigonometrik bağıntılarla y ch φ sh φ 1 1 c sin ψ c cos ψ y cos ψ + sin ψ c sh φ c ch φ hiperbol elips elde edilir. Bu bağıntılarda φsb ve ψsb yaılarak ve sabitlerin değerleri değiştirilerek şekilde görüldüğü gibi çeşitli akım çigileri ve potansel çigileri çiilebilir. φsb ψsb Kompleks potansel fonksonu c shf c shf Diferansel alınarak d c chf df c 1 + sh f df Düenlenerek d c 1 + df c 1 + df c + c c df UCK 351 Aerodinamik Gü Yarıyılı Ders Notları

9 Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılama Potansel Akımlar 6-8 Kompleks hı tanımı gereği w* df d w* c 1 + elde edilir. Bu bağıntı yardımıyla istenilen noktalardaki hı bileşenlerini kolaylıkla hesaplamak mümkündür Potansel Akımların Süperpoisyonu Daimi, iki-boyutlu, sıkıştırılama potansel akımları potansel ve akım fonksonu ile temsil eden Laplace denklemi lineer bir adi-diferansel denklem olup, bu öelliği süperpoisyon olanağı verir. Bu da potansel akım problemlerinin çöülmesinde büyük kolaylık sağlar. Laplace denklemlerinin aynı (,y) karteyen koordinat sisteminde potansel fonksonu için φ 1, φ, φ 3,.. gibi çeşitli çöümlerini gö önüne alalım. Bunlar için sırasıyla φ1 φ1 φ φ φ φ yamak mümkündür. Bu denklemler karşılıklı olarak toplandığı taktirde φ1 φ1 φ + + φ ( φ + φ +...) + ( φ + φ +...) veya φ φ φ 1 + φ +... φ yaılarak + 0 elde edilir. Görüldüğü gibi Laplace denkleminin çöümleri toplandığı taktirde elde edilen fonkson da Laplace denkleminin yeni ve farklı bir çöümü olmaktadır. Buna göre Laplace denkleminin basit baı çöümleri bilindiği taktirde daha karmaşık hallere ait çöümleri, basit çöümleri toplayarak elde etmek mümkün göükmektedir. Yapılan bu toplama işlemine literatürde süperpoisyon adı verilmektedir. Süperpoisyonun beneri şekilde akım fonksonları, kompleks potansel fonksonları ve kompleks hılar için de yapılması mümkündür. φ + φ +... φ 1 ψ + ψ +... ψ f 1 + f +... f ( φ + i ψ ) + ( φ + iψ ) +... φ + iψ df d 1 df d df d w 1 * + w * +... w * + w +... w w1 UCK 351 Aerodinamik Gü Yarıyılı Ders Notları

10 Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılama Potansel Akımlar Basit Akımlar Literatürde basit akımlar olarak tanımlanan ve potansel akım problemlerinin çöümlerinde kullanılan akımları: - Üniform-paralel akım - Kaynak (kuyu) akımı - Girdap akımı - Duble akımı olarak sıralamak mümkündür. Üniform-Paralel Akım: Şekilde görüldüğü gibi ekseni ile β açısı yapan V hıındaki üniform paralel akım gö önüne alınırsa potansel fonksonu φ, hı bileşenleri u ve v olmak üere φ u V cos β V β V u v v φ V sin β bağıntıları yaılabilir. Bu bağıntılar integre edilerek φ V φ V cos β + A( y ) sin β y + B( ) φ V ( cos β + y sin β ) + C Akım fonksonu için de beneri işlemler yapılarak ψ u V ψ v V cos β sin β ψ V ( y cos β sin β ) + D Buradaki C ve D sabitleri ne ve ne de y ye bağlı olmayıp, değerleri keyfi olarak sıfır alınabilir. Potansel ve akım fonksonları bir kompleks analitik fonkson şeklinde birleştirilerek [( cos β + y sin β ) + i( y cos β sin β )] f ( ) φ + iψ V [( + ) cos β + ( y i ) sin β ] V [ cos β i( ) sin β ] f ( ) V + [ cos β i sin β ] V [ cos β sin β ] f ( ) V i sonuç olarak Kompleks potansel fonksonu için UCK 351 Aerodinamik Gü Yarıyılı Ders Notları

