Merkez üslerin konumlandırılması probleminin Hopfield-Tank yapay sinir ağları ile çözülmesi

Transkript

1 tüergs/ mühensl Clt:5, Sayı:1b, 8-38 Şubat 006 Merez üslern onumlanırılması problemnn Hopfel-an yapay snr ağları le çözülmes Murat ERMİŞ *, Füsun ÜLENGİN İÜ İşletme Faültes, Enüstr Mühenslğ Bölümü, 34469, Maça, İstanbul Özet Merez üslern yerleşm notalarının belrlenmes ve merez üsler ağının tasarlanmasını çeren merez üslern onumlanırılması problem onum teors alanına yaygın olara çalışılmataır. Bu çalışmaa, apaste sınırlamasının olmaığı, sabt onumlanırma malyetlernn oluğu, te tahssl merez üsler onumlanırma problem çn yapay snr ağı (YSA) temell br çözüm yöntem önerlmştr. Ayrıca tavlama benzetmne ayanan br yöntem e gelştrlmştr. Yöntemn etnlğn test etme çn, lteratüre sılıla ullanılan test ver set ullanılara, YSA temell yöntem çn ele elen sonuçlar le lteratüre yer alan en y çözümler ve tavlama benzetmnen ele elen sonuçlar arşılaştırılmıştır. Anahtar Kelmeler: Merez üsler, yapay snr ağları, Hopfel-an, tavlama benzetm. Solvng uncapactate hub locaton problem usng Hopfel-an type artfcal neural networs Abstract In many transportaton an telecommuncaton networs, the cost of carryng a unt of traffc between two ponts ecreases as the capacty of the connecton jonng the two ponts ncreases. It s possble to facltate ths connecton by bulng ecate channels between each par of noes that communcate wth each other. However, ths woul result n hgher costs. Because of ths fact, t s often convenent to esgn networs n whch traffc s concentrate on hgh capacty lns, even f ths traffc travels longer stances. In orer to facltate the flow of the traffc between noes so as to ecrease the overall cost of transportaton, some centers nown as hubs are ntrouce. Arlne passenger flow, cargo or postal elvery networs, large telecommuncaton networs are examples of networs utlzng hubs. he problem aresse n ths stuy s the uncapactate sngle allocaton hub locaton problem (USAHLP) n whch, gven n nteractng noes n a networ, hubs are fully nterconnecte an each spoe s assgne to a unque hub. In ths stuy, a soluton metho base on an artfcal neural networ framewor for the USAHLP s ntrouce. he heurstc base on smulate annealng s also evelope. o present ts effectveness, the solutons of ths ANN-base metho s compare wth the best solutons presente n the lterature an the solutons of smulate annealng base heurstc by conserng CAB ata set. Keywors: Hub locaton, artfcal neural networ, Hopfel-an, smulate annealng. * Yazışmaların yapılacağı yazar: Murat ERMİŞ. erms@hho.eu.tr; el: (1) ahl: Bu maale, brnc yazar tarafınan İÜ İşletme Faültes'ne tamamlanmış olan "Lojst sstemlern yapay snr ağları le moellenmes, gerçelenmes ve ontrolü" alı otora teznen hazırlanmıştır. Maale metn tarhne ergye ulaşmış, tarhne basım ararı alınmıştır. Maale le lgl tartışmalar tarhne aar ergye gönerlmelr.

2 Merez üslern onumlanırılması Grş Konum-ahss problemlernn (KP) özel br çeş olan merez üslern onumu (hub locaton) araştırmaları son yıllara onum teorsnn öneml br araştırma alanı olmuştur. Moern ulaştırma ve letşm sstemlernn büyü br ısmına merez üs ağlarının ullanılması, bu alana araştırmaların önemnn artmasına eten olmuştur. Bu sstemler, malyette ölçe eonomsnn söz onusu oluğu brço hareet ve varış notaları arasına seyahat veya letşmn gerçeleşmesn sağlar. Özellle ulaştırmaa aha büyü araçlar brm başına aha üşü taşıma malyetne sahptrler. Örneğn, büyü br uçata (mesela, Arbus 340) ml başına br oltuğun malyet, üçü br uçağın (mesela, RJ 70) ml başına oltu malyetnen aha üşütür. Merez üslern onumlanırılması problem br ço açıan las tess onum problemlernen farlılı gösterr. Klas br ayrı tess yerleşm problemne talep ayrı notalara gerçeleşr, tessler