11 Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılama Potansel Akımlar 6-10 f ( ) V e iβ ve buradan türev alınarak kompleks eşlenik hı için w ( ) V e iβ elde edilir. β 'nın çeşitli değerleri için öel olarak reel veya imajiner eksene paralel akım tipleri elde edilebilir β 0 f ( ) V w ( ) V β π / f ( ) iv w ( ) iv β π f ( ) V w ( ) V V V V Kaynak (kuyu) Akımı: Kaynak akımı bir noktadan radyal doğrultuda çıkan akım çigilerinin oluşturduğu hayali bir akım şeklidir. Kaynak akımının debisi sabit olup, kaynak merkeli bir daire çemberi üerindeki bütün noktalarda hı aynı şiddettedir. V r Şekildeki gibi merkei başlangıç noktasında yer alan ve hacımsal debisi olan bir kaynak için r yarıçaplı bir daire üerinden geçen akım debisi yaılarak radyal hı V r π r Sb / π r V r şeklinde elde edilir. Diğer taraftan polar koordinatlarda hı bileşenleri için potansel ve akım fonksonları cinsinden V r φ 1 ψ, r r θ V θ 1 φ ψ r θ r bağıntıları mevcuttur. Bu bağıntılar, V r 'nin yukarıdaki değeri yanında V 0 kullanılarak integre edilirse akım ve potansel fonksonları için sırasıyla θ φ Lnr, π ψ θ π elde edilir. Potansel ve akım fonksonları birleştirilerek kompleks potansel fonksonu için UCK 351 Aerodinamik Gü Yarıyılı Ders Notları

12 Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılama Potansel Akımlar 6-11 iθ f ( ) ϕ + iψ ( Ln r + iθ ) Ln re f ( ) Ln π π π bulunur. Kompleks eşlenik hı da bu bağıntıdan türev alınarak şeklinde elde edilir. w ( ) π >0 halinde kompleks düleminin başlangıç noktasındaki bir kaynağın yarattığı akım alanını temsil eden bu bağıntılar <0 halinde bir kuyuyu temsil ederler. düleminin başlangıç noktası dışındaki herhangi bir 0 noktasında yer alan bir kaynak veya bir kuyunun yarattığı akıma ait kompleks potansel fonksonu ve kompleks eşlenik hı ise yukarıdaki bağıntılardan basit bir eksen kaydırması yoluyla f ( ) Ln ( 0 ) π w ( ) π ( 0 ) şeklinde elde edilebilir. Süperpoisyon örneği: Üniform akımda kaynak Şekilde görüldüğü gibi V hıındaki üniformparalel akım ile başlangıç noktasında yer alan şiddetindeki kaynak akımına ait kompleks potansel fonksonları süperpoe edilerek V f ( ) V + Ln π yaılabilir. Bu yeni kompleks potansel fonksonunun nasıl bir akımı temsil ettiğini görmek için akım çigilerinin ve hı alanının birlikte incelenmesi yararlı olur. Bunun için fonksonun türevi alınarak ve ayrıca reel ve imajiner kısımları ayrılarak: df d w* V φ + iψ V + π π iθ ( + ) + Ln re φ V ψ V + Ln r π y + θ π elde edilir. Kompleks hı sıfıra eşitlenerek akım alanında durma noktası olup olmadığı araştırılır: w * V + 0 π d π V rd π V θ d π veya y d d π V 0 UCK 351 Aerodinamik Gü Yarıyılı Ders Notları

13 Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılama Potansel Akımlar 6-1 Görüldüğü gibi bu akımda reel eksen üerinde başlangıç noktasının sol tarafında bir durma noktası bulunmaktadır. Durma noktasının koordinatları akım fonksonu için bulunan bağıntıda kullanılarak akım fonksonunun durma noktasından geçen akım çigisi üerindeki değeri, ve durma akım çigisinin denklemi ψ π θ V y θ y ( π θ ) veya r π π πv sinθ d + V şeklinde elde edilir. Bu bağıntılardan: - θ π için y0 olduğu, yani reel eksenin sol yarısının bir akım çigisi olduğu, - θ π/ için y r 4V olduğu, - θ 0 için y Sb, yani reel eksenin sağ tarafında çok uaklarda akım V çigisinin reel eksene paralel hale geldiği görülmektedir. Bu akım çigisini θ nın çeşitli değerlerine karşılık r nin değerlerini hesaplayarak çimek mümkündür. Akım fonksonun farklı değerleri için diğer akım çigileri de çiilebilir. Akımın bir görüntüsü şekilde görülmekte olup, başlangıç noktası yakınlarında kaynak karakterine yakın, uaklarda ise üniform-paralel akım karakterinde olduğu dikkati çekmektedir. Burada kırmıı ile gösterilen, parabole bener eğri akım alanını iki bölgeye ayırmakta olup, üniform-paralele akımdan gelen debi ile kaynaktan çıkan debi birbirine karışmamaktadır. Süperpoisyon örneği: Üniform akımda kaynak ve kuyu Şekildeki gibi soldan sağa doğru yönlenmiş V hıındaki üniform-paralel akımda, reel eksen üerinde ve başlangıç noktasından a uaklıkta başlangıç noktasına göre simetrik konumlu olarak yer alan şiddetindeki bir kaynakla aynı şiddetteki bir kuyu için kompleks potansel fonksonu, ve kompleks eşlenik hı UCK 351 Aerodinamik Gü Yarıyılı Ders Notları