ayrı notalara onumlanırılmıştır ve amaç genellle talep notaları le tessler arasına mesafe ve malyetle lglr. Merez üsler onum problemlerne se, brbrleryle letşm halne olan üğümleren oluşmuş br ağ söz onusuur. İletşmen astelen, br ço hareet ve varış notaları arasına aıştır ve merez üs tessler hareet-varış notası aışları çn atarma ve brleştrme notaları gb hzmet verrler. Br merez üs, br ço ayrı üçü aışı aha büyü aışlara yönlenrr veya brleştrr. Ayrıca, farlı varış notaları çn büyü br aışı aha üçü aışlara a böleblr. Bu neenle, bağlantı notaları çıış-varış notası aışlarının tap ettğ yola ara notalarır (Drezner ve Hamacher, 00). Merez üsler onum problemlernn ulaştırma (hava yolu le seyahat, hava yolu le nalyat, br gecel ağıtım sstemler, posta ağıtımı, vs.) ve teleomünasyon (blgsayar letşm, telefon ağları, ağıtı blgsayar şleme vs.) alanına br ço uygulamaları varır. Merez üslern onumlanırılması problemnn farlı türler varır (O Kelly, 1987). Br merez üssün toplayableceğ aışın mtarına lşn br apaste ısıtı olablr; herhang br üğüm notasını merez üs olara urulmasına sabt br malyet olablr veya üğüm notaları br veya bren fazla merez üsse paylaştırılablr. Anca, merez üs problemlernn bütün çeştlerne amaç fonsyonu, ağın toplam malyet enüçülenece şele bağlantı notalarının onumlarını ve üğüm notalarının (spoe) paylaşımını bulmatır. Eğer bütün aışlar merez üs aracılığıyla yapılmata ve merez üs olmayan her br üğüm notası saece br merez üsse tahss elmşse, bu problem apaste sınırlaması olmayan te tahssl merez üs onumlanırma problem (uncapactate sngle allocaton hub locaton problem - USAHLP) aını alır. Bu probleme, merez üs sayısı arar eğşenr ve matematsel formülasyona sabt br malyet e ahl elmştr. Eğer merez üs sayısı sabt se (p merez üs), bu problem apaste sınırlaması olmayan te tahssl p-merez üs problem (uncapactate sngle allocaton p- hub mean problem-usaphmp) olara smlenrlmştr. Bağlantı notalarına aış mtarına lşn br sınırlanırma a olablr (capactate- CMAHLP) veya her br üğüm notası bren fazla merez üssüne tahss elmş e olablr (multple allocaton - UMApHMP). Dğer br farlı bçm se, bugüne aar apsamlı olara çalışılmamış olan, bazı bağlantılara veya tamamına mnmum aışa geresnm uyulan (aış eşler) moellerr. Örneğn, çolu tahssn söz onusu oluğu havayolları uygulamasına, şret tarafınan şletlen en üçü uça büyülüğüne lşn aış eşğ, ağa yer alıp a eonom olmayan bağlantıları önlemey sağlayablr. KP; p-meyan ve p- merez problemler gb zor problemler olara blnrler. Konumlar blnğne ğer problemler sıraanlaşıren, merez üsler problem bu uruma ah zor problem olara alır (Love v., 1988). Bugüne aar araştırmacıların yoğun lgsn çeen merez üs problemler; p- merez üsler meyan problem ve sonlu/sonsuz apastel merez üsler problemlerr. Merez üsler problem nc ereceen tamsayı programlama olara l ez O'Kelly tarafınan moellenmştr (O'Kelly, 1987). e tahssl urumu Ayn (1994), Campbell (1994, 1996), Klncewcz 9

3 M. Ermş, F. Ülengn (1991), O'Kelly ve ğerler (1995) tarafınan çalışılmıştır. Her br urum farlı yollaran formüle eleblmele beraber, en etn genel br yalaşım Ernst tarafınan ortaya onmuştur (Ernst ve Krshnamoorthy 1996; Ernst ve Krshnamoorthy 1998). Bu yalaşıma her br orjn çn arlara aışlara ayanan br yöntem önerlmştr. O Kelly, USAHLP y çözme çn, br havayolu şretnn uçuş rotalarını moelleyen ve her br hava lmanına belrl sayıa merez üsler atamaya çalışan sezgsel yöntem ele almıştır (O'Kelly v., 1995). Klncewcz KP y ele alara p-merez üslern bütün olası ombnasyonlarını eneyen ve her br urum çn en üçü mesafeye sahp üğüm notasını atayan br sezgsel yöntem ullanmıştır (Klncewcz, 1991). Yasalı aramayı KP nn çözümüne l olara Sorn-Kapov ullanmıştır (Sorn-Kapov ve Sorn-Kapov, 1994). Kullanılan br ğer yalaşım