14 Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılama Potansel Akımlar 6-13 f ( ) V + π [ Ln ( + a) Ln ( a) ] V - a w* V + π a a a şeklinde yaılabilir. Kompleks eşlenik hı ifadesi sıfıra eşitlenerek w* 0 d ± a 1 + πav gibi iki durma noktası olduğu görülür. Kompleks potansel fonksonu + a θ i 1 1 r1e + a θ i 1 1 r1e değişken dönüşümleri yardımıyla reel ve imajiner kısımlarına ayrılarak akım fonksonu için V 1 θ 1 θ θ - a a ψ V r sin θ π ( θ θ ) 1 elde edilebilir. Durma noktasında θ 0 ve θ 1 - θ 0 olup, durma noktasından geçen akım çigisi üerinde ψ0 olduğu görülür. Böylece durma noktasından geçen akım çigisinin denklemi r sin θ π ( θ θ ) 0 V 1 şeklinde elde edilir. Bu kapalı bir eğri olup literatürde Rankine ovali olarak adlandırılır. Kapalı eğrinin ve akım alanının bir görüntüsü şekilde yer almaktadır. UCK 351 Aerodinamik Gü Yarıyılı Ders Notları

15 Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılama Potansel Akımlar 6-14 Durma noktasından geçen akım çigisinin akım alanını iki kısma ayırdığı ve üniform akımla kaynaktan çıkan akımın birbirine karışmadığı dikkati çekmektedir. Kuyuya giren debinin kaynaktan çıkan debiden a olması halinde kapalı bir akım çigisi elde edilme, şekilde görüldüğü gibi debinin bir kısmı üniform akıma karışır. Üniform akım içinde birçok kaynak ve kuyuyu, şiddetleri toplamı sıfır olacak biçimde uygun kullanarak daha karmaşık geometriler etrafındaki potansel akım çöümlerini elde etmek mümkündür. Bir örnek şekilde görülmektedir. NOT: Yukarıdaki bütün örneklerde üniform akımla birlikte sadece kaynak ve kuyu akımları kullanılmış olup, bunların toplam şiddetlerinin sıfır olması halinde kapalı akım çigileri oluştuğu, ve bu akım çigilerinin üniform akımla kaynak ve kuyuların akımlarını birbirine karıştırmadığı dikkati çekmektedir. Bunun yanında bu örneklerin hiç birinde kapalı akım çigileri etrafında herhangi bir sirkülasyon oluşmadığı da dikkati çekicidir. Bu örneklere dayanarak kaynak ve kuyuların sirkülasyon etkisi değil ama kalınlık etkisi yaratan basit akımlar olduğunu belirtmek mümkündür. UCK 351 Aerodinamik Gü Yarıyılı Ders Notları

16 Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılama Potansel Akımlar 6-15 Girdap Akımı: Girdap, akım çigileri eş merkeli daire çemberleri olan bir akım tipidir. Daire merkeleri girdap merkei olarak adlandırılır. Bütün daireler üerinde sirkülasyon aynı değere sahiptir. Bu sirkülasyon değeri girdabın şiddeti olarak tanımlanır. Başlangıç noktasında yer alan bir girdabın yarattığı akım alanının bütün noktalarında radyal hı bileşenleri sıfır, herhangi bir akım çigisi üerindeki teğetsel hılar ise sabittir. ψsb Γγ r V θ Herhangi r yarıçaplı bir akım çigisi üerindeki teğetsel hı, sirkülasyon tanımı yardımıyla Γ Vθ π r γ V θ γ π r şeklinde elde edilir. Burada sirkülasyonun büyüklüğünü, γ ise girdabın şiddetini belirtmektedir. Hı bileşenlerinin belirtilen değerleri potansel ve akım fonksonları için polar koordinatlarda daha öncede yaılan V r φ 1 ψ, r r θ V θ 1 φ ψ r θ r bağıntılarında kullanılarak gerekli integraller alınırsa γ γ φ θ, ψ Ln r π π elde edilir. Bu iki fonkson birleştirilerek kompleks potansel fonksonu γ iγ iθ iγ f ( ) φ + iψ ( θ + i Ln r) Ln re f ( ) Ln π π π ve türev alınmak suretle kompleks eşlenik hı da w iγ π şeklinde bulunur. Herhangi bir 0 noktasındaki girdap için kompleks potansel fonksonu, kaynak halinde olduğu gibi yine bir eksen kaydırmasıyla iγ f ( ) Ln( 0 ) π 0 1 γ 1 şeklinde bulunabilir. γ <0 hali saat ibreleri yönündeki bir girdabı ifade eder. UCK 351 Aerodinamik Gü Yarıyılı Ders Notları

17 Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılama Potansel Akımlar 6-16 Süperpoisyon örneği: Üniform akımda girdap Soldan sağa doğru üniform akım içerisinde başlangıç noktasında saat ibreleri yönünde bir girdap bulunması halindeki akım çigileri şekilde görülmektedir. Bu akımda girdap etkisle dülemin üst yarısında hıların arttığı, alt yarısında ise aaldığı görülmektedir. Dolayısıyla başlangıç noktası etrafında saat ibreleri yönünde bir sirkülasyon oluştuğu anlaşılmaktadır. Not: Bu akımda oluşan sirkülasyonun büyüklüğünün girdabın şiddetine eşit olduğunu göstermek mümkündür. Bu gösterim öğrencilere bırakılmıştır. Süperpoisyon örneği: Üniform akımda sıralı girdaplar Üniform akımda saat ibreleri yönünde farklı şiddetteki girdapların oluşturduğu akım alanı örnek olarak şekilde sunulmuştur. Akımda oluşan sirkülasyonun girdap şiddetlerinin toplamına eşit olacağı gösterilebilir. UCK 351 Aerodinamik Gü Yarıyılı Ders Notları

18 Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılama Potansel Akımlar 6-17 Duble Akımı: Duble, bir kaynakla aynı şiddetteki bir kuyunun, şiddetleri ile aralarındaki mesafenin çarpımı sabit kalmak üere birbirlerine yaklaştırılmaları halinde limit durumda elde edilen bir öel basit akım tipidir. Şekildeki gibi başlangıç noktasına eşit uaklıkta ve simetrik konumlardaki eşit şiddetli bir kaynakla bir kuyunun oluşturduğu akım alanına ait kompleks potansel fonksonu -m m f ( ) π iδ iδ [ Ln ( + ae ) Ln ( ae )] m π+δ δ veya µ a m olmak üere 1 a iδ µ Ln( + ae ) Ln( ae f ( ) 4 π a iδ ) şeklinde yaılabilir. Duble tanımı gereği limit alındığı taktirde f ( ) µ π Lim 4 a 0 Ln ( + ae iδ ) Ln ( ae a iδ ) 0 0 belirsiliği gidermek için bu ifadenin pay ve paydasının ayrı ayrı a'ya göre türevleri alınıp Hospital kuralı uygulanarak dublenin kompleks potansel fonksonu, f ( ) iδ e + ae i e ae µ iδ iδ Lim 4π a 0 1 δ f ( ) i e π µ δ ve türev alınarak kompleks eşlenik hı w ( ) i e π µ δ şeklinde bulunur. Burada µ dublenin şiddetini, δ ise duble ekseninin açısını belirtmektedir. Dublenin merkei başlangıç noktasında yer almaktadır. Herhangi bir 0 noktasında yer alan dublenin kompleks potanseli, eksen kaydırma yoluyla duble ek i µ e δ f ( ) π ( 0 ) µ 0 δ şeklinde bulunabilir. UCK 351 Aerodinamik Gü Yarıyılı Ders Notları

19 Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılama Potansel Akımlar 6-18 Şekilde solda reel eksen üerinde yer alan aynı şiddetli bir kaynak ve bir kuyunun oluşturduğu akım alanı, sağda ise bir dublenin yarattığı akım alanı görülmektedir. Not: Aynı şiddette, ıt yönlü iki girdabın şiddetleri ile aralarındaki uaklık çarpımı aynı kalmak kaydıyla birbirlerine sonsu yaklaştırılması halinde de duble akımı elde edilebilir. Bunun gösterilimi bir uygulama olarak öğrencilere bırakılmıştır Dairesel Silindir Etrafındaki Potansel Akım Aerodinamikte en önemli süperpoisyon örneklerinden birisi dairesel silindir etrafındaki potansel akım çöümünün elde edilmesinde kullanılanıdır. Üniform-paralel akım içerisine bir duble yerleştirilmesi halinde dairesel silindir etrafındaki simetrik (sirkülasyonsu) potansel akım çöümünü elde etmek, aynı akımda daire merkeine bir girdap konulması halinde de dairesel silindir etrafındaki sirkülasyonlu potansel akım çöümünü elde etmek mümkün olur. Dairesel silindir etrafında sirkülasyonsu (simetrik) akım kompleks düleminde reel eksene paralel olarak soldan-sağa doğru akan V hıındaki üniform-paralel akımla, başlangıç noktasında yer alan, ekseni reel eksenle aynı doğrultu ve yönde olan µ şiddetindeki bir dublenin kompleks potansel fonksonları süperpoe edildiği taktirde bu iki basit akımın oluşturduğu yeni akım alanına ait kompleks potansel fonksonu µ f ( ) V + π V µ veya µ a πv a olmak üere f ( ) V + şeklinde elde edilir. Türev alınarak kompleks eşlenik hı a w ( ) V 1 ve w ( ) 0 yaılarak akımın durma noktaları d ± a UCK 351 Aerodinamik Gü Yarıyılı Ders Notları