se tavlama benzetm tenğr (Ernst ve Krshnamoorthy, 1996). Çözüm altesnn tahmn br eğern vereblece alt sınırlar oluşturmaa referans çözümü ullanan lgnç br sezgsel çözüm tenğ e O Kelly tarafınan önerlmştr (O Kelly v., 1995). Abnnour- Helm se USAHLP çn y çözümler ele etmee genet algortmalar le yasalı aramayı br araa ullanan melez br sezgsel yalaşım ullanmıştır (Abnnour-Helm, 1998). Smth, sonsuz apastel, te paylaşımlı p-merez üsler meyan problemn çözme çn yapay snr ağları yalaşımını önermştr (Smth v., 1996). opcuoğlu se USAHLP çn bu güne aar lteratüre yer alan en y çözümler veren genet algortmalara ayalı sezgsel br yalaşım önermştr (opçuoğlu v., 005). Problemn formülasyonu Merez üslern onumuyla lgl mevcut temel blgler, her br üğüm notası çft (,j) arasına blnen br W j mtarına aışın (yolcu, ver, posta, blg, vs.) gerçeleşmes çn htyaç uyulan n üğüm notasıır. Bunu gerçeleştrmenn en bast yolu, her br üğüm notası çftn oğruan brbrleryle brleştrmetr, anca bu ço vermsz br yöntemr. Vermllğ artırma çn bütün aışların Şel 1 e görülüğü gb atarma/ bağlantı notaları (merez üsler) aracılığıyla gerçeleştrlmes gerer. Merez üslern onumları orjnal üğüm notaları ümesnen seçlmelr. Genellle merez üsler tamamen brbrlerne bağlıır ve transfer malyetler üçgen eştszlğn sağlar. Benzer şele, merez üs olmayan herhang br üğüm notası oğruan br bağlantı notasına α* l Düğüm Merez Üsler χ* j δ* jl l Şel 1. Merez üsler ağına toplama ve ağıtım süreçler 30

4 Merez üslern onumlanırılması bağlanmalıır. Bu varsayımlar ve sınırlamalarla bütün transferler br veya en fazla bağlantı notası üzernen rotalanmalıır. Genellle bu aış, en j ye ve l bağlantı notaları üzernen olan transfer, eğer ve l eştse, te br bağlantı notası üzernen gerçeleşen aış olara yazılır. Benzer şele eğer br bağlantı notası se = ve eğer j br bağlantı notası se l=j olara yazılır. Bu bağlantıların ulaştırma malyet, en ya olan toplama, an l ye transfer ve l en j ye ağıtım malyetlernn toplamına eşttr. Eğer üğüm notalarınan s brbrnn aynısı se bu malyetleren bazıları sıfıra eşt olablr. USApHMP çn l tamsayı programlama formülasyonu O Kelly tarafınan önerlmştr ve bu moele amaç fonsyonu nc ereceenr (O Kelly, 1987). Böyle br nc ereceen formülasyonun avantajı, saece N l eğşene ve (1+N+N ) ısıta geresnm uymasıır. Dezavantajı se, nc ereceen formü-lasyonun oğasınan aynalanan, genel mnmuma ulaşmanın garant olmaması sorunuur. Ayrıca bu problem çn arışı tamsayı programlama formülasyonu a gelştrlmştr (Campbell, 1994; Ernst ve Krshnamoorthy, 1999; Ebery, 001). Bu çalışmaa, nc ereceen tamsayı programlama moel Yapay Snr Ağı çatısına önüştürmeye uygun oluğunan, bazı notasyon eğşller yapılara O Kelly nn formülasyonu ullanılmıştır. Eğer nc üğüm notası ncı üğüm notasına onumlanırılmış merez üsse tahss elmşse, tamsayı arar eğşen 1 e, as tare 0 a eşt olacatır. Her br merez üs en enne atanmıştır; yan, ncı üğüm notası eğer br merez üs se 1 e eşttr. nc ve ncı üğüm notaları arasına mesafe, W j nc üğüm notasınan j nc üğüm notasına olan aış mtarı ve χ, α ve δ toplama, transfer ve ağıtım brm malyetlerr. Br merez üssü ncı üğüm notasına onuşlanırmanın malyet e f olara tanımlanmıştır. Lteratüre, merez üsler arasına nrgenmş brm malyet ele eeblme çn br sonto fatörü olara α < 1.0 ve χ = δ = 1.0 eğerler abul elmştr. Bu tanımlamalar ullanılara USAHLP, 0-1 nc ereceen programlama olara aşağıa gb moelleneblr: mn f ( x) Kısıtlar; = j + j l χw + l j + f j j jl δ W (1) α W = 1, N () 0,, N (3) {,1}, N 0, (4) Orjn en ışarıya olan toplam aış mtarı O se: O = W, N (5) j j ve D varış notası e sonlanan toplam aış mtarı se: D = W, N (6) j j Eğer malyet matrs smetr se (yan, = ), amaç fonsyonu (1) aşağıa gb yazılablr: f ( x) = ( χ O + δd ) j jl l j j j Wj l jl + l j + α f (7) jl Amaç fonsyonu (1); toplama, transfer ve ağıtım malyetlernn toplamına eşttr. Kısıt (), her br üğüm notasının saece te br merez üsse tahss elmesn garant altına alır. Kısıt (3), her toplama ve ağıtım hareet çn merez üslern tespt elmesn sağlar. Dörüncü ve son ısıt, bütün eğşenlern 0-1 tamsayı eğer almaya zorlar. Hopfel-an (H) snr ağı moel Hopfel-an snr ağı, brbrlerne tamamen bağlı n aet nöronan oluşan ynelemel br sstemr (Şel ). 31