20 Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılama Potansel Akımlar 6-19 olarak bulunur. Durma noktaları reel eksen üerinde başlangıç noktasına göre simetrik konumludur. Yukarıda yaılan kompleks potansel fonksonu reel ve imajiner kısımlarına ayrılarak akım fonksonu için a ψ V r sinθ r bulunabilir. Durma noktasında ra, θ 0,π olup, durma noktasından geçen akım çigisi üerinde ψ 0 olduğu görülür. Böylece durma akım çigisinin denklemi V a r 0 r sin θ olarak elde edilir. Bu denklem sinθ 0 θ 0, π a r r 0 r a Sb şeklinde iki çöüm vermekte olup, bu çöümlerden ilki reel ekseni, ikincisi ise a yarıçaplı bir daireyi belirtmektedir. Akım çigisinin katılaştırılabilme prensibi gereği daireyi bir katı cidar gibi düşünerek sadece dışındaki akımla ilgilenmek mümkündür. Bu durumda, üniform akımla bir dublenin süperpoisyonu yoluyla ortaya çıkan kompleks potansel fonksonunun, merkei başlangıç noktasında yer alan a yarıçaplı bir daire etrafındaki potansel akımı temsil ettiği görülür. Bu akıma ait diğer akım çigileri, akım fonksonu için elde edilen bağıntıda ψ yerine çeşitli ψ c Sb değerleri yerleştirilerek bulunan a ψ C V r sinθ r denkleminin çöümüyle elde edilebilir. Daire etrafındaki akım çigilerinin bir görünümü aşağıdaki şekilde sunulmuştur. Uyarı: Duble ekseninin üniform paralel akımla aynı doğrultu ve yönde olmaması halinde daire etrafındaki akım çöümünü elde etmek mümkün olama. Buna ilişkin bir örnek, duble ekseninin üniform paralel akım doğrultusuna dik olması hali için yine yukarıdaki şekilde görülmektedir. UCK 351 Aerodinamik Gü Yarıyılı Ders Notları

21 Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılama Potansel Akımlar 6-0 Akım alanının herhangi bir noktasındaki hıın şiddet ve doğrultusu yukarıda kompleks eşlenik hılar için bulunan bağıntı yardımıyla hesaplanabilir. Aynı bağıntıda ae iθ yaılarak daire çemberi üerindeki hıları elde etmek mümkündür: w a e iθ iθ a θ θ ( ) i e e V 1 ie V θ ie i i V i sinθ Akımın daire çemberine teğet olduğu bilindiğine göre burada hıın şiddetinin hesaplanması yeterlidir. Son ifadenin modülü alınarak daire çemberi üerinde hılar açısal konuma bağlı olarak V ( θ ) V Sinθ C p V a θ şeklinde ve basınç katsayıları da Bernoulli denklemi yardımıyla C V p V sin θ +1 0 π/ π 3π/ π θ şeklinde elde edilir. Basınç katsayılarının değişimi şekilde görülmektedir. 3 Daire etrafındaki potansel akımda daire çemberinin en üst ve en alt noktalarında (θ ±π/) akım hıı serbest akım hıının katı olduğu gibi basınç katsayısının değeri de - 3 olmaktadır. Ayrıca C p 1 4 sin θ 0 sinθ ± ½ θ ± π / 6, ± ( π π /6) noktalarında basınç katsayısı sıfır olmaktadır. Basınç katsayılarının hem eksenine ve hem de y eksenine göre simetri göstermesi nedenle dairesel silindire herhangi bir taşıma ve sürükleme kuvveti etkimemektedir. Ayrıca daire etrafında bir sirkülasyon oluşmamaktadır. Daire etrafındaki potansel akım çöümünün değerlendirilmesi açısından gerçek akımla yapılmış karşılaştırmalara aşağıdaki şekilde yer verilmiştir. C p 1 0 Kritiküstü Re Potansel akım -1 - Kritikaltı Re θ 360 UCK 351 Aerodinamik Gü Yarıyılı Ders Notları

22 Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılama Potansel Akımlar 6-1 Görüldüğü gibi potansel akım çöümü ile elde edilen basınç dağılımı gerçek akımdaki basınç dağılımlarından hayli farklıdır. Buna rağmen bu çöümle ilgilenilmesinin nedeni, bilinen en basit çöümlerden birisi olması, baı sayısal çalışmalar için test hali olarak değerlendirilmesi ve daire etrafındaki çöümden yararlanarak konform dönüşüm tekniklerle kanat profilleri etrafındaki potansel akım çöümlerinin elde edilebilmesidir. Dairesel silindir etrafında sirkülasyonlu akım Önceki paragrafta üniform paralel akımla dublenin süperpoisyonu ile incelenen akıma, daire merkeinde yer alan, saat ibreleri yönünde γ şiddetindeki bir girdabın da ilave edilmesi halinde daire etrafındaki akımın sirkülasyonlu hale geldiği görülür. Bu durumda akımı temsil eden kompleks potansel fonksonu a iγ f ( ) V + + ln π a şeklinde yaılabilir. Bu ifadenin reel ve imajiner kısımları ayrılarak akım fonksonu V µ γ a γ ψ V r sinθ + ln r π r a şeklinde elde edilebilir. Bu bağıntıdan ra için ψ0sb olduğu görülmektedir. Yani yine dairesel bir akım çigisi mevcuttur. Kompleks potansel fonksonunun türevi alınarak kompleks hıın eşleniği için a w ( ) V 1 iγ + π elde edilir. Daire üerindeki hıları elde etmek için r a olmak üere bu ifade w ( ) ie iθ V γ sinθ + 4π av şeklinde düenlenerek modülü alınırsa hıların şiddeti için V ( θ ) V sinθ + γ 4π av bulunur. Bu hı dağılımı bütün daire etrafında integre edildiği taktirde daire etrafındaki sirkülasyonun Γ V ( θ ) a dθ Γ γ şeklinde daire merkeine konulan girdabın şiddetine eşit olduğu görülebilir. Durma noktasının yerini bulmak için yine V(θ)0 yamak yeterlidir. Bu noktanın daire üerindeki açısal konumu θ 0 ile belirtilirse UCK 351 Aerodinamik Gü Yarıyılı Ders Notları