5 M. Ermş, F. Ülengn Bu faee λ parametres atvasyon fonsyonunun artışını (eğmn) ontrol etmee ullanılır. Sürel Hopfel snr ağı moelne br nöronun avranışı, aşağıa feransyel enlem le fae elen ve sürel br eğşen olan atvasyon üzey (u ) le araterze elr: u t u = + Wv + η (11) Nöron nn çsel urumu u ve çıtı üzey y. le gösterlsn. Br nöronun çsel urumu le çıtı üzey arasına lş bast monoton olara azalmayan br fonsyonur: y = g u ) (8) ( Şel. Hopfel snr ağı Bu fonsyon, ağın son urumunun br hperüpün öşe notası olmasını garant altına alma çn, her br nöron çıtısının 0 le 1 arasına almasını sağlayaca şele br eş fonsyon gb çalışır. İçsel urum (u ), le gösterlen br önyargı term çerr ve ğer nöronların tartılanırılmış çıtılarının toplamına eşttr. Nöron en nöron j ye olan bağlantının gücünü gösteren ağırlılar W j. olara gösterlr. g(u ) fonsyonunun avranış bçm ve güncelleme proseürü, ullanılan Hopfel ağının ayrı veya sürel olmasına göre eğşr. Ayrı olması urumuna, g(u ) fonsyonu aşağıa gb tanımlanan br aım fonsyonuur: 0 u < 0.5 g ( u ) = (9) 1 u 0.5 Sürel Hopfel moelne y, 0 le 1 arasına sınırlanırılmış sürel br eğşenr ve g(u ) sürel br fonsyonur. Genellle bu fonsyon aşağıa gb tanımlanır: u / λ λu / λ 1 e e g ( u = 1+ ) (10) λu / λ λu / λ e + e Denlem 11 e; η öğrenme oranını, W nöronlar arasına bağlantıların ağırlılarının oluşturuğu matrs ve harc gr eğerlernen oluşan vetörü gösterr. Denlem 11 e l term u ( ) lteratüre genellle hmal elr η (aefuj, 199). Öğrenme oranı (η), nörona ışaran ve ğer nöronlaran tartılanırılmış grler olmaığı tare sıfıra oğru azalma oranını verr. Atvasyon fonsyonunun eğmnn yüse olması (hgh-gan) urumuna ( λ 0 ), çıtı eğerler 0 ya a 1 e yalaşır ve ağın urum uzayı n-boyutlu br hperüpün öşe notalarının oluşturuğu ümer {0, 1} n. Bu neenle ağın son urumu bu öşe notalarınan brsr. Hopfel bu ağın ararlılığını, ağın çıtısının (y ) aşağıa Lapunov fonsyonunu mnmum yapaca bçme evrlğn yuarıa nam feransyel enlem le gösterere spat etmştr (Hagan v., 1996). 1 E = 1 η y 1 y Wy y + g ( y) y (1) 0 Hopfel ağları, 0-1 arışı tamsayı programlama problemlern çözmee (örneğn, merez üslern onumlanırılması), eğer ağırlılar smetr se br yalaşı yöntem olara ullanılablr. Çünü, ağırlıların smetr olması urumuna ağ enerj fonsyonunun mnmumuna yaınsar. E 1 = v Wv v, v {0,1 }, (13) Bu tp ağların ararlılığının spatı, E nın atvasyon şlev azalmayan br Lapunov fonsyonu olmasına ayanmataır (Cohen ve Grossberg, 1983). Ayrıca, eğer en üzerne önme bağlantısı yosa (yan, W =0, çn) yüse eğml atvasyon fonsyonu ullanılığına, mnmum nota {0,1} n n br öşe no- 3

6 Merez üslern onumlanırılması tasıır. Eğer W negatf se Lapunov nşne engel olmamala brlte, ağın çte br yerel mnmuma yaınsamasına yol açablr. Bu uruma, çözümü öşelere oğru yönlenrme çn genellle tavlama tenler ullanılır. Hopfel ve an farlı ombnator enyleme problemlernn ağa nasıl önüştürülebleceğn göstermşlerr (Hopfel ve an, 1985; an ve Hopfel, 1986). Ağın enerj fonsyonu genellle enüçülenece enyleme problemnn amaç fonsyonuna eştlenr ve problemn ısıtları a enerj fonsyonuna ceza oşulları olara elenr (Lagrangan relaxaton). Ağın parametreler, bu enerj fonsyonu le stanart enerj fonsyonu (13) arşılaştırılara bulunablr. Ağ, her br nöronun atvte üzey yansız br uruma eştlenere başlangıç urumuna getrlr. Ağın rassal ve eşzamanlı olmayan güncellenmes le br mnmum enerj urumuna erşlr. Kısıtlı br 0-1 tamsayı programlama problem, amaç fonsyonu enüçüleneceğnen ve ısıtların sağlanmasıyla ceza termler sıfır olacağınan, enerj fonsyonunu a enyleyecetr. Anca, enerj fonsyonunun br mnmumu amaç fonsyonunun br mnmumuna arşılı gelmeyeblr, çünü enerj fonsyonuna brço yerel mnmuma neen olablece fazla sayıa term varır. Bu neenle, hang termlern bütünüyle enüçüleneceğ le ceza parametrelernn (enerj fonsyonuna her br term çn Lagranj çarpanı gb avranan parametreler) atlce seçlğ urumlar ışına arşılaşılablece ağın olurluluğu arasına br öünleşme yapma gerer. Hopfel-an enerj fonsyonuna ceza termlern eşt olara engeleyeblece br yöntem bulma çalışmaları hala evam een br onuur. Ağ olurlu br çözüme yaınsamayı başarsa a ğer tenlerle ıyaslanığına çözüm altes büyü olasılıla ötüür. Çünü Hopfel ağı br nş tenğ oluğunan arşılaştığı l yerel mnmuma yaınsar. Hopfel-an snr ağı moelnn USAHLP ye uyarlanması USAHLP, amaç fonsyonu ve ısıtlar çözüm matrs eğl e x çözüm vetörü gb yazılara stanart nc ereceen programlama bçmne önüştürüleblr. vec(x), nxn l matrs mn - elemanlı vetör x e önüştüren fonsyon olsun. Bu fonsyon şu şele tanımlanablr: [,,...,,...,, ] x (14) = vec ( ) =,..., 11 1 n1 1n n ve c aşağıa gb tanımlanır: c = [ 11( O1 + D1 ) + f1, 1( O1 + D1 ),..., n 1( O1 + D1 ),.., ( O + D ),..., ( O + D ) + f ] (15) 1 n n n nn n n n Denlem (7) e nc ereceen term αx xw gb gösterleblr. Bu faee, malyetlern ( j ) oluşturuğu matrs, W aışların (W j ) oluşturuğu matrstr. Bu fae x (α W)x e eşttr ve Kronecer çarpımıır (Gee v., 1991): nn 11W11 L 11W1 n 1W11 L 1W1 n n1w 11 L n1w 1n M M M M L M M 11W n1 L 11W nn 1W n1 L 1W nn n1w n1 L n1w nn 1W11 L 1W1n W11 L W1n n W11 L n W1 n M M M M L M M W = (16) 1Wn1 L 1Wnn Wn1 L Wnn nwn1 L nwnn M M M M L M M 1nW11 L 1nW1n nw11 L nw1n nnw11 L nnw1n M M M M L M M 1nWnL 1 L 1nWnn nwn1 L nwnn nnwn1 L nnwnn 33

7 M. Ermş, F. Ülengn USAHLP çözüm vetörü (x) cnsnen yenen şu şele fae eleblr: Mn f ( x) = c x + x Qx (17) Ax b (18) x { 0,1}, (19) Öyle ; Q ve W nn Kronecer çarpımı (=α W), A, b, c se br önce formülasyonan ele elen eğerlerr. Bu genel problem çn uygun enerj fonsyonu Ayer ve Gee tarafınan gerçeleştrlen çalışmalar temel alınara şu şele verleblr (Ayer v., 1990; Gee v. 1991): 1 g E = f ( x ) + c0e (0) Bu eştlte E g term x vetörünün ısıt üzlem Ax=b en sapma mtarına eşttr. Bu eğşlğn avantajı saece te br ceza parametresnn (c 0 ) seçlmesne geresnm uymasıır. Eğer c 0 yeter aar büyüse, enerjnn enüçülenmes esnasına ısıt term ortaan almaya zorlanacağınan, çözümün geçerllğ sağlanır. Bu neenle, çözüm ster stemez ısıt üzlemne yer alacatır. Değştrlmş H enerj fonsyonu x vetörünün ısıt üzlemnn (Ax = b) çözüm uzayına projesyonu yapılırsa: x x + s (1) Öyle : = I - s = A A ( AA ( AA ) 1 b ) 1 A () Bu yüzen, x vetörü ısıt üzlemnen sapma mtarı aşağıa gb bulunablr: x ( x + s) (3) Enerj fonsyonu (0) aşağıa gb yenen fae eleblr: 1 E = f ( x ) + c ( ) 0 x - x + s (4) Denlem (4) açılığına: 1 E = x (-Q + c0( - I) ) x x ( c0s - c) 1 + c 0 s s (5) E stanart Hopfel enerj fonsyonu le arşılaştırılığına, ağın ağırlıları (W) le harc grler (I): ( - I) W = - Q + c0 (6) I = c0s - c (7) olara bulunur. Ağın yaınsaığı çözümün en y çözüme yaın, hem 0-1 tamsayı hem e olurlu olması çn c 0 parametresnn en uygun bçme nasıl seçlmes geretğ hala br problemr. Anca bu sorun, yaınsamanın ısıt üzlemne almasını sağlayaca bçme yeter aar büyü br eğer c 0 a atanırsa bertaraf eleblr. Böylelle enerj fonsyonunun Lapunov anlamına azalması, olurlu çözümün malyetn enüçüleyece şele brm hperüpün öşelerne oğru hareet etmesn garant altına alır. Anca, Ayer tarafınan önerlen bu eğştrlmş enerj fonsyonuna sahp Hopfel ağının eletron evre olara