23 Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılama Potansel Akımlar 6- sinθ 0 γ 4π av 1 γ θ0 sin ve 4π av θ π sin 0 1 γ 4π av olmak üere iki durma noktası mevcut olduğu görülür. Durma noktalarının konumları girdabın şiddetine bağlıdır. γ saat ibreleri yönünde ve poitif bir büyüklük olarak seçilmişse durma noktalarının dairenin alt tarafında yer alacağı ve akımın sirkülasyonsu halde olduğunun aksine reel eksene göre simetrik olmayacağı açıktır. Daire etrafındaki sirkülasyonlu akıma ait akım çigilerinin tipik bir görünümü şekilde verilmiştir. Daire etrafındaki basınç katsayıları yine Bernoulli denklemi yardımıyla hılara bağlanarak C p 1 V V γ 1 4 sin θ + 4π av şeklinde elde edilebilir. Sirkülasyonlu akım halinde tipik bir basınç dağılımı şekilde sirkülasyonsu halle karşılaştırmalı olarak sunulmuştur. Görüldüğü gibi sirkülasyonun etkisle basınç dağılımının ekseni etrafındaki simetrisi boulmuştur. Ancak y ekseni etrafında halen bir simetri mevcuttur. C p Sirkülasyonsu akım π/ π Sirkülasyonlu akım 3π/ π θ V Bu durumda daireye ve y doğrultusunda etken kuvvetler de UCK 351 Aerodinamik Gü Yarıyılı Ders Notları

24 Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılama Potansel Akımlar 6-3 C C p d y / a), C y ( C d( / a) p integrallerinde C P 'nin yukarıdaki değeri kullanılarak C 0, C γ av y / olmak üere elde edilir. Buna göre potansel akımda daireye hiçbir sürükleme kuvveti etkimediği görülmektedir. y doğrultusundaki kuvvetin de aslında bir taşıma kuvveti olduğu gö önüne alınırsa, taşıma katsayısının tanımı da kullanılarak L ρ VΓ olduğu görülür. Taşımanın doğrudan daire etrafındaki sirkülasyonla orantılı olduğunu belirten bu bağıntı literatürde Lanchester-Joukowsky taşıma kanunu olarak bilinir. UCK 351 Aerodinamik Gü Yarıyılı Ders Notları

25 Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılama Potansel Akımlar 6-4 Örnek Sorular 1- Daimi, iki-boyutlu, sıkıştırılama, potansel akım probleminin potansel fonksonu için Laplace denklemi ile modellenebileceğini gösterini. - Daimi, iki-boyutlu, sıkıştırılama, potansel akım probleminin akım fonksonu için Laplace denklemi ile modellenebileceğini gösterini. 3- Üniform-paralel akımda yer alan bir kanat profili etrafındaki daimi, iki-boyutlu, sıkıştırılama potansel akım problemini potansel ve akım fonksonu cinsinden tanımlayını. Elde edilecek çöümden nasıl yararlanılabileceğini açıklayını. 4- kompleks düleminde f() kompleks potansel fonksonunun türevinin hangi doğrultuda alınırsa alsın daima w*() eşlenik hı fonksonuna eşit olacağını gösterini 5- Daimi, iki-boyutlu, sıkıştırılama potansel akımlar için süperpoisyon ilkesini ve bunun pratikte ne işe yarayacağını açıklayını. 6- Üniform-paralel akımlar için tanımlanan f() V e -iβ kompleks fonksonunun analitik bir fonkson olduğunu gösterini. 7- Potansel kaynak için tanımlanan f ( ) Q /( π ) Ln kompleks fonksonunun analitik bir fonkson olduğunu gösterini. 8- Potansel girdap için tanımlanan f ( ) iγ /( π ) Ln kompleks fonksonunun analitik bir fonkson olduğunu gösterini. i 9- Duble için tanımlanan f ( ) µ e δ /( π ) kompleks fonksonunun analitik bir fonkson olduğunu gösterini. 10- Daimi, iki-boyutlu, sıkıştırılama üniform-paralel akımda bir sirkülasyon olmayacağını gösterini. 11- Daimi, iki-boyutlu, sıkıştırılama, potansel kaynak akımında bir sirkülasyon olmayacağını gösterini. 1- Daimi, iki-boyutlu, sıkıştırılama, potansel duble akımında bir sirkülasyon olmayacağını gösterini. 13- Daimi, iki-boyutlu, sıkıştırılama, potansel girdap akımında girdap merkeinin etrafında bir sirkülasyon oluşacağını ve büyüklüğünün girdap şiddetine eşit olacağını gösterini. 14- Daimi, iki-boyutlu, sıkıştırılama, potansel akım halinde üniform-paralel akım içinde bir kaynak bulunması halinde herhangi bir sirkülasyon olmayacağını gösterini. 15- Daimi, iki-boyutlu, sıkıştırılama, potansel akım halinde üniform-paralel akım içinde bir girdap bulunması halinde girdap merkeinin etrafında bir sirkülasyon oluşacağını ve büyüklüğünün girdap şiddetine eşit olacağını gösterini. 16- Bir duvarın yakınında bir kaynak bulunması halinde oluşan akım alanını, kaynağın duvara göre simetrik konumlanmış bir imajını alarak incelemek mümkündür. Buna göre; UCK 351 Aerodinamik Gü Yarıyılı Ders Notları

26 Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılama Potansel Akımlar 6-5 a) sonsu genişlikteki bir duvardan a uaklıkta yer alan m şiddetindeki bir kaynak nedenle duvar üerinde oluşan basınç dağılımını hesaplayını. b) Duvarın gerisindeki basıncı toplam basınca eşit kabul ederek duvara etken bileşke basınç kuvvetinin şiddetini ve doğrultusunu hesaplayını. (Not: Toplam basıncı p T olarak alını) m a 17- Bir duvarın yakınında yer alan bir girdabın oluşturduğu potansel akım alanını, bu girdapla duvara göre simetrik bir konumda yer alan ıt yönlü bir girdabı süperpoe ederek incelemek mümkündür. Buna göre; a) Yatay bir duvarın a kadar yukarısında yer alan saat ibreleri yönünde Γ şiddetindeki bir girdabın oluşturduğu akımın kompleks potansel fonksonunu elde edini. b) Duvar boyunca ve girdap hiasında duvara dik bir eksen boyunca hı dağılımlarını inceleyini. c) Aynı girdabın duvara paralel ve soldan sağa doğru yönlenmiş bir üniform-paralel akım içerisinde yer alması halini inceleyini. 18- Kompleks düleminde s noktasında yer alan saat ibreleri yönünde Γ şiddetindeki bir girdapla, -s noktasında yer alan, saat ibrelerine ıt yönde Γ şiddetine sahip diğer bir girdabın teşkil ettiği sıkıştırılama potansel akım alanında a) Akım çigilerinin denklemini elde ederek, akım çigilerinin temsili şeklini çiini. b) İmajiner eksen boyunca hıın değişimini inceleyini. Γ s s a Γ 19- kompleks düleminde reel eksenle aynı doğrultu ve yönde akmakta olan V hıındaki üniform paralel akım ile reel eksen üerinde -a noktasında yer alan m şiddetindeki bir kaynak ve a noktasında yer alan -m şiddetindeki bir kuyu süperpoe edilerek bir Rankine ovali etrafındaki akım alanı elde edilebilir. a) Bu akımın kompleks potansel ve kompleks eşlenik hı fonksonlarını yaını. V Q -Q b) Durma noktalarının yerlerini ve Rankin ovalinin boyunu yukarıdaki parametreler cinsinden bulunu. a a c) Potansel ve akım fonksonlarını bulunu. d) Reel eksen üerinde başlangıç noktasından Rankin ovalinin boyunun iki katı uaklıktaki bir noktada basınç katsayısının değerini bulunu. i y 0- Kompleks düleminde başlangıç noktasında yer alan ve ekseni reel eksenle çakışık olan bir duble ile reel U eksenle aynı doğrultu ve yönde bir üniform-paralel akım süperpoe edildiği taktirde: µ a) Elde edilen akımda dairesel bir akım çigisi olacağını gösterini. b) Daire etrafındaki akımın irrotasyonel olacağını gösterini UCK 351 Aerodinamik Gü Yarıyılı Ders Notları