gösterm yalaşımı ço uygun ve ümt verc olmasına rağmen, blgsayar ortamına benzetmnn oluça zor oluğu Gee tarafınan gösterlmştr (Gee v., 1991). Bununla beraber, eğer c 0 ın büyü eğerler çn enerj fonsyonunun (5) enüçülenmes le amaç fonsyonunun (f(x)) en nş arasına br lşlenrme yapılırsa, ağın benzetm etn br bçme gerçeleştrleblr. Nöron nn çsel urumu u marjnal olara ısıt üzlemne alığına, c 0 ın büyü eğerler, aynı şele feransyel enlemn büyü eğerler almasına yol açar. Bu neenle, büyü zaman aımları sürel Hopfel ağının ayrı-zamanlı benzetmne ısıt üzlem cvarına engesz salınımlara yol 34

8 Merez üslern onumlanırılması açar. Oluça üçü zaman aımları ullanılığına se benzetm pratlten oluça uzalaşır. E f = x x (30) Büyü c 0 eğerne sınır getrlğne, x yaınsamanın başınan sonuna aar geçerl altuzaya lştrlecetr ve ağın namler E=E olaca şele enüçüleyecetr. Sonuçta ele elen sstemn benzetm, eğştrlmş br ağ ullanılara verml br şele gerçeleştrleblr. Gee nn önerğ benzetm yöntemne Hopfel ağının çsel namlerne, feransyel enleme ( u η ) term atılara üçü br eğşl yapılmıştır. Buna gereçe olara, bu termn ağın yaınsamasını bastırması gösterlmştr (aefuj, 199; Smth v., 1996). Ayrıca, tanjant hperbol atvasyon şlev yerne, x n brm hperüpün çne almasını sağlayan ve aşağıa verlen parçalı oğrusal fonsyon ullanılmıştır: 1 f u > 1 x = g( u ) = u f 0 u 1 (8) 0 f u < 0 Brm hperüpün çersne x = u oluğunan: u E x = ( Wx + ) = = (9) t x t ve büyü c 0 çn ısıt üzlemne; olur. Bu neenle benzetm yalaşımının, x n brm hperüpün çersne almasını sağlayaca bçme c 0 a büyü eğer verere ısıt üzlemne lştrlmes yoluyla amaç fonsyonunun en nşn gerçeleştrğ görüleblr. Bu proseür şu şele şler: Denlem (9) a namler en nş yöntem le E eğern enüçüler. Herhang br rasgele seçlmş başlangıç çözümü x 0 an (olurlu olması geremez) hareetle, yen br çözüm vetörü (x 1 ) verece şele ısıt üzlemne projesyonu gerçeleştrlr. x 1 brm hper üpün çersne yer almayableceğnen, oğrusal olmayan parçalı oğrusal fonsyon aracılığıyla brm hperüpün çersne yer alan yen br vetör (x ) ele elr. Anca, x vetörü ısıt üzlemne olmayablr. Bu yüzen, bu süreç hem ısıt üzlemne hem e brm hperüpün çersne yer alan br x n notası ele elnceye aar sürel terarlanır (Şel 3). Böyle br notaya erşlğne, enylenmeye çalışılan enerj termnn (E ) grayanına göre Denlem (31) ullanılara eğştrlr. Bu çevrm, malyet fonsyonuna yleşme olmayıncaya aar terarlanır. x x + t = t = ( Wx ) t (31) x (1) () + x = s+ x x (3) x = Wx+ t x (1) x n geçerl br altuzaya projesyonu () Doğrusal olmayan parçalı oğrusal fonsyon aracılığıyla x n brm hperüp çersne sınırlanırılması (3) x e eğşm, enerj term E nın grayanına göre x x = t le bulunur t Şel 3. Değştrlmş Hopfel ağının gerçelenmesnn şemat gösterm 35

9 M. Ermş, F. Ülengn Ayrıca çözüm altesn artırma çn, yerel mnmumlaran urtulmayı sağlayan tavlama benzetm tenğne ullanılan meanzmaya benzeyen br tepe-tırmanma yalaşımı ullanılablr (HN*): x x = α ( t) t = α( t) ( Wx + ) t (3) t Öyle, α(t) parametres çn soğutma çzelges: t / β ( ( t),1) ve ( t) = 1 e α( t) = ranom (33) olara ullanılmıştır. En nş veya çıış α(t)= ±1 oluğuna gerçeleşr. HN başlangıçta enerjnn rassal olara artışına zn verr ve zaman lerleçe bu artış azalır. α(t), +1 e eşt oluğuna HN en nş algortması gb avranır. Algortma Aım 1: Ağ parametrelern (W, I, x, t ve β) başlangıç urumuna getr. Aım : HN* çn; (t) = 1- exp(-t/β) olara güncelle ve α(t) y [(t), 1] aralığınan rasgele seç. Aım 3: Nöronları; f x, new = x α ( t) t x olara güncelle (x, büyü olasılıla ısıt üzlemnn ışına çıacatır) Aım 4: x aşağıa ynelemel proseüre göre ısıt üzlemne projesyonunu yap: x ( x + s) Whle ( x x + s For = 1 to N enwhle x = g u ) ( >lmt) x Aım 5: t y artır. Eğer (t) = 1 ve t se DUR. Yosa Aım ye gt. = 0, Deneysel sonuçlar Lteratüre Svl Havacılı Örgütü (Cvl Aeronautcs Boar - CAB) ver set merez üslern onumlanırılması algortmalarının etnllernn eğerlenrlmesne sılıla ullanılmıştır (O Kelly, 1987). Bu ver setne şehrler arasına aışlar smetrtr ve bu çalışmaa 5 şehrl veren n = 10 lu br problem set oluşturulara ullanılı. Problem setne farlı transfer malyetler (yan, sonto oranları) α = {0.,0.4,0.6,0.8,1.0} ullanılı. oplama ve ağıtım brm malyetler se sabt olara χ = δ =1 abul el. Her br sonto oranı çn, br üğüm notasına merez üs urmanın sabt malyet se f {100, 150, 00} olara belrlen. Referans malyet olara esn sonuçlar se Abnnour-Helm n çalışmasınan türetl (Abnnour-Helm, 1998). HN ve HN* sonuçlarını başa br yöntemle e arşılaştırma çn, orjnal Ernst tarafınan uygulanan tavlama benzetm (B) yalaşımı merez üsler problemne uyarlanı (Ernst ve Krshnamoorthy, 1996). B algortmasının l ontrol parametres tavlama sıcalığının ( 0 ) başlangıç eğerr ve aşağıa gb hesaplanablr (Aarts ve Korst, 1989): m + m e f 0 1 γ = (34) m1 + m Buraa, γ (abul oranı) 0.95 olara belrlenmştr. Bu formülasyona, m 1 malyette azalmaya yol açan hareetlern sayısını, m br önce aıma göre malyette artışa neen olan hareetlern sayısını ve f se m hareetler çn malyette ortalama artışı gösterr. Başlangıç sıcalığı Marov zncr çn geçc büyü br sayıya (yapılan eneye ) eştlenr. Br tam Marov zncr tamamlanıtan sonra, başlangıç sıcalığı ( 0 ) Denlem (34) ullanılara hesaplanır. Marov zncrnn uzunluğu np (n problemn büyülüğü, p merez üs sayısı) olara belrlenr. avlama benzetmn n = 50 ve n = 5 çn çalıştırılığına 0 çn eğer ele elmştr. Aynı merez üsse tahss elen üğüm notaları grubu üme olara tanımlanmıştır. B sezgsel yalaşımına omşulu çözümlern ele etme çn ana şlem varır: 1) rasgele seçlmş br üğüm notasının farlı br ümeye tahss elmes ve ) rasgele seçlmş br ümeen rasgele 36

10 Merez üslern onumlanırılması seçlen br üğüm notasının bağlantı notası olara belrlenmes (Ernst ve Krshnamoorthy, 1996). Bu şlemleren br tanes aha önce belrlenmş br olasılıla uygulanır. B sezgsel yalaşımının uygulanması esnasına yerel mnmuman urtulma çn br yenen ısıtma meanzması a ullanılır. Yapılan eneylere soğutma oranı 0.97 olara ullanılmıştır. Deneyler netcesne ele elen HN, HN* ve B sonuçları ablo 1 e gösterlmştr. Hopfel ağı matrs şlemlernen olayı ço fazla hesaplama zamanı ve hafızaya geresnm uyuğunan tavlama benzetm le hesaplama süres arşılaştırması yapılmamıştır. HN l yerel mnmuma taılığınan bazı urumlar çn ötü sonuçlar vermştr. Anca HN* çözüm altesn oluça artırmış ve ver setne bütün urumlar çn en y çözümü bulmuştur. Benzer bçme, B sezgsel yalaşımı a yenen ısıtma yöntem sayesne yerel mnmumlara taılmaan optmal çözümlere ulaşmıştır. Sonuç Bu maalee, sonsuz apastel merez üs onumlanırma problemn çözme çn br Hopfel ya- pay snr ağı moel önerlmştr. Çalışmanın amacı; merez üs sayısını, merez üslern onumlarını ve merez üslere tahss elece üğüm notalarını bulmaa Hopfel ağlarının nasıl ullanılableceğn gösterme. Lteratüre ço blnen ve yaygın olara ullanılan CAB ver set le önerlen yapay snr ağı moelnn performans ve çözüm altesn test etme amacıyla eneyler yapılmıştır. Sonuçlar, tepe tırmanma tpne Hopfel ağının (HN*) normal Hopfel ağına göre çözüm altes açısınan aha etn oluğunu göster. HN* lteratüre yer alan en y çözümlern tamamını buluren, HN 15 uruman 13 üne en y çözümü bulu. Sonuçları arşılaştırma çn ullanılan tavlama benzetm yöntem e HN* e oluğu gb en y çözümlern tamamını bulu. Hopfel ağı matrs şlemlernen olayı ço fazla hesaplama zamanı ve hafızaya geresnm uyuğunan aha büyü moeller çn test yapma anca onanım uygulaması le mümün olablr. Gelecete bu onua yapılablece çalışmalaran brs, aha büyü moeller çözeblece paralel şlem yapablen ağların tasarlanması ve onanım uygulamalarının gerçeleştrlmesr. α ablo 1. Sonuçların arşılaştırılması (n = 10) f Merez üsler Optmal HN HN* B 100 4, 6, % 0.0% 0.0% 150 7, % 0.0% 0.0% 00 7, % 0.0% 0.0% 100 4, 6, % 0.0% 0.0% 150 7, % 0.0% 0.0% 00 7, % 0.0% 0.0% 100 7, % 0.0% 0.0% 150 7, % 0.0% 0.0% % 0.0% 0.0% 100 7, % 0.0% 0.0% % 0.0% 0.0% % 0.0% 0.0% % 0.0% 0.0% % 0.0% 0.0% % 0.0% 0.0% 37