27 Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılama Potansel Akımlar 6-6 c) Daire etrafındaki sirkülasyonun sıfır olacağını gösterini. d) Akım alanının durma noktalarını ve daire üerindeki basınç katsayılarını veren bağıntıları çıkartını. 1- a10cm çapındaki bir dairesel silindirin V 50m/s hıdaki üniform paralel akım içerisinde yer aldığı düşünülmektedir. Dairesel silindir etrafında daimi iki-boyutlu sıkıştırılma potansel akım alanı oluştuğunu far ederek C p basınç katsayısının a) Dairesel silindirin yüeyi boyunca b) Dairesel silindirle aynı merkeli ve 4a yarıçaplı bir başka daire çemberi boyunca c) ekseni boyunca d) y ekseni boyunca değişimlerini veren bağıntıları çıkartarak bu değişimleri grafik üerinde gösterini. e) Dairesel silindir yüeyinden itibaren basınç katsayısının sıfır olduğu noktaların geometrik yerini veren bir bağıntı çıkartını. Bu noktaları bir şekil üerinde belirterek, dairesel silindir etrafında akımın serbest akıma naaran daha hılı ve daha yavaş olduğu bölgeleri belirtini. - kompleks düleminde reel eksene paralel ve ıt yönde, soldan sağa doğru akmakta olan üniform-paralel akımda başlangıç noktasında reel eksen doğrultusunda ve ıt yönde bir duble bulunması halinde bir dairesel silindir etrafındaki potansel akım probleminin modellenebileceğini gösterini kompleks düleminde merkei başlangıç noktasında yer alan a5 cm yarıçaplı bir daire şekilde görüldüğü gibi y eksenine paralel ve aşağıdan yukarı doğru akmakta olan U30 m/sn hıındaki bir üniform paralel akıma marudur. Daire etrafındaki akımın sirkülasyonsu ve potansel olduğunu varsayarak: a) Kompleks potansel fonksonunu ve kompleks eşlenik hıı yaını. b) ve y eksenleri üerinde daire merkeinden 0 cm uaklıkta yer alan iki noktadaki hıları hesaplayını. c) Daire üerinde hıın en küçük ve en büyük olduğu noktaları ve bu noktalardaki hıları tespit edini. d) Basınç katsayısının sıfır olduğu noktaları tespit ederek, akımın serbest akım hıından daha küçük ve daha büyük olduğu bölgeleri bir şekil üerinde belirtini. 4- Şekildeki gibi yukarıdan aşağıya doğru üniform paralel akım içerisinde yer alan bir daire etrafındaki sıkıştırılama potansel akımı gö önüne alarak: a) akım için kompleks potansel fonksonu yaını. Akım fonksonunu bulunu. Daire çemberinin bir akım çigisi olduğunu gösterini. b) Kompleks eşlenik hı fonksonunu yaını. Durma noktalarının yerlerini belirleyini. (a, i4a) noktasındaki hıın V şiddetini ve doğrultusunu belirleyini. c) Daire çemberi üerindeki basınç katsayılarının açısal konumla değişimini inceleyini. Bir şekil üerinde gösterini. Aynı akım alanında a yarıçaplı bir daire çemberi üerinde yer alan noktalardaki basınç katsayılarının açısal konumla değişimini inceleyini. İki basınç dağılımını karşılaştırıp daireden uaklaşmanın etkisini yorumlayını. V V UCK 351 Aerodinamik Gü Yarıyılı Ders Notları

28 Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılama Potansel Akımlar 6-7 d) ve y eksenleri boyunca basınç katsayılarının değişimlerini inceleyini. Grafiklerle gösterip yorumlayını. e) Serbest akım hıının ölçülmesi için bir pitot-statik tüpünün y ekseni üerine konulduğunu düşünün. Serbest akım hıının ölçümündeki hatanın yüde birden daha küçük olması için pitot-statik tüpü daire merkeinden en a ne kadar uakta olmalıdır? f) Önceki şıkkı pitot-statik tüpünün ekseni üerinde olması hali için cevaplayın. Sonucu önceki şıkla karşılaştırıp yorumlayını. 5- kompleks düleminde reel eksenle 30 açı yapan 30 m/s hıındaki üniform paralel akımda, merkei 0 i+5 (cm) noktasında olmak üere yer alan 5cm yarı çaplı daire etrafındaki potansel akımda: a) Kompleks potansel fonksonu yaını. b) Kompleks eşlenik hı ifadesini bulunu. c) Durma noktalarının yerlerini bulunu. d) Daire etrafında hıın en büyük olduğu noktaları ve bu noktalardaki hıları bulunu. α V a e) Bu iki noktadan birindeki hıın diğerinin iki katı olması için daire merkeine ne yönde ve hangi şiddetle bir girdap konulmalıdır? 6- Şekilde gösterilen daire etrafındaki sirkülasyonsu akımı gö önüne alını. a) Akımı modellemek için daire merkeine yerleştirecek dublenin şiddeti ve ekseninin doğrultusu ne olmalıdır. b) Daire merkeine bir girdap yerleştirildiğini far ederek dairenin reel ekseni negatif tarafta kestiği A noktasının bir durma noktası olması için girdap şiddeti ve yönünün ne olacağını bulunu. c) Bu son durumda daireye etkecek aerodinamik kuvvetin yönünü ve şiddetini belirleyini. aynı durumda daire etrafındaki akım çigilerini kabaca şekillendirini. A a α V UCK 351 Aerodinamik Gü Yarıyılı Ders Notları