11 M. Ermş, F. Ülengn Semboller E α(t) β : Kesl Hopfel enerj şlev : Kronecer çarpımı : Projesyon şlev : Soğutma çzelges : avlamaa soğutma parametres Kaynalar Aarts, E.H.L., ve Korst, J., (1989). Smulate annealng an Boltzmann machnes, John Wley & Sons, Essex. Abnnour-Helm, S., (1998). A Hybr Heurstc for the Uncapactate Hub Locaton Problem, European Journal of Operatonal Research, 106, Ayer, S.V.B., Nranjan, M., ve Fallse, F., (1990). A theoretcal nvestgaton nto the performance of the Hopfel moel, IEEE ransactons on Neural Networs, 1,, Ayn,., (1994). Lagrangan relaxaton base approaches hub-an-spoe networ esgn problem, European Journal of Operatonal Research, 79, Campbell, J.F., (1994). Integer programmng formulatons of screte hub locaton problems, European Journal of Operatonal Research, 7, Campbell, J.F., (1996). Hub locaton an the p-hub mean problem, Operatons Research, 44, Cohen, MA., ve Grossberg, S., (1983). Absolute stablty of global pattern an parallel memory storage by compettve neural networs, IEEE ransactons on Systems, Man an Cybernetcs, 13, 5, Drezner, Z. ve Hamacher, H.W., (00). Faclty Locaton: Applcatons an heory, Sprnger- Verlag, Berln Heelberg New Yor, Ebery, J., (001). Solvng large sngle allocaton p- hub problems wth two or three hubs, European Journal of Operatonal Research, 18, Ernst, A.. ve Krshnamoorthy, M., (1996). Effcent algorthms for the uncapactate sngle allocaton p-hub mean problem, Locaton Scence, 4, Ernst, A.. ve Krshnamoorthy, M., (1998). Exact an heurstc algorthms for the uncapactate multple allocaton p-hub mean problem, European Journal of Operatonal Research, 104, Ernst, A.. ve Krshnamoorthy, M., (1999). Soluton algorthms for the capactate sngle allocaton hub locaton problem, Annals of Operatons Research, 86, Gee, A.H., Ayer, S.V.B. ve Fallse, F., (1991). Neural networs an combnatoral optmzaton problems-the ey to a successful mappng, CUED/F-INFENG/R 77, Cambrge Unversty Eng. Dept. Hagan, M.., Demuth, H.B. ve Beale, M.H., (1996). Neural networ esgn. PWS Publshng, Boston. Hopfel, J.J. ve an, D.W., (1985). Neural computaton of ecsons n optmzaton problems, Bologcal Cybernetcs, 5, Klncewcz, J.G., (1991). Heurstcs for the p-hub locaton problem, European Journal of Operatonal Research, 79, Love, R.F., Morrs, J.G. ve Wesolowsy, G.O., (1988). Faclty locaton: Moels an methos, Publcatons n OR, 7, North Hollan, New Yor. O Kelly, M., (1987). A quaratc nteger program for the locaton of nteractng hub facltes, European Journal of Operatonal Research, 3, O Kelly, M., Sorn-Kapov, D. ve Sorn-Kapov, J., (1995). Lower bouns for the hub locaton problem, Management Scence, 41, Sorn-Kapov, D. ve Sorn-Kapov, J., (1994). On tabu search for the locaton of nteractng hub facltes, European Journal of Operatonal Research, 73, Smth,K., Palanswam,M. ve Krshnamoorthy, M., (1996). Neural versus tratonal approaches to the locaton of nteractng hub facltes, Locaton Scence, 4, aefuj, Y., (199). Neural Networ Parallel Computng, Kluwer Acaemc Publshers, Massachusetts. an, D.W. ve Hopfel, J.J., (1986). Smple neural optmzaton networs: An A/D Converter, Sgnal ecson crcut an a lnear programmng crcut, IEEE ransactons on Crcut Systems, 33, 5, opcuoglu, H., Corut, F., Erms, M., ve Yılmaz, G., (005). Solvng the uncapactate hub locaton problem usng genetc algorthms, Computers an Operatons Research, 3, 4,